◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

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수 학 영 역

‘나’형

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2011학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n} -3 RIGHT ) `=7`]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {` {2a _{n} +3n-1} over {`a _{n} -1}} `]의 값은? [2점]

②

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n} -3 RIGHT ) `=7`]이므로, [eqn: lim_{n~->~inf`}left( a_n over n -3 right)`=0`]
[eqn: therefore~][eqn: lim_{n~->~inf`} a_n over n `=3`]
[eqn: therefore~][eqn: lim _{n -> INF } {` {2a _{n} +3n-1} over {`a _{n} -1}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {` {2 a _{n}}over n +3 - 1overn } over {{a _{n}}over n - 1over n }} `][eqn: ={2cdot3 +3}over 3`] [eqn: =3`]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

두 사건 [eqn: A,``B``]에 대하여
[eqn: rm P it (A)=0.4`], [eqn: rm P it (B)=0.5`], [eqn: rm P it (A CUP B`)=0.8`]
일 때, [eqn: rm P it (A ^{rmC} ``|`B`)`+` rm P it (A`|`B ^{ rm C}` `)`]의 값은? [2점]

④

[eqn: rm P it (A ^{rm C it} ``|`B`)`+` rm P it (A`|`B ^{rm C it} ``)`= {4} over {5} + {3} over {5} = {7} over {5} ``]

① [eqn: 1.1]	② [eqn: 1.2]	③ [eqn: 1.3]	④ [eqn: 1.4]	⑤ [eqn: 1.5]

행렬 [eqn: A= {pmatrix{`a`&`-2`#`1`&```````b`}}`]에 대하여 [eqn: A ^{3} =A`], [eqn: A ^{4} =E``]가 성립할 때, 두 실수 [eqn: a,``b`]의 곱 [eqn: a`b`]의 값은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [2점]

②

[eqn: A ^{3} =A``]의 좌우변에 행렬 [eqn: A``]를 곱하면
[eqn: A ^{4} =A ^{2} ``] [eqn: cdots][eqn: cdots][eqn: ㉠]
준식에서 [eqn: A ^{4} =E``]이 성립하므로 [eqn: A ^{2} =E``]이다.
[eqn: A ^{2} = {pmatrix{`a`&`-2`#`1`&```````b`}} ` {pmatrix{`a`&`-2`#`1`&```````b`}} = {pmatrix{`a ^{2} -2`&`````-2a-2b`#`a+b`&```````-2+b ^{2} `}}][eqn: = {pmatrix{`1`&```````0`#`0`&```````1`}}]
[eqn: therefore] [eqn: a ^{2} =3], [eqn: b ^{2} =3], [eqn: a+b=0]
따라서 곱셈변형공식에 의해서 [eqn: ab=-3``]

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 10` ^{0.76} `]의 정수부분은? (단, [eqn: log`2=0.3010`], [eqn: log`3=0.4771`]로 계산한다.) [3점]

①

[eqn: log 10^0.76 = 0.76]
[eqn: log 5=0.6990<0.76<log6=0.7781]이므로 정수부분은 5이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: n`]이 자연수일 때, 집합 [eqn: A _{n} `]을
[eqn: A _{n} = LEFT { x``|``x ^{n`} `=2011,```x`는~실수 RIGHT }]
라 하자. 집합 [eqn: A _{n} `]의 원소의 개수를 [eqn: f(n)`]이라 할 때,
[eqn: sum _{n=1} ^{2011} (-1)` ^{n} `f(n)`]의 값은? [3점]

②

[eqn: n``]이 홀수이면 [eqn: f``(n)=1``],  [eqn: n``]이 짝수이면 [eqn: f``(n)=2``]이므로
[eqn: sum _{n=1} ^{2011} (-1)` ^{n} `f(n)`][eqn: = -(1× 1006) + (2×1005)=1004``]

① [eqn: 502]	② [eqn: 1004]	③ [eqn: 1005]	④ [eqn: 2010]	⑤ [eqn: 2011]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =256`],  [eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {a _{k}} =4]
가 성립할 때, [eqn: a _{1} `a _{10} `]의 값은? [3점]

①

등비수열 [eqn: a_n`=ar^n-1``]에 대하여 [eqn: 1over {a_n`}`= 1over a left( 1over r right)^n-1`]
[eqn: {a`(r`^10 -1)}over r-1`=256`]이고,
[eqn: {1overa left( 1- 1over r^10`right)}over{1- 1over r}`=4`], [eqn: 1over{a^2 r`^9`}{a`(r^10 -1)}over r-1`=4`], [eqn: 1over{a^2 r`^9`}256`=4`], [eqn: a^2 `r^9``][eqn: =64`]
[eqn: therefore~][eqn: a_1`a_10``][eqn: =a cdot ar^9``][eqn: =a^2 `r^9``][eqn: =64`]

① [eqn: 64]	② [eqn: 32 sqrt {2}]	③ [eqn: 32]	④ [eqn: 16 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 16]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]이 다음 조건을 만족시킨다.
[eqn: a _{n+1} =a _{n} +2(n-1)`] ([eqn: n=1,``2,``3,`` CDOTS `])
[eqn: a _{10`} =100`]일 때, [eqn: a _{1} `]의 값은? [3점]

②

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =2n-2`]
계차수열 [eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} 2k-2`]
[eqn: a _{10} ``][eqn: =a _{1} + sum _{k=1} ^{9} 2k-2``][eqn: =a _{1} +2 TIMES {9(9+1)} over {2} -2 TIMES 9]
[eqn: =a _{1} +9(9+1)-18]
[eqn: =a _{1} +72=100]
[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{1} =28]

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 지수함수 [eqn: y=a` ^{x} `]의 그래프를 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: b`]만큼 평행이동시킨 것이다. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: 2`], 공비가 [eqn: 3`]인 등비수열이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: (n,``a _{n} )`]은 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프 위의 점일 때, 두 상수 [eqn: a,``b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

⑤

지수함수 [eqn: y=a` ^{x} `]의 그래프를 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: b`]만큼 평행이동시킨
함수식은 [eqn: y=a ^{x-b}] [eqn: cdots][eqn: cdots][eqn: ㉠]
수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: 2`], 공비가 [eqn: 3`]인 등비수열이므로

[eqn: a _{n} =2` TIMES 3 ^{n-1}]
[eqn: LEFT ( ``n``,``a _{n} RIGHT )]점이 [eqn: ㉠]식 위의 점이므로 함수식을 만족한다.
즉, [eqn: a ^{n-b} =2 TIMES 3 ^{n-1}]이 성립한다.
이때 [eqn: a=3``]이어야 한다. [eqn: cdotscdots][eqn: ㉡``] (참고[eqn: ATT])
대입하면, [eqn: 3 ^{n-b} =2 TIMES 3 ^{n-1}]에서

좌우변에 [eqn: 3 ^{n-1} ``]을 나누면 [eqn: 3 ^{-b+1} =2``]
이 성립하고 로그의 정의에 의해서 [eqn: -b+1=log` _{3} `2``]
[eqn: therefore] [eqn: b=1-log _{3} `2``] [eqn: cdotscdots][eqn: ㉢``]
[eqn: ㉡,`㉢``]에서

[eqn: a+b=4-log _{3} `2``]

① [eqn: -log`_3`2]	② [eqn: 1-log` _{3} `2]	③ [eqn: 2-log`_3`2]
④ [eqn: 3-log`_3`2]	⑤ [eqn: 4-log`_3`2]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식
[eqn: 2 `^{4x} +a``․``2 ` ^{2x-1} +10> {3} over {4} a`]
를 만족시키는 자연수 [eqn: a`]의 최댓값은? [3점]

②

[eqn: 2` ^{2x} `=t`(`>0`)`]이라하면 부등식 [eqn: 2 `^{4x} +a``․``2 ` ^{2x-1} +10> {3} over {4} a`]은
[eqn: t` ^{2} + {a} over {2} `t`+10- {3} over {4} a`>0`]이고 [eqn: t`>0`]인 모든 실수에 대하여 부등식이
성립하면 된다.
[eqn: f`(`t)`=t` ^{2} + {a} over {2} `t`+10- {3} over {4} a``]라 하면 대칭축이 [eqn: t`=- {a} over {4} `]로 음수이므로
[eqn: f`(`0`)` GEQ 0`]이면 부등식이 성립하므로
[eqn: 10- {3} over {4} a` GEQ 0`]	[eqn: THEREFORE `a LEQ {40} over {3} `]
그러므로 조건에 만족하는 자연수[eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 13`]이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

두 사격선수 [eqn: rm A,``B`]가 한 번의 사격에서 [eqn: 10`]점을 얻을 확률은 각각 [eqn: {3} over {4} ,`` {2} over {3} `]라고 한다. 두 선수가 임의로 순서를 정하여 각각 한 번씩 사격하였더니 먼저 사격한 선수만 [eqn: 10`]점을 얻었다고 한다. 이때, 먼저 사격한 선수가 [eqn: rm A`]이었을 확률은? [3점]

③

먼저 사격한 선수만 10점을 얻는 사건을 C,
먼저 사격한 선수가 A인 사건을 A라 하면,
[eqn: P(A□C)= {P(A SMALLINTER C)} over {P(C) _{}}]를 구하는 문제이다.
[eqn: P(C)=(A먼저,10점`득점)+(B먼저,`10점`득점)]
[eqn: = {3} over {4} TIMES {1} over {3} ``+` {2} over {3} TIMES {1`} over {4} =` {5} over {`12}]
[eqn: P(A SMALLINTER C)= {3} over {4} TIMES {1} over {3} = {3} over {`12}]

[eqn: THEREFORE][eqn: P(A□C)= {3} over {5}]

① [eqn: 1over 2]	② [eqn: 9 over 17]	③ [eqn: 3over5]	④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 9 over 13]

어느 지역에서 사관학교에 지원한 학생들을 대상으로 안경 착용 여부를 조사하였더니 그 결과가 다음 표와 같았다.

	남학생	여학생
안경을 쓴 학생	[eqn: n`]명	[eqn: 100]명
안경을 안 쓴 학생	[eqn: 180]명	([eqn: n+30])명

이 학생들 중에서 임의로 한 명을 선택할 때, 그 학생이 남학생일 사건을 [eqn: A`], 안경을 쓴 학생일 사건을 [eqn: B``]라 하자. 두 사건 [eqn: A,``B``]가 서로 독립일 때, 자연수 [eqn: n`]의 값은? [3점]

③

	남학생	여학생
안경을 쓴 학생	[eqn: n`]명	[eqn: 100]명	[eqn: n+100`]
안경을 안 쓴 학생	[eqn: 180]명	([eqn: n+30])명	[eqn: n+210`]
	[eqn: n+180`]	[eqn: n+130`]	[eqn: 2n+310`]

두 사건 [eqn: A`,`B``]가 독립이므로, [eqn: P`(A`)=P`(A ``|``B`)`]
[eqn: n+180 over 2n+310 = n over n+100`], [eqn: (n+180)(n+100)`=n`(2n+310)`],
[eqn: n^2 +30n-18000=0`], [eqn: (n+150)(n-120)`=0`]
[eqn: therefore~][eqn: n`=120`]

① [eqn: 80]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 120]	④ [eqn: 150]	⑤ [eqn: 180]

평균이 [eqn: m`], 표준편차가 [eqn: sigma `]인 정규분포를 따르는 확률변수 [eqn: X`]와 표준정규분포를 따르는 확률변수 [eqn: Z`]가 다음 두 조건을 만족시킨다.

[eqn: m+ sigma ``]의 값은? [3점]

③

[eqn: rm P LEFT ( it X >= 58 RIGHT ) `= rm P LEFT ( it Z >= -1 RIGHT )]에서
[eqn: {58-m} over {sigma } =-1] ➪ [eqn: m- sigma =58] … ➀
[eqn: rm P LEFT ( it X <= 55 RIGHT ) `= rm P LEFT ( it Z >= 2 RIGHT )]에서
[eqn: {55-m} over {sigma } =-2] ➪ [eqn: m-2 sigma =55] … ➁
➀, ➁ 두 식을 연립해서 풀면 [eqn: m=61] [eqn: sigma =3]
[eqn: THEREFORE `m`+` sigma =64`]

(가) [eqn: rm P LEFT ( it X >= 58 RIGHT ) `= rm P LEFT ( it Z >= -1 RIGHT )]

(나) [eqn: rm P LEFT ( it X <= 55 RIGHT ) `= rm P LEFT ( it Z >= 2 RIGHT )]

① [eqn: 62]	② [eqn: 63]	③ [eqn: 64]	④ [eqn: 65]	⑤ [eqn: 66]

어떤 기계 장치는 작동하기 시작한 순간부터 시간이 지남에 따라 그 정확도가 점점 떨어진다고 한다. 이 기계가 작동하기 시작하여 [eqn: t``]시간이 되는 순간의 정확도를 [eqn: I``](%)라 하면 관계식
[eqn: I```=`a`log`(`t+7)`+b`]([eqn: a,``b`]는 상수, [eqn: 0 <= t <= 200`])
가 성립한다고 한다. 처음 이 기계가 작동하기 시작한 순간의 정확도는 [eqn: 100`]이며, 작동하기 시작하여 [eqn: 28`]시간이 되는 순간의 정확도는 [eqn: 79`]라고 한다. 이 기계가 작동하기 시작하여 [eqn: 63`]시간이 되는 순간의 정확도는? (단, [eqn: log`2=0.3`]으로 계산한다.) [3점]

④

[eqn: I```=`a`log`(`t+7)`+b`]
처음 이 기계가 작동하기 시작한 순간의 정확도는 [eqn: 100`]에서
경과시간 [eqn: t=0``]에 대응되는 정확도 [eqn: I=100]이므로
[eqn: 100``=`a`log`(`0+7)`+b`] [eqn: cdotscdots㉠]
작동하기 시작하여 [eqn: 28`]시간이 되는 순간의 정확도는 [eqn: 79`]에서
경과시간 [eqn: t=28``]에 대응되는 정확도 [eqn: I=79``]이므로
[eqn: 79``=`a`log`(`28+7)`+b`][eqn: CDOTS CDOTS ㉡`]
[eqn: ㉡-㉠]을 변변 정리하면
[eqn: -21=a`log`5][eqn: =][eqn: a LEFT ( 1-log`2 RIGHT ) =a LEFT ( 0.7 RIGHT )]
[eqn: therefore`a=-30] [eqn: (because`log`2=0.3)]
[eqn: ㉠``]식에 대입해서 [eqn: b``]의 값을 정리하면
[eqn: 100``=`a`log`(`0+7)`+b`] 에서

[eqn: therefore][eqn: b=100+30`log`7``]
[eqn: 63`]시간이 되는 순간의 정확도를 [eqn: x``]라 두면
[eqn: x``=`a`log`(`63+7)`+b`] [eqn: cdotscdots㉢]
이 성립한다. 위에서 얻은  [eqn: a,`b]의 값을 [eqn: ㉢]식에 대입하면
[eqn: x=-30log`70+100+30log7=100-30=70``]

① [eqn: 55]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 65]	④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 75]

양수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: log`a`]의 가수를 [eqn: g(a)`]라 하자. 두 함수
[eqn: y=`g(`3`|`x`|`+`1`)`], [eqn: y=`m`x+1`]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 실수 [eqn: m`]의 최댓값은? [4점]

②

[eqn: 3` LEFT | `x` RIGHT | +1` GEQ 1`]이므로 [eqn: log`(3` LEFT | `x` RIGHT | +1)` GEQ 0``]이다.
[eqn: 0LEQ log`(3` LEFT | `x` RIGHT | +1)`<1``][eqn: RARROW ``1` LEQ `3` LEFT | `x` RIGHT | +1`<10`], [eqn: 0` LEQ LEFT | x` RIGHT | `<3``]
[eqn: 1 LEQ log`(3` LEFT | `x` RIGHT | +1)`<2``][eqn: RARROW ``1` LEQ `3` LEFT | `x` RIGHT | +1`<10`], [eqn: 3` LEQ LEFT | x` RIGHT | `<33```]
[eqn: VDOTS `]
의 소수부분을 그래프로 나타내면 그림과 같다.

그러므로 [eqn: y=`m`x+1`]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때,
실수 [eqn: m`]의 최댓값은 [eqn: (`-3`,``0`)``]을 지날 때이므로 [eqn: m= {1} over {3} `]이다.

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

다음은 [eqn: 2`] 이상의 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식
[eqn: {1 `·` 2} over {n+1} `+ {2`·` 3} over {n+2} `+ {3 `·`4} over n+3 + ` CDOTS` + {n (n+1)} over {n+n} `< {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {4} `][eqn: cdots](*)
이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

③

(가) [eqn: {1 BULLET 2} over {2+1} + {2 BULLET 3} over {2+2} = {2} over {3} + {3} over {2} = {13} over {6} =a]
(나) [eqn: {m(m+1`)} over {2m+1} =f(m)]
(다) [eqn: {1+2+ CDOTS +m} over {2m} = {m+1} over {4} =g(m)]
[eqn: THEREFORE] [eqn: a TIMES `f(3) TIMES `g(3)= {13} over {6} TIMES {3 TIMES 4} over {7} TIMES {4} over {4} = {26} over {7}]

부등식 (*)의 좌변을 [eqn: S _{n}`]이라 하자

(ⅰ) [eqn: n=2`]일 때, (좌변)[eqn: `=S _{2} = `box{``(가)``}] ,

(우변)[eqn: = {9} over {4} `]이므로 (*)은 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m``(`m=2,``3,``4,` CDOTS `)]일 때 (*)이 성립한다고 가정하자.

[eqn: S_m = {1 `·` 2} over {m+1} `+ {2`·` 3} over {m+2} `+ {3 `·`4} over m+3 + ` CDOTS` + {m (m+1)} over {m+m}`]

이고,

[eqn: S _{m+1} = {1`·`2} over {(m+1)+1} `+ {2`·`3} over {(m+1)+2} `+` CDOTS `]

[eqn: `+ {(m+1)(m+2)} over {(m+1)+m+1} `]

이므로

[eqn: S _{m+1} -S _{m}]

[eqn: =-2` LEFT ( ` {1} over {m+1} `+ {2} over {m+2} `+ {3} over {m+3} `+` CDOTS` + {m} over {2m} `` RIGHT )]

[eqn: +`box{``(나)``}` `+ {m+2} over {2}]

한편, [eqn: {1} over {m+1} `+ {2} over {m+2} `+` CDOTS` + {m} over {2m} `]

[eqn: `> {1} over {m+m} `+ {2} over {m+m} `+` CDOTS` + {m} over {2m} `=`box{``(다)``}]

이고

[eqn: box{``(나)``}` `< {2m+1} over {4}`]이므로 [eqn: S _{m+1} -S _{m} < {2m+3} over {4}`]이다.
따라서 [eqn: S _{m+1} `<`S _{m} + {2m+3} over {4} `< {(m+2) ^{2}} over {4}`]이므로

(*)은 [eqn: n=m+1`]일 때도 성립한다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: 2`] 이상의 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 증명에서 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a`]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)`], [eqn: g(m)`]이라 할 때, [eqn: a`f(3)`g(3)`]의 값은?

[3점]

① [eqn: {13} over {7}]	② [eqn: {20} over {7}]	③ [eqn: 26 over 7]	④ [eqn: {33} over {7}]	⑤ [eqn: {39} over {7}]

그림과 같이 [eqn: bar{rm AB} ``= sqrt {2} `], [eqn: bar{rm AD} ``=2`]인 직사각형 [eqn: rm ABCD``]에서 다음 [단계]와 같은 순서로 도형을 만들어 나간다.

①

대각선 [eqn: barAE``][eqn: =root3`]이고, 삼각형 [eqn: ABF``]의 넓이는
[eqn: 1over2 left( root2 + root3 over2 + root3 over2 right)`r`= 1over2 cdot root2 cdot 1over2`]
[eqn: r``][eqn: = 1over {root6 +2`}`][eqn: = {root6 - 2}over 2`]
그리면, [eqn: S_1`][eqn: =2 cdot pi`r`^2`][eqn: = 2cdot pi cdot left( {root6 -2}over 2 right)^2`][eqn: =pi`(5-2root6`)`]
그리고, 직사각형들의 닮음비가 [eqn: root2 ~:~1`]이므로, 원의 반지름의 비도
[eqn: r_n ~;~r_n+1`=root2 ~:~1`]
따라서, 넓이비 [eqn: S_n ~:~S_n+1`=2~:~1`]
[eqn: therefore~][eqn: S_n+1 over S_n`= 1over2`]
[eqn: therefore~][eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} `][eqn: = {pi`(5-2root6`)}over {1- 1over2 }`][eqn: =2`pi`(5-2root6`)`]

[단계 [eqn: 1`]] 직사각형 [eqn: rm ABCD`]의 긴 두 변의 중점을 잇는 선분을 그린 다음, 한 쪽 직사각형에 두 대각선을 그려 네 개의 이등변삼각형을 만든다. 이 중 꼭지각의 크기가 둔각인 두 이등변삼각형에 내접하는 원을 각각 그린 후 이 두 원의 넓이의 합을 [eqn: S _{1} `]이라 하자.

[단계 [eqn: 2`]]  [단계 [eqn: 1`]]에서 대각선이 그려지지 않은 직사각형의 긴 두 변의 중점을 잇는 선분을  그린 다음, 한 쪽 직사각형에 두 대각선을 그려 네 개의 이등변삼각형을 만든다. 이 중 꼭지각의 크기가 둔각인 두 이등변삼각형에 내접하는 원을 각각 그린 후 이 두 원의 넓이의 합을 [eqn: S _{2} `]라 하자.

[단계 [eqn: 3`]]  [단계 [eqn: 2`]]에서 대각선이 그려지지 않은 직사각형의 긴 두 변의 중점을 잇는 선분을  그린 다음, 한 쪽 직사각형에 두 대각선을 그려 네 개의 이등변삼각형을 만든다. 이 중 꼭지각의 크기가 둔각인 두 이등변삼각형에 내접하는 원을 각각 그린 후 이 두 원의 넓이의 합을 [eqn: S _{3} `]이라 하자.

[eqn: vdots]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: \D]

[eqn: root2]

[eqn: 2]

[eqn: cdots]

이와 같은 과정을 계속하여 [단계 [eqn: n`]]에서 그려진 두 원의 넓이의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 2pi(5-2root6 `)]	② [eqn: 2pi(3-root6 `)]	③ [eqn: 2pi(5-root6 `)]
④ [eqn: 4pi(3-root6 `)]	⑤ [eqn: 4pi(5-root6 `)]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]는 다음과 같은 규칙으로 [eqn: x`]축 또는 [eqn: y`]축과 평행한 방향으로 이동 한다.

예를 들어, 그림과 같이 점 [eqn: \P`]가 원점을 출발하여[eqn: 11`]회 이동하면
점 [eqn: (`2,``1)`]에 도착한다.

점 [eqn: rm P`]가 원점을 출발하여 [eqn: k`]회 이동하면 점 [eqn: (0,``10)`]에 도착한다. [eqn: k`]의 값은? (단, 각각의 반직선에 도착하기 전에는 진행방향을 바꾸지 않는다.) [4점]

⑤

[eqn: (0`,`1)~:~3`]
[eqn: (0`,`2)~:~3+11`]
[eqn: (0`,`3)~:~3+11+19`]
[eqn: ````````VDOTS]
[eqn: (0`,`10)~:~3+11+19+` CDOTS `+`75=390]

(가) [eqn: 1`]회 이동거리는 [eqn: 1`]이고, 처음에는 원점을 출발하여 점 [eqn: (1,``0)`]으로 이동한다.

(나) 점 [eqn: rm P`]가 반직선 [eqn: y=-x+1``]([eqn: x >= 1``]) 위의 점에 도착하면 [eqn: y``]축의 양의 방향으로 이동하고, 반직선 [eqn: y=x``]([eqn: x>0``]) 위의 점에 도착하면 [eqn: x``]축의 음의 방향으로 이동한다.

(다) 점 [eqn: rm P`]가 반직선 [eqn: y=-x``]([eqn: x<0``]) 위의 점에 도착하면 [eqn: y``]축의 음의 방향으로 이동하고, 반직선 [eqn: y=x``]([eqn: x<0``]) 위의 점에 도착하면 [eqn: x``]축의 양의 방향으로 이동한다.

[eqn: y=x]

[eqn: y=-x+1``(x >= 1)]

[eqn: y=-x``(x<0)]

[eqn: x]

[eqn: y]

① [eqn: 350]	② [eqn: 360]	③ [eqn: 370]	④ [eqn: 380]	⑤ [eqn: 390]

사과 [eqn: 3`]개와 복숭아 [eqn: 2`]개가 있다. 이 [eqn: 5`]개의 과일 중에서 임의로 [eqn: 4`]개의 과일을 택하여 네 명의 학생에게 각각 하나씩 나누어 주었다. 남아있는 [eqn: 1`]개의 과일을 네 명의 학생 중 임의의 한 명에게 주었을 때, 이 학생이 가진 [eqn: 2`]개의 과일이 같은 종류일 확률은?	[4점]

④

[eqn: 5``]개의 과일을 [eqn: 4``]사람에게 나누어 주려면 먼저 [eqn: 4``]개의 과일 꾸러미로
분할을 한다.
[eqn: 2개,`1개,`1개,`1개] 로 먼저 분할하는 방법은
[eqn: {} _{5} C _{2} TIMES _{3} C _{1} TIMES _{2} C _{1} TIMES _{1} C _{1} TIMES {1} over {3!}]
다시 [eqn: 4``]사람에게 분배하는 방법은 [eqn: {} _{5} C _{2} TIMES _{3} C _{1} TIMES _{2} C _{1} TIMES _{1} C _{1} TIMES {1} over {3!} TIMES 4!]
[eqn: 2``]개를 받은 학생이 같은 종류의 과일을 받을 수 있는 경우의 수는
[eqn: ㉠] 과일 [eqn: 2]개를 받은 학생의 경우 수: [eqn: 4]가지(학생 [eqn: 4]명)
[eqn: ㉡] 과일의 종류: 사과로써 같을 때, 복숭아로써 같을 때
[eqn: ㉢``][eqn: ㉠,`㉡``]이 결정될 때 나머지 3개의 과일이 나머지 [eqn: 3``]학생에게 나누어
줄 수 있는 경우 수:[eqn: 3!``]
에서 [eqn: 2``]개를 받은 학생이 같은 종류의 과일을 받을 수 있는 경우의 수
: [eqn: 4 TIMES _{3} C _{2} TIMES 3!][eqn: +][eqn: 4 TIMES _{2} C _{2} TIMES 3!]
([eqn: because]사과 [eqn: 2``]개가 한 학생에게 분배되는 모든 경우:[eqn: 4 TIMES _{3} C _{2} TIMES 3!]
복숭아 [eqn: 2``]개가 한 학생에게 분배되는 모든 경우:[eqn: 4 TIMES _{2} C _{2} TIMES 3!])
따라서 확률은 [eqn: {4 TIMES _{3} C _{2} TIMES 3!+4 TIMES _{2} C _{2} TIMES 3!} over {{} _{5} C _{2} TIMES _{3} C _{1} TIMES _{2} C _{1} TIMES _{1} C _{1} TIMES {1} over {3!} TIMES 4!}][eqn: =][eqn: {2} over {5} ``]

① [eqn: 1over 10]	② [eqn: 1over 5]	③ [eqn: 3over 10]	④ [eqn: 2over 5]	⑤ [eqn: 1over 2]

집합 [eqn: X=][eqn: "{"1,``2,``3,``4,``5"}"`]에서 집합 [eqn: Y``=][eqn: "{"1,``2,``3,``4,``5,``6,``7"}"`]로의 함수 중에서 다음 세 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f``]의 개수는?

⑤

함성 함수 [eqn: f circ f``]가 정의되기 위해서는 [eqn: f(x)`]의 함숫값으로 [eqn: 6,`7`]은
선택될 수 없다. 그러므로
[eqn: (1)`] [eqn: f(1)=1`]이면 [eqn: f(f(1))=f(1)=1`]이므로 나머지 [eqn: x`]의 [eqn: 2`,3`,4,`5`]의
원소가 일대일 대응하면 되므로 [eqn: 4!`=24`]가지
[eqn: (2)`] [eqn: f(1)=2`]이면 [eqn: f(f(1))=f(2)=1`]로 서로 크로스로 연결되고
나머지 수가 일대일 대응하면 되므로 [eqn: 3!``=6`]가지이다.
[eqn: (3)`] [eqn: f(1)=3`], [eqn: f(1)=4],[eqn: f(1)=5`]일 때도 [eqn: (2)`]와 마찬가지이므로
[eqn: (1),`(2)`,(3)`]에 의하여 [eqn: 24+4 TIMES 6=48`]가지

[4점]

(가) 집합 [eqn: X`]의 임의의 두 원소 [eqn: x_1 ,``x_2 `]에 대하여
[eqn: x_1 != x_2`]이면 [eqn: f(x_1 )!= f(x_2 )`]이다.

(나) 합성함수 [eqn: f circ f``]가 정의된다.

(다) [eqn: (`f circ f)(`1)`=1`]이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 36]	④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 48]

세 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,`` LEFT { b _{n} RIGHT } ,`` LEFT { c _{n} RIGHT }`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

④

ㄱ. [eqn: 0<a _{n} <b _{n} `]이고, [eqn: lim _{n-> INF } {`b _{n} `= INF }`]이므로
[eqn: lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {b _{n} ^{````2}}} `=`][eqn: lim _{n-> INF } 1over b_n`×{{a _{n}} over {b _{n} } `=`0`×0=0``] (참)
ㄴ. [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `;`1`,``0`,``1`,``0`,``1,``0`,``…``]이고 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }`;`0`,``1`,``0`,``1`,``0`,``1`,``…``]이면
수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]은 발산하고 수열 [eqn: LEFT { a _{n}` b _{n} RIGHT }`]은 수렴하지만 [eqn: lim _{n-> INF } {}` b _{n} ``]은 발산한다. (거짓)

ㄷ. [eqn: a _{n} <b _{n} <c _{n}] [eqn: (`n=1,`2,`3, CDOTS `)] 에서
[eqn: n TIMES a _{n} <n TIMES b _{n} <n TIMES c _{n}]

[eqn: {n} over {n+1} TIMES (n+1)a _{n} <n TIMES b _{n} < {n} over {n-1} TIMES (n-1)c _{n}]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n} over {n+1} (n+1)a _{n} LEQ n`b _{n} LEQ lim _{n -> INF } {} {n} over {n-1} (n-1)c _{n}]

[eqn: 1 LEQ n`b _{n} LEQ 1]

[eqn: THEREFORE ` lim _{n -> INF } {} `n`b _{n} =1] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ㄱ. [eqn: 0<a _{n} <b _{n} `] [eqn: (`n=1,`2,`3, CDOTS `)] 이고 [eqn: lim _{n-> INF } {`b _{n} `= INF }`]이면
[eqn: lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {b _{n} ^{````2}}} `=`0`]이다.

ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]이 발산하고 수열 [eqn: LEFT { a _{n}` b _{n} RIGHT }`]이 수렴하면
[eqn: lim _{n-> INF } {}` b _{n} =0`]이다.

ㄷ. [eqn: a _{n} <b _{n} <c _{n} `] [eqn: (`n=1,`2,`3, CDOTS `)] 이고
[eqn: lim _{n -> INF } {} (n+1)`a _{n} = lim _{n -> INF } {} (n-1)`c _{n} =1`]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} `n`b _{n} =1`]
이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

이차정사각행렬을 원소로 갖는 집합 [eqn: M``]을 다음과 같이 정의하자.
[eqn: M`= LEFT { A``|``A ^{2} =A RIGHT }]
옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

⑤

ㄱ. (반례) [eqn: X`= pmatrix { ``0~&1`` #``0 ~&0`` }`]라 하면 [eqn: X^2``][eqn: = pmatrix { ``0~&1`` #``0 ~&0`` }pmatrix { ``0~&1`` #``0 ~&0`` }``][eqn: =pmatrix { ``0~&0`` #``0 ~&0`` }`]
[eqn: X^4`=X^2`]이므로, [eqn: X^2`in`M``]이지만, [eqn: X^2`not=`X``]이므로, [eqn: X`notin`M``]이다. (거짓)
ㄴ. [eqn: X` IN ` M``]이므로, [eqn: X^2`=X``]
[eqn: (E-X`)^2``][eqn: =E-2X+X^2``][eqn: =E-2X+X``][eqn: =E-X``]
[eqn: therefore~][eqn: E``-X``][eqn: in `M``](참)
ㄷ. [eqn: X` IN `M``], [eqn: Y` IN `M``]이면 [eqn: X^2`=X``], [eqn: Y^2`=Y``]
[eqn: XY``=`-YX``]이면 [eqn: X^m`Y^n`=-Y^n `X^m``]이므로,
[eqn: (X^m +Y^n`)^2``][eqn: =(X^2`)^m +(Y^2`)^n`+X^m`Y^n`+Y^n `X^m``][eqn: =X^m` +Y^n``]
[eqn: therefore~][eqn: X`` ^{m} +Y `` ^{n} ` IN ` M``](참)

ㄱ. [eqn: X ^{2}` IN M``]이면 [eqn: X` IN `M``]이다.

ㄴ. [eqn: X` IN ` M``]이면 [eqn: E``-X``][eqn: in `M``]이다.

ㄷ. [eqn: X` IN `M``], [eqn: Y` IN `M``]이고 [eqn: XY``=`-YX``]이면 모든 자연수 [eqn: m`,``n`]에 대하여 [eqn: X`` ^{m} +Y `` ^{n} ` IN ` M``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

그림과 같이 직선 [eqn: y= {2} over {3}`]가 두 곡선 [eqn: y=log` _{a}` x`], [eqn: y=log` _{b}` x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm P,``Q`]라 하자. 점 [eqn: rm P`]를 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=log` _{b}` x`]와 [eqn: x``]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A,``B`]라 하고, 점 [eqn: rm Q`]를 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=log` _{a}` x`]와 [eqn: x``]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm C,``D`]라 하자.

[eqn: rm bar PA = bar AB`]이고, 사각형 [eqn: rm PAQC`]의 넓이가 [eqn: 1`]일 때, 두 상수 [eqn: a,``b`]의 곱 [eqn: a ` b`]의 값은? (단, [eqn: 1<a<b`]이다.) [4점]

③

[eqn: log _{a} x`:log _{b`} x`=2:1`````````````` THEREFORE `b=a ^{2} ``]
[eqn: □PAQC`= {{1} over {3} + {2} over {3}} over {2} TIMES bar{BD} `=1```````,`` bar{BD} `=2``]
[eqn: a ^{{4} over {3}} -a ^{{2} over {3}} =2```,`````a ^{{2} over {3}} =2``````````````` THEREFORE ab=a ^{3} =2 ^{{9} over {2}} =16 sqrt {2} ``]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: \B]

[eqn: \D]

[eqn: \P]

[eqn: \Q]

[eqn: \A]

[eqn: \C]

[eqn: y=log`_a`x]

[eqn: y=log`_b`x]

[eqn: y= 2over3]

① [eqn: 12root2]	② [eqn: 14root2]	③ [eqn: 16root2]

④ [eqn: 18root2]	⑤ [eqn: 20root2]

그림과 같이 직사각형 모양으로 이루어진 도로망이 있고, 이 도로망의 [eqn: 9`]개의 지점에 이 표시되어 있다.

①

좌상/우하를 지나는 경우 [eqn: {4!} over {2!2!}]가지씩
중상/중하를 지나는 경우  [eqn: {3!} over {2!}]가지씩
좌중/우중를 지나는 경우  [eqn: {3!} over {2!}]가지씩
좌하/우상을 지나는 경우  [eqn: 1]가지씩
중앙점을 지나는 경우     [eqn: 2 TIMES 2=4]가지
따라서 [eqn: {4!} over {2!2!} TIMES 2+ {3!} over {2!} TIMES 4+1 TIMES 2+4=30]가지

[eqn: \B]

[eqn: \A]

[eqn: rm A`]지점에서 [eqn: rm B`]지점까지 가는 최단경로 중에서 이 표시된 [eqn: 9`]개의 지점 중 오직 한 지점만을 지나는 경로의 수는? [4점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

[eqn: z`]	[eqn: {rm P}`(0`≦Z``≦z)`]
[eqn: 1.65`] [eqn: 1.96`] [eqn: 2. 58`]	[eqn: 0.450`] [eqn: 0.475`] [eqn: 0.495`]

어느 선박 부품 공장에서 만드는 부품의 길이 [eqn: X``]는 평균이 [eqn: 100`], 표준편차가 [eqn: 0.6`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 만든 부품 중에서 [eqn: 9`]개를 임의추출한 표본의 길이의 평균을 [eqn: bar{X``` }`]라 할 때, 표본평균 [eqn: bar{X``` }`]와 모평균의 차가 일정한 값 [eqn: c`] 이상이면 부품의 제조과정에 대한 전면적인 조사를 하기로 하였다. 부품의 제조 과정에 대한 전면적인 조사를 하게 될 확률이 [eqn: 5`]% 이하가 되도록 상수 [eqn: c``]의 값을 정할 때, [eqn: c`]의 최솟값은? (단, 단위는 [eqn: \ mm]이고, 오른쪽 표준정규분포표를 이용한다.) [4점]

④

신뢰도 [eqn: 95%]일 때의 최대 오차를 구하는 것이므로
[eqn: 1.96 times 0.6 overroot9 = 0.392]

① [eqn: 0.196]	② [eqn: 0.258]	③ [eqn: 0.330]

④ [eqn: 0.392]	⑤ [eqn: 0.475]

[eqn: x,``y`]에 대한 연립방정식 [eqn: {pmatrix{`-b````&`a`-5`#`2a`&`2b`}} {pmatrix{`x`#`y`}}` = {pmatrix{`x+3y`#`-2y`}}`]가 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 갖도록 하는 실수 [eqn: a,``b`]에 대하여 좌표평면에서 점 [eqn: (a,`b)`]가 나타내는 도형의 넓이는 [eqn: S`]이다. [eqn: {S} over {pi }`]의 값을 구하시오.	[3점]

[eqn: 16`]

이항하여 정리하면
[eqn: {cases{(b+1)x+(8-a)y=0``````````````&#ax+(b+1)y=0&}}]
[eqn: {pmatrix{b+1```&8-a#a&b+1}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{0#0}}]
[eqn: {pmatrix{b+1````&8-a#a&b+1}}]의 역행렬이 존재하지 않으므로
[eqn: (b+1) ^{2} -a(8-a)=0]
[eqn: (a-4) ^{2} +(b+1) ^{2} =16]
[eqn: THEREFORE S= pi BULLET 4 ^{2} =16 pi] → [eqn: {S} over {pi } =16]

두 수 [eqn: n,`` alpha `]가 다음 두 조건을 만족시킨다.

등식 [eqn: log _{`2} `m ^{2} `=n+ alpha `]를 만족시키는 실수 [eqn: m`]에 대하여 [eqn: 3`m^4`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 256`]

[eqn: 1over2 `<`1-alpha`<`1`], [eqn: 1over2 `<`log`_4`n``<`1`], [eqn: 2`<`n`<`4`]
[eqn: therefore~][eqn: n`=3`]
그러면, [eqn: log` _{4`}`3`=1- alpha `], [eqn: alpha`=1-log`_4`3``]
[eqn: therefore~][eqn: alpha`=log`_4` 4over3`]
따라서, [eqn: log _{`2} `m ^{2} `][eqn: = 3+ log`_4`4over3`], [eqn: log`_4`m^4`= log`_4`4^4 over3`], [eqn: m^4`= 4^4 over 3`]
[eqn: therefore~][eqn: 3`m^4`][eqn: =4^4`=256`]

(가) [eqn: n`]은 자연수이고, [eqn: 0< alpha < {1} over {2}`]이다.

(나) [eqn: log` _{4`} n`=1- alpha `]

집합 [eqn: A`="{"1,``2,``3,``4,``5"}"`]의 서로 다른 두 원소를 [eqn: a,``b`]라 하고, 집합 [eqn: B="{"6,``7,``8,``9"}"`]의 서로 다른 두 원소를 [eqn: c,``d`]라 하자. 순서쌍 [eqn: (a,`b,`c,`d)`] 중에서 네 수의 곱 [eqn: a`b`c`d`]가 짝수인 것의 개수를 구하시오. [3점]

[eqn: 228]

[eqn: a,`b,`c,`d`] 네 개 모두 홀수가 되는 경우의 수를 전체의 경우의 수에서 뺀다.
[eqn: {} _{5} C _{2} TIMES 2! TIMES _{4} C _{2} TIMES 2!] : 전체 경우의 수
[eqn: {} _{3} C _{2} TIMES 2! TIMES _{2} C _{2} TIMES 2!] : [eqn: a,`b,`c,`d`] 네 개 모두 홀수가 되는 경우의 수
[eqn: {} _{5} C _{2} TIMES 2! TIMES _{4} C _{2} TIMES 2!- _{3} C _{2} TIMES 2! TIMES _{2} C _{2} TIMES 2!```]
[eqn: =10 TIMES 2 TIMES 6 TIMES 2-3 TIMES 2 TIMES 1 TIMES 2=240-12=228]

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } 2n+3 over{n(n+1)(n+2)} `= q overp`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p,``q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: 11]

[eqn: 2n+3 over{n(n+1)(n+2)}][eqn: = {(n+2)} over {n(n+1)(n+2)} + {(n+1)} over {n(n+1)(n+2)}]

[eqn: = {1} over {n(n+1)} + {1} over {n(n+2)}][eqn: = LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT ) + {1} over {2} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT )]

[eqn: therefore][eqn: sum _{ n=1} ^{inf } 2n+3 over{n(n+1)(n+2)}]

[eqn: = lim _{n~ -> ~ INF `} {} sum _{k=1} ^{n} LEFT { LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT ) + {1} over {2} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+2} RIGHT ) ` RIGHT }]

[eqn: = lim _{n~ -> ~ INF `} {LEFT { LEFT ( 1- {1} over {n+1} RIGHT ) + {1} over {2} LEFT ( 1+ {1} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: =1+ {3} over {4}][eqn: = {7} over {4}]

[eqn: therefore~][eqn: p+q`=11]

그림과 같이 정삼각형을 붙여서 만든 도형 위에 흰색과 검은색의 바둑돌을 정삼각형의 각 꼭짓점 위에 나열하는데, 제 [eqn: n`]행에는 [eqn: (n+1)`]개의 돌을 다음과 같은 규칙으로 나열한다.
[eqn: (`n=1,``2,``3,``cdots`)]

위의 규칙대로 바둑돌을 나열한 다음 제 [eqn: n`]행에 놓인 흰색의 바둑돌에는 [eqn: n`]을 적고, 각 행에 놓인 검은색의 바둑돌에는 그 돌과 가장 가까운 [eqn: 4`]개 또는 [eqn: 6`]개의 흰색의 바둑돌에 적힌 숫자의 합을 적는다. 이때, [eqn: 198 `]이 적힌 바둑돌의 개수를 구하시오. [4점]

[eqn: 142]

[eqn: 198]행의 흰 돌에는 [eqn: 198]이 적혀 있으므로 그 수를 구하면 [eqn: 132]개다.
[eqn: n]행의 검은 돌에 [eqn: 198]이 적혀있다면 주변의 [eqn: 4]개 또는 [eqn: 6]개 돌의 숫자의 합이다.
[eqn: 4]개 숫자의 합이라면 [eqn: n-1 +n +2(n+1) =198]이므로
만족하는 자연수 [eqn: n]이 존재하지 않는다.
[eqn: 6]개 숫자의 합이라면 [eqn: 2(n-1) +2n +2(n+1) =198]이므로 [eqn: n= 33]이다.
[eqn: 33]행에는 검은 돌이 [eqn: 12]개 있고 양 끝의 검은 돌을 제외하면 가능한 경우는 [eqn: 10]개다.
따라서 [eqn: 198]이 적혀 있는 돌의 개수는 [eqn: 132+10][eqn: =142]개다.

(가) 제 [eqn: 1`]행에는 모두 흰색의 바둑돌을 나열한다.

(나) 제 [eqn: (3n-1)`]행에는 맨 왼쪽부터 흰색, 검은색, 흰색의 바둑돌 [eqn: 3`]개를 [eqn: n`]회 반복하여 나열한다.

(다) 제 [eqn: 3n`]행에는 맨 왼쪽에 검은색의 바둑돌을 [eqn: 1`]개 놓은 다음 그 오른쪽으로 흰색, 흰색, 검은색의 바둑돌 [eqn: 3`]개를 [eqn: n`]회 반복하여 나열한다.

(라) 제 [eqn: (3n+1)`]행에는 맨 왼쪽에 흰색의 바둑돌을 [eqn: 2`]개 나열한 다음 그 오른쪽으로 검은색, 흰색, 흰색의 바둑돌 [eqn: 3`]개를 [eqn: n`]회 반복하여 나열한다.

주머니 속에 빨간 공 [eqn: 5`]개, 파란 공 [eqn: 5`]개가 들어있다. 이 주머니에서 [eqn: 5`]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공 중에서 더 많은 색의 공의 개수를 확률변수 [eqn: X``]라 하자. 예를 들어 꺼낸 공이 빨간 공 [eqn: 2`]개, 파란 공 [eqn: 3`]개이면 [eqn: X=3`]이다. [eqn: Y```=14X+14`]라 할 때 확률변수 [eqn: Y``]의 평균을 구하시오. [4점]

[eqn: 59`]

[eqn: X``]	[eqn: 3`]	[eqn: 4`]	[eqn: 5`]	계
[eqn: P(X)]	[eqn: {100} over {126}]	[eqn: {25} over {126}]	[eqn: {1} over {`126}]	[eqn: 1`]

[eqn: P(X=3)= {{} _{5} C _{3} TIMES _{5} C _{2} TIMES 2} over {{} _{10} C _{5}} = {50} over {63}]
[eqn: P(X=4)= {{} _{5} C _{4} TIMES _{5} C _{1} TIMES 2} over {{} _{10} C _{5}} = {25} over {126}``]
[eqn: P(X=5)= {{} _{5} C _{5} TIMES 2} over {{} _{10} C _{5}} = {1} over {126}]
[eqn: X]의 평균 [eqn: =E`(X`)`][eqn: = {300+100+5} over {126}`][eqn: = {405} over {1`26} `][eqn: = {45} over {14}]
[eqn: E`(Y`)`][eqn: =14E`(X`)`+14`][eqn: =14 TIMES {45} over {`14} +14`][eqn: =45+14`][eqn: =59`]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2011년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설