◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수 학 영 역

‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2009학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

등비수열 [eqn: "{" a_n"}"]에 대하여 [eqn: { a}_{ 1}+ { a}_{ 2}+ { a}_{ 3}=48, ``````` { a}_{ 4}+ { a}_{ 5}+ { a}_{ 6}= 12]일 때, [eqn: { a}_{ 7}+ { a}_{ 8}+ { a}_{ 9}]의 값은? [2점]

③

[eqn: a_n =ar^n-1]이라 두면

[eqn: a+ar+ar^2 =48`, ``ar^3 + ar^4 + ar^5 = 12` = r^3 (a+ar+ar^2 )]

[eqn: thereforer^3 = 1over4]

[eqn: therefore a_7 +a_8 + a_9 = ar^6 + ar^7 + ar^8 = r^6 (a+ar+ar^2 )= LEFT ( 1over 4 RIGHT )^2 cdot48=3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: 4`]자리의 자연수 중에서 [eqn: 9`]의 배수 전체의 집합을 [eqn: A`]라 하자. 집합 [eqn: A`]의 원소 중에서 각 자리의 수가 [eqn: 1`]이상이고 [eqn: 3`]이하인 것의 개수는? [2점]

①

9의 배수[eqn: =]자릿수의 합이 9의 배수여야 한다.

1, 2, 3을 4번 이하로 사용한 숫자의 합으로 만들 수 있는 수의 조합은

(2, 2, 2, 3), (1, 2, 3, 3)의 2가지가 있다.

또한, 이 2가지를 나열하면 그 수 자체가 하나의 자연수에 대응되므로

[eqn: THEREFORE 4! OVER 3! + 4! OVER 2! = 4+12=16]

① [eqn: 16`]	② [eqn: 18`]	③ [eqn: 20`]	④ [eqn: 22`]	⑤ [eqn: 24`]

행렬 [eqn: A= pmatrix { `1&``-1`` #`3 &``-2`` }]에 대하여 집합 [eqn: X`]를 [eqn: X=LEFT{A^n` `|``n은 ~``` 자연수 right}]라 하자. 집합 [eqn: X`]의 두 원소 [eqn: P,~Q`]가 다음 두 조건을 만족시킬 때, [eqn: Q`]의 모든 성분의 합은? [3점]

④

[eqn: a+d=-1``,``ad-bc=1]이므로 케일리-해밀턴의 정리를 쓰면

[eqn: A^2 +A+E=O```RARROW ```A^3 =E ```````````CDOTS````]① 이다.

그러므로 [eqn: A^k]는 주기가 3이므로 집합 [eqn: X]의 원소는

[eqn: A`,`A^2 `,`A^3 =E]의 3종류만 있게 된다.

여기서 각각의 행렬을 구해보면

[eqn: {A= pmatrix {1 &-1 # 3& -2} }], [eqn: A^2 = -A-E=-{ pmatrix {1 &-1 # 3& -2} }-{pmatrix{1&0#0&1}}`=` pmatrix {-2 &1 #-3 &1 }]이다.

그러므로 성분의 합이 [eqn: -3]이 되는 행렬은 [eqn: A^2]행렬이고,

①식에 의해 [eqn: Q=A]이다.

[eqn: THEREFOREQ]의 성분의합[eqn: =][eqn: 1]

(가) [eqn: P`]의 모든 성분의 합은 [eqn: -3]이다.

(나) [eqn: PQ=E`] (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

세 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 눈의 수를 각각 [eqn: a`,~b`,~c`]라 하자. 이때 세 수 [eqn: a`,~b`,~c`]의 최대공약수가 [eqn: 2`]일 확률은? [3점]

⑤

최대공약수가 2라고 하였으므로 짝수에서 그 경우를 따져주면 된다.

짝수는 2, 4, 6이 있고, 사용하는 짝수의 수에 따라 분류할 수 있다.

i) 숫자를 1개만 사용하는 경우

이 경우는 세 번 모두 2가 나오는 경우만 해당하므로 경우의 수는 1가지이다.

ii) 숫자를 2개 사용하는 경우

사용하는 숫자의 수를 나눠서 새는 방법은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

2번 사용하는 수	1번 사용하는 수
2	4
4	2
2	6
6	2
4	6
6	4

총 6가지 경우가 생기고, [eqn: a`,`b`,`c]에 배분하는 경우는 각각

[eqn: 3!over2! =3]이므로 총 18가지가 나온다.

iii) 숫자 3개를 사용하는 경우

이 경우는 2, 4, 6을 모두 사용하는 경우이므로

2, 4, 6을 [eqn: a`,`b`,`c]에 배분하는 경우의 수와 같으므로

총 6가지의 경우의 수가 있다.

[eqn: therefore]확률[eqn: = {1+18+6}over216 = 25over216]

① [eqn: { 2} over {27 }]	② [eqn: { 17} over {216 }]	③ [eqn: { 19} over { 216}]	④ [eqn: { 5} over {54 }`]	⑤ [eqn: { 25} over {216 }`]

두 수열 [eqn: left{a_n right} , ````left{b_n right}`]이 다음 조건을 모두 만족한다.

②

(나) 식에서 [eqn: cases{ a_n+1 = `1over2 a_n + 1over2 b_n#b_n+1 = a_n }] 이다.

여기서 윗식의 [eqn: n]자리에 [eqn: n+1]을 대입하면

[eqn: a_n+2 = 1over2 a_n+1 + 1over2 b_n = 1over2 a_n+1 + 1over2 a_n] [eqn: (becauseb_n+1 =a_n )]

[eqn: a_n+2 - 1over2 a_n+1 - 1over2 a_n =0]이므로 이 점화식은 계차수열이 등비수열인 점화식이다.

그러므로 일반항 [eqn: a_n = p + q cdotleft(- 1over2 right)^n-1]이라 둘 수 있다.

또한, [eqn: a_1 =10], [eqn: b_1 =1]이므로 [eqn: a_2 = 11over2]이다.

[eqn: therefore a_n = 7 + 3cdotleft(- 1over2 right)^n-1]이므로 [eqn: {lim_n->inf {a_n = 7}}]이다.

이 때, [eqn: lim_n->inf{b_n }=lim_n->inf{b_n+1 }=lim_n->inf{a_n }=7]이다.

[eqn: thereforelim_n->inf {left(a_n +b_n right)}=lim_n->inf{a_n }+lim_n->inf{b_n }=14]

(가) [eqn: a _{1} ``=``10`,`````b_1``=``1`]

(나) [eqn: pmatrix{a_n+1 # b_n+1 } = pmatrix{`1over2`&`1over2`#`1`&`0`} ``pmatrix {a_n # b_n }] ([eqn: n = 1`,~2`,~3`,``CDOTS`])

이 때, [eqn: lim _{ n`->`inf} {(` a_n`+`b_n`)}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

두 이차정사각행렬 [eqn: A,~B`]가 다음 두 조건

④

[eqn: A+B=E]의 왼쪽에 [eqn: A]를 곱하면 [eqn: A^2 + AB = A]이므로

[eqn: AB=A+E]

[eqn: THEREFORE LEFT(AB RIGHT)^2 =(A+E )^2 = A^2 + 2A + E = 2A]

[eqn: A+B=E]의 오른쪽에 [eqn: B]를 곱하면 [eqn: AB + B^2 = B]

[eqn: A+B=E]의 양변을 제곱시키면

[eqn: A^2 + AB ``+ BA+ B^2 = E]이므로 [eqn: BA+B=2E]

[eqn: B^-1 = 1 OVER 2 (A+E)`````RARROW````2B^-1 = A+E],

[eqn: THEREFORE(AB)^2` +`2B``^-1`=2A + A+ E ```=E``+`3A]

(가) [eqn: A+B=E]

(나) [eqn: A^2 = -E]

를 만족한다. 다음 중 행렬 [eqn: (AB)^2` +`2B``^-1`]와 같은 행렬은?
(단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

① [eqn: E-A]	② [eqn: A]	③ [eqn: 2E]
④ [eqn: E+3A]	⑤ [eqn: 4E-3A]

양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log_10``x`]의 지표를  [eqn: f(x)`], 가수를 [eqn: g(x)`]라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

⑤

ㄱ. [eqn: f(1234) =3``,```f(0.1234)=-1]이므로

[eqn: f(1234)+f(0.1234) = 3-1=2]

ㄴ. [eqn: g(5034)=log5.034``,``g(0.05034) = log5.034]이므로

[eqn: g(5034)-g(0.05034)=0]

ㄷ. [eqn: log_10 a=log_10 {0.0762}+4 = log_10 762]이므로 [eqn: f(a)=2]

ㄱ. [eqn: f(1234)+f(0.1234)=2]

ㄴ. [eqn: g(5034)-g(0.05034)=0]

ㄷ. [eqn: log`_10`a-log`_10 `0.0762=4]이면 [eqn: f(a)=2`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같은 직사각형 모양의 도로가 있다. [eqn: {\P}`]지점에서 출발하여 [eqn: {\Q}`]지점까지 도로를 따라 최단 거리로 갈 때, 도중에 방향을 바꾸는 횟수가 모두 [eqn: 7`]번이 되는 경로의 수는? [3점]

①

방향을 바꾼다는 것은 가로세로의 진행방향이 바뀐다는 것을 의미한다.

(ex : →↑,↑→)

즉, 7번 방향을 바꾼다는 것은 가로의 진행방향과 세로의 진행방향으로 각각 4번씩 진행할 때, →↑와 같이 꺾이는 부분이 7군데 발생한다는 것이다.

이 때 ↑방향이 4번, → 방향이 4번 나와야 된다.

이 때, 세로방향은 4칸, 가로방향은 5칸이므로 가로방향에서 한 번은 2칸을 연속으로 진행해야 한다.

또 가로방향과 세로방향이 서로 엇갈려서 나와야 하므로 경우의 수는 가로방향 진행으로 시작하는 경우와 세로방향의 진행으로 시작되는 경우로 나눌 수 있다.

i) 가로방향으로 진행을 시작하는 경우

→↑→↑→↑→↑으로 진행하는 경우이고, 4개의 가로방향진행 중 2칸을 움직일 순간을 구하면 되므로 총 4가지의 경우가 있다.

ii) 세로방향으로 진행을 시작하는 경우

↑→↑→↑→↑→ 으로 진행하는 경우이고, 4개의 가로방향진행 중 2칸을 움직일 순간을 구하면 되므로 총 4가지의 경우가 있다.

∴ i), ii)에서 총 경우의 수는 8가지가 있다.

cf) 선택지에 나와있는 숫자가 적으므로 직접 세어도 된다.

(→→↑→↑→↑→↑) (→↑→→↑→↑→↑) (→↑→↑→→↑→↑)

(→↑→↑→↑→→↑) (↑→→↑→↑→↑→) (↑→↑→→↑→↑→)

(↑→↑→↑→→↑→) (↑→↑→↑→↑→→)

[eqn: RMP]

[eqn: RMQ]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

그림과 같이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y = x^2 `]과 직선
[eqn: y=2x+n]이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm A it rm _{n} ,`][eqn: {\ B}_n]이라 하자. 선분 [eqn: {\A}_n`{\ B}_n]의 길이를 [eqn: a_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{n ``-> `INF } {} {sqrt {5n+1}} over {a _{n}}]의 값은? [3점]

③

[eqn: {rm A}_n (alpha`,`2alpha + n`)``,``{rm B}_n (beta`,`2beta + n`)]이라 두면

[eqn: alpha]와 [eqn: beta]는 방정식 [eqn: x^2 =2x+n]의 두 근이다.

[eqn: a _{n} = sqrt {( beta - alpha ) ^{2} +(2beta-2alpha) ^{2}}=sqrt5(beta-alpha)^2]이다.

여기서, [eqn: alpha + beta = 2``,``alphabeta=-n]이고 [eqn: (beta-alpha)^2 = (alpha+beta)^2 -4alphabeta]이다.

[eqn: therefore (beta-alpha)^2 = 4-4cdot(-n)=4n+4]

[eqn: therefore lim_n->inf{sqrt5n+1 overa_n = lim_n->inf {sqrt5n+1 over sqrt5(4n+4) = 1oversqrt4 = 1 over 2]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: rmA _ {itn}]

[eqn: y=x^2]

[eqn: rmB _ {itn}]

[eqn: y= 2x+n]

[eqn: a _ {itn}]

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: { 1} over {3 }]	③ [eqn: 1over 2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

어느 전자 회사에서는 신제품을 홍보하기 위해 7월 1일에 인터넷 사이트를 개설하여 한 달간 운영하였다. 이 사이트의 7월 1일의 회원 수가 [eqn: 2]만 명이었고, 전날에 비해 매일 일정한 비율로 회원 수가 증가하여 7월 7일의 회원 수는 7월 1일의 회원 수보다 [eqn: 21%`] 증가하였다. 7월 4일의 회원 수가 7월 1일의 회원 수보다 [eqn: A`%] 증가하였다고 할 때, [eqn: A]의 값은? [3점]

③

매일 [eqn: r]%씩 증가한다 하고 7월 1일 이후로 [eqn: n]일 후의 회원수를 [eqn: f(n)]이라 하면

[eqn: f(n)= A left(1+ r over100 right)^n] (단, [eqn: A=20000])

7월 7일의 회원수는 [eqn: 1.21A=A left(1 + r over100 right)^6]

⇒ [eqn: left( 1 + r over 100 right)^6 = 1.21 = (1.1)^2]

구하라는 값은 3일후 까지의 회원수의 증가율이다.

[eqn: thereforeA left(1+ r over100 right)^3 = 1.1A=LEFT(1+ 1OVER10 RIGHT)] ⇒ 3일간 10% 증가했음을 알 수 있다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 9.5]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 10.5]	⑤ [eqn: 11]

[eqn: z`]	[eqn: {rmP}(0<=Z<=z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

서류전형 후 필기시험을 실시하는 어느 시험에서 [eqn: 720`]명이 서류전형에 합격하였다. 서류전형 합격자는 필기시험에서 A, B, C, D [eqn: 4`]과목 중 [eqn: 2``]과목을 반드시 선택해야 하고, 각 과목을 선택할 확률은 모두 같다고 한다. [eqn: 4` `]과목 중 A, B를 선택한 서류전형의 합격자의 수가 [eqn: 110`]명 이상 [eqn: 145`]명 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

④

4과목중 2과목을 선택하는 경우의 수는 [eqn: ` _{4} rm C it rm _{2} =``6]이므로

[eqn: A`,`B``]를 선택할 확률은 [eqn: 1OVER6]이 된다.

[eqn: A`,`B``]를 선택한 서류전형자의 수를 확률변수 [eqn: X```]라 두면

[eqn: X]는 이항분포 [eqn: B ``LEFT(720`,`1OVER6 RIGHT)]를 따른다.

이 때, 720은 충분히 큰 수이므로 [eqn: X]는

정규분포 [eqn: N`LEFT(120`,`10^2 RIGHT)]에 근사한다.

[eqn: THEREFORE P`(`110`<= X``<=145)=P`(-1<=Z<=2.5)]

[eqn: =P`(0<=Z<=1)+P`(0<=Z<=2.5)]

[eqn: =0.3413+0.4938=0.8351]

① [eqn: 0.0166]	② [eqn: 0.1359]	③ [eqn: 0.1525]
④ [eqn: 0.8351]	⑤ [eqn: 0.9104]

두 수열 [eqn: left{ a_n right}, ```left{ b_n right}]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

②

ㄱ. [eqn: a_n b_n = c_n]이라 두면 [eqn: b_n = c_n over a_n]이다.

여기서, [eqn: a_n]이 수렴한다 해도 [eqn: lim_n->inf{a_n = 0]이면 이 극한값은 존재하지 않는다.

ㄴ. 만약 수열 [eqn: left{b_n right}]이 수렴한다고 가정해보자.

그렇게 되면 [eqn: left{a_n right}]은 발산하므로 [eqn: left{a_n - b_n right}]은 수렴할 수 없다

[eqn: therefore lim_n->inf { b_n]은 발산한다.

ㄷ. [eqn: a_n : 1`,`0`,`1`,`0`,`1`,`0`,`1`,`0`,`1`,`0`,`1`,`0`, cdots #b_n ```:`0`,`1`,`0`,`1`,`0`,`1`,`0`,`1`,`0`,`1`,`0`,`1`, cdots]라 두자.

그럼 [eqn: a_n b_n]은 0으로 수렴하고 [eqn: lim_n->inf{a_n neq0]이지만 [eqn: lim_n->inf{b_n]값이 존재 하지는 않는다.

ㄱ. 두 수열 [eqn: left{a_n right } , ``~left{a_n` b_n}right}`]이 모두 수렴하면 수열 [eqn: left{b_n right}]도
수렴한다.

ㄴ. 수열 [eqn: Left{ a_n - b_n right}]이 수렴할 때, 수열 [eqn: left{ a_n right}]이 발산하면
수열 [eqn: left{ b_n right}`]도 발산한다.

ㄷ. 수열 [eqn: left{a_n` b_n}right}]이 [eqn: 0`]으로 수렴할 때, 수열 [eqn: left{a_n right }]이 [eqn: 0`]으로
수렴하지 않으면 수열 [eqn: left{ b_n right}`]은 [eqn: 0`]으로 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ,	⑤ ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=3`^x]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동한 것이다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

⑤

[eqn: f(x)=3^x+1 -2]

ㄱ. [eqn: b=3^a+1 -2]이므로 [eqn: b+2=3^a+1 ```,```a+1 = log_3 (b+2)]이므로

[eqn: therefore a=log_3 (b+2)-1]

ㄴ. [eqn: 3^x = t>0]라 두면 [eqn: t=3t-2``,``t=1]이므로 [eqn: x=0]에서 한번 만난다.

cf) [eqn: y=3^x]과 [eqn: y= f(x)]의 그래프를 그려 확인할 수도 있다.

ㄷ. [eqn: 3^x = t>0]라 두면 [eqn: 3t-2<t]의 부등식의 해를 푸는것과 같다.

[eqn: t<1]이므로 [eqn: 3^x < 1 = 3^0]이므로 [eqn: x<0]이다.

ㄱ. [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 점 [eqn: (a,~b)`]를 지나면
[eqn: a=log`` _{3} `(b+2)-1]이다.

ㄴ. 두 함수 [eqn: y =f(x)`]와 [eqn: y=3`^x `]의 그래프는 한 점에서 만난다.

ㄷ. 부등식 [eqn: f(x)`＜`3`^x`]를 만족시키는 [eqn: x`]의 값의 범위는
[eqn: x`＜`0`]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 대학은 학교 발전을 위하여 대학예산에서 시설투자비가 차지하는 비율을 증가시키기로 하였다. 2008년에 이 대학의 대학예산에서 시설투자비가 차지하는 비율은 [eqn: 4`%]이다. 이후 대학예산의 증가율은 매년 [eqn: 12`%], 시설투자비의 증가율은 매년 [eqn: 20`%]로 일정하다면 처음으로 대학예산에서 시설투자비가 차지하는 비율이 [eqn: 6`%] 이상이 될 때는 2008년을 기준으로 몇 년 후 부터인가? (단, [eqn: `log`_10 `1.12=0.0492,~log`_10` 1.20=0.0792,]
[eqn: log` _{10} `2=0.3010], [eqn: `log` _{10} ``3=0.4771`]계산한다.) [3점]

①

2008년 대학예산을 [eqn: A], 시설투자비를 [eqn: B``]라하면 [eqn: B= 4OVER100 A]

2008년부터 [eqn: n]년후의 대학예산   : [eqn: left(1+ 12over100 right)^n A]

2008년부터 [eqn: n]년후의 시설투자비 : [eqn: left(1+ 20over100 right)^n B]

[eqn: THEREFORE {LEFT ( 1.2 RIGHT ) ^{n} B} over {(1.12) ^{n} A} >= {6} over {100} ````````]

[eqn: ` RARROW ``` {(1.2) ^{n} CDOT {4} over {100} A} over {(1.12) ^{n} CDOT A} `` >= `` {6} over {100} ``` RARROW {(1.2) ^{n}} over {(1.12) ^{n}} >= {3} over {2}]

양변에 상용로그를 취해 정리해주면

[eqn: n>= {log3 - log2}over{ log1.2 - log1.12 } = 0.1761 over 0.0300 = 5.87]

[eqn: therefore] 6년 후(2014년)부터 시설투자비가 대학예산의 6%를 넘어서게 된다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식
[eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{2} ` LEFT { {1} over {k(2k+1)} `+ {1} over {(k+1)(2k+3)} `+ {1} over {(k+2)(2k+5)} `+` CDOTS]
[eqn: +`` {1} over {n(2n+1)} ` right } `= {n(n+3)} over {12}]
이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

⑤

(가) 주어진 식에 [eqn: m+1]을 대입한 것이므로

[eqn: left(m+1right)^2 cdot`1over{(m+1)(2m+3)}`` =``m+1over2m+3]

(나) [eqn: 1over{(m+1)(2m+3)} sum_k=1 ^m k^2]항이 나왔으므로

주어진 식의 마지막 항은 [eqn: 1over{m(2m+1)}]이다.

(다) 준식 [eqn: = {m(m+3)} over {12} + {1} over {(m+1)(2m+3)} sum _{k=1} ^{m} k ^{2} + {m+1} over {2m+3} #= {m(m+3)} over {12} + {1} over {(m+1)(2m+3)} sum _{k=1} ^{m} k ^{2} +(m+1) ^{2} CDOT {1} over {(m+1)2m+3} # = {m(m+3)} over {12} + {1} over {(m+1)(2m+3)} sum _{k=1} ^{m+1} k ^{2}]

[eqn: therefore] (가) : [eqn: m+1], (나) : [eqn: m(2m+1)], (다) : [eqn: k^2]

(1) [eqn: n=1`]일 때 (좌변)[eqn: ={ 1} over { 3}], (우변)[eqn: ={ 1} over {3 }]이므로

주어진 등식은 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1} ^{m} k ^{2} ` LEFT { {1} over {k(2k+1)} `+` {1} over {(k+1)(2k+3)} `+` {1} over {(k+2)(2k+5)} `+` CDOTS]

[eqn: +` {1} over {m(2m+1)} RIGHT } `= {m(m+3)} over {12}]

이제, [eqn: n=m+1]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} k ^{2} ` LEFT { {1} over {k(2k+1)} `+` {1} over {(k+1)(2k+3)`} `+` {1} over {(k+2)(2k+5)} `+` CDOTS]

[eqn: +` {1} over {(m+1)(2m+3)} right}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} k ^{2} ` LEFT { {1} over {k(2k+1)} `+` {1} over {(k+1)(2k+3)} `+` {1} over {(k+2)(2k+5)} `+` CDOTS]

[eqn: +` {1} over {(m+1)(2m+3)} ` right} + {(가)} over {```2m+3``` }]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} k ^{2} ` LEFT { {1} over {k(2k+1)} `+` {1} over {(k+1)(2k+3)} `+` {1} over {(k+2)(2k+5)} `+` cdots]

[eqn: +` LEFT. 1 over {~~(나)~~} `right} + { 1} over {(m+1)(2m+3) } sum _{k=1 } ^{ m}k^2 + {(가)} over {``2m+3`` }]

[eqn: ={ m(m+3)} over {12 }+][eqn: { 1} over {(m+1)(2m+3) } sum _{k=1 } ^{ m+1}~ (다)]

[eqn: ={ (m+1)(m+4)} over {12 }]

그러므로 [eqn: n=m+1`]일 때도 성립한다.

따라서 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

주어진 등식은 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례대로 나열한 것은? [4점]

(가)	(나)	(다)

① [eqn: m]	[eqn: (m+1)(2m+3)]	[eqn: (k-1)^2]

② [eqn: m]	[eqn: m(2m+1)]	[eqn: (k-1)^2]

③ [eqn: m+1]	[eqn: m(2m+1)]	[eqn: (k-1)^2]

④ [eqn: m+1]	[eqn: (m+1)(2m+3)]	[eqn: k^2]

⑤ [eqn: m+1]	[eqn: m(2m+1)]	[eqn: k^2]

이차정사각행렬 [eqn: A= pmatrix { ``a``&``b`` #``c`` &``d`` }]에 대하여 [eqn: f(`A`)``=``a`+`d`]라 하자. 세 이차정사각행렬 [eqn: A,~B,~C``]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

⑤

[eqn: A=pmatrix {a &b #c &d }``,``B= PMATRIX{p&q#r&s]라 두고,

1행 1열의 성분과 2행 2열의 성분만 관찰하면

ㄱ. [eqn: A-B= PMATRIX{a-p &#&d-s]

[eqn: THEREFOREf LEFT(A-B RIGHT)=(a-p)+(d-s)=(a+d)-(p+s)]

[eqn: `=f(A)-f(B)]

ㄴ. [eqn: AB= PMATRIX{ap+br&#&cq+ds}`,``BA= PMATRIX{ap+cq&#&br+ds}]

[eqn: therefore f(AB)=(ap+br)+(cq+ds)=(ap+cq)+(br+ds)]

[eqn: =f(BA)]

ㄷ. [eqn: f(M)=f LEFT( ACA^-1` -`BCB^-1 RIGHT) #````````````````````=f LEFT(ACA^-1 RIGHT) `- `f LEFT(BCB^-1 RIGHT)```````````````````````````````````LEFT(BECAUSE ㄱ RIGHT) #````````````````````=f left(CA^-1 A RIGHT) `-` f(CB^-1 B RIGHT)```````````````````````````````````LEFT(BECAUSE ㄴ RIGHT) #````````````````````=f left(C `RIGHT) `-`f(C`)=0]

그러므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

ㄱ. [eqn: f`(`A`-`B`)``=``f`(`A`)`-`f`(`B`)`]

ㄴ. [eqn: f`(`A`B`)``=``f`(`B`A`)``]

ㄷ. 영행렬이 아닌 행렬 [eqn: C`]와 역행렬을 갖는 두 행렬
[eqn: A`,``B`]에 대하여 [eqn: M=A`C`A^-1`-`B`C`B^-1`]라 하면
[eqn: f(`M``)=0`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

방정식 [eqn: x ^{3} `-`1`=`0``]의 한 허근을 [eqn: omega``]라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: omega^n]의 실수부분을 [eqn: a_n]이라 정의할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} (`a _{k} ``a _{k+1} `a _{k+2} ``)]의 값은? [4점]

③

주어진 식을 인수분해 하면 [eqn: (x-1)(x^2 + x+1)=0]이다.

이 때, [eqn: x=1]은 실근이므로 [eqn: omega]는 [eqn: x^2 +x+1=0]의 근임을 알 수 있다.

근의 공식을 사용해 근을 구해주면 [eqn: omega= {-1 +- sqrt3i}over 2]를 구할 수 있다.

이 때, 실수부분은 [eqn: - 1over2]이므로 [eqn: a_1 = - 1over2]이다.

또한, [eqn: omega ^{2} + omega +1=0```` RARROW ```` omega ^{2} =-1- omega =- {1} over {2} -+ sqrt3i over2]이므로

[eqn: a_2 = - 1 over2]

[eqn: omega^3 = 1]이므로 [eqn: a_3 = 1]이다.

이 때, [eqn: omega^4 = omega^3 cdot omega=omega]이므로 주어진 수열은

[eqn: - 1over2 ``,``- 1over 2 ``,```1]이 반복되는 수열이다.

[eqn: therefore a_k a_k+1 a_k+2 = 1 over 4]

[eqn: therefore sum_k=1^10 a_k a_k+1 a_k+2 = sum_k=1 ^ 10 1 over 4 = 5 over 2]

① [eqn: 0]	② [eqn: 9 over 4]	③ [eqn: 5over2]	④ [eqn: 11over 4]	⑤ [eqn: 3]

함수 [eqn: f(x)= |`2`^x -2 `|]의 그래프 위의 세 점 [eqn: (a,~f(a))],
[eqn: (b, ``~f(b))], [eqn: (c,~ f(c))`]가 [eqn: 0＜a＜b＜c`]와 [eqn: f(a) ＞f(b) ＞f(c)]를 만족할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

⑤

[eqn: f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: y]	[eqn: y=x]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: a]

[eqn: a] [eqn: b] [eqn: c] [eqn: 1] [eqn: c]                    [eqn: x]

ㄱ. 그림에서, [eqn: c]는 1보다 클 수 있다.
(단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 1보다 작아야 한다.)

ㄴ. [eqn: 0<f(a)<1]이므로 [eqn: 0<f(c)<f(b)<f(a)<1]이다.

[eqn: therefore 0<f(a)+f(b)+f(c)<3]

ㄷ. [eqn: y=x] 그래프를 이용하면 [eqn: y=a]의 그래프를 그릴 수 있다.

[eqn: 0<a<1]이므로 [eqn: f(x)=a]는 2개의 실근을 갖는다.

그러므로 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

ㄱ. [eqn: 0＜`c`＜1]

ㄴ. [eqn: 0＜f(a)+f(b)+f(c)＜3]

ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)-a =`0`]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

사관학교 생도의 [eqn: 60`%`]는 입교 전에 확률과 통계 과목을 배웠고, [eqn: 40`%`]는 배우지 않았다고 한다. 확률과 통계 과목을 배운 생도들의 [eqn: 20`%], 배우지 않은 생도들의 [eqn: 10`%]는 통계학 성적이 A학점이었다. 임의로 한 명의 생도를 뽑았더니 그 생도의 통계학 성적이 A학점이었을 때, 그 생도가 입교 전에 확률과 통계 과목을 배웠을 확률은? [3점]

③

	확률과 통계 배움	확률과 통계 배우지않음	계
통계학성적이 [eqn: RMA]학점	6[eqn: a]	2[eqn: a]	8[eqn: a]
통계학성적이 [eqn: RMA]학점이아님	24[eqn: a]	18[eqn: a]	42[eqn: a]
계	30[eqn: a]	20[eqn: a]	50[eqn: a]

[eqn: THEREFORE 6a over 8a = 3 over 4]

[다른 풀이]

입교전 확률과 통계를 배우는 사건을 [eqn: RMA],

확률과통계 과목에서 [eqn: RMA]학점을 받을 사건을 [eqn: RMB],

사관학교 생도생 수를 [eqn: a]라 두면

[eqn: rmP(B|A)={ P(A CAPB)} OVERP(A) = {P(A CAP B) }OVER{P(A CAP B)+P left(A CAP B^c right)} #`````````````````````````````````````````````````````````````````````=` { 3 over5 a cdot 2over10 a}over {3over5 a cdot 2over10 a + 2over5 a cdot 1over10 a } = 3over4]

① [eqn: 5OVER 8]	② [eqn: 11OVER16]	③ [eqn: 3 over 4]	④ [eqn: 13 OVER 16]	⑤ [eqn: 7OVER 8]

[eqn: f`(x`)= log` _{ 2} `x``]라 할 때, [eqn: 0＜x`＜1`]에서 방정식

④

[eqn: log_2 left[{f(x)} over {left[f(x) right]} right] = 0]이므로 [eqn: left[{f(x)} over {left[f(x) right]} right]=1]이어야 한다.

[eqn: therefore 1<= {f(x)} over {left[f(x) right]}<2]

여기서, [eqn: log_2 x=k+alpha]

(단, [eqn: k]는 정수, [eqn: 0<=alpha<1])라 두면 [eqn: left[f(x)right]=k]

[eqn: THEREFORE 1 <= {k+ alpha } over {k} =1+ {alpha } over {k} <2`````` RARROW ````0 <= ` {alpha } over {k} <1]

그런데, [eqn: 0<x<1]이므로 [eqn: log _{2} x=k+ alpha <0]이다.

[eqn: THEREFORE k<0```````( BECAUSE alpha >= 0)]이므로 [eqn: k< alpha <= 0]

[eqn: therefore alpha=0][eqn: (because0<= alpha<1)]

[eqn: alpha]가 0이므로 [eqn: f(x)=log_2 x=k]이므로 [eqn: x=2^k]이다.

(단, [eqn: k]은 음의정수)

이 때, [eqn: n=-k]라 치환하면 [eqn: n]은 자연수가 되며,

[eqn: x]값은 [eqn: n]이 증가함에 따라 점점 감소한다.

[eqn: thereforea_n = left(1over2 right)^n]

[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = {{1} over {2}} over {1- {1} over {2}} = 1]

[eqn: log``_2 `left[`{f(x) }over { left[f(x) right]} right] ``=0``]

을 만족시키는 모든 [eqn: x`]의 값을 가장 큰 수부터 차례대로 나열한 것을 [eqn: a_1 ,~a_2 ,~a_3 ,`` ~CDOTS `]이라 하자. 이 때, [eqn: sum_n=1^inf a_n]의 값은? (단, [eqn: [`x`]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

① [eqn: {`1``} over {`2``}]	② [eqn: {`2``} over {`3``}]	③ [eqn: {`3``} over {`4``}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: 10`]개의 구슬이 들어있는 주머니가 있다. [eqn: 10`]개의 구슬 각각에는 [eqn: 1]부터 [eqn: 10`]까지 서로 다른 자연수가 하나씩 적혀 있다. 이 주머니에서 한 개의 구슬을 꺼내어 숫자를 확인한 후 다시 집어넣는 시행을 세 번 반복하여 첫 번째 나온 수를 [eqn: a`], 두 번째 나온 수를 [eqn: b`], 세 번째 나온 수를 [eqn: c`]라 하자. 다음과 같은 규칙으로 [eqn: X`]를 정할 때, [eqn: X= 5`]일 확률은? [4점]

②

i) [eqn: a``,``b``,``c]가 모두 다른 경우

5는 반드시 포함되어야 하기 때문에 우선 1, 2, 3, 4 중 한 개의 수와 6, 7, 8, 9, 10 중 한 개의 수를 선택해야 한다.

선택하는 경우의 수는 [eqn: 4times5=20]이고 세 수를 [eqn: a,``b``,c]에 배분하는 경우의 수는 [eqn: 3! = 6]이므로 총 120가지의 경우가 생긴다.

ii) [eqn: a``,``b``,``c] 중 2개의 수가 같은 경우

[eqn: X``]가 [eqn: 5]이여야 하므로 [eqn: 5]가 2번 등장하고 나머지 숫자 중 한 개를 뽑으면 된다. 나머지 숫자중 1개를 뽑는 경우의 수가 9가지이고 같은것이 2개 포함된 3개의 숫자를 배열하는 경우의 수는 [eqn: 3! OVER 2! =3]이므로 총 27가지의 경우가 생긴다.

iii) [eqn: a=b=c=5]인 경우 : 1가지

[eqn: therefore] 확률 [eqn: = 120+27+1 over 10^3 = 37 over 250]

[규칙 1] [eqn: a`,~b`,~c``]가 모두 다르면 중간 크기의 수를 [eqn: X``]라 한다.

[규칙 2] [eqn: a`,~b`,~c``] 중에서 두 개 이상이 같으면 같은 수를 [eqn: X``]라 한다.

① [eqn: 18 over 125`]	② [eqn: 37 over 250`]	③ [eqn: 19 over 125`]	④ [eqn: 39 over 250`]	⑤ [eqn: 4 over 25`]

그림과 같이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x`=`n`]이 함수 [eqn: y``= left( 1over 2 right)^x]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: {\A}_n`], [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: {\B}_n`]이라 하자. 사각형 [eqn: {\A}_n` `{\B}_n``{\B}_n+1`{\A}_n+1`]의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: ``sum _{ n=1} ^{inf}S_n`]의 값은? [4점]

①

[eqn: S_n = 1 over 2 cdot RMBAR{B_n B_n+1} left( bar{A_n B_n }``+ ``bar{A_n+1 B_n+1 } right) # ``````````` = 1over2 cdot 1 cdot left{ left(1 over 2 right)^n + left(1 over 2 right) ^ n+1 right}]

[eqn: therefore sum_n=1^inf S_n = 1 over 2 left( {1 over 2 } over {1- 1 over 2} + 1 over4 over{1 - 1 over 2}right) = 3 over 4]

[eqn: x]

[eqn: {rm A}_n]

[eqn: x= n]

[eqn: x= n+1]

[eqn: {rm B}_n]

[eqn: {rm B}_n+1]

[eqn: {rm A}_n+1]

[eqn: y``= left( 1over 2 right)^x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

① [eqn: 3 over 4]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 5over 4]	④ [eqn: 3 over 2]	⑤ [eqn: sqrt2]

주사위 한 개를 [eqn: n `]번 던지는 시행에서 나타나는 눈의 수들 중에서 가장 큰 수를 [eqn: a_n `], 가장 작은 수를 [eqn: b_n`]이라 하자. 예를 들면, 주사위를 한 번 던지는 시행에서 나타나는 눈의 수가 [eqn: 3`]이면 [eqn: a_1 `=b_1 =3`]이고, 주사위를 두 번 던지는 시행에서 나타나는 눈의 수가 [eqn: 4`,~6 `]이면 [eqn: a_2 =6`], [eqn: b_2 =4`]이다. [eqn: a_n -b_n ` < 5 `]가 될 확률을 [eqn: p`_n `]이라 할 때, [eqn: SUM from {n=1} to inf` p_n `]의 값은? [4점]

②

[eqn: a_n - b_n <5]이므로 결국 [eqn: n]개의 수 중 [eqn: 1]과 [eqn: 6]이 동시에 나타나지 않으면 된다.

1을 제외한 나머지 5개의 수로 [eqn: n]개의 자리를 채우는 사건을 [eqn: A],

6을 제외한 나머지 5개의 수로 [eqn: n]개의 자리를 채우는 사건을 [eqn: B]라 두면

[eqn: n(A CUPB) = n(A)+n(B) - n(A CAP B) #````````````````````````````````=5^n + 5^n - 4^n = 2 cdot 5^n - 4 ^ n]

6개의 수로 [eqn: n]개의 자리를 채우는 경우의 수는 [eqn: 6^n]이다.

[eqn: therefore p_n ={ 2cdot5^n - 4^n }over 6^n]

[eqn: therefore sum_n=1 ^inf p_n = 10 over 6 over{1- 5 over 6} - 2 over 3 over{ 1- 2 over 3} = 10-2=8]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

철수가 자동차로 그림과 같은 바둑판 모양의 도로를 따라 [eqn: rmA``]지점에서 약속 장소인 [eqn: rm B``]지점까지 최단 거리로 가는 도중에, 도로 [eqn: rmPQ` `] 위에서 약속 장소가 [eqn: rm C``]지점으로 변경되었다는 연락을 받고 곧바로 [eqn: rmC ``]지점을 향하여 도로를 따라 최단 거리로 이동하였다. 이 때, 철수가 [eqn: rmA``]지점에서 출발하여 [eqn: rmC ``]지점까지 최단 거리로 이동하는 경로의 수는? (단, 연락 받은 위치가 달라도 이동 경로가 같으면 동일한 경우로 간주한다.) [4점]

④

[eqn: RMA']	[eqn: RMC']

[eqn: RMB]

[eqn: RMP]	[eqn: RMQ]

[eqn: RMA]	[eqn: RMC]

주어진 도형을 [eqn: RMBARPQ]를 기준으로 펼치면 된다.

주어진 경우의 수는 위의 그림에서 [eqn: RMA]에서 [eqn: rmC]로 가는 경우의 수와 같다.

[eqn: THEREFORE 9! OVER 5!4! = 126]

[eqn: RMA]

[eqn: RMQ]

[eqn: RMB]

[eqn: RMC]

[eqn: RMP]

① [eqn: 120]	② [eqn: 122]	③ [eqn: 124]	④ [eqn: 126]	⑤ [eqn: 128]

세 실수 [eqn: a,~b,~c`]가 [eqn: ab=12, ~``bc=8,```~2^a =27]을 만족시킬 때, [eqn: 4^c`]의 값을 구하시오. [2점]

[eqn: 81]

[eqn: ab=12``,``bc=8]이므로 [eqn: a over c = 3 over 2]이므로 [eqn: a= 3over2 c]다.

[eqn: therefore][eqn: 2^a = 2^ {3 over 2 c} = 27=3^3] [eqn: RARROW][eqn: 2^c = 9]

[eqn: therefore left( 2^c right)^2 = 4^c = 9^2 = 81]

[eqn: 5`]장의 카드가 들어있는 상자가 있다. [eqn: 5`]장의 카드 각각에는 [eqn: 1`]부터 [eqn: 5`]까지 서로 다른 자연수가 하나씩 적혀 있다. 이 상자에서 임의로 [eqn: 1`]장의 카드를 꺼내어 숫자를 확인한 후 다시 넣는 시행을 [eqn: 4`]번 반복하여 제 [eqn: i`]번째에 꺼낸 카드에 적힌 숫자를 [eqn: a`_i `]([eqn: i=1`,~2`,~ 3`,~4`])라 하자. [eqn: a`_1 <`a`_2 <` a`_3 `< a`_4`]가 될 확률이 [eqn: { q} over {p }`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 126]

[eqn: i]값이 증가함에 따라 [eqn: a_i]값이 증가한다.

즉, 순서가 정해진 수열이므로 내가 구하고자 하는 경우의 수는

5장의 카드 중 4장을 뽑아주기만 하면 자동 배열되므로

[eqn: ` _{5} rm C it rm _{4} =``5]가지가 있다.

전체 경우의 수는 중복순역이므로 [eqn: 5^4]이므로

확률[eqn: = 5 OVER 5^4 = 1 OVER 5^3 = q over p]

[eqn: therefore p+q=126]

[3점]

두 행렬 [eqn: A= pmatrix { ` 2``&``4`` #`1`` &` `0``}], [eqn: B= pmatrix { -3``&``3`` #1 &2 }]에 대하여 두 수열 [eqn: left{`a_n`right}], [eqn: left{`b_n `right}]이
[eqn: a _{n} `A+b _{n} `B= {pmatrix{6n-3`․`2` _{{} _{}} ^{n} ``&````12n+3`․`2` _{{} _{}} ^{n} ``#`3n+2` ^{n} ^{{} ^{}} `&``2` ^{n+1} ^{{} ^{}}}} ```][eqn: (n = 1, ~``2, ``~3, ~``cdots )]
을 만족시킬 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{ 10} a_k]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 165]

[eqn: a _{n} A+b _{n} B= {pmatrix{2a _{n}&4a _{n}#a _{n}&0}} + {pmatrix{-3b _{n}&3b _{n}#b _{n}&2b _{n}}} = pmatrix { 6n-3cdot2^n &12n+3cdot2^n #3n+2^n &2^n+1 }]

이므로

[eqn: 2b_n = 2^n+1 ```RARROW``b_n = 2^n], [eqn: a_n + b_n = 3n + 2^n ```RARROW```a_n = 3n]이다.

[eqn: therefore sum_k=1^10 a_k = sum_k=1^10 3k = 3 cdot 10cdot11 over 2 = 165]

두 수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }`], [eqn: ` LEFT { b_{n} RIGHT }`]이 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여
[eqn: a_{1}`=`1`], [eqn: a_{2}`=`3``],  [eqn: a`_{n+1}``=`{a`_{n}``+``a`_{n+2}}over{2}``]
[eqn: sum _{ k=1} ^{n }``a_{k}`b_{k}`=`(4n^2 -1)2`^{n}`+`1``]
을 만족시킬 때, [eqn: b_{6}`]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 544]

[eqn: a_1 = 1`,```a_2 = 3]이고 [eqn: a_n+1 = {a_n +a_n+2} over2]이므로

[eqn: a_n]은 초항이 2고 공차가 [eqn: a_2 - a_1 = 2]인 등차수열이다.

[eqn: therefore a_n = 2n-1]

[eqn: S_n = sum_k=1 ^n a_k b_k]라 두면

[eqn: a_6 b_6 = S_6 - S_5 = 143 CDOT 2^6 + 1 - LEFT(99CDOT2^5 +1 RIGHT) # ````````````````=2^5 CDOT(286-99) #````````````````=2^5 CDOT 187]

[eqn: a_6 = 11]이므로 [eqn: b_6 = {32 cdot 187} over11 = 32 cdot 17 = 544]

cf)

[eqn: a_n b_n = S_n - S_n-1 #`````````````````= left{left(4n^2 - 1 right)cdot2^n + 1 right} - left{left(4(n-1)^2 -1right) cdot2^n-1 +1 right} #`````````````````=(4n^2 + 8 n - 5) 2^n-1 #``````````````````= (2n-1)(2n+5)2^n-1]

[eqn: therefore b_n = (2n+5) 2^n-1]

	표본의 크기	표준편차
A연구원	[eqn: a`]그루	[eqn: 3`rmcm]
B연구원	[eqn: b`]그루	[eqn: 4`rmcm]

어느 임업연구소의 A, B 두 연구원이 소나무 군락지의 소나무들의 생장 상태를 알아보기 위하여 [eqn: 100``]그루의 소나무들을 각각 [eqn: a`,``b``]그루로 나누어 키를 조사하였더니 오른쪽 표와 같은 결과를 얻었다. A, B 두 연구원이 각자 [eqn: 95``%``]의 신뢰도로 군락지의 소나무들의 키의 평균을 추정하였더니 신뢰구간의 길이가 같았다. 소나무들의 키의 분포는 정규분포를 따른다고 할 때, [eqn: |`a`-`b`|``]의 값을 구하시오.
(단, 표준정규분포에서 [eqn: {\P}`(0`<=`Z`<=`1.96)`=`0.475``]로 계산한다.)

[eqn: 28]

신뢰구간의 길이[eqn: = 2 cdot][eqn: k][eqn: cdot sigma over sqrtn]

여기서 [eqn: sigma]는 해당 집단의 표준편차, [eqn: n]은 표본의 크기,

[eqn: k]는 신뢰도에 해당하는 [eqn: Z]값이다.

나무가 총 100그루가 있으니 [eqn: a+b=100]이다.

신뢰구간의 길이가 서로 같으므로

[eqn: 2 CDOT 1.96 CDOT 3 OVER SQRTa = 2 cdot 1.96 cdot 4 over sqrt b]

위 식을 정리하면 [eqn: 16a=9b]라는 식을 얻을 수 있다.

[eqn: b=100-a]를 대입해서 정리하면 [eqn: a= 36``,``b=64]가 나온다.

[eqn: therefore left|a-b right| = 28]

[4점]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2`^n`≦`x`≦`2`^n+10`]에서 [eqn: LEFT|`log` _{2} x-`2n`` RIGHT |`]의 최댓값을 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum _{k = 1} ^{10 } a_k`]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 75]

부등식에 밑을 2로 하는 로그를 취해주면

[eqn: n<=log_2 x<=n+10] [eqn: RARROW] [eqn: -n<=log_2 x-2n<=10-n]

[eqn: n<5]일 때는 [eqn: 10-n]의 절댓값이 더 크므로 [eqn: a_n = 10-n]

[eqn: n=5]일 때는 [eqn: -n]과 [eqn: 10-n]의 절댓값이 같으므로 [eqn: a_n = 5]

[eqn: n>5]일 때는 [eqn: -n]의 절댓값이 더 크므로 [eqn: a_n =n]

[eqn: therefore sum_k=1 ^10 a_k = 9+8+7+6+5+6+7+8+9+10 =75]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2009년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설