◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

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수 학 영 역

‘가’형

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2008학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: 1``]이 아닌 두 양수 [eqn: a`,~b``]에 대하여 [eqn: a ^{2} CDOT root {5} of {b} =1``]이 성립할 때, [eqn: log _{`a} ` {1} over {a`b}``]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: a ^{2} `` root {5} of {b} `=1``` RARROW ````a ^{10} `b=1 `````RARROW `````a^10 = 1overb]

[eqn: THEREFORE `log _{a} {1} over {b}=10]

[eqn: therefore log_a 1overab = -1 + log_a 1overb = 9]

① [eqn: -9]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 9]

행렬 [eqn: A=pmatrix{ ```````2& `````````5``#-1 &` -2`}``]와 이차 정사각행렬 [eqn: B``]에 대하여 행렬
[eqn: A`B`A^-1 ``]의 역행렬이 [eqn: A``]일 때, 행렬 [eqn: B``]의 모든 성분의 합은?

①

[eqn: ABA^-1]의 역행렬이 [eqn: A] [eqn: LRARROW````left(ABA^-1 right)cdotA=E]

[eqn: THEREFOREAB=E]

[eqn: THEREFORE B=A ^{-1} = {1} over {(2 CDOT (-2)-5 CDOT (-1)} LEFT ( {matrix{-2&-5#```````1&``````2}} RIGHT ) = LEFT ( {matrix{-2&-5#``````1&``````2}} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE]성분의 합 = [eqn: -4]

[2점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

부등식 [eqn: [`x`] ^{`3} `-`6[`x`] ^{`2} `+`11[`x`]`-`6` >=` 0`]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x`]의 집합은? (단, [eqn: [`x`]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

①

[eqn: [x]=n]이라 두면(단, [eqn: n]은 정수)

준식[eqn: =n^3 -6n^2 +11n -6>=0]

[eqn: LRARROW (n-1)(n-2)(n-3)>=0]

[eqn: therefore 1<=n<=2 ``or ``n>=3``rarrow``n=1,```2,```3,```cdots(because n]은 정수)

[eqn: therefore[x]=1,``2,``3,``cdots ``RARROW```1<=x<``2``or```2<=x<3``or``3<=x<4 cdots##`````````Rarrow `````x>=1]

[2점]

① [eqn: left{x``|``x>=1 right}]	② [eqn: left{x``|``x>=3 right}]

③ [eqn: left{ x``|``1<= x <=3 right}]	④ [eqn: left{ x``|``1<=x<4 right}]

⑤ [eqn: left{x``|``1<= x <2 ~~또는~~x>=3 right}]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족한다.

③

[eqn: y]대신 0대입[eqn: -> f(x)=f(x)+f(0)-3 ``Rarrow``thereforef(0)=3]

i) 도함수의 정의를 활용하면

ii)  편미분을 활용하면[eqn: ->][eqn: y]만 변수 취급

[eqn: f prime (x)= lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)} over {h}}]

[eqn: f prime (x+y)=f prime (y)+x ^{2} +2xy]

[eqn: ```````````````````= lim _{h -> 0} {{f(x)+f(h)+xh(x+h)-3-f(x)} over {h}}]                  [eqn: DOWNARROW][eqn: y]대신 0대입

[eqn: ```````````````````= lim _{h -> 0} {LEFT . LEFT ( {f(h)-3} over {h} RIGHT . +x(x+h) RIGHT )}]                      [eqn: therefore f'(x)=x^2 +f'(0)]

[eqn: ```````````````````=f prime (0)+x ^{2} ````````left({ BECAUSE f(0)=3,`` lim _{h -> 0} {x(x+h)=x ^{2}} right)]

문제에서 [eqn: f'(1)=2]이므로 대입하면

[eqn: f'(1)=1+f'(0)=2 ``RARROW ``therefore f'(0)=1]

[eqn: therefore f'(x)=x^2 +1]

이 식을 적분하면

[eqn: f(x)= 1over 3 x^3 +x+3(becausef(0)=3)]

[eqn: RARROW] [eqn: THEREFOREf(3)= 1 over 3 cdot(3)^3 +3+3=15]

(가) [eqn: f`'(1)=2]

(나) 모든 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여
[eqn: f(x+y)=f(x) + f(y) + `x`y` (`x+y) -3]

이 때, [eqn: f(3)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 21]

[eqn: a _{1} =1`]이고 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n <a_n+1`]인 수열 [eqn: left{`a_n `right}`]이 있다. 곡선 [eqn: y=x^2`]과 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x=a_n`], [eqn: x=a_n+1`]로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 14``left( 1 over 3 right)^{`n-1}]일 때, [eqn: lim from n->inf ``a_n`]의 값은? [3점]

④

[eqn: int _{a _{n}} ^{a _{n+1}} {x ^{2} dx}= 1over 3 (a_n+1^3 -a_n^3 ) = 14 left(1over3 right)^n-1]

[eqn: THEREFORE ``a _{n+1} ^{3} -a _{n} ^{3} =42 LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} ```]

[eqn: a _{n} ^{3} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} 42 LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} =1+63 LEFT ( 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {a _{n}} = alpha `]

[eqn: ` lim _{n -> INF } {a _{n} ^{3} = alpha ^{3} =64}]

[eqn: therefore lim_n->inf{a_n = alpha=4]

① [eqn: 5`` root3 of 5]	② [eqn: 4` `root 3 of4]	③ [eqn: 3` `root 3 of3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 타원 [eqn: x^2 over 100 + y^2 over 75 =1`]의 두 초점을 [eqn: {rm F}`],[eqn: {rm `F`'}`]이라 하고, 이 타원 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 선분 [eqn: rm F`'`P`]가 타원 [eqn: x^2 over 49 + y^2 over 24 =1`] 과 만나는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. [eqn: rm bar {F`'`Q`} `=`8`]일 때, 선분 [eqn: rm FP`]의 길이는?

③

주어진 보조선을 그리고 [eqn: bar {PF }=a]라 두면

[eqn: BAR{QF} ` =6,``BARPQ =12-a]이므로 직각삼각형[eqn: PQF]([eqn: BECAUSE ANGLEF'QF=90 DEG])에서 피타고라스의 정리를 사용하면

[eqn: a^2 = (12-a)^2 + 6^2] [eqn: Rarrow `THEREFORE`a = 15 over 2]

[3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 29 over 4]	③ [eqn: 15 over 2]	④ [eqn: 31 over 4]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: rm ` ANGLE BAC=60 DEG `]이고 [eqn: ANGLE BCA>90 DEG]인 둔각삼각형 [eqn: ABC``]가 있다. 그림과 같이 [eqn: ANGLE BAC``]의 이등분선과 선분 [eqn: BC it `]의 교점을 [eqn: RMD``], [eqn: ANGLE BAC``]의 외각의 이등분선과 선분 [eqn: BC it ``]의 연장선의 교점을 [eqn: E`]라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

④

ㄱ) [eqn: vec{RMAD} NEQ {VEC{RMAB} ``+``VEC{RMAC} ``}OVER2] ([eqn: BECAUSE D]는 중점이 아님)

ㄴ) A에서 [eqn: {bar{BE}}]에 내린 수선의 발을 H라 하면

[eqn: vec{RMHA} = vec{a} `,` vec{RMHB} = vec{b} `,` vec{RMHC} = vec{c} `,` vec{RMHD} = vec{d} `,` vec{RMHE} = vec{e}]라 두면

[eqn: vec{rm AB it} BULLET vec{rm AD it} ``-`` vec{rm AC it} BULLET vec{rm AE it} ```=`` LEFT ( vec{b} - vec{a} RIGHT ) BULLET LEFT ( vec{d} - vec{a} RIGHT ) ``-`` LEFT ( vec{c} - vec{a} RIGHT ) BULLET LEFT ( vec{e} - vec{a} RIGHT )]

[eqn: = vecb bulletvecd ``- ``vecc bulletvece ``>0]

([eqn: BECAUSE vec{b} BULLET vec{a} ``=`` vec{c} BULLET vec{a} ``=`` vec{d} BULLET vec{a} ``=`` vec{e} BULLET vec{a} ``=0, ``vec b bullet vecd ``>``0``,``vecc bullet vec e <0])

ㄷ)  [eqn: vec{rm AB it} BULLET vec{rm AC it} ``-`` vec{rm AD it} BULLET vec{rm AE it} ```=`` LEFT ( vec{b} - vec{a} RIGHT ) BULLET LEFT ( vec{c} - vec{a} RIGHT ) ``-`` LEFT ( vec{d} - vec{a} RIGHT ) BULLET LEFT ( vec{e} - vec{a} RIGHT )]

[eqn: = vec{b} BULLET vec{c} ``-`` vec{d} BULLET vec{e} ``>0]

([eqn: BECAUSE vec{b} BULLET vec{a} ``=`` vec{c} BULLET vec{a} ``=`` vec{d} BULLET vec{a} ``=`` vec{e} BULLET vec{a} ``=0,`` vec{b} BULLET vec{c} ``>``0``,`` vec{d} BULLET vec{e} <0])

그러므로 ㄴ과 ㄷ이 옳다.

[3점]

ㄱ. [eqn: rm{vec{AB}} ``+ {vec{AC}} ``=2 {vec{AD}}]

ㄴ. [eqn: VEC{RM AB} BULLET VEC{RM AD} ```>`` VEC{RM AC} BULLET VEC{RM AE}]

ㄷ. [eqn: VEC{RM AB} BULLET VEC{RM AC} ```>`` VEC{RM AD} BULLET VEC{RM AE}]

<보기>

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x) =x^3`]에 대하여 [eqn: A_{`n}`], [eqn: B_{`n}`]을 다음과 같이 정의하자.
[eqn: A_n = sum_k=1^n `f` left( k-1 over n right)`1 over n] ,   [eqn: B_n `=`sum_k=1^n `` left{ 1- f `left( k over n right)`right} 1 over n]

②

주어진 식 [eqn: A_n ,``B_n ``]의 극한값을 각각 구해보자.

[eqn: k-1 overn =x]라 두면 구간은 [eqn: [0,1]], [eqn: dx= 1overn]이 된다.

[eqn: therefore lim_n->inf {A_n}=int_0 ^1{f(x)}dx = 1 over 4]

[eqn: k over n = x]라 두면 구간은 [eqn: [0,`1]], [eqn: dx= 1 over n]이 된다.

[eqn: therefore lim_n->inf {B_n = int _0 ^1{left{1-f(x)right}dx = 3 over 4]가 된다.

그러므로 옳은 것은 ㄱ과 ㄴ이다.

이 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: lim from n->inf `left(`A_n`+`B_n `right)` =`1]

ㄴ. [eqn: lim from n->inf ``B_n ` =` 3 over 4]

ㄷ. [eqn: lim from n->inf `left(`A_n`-`B_n `right)` =`- 1 over 4]

<보기>

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)`]의 그래프가 그림과 같을 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

⑤

ㄱ) [eqn: lim _{x -> ±0} {(f CIRC f)(x)````} ```=``````` lim _{t -> 2+} {f(t)=3}]

[eqn: uparrow] [eqn: f(x)=t]

[eqn: therefore lim_x->0{(f circ f)(x)=3 !=2]

ㄴ) [eqn: lim _{x -> 1-} {(f CIRC f)(x)} ```=``` lim _{t -> 3-} {f(t)} `=`3]

[eqn: uparrow][eqn: f(x)=t]

[eqn: lim _{x -> 2+} {(f CIRC f)(x)} ````````=```````` lim _{t -> 3-} {f(t)} `=`3]

[eqn: uparrow][eqn: f(x)=t]

[eqn: THEREFORE lim _{x -> 1-} {(f CIRC f)(x)= lim _{x -> 2+} {(f CIRC f)(x)=3}}]

ㄷ) [eqn: (f circf)(3)=][eqn: f(2)=3]

[eqn: lim _{x -> ±3} {(f CIRC f)(x)````} ```=``````` lim _{t -> 2+} {f(t)=3}]

[eqn: uparrow] [eqn: f(x)=t]

[eqn: therefore lim_x->3{(f circf)(x) = (f circf)(x) = 3]

그러므로 옳은 것은 ㄴ과 ㄷ이다.

ㄱ. [eqn: lim_x->0 ``(f circ f)(x) = 2]

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1-} {} (f CIRC f)(x)= lim _{x -> 2+} {} (f CIRC f)(x)]

ㄷ. 함수 [eqn: (f circ f )(x)`]는 [eqn: x=3`]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

삼차함수 [eqn: f`(x`) =x^3 -3x `]가 있다. 임의의 양의 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: f(a)>=f(b)`]를 만족시키는 음의 실수 [eqn: b`]의 최댓값은? [3점]

⑤

[eqn: f'(x)=3x^2 -3=3(x-1)(x+1)]

[eqn: therefore][eqn: x=1,``-1]에서 극값을 갖는다.

[eqn: a>=0]일 때, [eqn: f(a)>=f(1)=-2]([eqn: because x<1]인 구간에서 감소, [eqn: x>1]인 구간에서 증가하므로)

[eqn: therefore f(a)>=-2>=f(b)]를 만족시키는 음의 실수 [eqn: b]의 최댓값을 구하면 된다.

[eqn: f(b)+2=b^3 - 3b+2<=0]

[eqn: (b-1)^2 (b+2)<=0]

[eqn: therefore`b=1 ``or b<=-2]

[eqn: therefore b]의 최댓값 [eqn: =-2]

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]	④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

충분히 크고 비어 있는 물탱크에 다음과 같은 방법으로 물을 넣고 빼는 시행을 한다.

④

[eqn: dV overdt = t+8 ``RARROW ``V= 1over 2 t^2 +8t]([eqn: because t=0 ```rarrow ```V=0])

[eqn: V= {1} over {2} t ^{2} +8t=130] [eqn: ->] [eqn: t=10``(because t>0)]

즉, 10초 후부터 물이 빠져나가기 시작한다.

그러므로, 10초 후 남아있는 물의 양은
[eqn: V= 1over2 t^2 +8t - 26(t-10)= 1over2 t^2 -18t +260]

[eqn: THEREFORE {1} over {2} t ^{2} -18t+260=100]

[eqn: t ^{2} -36t+320=0]  [eqn: Rarrow `(t-16)(t-20)=0]

[eqn: therefore t=16] ([eqn: because]증가할 때 한번 100L가 됐으므로)

(가) 물을 넣기 시작한 지 [eqn: t`]분 ([eqn: 0<=t<=20`])이 지난 순간, 물탱크에 넣는 물의 부피의 변화율은 ([eqn: t+8])([eqn: \L/분])이다.

(나) 물의 양이 [eqn: 130`][eqn: \L`]가 되는 순간부터는 물탱크의 밑바닥에 있는 출구를 열어 물을 뺀다. 이 때, 빠져 나가는 물의 부피의 변화율은 [eqn: 26`]([eqn: \L/분`])으로 일정하다. 단, 물탱크의 출구를 열어도 (가)의 방법으로 계속 물을 넣는다.

물탱크의 물의 양이 두 번째로 [eqn: 100][eqn: \L]가 될 때까지 걸리는 시간은? [4점]

① [eqn: 10`]분	② [eqn: 12`]분	③ [eqn: 14`]분

④ [eqn: 16`]분	⑤ [eqn: 18`]분

중심이 [eqn: rm O`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 구와, 점 [eqn: rm O`]로부터 같은 거리에 있고 서로 수직인 두 평면 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]가 있다. 그림과 같이 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta`]의 교선이 구와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]라 하자.
삼각형 [eqn: rm OAB`]가 정삼각형일 때, 점 [eqn: rm O`]와 평면 [eqn: alpha] 사이의 거리는?

②

[eqn: BAR{RMAB}]의 중점을 [eqn: RMM], 점 [eqn: RMO]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], [eqn: beta]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMBARH']라 두면

[eqn: rmBAROM = SQRT3 OVER2],([eqn: BECAUSE][eqn: RMBAROA =RMBAROB = RMBARAB = 1]인 정삼각형) [eqn: {RMBAROH} =a]라 하면

[eqn: {rmbarOH = RMBAROH' = BARHM} =a]이므로 직각삼각형 [eqn: RM TRIANGLE OHM]은 직각이등변삼각형이 된다.

[eqn: THEREFORE][eqn: {RMBAROH}``:``{RMBARHM}``:``{RMBAROM} ``= ``1:1:SQRT2]이므로 [eqn: SQRT2 a= sqrt3 over2]

[eqn: therefore`` a``=``sqrt6 over4]

[4점]

① [eqn: sqrt2 over 5]	② [eqn: sqrt6 over 4]	③ [eqn: sqrt5 over 5]	④ [eqn: sqrt3 over 6]	⑤ [eqn: sqrt2 over 2]

그림은 모든 모서리의 길이가 같은 정사각뿔 [eqn: O-ABCD`]와 정사면체 [eqn: O-CDE`]를 면 [eqn: OCD`]가 공유하도록 붙여놓은 것이다.
평면 [eqn: ABCD`]와 평면 [eqn: CDE]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta `]라 할 때,
[eqn: cos` ^{2} theta]의 값은? [4점]

②

[그림1]                [그림2]

모서리의 길이를 [eqn: a`]라 하고,

ㄱ) [그림1]에서 [eqn: OBC``]와 [eqn: BCE`]가 이루는 각을 [eqn: alpha `]라 하면

[eqn: {sqrt {3}} over {4} a ^{2} TIMES cos alpha = {1} over {4} a ^{2}],

[eqn: THEREFORE `cos alpha = {1} over {sqrt {3}} `,``````sin alpha = sqrt {{2} over {3}}]

ㄴ) [그림2]에서 [eqn: OAB``]와 [eqn: DAB``]가 이루는 각을 [eqn: beta `]라 하면

[eqn: {sqrt {3}} over {4} a ^{2} TIMES cos beta = {sqrt {3}} over {4} a ^{2} TIMES {1} over {3}],

[eqn: THEREFORE `cos beta = {1} over {3} `,``````sin beta = {2 sqrt {2}} over {3}]

ㄱ),ㄴ)에서

[eqn: cos` theta =cos LEFT ( pi -alpha - beta RIGHT ) =-(cos alpha ``cos beta ``-sin alpha ``sin beta )``= {1} over {sqrt {3}}]

[eqn: THEREFORE ``cos` ^{2} theta = {1} over {3}]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: {2} over {9}]	⑤ [eqn: {1} over {9}]

[eqn: n`]이 자연수일 때, [eqn: 2n`]명의 학생을 두 명씩 [eqn: n`]개의 조로 나누는 방법의 수를 [eqn: a_n`]이라 하자.  이 때, [eqn: a_11 over a_10 `]의 값은? [3점]

④

[eqn: a_n+1 over a_n = b_n]이라 두고 [eqn: b_n]의 값을 구해 보면

[eqn: a_n+1 = _2n+2 C _2 TIMES _2n C _2 TIMES _2n-2 C_2 TIMES cdotsTIMES_2 C_2 TIMES 1 over(n+1)!],  [eqn: a _{n} = _{2n} C _{2} TIMES _{2n-2} C _{2} TIMES cdots TIMES _{2} C _{2} TIMES {1} over {n!}]

[eqn: therefore b_n = _2n+2 C_2 TIMES 1 OVER n+1 = {2(n+1)(2n+1) }over{2cdot1 }times 1overn+1 = 2n+1]

[eqn: therefore b_10 = 2cdot10 +1 = 21]

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

두 수열 [eqn: left{ a_n right}``], [eqn: left{ b_n right}``]이 모든 항이 양수인 등차수열일 때, 다음은 수열 [eqn: left{ sqrt{a_n ``b_n } right}``]이 등차수열이면 [eqn: {b _{n}} over {a _{n}} =`` BOX{``````(가)``````}] 임을 증명한 것이다.

④

나) 등차수열이므로
[eqn: sqrt{a_n ``b_n }][eqn: + sqrt{a_n+2 ``b_n+2 } `=][eqn: 2 sqrt{a_n+1 ``b_n+1 }][eqn: =][eqn: sqrt{4a_n+1 ``b_n+1 }]

다) 산술 - 기하 부등식에서 등호가 성립하는 경우이므로

[eqn: a_n+2 ``b_n = a_n ``b_n+2]

가) [eqn: ㉣]에 [eqn: ㉡]과 [eqn: ㉢]의식을 [eqn: a_n+2 = 2a_n+1 -a_n], [eqn: b_n+2 = 2b_n+1 - b_n]로 변형하여 대입하여 정리하면

[eqn: a_n b_n+1 = a_n+1 b_n]이다.

<증명>

수열 [eqn: left{ sqrt{a_n ``b_n } right}``]이 등차수열이므로 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: sqrt {a _{n} ``b _{n} `} + sqrt {a _{n+2} ``b _{n+2}} = sqrt {~ BOX{``````(나)``````} `}][eqn: ~`` CDOTS CDOTS ~㉠]

또, 두 수열 [eqn: left{ a_n right}], [eqn: left{ b_n right}``]이 등차수열이므로

[eqn: a _{n} `+`a _{n+2} `=`2`a _{n+1}] [eqn: CDOTS CDOTS ~㉡]

[eqn: b _{n} `+`b _{n+2} `=`2`b _{n+1}]  [eqn: CDOTS CDOTS ~㉢]

㉡, ㉢을 ㉠에 대입한 후, 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 2root{ a_n`` b_n ``a_n+2`` b_n+2 } = a_n ``b_n+2 `+`a_n+2`` b_n `]

(다)

다시 위 식의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: a _{n+2} ``b _{n} =`` BOX{``````(다)``````}]  [eqn: CDOTS CDOTS ~㉣]

(가)

따라서 ㉡, ㉢, ㉣에서

[eqn: {b _{n}} over {a _{n}} =`` BOX{`````(가)`````}]

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)	(나)	(다)

①  [eqn: a_n+1 over b_n+1]	[eqn: 2``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: 2``a_n`` b_n+2]

②  [eqn: a_n+1 over b_n+1]	[eqn: 4``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: a_n ``b_n+2]

③  [eqn: b_n+1 over a_n+1]	[eqn: 2``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: 2``a_n`` b_n+2]

④  [eqn: b_n+1 over a_n+1]	[eqn: 4``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: a_n ``b_n+2]

⑤  [eqn: b_n+1 over a_n+1]	[eqn: 4``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: 2``a_n`` b_n+2]

확률변수 [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: {\N}`(0`,~sigma^2 )`]을 따르고, 확률변수 [eqn: Z``]는 표준정규분포 [eqn: {\N}`(`0`,~1^2`)``]을 따른다. 두 확률변수 [eqn: X`,~Z`]의 확률밀도함수를 각각 [eqn: f(x)`,~g(x)`]라 할 때, 다음 조건이 모두 성립한다.

②

[eqn: sigma>`1]이므로 위에 있는 그래프가 [eqn: Z]이므로 [eqn: {rmP}`(0<=Z<=1.5) -][eqn: {rmP}`(0<=X<=1.5)]=0.048

[eqn: THEREFORE][eqn: {rmP}`(0<=X<=1.5)][eqn: =][eqn: {rmP}`left(0<=Z<={1.5 OVER sigma} right)=0.433-0.048=0.385]

[eqn: ={rmP}`(0<=Z<=1.2)]

[eqn: THEREFORE {1.5} over {sigma } =1.2`` RARROW `` sigma = {5} over {4} =1.25]

(가) [eqn: sigma`>1`]

(나) 두 곡선 [eqn: y=f(x)`,~y=g(x)`]는 [eqn: x=-1.5`,~x=1.5``]일 때 만난다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)`,~y=g(x)`]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 0.096``]일 때, [eqn: X`]의 표준편차 [eqn: sigma`]의 값을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

[eqn: z`]	[eqn: {rmP}`(0<=Z<=z)]
[eqn: 1.2]	[eqn: 0.385]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.433]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.477]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: -1.5]

[eqn: 1.5]

[eqn: y]

① [eqn: 1.20]	② [eqn: 1.25]	③ [eqn: 1.50]
④ [eqn: 1.75]	⑤ [eqn: 2.00]

첫째항이 [eqn: 1`], 공비가 [eqn: 1 over 2`]인 등비수열 [eqn: left{ `a_n `right}`]에 대하여 [eqn: S_{`n}`], [eqn: T_{`n}`]을 다음과 같이 정의하자.
[eqn: S_n = sum from k=1 to n a_k] ,	[eqn: T_n = sum from k=n to inf a_k]
<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

⑤

[eqn: a_n = 1 cdot left(1 over2 right)^n-1 = left(1 over2 right)^n-1]

[eqn: therefore S_n = {1 cdotleft(1 - left(1 over 2 right)^n right) } over {1- 1 over2} = 2 - left(1 over 2 right) ^n-1],

[eqn: T_n = {```````````left(1 over 2 right)^n-1 } over {1- 1 over 2} = left(1 over 2 right) ^n-2 = a_n-1]

ㄱ) [eqn: a_n + S_n = 2]

ㄴ) [eqn: T_n = a_n-1]

ㄷ) [eqn: lim from n->inf {`left(` S_n + T_n` right)} ``= lim_n->inf {left(2-a_n + a_n-1 right) = 2]

[eqn: left(because lim_n->inf{a_n = lim_n->inf{a_n-1 = 0 right)]

[eqn: sum from k=1 to inf a_k = 1 over {1-{1over2}} = 2]

[eqn: therefore][eqn: lim from n->inf `left(` S_n + T_n` right) ``= sum from k=1 to inf a_k`][eqn: =2]

그러므로 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

ㄱ. [eqn: a_n `+` S_n `=`2`]   (단, [eqn: n`=`1,~2,~3,~cdots`])

ㄴ. [eqn: T_n = a_n-1]     (단, [eqn: n`=`2,~3,~4,~cdots`])

ㄷ. [eqn: lim from n->inf `left(` S_n + T_n` right) ``= sum from k=1 to inf a_k`]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 농장에서 생산된 포도송이의 무게는 평균 [eqn: 600 `rm g `], 표준편차 [eqn: 100 `rm g `]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농장에서 생산된 포도송이 중 임의로 [eqn: 100`]송이를 추출할 때, 포도송이의 무게가 [eqn: 636 `rm g `] 이상인 것이 [eqn: 42 `]송이 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

②

포도송이 한 송이의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 두면

[eqn: X]~[eqn: N(600, 100^2 )]이므로 한 송이의 무게가 636g 이상일 확률은 [eqn: P(X>=636) = P(Z>=0.36)=0.36]

포도송이를 100송이 뽑았을 때 636g 이상인 포도송이의 개수를 확률변수 [eqn: Y]라 두면 [eqn: Y]~[eqn: B(100`,`` 0.36)]가 되고 이 이항분포는 정규분포[eqn: N(36`,`(4.8)^2 )]에 근사해 간다.

[eqn: THEREFORE P(Y>=42) = P(Z>=1.25)=0.11]

① [eqn: 0.02]	② [eqn: 0.11]	③ [eqn: 0.14]	④ [eqn: 0.16]	⑤ [eqn: 0.36]

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=log_2 ``x`], [eqn: y=-log_2 ``x`]가 직선 [eqn: x=n`] ([eqn: n`]은 [eqn: 2`] 이상의 자연수)과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm A}_n `], [eqn: {rm B}_n `]이라 하고, 점 [eqn: {rm A}_n `]을 지나고 [eqn: x`]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=-log_2 ``x`]와 만나는 점을 [eqn: {rm C}_n ``]이라 하자. 점 [eqn: {rm D`}(1,``0)`]에 대하여 두 삼각형 [eqn: {\A}_n` {\B}_n` \D`], [eqn: {\A}_n `{\C}_n` \D`]의 넓이를 각각 [eqn: S_n], [eqn: T_n`]이라 할 때, [eqn: lim from n->inf `` T_n over S_n]의 값은?

①

[eqn: S_n`=][eqn: 1 over 2 cdot(n-1)cdot2log_2 n], [eqn: T_n`=][eqn: 1 over 2 cdot(n-{1overn})cdotlog_2 n]이므로

[eqn: therefore][eqn: lim_n->inf{T_n OVERS_n } =][eqn: lim_n->inf{{n-{1overn}} over 2(n-1)} = 1 over 2]

[3점]

① [eqn: 1 OVER 2]	② [eqn: 5 OVER 8]	③ [eqn: 3 OVER 4]	④ [eqn: 7OVER 8]	⑤ [eqn: 1]

[표 1]은 [eqn: 20`]개의 행과 [eqn: 20`]개의 열로 이루어진 표에 자연수를 규칙적으로 적어놓은 것이다.

⑤

주어진 규칙에서 남은 수 들을 쭉 나열해 보면

수	개수
2	1
3	1
4	2
5	2

수	개수
6	3
7	3
8	4
9	4

수	개수
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]
18	9
19	9
20	10

[eqn: therefore]구하는 수의 총 합[eqn: =SUMFROMk=1 to 9 (2k+2k+1)cdotk + 200 = 1385]

[표 2]는 [표 1]의 홀수 번째 행에 있는 수와, 짝수 번째 열에 있는 수를 모두 지운 것이다.

[표 2]에 남아 있는 모든 자연수의 합은? [4점]

① [eqn: 1024]	② [eqn: 1155]	③ [eqn: 1225]

④ [eqn: 1280]	⑤ [eqn: 1385]

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 25`], 모선의 길이가 [eqn: 100`]인 원뿔이 있다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림과 같이 모선 [eqn: \ bar AB``]를 [eqn: n`]등분한 점 중 꼭지점 [eqn: \A`]에 가까운 점부터 차례로
[eqn: {rm P_1 ,~P_2 ,~P_3 ,~cdots~,~P}_n-1 `]이라 하고, 점 [eqn: \B`]를 [eqn: {rm P}_n `]이라 하자.
또, 점 [eqn: {rm P}_k] ([eqn: k=1,~2,~3,~cdots~,~n]) 에서 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아서 점 [eqn: {rm P}_k`]로 되돌아오는 최단 경로의 길이를 [eqn: l_k`]라 할 때,
[eqn: S_n`=` sum _{k=1} ^{n} ``l _{k} `]라 하자. 이 때, [eqn: lim_n->inf `` S_n over n `]의 값은? [4점]

①

주어진 그림의 전개도에서 [eqn: l_k =bar {P_k P_k '} =][eqn: 100sqrt2 cdot k overn]

[eqn: therefore sum_k=1^n l_k = {100sqrt2} over n cdot n(n+1) over2 = 50sqrt2 (n+1)]

[eqn: therefore lim_n->inf { S_n over n `}=lim_n->inf{{50sqrt2 (n+1) }overn = 50sqrt2]

① [eqn: 50root2]	② [eqn: 75root2]	③ [eqn: 100root2]

④ [eqn: 125 root2]	⑤ [eqn: 150root2]

좌표평면 위의 원점에 놓인 점 [eqn: \P`]가 [eqn: 1`]개의 동전을 던질 때마다 다음과 같이 움직인다고 한다.

③

전체 경우의 수는 [eqn: 2^5 = 32]가지

앞면을 [eqn: rmH], 뒷면을 [eqn: RMT]라 하면 주어진 직선과 오직 한번만 만나는 경우는 [eqn: (rmH,H,H,H,H)], [eqn: (rmH,H,H,H,T)], [eqn: (rmH,H,H,T,H)], [eqn: (rmT,H,H,H,H)], [eqn: (rmH,T,H,H,H)]의 5가지이다.

[eqn: THEREFORE p= 5over32]

앞면이 나오면 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동하고,

뒷면이 나오면 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한다.

예를 들어, 동전을 [eqn: 3`]번 던져서 차례로 앞면, 앞면, 뒷면이 나왔을 때 점 [eqn: \P`]가 지나간 자취는 그림과 같고, 이 자취는 직선 [eqn: y= 3over 2 `]과 두 점에서 만난다. 동전을 [eqn: 5`]번 던질 때, 점 [eqn: \P`]가 지나간 자취와 직선 [eqn: y= 3over 2 `]이 오직 한 점에서 만날 확률은? [4점]

① [eqn: 3over 32]	② [eqn: 1over8]	③ [eqn: 5over 32]	④ [eqn: 7 over 32]	⑤ [eqn: 1 over4]

그림과 같이 정사각형과 서로 합동인 [eqn: 5`]개의 원으로 이루어진 놀이판이 있다. 각 원의 중심은 정사각형의 네 꼭지점과 두 대각선이 만나는 점이다. 서로 다른 [eqn: 5`]개의 돌 중에서 [eqn: 3`]개를 뽑아 [eqn: 3`]개의 원 안에 각각 [eqn: 1`]개씩 올려놓는 방법의 수는? (단, 회전하여 같은 경우는 한 가지로 계산한다.) [4점]

①

주어진 5개의 돌 중에서 3개의 돌을 뽑는 경우의 수는 [eqn: ` _5 C_3 = 10]

주어진 경우의 수는 가운데 원에 돌을 놓 경우와 그렇지 않은 경우로 분류할 수 있다.

i) 가운데 원에 색칠하는 경우

뽑은 3개의 돌 중에 가운데 배열할 돌을 뽑는 경우의 수는 3가지, 이 때, 정사각형의 네 꼭지점에 2개의 돌을 배열하는 경우의 수는 2개의 돌과 2개의 빈자리를 돌리는 원순열의 수와 같으므로 [eqn: (4-1)! over 2 = 3]가지가 있다.

[eqn: therefore 10 times_3 C_1 TIMES3=90]

ii) 가운데 원에 색칠하지 않는 경우

이 경우는 결국 게개의 돌과 한 개의 빈자리를 돌리는 경우의 수로 생각할 수 있으므로

[eqn: therefore 10 times (4-1)! = 60]

i), ii)는 배반사건이므로 구하는 총 경우의 수[eqn: =90+60=150]

① [eqn: 150]	② [eqn: 160]	③ [eqn: 170]

④ [eqn: 190]	⑤ [eqn: 200]

어떤 영화의 흥행수입을 분석한 결과, 개봉한 후 [eqn: 50`]일째까지의 총 흥행수입이 [eqn: 400`]억 원이고, 개봉한 후 [eqn: 100`]일째까지의 총 흥행수입이 [eqn: 640`]억 원이라고 한다. 이 영화를 개봉한 후 [eqn: n`]일째까지의 총 흥행수입을 [eqn: f(n)] (억 원)이라 하면
[eqn: f(n)`=` a`(`1`-` b^{`n} )`]  (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 양의 상수, [eqn: n`]은 자연수)
이 성립한다고 하자. 이 영화의 총 흥행수입이 처음으로 [eqn: 800`]억 원을 넘어서는 날은 개봉한 후   며칠 째인가? (단, [eqn: log2=0.30`], [eqn: log3=0.48`]로 계산한다.) [4점]

③

주어진 조건에서 50일 까지의 흥행 수입은 400억 원 이므로

[eqn: f(50)=a(1-b^50 ) = 400] [eqn: cdotscdots](1)

또한, 100일 까지의 흥행 수입은 640억 원 이므로

[eqn: f(100)=a(1-b^100 ) = a(1-b^50 )(1+b^50 )=640] [eqn: cdotscdots](2)

(1)식을 (2)식에 대입하면

[eqn: 400(1+b^50 )=640], [eqn: 1+b^50 = 640 over 400 = 8 over 5]  [eqn: Rarrow] [eqn: therefore b^50 = 3 over 5 = 6 over 10]

양변에 상용로그를 취해 계산하면 ㄴ

[eqn: 50log`b = log `6 - log `10 = `0.30+0.48 - 1 = -0.22]

[eqn: therefore log ``b=- 0.22 over 50 = - 44 over10000```Rarrow ``b=10^{- 44 over 10000}]

이 여기서, 이 값을 (1)식에 대입하면

[eqn: a left(1 - 3over5 right)=400]

[eqn: therefore a=1000]

[eqn: f(n)`=` 1000`left(`1`-` 10^{ - 44 over 10000`n} right)`]

[eqn: f(n)]값이 800이상이 되는 [eqn: n]값을 구해주는 것이므로

[eqn: 1000`left(`1`-` 10^{ - 44 over 10000`n} right)` >=800]

[eqn: 2 over 10 >= 10^{- 44over10000 n} ```RARROW ``10 OVER2 ``<=``10^{44 OVER 10000 n}]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 1-log`2 = 7 over 10 `` <= 44 over 10000 n]

[eqn: therefore n>= 7000 over44 image 159.0909cdots]

따라서 개봉 후 160일 후에 처음으로 흥행 수입이 800억을 넘어간다.

① [eqn: 140]일	② [eqn: 150]일	③ [eqn: 160]일

④ [eqn: 170]일	⑤ [eqn: 180]일

주관식 문항 (25 ～ 30)

방정식 [eqn: 3`(`1`-`log_{`2} ``x )^2 `- `2 `( `1`-` log_{`2}`` x `) ``-`4`=`0`]의 두 근을 각각 [eqn: alpha ,``beta``]라 할 때, [eqn: alpha^{`3}`` beta^{``3} `]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 16]

[eqn: log_2 x=t]라 두면 주어진 방정식의 두 근은 [eqn: log`_2`alpha,`` log`_2`beta]가 된다.

[eqn: 3(1-t)^2 -2(1-t)-4=0], [eqn: 3t^2 -4t-3=0]

이 방정식의 두 근의 합은

[eqn: log`_2 alpha + log`_2 beta = log`_2 alphabeta=- (-4) over 3 = 4 over 3]

[eqn: therefore alphabeta=2^{4over3}]

[eqn: therefore alpha^3 beta^3 = (alphabeta)^3 = left(2^{4 over 3}right)^3 = 2^4 = 16]

[eqn: x != 2`]인 모든 실수 [eqn: x`]에서 정의된 두 함수 [eqn: f(x)`], [eqn: g(x)`]가 다음 두 조건을 만족한다.

[eqn: 21]

(나) 조건에서 [eqn: lim_x->2{g(x)=inf ``Rarrow lim_x->2{1 over g(x) = 0]이다.

그러므로 (가) 조건의 식 [eqn: 2f(x)+g(x)=1]의 양변에 [eqn: 1 over g(x)]를 곱해주면

[eqn: 2cdot{f(x) over g(x)} + 1 = 1 over g(x)]

양변에 [eqn: x->2]인 극한을 취해주면

[eqn: lim_x->2{left({2f(x) over g(x)} +1right )=lim_x->2{1 over g(x) = 0]

[eqn: therefore `lim_x->2{f(x)overg(x) = - 1 over 2]

여기서 구하라는 식의 분모, 분자를 [eqn: g(x)]로 나눠주면

준식 [eqn: = lim_x->2 {{ 4{f(x) over g(x)} - 40}over {2 f(x) over g(x) - 1 } = -2-40 over -1-1 = 21]

(가) [eqn: lim _{x -> 2} {} ` LEFT { 2`f(x)`+`g(x) RIGHT } `=1]	(나) [eqn: lim _{x -> 2} {} `g(x)`=` INF]

이 때, [eqn: lim _{x -> 2} {} {4`f(x)-`40`g(x)} over {2`f(x)-`g`(x)}]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: y`]축을 준선으로 하고 초점이 [eqn: x`]축 위에 있는 두 포물선이 있다. 두 포물선이 [eqn: y`]축에 대하여 서로 대칭이고, 두 포물선의 꼭지점 사이의 거리는 [eqn: 4`]이다. 두 포물선에 동시에 접하고 기울기가 양수인 직선을 그을 때, 두 접점 사이의 거리를 [eqn: d`]라 하자.
[eqn: d ^{``2} `]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 128]

두 포물선은 꼭지점으로부터 준선까지의 거리가 각각 2이면서 각각 [eqn: x]축으로 2, -2 만큼 평행이동한 포물선의 방정식이므로, 포물선의 방정식은 각각 [eqn: y^2 = -8(x+2)], [eqn: y^2 = 8(x-2)]가 된다.

이 때, 이 두 포물선에 동시에 접하는 직선의 방정식의 기울기를 [eqn: m]이라 두면, 첫 번째 포물선의 방정식에서의 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정식은 [eqn: y= m(x+2)- 2over m = mx + 2m - 2 over m]이 되며, 두 번째 포물선의 방정식은

[eqn: y=m(x-2) + 2 over m = mx - 2m + 2 over m]이 된다.

이 두 접선의 방정식이 일치해야 하므로 [eqn: -2m+ 2 over m = 2m - 2 over m], [eqn: 4m = 4 over m], [eqn: therefore m=1(because m>0)]가 된다.

주어진 식에 [eqn: m]값을 대입해서 직선의 방정식을 구해보면 [eqn: y=x]가 된다.

이 때, [eqn: y=x]와 두 포물선과의 교점의 좌표를 연립해서 구해보면 [eqn: (-4, `-4), (4,` 4)]가 된다.

그러므로 두점사이의 거리 [eqn: d=sqrt{8^2 + 8^2 } = sqrt128]

[eqn: therefored^2 = 128]

좌표공간에서 구 [eqn: (x-12) ^{2} +(y-5) ^{2} +(z-10) ^{2} =100`]이 [eqn: xy`]평면과 접하는 점을 [eqn: \A`]라 하고, 구 위를 움직이는 점을 [eqn: \P`]라 하자. 이 때, [eqn: \ vec OA bullet vec OP`]의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: \O`]는 원점이다.)

[eqn: 299]

구의 중심 [eqn: (12,` 5, `10)]에서 [eqn: xy]평면에 수직이면서 원점을 지나는 평면으로 자른 구의 단면과 [eqn: xy]평면과의 관계에서

[eqn: \ vec OA bullet vec OP`]값은 결국 [eqn: |RM VEC OA `|]와 점 [eqn: RMP]의 [eqn: xy]평면 위로의 수선의 발 [eqn: RMP']와 원점 [eqn: RMO]를 이은 선분인 [eqn: RM| VECOP' |]의 곱과 같다.

그러므로 [eqn: 13CDOT(13-10)<= vec OA bullet vec OP`<= 13 CDOT (13+10)]

[eqn: THEREFORE][eqn: 39<= vec OA bullet vec OP`<=299]이므로 내적 [eqn: \ vec OA bullet vec OP`]의 최댓값은 299이다.

[4점]

좌표공간에서 집합
[eqn: left{ (x,``y,``z)``|``x^2 +(z-1)^2 <=1,~`~y=0, ~~0<=z<=1 right}]
이 나타내는 도형을 [eqn: C`] 라 하자. 점 [eqn: rm A(0,``-1,``2)]와 도형 [eqn: C`] 위의 점 [eqn: rm P`]를 지나는 직선이 [eqn: xy`]평면과 만나는 점을 [eqn: rm Q`]라 하면 점 [eqn: rm Q`]가 나타내는 도형의 넓이는 [eqn: {b} over {a} `]이다. 이 때, [eqn: a`+`b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: 11]

도형 [eqn: C] 위의 점 [eqn: RMP][eqn: (p,`0,`q)]라 두면 [eqn: p^2 +(q-1)^2 <=1], [eqn: 0<=q<=1]을 만족한다.

주어진 도형의 자취는 결국 두 점 [eqn: RMA]와 [eqn: RMP]를 지나는 직선의 방정식이 [eqn: xy]평면과 만나서 생기는 점들의 자취라 볼 수 있다.

여기서, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 유도해보면

[eqn: {x-0} over {p-0} = {y-(-1)} over {0-(-1)} = {z-2} over {q-2} ``` RARROW ``` {x} over {p} =y+1= {z-2} over {q-2}]라 둘 수 있다.

이 직선 위의 임의의 점을 매개변수 [eqn: t]를 활용해 표기하면

[eqn: x=pt`,`y=t-1`,`z=2+(q-2)t]라 둘 수 있다.

이 때, [eqn: xy]평면과의 교점은 결국 [eqn: z=0]인 점들이므로 [eqn: 2+qt-2t=0]을 만족시킨다.

여기서, [eqn: p= {x} over {t}], [eqn: t=y+1], [eqn: q= {2(t-1)} over {t}]가 성립한다.

[eqn: THEREFORE ``p= {x} over {y+1}], [eqn: q= {2y} over {y+1}]

이 식을 위의 원의 방정식에 넣어서 정리하면 [eqn: y>= 1over4 x^2], [eqn: 0<=y<=1]이 된다.

그러므로 주어진 자취의 넓이는 [eqn: 4- 2int_0^2{1 over4 x^2 dx] = [eqn: 8 over 3] [eqn: =] [eqn: b over a]

[eqn: therefore a+b=11]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2.52^{`10`n}`]의 최고자리의 숫자를 [eqn: a_n`]이라 하자. 예를 들어, [eqn: 2.52^{`10}` REIMAGE 1.03 times 10^4], [eqn: 2.52^{`20}` REIMAGE 1.06 times 10^8],
[eqn: 2.52^{`30}` REIMAGE 1.10times 10^12] 이므로 [eqn: a_1 `=` a_2 `= a_3 `=`1`]이다.
[eqn: a_n >1`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값을 구하시오.
(단, [eqn: log ``2 `=`0.3010`], [eqn: log ``2.52 `=`0.4014`]로 계산한다.) [4점]

[eqn: 22]

[eqn: 2.52^10n =N] 이라 두고 양변에 상용로그를 취해주면

[eqn: log` N= 10n log`2.52 `=`4+0.014n]이 된다.

이 때, [eqn: 0.014n]은 [eqn: n<=71]일 때, [eqn: 1]보다 작으므로 저 범위에서 [eqn: 0.014]는 가수가 된다.

최고자리수는 결국 그 가수의 범위와 관련이 있으므로

[eqn: log`2<=`0.014n<log `3]을 만족시키는 최소의 [eqn: n]값을 구해주면 된다.

여기서, [eqn: log `2`=0.3010]이므로 [eqn: 0.3010 <= 0.014n],

[eqn: 14n>=301] [eqn: Rarrow] [eqn: thereforen>= 301 over 14 = 21.5]

따라서, [eqn: a_n]값이 1이 되는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 22이다.

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2008년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설