◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

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수 학 영 역

‘가’형

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2010학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: left( root {3} of {-16} `+` root {3} of {250} `right) ^{`3} ``]의 값은? [2점]

②

[eqn: LEFT ( -2 ^{{4} over {3}} +250 ^{{1} over {3}} RIGHT ) ^{3} = LEFT ( -2 TIMES 2 ^{{1} over {3}} +5 TIMES 2 ^{{1} over {3}} RIGHT ) ^{3} = LEFT ( 3 TIMES 2 ^{{1} over {3}} RIGHT ) ^{3}][eqn: =27 TIMES 2=54``]

[다른풀이]

[eqn: root 3 of 16 `=`a``,`root 3 of 250 `=`b]라 두면
[eqn: LEFT ( root {3} of {-16} `+` root {3} of {250} ` RIGHT ) ^{`3} ``=`(b-a) ^{3}# ````````````````````````````````````````````````````````````````````=`b ^{3} `-`3b ^{2} a`+`3ba ^{2} `-`a ^{3}# ````````````````````````````````````````````````````````````````````=250-3 root {3} of {250 CDOT 250 CDOT 16} +3 root {3} of {250 CDOT 16 CDOT 16} -16# ````````````````````````````````````````````````````````````````````=250-3 CDOT root {3} of {(1000) ^{2}} +3 CDOT root {3} of {1000 cdot 64}-16# ````````````````````````````````````````````````````````````````````=250-3 cdot 100 + 3 cdot 40 - 10 =54]

① [eqn: 48`]	② [eqn: 54`]	③ [eqn: 72`]

④ [eqn: 96`]	⑤ [eqn: 108`]

[eqn: lim _{x -> 2}`` {LEFT. {{sqrt {6-x}_{} `-2} over {{sqrt {3-x}}^{`} -1}`]의 값은? [2점]

②

[eqn: lim _{x``-> ``2} {` {LEFT ( 2-x RIGHT ) LEFT ( sqrt {3-x} +2 RIGHT )} over {(2-x) LEFT ( sqrt {6-x} +2 RIGHT )} = {2} over {4} = {1} over {2}}]

① [eqn: { 1 over 3}`]	② [eqn: {1 over 2}`]	③ [eqn: { 2 over 3}`]
④ [eqn: { 3 over 2}`]	⑤  [eqn: 2`]

점 [eqn: {rmA}(-2,``4`)`]에서 포물선 [eqn: y^2 =4x`]에 그은 두 접선의 기울기의 곱은? [2점]

③

기울기를 [eqn: m``]이라고 두면 [eqn: y=mx+ {1} over {m}]가 접선의 방정식이 된다.

이 접선이 (-2, 4)를 지나므로 대입하면 [eqn: 4=-2m+ {1} over {m}]이 되고,  [eqn: 2m ^{2} +4m-1=0]이므로 [eqn: m _{1} m _{2} = {-1} over {2}]이다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y^2 =4x]

•

[eqn: {rm A}(-2,``4)]

① [eqn: - 1 over 4 ``]	② [eqn: - 3 over 8 ``]	③ [eqn: - 1 over 2 ``]
④ [eqn: - 5 over 8``]	⑤ [eqn: - 3 over 4`]

한 변의 길이가 [eqn: 8`]인 정사각형 [eqn: \ABCD`]에서 그림과 같이 변 [eqn: \AB`]를 [eqn: 3```:``1`]로 내분하는 점을 [eqn: \E`], 변 [eqn: \CD`]를 [eqn: 3```:``1`]로 내분하는 점을 [eqn: \F`]라 하자. 변 [eqn: \BC`] 위의 양 끝점이 아닌 점 [eqn: \P`]에 대하여 두 직각삼각형 [eqn: \EBP`], [eqn: \PCF`]의 둘레의 길이의 합이 [eqn: 28`]일 때, [eqn: 10`{bar{\BP}}`]의 값은? [3점]

②

[eqn: BP=x]로 두면 [eqn: EP= sqrt {x ^{2} +4}], [eqn: PE= sqrt {36+(8-x) ^{2}}]이다.

[eqn: THEREFORE]둘레의 길이 합[eqn: =16+ sqrt {x ^{2} +4} + sqrt {x ^{2} -16x+100} =28]

[eqn: x ^{2} -16x+100=144+x ^{2} +4-24 sqrt {x ^{2} +4}]

[eqn: THEREFORE x= {24} over {5}]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm P]

[eqn: rm F]

[eqn: 8]

① [eqn: 45``]	② [eqn: 48``]	③ [eqn: 51``]
④ [eqn: 53``]	⑤ [eqn: 55``]

다음은 [eqn: r`]가 자연수일 때 [eqn: n>=r`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 등식 [eqn: sum _{ i=r} ^{n }`` `_i `{rmC}`_r = `_n+1 `{rmC}`_r+1`]이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하는 과정이다.

①

(가) [eqn: `_r C_r ``=``_r+1 C _r+1 ``=`1]

(나) [eqn: sum _{i=r} ^{k+1} ``` _{i} ` rm C it ` _{r} ``= sum _{i=r} ^{k} ` _{i} C _{r} ```+`` _{k+1} C _{r} =``_k+1 C_r+1``+`` _{k+1} C _{r} `]

[eqn: therefore] (나)[eqn: = ``_k+1 C_r]

(다) [eqn: `_n C_r`=`n!over(n-r)!r!]이므로

[eqn: ` _{k+1} C _{r+1} + _{k+1} C _{r} = {(k+1)!} over {((k+1)-(r+1))!(r+1)!} +` {(k+1)!} over {(k+1-r)!`r!}]

[eqn: therefore] (다)[eqn: `=` (k+1)!over{(k-r)!(r+1)!]

[eqn: THEREFORE] (가)[eqn: =1], (나)[eqn: = ``_k+1 C_r], (다)[eqn: `=` (k+1)!over{(k-r)!(r+1)!]

[증명]

(1) [eqn: n=r`]일 때

(좌변)[eqn: =`_r {rmC}`_r`=`]

(가)

,

(우변)[eqn: =`_r+1 {rmC}`_r+1 `=`]

(가)

이므로 주어진 등식이 성립한다.

(2) [eqn: n=k`] ([eqn: k >=r`])일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{ i=r} ^{k }`` `_i `{rmC}`_r = `_k+1 `{rmC}`_r+1`]이다.

[eqn: n=k+1`]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{ i=r} ^{k+1 }`` `_i `{rmC}`_r `][eqn: =`][eqn: `_k+1 `{rmC}`_r+1`+`]

(나)

[eqn: =`]

(다)

[eqn: +`{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`][eqn: = {(k+2)!} over {(k+1-r)!`(r+1)!}`]

[eqn: =``_k+2 `{rmC}`_r+1`]

따라서 [eqn: n=k+1`]일 때 주어진 등식이 성립한다.

(1), (2)에 의하여 [eqn: n>=r`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 1`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k-r)!``(r+1)!}`]
②	[eqn: 1`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`]
③	[eqn: 1`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r+1`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k-r)!``(r+1)!}`]
④	[eqn: r`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r+1`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`]
⑤	[eqn: r`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`]

좌표평면에서 그림과 같이 직선 [eqn: x=2`] 위를 움직이는 점 [eqn: rm A`]에 대하여 선분 [eqn: rmOA`]가 원 [eqn: x^2 +y^2 =1`]과 만나는 점을 [eqn: rm B`]라 하자. 평면 위의 점 [eqn: rm P`]가 다음 조건을 모두 만족시키며 움직이면 점 [eqn: rm P`]가 나타내는 도형은 어떤 쌍곡선의 일부가 된다.

④

동경을 [eqn: theta]로 두면, [eqn: AO= {2} over {cos theta }]

[eqn: THEREFORE AB= {2} over {cos theta } -1], [eqn: bar{AP} =2 bar{AB}]이므로 P의 [eqn: x``]좌표는
[eqn: 2+2( {2} over {cos theta } -1)= {4} over {cos theta }]가 된다.

또한, [eqn: y``]좌표는 2tan[eqn: theta]이다. 즉, [eqn: x= {4} over {cos theta } ,```y= {2sin theta } over {cos theta }]

쌍곡선의 방정식 꼴을 만들기 위해서 분모에 cos이 있고 분자에 sin이 있으니 1-[eqn: sin ^{2} `] 꼴을 만들어 약분되게 한다.

즉, [eqn: x ^{2} = {16} over {cos theta } ,```y ^{2} = {4sin ^{2} theta } over {cos ^{2} theta }]

[eqn: THEREFORE x ^{2} -4y ^{2} =16] , [eqn: {x ^{2}} over {16} - {y ^{2}} over {4} =1]

[eqn: 1]

[eqn: x=2]

[eqn: x]

[eqn: y]

•

•

•

[eqn: rm O]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: rm P]

[eqn: 2]

[eqn: x^2 + y^2 =1]

(가) [eqn: rm bar AP `=` 2`bar AB`]

(나) 직선 [eqn: rm AP`]는 직선 [eqn: x=2`]와 수직이다.

(다) 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 2`]보다 크다.

이때, 이 쌍곡선의 점근선 중 기울기가 양수인 점근선의 방정식은? (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.) [3점]

① [eqn: y= 1 over 3 x]	② [eqn: y= sqrt2 over 3 x]	③ [eqn: y= sqrt3 over 3 x]

④ [eqn: y= 1 over 2 x]	⑤ [eqn: y= sqrt2 over 2 x]

두 수열 [eqn: LEFT { `a_{`n}` RIGHT } `], [eqn: LEFT { `b_{`n}` RIGHT } `]을 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a_n =`log`_{`2}`(`n`!`)], [eqn: b_n ```=`a_n+1 -`a_n`]
으로 정의할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

⑤

[eqn: b _{n} =a _{n+1} -a _{n} =log _{2} {(n+1)!} over {n!} =log _{2} (n+1)]

ㄱ. [eqn: b_{`15} = log_{`2}{`(1+15) = log_{`2}{`16} = 4] (참)

ㄴ. [eqn: sum _{k=1} ^{5} b _{k} =log _{2} 2+log _{2} 3+log _{2} 4+log _{2} 5+log _{2} 6] =[eqn: log _{2} 720]

[eqn: log _{2} 2 ^{9} <log _{2} 720<log _{2} 2 ^{10}]  (참)

ㄷ. [eqn: n`]이 짝수이면 [eqn: n+1]은 홀수,

[eqn: THEREFORE] [eqn: b _{n} =log _{2} (n+1)]은 무리수  (참)

ㄱ. [eqn: b_{`15}`=`4``]

ㄴ. [eqn: 9``<`sum _{ k=1} ^{5 }``b_{`k}`<`10`]

ㄷ. [eqn: n``]이 짝수일 때 [eqn: b_{`n}``]의 값은 무리수이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 보안 전문회사에서 바이러스 감염 여부를 진단하는 프로그램을 개발하였다. 그 진단 프로그램은 바이러스에 감염된 컴퓨터를 감염되었다고 진단할 확률이 [eqn: 94``]%이고, 바이러스에 감염되지 않은 컴퓨터를 감염되지 않았다고 진단할 확률이 [eqn: 98``]%이다. 실제로 바이러스에 감염된 컴퓨터 [eqn: 200`]대와 바이러스에 감염되지 않은 컴퓨터 [eqn: 300`]대에 대해 이 진단 프로그램으로 바이러스 감염 여부를 검사하려고 한다. 이 [eqn: 500`]대의 컴퓨터 중 임의로 한 대를 택하여 이 진단 프로그램으로 감염 여부를 검사하였더니 바이러스에 감염되었다고 진단하였을 때, 이 컴퓨터가 실제로 감염된 컴퓨터일 확률은? [3점]

①

	실제 감염됨	실제 감염안됨
감염으로 진단	188	6
비감염으로 진단	12	294

[eqn: THEREFORE ````188 over 194 `=`94 over 97]

[다른풀이]

바이러스에 감염되었다고 진단될 사건을 [eqn: RMA],

실제로 감염된 컴퓨터 수를 사건 [eqn: RMB]라 두면

[eqn: rm P(B|A)= {P(A SMALLINTER B)} over {P(A)} = {P(A SMALLINTER B)} over {P(A SMALLINTER B)+P LEFT ( A SMALLINTER B ^{c} RIGHT )}][eqn: =` {200 CDOT {94} over {100}} over {200 CDOT {94} over {100} ``+``300 CDOT LEFT ( 1`-` {98} over {100} RIGHT )} `=` {94} over {97}]

① [eqn: {94 over 97}`]	② [eqn: {92 over 97}`]	③ [eqn: {90 over 97}`]

④ [eqn: {47 over 49}`]	⑤ [eqn: {47 over 50}`]

다음은 어느 보석 상점에서 판매하는 다이아몬드 가격표의 일부이다.

무게(캐럿)	가격(만원)
[eqn: 0.3]	[eqn: 70]
[eqn: 0.6]	[eqn: 210]

이 상점에서 판매하는 다이아몬드의 무게가 [eqn: x]캐럿일 때,
그 가격 [eqn: f(x)]만원은
[eqn: f(x) = a (b^x -1 )] (단, [eqn: a>0`], [eqn: b>1`]인 상수)
로 주어진다고 한다. 이때, 이 상점에서 판매하는 무게가 [eqn: 1.5`]캐럿인 다이아몬드의 가격은? [3점]

④

[eqn: f(0.3)=a(b ^{0.3} -1)=70]

[eqn: f(0.6)=a(b ^{0.6} -1)=210]

[eqn: {f(0.6)} over {f(0.3)} = {(b ^{0.3} -1)(b ^{0.3} +1)} over {b ^{0.3} -1} =3]

[eqn: THEREFORE b ^{0.3} =2]   [eqn: a=70]

[eqn: THEREFORE f(1.5)=70(b ^{1.5} -1)=70(2 ^{5} -1)=2170]

① [eqn: 1875`]만원	② [eqn: 1965`]만원	③ [eqn: 1980`]만원

④ [eqn: 2170`]만원	⑤ [eqn: 2250`]만원

[eqn: 2009`]년 [eqn: 8`]월 초 판매 가격이 [eqn: 200`]만원인 노트북컴퓨터의 판매 가격은 매월 초 직전 달보다 [eqn: 1`]%씩 계속 인하된다고 하자. 어느 은행에 [eqn: 2009`]년 [eqn: 8`]월 초부터 [eqn: 2010`]년 [eqn: 7`]월 초까지 매월 초마다 일정한 금액을 적립하여, [eqn: 12`]개월 후인 [eqn: 2010`]년 [eqn: 8`]월 초에 원금과 이자를 모두 찾아 바로 노트북컴퓨터를 구입하기로 하였다. 이 은행은 월이율이 [eqn: 1`]%이고 매월마다 복리로 계산한다고 할 때, 매월 초에 적립해야 할 최소금액은? (단, [eqn: 0.99^12 =0.89`],
[eqn: 1.01^12 =1.13`]으로 계산하고 천원 단위에서 반올림하며, 세금은 고려하지 않는다.) [3점]

④

적립하는 금액을 [eqn: a]라고 하면

적금 합[eqn: ={a(1.01) LEFT { (1.01) ^{12} -1 RIGHT }} over {0.01}][eqn: =13.13a]

12개월이 지난 후 노트북의 가격[eqn: =200(0.99) ^{12} =178]

[eqn: 13.13a=178````]

[eqn: THEREFORE a=13.`5**** image 14]

① [eqn: 11`]만원	② [eqn: 12`]만원	③ [eqn: 13`]만원

④ [eqn: 14`]만원	⑤ [eqn: 15`]만원

임의의 실수 [eqn: x``]에 대하여
[eqn: x`=`n`+`alpha`] ([eqn: n`]은 정수, [eqn: 0`<=`alpha`<`1`])
일 때, [eqn: n`]을 [eqn: x`]의 정수 부분, [eqn: alpha`]를 [eqn: x`]의 소수 부분이라 하자.
[eqn: 10`<`a`<`b`<`50`]인 두 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: log_{``2}``a`]의 소수 부분과 [eqn: log_{``2}``b`]의 소수 부분이 같을 때 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`)`]의 개수는?

②

[eqn: log _{2} 10<log _{2} a<log _{2} 50]

[eqn: log _{2} 10<log _{2} b<log _{2} 50]

[eqn: log _{2} b-log _{2} a=정수]

[eqn: 0<log _{2} {b} over {a} <log _{2} 50-log _{2} 10=log _{2} 5=2.****]

[eqn: THEREFORE log _{2} {b} over {a} =`1``or```2]  [eqn: b=2a``or``b=4a]

1) [eqn: b=2a]일 때, [eqn: a=11,``12,` CDOTS `,`24]까지 가능

2) [eqn: b=4a]일 때, [eqn: a=11,``12]만 가능

[eqn: THEREFORE 순서쌍의``개수=14+2=16]

[3점]

① [eqn: 15`]	② [eqn: 16``]	③ [eqn: 17`]

④ [eqn: 18`]	⑤ [eqn: 19`]

파장이 [eqn: lambda `]이고 강도가 [eqn: I_{`0}``]인 광선이 어떤 용액을 통과하면 이 용액에 광선이 흡수되어 입사광의 강도가 감소된다. 광선이 농도가 [eqn: c`]인 용액을 통과한 거리가 [eqn: d`]일 때의 광선의 강도를 [eqn: I```]라 하면 [eqn: I```]와 입사광의 강도 [eqn: I_{`0}``]사이에는
[eqn: I_{`}``=`I_{`0}`times`10^{- a`c`d}``],  [eqn: a`=`{4pi`k}over{ lambda}``] (단, [eqn: k`]는 소멸계수)
인 관계가 성립하고, 이 용액의 흡광도 [eqn: A`]를
[eqn: A`=`log``{I_{0}}`-`log``{I}```]
로 정의한다.
파장이 [eqn: lambda _{`1}`]인 광선이 농도가 [eqn: 0`]이 아닌 어떤 용액을 통과한  거리가 [eqn: d_{`1}`]일 때의 흡광도를 [eqn: A_{1}`], 파장이 [eqn: 2`lambda _{`1}``]인 광선이 동일한 농도의 이 용액을 통과한 거리가 [eqn: 4`d_{1}`]일 때의 흡광도를 [eqn: A_{2}``]라 하자. 이때, 소멸계수 [eqn: k`]가 일정하다고 할 때 [eqn: {A_{2}}over{A_{1}}`]의 값은?
(단, [eqn: lambda _{`1} `d_{`1} ` != `0`]이다.) [3점]

②

[eqn: A=log` {I _{0}} over {I} =`log`10 ^{acd} =acd= {4 pi k} over {lambda } cd]

[eqn: A _{1} = {4 pi k} over {lambda _{1}} cd _{1} ``,``A _{2} = {4 pi k} over {2 lambda _{1}} c`4d _{1}]

[eqn: THEREFORE `` {A _{2}} over {A _{1}} = {8} over {4} =2``]

①  [eqn: 8``]	②  [eqn: 2``]	③ [eqn: 1``]	④ [eqn: {1}over{2}``]	⑤ [eqn: {1}over{8}``]

폐구간 [eqn: [`0`,``1`]`]에서 [eqn: 0``<``f`(`x`)``<``1`]를 만족시키는 다항함수 [eqn: f`(`x`)`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

⑤

ㄱ. [eqn: f(x)``]와 [eqn: y=x]는 교점이 존재한다.  (참)

ㄴ. [eqn: 0<f(0)<1,````0<f(1)<1]이므로

[eqn: f`'(c)= {f(1)-f(0)} over {1-0} <1]인 [eqn: c]가 존재한다.

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{x} {} f`(`t`)`dt```<```1 TIMES x`](사각형 넓이)  (참)

ㄱ. [eqn: f`(`a`)``=``a`]인 실수 [eqn: a`]가 개구간 [eqn: (`0`,``1`)`]에 적어도 하나
존재한다.

ㄴ. [eqn: f`'`(`b`)``<``1`]인 실수 [eqn: b`]가 개구간 [eqn: (`0`,``1`)`]에 적어도 하나
존재한다.

ㄷ. 개구간 [eqn: (`0`,``1`)`]의 모든 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{x} {} f`(`t`)`dt```<```x`] 이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 서로 다른 두 점에서 만나는 두 곡선 [eqn: y`=`x^{2}`] 과 [eqn: y`=`ax^{2}`+`bx`+`c`]에 대하여 [eqn: d`=`b^{2}`-`4`c`(a`-`1)`]이라 하고, 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S``]라 할 때
[eqn: S``=`{d`root{d}}over{6`(a`-`1)^{2}}`]
임을 증명하는 과정이다. (단, [eqn: a ne 0`]이고 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 실수)

④

[eqn: ( beta - alpha ) ^{2} = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -4 alpha beta = LEFT ( {-b} over {a-1} RIGHT ) ^{2} -4` {c} over {a-1} ``]

[eqn: =` {b ^{2} -4c(a-1)} over {(a-1) ^{2}} = {d} over {(a-1) ^{2}} ``]

[eqn: beta`-`alpha`=`][eqn: {BOX{{sqrt {d}} over {LEFT | a-1 RIGHT |}}}]

[eqn: int _{alpha } ^{beta} {}LEFT{`(a`-`1)x^{2}`+`b`x`+`c` right}``dx`]

[eqn: =`][eqn: ` {BOX{``(a-1)``}} `` int _{alpha } ^{beta } {} (x`-` alpha )(x`-` beta )``dx``]

[eqn: = {BOX{``` {1`-`a} over {6} `( beta `-` alpha ) ^{3} ```}} ``]

[eqn: S``][eqn: =`][eqn: □][eqn: ` {BOX{``` {1`-`a} over {6} `( beta `-` alpha ) ^{3} ```}} ``][eqn: □] [eqn: =`{d`root{d}}over{6`(a`-`1)^{2}}`]

[증명]

두 곡선 [eqn: y`=`x^{2}``]과 [eqn: y`=`ax^{2}`+`bx`+`c``]가 서로 다른 두 점에서 만나므로 이차방정식 [eqn: (a`-`1)x^{2}`+`bx`+`c`=`0``]은

서로 다른 두 실근 [eqn: alpha`,``beta``][eqn: (alpha`<`beta)``]를 갖는다.

따라서 [eqn: a`!=`1``], [eqn: d`>`0``]이고

[eqn: beta`-`alpha`=`]

(가)

………㉠

그런데 [eqn: int _{alpha } ^{beta} {}LEFT{`(a`-`1)x^{2}`+`b`x`+`c` right}``dx`]

[eqn: =`][eqn: left(`]

(나)

[eqn: left)`][eqn: ` int _{ alpha} ^{beta } { }(x`-`alpha)(x`-`beta)``dx``]

[eqn: =`]

(다)

………㉡

따라서 ㉠과 ㉡에 의해 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S``]는

[eqn: S``][eqn: =`][eqn: LEFT | ``` BOX{`````(다)`````} ``` RIGHT |] [eqn: =`{d`root{d}}over{6`(a`-`1)^{2}}`]

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은?

[4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: {root{d}}over{|`a`-`1`|}``]	[eqn: 1`-`a`]	[eqn: {1`-`a}over{6}`(beta`-`alpha)^{3}``]
②	[eqn: {root{d}}over{|`a`-`1`|}``]	[eqn: a`-`1`]	[eqn: {a`-`1}over{6}`(beta`-`alpha)^{3}``]
③	[eqn: {root{d}}over{a`-`1}``]	[eqn: 1`-`a``]	[eqn: {a`-`1}over{6}`(beta`-`alpha)^{3}``]
④	[eqn: {root{d}}over{|`a`-`1`|}``]	[eqn: a`-`1``]	[eqn: {1`-`a}over{6}`(beta`-`alpha)^{3}``]
⑤	[eqn: {root{d}}over{a`-`1`}``]	[eqn: a`-`1``]	[eqn: {1`-`a}over{6}`(beta`-`alpha)^{3}``]

[eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: cases{`a`x`+`b`y`=`p_{`}^{`}#`c`x`+`d`y`=`q_{`}^{`}}```]에서 행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]를
[eqn: A= pmatrix{``{a}``&``{b}``#``{c}``&``{d}``}`], [eqn: B= pmatrix{``{a}``&``{p}``#``{c}``&``{q}``}`]라 하자.
옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a,``b,``c,``d,``p,``q`]는 모두 [eqn: 0`]이 아닌 상수) [3점]

⑤

ㄱ. 참

ㄴ. [eqn: A]의 역행렬이 존재하지 않는다함은 무수히 많은 해를 갖거나 해를 하나도 갖지 않는 것입니다. 여기서 B의 역행렬도 존재하지 않으므로 [eqn: aq=pc,```` {a} over {c} = {p} over {q}] 즉, 두 직선이 일치하는 경우입니다.

따라서 해는 무수히 많다. 참

ㄷ. [eqn: k _{1} a+k _{2} b=0]

즉, [eqn: k _{1} =- {k _{2} b} over {a}]가 되어야 합니다.

[eqn: k _{1} c+k _{2} d=0], [eqn: k _{1} =- {k _{2} d} over {c}]

[eqn: THEREFORE k _{1} = {-k _{2} b} over {a} = {-k _{2} d} over {c}]

[eqn: ad-bc=0] 즉, 역행렬이 존재하지 않을 때,

[eqn: k _{1} {pmatrix{a&#c&}} +k _{2} {pmatrix{b&#d&}}]=[eqn: {pmatrix{0&#0&}}]이 성립한다는 것입니다.

그런데 역행렬이 존재하므로, [eqn: ad-bc=0]이 아닌 다른 경우겠죠. [eqn: 즉,``k _{1} =k _{2} =0]이어야 합니다. 참

ㄱ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재하면 연립방정식은 오직 한 쌍의 해를
갖는다.

ㄴ. [eqn: A`], [eqn: B`]의 역행렬이 모두 존재하지 않으면 연립방정식의
해는 무수히 많다.

ㄷ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재할 때, 실수 [eqn: k_1`], [eqn: k_2`]에 대하여
[eqn: k_1 pmatrix{``{a}``#``{c}``}` + k_2 pmatrix{``{b}``#``{d}``}` = pmatrix{``{0}``#``{0}``}`]이면 [eqn: k_1 =`k_2 =0`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표평면 위에 네 점 [eqn: rm O(0,``0)`], [eqn: rm A(1,``0)`], [eqn: rm B(1,``1)`], [eqn: rm C(0,``1)`] 을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm OABC`]가 있다. 곡선 [eqn: y=x^4 `]과 직선 [eqn: y=k`] ([eqn: 0<k<1`])에 의해 정사각형 [eqn: rm OABC`]를 네 영역 으로 나눌 때, 그림과 같이 네 영역의 넓이를 각각 [eqn: S_1`], [eqn: S_2`], [eqn: S_3`], [eqn: S_4`]라 하자. 이때, [eqn: |``S_1 - S_3 ``|+|``S_2 - S_4 ``|`]의 최솟값은? [4점]

③

[eqn: S _{2} +S _{3} = {1} over {5} ` CDOTS `①] ,  [eqn: S _{1} +S _{4} = {4} over {5} ` CDOTS `②]

[eqn: S _{1} +S _{2} =k` CDOTS `③]  ,  [eqn: S _{3} +S _{4} =1-k`` CDOTS `④]

②,④에서 [eqn: LEFT | S _{1} -S _{3} RIGHT | = LEFT | k- {1} over {5} RIGHT |]

①,④에서 [eqn: LEFT | S _{2} -S _{4} RIGHT | = LEFT | k- {4} over {5} RIGHT |]

[eqn: |S _{1} -S _{3} |+|S _{2} -S _{4} |=|k- {1} over {5} |+|k- {4} over {5} |]

[eqn: {1} over {5} <k< {4} over {5}]일 때, 최솟값 [eqn: {3} over {5}]을 갖는다.

[eqn: rm O]

[eqn: rm A(1,``0)]

[eqn: rm B(1,``1)]

[eqn: rm C(0,``1)]

[eqn: y=k]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=x^4]

[eqn: S_1]

[eqn: S_2]

[eqn: S_3]

[eqn: S_4]

① [eqn: 2 over 5]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 3 over 5]	④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 3 over 4]

좌표공간에서 두 점 [eqn: {rmA}(4,``0,``0`)`], [eqn: {rmB}(-4,``0,``0`)`]과 움직이는 점 [eqn: rmP`]에 대하여 [eqn: vec {rmOA} = vec a `], [eqn: vec {rmOB} = vec b `], [eqn: vec {rmOP} = vec p `]라 할 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 점 [eqn: rmP`]가 나타내는 도형의 길이는? (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [4점]

⑤

(가) 조건의 의미: A, B를 지름의 양 끝점으로 하는 구위에 점 P가 있다. (수직이므로 내적=0)

(나) 조건의 의미: A에서 거리가 4인 곳에 점 P가 있다. 즉, A를 중심으로 하고 반지름이 4인 원 위에 점 P가 있다. 두 구의 공통부분은 원입니다. 그 원의 길이를 구하면 됩니다.

[eqn: (가)``(x-4``,``y``,``z)` BULLET (x+4``,``y``,``z``)=0`` -> ``x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =16``]

[eqn: (나)``(x-4) ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =16``]

[eqn: -> ``x=2``평면``]

(가) [eqn: ( ``vec p `-` vec a ``) cdot(`` vec p `-` vec b ``)`=`0`]

(나) [eqn: (``vec p `-` vec a ``) cdot (``vec p `-` vec a ``) `=16`]

① [eqn: 2root2``pi``]	② [eqn: 2root3``pi``]	③ [eqn: 4``pi``]
④ [eqn: 4root2`` pi``]	⑤ [eqn: 4root3``pi``]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x^2`] 위의 점 [eqn: {rm P}`(`2a`, ``4a^2 `)`]에서의 접선 [eqn: l`]이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm A`]라 하고, 점 [eqn: rm A`]를 지나고 접선 [eqn: l`]에 수직인 직선이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm B`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm OAB`]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r(a)`]라 할 때, [eqn: lim from a->inf ``r(a)]의 값은?
(단, [eqn: a >0`], [eqn: rm O`]는 원점이다.) [4점]

③

[eqn: y`'=2x`]이므로

점[eqn: P`(2a`,`4a ^{2} `)]에서의 접선은

[eqn: y=4a(x-2a)+4a ^{2} =4ax-4a ^{2}]

[eqn: y=0] 대입하면 [eqn: x=a]    [eqn: THEREFORE `A(`a`,``0`)]

점[eqn: A]를 지나고 접선에 수직인 직선은

[eqn: y=- {1} over {4a} (x-a)=- {1} over {4a} x+ {1} over {4}]

[eqn: x=0`] 대입하면 [eqn: y= {1} over {4}]    [eqn: THEREFORE `B`(`0`,`` {1} over {4} )]

[eqn: bar{OA} `=a`,`` bar{OB} `= {1} over {4} `,`` bar{AB} `= sqrt {a ^{2} + {1} over {16}}]

[eqn: TRIANGLE OAB`= {1} over {2} BULLET {1} over {4} BULLET a= {1} over {8} a]

원의 반지름 [eqn: r(a)= {2 BULLET {1} over {8} a} over {a+ {1} over {4} + sqrt {a ^{2} + {1} over {16}}}]

[eqn: THEREFORE ` lim _{a -> INF } {} r(a)= lim _{a -> INF } {} {{1} over {4} a} over {a+ {1} over {4} + sqrt {a ^{2} +16}} = {1} over {8}]

[eqn: rm O]

[eqn: {rm P}(2a, ``4a^2 )]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: x]

[eqn: y]

•

[eqn: y=x^2]

[eqn: l]

① [eqn: {{root{3`} over 6}]	② [eqn: {root{2`}} over 4}]	③ [eqn: 1 over 8]	④   [eqn: 1 over 6`]	⑤  [eqn: 3 over 16]

[그림[eqn: 1]]과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 [eqn: rm bar {A_1 B_1}]인 사분원을 그리고, 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 [eqn: rm A_2], [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2], [eqn: rm D_2]라 하자. 또 [그림[eqn: 2]]와 같이 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 [eqn: rm bar {A_2 B_2}]인 사분원을 그리고, 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 [eqn: rm A_3], [eqn: rm B_3], [eqn: rm C_3], [eqn: rm D_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 정사각형 [eqn: {rm A}_n {rm B}_n {rm C}_n {rm D}_n]의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 [eqn: bar{{rm A}_n {rm B}_n}]인 사분원을 그리고, 정사각형 [eqn: {rm A}_n {rm B}_n {rm C}_n {rm D}_n]의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 [eqn: {rm A}_n+1], [eqn: {rm B}_n+1], [eqn: {rm C}_n+1], [eqn: {rm D}_n+1] 이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 정사각형 [eqn: {rm A}_n {rm B}_n {rm C}_n {rm D}_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum from n=1 to inf S_n]의 값은? [4점]

①

첫째항 : 1 , 공비 : [eqn: 2- sqrt {3}]

① [eqn: {1+sqrt3 } over 2]	② [eqn: {2+sqrt3 } over 2]	③ [eqn: {2+sqrt3} over 3]
④ [eqn: {2+2sqrt3} over 3]	⑤ [eqn: {1+3sqrt3} over 3]

좌표공간에서 세 점 [eqn: rm A(1,``0,``0)`], [eqn: rm B(0,``2,``0)`], [eqn: rm C(0,``0,``3)`]을 지나는 평면을 [eqn: alpha`]라 하자. 그림과 같이 평면 [eqn: alpha`]와 [eqn: xy`]평면의 이면각 중에서 예각인 것을 이등분하면서 선분 [eqn: rm AB`]를 포함하는 평면을 [eqn: beta`]라 할 때, 평면 [eqn: beta`]가 [eqn: z`]축과 만나는 점의 [eqn: z`]좌표는? [4점]

①

삼수선의 정리를 이용하여 이면각 [eqn: theta]의 코사인 값을 구하면

[eqn: cos theta = {2} over {7}]

[eqn: 2cos ^{2} {theta } over {2} -1= {2} over {7}]  [eqn: THEREFORE cos {theta } over {2} = {3} over {sqrt {14}}]

색칠한 새로운 평면에 대해서도 삼수선의 정리를 사용하고 구한 코사인 값을 이용해  [eqn: z= {2} over {3}]인 것을 알 수 있다.

[eqn: z]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A(1,``0,``0)]

[eqn: rm B(0,``2,``0)]

[eqn: rm C(0,``0,``3)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

① [eqn: 2 over 3]	② [eqn: 3 over 4]	③ [eqn: 8 over 9]	④ [eqn: 5 over 4]	⑤ [eqn: 4 over 3]

[표준정규분포표]
[eqn: z]	[eqn: {\P}`(0≦Z``≦z)]
[eqn: 0.25`]	[eqn: 0.10``]
[eqn: 0.50]	[eqn: 0.19``]
[eqn: 1.00`]	[eqn: 0.34``]
[eqn: 1.50`]	[eqn: 0.43``]

어느 자영업자의 하루 매출액은 평균이 [eqn: 30`]만원이고 표준편차가 [eqn: 4`]만원인 정규분포를 따른다고 한다. 이 자영업자는 하루 매출액이 [eqn: 31`]만원 이상일 때마다 [eqn: 1000`]원씩을 자선단체에 기부하고 [eqn: 31``]만원 미만일 때는 기부를 하지 않는다고 한다. 이와 같은 추세가 계속된다고 할 때, [eqn: 600`]일 동안 영업하여 기부할 총 금액이 [eqn: 222000`]원 이상이 될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

④

N(30, [eqn: 4 ^{2}]) 31이상일 확률은 [eqn: P(z GEQ 0.25)=0.40]이다.

기부하는 날 수를 확률 변수로 잡으면

이항 분포 B(600, [eqn: 0.4 ^{2}])을 따른다.

이는 정규분포 N([eqn: 240,``12 ^{2}])으로 근사한다.

222000원 이상이라는 것은 222일 이상인 것이므로

표준정규분포표를 이용해 값을 구하면 0.93이 된다.

[4점]

① [eqn: 0.69``]	② [eqn: 0.84`]	③ [eqn: 0.90`]
④ [eqn: 0.93``]	⑤ [eqn: 0.98``]

좌표공간에 네 점 [eqn: rm A(0,``1,``0)`], [eqn: rm B(1,``1,``0)`], [eqn: rm C(1,``0,``0)`],
[eqn: rm D(0,``0,``1)`]이 있다. 그림과 같이 점 [eqn: rm P`]는 원점 [eqn: rm O`]에서 출발하여 사각형 [eqn: rm OABC`]의 둘레를 [eqn: rm O -> A->B->C->O->A->B ->cdots`]의 방향으로 움직이며, 점 [eqn: rm Q`]는 원점 [eqn: rm O`]에서 출발하여 삼각형 [eqn: rm OAD`]의 둘레를 [eqn: rm O->A->D->O->A->D->cdots`]의 방향으로 움직인다.
두 점 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`]가 원점 [eqn: rm O`]에서 동시에 출발하여 각각 매초 [eqn: 1`]의  일정한 속력으로 움직인다고 할 때,  옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

④

ㄱ. 점 P는 4초 만에 원점에 온다.

점 Q는 [eqn: 2+ sqrt {2}]초 만에 원점에 온다. 각각 a, b바퀴를 돌았다고 하면 [eqn: 4a=(2+ sqrt {2} )b]를 만족하는 순서쌍은 (0. 0)밖에 없으므로 처음 출발 할 때만 만난다.

ㄴ. [eqn: 2- sqrt {2}]이다.

ㄷ. 참

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: z]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A(0,``1,``0)]

[eqn: rm B(1,``1,``0)]

[eqn: rm C(1,``0,``0)]

[eqn: rm D(0,``0,``1)]

∙

∙

[eqn: rm Q]

[eqn: rm P]

ㄱ. 두 점 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`]가 출발 후 원점에서 다시 만나는 경우는 없다.

ㄴ. 출발 후 [eqn: 4`]초가 되는 순간 두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]사이의 거리는
[eqn: sqrt2 over 2`]이다.

ㄷ. 출발 후 [eqn: 2`]초가 되는 순간 두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]사이의 거리는
[eqn: sqrt2`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

최대공약수가 [eqn: 5`!`], 최소공배수가 [eqn: 13`!`]이 되는 두 자연수 [eqn: k], [eqn: n`] ( [eqn: k ``<=` n`] )의 순서쌍 [eqn: (`k,```n`)`]의 개수는? [4점]

③

13!에서 5!부분을 제외하고 나면

[eqn: 6 TIMES 7 TIMES CDOTS TIMES 13=2 ^{7} TIMES 3 ^{4} TIMES 5 TIMES 7 TIMES 11 TIMES 13]

각 소인수들을 두 집합으로 분할하는 경우의 수[eqn: = {2 ^{6}} over {2} =32]가지

두 분할중에서 큰 것은 [eqn: n`], 작은 것은 [eqn: k`]로 지정

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 32]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 49]

다음 등식을 만족시키는 세 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]가 있다.

①

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x}]

[eqn: y=log _{{1} over {3}} x]

[eqn: y=2x]

[eqn: y=x]

[eqn: y= {1} over {2} x]

[eqn: (2a,a)]

[eqn: (2b`,`b)]

[eqn: (2c`,`c)]

[eqn: (a,`2a)]

[eqn: `2a]

[eqn: `2b]

[eqn: `2c]

[eqn: THEREFORE ``a<b<c]

[eqn: left( 1 over 3 right)^a =2a`],      [eqn: left( 1 over 3 right)^2b =b`],       [eqn: left( 1 over 2 right)^2c =c`]

이때, 세 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? [4점]

① [eqn: a<b<c]	② [eqn: a<c<b]	③ [eqn: b<a<c]

④ [eqn: b<c<a]	⑤ [eqn: c<a<b]

주관식 문항 (25~30)

다음 세 조건을 모두 만족시키는 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B``] 가 있다.

48

[eqn: (A+B)(A-B)=O``,``x=4``,``y=12``]

(가) [eqn: A+B= pmatrix{`{2}`&`{6}``#`{x}`&`{`12}``}`]

(나) [eqn: A-B= pmatrix{``{~~6}``&``{~~y}``#``{`-2}``&``{`-4}``}`]

(다) [eqn: A^2 -B^2 = AB -BA`]

이때, 두 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]의 곱 [eqn: xy`]의 값을 구하시오. [3점]

다음 세 조건을 모두 만족시키는 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)`]가 있다.

25

그래프를 그려보면  [eqn: y=1`,``2`,``3``]에서 불연속이므로

불연속점의 개수는 25개이다.

(가) [eqn: -1<= x <= 1`]일 때, [eqn: f(x) = 3x^2`]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(1-x)=f(1+x)`]

(다) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)`]

이때, [eqn: 0 < x <10`]에서 함수 [eqn: y= {bold{[}}`` f(x)^{`}_{`} bold{]}`]의 불연속점의 개수를 구하시오. (단, [eqn: {bold{[}}`` x ``bold{]}`]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

[eqn: 5`]차다항식 [eqn: P`(`x`)`]에 대하여, [eqn: P`(`x`)`]를 [eqn: (`x`-`1`)^3`]으로 나누면 나머지가 [eqn: 8`]이고, [eqn: P`(`x`)`]를 [eqn: (`x`+`1`) ^{3} `]으로 나누면 나머지가 [eqn: -8`]일 때, [eqn: P`(`2`)`]의 값을 구하시오. [3점]

46

[eqn: P`'(1)=P`''(1)=P'(-1)=P`''(-1)=0]이므로

[eqn: y=P``'(x)]는 [eqn: (x-1) ^{2} (x+1) ^{2}]으로 인수분해 된다.

즉, [eqn: P`` prime (x)=a(x-1) ^{2} (x+1) ^{2} =a(x ^{2} -1) ^{2} =a(x ^{4} -2x ^{2} +1)]

[eqn: P(x)=a int _{} ^{} {(x ^{4} -2x ^{2} +1)dx}][eqn: =a( {1} over {5} x ^{5} - {2} over {3} x ^{3} +x)+C]

[eqn: P(1)= {8} over {15} a+C=8]

[eqn: P(-1)=- {8} over {15} a+C=-8]

연립하면 [eqn: a=15``,````C=0]

[eqn: THEREFORE ``P(x)=3x ^{5} -10x ^{3} +15x]

[eqn: THEREFORE `P(2)=46]

좌표평면 위에 그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 20`]이하의 자연수인 반원이 [eqn: 20`]개 있다. [eqn: 1 <= k <= 19`]인 모든 자연수 [eqn: k`]에 대하여 반지름의 길이가 [eqn: k`]인 반원과 반지름의 길이가 [eqn: k+1`]인 반원 사이의 영역을 [eqn: 2k+1`]등분한 다음, 각 부분에 시계 바늘이 도는 방향과 반대방향으로 자연수를 차례대로 나열하였다. 이때, 직선 [eqn: y=x`]와 맨 바깥쪽 영역이 만나는 어두운 부분에 들어간 수를 구하시오. (단, 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 반원의 내부에는 [eqn: bold{1}`]을 나열한다.) [4점]

371

각 원의 끝 숫자를 보면 1, 4, 9, 16 .....  즉 [eqn: n ^{2}]이다.

(홀수의 합이니 그럴 수 밖에 없다.)

즉, 19번째 반원의 마지막 수가 19^2이고 20번째 반원의 마지막 수가 20^2 이다.

따라서 마지막 원에서는 362~400까지의 숫자가 배열 되어있다. 총 39개의 숫자이다. [eqn: y=x]는 반원의 넓이를 4등분한다. 따라서 [eqn: 39÷4=9+ {3} over {4}]이므로 9번쩨 숫자는 지나고 10번째 숫자에 들어가게 된다. 즉, 362+(10-1)=371이다.

[eqn: 20]

[eqn: 19]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: cdots]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: bold 2]

[eqn: bold 3]

[eqn: bold 4]

[eqn: bold 5]

[eqn: bold 1]

[eqn: bold 6]

[eqn: bold 7]

[eqn: bold 8]

[eqn: bold 9]

[eqn: bold 10]

[eqn: bold 11]

[eqn: bold 12]

[eqn: bold 13]

[eqn: bold 14]

[eqn: bold 15]

[eqn: bold 16]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

[eqn: y=x]

[eqn: rm O]

좌표평면 위에서 점 [eqn: rm P`]는 한 번의 이동으로 다음의 (규칙[eqn: 1`]) 또는 (규칙[eqn: 2`])를 따라 이동한다.

323

(규칙1)에 따라 [eqn: a]번, (규칙2)에 따라 [eqn: b]번 움직였다 하면

[eqn: a+b=5```,`````a+2b`=`8```,`````2a+b`=`7]

위 연립방정식을 풀면 [eqn: a=2``,``b=3]가 나온다.

이 때, 내가 원하는 사건이 한번 일어날 확률은 [eqn: left( 1 over 3 right) ^2 left( 2 over 3 right) ^3]이고

그러한 경우는 [eqn: a] 2개, [eqn: b] 3개를 나열하는 경우만큼 존재하게 된다.

[eqn: therefore] 5번의 이동으로 [eqn: (8`,`7)]에 도달할 확률 [eqn: = {5!} over {2!3!} CDOT LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} = {80} over {243} `=` {q} over {p}]

[eqn: therefore ````p+q=323]

(규칙[eqn: 1`]) [eqn: x`]축의 양의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 양의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 이동한다.

(규칙[eqn: 2`]) [eqn: x`]축의 양의 방향으로 [eqn: 2`]만큼, [eqn: y`]축의 양의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동한다.

예를 들어, 원점 [eqn: rm O`]에 있는 점 [eqn: rm P`]가 두 번의 이동으로 도달할 수 있는 곳을 표시하면 그림과 같다.
점 [eqn: rm P`]가 (규칙[eqn: 1`])을 따라 이동할 확률은 [eqn: 1 over 3`]이고 (규칙[eqn: 2`])를 따라 이동할 확률은 [eqn: 2 over 3`]일 때, 위와 같은 규칙으로 점 [eqn: rm P`]가 원점 [eqn: rm O`]에서부터 다섯 번의 이동으로 점 [eqn: (8,``7)`]에 도달할 확률은 [eqn: q over p`]이다. 이때, 서로소인 두 자연수 [eqn: p`], [eqn: q`]의 합 [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, 매번 이동하는 사건은 서로 독립이다.) [4점]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 7]

[eqn: 8]

[eqn: 9]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 7]

[eqn: 8]

[eqn: 9]

•

•

•

구 [eqn: (x-3)^2 +(y-2)^2 +(z-3)^2 =27`]과 그 내부를 포함하는 입체를 [eqn: xy`]평면으로 잘라 구의 중심이 포함된 부분을 남기고 나머지 부분을 버린다. 남아있는 부분을 다시 [eqn: yz`]평면으로 잘라 구의 중심이 포함된 부분을 남기고 나머지 부분을 버린다. 이때, 마지막에 남아있는 부분에서 두 평면에 의해 잘린 단면의 넓이는 [eqn: a`pi + b`]이다. 두 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 합 [eqn: a`+ b`]의 값을 구하시오. [4점]

45

중심에서 [eqn: xy``]까지의 거리가 3이므로 그 평면이 만드는 원의 반지름은 [eqn: (3 sqrt {3} ) ^{2} -3 ^{2} =r ^{2}] [eqn: THEREFORE r=3 sqrt {2}]

이것은 [eqn: yz``]평면의 경우도 마찬가지이다.

그런데 두 평면이 서로를 중심에서 3만큼 떨어지게 남겨두고 자르므로 여기서 왼쪽 부분의 넓이가 두 평면에 의해 잘린 단면의 한 부분이 된다. 이 넓이를 구해서 곱하기 2를 하면 된다.

[eqn: 2 TIMES (9 pi + {9} over {2} pi +9)=27 pi +18]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2010년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설