◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

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수 학 영 역

‘가’형

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2014학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: log_2 (4sqrt2 -sqrt10 )-log_2 (4-sqrt5 )]의 값은? [2점]

②

[eqn: log`_2 `(4 sqrt { 2}- sqrt { 10 } ) - log`_2 `(4 - sqrt { 5 } )]

[eqn: = log`_2 ` { 4 sqrt { 2}- sqrt { 10} } over { 4- sqrt { 5} }]

[eqn: = log`_2 ` sqrt { 2}]

[eqn: = 1 over2]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 3over4]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5over4]

[eqn: lim_x->1 `{ln`x}over{x^3 -1}]의 값은? [2점]

①

[eqn: f (x)= ln `x]라 할 때, [eqn: f`'(x) = 1 overx]이므로

[eqn: lim_x->1 { ln`x} over { x^3 -1}]

[eqn: = lim_x->1 { ln`x} over { x-1} cdot 1 over{x^2 +x+1}]

[eqn: = lim_x->1 { f(x)-f(1)} over { x-1} cdot 1 over{x^2 +x+1}]

[eqn: = f`'(1) cdot 1 over3]

[eqn: = 1 over3]

[다른 풀이]

[eqn: lim_x->1 { ln`x} over { x^3 -1}]

[eqn: = lim_x->1 { ln`x} over { x-1} cdot 1 over{x^2 +x+1}]

[eqn: = lim_t->0 { ln `(1+t)} over {t} cdot lim_x->1 1 over{x^2 +x+1}]

[eqn: = 1 cdot 1 over3][eqn: = 1 over3]

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: 2]

두 벡터 [eqn: veca ,~vecb]에 대하여 [eqn: |`veca`|=2,~|`vecb`|=3,~|`3veca -2vecb`|=6]일 때, 내적 [eqn: veca ⦁vecb]의 값은? [2점]

③

[eqn: left|` 3 veca -2 vecb` right|^2]

[eqn: =(3 veca -2 vecb ) cdot (3 veca -2 vecb )]

[eqn: = 9 left|`veca`right|^2 -12 veca cdot vecb +4 left|`vecb `right|^2]

[eqn: = 9cdot4 -12 veca cdot vecb +4cdot9]

[eqn: =36]

∴ [eqn: veca cdot vecb =3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 1008,~1233]과 같이 각 자리의 숫자의 합이 [eqn: 9]인 네 자리의 자연수의 개수는? [3점]

①

네 자리 자연수의 각 자리의 숫자를 천의 자리부터 차례로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 하면 구하는 자연수의 개수는

[eqn: a+b+c+d =9]이고 [eqn: a!=0]을 만족시키는 음이 아닌 정수의 순서쌍 [eqn: (a , ``b, ``c, ``d)]의 개수와 같다.

[eqn: a+b+c+d =9]를 만족시키는 순서쌍의 개수는

[eqn: `_4 rmH_9 = `_12 rmC_9 = `_12 rmC_3 = { 12cdot11 cdot10} over { 3cdot2cdot1} =220]이다.

이중 [eqn: a=0]인 순서쌍의 개수는 [eqn: b+c+d =9]를 만족시키는 순서쌍의 개수와 같으므로

[eqn: `_3 rmH_9 = `_11 rmC_9 = `_11 rmC_2 = { 11 cdot10} over {2cdot1} =55]이다.

따라서 구하는 자연수의 개수는 [eqn: 220 - 55 =165]이다.

① [eqn: 165]	② [eqn: 170]	③ [eqn: 175]	④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 185]

주머니 속에 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5]의 수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 5]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼내어 적힌 수를 확인하고 다시 집어넣는 시행을 한다. 이와 같은 시행을 [eqn: 25]회 반복할 때, 꺼낸 [eqn: 3]개의 공에 적힌 수들 중 두 수의 합이 나머지 한 수와 같은 경우가 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X`]라 하자. 확률변수 [eqn: X``^2]의 평균 [eqn: {rmE}(X``^2 )]의 값은? [3점]

③

주머니에서 꺼낸 [eqn: 3]개의 공에 적힌 수들 중 두 수의 합이 나머지 한 수와 같은 경우는

세 수가 ([eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]) ([eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 4]), ([eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 5]), ([eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5])인 경우이다.

꺼낸 세 수가 위와 같을 확률은 [eqn: { 4} over { `_5 {rmC}_3} = 2 over5]이므로

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {rm B} LEFT ( 25 , `` 2 over5 RIGHT )]를 따른다.

∴ [eqn: {rmE}(X) = 25 times 2 over5 = 10],
[eqn: {rmV}(X) = 25 times 2 over5 times 3 over5 =6]

∴ [eqn: {rmE}(X^2 )][eqn: = {rmV}(X)+ left{ {rmE}(X) right}^2][eqn: = 6+ 10^2 = 106]

① [eqn: 102]	② [eqn: 104]	③ [eqn: 106]

④ [eqn: 108]	⑤ [eqn: 110]

[eqn: 0<alpha<beta< piover2]인 두 수 [eqn: alpha,~beta]가
[eqn: sin`alpha`sin`beta = {sqrt3 +1}over4 ,~cos`alpha`cos`beta= {sqrt3 -1}over4]
을 만족시킬 때, [eqn: cos(3alpha+beta)]의 값은? [3점]

②

[eqn: 0 <alpha <beta < pi over2]이므로

[eqn: 0 <alpha +beta < pi], [eqn: 0<beta - alpha < pi over2]이다.

[eqn: cos (alpha+beta)][eqn: =cosalpha cos beta - sin alpha sin beta][eqn: = - 1 over2]이고

[eqn: cos (beta-alpha )][eqn: =cosalpha cos beta + sin alpha sin beta][eqn: = sqrt {3 } over2]이므로

[eqn: alpha+beta = 2 over3 pi], [eqn: beta -alpha = pi over6]

∴ [eqn: alpha][eqn: = pi over4], [eqn: beta=][eqn: 5 over12 pi]

∴ [eqn: cos (3alpha +beta )][eqn: = cos 7 over6 pi][eqn: = - cos pi over6][eqn: = - sqrt { 3} over2]

① [eqn: -1]	② [eqn: - sqrt3 over2]	③ [eqn: - sqrt2 over2]	④ [eqn: - 1over2]	⑤ [eqn: 0]

[7∼8] 두 연속함수 [eqn: f(x),~g(x)]에 대하여 두 수열 [eqn: left{a_n right},~left{b_n right}]을 다음과 같이 정의하자.
[eqn: a_n =int_0^n `f(x)`dx,~b_n =int_n-1^n `g(x)`dx``(n=1,~2,~3,~cdots)]
다음 두 물음에 답하여라.

[eqn: f(x)=sqrtx ,~g(x)=f(x)+1]일 때, [eqn: a_3 +b_4]의 값은? [3점]

⑤

[eqn: a_3][eqn: = int_0^3 sqrt { x}dx][eqn: = left[ 2 over3 x sqrt { x} right]_0^3 = 2 sqrt { 3}]

[eqn: b_4][eqn: = int_3^4 ( sqrt { x}+1 )dx][eqn: = left[ 2 over3 x sqrt { x}+x right]_3^4][eqn: = 19 over3 -2 sqrt { 3}]

∴ [eqn: a_3 +b_4 = 19 over3]

① [eqn: 5]	② [eqn: 16over3]	③ [eqn: 17over3]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 19over3]

[eqn: f(x)=g(x)]이고 [eqn: b_n =2n+3]일 때, [eqn: a_10]의 값은? [3점]

④

[eqn: a_n -a_n-1][eqn: = int_0^n f(x)dx - int_0^n-1 f(x)dx][eqn: =int_n-1^n f(x)dx]

이므로 [eqn: f(x)=g(x)]일 때, [eqn: a_1 =b_1]이고 [eqn: a_n - a_n-1 = b_n]이 성립한다.

∴ [eqn: a_10][eqn: = a_1 + sum_k=1^9 (a_k+1 - a_k )]
[eqn: =b_1 + sum_k=1^9 b_k+1][eqn: =sum_k=1^10 b_k][eqn: = sum_k=1^10 (2k+3 )] (∵ [eqn: b_n =2n+3])
[eqn: = { 10 (5+23)} over { 2}][eqn: =140]

① [eqn: 110]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 130]

④ [eqn: 140]	⑤ [eqn: 150]

모든 실수 [eqn: x]에서 미분가능하고 역함수가 존재하는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: lim_x->1 ``{f(x)-2}over x-1 = 1over2 ,~lim_x->2 ``{f(x)-3}over x-2 =4]
가 성립한다. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,
[eqn: lim_x->3 ``{g(g(x))-1}over x-3]의 값은? [3점]

②

[eqn: lim_x->1 { f(x)-2} over { x-1}= 1 over2]에서 [eqn: f(1)=2], [eqn: f`'(1) = 1 over2]이다.

∴ [eqn: g(2)=1], [eqn: g`'(2) = 1 over{f`'(1)} = 2]

[eqn: lim_x->2 { f(x)-3} over { x-2}=4]에서 [eqn: f(2)=3], [eqn: f`'(2) =4]이다.

∴ [eqn: g(3)=2], [eqn: g`'(3) = 1 over{f`'(2)} = 1 over4]

[eqn: h(x)= g(g(x))]라 하면

[eqn: h`'(x)= g`'(g(x)) g`'(x)]이고

[eqn: h(3)= g(g(3))= g(2) =1]이므로

[eqn: lim_x->3 { g(g(x))-1} over { x-3}]

[eqn: =lim_x->3 { h(x)-h(3)} over { x-3}]

[eqn: = h`'(3)]

[eqn: = g`'(g(3)) g`'(3)]

[eqn: = g`'(2) g`'(3)]

[eqn: = 2 times 1 over4 = 1 over2]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

그림과 같이 곡선
[eqn: y=sin`piover2 x`(0le x le2)]와 직선 [eqn: y=k`(0<k<1)]가 있다. 곡선 [eqn: y=sin`piover2 x]와 직선 [eqn: y=k,~y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_1 ,] 곡선 [eqn: y=sin`piover2 x]와 직선 [eqn: y=k]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. [eqn: S_2 =2S_1]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [3점]

④

곡선 [eqn: y= sin pi over2 x]는 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이다.

곡선 [eqn: y=sin pi over2 x]와 직선 [eqn: y=k]의 교점을 그림과 같이 [eqn: alpha], [eqn: 2-alpha]로 놓을 수 있다.

[eqn: S_1 =][eqn: int_0^alpha LEFT ( k- sin pi over2 x RIGHT ) dx]

[eqn: S_2][eqn: = int_alpha^2-alpha LEFT ( sin pi over2 x - k RIGHT )dx]
[eqn: = 2 int_alpha^ 1 LEFT ( sin pi over2 x -k RIGHT )dx]

[eqn: S_2 = 2 S_1]이므로

[eqn: int_0^alpha LEFT ( k- sin pi over2 x RIGHT ) dx][eqn: = int_alpha^ 1 LEFT ( sin pi over2 x -k RIGHT )dx]

∴ [eqn: int_0^alpha LEFT ( k- sin pi over2 x RIGHT ) dx + int_alpha^ 1 LEFT (k- sin pi over2 x RIGHT )dx]

[eqn: =int_0^1 LEFT ( k- sin pi over2 x RIGHT ) dx][eqn: =0]

∴ [eqn: k][eqn: = int_0^1 LEFT ( sin pi over2 x RIGHT ) dx]
[eqn: =left[ - 2 overpi ` cos pi over2 x right]_0^1]
[eqn: = 2 overpi]

① [eqn: 1over2pi]	② [eqn: 1over pi]	③ [eqn: 3over2pi]	④ [eqn: 2over pi]	⑤ [eqn: 5over2 pi]

[eqn: z]	[eqn: \P it( 0≤Z≤z)]
[eqn: 1.00] [eqn: 1.25] [eqn: 1.50] [eqn: 1.75] [eqn: 2.00]	[eqn: 0.3413] [eqn: 0.3944] [eqn: 0.4332] [eqn: 0.4599] [eqn: 0.4772]

수직선 위의 원점에 위치한 점 [eqn: rmA]가 있다. 주사위 [eqn: 1]개를 던질 때 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오면 점 [eqn: rmA]를 양의 방향으로 [eqn: 3]만큼 이동하고, 그 이외의 눈이 나오면 점 [eqn: rmA]를 음의 방향으로 [eqn: 2]만큼 이동하는 시행을 한다. 이와 같은 시행을 [eqn: 72]회 반복할 때, 점 [eqn: rmA]의 좌표를 확률변수 [eqn: X`]라 하자. 확률 [eqn: {rmP}(X ge11)]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

②

[eqn: 72]회의 시행 중 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나온 횟수를 [eqn: Y]라 하면

그 외의 눈이 나오는 횟수는 [eqn: 72-Y]이므로

[eqn: X = 3Y -2(72 -Y) = 5Y-144]이다.

[eqn: X ge 11]에서

[eqn: 5Y -144 ge 11]

∴ [eqn: Y ge 31]

확률변수 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: {rm B}left(72 , ``1 over3 right)]를 따른다.

[eqn: {rm E}(Y)][eqn: = 72 times 1 over3 = 24], [eqn: {rm V}(Y)][eqn: = 72 times 1 over3 times 2 over3 =4^2]이고

[eqn: 72]는 충분히 큰 수이므로 확률변수 [eqn: Y]는 근사적으로

정규분포 [eqn: {rm N}(24 , ``4^2 )]을 따른다.

∴ [eqn: {rm P}(X ge 11)][eqn: ={rm P}(Y ge 31 )]
[eqn: = {rm P}left( Z ge { 31-24 } over{ 4 }right)]
[eqn: = {rm P}(Z ge 1.75)]
[eqn: = 0.5 - {rm P}(0 le Z le 1.75)]
[eqn: =0.5 - 0.4599]
[eqn: =0.0401]

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0401]	③ [eqn: 0.0668]

④ [eqn: 0.1056]	⑤ [eqn: 0.1587]

두 이차정사각행렬 [eqn: A,~B`]가
[eqn: A^2 -A=O,~A-B=E`]
를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: O`]는 영행렬이고, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

⑤

ㄱ. [eqn: A^2 - A =O]에서 [eqn: A(A-E)=O] ⋯⋯ ㉠
[eqn: A-B = E]에서 [eqn: A-E = B] ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: AB =O] (참)

ㄴ. [eqn: A]의 역행렬이 존재한다고 가정하면
[eqn: A^2 - A =O]에서
[eqn: A^-1 (A^2 -A) = A-E =O]이다.
이는 [eqn: A!=E]라는 것에 모순된다.
따라서 [eqn: A]의 역행렬이 존재하지 않는다. (참)

ㄷ. [eqn: A-B =E]에서 [eqn: A = E-B]
[eqn: AB = B-B^2], [eqn: BA = B-B^2]이므로
[eqn: AB= BA = O] (∵ ㄱ)
∴ [eqn: (A+B)^2][eqn: = (A-B)^2 =E]
∴ [eqn: (A+B)^-1 =A+B] (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[다른 풀이]

ㄷ. [eqn: A-B =E]에서 [eqn: A+B = 2A-E]
[eqn: A^2 - A =O]에서
[eqn: A^2 - A + 1 over4 E = 1 over4 E]
[eqn: LEFT ( A - 1 over2 E RIGHT )^2 = 1 over4 E]
[eqn: LEFT ( 2A -E RIGHT )^2 =E]
∴ [eqn: (2A-E)^-1 = 2A-E]
따라서 [eqn: A+B]의 역행렬이 존재한다. (참)

	보기
ㄱ. [eqn: AB=O`] ㄴ. [eqn: A!=E`]이면 [eqn: A`]의 역행렬은 존재하지 않는다. ㄷ. [eqn: A+B`]의 역행렬이 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

곡선 [eqn: x^2 +(y-1)^2 =1`(y ge1)]과 두 직선 [eqn: x=`-1,~x=1] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는? [3점]

④

[eqn: x^2 +(y-1)^2 =1]에서

[eqn: y = 1+ sqrt { 1-x^2}] (∵ [eqn: y ge1])

이므로 구하는 회전체의 부피 [eqn: V]는

[eqn: V][eqn: =][eqn: pi int_-1^1 y^2 dx]
[eqn: = pi int_-1^1 (1+ sqrt { 1-x^2} )^2 dx]
[eqn: = pi int_-1^1 (2-x^2 +2 sqrt { 1-x^2} )dx]
[eqn: = pi int_-1^1 (2-x^2 )dx +2pi int_-1^1 (sqrt { 1-x^2} )dx]
[eqn: = 2pi left[ 2x - x^3 over3 right] _0^1 + 2 pi cdot pi over2]
[eqn: = pi^2 + 10 over3 pi]

[eqn: left(matrix{it#it}]∵ [eqn: int_0^1 (sqrt { 1-x^2} )dx]는 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 반원의 넓이와 같다.[eqn: matrix{it#it}right)]

① [eqn: 1over2 pi^2 + 5over3 pi]	② [eqn: 1over2 pi^2 + 10over3 pi]	③ [eqn: pi^2 + 5over3 pi]

④ [eqn: pi^2 + 10over3 pi]	⑤ [eqn: 2pi^2 + 5over3 pi]

두 함수 [eqn: f(x)=e^x (x^2 +ax+b),~g(x)=e^-x (x^2 +ax+b)]는 각각 [eqn: x=`-3,~x=2]에서 극댓값을 갖는다. 두 함수 [eqn: f(x),~g(x)]의 극솟값을 각각 [eqn: m_1 ,~m_2]라 할 때, [eqn: m_1 +m_2]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.) [4점]

②

[eqn: f`'(x)][eqn: = e^x (x^2 +ax+b ) + e^x (2x +a )]
[eqn: =e^x left{x^2 +(a+2)x +a+b right}]

[eqn: g`'(x)][eqn: = -e^-x (x^2 +ax+b ) +e^-x (2x +a)]
[eqn: =-e^-x left{x^2 +(a-2)x -a+b right}]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 각각 [eqn: x=-3], [eqn: x=2]에서 극값을 가지므로

[eqn: f`'(-3)=0], [eqn: g`'(2)=0]이다.

[eqn: f`'(-3)][eqn: =e^-3 left{9 -3(a+2) +a+b right}=0]

∴ [eqn: 2a -b =3] ⋯⋯ ㉠

[eqn: g`'(2)][eqn: =-e^-2 left{4 +2(a-2) -a+b right}=0]

∴ [eqn: a +b = 0] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=1], [eqn: b=-1]

[eqn: f`'(x) = e^x (x^2 +3x )= e^x cdot x (x+3)]

이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다.

∴ [eqn: m_1][eqn: =f(0)][eqn: = e^0 cdot (0+0 -1) =-1]

[eqn: g`'(x)][eqn: =-e^-x (x^2 -x-2 ) = -e^-x (x-2)(x+1)]

이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극댓값을 갖는다.

∴ [eqn: m_2][eqn: = g(-1 )][eqn: = e^1 (1-1-1) =-e]

∴ [eqn: m_1 +m_2 = -e-1]

① [eqn: -2e]	② [eqn: -e-1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: e-1]	⑤ [eqn: 2e]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고 중심각의 크기가 [eqn: piover3]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]에서 선분 [eqn: rmOA]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하자. 점 [eqn: rmP]는 두 선분 [eqn: rmOM]과 [eqn: rmBM] 위를 움직이고, 점 [eqn: rmQ]는 호 [eqn: rmAB] 위를 움직인다. [eqn: rm vecOR =vecOP +vecOQ]를 만족시키는 점 [eqn: rmR]가 나타내는 영역 전체의 넓이는? [4점]

③

점 [eqn: rm P]가 선분 [eqn: rm OM] 위를 움직일 때, 점 [eqn: rm R]이 존재하는 영역은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

점 [eqn: rm P]가 선분 [eqn: rm BM] 위를 움직일 때, 점 [eqn: rm R]이 존재하는 영역은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

따라서 점 [eqn: rm R]이 나타내는 영역은 다음 그림과 같다.

⇨

위 영역의 넓이는 가로의 길이가 [eqn: 2]이고 세로의 길이가 [eqn: sqrt { 3}]인 직사각형의 넓이와 같다.

따라서 구하는 넓이는 [eqn: 2sqrt { 3}]이다.

① [eqn: sqrt3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2sqrt3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 3sqrt3]

첫째항이 [eqn: -8]인 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여
[eqn: a_n+1 -2sum_k=1^n `a_k over k =2^n+1 (n^2 +n+2)``(n ge1)]
이 성립한다. 다음은 수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항을 구하는 과정의 일부이다.

주어진 식에 의하여

[eqn: a_n -2sum_k=1^n-1 `a_k over k =2^n (n^2 -n+2)``(n ge2)]

이다. 따라서 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n+1 -a_n - 2over n a_n =]

㈎

이므로

[eqn: a_n+1 - n+2over n a_n =]

㈎

이다. [eqn: b_n = a_n over{n(n+1)}]이라 하면

[eqn: b_n+1 -b_n =]

㈏

[eqn: `(n ge2)]

이고, [eqn: b_2 =0]이므로

[eqn: b_n =]

㈐

[eqn: `(n ge2)]

이다.

[eqn: vdots]

위의 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n),~g(n),~h(n)]이라 할 때, [eqn: f(4)over g(5) +h(6)]의 값은? [4점]

③

[eqn: a_n+1 - 2 sum_k=1^n a_k overk = 2^n+1 (n^2 +n +2 )] ([eqn: n ge1]) ⋯⋯ ㉠

㉠의 [eqn: n]대신 [eqn: n-1]을 대입하면

[eqn: a_n - 2 sum_k=1^n-1 a_k overk = 2^n (n^2 -n +2 )] ⋯⋯ ㉡

이다.

㉠[eqn: -]㉡에 의하여

[eqn: a_n+1 - a_n - 2 over n a_n = box{``2^n ( n^2 +3n +2)``}] ( [eqn: n ge2])

이므로 [eqn: a_n+1 - { n+2} over { n}a_n =][eqn: 2^n (n+1)(n+2)]

즉, [eqn: a_n+1 over {(n+1)(n+2)} - a_n over{n (n+1)} = 2^n]

이다. [eqn: b_n = a_n overn(n+1)]이라 하면

[eqn: b_n+1 - b_n = box{`` 2^n``}] ([eqn: n ge2])

이고 [eqn: b_2 =0]이므로

[eqn: b_n][eqn: = b_2 + sum_k=2^n-1 (b_k+1 -b_k )][eqn: = sum_k=2^n-1 2^k][eqn: = { 4 (2^n-2 -1)} over { 2-1}]
[eqn: = box{``2^n -4 ``}]

이다.

∴ [eqn: f(n) = 2^n (n^2 +3n +2 )]
[eqn: g(n) =2^n]
[eqn: h(n) = 2^n -4]

∴ [eqn: f(4) overg(5) +h(6)][eqn: = { 2^4 cdot 30} over { 2^5} + (2^6 -4 )][eqn: =75]

① [eqn: 65]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 75]

④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 85]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]에서 길이가 [eqn: 2]인 대각선의 교점을 [eqn: rmO]라 하자. 그림과 같이 꼭짓점 [eqn: rmA,] [eqn: rmB,] [eqn: rmC,] [eqn: rmD,] [eqn: rmE,] [eqn: rmF]를 중심으로 하여 점 [eqn: rmO]를 시계 방향으로 [eqn: 60°]만큼 회전시키면서 호를 그린 다음, 이들 호의 길이를 이등분하는 점을 각각 [eqn: rmA_1 ,] [eqn: rmB_1 ,] [eqn: rmC_1 ,] [eqn: rmD_1 ,] [eqn: rmE_1 ,] [eqn: rmF_1]이라 하자.
정육각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1]에서 꼭짓점 [eqn: rmA_1 ,] [eqn: rmB_1 ,] [eqn: rmC_1 ,] [eqn: rmD_1 ,] [eqn: rmE_1 ,] [eqn: rmF_1]을 중심으로 하여 점 [eqn: rmO]를 시계 방향으로 [eqn: 60°]만큼 회전시키면서 호를 그린 다음, 이들 호의 길이를 이등분하는 점을 각각 [eqn: rmA_2 ,] [eqn: rmB_2 ,] [eqn: rmC_2 ,] [eqn: rmD_2 ,] [eqn: rmE_2 ,] [eqn: rmF_2]라 하자.
정육각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2 E_2 F_2]에서 꼭짓점 [eqn: rmA_2 ,] [eqn: rmB_2 ,] [eqn: rmC_2 ,] [eqn: rmD_2 ,] [eqn: rmE_2 ,] [eqn: rmF_2]를 중심으로 하여 점 [eqn: rmO]를 시계 방향으로 [eqn: 60°]만큼 회전시키면서 호를 그린 다음, 이들 호의 길이를 이등분하는 점을 각각 [eqn: rmA_3 ,] [eqn: rmB_3 ,] [eqn: rmC_3 ,] [eqn: rmD_3 ,] [eqn: rmE_3 ,] [eqn: rmF_3]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 정육각형 [eqn: {rmA}_n {rmB}_n {rmC}_n {rmD}_n {rmE}_n {rmF}_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^inf `S_n]의 값은? [4점]

④

[eqn: rm F_1]이 호 [eqn: rm OA]를 이등분하므로

[eqn: bar{rm OF_1}]은 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각이 [eqn: 30DEG]인 부채꼴의 현의 길이이다.

위 그림에서

[eqn: {bar{rm OF_1} }^2][eqn: = LEFT ( 1 over2 RIGHT )^2 + LEFT ( 1- sqrt { 3} over2 RIGHT )^2][eqn: = 2- sqrt { 3}]

[eqn: bar{rm F_1 E_1} = bar{rm OF_1}]이므로

[eqn: S _{1} =6 TIMES {sqrt {3}} over {4} TIMES (2- sqrt {3} )= {3 sqrt {3}} over {2} (2- sqrt {3} )]이다.

정육각형 [eqn: rm ABCDEF]에서 정육각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1]를 만드는 과정을 반복하고

정육각형 [eqn: rm ABCDEF]와 정육각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1]의 넓이의 비가

[eqn: {bar{rmAF}}^2 : {bar{rmA_1 F_1}}^2 =][eqn: 1: 2- sqrt { 3}]이므로

수열 [eqn: left{S_n right}]은 공비가 [eqn: 2- sqrt { 3}]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf S_n][eqn: = {{3 sqrt {3}} over {2} (2- sqrt {3} )} over {1-(2- sqrt {3} )}][eqn: = { 9-3 sqrt { 3} } over { 4}]

① [eqn: {7-3sqrt3}over4]	② [eqn: {7-2sqrt3}over4]	③ [eqn: {9-4sqrt3}over4]

④ [eqn: {9-3sqrt3}over4]	⑤ [eqn: {9-2sqrt3}over4]

[eqn: 0le x le pi]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= {cos`x}over{sin`x+2}]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_1 ,] 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=pi]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. [eqn: S_1 +S_2]의 값은? [4점]

③

[eqn: f(x)=0]에서 [eqn: x = pi over2] (∵ [eqn: 0 le x le pi])

따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: LEFT ( pi over2 , ``0 RIGHT )]에서 [eqn: x]축과 만난다.

이때, [eqn: f(x) +f LEFT ( pi - x RIGHT )=0]이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는

점 [eqn: LEFT ( pi over2 , ``0 RIGHT )]에 대하여 대칭이다.

∴ [eqn: S_1 =S_2]

∴ [eqn: S_1 + S_2][eqn: = 2 int_0^{pi over2} { cosx} over { sin x +2}dx]

[eqn: t = {sinx +2}]라 하면

[eqn: x=0]일 때, [eqn: t=2], [eqn: x= pi over2]일 때, [eqn: t=3]이고

[eqn: dt = cosx dx]이므로

[eqn: 2 int_0^{pi over2} { cosx} over { sin x +2}dx][eqn: = 2 int_2^3 { 1} over { t}dt]
[eqn: = 2 left[ ln `x matrix{it#it} right]_2^3][eqn: = 2 LEFT ( ln `3 - ln `2 RIGHT )][eqn: = 2 ln` 3 over2]

① [eqn: ln`3over2]	② [eqn: ln`4over3]	③ [eqn: 2`ln`3over2]

④ [eqn: 2`ln`4over3]	⑤ [eqn: 4`ln`3over2]

그림과 같이 평면 [eqn: alpha]와 한 점 [eqn: rmA]에서 만나는 정삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 두 점 [eqn: rmB,~C]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영을 각각 [eqn: rmB',~C']이라 하자. [eqn: rm barAB' =sqrt5 ,~bar{B'C'}=2,~bar{C'A}=sqrt3]일 때, 정삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는? [4점]

④

정삼각형의 한 변의 길이를 [eqn: x]라 하면

[eqn: rm barAB' = sqrt { 5}]이므로 직각삼각형 [eqn: rm BAB']에서 [eqn: rm barBB' = itsqrt { x^2 - 5}]

[eqn: rm barC'A][eqn: =sqrt { 3}]이므로 직각삼각형 [eqn: rm CAC']에서 [eqn: rm barCC'][eqn: = sqrt { x^2 - 3}]

점 [eqn: rm B]에서 선분 [eqn: rm CC']에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 할 때,

[eqn: rm bar{ BH} = barB'C' =2]이므로 직각삼각형 [eqn: rm CBH]에서 [eqn: rm barCH][eqn: =sqrt { x^2 -4}]

[eqn: rm barCC' =bar CH + barHC']이고 [eqn: rm barHC = barBB']이므로

[eqn: sqrt { x^2 - 3}][eqn: = itsqrt { x^2 - 5} +sqrt { x^2 -4}]

[eqn: sqrt { x^2 -4} =t]([eqn: ge0])이라 하면

[eqn: sqrt { t^2 +1} = sqrt { t^2 -1} +t]

[eqn: sqrt { t^2 +1 } - sqrt { t^2 -1} =t]

위 식의 양변을 제곱하면

[eqn: 2t^2 -2 sqrt { t^4 -1} = t^2]

[eqn: t^2 = 2 sqrt { t^4 -1}]

위 식의 양변을 제곱하면

[eqn: t^4 = 4t^4 -4]

∴ [eqn: t^4 = 4 over3]

∴ [eqn: t^2 = x^2 -4 = {2 } over sqrt { 3}]

∴ [eqn: x^2 = { 2+4 sqrt { 3} } over { sqrt { 3} }]

따라서 구하는 넓이는 [eqn: sqrt { 3} over4 x^2 = { 1+2 sqrt { 3} } over { 2}]

① [eqn: sqrt3]	② [eqn: {2+sqrt3}over2]	③ [eqn: {3+sqrt3}over2]

④ [eqn: {1+2sqrt3}over2]	⑤ [eqn: {3+2sqrt3}over2]

함수 [eqn: f(x)=x`sin`x]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

⑤

[eqn: f(x)=x sin x]에서

[eqn: f`'(x)= sin x +x cos x], [eqn: f`''(x)][eqn: = 2 cos x -x sin x]

ㄱ. [eqn: f`'(0)=0], [eqn: f`''(0)=2 >0]이므로
[eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다. (참)

ㄴ. 원점에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선을 생각하자.
곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t , ``t sin t )]에서의 접선의 방정식은
[eqn: y = (sin t +t cos t )(x-t) + t sin t]
위 직선이 원점을 자날 때,
[eqn: 0 = (sin t +t cos t )(0-t) + t sin t]
[eqn: t^2 cos t =0]
∴ [eqn: t=0] 또는 [eqn: cos t =0]
[eqn: t =2n pi + pi over2]([eqn: n]은 정수)일 때, [eqn: f`'(x) = 1]이므로
곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT (2n pi + pi over2 , ``2n pi + pi over2 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=x]이다.
따라서 직선 [eqn: y=x]는 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접한다. (참)

ㄷ. [eqn: f`' LEFT ( pi over2 RIGHT )=1>0]이고 [eqn: f`' LEFT (3 over4 pi RIGHT )][eqn: = sqrt { 2} over2 LEFT ( 1- 3 over4 pi RIGHT )<0]이므로
[eqn: f`(a)=0]이고 [eqn: f`'(x)]의 부호가 [eqn: x=a]를 기준으로 양에서 음으로 바뀌도록 하는 [eqn: a]가 구간 [eqn: LEFT ( pi over2 , ``3 over4 pi RIGHT )]에 존재한다.
따라서 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 극댓값을 갖는 [eqn: a]가 구간 [eqn: LEFT ( pi over2 , ``3 over4 pi RIGHT )]에 존재한다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[다른 풀이]

ㄴ. 직선 [eqn: y=x]와 곡선 [eqn: y=f(x)]와 점 [eqn: (t, ``t)]에서 접할 때,
[eqn: f(t) = t]이고 [eqn: f`'(t) =1]이다.
[eqn: f(t)=t]에서 [eqn: t sin t =t]
∴ [eqn: t=0] 또는 [eqn: t = 2n pi + pi over2] ([eqn: n]은 정수)
[eqn: t=0]일 때, [eqn: f`'(t)=0]이고
[eqn: t = 2n pi + pi over2]일 때, [eqn: f`'(t)=1]이므로
함수 [eqn: y= f(x)]는 직선 [eqn: y=x]와 점 [eqn: LEFT ( 2n pi + pi over2 , ``2n pi + pi over2 RIGHT )]에서 접한다. (참)

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다.

ㄴ. 직선 [eqn: y=x]는 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접한다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 극댓값을 갖는 [eqn: a]가 구간
[eqn: left( piover2 ,~ 3over4 pi right)]에 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: 0le x<1]일 때, [eqn: f(x)=e^x -1]이다.

㈏ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+1)=`-f(x)+e-1]이다.

[eqn: int_0^3 `f(x)`dx]의 값은? [4점]

①

조건 (가), (나)에 의하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

위 그림에서 [eqn: int_1^3 f(x)dx]는 가로와 세로의 길이가 각각 [eqn: 1], [eqn: e-1]인 직사각형의 넓이와 같다.

∴ [eqn: int_0^3 f(x)dx]

[eqn: = int_0^1 (e^x -1)dx +(e-1)times1]

[eqn: = left[ e^x -x right]_0^1 + e-1]

[eqn: =2e-3]

① [eqn: 2e-3]	② [eqn: 2e-1]	③ [eqn: 2e+1]

④ [eqn: 2e+3]	⑤ [eqn: 2e+5]

단답형

좌표평면에서 [eqn: x]축에 대한 대칭변환을 [eqn: f], 원점을 중심으로 [eqn: 60°]만큼 회전하는 회전변환을 [eqn: g]라 하자 일차변환 [eqn: (g circ f)^-1]을 나타내는 행렬을 [eqn: pmatrix{`1over2 ~&~```a`#`b~&- 1over2`}]이라 할 때, [eqn: 100(a^2 +b^2 )]의 값을 구하여라. [3점]

150

변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬은 [eqn: pmatrix{``{1}``&`````````{0}``#``{0}``&``{-1}``}]

변환 [eqn: g]를 나타내는 행렬은
[eqn: pmatrix{``{cos60}``&``{-sin60DEG}``#``{sin60DEG}``&`````````{cos60DEG}``}][eqn: = pmatrix{``{1 over2 }``&``{-root3 over2}``#``{ root3 over2}``&`````````{1 over2}``}]

변환 [eqn: g circ f]를 나타내는 행렬은
[eqn: pmatrix{``{1 over2 }``&``{-root3 over2}``#``{ root3 over2}``&`````````{1 over2}``} pmatrix{``{1}``&`````````{0}``#``{0}``&``{-1}``}][eqn: = pmatrix{``{1 over2 }``&`````````{root3 over2}``#``{ root3 over2}``&``{- 1 over2}``}]

따라서 변환 [eqn: (g circ f)^-1]를 나타내는 행렬은

[eqn: { pmatrix{``{1 over2 }``&`````````{root3 over2}``#``{ root3 over2}``&``{- 1 over2}``}}^-1][eqn: = pmatrix{``{1 over2 }``&`````````{root3 over2}``#``{root3 over2}``&``{- 1 over2}``}]

∴ [eqn: a = b = sqrt { 3}over2]

∴ [eqn: 100 (a^2 +b^2 ) = 100 LEFT ( 3 over4 + 3 over4 RIGHT )=150]

[다른 풀이]

[eqn: ( g circ f )^-1 = f^-1 circ g^-1]

[eqn: f^-1][eqn: =f]이므로 변환 [eqn: f^-1]을 나타내는 행렬은 [eqn: pmatrix{``{1}``&`````````{0}``#``{0}``&``{-1}``}]

변환 [eqn: g^-1]는 원점을 중심으로 [eqn: -60DEG]만큼 회전하는 회전변환이므로 변환 [eqn: g^-1]을 나타내는 행렬은

[eqn: pmatrix{``{cos(-60DEG)}``&``{-sin(-60DEG)}``#``{sin(-60DEG)}``&`````````{cos(-60DEG)}``}][eqn: = pmatrix{`````````{1 over2 }``&``{root3 over2}``#``{- root3 over2}``&``{1 over2}``}]

따라서 변환 [eqn: ( g circ f )^-1]를 나타내는 행렬은

[eqn: pmatrix{``{1}``&`````````{0}``#``{0}``&``{-1}``} pmatrix{`````````{1 over2 }``&``{root3 over2}``#``{- root3 over2}``&``{1 over2}``}][eqn: = pmatrix{``{1 over2 }``&`````````{root3 over2}``#``{root3 over2}``&``{- 1 over2}``}]

∴ [eqn: a = b = sqrt { 3}over2]

∴ [eqn: 100 (a^2 +b^2 ) = 100 LEFT ( 3 over4 + 3 over4 RIGHT )=150]

표는 어느 학교의 두 동아리 [eqn: rmA,~B]의 남학생 수와 여학생 수를 나타낸 것이다.

구분 동아리	남학생(명)	여학생(명)	합계(명)
[eqn: rmA]	[eqn: 8]	[eqn: 16]	[eqn: 24]
[eqn: rmB]	[eqn: 12]	[eqn: 12]	[eqn: 24]

다음은 여름방학이 지난 후 두 동아리 [eqn: rmA,~B]의 변동된 학생 수에 대한 설명이다.

㈎ 동아리 [eqn: rmA]에서는 남학생 [eqn: x]명이 새로 가입하여 동아리 [eqn: rmA]의 학생 중에서 남학생의 비율이 [eqn: y`%]가 되었다.

㈏ 동아리 [eqn: rmB]에서는 여학생 [eqn: x]명이 탈퇴하여 동아리 [eqn: rmB]의 학생 중에서 남학생의 비율이 [eqn: (y+25)`%]가 되었다.

[eqn: x+y]의 값을 구하여라. [3점]

58

조건 (가), (나)에 의하여

[eqn: y={ 8+x} over { 24+x} times 100]이고

[eqn: 12 over24-x times100 ={ 8+x} over { 24+x} times 100 +25]

즉, [eqn: 12 over24-x times4 ={ 8+x} over { 24+x} times4 +1]

위 식의 양변에 [eqn: (24-x)(24+x)]를 곱하면

[eqn: 48(24+x) = 4(8+x)(24-x)+ 24^2 -x^2]

[eqn: 5x^2 -16x -8cdot24 =0]

[eqn: (5x +24)(x-8)=0]

∴ [eqn: x=8]

∴ [eqn: y= { 16 } over { 32} times100 =50]

∴ [eqn: x+y =58]

한 모서리의 길이가 [eqn: 6sqrt6]인 정사면체 [eqn: rmABCD]에 대하여 등식
[eqn: rm vecPB +vecPC +vecPD =2vecPA]
를 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 있다. 삼각형 [eqn: rmBCD]의 무게중심을 [eqn: rmG]라 할 때, 선분 [eqn: rmPG]의 길이를 구하여라. [3점]

24

[eqn: rm vecPB +vecPC +vecPD =2 vecPA]

[eqn: rm 3 cdot { vecPB +vecPC +vecPD } over { 3} = 2 vecPA]

[eqn: rm 3 vecPG = 2 vecPA]

∴ [eqn: rm vecPG = 2 over3 vecPA]

∴ [eqn: bar{rm PG} = 2 times bar{rmAG}]

위 그림에서

[eqn: rm barAG][eqn: rm=sqrt { (6 sqrt { 6})^2 -(6 sqrt { 2})^2 }=12]

∴ [eqn: bar{rm PG} = 2 times bar{rmAG}][eqn: =24]

그림과 같이 타원 [eqn: x^2 over25 + y^2 over16 =1]의 두 초점을 각각 [eqn: rmF,~F']이라 하자. 타원 위의 한 점 [eqn: rmP]와 [eqn: x]축 위의 한 점 [eqn: rmQ]에 대하여
[eqn: rm barPF`:`barPF' =barQF`:`barQF' =2`:`3]일 때, [eqn: rm{barPQ}^2]의 값을 구하여라.
(단, 점 [eqn: rmQ]는 타원 외부의 점이다.) [3점]

192

타원의 정의에 의하여 [eqn: rm barPF + barPF' = 10]이고, [eqn: rm barPF : barPF' =2:3]이므로

[eqn: rm barPF =4], [eqn: rm barPF' =6]이다.

또한, [eqn: rm barQF : barQF' =2:3]에서 [eqn: rm barF'F : barFQ = 1:2]이고

타원의 정의에 의하여 [eqn: rm barF'F =2 times sqrt { 25-16}=6] 이므로 [eqn: rm barFQ = 12]

△[eqn: rm PF' F]는 이등변삼각형이므로

[eqn: angle rm PFF' = theta]라 하면 [eqn: cos theta = 2 over6 = 1 over3]

삼각형 [eqn: rm PFQ]에서 코사인정리에 의하여

[eqn: {bar{rm PQ}}^2][eqn: =][eqn: rm { barPF}^2 + {barFQ}^2 - 2 {barPF}cdot{barFQ} cos (pi -theta)]
[eqn: =4^2 +12^2 - 2 cdot4 cdot12 cdot LEFT ( - 1 over3 RIGHT )]
[eqn: =192]

지호와 영수는 가위바위보를 한 번 할 때마다 다음과 같은 규칙으로 사탕을 받는 게임을 한다.

㈎ 이긴 사람은 [eqn: 2]개의 사탕을 받고, 진 사람은 [eqn: 1]개의 사탕을 받는다.

㈏ 비긴 경우에는 두 사람 모두 [eqn: 1]개의 사탕을 받는다.

게임을 시작하고 나서 지호가 받은 사탕의 총 개수가 [eqn: 5]인 경우가 생길 확률은 [eqn: k over243]이다. 자연수 [eqn: k]의 값을 구하여라.
(단, 두 사람이 각각 가위, 바위, 보를 낼 확률은 같다.) [4점]

182

가위바위보를 한 번 할 때,

지호가 사탕을 [eqn: 2]개 받는 경우는 가위바위보에서 이긴 경우이므로 확률은 [eqn: 1 over3]이고

사탕을 [eqn: 1]개 받는 경우는 가위바위보에서 비기거나 지는 경우이므로 확률은 [eqn: 2 over3]이다.

게임에서 사탕을 [eqn: 2]번 받는 횟수를 [eqn: a], [eqn: 1]번 받는 횟수를 [eqn: b]라 할 때,

[eqn: 2a+b= 5]에서 [eqn: (a, ``b) = (2 , ``1)], [eqn: (1, ``3)], [eqn: (0, ``5)]이다.

ⅰ) [eqn: (a, ``b) = (2 , ``1)]인 경우 확률은
[eqn: `_3 rmC_2 LEFT ( 1 over3 RIGHT )^2 LEFT ( 2 over3 RIGHT ) = 2 over9]

ⅱ) [eqn: (a, ``b) = (1 , ``3)]인 경우 확률은
[eqn: `_4 rmC_1 LEFT ( 1 over3 RIGHT ) LEFT ( 2 over3 RIGHT )^3][eqn: = 32 over81]

ⅲ) [eqn: (a, ``b) = (0 , ``5)]인 경우 확률은
[eqn: `_5 rmC_0 LEFT ( 2 over3 RIGHT )^5 = 32 over243]

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 구하는 확률은

[eqn: 2 over9 + 32 over81 + 32 over243 = 182 over243]

[다른 풀이]

가위바위보를 한 번 할 때,

지호가 사탕을 [eqn: 2]개 받는 경우는 가위바위보에서 이긴 경우이므로 확률은 [eqn: 1 over3]이고

사탕을 [eqn: 1]개 받는 경우는 가위바위보에서 비기거나 지는 경우이므로 확률은 [eqn: 2 over3]이다.

지호가 받은 사탕의 총 개수가 [eqn: n]개인 경우가 생길 확률을 [eqn: a_n]이라 할 때,

지호가 받은 사탕의 총 개수가 [eqn: n+2]개인 경우는 사탕을 [eqn: n+1]개 가지고 있는 상태에서 가위바위보에서 비기거나 질 때, 또는 사탕을 [eqn: n]개 가지고 있는 상태에서 가위바위보에서 이기는 경우이므로 다음 점화식이 성립한다.

[eqn: a_n+2 = 1 over3 a_n + 2 over3 a_n+1]

[eqn: a_n+2 - a_n+1][eqn: = - 1 over3 (a_n+1 - a_n )]이므로

[eqn: left{a_n+1 -a_n right}]은 공비가 [eqn: - 1 over3]인 등비수열을 이룬다.

[eqn: a_1 = 2 over3], [eqn: a_2 = 1 over3 + LEFT ( 2 over3 RIGHT )^2 = 7 over9]이므로

[eqn: a_5][eqn: = a_1 + sum_k=1^4 left{a_k+1 -a_k right}][eqn: = 2 over3 + { 1 over9 left{ 1-LEFT (- 1 over3 RIGHT )^4 right}} over { 1- LEFT ( - 1 over3 RIGHT ) }][eqn: = { 182} over { 243}]

∴ [eqn: k=182]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원 위를 움직이는 점 [eqn: rmC]가 있다. 호 [eqn: rmBC]의 길이를 이등분하는 점을 [eqn: rmM]이라 하고, 두 점 [eqn: rmC,~M]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmD,~N]이라 하자. [eqn: rm angleCAB=theta]라 할 때, 사각형 [eqn: rmCDNM]의 넓이를 [eqn: S`(theta)]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} {} ` {S`( theta )} over {theta ^{3}} =a]일 때, [eqn: 16a]의 값을 구하여라.
(단, 점 [eqn: rmC]는 선분 [eqn: rmAB]의 양 끝점이 아니다.) [4점]

36

반원의 중심을 [eqn: rm O]라 하면

[eqn: angle rm COD = 2 theta], [eqn: rm angle MON = theta]이고

반지름의 길이가 [eqn: 1]이므로

[eqn: rm barCD = sin 2theta], [eqn: rm barMN = sin theta]

[eqn: rm barDN][eqn: = rm barON - barOD][eqn: = cos theta - cos 2theta]

∴ [eqn: S(theta)][eqn: rm= 1 over2 LEFT ( barCD + barMN RIGHT ) barDN]
[eqn: = 1 over2 (sin2 theta + sin theta ) (cos theta - cos 2theta )]
[eqn: ={(sin 2theta + sin theta )(cos^2 theta - cos ^2 2 theta )} over{2 (cos theta + cos 2theta )}]
[eqn: ={(sin 2theta + sin theta )(sin^2 2theta - sin ^2 theta )} over{2 (cos theta + cos 2theta )}]

∴ [eqn: lim_theta->+0 { S(theta)} over { theta^3}]

[eqn: =lim_theta->+0 LEFT ( { sin2theta} over {2theta }cdot 2 + { sin theta} over {theta } RIGHT )][eqn: LEFT { LEFT ( { sin 2theta} over {2theta } RIGHT )^2 cdot4 - LEFT ( { sin theta} over {theta } RIGHT )^2 RIGHT }][eqn: cdot 1 over{2(costheta +cos2theta )}]

[eqn: = (1cdot2 +1)( 1^2 cdot4 -1^2 ) cdot 1 over{2 (1+1)}][eqn: = { 9} over { 4}]

∴ [eqn: a = 9 over4]

∴ [eqn: 16a =36]

좌표공간에 여섯 개의 점[eqn: rmA(0,~0,~2),] [eqn: rmB(2,~0,~0),] [eqn: rmC(0,~2,~0),] [eqn: rmD(-2,~0,~0),] [eqn: rmE(0,``-2,~0),] [eqn: rmF(0,~0,``-2)]를 꼭짓점으로 하는 정팔면체 [eqn: rmABCDEF]가 있다. 이 정팔면체와 평면 [eqn: x+y+z=0]이 만나서 생기는 도형의 넓이를 [eqn: S`]라 할 때, [eqn: S^2]의 값을 구하여라.

27

주어진 정팔면체와 평면 [eqn: x+y+z =0]이

[eqn: xy]평면에서 만나는 점은 [eqn: rm A(-1 , ``1, ``0)], [eqn: rm B(1, ``-1, ``0)]

[eqn: yz]평면에서 만나는 점은 [eqn: rm C (0, ``-1, ``1)], [eqn: rm D(0, ``1, ``-1)]

[eqn: zx]평면에서 만나는 점은 [eqn: rm E(-1 , ``0, ``1)], [eqn: rm F(1, ``0, ``-1)]이다.

따라서 주어진 정팔면체와 평면 [eqn: x+y+z =0]이 만나서 생기는 도형은 육각형 [eqn: rm ADFBCE]이다.

점 [eqn: rm C], [eqn: rm D], [eqn: rm E], [eqn: rm F]를 [eqn: xy]평면에 정사영한 점을 각각 [eqn: rm C'], [eqn: rm D'], [eqn: rm E'], [eqn: rm F']라 하면 육각형 [eqn: rm AD'F'BC'E']의 넓이는 [eqn: 3]이다.

[eqn: xy]평면과 평면 [eqn: x+y+z=0]이 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면

[eqn: cos theta ={ (0, ``0, ``1)cdot(1, ``1, ``1 ) } over { 1cdot sqrt { 3} } = 1 over sqrt { 3}]이므로

[eqn: 3 = S cos theta = S over sqrt { 3}]

∴ [eqn: S = 3 sqrt { 3}]

∴ [eqn: S^2 =27]

[4점]

그림과 같이 좌표평면에서 세 점 [eqn: (4,~0),] [eqn: (-4,~0),] [eqn: (0,~2)]를 지나는 포물선이 있다. [eqn: -4<x<4]인 범위에서 포물선 위를 움직이는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 점 [eqn: rmP]를 중심으로 하고 [eqn: x]축에 접하는 원을 그린 다음, 반직선 [eqn: rmOP]와 이 원의 교점 중에서 원점 [eqn: rmO]로부터 더 멀리 있는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmQ]가 그리는 도형과 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=`-4,] [eqn: x=4]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는 [eqn: q over p pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

259

포물선의 방정식은 [eqn: y=2- { x^2} over { 8}]에서 [eqn: x^2 =-8(y-2)]이므로

포물선의 초점은 [eqn: rmO][eqn: (0, ``0)]이고 준선은 [eqn: y=4]이다.

점 [eqn: rm P][eqn: (x, ``y)]에서 준선 [eqn: y=4]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면

포물선의 정의에 의하여

[eqn: rm barOP = barPH][eqn: = 4-y]

점 [eqn: rm P]에서 [eqn: x]축에 이르는 거리가 [eqn: y]이므로 [eqn: rm barPQ =ity]

∴ [eqn: rm barOQ = barOP +barOQ][eqn: =(4-y)+y =4]

따라서 점 [eqn: rm Q]는 원점을 중심으로 하고 반지름이 [eqn: 4]인 반원 위에 존재한다.

따라서 구하는 부피는 반지름이 [eqn: 4]인 구의 부피

[eqn: 4 over3 pi times 4^3 = 256 over3 pi]이다.

∴ [eqn: p=3], [eqn: q=256]

∴ [eqn: p+q=259]

[eqn: x]	[eqn: log``x]
[eqn: 2.1]	[eqn: 0.3222]
[eqn: 2.2]	[eqn: 0.3424]
[eqn: 3.1]	[eqn: 0.4914]
[eqn: 3.2]	[eqn: 0.5051]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: log``n]의 지표와 가수를 각각 [eqn: f(n),] [eqn: g(n)]이라 하자. 좌표평면 위의 점 [eqn: {rmP}_n (f(n),~g(n))]이 연립부등식

13

연립부등식 [eqn: cases{ ````&y ge 1 over3 x #&0 le y le 1 over2]의 영역은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

[eqn: n]이 자연수이므로 [eqn: f(n)]은 음이 아닌 정수이다.

∴ [eqn: f(n) =0] 또는 [eqn: f(n) = 1]

ⅰ) [eqn: f(n)=0]일 때, [eqn: 0 le g(n) le 1 over2]이므로
[eqn: 0 le f(n)+g(n) le 1 over2]
[eqn: 0 le log`n le 1 over2] ⋯⋯ ㉠
상용로그표에 의하여 [eqn: log`3. 1 < 1 over2 < log`3.2]이므로
㉠을 만족시키는 자연수 [eqn: n =1], [eqn: 2], [eqn: 3]이다.

ⅱ) [eqn: f(n) =1]일 때, [eqn: 1 over3 le g(n) le 1 over2]이므로
[eqn: 1+ 1 over3 le f(n)+g(n) le 1+ 1 over2]
[eqn: 1+ 1 over3 le log`n le 1+ 1 over2] ⋯⋯ ㉡
상용로그표에 의하여
[eqn: 1+ log`2.1 < 1 + 1 over3 < 1 + log`2. 2],
[eqn: 1+log`3. 1 <1+ 1 over2 <1+ log`3.2]이므로 즉,
[eqn: log`21 < 1+ 1 over3 < log ``22],
[eqn: log`31 <1+ 1 over2 <log`32]이므로
㉡을 만족시키는 자연수 [eqn: n][eqn: = 22], [eqn: 23], ⋯ , [eqn: 31]이다.

ⅰ), ⅱ)에서 구하는 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 3 + 10 =13]이다.

[eqn: cases{`y ge 1over3 x#`0le y le 1over2}`]
의 영역에 속하도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수를 오른쪽 상용로그표를 이용하여 구하여라. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2014년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설