◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

‘가’형

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수 리 영 역

‘가’형

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2012학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a_n = sqrt{4n+ 1- 2sqrt{4n^2 + 2n``}`},~ b_n = sqrt{2n+ 1- 2sqrt{n^2 + n``}`}]
이라 할 때, [eqn: lim_n->inf `a_n over b_n]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: a_n][eqn: = sqrt { (2n+1)+2n-2 sqrt { 2n(2n+1)} }]
[eqn: = sqrt {(sqrt { 2n+1}- sqrt { 2n})^2 }]
[eqn: =sqrt { 2n+1}- sqrt { 2n}]

[eqn: b_n][eqn: = sqrt { (n+1)+n -2 sqrt { n(n+1)} }]
[eqn: =sqrt { LEFT ( sqrt { n+1}- sqrt { n} RIGHT )^2 }]
[eqn: =sqrt { n+1}- sqrt { n}]

[eqn: lim_n->inf { a_n } over { b_n}][eqn: =lim_n->inf {sqrt { 2n+1}- sqrt { 2n} } over { sqrt { n+1}- sqrt { n}}]
[eqn: =lim_n->inf {sqrt { n+1}+ sqrt { n} } over { sqrt { 2n+1}+ sqrt { 2n}}]
[eqn: =lim_n->inf {sqrt { 1+ 1overn}+ 1 } over { sqrt { 2+ 1 overn}+ sqrt { 2}}]
[eqn: ={ 2} over { 2 sqrt { 2} }][eqn: =sqrt { 2} over2]

① [eqn: - sqrt2 over2]	② [eqn: - sqrt2 over4]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: sqrt2 over4]	⑤ [eqn: sqrt2 over2]

함수 [eqn: f``( x`)= x`lnx`]에 대하여 등식
[eqn: f``left( e^2 `right)- f``( e)= e`( e- 1)`f``' ( c`)`]를 만족시키는 [eqn: c`]가 열린 구간
[eqn: `` LEFT ( ``e``,``e ^{2} `` RIGHT ) ``]에 존재한다. [eqn: ln`c``]의 값은? [2점]

④

[eqn: f'(c)= ln``c +1]

[eqn: {f(e^2 )-f(e) } overe(e-1) = { 2e^2 -e} over { e(e-1)} = { 2e-1} over { e-1}= 1+ e overe-1]

∴ [eqn: ln``c = e overe-1]

① [eqn: 3over e]	② [eqn: e+2over e]	③ [eqn: 2over e-1]

④ [eqn: e over e-1]	⑤ [eqn: 2e over e+1]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: S_n = 3over{n sqrt{n``}} sum_k=1^n `sqrt{n+ 2k``}]일 때,
[eqn: lim_n->inf `left( S_n + 1right)`]의 값은? [3점]

②

[eqn: S_n][eqn: = 3 over{n sqrt { n}} sum_k=1^n sqrt { n+2k}][eqn: = 3 overn sum_k=1^n sqrt { 1 +2 LEFT ( k overn RIGHT ) }]이므로

[eqn: lim_n->inf S_n][eqn: =lim_n->inf 3 overn sum_k=1^n sqrt { 1 +2 LEFT ( k overn RIGHT ) }]
[eqn: =int_0^1 3 sqrt { 1+2x}dx]
[eqn: = left[ (1+2x)^{3 over2} right]_0^1]
[eqn: =3^{3 over2} -1]

∴ [eqn: lim_n->inf (S_n +1) = lim_n->inf S_n +1][eqn: = 3^{3 over2}][eqn: =3 sqrt { 3}]

① [eqn: 2sqrt3]	② [eqn: 3sqrt3]	③ [eqn: 4sqrt3]	④ [eqn: 6sqrt3]	⑤ [eqn: 9sqrt3]

좌표평면 위를 움직이는 점[eqn: ``rmP`]의 시각 [eqn: t`]에서의 [eqn: x,~ y`]좌표가 각각 [eqn: x= t- sin2t,~ y= 1- cos2t`]일 때, 점[eqn: ``rmP`]의 속력의 최댓값은? (단, [eqn: t`≥`0]) [3점]

①

[eqn: dx overdt = 1-2cos2t], [eqn: dy overdt = 2sin 2t]이므로

점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 속력은

[eqn: sqrt { LEFT ( dx overdt RIGHT )^2 + LEFT ( dy overdt RIGHT )^2 }][eqn: = sqrt { (1-2cos2t)^2 + 4sin^2 2t}]
[eqn: =sqrt { 5-4cos2t}][eqn: le 3] (∵ [eqn: -4 le4 cos 2t le4])

이므로 구하는 속력의 최댓값은 [eqn: 3]이다.

① [eqn: 3`]	② [eqn: 2sqrt3]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 3sqrt2]	⑤ [eqn: 2sqrt5]

[eqn: 0`＜`x``＜`2pi`]에서 삼각방정식
[eqn: 3sinx+ 3sinx`cos2x- 6sinx`cosx- cosx+ 1= 0`]
의 모든 실근의 합은? [3점]

②

[eqn: cos2x = 2cos^2 x -1]이므로

(준식)[eqn: = 6sinx cos^2 x -6sin x cos x -cos x +1]
[eqn: = 6sin cos x (cos x -1) - (cos x -1)]
[eqn: =(cos x -1)(6 sin x cos x -1)]
[eqn: = (cosx -1)(3 sin 2x -1)]
[eqn: =0]

[eqn: 0<x<2pi]이므로 [eqn: cosx !=1]

∴ [eqn: sin 2x = 1 over3]

위의 그림에서 [eqn: sin 2x = 1 over3]를 만족하는 실근은 [eqn: 0<x<2pi]범위에서 [eqn: 4]개이고, 이 중 두근은 [eqn: x= pi over4]에 대칭이고 남은 두 근은 [eqn: x= pi + pi over4]에 대하여 대칭이므로

구하는 모든 실근의 합은 [eqn: 2 LEFT { pi over4 + LEFT ( pi + pi over4 RIGHT ) RIGHT }][eqn: =3pi]

① [eqn: 5over2 pi`]	② [eqn: 3pi`]	③ [eqn: 7over2 pi`]	④ [eqn: 4pi`]	⑤ [eqn: 9over2 pi`]

이산확률변수 [eqn: X`]가 값 [eqn: x`]를 가질 확률이
[eqn: P(X=x`)= {` _{6} C _{x} `} over {k}]
(단, [eqn: x= 1,~2,~3,~4,~5,~6`]이고 [eqn: k`]는 상수이다.)
일 때, 확률변수 [eqn: X`]의 기댓값을 [eqn: m`]이라 하면 [eqn: mk^2 = 2^a times 3^b times 7^c `]이다. 세 자연수 [eqn: a,~ b,~ c`]의 합 [eqn: a+ b+ c`]의 값은? [3점]

③

[eqn: sum_x=1^6 {rmP}(X=x)][eqn: = 1 over k sum_x=1^6 `_6 {rmC}_x][eqn: = 1 over k (2^6 -1)][eqn: =1]이므로

[eqn: k = 2^6 -1][eqn: = 63][eqn: = 3^2 times7]

[eqn: {rmE}(X)][eqn: =sum_x=1^6 x cdot {rmP}(X=x)]
[eqn: = 1 over k sum_x=1^6 x cdot`_6 {rmC}_x][eqn: = 2^6 over k sum_x=1^6 x cdot`_6 {rmC}_x LEFT ( 1 over2 RIGHT ) ^6][eqn: = 2^6 over k sum_x=0^6 x cdot`_6 {rmC}_x LEFT ( 1 over2 RIGHT ) ^6]

[eqn: = 2^6 overk cdot 3]

[eqn: left(matrix{it#it}]∵ 이항분포 [eqn: {rm B} LEFT ( 6, `` 1 over2 RIGHT )]를 따르는 확률변수의 확률질량함수는 [eqn: `_6 {rmC}_x LEFT ( 1 over2 RIGHT )^6]이고 평균은 [eqn: sum_x=0^6 x cdot`_6 {rmC}_x LEFT ( 1 over2 RIGHT ) ^6][eqn: = 6 times 1 over2 =3][eqn: matrix{it#it}right)]

따라서 [eqn: m = 2^6 overk cdot3]에서 [eqn: k^2 m = 2^6 cdot3 k = 2^6 cdot 3^3 cdot 7]

∴ [eqn: a=6], [eqn: b=3], [eqn: c=1]

∴ [eqn: a+b+c=10]

[다른 풀이]

항등식 [eqn: (x+1)^n = sum_i=0^n ``_n {rmC}_i x^i]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: n (x+1)^n-1 = sum_i=1^n i times `_n {rmC}_i x^i-1]

위 식의 양변에 [eqn: x][eqn: =1]을 대입하면

[eqn: n cdot2^n-1][eqn: = sum_i=1^n i times `_n {rmC}_i]

∴ [eqn: sum_i=1^6 x times `_6 {rmC}_x][eqn: = 6 cdot2^5 = 3 cdot 2^6]

① [eqn: 8`]	② [eqn: 9`]	③ [eqn: 10`]

④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 12`]

지질학에서 암석의 연대를 측정하는 방법 중 하나로 포타슘-40은 방사선 분해과정을 거쳐 일정한 비율로 아르곤-40으로 바뀌는 점을 이용한 포타슘-아르곤연대측정법을 사용한다. 암석이 생성되어 [eqn: t`]년이 되었을 때, 포타슘-40과 아르곤-40의 양을 각각 [eqn: P`( t``),~ A`( t``)`]라 하면
[eqn: 2^t = left{ 1+ 8.3 times {A`( t``)}over{P`( t``)} right}^c ``( 단,~ c`는~ 상수이다.)]
이 성립한다고 하자. 이 방법으로 암석의 연대를 측정하였을 때 포타슘-40의 양이 아르곤-40의 양의 [eqn: 20`]배인 암석이 생성된 것은 [eqn: k`]년 전이다. [eqn: k`]의 값은?
(단, [eqn: log1.415= 0.15,~ log2= 0.30`]으로 계산한다.) [3점]

②

[eqn: A(t) overP(t) = 1 over20]이므로

[eqn: 2^k = left{1 +8.3 times 1 over20 right}^c = 1.415^c]

위 식의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: k times log``2 = c times log``1.415]

∴ [eqn: k= {log``1.415} over {log``2} c= {0.15} over {0.30} c= {1} over {2} c]

① [eqn: 1over3 c`]	② [eqn: 1over2 c`]	③ [eqn: 2c`]	④ [eqn: 3c`]	⑤ [eqn: 4c`]

어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 [eqn: S`]라 하자.    [eqn: S`]의 부분집합인 세 사건 [eqn: A,~ B,~ C`]는 다음 조건을 만족한다.

④

조건 (다)에 의해서

[eqn: {rm P}(A cap B) = {rm P}(A) cdot {rm P}(B) = 1 over2 cdot 1 over3 = 1 over6]이므로

[eqn: {rm P} (A cup B) = {rm P}(A)+{rm P}(B) -{rm P}(A cap B) = 1 over2 + 1 over3 - 1 over6 = 2 over3]

조건 (가), (나)에 맞게 벤다이어그램을 그리면 다음과 같다.

조건 (가)에 의해서

[eqn: (A cup B)^C][eqn: = C - ( A cup B)][eqn: = 1 - 2 over3 = 1 over3]이고

조건 (나)에 의해서

[eqn: {rm P}(A cap C) + {rm P}(B cap C ) = 2 over3 - 1 over3 = 1 over3]이므로

[eqn: {rm P}( A `|`C)+ {rm P}( B `|`C)][eqn: = {{rm P}(A cap C) + {rm P}(B cap C ) } over {{rmP}(C) }][eqn: = {1 over3} over { 2 over3} = 1 over2]

㈎ [eqn: A`cupB``cupC= S`]

㈏ 사건 [eqn: A`capB`]와 사건 [eqn: C`]는 서로 배반이다.

㈐ 사건 [eqn: A`]와 사건 [eqn: B`]는 서로 독립이다.

[eqn: ```\P( A`)= 1over2 ,```\P( B`)= 1over3 ,```\P( C`)= 2over3]일 때, [eqn: ```\P( A`|`C`)+ \P( B``|`C`)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 1over3]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 2over3]

좌표평면 위에서 원점을 중심으로 하여 [eqn: piover3]만큼 회전시키는 회전변환에 의하여 점[eqn: ``rmA`]가 옮겨지는 점을[eqn: ``rmB`]라 하고, 원점을 중심으로 하여 [eqn: - 7over12 pi`]만큼 회전시키는 회전변환에 의하여 점[eqn: ``rmB`]가 옮겨지는 점을[eqn: ``rmC`]라 하자. 점[eqn: ``rmB`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: - 1`]이고, 점[eqn: ``rmC`]는 [eqn: x`]축 위의 점일 때, 점[eqn: ``rmA`]의 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표의 곱은? [3점]

⑤

점 [eqn: rm A][eqn: (a, ``b)]라 하면

[eqn: pmatrix{``{cos pi over3}``&``{-sin pi over3}``#``{sin pi over 3}``&`````````{cos pi over3}``} pmatrix{``{a}``#``{b}``}][eqn: = pmatrix{``{1 over 2 a - root3 over 2 b}``#``{root3 over2 a + 1 over2 b}``}]

에서 점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: 1 over2 a- sqrt { 3} over2 b =-1] ⋯⋯ ㉠

점 [eqn: rm B]를 [eqn: - 7 over12 pi = - LEFT ( pi over3 + pi over4 RIGHT )]만큼 회전이동시키는 것은 점 [eqn: rm A]를 [eqn: - pi over4]만큼 회전이동시키는 것과 같으므로

[eqn: pmatrix{``{cos LEFT ( - pi over4 RIGHT ) }``&``{-sin LEFT ( - pi over4 RIGHT )}``#``{sin LEFT ( - pi over4 RIGHT )}``&`````````{cos LEFT ( - pi over4 RIGHT )}``} pmatrix{``{a}``#``{b}``}]

에서 점 [eqn: rm C]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: - sqrt { 2} over2 a + sqrt { 2} over2 b =0] ⋯⋯ ㉡

㉡에서 [eqn: a=b]이고 이것을 ㉠에 대입하면

[eqn: 1 over2 a - sqrt { 3} over2 a =-1]에서 [eqn: a = 2 over{ sqrt { 3}-1 }][eqn: =sqrt { 3}+1]

∴ [eqn: ab = a^2 = ( sqrt { 3}+1 )^2 = 4 +2 sqrt { 3}]

① [eqn: 2- 2sqrt3]	② [eqn: 4- 2sqrt3]	③ [eqn: 2sqrt3 - 1`]

④ [eqn: 2+ 2sqrt3]	⑤ [eqn: 4+ 2sqrt3]

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: 4x^2 - y^2 = 4] 위의 점[eqn: ``rmP left( sqrt2 ,~ 2right)`]에서의 접선을 [eqn: l``]이라 하고, 이 쌍곡선의 두 점근선 중 기울기가 양수인 것을 [eqn: m`], 기울기가 음수인 것을 [eqn: n`]이라 하자. [eqn: l``]과 [eqn: m`]의 교점을[eqn: ``rmQ], [eqn: l``]과 [eqn: n`]의 교점을 [eqn: ``rm R`]라 할 때, [eqn: ``rm barQR it= k rm barPQ`]를 만족시키는 [eqn: k`]의 값은? [3점]

③

쌍곡선 [eqn: x^2 overa^2 - y^2 overb^2 =1]위의 점 [eqn: (x_1 , ``y_1 )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {x_1 x} overa^2 - { y_1 y} over { b^2}=1] ⋯⋯ ㉠

점근선의 방정식은 [eqn: y =+- b overa x] ⋯⋯ ㉡

㉡을 제곱하여 정리하면 [eqn: a^2 y^2 = b^2 x^2] ⋯⋯ ㉢

㉠에서 [eqn: y = { (x_1 x -a^2 )b^2 } over { a^2 y_1}]이고 이것을 ㉢에 대입하면

[eqn: {(x_1 x-a^2 )^2 b^4} over { a^2 y_1^2}= b^2 x^2]

즉, [eqn: (b^2 x_1^2 - a^2 y_1 ^2 )x^2 -(2a^2 b^2 x_1 )x +a^4 b^4 =0] ⋯⋯ ㉣

그런데 [eqn: (x_1 , ``y_1 )]은 쌍곡선 [eqn: x^2 overa^2 - y^2 overb^2 =1]위의 점이므로

[eqn: { x_1^2} over { a^2} - { y_1^2} over { b^2 }=1]에서 [eqn: x_1^2 b^2 +y_1^2 a^2 =a^2 b^2]이므로

㉣은 [eqn: x^2 -2x_1 x +a^2 b^2 =0]

근과 계수와의 관계에서 위 방정식의 두 근의 합은 [eqn: 2x_1]으로 일정하다.

따라서 쌍곡선 [eqn: x^2 overa^2 - y^2 overb^2 =1]위의 점 [eqn: {rmP}(x_1 , ``y_1 )]에서 그은 접선이 두 점근선과 점 [eqn: rm Q], [eqn: rm R]에서 만날 때, 선분 [eqn: rm barQR]의 중점은 점 [eqn: rm P]가 된다. 즉, [eqn: rm barQR = 2barPQ]

① [eqn: sqrt2]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 2`]	④ [eqn: 7over3]	⑤ [eqn: 1+ sqrt2]

두 함수 [eqn: y= f``( x`)`]와 [eqn: y= g`( x`)`]의 그래프가 그림과 같다.

⑤

ㄱ. [eqn: lim _{x -> -1-} {} f(x)g(x)=(-1) TIMES (-1)=1]
[eqn: lim _{x -> -1+} {} f(x)g(x)=(-1) TIMES 1=-1]
∴ [eqn: lim_x->-1 f(x) g(x)]은 존재하지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1-} {} f(x)g(x)=(-1) TIMES (-1)=1]
[eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)g(x)=1 TIMES 1=1]
∴ [eqn: lim_x->1 f(x) g(x) = 1] (참)

ㄷ. ㄱ에 의해서 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=-1]에서 불연속이다.
[eqn: f(1)g(1)=1times -1 =-1]이고
ㄴ에서  의해서 [eqn: lim_x->1 f(x) g(x) = 1]이므로
[eqn: lim_x->1 f(x) g(x) != f(1)g(1)]
따라서 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=-1]에서 불연속이다.
따라서 함수 [eqn: f(x)g(x)]의 불연속점은 [eqn: 2]개다. (참)

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: lim_x->-1 `g`( f``( x`)`)= 1`]

ㄴ. [eqn: lim_x->-1 `f``( g`( x`)`)= - 1`]

ㄷ. 함수 [eqn: y= f``( g`( x`)`)`]의 불연속점의 개수는 [eqn: 2`]개이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

좌표공간 위의 네 점[eqn: ``rmA(2,~ 0,~ 0),] [eqn: `` rm B(0,~2,~0),] [eqn: C(0,~0,~4),] [eqn: D(2,~2,~4)`]에 대하여 그림과 같이 사면체[eqn: ``rmDABC`]의 꼭짓점[eqn: ``rmD`]에서 삼각형[eqn: ``rmABC`]에 내린 수선의 발을[eqn: ``rmH`]라 할 때, 선분[eqn: ``rmDH`]의 길이는? [3점]

④

평면 [eqn: rm ABC]의 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]절편이 각각 [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 4]이므로

평면 [eqn: rm ABC]의 방정식은 [eqn: x over2 + y over2 + z over4 =1]

즉, [eqn: 2x+2y+z -4 =0]이다.

따라서 [eqn: rm barDH]는 점 [eqn: rm D]에서 평면 [eqn: 2x+2y+z -4 =0]에 이르는 거리이므로

[eqn: rm barDH][eqn: = {|` 2cdot2 +2 cdot2 +1 cdot4 -4`|} over { sqrt { 2^2 +2^2 +1} }][eqn: =][eqn: 8 over3]

① [eqn: 5over3]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 7over3]	④ [eqn: 8over3]	⑤ [eqn: 3`]

무리함수 [eqn: f``( x`)= sqrt{x+ 1}]과 자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림과 같이 [eqn: y= f``( x`)`]의 그래프 위의 한 점 [eqn: ```\P_n `left( n,~ f``( n`)`)`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을[eqn: ```\Q_n ,~ y`]축에 내린 수선의 발을[eqn: ```\R_n `]이라 하자.
점[eqn: ``rmA(- 1,~ 0)`]에 대하여 사각형[eqn: ```\AQ_n \P_n \R_n `]의 넓이를 [eqn: S_n `], 삼각형[eqn: ```\AQ_n \P_n `]의 넓이를 [eqn: T_n `]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf `{S_n + T_n}over{S_n - T_n}]의 값은? [3점]

③

[eqn: rm triangle AQ _{it n } P_{it n }][eqn: rm= 1 over2 barAQ_{itn} times bar{P_{it n }Q_{itn}}][eqn: = 1 over2 (n+1) sqrt { n+1}]

[eqn: rm triangle AP _{it n } R_{it n }][eqn: rm= 1 over2 bar{P_{itn}R_{itn}} times bar{P_{it n }Q_{itn}}][eqn: = 1 over2 n sqrt { n+1}]

이므로

[eqn: S_n][eqn: rm = triangle AQ _{it n } P_{it n } + triangle AP _{it n } R_{it n }][eqn: = 1 over2 (2n+1) sqrt { n+1}]

[eqn: T_n][eqn: = 1 over2 (n+1) sqrt { n+1}]

∴ [eqn: lim_n->inf { S_n +T_n} over { S_n -T_n}][eqn: = lim_n->inf {1 over2 (3n+2 ) sqrt { n+1} } over {1 over2 n sqrt { n+1} }][eqn: = lim_n->inf LEFT ( 3 + 2 overn RIGHT )][eqn: =3]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

그림과 같이 [eqn: x= a`]에서 극댓값, [eqn: x= b`]에서 극솟값을 가지는 삼차함수 [eqn: f``( x`)`]가 있다.([eqn: 0`＜`a``＜`b`])

①

[eqn: g(x) = e^-x^2 f(x)]에서

[eqn: g'(x) = -2x e^-x^2 f(x)+ e^-x^2 f'(x)]

ㄱ. [eqn: g'(0) = f'(0)]이고
그림에서 [eqn: f'(0)>0]이므로 [eqn: g'(0)>0] (참)

ㄴ. 그림에서 [eqn: f(a)>0], [eqn: f'(a)=0] 이므로
[eqn: f'(a)+g'(a)][eqn: = -2a e^-a^2 f(a)][eqn: <0] (거짓)

ㄷ. [eqn: f(b) <0], [eqn: f'(b)=0]이므로
[eqn: g(b)][eqn: =e^-b^2 f(b)][eqn: <0]
[eqn: g'(b)][eqn: =-2b e^-b^2 f(b)][eqn: >0]
∴ [eqn: g(b) g'(b)<0] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

함수 [eqn: g`( x`)= e^-x^2 f``( x`)`]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: g`' ( 0)`＞`0`]

ㄴ. [eqn: f``' ( a`)+ g`' ( a`)`＞`0`]

ㄷ. [eqn: g`( b`)`g`' ( b`)`＞`0`]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1+ sqrt3]인 정사각형[eqn: ``rmABCD`]가 있다. 두 변[eqn: ``rmAB`]와[eqn: ``rmBC`]를 [eqn: 1```:``sqrt3]으로 내분하는 점을 각각[eqn: ``rmP,~Q`]라 하고, 두 변[eqn: ``rmCD`]와[eqn: ``rmDA`]를 [eqn: sqrt3 ``:``1`]로 내분하는 점을 각각 [eqn: ``rm R,~S`]라 하자. 이때, 두 선분[eqn: ``rmPR,~QS`]의 교점을[eqn: ``rmT`]라 하고, 네 사각형[eqn: ``rmAPTS,~PBQT,~TQCR,~STRD`]를 만든다.
먼저 사각형[eqn: ``rmAPTS`]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: A_1 `], 사각형 [eqn: A_1 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: A_2 `], 사각형 [eqn: A_2 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: A_3 `]라 하자. 또, 사각형[eqn: ``rmPBQT`]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: B_1 `], 사각형 [eqn: B_1 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: B_2 `], 사각형 [eqn: B_2 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: B_3 `]라 하자. 또, 사각형[eqn: ``rmTQCR`]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: C_1 `], 사각형 [eqn: C_1 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: C_2 `], 사각형 [eqn: C_2 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: C_3 `]라 하자. 또, 사각형[eqn: ``rmSTRD`]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: D_1 `], 사각형 [eqn: D_1 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: D_2 `], 사각형 [eqn: D_2 `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 [eqn: D_3 `]라 하자.

⑤

사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 원래 사각형의 넓이의 [eqn: 1 over2]이므로

[eqn: sum_n=1^inf a_n = {1 over2 □rm APTS } over { 1- 1 over2} = □rm APTS]

마찬가지 방법으로

[eqn: sum_n=1^inf b_n = □rmPBQT], [eqn: sum_n=1^inf c_n = □rmTQCR], [eqn: sum_n=1^inf d_n = □rmSTRD]

그림에서 [eqn: rm barAS = barAP =1], [eqn: rm barSD = barPB =sqrt { 3}]이므로

∴ [eqn: sum_n=1^inf (a_n -b_n +c_n -d_n )][eqn: = (1+3) - ( sqrt { 3}+ sqrt { 3})][eqn: =4 -2 sqrt { 3}]

∴ [eqn: p=4], [eqn: q =-2]

∴ [eqn: p+q =2]

이와 같은 과정을 계속하여 사각형 [eqn: A_n ,~ B_n ,~ C_n ,~ D_n `]의 네 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 각각 [eqn: A_n+1 ,~ B_n+1 ,~ C_n+1 ,][eqn: D_n+1 `]이라 하자. 사각형 [eqn: A_n ,~ B_n ,~ C_n ,~ D_n `]의 넓이를 각각
[eqn: a_n ,~ b_n ,~ c_n ,~ d_n `]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^inf `left( a_n - b_n + c_n - d_n `right)= p+ q`sqrt3]을 만족시키는 두 유리수 [eqn: p,~ q`]의 합 [eqn: p+ q`]의 값은? [3점]

① [eqn: - 2`]	② [eqn: - 1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

이차정사각행렬 [eqn: A,~ B`]가 [eqn: A^2 B^3 = O`]를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: O`]는 영행렬이고, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

③

ㄱ. 만약 [eqn: AB]의 역행렬이 존재하면 [eqn: (AB)^-1 = B^-1 A^-1]이므로
행렬 [eqn: A]와 [eqn: B]의 역행렬이 모두 존재해야한다.
이때, [eqn: A^2 B^3 = O]의 양변의 앞쪽에 [eqn: (A^-1 )^2]를 뒤쪽에 [eqn: (B^-1 )^3]을 곱하면
좌변은 [eqn: (A^-1 ) ^2 A^2 B^3 (B^-1 )^3 = E]
우변은 [eqn: (A^-1 ) ^2 O (B^-1 )^3 = O]
이 되어 등식이 성립하지 않는다.
따라서 행렬 [eqn: AB]의 역행렬은 존재하지 않는다. (참)

ㄴ. [eqn: A = pmatrix{``{0}``&``{1}``#``{1}``&``{0}``}], [eqn: B][eqn: = pmatrix{``{0}``&``{1}``#``{0}``&``{0}``}]이라 하면
[eqn: A]의 역행렬은 존재하고
[eqn: B^2 = O]이므로 [eqn: A^2 B^3 = O]을 만족하지만
[eqn: AB][eqn: = pmatrix{``{0}``&``{0}``#``{0}``&``{1}``}], [eqn: BA = pmatrix{``{1}``&``{0}``#``{0}``&``{0}``}]로 [eqn: AB !=BA]이다. (거짓)

[참고]

[eqn: B!=O]이고 [eqn: B^n = O] ([eqn: n ge3])이면

[eqn: B^-1]이 존재하지 않으므로 행렬 [eqn: B]는 [eqn: B ^2 = k B]꼴로 나타낼 수 있다. (∵ 케일리해밀턴정리)

이때, [eqn: B^n =k B^n-1 = k^2 B^n-2 = cdots = k^n-1 B]이므로 [eqn: B^n = O]에서 [eqn: k =0]이다.

∴ [eqn: B^2 = kB = O]이다.

ㄷ. [eqn: 2A-B = E]이면 [eqn: B = 2A-E]에서
[eqn: AB = A(2A-E) = 2A^2 -A]
[eqn: BA = (2A-E)A = 2A^2 - E]
이므로 [eqn: AB= BA]이다.
∴ [eqn: (AB)^2012][eqn: = A^2012 B^2012][eqn: = A^2010 (A^2 B^3 )B^2009][eqn: =O] (참)

[참고]

행렬 [eqn: B]가 행렬 [eqn: A]에 대한 다항식꼴로 나타내어질 때, [eqn: AB = BA]가 성립한다.

예) [eqn: B = A^2 -A+E]이면
[eqn: AB = A(A^2 -A+E)][eqn: = A^3 -A^2 +A]
[eqn: BA = (A^2 - A+E)A][eqn: = A^3 -A^2 +A]
이므로 [eqn: AB =BA]

ㄱ. 행렬 [eqn: AB`]의 역행렬이 존재하지 않는다.

ㄴ. 행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하면 [eqn: AB= BA`]이다.

ㄷ. [eqn: 2A- B= E`]이면 [eqn: ( AB`)^2012 = O`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n`]에 대하여 집합 [eqn: A_n ,~ B_n `]을
[eqn: A_n = left{( n,~ k`) vert k`≤ n^2 + n,~ k`는~ 자연수`right}]
[eqn: B_n = left{( n,~ k`) leftvert k`≤ 1over2 n + 5,~ k`는~ 자연수`right}]
라 하자. 집합 [eqn: A_n - B_n `]의 원소의 개수를 [eqn: a_n `]이라 할 때,
[eqn: sum_n=1^20 `a_n `]의 값은? [4점]

①

[eqn: n^2 +n le 1 over2 n +5]에서

[eqn: 2n^2 +n -10 =(2n+5)(n-2) le0]

따라서 [eqn: n le2]일 때, [eqn: n^2 +n le 1 over2 n +5]가 성립한다.

따라서 [eqn: A_n subset B_n]([eqn: n=1], [eqn: 2])이고 [eqn: B_n subset A_n (n=3, ``4, ``cdots)]이다.

따라서 [eqn: A_n -B_n = emptyset]([eqn: n=1], [eqn: 2])이므로 [eqn: a_n =0]이고

[eqn: n ge3]일 때, [eqn: a_n][eqn: = n(A_n ) - n(B_n )][eqn: = n^2 +n - left[ 1 over2 n +5 right]]이다.

그런데

[eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: left[ 1 over2 n +5 right]][eqn: = 1 over2 n +5]

[eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: left[ 1 over2 n +5 right]][eqn: = 1 over2 n +5 - 1 over2]

이므로

[eqn: sum_n=1^20 a_n][eqn: = sum_n=3^20 LEFT ( n^2 +n - left[ 1 over2 n +5 right] RIGHT )]
[eqn: = sum_n=3^20 LEFT ( n^2 +n RIGHT )][eqn: - sum_n=3^20 LEFT ( left[ 1 over2 n +5 right] RIGHT )]

이때, [eqn: sum_k=1^n LEFT ( k^2 +k RIGHT )][eqn: = 1 over3 n (n+1)(n+2)]이므로

[eqn: sum_n=3^20 LEFT ( n^2 +n RIGHT )][eqn: =left{ sum_n=1^20 LEFT ( n^2 +n RIGHT ) - sum_n=1^2 LEFT ( n^2 +n RIGHT ) right}]
[eqn: = 1 over3 ( 20 cdot21 cdot22 - 2 cdot 3 cdot4 )]
[eqn: = 1 over3 (9240-24)][eqn: =3072]

이고

[eqn: sum_n=3^20 LEFT ( left[ 1 over2 n +5 right] RIGHT )][eqn: = sum_n=3^20 LEFT ( 1 over2 n +5 RIGHT )][eqn: - 9 cdot 1 over2]

(∵ [eqn: 3]~[eqn: 20]까지 자연수 중 홀수는 [eqn: 9]개)
[eqn: =LEFT ( sum_n=1^20 1 over2 n - sum_n=1^2 1 over2 n RIGHT ) + 18 times 5][eqn: - 9 cdot 1 over2]
[eqn: =LEFT ( 105 - 3 over2 RIGHT ) +90][eqn: - 9 over2][eqn: =189]

이므로 [eqn: sum_n=1^20 a_n][eqn: =3072-189][eqn: =2883]

① [eqn: 2883`]	② [eqn: 2886`]	③ [eqn: 2889`]

④ [eqn: 2892`]	⑤ [eqn: 2895`]

다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식
[eqn: sum_k=1^n `{left[ log 3^k `right]}over k ≤`left[ log3^n `right]`]	[eqn: cdotscdots`( *)]
이 성립함을 증명한 것이다.
(단, [eqn: [ x`]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

②

[eqn: a_i+1 -a_i][eqn: = sum_k=1^i+1 { [`log``3^k`]} over { k} - sum_k=1^i { [`log``3^k`]} over { k}][eqn: = { [`log``3^i+1`]} over { i+1}]이므로

[eqn: b_i][eqn: = (i+1) (a_i+1 -a_i )][eqn: =(i+1) cdot { [`log``3^i+1`]} over { i+1}][eqn: = [`log``3^i+1`]]

∴ (가)[eqn: = [`log``3^i+1`]]

[eqn: sum_k=1^m b_k = (m+1) a_m+1 - sum_k=1^m a_k - a_1]이므로

(나)[eqn: =][eqn: sum_k=1^m b_k +a_1][eqn: = sum_k=1^m [`log``3^k+1`] + [`log``3`]] (∵ (가))[eqn: = sum_k=1^m+1 [`log``3^k`]]

[eqn: sum_k=1^m+1 [`log``3^k`]][eqn: = sum_k=1^m [`log``3^m+1-k`]][eqn: +][eqn: left[`log``3^m+1 ` right]]이므로

[eqn: sum_k=1^m [`log``3^k`]][eqn: + sum_k=1^m+1 [`log``3^k`]][eqn: = sum_k=1^m LEFT ( [`log``3^k`] - [`log``3^m+1-k`] RIGHT )][eqn: +left[`log``3^m+1 ` right]]

∴ (다) [eqn: =left[`log``3^m+1 ` right]]

∴ [eqn: f(n)][eqn: = [`log``3^n+1`]], [eqn: g(n)= sum_k=1^n+1 [`log``3^k`]], [eqn: h(n)][eqn: =left[`log``3^n+1 ` right]]

∴ [eqn: f(n)+g(n)- h(n)][eqn: = sum_k=1^n+1 [`log``3^k`]]

[eqn: 3^1 =3], [eqn: 3^2 =9], [eqn: 3^3 =27], [eqn: 3^4 =81], [eqn: 3^5 =243], [eqn: 3^6 =729], [eqn: 3^7 =2187]이므로

[eqn: sum_k=1^7 [`log``3^k`]][eqn: = 0+0+1+1+2+2+3 =9]

∴ [eqn: n = 7-1 =6]

<증명>

(1) [eqn: n= 1`]일 때, [eqn: ( 좌변)= [ log3], ( 우변)= [ log3]`]이므로   [eqn: ( *)]이 성립한다.

(2) 임의의 자연수 [eqn: i`]에 대하여

[eqn: a_i = sum_k=1^i `{left[ log 3^k `right]}over k ,~ b_i = ( i+ 1)`( a_i+1 - a_i `)`]

라 하면 [eqn: b_i =]

㈎

이다.

이때, [eqn: n`≤`m``( m`은~ 자연수)`]일 때, [eqn: ( *)]이 성립한다고 가정하면

[eqn: a_i `≤`left[ log3^i `right]] (단, [eqn: i`]는 [eqn: m] 이하의 자연수이다.)

이제, [eqn: n= m+ 1`]일 때, [eqn: ( *)]이 성립함을 보이자.

[eqn: sum_k=1^m `b_k = ( m+ 1)`a_m+1 - sum_k=1^m `a_k - a_1 `]

이므로 [eqn: ( m+ 1)`a_m+1 = sum_k=1^m `a_k +]

㈏

그런데 [eqn: left[ log3^k `right]+ left[ log3^m+1-k `right]`≤`left[ log3^m+1 `right]`]이므로

[eqn: ( m+ 1)`a_m+1 `≤`sum_k=1^m `left[ log3^k `right]+ sum_k=1^m+1 `left[ log3^k `right]`]

[eqn: = sum_k=1^m `left( left[ log3^k `right]+ left[ log3^m+1-k `right]`right)+]

㈐

[eqn: ≤`m`left[ log3^m+1 `right]+ left[ log3^m+1 `right]`]

[eqn: = ( m+ 1)`left[ log3^m+1 `right]`]

[eqn: therefore~ a_m+1 `≤`left[ log3^m+1 `right]`]

그러므로 [eqn: n= m+ 1`]일 때도 [eqn: ( *)]이 성립한다.

따라서 (1)과 (2)에 의해 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: ( *)]이 성립한다.

위의 [eqn: ㈎,~ ㈏,~ ㈐]에 알맞은 식을 각각 [eqn: f``( i`),~ g`( m`),~ h`( m`)`]이라 할 때, [eqn: f``( n`)+ g`( n`)- h`( n`)= 9`]를 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 값은?

[4점]

① [eqn: 4`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 8`]

④ [eqn: 10`]	⑤ [eqn: 12`]

좌표평면 위를 움직이는 두 점 [eqn: ``rmA left(2+ sintheta,~ 2sqrt3 + sqrt3 sintheta`right),] [eqn: ``rmB left( costheta,``- sqrt3 costheta`right)`]와 점[eqn: ``rmC(1,~ 0)`]에 대하여 선분[eqn: ``rmAB`]의 중점을[eqn: ``rmM`]이라 하고, [eqn: ``rm barCM`]이 최대일 때 점 [eqn: ``rmM`]을 [eqn: `` rm D,] [eqn: bar{CM} `]이 최소일 때 점 [eqn: ``rmM`]을 [eqn: ``rmE`]라 하자. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: 0`≤`theta``＜`2pi`]) [4점]

⑤

[eqn: (1, `` sqrt { 3})+ LEFT ( 1 over2 ( sin theta +cos theta) , `` { sqrt { 3} } over { 2}(sin theta -cos theta) RIGHT )]

[eqn: X = 1 over2 (sin theta +cos theta)], [eqn: Y = sqrt { 3} over2 (sin theta -cos theta)]라 하면

[eqn: 3X^2 + Y^2 = 3 over4 ( 2 sin^2 theta + 2 cos^2 theta) = 3 over2]

즉, [eqn: X^2 over{1 over2} + Y^2 over{3 over2} =1] ⋯⋯ ㉠

따라서 [eqn: (X , ``Y)]는 타원위에 존재한다.

ㄱ. 중점 [eqn: rmM]은 ㉠을 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: 1]만큼 [eqn: y]축 방향으로 [eqn: sqrt { 3}]만큼 평행이동시킨 것이므로 중점 [eqn: rmM]이 그리는 도형은 타원이다. (참)

ㄴ. ㄱ에서 점 [eqn: rm C (1, ``0)]은 장축의 연장선 위에 존재하므로 점 [eqn: rm C]와 [eqn: rm D]는 타원의 장축의 양 끝점이다.

∴ [eqn: rm barCD][eqn: =sqrt { 3}+ sqrt { { 3} over { 2} }], [eqn: rm bar CE = sqrt { 3}- sqrt { 3 over2}]
∴ [eqn: rm barCD +barCE][eqn: = 2 sqrt { 3}]

ㄷ. [eqn: rmangle DOC= theta_1], [eqn: rmangle EOC = theta_2]라 하면 [eqn: rmbarOC =1]이므로
[eqn: tan theta_1 =][eqn: rm barCD][eqn: =sqrt { 3}+ sqrt { { 3} over { 2} }]
[eqn: tan theta_2][eqn: =][eqn: rm bar CE = sqrt { 3}- sqrt { 3 over2}]
[eqn: alpha = theta_1 - theta_2]이므로
[eqn: tan alpha][eqn: = tan (theta _1 + theta_2 )][eqn: ={ tan theta_1 - tan theta_2 } over { 1+tan theta_1 tan theta_2}][eqn: = { 2 sqrt { 3 over2} } over { 1+ LEFT ( 3 - 3 over2 RIGHT ) }][eqn: = 2 over5 sqrt { 6}]

ㄱ. 점[eqn: ``rmM`]이 그리는 도형은 타원이다.

ㄴ.[eqn: ``rm barCD + barCE = 2sqrt3]

ㄷ.[eqn: ``rm angleDOE= alpha`]라 하면 [eqn: tanalpha= 2over5 sqrt6]이다.

(단,[eqn: ``rmO`]는 원점이다.)

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f``(x`)= {1} over {x} `lnx`]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

⑤

[eqn: f(x)= 1 overx `ln``x]에서

[eqn: f'(x) = - 1 overx^2 `ln ``x + ``1 overx^2 = 1 overx^2 (1- ln``x)]

[eqn: f''(x)][eqn: = - 2 overx^3 (1-ln``x) - 1 overx^3 = - 1 overx^3 (3 - 2 ln ``x )]

[eqn: x]	[eqn: 0]	⋯	[eqn: e]	⋯	[eqn: e^{3 over2}]	⋯
[eqn: f'(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f''(x)]		[eqn: -]			[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		□	극대	□	변곡	□

[eqn: lim _{x -> 0+} {} f(x)][eqn: = lim _{x -> 0+} {} {1} over {x} `ln``x][eqn: = - inf]

[eqn: lim_x->inf][eqn: f(x)][eqn: = lim_x->inf 1 overx `ln ``x][eqn: =0]

이므로 [eqn: y= f(x)]의 개형은 다음 그림과 같다.

ㄱ. [eqn: y =f(x)]는 [eqn: x=e]일 때, 최댓값 [eqn: f(e)=][eqn: 1 overe]를 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: x>e]일 때, [eqn: f(x)]는 감소함수이므로
[eqn: 1 over2011 ` ln ``2011 > 1 over2012 `ln ``2012]
위 부등식을 변형하면
[eqn: 2012 cdotln``2011> 2011 cdotln``2012]에서
[eqn: ln``2011^2012 > ln``2012^2011]
∴ [eqn: 2011^2012 >2012^2011] (참)

ㄷ. 열린구간 [eqn: (0, ``e)]에서 [eqn: f''(x)<0]이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 위로 볼록하다. (참)

ㄱ. 함수 [eqn: f``( x`)`]의 최댓값은 [eqn: 1over e]이다.

ㄴ. [eqn: 2011^2012 `＞`2012^2011 `]

ㄷ. 열린 구간[eqn: ``( 0,~ e`)`]에서 [eqn: y= f``( x`)`]의 그래프는 위로 볼록하다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

곡선  [eqn: y= e^-x] 위의 점[eqn: ```\P(- 1,~ e`)`]에서의 접선 [eqn: l``]이 [eqn: x`]축과 만나는 점을[eqn: ``rmQ`]라 하고, 점[eqn: ``rmQ`]를 지나고 접선 [eqn: l``]에 수직인 직선과 곡선 [eqn: y= e^-x `]이 만나는 점을[eqn: ``rm R`]라 하자. 직선[eqn: ``rmPQ], 직선[eqn: ``rmQR`]과 곡선 [eqn: y= e^-x `]으로 둘러싸인 도형을 [eqn: x`]축 둘레로 회전한 회전체의 부피는? [4점]

④

[eqn: y=e^-x]위의 점 [eqn: (-1, ``e)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y'=-e^-x]이므로

[eqn: y = -e(x+1)+e = -ex]이다.

∴ [eqn: rm Q][eqn: LEFT ( 0,``0 RIGHT )]

따라서 점 [eqn: rm Q]를 지나고 접선 [eqn: l]에 수직인 직선의 방정식은 [eqn: y = x overe]이다.

[eqn: x overe = e^-x]에서 [eqn: x = e^1-x]

[eqn: x=1]일 때 주어진 등식이 성립하므로 점 [eqn: rm Q]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1 , `` 1 overe RIGHT )]

위 그림에서 구하는 부피 [eqn: V]는

[eqn: V][eqn: =piint_-1^1 (e^-x )^2 dx - pi int_-1^0 (-ex)^2 dx - pi int_0^1 LEFT ( x overe RIGHT )^2 dx]
[eqn: =pi left{ left[- 1 over2 e^-2x right]_-1^1 - left[ e^2 over3 x^3 right]_-1^0 - left[ 1 over3e^2 x^3 right]_0^1 right}]
[eqn: =pi left{ LEFT ( - 1 over2 e^-2 + 1 over2 e^2 RIGHT )- e^2 over3 - 1 over3e^2 right}]
[eqn: =pi LEFT ( e^2 over6 - 5 over6e^2 RIGHT )]

① [eqn: pi`left( e^2 over2 - 5over6e^2 right)`]	② [eqn: pi`left( e^2 over3 - 5over6e^2 right)`]	③ [eqn: pi`left( e^2 over6 - 1over2e^2 right)`]
④ [eqn: pi`left( e^2 over6 - 5over6e^2 right)`]	⑤ [eqn: pi`left( e^2 over6 - 2over3e^2 right)`]

[eqn: ``rm barAB = 1,~ barBC = 2`]인 삼각형[eqn: ``rmABC`]의 변[eqn: ``rmBC`]의 중점을 [eqn: ``rmM`]이라 하고,[eqn: ``rm angleBAM= alpha,~ angleCAM= beta`]라 하자.
[eqn: cos 2alpha = 1over4]일 때, [eqn: 8cos( 2alpha- beta`)`]의 값은? [4점]

①

[eqn: rm angle ABM = pi - 2alpha]이므로 코사인정리에 의해서

[eqn: rm bar AC][eqn: rm= sqrt { {barAB}^2 +{barBC}^2 -2 barAB cdot bar BC cdot cos (pi-2alpha)}]
[eqn: =sqrt { 1^2 +2^2 -2 cdot1cdot2 cdot LEFT ( - 1 over4 RIGHT ) }] (∵ [eqn: cos(pi-2alpha)= -cos 2 alpha = - 1 over4]
[eqn: = sqrt { 6}]

[eqn: cos 2 alpha = 1-2 sin^2 alpha = 1 over4]에서 [eqn: sin alpha = sqrt { 6} over4]

[eqn: rm AMC]에서 사인법칙을 이용하면 [eqn: angle rm AMC = pi -alpha]이므로

[eqn: rm { barMC}} over { sin beta} = {rm barAC} over { sin(pi-alpha)}]

∴ [eqn: sin beta][eqn: = 1 over4]

[eqn: rmalpha = beta + angle ACM]이므로 [eqn: alpha > beta]이고 [eqn: 2 alpha]가 예각 (∵ [eqn: cos 2 alpha >0])이므로 [eqn: alpha], [eqn: beta]도 예각이다.

∴ [eqn: sin 2 alpha = cos beta = sqrt { 1- LEFT ( 1 over4 RIGHT )^2 } = sqrt { 15} over4]

∴ [eqn: cos (2alpha - beta )][eqn: = cos 2 alpha cos beta + sin 2alpha sin beta]

[eqn: = 1 over4 cdot sqrt { 15}over4 + sqrt { 15}over4 cdot 1 over4 = sqrt { 15} over8]

∴ [eqn: 8cos (2alpha - beta )= sqrt { 15}]

① [eqn: sqrt15]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: sqrt17]

④ [eqn: 3sqrt2]	⑤ [eqn: sqrt19]

[eqn: 0`＜`a``＜`b``＜`1`]일 때, 직선 [eqn: y= 1`]이 [eqn: y= log_a ``x`]의 그래프와
[eqn: y= log_b ``x`]의 그래프와 만나는 점을 각각[eqn: ``rmP,~Q`]라 하고, 직선 [eqn: y=- 1`]이 [eqn: y= log_a ``x`]의 그래프와 [eqn: y= log_b ``x`]의 그래프와 만나는 점을 각각[eqn: ``rm R,~S`]라 하자. 네 직선[eqn: ``rmPS,~PR,~QS,~QR`]의 기울기를 각각 [eqn: alpha,~ beta,~ gamma,~ delta`]라 할 때, 다음 중 옳은 것은? [4점]

②

함수 [eqn: y= log`_a ``x], [eqn: y = log`_b ``x]의 그래프와 직선 [eqn: y=1], [eqn: y=-1]를 그려 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R], [eqn: rm S]를 표시하면 다음과 같다.

위 그림에서 [eqn: rmbarPQ < barSR]이므로 [eqn: gamma <alpha < sigma < beta]

① [eqn: delta``＜`alpha``＜`beta``＜`gamma`]	② [eqn: gamma``＜`alpha``＜`delta``＜`beta`]

③ [eqn: gamma``＜`alpha``＜`beta``＜`delta`]	④ [eqn: gamma``＜`alpha= delta``＜`beta`]

⑤ [eqn: alpha= delta``＜`beta``＜`gamma`]

[eqn: 1`]보다 큰 실수 [eqn: a`]에 대하여 두 함수
[eqn: f``( x`)= a^2x ,] [eqn: g`( x`)= a^x+1 - 2`]
가 있다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: h`( x`)`]를
[eqn: h`( x`)= |`f``( x`)- g`( x`)``|`] 라 하자. [eqn: y= h`( x`)`]의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

③

[eqn: f(x)- g(x)][eqn: = a^2x -a^x+1 +2]

따라서 [eqn: a^x = t]라 하면

[eqn: f(x)- g(x)][eqn: = t^2 -at +2]

이차방정식 [eqn: t^2 -at +2 =0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D = a^2 -8 =0]에서 [eqn: a =2 sqrt { 2}] (∵ [eqn: a>1])

[eqn: y = t^2 -at +2]는 대칭축이 [eqn: t= a over2]이고 [eqn: y]절편이 [eqn: 2]인 이차함수이므로 [eqn: a]의 크기에 따라서 [eqn: y=|`t^2 -at+2`|]의 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

이때, [eqn: t=a^x]는 모든 실수에서 임의의 양수로의 일대일대응이고 [eqn: x_1 <x _2]에 대하여 [eqn: t_1 < t_2]를 만족한다. ⋯⋯ ㉠

ㄱ. [eqn: a= 2 sqrt { 2}]일 때, [eqn: y =|` t^2 -at +2`|]의 그래프는 [eqn: x]축과 한 점에서 만나므로 (접하므로)
[eqn: y = h(x)]의 그래프도 [eqn: x]축과 한 점에서 만난다. (∵ ㉠) (참)

ㄴ. [eqn: a =4]일 때,
[eqn: t^2 - 4t +2 =0]에서 [eqn: t = 2+- sqrt { 2}]이므로
[eqn: y=|`t^2 -at +2`|]의 그래프는 [eqn: 0 < t <2- sqrt { 2}]에서 감소하고
[eqn: 2- sqrt { 2}<t <2]에서 감소한다. ⋯⋯ ㉡
[eqn: x < 1 over2]일 때, [eqn: 0 <t< 4^{1 over2}=2]이므로  ㉠, ㉡에 의해서 [eqn: h(x_1 )], [eqn: h(x_2 )]의 대소를 비교할 수 없다.

ㄷ. [eqn: y = t^2 -at +2]의 그래프가 직선 [eqn: y =1]과 접할 때, [eqn: y=h(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y =1]이 오직 한 점에서 만나게 된다.
[eqn: t^2 -at +2 =1]에서 [eqn: t^2 -at +1 =0]
위의 방정식은 [eqn: a =2]일 때 중근을 가지므로 [eqn: a =2]일 때,
[eqn: y=h(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y =1]이 오직 한 점에서 만나게 된다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ㄱ. [eqn: a= 2sqrt2]일 때 [eqn: y= h`( x`)`]의 그래프와 [eqn: x`]축은 한 점에서 만난다.

ㄴ. [eqn: a= 4`]일 때 [eqn: x_1 `＜`x_2 `＜ 1over2]이면 [eqn: h`left( x_1 `right)`＞`h`left( x_2 right)`]이다.

ㄷ. [eqn: y= h`( x`)`]의 그래프와 직선 [eqn: y= 1`]이 오직 한 점에서 만나는 [eqn: a`]의 값이 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

등차수열[eqn: ``left{ a_n `right}]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_n `]이라 하자. [eqn: a_10 - a_1 = 27,~ S_10 = a_10 `]일 때, [eqn: S_10 `]의 값을 구하여라. [2점]

[eqn: 15`]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_10 - a_1][eqn: = 9d][eqn: =27]

∴ [eqn: d =3]

[eqn: S_10 = a_10 = S_10 - S_9]에서 [eqn: S_9 =0]

따라서 [eqn: a_1 +a_9 = 2 a_5 =0]에서 [eqn: a_5 =0]

∴ [eqn: S_10][eqn: =a_10][eqn: = a_5 +5d][eqn: =15]

[다른 풀이]

[eqn: S_9 = 9 over2 (2a_1 +8d ) =0]에서 [eqn: a_1 = -4d =-12]

∴ [eqn: S_10][eqn: =a_10][eqn: = a_1 +9d][eqn: =15]

[eqn: 2sum_k=1^5 `x_k + 3sum_k=6^10 `x_k = 8`] 을 만족시키는 서로 다른 순서쌍
[eqn: ``( x_1 ,~ x_2 ,~ x_3 ,~ cdots,~ x_10 `)`]의 개수를 구하여라.(단, [eqn: x_i `]는 음이 아닌 정수이고 [eqn: i= 1,~2,~3,~cdots,~10`]이다.) [3점]

[eqn: 145`]

[eqn: sum_k=1^5 x_k = X], [eqn: sum_k=6 ^10 x_k][eqn: =Y]라 하면

[eqn: X], [eqn: Y]가 음이 아닌 정수이므로

[eqn: 2X+3Y =8]에서 [eqn: (X , ``Y) = (1 , ``2)], [eqn: (4, ``0)]

ⅰ) [eqn: (X , ``Y) = (1 , ``2)]을 만족하는 순서쌍 [eqn: (x_1 , ``x_2 , `` x_3 , ``cdots ``, ``x_10 )]을 정하는 방법의 수는 [eqn: `_5 rmH_1 times `_5 H_2][eqn: = `_5 rmC_1 times `_6 C_2 =75]

ⅱ) [eqn: (X , ``Y) = (4 , ``0)]을 만족하는 순서쌍 [eqn: (x_1 , ``x_2 , `` x_3 , ``cdots ``, ``x_10 )]을 정하는 방법의 수는 [eqn: `_5 rmH_4 times `_5 H_0][eqn: = `_8 rmC_4][eqn: =70]

ⅰ), ⅱ)에서 구하는 순서쌍의 개수는 [eqn: 75+70 = 145]

삼차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f``( x`)`]에 대하여 두 집합 [eqn: A,~ B`]를 각각
[eqn: A= left{`x leftvert {( x- 2)^2}over{( x- 4)`( x- 6)} ≤`0`right},~ B= left{`x vert ( x- 6)`f``( x`)`≥`0`right}]
라 하면 두 집합 [eqn: A`]와 [eqn: B`]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 140`]

[eqn: (x-2)^2 over{(x-4)(x-6)} le0]

[eqn: LRARROW] [eqn: (x-2)^2 (x-4)(x-6) le0], [eqn: x!=4], [eqn: x!=6]

[eqn: LRARROW] [eqn: x=2]또는 [eqn: 4 <x<6]

∴ [eqn: A = left{ x`|``x=2]또는 [eqn: 4 <x<6right}]

조건(가)에서 [eqn: A cap B][eqn: = left{2 right}][eqn: cup][eqn: left{x`|` 5 le x <6 right}]

조건(나)에서 [eqn: A^C cap B^C = left{x `|``3<x le4 right}] 즉, [eqn: A cupB = left{x `|` x le3]또는 [eqn: x>4right}]

이므로 [eqn: B = left{ x`|``x le3]또는 [eqn: x ge5 right}]이어야 한다.

그런데 [eqn: B= left{x`|``(x-6)f(x) ge0 right}]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-3], [eqn: x-5]를 인수로 갖는다.

또한, [eqn: f(x)]가 [eqn: x-6]이라는 인수를 갖지 않으면 [eqn: x=6]을 기준으로 [eqn: (x-6)f(x)]의 부호가 바뀌게 되므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-6]을 인수로 갖는다.

문제에서 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이라고 했으므로 결국

[eqn: f(x) = (x-3)(x-5)(x-6)]이다.

∴ [eqn: f(10) = 7 cdot 5 cdot4 =140]

㈎ [eqn: A`capB= left{ 2`right}`cup left{`x vert 5`≤`x``＜`6`right}]

㈏ [eqn: A^C ``capB^C = left{`x vert 3`＜`x`≤`4`right}]

[eqn: f``( 10)`]의 값을 구하여라. [4점]

그림과 같이 좌표평면 위에서 원 [eqn: x^2 + y^2 - 2x- 4y- 11= 0`]과 직선 [eqn: y= 2x`]가 만나는 두 점을 [eqn: ``rmP,~Q`]라 하고 직선 [eqn: y= 2x] 위에 있지 않은 원 위의 한 점을[eqn: ``rm R`]라 하자.[eqn: ``rm angleQPR= alpha,~ angleRQP= beta`]에 대하여 행렬 [eqn: A= pmatrix{sinalpha``&sinbeta``#cosalpha``&cosbeta``}]가 [eqn: 8A^2 = 4A+ 7E`]를 만족시킬 때, 삼각형[eqn: ``rmPQR`]의 넓이는 [eqn: S`]이다. [eqn: S^2 `]의 값을 구하여라.(단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

[eqn: 60`]

[eqn: x^2 +y^2 -2x -4y -11 =0] [eqn: LRARROW] [eqn: (x-1)^2 + (y-2)^2 =4^2]

직선 [eqn: y=2x]는 원의 중심 [eqn: (1, ``2)]를 지나므로 선분 [eqn: rm PQ]는 원의 지름이 된다.

따라서 [eqn: rm angle PRQ = pi over2]이므로 [eqn: beta = pi over2 - alpha]

∴ [eqn: A][eqn: = pmatrix{``{sin alpha}``&``{sin beta}``#``{cos alpha}``&``{cos beta}``}][eqn: = pmatrix{``{sin alpha}``&``{cos alpha}``#``{cos alpha}``&``{sin alpha}``}]

[eqn: A^2][eqn: = pmatrix{``{1}``&``{2sin alpha cos alpha}``#``{2sin alpha cos alpha}``&``{1}``}]이므로

[eqn: 8A^2 =4A +7E]에서

[eqn: pmatrix{``{8}``&``{16sin alpha cos alpha}``#``{16sin alpha cos alpha}``&``{8}``}][eqn: = pmatrix{``{4 sin alpha +7}``&``{4cos alpha}``#``{4cos alpha}``&``{4 sin alpha +7}``}]

[eqn: 4sin alpha +7 =8]에서 [eqn: sin alpha = 1 over4], [eqn: cos alpha = sqrt { 1-sin^2 alpha} = sqrt { 15} over 4]

∴ [eqn: rmbarPR = barPQ cos alpha = 8 cdot sqrt { 15} over4 = 2 sqrt { 15}]
[eqn: rmbarQR = barPQ sin alpha = 8 cdot 1 over4 = 2]

∴ [eqn: S][eqn: rm = 1 over2 barPR cdot barQR][eqn: =2 sqrt { 15}]

∴ [eqn: S^2 =(2 sqrt { 15})^2 =60]

[다른 풀이]

[eqn: 8A^2 = 4A+7E] 즉, [eqn: A^2 - 1 over2 A - 7 over8 E =O]를 만족하는 [eqn: A =kE]꼴의 이차정사각행렬은 존재하지 않으므로 [eqn: A^2 - 1 over2 A - 7 over8 E =O]는 행렬 [eqn: A]의 케일리해밀턴정리에 의해 유도된 다항식과 일치한다. 따라서 [eqn: 2 sin alpha = 1 over2]에서 [eqn: sin alpha = 1 over4]

수열[eqn: ``left{ a_n `right},~ left{ b_n `right}]이 [eqn: 3] 이상인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: sin piover n = a_n over2+a_n = b_n over2-b_n]을 만족시킬 때,
[eqn: 1over pi^3 lim_n->inf `n^3 `left( a_n + b_n `right)`left( a_n - b_n `right)`]의 값을 구하여라. [4점]

[eqn: 16`]

[eqn: sin pi overn = a_n over2+a_n]에서 [eqn: a_n = { 2 sin pi overn} over { 1-sin pi overn}][eqn: = { 2sin pi overn LEFT ( 1+sin pi overn RIGHT ) } over { cos^2 pi overn}]이고

[eqn: sin pi overn = b_n over2-b_n]에서 [eqn: b_n = { 2 sin pi overn} over { 1+sin pi overn}][eqn: = { 2sin pi overn LEFT ( 1-sin pi overn RIGHT ) } over { cos^2 pi overn}]이므로

[eqn: a_n +b_n = { 4 sin pi overn} over { cos^2 pi overn}], [eqn: a_n -b_n][eqn: = { 4 sin^2 pi overn} over { cos^2 pi overn}]

[eqn: n->inf]일 때, [eqn: pi overn -> +0]이므로 [eqn: pi overn = theta]라 하면

[eqn: 1 overpi^3 lim_n->inf n^3 (a_n +b_n ) (a_n -b_n )]

[eqn: = lim_theta->0 1 overtheta^3 cdot { 4sin theta} over { cos^2 theta} cdot { 4 sin^3 theta} over { cos^2 theta}]
[eqn: =lim_theta->0 16 cdot LEFT ( sintheta overtheta RIGHT )^3 cdot 1 over{cos^4 theta}]

[eqn: =16]

그림과 같이 사면체[eqn: ``rmOABC`]에서 삼각형[eqn: ``rmOAB`]와 삼각형[eqn: ``rmCAB`]는 모두 정삼각형이고, 삼각형[eqn: ``rmOAB`]와 삼각형[eqn: ``rmCAB`]가 이루는 이면각의 크기는 [eqn: piover3]이다. 정삼각형[eqn: ``rmOAB`]의 무게중심을[eqn: ``rmG], 점[eqn: ``rmO`]에서 선분[eqn: ``rmCG`]에 내린 수선의 발을[eqn: ``rmH`]라 하자.
[eqn: ``rm vecOA it= veca ,```rm vecOB it= vecb ,```rm vecOC it= vecc`] 라 할 때,[eqn: ``rm vecOH it= p veca + q vecb + r vecc`]를 만족시키는 세 상수 [eqn: p,~ q,~ r`]에 대하여 [eqn: 28`( p+ q+ r`)`]의 값을 구하여라.

[eqn: 20`]

[eqn: rm bar AB]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하면 △[eqn: rm OAB], △[eqn: rm CAB]가 합동인 정삼각형이므로

[eqn: rm barOM = barCM]이고 [eqn: rm barOM bot barAB], [eqn: rm barCM bot barAB]이므로

[eqn: angle rm OMC]의 크기는 평면 [eqn: rm OAB]와 [eqn: rmCAB]가 이루는 이면각의 크기 [eqn: pi over3]이다.

따라서 △[eqn: rm OCM]은 정삼각형이다.

[eqn: rm barOC =barOM =it a]라 하면 [eqn: rm barOG = 2 over3 barOM =it 2 over3 a]

[eqn: angle rm COM = pi over3]이므로 [eqn: rmvecOG bullet vecOC][eqn: = 2 over3 a cdot a cdot cos pi over3 = 1 over3 a^2]

그림에서 [eqn: rm H]는 [eqn: bar {rm CG}]의 내분점이므로

[eqn: rm vec OH = it t vec{rm OG} +(1-t) vec{rm OC}]를 만족하는 [eqn: t] ([eqn: 0 <t<1])가 존재한다.

이때, [eqn: rm bar OH bot bar CG]이므로 [eqn: rm vec OH bullet vec CG][eqn: =0]이다.

[eqn: rm vec OH bullet vec CG][eqn: = rm vec OH bullet LEFT ( vecOG - vecOC RIGHT )]
[eqn: =LEFT ( it t vec{rm OG} +(1-t) vec{rm OC} RIGHT ) bullet LEFT (rm vecOG - vecOC RIGHT )]
[eqn: = t left|`vec{rmOG}`right|^2 +(1-2t) vec{rmOG } bullet vec{rm OC} -(1-t) left|` vec{rm OC}` right|^2]
[eqn: = 4 over9 a^2 t +(1-2t) 1 over3 a^2 -(1-t)a^2][eqn: =0]

[eqn: 7 over9 t =][eqn: 2 over3]에서 [eqn: t = 6 over7]

그런데 [eqn: rm G]는 삼각형 [eqn: rm OAB]의 무게중심이므로

[eqn: rm vecOG = 1 over3 left{ vec OA +vecOB right}]

∴ [eqn: rm vec OH][eqn: = 6 over7 vec{rm OG} + 1 over7 vec{rm OC}]
[eqn: = 2 over7 vec{rm OA} + 2 over7 vec{rm OB}+ 1 over7 vec{rm OC}]
[eqn: = 2 over7 vec{a} + 2 over7 vec{b}+ 1 over7 vec{c}]

∴ [eqn: p = 2 over7], [eqn: q = 2 over7], [eqn: r = 1 over7]

∴ [eqn: 28(p+q+r)][eqn: = 28 times 5 over7][eqn: =20]

[4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2012년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설