◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수 학 영 역

‘가’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2009학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

등비수열 [eqn: "{" a_n"}"]에 대하여 [eqn: { a}_{ 1}+ { a}_{ 2}+ { a}_{ 3}=48, ``````` { a}_{ 4}+ { a}_{ 5}+ { a}_{ 6}= 12] 일 때, [eqn: { a}_{ 7}+ { a}_{ 8}+ { a}_{ 9}]의 값은? [2점]

③

[eqn: a_n =ar^n-1]이라 두면

[eqn: a+ar+ar^2 =48`, ``ar^3 + ar^4 + ar^5 = 12` = r^3 (a+ar+ar^2 )]

[eqn: thereforer^3 = 1over4]

[eqn: therefore a_7 +a_8 + a_9 = ar^6 + ar^7 + ar^8 = r^6 (a+ar+ar^2 )= LEFT ( 1over 4 RIGHT )^2 cdot48=3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x ``-> `INF } {} {f(x)-2x ^{3}} over {3x ^{2}} =1], [eqn: lim from { x ``->``0 } { f(x) } over {x} =` -12] 를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은? [2점]

①

[eqn: {lim_x->inf{ f(x)-2x^3 over3x^2 }}=1 ``` LRARROW```f(x)= 2x^3 +3x^2 +ax+b]

[eqn: {lim_x->0{f(x)overx}}=-12 ```RARROW```f(0)=0]  [eqn: thereforeb=0]

[eqn: THEREFORE lim _{x -> 0} {{f(x)} over {x}} = lim _{x -> 0} {{2x ^{3} +3x ^{2} +ax} over {x}} = lim _{x -> 0} {(2x ^{2} +3x+a)} =a=-12]

[eqn: thereforef(x)=2x^3 +3x^2 -12x]  [eqn: RARROW``` f(1)=2+3-12=-7]

① [eqn: - 7]	② [eqn: - 5]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

행렬 [eqn: A= pmatrix { `1&``-1`` #`3 &``-2`` }]에 대하여 집합 [eqn: X`]를 [eqn: X=LEFT{A^n` `|``n은 ~``` 자연수 right}]라 하자. 집합 [eqn: X`]의 두 원소 [eqn: P,~Q`]가 다음 두 조건을 만족시킬 때, [eqn: Q`]의 모든 성분의 합은? [3점]

④

[eqn: a+d=-1``,``ad-bc=1]이므로 케일리-해밀턴의 정리를 쓰면

[eqn: A^2 +A+E=O```RARROW ```A^3 =E ```````````CDOTS````]① 이다.

그러므로 [eqn: A^k]는 주기가 3이므로 집합 [eqn: X]의 원소는

[eqn: A`,`A^2 `,`A^3 =E]의 3종류만 있게 된다.

여기서 각각의 행렬을 구해보면

[eqn: {A= pmatrix {1 &-1 # 3& -2} }], [eqn: A^2 = -A-E=-{ pmatrix {1 &-1 # 3& -2} }-{pmatrix{1&0#0&1}}`=` pmatrix {-2 &1 #-3 &1 }]이다.

그러므로 성분의 합이 [eqn: -3]이 되는 행렬은 [eqn: A^2]행렬이고,

①식에 의해 [eqn: Q=A]이다.

[eqn: THEREFOREQ]의 성분의합[eqn: =][eqn: 1]

(가) [eqn: P`]의 모든 성분의 합은 [eqn: -3]이다.

(나) [eqn: PQ=E`] (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

세 개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 눈의 수를 각각
[eqn: a`,~b`,~c`]라 하자. 이때 세 수 [eqn: a`,~b`,~c`]의 최대공약수가 [eqn: 2`]일 확률은? [3점]

⑤

최대공약수가 2라고 하였으므로 짝수에서 그 경우를 따져주면 된다.

짝수는 2, 4, 6이 있고, 사용하는 짝수의 수에 따라 분류할 수 있다.

i) 숫자를 1개만 사용하는 경우 : 이 경우는 세 번 모두 2가 나오는 경우만 해당하므로 경우의 수는 1가지이다.

ii) 숫자를 2개 사용하는 경우 : 사용하는 숫자의 수를 나눠서 새는 방법은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

2번 사용하는 수	1번 사용하는 수
2	4
4	2
2	6
6	2
4	6
6	4

총 6가지 경우가 생기고, [eqn: a`,`b`,`c]에 배분하는 경우는 각각

[eqn: 3!over2! =3]이므로 총 18가지가 나온다.

iii) 숫자 3개를 사용하는 경우

이 경우는 2, 4, 6을 모두 사용하는 경우이므로

2, 4, 6을 [eqn: a`,`b`,`c]에 배분하는 경우의 수와 같으므로

총 6가지의 경우의 수가 있다.

[eqn: therefore]확률[eqn: = {1+18+6}over216 = 25over216]

① [eqn: { 2} over {27 }]	② [eqn: { 17} over {216 }]	③ [eqn: { 19} over { 216}]

④ [eqn: { 5} over {54 }`]	⑤ [eqn: { 25} over {216 }`]

두 수열 [eqn: left{a_n right} , ````left{b_n right}`]이 다음 조건을 모두 만족한다.

②

(나) 식에서 [eqn: cases{ a_n+1 = `1over2 a_n + 1over2 b_n#b_n+1 = a_n }] 이다.

여기서 윗식의 [eqn: n]자리에 [eqn: n+1]을 대입하면

[eqn: a_n+2 = 1over2 a_n+1 + 1over2 b_n = 1over2 a_n+1 + 1over2 a_n] [eqn: (becauseb_n+1 =a_n )]

[eqn: a_n+2 - 1over2 a_n+1 - 1over2 a_n =0]이므로 이 점화식은 계차수열이

등비수열인 점화식이다.

그러므로 일반항 [eqn: a_n = p + q cdotleft(- 1over2 right)^n-1]이라 둘 수 있다.

또한, [eqn: a_1 =10], [eqn: b_1 =1]이므로 [eqn: a_2 = 11over2]이다.

[eqn: therefore a_n = 7 + 3cdotleft(- 1over2 right)^n-1]이므로 [eqn: {lim_n->inf {a_n = 7}}]이다.

이 때, [eqn: lim_n->inf{b_n }=lim_n->inf{b_n+1 }=lim_n->inf{a_n }=7]이다.

[eqn: thereforelim_n->inf {left(a_n +b_n right)}=lim_n->inf{a_n }+lim_n->inf{b_n }=14]

(가) [eqn: a _{1} ``=``10`,`````b_1``=``1`]

(나) [eqn: pmatrix{a_n+1 # b_n+1 } = pmatrix{`1over2`&`1over2`#`1`&`0`} ``pmatrix {a_n # b_n }] ([eqn: n = 1`,~2`,~3`,``CDOTS`])

이 때, [eqn: lim _{ n`->`inf} {(` a_n`+`b_n`)}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

그림은 함수 [eqn: f(x`)``=`` a` |x-1 | +b ``]([eqn: a,~b`]는 상수)의 그래프이다. 이 때, 방정식 [eqn: f`(`x`)`+`2`=`root{2f`(`x`)`+7`}`]의 모든 실근의 곱은?

①

주어진 그림에서 [eqn: f(1)=-4`,````f(5)=0]이므로

[eqn: b=-4```,```a=1]임을 알 수 있다.

주어진 식에서 [eqn: f(x)+2= root2f(x)+7]이고,

우변이 양수이므로 좌변도 양수여야 한다.

[eqn: thereforef(x)>=-2]

[eqn: f(x)=t]라 치환하면 [eqn: t>=-2]이고 준식을 계산하면

[eqn: (t+2)^2 =2t+7], [eqn: t^2 +2t-3][eqn: =0]이므로 [eqn: t=`-3``or``1]이다.

이 때, [eqn: t>=-2]이므로 [eqn: t=1]만 근이 된다.

[eqn: therefore LEFT | x-1RIGHT |-4=+-5]이므로 [eqn: x=6```or```-4]이다.

∴두 실근의 곱[eqn: =-24]

[3점]

[eqn: y]

[eqn: 5]

[eqn: 1]

[eqn: -3]

[eqn: -4]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y=f(x)]

① [eqn: -24]	② [eqn: -18]	③ [eqn: -9]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 9]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x), ```g(x)`]가
[eqn: f`(`x)`=`cases{ ```2x+1 ```(`x` != 0`)`#``````2``````~~```(`x`=`0`)``}],  [eqn: g(`x)` = cos pi x`]
로 정의될 때, [eqn: lim from { x`` -> ``0 } (`f circg)(`x)`+` lim from { x`` ->``0 } ``(g` circf)(x)`]의 값은? [3점]

③

[eqn: f(g(x))= cases{2cospix+1```&``(x neq0) #2&``(x=0) }]

[eqn: g(f(x)) = cases{cos(2x+1)pi=-cos2pix`````````&(x neq 0)#`````````````````````````cos2pi=1&(x=0)]

[eqn: therefore {lim_x->0{(f CIRCg)(x)}}``+``{lim_x->0{(f CIRCg)(x)`}}=`` {lim_x->0{left{(f CIRCg)(x) } +(g CIRCf)(x) } right }]

[eqn: {lim_x->0{(2cospix+1-cos2pix)}=2+1-1=2]

① [eqn: -1]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

그림과 같은 직사각형 모양의 도로가 있다. [eqn: {\P}`]지점에서 출발하여 [eqn: {\Q}`]지점까지 도로를 따라 최단 거리로 갈 때, 도중에 방향을 바꾸는 횟수가 모두 [eqn: 7`]번이 되는 경로의 수는? [3점]

①

방향을 바꾼다는 것은 가로세로의 진행방향이 바뀐다는 것을 의미한다. (ex : →↑,↑→)

즉, 7번 방향을 바꾼다는 것은 가로의 진행방향과 세로의 진행방향으로 각각 4번씩 진행할 때 →↑와 같이 꺾이는 부분이 7군데 발생다는 것이다. 이 때 ↑방향이 4번, → 방향이 4번 나와야 된다.

이 때, 세로방향은 4칸, 가로방향은 5칸이므로 가로방향에서 한 번은 2칸을 연속으로 진행해야 한다.

또 가로방향과 세로방향이 서로 엇갈려서 나와야 하므로 경우의 수는 가로방향 진행으로 시작하는 경우와 세로방향의 진행으로 시작되는 경우로 나눌 수 있다.

i) 가로방향으로 진행을 시작하는 경우

→↑→↑→↑→↑으로 진행하는 경우이고, 4개의 가로방향진행 중 2칸을 움직일 순간을 구하면 되므로 총 4가지의 경우가 있다.

ii) 세로방향으로 진행을 시작하는 경우

↑→↑→↑→↑→ 으로 진행하는 경우이고, 4개의 가로방향진행 중 2칸을 움직일 순간을 구하면 되므로 총 4가지의 경우가 있다.

∴ i), ii)에서 총 경우의 수는 8가지가 있다.

cf) 선택지에 나와있는 숫자가 적으므로 직접 세어도 된다.

(→→↑→↑→↑→↑) (→↑→→↑→↑→↑) (→↑→↑→→↑→↑)

(→↑→↑→↑→→↑) (↑→→↑→↑→↑→) (↑→↑→→↑→↑→)

(↑→↑→↑→→↑→) (↑→↑→↑→↑→→)

[eqn: RMP]

[eqn: RMQ]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

함수 [eqn: {f`(x)} = lim from { n ``->` inf } {2`x`^2n+1 +x`^2 +1} over {x`^2n +1}]에 대한 설명 중 <보기> 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

⑤

[eqn: x]의 범위에 따라 [eqn: f(x)]를 나눠주면

[eqn: f(x)={cases{```````2x&````````````````````|x|>1#x^2 +1&````````````````````|x|<1 #``````````2&``````````````````````` x=`1#``````````0&```````````````````````x=`-1] 와 같이 정의된다.

ㄱ. [eqn: lim_x->-1+0{f(x)}=2``,``lim_x->-1-0 {f(x)}=-2``]이므로 [eqn: lim_x->-1{f(x)]가 존재하지 않는다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: |x|<1]인 구간에서 연속이며, [eqn: x=0]에서 감소→증가 로 바뀐다.

ㄷ. [eqn: lim_x->1+0{ f(x)-f(1)overx-1 =lim_x->1+0{ {x^2 + 1-2}overx-1 =lim_x->1+0{ {x^2 -1}overx-1]

[eqn: =lim_x->1+0{(x+1)}=2]

[eqn: lim_x->1-0{ f(x)-f(1)overx-1 =lim_x->1-0{ {2x-2}overx-1 =lim_x->1-0{ {2(x-1)}overx-1]

[eqn: =lim_x->1-0{2}=2]

[eqn: x=1]에서 좌미분계수와 우미분계수가 같으므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하다.

ㄱ. [eqn: x =` -1]에서 연속이다.

ㄴ. [eqn: x = 0]에서 극솟값 [eqn: 1]을 갖는다.

ㄷ. [eqn: x = 1]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

어느 전자 회사에서는 신제품을 홍보하기 위해 7월 1일에 인터넷 사이트를 개설하여 한 달간 운영하였다. 이 사이트의 7월 1일의 회원 수가 [eqn: 2]만 명이었고, 전날에 비해 매일 일정한 비율로 회원 수가 증가하여 7월 7일의 회원 수는 7월 1일의 회원 수보다 [eqn: 21%`] 증가하였다. 7월 4일의 회원 수가 7월 1일의 회원 수보다 [eqn: A`%] 증가하였다고 할 때, [eqn: A]의 값은? [3점]

③

매일 [eqn: r]%씩 증가한다 하고 7월 1일 이후로 [eqn: n]일 후의 회원수를 [eqn: f(n)]이라 하면

[eqn: f(n)= A left(1+ r over100 right)^n] (단, [eqn: A=20000])

7월 7일의 회원수는 [eqn: 1.21A=A left(1 + r over100 right)^6]

⇒ [eqn: left( 1 + r over 100 right)^6 = 1.21 = (1.1)^2]

구하라는 값은 3일후 까지의 회원수의 증가율이다.

[eqn: thereforeA left(1+ r over100 right)^3 = 1.1A=LEFT(1+ 1OVER10 RIGHT)] ⇒ 3일간 10% 증가했음을

알 수 있다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 9.5]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 10.5]	⑤ [eqn: 11]

[eqn: z`]	[eqn: {rmP}(0<=Z<=z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

서류전형 후 필기시험을 실시하는 어느 시험에서 [eqn: 720`]명이 서류전형에 합격하였다. 서류전형 합격자는 필기시험에서 A, B, C, D [eqn: 4`]과목 중 [eqn: 2``]과목을 반드시 선택해야 하고, 각 과목을 선택할 확률은 모두 같다고 한다. [eqn: 4` `]과목 중 A, B를 선택한 서류전형의 합격자의 수가 [eqn: 110`]명 이상 [eqn: 145`]명 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

④

4과목중 2과목을 선택하는 경우의 수는 [eqn: ` _{4} rm C it rm _{2} =``6]이므로

[eqn: A`,`B``]를 선택할 확률은 [eqn: 1OVER6]이 된다.

[eqn: A`,`B``]를 선택한 서류전형자의 수를 확률변수 [eqn: X```]라 두면

[eqn: X]는 이항분포 [eqn: B ``LEFT(720`,`1OVER6 RIGHT)]를 따른다.

이 때, 720은 충분히 큰 수이므로 [eqn: X]는

정규분포 [eqn: N`LEFT(120`,`10^2 RIGHT)]에 근사한다.

[eqn: THEREFORE P`(`110`<= X``<=145)=P`(-1<=Z<=2.5)]

[eqn: =P`(0<=Z<=1)+P`(0<=Z<=2.5)]

[eqn: =0.3413+0.4938=0.8351]

① [eqn: 0.0166]	② [eqn: 0.1359]	③ [eqn: 0.1525]

④ [eqn: 0.8351]	⑤ [eqn: 0.9104]

두 함수 [eqn: f`(x)=2x^3 -3x^2], [eqn: g(x)=x^2 -1`]에 대하여 방정식 [eqn: (g circ f)(x)=0``]의 서로 다른 실근의 개수는? [3점]

③

[eqn: f(x)=t]라 두자.

[eqn: (g circf)(x)=0]의 근을 구한다는 것은 [eqn: g(t)=0]을 만족시키는

[eqn: t]값을 우선 구해야 한다.

[eqn: t^2 -1=0 ```RARROW```t=+-1]

즉, [eqn: f(x)=1```or```-1]이 되게하는 [eqn: x]값의 개수를 구하면 된다.

[eqn: f(x)=2x^3 -3x^2]에서 [eqn: f'(x)=6x^2 -6x=6x(x-1)]

증감표를 그려보면 다음과 같다.

[eqn: x]	…	[eqn: 0]	…	[eqn: 1]	…
[eqn: f'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	…	[eqn: 0]	…	[eqn: -1]	…

[eqn: therefore] [eqn: f(x)=1]은 1개의 실근을 가지며, [eqn: f(x)=-1]은 2개의 실근을 가지게 된다.

[eqn: therefore] 총 3개의 실근을 갖는다.

cf) [eqn: f(x)]의 그래프와 실근의 위치를 표현하면 다음과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

양의 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: int _{n~} ^{n+1} {} f(x)dx= {1} over {n ^{2} +2n}]를 만족시킬 때,
[eqn: lim _{n` `-> ` INF } {} `n` left(int _{1} ^{n} f(x)dx`- { 3} over {4 } right)`] 의 값은? [4점]

①

[eqn: int_n^n+1 {f(x)dx}``= 1over2 left( 1overn - 1over n+2 right)]

[eqn: sum _{k=1} ^{n-1} int _{k} ^{k+1} {f(x)} dx= int _{1} ^{2} {f(x)dx} `+ int _{2} ^{3} {f(x)dx} ``+`` CDOTS `+ int _{n-1} ^{n} {f(x)dx} `]

[eqn: =`` int _{1} ^{n} {f(x)dx} ``= sum _{k=1} ^{n-1} {1} over {2} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT )][eqn: `= {1} over {2} LEFT ( 1+ {1} over {2} - {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT ) `=`` {3} over {4} - {1} over {2} LEFT ( {1} over {n} + {1} over {n+1} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE int_1^n{f(x)dx}``-``3over4 = - 1over2 left(1overn + 1 over n+1 right) = - 2n+1over2n(n+1)]

[eqn: therefore lim_n->inf {n left(int_1^n{f(x)dx}``-``3over4 right) ```= ```lim_n->inf{n cdot- 2n+1over2n(n+1) = -1]

① [eqn: -1]	② [eqn: -{1} over {2}]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: { 1} over {2 }]	⑤ [eqn: 1]

그림과 같이 포물선 [eqn: y^2 =4x]의 초점 [eqn: rmF`]를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP,~Q`]라 하고, 두 점 [eqn: rmP,~Q`]에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: RMA,~B`]라 하자. [eqn: RMBAR PF =5]일 때, 사각형 [eqn: RMABQP]의 넓이는? [3점]

④

[eqn: RMBARAP``]와 [eqn: y]축과의 교점을 [eqn: RMC``], [eqn: RMBARBQ``]와 [eqn: y`]축과의 교점을 [eqn: RMD``], [eqn: RMP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: RMH], [eqn: rmbarAB]와 [eqn: x]축과의 교점을 [eqn: RME]라 두자.

이 때, [eqn: RMBARAC ``= 1``,`BARCP`` =4 ``,`BARFH ``= 3]이고, [eqn: RMTRIANGLE PFH]에서 [eqn: RMBARPH = 4]이다.

[eqn: THEREFORE`RM BARPQ]의 직선의 방정식[eqn: RARROW``y= 4over3 left(x-1right)]이므로 [eqn: 4x=3y+4]이다.

이 식을 [eqn: y^2 = 4x]에 대입하면 [eqn: y^2 = 3y+4`,`y^2 - 3y - 4 = 0]이므로

[eqn: y=4 ```or```-1]이다.

[eqn: y=-1]을 직선의 방정식에 대입해 [eqn: RMQ]의 [eqn: x`]좌표를 구해보면

[eqn: x= 3over4]이므로 [eqn: RMBARBQ ``= ``5OVER4]

[eqn: THEREFORE]사각형[eqn: RM ABQP]의 넓이

[eqn: RM= 1OVER2 LEFT(BARAP `+`BARBQ RIGHT)CDOTBARAB ``=``][eqn: RM1OVER2 LEFT(BARAP `+ BAR BQ RIGHT) CDOTLEFT(BARAE` + BARBE RIGHT)]

[eqn: = 1OVER2 LEFT(5 + 5OVER4 RIGHT) LEFT(4 + 1RIGHT) = 125 OVER 8]

[eqn: y]

[eqn: rmP]

[eqn: y^2 =4x]

[eqn: RMF]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

① [eqn: { 57} over { 4}]	② [eqn: { 115} over { 8}]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: { 125} over { 8}]	⑤ [eqn: { 135} over { 8}]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식
[eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{2} ` LEFT { {1} over {k(2k+1)} `+ {1} over {(k+1)(2k+3)} `+ {1} over {(k+2)(2k+5)} `+` CDOTS]
[eqn: +`` {1} over {n(2n+1)} ` right } `= {n(n+3)} over {12}]
이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

⑤

(가) 주어진 식에 [eqn: m+1]을 대입한 것이므로

[eqn: left(m+1right)^2 cdot`1over{(m+1)(2m+3)}`` =``m+1over2m+3]

(나) [eqn: 1over{(m+1)(2m+3)} sum_k=1 ^m k^2]항이 나왔으므로

주어진 식의 마지막 항은 [eqn: 1over{m(2m+1)}]이다.

(다) 준식

[eqn: = {m(m+3)} over {12} + {1} over {(m+1)(2m+3)} sum _{k=1} ^{m} k ^{2} + {m+1} over {2m+3}]

[eqn: = {m(m+3)} over {12} + {1} over {(m+1)(2m+3)} sum _{k=1} ^{m} k ^{2} +(m+1) ^{2} CDOT {1} over {(m+1)2m+3}]

[eqn: = {m(m+3)} over {12} + {1} over {(m+1)(2m+3)} sum _{k=1} ^{m+1} k ^{2}]

[eqn: therefore] (가) : [eqn: m+1], (나) : [eqn: m(2m+1)], (다) : [eqn: k^2]

(1) [eqn: n=1`]일 때 (좌변)[eqn: ={ 1} over { 3}], (우변)[eqn: ={ 1} over {3 }]이므로

주어진 등식은 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1} ^{m} k ^{2} ` LEFT { {1} over {k(2k+1)} `+` {1} over {(k+1)(2k+3)} `+` {1} over {(k+2)(2k+5)} `+` CDOTS]

[eqn: +` {1} over {m(2m+1)} RIGHT } `= {m(m+3)} over {12}]

이제, [eqn: n=m+1]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} k ^{2} ` LEFT { {1} over {k(2k+1)} `+` {1} over {(k+1)(2k+3)`} `+` {1} over {(k+2)(2k+5)} `+` CDOTS]

[eqn: +` {1} over {(m+1)(2m+3)} right}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} k ^{2} ` LEFT { {1} over {k(2k+1)} `+` {1} over {(k+1)(2k+3)} `+` {1} over {(k+2)(2k+5)} `+` CDOTS]

[eqn: +` {1} over {(m+1)(2m+3)} ` right} + {(가)} over {```2m+3``` }]

[eqn: = sum _{k=1} ^{m} k ^{2} ` LEFT { {1} over {k(2k+1)} `+` {1} over {(k+1)(2k+3)} `+` {1} over {(k+2)(2k+5)} `+` cdots]

[eqn: +` LEFT. 1 over {~~(나)~~} `right} + { 1} over {(m+1)(2m+3) } sum _{k=1 } ^{ m}k^2 + {(가)} over {``2m+3`` }]

[eqn: ={ m(m+3)} over {12 }+][eqn: { 1} over {(m+1)(2m+3) } sum _{k=1 } ^{ m+1}~ (다)]

[eqn: ={ (m+1)(m+4)} over {12 }]

그러므로 [eqn: n=m+1`]일 때도 성립한다.

따라서 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

주어진 등식은 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례대로 나열한 것은? [4점]

(가)	(나)	(다)

① [eqn: m]	[eqn: (m+1)(2m+3)]	[eqn: (k-1)^2]

② [eqn: m]	[eqn: m(2m+1)]	[eqn: (k-1)^2]

③ [eqn: m+1]	[eqn: m(2m+1)]	[eqn: (k-1)^2]

④ [eqn: m+1]	[eqn: (m+1)(2m+3)]	[eqn: k^2]

⑤ [eqn: m+1]	[eqn: m(2m+1)]	[eqn: k^2]

이차정사각행렬 [eqn: A= pmatrix { ``a``&``b`` #``c`` &``d`` }]에 대하여 [eqn: f(`A`)``=``a`+`d`]라 하자. 세 이차정사각행렬 [eqn: A,~B,~C``]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

⑤

[eqn: A=pmatrix {a &b #c &d }``,``B= PMATRIX{p&q#r&s]라 두고,

1행 1열의 성분과 2행 2열의 성분만 관찰하면

ㄱ. [eqn: A-B= PMATRIX{a-p &#&d-s]

[eqn: THEREFOREf LEFT(A-B RIGHT)=(a-p)+(d-s)=(a+d)-(p+s)][eqn: `=f(A)-f(B)]

ㄴ. [eqn: AB= PMATRIX{ap+br&#&cq+ds}`,``BA= PMATRIX{ap+cq&#&br+ds}]

[eqn: therefore f(AB)=(ap+br)+(cq+ds)=(ap+cq)+(br+ds)][eqn: =f(BA)]

ㄷ. [eqn: f(M)=f LEFT( ACA^-1` -`BCB^-1 RIGHT) #````````````````````=f LEFT(ACA^-1 RIGHT) `- `f LEFT(BCB^-1 RIGHT)```````````````````````````````````LEFT(BECAUSE ㄱ RIGHT) #````````````````````=f left(CA^-1 A RIGHT) `-` f(CB^-1 B RIGHT)```````````````````````````````````LEFT(BECAUSE ㄴ RIGHT) #````````````````````=f left(C `RIGHT) `-`f(C`)=0]

그러므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

ㄱ. [eqn: f`(`A`-`B`)``=``f`(`A`)`-`f`(`B`)`]

ㄴ. [eqn: f`(`A`B`)``=``f`(`B`A`)``]

ㄷ. 영행렬이 아닌 행렬 [eqn: C`]와 역행렬을 갖는 두 행렬 [eqn: A`,``B`]에
대하여 [eqn: M=A`C`A^-1`-`B`C`B^-1`]라 하면 [eqn: f(`M``)=0`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 장축의 길이가 [eqn: 4], 단축의 길이가 [eqn: 2]인 타원이 있다. 이 타원의 두 초점 [eqn: RMF,~ F``′]에 대하여 삼각형 [eqn: RMAF`′F]의 넓이가 [eqn: root2`]가 되도록 타원 위의 점 [eqn: rmA`]를 정할 때, [eqn: RMANGLEF′AF= theta`]라 하면 [eqn: cos`theta]의 값은? [4점]

②

[eqn: rmbarF'F]를 [eqn: x]축이라 하자.

그럼 문제에서 주어진 타원의 방정식은 [eqn: x^2 over4 + y^2 =1]이 된다.

(편의상 [eqn: RMF]의 [eqn: x]좌표를 양수라 한다.)

[eqn: RMTRIANGLE AF'F]의 넓이를 [eqn: S``], 점 [eqn: RMA]에서 [eqn: RMBARF'F]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMH]라 두자.

[eqn: S= 1OVER2 CDOT 2SQRT3 CDOT RMBARAH = SQRT2]이므로 [eqn: RMBARAH = SQRT2 OVER SQRT3]이므로

점 [eqn: RMH]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: sqrt2 over sqrt3]이 된다.

주어진 방정식에 넣어 [eqn: x]좌표를 구해보면 [eqn: x= - 2over sqrt3 ``(becausex<0)]

[eqn: RMF(SQRT3`,`0)`,`F'(-SQRT3 `,`0)]이므로 두 점 사이의 거리공식을 이용해 길이를 구하면 [eqn: RMBARAF' = 1`,`BARAF = 3]이다.

[eqn: RMTHEREFORE TRIANGLEAF'F]에서 [eqn: rmcostheta= {1^2 + 3^2 - left(2sqrt3 right)^2 }over2cdot1cdot3 `=` - 1over3]

[다른 풀이]

[eqn: {RMBARAF}` =a``,`{RMBARAF' }`=b``]라 두면 [eqn: a+b=4``,`1over2 ab sintheta = sqrt2]이다.

또, [eqn: RMtriangleAF'F]에서 제 2[eqn: cos]법칙을 적용하면

[eqn: 12=a^2 + b^2 - 2ab costheta]이다.

[eqn: a^2 + b^2 + 2ab = 16``RARROW``a^2 + b^2 = 16-2ab]이므로 위 식에 대입하면

[eqn: 2ab(1+costheta)=4``RARROW``ab= 2over {1+costheta}]

이 식을 위의 넓이 식에 대입하면 [eqn: sintheta = sqrt2{(1+costheta)}]

양변을 제곱하여 [eqn: costheta]에 대한 식으로 정리하면

[eqn: 3cos^2 theta + 4costheta + 1 = 0] [eqn: RARROW`` costheta=-1``or``- 1over3]

[eqn: 0<theta<pi]이므로 [eqn: costheta= - 1over3]

[eqn: theta]

[eqn: rmA]

[eqn: RMF]

[eqn: RMF`′]

① [eqn: -{ 1} over {2 }]	② [eqn: -{ 1} over {3 }]	③ [eqn: -{ 1} over {4 }]	④ [eqn: -{ 1} over { 5}]	⑤ [eqn: -{1} over { 6}]

함수 [eqn: f(x)= |`2`^x -2 `|]의 그래프 위의 세 점 [eqn: (a,~f(a))],
[eqn: (b, ``~f(b))], [eqn: (c,~ f(c))`]가 [eqn: 0＜a＜b＜c`]와 [eqn: f(a) ＞f(b) ＞f(c)]를 만족할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

⑤

[eqn: f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: y]	[eqn: y=x]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: a]

[eqn: a] [eqn: b] [eqn: c] [eqn: 1] [eqn: c]                    [eqn: x]

ㄱ. 그림에서, [eqn: c]는 1보다 클 수 있다.
(단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 1보다 작아야 한다.)

ㄴ. [eqn: 0<f(a)<1]이므로 [eqn: 0<f(c)<f(b)<f(a)<1]이다.

[eqn: therefore 0<f(a)+f(b)+f(c)<3]

ㄷ. [eqn: y=x] 그래프를 이용하면 [eqn: y=a]의 그래프를 그릴 수 있다.  [eqn: 0<a<1]이므로 [eqn: f(x)=a]는 2개의 실근을 갖는다.

그러므로 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

ㄱ. [eqn: 0＜`c`＜1]

ㄴ. [eqn: 0＜f(a)+f(b)+f(c)＜3]

ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)-a =`0`]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

사관학교 생도의 [eqn: 60`%`]는 입교 전에 확률과 통계 과목을 배웠고, [eqn: 40`%`]는 배우지 않았다고 한다. 확률과 통계 과목을 배운 생도들의 [eqn: 20`%], 배우지 않은 생도들의 [eqn: 10`%]는 통계학 성적이 A학점이었다. 임의로 한 명의 생도를 뽑았더니 그 생도의 통계학 성적이 A학점이었을 때, 그 생도가 입교 전에 확률과 통계 과목을 배웠을 확률은? [3점]

③

	확률과 통계 배움	확률과 통계 배우지않음	계
통계학성적이 [eqn: RMA]학점	6[eqn: a]	2[eqn: a]	8[eqn: a]
통계학성적이 [eqn: RMA]학점이아님	24[eqn: a]	18[eqn: a]	42[eqn: a]
계	30[eqn: a]	20[eqn: a]	50[eqn: a]

[eqn: THEREFORE 6a over 8a = 3 over 4]

[다른 풀이]

입교전 확률과 통계를 배우는 사건을 [eqn: RMA], 확률과통계 과목에서 [eqn: RMA]학점을 받을 사건을 [eqn: RMB], 사관학교 생도생 수를 [eqn: a]라 두면

[eqn: rm P(B|A)= {P(A SMALLINTER B)} over {P(A)} = {P(A SMALLINTER B)} over {P(A SMALLINTER B)+P LEFT ( A SMALLINTER B ^{c} RIGHT )}][eqn: =` {{3} over {5} a CDOT {2} over {10} a} over {{3} over {5} a CDOT {2} over {10} a+ {2} over {5} a CDOT {1} over {10} a} = {3} over {4}]

① [eqn: 5OVER 8]	② [eqn: 11OVER16]	③ [eqn: 3 over 4]

④ [eqn: 13 OVER 16]	⑤ [eqn: 7OVER 8]

[eqn: f`(x`)= log` _{ 2} `x``]라 할 때, [eqn: 0＜x`＜1`]에서 방정식
[eqn: log``_2 `left[`{f(x) }over { left[f(x) right]} right] ``=0``]을 만족시키는 모든 [eqn: x`]의 값을 가장 큰 수부터 차례대로 나열한 것을 [eqn: a_1 ,~a_2 ,~a_3 ,`` ~CDOTS `]이라 하자.
이 때, [eqn: sum_n=1^inf a_n]의 값은? (단, [eqn: [`x`]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

④

[eqn: log_2 left[{f(x)} over {left[f(x) right]} right] = 0]이므로 [eqn: left[{f(x)} over {left[f(x) right]} right]=1]이어야 한다.

[eqn: therefore 1<= {f(x)} over {left[f(x) right]}<2]

여기서, [eqn: log_2 x=k+alpha]

(단, [eqn: k]는 정수, [eqn: 0<=alpha<1])라 두면 [eqn: left[f(x)right]=k]

[eqn: THEREFORE 1 <= {k+ alpha } over {k} =1+ {alpha } over {k} <2`````` RARROW ````0 <= ` {alpha } over {k} <1]

그런데, [eqn: 0<x<1]이므로 [eqn: log _{2} x=k+ alpha <0]이다.

[eqn: THEREFORE k<0```````( BECAUSE alpha >= 0)]이므로 [eqn: k< alpha <= 0]

[eqn: therefore alpha=0][eqn: (because0<= alpha<1)]

[eqn: alpha]가 0이므로 [eqn: f(x)=log_2 x=k]이므로 [eqn: x=2^k]이다.

(단, [eqn: n]은 음의정수)

이 때, [eqn: n=-k]라 치환하면 [eqn: n]은 자연수가 되며,

[eqn: x]값은 [eqn: n]이 증가함에 따라 점점 감소한다.

[eqn: thereforea_n = left(1over2 right)^n]

[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = {{1} over {2}} over {1- {1} over {2}} = 1]

① [eqn: {`1``} over {`2``}]	② [eqn: {`2``} over {`3``}]	③ [eqn: {`3``} over {`4``}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 두 개의 정사면체 [eqn: rm OABC`]와 [eqn: rm OABC` prime `]가
면 [eqn: rm OAB`]를 공유하고 있다. 벡터 [eqn: vec{{\OC`'}`}```` = p``vec{{\OA}} `+`q``vec{{\OB}} `+ `r``vec{\OC} `}`]를 만족시키는 상수 [eqn: p`,~q`,~r``]에 대하여 [eqn: p+q+r `]의 값은? [3점]

②

[eqn: rm O`,`C`,`C prime]를 지나는 평면으로 자른 단면도는 다음과 같다.

[eqn: rm O]

[eqn: rm C]

[eqn: rm G]

[eqn: rm A=B]

[eqn: rm C prime]

[eqn: RMC]([eqn: rm C prime])에서 [eqn: TRIANGLE rm OAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm G]라 하면

[eqn: rm G]는 [eqn: TRIANGLE rm OAB]의 무게중심과 일치한다.

[eqn: rm THEREFORE vec{OG} ``=`` {vec{OC prime } ``+`` vec{OC}} over {2}]이므로 [eqn: rm vec{OC prime } `=`2 vec{OG} ``- vec{OC}]

이 때, [eqn: rmVECOG ``=``{VECOA ``+`` VECOB } OVER 2 CDOT 2 OVER 3 ``=`{VECOA ``+``VECOB }OVER3]([eqn: BECAUSE RMG]가 무게중심)

[eqn: THEREFORE {RMVECOC' `=``2OVER3 VECOA ``+`2OVER3 VECOB ``-VECOC ``=}p{rmVECOA }``+`q{rmvecOB}``+`r{RMVECOC}]

[eqn: THEREFORE p= 2over3``,``q= 2over3 ``,``r=-1]이므로 [eqn: p+q+r= 1over3]

[다른 풀이]

좌표로 해결하는 방법

[eqn: rm O(0`,`0`,`0)````A(0`,`1`,`1)````B(1`,`1`,`0)````C(`1`,`0`,`1)````C prime it (a`,`b`,`c)]라 두면

[eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =2``,`````a ^{2} +(b-1) ^{2} +(c-1) ^{2} =2``,]

[eqn: (a-1) ^{2} +(b-1) ^{2} +c ^{2} =2]

이 식을 연립해서 풀면 [eqn: RM C'LEFT( `- 1OVER3 `,`4OVER3`,`- 1OVER3 RIGHT)]

[eqn: THEREFORE cases{p+q= {4} over {3}#q+r=- {1} over {3}#r+p=- {1} over {3}}] [eqn: RARROW] [eqn: 2(p+q+r)= 2over3]

[eqn: therefore p+q+r= 1over3]

[eqn: RMO`]

[eqn: RMA`]

[eqn: RMB`]

[eqn: RM C`]

[eqn: RMC``' `]

① [eqn: 1 over4 `]	② [eqn: 1 over3 `]	③ [eqn: 1 over2 `]	④ [eqn: 2 over 3 `]	⑤ [eqn: 3 over 4 `]

그림과 같은 [eqn: RM bar AD `= 1`], [eqn: RM bar AB `= ROOT6`], [eqn: RM ANGLE ADB = 90 DEG `]인 평행사변형 [eqn: RM ABCD `]에서 [eqn: RM VEC AD `= VEC {ita}`], [eqn: RM VEC AB `= VEC {it b}`]라 놓는다. 꼭짓점 [eqn: RMD`]에서 선분 [eqn: RMAC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: RME `]라 할 때, 벡터
[eqn: RM VEC AE `= ITk`` (``VEC a `+`VEC b` `)`]를 만족시키는 실수 [eqn: k`]의 값은? [4점]

②

[eqn: RMBARAC]의 중점을 [eqn: RMM]이라 두면

[eqn: bar{AM} `= sqrt {bar{AD} ` ^{2} + bar{DM} ` ^{2}} `= {3} over {2}]

[eqn: THEREFORE ` rm bar{AC} =2` bar{AM} `=3]

[eqn: TRIANGLE RMAMD]에서 [eqn: RMBARAM CDOTBARDE `=`BARAD CDOT BARDM]

[eqn: RMBARAM = 3OVER2 `,`BARAD `=`1`,BARDM = SQRT5 OVER2]이므로 [eqn: RMBARDE `=`SQRT5 OVER3]

여기서 [eqn: TRIANGLE RMADE]는 직각삼각형이므로  [eqn: RMBARAE = 2OVER3]

[eqn: {THEREFORE {left|RMVECAE right| ``}=`k cdotleft|veca ``+`vecb` right| =k cdot left|{RMVECAC RIGHT | }= 3k= 2over3]

[eqn: therefore k= 2over9]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: RMD]

[eqn: vecb]

[eqn: veca]

① [eqn: 1 over 6`]	② [eqn: 2over9 `]	③ [eqn: 5over18`]	④ [eqn: 1 over 3`]	⑤ [eqn: { root6} over {6 }]

좌표공간에서 평면 [eqn: y= ( tan 75 DEG )`x`] 위의 도형 [eqn: S`]를 벡터
[eqn: VECv` =(1`,~-1`,~0)`]에 평행한 광선으로 비추었더니, [eqn: zx`]평면에 나타난 도형 [eqn: S]의 그림자는 중심이 [eqn: (4,~0,~0)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 원이 되었다. 이 때, 도형 [eqn: S`]의 넓이는? [4점]

④

[eqn: y= LEFT(tan75 DEG RIGHT) x]를 [eqn: alpha], [eqn: vecv]에 수직인 평면은 [eqn: beta:``x-y+d=0]라 두고. [eqn: z=0]이라는 평면으로 잘랐을 때의 단면은 다음과 같다.

[eqn: y= LEFT ( tan75 DEG RIGHT ) x]

[eqn: y=x+k]

[eqn: RARROW]

[eqn: y=x]

[eqn: y= LEFT ( tan75 DEG RIGHT ) x]

그림에서 보면 알 수 있듯이 [eqn: beta]평면의 위치에 관계없이

[eqn: RMS`]와 [eqn: zx]평면 위의 그림자의 [eqn: beta]평면 위로의 정사영의 크기가

일정하므로 [eqn: beta``:`y=x]라 둬도 무방하다.

여기서, [eqn: zx]평면위의 그림자의 넓이를 [eqn: RMA], [eqn: beta`]평면 위의 정사영의 넓이를 [eqn: rmS']이라 두면

[eqn: RMS'=Scos{theta}=Acos{theta'}]

[eqn: RMA=9pi``,``theta=30 DEG,`theta' = 45 DEG]이므로 [eqn: RM S cdot sqrt3 over2 = 9pi cdot sqrt 2 over 2]이다

[eqn: therefore RMS=3SQRT6 pi]

① [eqn: 3root3 ` pi `]	② [eqn: 4root3 ` pi `]	③ [eqn: { 9root6} over {4 } pi]

④ [eqn: 3 root6`pi `]	⑤ [eqn: { 9root6} over {2 } pi]

다음은 좌표공간에 있는 세 점 [eqn: RM A(3`,~0`,~2)`], [eqn: RM B(0`,~2`,~1)`],
[eqn: RM C(1`,~1`,~1)`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: RM ABC`]의 외접원의 중심 [eqn: rm`P`]의 좌표를 벡터를 이용하여 구하는 과정이다.

②

(가) : [eqn: LEFT | rm vec{CP} it RIGHT | ^{2} = LEFT | rm vec{CP} it - vec{a} RIGHT | ^{2} = LEFT | rm vec{CP} it RIGHT | ^{2} -2` vec{a} CDOT rm vec{CP} it ``+`` LEFT | vec{a} RIGHT | ^{2}]

[eqn: therefore left| veca right|^2 = 2 times left(p `left|veca right|^2 + q `veca cdot vecb` right )]

(나) : [eqn: LEFT | rm vec{CP} it RIGHT | ^{2} = LEFT | rm vec{CP} it - vec{b} RIGHT | ^{2} = LEFT | rm vec{CP} it RIGHT | ^{2} -2` vec{b} CDOT rm vec{CP} it ``+`` LEFT | vec{b} RIGHT | ^{2}]

[eqn: THEREFORE LEFT | vec{b} RIGHT | ^{2} =2 TIMES LEFT ( q` LEFT | vec{b} RIGHT | ^{2} +p` vec{a} CDOT vec{b} ` RIGHT )]

(다), (라) : [eqn: LEFT | vec{a} RIGHT | ^{2} =`6``,````LEFT | vec{b} RIGHT | ^{2}``=`2]이므로 위의 식에 대입하면

[eqn: 6=2(6p-3q)``,``2=2(2q-3p)]이므로 연립해서 해결하면

[eqn: p=3``,``q=5]이다.

[eqn: therefore](가)[eqn: +](나)[eqn: +](다)[eqn: +](라)[eqn: =][eqn: 2+2+3+5=12]

[eqn: RM VEC CA `= VEC {ita}`], [eqn: RM VEC CB `= VEC {it b}`]라 하면

적당한 실수 [eqn: p`,~q`]에 대하여

[eqn: RM VEC CP `= {ITp`` VEC a `+`q`VEC b }`]

로 나타낼 수 있다.

[eqn: vert RM VEC CP vert `=` vert RM VEC AP vert]에서

[eqn: vert RM VEC CP vert ^2 `=` vert RM VEC CP - VEC{ITa} vert ^2 `]

[eqn: THEREFORE ``` vert vec{a} vert ^{2}] [eqn: =][eqn: times `LEFT (` p`vert ``veca vert^2 +`q` `veca cdot vecb`` RIGHT )`]…… ㉠

(가)

마찬가지로

[eqn: vert RM VEC CP vert `=` vert RM VEC BP vert `]에서

[eqn: ~``vert vecb vert^2 =]  [eqn: TIMES ` LEFT ( ``q` vert vec{b} vert ^{2} +``p`` vec{a} CDOT vec{b} `` RIGHT ) `]…… ㉡

(나)

[eqn: veca `=(2`,~-1`,~1)`], [eqn: vecb`=(-1`,~1`,~0)`], [eqn: `veca cdot vecb`= `-3`]이므로

㉠, ㉡으로부터

[eqn: therefore```] [eqn: p`=``], [eqn: q`=`]

(다)

(라)

따라서 [eqn: RM VEC CP `= (1`,~2`,~3)`]이므로 삼각형 [eqn: RM ABC`]의 외접원의 중심은 [eqn: rm P(2`,~3`,~4)`]이다.

[eqn: vec{a}]

[eqn: vec{b}]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: RmP]

위 과정에서 (가), (나), (다), (라)에 해당하는 수를 모두 더하면? [4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

주관식 문항 (25~30)

세 실수 [eqn: a,~b,~c`]가 [eqn: ab=12, ~``bc=8,```~2^a =27]을 만족시킬 때, [eqn: 4^c`]의 값을 구하시오. [2점]

[eqn: 81]

[eqn: ab=12``,``bc=8]이므로 [eqn: a over c = 3 over 2]이므로 [eqn: a= 3over2 c]다.

[eqn: therefore][eqn: 2^a = 2^ {3 over 2 c} = 27=3^3] [eqn: RARROW][eqn: 2^c = 9]

[eqn: therefore left( 2^c right)^2 = 4^c = 9^2 = 81]

정적분 [eqn: int_2 ^6 `{x^2 `(x^2 +2x + 4)} over {x +2} `d`x + int_6 ^2 `{4 `(y^2 +2y + 4)} over {y +2} `d`y]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 288]

[eqn: int _{2} ^{6} {` {x ^{2} `(x ^{2} +2x+4)} over {x+2}} `d`x+ int _{6} ^{2} {` {4`(y ^{2} +2y+4)} over {y+2}} `d`y]

[eqn: = int _{2} ^{6} {` {x ^{2} `(x ^{2} +2x+4)} over {x+2}} `d`x- int _{2} ^{6} {` {4`(x ^{2} +2x+4)} over {x+2}} `d`x]

[eqn: = int _{2} ^{6} {` LEFT { {x ^{2} `(x ^{2} +2x+4)} over {x+2} `-` {4`(x ^{2} +2x+4)} over {x+2} RIGHT }} `d`x]

[eqn: = int _{2} ^{6} {` {LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) `(x ^{2} +2x+4)} over {x+2}} `d`x]

[eqn: = int _{2} ^{6} {` LEFT ( x-2 RIGHT ) `(x ^{2} +2x+4)} `d`x#]

[eqn: = int _{2} ^{6} {` LEFT ( x ^{3} -8 RIGHT )} `d`x]

[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} -8x RIGHT ] _{2} ^{6} =288]

그림과 같이 [eqn: rmA`]지점에서 직선 [eqn: l`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmA prime], [eqn: rmB] 지점에서 내린 수선의 발을 [eqn: RMB prime]라 하자. [eqn: rmbarAA′ =15rmkm],
[eqn: rmbarBB prime =75rmkm], [eqn: rmbarA′B′ =90root3 km]이고 직선 [eqn: l] 위에 있는 [eqn: rm P]는
[eqn: bar {rm AP`}+ bar { rm PB }]의 값이 최소가 되는 점이다.  갑과 을은 동시에 출발하여 갑은 [eqn: rm A]에서 [eqn: RM P]를 거쳐 [eqn: RM B]에, 을은 [eqn: RM B]에서 [eqn: RM P]를 거쳐 [eqn: rm A]에 도착하였다. 두 사람이 만난 순간부터 각각 갑은 [eqn: 1]시간 후에 [eqn: RM B]에 도착하였고, 을은 [eqn: 9]시간 후에 [eqn: rm A]에 도착하였다. 을이 [eqn: RM B]에서 출발하여 갑과 만났을 때까지 이동한 거리를 [eqn: x rm` km]라 할 때, [eqn: x`]의 값을 구하시오. (단, 갑과 을은 각각 일정한 속력으로 직선 방향으로 이동한다.) [3점]

[eqn: 45]

[eqn: RMB]

[eqn: RMA]

[eqn: RMA'']

[eqn: RMC]

[eqn: RMA]점에 대한 직선 [eqn: l]의 대칭점을 [eqn: RMA'']라 두면 [eqn: RM BARAP + BARBP >=BARA''B]가 된다.

그림에서 [eqn: TRIANGLE RMA''BC]는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 활용하면 [eqn: RMBARA''B = 180]이다.

이 때, 움직이는 양상은 직선상에서의 움직임과 동일하므로 직선상의 움직임으로 봐도 무방하다.

갑과 을이 만나는 지점을 [eqn: RMP'], [eqn: {RMBARBP'} = {x}``]라 두면 주어진 조건은 다음과 같이 단순화 할 수 있다.

갑의 속력을 [eqn: v_1 km/시], 을의 속력을 [eqn: v_2 km/시] 라 하자.

이 때, [eqn: rmP']까지 걸린 시간이 같으므로 [eqn: 180-x over v_1 = x over v_2] ……①

만난 후 갑은 [eqn: rmB]까지 1시간 걸렸으므로 [eqn: x over v_1 = 1] [eqn: RARROW``v_1 = x] ……②

만난 후 을은 [eqn: rmA]까지 9시간이 걸렸으므로

[eqn: 180-x over v_2 = 9] [eqn: RARROW `` v_2 = 180-x over 9] ……③

②, ③식을 ①식에 대입하면 [eqn: left(180-x right)^2 = 9x^2]이므로

[eqn: 180-x=3x ````or ```180-x=-3x]

[eqn: therefore `x= 45 ```or```-90] 인데, [eqn: x>0]이므로 [eqn: x``=45]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: l]

[eqn: 75 rm km]

[eqn: 90 sqrt {3} rm km]

[eqn: rm P]

[eqn: RMA ′]

[eqn: RMB′]

[eqn: 15 rm km]

두 수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }`], [eqn: ` LEFT { b_{n} RIGHT }`]이 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여
[eqn: a_{1}`=`1`], [eqn: a_{2}`=`3``],  [eqn: a`_{n+1}``=`{a`_{n}``+``a`_{n+2}}over{2}``]
[eqn: sum _{ k=1} ^{n }``a_{k}`b_{k}`=`(4n^2 -1)2`^{n}`+`1``]
을 만족시킬 때, [eqn: b_{6}`]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 544]

[eqn: a_1 = 1`,```a_2 = 3]이고 [eqn: a_n+1 = {a_n +a_n+2} over2]이므로

[eqn: a_n]은 초항이 2고 공차가 [eqn: a_2 - a_1 = 2]인 등차수열이다.

[eqn: therefore a_n = 2n-1]

[eqn: S_n = sum_k=1 ^n a_k b_k]라 두면

[eqn: a _{6} b _{6} =S _{6} -S _{5} =143 CDOT 2 ^{6} +1- LEFT ( 99 CDOT 2 ^{5} +1 RIGHT )]

[eqn: =2 ^{5} CDOT (286-99)`=2 ^{5} CDOT 187]

[eqn: a_6 = 11]이므로 [eqn: b_6 = {32 cdot 187} over11 = 32 cdot 17 = 544]

cf) [eqn: a_n b_n = S_n - S_n-1 #`````````````````= left{left(4n^2 - 1 right)cdot2^n + 1 right} - left{left(4(n-1)^2 -1right) cdot2^n-1 +1 right} #`````````````````=(4n^2 + 8 n - 5) 2^n-1 #``````````````````= (2n-1)(2n+5)2^n-1]

[eqn: therefore b_n = (2n+5) 2^n-1]

	표본의 크기	표준편차
A연구원	[eqn: a`]그루	[eqn: 3`rmcm]
B연구원	[eqn: b`]그루	[eqn: 4`rmcm]

어느 임업연구소의
A, B 두 연구원이 소나무 군락지의 소나무들의 생장 상태를 알아보기 위하여 [eqn: 100``]그루의 소나무들을 각각 [eqn: a`,``b``]그루로 나누어 키를 조사하였더니 오른쪽 표와 같은 결과를 얻었다. A, B 두 연구원이 각자 [eqn: 95``%``]의 신뢰도로 군락지의 소나무들의 키의 평균을 추정하였더니 신뢰구간의 길이가 같았다. 소나무들의 키의 분포는 정규분포를 따른다고 할 때, [eqn: |`a`-`b`|``]의 값을 구하시오.
(단, 표준정규분포에서 [eqn: {\P}`(0`<=`Z`<=`1.96)`=`0.475``]로 계산한다.)

[eqn: 28]

신뢰구간의 길이[eqn: = 2 cdot][eqn: k][eqn: cdot sigma over sqrtn]

여기서 [eqn: sigma]는 해당 집단의 표준편차, [eqn: n]은 표본의 크기, [eqn: k]는 신뢰도에 해당하는 [eqn: Z]값이다.

나무가 총 100그루가 있으니 [eqn: a+b=100]이다.

신뢰구간의 길이가 서로 같으므로

[eqn: 2 CDOT 1.96 CDOT 3 OVER SQRTa = 2 cdot 1.96 cdot 4 over sqrt b]

위 식을 정리하면 [eqn: 16a=9b]라는 식을 얻을 수 있다.

[eqn: b=100-a]를 대입해서 정리하면 [eqn: a= 36``,``b=64]가 나온다.

[eqn: therefore left|a-b right| = 28]

[4점]

그림과 같이 [eqn: RM bar OA `= 3`], [eqn: RM bar OB `= 2`], [eqn: RM ANGLE AOB =30 DEG `]인 삼각형
[eqn: RM OAB `]가 있다. 연립부등식 [eqn: 3x +y ≧2 `], [eqn: x+y`≦`2 `], [eqn: y`≧`0`]을 만족시키는 [eqn: x `,~y`]에 대하여 벡터 [eqn: RM VEC OP `= {ITx}`` VEC OA `+`{ITy}`VECOB `]의 종점 [eqn: rm P`]가 존재하는 영역의 넓이를 [eqn: S`]라 할 때, [eqn: S``^2`]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

주어진 연립 부등식의 해를 좌표평면에 도시하면 다음과 같다.

주어진 영역을 관찰하면 결국 [eqn: x+y=2]인 경우와 [eqn: 3x+y=2]인 경우 사이의 범위임을 알 수 있다.

[eqn: x+y=2]일 때 [eqn: x over 2 + y over 2 = 1]이므로

[eqn: rm vec{OP} it = {x} over {2} CDOT LEFT ( 2 rm vec{OA} RIGHT ) it ``+` {y} over {2} CDOT LEFT ( 2 rm vec{OB} ` RIGHT ) it = {x} over {2} CDOT LEFT ( rm vec{OA prime } RIGHT ) it ``+` {y} over {2} CDOT LEFT ( rm vec{OB prime } ` RIGHT ) it]

[eqn: 3x+y=2]일 때, [eqn: 3 over 2 x + y over 2 = 1]이므로

[eqn: rm vec{OP} it = {3} over {2} x CDOT LEFT ( {2} over {3} rm vec{OA} RIGHT ) it ``+` {y} over {2} CDOT LEFT ( 2 rm vec{OB} ` RIGHT ) `= it {3} over {2} x CDOT LEFT ( rm vec{OA''} RIGHT ) it ``+` {y} over {2} CDOT LEFT ( rm vec{OB'} ` RIGHT ) it]

라 두고, [eqn: RM B']에서 [eqn: RMBAROA']에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 두자.

[eqn: rm B prime]

[eqn: RMB]

[eqn: RMA']

[eqn: RMA]

[eqn: RMO]

[eqn: RMA'']

[eqn: RMH]

[eqn: rm barOB `= 2`,`BAROB' ``=``4 ``,``BAROA'' ``=`2 `,BAR{`A'A''} = 4`,`BARB'H = 2]이고,

구하고자 하는 넓이는 빨간색(굵은선)으로 둘러쌓인 부분의 넓이이다.

[eqn: RM THEREFORE TRIANGLEBA''A' = S = 1 OVER 2 CDOT 4 CDOT 2 = 4]  [eqn: RARROW] [eqn: S^2 = 16]

[4점]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 30°]

[eqn: rmO]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2009년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설