◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

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수 학 영 역

‘나’형

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2010학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: LEFT ( root {3} of {-16} `+` root {3} of {250} ` RIGHT ) ^{`3} ```]의 값은? [2점]

②

[eqn: LEFT ( -2 ^{{4} over {3}} +250 ^{{1} over {3}} RIGHT ) ^{3} = LEFT ( -2 TIMES 2 ^{{1} over {3}} +5 TIMES 2 ^{{1} over {3}} RIGHT ) ^{3} = LEFT ( 3 TIMES 2 ^{{1} over {3}} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: =27 TIMES 2=54``]

[다른풀이]

[eqn: root 3 of 16 `=`a``,`root 3 of 250 `=`b]라 두면
[eqn: LEFT ( root {3} of {-16} `+` root {3} of {250} ` RIGHT ) ^{`3} ``=`(b-a) ^{3}# ````````````````````````````````````````````````````````````````````=`b ^{3} `-`3b ^{2} a`+`3ba ^{2} `-`a ^{3}# ````````````````````````````````````````````````````````````````````=250-3 root {3} of {250 CDOT 250 CDOT 16} +3 root {3} of {250 CDOT 16 CDOT 16} -16# ````````````````````````````````````````````````````````````````````=250-3 CDOT root {3} of {(1000) ^{2}} +3 CDOT root {3} of {1000 cdot 64}-16# ````````````````````````````````````````````````````````````````````=250-3 cdot 100 + 3 cdot 40 - 10 =54]

① [eqn: 48`]	② [eqn: 54`]	③ [eqn: 72`]	④ [eqn: 96`]	⑤ [eqn: 108`]

[eqn: \A``]그룹에 남자 [eqn: 2`]명과 여자 [eqn: 2`]명, [eqn: \B``]그룹에도 남자 [eqn: 2`]명과 여자 [eqn: 2`]명이 있다. [eqn: \A``]그룹과 [eqn: \B``]그룹에서 각각 [eqn: 2]명씩 뽑아 동시에 상대 그룹으로 이동시킬 때, [eqn: \A``]그룹에 남자 [eqn: 1]명과 여자 [eqn: 3]명이 있을 확률은? [2점]

③

[eqn: RMA``]그룹에서 2명, [eqn: RMB``]그룹에서 2명이 동시에 상대방 그룹으로 움직이는 경우를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: RM A`->`B]	[eqn: RM B`->`A]	이동 후 [eqn: RMA]그룹	이동후 [eqn: RMB]그룹
남2	남2	남2, 여2	남2, 여2
남2	남1, 여1	남1, 여3	남3, 여1
남2	여2	남0, 여4	남4, 여0
남1, 여1	남2	남3, 여1	남1, 여3
남1, 여1	남1, 여1	남2, 여2	남2, 여2
남1, 여1	여2	남1, 여3	남3, 여1
여2	남2	남4, 여0	남0, 여4
여2	남1, 여1	남3, 여1	남1, 여3
여2	여2	남2, 여2	남2, 여2

표에서 [eqn: \A``]그룹에 남자 1명과 여자 3명이 있는 경우는 굵은글씨와 밑줄로 표현된 부분이다.

이 때, [eqn: RMA``]그룹에서 [eqn: RMB``]그룹으로 이동할 2명을 뽑는 경우의 수는 [eqn: `_4 {rmC}`_2`]이고, [eqn: \B``]그룹에서 [eqn: \A``]그룹으로 이동하는 인원을 뽑는 경우 역시 [eqn: ` _{4} rm C it ` _{2} `]이다.

[eqn: {\A}``]그룹에서 [eqn: \B``]그룹으로 남자 2명이 가는 경우의 수는 [eqn: ` _{2} rm C it _{2}`]이고 [eqn: \B``]그룹에서 [eqn: \A``]그룹으로 남자 1명, 여자 1명이 가는 경우의 수는 [eqn: `_2 \C_1 `CDOT ` _2 \C_1]이다.

또한, [eqn: {\A}``]그룹에서 [eqn: \B``]그룹으로 남자 1명, 여자 1명이 가는 경우의 수는 [eqn: `_2 \C_1 `CDOT ` _2 \C_1]이고 [eqn: \B``]그룹에서 [eqn: \A``]그룹으로 여자 2명이 가는 경우의 수는 [eqn: ` _{2} rm C it _{2}`]이다.

[eqn: THEREFORE] 구하고자 하는 확률
[eqn: `=`{`_2 \C_ 2` CDOT LEFT(`_2 \C_1 ` CDOT `_2 \C_1 `RIGHT) ``+``LEFT(`_2 \C_ 1` CDOT `_2 \C_1 `RIGHT) CDOT `_2 \C_2 } OVER {`_4 \C_ 2` CDOT `_4 \C_ 2`}`=`4+4OVER36 ` = 2 OVER 9]

① [eqn: 1 over 10``]	② [eqn: 1 over 9]	③ [eqn: 2 over 9]	④ [eqn: 1 over3]	⑤ [eqn: 2 over 5`]

무한등비수열 [eqn: LEFT {` left({r^{`2}`-`r}over{6}`right)^{n}` RIGHT }``]이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: r``]의 개수는? [2점]

③

무한등비수열 [eqn: a_n =ar^n-1]의 수렴조건은 [eqn: a=0 ````or````-1<r<=1]이다.

주어진 수열은 초항과 공비가 공히 [eqn: {r^2 - r }over 6]이므로 주어진 수열의 수렴 범위는 [eqn: -1<{r^2 - r }over 6 <=1][eqn: ``RARROW```r^2 - r + 6 > 0 ```or```r^2 - r <=6]을 만족시킨다.

이 때, [eqn: r^2 - r +6 `]의 판별식을 조사하면

[eqn: D=b^2 - 4ac = (1)^2 - 4 cdot 1 cdot 6 =`-23 < 0] 이므로

[eqn: r^2 - r + 6]은 모든 실수 [eqn: r]에 대해 항상 [eqn: 0]보다 크다.

[eqn: therefore`````r^2 -r-6<=0``RARROWLEFT(r+2)(r-3)<=0]

[eqn: therefore-2<=r<=3][eqn: RARROW``]실수 [eqn: r]은 총 [eqn: 3-(-2)+1 = 6]개 존재한다.

① [eqn: 4``]	② [eqn: 5`]	③ [eqn: 6``]	④ [eqn: 7``]	⑤ [eqn: 8``]

[eqn: 2`]이상인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 수열 [eqn: LEFT { `S_n` RIGHT }`], [eqn: LEFT { `P _{n} ` RIGHT } `]을
[eqn: S_n = 1`+2`+3`+``cdots``+n`]
[eqn: P_n = { {S_2 } over { S_2 -1}} times { {S_3 } over { S_3 -1}} times { {S_4 } over { S_4 -1}} times `` cdots`` times{ {S_n } over { S_n -1} `]
이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { } `P_n`]의 값은? [3점]

③

[eqn: S_n ``=1+2+ ``cdots`+n`=`n(n+1)over2]이므로

[eqn: S_n `-`1`=`n(n+1)over2 - 1 = {n^2 +n-2} over 2 `=`{(n-1)(n+2) }over2]이다.

[eqn: THEREFORE ```` {S _{n}} over {S _{n} -1} `=` {n(n+1)} over {(n-1)(n+2)}]

[eqn: THEREFORE `````P _{n} = {S _{2}} over {S _{2} -1} TIMES {S _{3}} over {S _{3} -1} TIMES {S _{4}} over {S _{4} -1} TIMES `` CDOTS `` TIMES {S _{n}} over {S _{n} -1}]

[eqn: ``=`3cdot2 over1cdot4 times 4cdot3 over 2cdot5 ` times`5cdot4 over3cdot6 times` cdots`times {(n+1)`cdot`n }over{(n-1)cdot(n+2)}]

[eqn: ``=`3over1 times n over n+2`=`3n overn+2]

[eqn: THEREFORE```` lim _{n -> INF } {P _{n}} `=`lim_n->inf{3n over n+2 } `=`3]

①  [eqn: 2`]	② [eqn: 5 over2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: { 7} over {2 }`]	⑤  [eqn: 4`]

다음은 [eqn: r`]가 자연수일 때 [eqn: n>=r`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 등식 [eqn: sum _{i=r} ^{n} ``` _{i} ` rm C it ` _{r} =` _{n+1} ` rm C it ` _{r+1} ``]이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하는 과정이다.

①

(가) [eqn: `_r C_r ``=``_r+1 C _r+1 ``=`1]

(나) [eqn: sum _{i=r} ^{k+1} ``` _{i} ` rm C it ` _{r} ``= sum _{i=r} ^{k} ` _{i} C _{r} ```+`` _{k+1} C _{r} =``_k+1 C_r+1``+`` _{k+1} C _{r} `]

[eqn: therefore] (나)[eqn: = ``_k+1 C_r]

(다) [eqn: `_n C_r`=`n!over(n-r)!r!]이므로

[eqn: ` _{k+1} C _{r+1} + _{k+1} C _{r} = {(k+1)!} over {((k+1)-(r+1))!(r+1)!} +` {(k+1)!} over {(k+1-r)!`r!}]

[eqn: therefore] (다)[eqn: `=` (k+1)!over{(k-r)!(r+1)!]

[eqn: THEREFORE] (가)[eqn: =1], (나)[eqn: = ``_k+1 C_r], (다)[eqn: `=` (k+1)!over{(k-r)!(r+1)!]

[증명]

(1) [eqn: n=r`]일 때

(좌변)[eqn: =`_r {rmC}`_r`=`]

(가)

,

(우변)[eqn: =`_r+1 {rmC}`_r+1 `=`]

(가)

이므로 주어진 등식이 성립한다.

(2) [eqn: n=k`] ([eqn: k >=r`])일 때 주어진 등식이 성립한다고

가정하면

[eqn: sum _{ i=r} ^{k }`` `_i `{rmC}`_r = `_k+1 `{rmC}`_r+1`]이다.

[eqn: n=k+1`]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{ i=r} ^{k+1 }`` `_i `{rmC}`_r `][eqn: =`][eqn: `_k+1 `{rmC}`_r+1`+`]

(나)

[eqn: =`]

(다)

[eqn: +`{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`][eqn: = {(k+2)!} over {(k+1-r)!`(r+1)!}`]

[eqn: =``_k+2 `{rmC}`_r+1`]

따라서 [eqn: n=k+1`]일 때 주어진 등식이 성립한다.

(1), (2)에 의하여 [eqn: n>=r`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
주어진 등식이 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 1`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k-r)!``(r+1)!}`]
②	[eqn: 1`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`]
③	[eqn: 1`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r+1`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k-r)!``(r+1)!}`]
④	[eqn: r`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r+1`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`]
⑤	[eqn: r`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`]

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

④

ㄱ) [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} = {1} over {2}} ne0]이므로 [eqn: sum_n=1^inf{a_n]은 발산한다.

ㄴ) [eqn: a_n = sum _{ k=1} ^{n } ``1 over { root k+1 + root k} ` =sum_k=1^n left(sqrtk+1 `-` sqrtk right)`=`sqrtn+1 -1]

[eqn: therefore ```lim_n->inf{a_n =lim_n->inf{left(sqrtn+1 - 1 right) `= `inf] 이므로

수열 [eqn: a_n]은 양의 무한대로 발산한다,

ㄷ) [eqn: LEFT | ``1``+``(``a _{1} ``+``a _{2} ``+`` CDOTS ``+``a _{n _{}} `) ^{{} ^{}} ` RIGHT | ```<`` {1} over {n}]

[eqn: LRARROW ``- {1} over {n} <``1``+``(``a _{1} ``+``a _{2} ``+`` CDOTS ``+``a _{n _{}} `) ^{{} ^{}} `< {1} over {n}]

[eqn: RARROW ``lim _{n -> INF } {LEFT ( - {1} over {n} RIGHT ) <= lim _{n -> INF } {LEFT { ``1``+``(``a _{1} ``+``a _{2} ``+`` CDOTS ``+``a _{n _{}} `) ^{{} ^{}} ` RIGHT } ` <= lim _{n -> INF } {{1} over {n}}}}]

[eqn: ` RARROW ``lim _{n -> INF } {LEFT { ``1``+``(``a _{1} ``+``a _{2} ``+`` CDOTS ``+``a _{n _{}} `) ^{{} ^{}} ` RIGHT } `} =0]

[eqn: therefore````lim _{n -> INF } {left(``a _{1} ``+``a _{2} ``+`` CDOTS ``+``a _{n _{}} `right) ``= `-1]

[eqn: therefore````sum_n=1^inf { a_n}`=`lim_n->inf{left(a _{1} ``+``a _{2} ``+`` CDOTS ``+``a_n { RIGHT ) ``=``-1]

ㄱ. [eqn: lim _{ n->inf}` { `a_n}``=``1over2`]이면 [eqn: sum _{n=1} ^{inf}``a_n``]은 발산한다.

ㄴ. [eqn: a_n = sum _{ k=1} ^{n } ``1 over { root k+1 + root k} `]이면 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `]은 수렴한다.

ㄷ. [eqn: left|{``1``+``(``a_1``+``a_2``+``cdots``+``a_n_{}`)^{}^{}}`}right|```<``1over n`]이면 [eqn: sum _{n=1} ^{inf}``a_n``]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

두 수열 [eqn: LEFT { `a_{`n}` RIGHT } `], [eqn: LEFT { `b_{`n}` RIGHT } `]을 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a_n =`log`_{`2}`(`n`!`)], [eqn: b_n ```=`a_n+1 -`a_n`]
으로 정의할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

⑤

[eqn: b _{n} =a _{n+1} -a _{n} =log _{2} {(n+1)!} over {n!} =log _{2} (n+1)]

ㄱ. [eqn: b_{`15} = log_{`2}{`(1+15) = log_{`2}{`16} = 4] (참)

ㄴ. [eqn: sum _{k=1} ^{5} b _{k} =log _{2} 2+log _{2} 3+log _{2} 4+log _{2} 5+log _{2} 6] =[eqn: log _{2} 720]

[eqn: log _{2} 2 ^{9} <log _{2} 720<log _{2} 2 ^{10}]  (참)

ㄷ. [eqn: n`]이 짝수이면 [eqn: n+1]은 홀수,

[eqn: THEREFORE] [eqn: b _{n} =log _{2} (n+1)]은 무리수  (참)

ㄱ. [eqn: b_{`15}`=`4``]

ㄴ. [eqn: 9``<`sum _{ k=1} ^{5 }``b_{`k}`<`10`]

ㄷ. [eqn: n``]이 짝수일 때 [eqn: b_{`n}``]의 값은 무리수이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 보안 전문회사에서 바이러스 감염 여부를 진단하는 프로그램을 개발하였다. 그 진단 프로그램은 바이러스에 감염된 컴퓨터를 감염되었다고 진단할 확률이 [eqn: 94``]%이고, 바이러스에 감염되지 않은 컴퓨터를 감염되지 않았다고 진단할 확률이 [eqn: 98``]%이다. 실제로 바이러스에 감염된 컴퓨터 [eqn: 200`]대와 바이러스에 감염되지 않은 컴퓨터 [eqn: 300`]대에 대해 이 진단 프로그램으로 바이러스 감염 여부를 검사하려고 한다. 이 [eqn: 500`]대의 컴퓨터 중 임의로 한 대를 택하여 이 진단 프로그램으로 감염 여부를 검사하였더니 바이러스에 감염되었다고 진단하였을 때, 이 컴퓨터가 실제로 감염된 컴퓨터일 확률은? [3점]

①

	실제 감염됨	실제 감염안됨
감염으로 진단	188	6
비감염으로 진단	12	294

[eqn: THEREFORE ````188 over 194 `=`94 over 97]

[다른풀이]

바이러스에 감염되었다고 진단될 사건을 [eqn: RMA],

실제로 감염된 컴퓨터 수를 사건 [eqn: RMB]라 두면

[eqn: rm P(B|A)= {P(A SMALLINTER B)} over {P(A)} = {P(A SMALLINTER B)} over {P(A SMALLINTER B)+P LEFT ( A SMALLINTER B ^{c} RIGHT )}][eqn: =` {200 CDOT {94} over {100}} over {200 CDOT {94} over {100} ``+``300 CDOT LEFT ( 1`-` {98} over {100} RIGHT )} `=` {94} over {97}]

① [eqn: {94 over 97}`]	② [eqn: {92 over 97}`]	③ [eqn: {90 over 97}`]	④ [eqn: {47 over 49}`]	⑤ [eqn: {47 over 50}`]

다음은 어느 보석 상점에서 판매하는 다이아몬드 가격표의 일부이다.

④

[eqn: f(0.3)=a(b ^{0.3} -1)=70]

[eqn: f(0.6)=a(b ^{0.6} -1)=210]

[eqn: {f(0.6)} over {f(0.3)} = {(b ^{0.3} -1)(b ^{0.3} +1)} over {b ^{0.3} -1} =3]

[eqn: THEREFORE b ^{0.3} =2]   [eqn: a=70]

[eqn: THEREFORE f(1.5)=70(b ^{1.5} -1)=70(2 ^{5} -1)=2170]

무게(캐럿)	가격(만원)
[eqn: 0.3]	[eqn: 70]
[eqn: 0.6]	[eqn: 210]

이 상점에서 판매하는 다이아몬드의 무게가 [eqn: x]캐럿일 때, 그 가격 [eqn: f(x)]만원은
[eqn: f(x) = a (b^x -1 )] (단, [eqn: a>0`], [eqn: b>1`]인 상수)
로 주어진다고 한다. 이때, 이 상점에서 판매하는 무게가 [eqn: 1.5`]캐럿인 다이아몬드의 가격은? [3점]

① [eqn: 1875`]만원	② [eqn: 1965`]만원	③ [eqn: 1980`]만원
④ [eqn: 2170`]만원	⑤ [eqn: 2250`]만원

[eqn: 2009`]년 [eqn: 8`]월 초 판매 가격이 [eqn: 200`]만원인 노트북컴퓨터의 판매 가격은 매월 초 직전 달보다 [eqn: 1`]%씩 계속 인하된다고 하자. 어느 은행에 [eqn: 2009`]년 [eqn: 8`]월 초부터 [eqn: 2010`]년 [eqn: 7`]월 초까지 매월 초마다 일정한 금액을 적립하여, [eqn: 12`]개월 후인 [eqn: 2010`]년 [eqn: 8`]월 초에 원금과 이자를 모두 찾아 바로 노트북컴퓨터를 구입하기로 하였다. 이 은행은 월이율이 [eqn: 1`]%이고 매월마다 복리로 계산한다고 할 때, 매월 초에 적립해야 할 최소금액은? (단, [eqn: 0.99^12 =0.89`],
[eqn: 1.01^12 =1.13`]으로 계산하고 천원 단위에서 반올림하며, 세금은 고려하지 않는다.) [3점]

④

적립하는 금액을 [eqn: a]라고 하면

적금 합[eqn: ={a(1.01) LEFT { (1.01) ^{12} -1 RIGHT }} over {0.01}][eqn: =13.13a]

12개월이 지난 후 노트북의 가격[eqn: =200(0.99) ^{12} =178]

[eqn: 13.13a=178`]

[eqn: THEREFORE `a=13.`5 CDOTS image 14]

① [eqn: 11`]만원	② [eqn: 12`]만원	③ [eqn: 13`]만원
④ [eqn: 14`]만원	⑤ [eqn: 15`]만원

임의의 실수 [eqn: x``]에 대하여
[eqn: x`=`n`+`alpha`] ([eqn: n`]은 정수, [eqn: 0`<=`alpha`<`1`])
일 때, [eqn: n`]을 [eqn: x`]의 정수 부분, [eqn: alpha`]를 [eqn: x`]의 소수 부분이라 하자.
[eqn: 10`<`a`<`b`<`50`]인 두 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: log_{``2}``a`]의 소수 부분과 [eqn: log_{``2}``b`]의 소수 부분이 같을 때 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`)`]의 개수는?

②

[eqn: log _{2} 10<log _{2} a<log _{2} 50]

[eqn: log _{2} 10<log _{2} b<log _{2} 50]

[eqn: log _{2} b-log _{2} a=정수]

[eqn: 0<log _{2} {b} over {a} <log _{2} 50-log _{2} 10=log _{2} 5=2.****]

[eqn: THEREFORE log _{2} {b} over {a} =`1``or```2]  [eqn: b=2a``or``b=4a]

1) [eqn: b=2a]일 때, [eqn: a=11,``12,` CDOTS `,`24]까지 가능

2) [eqn: b=4a]일 때, [eqn: a=11,``12]만 가능

[eqn: THEREFORE 순서쌍의``개수=14+2=16]

[3점]

① [eqn: 15`]	② [eqn: 16``]	③ [eqn: 17`]	④ [eqn: 18`]	⑤ [eqn: 19`]

파장이 [eqn: lambda `]이고 강도가 [eqn: I_{`0}``]인 광선이 어떤 용액을 통과하면 이 용액에 광선이 흡수되어 입사광의 강도가 감소된다. 광선이 농도가 [eqn: c`]인 용액을 통과한 거리가 [eqn: d`]일 때의 광선의 강도를 [eqn: I```]라 하면 [eqn: I```]와 입사광의 강도 [eqn: I_{`0}``]사이에는

②

[eqn: A=log` {I _{0}} over {I} =`log`10 ^{acd} =acd= {4 pi k} over {lambda } cd]

[eqn: A _{1} = {4 pi k} over {lambda _{1}} cd _{1} ``,``A _{2} = {4 pi k} over {2 lambda _{1}} c`4d _{1}]

[eqn: THEREFORE `` {A _{2}} over {A _{1}} = {8} over {4} =2``]

[eqn: I_{`}``=`I_{`0}`times`10^{- a`c`d}``],  [eqn: a`=`{4pi`k}over{ lambda}``] (단, [eqn: k`]는 소멸계수)

인 관계가 성립하고, 이 용액의 흡광도 [eqn: A`]를

[eqn: A`=`log``{I_{0}}`-`log``{I}```]

로 정의한다. 파장이 [eqn: lambda _{`1}`]인 광선이 농도가 [eqn: 0`]이 아닌 어떤 용액을 통과한  거리가 [eqn: d_{`1}`]일 때의 흡광도를 [eqn: A_{1}`], 파장이 [eqn: 2`lambda _{`1}``]인 광선이 동일한 농도의 이 용액을 통과한 거리가 [eqn: 4`d_{1}`]일 때의 흡광도를 [eqn: A_{2}``]라 하자. 이때, 소멸계수 [eqn: k`]가 일정하다고 할 때 [eqn: {A_{2}}over{A_{1}}`]의 값은? (단, [eqn: lambda _{`1} `d_{`1} ` != `0`]이다.) [3점]

①  [eqn: 8``]	②  [eqn: 2``]	③ [eqn: 1``]	④ [eqn: {1}over{2}``]	⑤ [eqn: {1}over{8}``]

세 행렬 [eqn: A`=` pmatrix {`` a``&`````````b` `#``c`` &``-a`` }``], [eqn: O````=` pmatrix { ``0``&``0`` #``0`` &``0 ``}``], [eqn: E````=`` pmatrix { ``1``&``0`` #``0`` &``1`` }`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 모두 [eqn: 0`]이 아닌 실수이다.) [3점]

③

[eqn: A`=` pmatrix {`` a``&`````````b` `#``c`` &``-a`` }``RARROW ``A^2 `-`(a+(-a))A `+`(-a^2 - bc ) E=O]

[eqn: therefore ````A^2 = (a^2 + bc) E]

ㄱ) [eqn: a^2 + bc = 1 `Rarrow `A^2 =A]

[eqn: THEREFORE ````A^2 = A^3 = A^4 = CDOTS = A^2009 = A]

ㄴ) [eqn: A^3 - 2A = (a^2 +bc)A-2A = (a^2 +bc -2)A = O] 이므로

[eqn: a^2 +bc -2 = 0 ``or ``A=O]

그런데 행렬 [eqn: A]의 성분은 모두 0이 아닌 실수이므로 [eqn: a^2 +bc = 2]

행렬 [eqn: A]의 [eqn: ad-bc`=`-(a^2 + bc) = `-2``ne `0`]이므로 행렬 [eqn: A]는 역행렬을 가진다.

ㄷ) [eqn: A^{3}`-`4`A^{2}`+`4`E```=`O``Rarrow `(a^2 +bc)A-4(a^2 + bc ) E ``+ 4E`=`O`]

[eqn: THEREFORE``` (a^2 +bc)A = 4(a^2 + bc -1 ) E]

i) [eqn: a^2 + bc = 0]이면 좌변[eqn: =O], 우변[eqn: =][eqn: -4E]가 되어 모순이다.

ii) [eqn: a^2 + bc ne 0]이면 [eqn: a^2 +bc]로 양변을 나누어 정리하면

[eqn: A = {a^2 + bc -1 }over {a^2 + bc } E``=kE] (단, [eqn: k]는 실수) 라 둘 수 있다.

즉, 좌변[eqn: =`A`=` pmatrix {`` a``&`````````b` `#``c`` &``-a`` }``], 우변[eqn: =kE````=`` pmatrix { ``k``&``0`` #``0`` &``k`` }`]가 되어 [eqn: b=c=0] 이어야만 한다.

그런데 문제의 조건에서 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 모두 [eqn: 0`]이 아닌 실수라 했기 때문에 이는 모순이다.

i), ii)에 의해 [eqn: A^{3}`-`4`A^{2}`+`4`E```=`O``]를 만족하는 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 존재하지 않는다.

그러므로 옳은것은 ㄱ과 ㄴ이다.

ㄱ. [eqn: a^{2}`+`bc``=`1`]이면 [eqn: A ^{2009} ``=`A`]이다.

ㄴ. [eqn: A^{3}`-`2`A``=`O``]이면 [eqn: A`]는 역행렬을 갖는다.

ㄷ. [eqn: A^{3}`-`4`A^{2}`+`4`E```=`O``]를 만족시키는 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

컴퓨터의 화면 보호기에 [eqn: \A`], [eqn: \B`], [eqn: \C`], [eqn: \D`] 네 개의 사진이 매초마다 다른 사진으로 바뀌면서 임의로 하나씩 나타나도록 하였다. 한 사진에서 다른 사진으로 바뀔 확률은 모두 같다고 하고, 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: \A``]사진이 나온 다음 [eqn: n``]초가 지난 후에 [eqn: \B``]사진이 나올 확률을 [eqn: p_{n}``]이라 하자.
다음은 [eqn: lim _{ n->inf} { }``p_{n}`=`{1}over{4}``]임을 증명하는 과정이다.

⑤

(가) [eqn: \A]사진이 나온 후 [eqn: n]초후에 [eqn: \B]사진이 나올 확률이 [eqn: p_n]이므로

[eqn: \C`,`D]사진이 나올 확률도 [eqn: p_n]이므로

(가)[eqn: =1-(p_n `+` p_n`+`p_n `)=1-3p_n]

(나) [eqn: p_{n+1}`=`1over 3 left(2p_n + (1-3p_n ) right)`=`- 1 over 3 p_n `+`1 over 3]

[eqn: =`]

(나)

[eqn: `+`{1}over{3}``]

[eqn: therefore] (나)[eqn: = - 1 over 3 p_n]

(다) [eqn: p_1]은 [eqn: \A]사진이 나온 1초 후 [eqn: \B]사진이 나올 확률이므로 [eqn: 1 over 3]이다.

[eqn: therefore```` p_n - 1over 4]의 첫째항은 [eqn: p_1 - 1 over 4 `=`1 over 3 - 1 over 4 `=`1 over 12][eqn: =](다)

[eqn: therefore] (가) = [eqn: 1-3p_n] , (나)[eqn: = - 1 over 3 p_n], (다)[eqn: = 1over 12]

[증명]

[eqn: \A`]사진이 나온 다음 [eqn: n``]초가 지난 후에 [eqn: \B`], [eqn: \C`], [eqn: \D`]사진이 나올 확률이 같으므로 [eqn: \A`]사진이 나온 다음 [eqn: n``]초가 지난 후에 다시 [eqn: \A``]사진이 나올 확률은

(가)

이다.

따라서 [eqn: \A``]사진이 나온 다음 [eqn: n`+`1`]초가 지난 후에 [eqn: \B``]사진이 나올 확률 [eqn: p_{n+1}``]은

[eqn: p_{n+1}`=`][eqn: {1}over{3}` LEFT (_{}^{} 2`p_{n}`+`]

(가)

[eqn: `RIGHT )`]

[eqn: =`]

(나)

[eqn: ````+`{1}over{3}``]

따라서 수열 [eqn: LEFT { ``p_{n}`-`{1}over{4}` RIGHT }``]은 첫째항이

(다)

이고

공비가 [eqn: -{1}over{3}``]인 등비수열을 이룬다.

∴ [eqn: lim _{ n->inf} { }``p_{n}`=`{1}over{4}``]

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은?

[4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 1`-`3`p_{n}``]	[eqn: -{1}over{3}`p_{n}`]	[eqn: {1}over{6}`]
②	[eqn: 1`-`{3}over{4}`p_{n}``]	[eqn: -{1}over{3}`p_{n}`]	[eqn: {1}over{6}``]
③	[eqn: 1`-`3`p_{n}``]	[eqn: {1}over{3}`p_{n}`]	[eqn: {1}over{6}`]
④	[eqn: 1`-`{3}over{4}`p_{n}``]	[eqn: {1}over{3}`p_{n}`]	[eqn: {1}over{12}`]
⑤	[eqn: 1`-`3`p_{n}``]	[eqn: -{1}over{3}`p_{n}`]	[eqn: {1}over{12}``]

[eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: cases{`a`x`+`b`y`=`p_{`}^{`}#`c`x`+`d`y`=`q_{`}^{`}}```]에서 행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]를
[eqn: A= pmatrix{``{a}``&``{b}``#``{c}``&``{d}``}`], [eqn: B= pmatrix{``{a}``&``{p}``#``{c}``&``{q}``}`]라 하자.
옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a,``b,``c,``d,``p,``q`]는 모두 [eqn: 0`]이 아닌 상수) [3점]

⑤

ㄱ. 참

ㄴ. [eqn: A]의 역행렬이 존재하지 않는다함은 무수히 많은 해를 갖거나 해를 하나도 갖지 않는 것입니다. 여기서 B의 역행렬도 존재하지 않으므로 [eqn: aq=pc,```` {a} over {c} = {p} over {q}] 즉, 두 직선이 일치하는 경우입니다.

따라서 해는 무수히 많죠. 참

ㄷ. [eqn: k _{1} a+k _{2} b=0]

즉, [eqn: k _{1} =- {k _{2} b} over {a}]가 되어야 합니다.

[eqn: k _{1} c+k _{2} d=0], [eqn: k _{1} =- {k _{2} d} over {c}] [eqn: THEREFORE k _{1} = {-k _{2} b} over {a} = {-k _{2} d} over {c}]

[eqn: ad-bc=0]

즉, 역행렬이 존재하지 않을 때,

[eqn: k _{1} {pmatrix{a&#c&}} +k _{2} {pmatrix{b&#d&}}]=[eqn: {pmatrix{0&#0&}}]이 성립한다는 것입니다.

그런데 역행렬이 존재하므로, [eqn: ad-bc=0]이 아닌 다른 경우겠죠.

[eqn: 즉,``k _{1} =k _{2} =0]이어야 합니다. 참

ㄱ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재하면 연립방정식은 오직 한 쌍의 해를 갖는다.

ㄴ. [eqn: A`], [eqn: B`]의 역행렬이 모두 존재하지 않으면 연립방정식의 해는 무수히 많다.

ㄷ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재할 때, 실수 [eqn: k_1`], [eqn: k_2`]에 대하여
[eqn: k_1 pmatrix{``{a}``#``{c}``}` + k_2 pmatrix{``{b}``#``{d}``}` = pmatrix{``{0}``#``{0}``}`]이면 [eqn: k_1 =`k_2 =0`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: r`]가 양의 상수일 때 [eqn: 0 `<=` x `<=` (1+sqrt3 )`r`]에서 정의된 연속확률변수 [eqn: X`]의 확률밀도함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 그림과 같이 중심의 좌표가 [eqn: (0,``0)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2r`]인 원의 일부, 중심의 좌표가 [eqn: (sqrt3 r ,``0)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: r`]인 원의 일부일 때, 확률 [eqn: {rm P}(`0 `<=` X ``<=`` r `)`]의 값은? [4점]

④

주어진 그림은 확률밀도 함수기 떄문에

[eqn: x=0`,``x=(1+ sqrt {3} )r`,``f(x)`,``x]축으로 둘러쌓인 부분의 넓이는 1이다.

이 때, 그림1에 주어진 파란색 보조선을 그리면 주어진 부분의 넓이는 부채꼴, 직각삼각형, 사분원의 넓이의 합으로 표현됨을 알 수 있다.

주어진 부채꼴은 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {3}], 반지름이 [eqn: 2r]이고

직각삼각형은 밑변[eqn: =sqrt3 r], 높이는 [eqn: r]이며 사분원은 반지름이 [eqn: r]인 원 넓이의 [eqn: 1 over 4]이다.

[eqn: therefore] 넓이=[eqn: 1 over 2 cdot (2r)^2 cdot pi over 3 ``+`1 over 2 cdot sqrt3 r cdot r + 1 over 4 cdot pi cdot r^2 = `1]

[eqn: therefore```` r^2 = 1 over{ left ( 2 over 3 pi ``+`sqrt3 over 2 ``+`pi over 4 right) } = 12 over {11pi+6sqrt3}]

이 때, 구해야 하는 확률은 그림2의 빨간 보조선과 [eqn: x=0``,`f(x)``,``x]축으로 둘러쌓인 부분의  넓이를 구하면 된다. 이 때, 주어진 그림은 파란 보조선에 의해 직각삼각형과 부채꼴로 나눠서 구하면 된다.

직각삼각형은 밑변이 [eqn: r], 높이가 [eqn: sqrt3 r]이고 부채꼴은 반지름이 [eqn: 2r], 중심각이 [eqn: pi over 6]이므로 구하려는 확률

[eqn: p= 1 over 2 cdot sqrt3 r cdot r ``+`1 over 2 cdot (2r)^2 cdot pi over 6 ``= `r^2 cdot left(sqrt 3 over 2 `+`pi over 3 right)]

[eqn: = {12} over {11 pi ``+`6 sqrt {3}} CDOT LEFT ( 6 sqrt {3} ``+`4 pi RIGHT ) CDOT {1} over {12} ``=` {4 pi `+`6 sqrt {3}} over {11 pi `+`6 sqrt {3}}]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: sqrt3 r]

[eqn: (1+sqrt3 )r]

[eqn: 2r]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: sqrt3 r]

[eqn: (1+sqrt3 )r]

[eqn: 2r]

[eqn: y=f(x)]

<그림 1>                <그림 2>

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: sqrt3 r]

[eqn: (1+sqrt3 )r]

[eqn: 2r]

[eqn: y=f(x)]

① [eqn: { pi + 6sqrt3 } over { 11pi + 6sqrt3}]	② [eqn: { 2 pi + 6sqrt3 } over { 11pi + 6sqrt3}]
③ [eqn: { 3 pi + 6sqrt3 } over { 11pi + 6sqrt3}]	④ [eqn: { 4 pi + 6sqrt3 } over { 11pi + 6sqrt3}]
⑤ [eqn: { 5 pi + 6sqrt3 } over { 11pi + 6sqrt3}]

등식 [eqn: A^2 ``=A+3E``]를 만족시키고 [eqn: A ne k E`]인 이차정사각행렬 [eqn: A]에 대하여
[eqn: A^n `= a`_n` A `+` b`_n` E]  ([eqn: n=1,``2,``3,``cdots`])
가 성립하도록 하는 두 수열 [eqn: left{ `a`_n` right}], [eqn: left{ `b`_n` right}]이 있다.
이때, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: {pmatrix{``a` _{n+1} ``#``b` _{n+1} ``}} `=B`` {pmatrix{``a` _{n} ``#``b` _{n} ``}} `]을 만족시키는 행렬 [eqn: B`]에 대하여 [eqn: B``^{2} =xB+yE]가 성립한다. 두 상수 [eqn: x], [eqn: y]의 합 [eqn: x+y]의 값은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이고 [eqn: k`]는 상수이다.) [4점]

④

[eqn: A^n `= a`_n` A `+` b`_n` E] 의 양변에 [eqn: A]를 곱하면

[eqn: A ^{n+1} ``=`a _{n} A ^{2} ``+b _{n} A# `````````````````````=`a _{n} (A+3E) `+`b_n A # `````````````````````=(a_n + b_n ) A `+3a_n E# `````````````````````= a_n+1 `A ``+`b_n+1 E]

[eqn: THEREFORE {pmatrix{``a` _{n+1} ``#``b` _{n+1} ``}} `= {pmatrix{1&1#3&0}} `` {pmatrix{``a` _{n} ``#``b` _{n} ``}} `][eqn: =B`` {pmatrix{``a` _{n} ``#``b` _{n} ``}} `]

[eqn: therefore B= PMATRIX{1 &1#3&0 }``RARROW B^2 -(1+0)B``+``(1CDOT0-1CDOT3)E``=`O] 이므로

[eqn: THEREFORE ```B^2 ``=`B``+3E``=xB``+`yE] [eqn: RARROW ``x+y=4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 전체의 집합의 두 부분집합 [eqn: A`], [eqn: B``]를 각각
[eqn: A``=` LEFT {`` x``|``log_{``4}``{(x`-`1)}``<=`log_{``16}``(x`+`5)` RIGHT }``]
[eqn: B``=`` LEFT { ``x``|``{8}^{`x}`-`11``․``4^{x}`+`38``․``2^{x}`-`40`=`0` RIGHT }``]
이라 할 때, 집합 [eqn: A`cap`B``]의 모든 원소들의 합은? [4점]

②

집합 [eqn: A]의 식을 정리하면

[eqn: x-1 >0``,``x+5>0]이 성립하므로 [eqn: x>1] ([eqn: because]진수조건)

[eqn: log _{``4} ``(x`-`1)`` <= `log _{``16} ``(x`+`5)]

[eqn: RARROW ``log _{``4} ``(x`-`1)`` <= ` {1} over {2} `log _{``4} ``(x`+`5)`]

[eqn: RARROW ``log _{``4} ``(x`-`1) ^{2} `` <= `log _{``4} ``(x`+`5)]

[eqn: RARROW ```(x`-`1) ^{2} `` <= `(x`+`5)]

[eqn: RARROW ``x ^{2} -2x`+`1 <= x+5]

[eqn: RARROW ``x ^{2} -3x-4 <= 0]

[eqn: RARROW -1 <= x <= 4]

그런데, 진수조건에 의해 [eqn: x>1]이어야 하므로 [eqn: 1<x<=4]

집합 [eqn: B~]식을 정리하기 위해 [eqn: 2^x = t >0]라 치환하면

주어진식 : [eqn: t^3 -11t^2 + 38t -40=0]

[eqn: f(t)=t^3 - 11t^2 + 38t -40]이라 두면

[eqn: f(2)=2^3 - 11cdot2^2 + 38cdot2 -40 = 0]

이므로 주어진 방정식은 [eqn: t=2]를 근으로 갖는다.

주어진 식을 인수분해하면

[eqn: (t-2)(t ^{2} -9t+20)=0`````RARROW ````(t-2)(t-4)(t-5)=0]

인수정리를 이용해 근을 구하면 [eqn: t=2 ``or``4``or``5]이므로

[eqn: x=log_{``2 }`2 ``or``log_{``2 }`4``or``log_{``2 }`5]

그런데 [eqn: log_{``2 }`2=1]이므로 집합 [eqn: A]의 근이 되지 않는다.

[eqn: A`cap`B``= left{log_{``2}`4``,`log_{``2}`5 right}]이므로

모든 원소의합[eqn: =log_{``2}`4+log_{``2}`5=log_{``2}`20]

① [eqn: log_{``2}``{10}``]	② [eqn: log_{``2}``{20}`]	③ [eqn: log_{``2}``{40}``]
④ [eqn: log_{``2}``{60}``]	⑤ [eqn: log_{``2}``{80}``]

[그림[eqn: 1]]과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 [eqn: rm bar {A_1 B_1}]인 사분원을 그리고, 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 [eqn: rm A_2], [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2], [eqn: rm D_2]라 하자. 또 [그림[eqn: 2]]와 같이 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 [eqn: rm bar {A_2 B_2}]인 사분원을 그리고, 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 [eqn: rm A_3], [eqn: rm B_3], [eqn: rm C_3], [eqn: rm D_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 정사각형 [eqn: {rm A}_n {rm B}_n {rm C}_n {rm D}_n]의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 [eqn: bar{{rm A}_n {rm B}_n}]인 사분원을 그리고, 정사각형 [eqn: {rm A}_n {rm B}_n {rm C}_n {rm D}_n]의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 [eqn: {rm A}_n+1], [eqn: {rm B}_n+1], [eqn: {rm C}_n+1], [eqn: {rm D}_n+1] 이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 정사각형 [eqn: {rm A}_n {rm B}_n {rm C}_n {rm D}_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum from n=1 to inf S_n]의 값은? [4점]

①

무한등비급수이고, 모두 닮음도형이며, 초항[eqn: =1]이기 때문에

([eqn: because]정사각형 [eqn: {rm A}_1 {rm B}_1 {rm C}_1 {rm D}_1]의 넓이[eqn: =1]) 공비만 구해주면 된다.

주어진 무한수열의 공비는 첫 번째 정사각형의 한변의 길이만 구하면 구할 수 있다.

i) <그림 1>에서 두 번째 정사각형의 한변의 길이를 [eqn: a]라 하면 [eqn: \A_2 C_2]는 [eqn: SQRT2 a]이다. 그런데 이 길이는

[eqn: BAR{\HH'} -LEFT(bar{\A_2 H' } ` +`BAR{\C_2 H }RIGHT)`=1-2BAR{\A_2 H']로 구할 수 있다.

이 때, [eqn: bar{\A_2 H' }`=`1- SQRT3 OVER 2]([eqn: BECAUSE]삼각형 [eqn: \A_2 B_1 H]에서

[eqn: \A_2 B_1 = 1``,``B_1 H= 1OVER2]인 직각삼각형)이므로 [eqn: 2BAR{\A_2 H'}``=``2-SQRT3]

[eqn: THEREFORE``` BAR{\HH'} =`1-(2-SQRT3 ) = SQRT3 -1`=SQRT2 a``RARROW```a={sqrt3 -1 } over sqrt2]

한편 이 무한등비급수는 넓이의 합을 묻고 있으므로 공비는 넓이비가 되고, 이는 곧 닮음비([eqn: =]길이비)의 제곱이 된다.

닮음비[eqn: = a over 1 = a]이므로 공비는 [eqn: a^2]이 된다.

[eqn: therefore a^2 ``=`{(sqrt3 - 1 ) ^2 }over 2 ``=2-sqrt3]

[eqn: THEREFORE][eqn: sum from n=1 to inf S_n = 1 OVER {1-(2-SQRT3 ) } = {1+SQRT3 }OVER 2]

ii) <그림2>에서 빨간색 삼각형을 관찰하면

[eqn: BAR{\A_2 B_1 }`=`BAR{\D_2 B_1 }``=1``,` ANGLE{\A_2 B_1 D_2 ``= pi over 6]이므로 주어진 삼각형에서

제2코사인 법칙을 쓰면

[eqn: bar{\A_2 D_2} `^2 =`1^2 +1^2 - 2CDOT 1 CDOT 1 CDOT cos {piover6}=2-sqrt3]

[eqn: therefore][eqn: sum from n=1 to inf S_n = 1 over{ 1-(2-sqrt3 )} = {sqrt3 + 1 }over 2]

[eqn: rm A_1]

[eqn: rm A_2]

[eqn: rm C_1]

[eqn: rm D_1]

[eqn: rm B_1]

[eqn: rm B_2]

[eqn: rm C_2]

[eqn: rm D_2]

[eqn: 1]

[eqn: rm A_1]

[eqn: rm A_2]

[eqn: rm C_1]

[eqn: rm D_1]

[eqn: rm B_1]

[eqn: rm B_2]

[eqn: rm C_2]

[eqn: rm D_2]

[eqn: 1]

<그림1>                       <그림2>

① [eqn: {1+sqrt3 } over 2]	② [eqn: {2+sqrt3 } over 2]	③ [eqn: {2+sqrt3} over 3]
④ [eqn: {2+2sqrt3} over 3]	⑤ [eqn: {1+3sqrt3} over 3]

방정식 [eqn: 2 ^{{x} over {2}} `=`log _{sqrt {2}} `` LEFT | `x` RIGHT | ```]의 서로 다른 실근의 개수는? [4점]

③

주어진 그래프는 크게 [eqn: x>0]인 경우와 [eqn: x<0]인 경우로 나누어 생각해볼 수 있다.

i) [eqn: x<0]일 때

[eqn: 2 ^{{x} over {2}} `=`log` _{sqrt {2}} ` LEFT ( -x`` RIGHT ) ``]

[eqn: y=2^{x over2}]의 그래프는 [eqn: x<0]인 범위에서 점근선([eqn: y=0])으로 근접해가는 그래프인데 반해, [eqn: y=log_{`sqrt2 }{(-x)]의 그래프는 [eqn: x]가 [eqn: 0]쪽으로 갈때는 [eqn: -inf]로 가고, [eqn: x]값이 작아지는 경우, [eqn: inf]로 가는 그래프이므로 교점은 1개 생긴다.

ii) [eqn: x>0]일 때

[eqn: 2 ^{{x} over {2}} `=`log` _{sqrt {2}} ` LEFT ( x`` RIGHT ) ``]

그런데, [eqn: 2^{x over2} ``=left(sqrt2 right)^x]이므로 두 그래프는 서로 역함수 관계에 있으며 [eqn: y=x]에 대칭이다. 또한 두 그래프의 교점 역시 [eqn: y=x]위에 존재한다.

즉, [eqn: y= 2^{x over 2 }]그래프와 [eqn: y=x]의 교점을 조사해도 된다.

[eqn: 2^{{x}over{2}}`=`log_{`}_{root{2}}``{`left(x``right)}``] [eqn: LRARROW``2^{x OVER 2} = x``LRARROW```2^x = x^2]의 교점을 조사하면 된다.

이 그래프는 [eqn: x=2``or``4]에서 만나기 때문에 교점을 2개 갖는다.

i), ii)에 의해 주어진 방정식은 총 3개의 실근을 갖는다.

(참고) 그래프는 다음과 같이 나타난다.

<그림1>은 [eqn: y=2^{{x}over{2}}`], [eqn: y=`log_{`}_{root{2}}``{left|`x` right|`}``], [eqn: y=x]의 그래프를 나타낸 것이며 <그림2>는 [eqn: y=2^x]과 [eqn: y=x^2]의 그래프를 나타낸 것이다.

<그림1>                       <그림2>

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 0`]

[표준정규분포표]
[eqn: z]	[eqn: rm P it `(0 <= Z`` <= z)]
[eqn: 0.25`]	[eqn: 0.10``]
[eqn: 0.50]	[eqn: 0.19``]
[eqn: 1.00`]	[eqn: 0.34``]
[eqn: 1.50`]	[eqn: 0.43``]

어느 자영업자의 하루 매출액은 평균이 [eqn: 30`]만원이고 표준편차가 [eqn: 4`]만원인 정규분포를 따른다고 한다. 이 자영업자는 하루 매출액이 [eqn: 31`]만원 이상일 때마다 [eqn: 1000`]원씩을 자선단체에 기부하고 [eqn: 31``]만원 미만일 때는 기부를 하지 않는다고 한다. 이와 같은 추세가 계속된다고 할 때, [eqn: 600`]일 동안 영업하여 기부할 총 금액이 [eqn: 222000`]원 이상이 될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

④

N(30, [eqn: 4 ^{2}]) 31이상일 확률은 [eqn: P(z GEQ 0.25)=0.40]이다.

기부하는 날 수를 확률 변수로 잡으면

이항 분포 B(600, [eqn: 0.4 ^{2}])을 따른다.

이는 정규분포 N([eqn: 240,``12 ^{2}])으로 근사한다.

222000원 이상이라는 것은 222일 이상인 것이므로

표준정규분포표를 이용해 값을 구하면 0.93이 된다.

[4점]

① [eqn: 0.69``]	② [eqn: 0.84`]	③ [eqn: 0.90`]
④ [eqn: 0.93``]	⑤ [eqn: 0.98``]

좌표평면 위에 세 점 [eqn: rm A(1,``sqrt3 )`], [eqn: rm B(0,``0)`], [eqn: rm C(2,``0)`]이 있다. 선분 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm P_1`], 선분 [eqn: rm P_1 C`]의 중점을 [eqn: rm Q_1`], 선분 [eqn: rm Q_1 A`]의 중점을 [eqn: rm R_1`], 선분 [eqn: rm R`_1 B`]의 중점을 [eqn: rm P_2`]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 선분 [eqn: {rm P}_n rm C`]의 중점을 [eqn: {rm Q}`_n`], 선분 [eqn: {rm Q}`_n rm A`]의 중점을 [eqn: {rm R}`_n`], 선분 [eqn: {rm R}`_n `rm B`]의 중점을 [eqn: {rm P}_n+1`]이라 하자. [eqn: n`]이 한없이 커질 때, 점 [eqn: {rm P}_n`]은 점 [eqn: (alpha, ``beta)`]에 한없이 가까워진다. 이때 두 상수 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]의 합 [eqn: alpha + beta`]의 값은? [4점]

⑤

[eqn: {\P_n} left(`a_n``,``b_n`right)]이라 두면 [eqn: {\Q_n}`left({a_n +2} over 2``,`b_n over 2 right)],

[eqn: {\R_n} `LEFT({{a_n + 2} over 2 + 1 }over 2``,``{b_n over 2 + sqrt3 }over 2 right)`=`left({a_n + 4 }over 4 `,``{b_n +2sqrt3} over4 right)]

[eqn: LEFT . rm P _{n+1} it `` LEFT ( {{a _{n} +4} over {4}} over {2} ``,`` {{b _{n} ``+2 sqrt {3}} over {4}} over {2} RIGHT ) ``=`` LEFT ( {a _{n} +4} over {8} ``,`` {b _{n} +2 sqrt {3}} over {8} RIGHT ) RIGHT .][eqn: = LEFT ( a _{n+1} ``,``b _{n+1} RIGHT )]

[eqn: therefore ````a_n+1``={a_n + 4} over 8``,``b_n+1 ``=`{b_n +2sqrt3 }over8]

이 때, [eqn: lim_n->inf{a_n = lim_n->inf{a_n+1 =alpha, ````lim_n->inf{b_n}`=`lim_n->inf{b_n+1`=beta]이므로

[eqn: alpha`=`{alpha+4}over8```RARROW``alpha= 4 over 7]

[eqn: beta= {beta+2sqrt3} over 8```Rarrow`beta= {2sqrt3 }over7]

[eqn: therefore``` alpha+beta`=`{4+2sqrt3}over7]

① [eqn: {3+sqrt3} over 7]	② [eqn: {3+2sqrt3} over 7]	③ [eqn: {3+3sqrt3} over 7]
④ [eqn: {4+sqrt3} over 7]	⑤ [eqn: {4+2sqrt3} over 7]

최대공약수가 [eqn: 5`!`], 최소공배수가 [eqn: 13`!`]이 되는 두 자연수 [eqn: k], [eqn: n`] ( [eqn: k ``<=` n`] )의 순서쌍 [eqn: (`k,```n`)`]의 개수는? [4점]

③

13!에서 5!부분을 제외하고 나면

[eqn: 6 TIMES 7 TIMES CDOTS TIMES 13=2 ^{7} TIMES 3 ^{4} TIMES 5 TIMES 7 TIMES 11 TIMES 13]

각 소인수들을 두 집합으로 분할하는 경우의 수[eqn: = {2 ^{6}} over {2} =32]가지

두 분할중에서 큰 것은 [eqn: n`], 작은 것은 [eqn: k`]로 지정

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 32]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 49]

다음 등식을 만족시키는 세 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]가 있다.

①

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x}]

[eqn: y=log _{{1} over {3}} x]

[eqn: y=2x]

[eqn: y=x]

[eqn: y= {1} over {2} x]

[eqn: (2a,a)]

[eqn: (2b`,`b)]

[eqn: (2c`,`c)]

[eqn: (a,`2a)]

[eqn: `2a]

[eqn: `2b]

[eqn: `2c]

[eqn: THEREFORE ``a<b<c]

[eqn: left( 1 over 3 right)^a =2a`],      [eqn: left( 1 over 3 right)^2b =b`],       [eqn: left( 1 over 2 right)^2c =c`]

이때, 세 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? [4점]

① [eqn: a<b<c]	② [eqn: a<c<b]	③ [eqn: b<a<c]

④ [eqn: b<c<a]	⑤ [eqn: c<a<b]

다음 세 조건을 모두 만족시키는 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B``] 가 있다.

48

(다)에서

[eqn: ```````````A ^{2} -B ^{2} =AB-BA`# LRARROW ``A ^{2} -B ^{2} ``-AB+BA=O# LRARROW ``A(A-B)+B(A-B)=O# LRARROW ``(A+B)(A-B)=O# LRARROW `` {pmatrix{`2`&`6``#`x`&``12``}} ` {pmatrix{``~~6``&``~~y``#```-2``&```-4``}} `= {pmatrix{0&2y-24``#```6x-24``&xy-48``}} `= {pmatrix{0&0#0&0}} `]

[eqn: therefore x=4``,``y=12`` RARROW`xy=48]

(가) [eqn: A+B= pmatrix{`{2}`&`{6}``#`{x}`&`{`12}``}`]

(나) [eqn: A-B= pmatrix{``{~~6}``&``{~~y}``#``{`-2}``&``{`-4}``}`]

(다) [eqn: A^2 -B^2 = AB -BA`]

이때, 두 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]의 곱 [eqn: xy`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: log`_15 ``A=30`], [eqn: log`_45 ``B=15`]인 두 자연수 [eqn: A`], [eqn: B``]에 대하여 [eqn: B over A`]를 소수로 나타내면 소수점 아래 [eqn: n`]째 자리에서 처음으로 [eqn: 0`]이 아닌 숫자가 나온다. 이때, [eqn: n`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: log``2 =0.3010`]) [3점]

11

[eqn: log`_15 ``A=30``RARROW `A=15^30]

[eqn: log`_45 ``B=15``RARROW`B=45^15]

[eqn: THEREFORE B OVER A `=`45^15 OVER15^30 = LEFT(45 OVER 225 RIGHT) ^15 = LEFT(1 OVER 5 RIGHT)^15]

[eqn: log {B} over {A} `=`15log {1} over {5} =`-15 CDOT log5]

[eqn: `=`-15log {10} over {2} =-15(1-0.3010)]

[eqn: =-15 CDOT 0.6990=-11+0.515]

[eqn: therefore]소수점 이하 11번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나온다.

[표준정규분포표]

[eqn: z`]	[eqn: {rmP}(0<=Z<=z)`]
[eqn: 1.0`]	[eqn: 0.3413`]
[eqn: 1.5`]	[eqn: 0.4332`]
[eqn: 2.0`]	[eqn: 0.4772`]
[eqn: 2.5`]	[eqn: 0.4938`]

[eqn: rmA`]도시에서 [eqn: rmB`]도시로 운행하는 고속버스들의 소요시간은 평균이 [eqn: m`]분이고, 표준편차가 [eqn: 10`]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 고속버스들의 소요시간 중에서 크기가 [eqn: n`]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{ X`` }`]라 하자.   [eqn: {rmP} `(`m-5 <= bar{X``} <= m+5`)=0.9544`] 를 만족시키는 표본의 크기 [eqn: n`]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. [3점]

16

[eqn: \A]도시에서 [eqn: \B]도시로 운행하는 고속버스의 소요시간을 확률변수 [eqn: X`]라 두면  [eqn: X]~[eqn: N` LEFT(m`,`10^2 RIGHT)]을 따른다.

이 때, 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 [eqn: bar{ X`` }`]는

[eqn: bar{ X`` }`]~[eqn: N` LEFT(m`,`LEFT(10OVER SQRTn right)^2 RIGHT)]를 따른다.

[eqn: P it `(`m-5 <= bar{X``} <= m+5`)]

[eqn: = rm P it `(`-5 <= bar{X``} -m <= 5`)]

[eqn: = rm P it ` LEFT ( ` {-5} over {{10} over {sqrt {n}}} <= {bar{X``} -m} over {{10} over {sqrt {n}}} <= {5} over {{10} over {sqrt {n}}} ` RIGHT )]

[eqn: = rm P it ` LEFT ( `- {sqrt {n}} over {2} <= Z <= {sqrt {n}} over {2} ` RIGHT ) =2` rm P it LEFT ( `0 <= Z <= {sqrt {n}} over {2} ` RIGHT )]

[eqn: =0.9544]

[eqn: rm P it LEFT ( `0 <= Z <= {sqrt {n}} over {2} ` RIGHT )=0.4772={rmP}(0<=Z<=2)`]이므로

[eqn: THEREFORE SQRTn OVER2 = 2``` RARROW``n=16]

좌표평면 위에 그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 20`]이하의 자연수인 반원이 [eqn: 20`]개 있다. [eqn: 1 <= k <= 19`]인 모든 자연수 [eqn: k`]에 대하여 반지름의 길이가 [eqn: k`]인 반원과 반지름의 길이가 [eqn: k+1`]인 반원 사이의 영역을 [eqn: 2k+1`]등분한 다음, 각 부분에 시계 바늘이 도는 방향과 반대방향으로 자연수를 차례대로 나열하였다. 이때, 직선 [eqn: y=x`]와 맨 바깥쪽 영역이 만나는 어두운 부분에 들어간 수를 구하시오. (단, 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 반원의 내부에는 [eqn: bold{1}`]을 나열한다.) [4점]

371

각 원의 끝 숫자를 보면 1, 4, 9, 16 .....  즉 [eqn: n ^{2}]이다.

즉, 19번째 반원의 마지막 수가 19^2이고 20번째 반원의 마지막 수가 20^2 이다.

따라서 마지막 원에서는 362~400까지의 숫자가 배열 되어있다.

총 39개의 숫자이다. [eqn: y=x]는 반원의 넓이를 4등분한다.

따라서 [eqn: 39÷4=9+ {3} over {4}]이므로 9번쩨 숫자는 지나고 10번째 숫자에 들어가게 된다. 즉, 362+(10-1)=371이다.

[eqn: 20]

[eqn: 19]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: cdots]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: bold 2]

[eqn: bold 3]

[eqn: bold 4]

[eqn: bold 5]

[eqn: bold 1]

[eqn: bold 6]

[eqn: bold 7]

[eqn: bold 8]

[eqn: bold 9]

[eqn: bold 10]

[eqn: bold 11]

[eqn: bold 12]

[eqn: bold 13]

[eqn: bold 14]

[eqn: bold 15]

[eqn: bold 16]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

[eqn: y=x]

[eqn: rm O]

좌표평면 위에서 점 [eqn: rm P`]는 한 번의 이동으로 다음의 (규칙[eqn: 1`]) 또는 (규칙[eqn: 2`])를 따라 이동한다.

323

(규칙1)에 따라 [eqn: a]번, (규칙2)에 따라 [eqn: b]번 움직였다 하면

[eqn: a+b=5```,`````a+2b`=`8```,`````2a+b`=`7]

위 연립방정식을 풀면 [eqn: a=2``,``b=3]가 나온다.

이 때, 내가 원하는 사건이 한번 일어날 확률은 [eqn: left( 1 over 3 right) ^2 left( 2 over 3 right) ^3]이고

그러한 경우는 [eqn: a] 2개, [eqn: b] 3개를 나열하는 경우만큼 존재하게 된다.

[eqn: therefore] 5번의 이동으로 [eqn: (8`,`7)]에 도달할 확률 [eqn: = {5!} over {2!3!} CDOT LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} = {80} over {243} `=` {q} over {p}]

[eqn: therefore ````p+q=323]

(규칙[eqn: 1`]) [eqn: x`]축의 양의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 양의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 이동한다.

(규칙[eqn: 2`]) [eqn: x`]축의 양의 방향으로 [eqn: 2`]만큼, [eqn: y`]축의 양의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동한다.

예를 들어, 원점 [eqn: rm O`]에 있는 점 [eqn: rm P`]가 두 번의 이동으로 도달할 수 있는 곳을 표시하면 그림과 같다.
점 [eqn: rm P`]가 (규칙[eqn: 1`])을 따라 이동할 확률은 [eqn: 1 over 3`]이고 (규칙[eqn: 2`])를 따라 이동할 확률은 [eqn: 2 over 3`]일 때, 위와 같은 규칙으로 점 [eqn: rm P`]가 원점 [eqn: rm O`]에서부터 다섯 번의 이동으로 점 [eqn: (8,``7)`]에 도달할 확률은 [eqn: q over p`]이다. 이때, 서로소인 두 자연수 [eqn: p`], [eqn: q`]의 합 [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, 매번 이동하는 사건은 서로 독립이다.) [4점]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 7]

[eqn: 8]

[eqn: 9]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 7]

[eqn: 8]

[eqn: 9]

•

•

•

[eqn: 1 <= x < 10`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: {x ^{3}} over {{bold{[}}`` x ``bold{]}``_{`}^{`}} `]의 값이 자연수가 되는 [eqn: x`]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: {bold{[}}`` x ``bold{]}``]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

171

[eqn: {{bold{[}}`` x ``bold{]}``_{`}^{`}} `=n] 이라 두면

[eqn: n <= x<n+1]

[eqn: RARROW ``n ^{3} <= x ^{3} <(n+1) ^{3} =n ^{3} +3n ^{2} +3n+1]

[eqn: RARROW ``n ^{2} <= {x ^{3}} over {n} <= n ^{2} +3n+3<n ^{2} +3n+3+ {1} over {n}]

[eqn: therefore][eqn: {{bold{[}}`` x ``bold{]}``_{`}^{`}} `=n]일 때, [eqn: {x ^{3}} over {{bold{[}}`` x ``bold{]}``_{`}^{`}} `]가 자연수가 되는 [eqn: x]는 총

[eqn: n^2 + 3n + 3 `-`(n^2 ) + 1 = 3n + 4]개가 존재한다.

그런데 [eqn: 1<=x<10]이므로 [eqn: {{bold{[}}`` x ``bold{]}``_{`}^{`}} `]값은 [eqn: 1<={{bold{[}}`` x ``bold{]}``_{`}^{`}} `<10]이므로

[eqn: 1`,`2`,`cdots,9] 까지 총 9개가 존재한다.

[eqn: therefore][eqn: x]의 개수[eqn: = sum_n=1^9 left(3n+4right) `=`3 cdot 45 `+`4 cdot 9 `=`171]

cf) 만약 [eqn: 1<=x<9.5]와 같이 주어졌다면 [eqn: {{bold{[}}`` x ``bold{]}``_{`}^{`}} `=9] 되는 부분만 직접 나열하며 관찰하면 된다.

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2010년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설