◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

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수 학 영 역

‘가’형

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2013학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: sqrt6 of9^5 times24^{- 2over3}]의 값은? [2점]

②

[eqn: sqrt { 6} of{9^5} times 24^{- 2 over3}][eqn: = LEFT ( 3^10 RIGHT )^{1 over6} times LEFT ( 3 times 2^3 RIGHT )^{- 2 over3}]
[eqn: = 2^-2 times 3^{5 over3 - 2 over3}]
[eqn: = 3 over4]

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 3over2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: lim_{x->{piover2}} `{cos^2 `x}over(2x-pi)^2]의 값은? [2점]

①

[eqn: pi over2 -x =t]라 하면 [eqn: x-> pi over2]일 때, [eqn: t->0]이므로

[eqn: lim_{x-> pi over2} { cos^2 x} over { (2x-pi )^2}][eqn: = lim_t->0 { cos^2 LEFT ( pi over2 -t RIGHT ) } over { (-2t)^2}]
[eqn: = lim_t->0 { sin^2 t} over { 4t^2}][eqn: = 1 over4 lim_t->0 LEFT ( { sin t} over { t} RIGHT )^2][eqn: = 1 over4]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

곡선 [eqn: x^2 +xy+y^2 =7] 위의 점 [eqn: (2,~1)]에서의 접선의 기울기는?

②

[eqn: x^2 +xy +y^2 =7]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 2x + y + x cdot dy overdx + 2y cdot dy overdx =0]

∴ [eqn: dy overdx = -{2x+y } over { x+2y}]

따라서 점 [eqn: (2 , ``1)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: dy overdx][eqn: = -{2cdot2+1 } over {2+2cdot1 } = - 5 over4]

[2점]

① [eqn: - 3over2]	② [eqn: - 5over4]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: - 3over4]	⑤ [eqn: - 1over2]

[eqn: lim_n->inf `4over n sum_k=1^n `sqrt{2-left( k over n right)^2}]의 값은? [3점]

②

[eqn: lim_n->inf 4 overn sum_k=1^n sqrt { 2- LEFT ( k overn RIGHT )^2 }][eqn: = 4int_0^1 sqrt { 2-x^2}dx]

위 그림에서

[eqn: int_0^1 sqrt { 2-x^2}dx][eqn: = 1 over2 times LEFT ( sqrt { 2} RIGHT )^2 times pi over4 + 1 over2 times 1 times 1 = pi over4 + 1 over2]

이므로 [eqn: lim_n->inf 4 overn sum_k=1^n sqrt { 2- LEFT ( k overn RIGHT )^2 }][eqn: = 4 LEFT ( pi over4 + 1 over2 RIGHT )= pi +2]

① [eqn: pi+1]	② [eqn: pi+2]	③ [eqn: pi+3]

④ [eqn: pi+4]	⑤ [eqn: pi+5]

[eqn: z]	[eqn: \P it( 0≤Z≤z)]
[eqn: 0.5] [eqn: 1.0] [eqn: 1.5] [eqn: 2.0]	[eqn: 0.1915] [eqn: 0.3413] [eqn: 0.4332] [eqn: 0.4772]

정규분포 [eqn: rmN(50,~10^2 )]을 따르는 모집단에서 임의로 [eqn: 25]개의 표본을 뽑았을 때의 표본평균을 [eqn: barX`]라 하자. 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 [eqn: rmP it(48le barX le54)]의 값을 구한 것은?

④

모집단이 정규분포 [eqn: {rm N}(50 , ``10^2 )]을 따르므로

표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포 [eqn: {rm N}(50 , ``2^2 )]을 따른다.

∴ [eqn: {rm P}(48 le bar{X``} le 54 )][eqn: = {rm P}(-1 le Z le 2)]
[eqn: = {rm P}(0 le Z le1) + {rm P}(0 le Z le 2)]
[eqn: =0.3413 + 0.4772]
[eqn: = 0.8185]

[3점]

① [eqn: 0.5328]	② [eqn: 0.6247]	③ [eqn: 0.7745]

④ [eqn: 0.8185]	⑤ [eqn: 0.9104]

어느 인터넷 동호회에서 한 종류의 사은품 [eqn: 10]개를 정회원 [eqn: 2]명, 준회원 [eqn: 2]명에게 모두 나누어주려고 한다. 정회원은 [eqn: 2]개 이상, 준회원은 [eqn: 1]개 이상을 받도록 나누어주는 방법의 수는? (단, 사은품은 서로 구별하지 않는다.) [3점]

④

정회원을 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하고 준회원을 [eqn: rm C], [eqn: rm D]라 하자.

[eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]가 받는 사은품의 개수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 하면

구하는 방법의 수는

[eqn: a ge2], [eqn: b ge2], [eqn: a+b+c+d=10] ⋯⋯ ㉠

를 만족하는 자연수해의 개수와 같다.

[eqn: a+b+c+d=10]에서

[eqn: a'+2 =a], [eqn: b'+2 =b], [eqn: c'+1=c], [eqn: d' +1=d]

라 하면 ㉠을 만족하는 자연수해의 개수는

[eqn: a'+b'+c'+d' =4]를 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: `_4 rm H_4][eqn: =`_7 rmC_4][eqn: =`_7 rmC_3][eqn: = { 7times6 times 5} over { 3 times2times1}= 35]

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

그림과 같이 [eqn: 0<a<b<1]인 두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 곡선 [eqn: y=a^x] 위의 두 점 [eqn: rmA,~B]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: b over4 ,~a]이고, 곡선 [eqn: y=b^x] 위의 두 점 [eqn: rmC,~D]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: b,~1]이다. 두 선분 [eqn: rmAC]와 [eqn: rmBD]가 모두 [eqn: x]축과 평행할 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값은?

③

점 [eqn: rm A]와 [eqn: rm C]의 [eqn: y]좌표가 일치하므로 [eqn: a^{b over4}= b^b]

∴ [eqn: a^{1 over4}=b] (∵ [eqn: b!=0]) ⋯⋯ ㉠

점 [eqn: rm B]와 [eqn: rmD]의 [eqn: y]좌표가 일치하므로 [eqn: a^a = b] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a^a = a^{1 over4}]

[eqn: a!=1]이므로 [eqn: a= 1 over4] ⋯⋯ ㉢

㉢을 ㉠에 대입하면 [eqn: b = LEFT ( 1 over4 RIGHT )^{1 over4} = 1 over sqrt { 2}]

∴ [eqn: a^2 +b^2][eqn: = LEFT ( 1 over4 RIGHT )^2 + LEFT ( 1 over sqrt { 2} RIGHT )^2][eqn: = 1 over16 + 1 over2][eqn: = 9 over16]

[3점]

① [eqn: 7over16]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 9over16]	④ [eqn: 5over8]	⑤ [eqn: 11over16]

어느 지역에 서식하는 어떤 동물의 개체 수에 대한 변화를 조사한 결과, 지금으로부터 [eqn: t]년 후에 이 동물의 개체 수를 [eqn: N`]이라 하면 등식
[eqn: log``N=k+t`log``4over5] (단, [eqn: k]는 상수)
가 성립한다고 한다. 이 동물의 현재 개체 수가 [eqn: 5000]일 때, 개체 수가 처음으로 [eqn: 1000]보다 적어지는 때는 지금으로부터 [eqn: n]년 후이다. 자연수 [eqn: n]의 값은? (단, [eqn: log``2=0.3010]으로 계산한다.) [3점]

③

[eqn: t=0]일 때, 현재 개체 수가 [eqn: 5000]이므로

[eqn: log``5000 = k +0 cdot log``4 over5]

가 성립한다.

∴ [eqn: k = 3+ log``5]

[eqn: n]년 후 개체 수 [eqn: N]가 [eqn: 1000]보다 작을 때,

[eqn: log``N =][eqn: k + n log``4 over5 le log ``1000]에서

[eqn: 3+log``5 +n log``4 over5 le3]

[eqn: log``2 =0.3010]이므로

[eqn: log``5 = log``10 over2 = 1- log``2 =0.699]

[eqn: log``4 over5 =log``8 over10][eqn: = 3 log``2 -1][eqn: =-0.097]

따라서 [eqn: 0.699-0.097 times n le0]에서

[eqn: n ge 0.699 over0.097][eqn: =7. times times times times]

따라서 구하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 8]이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

행렬 [eqn: M=pmatrix{`1~&-1`#`3~&-2`}]로 나타내어지는 일차변환에 의하여
점[eqn: rmA(1,~2)]가 옮겨지는 점을 [eqn: rmB], 행렬 [eqn: M``^3]으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 [eqn: rmC(2,~0)]이 옮겨지는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 두 벡터 [eqn: rm vecOB]와 [eqn: rm vecBD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3점]

①

[eqn: M=][eqn: pmatrix{``{1}``&``{-1}``#``{3}``&``{-2}``}]

[eqn: M^2][eqn: =pmatrix{``{1}``&``{-1}``#``{3}``&``{-2}``}][eqn: pmatrix{``{1}``&``{-1}``#``{3}``&``{-2}``}][eqn: =pmatrix{``{-2}``&``{1}``#``{-3}``&``{1}``}]

[eqn: M^3][eqn: =pmatrix{``{-2}``&``{1}``#``{-3}``&``{1}``}][eqn: pmatrix{``{1}``&``{-1}``#``{3}``&``{-2}``}][eqn: =pmatrix{``{1}``&``{0}``#``{0}``&``{1}``}]

[eqn: M][eqn: pmatrix{``{1}``#``{2}``}][eqn: =][eqn: pmatrix{``{1}``&``{-1}``#``{3}``&``{-2}``}][eqn: pmatrix{``{1}``#``{2}``}][eqn: =pmatrix{``{-1}``#``{-1}``}]이므로

[eqn: rm B(-1 , ``-1)]

[eqn: M^3][eqn: pmatrix{``{2}``#``{0}``}][eqn: =][eqn: pmatrix{``{1}``&``{0}``#``{0}``&``{1}``}][eqn: pmatrix{``{2}``#``{0}``}][eqn: =][eqn: pmatrix{``{2}``#``{0}``}]이므로

[eqn: rm D (2, ``0)]

∴ [eqn: vec{rm OB}= (-1 , ``-1)], [eqn: vec{rm BD}][eqn: =rm vec{OD} - vec{OB}][eqn: =(3, ``1)]

∴ [eqn: cos theta][eqn: = rm { vecOB cdot vecBD} over { left| vecOB `right| left|` vecBD `right|}]
[eqn: = { (-1, ``-1)cdot(3, ``1)} over { sqrt { (-1)^2 +(-1)^2} cdot sqrt { 3^2 +1^2} }]
[eqn: = { -4} over { sqrt { 2}cdot sqrt { 10} }]
[eqn: = - { 2 sqrt { 5} } over { 5}]

① [eqn: - {2sqrt5}over5]	② [eqn: - sqrt5 over5]	③ [eqn: - 1over2]

④ [eqn: - sqrt3 over3]	⑤ [eqn: - sqrt2 over2]

㈏

두 실수 [eqn: x,~y`(x>y)]가 [eqn: x+y=1,~xy=`-1]을 만족시킬 때, 수열 [eqn: left{a_n right}]을
[eqn: a_n =sum_k=1^n `x^n-k `y^k-1 ``(n=1,~2,~3,~cdots)]
으로 정의하자. 다음은 수열 [eqn: left{a_n right}]의 제[eqn: n]항을 구하는 과정이다.

[eqn: x+y=1,~xy=`-1]에서 두 실수 [eqn: x,~y]는 방정식

[eqn: t^2 -t+]

㈎

[eqn: =0]

의 두 근이다. 한편

[eqn: a_n =sum_k=1^n `x^n-k `y^k-1]

[eqn: =x^n-1 +x^n-2 `y+`cdots`+y^n-1][eqn: cdotscdots(＊)]

[eqn: (＊)]은 첫째항이 [eqn: x^n-1]이고 공비가 [eqn: y over x]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이므로

[eqn: a_n = {~~~~~~`}over sqrt5]

위의 과정에서 ㈎에 들어갈 수를 [eqn: m], ㈏에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: m+left{f(3)right}^2]의 값은? [3점]

②

[eqn: (t-x)(t-y)= t^2 -(x+y)t+xy]이고

[eqn: x+y=1], [eqn: xy=-1] ⋯⋯ ㉠

이므로 [eqn: m][eqn: =xy][eqn: =-1]

[eqn: a_n][eqn: = {x^n-1 LEFT ( 1- LEFT ( y overx RIGHT )^n RIGHT ) } over { 1- y overx}][eqn: ={x^n -y^n} overx-y]

㉠에서

[eqn: (x-y)^2 = (x+y)^2 -4 xy =1^2 -4(-1)=5]

∴ [eqn: x-y = sqrt { 5}] (∵ [eqn: x>y])

∴ [eqn: a_n][eqn: = { box{``_`x^n -y^n``^`}} over { sqrt { 5} }]

∴ [eqn: f(n)][eqn: =x^n -y^n]

∴ [eqn: f(3)][eqn: =x^3 -y^3]

[eqn: = LEFT ( x-y RIGHT )^3 + 3xy(x-y)]

[eqn: =(sqrt { 5})^3 +3(-1)( sqrt { 5})]

[eqn: =2 sqrt { 5}]

∴ [eqn: m+left{f(3) right}^2 = -1 +(2 sqrt { 5}) ^2 =19]

① [eqn: 17]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 21]	④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 25]

포물선 [eqn: y^2 =8x]의 초점 [eqn: rmF]를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 [eqn: rmA,~B]라 하자. [eqn: rm barAF`:`barBF =3`:`1]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는? [3점]

④

점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA'], [eqn: rm B']이라 하고

준선 [eqn: x=-2]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm H_1], [eqn: rm H_2]라 하자.

[eqn: rm barBF =itl]이라 하면 [eqn: rm barAF =it3l]이고

포물선의 정의에 의해서 [eqn: rm barAH_1][eqn: =3l], [eqn: rm barBH_2][eqn: =l]

따라서 점 [eqn: rmA], [eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: 3l -2], [eqn: l-2]이다.

△[eqn: rm FAA']과 △[eqn: rm FBB']은 닮음이고 닮음비는 [eqn: 3:1]이다.

[eqn: rm barFA'][eqn: = (3l-2)-2 = 3l-4]이고

[eqn: rm barFB'][eqn: =2 -(l-2)=4-l]이므로

[eqn: rm barFA' : barFB'][eqn: =3:1]에서

[eqn: 3l-4 : 4-l =3:1]

따라서 [eqn: 3(4-l)=3l-4]에서 [eqn: l = 8 over3]

∴ [eqn: rmbarAB][eqn: = 4l][eqn: = 32 over3]

① [eqn: 26over3]	② [eqn: 28over3]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 32over3]	⑤ [eqn: 34over3]

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: x^2 over a^2 - y^2 over b^2 =1]의 한 초점 [eqn: rmF it(c,~0)]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하자. [eqn: rm barAB it=sqrt2 c]일 때, [eqn: a]와 [eqn: b] 사이의 관계식은?
(단, [eqn: a>0,~b>0,~c>0]) [3점]

①

쌍곡선이 [eqn: x]축에 대하여 대칭이고 [eqn: rm barAB = sqrt { 2}it c]이므로

점 [eqn: rm A]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: { sqrt { 2}c } over { 2} = c over sqrt { 2}]이다.

그런데 [eqn: c = sqrt { a^2 +b^2}]이므로

점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: LEFT ( sqrt { a^2 +b^2}, `` { sqrt { a^2 +b^2} } over { 2} RIGHT )] ⋯⋯ ㉠

이다.

㉠을 [eqn: x^2 overa^2 - y^2 overb^2 =1]에 대입하면

[eqn: { a^2 +b^2} over { a^2} - { a^2 +b^2} over { 2b^2} =1]

양변에 [eqn: 2 a^2 b^2]을 곱하여 정리하면

[eqn: 2b^4 -a^2 b^2 - a^4 =0]

[eqn: (2b^2 +a^2 )(b^2 - a^2 )=0]

∴ [eqn: a^2 =b^2] (∵ [eqn: a], [eqn: b]는 실수)

∴ [eqn: a=b] (∵ [eqn: a>0], [eqn: b>0])

① [eqn: a=b]	② [eqn: a=sqrt2 b]	③ [eqn: 2a=3b]
④ [eqn: a=sqrt3 b]	⑤ [eqn: a=2b]

모든 실수 [eqn: x]에서 정의된 함수
[eqn: f(x)=2`sin`2x+4`sin`x-4`cos`x+1]
의 최댓값과 최솟값의 합은? [3점]

①

[eqn: sinx -cos x =t]라 하면

[eqn: sinx -cos x = sqrt { 2}` sin LEFT ( x - pi over4 RIGHT )]이므로

[eqn: -sqrt { 2} le t le sqrt { 2}]이고

[eqn: t^2 = sin^2 x - 2sinx cos x +cos^2 x = 1- sin 2x]이므로

[eqn: sin2x = 1-t^2]이다.

∴ [eqn: f(x)][eqn: = 2 sin 2x +4 sin x - 4 cos x +1]
[eqn: = 2 (1-t^2 )+4t+1]
[eqn: = -2 (t-1)^2 +5] ([eqn: -sqrt { 2} le t le sqrt { 2}])

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: t=1]일 때 최댓값 [eqn: 5]를 갖고

[eqn: t= - sqrt { 2}]일 때, 최솟값 [eqn: -4 sqrt { 2}-1]을 갖는다.

따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 4-4 sqrt { 2}]이다.

① [eqn: 4-4sqrt2]	② [eqn: 4-3sqrt2]	③ [eqn: 4-2sqrt2]

④ [eqn: 5-2sqrt2]	⑤ [eqn: 5-sqrt2]

모든 실수 [eqn: x]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=int_1^x (x^2 -t)`dt]에 대하여 직선 [eqn: y=6x-k]가 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접할 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

⑤

[eqn: f(x)][eqn: = int_1^x (x^2 -t)dt][eqn: = left[ x^2 t - 1 over2 t^2 right]_1^x]
[eqn: = x^2 (x-1) - 1 over2 (x^2 -1)][eqn: =x^3 - 3 over2 x^2 + 1 over2]

∴ [eqn: f`'(x)][eqn: =3x^2 -3x]

[eqn: f`'(x)=6]에서 [eqn: x^2 -x-2=0]

∴ [eqn: x=-1], [eqn: 2]

[eqn: f(-1)=-1 - 3 over2 + 1 over2 =-2]

[eqn: f(2)=8-6+ 1 over2 = 5 over2]

이므로 함수 [eqn: f(x)]에 접하는 기울기가 [eqn: 6]인 직선의 방정식은

[eqn: y=6(x+1)-2 = 6x +4] 또는

[eqn: y= 6(x-2)+ 5 over2 = 6x - 19 over2]

이다. 따라서 양수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 19 over2]이다.

[3점]

① [eqn: 11over2]	② [eqn: 13over2]	③ [eqn: 15over2]	④ [eqn: 17over2]	⑤ [eqn: 19over2]

그림과 같이 좌표평면에서 원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rmA(3,~0)]을 잇는 선분 [eqn: rmOA]를 반지름으로 하고 중심각의 크기가 [eqn: piover3]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 일차변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬이 [eqn: pmatrix{`sqrt6 over4 ~&- sqrt2 over4`#`sqrt2 over4 ~&~```sqrt6 over4`}]일 때, 일차변환 [eqn: f]에 의하여 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 옮겨진 도형을 [eqn: D`]라 하자. 도형 [eqn: D`]의 내부와 부채꼴 [eqn: rmOAB]의 내부의 공통부분을 나타내는 도형을 [eqn: E_1]이라 하고, 일차변환 [eqn: f]에 의하여 도형 [eqn: E_1]이 옮겨진 도형을 [eqn: E_2]라 하자. 두 도형 [eqn: E_1 ,~E_2]의 넓이를 각각 [eqn: S_1 ,~S_2]라 할 때, [eqn: S_1 +S_2]의 값은? [4점]

④

[eqn: pmatrix{``{root6 over4}``&``{- root2 over4}``#``{root2 over4}``&`````````{root6 over4}``}][eqn: = sqrt { 2} over 2 pmatrix{``{root3 over2}``&``{- 1 over2 }``#``{1 over2}``&`````````{root3 over2}``}]

[eqn: = pmatrix{``{sqrt { 2} over 2 }``&``{0}``#``{0}``&``{sqrt { 2} over 2}``}pmatrix{``{cos pi over6 }``&``{-sin pi over6}``#``{sin pi over6}``&`````````{cos pi over6}``}]

이므로 일차변환 [eqn: f]는 원점을 중심으로 [eqn: pi over6]만큼 회전하는 회전이동과 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 [eqn: sqrt { 2} over 2]인 닮음변환의 합성변환이다.

따라서 도형 [eqn: E_1]은 다음 그림과 같다.

∴ [eqn: S_1 = 1 over2 LEFT ( 3 over sqrt { 2} RIGHT )^2 pi over6 = 3 over8 pi]

도형 [eqn: E_2]는 도형 [eqn: E_1]이 변환 [eqn: f]에 의해서 옮겨진 것이므로

도형 [eqn: E_2]의 넓이는 도형 [eqn: E_1]의 넓이의 [eqn: LEFT (sqrt { 2} over 2 RIGHT )^2 = 1 over2]배이다.

∴ [eqn: S_2 = 3 over16 pi]

∴ [eqn: S_1 +S_2][eqn: = 9 over16 pi]

[참고]

도형 [eqn: E_2]는 다음 그림과 같다.

[참고]

[eqn: pmatrix{``{a}``&``{-b}``#``{b}``&`````````{a}``}][eqn: = root{a^2 +b^2 } pmatrix{``{a over {root{a^2 +b^2 }}}``&``{- b over {root{a^2 +b^2 }}}``#``{b over {root{a^2 +b^2 }}}``&`````````{a over {root{a^2 +b^2 }}}``}]

이고 [eqn: LEFT ( a over{ sqrt { a^2 +b^2 } } RIGHT )^2 + LEFT ( b over{ sqrt { a^2 +b^2 } } RIGHT )^2 =1]이므로

[eqn: a over{ sqrt { a^2 +b^2 } } = cos theta], [eqn: b over{ sqrt { a^2 +b^2 } } = sin theta]라 하면

[eqn: pmatrix{``{a}``&``{-b}``#``{b}``&`````````{a}``}][eqn: = pmatrix{``{root{a^2 +b^2 }}``&``{0}``#``{0}``&``{{root{a^2 +b^2 }}``}][eqn: pmatrix{``{cos theta }``&``{- sin theta }``#``{sin theta}``&`````````{cos theta}``}]

이 성립한다.

따라서 [eqn: pmatrix{``{a}``&``{-b}``#``{b}``&`````````{a}``}]로 나타내어지는 일차변환은 회전변환과 닮음변환의 합성변환이다.

① [eqn: 3over8 pi]	② [eqn: 7over16 pi]	③ [eqn: 1over2 pi]	④ [eqn: 9over16 pi]	⑤ [eqn: 5over8 pi]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

③

ㄱ. 주어진 함수 [eqn: f(x)]의 그래프에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 연속이므로 함수 [eqn: f(x-1)]은 [eqn: x=0]에서 연속이다. (참)

ㄴ. [eqn: h(x)= f(x)f(-x)]라 하면
[eqn: h(1)= f(1)f(-1)=0]이고
[eqn: lim _{x -> 1+} {} h(x)][eqn: =][eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)f(-x)=(-1) CDOT 1=-1]
이므로 [eqn: lim _{x -> 1+} {} h(x) != h(1)]이다.
따라서 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=1]에서 불연속이다. (거짓)

ㄷ. 주어진 함수 [eqn: f(x)]의 그래프에서
[eqn: x -> 3+]일 때, [eqn: f(x) -> 1+]이고
[eqn: x -> 3-]일 때, [eqn: f(x) -> 1-]이며
[eqn: f(3)=1]이다.
따라서
[eqn: lim _{x -> 3+} {} f(f(x))][eqn: = lim _{t -> 1+} {} f(t)][eqn: =-1]
[eqn: lim _{x -> 3-} {} f(f(x))][eqn: = lim _{t -> 1-} {} f(t)][eqn: =0]
따라서 [eqn: lim _{x -> 3+} {} f(f(x))][eqn: !=][eqn: lim _{x -> 3-} {} f(f(x))]이므로
함수 [eqn: f(f(x))]는 [eqn: x=3]에서 불연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x-1)]은 [eqn: x=0]에서 연속이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)f(-x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(f(x))]는 [eqn: x=3]에서 불연속이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

세 이차정사각행렬 [eqn: A,~B,~C``]가 [eqn: (AB`)^2 =A^2 B^2 ,~BA=AC``]를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: B^2 A][eqn: =B(BA)][eqn: =B(AC)] (∵ [eqn: BA=AC])
[eqn: =(BA)C][eqn: =(AC)C] (∵ [eqn: BA=AC])
[eqn: =AC^2] (참)

ㄴ. [eqn: B^-1]이 존재하면
[eqn: (AB)^2 =A^2 B^2]에서
[eqn: (AB)^2 B^-1 = A^2 B^2 B^-1]
[eqn: ABA = A^2 B]
[eqn: BA = AC]이므로
[eqn: ABA = A^2 C]
∴ [eqn: A^2 B= A^2 C] (참)

[다른 풀이]

[eqn: A^2 B][eqn: = (A^2 B^2 ) B^-1]
[eqn: =(AB)^2 B^-1] (∵ [eqn: (AB)^2 = A^2 B^2])
[eqn: = ABA]
[eqn: = A(AC)] (∵ [eqn: BA=AC])
[eqn: = A^2 C] (참)

ㄷ. 행렬 [eqn: AC]의 역행렬이 존재하고
[eqn: BA=AC]이므로 행렬 [eqn: BA]의 역행렬이 존재한다.
따라서 행렬 [eqn: A], [eqn: B] 각각의 역행렬이 존재한다.
[eqn: (AB)^2 = A^2 B^2]에서
[eqn: A^-1 (AB)^2 B^-1 = A^-1 (A^2 B^2 ) B^-1]
∴ [eqn: AB= BA]
그런데 [eqn: BA= AC]이므로 [eqn: AB= AC]이다.
따라서 [eqn: A^-1 (AB)= A^-1 (AC)]에서
[eqn: B= C]이다. (참)

[3점]

	보기
ㄱ. [eqn: B^2 A=AC``^2] ㄴ. [eqn: B`]의 역행렬이 존재하면 [eqn: A^2 B=A^2 C``]이다. ㄷ. [eqn: AC``]의 역행렬이 존재하면 [eqn: B=C``]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 실수 [eqn: x]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하기 위한 필요충분조건인 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

②

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능한 경우

[eqn: lim_h->0 { f(a+h)-f(a)} over { h} = f'(a)]이 성립한다.

즉, [eqn: lim_h->0 { f(a+h)-f(a)} over { h}]이 존재하고 그 값이 [eqn: f'(a)]이다.

따라서 [eqn: f' (a)]가 존재하는 경우

[eqn: lim_h->0 { f(a+h^2 )-f(a)} over { h^2}][eqn: = lim_t->+0 { f(a+t)-f(a)} over { t}][eqn: = f'(a)]

[eqn: lim_h->0 { f(a+h)-f(a-h)} over { 2h}]

[eqn: =lim_h->0 1 over2 left{{ f(a+h)-f(h)} over { h} + { f(a-h)-f(h)} over {-h } right}]
[eqn: = 1 over2 left{f'(a) + f'(a)right}]
[eqn: = f'(a)]

[eqn: lim_h->0 { f(a+h^3 )-f(a)} over { h^3}][eqn: = lim_t->0 { f(a+t)-f(a)} over { t}][eqn: = f'(a)]

로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 성립한다.

하지만 [eqn: f(x)= |`x-a`|]인 경우 [eqn: x=a]에서 미분불가능하지만

[eqn: lim_h->0 { f(a+h^2 )-f(a)} over { h^2}][eqn: = lim_h->0 { |`h^2`|} over { h^2}=1]

[eqn: lim_h->0 { f(a+h)-f(a-h)} over { 2h}][eqn: = lim_h->0 { |`h`|-|-h|} over { h}][eqn: =0]

이다.

따라서 ㄱ, ㄷ은 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하기 위한 필요조건이다.

또한, [eqn: h^3 =t]라 하면

[eqn: h -> 0+]일 때, [eqn: h ^{3} -> 0+]이므로 [eqn: t -> 0+]이고

[eqn: h -> 0-]일 때, [eqn: h ^{3} -> 0-]이므로 [eqn: t -> 0-]이다.

따라서 [eqn: lim_h->0 { f(a+h^3 )-f(a)} over { h^3}][eqn: = lim_t->0 { f(a+t)-f(a)} over { t}]이므로

[eqn: lim_h->0 { f(a+h^3 )-f(a)} over { h^3}]의 값이 존재하면

[eqn: lim_t->0 { f(a+t)-f(a)} over { t}] 즉, [eqn: lim_h->0 { f(a+h)-f(a)} over { h}]의 값이 존재한다.

따라서 ㄴ은 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하기 위한 필요충분조건이다.

[참고]

ㄱ의 식은 함수 [eqn: f(x)]의 [eqn: x=a]에서의 우미분계수를 의미하고

ㄷ의 식은 함수 [eqn: f(x)]의 구간 [eqn: [a+h , ``a-h]]에서의 평균변화율의 극한을 의미한다.

[4점]

ㄱ. [eqn: lim_h->0 ``{f(a+h^2 )-f(a)}over h^2]의 값이 존재한다.

ㄴ. [eqn: lim_h->0 ``{f(a+h^3 )-f(a)}over h^3]의 값이 존재한다.

ㄷ. [eqn: lim_h->0 ``{f(a+h)-f(a-h)}over2h]의 값이 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

닫힌 구간 [eqn: left[`0,~ piover2 right]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= {sin`2x}over{1+sin`x}]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

⑤

ㄱ. 구간 [eqn: left[0 , ``pi over2 right]]에서 [eqn: 0 le sin 2x le1]이고 [eqn: 1 le 1+ sin x le2]이므로
[eqn: f(x)= { sin2x} over { 1+sin x} ge0]이다. (참)

ㄴ. [eqn: f(0)=0], [eqn: f LEFT ( pi over2 RIGHT )=0]이므로 롤의 정리에 의해서
[eqn: f'(c)=0]인 [eqn: c]가 열린 구간 [eqn: LEFT ( 0 , ``pi over2 RIGHT )]에 존재한다. (참)

ㄷ. 열린 구간 [eqn: LEFT ( 0 , ``pi over2 RIGHT )]에서 [eqn: sin 2x !=0]이므로
열린 구간 [eqn: LEFT ( 0 , ``pi over2 RIGHT )]에서 [eqn: f(x)>0]이다.
ㄴ에서 [eqn: f(0)=0], [eqn: f LEFT ( pi over2 RIGHT )=0]이므로
함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: int_0^{pi over2} f(x)dx]이다.
[eqn: 1+sin x=t]라 하면 [eqn: cos x dx = dt]이고
[eqn: x=0]일 때, [eqn: t=1]이고 [eqn: x= pi over2]일 때, [eqn: t=2]이므로
[eqn: int_0^{pi over2} f(x)dx][eqn: =int_0^{pi over2} { sin 2x} over { 1+sinx} dx]
[eqn: = int_0^{pi over2} { 2 sinx cosx} over { 1+sinx}dx]
[eqn: = int_1^2 { 2(t-1)} over { t}dt]
[eqn: = 2 int_1^2 LEFT ( 1- 1 overt RIGHT )dt]
[eqn: = 2 left[ t - ln ``t ]_1^2][eqn: =2(1-ln``2)] (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[다른 풀이]

ㄴ. [eqn: f'(x)][eqn: = { 2 cos 2x (1+sin x)- sin2x cos x} over { LEFT ( 1+sinx RIGHT )^2}]
[eqn: f'(0)=2], [eqn: f' LEFT ( pi over2 RIGHT )][eqn: =-1]이므로 중간값의 정리에 의하여
[eqn: f'(c)=0]인 [eqn: c]가 열린 구간 [eqn: LEFT ( 0 , ``pi over2 RIGHT )]에 존재한다. (참)

ㄱ. [eqn: f(x)ge0]

ㄴ. [eqn: f`'(c)=0]인 [eqn: c]가 열린 구간 [eqn: left(0,~ piover2 right)]에 존재한다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 2-2`ln`2]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= {(`ln`x)^6}over x^2]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [eqn: left(단,~lim_x->inf `{(`ln`x)^6}over x^2 =0이다.right)]

③

[eqn: lim _{x -> 0+} {} {1} over {x ^{2}} = INF], [eqn: lim _{x -> 0+} {} ` LEFT ( ln``x RIGHT ) ^{6} = INF]이므로 [eqn: lim _{x -> 0+} {} {LEFT ( ln``x RIGHT ) ^{6}} over {x ^{2}} = INF]이다.

[eqn: f`'(x)][eqn: = { 6 LEFT ( ln ``x RIGHT )^5 cdot 1 overx cdot x^2 - LEFT ( ln ``x RIGHT )^6 cdot2x } over { (x^2 )^2}][eqn: = { 2x LEFT ( ln ``x RIGHT )^5 LEFT ( 3 - ln ``x RIGHT ) } over { x^4}]

이므로 [eqn: f'(x)=0]에서 [eqn: x=1], [eqn: x=e^3]이고

[eqn: f(x)]의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	⋯	[eqn: 1]	⋯	[eqn: e^3]	⋯
[eqn: f`'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: inf]	↘	[eqn: 0]	↗	[eqn: LEFT ( 3 overe RIGHT )^6]	↘

또한, [eqn: x >0]인 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) ge0]이고 [eqn: lim_x->inf { LEFT ( ln ``x RIGHT )^6 } over { x^2}][eqn: =0]이므로

함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

ㄱ. (참)

ㄴ. (거짓)

ㄷ. [eqn: e<3]이므로 [eqn: LEFT ( 3 overe RIGHT )^6 >1]이다. 따라서 위의 그림과 같이 방정식 [eqn: f(x)=1]을 만족하는 실근의 개수는 [eqn: 3]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[4점]

ㄱ. [eqn: x=e^3]에서 극댓값을 갖는다.

ㄴ. [eqn: x=e]에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. [eqn: x>0]에서 방정식 [eqn: f(x)=1]의 실근의 개수는 [eqn: 3]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림은 어떤 정보 [eqn: x]를 [eqn: 0]과 [eqn: 1]의 두 가지 중 한 가지의 송신 신호로 바꾼 다음 이를 전송하여 수신 신호를 얻는 경로를 나타낸 것이다.

이때 송신 신호가 전송되는 과정에서 수신 신호가 바뀌는 경우가 생기는데, 각각의 경우에 따른 확률은 다음과 같다.

④

정보 [eqn: x]가 [eqn: 1]의 송신신호로 바뀌는 사건을 [eqn: A]라 하고

송신신호가 수신신호 [eqn: 1]로 전송되는 사건을 [eqn: B]라 할 때,

구하는 확률은 [eqn: {rm P}(A`|`B)]이다.

주어진 조건에 의해서

[eqn: {rm P}(A^C ``)=0.4][eqn: = 2 over5], [eqn: {rm P}(A)= 0.6][eqn: = 3 over5]

[eqn: {rm P}(B `|`A^C ``) =0.05][eqn: = 1 over20], [eqn: {rm P}(B `|`A) =0.95][eqn: = 19 over20]

이므로

[eqn: {rm P}(A`|`B)][eqn: = { {rm P}(A cap B)} over{ {rm P}(B) }]
[eqn: = { {rm P}(A cap B) } over{ {rm P}(A cap B)+ {rm P}(A^C cap B) }]
[eqn: = { {rm P}(A) {rm P}(B`|`A) } over{ {rm P}(A) {rm P}(B`|`A) + {rm P}(A^C``) {rm P}(B`|`A^C``) }]
[eqn: = { 3 over5 times 19 over20 } over {3 over5 times 19 over20 + 2 over5 times 1 over20 }]  [eqn: = 57 over59]

송신 신호

수신 신호

정보

[eqn: x]

[eqn: 0]

[eqn: 1]

[eqn: 0]

[eqn: 1]

㈎ 정보 [eqn: x]가 [eqn: 0,~1]의 송신 신호로 바뀔 확률은 각각 [eqn: 0.4,~0.6] 이다.

㈏ 송신 신호 [eqn: 0]이 수신 신호 [eqn: 0,~1]로 전송될 확률은 각각 [eqn: 0.95,~0.05]이다.

㈐ 송신 신호 [eqn: 1]이 수신 신호 [eqn: 0,~1]로 전송될 확률은 각각 [eqn: 0.05,~0.95]이다.

정보 [eqn: x]를 전송한 결과 수신 신호가 [eqn: 1]이었을 때, 송신 신호가 [eqn: 1]이었을 확률은? [4점]

① [eqn: 54over59]	② [eqn: 55over59]	③ [eqn: 56over59]

④ [eqn: 57over59]	⑤ [eqn: 58over59]

[그림 1]과 같이 좌표평면 위에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 큰 원 [eqn: C_1]과 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 작은 원 [eqn: C_2]가 점 [eqn: (4,~0)]에서 외접하고 있다. 이때 작은 원 위의 한 점을 [eqn: rmP]라 하자. [그림 2]와 같이 원 [eqn: C_2]가 원 [eqn: C_1]에 접한 상태로 굴러갈 때, 두 원의 중심을 연결한 선분이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: theta]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: piover2]까지 변할 때, 점 [eqn: (4,~0)]에서 출발한 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는? [4점]

③

점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rmvecOP]의 위치벡터를 [eqn: LEFT ( x , ``y RIGHT )]라 하면

[eqn: theta]가 [eqn: 0]에서 [eqn: pi over2]까지 변할 때, 점 [eqn: rm P]가 움직인 거리는

[eqn: int_0^{pi over2} sqrt { LEFT ( dx over {d theta} RIGHT )^2 + LEFT ( { dy} over {d theta } RIGHT )^2 } cdotd theta]이다.

원 [eqn: C_2]의 중심을 [eqn: rm O']이라 하면

[eqn: rm vecOO' = LEFT ( 5 cos theta , ``5 sin theta RIGHT )],

[eqn: rmvec{O'P}][eqn: = LEFT ( cos (pi+5theta) , ``sin(pi+5theta) RIGHT )][eqn: = LEFT ( -cos5theta , ``-sin 5 theta RIGHT )]

이므로

[eqn: rm vecOP][eqn: = rm vec{OO'} + vecO'P][eqn: = LEFT ( 5 cos theta -cos5theta , ``5 sin theta -sin5 theta RIGHT )]

∴ [eqn: dx over{d theta}][eqn: = -5 sin theta +5 sin 5theta]
[eqn: dy over{d theta}][eqn: = 5 cos theta -5 cos 5theta]

[eqn: LEFT ( dx over {d theta} RIGHT )^2 + LEFT ( { dy} over {d theta } RIGHT )^2]

[eqn: = LEFT (-5 sin theta +5 sin 5theta RIGHT )^2 + LEFT ( 5 cos theta -5 cos 5theta RIGHT )^2]

[eqn: =50-50 LEFT ( sin theta sin 5theta +costheta cos5 theta RIGHT )]

[eqn: = 50- 50 cos 4 theta]

[eqn: =50 -50(1- 2 sin^2 2theta)]

[eqn: =100 sin^2 2 theta]

∴ [eqn: int_0^{pi over2} sqrt { LEFT ( dx over {d theta} RIGHT )^2 + LEFT ( { dy} over {d theta } RIGHT )^2 } cdotd theta]

[eqn: = int_0^{pi over2} 10 sin 2 theta d theta][eqn: =left[matrix{it#it} -5 cos 2 theta right]_0^{pi over2}][eqn: =10]

[그림 1]                 [그림 2]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

두 수열 [eqn: left{a_n right},~left{b_n right}]을 다음과 같이 정의하자.

㈎ [eqn: a_1 =0,~b_1 =2]

㈏ [eqn: n]이 짝수이면
[eqn: a_n =a_n-1 + b_n-1 over n ,~b_n =b_n-1 - b_n-1 over n]이다.

㈐ [eqn: n]이 [eqn: 1]보다 큰 홀수이면
[eqn: a_n =a_n-1 - a_n-1 over n ,~b_n =b_n-1 + a_n-1 over n]이다.

[eqn: a_41 = q over p]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.)

③

조건 (나)의 두 식을 더하면 [eqn: a_n +b_n = a_n-1 +b_n-1]

조건 (다)의 두 식을 더하면 [eqn: a_n +b_n = a_n-1 +b_n-1]

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+1 +b_n+1 = a_n +b_n]

그런데 [eqn: a_1 +b_1 =0+2=2]이므로

[eqn: a_n +b_n =2] ⋯⋯ ㉠

조건 (나)에서

[eqn: a_2n][eqn: = a_2n-1 + b_2n-1 over2n]
[eqn: =a_2n-1 + { 2- a_2n-1} over {2n }] (∵ ㉠)
[eqn: = { 2n-1} over { 2n} cdot a_2n-1 + 1overn] ⋯⋯ ㉡

조건 (다)에서

[eqn: a_2n+1][eqn: = a_2n - { a_2n} over { 2n+1}]
[eqn: = { 2n} over { 2n+1} cdota_2n]
[eqn: = { 2n} over { 2n+1} cdot LEFT ( { 2n-1} over { 2n} cdot a_2n-1 + 1overn RIGHT )] (∵ ㉡)
[eqn: = { 2n-1} over { 2n+1} cdot a_2n-1 + 2 over2n+1]

∴ [eqn: (2n+1) a_2n+1 = (2n-1) a_2n-1 +2]

∴ [eqn: c_n =(2n-1)a_2n-1]이라 하면 수열 [eqn: left{c_n right}]은 첫째항이 [eqn: a_1 =0]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열을 이룬다.

∴ [eqn: c_n = (2n-1)a_2n-1 = 2(n-1)]

∴ [eqn: a_2n-1 = { 2n-2} over { 2n-1}]

∴ [eqn: a_41][eqn: = 40 over 41]

[4점]

① [eqn: 79]	② [eqn: 80]	③ [eqn: 81]

④ [eqn: 82]	⑤ [eqn: 83]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 두 원을 서로의 중심을 지나도록 그렸을 때, 두 원의 내부에서 겹친 부분이 나타내는 도형을 [eqn: F_1]이라 하자. [eqn: F_1]의 내부에 반지름의 길이가 같고 서로의 중심을 지나는 두 원을 [eqn: F_1]과 접하면서 반지름의 길이가 최대가 되도록 그렸을 때, 그려진 두 원의 내부에서 겹친 부분이 나타내는 도형을 [eqn: F_2]라 하자. [eqn: F_2]의 내부에 반지름의 길이가 같고 서로의 중심을 지나는 두 원을 [eqn: F_2]와 접하면서 반지름의 길이가 최대가 되도록 그렸을 때, 그려진 두 원의 내부에서 겹친 부분이 나타내는 도형을 [eqn: F_3]이라 하자.

이와 같은 방법으로 계속하여 도형 [eqn: F_n]을 그려 나갈 때, [eqn: F_n]의 둘레의 길이를 [eqn: l_n]이라 하자. [eqn: sum_n=1^inf `l_n]의 값은? [4점]

①

도형 [eqn: F_1]의 두 원의 중심을 연결하는 선분과 도형 [eqn: F_2]의 두 원의 중심을 연결하는 선분은 서로 다른 것을 수직이등분한다.

도형 [eqn: F_2]의 반지름의 길이를 [eqn: x]라 하면 위 그림의 직각삼각형 [eqn: rm O_1 O_2 H]에서

[eqn: (3-x)^2 = LEFT ( 3 over2 RIGHT )^2 + LEFT ( x over2 RIGHT )^2]

[eqn: 3x^2 -24x +27=0]

[eqn: x^2 -8x+9=0]

∴ [eqn: x = 4- sqrt { 7}] (∵ [eqn: x<3])

따라서 서로 닮음인 도형 [eqn: F_1]과 [eqn: F_2]의 닮음비는 [eqn: { 4- sqrt { 7} } over { 3}]이다.

위 그림에서 [eqn: l_1 =][eqn: 2 times LEFT ( 3 times 2 over3 pi RIGHT ) =4pi]이므로

수열 [eqn: left{l_n right}]은 첫째항이 [eqn: 4pi]이고 공비가 [eqn: { 4- sqrt { 7} } over { 3}]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf l_n][eqn: = { 4pi} over { 1-{ 4- sqrt { 7} } over {3 } }][eqn: =2pi (1+ sqrt { 7})]

① [eqn: 2pi(1+sqrt7 )]	② [eqn: 8piover3 (1+sqrt7 )]

③ [eqn: 4piover3 (2+sqrt7 )]	④ [eqn: 2pi(2+sqrt7 )]

⑤ [eqn: 5piover3 (2+sqrt7 )]

단답형

분수방정식 [eqn: 1over x + 1over x-12 = 2over5]의 모든 실근의 합을 구하여라.

17

[eqn: 1 overx + 1 overx-12 = 2 over5]

[eqn: LRARROW] [eqn: 5(x-12)+5x = 2x(x-12)], [eqn: x!=0], [eqn: x!=12]

[eqn: LRARROW] [eqn: x^2 -17x +30=0], [eqn: x!=0], [eqn: x!=12]

[eqn: LRARROW] [eqn: x=2], [eqn: x=15]

따라서 구하는 모든 실근의 합은 [eqn: 2+15=17]

[3점]

좌표공간 위의 점 [eqn: rmA(4,~6,~7)]에서 두 점 [eqn: rmB(1,``-1,~2),]
[eqn: rmC(5,``-3,~8)]을 지나는 직선까지의 거리를 [eqn: d]라 할 때, [eqn: d^2]의 값을 구하여라. [3점]

69

두 점 [eqn: rm B(1 , ``-1 , ``2)], [eqn: rm C(5, ``-3 , ``8)]을 지나는 직선을 [eqn: l]이라 하면 직선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: { x-1} over { 5-1} = { y-(-1)} over { -3-(-1)} = { z-2} over { 8-2}]

즉, [eqn: x-1 over2 = y+1 over-1 = { z-2} over { 3}]이다.

따라서 [eqn: x-1 over2 = y+1 over-1 = { z-2} over { 3}][eqn: =t](실수)라 하면

직선 [eqn: l] 위의 점은 [eqn: rm P]는 [eqn: (2t+1 , ``-t-1 , ``3t+2 )]로 표현되고

[eqn: rm barAP]의 최솟값이 [eqn: d]이다.

[eqn: rm {barAP}^2][eqn: = (2t-3)^2 +(-t-7)^2 +(3t-5)^2]
[eqn: =14t ^{2} -28t+83]
[eqn: =14 LEFT ( t- 1RIGHT )^2 +69]
[eqn: ge 69]

∴ [eqn: d^2 =69]

[다른 풀이]

위 풀이에서 [eqn: bar{rmAP}]가 최소가 될 때는 [eqn: bar{rm AP} bot l]인 경우이다.

직선 [eqn: l]의 방향벡터를 [eqn: vec h = (2, ``-1, ``3)]로 놓으면 [eqn: vec{rm AP} cdot vech =0]이므로

[eqn: (2t-3 , ``-t -7 , ``3t-5) cdot(2, ``-1, ``3)]

[eqn: =4t-6 +t+7 +9t-15]

[eqn: =14t -14=0]

∴ [eqn: t=1]

∴ [eqn: vec{rm AP}=(-1 , ``-8 , ``-2)]

∴ [eqn: d^2 = left|`vec{rm AP}`right|^2][eqn: = (-1)^2 +(-8)^2 +(-2)^2}][eqn: =69]

두 곡선 [eqn: y=ln`x+3,~y=ln`1over x +3]과 직선 [eqn: x=e]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는 [eqn: V`]이다. [eqn: V over pi]의 값을 구하여라. [4점]

12

[eqn: ln ``x +3 = ln ``1 overx +3]에서 [eqn: 2 ln ``x =0] ∴ [eqn: x=1]

따라서 두 곡선은 [eqn: (1, ``3)]에서 만난다.

∴ [eqn: V][eqn: =pi int_1^e left{ LEFT ( ln``x+3 RIGHT )^2 - LEFT ( ln ``1 overx +3 RIGHT )^2 right}dx]
[eqn: =12pi int_1^e ln``x cdot dx]
[eqn: =12pi left[ x ln ``x -x matrix{it#it}right]_1^e =12pi]

∴ [eqn: V overpi =12]

그림과 같은 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 네 모서리 [eqn: rmAD,] [eqn: rm CD`,`] [eqn: EF,~EH]의 중점을 각각 [eqn: rmP,~Q,~R,] [eqn: rmS]라 하고, 두 선분 [eqn: rmRS]와 [eqn: rmEG]의 교점을 [eqn: rmM]이라 하자. 평면 [eqn: rmPMQ]와 평면 [eqn: rmEFGH]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan^2 `theta+sec^2 `theta]의 값을 구하여라.

17

[eqn: rm barPQ]//[eqn: rm barEG]이므로 평면 [eqn: rm PMQ]는 평면 [eqn: rm PEGQ]에 포함된다.

따라서 [eqn: theta]는 평면 [eqn: rm PEGQ]와 평면 [eqn: rm EFGH]가 이루는 예각이다.

정육면체의 한 변의 길이를 [eqn: 4]라 하면

[eqn: rm barPQ = sqrt { 2^2 +2^2} = 2 sqrt { 2}],

[eqn: rm barEG = sqrt { 4^2 +4^2} =4 sqrt { 2}],

[eqn: rm barQG = barPE = sqrt { 2^2 +4^2} = 2 sqrt { 5}]

이므로 사각형 [eqn: rm PEGQ]는 등변사다리꼴이다.

점 [eqn: rm Q]에서 변 [eqn: rm EG]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmI]라 하면 그림에서

[eqn: rm barQI = sqrt { (2 sqrt { 5} )^2 -( sqrt { 2} )^2} = 3 sqrt { 2}]

점 [eqn: rm Q]에서 평면 [eqn: rm EFGH]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm K]라 하면 점 [eqn: rm Q]에서 평면 [eqn: rm EFGH]에 이르는 거리가 [eqn: 4]이므로 [eqn: rm barQK =4]

삼수선의 정리에 의해서 [eqn: rm angle QIK = theta]이므로

[eqn: sin theta = { 4} over { 3 sqrt { 2} }= { 2 sqrt { 2} } over { 3}]

∴ [eqn: cos theta = sqrt { 1-sin^2 theta} = 1 over3]

∴ [eqn: tan^2 theta + sec^2 theta][eqn: = 2 sec^2 theta -1][eqn: = 2 times 9 -1 =17]

[4점]

다음과 같이 두 수 [eqn: 0]과 [eqn: 1]만을 사용하여 제[eqn: n]행에 [eqn: n]자리의 자연수를 크기순으로 모두 나열해 나간다. [eqn: (n=1,~2,~3,~cdots)]

제[eqn: 1]행	[eqn: 1]
제[eqn: 2]행	[eqn: 10,~11]
제[eqn: 3]행	[eqn: 100,~101,~110,~111]
제[eqn: 4]행	[eqn: 1000,~1001,~1010,~1011,~1100,~1101,~1110,~1111]
[eqn: cdots]

제[eqn: n]행에 나열한 모든 수의 합을 [eqn: a_n]이라 하자. 예를 들어,
[eqn: a_2 =21,] [eqn: a_3 =422]이다. [eqn: lim_n->inf `a_n over20^n = q over p]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

379

[eqn: a_1 =1]

[eqn: a_2 = 2 times 10 +1]

[eqn: a_3 = 4 times10^2 +2 times (10+1)]

[eqn: a_4 = 8 times 10^3 + 4times (10^2 +10 +1)]

⋮

∴ [eqn: a_n][eqn: = 2^n-1 times 10^n-1 + 2^n-2 times LEFT ( 10^n-2 + 10^n-3 + cdots + 10+1 RIGHT )]
[eqn: = (20)^n-1 + 2^n-2 times {10^n-1 -1 } over { 10-1}]
[eqn: = 19 over18 (20)^n-1 - 1 over9 cdot 2^n-2]

∴ [eqn: lim_n->inf a_n over20^n][eqn: = lim_x->inf left{ 19 over360 - 1 over36 LEFT ( 1 over10 RIGHT )^n right}][eqn: = 19over360]

∴ [eqn: p=360], [eqn: q=19], [eqn: p+q=379]

세 다항함수 [eqn: f(x),~g(x),~h(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

㈎ [eqn: f(1)=1,~g(1)=2]

㈏ 모든 실수 [eqn: x,~y]에 대하여
[eqn: f(xy+1)=xg(y)+h(x+y)] 이다.

이때 [eqn: int_0^3 `left{f(x)+g(x)+h(x)right}`dx]의 값을 구하여라. [4점]

18

[eqn: f(xy+1)=xg(y)+h(x+y)] ⋯⋯ ㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=0] 을 대입하면

[eqn: f(1)= h(y)]

[eqn: f(1)=1]이고 위 식은 모든 실수 [eqn: y]에 대하여 성립해야하므로

[eqn: h(x)]는 상수함수이다.

∴ [eqn: h(x)=1]

따라서 ㉠의 식은

[eqn: f(xy+1)=x g(y)+1] ⋯⋯ ㉡

㉡의 양변에 [eqn: y=1]을 대입하면

[eqn: f(x+1)= x g(1)+1]

[eqn: g(1)=2]이므로

[eqn: f(x+1)][eqn: =2x+1]

∴ [eqn: f(x)=2x-1] ⋯⋯ ㉢

따라서 [eqn: f(xy+1)=][eqn: 2(xy+1)-1][eqn: =2xy+1]이므로

㉡에서 [eqn: 2xy+1 = x g(y)+1]

따라서 [eqn: g(y)=2y] 즉, [eqn: g(x)=2x]이다.

∴ [eqn: f(x)+g(x)+h(x)= 4x]

∴ [eqn: int_0^3 left{f(x)+g(x)+h(x) right}dx][eqn: = int_0^3 4xdx][eqn: =left[2x^2 right]_0^3][eqn: =18]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2013년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설