◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수 학 영 역

‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2013학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: root {6} of {9 ^{5}} TIMES 24 ^{- {2} over {3}}]의 값은? [2점]

②

[eqn: sqrt { 6} of{9^5} times 24^{- 2 over3}][eqn: = LEFT ( 3^10 RIGHT )^{1 over6} times LEFT ( 3 times 2^3 RIGHT )^{- 2 over3}]
[eqn: = 2^-2 times 3^{5 over3 - 2 over3}]
[eqn: = 3 over4]

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 3over2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

두 행렬 [eqn: A=pmatrix{`1~&3`#`3~&8`},~B=pmatrix{`2~&-1`#`3~&~```4`}]에 대하여 [eqn: A(X-B`)=B`]를 만족시키는 행렬 [eqn: X`]의 모든 성분의 합은? [2점]

①

행렬 [eqn: A]의 역행렬이 존재하므로

[eqn: A(X-B)=B]에서

[eqn: X][eqn: = A^-1 B+B][eqn: =(A^-1 +E) B]

[eqn: A^-1 = pmatrix{``{-8}``&`````````{3}``#`````````{3}``&``{-1}``}]이므로

[eqn: X][eqn: =left{ pmatrix{``{-8}``&`````````{3}``#`````````{3}``&``{-1}``} + pmatrix{``{1}``&``{0}``#``{0}``&``{1}``} right} pmatrix{``{2}``&``{-1}``#``{3}``&`````````{4}``}]
[eqn: = pmatrix{``{-7}``&``{3}``#`````````{3}``&``{0}``}pmatrix{``{2}``&``{-1}``#``{3}``&`````````{4}``}]
[eqn: =pmatrix{``{-5}``&`````````{19}``#`````````{6}``&``{-3}``}]

따라서 행렬 [eqn: X]의 모든 성분의 합은 [eqn: 17]이다.

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

[eqn: x,~y]에 대한 연립방정식 [eqn: pmatrix{`k-2~&3`#`1~&k`}pmatrix{`x`#`y`}=pmatrix{`-6`#`~~2`}]의 해가 존재하지 않도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은? [2점]

⑤

주어진 연립방정식의 해가 존재하지 않아야하므로

행렬 [eqn: pmatrix{``{k-2}``&``{3}``#``{1}``&``{k}``}]의 역행렬이 존재하지 않아야한다.

따라서 [eqn: (k-2)k -3= k^2 -2k-3=0]에서 [eqn: k=3 , ``-1]

[eqn: k=3]일 때, [eqn: pmatrix{``{1}``&``{3}``#``{1}``&``{3}``} pmatrix{``{x}``#``{y}``}= pmatrix{``{-6}``#`````````{2}``}]이므로 연립방정식의 해는 존재하지 않는다.

[eqn: k=-1]일 때, [eqn: pmatrix{``{-3}``&`````````{3}``#`````````{1}``&``{-1}``} pmatrix{``{x}``#``{y}``}= pmatrix{``{-6}``#`````````{2}``}]이므로 연립방정식의 해는 [eqn: x-y=2]를 만족하는 [eqn: x], 의 순서쌍으로 무수히 많다.

따라서 구하는 [eqn: k]의 값은 [eqn: 3]이다.

[다른 풀이]

연립방정식에서 두 일차식이 나타내는 직선이 평행하면 되므로

[eqn: k-2 over1 = 3 overk != -6 over2]

가 성립하면 된다.

[eqn: k-2 = 3 overk]에서 [eqn: k=3], [eqn: -1]이고

[eqn: k-2 !=-3]에서 [eqn: k!=-1]이므로

구하는 [eqn: k]의 값은 [eqn: 3]이다.

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: lim_x->0 ``{2left( 1over2 +x right)^4 -2left( 1over2 right)^4}over x]의 값은? [3점]

④

[eqn: f(x)= 2 LEFT ( 1 over2 +x RIGHT )^4]이라 하면 [eqn: f(0)= 2 LEFT ( 1 over2 RIGHT )^4]이므로

[eqn: lim_x->0 { 2 LEFT ( 1 over2 +x RIGHT )^4 - 2 LEFT ( 1 over2 RIGHT )^4 } over { x}][eqn: =f' LEFT ( 0 RIGHT )]

[eqn: f' (x)= 8 LEFT ( 1 over2 +x RIGHT )^3]이므로 [eqn: f'(0)=1]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 3over4]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3over2]

[eqn: z]	[eqn: \P it( 0≤Z≤z)]
[eqn: 0.5] [eqn: 1.0] [eqn: 1.5] [eqn: 2.0]	[eqn: 0.1915] [eqn: 0.3413] [eqn: 0.4332] [eqn: 0.4772]

정규분포 [eqn: rmN(50,~10^2 )]을 따르는 모집단에서 임의로 [eqn: 25]개의 표본을 뽑았을 때의 표본평균을 [eqn: barX`]라 하자. 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 [eqn: rmP it(48le barX le54)]의 값을 구한 것은?

④

모집단이 정규분포 [eqn: {rm N}(50 , ``10^2 )]을 따르므로

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: {rm N}(50 , ``2^2 )]을 따른다.

∴ [eqn: {rm P}(48 le bar{X``} le 54 )][eqn: = {rm P}(-1 le Z le 2)]
[eqn: = {rm P}(0 le Z le1) + {rm P}(0 le Z le 2)]
[eqn: =0.3413 + 0.4772]
[eqn: = 0.8185]

[3점]

① [eqn: 0.5328]	② [eqn: 0.6247]	③ [eqn: 0.7745]

④ [eqn: 0.8185]	⑤ [eqn: 0.9104]

어느 인터넷 동호회에서 한 종류의 사은품 [eqn: 10]개를 정회원 [eqn: 2]명, 준회원 [eqn: 2]명에게 모두 나누어주려고 한다. 정회원은 [eqn: 2]개 이상, 준회원은 [eqn: 1]개 이상을 받도록 나누어주는 방법의 수는?
(단, 사은품은 서로 구별하지 않는다.) [3점]

④

정회원을 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하고 준회원을 [eqn: rm C], [eqn: rm D]라 하자.

[eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]가 받는 사은품의 개수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 하면

구하는 방법의 수는

[eqn: a ge2], [eqn: b ge2], [eqn: a+b+c+d=10] ⋯⋯ ㉠

를 만족하는 자연수해의 개수와 같다.

[eqn: a+b+c+d=10]에서

[eqn: a'+2 =a], [eqn: b'+2 =b], [eqn: c'+1=c], [eqn: d' +1=d]

라 하면 ㉠을 만족하는 자연수해의 개수는

[eqn: a'+b'+c'+d' =4]를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: `_4 rm H_4][eqn: =`_7 rmC_4][eqn: =`_7 rmC_3][eqn: = { 7times6 times 5} over { 3 times2times1}= 35]

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

그림과 같이 [eqn: 0<a<b<1]인 두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 곡선
[eqn: y=a^x] 위의 두 점 [eqn: rmA,~B]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: b over4 ,~a]이고, 곡선
[eqn: y=b^x] 위의 두 점 [eqn: rmC,~D]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: b,~1]이다. 두 선분 [eqn: rmAC]와 [eqn: rmBD]가 모두 [eqn: x]축과 평행할 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값은? [3점]

③

점 [eqn: rm A]와 [eqn: rm C]의 [eqn: y]좌표가 일치하므로 [eqn: a^{b over4}= b^b]

∴ [eqn: a^{1 over4}=b] (∵ [eqn: b!=0]) ⋯⋯ ㉠

점 [eqn: rm B]와 [eqn: rmD]의 [eqn: y]좌표가 일치하므로

[eqn: a^a = b] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a^a = a^{1 over4}]

[eqn: a!=1]이므로 [eqn: a= 1 over4] ⋯⋯ ㉢

㉢을 ㉠에 대입하면 [eqn: b = LEFT ( 1 over4 RIGHT )^{1 over4} = 1 over sqrt { 2}]

∴ [eqn: a^2 +b^2][eqn: = LEFT ( 1 over4 RIGHT )^2 + LEFT ( 1 over sqrt { 2} RIGHT )^2][eqn: = 1 over16 + 1 over2][eqn: = 9 over16]

① [eqn: 7over16]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 9over16]	④ [eqn: 5over8]	⑤ [eqn: 11over16]

어느 지역에 서식하는 어떤 동물의 개체 수에 대한 변화를 조사한 결과, 지금으로부터 [eqn: t]년 후에 이 동물의 개체 수를 [eqn: N`]이라 하면 등식
[eqn: log``N=k+t`log``4over5] (단, [eqn: k]는 상수)
가 성립한다고 한다. 이 동물의 현재 개체 수가 [eqn: 5000]일 때, 개체 수가 처음으로 [eqn: 1000]보다 적어지는 때는 지금으로부터 [eqn: n]년 후이다. 자연수 [eqn: n]의 값은? (단, [eqn: log``2=0.3010]으로 계산한다.) [3점]

③

[eqn: t=0]일 때, 현재 개체 수가 [eqn: 5000]이므로

[eqn: log``5000 = k +0 cdot log`` 4 over5]

가 성립한다.

∴ [eqn: k = 3+ log``5]

[eqn: n]년 후 개체 수 [eqn: N]가 [eqn: 1000]보다 작을 때,

[eqn: log``N =][eqn: k + n log``4 over5 le log ``1000]에서

[eqn: 3+log``5 +n log``4 over5 le3]

[eqn: log``2 =0.3010]이므로

[eqn: log``5 = log``10 over2 = 1- log``2 =0.699]

[eqn: log``4 over5 =log``8 over10][eqn: = 3 log``2 -1][eqn: =-0.097]

따라서 [eqn: 0.699-0.097 times n le0]에서

[eqn: n ge 0.699 over0.097][eqn: =7. times times times times]

따라서 구하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 8]이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

그림은 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]초 [eqn: (0le t le10)]에서의 속도 [eqn: v(t)]를 나타낸 것이다. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]초에서의 위치를 [eqn: x(t)]라 할 때, [eqn: x(10)= 35over3]이다. 출발 후 [eqn: 10]초 동안 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는? (단, [eqn: k]는 양의 상수이고, 점선은 좌표축에 평행하다.) [3점]

①

[eqn: x(10)][eqn: = int_0^10 v(t)dt][eqn: = 1 over2 cdot8 cdot2k - 1 over2 cdot 2 cdotk =7k]

따라서 [eqn: 7k = 35 over3]에서 [eqn: k = 5 over3]

따라서 출발 후 [eqn: 10]초 동안 점 [eqn: rm P]가 움직인 거리는

[eqn: int_0^10 |`v(t)`|dt][eqn: =9k][eqn: =9 cdot 5 over3][eqn: =15]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

두 실수 [eqn: x,~y`(x>y)]가 [eqn: x+y=1,~xy=`-1]을 만족시킬 때, 수열 [eqn: left{a_n right}]을
[eqn: a_n =sum_k=1^n `x^n-k `y^k-1 ``(n=1,~2,~3,~cdots)]
으로 정의하자. 다음은 수열 [eqn: left{a_n right}]의 제 [eqn: n]항을 구하는 과정이다.

②

[eqn: (t-x)(t-y)= t^2 -(x+y)t+xy]이고

[eqn: x+y=1], [eqn: xy=-1] ⋯⋯ ㉠

이므로 [eqn: m][eqn: =xy][eqn: =-1]

[eqn: a_n][eqn: = {x^n-1 LEFT ( 1- LEFT ( y overx RIGHT )^n RIGHT ) } over { 1- y overx}][eqn: ={x^n -y^n} overx-y]

㉠에서

[eqn: (x-y)^2 = (x+y)^2 -4 xy =1^2 -4(-1)=5]

∴ [eqn: x-y = sqrt { 5}] (∵ [eqn: x>y])

∴ [eqn: a_n][eqn: = { box{``_`x^n -y^n``^`}} over { sqrt { 5} }]

∴ [eqn: f(n)][eqn: =x^n -y^n]

∴ [eqn: f(3)][eqn: =x^3 -y^3][eqn: = LEFT ( x-y RIGHT )^3 + 3xy(x-y)]

[eqn: =(sqrt { 5})^3 +3(-1)( sqrt { 5})][eqn: =2 sqrt { 5}]

∴ [eqn: m+left{f(3) right}^2 = -1 +(2 sqrt { 5}) ^2 =19]

[eqn: x+y=1,~xy=`-1]에서 두 실수 [eqn: x,~y]는 방정식

[eqn: t^2 -t+]

㈎

[eqn: =0]

의 두 근이다. 한편

[eqn: a_n =sum_k=1^n `x^n-k `y^k-1]

[eqn: =x^n-1 +x^n-2 `y+`cdots`+y^n-1][eqn: cdotscdots(＊)]

[eqn: (＊)]은 첫째항이 [eqn: x^n-1]이고 공비가 [eqn: y over x]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이므로

[eqn: a _{n} = {~~~ BOX{```(나)``} ~~~`} over {sqrt {5}}]

위의 과정에서 ㈎에 들어갈 수를 [eqn: m], ㈏에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: m+left{f(3)right}^2]의 값은? [3점]

① [eqn: 17]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 21]	④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 25]

수열 [eqn: left{a_n right}]을
[eqn: a_1 =20,~a_n+1 =a_n -2n+9``(n=1,~2,~3,~cdots)]
로 정의하자. [eqn: a_n]의 최댓값은? [3점]

③

[eqn: a_n][eqn: = a_1 + sum_k=1^n-1 LEFT ( a_k+1 -a_k RIGHT )]

[eqn: a_n+1 -a_n =-2n+9]이므로 [eqn: n ge5]일 때, [eqn: a_n+1 -a_n <0]이다.

따라서 [eqn: a_n]은 [eqn: n=5]일 때 최댓값을 갖는다.

∴ [eqn: a_5][eqn: = 20 + sum_k=1^4 LEFT ( -2k+9 RIGHT )][eqn: = 20 +(7+5+3+1 )][eqn: =36]

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]	④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

[eqn: log_25 (a-b)=log_9 `a=log_15 `b]를 만족시키는 두 양수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: b over a]의 값은? [3점]

②

[eqn: log`_25 ``(a-b)= log`_9 ``a = log`_15 ``b =k]라 하면

[eqn: a-b = 25^k][eqn: =5^2k] ⋯⋯ ㉠

[eqn: a = 9^k][eqn: =3^2k] ⋯⋯ ㉡

[eqn: b =15^k][eqn: =3^k cdot 5^k] ⋯⋯ ㉢

㉠[eqn: times]㉡[eqn: =]㉢[eqn: `^2]이 성립하므로

[eqn: (a-b)a=b^2]

즉, [eqn: b^2 +ab-a^2 =0]

[eqn: a>0]이므로 위 식의 양변을 [eqn: a^2]으로 나누면

[eqn: LEFT ( b overa RIGHT )^2 + LEFT ( b overa RIGHT )-1=0]

∴ [eqn: b overa = { -1+- sqrt { 5} } over { 2}]

그런데 [eqn: a >0], [eqn: b>0]이므로 [eqn: b overa >0]이다.

∴ [eqn: b overa = {- 1+ sqrt { 5} } over { 2}]

① [eqn: {sqrt5 -1}over3]	② [eqn: {sqrt5 -1}over2]	③ [eqn: {sqrt2 +sqrt5}over5]

④ [eqn: {sqrt2 +1}over4]	⑤ [eqn: {sqrt2 +1}over3]

그림과 같이 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 두 점 [eqn: (0,~0),~(3,~0)]에서 만날 때, 함수
[eqn: S`(x)=int_1^x `f(t)`dt]
의 극댓값과 극솟값을 각각 [eqn: M`,~m]이라 하자. [eqn: M-m=6]일 때, [eqn: lim_x->1 ``{S`(x)}over x-1]의 값은? [3점]

①

[eqn: S(x)= int_1 ^x f(t)dt]에서 [eqn: S``'(x)][eqn: =f(x)]

주어진 이차함수의 그래프에서 [eqn: f(x)]의 값이 [eqn: x=0]을 기준으로 양에서 음으로 바뀌므로 [eqn: S(x)]는 [eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는다.

또한, [eqn: f(x)]의 값이 [eqn: x=3]을 기준으로 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: S(x)]는 [eqn: x=3]에서 극솟값을 갖는다.

∴ [eqn: M= S(0)= int_1^0 f(t)dt]
[eqn: m= S(3)][eqn: = int_1^3 f(t)dt]

[eqn: M-m][eqn: =6]이므로

[eqn: M-m][eqn: = int_1^0 f(t)dt - int_1^3 f(t)dt][eqn: =- int_0^3 f(t)dt]

에서 [eqn: int_0^3 f(t)dt =-6]

이차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수를 [eqn: a]라 하면 [eqn: f(x)= ax(x-3)]이고

[eqn: int_0^3 f(x)dx][eqn: = - a over6 cdot3^3 = - 9a over2]이므로

[eqn: - 9a over2 =-6]에서 [eqn: a= 4 over3]이다.

∴ [eqn: f(x)= 4 over3 x (x-3)]

∴ [eqn: lim_x->1 { S(x)} over { x-1}][eqn: = S``'(1)] (∵ [eqn: S(1)=0])
[eqn: = f(1)][eqn: = 4 over3 cdot1 cdot (1-3)][eqn: = - 8 over3]

[참고]

[eqn: int_alpha^beta a (x-alpha)(x-beta)dx][eqn: = -{ a} over { 6} |`beta-alpha`|^3]

① [eqn: - 8over3]	② [eqn: - 7over3]	③ [eqn: -2]	④ [eqn: - 5over3]	⑤ [eqn: - 4over3]

모든 실수 [eqn: x]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=int_1^x (x^2 -t)`dt]에 대하여 직선 [eqn: y=6x-k]가 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접할 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

⑤

[eqn: f(x)][eqn: = int_1^x (x^2 -t)dt][eqn: = left[ x^2 t - 1 over2 t^2 right]_1^x]
[eqn: = x^2 (x-1) - 1 over2 (x^2 -1)]
[eqn: =x^3 - 3 over2 x^2 + 1 over2]

∴ [eqn: f`'(x)][eqn: =3x^2 -3x]

[eqn: f`'(x)=6]에서 [eqn: x^2 -x-2=0]

∴ [eqn: x=-1], [eqn: 2]

[eqn: f(-1)=-1 - 3 over2 + 1 over2 =-2]

[eqn: f(2)=8-6+ 1 over2 = 5 over2]

이므로 함수 [eqn: f(x)]에 접하는 기울기가 [eqn: 6]인 직선의 방정식은

[eqn: y=6(x+1)-2 = 6x +4] 또는

[eqn: y= 6(x-2)+ 5 over2 = 6x - 19 over2]

이다. 따라서 양수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 19 over2]이다.

[3점]

① [eqn: 11over2]	② [eqn: 13over2]	③ [eqn: 15over2]	④ [eqn: 17over2]	⑤ [eqn: 19over2]

두 함수 [eqn: f(x),~g(x)]에 대하여
[eqn: f(x)=2x+int_0^1 `left{f(t)+g(t)right}`dt]
[eqn: g(x)=3x^2 +int_0^1 `left{f(t)-g(t)right}`dt]
가 성립할 때, [eqn: f(1)+g(2)]의 값은? [4점]

②

[eqn: int_0^1 left{f(t)+g(t) right}dt = C_1], [eqn: int_0^1 left{f(t)-g(t) right}dt = C_2]라 하면

주어진 조건에 의해서 [eqn: f(x)=2x+C_1], [eqn: g(x)=3x^2 +C_2]

[eqn: f(x)+g(x)=3x^2 +2x +C_1 +C_2]이므로

[eqn: int_0^1 left{f(t)+g(t) right}dt]

[eqn: =int_0^1 left{3t^2 +2t +C_1 +C_2 right}dt]

[eqn: = left[ `t^3 +t^2 +(C_1 +C_2 )t `right]_0^1]

[eqn: =C_1 +C_2 +2][eqn: =C_1]

∴ [eqn: C_2 =-2]

[eqn: int_0^1 left{f(t)-g(t) right}dt]

[eqn: =int_0^1 left{3t^2 -2t +C_1 -C_2 right}dt]

[eqn: = left[ `t^3 -t^2 +(C_1 -C_2 )t `right]_0^1]

[eqn: =C_1 -C_2][eqn: =C_2]

∴ [eqn: C_1 = 2C_2 =-4]

∴ [eqn: f(x)=2x-4], [eqn: g(x)= 3x^2 -2]

∴ [eqn: f(1)+g(2)][eqn: =(-2)+(10)=8]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

③

ㄱ. 주어진 함수 [eqn: f(x)]의 그래프에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 연속이므로 함수 [eqn: f(x-1)]은 [eqn: x=0]에서 연속이다. (참)

ㄴ. [eqn: h(x)= f(x)f(-x)]라 하면
[eqn: h(1)= f(1)f(-1)=0]이고
[eqn: lim _{x -> 1+} {} h(x)][eqn: =][eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)f(-x)=(-1) CDOT 1=-1]
이므로 [eqn: lim _{x -> 1+} {} h(x) != h(1)]이다.
따라서 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=1]에서 불연속이다. (거짓)

ㄷ. 주어진 함수 [eqn: f(x)]의 그래프에서
[eqn: x -> 3+]일 때, [eqn: f(x) -> 1+]이고
[eqn: x -> 3-]일 때, [eqn: f(x) -> 1-]이며
[eqn: f(3)=1]이다.
따라서
[eqn: lim _{x -> 3+} {} f(f(x))][eqn: = lim _{t -> 1+} {} f(t)][eqn: =-1]
[eqn: lim _{x -> 3-} {} f(f(x))][eqn: = lim _{t -> 1-} {} f(t)][eqn: =0]
따라서 [eqn: lim _{x -> 3+} {} f(f(x))][eqn: !=][eqn: lim _{x -> 3-} {} f(f(x))]이므로
함수 [eqn: f(f(x))]는 [eqn: x=3]에서 불연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x-1)]은 [eqn: x=0]에서 연속이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)f(-x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(f(x))]는 [eqn: x=3]에서 불연속이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

세 이차정사각행렬 [eqn: A,~B,~C``]가 [eqn: (AB`)^2 =A^2 B^2 ,~BA=AC``]를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: B^2 A][eqn: =B(BA)][eqn: =B(AC)] (∵ [eqn: BA=AC])
[eqn: =(BA)C][eqn: =(AC)C] (∵ [eqn: BA=AC])
[eqn: =AC^2] (참)

ㄴ. [eqn: B^-1]이 존재하면
[eqn: (AB)^2 =A^2 B^2]에서
[eqn: (AB)^2 B^-1 = A^2 B^2 B^-1]
[eqn: ABA = A^2 B]
[eqn: BA = AC]이므로
[eqn: ABA = A^2 C]
∴ [eqn: A^2 B= A^2 C] (참)

[다른 풀이]

[eqn: A^2 B][eqn: = (A^2 B^2 ) B^-1]
[eqn: =(AB)^2 B^-1] (∵ [eqn: (AB)^2 = A^2 B^2])
[eqn: = ABA]
[eqn: = A(AC)] (∵ [eqn: BA=AC])
[eqn: = A^2 C] (참)

ㄷ. 행렬 [eqn: AC]의 역행렬이 존재하고
[eqn: BA=AC]이므로 행렬 [eqn: BA]의 역행렬이 존재한다.
따라서 행렬 [eqn: A], [eqn: B] 각각의 역행렬이 존재한다.
[eqn: (AB)^2 = A^2 B^2]에서
[eqn: A^-1 (AB)^2 B^-1 = A^-1 (A^2 B^2 ) B^-1]
∴ [eqn: AB= BA]
그런데 [eqn: BA= AC]이므로
[eqn: AB= AC]이다.
따라서 [eqn: A^-1 (AB)= A^-1 (AC)]에서
[eqn: B= C]이다. (참)

[3점]

	보기
ㄱ. [eqn: B^2 A=AC``^2] ㄴ. [eqn: B`]의 역행렬이 존재하면 [eqn: A^2 B=A^2 C``]이다. ㄷ. [eqn: AC``]의 역행렬이 존재하면 [eqn: B=C``]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 실수 [eqn: x]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하기 위한 필요충분조건인 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

②

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능한 경우

[eqn: lim_h->0 { f(a+h)-f(a)} over { h} = f'(a)]이 성립한다.

즉, [eqn: lim_h->0 { f(a+h)-f(a)} over { h}]이 존재하고 그 값이 [eqn: f'(a)]이다.

따라서 [eqn: f' (a)]가 존재하는 경우

[eqn: lim_h->0 { f(a+h^2 )-f(a)} over { h^2}][eqn: = lim _{t -> 0+} {} {f(a+t)-f(a)} over {t}][eqn: = f'(a)]

[eqn: lim_h->0 { f(a+h)-f(a-h)} over { 2h}][eqn: =lim_h->0 1 over2 left{{ f(a+h)-f(h)} over { h} + { f(a-h)-f(h)} over {-h } right}]
[eqn: = 1 over2 left{f'(a) + f'(a)right}]
[eqn: = f'(a)]

[eqn: lim_h->0 { f(a+h^3 )-f(a)} over { h^3}][eqn: = lim_t->0 { f(a+t)-f(a)} over { t}][eqn: = f'(a)]

로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 성립한다.

하지만

[eqn: f(x)= |`x-a`|]인 경우 [eqn: x=a]에서 미분불가능하지만

[eqn: lim_h->0 { f(a+h^2 )-f(a)} over { h^2}][eqn: = lim_h->0 { |`h^2`|} over { h^2}=1]

[eqn: lim_h->0 { f(a+h)-f(a-h)} over { 2h}][eqn: = lim_h->0 { |`h`|-|-h|} over { h}][eqn: =0]

이다.

따라서 ㄱ, ㄷ은 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하기 위한 필요조건이다.

또한, [eqn: h^3 =t]라 하면

[eqn: h -> 0+]일 때, [eqn: h ^{3} -> 0+]이므로 [eqn: t -> 0+]이고

[eqn: h -> 0-]일 때, [eqn: h ^{3} -> 0-]이므로 [eqn: t -> 0-]이다.

따라서 [eqn: lim_h->0 { f(a+h^3 )-f(a)} over { h^3}][eqn: = lim_t->0 { f(a+t)-f(a)} over { t}]이므로

[eqn: lim_h->0 { f(a+h^3 )-f(a)} over { h^3}]의 값이 존재하면

[eqn: lim_t->0 { f(a+t)-f(a)} over { t}] 즉, [eqn: lim_h->0 { f(a+h)-f(a)} over { h}]의 값이 존재한다.

따라서 ㄴ은 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하기 위한 필요충분조건이다.

[4점]

ㄱ. [eqn: lim_h->0 ``{f(a+h^2 )-f(a)}over h^2]의 값이 존재한다.

ㄴ. [eqn: lim_h->0 ``{f(a+h^3 )-f(a)}over h^3]의 값이 존재한다.

ㄷ. [eqn: lim_h->0 ``{f(a+h)-f(a-h)}over2h]의 값이 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

구간 [eqn: [`0,~1]]에서 정의된 연속확률변수 [eqn: X`]의 확률밀도함수가 일차함수 [eqn: f(x)=ax+b``(0le x le1)]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

③

ㄱ. [eqn: int_0^1 f(x)dx =1]이므로
[eqn: int_0^1 (ax+b)dx = left[ a over2 x^2 +bx right]_0^1 = a over2 +b =1] (참)

ㄴ. 확률밀도함수의 그래프가 [eqn: x=m]에 대하여 대칭일 때와 같은 특별한 경우일 때만 성립한다.
[반례]
[eqn: {rm P}(0 le x le 1)=1]이므로
[eqn: {rm P}(0 le x le m)][eqn: ={rm P}(m le x le 1)] [eqn: LRARROW] [eqn: {rm P}(0 le x le m)][eqn: = 1 over2]
[eqn: f(x)=2x] ([eqn: 0 le x le1])인 경우
[eqn: {rmE}(X)][eqn: = int_0^1 x f(x)dx][eqn: = int_0^1 2x^2 dx][eqn: =left[ 2 over3 x^3 right]_0^1][eqn: = 2 over3]
[eqn: {rm P} LEFT ( 0 le x le 2 over3 RIGHT )][eqn: = int_0^{2 over3} 2x dx = 4 over9]
이므로 [eqn: {rm P}(0 le x le m)][eqn: != 1 over2]이다.
∴ [eqn: {rm P}(0 le x le m)][eqn: !={rm P}(m le x le 1)] (거짓)

ㄷ. [eqn: {rmE}(X)][eqn: = int_0^1 x f(x)dx][eqn: =int_0^1 x(ax+b)dx = left[ a over3 x^3 + b over2 x^2 right]_0^1 = a over3 + b over2]
[eqn: 0 le x le1]인 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)ge0]이어야 하므로
[eqn: f(0)=][eqn: b ge0]이고 [eqn: f(1)=][eqn: a+b ge0]이다.
ㄱ에서 [eqn: a over2 +b =1]이므로
[eqn: b = 1- a over2 ge0] 에서 [eqn: a le2]
[eqn: a+b = a over2 +1 ge0]에서 [eqn: a ge-2]
∴ [eqn: -2 le a le2]
[eqn: a over3 + b over2][eqn: = a over3 + { 1- a over2} over { 2}][eqn: = a over12 + 1 over2]
∴ [eqn: - 1 over6 + 1 over2 le][eqn: {rmE}(X)][eqn: le 1 over6 + 1 over2]
따라서 [eqn: {rmE}(X)]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 1]이다.

[다른 풀이]

[eqn: {rmE}(X)]의 값이 작으려면 [eqn: 0]근처 구간에서의 확률이 커야한다.

따라서 [eqn: {rmE}(X)]가 최소가 되는 경우는 [그림1]과 같다.

비슷한 방법으로 [eqn: {rmE}(X)]가 최대가 되는 경우는 [그림2]와 같다.

[그림1]           [그림2]

[eqn: {rmE}(X)]가 최대가 되는 순간과 최소가 되는 순간의 확률밀도함수의 그래프가 [eqn: x= 1 over2]에 대하여 대칭이므로 [eqn: {rmE}(X)]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 1]이다.

	보기
ㄱ. [eqn: a over2 +b=1] ㄴ. [eqn: rmE it(X`)=m]일 때, [eqn: rmP it(0le X le m)=rmP it(m le X le1)]이다. ㄷ. [eqn: rmE it(X`)]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)]의 도함수가 [eqn: f`'(x)=4x^3 -4x]이고, [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: k]일 때, 직선 [eqn: y=k]와 곡선 [eqn: y=f(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4점]

⑤

[eqn: f'(x)=4x(x-1)(x+1)]이므로

함수 [eqn: x=1], [eqn: x=-1]에서 극솟값을 갖고

[eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는다.

∴ [eqn: f(x)=x^4 -2x^2 +k]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭인 꼴이고

함수 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=k]로 둘러싸인 부분은 다음과 같다.

[eqn: x^4 -2x^2 +k=k]에서 [eqn: x^2 (x- sqrt { 2})(x+ sqrt { 2})=0]이므로 구하는 넓이는

[eqn: int_{- sqrt { 2} }^{ sqrt { 2} } (2x^2 -x^4 )dx][eqn: = 2 int_{0 }^{ sqrt { 2} } (2x^2 -x^4 )dx]
[eqn: =2 left[ 2 over3 x^3 - 1 over5 x^5 right]_0^{ sqrt { 2} }]
[eqn: = 2 LEFT ( { 4 sqrt { 2} } over {3 }- {4 sqrt { 2} } over5 RIGHT )]
[eqn: = { 16 sqrt { 2} } over { 15}]

① [eqn: {8sqrt2}over15]	② [eqn: {2sqrt2}over3]	③ [eqn: {4sqrt2}over5]

④ [eqn: {14sqrt2}over15]	⑤ [eqn: {16sqrt2}over15]

그림은 어떤 정보 [eqn: x]를 [eqn: 0]과 [eqn: 1]의 두 가지 중 한 가지의 송신 신호로 바꾼 다음 이를 전송하여 수신 신호를 얻는 경로를 나타낸 것이다.

④

정보 [eqn: x]가 [eqn: 1]의 송신신호로 바뀌는 사건을 [eqn: A]라 하고 송신신호가 수신신호 [eqn: 1]로 전송되는 사건을 [eqn: B]라 할 때, 구하는 확률은 [eqn: {rm P}(A`|`B)]이다.

주어진 조건에 의해서

[eqn: {rm P}(A^C ``)=0.4][eqn: = 2 over5], [eqn: {rm P}(A)= 0.6][eqn: = 3 over5]

[eqn: {rm P}(B `|`A^C ``) =0.05][eqn: = 1 over20], [eqn: {rm P}(B `|`A) =0.95][eqn: = 19 over20]

이므로

[eqn: {rm P}(A`|`B)][eqn: = { {rm P}(A cap B)} over{ {rm P}(B) }]
[eqn: = { {rm P}(A cap B) } over{ {rm P}(A cap B)+ {rm P}(A^C cap B) }]
[eqn: = { {rm P}(A) {rm P}(B`|`A) } over{ {rm P}(A) {rm P}(B`|`A) + {rm P}(A^C``) {rm P}(B`|`A^C``) }]
[eqn: = { 3 over5 times 19 over20 } over {3 over5 times 19 over20 + 2 over5 times 1 over20 }]
[eqn: = 57 over59]

송신 신호

수신 신호

정보

[eqn: x]

[eqn: 0]

[eqn: 1]

[eqn: 0]

[eqn: 1]

이때 송신 신호가 전송되는 과정에서 수신 신호가 바뀌는 경우가 생기는데, 각각의 경우에 따른 확률은 다음과 같다.

㈎ 정보 [eqn: x]가 [eqn: 0,~1]의 송신 신호로 바뀔 확률은 각각 [eqn: 0.4,~0.6] 이다.

㈏ 송신 신호 [eqn: 0]이 수신 신호 [eqn: 0,~1]로 전송될 확률은 각각 [eqn: 0.95,~0.05]이다.

㈐ 송신 신호 [eqn: 1]이 수신 신호 [eqn: 0,~1]로 전송될 확률은 각각 [eqn: 0.05,~0.95]이다.

정보 [eqn: x]를 전송한 결과 수신 신호가 [eqn: 1]이었을 때, 송신 신호가 [eqn: 1]이었을 확률은? [4점]

① [eqn: 54over59]	② [eqn: 55over59]	③ [eqn: 56over59]	④ [eqn: 57over59]	⑤ [eqn: 58over59]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심이 [eqn: rmO]인 반원의 호를 이등분하는 점을 [eqn: rmM]이라 하고, 선분 [eqn: rmOM] 위의 점 [eqn: rmP]를 지나고 선분 [eqn: rmOM]에 수직인 직선과 반원이 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하자. 또, 선분 [eqn: rmPM]의 중점 [eqn: rmQ]를 지나고 선분 [eqn: rmOM]에 수직인 직선과 반원이 만나는 점을 각각 [eqn: rmC,~D]라 하고, 점 [eqn: rmC,~D]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmE,~F]라 하자. [eqn: rm barPM it=2x]일 때, 사다리꼴 [eqn: rmABDC]와 직사각형 [eqn: rmEFDC]의 넓이를 각각 [eqn: S`(x),~T`(x)]라 하자. [eqn: lim _{x -> 0+} {} ` {T`(x)} over {S`(x)}]의 값은? [4점]

④

[eqn: S(x)= 1 over2 x LEFT ( rm barAB +barCD RIGHT )], [eqn: T(x)][eqn: = x cdot bar{rm CD}]이므로

[eqn: { T(x)} over { S(x)} = rm {2cdot barCD } over { barAB +barCD}][eqn: = rm {2cdot barQD } over { barPB +barQD}]이다.

[eqn: rm barOP =it1-2x]이므로 직각삼각형 [eqn: rm OPB]에서

[eqn: bar{rmPB}][eqn: =sqrt { 1-(1-2x)^2} = sqrt { 4x-4x^2}]

[eqn: rm barOQ =it1-x]이므로 직각삼각형 [eqn: rm OQD]에서

[eqn: bar{rmQD}][eqn: =sqrt { 1-(1-x)^2} = sqrt { 2x-x^2}]

∴ [eqn: lim_x->0{ T(x)} over { S(x)}][eqn: =lim_x->0 {2 sqrt { 2x-x^2}} over {sqrt { 4x-4x^2}+sqrt { 2x-x^2} }]
[eqn: =lim_x->0 {2 sqrt { 2-x}} over {sqrt { 4-4x}+sqrt { 2-x} }]
[eqn: ={2 sqrt { 2} } over { 2 + sqrt { 2} }][eqn: =2 sqrt { 2}-2]

① [eqn: sqrt2 -1]	② [eqn: 2-sqrt2]	③ [eqn: sqrt3 -1]

④ [eqn: 2(sqrt2 -1)]	⑤ [eqn: 2(2-sqrt3 )]

두 수열 [eqn: left{a_n right},~left{b_n right}]을 다음과 같이 정의하자.

③

조건 (나)의 두 식을 더하면 [eqn: a_n +b_n = a_n-1 +b_n-1]

조건 (다)의 두 식을 더하면 [eqn: a_n +b_n = a_n-1 +b_n-1]

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+1 +b_n+1 = a_n +b_n]

그런데 [eqn: a_1 +b_1 =0+2=2]이므로

[eqn: a_n +b_n =2] ⋯⋯ ㉠

조건 (나)에서

[eqn: a_2n][eqn: = a_2n-1 + b_2n-1 over2n]
[eqn: =a_2n-1 + { 2- a_2n-1} over {2n }] (∵ ㉠)
[eqn: = { 2n-1} over { 2n} cdot a_2n-1 + 1overn] ⋯⋯ ㉡

조건 (다)에서

[eqn: a_2n+1][eqn: = a_2n - { a_2n} over { 2n+1}]
[eqn: = { 2n} over { 2n+1} cdota_2n]
[eqn: = { 2n} over { 2n+1} cdot LEFT ( { 2n-1} over { 2n} cdot a_2n-1 + 1overn RIGHT )] (∵ ㉡)
[eqn: = { 2n-1} over { 2n+1} cdot a_2n-1 + 2 over2n+1]

∴ [eqn: (2n+1) a_2n+1 = (2n-1) a_2n-1 +2]

∴ [eqn: c_n =(2n-1)a_2n-1]이라 하면 수열 [eqn: left{c_n right}]은 첫째항이 [eqn: a_1 =0]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열을 이룬다.

∴ [eqn: c_n = (2n-1)a_2n-1 = 2(n-1)]

∴ [eqn: a_2n-1 = { 2n-2} over { 2n-1}]

∴ [eqn: a_41][eqn: = 40 over 41]

㈎ [eqn: a_1 =0,~b_1 =2]

㈏ [eqn: n]이 짝수이면
[eqn: a_n =a_n-1 + b_n-1 over n ,~b_n =b_n-1 - b_n-1 over n]이다.

㈐ [eqn: n]이 [eqn: 1]보다 큰 홀수이면
[eqn: a_n =a_n-1 - a_n-1 over n ,~b_n =b_n-1 + a_n-1 over n]이다.

[eqn: a_41 = q over p]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.)

[4점]

① [eqn: 79]	② [eqn: 80]	③ [eqn: 81]	④ [eqn: 82]	⑤ [eqn: 83]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 두 원을 서로의 중심을 지나도록 그렸을 때, 두 원의 내부에서 겹친 부분이 나타내는 도형을 [eqn: F_1]이라 하자.
[eqn: F_1]의 내부에 반지름의 길이가 같고 서로의 중심을 지나는 두 원을 [eqn: F_1]과 접하면서 반지름의 길이가 최대가 되도록 그렸을 때, 그려진 두 원의 내부에서 겹친 부분이 나타내는 도형을 [eqn: F_2]라 하자.
[eqn: F_2]의 내부에 반지름의 길이가 같고 서로의 중심을 지나는 두 원을 [eqn: F_2]와 접하면서 반지름의 길이가 최대가 되도록 그렸을 때, 그려진 두 원의 내부에서 겹친 부분이 나타내는 도형을 [eqn: F_3]이라 하자.

①

도형 [eqn: F_1]의 두 원의 중심을 연결하는 선분과 도형 [eqn: F_2]의 두 원의 중심을 연결하는 선분은 서로 다른 것을 수직이등분한다.

도형 [eqn: F_2]의 반지름의 길이를 [eqn: x]라 하면 위 그림의 직각삼각형 [eqn: rm O_1 O_2 H]에서

[eqn: (3-x)^2 = LEFT ( 3 over2 RIGHT )^2 + LEFT ( x over2 RIGHT )^2]

[eqn: 3x^2 -24x +27=0]

[eqn: x^2 -8x+9=0]

∴ [eqn: x = 4- sqrt { 7}] (∵ [eqn: x<3])

따라서 서로 닮음인 도형 [eqn: F_1]과 [eqn: F_2]의 닮음비는 [eqn: { 4- sqrt { 7} } over { 3}]이다.

위 그림에서 [eqn: l_1 =][eqn: 2 times LEFT ( 3 times 2 over3 pi RIGHT ) =4pi]이므로

수열 [eqn: left{l_n right}]은 첫째항이 [eqn: 4pi]이고 공비가 [eqn: { 4- sqrt { 7} } over { 3}]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf l_n][eqn: = { 4pi} over { 1-{ 4- sqrt { 7} } over {3 } }][eqn: =2pi (1+ sqrt { 7})]

이와 같은 방법으로 계속하여 도형 [eqn: F_n]을 그려 나갈 때, [eqn: F_n]의 둘레의 길이를 [eqn: l_n]이라 하자. [eqn: sum_n=1^inf `l_n]의 값은? [4점]

① [eqn: 2pi(1+sqrt7 )]	② [eqn: 8piover3 (1+sqrt7 )]	③ [eqn: 4piover3 (2+sqrt7 )]
④ [eqn: 2pi(2+sqrt7 )]	⑤ [eqn: 5piover3 (2+sqrt7 )]

단답형

[eqn: left(x^2 + 2over x right)^6]의 전개식에서 [eqn: x^3]의 계수를 구하여라. [3점]

160

[eqn: LEFT ( x^2 + 2 overx RIGHT )^6]의 전개식의 일반항은

[eqn: `_6 {rm C}_k (x^2 )^k LEFT ( 2 overx RIGHT )^6-k][eqn: =`_6 {rm C}_k ``2^6-k cdot x^3k-6]

이다.

[eqn: 3k-6 =3]에서 [eqn: k=3]이므로

구하는 [eqn: x^3]의 계수는

[eqn: `_6 rmC_3 2^3 = 160]

부등식
[eqn: log_2 (x+y-4)+log_2 (x+y)le1+log_2 `x+log_2 `y]
를 만족시키는 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: 7y-x]의 최댓값을 구하여라.

32

진수조건에 의해서

[eqn: x+y-4 >0], [eqn: x+y >0], [eqn: x>0], [eqn: y>0]

∴ [eqn: x+y-4 >0], [eqn: x>0], [eqn: y>0] ⋯⋯ ㉠

[eqn: log`_2 LEFT ( x+y-4 RIGHT ) + log`_2``(x+y) le 1+ log`_2 ``x + log`_2 ``y]

[eqn: LRARROW] [eqn: (x+y-4)(x+y) le 2 xy] 이고 ㉠

[eqn: LRARROW] [eqn: x^2 +y^2 -4x -4y le0]이고 ㉠

[eqn: LRARROW] [eqn: (x-2)^2 +(y-2)^2 le8]이고 ㉠

따라서 주어진 부등식을 만족하는 점 [eqn: (x, ``y)]가 존재하는 영역은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

[eqn: 7y-x=k]라 할 때, [eqn: k over7]은 직선 [eqn: 7y -x =k]의 [eqn: y]절편이므로

[eqn: k]는 위의 그림과 같이 원 [eqn: (x-2)^2 +(y-2)^2 =8]과 직선 [eqn: 7y -x =k]가 접할 때, 최대가 된다.

[eqn: {|`7cdot2 -2 -k`| } over { sqrt { 7^2 +1^2} } = 2 sqrt { 2}]에서 [eqn: |`k-12`|=20]이므로

구하는 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 32]이다.

[3점]

집합 [eqn: A=left{1,~2,~3right}]에 대하여 수열 [eqn: left{a_n right}]은 집합 [eqn: A`]의 원소로 이루어진 수열이다. 이 수열이 등식 [eqn: sum_n=1^inf `a_n over10^n = 104over333]를 만족시킬 때, [eqn: sum_n=1^inf `a_n over5^n = q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

103

[eqn: sum_n=1^inf a_n over10^n = 104 over333 = { 312} over { 999}=0. dot3 1dot2]

∴ [eqn: left{a_n right}] : [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 2], ⋯

∴ [eqn: sum_n=1^inf a_n over5^n][eqn: ={3 over5 + 1 over5^2 + 2 over5^3 } over { 1- 1 over5^3}][eqn: = 41 over62]

∴ [eqn: p=62], [eqn: q =41]

∴ [eqn: p+q=103]

프로야구 한국시리즈는 두 팀이 출전하여 [eqn: 7]번의 경기 중 [eqn: 4]번을 먼저 이기는 팀이 우승팀이 된다. [eqn: rmA,~B] 두 팀이 한국시리즈에 출전하여 우승팀이 정해지기까지 치른 경기의 수를 확률변수 [eqn: X`]라 하자. 매 경기마다 각 팀이 이길 확률은 모두 [eqn: 1over2]로 같다고 할 때, [eqn: rmE it(16X`)]의 값을 구하여라. (단, 두 팀이 경기를 할 때 무승부는 없다고 가정한다.) [4점]

93

최소 [eqn: 4]경기 이상 치러야 우승팀이 결정된다.

∴ [eqn: {rm P}(X le 3)=0]

ⅰ) [eqn: X=4]인 경우는 어느 한 팀이 [eqn: 4]경기를 연달아 이기는 경우이다.
∴ [eqn: {rm P}(X=4) = 2 times left( 1 over2 right)^4 = 1 over 8]

ⅱ) [eqn: X=5]인 경우는 어느 한 팀이 [eqn: 4]경기를 치루는 동안 [eqn: 3]승 [eqn: 1]패를 하고 [eqn: 5]번째 경기에서 이기는 경우이다.
∴ [eqn: {rm P}(X=5) = 2 times left{ `_4 rmC_3 left( 1 over2 right)^4 times 1 over2 right}][eqn: = 1 over4]

ⅲ) [eqn: X=6]인 경우는 어느 한 팀이 [eqn: 5]경기를 치루는 동안 [eqn: 3]승 [eqn: 2]패를 하고 [eqn: 6]번째 경기에서 이기는 경우이다.
∴ [eqn: {rm P}(X=6) = 2 times left{ `_5 rmC_3 left( 1 over2 right)^5 times 1 over2 right}][eqn: = 5 over16]

ⅳ) [eqn: X=7]인 경우는 두 팀이 [eqn: 6]경기를 치루면서 [eqn: 3]승 [eqn: 3]패를 하는 경우이다.
∴ [eqn: {rm P}(X=6) = `_6 rmC_3 LEFT ( 1 over2 RIGHT )^6][eqn: = 5 over16]

ⅰ)~ⅳ)에서

[eqn: {rmE}(16X)][eqn: =16 times {rmE}(X)][eqn: =16 LEFT ( 4 over8 + 5 over4 + 6cdot5 over 16 + 7cdot5 over 16 RIGHT )][eqn: =93]

다음과 같이 두 수 [eqn: 0]과 [eqn: 1]만을 사용하여 제[eqn: n]행에 [eqn: n]자리의 자연수를 크기순으로 모두 나열해 나간다. [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]

제[eqn: 1]행	[eqn: 1]
제[eqn: 2]행	[eqn: 10,~11]
제[eqn: 3]행	[eqn: 100,~101,~110,~111]
제[eqn: 4]행	[eqn: 1000,~1001,~1010,~1011,~1100,~1101,~1110,~1111]
[eqn: cdots]

제[eqn: n]행에 나열한 모든 수의 합을 [eqn: a_n]이라 하자. 예를 들어,
[eqn: a_2 =21,] [eqn: a_3 =422]이다. [eqn: lim_n->inf `a_n over20^n = q over p]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

379

[eqn: a_1 =1]

[eqn: a_2 = 2 times 10 +1]

[eqn: a_3 = 4 times10^2 +2 times (10+1)]

[eqn: a_4 = 8 times 10^3 + 4times (10^2 +10 +1)]

⋮

∴ [eqn: a_n][eqn: = 2^n-1 times 10^n-1 + 2^n-2 times LEFT ( 10^n-2 + 10^n-3 + cdots + 10+1 RIGHT )]
[eqn: = (20)^n-1 + 2^n-2 times {10^n-1 -1 } over { 10-1}]
[eqn: = 19 over18 (20)^n-1 - 1 over9 cdot 2^n-2]

∴ [eqn: lim_n->inf a_n over20^n][eqn: = lim_x->inf left{ 19 over360 - 1 over36 LEFT ( 1 over10 RIGHT )^n right}][eqn: = 19over360]

∴ [eqn: p=360], [eqn: q=19], [eqn: p+q=379]

세 다항함수 [eqn: f(x),~g(x),~h(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

18

[eqn: f(xy+1)=xg(y)+h(x+y)] ⋯⋯ ㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=0] 을 대입하면

[eqn: f(1)= h(y)]

[eqn: f(1)=1]이고 위 식은 모든 실수 [eqn: y]에 대하여 성립해야하므로

[eqn: h(x)]는 상수함수이다.

∴ [eqn: h(x)=1]

따라서 ㉠의 식은

[eqn: f(xy+1)=x g(y)+1] ⋯⋯ ㉡

㉡의 양변에 [eqn: y=1]을 대입하면

[eqn: f(x+1)= x g(1)+1]

[eqn: g(1)=2]이므로

[eqn: f(x+1)][eqn: =2x+1]

∴ [eqn: f(x)=2x-1] ⋯⋯ ㉢

따라서 [eqn: f(xy+1)=][eqn: 2(xy+1)-1][eqn: =2xy+1]이므로

㉡에서 [eqn: 2xy+1 = x g(y)+1]

따라서 [eqn: g(y)=2y] 즉, [eqn: g(x)=2x]이다.

∴ [eqn: f(x)+g(x)+h(x)= 4x]

∴ [eqn: int_0^3 left{f(x)+g(x)+h(x) right}dx][eqn: = int_0^3 4xdx][eqn: =left[2x^2 right]_0^3][eqn: =18]

㈎ [eqn: f(1)=1,~g(1)=2]

㈏ 모든 실수 [eqn: x,~y]에 대하여
[eqn: f(xy+1)=xg(y)+h(x+y)] 이다.

이때 [eqn: int_0^3 `left{f(x)+g(x)+h(x)right}`dx]의 값을 구하여라. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2013년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설