◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

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수 학 영 역

‘나’형

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2014학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: log_3 sqrt8 times log_2 `9]의 값은? [2점]

④

[eqn: log`_3 ` sqrt { 8 } times log`_2`9]

[eqn: = LEFT ( 3 over2 ` log`_3 `2 RIGHT ) times LEFT ( 2 log`_2 `3 RIGHT )]

[eqn: =3] [eqn: left(matrix{it#it}]∵ [eqn: log`_3 `2 times log`_2 `3=1][eqn: matrix{it#it}right)]

① [eqn: 3over2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5over2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7over2]

두 행렬 [eqn: A=pmatrix{`4~&6`#`2~&0`},~B=pmatrix{`1~&~```3`#`1~&-1`}]에 대하여 행렬 [eqn: A^2 -2AB`]의 모든 성분의 합은? [2점]

①

[eqn: A^2 - 2AB]

[eqn: = A(A- 2B)]

[eqn: = pmatrix{``{4}``&``{6}``#``{2}``&``{0}``} left{ pmatrix{``{4}``&``{6}``#``{2}``&``{0}``} - 2pmatrix{``{1}``&`````````{3}``#``{1}``&``{-1}``} right}]

[eqn: = pmatrix{``{4}``&``{6}``#``{2}``&``{0}``} pmatrix{``{2}``&``{0}``#``{0}``&``{2}``}]

[eqn: = pmatrix{``{8}``&``{12}``#``{4}``&``{0}``}]

따라서 구하는 모든 성분의 합은 [eqn: 24]이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]	④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

[eqn: int_-2^2 (x+|`x`|+2)`dx]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: int_-2^2 (x+|`x`|+2 )dx][eqn: = int _{-2} ^{0} {} 2``dx][eqn: + int _{0} ^{2} {} (2x+2)dx] [eqn: =12]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

두 함수 [eqn: y=`-x^2 +4,~y=2x^2 +ax+b]의 그래프가 점 [eqn: rmA(2,~0)]에서 만나고, 점 [eqn: rmA]에서 공통인 접선을 가질 때, 상수 [eqn: a,~b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? [3점]

①

[eqn: f(x)=-x^2 +4], [eqn: g(x)= 2x^2 +ax+b]라 하자.

ⅰ) [eqn: y=g(x)]의 그래프가 [eqn: (2, ``0)]을 지나므로
[eqn: g(2)= 8+2a+b =0]
∴ [eqn: 2a+b =-8] ⋯⋯ ㉠

ⅱ) 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 [eqn: (2, ``0)]에서 접하므로
[eqn: f`'(2)= g`'(2)]
[eqn: f`'(x)=-2x], [eqn: g`'(x) =4x+a]이므로
[eqn: -2 cdot2 = 4 cdot 2 +a]
∴ [eqn: a =-12] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: b=16]이다.

∴ [eqn: a+b =][eqn: 4]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: -2le x le2]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

②

[eqn: x -> -1-]일 때, [eqn: f(x) -> 0+]이고

[eqn: x -> 0+]일 때, [eqn: f(x) -> 1-]이므로

[eqn: lim _{x -> -1-} {} f(f(x))+ lim _{x -> 0+} {} f(f(x))]

[eqn: = lim _{t -> 0+} {} f(t)+ lim _{t -> 1-} {} f(t)]

[eqn: = 1 + (-2)][eqn: =-1]

[eqn: lim _{x -> -1-} {} `f(f(x))+ lim _{x -> 0+} {} `f(f(x))]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

두 다항함수 [eqn: f(x),~g(x)]에 대하여
[eqn: lim_x->2 ``{f(x)+1}over x-2 =3,~lim_x->2 ``{g(x)-3}over x-2 =1]
이 성립할 때, [eqn: lim_x->2 ``{f(x)g(x)-f(2)g(2)}over x-2]의 값은? [3점]

③

[eqn: lim_x->2 { f(x)+1} over { x+2 }=3]에서 [eqn: f(2)=-1], [eqn: f`'(2) =3]이고

[eqn: lim_x->2 { g(x)-3} over { x-2} =1]에서 [eqn: g(2)=3], [eqn: g`'(x) =1]이다.

[eqn: h(x)= f(x)g(x)]라 하면

[eqn: h`'(x) = f`'(x) g(x)+ f(x)g`'(x)]이므로

[eqn: lim_x->2 { f(x)g(x)-f(2)g(2)} over { x-2}]

[eqn: = lim_x->2 { h(x)-h(2)} over { x-2}]

[eqn: = h`'(2)]

[eqn: = f`'(2) g(2)+ f(2)g`'(2)]

[eqn: = 3cdot 3 +(-1)cdot1]

[eqn: =8]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

어떤 제품은 전체 생산량의 [eqn: 30`%,] [eqn: 20`%,] [eqn: 50`%]가 각각 세 공장 [eqn: rmA,] [eqn: rmB,] [eqn: rmC]에서 생산되고, 제품의 불량률은 각각 [eqn: 2`%,] [eqn: 4`%,] [eqn: a`%]라고 한다. 세 공장 [eqn: rmA,] [eqn: rmB,] [eqn: rmC]에서 생산된 제품 중 임의로 선택한 한 개의 제품이 불량품일 때, 그 제품이 [eqn: rmC]공장에서 생산된 제품이었을 확률은 [eqn: 15over29]이다. [eqn: a]의 값은? (단, 세 공장 [eqn: rmA,] [eqn: rmB,] [eqn: rmC]에서는 다른 제품은 생산되지 않는다.) [3점]

③

제품이 세 공장 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에서 생산되는 제품일 사건을 각각 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]라 하고 제품이 불량일 사건을 [eqn: E]라 하면

[eqn: {rm P}(A) = 3 over 10], [eqn: {rm P}(B) = 2 over10], [eqn: {rm P}(C) = 5 over 10]이고

[eqn: {rm P}(E`|`A) = 2 over 100], [eqn: {rm P}(E`|`B) = 4 over 100], [eqn: {rm P}(E`|`C) = a over 100]이다.

∴ [eqn: {rm P}(C`|`E)]

[eqn: = {{rm P}(C cap E) } over {{rm P}(E)}]

[eqn: = { {rm P}(C cap E) } over{ {rm P}(A cap E) + {rm P}(B cap E) + {rm P}(C cap E) }]

[eqn: = { {rm P}(C){rm P}(E`|`C) } over{{rm P}(A){rm P}(E`|`A) +{rm P}(B){rm P}(E`|`B)+{rm P}(C){rm P}(E`|`C)}]

[eqn: = { 5 over10 cdot a over100} over { 3 over10 cdot 2 over100 + 2 over10 cdot 4 over100 + 5 over10 cdot a over100}]

[eqn: = 5a over{14+5a}]

따라서 [eqn: 5a over{14+5a} = 15 over29]에서 [eqn: a =3]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

대기의 혼탁 정도를 나타내는 하나의 척도로 주간에 한 목표물을 볼 수 있는 최대거리는 시정거리를 사용한다. 상대습도가 [eqn: 70`%]일 때, 먼지농도 [eqn: d(rmmug/m^3 )]와 시정거리 [eqn: x(rmm)] 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다.
[eqn: log``x=3+log``1.2-log``d]
상대습도가 [eqn: 70`%]일 때, 시정거리가 [eqn: 3000(rmm)] 이상이 되기 위한 먼지농도의 최댓값은 [eqn: d_1 (rmmu g/m^3 )]이다. [eqn: d_1]의 값은? [3점]

④

시정거리 [eqn: x]가 [eqn: 3000]([eqn: rmm])이상일 때,

[eqn: 3+log``1.2 - log``d_1 ge log `3000]

[eqn: log`d_1 le log` { 1.2} over { 3} = log``0.4] (∵ [eqn: log`3000 = 3 + log`3])

∴ [eqn: d_1 le 0.4]

① [eqn: 0.1]	② [eqn: 0.2]	③ [eqn: 0.3]	④ [eqn: 0.4]	⑤ [eqn: 0.5]

수열 [eqn: left{a_n right}]을 다음과 같이 정의하자.
[eqn: a_n =int_0^1 `x^n (x-1)`dx``(n=1,~2,~3,~cdots)]
[eqn: sum_n=1^10 `a_n]의 값은? [3점]

①

[eqn: a_n = int_0^1 (x^n+1 - x^n ) dx]이므로

[eqn: sum_n=1^n a_n]

[eqn: = int_0^1 (x^2 - x )dx + int_0^1 (x^3 -x^2 )dx + cdots + int_0^1 (x^11 - x^10 )dx]

[eqn: = int_0^1 left{ (x^2 -x )+(x^3 -x^2 )+ cdots + (x^11 -x^10 ) right}dx]

[eqn: = int_0^1 (x^11 - x)dx]

[eqn: = left[ x^12 over12 - x^2 over2 right]_0^1][eqn: = - 5 over12]

[다른 풀이]

[eqn: a_n][eqn: = int_0^1 (x^n+1 - x^n ) dx]
[eqn: = left[ { x^n+2} over { n+2} - x^n+1 overn+1 right]_0^1]
[eqn: = 1 overn+2 - 1 overn+1]

∴ [eqn: sum_n=1^10 a_n][eqn: = sum_n=1^10 LEFT ( 1 overn+2 - 1 overn+1 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 1 over3 - 1 over2 RIGHT )+ LEFT ( 1 over4 - 1 over3 RIGHT ) + cdots + LEFT ( 1 over12 - 1 over11 RIGHT )]
[eqn: = 1 over12 - 1 over2]
[eqn: = - 5 over12]

① [eqn: - 5over12]	② [eqn: - 1over3]	③ [eqn: - 1over4]	④ [eqn: - 1over6]	⑤ [eqn: - 1over12]

[eqn: 0]이 아닌 세 실수 [eqn: a,~b,~c]가 다음 조건을 만족시킬 때,
[eqn: a+b+c]의 값은? [3점]

①

조건 (가)에 의하여

[eqn: b = ar], [eqn: c = ar^2]을 만족시키는 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: r]이 존재한다.

조건 (나)에서

[eqn: a^2 r = ar^2]

∴ [eqn: a =r]

∴ [eqn: b = a^2], [eqn: c = a^3]

조건 (다)에서

[eqn: a+3a^2 +a^3 =-3]

[eqn: (a+3)(a^2 +1 ) =0]

	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 1]	[eqn: 3]
[eqn: -3]		[eqn: -3]	[eqn: 0]	[eqn: -3]
	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 0]

∴ [eqn: a =-3]

∴ [eqn: a+b+c][eqn: = (-3)+(-3)^2 +(-3)^3 =-21]

㈎ [eqn: a,~b,~c]는 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

㈏ [eqn: ab=c]

㈐ [eqn: a+3b+c=`-3]

① [eqn: -21]	② [eqn: -18]	③ [eqn: -15]	④ [eqn: -12]	⑤ [eqn: -9]

[11∼12] 좌표평면에서 곡선 [eqn: y=x^2] 위의 점 [eqn: {rmP}_n (n,~n^2 )]과 중심이 [eqn: x]축 위에 있는 원 [eqn: C_n]은 다음 조건을 만족시킨다.
(단, [eqn: n=1,~2,~3,~cdots]이다.)

㈎ 곡선 [eqn: y=x^2]과 원 [eqn: C_n]은 점 [eqn: {rmP}_n]에서 만난다.

㈏ 곡선 [eqn: y=x^2]과 원 [eqn: C_n]은 점 [eqn: {rmP}_n]에서 공통인 접선을 갖는다.

다음 두 물음에 답하여라.

원 [eqn: C_1]의 중심의 [eqn: x]좌표는? [3점]

③

원 [eqn: C_1]의 중심을 [eqn: {rmC}_1][eqn: (a, ``0)]이라 하면

직선 [eqn: {rm P}_1 {rmC}_1]은 점 [eqn: {rmP}_1][eqn: (1, ``1)]에서의 곡선 [eqn: y= x^2]의 접선에 수직이다.

점 [eqn: {rmP}_1]에서의 곡선 [eqn: y= x^2]의 접선의 기울기는 [eqn: 2]이므로

[eqn: 2 times {1-0 } over { 1-a} = -1]

∴ [eqn: a=3]

① [eqn: 2]	② [eqn: 5over2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 7over2]	⑤ [eqn: 4]

원 [eqn: C_n]의 넓이를 [eqn: S`(n)]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf `{S`(n)}over n^6]의 값은? [3점]

④

원 [eqn: C_n]의 중심을 [eqn: {rmC}_n][eqn: (a_n, ``0)]이라 하면

직선 [eqn: {rm P}_n {rmC}_n]은 점 [eqn: {rmP}_n][eqn: (n, ``n^2 )]에서의 곡선 [eqn: y= x^2]의 접선에 수직이다.

점 [eqn: {rmP}_n]에서의 곡선 [eqn: y= x^2]의 접선의 기울기는 [eqn: 2n]이므로

[eqn: 2n times {n^2 -0 } over { n-a_n} = -1]

∴ [eqn: a_n = 2n^3 +n]

따라서 원 [eqn: C_n]의 넓이 [eqn: S_n]은

[eqn: S_n][eqn: = pi times {bar{{rm P}_n {rmC}_n}}^2]
[eqn: = pi left{ (-2n^3 )^2 + (n^2 )^2 right}]
[eqn: = pi LEFT ( 4 n^6 +n^4 RIGHT )]

∴ [eqn: lim_n->inf S(n) overn^6][eqn: = lim_n->inf pi times LEFT ( 4+ 1 overn^2 RIGHT )][eqn: = 4pi]

① [eqn: pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: 3pi]	④ [eqn: 4pi]	⑤ [eqn: 5pi]

세 집합 [eqn: A,~B,~C``]는 다음과 같다.
[eqn: A=left{(x,~y)`left|`pmatrix{`a-1~&1`#`1~&1`}pmatrix{`x`#`y`}=pmatrix{`ab`#`b`},~x,~y는~실수right}]
[eqn: B=left{(x,~y)`left|`y=x^2 +x+1,~x,~y는~실수right}]
[eqn: C=left{(x,~y)`left|`y=x-1,~x,~y는~실수right}]
[eqn: A`capB!=phi,~A`capC!=phi]을 만족시키는 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? [3점]

②

집합 [eqn: A]의 원소는 연립방정식

[eqn: pmatrix{``{a-1}``&``{1}``#``{1}``&``{1}``}][eqn: pmatrix{``{x}``#``{y}``}= pmatrix{``{ab}``#``{b}``}]

의 해집합이다.

행렬 [eqn: pmatrix{``{a-1}``&``{1}``#``{1}``&``{1}``}]의 역행렬이 존재한다고 가정하면

집합 [eqn: A]의 원소는 평면위의 한 점으로 원소의 개수가 [eqn: 1]개다.

이 원소는 [eqn: A cap B != emptyset], [eqn: A cap C != emptyset]이므로 집합 [eqn: B]와 집합 [eqn: C]의 원소이어야한다.

즉, 집합 [eqn: A]의 원소는 집합 [eqn: A cap B]의 원소이어야 한다.

그런데 곡선 [eqn: y=x^2 +x+1]과 직선 [eqn: y=x-1]은 서로 만나지 않는다.

즉, [eqn: A cap B][eqn: = emptyset]이다.

따라서 집합 [eqn: A]의 원소인 한 점이 [eqn: A cap B]의 원소가 되는 것은 불가능하다.

따라서 행렬 [eqn: pmatrix{``{a-1}``&``{1}``#``{1}``&``{1}``}]의 역행렬은 존재하지 않는다.

[eqn: (a-1)cdot 1 -1 =0]에서 [eqn: a =2]이고

이때, 연립방정식

[eqn: pmatrix{``{1}``&``{1}``#``{1}``&``{1}``} pmatrix{``{x}``#``{y}``} = pmatrix{``{2b}``#``{b}``}]를 만족시키는 해가 무수히 많아야하므로

[eqn: b =0]이어야 한다.

∴ [eqn: a+b = 2]

[참고]

집합 [eqn: A]의 원소는 직선 [eqn: x+y=0] 위의 점이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: z]	[eqn: \P it( 0≤Z≤z)]
[eqn: 1.00] [eqn: 1.25] [eqn: 1.50] [eqn: 1.75] [eqn: 2.00]	[eqn: 0.3413] [eqn: 0.3944] [eqn: 0.4332] [eqn: 0.4599] [eqn: 0.4772]

수직선 위의 원점에 위치한 점 [eqn: rmA]가 있다. 주사위 [eqn: 1]개를 던질 때 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오면 점 [eqn: rmA]를 양의 방향으로 [eqn: 3]만큼 이동하고, 그 이외의 눈이 나오면 점 [eqn: rmA]를 음의 방향으로 [eqn: 2]만큼 이동하는 시행을 한다. 이와 같은 시행을 [eqn: 72]회 반복할 때, 점 [eqn: rmA]의 좌표를 확률변수 [eqn: X`]라 하자. 확률 [eqn: {rmP}(X ge11)]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

②

[eqn: 72]회의 시행 중 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나온 횟수를 [eqn: Y]라 하면

그 외의 눈이 나오는 횟수는 [eqn: 72-Y]이므로

[eqn: X = 3Y -2(72 -Y) = 5Y-144]이다.

[eqn: X ge 11]에서

[eqn: 5Y -144 ge 11]

∴ [eqn: Y ge 31]

확률변수 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: {rm B}left(72 , ``1 over3 right)]를 따른다.

[eqn: {rm E}(Y)][eqn: = 72 times 1 over3 = 24], [eqn: {rm V}(Y)][eqn: = 72 times 1 over3 times 2 over3 =4^2]이고

[eqn: 72]는 충분히 큰 수이므로 확률변수 [eqn: Y]는 근사적으로

정규분포 [eqn: {rm N}(24 , ``4^2 )]을 따른다.

∴ [eqn: {rm P}(X ge 11)][eqn: ={rm P}(Y ge 31 )]
[eqn: = {rm P}left( Z ge { 31-24 } over{ 4 }right)]
[eqn: = {rm P}(Z ge 1.75)]
[eqn: = 0.5 - {rm P}(0 le Z le 1.75)]
[eqn: =0.5 - 0.4599]
[eqn: =0.0401]

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0401]	③ [eqn: 0.0668]

④ [eqn: 0.1056]	⑤ [eqn: 0.1587]

두 함수 [eqn: f(x),~g(x)]의 그래프는 그림과 같다.

②

ㄱ. [eqn: lim_x->1 left{f(x)+g(x) right} =2+0=2]이고
[eqn: f(1)+g(1)=0+2 =2]이므로
[eqn: lim_x->1 left{f(x)+g(x) right} =f(1)+g(1)]
따라서 함수 [eqn: f(x)+g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다. (참)

ㄴ. [eqn: lim_x->1 f(x)g(x) = 2 times 0=0]이고
[eqn: f(1)g(1) =0times2 =0]이므로
[eqn: lim_x->1 f(x)g(x) = f(1)g(1)]
따라서 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다. (참)

ㄷ. 함수 [eqn: { f(x)+ax} over { g(x)+bx}]가 [eqn: x=1]에서 연속이면
[eqn: lim_x->1 { f(x)+ax} over { g(x)+bx}][eqn: = { 2+a} over { b}]([eqn: b!=0])이고
[eqn: { f(1)+a} over { g(1)+b}][eqn: = { a} over { 2+b}]([eqn: b!=-2])이므로
[eqn: 2+a overb = a over2+b]에서
[eqn: 4+2a+2b+ab = ab]
∴ [eqn: a+b =-2] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)+g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

ㄷ. 함수 [eqn: {f(x)+ax}over{g(x)+bx}]가 [eqn: x=1]에서 연속이면 [eqn: a+b=`-4] 이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 이차정사각행렬 [eqn: A,~B`]가
[eqn: A^2 -A=O,~A-B=E`]
를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: O`]는 영행렬이고, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

⑤

ㄱ. [eqn: A^2 - A =O]에서 [eqn: A(A-E)=O] ⋯⋯ ㉠
[eqn: A-B = E]에서 [eqn: A-E = B] ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: AB =O] (참)

ㄴ. [eqn: A]의 역행렬이 존재한다고 가정하면
[eqn: A^2 - A =O]에서
[eqn: A^-1 (A^2 -A) = A-E =O]이다.
이는 [eqn: A!=E]라는 것에 모순된다.
따라서 [eqn: A]의 역행렬이 존재하지 않는다. (참)

ㄷ. [eqn: A-B =E]에서 [eqn: A = E-B]
[eqn: AB = B-B^2], [eqn: BA = B-B^2]이므로
[eqn: AB= BA = O] (∵ ㄱ)
∴ [eqn: (A+B)^2][eqn: = (A-B)^2 =E]
∴ [eqn: (A+B)^-1 =A+B] (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[다른 풀이]

ㄷ. [eqn: A-B =E]에서 [eqn: A+B = 2A-E]
[eqn: A^2 - A =O]에서
[eqn: A^2 - A + 1 over4 E = 1 over4 E]
[eqn: LEFT ( A - 1 over2 E RIGHT )^2 = 1 over4 E]
[eqn: LEFT ( 2A -E RIGHT )^2 =E]
∴ [eqn: (2A-E)^-1 = 2A-E]
따라서 [eqn: A+B]의 역행렬이 존재한다. (참)

	보기
ㄱ. [eqn: AB=O`] ㄴ. [eqn: A!=E`]이면 [eqn: A`]의 역행렬은 존재하지 않는다. ㄷ. [eqn: A+B`]의 역행렬이 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

첫째항이 [eqn: -8]인 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여
[eqn: a_n+1 -2sum_k=1^n `a_k over k =2^n+1 (n^2 +n+2)``(n ge1)]
이 성립한다. 다음은 수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항을 구하는 과정의 일부이다.

③

[eqn: a_n+1 - 2 sum_k=1^n a_k overk = 2^n+1 (n^2 +n +2 )] ([eqn: n ge1]) ⋯⋯ ㉠

㉠의 [eqn: n]대신 [eqn: n-1]을 대입하면

[eqn: a_n - 2 sum_k=1^n-1 a_k overk = 2^n (n^2 -n +2 )] ⋯⋯ ㉡

이다.

㉠[eqn: -]㉡에 의하여

[eqn: a_n+1 - a_n - 2 over n a_n = box{``2^n ( n^2 +3n +2)``}] ( [eqn: n ge2])

이므로 [eqn: a_n+1 - { n+2} over { n}a_n =][eqn: 2^n (n+1)(n+2)]

즉, [eqn: a_n+1 over {(n+1)(n+2)} - a_n over{n (n+1)} = 2^n]

이다. [eqn: b_n = a_n overn(n+1)]이라 하면

[eqn: b_n+1 - b_n = box{`` 2^n``}] ([eqn: n ge2])

이고 [eqn: b_2 =0]이므로

[eqn: b_n][eqn: = b_2 + sum_k=2^n-1 (b_k+1 -b_k )]
[eqn: = sum_k=2^n-1 2^k]
[eqn: = { 4 (2^n-2 -1)} over { 2-1}]
[eqn: = box{``2^n -4 ``}]

이다.

∴ [eqn: f(n) = 2^n (n^2 +3n +2 )]
[eqn: g(n) =2^n]
[eqn: h(n) = 2^n -4]

∴ [eqn: f(4) overg(5) +h(6)][eqn: = { 2^4 cdot 30} over { 2^5} + (2^6 -4 )][eqn: =75]

주어진 식에 의하여

[eqn: a_n -2sum_k=1^n-1 `a_k over k =2^n (n^2 -n+2)``(n ge2)]

이다. 따라서 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+1 -a_n - 2over n a_n =]

㈎

이므로

[eqn: a_n+1 - n+2over n a_n =]

㈎

이다. [eqn: b_n = a_n over{n(n+1)}]이라 하면

[eqn: b_n+1 -b_n =]

㈏

[eqn: `(n ge2)]

이고, [eqn: b_2 =0]이므로

[eqn: b_n =]

㈐

[eqn: `(n ge2)]

이다.

[eqn: vdots]

위의 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n),~g(n),~h(n)]이라 할 때, [eqn: f(4)over g(5) +h(6)]의 값은? [4점]

① [eqn: 65]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 75]	④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 85]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]에서 길이가 [eqn: 2]인 대각선의 교점을 [eqn: rmO]라 하자. 그림과 같이 꼭짓점 [eqn: rmA,] [eqn: rmB,] [eqn: rmC,] [eqn: rmD,] [eqn: rmE,] [eqn: rmF]를 중심으로 하여 점 [eqn: rmO]를 시계 방향으로 [eqn: 60°]만큼 회전시키면서 호를 그린 다음, 이들 호의 길이를 이등분하는 점을 각각 [eqn: rmA_1 ,] [eqn: rmB_1 ,] [eqn: rmC_1 ,] [eqn: rmD_1 ,] [eqn: rmE_1 ,] [eqn: rmF_1]이라 하자.
정육각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1]에서 꼭짓점 [eqn: rmA_1 ,] [eqn: rmB_1 ,] [eqn: rmC_1 ,] [eqn: rmD_1 ,] [eqn: rmE_1 ,] [eqn: rmF_1]을 중심으로 하여 점 [eqn: rmO]를 시계 방향으로 [eqn: 60°]만큼 회전시키면서 호를 그린 다음, 이들 호의 길이를 이등분하는 점을 각각 [eqn: rmA_2 ,] [eqn: rmB_2 ,] [eqn: rmC_2 ,] [eqn: rmD_2 ,] [eqn: rmE_2 ,] [eqn: rmF_2]라 하자.
정육각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2 E_2 F_2]에서 꼭짓점 [eqn: rmA_2 ,] [eqn: rmB_2 ,] [eqn: rmC_2 ,] [eqn: rmD_2 ,] [eqn: rmE_2 ,] [eqn: rmF_2]를 중심으로 하여 점 [eqn: rmO]를 시계 방향으로 [eqn: 60°]만큼 회전시키면서 호를 그린 다음, 이들 호의 길이를 이등분하는 점을 각각 [eqn: rmA_3 ,] [eqn: rmB_3 ,] [eqn: rmC_3 ,] [eqn: rmD_3 ,] [eqn: rmE_3 ,] [eqn: rmF_3]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 정육각형 [eqn: {rmA}_n {rmB}_n {rmC}_n {rmD}_n {rmE}_n {rmF}_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^inf `S_n]의 값은? [4점]

④

[eqn: rm F_1]이 호 [eqn: rm OA]를 이등분하므로

[eqn: bar{rm OF_1}]은 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각이 [eqn: 30DEG]인 부채꼴의 현의 길이이다.

위 그림에서

[eqn: {bar{rm OF_1} }^2][eqn: = LEFT ( 1 over2 RIGHT )^2 + LEFT ( 1- sqrt { 3} over2 RIGHT )^2][eqn: = 2- sqrt { 3}]

[eqn: bar{rm F_1 E_1} = bar{rm OF_1}]이므로

[eqn: S _{1} =6 TIMES {sqrt {3}} over {4} TIMES (2- sqrt {3} )= {3 sqrt {3}} over {2} (2- sqrt {3} )]이다.

정육각형 [eqn: rm ABCDEF]에서 정육각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1]를 만드는 과정을 반복하고

정육각형 [eqn: rm ABCDEF]와 정육각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1]의 넓이의 비가

[eqn: {bar{rmAF}}^2 : {bar{rmA_1 F_1}}^2 =][eqn: 1: 2- sqrt { 3}]이므로

수열 [eqn: left{S_n right}]은 공비가 [eqn: 2- sqrt { 3}]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf S_n][eqn: = {{3 sqrt {3}} over {2} (2- sqrt {3} )} over {1-(2- sqrt {3} )}][eqn: = { 9-3 sqrt { 3} } over { 4}]

① [eqn: {7-3sqrt3}over4]	② [eqn: {7-2sqrt3}over4]	③ [eqn: {9-4sqrt3}over4]

④ [eqn: {9-3sqrt3}over4]	⑤ [eqn: {9-2sqrt3}over4]

두 곡선 [eqn: y=x^3 ,~y=`-x^3 +2x]의 교점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점을 [eqn: rmA]라 하고, 두 곡선 [eqn: y=x^3 ,~y=`-x^3 +2x]와 직선 [eqn: x=k``]
[eqn: (0<k<1)]의 교점을 각각 [eqn: rmB,~C]라 하자. 사각형 [eqn: rmOBAC]의 넓이가 최대가 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

⑤

[eqn: x^3 = -x^3 +2x]에서 [eqn: x (x-1 )(x+1)=0]이므로 점 [eqn: rm A]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1]이다.

점 [eqn: rm O]와 점 [eqn: rm A]에서 직선 [eqn: x=k]에 이르는 거리를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하면

(사각형 [eqn: rm OBAC]의 넓이)

[eqn: =](△[eqn: rm OBC]의 넓이)[eqn: +](△[eqn: rm ABC]의 넓이)

[eqn: = 1 over2 bar{rm BC} times a + 1 over2 bar{rm BC} times b]

[eqn: = 1 over2 bar{rm BC}] (∵ [eqn: a+b =1])

[eqn: = 1 over2 left{(-k^3 +2k )- k^3 right}]

[eqn: = -k^3 +k] ([eqn: 0<k <1])

[eqn: f(k)= - k^3 +k]([eqn: 0<k <1])라 할 때,

[eqn: f`'(k) = -3k^2 +1]이고

[eqn: f`'(k) =0]에서 [eqn: k = sqrt { 3} over{ 3}]이다.

[eqn: k]	[eqn: 0]	⋯	[eqn: sqrt { 3} over{ 3}]	⋯	[eqn: 1]
[eqn: f`'(k)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(k)]		↗	극대	↘

위의 증감표에 의하여 [eqn: f(k)]는 [eqn: k = sqrt { 3} over{ 3}]일 때, 극대이자 최대이다.

따라서 구하는 [eqn: k]의 값은 [eqn: sqrt { 3} over{ 3}]이다.

[4점]

① [eqn: 1over3]	② [eqn: sqrt3 over4]	③ [eqn: sqrt2 over3]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: sqrt3 over3]

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x]의 정수 부분을 [eqn: f(x)]라 할 때,
[eqn: sum_k=1^10 `f(2^k )+sum_k=2^1024 `f(`log_2 `k)]의 값은? [4점]

⑤

[eqn: sum_k=1^10 f (2^k ) = sum_k=1^10 2^k][eqn: = { 2 (2^10 -1)} over { 2-1}][eqn: =2046]

[eqn: 2^n le k <2^n+1]일 때, [eqn: n le log`_2 `k < n+1]이므로 [eqn: f LEFT ( log`_2 `k RIGHT )=n]이다.

이때, [eqn: f LEFT ( log`_2 `k RIGHT )=n]인 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 2^n+1 -2^n = 2^n]이다.

[eqn: 2 =2^1], [eqn: 1024 = 2^10]이므로

[eqn: sum_k=2^1024 f LEFT ( log`_2 `k RIGHT )][eqn: = sum_n=1^9 n cdot2^n + 10]

[eqn: S][eqn: = sum_n=1^9 n cdot 2^n][eqn: = 1cdot2 + 2 cdot2^2 + 3 cdot2^3 + cdots + 9 cdot2^9] ⋯⋯ ㉠

이라 하면

[eqn: 2S][eqn: = sum_n=1^9 n cdot 2^n+1][eqn: = 1cdot2^2 + 2 cdot2^3 + 3 cdot2^4 + cdots + 9 cdot2^10] ⋯⋯ ㉡

㉠[eqn: -]㉡에서 [eqn: -S = sum_n=1^9 2^n - 9cdot2^10]

[eqn: S]	[eqn: =]	[eqn: 1cdot2 + 2 cdot2^2 + 3 cdot2^3 + cdots + 9 cdot2^9]
[eqn: -][eqn: 2S]	[eqn: =]			[eqn: 1cdot2^2 + 2 cdot2^3 + 3 cdot2^4 + cdots + 9 cdot2^10]
[eqn: -S]	[eqn: =]		[eqn: 2+2^2 +2^3 + cdots + 2^9 -9 cdot2^10]

∴ [eqn: S][eqn: = 9cdot2^10 - sum_n=1^9 2^n]
[eqn: = 9 cdot2^10 - { 2(2^9 -1 )} over { 2-1}]
[eqn: = 8 cdot2^10 +2]
[eqn: =8194]

∴ [eqn: sum_k=2^1024 f LEFT ( log`_2 `k RIGHT )][eqn: =8194+10 =8204]

∴ [eqn: sum_k=1^10 f (2^k ) + sum_k=2^1024 f LEFT ( log`_2 `k RIGHT )][eqn: =2046 +8204][eqn: =10250]

① [eqn: 9850]	② [eqn: 9950]	③ [eqn: 10050]

④ [eqn: 10150]	⑤ [eqn: 10250]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S`(n)=left{1,~2,~3,~cdots,~n right}]이라 하자. 두 조건
[eqn: A`cupB`cupC=S`(n),~A`capB=phi]
을 만족시키도록 세 집합 [eqn: A,~B,~C``]를 정하는 방법의 수를 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: sum_n=1^inf `1over a_n]의 값은? [4점]

②

집합 [eqn: S(n )]의 각 원소가 위 벤다이어그램의 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]의 위치 중 어느 하나에 속하게 될 때, 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]가 주어진 조건을 만족시킨다.

따라서 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]를 정하는 방법의 수 [eqn: a_n = 5^n]이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf 1 overa_n][eqn: = sum_n=1^inf 1 over5^n][eqn: = { 1 over5} over { 1- 1 over5}][eqn: = 1 over4]

① [eqn: 1over5]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 2over5]	④ [eqn: 3over5]	⑤ [eqn: 2over3]

단답형

다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬을 [eqn: A`]라 하자. 행렬 [eqn: A`]의 성분 중에서 [eqn: 1]과 [eqn: 0]의 개수를 각각 [eqn: a,~b]라 할 때, [eqn: b-a]의 값을 구하여라. [3점]

52

그래프의 꼭짓점의 개수가 [eqn: 10]개이므로 행렬 [eqn: A]는 [eqn: 10][eqn: times][eqn: 10]정사각행렬이다.

그래프의 변의 개수가 [eqn: 12]개 이므로

행렬 [eqn: A]의 성분 중 [eqn: 1]인 것의 개수 [eqn: a = 2 times 12 =24]이고

행렬 [eqn: A]의 성분 중 [eqn: 0]인 것의 개수 [eqn: b = 10^2 -24 =76]이다.

∴ [eqn: b-a][eqn: =52]

로그방정식
[eqn: log_2 (3x^2 +7x)=1+log_2 (x+1)]
의 해는 [eqn: x= q over p]이다. [eqn: p^2 +q^2]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

10

[eqn: log`_2 `(3x^2 +7x )]가 정의되어야 하므로

[eqn: x < - 7 over3] 또는 [eqn: x >0] ⋯⋯ ㉠

[eqn: log`_2 `(x+1)]가 정의되어야 하므로

[eqn: x > -1] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: x >0]이다.

[eqn: log`_2 `(3x^2 +7x ) = 1+ log`_2 `(x+1)]에서

[eqn: log`_2 `(3x^2 +7x ) = log`_2 `2(x+1)]

[eqn: 3x^2 +7x = 2(x +1)]

[eqn: (3x-1 )(x+2)=0]

∴ [eqn: x = 1 over3] (∵ [eqn: x>0])

∴ [eqn: p =3], [eqn: q=1]

∴ [eqn: p^2 +q^2 = 10]

방정식 [eqn: x+3y+3z=32]를 만족시키는 자연수 [eqn: x,~y,~z]의 순서쌍 [eqn: (x,~y,~z)]의 개수를 구하여라. [3점]

45

[eqn: 3 (y+z ) =32-x]

[eqn: 3(y+z )]가 [eqn: 3]의 배수이므로 [eqn: 32 -x]도 [eqn: 3]의 배수이어야 한다.

[eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 자연수이므로

[eqn: 32-x =][eqn: 6], [eqn: 9], [eqn: 12], [eqn: 15], ⋯ , [eqn: 30]

이고 이때,

[eqn: x =26], [eqn: 23], [eqn: 20], ⋯, [eqn: 2]

[eqn: y+z = 2], [eqn: 3], [eqn: 4], ⋯, [eqn: 10]이다.

[eqn: y= y' +1], [eqn: z = z' +1]이라 하면

[eqn: y'+z' = 0], [eqn: 1], [eqn: 2], ⋯, [eqn: 8]

이고 순서쌍 [eqn: (y ' , ``z ' )]을 정하는 방법의 가짓수는

[eqn: rm `_2 H_0 + `_2 H_1 + `_2 H_2 + cdots + `_2 H_8]

[eqn: =rm `_1 C_0 + `_2 C_1 + `_3 C_2 + cdots + `_9 C_8]

[eqn: =rm `_1 C_0 + `_2 C_1 + `_3 C_2 + cdots + `_9 C_8]

[eqn: =rm `_1 C_0 + `_2 C_1 + `_3 C_1 + cdots + `_9 C_1]

[eqn: = 1+2+3+cdots +9]

[eqn: = { 9cdot10} over { 2}][eqn: =45]

이다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 [eqn: 45]개다.

함수 [eqn: f(x)=x^3 +2x^2 -3x+4]가 있다. 등식
[eqn: int_-2^2 `f(x)`dx=f(-a)+f(a)]
를 만족시키는 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 3a^2]의 값을 구하여라. [3점]

14

[eqn: f(x)+f(-x) = 4x^2 +8]이므로

[eqn: int_-2^2 f(x)dx = f(-a)+f(a)]에서

[eqn: int_0^2 4(x^2 +2 )dx = 4 (a^2 +2 )]

[eqn: left[ x^3 over3 + 2x right]_0^2 = (a^2 +2 )]

∴ [eqn: 3a^2 = 14]

[참고]

[eqn: int_-a^a f(x)dx = int_0^a left{f(x)+f(-x) right}dx]

함수 [eqn: f(x)=3x^2 +2x+1]에 대하여
[eqn: lim_n->inf `4over n left{f`left(1+ 1over2n right)+f`left(1+ 2over2n right)+f`left(1+ 3over2n right)+`cdots`+f`left(1+ n over2n right)right}]
의 값을 구하여라. [4점]

33

[eqn: lim_n->inf 4 overn sum_k=1^n f LEFT ( 1 + k over2n RIGHT )]

[eqn: = 8 times int_1^{3 over2} f(x) dx]

[eqn: = 8 times int_1^{3 over2} (3x^2 +2x+1)dx]

[eqn: = 8 times left[ x^3 +x^2 +x matrix{it#it} right]_1^{3 over2}]

[eqn: = (27 + 18 + 12 )- 24]

[eqn: =33]

책상 위에 있는 [eqn: 7]개의 동전 중 [eqn: 3]개는 앞면, [eqn: 4]개는 뒷면이 나와 있다. 이 중 임의로 [eqn: 3]개의 동전을 택하여 뒤집어 놓았을 때, [eqn: 7]개의 동전 중 앞면이 나온 동전의 개수를 확률변수 [eqn: X`]라 하자. 확률변수 [eqn: 7X`]의 평균을 구하여라. [4점]

24

뒤집은 [eqn: 3]개의 동전 중 앞면인 것의 개수를 [eqn: a]([eqn: =0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3])라 하자.

ⅰ) [eqn: a =0]일 때, [eqn: X = 6]이고
이때의 확률은 [eqn: {`_3 {rmC}_0 times `_4 {rmC}_3} over { `_7{rmC}_3} = {4 } over { 35}]이다.

ⅱ) [eqn: a =1]일 때, [eqn: X=4]이고
이때의 확률은 [eqn: {`_3 {rmC}_1 times `_4 {rmC}_2} over { `_7{rmC}_3} = {18 } over { 35}]이다.

ⅲ) [eqn: a =2]일 때, [eqn: X=2]이고
이때의 확률은 [eqn: {`_3 {rmC}_2 times `_4 {rmC}_1} over { `_7{rmC}_3} = {12 } over { 35}]이다.

ⅳ) [eqn: a =3]일 때, [eqn: X=0]이고
이때의 확률은 [eqn: {`_3 {rmC}_3 times `_4 {rmC}_0} over { `_7{rmC}_3} = {1 } over { 35}]이다.

ⅰ)~ⅳ)에 의하여 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	합계
[eqn: {rmP}(X)]	[eqn: {1 } over { 35}]	[eqn: {12 } over { 35}]	[eqn: {18 } over { 35}]	[eqn: {4 } over { 35}]	[eqn: 1]

∴ [eqn: {rmE}(X)][eqn: = { 24+72+24} over { 35} = 24 over7]

∴ [eqn: {rmE}(7X)][eqn: =24]

함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

29

조건 (가), (나)에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: y]축과 직선 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이다.

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음 그림과 같이 [eqn: 2]를 주기로 같은 모양이 반복된다.

∴ [eqn: int_-n ^n f(x)dx]

[eqn: =n times int_-1^1 (x^2 +1 )dx][eqn: =2n times int_0^1 (x^2 +1 )dx]
[eqn: =2n times left[ x^3 over3 +x right]_0^1][eqn: = 8 over3 n]

∴ [eqn: sum_k=1^n k a_k = 8 over3 n]

따라서 [eqn: n ge2]일 때,

[eqn: n a_n][eqn: = sum_k=1^n k a_k - sum_k=1^n-1 k a_k][eqn: = 8 over3]

∴ [eqn: a_7 = 1 over7 times 8 over3 = 8 over21]

∴ [eqn: p=21], [eqn: q=8]

∴ [eqn: p+q =29]

㈎ [eqn: 0le x le1]에서 [eqn: f(x)=x^2 +1]이다.

㈏ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]이다.

㈐ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(1-x)=f(1+x)]이다.

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 +2a_2 +3a_3 +`cdots`+na_n =int_-n^n `f(x)`dx]
[eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]일 때, [eqn: a_7 = q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

첫째항이 [eqn: 20]이고 공차가 [eqn: -3]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 수열 [eqn: left{b_n right}]을
[eqn: b _{n} =a _{1} -a _{2} +a _{3} -a _{4} +` CDOTS `+(-1) ^{n+1} a _{n} ``(n=1,~2,~3,~ CDOTS )]
이라 하자. [eqn: sum_k=1^20 `b_k]의 값을 구하여라. [4점]

230

수열 [eqn: left{a_n right}]이 첫째항이 [eqn: 20]이고 공차가 [eqn: -3]인 등차수열이므로

[eqn: b_2k][eqn: = (a_1 - a_2 )+ (a_3 -a_4 ) + cdots +(a_2k-1 -a_2k )]
[eqn: =3+3+ cdots +3]
[eqn: = 3k]

[eqn: b_2k-1][eqn: = a_1 +(-a_2 +a_3 ) + (-a_4 +a_5 ) + cdots +(-a_2k-2 + a_2k-1 )]
[eqn: =20+(-3)+(-3) + cdots +(-3)]
[eqn: =23 - 3k]

∴ [eqn: sum_k=1^20 b_k][eqn: = sum_k=1^10 b_2k-1 + sum_k=1^10 b_2k]
[eqn: = sum_k=1^10 (b_2k-1 +b_2k )]
[eqn: = sum_k=1^10 23]
[eqn: =230]

[eqn: x]	[eqn: log``x]
[eqn: 2.1]	[eqn: 0.3222]
[eqn: 2.2]	[eqn: 0.3424]
[eqn: 3.1]	[eqn: 0.4914]
[eqn: 3.2]	[eqn: 0.5051]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: log``n]의 정수 부분과 소수 부분을 각각 [eqn: f(n),] [eqn: g(n)]이라 하자. 좌표평면 위의 점 [eqn: {rmP}_n (f(n),~g(n))]이 연립부등식
[eqn: cases{`y ge 1over3 x#`0le y le 1over2}`]
의 영역에 속하도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수를 오른쪽 상용로그표를 이용하여 구하여라. [4점]

13

연립부등식 [eqn: cases{ ````&y ge 1 over3 x #&0 le y le 1 over2]의 영역은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

[eqn: n]이 자연수이므로 [eqn: f(n)]은 음이 아닌 정수이다.

∴ [eqn: f(n) =0] 또는 [eqn: f(n) = 1]

ⅰ) [eqn: f(n)=0]일 때, [eqn: 0 le g(n) le 1 over2]이므로
[eqn: 0 le f(n)+g(n) le 1 over2]
[eqn: 0 le log`n le 1 over2] ⋯⋯ ㉠
상용로그표에 의하여 [eqn: log`3. 1 < 1 over2 < log`3.2]이므로
㉠을 만족시키는 자연수 [eqn: n =1], [eqn: 2], [eqn: 3]이다.

ⅱ) [eqn: f(n) =1]일 때, [eqn: 1 over3 le g(n) le 1 over2]이므로
[eqn: 1+ 1 over3 le f(n)+g(n) le 1+ 1 over2]
[eqn: 1+ 1 over3 le log`n le 1+ 1 over2] ⋯⋯ ㉡
상용로그표에 의하여
[eqn: 1+ log`2.1 < 1 + 1 over3 < 1 + log`2. 2],
[eqn: 1+log`3. 1 <1+ 1 over2 <1+ log`3.2]이므로 즉,
[eqn: log`21 < 1+ 1 over3 < log ``22],
[eqn: log`31 <1+ 1 over2 <log`32]이므로
㉡을 만족시키는 자연수 [eqn: n][eqn: = 22], [eqn: 23], ⋯ , [eqn: 31]이다.

ⅰ), ⅱ)에서 구하는 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 3 + 10 =13]이다.

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2014년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설