◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

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수 학 영 역

‘나’형

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2012학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a_n = sqrt{4n+ 1- 2sqrt{4n^2 + 2n``}`},~ b_n = sqrt{2n+ 1- 2sqrt{n^2 + n``}`}]
이라 할 때, [eqn: lim_n->inf `a_n over b_n]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: a_n][eqn: = sqrt {(2n+1)+2n-2 sqrt {2n(2n+1)}}]
[eqn: = sqrt {(sqrt { 2n+1}- sqrt { 2n})^2 }]
[eqn: =sqrt { 2n+1}- sqrt { 2n}]

[eqn: b_n][eqn: = sqrt { (n+1)+n -2 sqrt { n(n+1)} }]
[eqn: =sqrt { LEFT ( sqrt { n+1}- sqrt { n} RIGHT )^2 }]
[eqn: =sqrt { n+1}- sqrt { n}]

[eqn: lim_n->inf { a_n } over { b_n}][eqn: =lim_n->inf {sqrt { 2n+1}- sqrt { 2n} } over { sqrt { n+1}- sqrt { n}}]
[eqn: =lim_n->inf {sqrt { n+1}+ sqrt { n} } over { sqrt { 2n+1}+ sqrt { 2n}}]
[eqn: =lim_n->inf {sqrt { 1+ 1overn}+ 1 } over { sqrt { 2+ 1 overn}+ sqrt { 2}}]
[eqn: ={ 2} over { 2 sqrt { 2} }][eqn: =sqrt { 2} over2]

① [eqn: - sqrt2 over2]	② [eqn: - sqrt2 over4]	③ [eqn: 1`]
④ [eqn: sqrt2 over4]	⑤ [eqn: sqrt2 over2]

함수 [eqn: f``( x`)= x`lim_n->inf `{2- x^2n}over{2+ x^2n}]에 대하여
[eqn: lim _{x -> -1-} {} `f``(x`)= alpha ,~ lim _{x -> 1-} {} `f``(x`)= beta `] 라 할 때, [eqn: alphabeta`]의 값은? [2점]

④

[eqn: |`x`|>1]일 때, [eqn: lim_n->inf { 2-x^2n} over { 2+x^2n} = -1],

[eqn: |`x`|<1]일 때, [eqn: lim_n->inf { 2-x^2n} over { 2+x^2n} = 1]이므로

[eqn: alpha =][eqn: lim _{x -> -1-} {} f(x)= lim _{x -> -1-} {} (-x)=1]

[eqn: beta=][eqn: lim _{x -> 1-} {} f(x)= lim _{x -> 1-} {} x=1]

∴ [eqn: alpha beta = 1]

① [eqn: - 4`]	② [eqn: - 1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 4`]

[eqn: 0`]이 아닌 서로 다른 세 실수 [eqn: p,~ q,~ r`]에 대하여 삼차함수
[eqn: f``( x`)= ( x- p`)`( x- q`)`( x- r`)`]라 할 때,
[eqn: p^2 over{f``' ( p`)} + q^2 over{f``' ( q`)} + r^2 over{f``' ( r`)}]의 값은? [3점]

⑤

[eqn: f'(x) = (x-q)(x-r)+(x-r)(x-p) +(x-p)(x-q)]

이므로

[eqn: p^2 overf'(p) + q^2 overf'(q) + r^2 overf'(r)]

[eqn: = { p^2} over { (p-q)(p-r)} + {q^2} over { (q-r)(q-p)} + r^2 over{(r-p)(r-q)}]

[eqn: = {p^2 (q-r)-q^2 (p-r)+r^2 (p-q) } over { (p-q)(p-r)(q-r)}]

이때,

[eqn: p^2 (q-r)-q^2 (p-r)+r^2 (p-q)]

[eqn: =p^2 (q-r) -(q^2 -r^2 )p +q^2 r - qr^2]

[eqn: = (q-r) left{ p^2 -(q+r)p +qr right}]

[eqn: = (p-q)(p-r)(q-r)]

이므로 [eqn: p^2 overf'(p) + q^2 overf'(q) + r^2 overf'(r)][eqn: =1]

① [eqn: - 1`]	② [eqn: - 1over2]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1`]

이차정사각행렬 [eqn: A`]가 [eqn: A^2 - 2A= E`]와 [eqn: A pmatrix{1``#2``}= pmatrix{3``#4``}]를 만족시킬 때, 행렬 [eqn: A^2 `]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

②

[eqn: A pmatrix{``{1}``#``{2}``} = pmatrix{``{3}``#``{4}``}] ⋯⋯ ㉠

이므로 [eqn: A^2 pmatrix{``{1}``#``{2}``}][eqn: =A cdot A pmatrix{``{1}``#``{2}``}][eqn: = A pmatrix{``{3}``#``{4}``}]

그런데 [eqn: A^2 =2A+ E]이므로

[eqn: A^2 pmatrix{``{1}``#``{2}``}][eqn: = (2A+E)pmatrix{``{1}``#``{2}``}]
[eqn: = 2A pmatrix{``{1}``#``{2}``} +E pmatrix{``{1}``#``{2}``}]
[eqn: = 2 pmatrix{``{3}``#``{4}``} +pmatrix{``{1}``#``{2}``}][eqn: = pmatrix{``{7}``#``{10}``}]

∴ [eqn: A pmatrix{``{3}``#``{4}``}][eqn: = pmatrix{``{7}``#``{10}``}] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: A pmatrix{``{1}``&``{3}``#``{2}``&``{4}``}][eqn: = pmatrix{``{3}``&``{7}``#``{4}``&``{10}``}]

[eqn: A][eqn: =pmatrix{``{3}``&``{7}``#``{4}``&``{10}``} {pmatrix{``{1}``&``{3}``#``{2}``&``{4}``}}^-1]
[eqn: = - 1 over2 pmatrix{``{3}``&``{7}``#``{4}``&``{10}``} pmatrix{`````````{4}``&``{-3}``#``{-2}``&`````````{1}``}]
[eqn: = - 1 over2 pmatrix{``{-2}``&``{-2}``#``{-4}``&``{-2}``}]
[eqn: = pmatrix{``{1}``&``{1}``#``{2}``&``{1}``}]

따라서 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 [eqn: 5]이다.

[eqn: A^2 = 2A+E]이고 행렬 [eqn: E]의 모든 성분의 합이 [eqn: 2]이므로

행렬 [eqn: A^2]의 모든 성분의 합은 [eqn: 2 times5 +2 = 12]

[다른 풀이]

행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 [eqn: A pmatrix{``{1}``#``{1}``}]의 모든 성분의 합과 같다.

위 풀이의 ㉠, ㉡에서

[eqn: A pmatrix{``{3}``#``{4}``}][eqn: -A pmatrix{``{1}``#``{2}``}][eqn: = A left{ pmatrix{``{3}``#``{4}``}- pmatrix{``{1}``#``{2}``}right}][eqn: =A pmatrix{``{2}``#``{2}``}]이고

[eqn: pmatrix{``{7}``#``{10}``}][eqn: - pmatrix{``{3}``#``{4}``}][eqn: = pmatrix{``{4}``#``{6}``}]이므로

[eqn: A pmatrix{``{2}``#``{2}``}][eqn: = pmatrix{``{4}``#``{6}``}] 즉, [eqn: 2 A pmatrix{``{1}``#``{1}``}= 2pmatrix{``{2}``#``{3}``}]에서

[eqn: A pmatrix{``{1}``#``{1}``}][eqn: = pmatrix{``{2}``#``{3}``}]

따라서 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 [eqn: 5]

[3점]

① [eqn: 11`]	② [eqn: 12`]	③ [eqn: 13`]	④ [eqn: 14`]	⑤ [eqn: 15`]

정육면체 모양의 주사위 한 개를 세 번 던져서 나온 눈의 수를 나온 순서대로 [eqn: x,~ y,~ z`]라 할 때, [eqn: x- y+ z= 7`]이 될 확률은?

①

[eqn: x-y =7-z]

ⅰ) [eqn: z=6]일 때, [eqn: x-y =1]이고
이때, 순서쌍 [eqn: (x, ``y)]를 정하는 방법의 수는 [eqn: 5]가지

ⅱ) [eqn: z=5]일 때, [eqn: x-y =2]이고
이때, 순서쌍 [eqn: (x, ``y)]를 정하는 방법의 수는 [eqn: 4]가지

ⅲ) [eqn: z=4]일 때, [eqn: x-y =3]이고
이때, 순서쌍 [eqn: (x, ``y)]를 정하는 방법의 수는 [eqn: 3]가지

ⅳ) [eqn: z=3]일 때, [eqn: x-y =4]이고
이때, 순서쌍 [eqn: (x, ``y)]를 정하는 방법의 수는 [eqn: 2]가지

ⅴ) [eqn: z=2]일 때, [eqn: x-y =5]이고
이때, 순서쌍 [eqn: (x, ``y)]를 정하는 방법의 수는 [eqn: 1]가지

ⅰ)~ⅴ)에서 구하는 확률은

[eqn: { 1+2+3+4+5} over { 6times6times6} = 5 over72]

[3점]

① [eqn: 5over72]	② [eqn: 1over12]	③ [eqn: 7over72]	④ [eqn: 1over9]	⑤ [eqn: 1over8]

이산확률변수 [eqn: X`]가 값 [eqn: x`]를 가질 확률이
[eqn: P(X=x`)= {` _{6} C _{x} `} over {k}]
(단, [eqn: x= 1,~2,~3,~4,~5,~6`]이고 [eqn: k`]는 상수이다.)
일 때, 확률변수 [eqn: X`]의 기댓값을 [eqn: m`]이라 하면
[eqn: mk^2 = 2^a times 3^b times 7^c `]이다. 세 자연수 [eqn: a,~ b,~ c`]의 합 [eqn: a+ b+ c`]의 값은? [3점]

③

[eqn: sum_x=1^6 {rmP}(X=x)][eqn: = 1 over k sum_x=1^6 `_6 {rmC}_x][eqn: = 1 over k (2^6 -1)][eqn: =1]이므로

[eqn: k = 2^6 -1][eqn: = 63][eqn: = 3^2 times7]

[eqn: {rmE}(X)][eqn: =sum_x=1^6 x cdot {rmP}(X=x)]

[eqn: = 1 over k sum_x=1^6 x cdot`_6 {rmC}_x][eqn: = 2^6 over k sum_x=1^6 x cdot`_6 {rmC}_x LEFT ( 1 over2 RIGHT ) ^6][eqn: = 2^6 over k sum_x=0^6 x cdot`_6 {rmC}_x LEFT ( 1 over2 RIGHT ) ^6]
[eqn: = 2^6 overk cdot 3]

[eqn: left(matrix{it#it}]∵ 이항분포 [eqn: {rm B} LEFT ( 6, `` 1 over2 RIGHT )]를 따르는 확률변수의 확률질량함수는 [eqn: `_6 {rmC}_x LEFT ( 1 over2 RIGHT )^6]이고 평균은 [eqn: sum_x=0^6 x cdot`_6 {rmC}_x LEFT ( 1 over2 RIGHT ) ^6][eqn: = 6 times 1 over2 =3][eqn: matrix{it#it}right)]

따라서 [eqn: m = 2^6 overk cdot3]에서 [eqn: k^2 m = 2^6 cdot3 k = 2^6 cdot 3^3 cdot 7]

∴ [eqn: a=6], [eqn: b=3], [eqn: c=1]

∴ [eqn: a+b+c=10]

[다른 풀이]

항등식 [eqn: (x+1)^n = sum_i=0^n ``_n {rmC}_i x^i]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: n (x+1)^n-1 = sum_i=1^n i times `_n {rmC}_i x^i-1]

위 식의 양변에 [eqn: x][eqn: =1]을 대입하면

[eqn: n cdot2^n-1][eqn: = sum_i=1^n i times `_n {rmC}_i]

∴ [eqn: sum_i=1^6 x times `_6 {rmC}_x][eqn: = 6 cdot2^5 = 3 cdot 2^6]

① [eqn: 8`]	② [eqn: 9`]	③ [eqn: 10`]	④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 12`]

지질학에서 암석의 연대를 측정하는 방법 중 하나로 포타슘-40 은 방사선 분해과정을 거쳐 일정한 비율로 아르곤-40으로 바뀌는 점을 이용한 포타슘-아르곤연대측정법을 사용한다. 암석이 생성되어 [eqn: t`]년이 되었을 때, 포타슘-40과 아르곤-40의 양을 각각 [eqn: P`( t``),~ A`( t``)`]라 하면
[eqn: 2^t = left{ 1+ 8.3 times {A`( t``)}over{P`( t``)} right}^c ``( 단,~ c`는~ 상수이다.)]
이 성립한다고 하자. 이 방법으로 암석의 연대를 측정하였을 때 포타슘-40의 양이 아르곤-40의 양의 [eqn: 20`]배인 암석이 생성된 것은 [eqn: k`]년 전이다. [eqn: k`]의 값은? (단, [eqn: log1.415= 0.15,~ log2= 0.30`]으로 계산한다.) [3점]

②

[eqn: A(t) overP(t) = 1 over20]이므로

[eqn: 2^k = left{1 +8.3 times 1 over20 right}^c = 1.415^c]

위 식의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: k times log``2 = c times log``1.415]

∴ [eqn: k= {log``1.415} over {log``2} c= {0.15} over {0.30} c= {1} over {2} c]

① [eqn: 1over3 c`]	② [eqn: 1over2 c`]	③ [eqn: 2c`]	④ [eqn: 3c`]	⑤ [eqn: 4c`]

어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 [eqn: S`]라 하자. [eqn: S`]의 부분집합인 세 사건 [eqn: A,~ B,~ C`]는 다음 조건을 만족한다.

④

조건 (다)에 의해서

[eqn: {rm P}(A cap B) = {rm P}(A) cdot {rm P}(B) = 1 over2 cdot 1 over3 = 1 over6]이므로

[eqn: {rm P} (A cup B) = {rm P}(A)+{rm P}(B) -{rm P}(A cap B) = 1 over2 + 1 over3 - 1 over6 = 2 over3]

조건 (가), (나)에 맞게 벤다이어그램을 그리면 다음과 같다.

조건 (가)에 의해서

[eqn: (A cup B)^C][eqn: = C - ( A cup B)][eqn: = 1 - 2 over3 = 1 over3]이고

조건 (나)에 의해서

[eqn: {rm P}(A cap C) + {rm P}(B cap C ) = 2 over3 - 1 over3 = 1 over3]이므로

[eqn: {rm P}( A `|`C)+ {rm P}( B `|`C)][eqn: = {{rm P}(A cap C) + {rm P}(B cap C ) } over {{rmP}(C) }][eqn: = {1 over3} over { 2 over3} = 1 over2]

㈎ [eqn: A`cupB``cupC= S`]

㈏ 사건 [eqn: A`capB`]와 사건 [eqn: C`]는 서로 배반이다.

㈐ 사건 [eqn: A`]와 사건 [eqn: B`]는 서로 독립이다.

[eqn: ```\P( A`)= 1over2 ,```\P( B`)= 1over3 ,```\P( C`)= 2over3]일 때, [eqn: ```\P( A`|`C`)+ \P( B``|`C`)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 1over3]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 2over3]

곡선 [eqn: y= x^4 + x^2 `]과 직선 [eqn: y= 2over n `( n= 1,~2,~3,~cdots)`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: a_n `]이라 하자. [eqn: S= sum_n=1^inf `left( a_n - a_n+1 `right)`]이라 할 때, [eqn: S`]의 값은? [3점]

④

[eqn: a_n - a_n+1]은 곡선 [eqn: y=x^4 +x^2]와 직선 [eqn: y= 2 overn], [eqn: y= 2 overn+1]로 둘러싸인 부분의 넓이므로

그림과 같이 [eqn: S]는 곡선 [eqn: y=x^4 +x^2]과 직선 [eqn: y=2]로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.

[eqn: x^4 +x^2 =2]에서 [eqn: (x^2 +2)(x^2 -1)=0]이므로 곡선 [eqn: y=x^4 +x^2]과 [eqn: y=2]는

∴ [eqn: S][eqn: = int_-1^1 left{2-(x^4 +x^2 ) right}dx]
[eqn: = 2 left[2x- 1 over5 x^5 - 1 over3 x^3 right]_0^1]
[eqn: = 2 LEFT ( 2 - 1 over5 - 1 over3 RIGHT )]
[eqn: = 44 over15]

[다른 풀이]

[eqn: lim_n->inf 2 overn][eqn: =0]이므로 [eqn: lim_n->inf a_n =0]

그런데 [eqn: a_n = a_1 + sum_k=1^n-1 (a_n+1 -a_n )]이므로

[eqn: sum_n=1^inf (a_n -a_n+1 ) = a_1]

① [eqn: 11over15]	② [eqn: 22over15]	③ [eqn: 11over5]	④ [eqn: 44over15]	⑤ [eqn: 11over3]

두 함수 [eqn: y= f``( x`)`]와 [eqn: y= g`( x`)`]의 그래프가 그림과 같다.

⑤

ㄱ. [eqn: lim _{x -> -1-} {} f(x)g(x)=(-1) TIMES (-1)=1]

[eqn: lim _{x -> -1+} {} f(x)g(x)=(-1) TIMES 1=-1]
∴ [eqn: lim _{x -> -1} {} f(x)g(x)]은 존재하지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1-} {} f(x)g(x)=(-1) TIMES (-1)=1]

[eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)g(x)=1 TIMES 1=1]
∴ [eqn: lim_x->1 f(x) g(x) = 1] (참)

ㄷ. ㄱ에 의해서 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=-1]에서 불연속이다.

[eqn: f(1)g(1)=1times -1 =-1]이고

ㄴ에서  의해서 [eqn: lim_x->1 f(x) g(x) = 1]이므로
[eqn: lim_x->1 f(x) g(x) != f(1)g(1)]

따라서 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=-1]에서 불연속이다.

따라서 함수 [eqn: f(x)g(x)]의 불연속점은 [eqn: 2]개다. (참)

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: lim_x->-1 `f``( x`)`g`( x`)=- 1`]

ㄴ. [eqn: lim_x->1 `f``( x`)`g`( x`)= 1`]

ㄷ. 함수 [eqn: y= f``( x`)`g`( x`)`]의 불연속점의 개수는 [eqn: 2`]개이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

이차함수 [eqn: f``( x`)`]와 연속함수 [eqn: g`( x`)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: ( x- 2)`g`( x`)= f``( x`)- f``( 2)`]
를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: x!=2]일 때, [eqn: (x-2)g(x)= f(x)-f(2)]에서
[eqn: g(x)= {f(x)-f(2)} overx-2]
[eqn: f(x)]는 미분가능한 함수이므로
[eqn: lim_x->2 g(x) =][eqn: lim_x->2 { f(x)-f(2)} over { x-2}= f'(2)] (참)

ㄴ. [eqn: f(x)-f(2)]는 이차함수이고 [eqn: x=2]일 때 [eqn: 0]이므로 [eqn: x-2]라는 인수를 갖는다. 따라서 [eqn: g(x)]는 일차함수이다. 따라서 [eqn: g(x)]는 미분가능하다.
이때, [eqn: (x-2)g(x)= f(x)-f(2)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: g(x)+(x-2)g'(x) = f'(x)]
∴ [eqn: (x-2)g'(x) = f'(x)- g(x)] (참)

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: g(x)]가 일차함수이므로 [eqn: g'(x)]는 [eqn: 0]이 아닌 상수이다.
따라서 [eqn: (x-2)g'(x)]는 일차함수로 부호가 [eqn: x=2]기준으로 음에서 양 또는 양에서 음으로 바뀐다.
문제의 조건만으로 [eqn: g'(x)]의 부호를 판단할 수 없으므로 [eqn: x>2]일 때, [eqn: g(x)< f'(x)]인지 [eqn: g(x)>f'(x)]인지 판단을 할 수 없다. (거짓)

[다른 풀이]

ㄷ. [eqn: { f(x)-f(2)} over { x-2}]는 [eqn: (x , ``f(x))]와 [eqn: (2, ``f(2))]를 잇는 선분의 기울기와 같다.

[eqn: x>2]일 때, 위 그림에서 [eqn: y = f(x)]의 그래프의 개형이
아래로 볼록한 경우 [eqn: g(x)>f'(x)],
위로 볼록한 경우 [eqn: g(x)< f'(x)]가 됨을 알 수 있다.
문제에서 [eqn: f(x)]가 위로 볼록한지 아래로 볼록한지 주어지지 않았으므로
[eqn: x>2]에서 [eqn: g(x)]와 [eqn: f'(x)]의 크기를 비교할 수 없다.

[3점]

ㄱ. [eqn: lim_x->2 `g`( x`)= f``' ( 2)`]

ㄴ. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: ( x- 2)`g`' ( x`)= f``' ( x`)- g`( x`)`]

ㄷ. [eqn: x``＞`2`]일 때, [eqn: g`( x`)`＜`f``' ( x`)`]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: x,~ y`]에 대한 연립방정식

③

[eqn: log`_3 ``x = X], [eqn: log`_2 ``y = Y]라 하면 주어진 연립방정식은

[eqn: log`_3 ``x + log`_2 ``1 overy = 1]

[eqn: LRARROW] [eqn: X-Y =1] ⋯⋯ ㉠

[eqn: log`_9 ``3x + log`_{1 over2}``y = 1- k over2]

[eqn: LRARROW] [eqn: 1 over2 (1 + log`_3 ``x ) - log`_2 ``y = 1- k over2]

[eqn: LRARROW] [eqn: X - 2Y = 1 -k] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: X = k+1], [eqn: Y = k]

따라서 [eqn: log`_3 ``alpha = k+1], [eqn: log`_2 ``beta = k]에서

[eqn: alpha][eqn: = 3^k+1], [eqn: beta = 2^k]

[eqn: alpha le beta] [eqn: LRARROW] [eqn: 3^k+1 le 2^k] [eqn: LRARROW] [eqn: 3 le LEFT ( 2 over3 RIGHT )^k]

[eqn: LEFT ( 2 over3 RIGHT )^-1][eqn: = 3 over2 <3], [eqn: LEFT ( 2 over3 RIGHT )^-2 = 9 over4 <3], [eqn: LEFT ( 2 over3 RIGHT )^-3 = 8 over27 >3]

이므로 [eqn: alpha le beta]를 만족하는 정수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: -3]이다.

[eqn: cases{`log_3 ``x+ log_2 `1over y = 1##`log_9 ``3x+ log_{1over2} `y= 1- k over 2}`]

의 해를 [eqn: x= alpha,~ y= beta`]라 할 때, [eqn: alpha`≤`beta`]를 만족시키는 정수 [eqn: k`]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: - 5`]	② [eqn: - 4`]	③ [eqn: - 3`]	④ [eqn: - 2`]	⑤ [eqn: - 1`]

무리함수 [eqn: f``( x`)= sqrt{x+ 1}]과 자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림과 같이 [eqn: y= f``( x`)`]의 그래프 위의 한 점 [eqn: ``` P _{n} ` LEFT ( n,~f``(n`)`)` RIGHT .]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: Q _{n}], [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: R _{n} `]이라 하자. 점[eqn: ``rmA(- 1,~ 0)`]에 대하여 사각형 [eqn: AQ _{n} P _{n} R _{n} `]의 넓이를 [eqn: S_n `], 삼각형[eqn: ```\AQ_n \P_n `]의 넓이를 [eqn: T_n `]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf `{S_n + T_n}over{S_n - T_n}]의 값은? [3점]

③

[eqn: rm triangle AQ _{it n } P_{it n }][eqn: rm= 1 over2 barAQ_{itn} times bar{P_{it n }Q_{itn}}][eqn: = 1 over2 (n+1) sqrt { n+1}]

[eqn: rm triangle AP _{it n } R_{it n }][eqn: rm= 1 over2 bar{P_{itn}R_{itn}} times bar{P_{it n }Q_{itn}}][eqn: = 1 over2 n sqrt { n+1}]

이므로

[eqn: S_n][eqn: rm = triangle AQ _{it n } P_{it n } + triangle AP _{it n } R_{it n }][eqn: = 1 over2 (2n+1) sqrt { n+1}]

[eqn: T_n][eqn: = 1 over2 (n+1) sqrt { n+1}]

∴ [eqn: lim_n->inf { S_n +T_n} over { S_n -T_n}][eqn: = lim_n->inf {1 over2 (3n+2 ) sqrt { n+1} } over {1 over2 n sqrt { n+1} }][eqn: = lim_n->inf LEFT ( 3 + 2 overn RIGHT )][eqn: =3]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

함수 [eqn: f``( x`)`]를

②

[eqn: - 1 over4^n (x-n)(x-n-1)]에 [eqn: n=0]을 대입하면 [eqn: - x(x-1)]이므로

음이 아닌 정수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f(x)][eqn: = - 1 over4^n (x-n)(x-n-1)] ([eqn: n le x <n+1])

이다. 이때,

[eqn: a_n =int_n^n+1 f(x)dx] 이라 하면

[eqn: S_n][eqn: = int_0^n+1 f(x)dx]
[eqn: = int_0^1 f(x)dx + int_1^2 f(x)dx + cdots + int_n^n+1 f(x)dx]
[eqn: = a_0 +a_1 + cdots + a_n]
[eqn: = sum_i=0^n a_i]

그런데

[eqn: a_n][eqn: = int_n^n+1 left{ - 1 over4^n (x-n )(x-n-1) right}dx]
[eqn: = 1 over6 cdot 1 over4^n] ∴ [eqn: LEFT ( int_alpha^beta a(x-alpha)(x-beta)dx = - a over6 (beta-alpha)^3 RIGHT )]

이므로

[eqn: lim_n->inf S_n][eqn: = sum_n=0^inf a_n][eqn: = sum_n=0^inf 1 over6 cdot 1 over4^n][eqn: = { 1 over6} over { 1 - 1 over4}][eqn: = 2 over9]

[eqn: f``(x`)= {cases{`-x`(x-1)&(0` LEQ `x``＜`1)#&#- {1} over {4 ^{n}} (x-n`)`(x-n-1)```````````&(n` LEQ `x``＜`n+1)}}]

[eqn: ( n= 1,~2,~3,~cdots)`]

이라 정의하자. [eqn: S_n = int_0^n+1 `f``( x`)`dx`]라 할 때, [eqn: lim_n->inf `S_n `]의 값은?

[3점]

① [eqn: 1over9]	② [eqn: 2over9]	③ [eqn: 1over3]	④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5over9]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1+ sqrt3]인 정사각형[eqn: ``rmABCD`]가 있다. 두 변[eqn: ``rmAB`]와[eqn: ``rmBC`]를 [eqn: 1```:``sqrt3]으로 내분하는 점을 각각 [eqn: ``rmP,~Q`] 라 하고, 두 변[eqn: ``rmCD`]와[eqn: ``rmDA`]를 [eqn: sqrt3 ``:``1`]로 내분하는 점을 각각 [eqn: ``rm R,~S`]라 하자. 이때, 두 선분[eqn: ``rmPR,~QS`]의 교점을[eqn: ``rmT`]라 하고, 네 사각형[eqn: ``rmAPTS,~PBQT,~TQCR,~STRD`]를 만든다.
먼저 사각형[eqn: ``rmAPTS`]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: A_1 `], 사각형 [eqn: A_1 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: A_2 `], 사각형 [eqn: A_2 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: A_3 `]라 하자. 또, 사각형[eqn: ``rmPBQT`]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: B_1 `], 사각형 [eqn: B_1 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: B_2 `], 사각형 [eqn: B_2 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: B_3 `]라 하자. 또, 사각형[eqn: ``rmTQCR`]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: C_1 `], 사각형 [eqn: C_1 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: C_2 `], 사각형 [eqn: C_2 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: C_3 `]라 하자. 또, 사각형[eqn: ``rmSTRD`]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: D_1 `], 사각형 [eqn: D_1 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: D_2 `], 사각형 [eqn: D_2 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: D_3 `]라 하자.

⑤

사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 원래 사각형의 넓이의 [eqn: 1 over2]이므로

[eqn: sum_n=1^inf a_n = {1 over2 □rm APTS } over { 1- 1 over2} = □rm APTS]

마찬가지 방법으로

[eqn: sum_n=1^inf b_n = □rmPBQT], [eqn: sum_n=1^inf c_n = □rmTQCR], [eqn: sum_n=1^inf d_n = □rmSTRD]

그림에서 [eqn: rm barAS = barAP =1], [eqn: rm barSD = barPB =sqrt { 3}]이므로

∴ [eqn: sum_n=1^inf (a_n -b_n +c_n -d_n )][eqn: = (1+3) - ( sqrt { 3}+ sqrt { 3})][eqn: =4 -2 sqrt { 3}]

∴ [eqn: p=4], [eqn: q =-2]

∴ [eqn: p+q =2]

이와 같은 과정을 계속하여 사각형 [eqn: A_n ,~ B_n ,~ C_n ,~ D_n `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 각각 [eqn: A _{n+1} ,~B _{n+1} ,~C _{n+1} ,````][eqn: D_n+1 `]이라 하자. 사각형 [eqn: A_n ,~ B_n ,~ C_n ,~ D_n `]의 넓이를 각각 [eqn: a _{n} ,~][eqn: b _{n} ,~][eqn: c _{n} ,~][eqn: d _{n} ```]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( a _{n} -b _{n} +c _{n} -d _{n} ` RIGHT ) =p+q` sqrt {3} ``]을 만족시키는 두 유리수 [eqn: p,~ q`]의 합 [eqn: p+ q`]의 값은? [3점]

① [eqn: - 2`]	② [eqn: - 1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

이차정사각행렬 [eqn: A,~ B`]가 [eqn: A^2 B^3 = O`]를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: O`]는 영행렬이고, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

③

ㄱ. 만약 [eqn: AB]의 역행렬이 존재하면 [eqn: (AB)^-1 = B^-1 A^-1]이므로
행렬 [eqn: A]와 [eqn: B]의 역행렬이 모두 존재해야한다.
이때, [eqn: A^2 B^3 = O]의 양변의 앞쪽에 [eqn: (A^-1 )^2]를 뒤쪽에 [eqn: (B^-1 )^3]을 곱하면
좌변은 [eqn: (A^-1 ) ^2 A^2 B^3 (B^-1 )^3 = E]
우변은 [eqn: (A^-1 ) ^2 O (B^-1 )^3 = O]
이 되어 등식이 성립하지 않는다.
따라서 행렬 [eqn: AB]의 역행렬은 존재하지 않는다. (참)

ㄴ. [eqn: A = pmatrix{``{0}``&``{1}``#``{1}``&``{0}``}], [eqn: B][eqn: = pmatrix{``{0}``&``{1}``#``{0}``&``{0}``}]이라 하면
[eqn: A]의 역행렬은 존재하고
[eqn: B^2 = O]이므로 [eqn: A^2 B^3 = O]을 만족하지만
[eqn: AB][eqn: = pmatrix{``{0}``&``{0}``#``{0}``&``{1}``}], [eqn: BA = pmatrix{``{1}``&``{0}``#``{0}``&``{0}``}]로 [eqn: AB !=BA]이다. (거짓)

[참고]

[eqn: B!=O]이고 [eqn: B^n = O] ([eqn: n ge3])이면

[eqn: B^-1]이 존재하지 않으므로 행렬 [eqn: B]는 [eqn: B ^2 = k B]꼴로 나타낼 수 있다. (∵ 케일리해밀턴정리)

이때, [eqn: B^n =k B^n-1 = k^2 B^n-2 = cdots = k^n-1 B]이므로 [eqn: B^n = O]에서 [eqn: k =0]이다.

∴ [eqn: B^2 = kB = O]이다.

ㄷ. [eqn: 2A-B = E]이면 [eqn: B = 2A-E]에서
[eqn: AB = A(2A-E) = 2A^2 -A]
[eqn: BA = (2A-E)A = 2A^2 - E]
이므로 [eqn: AB= BA]이다.
∴ [eqn: (AB)^2012][eqn: = A^2012 B^2012][eqn: = A^2010 (A^2 B^3 )B^2009][eqn: =O] (참)

[참고]

행렬 [eqn: B]가 행렬 [eqn: A]에 대한 다항식꼴로 나타내어질 때, [eqn: AB = BA]가 성립한다.

예) [eqn: B = A^2 -A+E]이면
[eqn: AB = A(A^2 -A+E)][eqn: = A^3 -A^2 +A]
[eqn: BA = (A^2 - A+E)A][eqn: = A^3 -A^2 +A]
이므로 [eqn: AB =BA]

	보기
ㄱ. 행렬 [eqn: AB`]의 역행렬이 존재하지 않는다. ㄴ. 행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하면 [eqn: AB= BA`]이다. ㄷ. [eqn: 2A- B= E`]이면 [eqn: ( AB`)^2012 = O`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n`]에 대하여 집합 [eqn: A_n ,~ B_n `]을

①

[eqn: n^2 +n le 1 over2 n +5]에서

[eqn: 2n^2 +n -10 =(2n+5)(n-2) le0]

따라서 [eqn: n le2]일 때, [eqn: n^2 +n le 1 over2 n +5]가 성립한다.

따라서 [eqn: A_n subset B_n]([eqn: n=1], [eqn: 2])이고 [eqn: B_n subset A_n (n=3, ``4, ``cdots)]이다.

따라서 [eqn: A_n -B_n = emptyset]([eqn: n=1], [eqn: 2])이므로 [eqn: a_n =0]이고

[eqn: n ge3]일 때, [eqn: a_n][eqn: = n(A_n ) - n(B_n )][eqn: = n^2 +n - left[ 1 over2 n +5 right]]이다.

그런데

[eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: left[ 1 over2 n +5 right]][eqn: = 1 over2 n +5]

[eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: left[ 1 over2 n +5 right]][eqn: = 1 over2 n +5 - 1 over2]

이므로

[eqn: sum_n=1^20 a_n][eqn: = sum_n=3^20 LEFT ( n^2 +n - left[ 1 over2 n +5 right] RIGHT )]
[eqn: = sum_n=3^20 LEFT ( n^2 +n RIGHT )][eqn: - sum_n=3^20 LEFT ( left[ 1 over2 n +5 right] RIGHT )]

이때, [eqn: sum_k=1^n LEFT ( k^2 +k RIGHT )][eqn: = 1 over3 n (n+1)(n+2)]이므로

[eqn: sum_n=3^20 LEFT ( n^2 +n RIGHT )][eqn: =left{ sum_n=1^20 LEFT ( n^2 +n RIGHT ) - sum_n=1^2 LEFT ( n^2 +n RIGHT ) right}]
[eqn: = 1 over3 ( 20 cdot21 cdot22 - 2 cdot 3 cdot4 )]
[eqn: = 1 over3 (9240-24)][eqn: =3072]

이고

[eqn: sum_n=3^20 LEFT ( left[ 1 over2 n +5 right] RIGHT )][eqn: = sum_n=3^20 LEFT ( 1 over2 n +5 RIGHT )][eqn: - 9 cdot 1 over2]

(∵ [eqn: 3]~[eqn: 20]까지 자연수 중 홀수는 [eqn: 9]개)
[eqn: =LEFT ( sum_n=1^20 1 over2 n - sum_n=1^2 1 over2 n RIGHT ) + 18 times 5][eqn: - 9 cdot 1 over2]
[eqn: =LEFT ( 105 - 3 over2 RIGHT ) +90][eqn: - 9 over2]
[eqn: =189]

이므로 [eqn: sum_n=1^20 a_n][eqn: =3072-189][eqn: =2883]

[eqn: A_n = left{( n,~ k`) vert k`≤ n^2 + n,~ k`는~ 자연수`right}]

[eqn: B_n = left{( n,~ k`) leftvert k`≤ 1over2 n + 5,~ k`는~ 자연수`right}]

라 하자. 집합 [eqn: A_n - B_n `]의 원소의 개수를 [eqn: a_n `]이라 할 때,
[eqn: sum_n=1^20 `a_n `]의 값은? [4점]

① [eqn: 2883`]	② [eqn: 2886`]	③ [eqn: 2889`]

④ [eqn: 2892`]	⑤ [eqn: 2895`]

다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식

②

[eqn: a_i+1 -a_i][eqn: = sum_k=1^i+1 { [`log``3^k`]} over { k} - sum_k=1^i { [`log``3^k`]} over { k}][eqn: = { [`log``3^i+1`]} over { i+1}]이므로

[eqn: b_i][eqn: = (i+1) (a_i+1 -a_i )][eqn: =(i+1) cdot { [`log``3^i+1`]} over { i+1}][eqn: = [`log``3^i+1`]]

∴ (가)[eqn: = [`log``3^i+1`]]

[eqn: sum_k=1^m b_k = (m+1) a_m+1 - sum_k=1^m a_k - a_1]이므로

(나)[eqn: =][eqn: sum_k=1^m b_k +a_1][eqn: = sum_k=1^m [`log``3^k+1`] + [`log``3`]] (∵ (가))
[eqn: = sum_k=1^m+1 [`log``3^k`]]

[eqn: sum_k=1^m+1 [`log``3^k`]][eqn: = sum_k=1^m [`log``3^m+1-k`]][eqn: +][eqn: left[`log``3^m+1 ` right]]이므로

[eqn: sum_k=1^m [`log``3^k`]][eqn: + sum_k=1^m+1 [`log``3^k`]][eqn: = sum_k=1^m LEFT ( [`log``3^k`] - [`log``3^m+1-k`] RIGHT )][eqn: +left[`log``3^m+1 ` right]]

∴ (다) [eqn: =left[`log``3^m+1 ` right]]

∴ [eqn: f(n)][eqn: = [`log``3^n+1`]], [eqn: g(n)= sum_k=1^n+1 [`log``3^k`]], [eqn: h(n)][eqn: =left[`log``3^n+1 ` right]]

∴ [eqn: f(n)+g(n)- h(n)][eqn: = sum_k=1^n+1 [`log``3^k`]]

[eqn: 3^1 =3], [eqn: 3^2 =9], [eqn: 3^3 =27], [eqn: 3^4 =81], [eqn: 3^5 =243], [eqn: 3^6 =729], [eqn: 3^7 =2187]이므로

[eqn: sum_k=1^7 [`log``3^k`]][eqn: = 0+0+1+1+2+2+3 =9]

∴ [eqn: n = 7-1 =6]

[eqn: sum_k=1^n `{left[ log 3^k `right]}over k ≤`left[ log3^n `right]`]	[eqn: cdotscdots`( *)]

이 성립함을 증명한 것이다.
(단, [eqn: [ x`]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

<증명>

(1) [eqn: n= 1`]일 때, [eqn: ( 좌변)= [ log3],~ ( 우변)= [ log3]`]이므로 [eqn: ( *)]이 성립한다.

(2) 임의의 자연수 [eqn: i`]에 대하여

[eqn: a_i = sum_k=1^i `{left[ log 3^k `right]}over k ,~ b_i = ( i+ 1)`( a_i+1 - a_i `)`]

라 하면 [eqn: b_i =]

㈎

이다.

이때, [eqn: n`≤`m``( m`은~ 자연수)`]일 때, [eqn: ( *)]이 성립한다고
가정하면

[eqn: a_i `≤`left[ log3^i `right]] (단, [eqn: i`]는 [eqn: m] 이하의 자연수이다.)

이제, [eqn: n= m+ 1`]일 때, [eqn: ( *)]이 성립함을 보이자.

[eqn: sum_k=1^m `b_k = ( m+ 1)`a_m+1 - sum_k=1^m `a_k - a_1 `]

이므로 [eqn: ( m+ 1)`a_m+1 = sum_k=1^m `a_k +]

㈏

그런데 [eqn: left[ log3^k `right]+ left[ log3^m+1-k `right]`≤`left[ log3^m+1 `right]`]이므로

[eqn: ( m+ 1)`a_m+1 `≤`sum_k=1^m `left[ log3^k `right]+ sum_k=1^m+1 `left[ log3^k `right]`]

[eqn: = sum_k=1^m `left( left[ log3^k `right]+ left[ log3^m+1-k `right]`right)+]

㈐

[eqn: ≤`m`left[ log3^m+1 `right]+ left[ log3^m+1 `right]`]

[eqn: = ( m+ 1)`left[ log3^m+1 `right]`]

[eqn: therefore~ a_m+1 `≤`left[ log3^m+1 `right]`]

그러므로 [eqn: n= m+ 1`]일 때도 [eqn: ( *)]이 성립한다.

따라서 (1)과 (2)에 의해 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: ( *)]이 성립한다.

위의 [eqn: ㈎,~ ㈏,~ ㈐]에 알맞은 식을 각각 [eqn: f``( i`),~ g`( m`),~ h`( m`)`]이    라 할 때, [eqn: f``( n`)+ g`( n`)- h`( n`)= 9`]를 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의    값은? [4점]

① [eqn: 4`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 10`]	⑤ [eqn: 12`]

양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f``( x`)= {|`x- 1``|}over{[ x`]+ 1}]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

④

ㄱ. [eqn: f(1)=0]
[eqn: lim_x->1 |`x-1`|=0]이고
[eqn: lim_x->2-0 ([`x`]+1)=1], [eqn: lim_x->2+0 ([`x`]+1)=2]
이므로 [eqn: lim_x->1 f(x) =0]이다.
따라서 [eqn: lim_x->1 f(x) =][eqn: f(1)=0]이므로
[eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다. (참)

ㄴ. [eqn: lim_x->2 |`x-1`|=1]이고
[eqn: lim _{x -> 2-} {} ([`x`]+1)=2], [eqn: lim _{x -> 2+} {} ([`x`]+1)=3]이므로
[eqn: lim _{x -> 2-} {} f(x)= {1} over {2}], [eqn: lim _{x -> 2+} {} f(x)= {1} over {3}]
따라서 [eqn: lim_x->2 f(x)]는 존재하지 않는다.

ㄷ. [eqn: x-1 <[`x`] le x]이므로
[eqn: x >1]일 때, [eqn: { x-1} over {x +1} le f(x) < { x-1} over {x }]
그런데 [eqn: lim_x->inf { x-1} over { x+1} = 1], [eqn: lim_x->inf { x-1} over { x}=1]이므로
[eqn: lim_x->inf f(x) =1]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ㄱ. [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

ㄴ. [eqn: lim _{x-> 2} {} f(x)= {1} over {2}]

ㄷ. [eqn: lim _{x -> INF } {} f(x)=1]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 다항함수 [eqn: f``( x`),~ g`( x`)`]가 임의의 실수 [eqn: x,~ y`]에 대하여
[eqn: x` LEFT { `f``(x+y`)-f`(x-y`)` RIGHT } =4y` LEFT { f``(x`)+g`(y`)` RIGHT }] 를 만족시킨다.
[eqn: f``( 1)= 4,~ g`( 0)= 1`]일 때, [eqn: f``' ( 2)`]의 값은? [4점]

①

[eqn: x left{ f(x+y )- f(x-y) right} = 4y left{ f(x)+g(y) right]에서

[eqn: x times {f(x+y)-f(x-y) } over { 2y} = 2 left{f(x)+g(y) right}]

[eqn: f(x)], [eqn: g(x)]는 다항함수이므로 연속이고 미분가능하다.

따라서

[eqn: lim_y->0 left{x times {f(x+y)-f(x-y) } over { 2y}right} =x f'(x)],

[eqn: lim_y->0 2 left{f(x)+g(y) right} = 2 left{f(x)+g(0) right} = 2 left{ f(x)+1 right}]

∴ [eqn: x f'(x) = 2 left{ f(x)+1 right}]

[eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: a]인 [eqn: n]차 함수라 하면

[eqn: x f'(x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: an]이고

[eqn: 2 left{ f(x)+1 right}]의 최고차항의 계수는 [eqn: 2a]이므로

[eqn: n=2]이다.

[eqn: f(x) = ax^2 +bx+c]라 하면

[eqn: x (2ax +b ) = 2 (ax^2 +bx+c+1 )]에서

[eqn: b=0], [eqn: c=-1]

또한 [eqn: f(1) = a+b+c][eqn: =a+0-1 =4]에서

[eqn: a=5]

∴ [eqn: f(x) = 5x^2 -1]

∴ [eqn: f'(x)= 10x]

∴ [eqn: f'(2) = 20]

[다른 풀이]

[eqn: x f'(x) = 2 left{ f(x)+1 right}]에서

[eqn: { f'(x)} over { f(x)+1} = 2 overx]

위 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 적분하면

[eqn: ln``(f(x)+1) = 2 ln ``x +C]

[eqn: f(1)=4]이므로 [eqn: C=ln``5]

따라서 [eqn: ln``(f(x)+1) = ln ``5x^2]에서

[eqn: f(x)+1 = 5x^2] 즉, [eqn: f(x) = 5x^2 -1]

① [eqn: 20`]	② [eqn: 24`]	③ [eqn: 38`]	④ [eqn: 32`]	⑤ [eqn: 36`]

함수 [eqn: f``( x`)= sum_n=1^inf `{9^n x^18}over{left( 9+ x^2p `right)^n}]에 대하여 [eqn: f``( x`)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위한 자연수 [eqn: p`]의 개수는? [4점]

④

[eqn: x=0]일 때, [eqn: f(x)=0]

[eqn: x!=0]일 때, [eqn: 0< 9 over9+x^2p <1]이므로

[eqn: f(x)][eqn: = sum_n=1^inf { 9^n x^18} over { (9+x^2p )^n}][eqn: =x^18 times sum_n=1^inf LEFT ( { 9 } over { 9+x^2p } RIGHT )^n]
[eqn: = x^18 times{ { 9} over {9+x^2p } } over { 1- { 9} over { 9+x^2p} }][eqn: =x^18 times { 9} over { x^2p}][eqn: = 9 x^2(9-p)]

[eqn: lim_x->0 f(x)=0]이려면 [eqn: 9-p >0] 즉, [eqn: p<9]이어야 한다.

따라서 자연수 [eqn: p]는 [eqn: 1], [eqn: 2], ⋯ , [eqn: 8]의 총 [eqn: 8]개다.

① [eqn: 2`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 10`]

[eqn: 0`＜`a``＜ 1over2]일 때, 곡선 [eqn: y= x^2] 위의 임의의 점[eqn: ```\P left( a,~ a^2 `right)`]에서 그은 접선 [eqn: l``]이 [eqn: x`]축의 점[eqn: ``rmA`]에서 만난다. 접선 [eqn: l``]을 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동시킨 직선을 [eqn: m`]이라 하고, 직선 [eqn: m`]이 [eqn: y`]축과 만나는 점을[eqn: ``rmB`]라 하자. 또, 점[eqn: ``rmA`]를 지나고 접선 [eqn: l``]에 수직인 직선을 [eqn: n`]이라 할 때, 직선 [eqn: n`]이 [eqn: y`]축과 만나는 점을[eqn: ``rmC`]라 하자. 삼각형[eqn: ``rmABC`]의 넓이를 [eqn: S`( a`)`]라 할 때, [eqn: S`( a`)`]의 극댓값은? [4점]

①

[eqn: y=x^2]에서 [eqn: y'=2x]이므로

접선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y-a^2 =2a (x-a)]즉, [eqn: y = 2ax -a^2]

이고 점 [eqn: {rm A} LEFT ( a over2 , ``0 RIGHT )]이다.

이때,

직선 [eqn: m]의 방정식은 [eqn: y =-2ax +a^2]

직선 [eqn: n]의 방정식은 [eqn: y = - 1 over2a LEFT ( x - a over2 RIGHT )][eqn: = - x over2a + 1 over4]

이므로 점 [eqn: rm B][eqn: LEFT ( 0 , ``a^2 RIGHT )], 점 [eqn: rmC][eqn: LEFT ( 0 , `` 1 over4 RIGHT )]이다.

∴ [eqn: S(a)][eqn: = 1 over2 times LEFT ( 1 over4 - a^2 RIGHT ) times a over2][eqn: = {a(1-4a^2 )} over16] (∵ [eqn: 0 <a< 1 over2])

[eqn: S``'(a)][eqn: = {1-12 a^2 } over { 16} =0]에서 [eqn: a =+- sqrt { 3} over6]이므로

[eqn: S(a)]는 [eqn: a = - sqrt { 3} over6]에서 극솟값을 [eqn: a= sqrt { 3} over6]에서 극댓값을 갖는다.

따라서 구하는 값은

[eqn: S LEFT ( sqrt { 3} over6RIGHT )][eqn: = 1 over16 times sqrt { 3} over6 times LEFT ( 1- 1 over3 RIGHT )]

[eqn: = sqrt { 3} over144]

① [eqn: sqrt3 over144]	② [eqn: 1over48]	③ [eqn: sqrt3 over72]	④ [eqn: 1over12]	⑤ [eqn: sqrt3 over6]

[eqn: 0`＜`a``＜`b``＜`1`]일 때, 직선 [eqn: y= 1`]이 [eqn: y= log_a ``x`]의 그래프와 [eqn: y= log_b ``x`]의 그래프와 만나는 점을 각각[eqn: ``rmP,~Q`]라 하고, 직선 [eqn: y=- 1`]이 [eqn: y= log_a ``x`]의 그래프와 [eqn: y= log_b ``x`]의 그래프와 만나는 점을 각각[eqn: ``rm R,~S`]라 하자. 네 직선 [eqn: ``rmPS,~PR,~QS,~QR`]의 기울기를 각각 [eqn: alpha,~ beta,~ gamma,~ delta`]라 할 때, 다음 중 옳은 것은? [4점]

②

함수 [eqn: y= log`_a ``x], [eqn: y = log`_b ``x]의 그래프와 직선 [eqn: y=1], [eqn: y=-1]를 그려 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R], [eqn: rm S]를 표시하면 다음과 같다.

위 그림에서 [eqn: rmbarPQ < barSR]이므로 [eqn: gamma <alpha < sigma < beta]

① [eqn: delta``＜`alpha``＜`beta``＜`gamma`]	② [eqn: gamma``＜`alpha``＜`delta``＜`beta`]

③ [eqn: gamma``＜`alpha``＜`beta``＜`delta`]	④ [eqn: gamma``＜`alpha= delta``＜`beta`]

⑤ [eqn: alpha= delta``＜`beta``＜`gamma`]

[eqn: 1`]보다 큰 실수 [eqn: a`]에 대하여 두 함수 [eqn: f``( x`)= a^2x ,]
[eqn: g`( x`)= a^x+1 - 2`]가 있다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: h`( x`)`]를 [eqn: h`( x`)= |`f``( x`)- g`( x`)``|`]라 하자. [eqn: y= h`( x`)`]의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

③

[eqn: f(x)- g(x)][eqn: = a^2x -a^x+1 +2]

따라서 [eqn: a^x = t]라 하면

[eqn: f(x)- g(x)][eqn: = t^2 -at +2]

이차방정식 [eqn: t^2 -at +2 =0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D = a^2 -8 =0]에서 [eqn: a =2 sqrt { 2}] (∵ [eqn: a>1])

[eqn: y = t^2 -at +2]는 대칭축이 [eqn: t= a over2]이고 [eqn: y]절편이 [eqn: 2]인 이차함수이므로

[eqn: a]의 크기에 따라서 [eqn: y=|`t^2 -at+2`|]의 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

이때, [eqn: t=a^x]는 모든 실수에서 임의의 양수로의 일대일대응이고

[eqn: x_1 <x _2]에 대하여 [eqn: t_1 < t_2]를 만족한다. ⋯⋯ ㉠

ㄱ. [eqn: a= 2 sqrt { 2}]일 때, [eqn: y =|` t^2 -at +2`|]의 그래프는 [eqn: x]축과 한 점에서 만나므로 (접하므로)
[eqn: y = h(x)]의 그래프도 [eqn: x]축과 한 점에서 만난다. (∵ ㉠) (참)

ㄴ. [eqn: a =4]일 때,
[eqn: t^2 - 4t +2 =0]에서 [eqn: t = 2+- sqrt { 2}]이므로
[eqn: y=|`t^2 -at +2`|]의 그래프는 [eqn: 0 < t <2- sqrt { 2}]에서 감소하고
[eqn: 2- sqrt { 2}<t <2]에서 감소한다. ⋯⋯ ㉡
[eqn: x < 1 over2]일 때, [eqn: 0 <t< 4^{1 over2}=2]이므로  ㉠, ㉡에 의해서 [eqn: h(x_1 )], [eqn: h(x_2 )]의 대소를 비교할 수 없다.

ㄷ. [eqn: y = t^2 -at +2]의 그래프가 직선 [eqn: y =1]과 접할 때, [eqn: y=h(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y =1]이 오직 한 점에서 만나게 된다.
[eqn: t^2 -at +2 =1]에서 [eqn: t^2 -at +1 =0]
위의 방정식은 [eqn: a =2]일 때 중근을 가지므로 [eqn: a =2]일 때,
[eqn: y=h(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y =1]이 오직 한 점에서 만나게 된다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ㄱ. [eqn: a= 2sqrt2]일 때 [eqn: y= h`( x`)`]의 그래프와 [eqn: x`]축은 한 점에서 만난다.

ㄴ. [eqn: a= 4`]일 때 [eqn: x_1 `＜`x_2 `＜ 1over2]이면 [eqn: h`left( x_1 `right)`＞`h`left( x_2 right)`]이다.

ㄷ. [eqn: y= h`( x`)`]의 그래프와 직선 [eqn: y= 1`]이 오직 한 점에서 만나는 [eqn: a`]의 값이 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

등차수열[eqn: ``left{ a_n `right}]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_n `]이라 하자. [eqn: a_10 - a_1 = 27,~ S_10 = a_10 `]일 때, [eqn: S_10 `]의 값을 구하여라. [2점]

[eqn: 15`]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_10 - a_1][eqn: = 9d][eqn: =27]

∴ [eqn: d =3]

[eqn: S_10 = a_10 = S_10 - S_9]에서 [eqn: S_9 =0]

따라서 [eqn: a_1 +a_9 = 2 a_5 =0]에서 [eqn: a_5 =0]

∴ [eqn: S_10][eqn: =a_10][eqn: = a_5 +5d][eqn: =15]

[다른 풀이]

[eqn: S_9 = 9 over2 (2a_1 +8d ) =0]에서 [eqn: a_1 = -4d =-12]

∴ [eqn: S_10][eqn: =a_10][eqn: = a_1 +9d][eqn: =15]

[eqn: 2sum_k=1^5 `x_k + 3sum_k=6^10 `x_k = 8`]을 만족시키는 서로 다른 순서쌍
[eqn: ``( x_1 ,~ x_2 ,~ x_3 ,~ cdots,~ x_10 `)`]의 개수를 구하여라.
(단, [eqn: x_i `]는 음이 아닌 정수이고 [eqn: i= 1,~2,~3,~cdots,~10`]이다.) [3점]

[eqn: 145`]

[eqn: sum_k=1^5 x_k = X], [eqn: sum_k=6 ^10 x_k][eqn: =Y]라 하면

[eqn: X], [eqn: Y]가 음이 아닌 정수이므로

[eqn: 2X+3Y =8]에서 [eqn: (X , ``Y) = (1 , ``2)], [eqn: (4, ``0)]

ⅰ) [eqn: (X , ``Y) = (1 , ``2)]을 만족하는 순서쌍 [eqn: (x_1 , ``x_2 , `` x_3 , ``cdots ``, ``x_10 )]을 정하는 방법의 수는
[eqn: `_5 rmH_1 times `_5 H_2][eqn: = `_5 rmC_1 times `_6 C_2 =75]

ⅱ) [eqn: (X , ``Y) = (4 , ``0)]을 만족하는 순서쌍 [eqn: (x_1 , ``x_2 , `` x_3 , ``cdots ``, ``x_10 )]을 정하는 방법의 수는
[eqn: `_5 rmH_4 times `_5 H_0][eqn: = `_8 rmC_4][eqn: =70]

ⅰ), ⅱ)에서 구하는 순서쌍의 개수는 [eqn: 75+70 = 145]

다항함수 [eqn: f``( x`),~ g`( x`),~ h`( x`)`]에 대하여 [eqn: g`( x`)`]는 [eqn: f``( x`)`]의 도함수이고, [eqn: h`( x`)`]는 [eqn: g`( x`)`]의 도함수라 하자. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f``( x`)+ h`( x`)= 2g`( x`)+ x^4 + 1`]이 성립할 때, [eqn: f``( - 1)`]의 값을 구하여라. [4점]

[eqn: 54`]

[eqn: f'(x) = g(x)], [eqn: g'(x)= h(x)]

[eqn: f(x)+h(x) = 2g(x)+x^4 +1]에서

좌변 [eqn: f(x)+h(x)]의 최고차항은 [eqn: f(x)]의 최고차항과 같고

[eqn: g(x)]의 차수는 [eqn: f(x)]보다 작으므로 우변 [eqn: 2g(x)+x^4 +1]의 최고차항은 [eqn: x^4]이다.

따라서 [eqn: f(x)]는 최고차항이 [eqn: x^4]인 사차함수이다.

[eqn: f(x)][eqn: =x^4 +ax^3 +bx^2 +cx+d]라 하면

[eqn: g(x) = f'(x)][eqn: = 4x^3 +3ax^2 +2bx+c]

[eqn: h(x)=g'(x)][eqn: =12x^2 +6ax +2b]

이고

[eqn: f(x)+h(x)][eqn: = x^4 +ax^3 +(b+12)x^2 +(6a+c)x +2b +d] ⋯⋯ ㉠

[eqn: 2g(x)+x^4 +1][eqn: =x^4 +8x^3 +6ax^2 +4bx +2c +1] ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡의 계수를 비교하면

[eqn: a=8], [eqn: b+12 =6a], [eqn: 6a+c =4b], [eqn: 2b+d =2c +1]

∴ [eqn: a=8], [eqn: b=36], [eqn: c =96], [eqn: d = 121]

∴ [eqn: f(-1)][eqn: =1 -a+b-c+d][eqn: = 1-8+36-96+121][eqn: =54]

그림과 같이 좌표평면 위에서 원 [eqn: x^2 + y^2 - 2x- 4y- 11= 0`]과 직선 [eqn: y= 2x`]가 만나는 두 점을 [eqn: ``rmP,~Q`]라 하고 직선 [eqn: y= 2x] 위에 있지 않은 원 위의 한 점을[eqn: ``rm R`]라 하자.
[eqn: ``rm angleQPR= alpha,~ angleRQP= beta`]에 대하여 행렬 [eqn: A= pmatrix{sinalpha``&sinbeta``#cosalpha``&cosbeta``}]가
[eqn: 8A^2 = 4A+ 7E`]를 만족시킬 때, 삼각형[eqn: ``rmPQR`]의 넓이는 [eqn: S`]이다.
[eqn: S^2 `]의 값을 구하여라.(단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

[eqn: 60`]

[eqn: x^2 +y^2 -2x -4y -11 =0] [eqn: LRARROW] [eqn: (x-1)^2 + (y-2)^2 =4^2]

직선 [eqn: y=2x]는 원의 중심 [eqn: (1, ``2)]를 지나므로

선분 [eqn: rm PQ]는 원의 지름이 된다.

따라서 [eqn: rm angle PRQ = pi over2]이므로

[eqn: beta = pi over2 - alpha]

∴ [eqn: A][eqn: = pmatrix{``{sin alpha}``&``{sin beta}``#``{cos alpha}``&``{cos beta}``}][eqn: = pmatrix{``{sin alpha}``&``{cos alpha}``#``{cos alpha}``&``{sin alpha}``}]

[eqn: A^2][eqn: = pmatrix{``{1}``&``{2sin alpha cos alpha}``#``{2sin alpha cos alpha}``&``{1}``}]이므로

[eqn: 8A^2 =4A +7E]에서

[eqn: pmatrix{``{8}``&``{16sin alpha cos alpha}``#``{16sin alpha cos alpha}``&``{8}``}][eqn: = pmatrix{``{4 sin alpha +7}``&``{4cos alpha}``#``{4cos alpha}``&``{4 sin alpha +7}``}]

[eqn: 4sin alpha +7 =8]에서 [eqn: sin alpha = 1 over4], [eqn: cos alpha = sqrt { 1-sin^2 alpha} = sqrt { 15} over 4]

∴ [eqn: rmbarPR = barPQ cos alpha = 8 cdot sqrt { 15} over4 = 2 sqrt { 15}]
[eqn: rmbarQR = barPQ sin alpha = 8 cdot 1 over4 = 2]

∴ [eqn: S][eqn: rm = 1 over2 barPR cdot barQR][eqn: =2 sqrt { 15}]

∴ [eqn: S^2 =(2 sqrt { 15})^2 =60]

[다른 풀이]

[eqn: 8A^2 = 4A+7E] 즉, [eqn: A^2 - 1 over2 A - 7 over8 E =O]를 만족하는 [eqn: A =kE]꼴의 이차정사각행렬은 존재하지 않으므로 [eqn: A^2 - 1 over2 A - 7 over8 E =O]는 행렬 [eqn: A]의 케일리해밀턴정리에 의해 유도된 다항식과 일치한다.

따라서 [eqn: 2 sin alpha = 1 over2]에서 [eqn: sin alpha = 1 over4]

자연수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f``( n`)`]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 32`]

조건 (가), (나)에서 [eqn: f(3) = f(1+2) = 2f(1) =10]에서 [eqn: f(1) =5]

∴ [eqn: sum_n=1^5 f(2n-1) = 5(1+2 +2^2 +2^3 +2^4 )][eqn: = 5 times 31]

[eqn: f(2) =a]라 하면 조건(나)에서

[eqn: sum_n=1^5 f(2n) = a(1+2 +2^2 +2^3 +2^4 )][eqn: = a times 31]

조건 (다)에 의해서

[eqn: sum_n=1^100 f(n)][eqn: = 10 times sum_n=1^10 f(n)]
[eqn: = 10 times sum_n=1^5 LEFT { f(2n-1)+f(2n) RIGHT }]
[eqn: = 10 times (a+5 ) times 31]
[eqn: =2170]

∴ [eqn: a =2]

[eqn: f(100)][eqn: = f(10)][eqn: =2^4 f(2)][eqn: = 2^4 times a][eqn: = 32]

㈎ [eqn: f``( 3)= 10`]

㈏ [eqn: f``( n+ 2)= 2f``( n`)~ ( n= 1,~2,~3,~cdots,~8)`]

㈐ [eqn: f``( n+ 10)= f``( n`)~ ( n= 1,~2,~3,~cdots)`]

[eqn: sum_n=1^100 `f``( n`)= 2170`]일 때, [eqn: f``( 100)`]의 값을 구하여라. [4점]

두 다항함수 [eqn: f``( x`)`]와 [eqn: g`( x`)`]에 대하여 [eqn: f``' ( x`)= 6x^2 `]이고,
[eqn: g`' ( x`)= 2x`]이다. [eqn: y= f``( x`)`]와 [eqn: y= g`( x`)`]의 그래프가 두 점에서 만날 때, [eqn: f``( 0)- g`( 0)`]의 값들의 합은 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+ q`]의 값을 구하여라.(단, [eqn: p,~ q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: 28`]

[eqn: f' (x) - g'(x)][eqn: =6x^2 -2x]이므로

[eqn: f(x)-g (x)][eqn: = 2 x^3 -x^2 +C]이다.

[eqn: y = f(x)]와 [eqn: y= g(x)]가 서로 다른 두 점에서 만나므로

방정식 [eqn: f(x)-g(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

[eqn: f(x)-g(x)]는 삼차함수이므로 방정식 [eqn: f(x)-g(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 함수 [eqn: f(x)-g(x)]의 (극솟값)[eqn: =0]또는 (극댓값)[eqn: =0]이어야 한다.

[eqn: f' (x) - g'(x)][eqn: =2x (3x-1)][eqn: =0]에서 [eqn: x =0]또는 [eqn: x = 1 over3]이므로

[eqn: f(0)-g(0)=C =0]또는 [eqn: f LEFT ( 1 over3 RIGHT )- g LEFT ( 1 over3 RIGHT ) = 2 over27 - 1 over9 +C =0]

∴ [eqn: C = 0]또는 [eqn: C = 1 over27]

∴ [eqn: q overp = 0+ 1 over27 = 1 over27]

∴ [eqn: p =27], [eqn: q =1], [eqn: p+q =28]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2012년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설