◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수 학 영 역

‘나’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2008학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: 1``]이 아닌 두 양수 [eqn: a`,~b``]에 대하여 [eqn: a ^{2} CDOT root {5} of {b} =1``]이 성립할 때, [eqn: log _{`a} ` {1} over {a`b}``]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: a ^{2} `` root {5} of {b} `=1``` RARROW ````a ^{10} `b=1 `````RARROW `````a^10 = 1overb]

[eqn: THEREFORE `log _{a} {1} over {b}=10]

[eqn: therefore log_a 1overab = -1 + log_a 1overb = 9]

① [eqn: -9]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 9]

행렬 [eqn: A=pmatrix{ ```````2& `````````5``#-1 &` -2`}``]와 이차 정사각행렬 [eqn: B``]에 대하여 행렬
[eqn: A`B`A^-1 ``]의 역행렬이 [eqn: A``]일 때, 행렬 [eqn: B``]의 모든 성분의 합은?

①

[eqn: ABA^-1]의 역행렬이 [eqn: A] [eqn: LRARROW````left(ABA^-1 right)cdotA=E]

[eqn: THEREFOREAB=E]

[eqn: THEREFORE B=A ^{-1} = {1} over {(2 CDOT (-2)-5 CDOT (-1)} LEFT ( {matrix{-2&-5#```````1&``````2}} RIGHT ) = LEFT ( {matrix{-2&-5#``````1&``````2}} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE]성분의 합 = [eqn: -4]

[2점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

서로 독립인 두 사건 [eqn: A``], [eqn: B``]에 대하여 [eqn: {rmP}(A∪B)= 4 over 5``],
[eqn: rm P it (A SMALLINTER B ^{``c} ```)= {1} over {3}``]일 때, [eqn: {\P}(A) ``]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: A], [eqn: B] 가 서로 독립 [eqn: LRARROW] [eqn: A], [eqn: B^c]도 독립

[eqn: THEREFORErm P it (A CUP B)= RMP(A)+P(B)-P(A)CDOTP(B) = 4 OVER 5] [eqn: CDOTSCDOTS] (1)

[eqn: RMP(A CAPB^c ) = P(A)CDOTP(B^c ) = P(A)CDOT(1-P(B))= 1 OVER 3] [eqn: CDOTS CDOTS](2)

(1)식을 변형하면 [eqn: RM P(A)(1-P(B)) + P(B) = 4 OVER 5]

(2)식을 (1)식에 대입하여 계산하면 [eqn: rmP(B) = 7 OVER 15] [eqn: CDOTSCDOTS](3)

(3)식을 (2)식에 대입하면

[eqn: THEREFORERMP(A)= 5 OVER 8]

① [eqn: 1 over 5]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 3 over 5]	④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 8]

[eqn: 1``]보다 큰 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: log ``x``]의 소수부분을 [eqn: alpha``]라 하면
[eqn: (log``x )^2 +alpha^{`2} = 8``]이 성립한다. 이 때, [eqn: log``x``]의 값은? [3점]

③

[eqn: log `x = n+ alpha] 라 하자.(단, [eqn: n]은 정수, [eqn: 0<= alpha<1])

준식에 대입해서 정리하면 [eqn: (n+alpha)^2 + alpha^2 = 8], [eqn: n^2 + 2alphan + 2alpha^2 = 8]

[eqn: x>1]이면서 [eqn: n]값은 정수이므로 [eqn: n=0`,`1`,`2`,`cdots] 등이 가능하다.

i) [eqn: n=0]인 경우

[eqn: alpha^2 = 4]를 만족시키는 실수 [eqn: alpha]는 존재하지 않는다.

ii) [eqn: n=1]인 경우

[eqn: 2alpha^2 +2alpha-7 = 0] [eqn: Rarrow ``alpha = {-1 +-sqrt15 } over 2]

(주어진 [eqn: alpha]의 범위를 만족시키지 않는다.

iii) [eqn: n=2]인 경우

[eqn: alpha^2 + 2alpha - 2 = 0] [eqn: Rarrow] [eqn: alpha = -1 +sqrt3]([eqn: because 0<=alpha<1])

[eqn: n>=3]인 경우 가수 조건을 만족시키는 [eqn: alpha]는 존재하지 않는다.

[eqn: therefore] [eqn: log `x = n+ alpha = 2 + (-1 + sqrt 3 ) = 1 + sqrt 3]

① [eqn: 1+root2]	② [eqn: 2 sqrt {2}]	③ [eqn: 1+root3]
④ [eqn: 5 over 2]	⑤ [eqn: 8 over3]

다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 {[eqn: a_n]}이 있다.

①

주어진 점화식에 [eqn: n]대신 [eqn: 2n-1]을 대입하면

[eqn: a_2n` a_2n-1 = left(1 over 4 right)^2n-1] [eqn: cdotscdots] (1)

또, 주어진 점화식에 [eqn: n]대신 [eqn: 2n]을 대입하면

[eqn: a_2n+1 `a_2n = left(1 over 4 right)^2n]  [eqn: CDOTSCDOTS] (2)

(1)식을 정리해서 (2)식에 대입해서 점화식을 유도하면

[eqn: a_2n+1 = 1 over 4 a_ 2n-1]

주어진 수열은 초항이 2이고 공비가 [eqn: 1 over 4]인 등비수열이다.

마찬가지로, 짝수항들에 대해서도 점화식을 유도하면

초항이 [eqn: 1 over 8], 공비가 [eqn: 1 over 4]인 등비수열이 된다.

[eqn: therefore]수열의 합 [eqn: = 8 over 3 + 1 over 6 = 17 over 6]

[eqn: a_1 = 2`],	[eqn: a_n+1 ``a_n = left ( 1 over 4 right)^n``] ([eqn: n`=`1,~2,~3,~cdots``])

이 때, [eqn: sum_n=1^inf a_{`2n-1}``+ sum_n=1^inf a_{`2n }``]의 값은? [3점]

① [eqn: 17 over 6`]	② [eqn: 19 over 6`]	③ [eqn: 7 over 2`]	④ [eqn: 23 over 6]	⑤ [eqn: 25 over 6]

주머니 속에 [eqn: 1``]부터 [eqn: 5``]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 5``]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 3``]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 수의 최솟값을 확률변수 [eqn: X````]라 하자. 이 때, [eqn: X``]의 평균은? [3점]

③

꺼낸 공들의 수의 최솟값을 확률변수 [eqn: X]라 두고,

[eqn: X]에 대한 확률분포표를 그리면

[eqn: X]	1	2	3	합
[eqn: p]	[eqn: {`_4 C_2} OVER{`_5 C_3][eqn: = 3 OVER 5]	[eqn: {`_3 C_2} OVER{`_5 C_3][eqn: = 3 OVER 10]	[eqn: {`_2 C_2} OVER{`_5 C_3][eqn: = 1 OVER 10]	1

[eqn: THEREFORE] [eqn: X]의 평균은 [eqn: 3 OVER 5 + 3 OVER 5 + 3 OVER 10 = 3 OVER 2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 4over 3]	③ [eqn: 3over 2]	④ [eqn: 5over 3]	⑤ [eqn: 2]

수열 [eqn: "{"a_{`n} "}"]의 첫째항부터 제 [eqn: n``]항까지의 합 [eqn: S_n``]은
[eqn: S_n = n^{`3} +p`n``]이고, 수열 [eqn: "{" b_n "}"]은 다음 조건을 모두 만족시킨다.

④

(가) 조건에서 [eqn: b_1 = a_1 = p+1]

또한, [eqn: a_n = S_n - S_n-1 (n>=2 )]이므로 [eqn: a_n]을 구해보면

[eqn: a_n = n^3 + pn -left {(n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + pn-p right}]

[eqn: therefore a_n = 3n^2 -3n +p+1]([eqn: n>=1], [eqn: because a_1 =S_1])

(나) 조건에 의해 [eqn: b_n]을 계산해주면

[eqn: thereforeb_n = a_n - a_n-1 = 3n^2 - 3n + p + 1 - left{3n^2 - 6n + 3 - 3n + 3 +p + 1right}]

[eqn: = 6n -6]

이 때, [eqn: b_1 = p+1 = 0]을 만족시켜야 초항부터 등차수열을 만족하므로 [eqn: therefore p=-1]

(가) [eqn: b_{`1} = a_{`1}]

(나) [eqn: b_{`n} = a_{`n} - a_{`n-1}] ([eqn: n>=2])

수열 [eqn: "{" b_n "}"]이 등차수열일 때, 상수 [eqn: p``]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 1over 3]	③ [eqn: - 1over 3]	④ [eqn: - 1]	⑤ [eqn: -3]

[eqn: x,~y``]에 대한 연립일차방정식

②

연립방정식이 해를 갖지 않아야 하므로 [eqn: a over -2b-3 = 1 over b+2 != 2-a over 3]

를 만족시켜야 한다.

[eqn: a over -2b-3 = 1 over b+2]에서 [eqn: ab + 2a +2b+3=0], [eqn: (a +2)(b+2)=1]을

만족하며, [eqn: a], [eqn: b]는 정수이므로

[eqn: cases{ a=-1`&b=-1 # a=-3 &b=-3 }]의 두 쌍이 존재한다. 이 값들을 [eqn: 1 over b+2 neq 2-a over3]에

대입하면

i) [eqn: a=-1`, `b=-1] 대입하면 [eqn: 1=1]

ii) [eqn: a=-3, ` b=-3]을 대입하면 [eqn: -1 != 5 over 3]

i), ii)에서 [eqn: a+b=-6]

[eqn: pmatrix{ `a&~~ 1#-2b-3 &~~b+2` } pmatrix{ ``x `#``y` }``=` pmatrix{ `2-a` #` 3` }]

이 해를 갖지 않도록 하는 두 정수 [eqn: a,~b``]를 정할 때, [eqn: a+b``]의 값은? [3점]

① [eqn: -10]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -2]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5]

원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점 [eqn: {\P}`(`x`,~y)`]에 대하여
[eqn: log_{1 over 2} (y+1) - log_{1 over 2} (x+3)``]의 최솟값을 [eqn: m``]이라 할 때, [eqn: 2^{`m}``]의 값은? (단, [eqn: y ``not =`` -1`]이다.) [4점]

④

주어진 식은 결국 [eqn: log_{1 over 2 }left(y+1 over x+3 right)]의 최솟값을 구하라는 것과 같다.

그런데, 밑은 [eqn: 0< 1 over2 <1]이므로 [eqn: y+1 over x+3]이 최대일때 주어진 식은 최솟값을 갖는다.

여기서, [eqn: y+1 over x+3]의 의미를 살펴보면 [eqn: y-(-1) over x-(-3)], 즉 원 위의 점 [eqn: {rmP}(`x, `y`)]와 [eqn: (-3`,`-1)]을 이은 직선의 기울기의 최댓값을 구하라는 것으로 해석할 수 있다.

이 때, 기울기의 최솟값은 [eqn: (-3`,`-1)]을 지나면서 기울기가 [eqn: k]인 직선이 원과 접할 때의 [eqn: k]값이다.

[eqn: THEREFORE y+1=k(x+3),``kx-y+3k-1=0]

결국 원의 중심으로부터 직선까지의 거리가 1이 되는 그러한 [eqn: m]값을 찾아주면 된다.

[eqn: THEREFORE {vert 3k-1 vert } over {sqrt {k ^{2} +1}} =1]  [eqn: Rarrow] [eqn: 4k ^{2} -3k=0], [eqn: therefore k= 3 over4]([eqn: because y!=-1])

[eqn: therefore log_{1 over2} left(y+1 over x+3 right) >= log_{1 over2} 3 over 4 = m]  [eqn: therefore 2^m = 4 over 3]

① [eqn: 3]	② [eqn: 3over 2]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 4over 3]	⑤ [eqn: 2over 3]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT {` a _{n} ` RIGHT } ``]에 대하여 수열 [eqn: left{`b_n` right} ``]을

③

ㄱ) [eqn: a_n = b_n]이므로 주어진 식에서 [eqn: a_n = a_n+1 -a_n] [eqn: Rarrow ``therefore a_n+1 = 2a_n ``Rarrow]등비수열

ㄴ) [eqn: 2^b_n `rarrow]등비수열 [eqn: Rarrow] [eqn: b_n =]등차수열 [eqn: Rarrow] [eqn: a_n =][eqn: n]에대한 2차식 [eqn: neq] 등차수열

ㄷ) [eqn: log_2 a_n = pn+q](단, [eqn: p`,`q]는 상수) [eqn: Rarrow ``a_n = 2^pn+q] [eqn: Rarrow] [eqn: b_n = a_n+1 -a_n = 2^pn+p+q - 2^pn+q = 2^pn+q (2^p - 1)]

[eqn: Rarrow][eqn: THEREFORE ``b _{n}]은 공비가 [eqn: 2 ^{p}]인 등비수열이다.

[eqn: therefore] ㄱ 과 ㄷ이 옳다.

[eqn: b_n` =a_n+1 `-`a_n`]  ([eqn: n`=`1`,~2`,~3`,~cdots``])

이라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

[3점]

ㄱ. [eqn: a _{n} =b _{n} ``]([eqn: n`=`1`,~2`,~3`,~cdots``]) 이면 [eqn: LEFT {` a _{n} ` RIGHT } ``]은 등비수열이다.

ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { 2 ^{``b _{n}} `` RIGHT } ``]이 등비수열이면 [eqn: LEFT {` a _{n} ` RIGHT } ``]은 등차수열이다.

ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { log _{`2} ``a _{n} `` RIGHT } ``]이 공차가 [eqn: 0``]이 아닌 등차수열이면
[eqn: left{`b_n` right} ``]은 등비수열이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

세 수열 [eqn: "{"a_n "}",~"{"b_n "}",~"{"c_n "}"``]이 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여
[eqn: a_n <c_n <b_n``]을 만족한다.
두 수열 [eqn: "{"a_n "}",~"{"b_n "}"``]은 수렴하고, [eqn: lim_n->inf ``a_n =` alpha``], [eqn: lim_n->inf ``b_n `=` beta``]일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

②

ㄱ) (반례)[eqn: a_n = 1], [eqn: c_n = 2], [eqn: b_n = 3]이라 두면 [eqn: lim_n->inf{a_n = 1], [eqn: lim_n->inf {b_n = 3]이므로 [eqn: alpha !=beta]이지만 수열 [eqn: c_n]은 수렴한다.

ㄴ) [eqn: a_n <b_n]이고 각각의 수열이 수렴하므로 그들의 극한값 사이에는 [eqn: alpha<=beta]의 관계가 성립한다.

그런데, 만약 [eqn: alpha=beta]라면 샌드위치정리에 의해 [eqn: c_n]도 [eqn: alpha]로 수렴할 수 밖에 없다.

그러므로, [eqn: c_n]이 발산하면 [eqn: alpha<beta]가 성립한다.

ㄷ) 주어진 조건은 결국 [eqn: lim_n->inf{c_n = 0]이면 무한급수가 수렴하는지를 물어본 것인데 이 명제는 거짓이므로 항상 성립하지 않는다.

그러므로 옳은 것은 ㄴ이다.

ㄱ. {[eqn: c_n]}이 수렴하면 [eqn: alpha= beta``]이다.

ㄴ. {[eqn: c_n]}이 발산하면 [eqn: alpha< beta``]이다.

ㄷ. [eqn: alpha=beta=0``]이면 [eqn: sum from n=1 to inf ``c_n``]은 수렴한다.

<보기>

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

다음 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

②

ㄱ) [eqn: 0<log_a c<1]이므로 [eqn: 1<c<a]를 만족시킨다.([eqn: because][eqn: a>1])

그러므로, 구한 부등식의 양변에 [eqn: log_b]를 달아주면 [eqn: log_b c<log_b a]를 만족한다.

ㄴ) [eqn: 0<log_a c<1]이므로 [eqn: a<c<1]를 만족시킨다.

[eqn: b>1]이므로 [eqn: log_b a<log_b c]가 성립한다.

ㄷ) [eqn: log_a c<0]이므로 [eqn: c>1]이다. 그러므로 [eqn: log_a b>log_c b]가 성립한다  [eqn: therefore] ㄴ만 옳다.

ㄱ. [eqn: 1<a<b ``]이고 [eqn: 0`<`log_{``a}` `c` <`1` `]이면 [eqn: log_{``b}`` c` >`log_{``b} ``a``]이다.

ㄴ. [eqn: 0<a<1<b ``]이고 [eqn: 0<log_{``a}`` c `<`1``]이면 [eqn: log_{``b}`` a `<` log_{``b}`` c``]이다.

ㄷ. [eqn: 0<a<b<1 ``]이고 [eqn: log_{``a}`` c `<`0 ``]이면 [eqn: log_{``a}`` b `<` log_{``c}`` b ``]이다.

<보기>

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

한 개의 주사위를 [eqn: 4``]번 던질 때, [eqn: 1``]의 눈이 나오는 횟수를 [eqn: a``], [eqn: 2``]의 눈이 나오는 횟수를 [eqn: b``]라 하자. [eqn: a-b=1``]일 확률은? [4점]

④

[eqn: a=1``b=0]인 경우: [eqn: `_4 C_1 left(1 over 6 right)^1 left(4over6 right)^3] [eqn: = 16 over 81]

[eqn: a=2 ``b=1]인 경우: [eqn: 4! over2! left(1 over 6 right)^3 left(4 over 6 right)^1] = [eqn: 1 over 27]

위의 두가지 이외에는 나타나지 않으므로 구하는 모든 확률의 합은 [eqn: 16 over 81 + 1 over 27 = 19 over 81]

① [eqn: 4 over 27]	② [eqn: 5 over 27]	③ [eqn: 2 over 9]	④ [eqn: 19 over 81]	⑤ [eqn: 7 over 27]

[eqn: n`]이 자연수일 때, [eqn: 2n`]명의 학생을 두 명씩 [eqn: n`]개의 조로 나누는 방법의 수를 [eqn: a_n`]이라 하자.  이 때, [eqn: a_11 over a_10 `]의 값은? [3점]

④

[eqn: a_n+1 over a_n = b_n]이라 두고 [eqn: b_n]의 값을 구해 보면

[eqn: a_n+1 = _2n+2 C _2 TIMES _2n C _2 TIMES _2n-2 C_2 TIMES cdotsTIMES_2 C_2 TIMES 1 over(n+1)!],  [eqn: a _{n} = _{2n} C _{2} TIMES _{2n-2} C _{2} TIMES cdots TIMES _{2} C _{2} TIMES {1} over {n!}]

[eqn: therefore b_n = _2n+2 C_2 TIMES 1 OVER n+1 = {2(n+1)(2n+1) }over{2cdot1 }times 1overn+1 = 2n+1]

[eqn: therefore b_10 = 2cdot10 +1 = 21]

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]	④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

두 수열 [eqn: left{ a_n right}``], [eqn: left{ b_n right}``]이 모든 항이 양수인 등차수열일 때, 다음은 수열 [eqn: left{ sqrt{a_n ``b_n } right}``]이 등차수열이면 [eqn: {b _{n}} over {a _{n}} =` BOX{````(가)````}] 임을 증명한 것이다.

④

나) 등차수열이므로 [eqn: sqrt{a_n ``b_n }][eqn: + sqrt{a_n+2 ``b_n+2 } `=][eqn: 2 sqrt{a_n+1 ``b_n+1 }][eqn: =][eqn: sqrt{4a_n+1 ``b_n+1 }]

다) 산술 - 기하 부등식에서 등호가 성립하는 경우이므로 [eqn: a_n+2 ``b_n = a_n ``b_n+2]

가) [eqn: ㉣]에 [eqn: ㉡]과 [eqn: ㉢]의식을 [eqn: a_n+2 = 2a_n+1 -a_n], [eqn: b_n+2 = 2b_n+1 - b_n]로 변형하여 대입하여 정리하면

[eqn: a_n b_n+1 = a_n+1 b_n]이다.

<증명>

수열 [eqn: left{ sqrt{a_n ``b_n } right}``]이 등차수열이므로 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: sqrt {a _{n} ``b _{n} `} + sqrt {a _{n+2} ``b _{n+2}} = sqrt {` BOX{````(나)````} `}][eqn: ~~~ cdots cdots~㉠]

또, 두 수열 [eqn: left{ a_n right}], [eqn: left{ b_n right}``]이 등차수열이므로

[eqn: a _{n} `+`a _{n+2} `=`2`a _{n+1}] [eqn: CDOTS CDOTS ~㉡]

[eqn: b _{n} `+`b _{n+2} `=`2`b _{n+1}]  [eqn: CDOTS CDOTS ~㉢]

㉡, ㉢을 ㉠에 대입한 후, 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 2root{ a_n`` b_n ``a_n+2`` b_n+2 } = a_n ``b_n+2 `+`a_n+2`` b_n `]

다시 위 식의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: a _{n+2} ``b _{n} =`` BOX{`````(다)`````}] [eqn: CDOTS CDOTS ~㉣]

따라서 ㉡, ㉢, ㉣에서

[eqn: {b _{n}} over {a _{n}} =` BOX{````(가)````}]

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)	(나)	(다)

①  [eqn: a_n+1 over b_n+1]	[eqn: 2``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: 2``a_n`` b_n+2]

②  [eqn: a_n+1 over b_n+1]	[eqn: 4``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: a_n ``b_n+2]

③  [eqn: b_n+1 over a_n+1]	[eqn: 2``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: 2``a_n`` b_n+2]

④  [eqn: b_n+1 over a_n+1]	[eqn: 4``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: a_n ``b_n+2]

⑤  [eqn: b_n+1 over a_n+1]	[eqn: 4``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: 2``a_n`` b_n+2]

확률변수 [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: {\N}`(0`,~sigma^2 )`]을 따르고, 확률변수 [eqn: Z``]는 표준정규분포 [eqn: {\N}`(`0`,~1^2`)``]을 따른다. 두 확률변수 [eqn: X`,~Z`]의 확률밀도함수를 각각 [eqn: f(x)`,~g(x)`]라 할 때, 다음 조건이 모두 성립한다.

②

[eqn: sigma>`1]이므로 위에 있는 그래프가 [eqn: Z]이므로 [eqn: {rmP}`(0<=Z<=1.5) -][eqn: {rmP}`(0<=X<=1.5)]=0.048

[eqn: THEREFORE][eqn: {rmP}`(0<=X<=1.5)][eqn: =][eqn: {rmP}`left(0<=Z<={1.5 OVER sigma} right)=0.433-0.048=0.385][eqn: ={rmP}`(0<=Z<=1.2)]

[eqn: THEREFORE {1.5} over {sigma } =1.2`` RARROW `` sigma = {5} over {4} =1.25]

(가) [eqn: sigma`>1`]

(나) 두 곡선 [eqn: y=f(x)`,~y=g(x)`]는 [eqn: x=-1.5`,~x=1.5``]
일 때 만난다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)`,~y=g(x)`]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 0.096``]일 때, [eqn: X`]의 표준편차 [eqn: sigma`]의 값을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

[eqn: z`]	[eqn: {rmP}`(0<=Z<=z)]
[eqn: 1.2]	[eqn: 0.385]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.433]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.477]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: -1.5]

[eqn: 1.5]

[eqn: y]

① [eqn: 1.20]	② [eqn: 1.25]	③ [eqn: 1.50]	④ [eqn: 1.75]	⑤ [eqn: 2.00]

첫째항이 [eqn: 1`], 공비가 [eqn: 1 over 2`]인 등비수열 [eqn: left{ `a_n `right}`]에 대하여 [eqn: S_{`n}`], [eqn: T_{`n}`]을 다음과 같이 정의하자.

⑤

[eqn: a_n = 1 cdot left(1 over2 right)^n-1 = left(1 over2 right)^n-1]

[eqn: therefore S_n = {1 cdotleft(1 - left(1 over 2 right)^n right) } over {1- 1 over2} = 2 - left(1 over 2 right) ^n-1], [eqn: T_n = {```````````left(1 over 2 right)^n-1 } over {1- 1 over 2} = left(1 over 2 right) ^n-2 = a_n-1]

ㄱ) [eqn: a_n + S_n = 2]

ㄴ) [eqn: T_n = a_n-1]

ㄷ) [eqn: lim from n->inf {`left(` S_n + T_n` right)} ``= lim_n->inf {left(2-a_n + a_n-1 right) = 2] [eqn: left(because lim_n->inf{a_n = lim_n->inf{a_n-1 = 0 right)]

[eqn: sum from k=1 to inf a_k = 1 over {1-{1over2}} = 2]

[eqn: therefore][eqn: lim from n->inf `left(` S_n + T_n` right) ``= sum from k=1 to inf a_k`][eqn: =2]

그러므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[eqn: S_n = sum from k=1 to n a_k] ,	[eqn: T_n = sum from k=n to inf a_k]

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: a_n `+` S_n `=`2`] (단, [eqn: n`=`1,~2,~3,~cdots`])

ㄴ. [eqn: T_n = a_n-1]  (단, [eqn: n`=`2,~3,~4,~cdots`])

ㄷ. [eqn: lim from n->inf `left(` S_n + T_n` right) ``= sum from k=1 to inf a_k`]

<보기>

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 농장에서 생산된 포도송이의 무게는 평균 [eqn: 600 `rm g `], 표준편차 [eqn: 100 `rm g `]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농장에서 생산된 포도송이 중 임의로 [eqn: 100`]송이를 추출할 때, 포도송이의 무게가 [eqn: 636 `rm g `] 이상인 것이 [eqn: 42 `]송이 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

②

포도송이 한 송이의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 두면

[eqn: X]~[eqn: N(600, 100^2 )]이므로 한 송이의 무게가 636g 이상일 확률은 [eqn: P(X>=636) = P(Z>=0.36)=0.36]

포도송이를 100송이 뽑았을 때 636g 이상인 포도송이의 개수를 확률변수 [eqn: Y]라 두면 [eqn: Y]~[eqn: B(100`,`` 0.36)]가 되고 이 이항분포는 정규분포[eqn: N(36`,`(4.8)^2 )]에 근사해 간다.

[eqn: THEREFORE P(Y>=42) = P(Z>=1.25)=0.11]

① [eqn: 0.02]	② [eqn: 0.11]	③ [eqn: 0.14]	④ [eqn: 0.16]	⑤ [eqn: 0.36]

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=log_2 ``x`], [eqn: y=-log_2 ``x`]가 직선 [eqn: x=n`] ([eqn: n`]은 [eqn: 2`] 이상의 자연수)과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm A}_n `], [eqn: {rm B}_n `]이라 하고, 점 [eqn: {rm A}_n `]을 지나고 [eqn: x`]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=-log_2 ``x`]와 만나는 점을 [eqn: {rm C}_n ``]이라 하자. 점 [eqn: {rm D`}(1,``0)`]에 대하여 두 삼각형 [eqn: {\A}_n` {\B}_n` \D`], [eqn: {\A}_n `{\C}_n` \D`]의 넓이를 각각 [eqn: S_n], [eqn: T_n`]이라 할 때, [eqn: lim from n->inf `` T_n over S_n]의 값은?

①

[eqn: S_n`=][eqn: 1 over 2 cdot(n-1)cdot2log_2 n], [eqn: T_n`=][eqn: 1 over 2 cdot(n-{1overn})cdotlog_2 n]이므로

[eqn: therefore][eqn: lim_n->inf{T_n OVERS_n } =][eqn: lim_n->inf{{n-{1overn}} over 2(n-1)} = 1 over 2]

[3점]

① [eqn: 1 OVER 2]	② [eqn: 5 OVER 8]	③ [eqn: 3 OVER 4]	④ [eqn: 7OVER 8]	⑤ [eqn: 1]

[표 1]은 [eqn: 20`]개의 행과 [eqn: 20`]개의 열로 이루어진 표에 자연수를 규칙적으로 적어놓은 것이다.

⑤

주어진 규칙에서 남은 수 들을 쭉 나열해 보면

수	개수
2	1
3	1
4	2
5	2

수	개수
6	3
7	3
8	4
9	4

수	개수
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]
18	9
19	9
20	10

[eqn: therefore]구하는 수의 총 합[eqn: =SUMFROMk=1 to 9 (2k+2k+1)cdotk + 200 = 1385]

[표 2]는 [표 1]의 홀수 번째 행에 있는 수와, 짝수 번째 열에 있는 수를 모두 지운 것이다.

[표 2]에 남아 있는 모든 자연수의 합은? [4점]

① [eqn: 1024]	② [eqn: 1155]	③ [eqn: 1225]

④ [eqn: 1280]	⑤ [eqn: 1385]

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 25`], 모선의 길이가 [eqn: 100`]인 원뿔이 있다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림과 같이 모선 [eqn: \ bar AB``]를 [eqn: n`]등분한 점 중 꼭지점 [eqn: \A`]에 가까운 점부터 차례로
[eqn: {rm P_1 ,~P_2 ,~P_3 ,~cdots~,~P}_n-1 `]이라 하고, 점 [eqn: \B`]를 [eqn: {rm P}_n `]이라 하자.
또, 점 [eqn: {rm P}_k] ([eqn: k=1,~2,~3,~cdots~,~n]) 에서 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아서 점 [eqn: {rm P}_k`]로 되돌아오는 최단 경로의 길이를 [eqn: l_k`]라 할 때,
[eqn: S_n`=` sum _{k=1} ^{n} ``l _{k} `]라 하자. 이 때, [eqn: lim_n->inf `` S_n over n `]의 값은? [4점]

①

주어진 그림의 전개도에서 [eqn: l_k =bar {P_k P_k '} =][eqn: 100sqrt2 cdot k overn]

[eqn: therefore sum_k=1^n l_k = {100sqrt2} over n cdot n(n+1) over2 = 50sqrt2 (n+1)]

[eqn: therefore lim_n->inf { S_n over n `}=lim_n->inf{{50sqrt2 (n+1) }overn = 50sqrt2]

① [eqn: 50root2]	② [eqn: 75root2]	③ [eqn: 100root2]

④ [eqn: 125 root2]	⑤ [eqn: 150root2]

좌표평면 위의 원점에 놓인 점 [eqn: \P`]가 [eqn: 1`]개의 동전을 던질 때마다 다음과 같이 움직인다고 한다.

③

전체 경우의 수는 [eqn: 2^5 = 32]가지

앞면을 [eqn: rmH], 뒷면을 [eqn: RMT]라 하면 주어진 직선과 오직 한번만 만나는 경우는 [eqn: (rmH,H,H,H,H)], [eqn: (rmH,H,H,H,T)], [eqn: (rmH,H,H,T,H)], [eqn: (rmT,H,H,H,H)], [eqn: (rmH,T,H,H,H)]의 5가지이다.

[eqn: THEREFORE p= 5over32]

앞면이 나오면 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동하고,

뒷면이 나오면 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한다.

예를 들어, 동전을 [eqn: 3`]번 던져서 차례로 앞면, 앞면, 뒷면이 나왔을 때 점 [eqn: \P`]가 지나간 자취는 그림과 같고, 이 자취는 직선 [eqn: y= 3over 2 `]과 두 점에서 만난다. 동전을 [eqn: 5`]번 던질 때, 점 [eqn: \P`]가 지나간 자취와 직선 [eqn: y= 3over 2 `]이 오직 한 점에서 만날 확률은? [4점]

① [eqn: 3over 32]	② [eqn: 1over8]	③ [eqn: 5over 32]	④ [eqn: 7 over 32]	⑤ [eqn: 1 over4]

그림과 같이 정사각형과 서로 합동인 [eqn: 5`]개의 원으로 이루어진 놀이판이 있다. 각 원의 중심은 정사각형의 네 꼭지점과 두 대각선이 만나는 점이다. 서로 다른 [eqn: 5`]개의 돌 중에서 [eqn: 3`]개를 뽑아 [eqn: 3`]개의 원 안에 각각 [eqn: 1`]개씩 올려놓는 방법의 수는? (단, 회전하여 같은 경우는 한 가지로 계산한다.) [4점]

①

주어진 5개의 돌 중에서 3개의 돌을 뽑는 경우의 수는 [eqn: ` _5 C_3 = 10]

주어진 경우의 수는 가운데 원에 돌을 놓 경우와 그렇지 않은 경우로 분류할 수 있다.

i) 가운데 원에 색칠하는 경우

뽑은 3개의 돌 중에 가운데 배열할 돌을 뽑는 경우의 수는 3가지

이 때, 정사각형의 네 꼭지점에 2개의 돌을 배열하는 경우의 수는 2개의 돌과 2개의 빈자리를 돌리는 원순열의 수와 같으므로

[eqn: (4-1)! over 2 = 3]가지가 있다.

[eqn: therefore 10 times_3 C_1 TIMES3=90]

ii) 가운데 원에 색칠하지 않는 경우

이 경우는 결국 3개의 돌과 한 개의 빈자리를 돌리는 경우의 수로 생각할 수 있으므로

[eqn: therefore 10 times (4-1)! = 60]

i), ii)는 배반사건이므로 구하는 총 경우의 수[eqn: =90+60=150]

① [eqn: 150]	② [eqn: 160]	③ [eqn: 170]	④ [eqn: 190]	⑤ [eqn: 200]

어떤 영화의 흥행수입을 분석한 결과, 개봉한 후 [eqn: 50`]일째까지의 총 흥행수입이 [eqn: 400`]억 원이고, 개봉한 후 [eqn: 100`]일째까지의 총 흥행수입이 [eqn: 640`]억 원이라고 한다. 이 영화를 개봉한 후 [eqn: n`]일째까지의 총 흥행수입을 [eqn: f(n)] (억 원)이라 하면
[eqn: f(n)`=` a`(`1`-` b^{`n} )`]  (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 양의 상수, [eqn: n`]은 자연수)
이 성립한다고 하자. 이 영화의 총 흥행수입이 처음으로 [eqn: 800`]억 원을 넘어서는 날은 개봉한 후  며칠 째인가?
(단, [eqn: log2=0.30`], [eqn: log3=0.48`]로 계산한다.) [4점]

③

주어진 조건에서 50일 까지의 흥행 수입은 400억 원 이므로

[eqn: f(50)=a(1-b^50 ) = 400] [eqn: cdotscdots](1)

또한, 100일 까지의 흥행 수입은 640억 원 이므로

[eqn: f(100)=a(1-b^100 ) = a(1-b^50 )(1+b^50 )=640] [eqn: cdotscdots](2)

(1)식을 (2)식에 대입하면

[eqn: 400(1+b^50 )=640], [eqn: 1+b^50 = 640 over 400 = 8 over 5]  [eqn: Rarrow] [eqn: therefore b^50 = 3 over 5 = 6 over 10]

양변에 상용로그를 취해 계산하면

[eqn: 50log`b = log `6 - log `10 = `0.30+0.48 - 1 = -0.22]

[eqn: therefore log ``b=- 0.22 over 50 = - 44 over10000```Rarrow ``b=10^{- 44 over 10000}]

이 여기서, 이 값을 (1)식에 대입하면

[eqn: a left(1 - 3over5 right)=400]

[eqn: therefore a=1000]

[eqn: f(n)`=` 1000`left(`1`-` 10^{ - 44 over 10000`n} right)`]

[eqn: f(n)]값이 800이상이 되는 [eqn: n]값을 구해주는 것이므로

[eqn: 1000`left(`1`-` 10^{ - 44 over 10000`n} right)` >=800]

[eqn: 2 over 10 >= 10^{- 44over10000 n} ```RARROW ``10 OVER2 ``<=``10^{44 OVER 10000 n}]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 1-log`2 = 7 over 10 `` <= 44 over 10000 n]

[eqn: therefore n>= 7000 over44 image 159.0909cdots]

따라서 개봉 후 160일 후에 처음으로 흥행 수입이 800억을 넘어간다.

① [eqn: 140]일	② [eqn: 150]일	③ [eqn: 160]일
④ [eqn: 170]일	⑤ [eqn: 180]일

방정식 [eqn: 3`(`1`-`log_{`2} ``x )^2 `- `2 `( `1`-` log_{`2}`` x `) ``-`4`=`0`]의 두 근을 각각 [eqn: alpha ,``beta``]라 할 때, [eqn: alpha^{`3}`` beta^{``3} `]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 16]

[eqn: log_2 x=t]라 두면 주어진 방정식의 두 근은 [eqn: log`_2`alpha,`` log`_2`beta]가 된다.

[eqn: 3(1-t)^2 -2(1-t)-4=0], [eqn: 3t^2 -4t-3=0]

이 방정식의 두 근의 합은 [eqn: log`_2 alpha + log`_2 beta = log`_2 alphabeta=- (-4) over 3 = 4 over 3]

[eqn: therefore alphabeta=2^{4over3}]

[eqn: therefore alpha^3 beta^3 = (alphabeta)^3 = left(2^{4 over 3}right)^3 = 2^4 = 16]

자연수 [eqn: n`]과 행렬 [eqn: A`=`pmatrix{``3``&```1``#`1`&``3`}]에 대하여 [eqn: A^n`]의 모든 성분의 합을 [eqn: S_n`]이라 하자. 이 때, [eqn: log_{`2} ``S_{`50}`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 101]

[eqn: A^n`=`pmatrix{``a_n``&```b_n``#`c_n`&``d_n`}]이라 두면 [eqn: A^n+1`=A^n`pmatrix{``3``&```1``#`1`&``3`}], [eqn: pmatrix{``a_n+1``&```b_n+1``#`c_n+1`&``d_n+1`} = pmatrix{``3a_n +b_n``&```3b_n +a_n``#`3c_n +d_n`&``3d_n +c_n`}]이 성립한다.

이 때, [eqn: a_n+1 + b_n+1 = 4(a_n + b_n )]이므로 [eqn: a_n + b_n]은 초항[eqn: =a_1 + b_1 = 4]이고 공비가 4인 등비수열이다.

마찬가지로, [eqn: c_n + d_n]역시 초항[eqn: =]공비[eqn: =]4인 등비수열이다.

[eqn: therefore S_n = a_n + b_n + c_n + d_n = 4^n + 4^n = 2^2n+1]이므로

[eqn: thereforelog_2 S_n] [eqn: =2n+1]

[eqn: therefore]구하는값 [eqn: =] [eqn: 2 cdot 50 + 1] [eqn: = 101]

다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 [eqn: left{`a_n `right}`]이 있다.

[eqn: 362]

직접 수열 [eqn: a_n]을 구해보면

[eqn: a_1 = 1], [eqn: a_2 = 3 over 2], [eqn: a_3 = 2], [eqn: a _{4} = 7 over 2], [eqn: a_5 = 5], [eqn: a_6 = 15 over 2], [eqn: a_7 = 10], [eqn: a_8 = 27 over 2] [eqn: cdotscdots]이므로 [eqn: a_n]은 홀수항은 계차수열이 [eqn: 2n-1], 짝수번째 항은 계차수열이 각각 [eqn: 2n]인 수열이다.

여기서, 구하려는 값은 [eqn: a_39]이므로 홀수번째 항들만 묶어서 생각하면

[eqn: a_1][eqn: =1], [eqn: a_3][eqn: =2], [eqn: a_5 = 5], [eqn: a_7 = 10], [eqn: cdots]로 가는 수열이므로

[eqn: a_2n-1]은 초항이 1, 계차수열이 [eqn: 2n-1]인 수열이다.

[eqn: therefore a_2n-1 = 1+sum_k=1^n-1 (2k-1) = n^2 - 2n+2]

[eqn: therefore a_39 = 20^2 - 2cdot20 + 2 = 362]

[eqn: a_1 =1],   [eqn: a_{`n+1}` = `[``a_{`n}`` ] `+ `n over 2`]  ([eqn: n=1,~2,~3,~cdots``])

이 때, [eqn: a_{`39}`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: [`x`]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

두 곡선 [eqn: y``= `{ 1} over {x },~~y``= `{ 1} over { x+1}`]과 직선 [eqn: x`=`n`] ([eqn: n`]은 자연수)이 만나는 점을 각각 [eqn: {\A}_n`], [eqn: {\B}_n`]이라 하고, 사각형
[eqn: {\A}_n` `{\B}_n``{\B}_n+1`{\A}_n+1`]의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 하자. 이 때, [eqn: 100 ``sum _{ n=1} ^{inf}S_n`]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 75]

[eqn: S_n] [eqn: =] [eqn: -]

[eqn: =] [eqn: 1 over 2 cdot 1cdotleft(1 over n + 1 over n+1 right)] [eqn: -] [eqn: 1 over 2 cdot 1 cdot left( 1 over n+1 + 1 over n+2 right)]

[eqn: =] [eqn: 1 over 2 left( 1 over n - 1 over n+2 right)]

[eqn: therefore] [eqn: sum _n=1^inf S_n = lim_n->inf{{sum_k=1 ^n S_k = `lim_n->inf{1 over 2 left( 1 + 1 over 2 - 1 over n+1 - 1 over n+2 right) = 3 over 4]

[eqn: therefore 100 sum_n=1 ^inf S_n = 75]

그림과 같이 [eqn: 4`]개의 가로줄과 [eqn: 3`]개의 세로줄로 이루어진 전화기의 숫자판이 있다. 이 때, 다음 조건을 모두 만족시키면서 숫자판에 있는 숫자를 누르는 방법의 수를 구하시오. [4점]

[eqn: 288]

분할-분배의 아이디어를 활용하여, 이 문제에서도 먼저 숫자들을 뽑은 후에 나열하는 방법을 채택하기로 하자.

우선, 주어진 조건에 맞게 수를 뽑는 경우의 수를 구해보면, 각 가로줄마다 숫자를 적어도 한 개씩은 택해야 하니 4행의 0은 반드시 택해야만 한다.

이 경우, 2개의 숫자를 뽑는 열은 0이 포함되어있는 2열과 0이 없는 1열, 3열의 경우로 나누어서 생각할 수 있다.

i) 2열에서 2개의 수를 쓰는 경우

2열의 수 2, 5, 8 중 1개를 택하는 경우의 수는 [eqn: `_3 C_1]

이 때, 1열에서 택할 수 있는 수는 2열에서 택한 수를 제외한 행의 것이어야 하므로 [eqn: `_2 C_1]

그러므로 이 경우에는 숫자를 뽑는 경우의 수가 [eqn: 3 TIMES2 = 6]이 된다.

ii) 1열(3열)에서 2개의 수를 뽑는 경우

1열의 수 1, 4, 7 중 2개를 택하는 경우의 수는 [eqn: `_3 C_2]

이 때, 2열에서는 이미 0이 택해져 있으므로 3열에서는 1열에서 뽑지 않은 행의 수를 택해야 하므로 경우의수는 1가지가 된다.

이 때, 1열에서 2개 뽑는 경우와 3열에서 2개 뽑는 경우는 경우의 수가 같다.

[eqn: therefore_3 C _2 TIMES2 = 6]

i), ii)에서 숫자를 뽑는 총 경우의 수는 12가지가 된다.

문제 조건 (가)에서 누르는 순서가 다르면 다른 것으로 취급하자고 하였기 때문에 주어진 4개의 숫자를 나열해 주어야 한다. 4개의 서로다른 수를 나열하는 경우의 수는 [eqn: 4! = 24]

[eqn: therefore]숫자판의 수를 누르는 방법 [eqn: = 12 times 24 = 288]

(가) *, # 을 제외한 [eqn: 10`]개의 숫자 중에서 서로 다른 [eqn: 4`]개의 숫자를 누른다. 이 때, 누르는 순서가 다르면 서로 다른 경우이다.

(나) [eqn: 4`]개의 가로줄에서는 각각 숫자를 [eqn: 1`]개씩 누른다.

(다) [eqn: 1`]개의 세로줄에서는 숫자를 [eqn: 2`]개 누르고, 나머지 [eqn: 2]개의 세로줄에서는 각각 숫자를 [eqn: 1`]개씩 누른다.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2.52^{`10`n}`]의 최고자리의 숫자를 [eqn: a_n`]이라 하자. 예를 들어, [eqn: 2.52^{`10}` REIMAGE 1.03 times 10^4], [eqn: 2.52^{`20}` REIMAGE 1.06 times 10^8],
[eqn: 2.52^{`30}` REIMAGE 1.10times 10^12]이므로 [eqn: a_1 `=` a_2 `= a_3 `=`1`]이다.
[eqn: a_n >1`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값을 구하시오.
(단, [eqn: log ``2 `=`0.3010`], [eqn: log ``2.52 `=`0.4014`]로 계산한다.) [4점]

[eqn: 22]

[eqn: 2.52^10n =N] 이라 두고 양변에 상용로그를 취해주면

[eqn: log` N= 10n log`2.52 `=`4+0.014n]이 된다.

이 때, [eqn: 0.014n]은 [eqn: n<=71]일 때, [eqn: 1]보다 작으므로 저 범위에서 [eqn: 0.014]는 가수가 된다.

최고자리수는 결국 그 가수의 범위와 관련이 있으므로

[eqn: log`2<=`0.014n<log `3]을 만족시키는 최소의 [eqn: n]값을 구해주면 된다.

여기서, [eqn: log `2`=0.3010]이므로 [eqn: 0.3010 <= 0.014n],

[eqn: 14n>=301] [eqn: Rarrow] [eqn: thereforen>= 301 over 14 = 21.5]

따라서, [eqn: a_n]값이 1이 되는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 22이다.

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2008년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설