◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

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수 학 영 역

‘나’형

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2007학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

등차수열 [eqn: "{"a _{n} "}"`]에 대하여 [eqn: a _{6} -a _{`7} +a _{8} =2007`]일 때, [eqn: a _{`7}``]의 값은?

④

초항이 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]인 등차수열이라고 하면

[eqn: a_6 -a_7 +a_8 =(a+5d)-(a+6d)+(a+7d)]

[eqn: =a+6d][eqn: = a_7][eqn: =2007]

[2점]

① [eqn: {2007} over {4} `]	② [eqn: 669`]	③ [eqn: {2007} over {2} `]	④ [eqn: 2007`]	⑤ [eqn: 4014`]

[eqn: left{ {( sqrt {10} `+`3) ^{{1} over {2}} `+`( sqrt {10} `-`3) ^{{1} over {2}}} over {( sqrt {10} `+`1) ^{{1} over {2}}}right}^2]의 값은? [2점]

②

주어진 식을 정리하면

[eqn: LEFT { {( sqrt {10} +3) ^{{1} over {2}} +( sqrt {10} -3) ^{{1} over {2}}} over {( sqrt {10} +1) ^{{1} over {2}}} RIGHT } ^{2}]

[eqn: ={ (SQRT10 +3)+2CDOT(SQRT10 +3 ) ^{ { 1} over {2 } }(sqrt10 -3)^{{1}over{2}} +(sqrt10 -3)}over{sqrt10 +1}]

[eqn: = {2(sqrt10 +1)}over{sqrt10 +1}][eqn: =1~]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: sqrt {5}]	④ [eqn: 3``]	⑤ [eqn: sqrt {10}]

두 사건 [eqn: A``], [eqn: B``]에 대하여 사건 [eqn: C``] 를 [eqn: C``=`A` CUP `B``]라 하자.
[eqn: {rmP}(A)=` {1} over {4} ,~~{rmP}(B)= {2} over {3} ,`~~{rmP}(A SMALLINTER B)= {1} over {6} ``]
일 때, 조건부확률 [eqn: rm P it (B```|``C``)``]의 값은? [2점]

①

벤 다이어그램을 이용하면

[eqn: P(B vertC)= P(B)OVERP(C) = P(B) OVERP(A∪B)][eqn: ={ 2 OVER 3 } OVER { 3 OVER 4 } = 8 OVER 9]

① [eqn: {8} over {9} ``]	② [eqn: {2} over {3} ``]	③ [eqn: {5} over {9} ``]	④ [eqn: {1} over {3} ``]	⑤ [eqn: {2} over {9} `]

[eqn: (`17.8`) ^{n} `]의 정수부분이 [eqn: 9]자리의 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 값은? (단, [eqn: log``1.78=0.25`]로 계산한다.) [3점]

②

[eqn: (17.8)^ n]이 [eqn: 9]자리수가 되기 위해서 [eqn: 8<=log(17.8)^n <9]이여야 한다. [eqn: log17.8=log1.78TIMES10=1.25]이므로

[eqn: 8overlog17.8 <=n< 9overlog17.8]

[eqn: 32over5 <=n< 36OVER5]

[eqn: THEREFORE~n=7]

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n}`` c`k``] 일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n}} = {1} over {2} ``]을 만족하는 상수 [eqn: c``]의 값은?

④

[eqn: a_n =sum_k=1^inf ck=c sum_k=1^inf =c cdot 1over2 n(n+1)]

따라서

[eqn: sum_n=1^inf 1overa_n = 2 overc sum_n=1^inf 1overn(n+1)]

[eqn: = {2} over {c} lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT )]

[eqn: = 2overc lim_n->inf LEFT { LEFT ( 1- 1over2 RIGHT ) + LEFT ( 1OVER2 - 1OVER3 RIGHT )+CDOTS+ LEFT ( 1OVERn - 1 OVERn+1 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = 2overc lim_n->inf left(1- 1overn+1 right)][eqn: = 2overc]

[3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림은 [eqn: 1,~2,~3,~4``]가 적힌 정사면체의 전개도이다. 이 전개도로 만든 정사면체를 두 번 던질 때, 밑면에 적힌 수 중 첫 번째 수를 [eqn: a``], 두 번째 수를 [eqn: b``]라 하자. [eqn: |`a-b``|``]의 값을 확률변수 [eqn: X``]라 할 때, [eqn: {\E} (X``)``]의 값은?　[3점]

⑤

네 수 [eqn: 1,2,3,4]에서 중복을 허락하여 두 번 꺼냈을 때, 두 수 [eqn: a]와 [eqn: b]의 차와 같으므로 가능한 모든 경우의 수는 [eqn: 16]가지이다. 두 수의 차가 [eqn: 0]이 되는 경우의 수는 [eqn: 6]가지이다. 두 수의 차가 [eqn: 2,3]이 되는 경우의 수는 각각 [eqn: 4,2]가지이다. 확률변수 [eqn: X(=verta-b vert)]에 대한 확률분포표를 만들면 표와 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]
[eqn: P(X)]	[eqn: 1OVER4]	[eqn: 3OVER8]	[eqn: 1OVER4]	[eqn: 1OVER8]

따라서, 확률변수 [eqn: X]의 기댓값 [eqn: E(X)]는

[eqn: E(X)=LEFT(0TIMES 1OVER4RIGHT)+LEFT(1 TIMES 3OVER8 RIGHT)+LEFT(2TIMES 1OVER4 RIGHT)+LEFT(3TIMES 1OVER8 RIGHT)]= [eqn: 5OVER4]

① [eqn: {3} over {4}]	② [eqn: {7} over {8}]	③  [eqn: 1`]	④ [eqn: {9} over {8}]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]에 대하여 [eqn: AB`=C`] 일 때, 이를 [그림1]과 같이 나타내기로 하자.

⑤

주어진 정의에 의하여

[eqn: c_1 =AA,~C_2 =C_4 =AB,~C_3 =BA]

[eqn: D_2 =C_2 C_3 =ABBA, D_3 = BABA]이다.

ㄱ. 주어진 명제는 「[eqn: A^2 =0]이면 [eqn: A=0]이다.」(거짓)

(반례) [eqn: A LEFT ( matrix{0&1#0&0} RIGHT )] 이면[eqn: A ^{2} = LEFT ( matrix{0&1#0&0} RIGHT ) LEFT ( matrix{0&1#0&0} RIGHT ) = LEFT ( matrix{0&0#0&0} RIGHT )]

ㄴ. 주어진 명제는 「[eqn: AB=BA] 이면 [eqn: ABBA=BAAB]이다.」따라서, [eqn: ABBA=BAAB] (참)

ㄷ. 주어진 명제는 「[eqn: ABBA=E] 이면 [eqn: BAAB=E]이다.」

[eqn: ABBA=(AB)(BA)=E CDOTS (1)] 이므로 [eqn: AB]와 [eqn: BA]는 서로 역행렬 관계이다. 식 [eqn: (1)]의 앞위에 각각 [eqn: (AB)^-1]과 [eqn: (BA)^-1]을 곱하면

[eqn: (AB)^-1 (AB)(BA)(BA)^-1 =(AB)^-1 E(BA)^-1]

[eqn: THEREFORE E=BAAB] (참)

이와 같은 방법으로 [그림2]의 이차정사각행렬 [eqn: C _{1} ,~C _{2} ,~C_3 ,~C_4 ``]와 [eqn: D _{1} ,~D _{2} ,~D_3 ``]을 정의할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: O``]는 영행렬, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

ㄱ. [eqn: C _{1} =O] 이면 [eqn: A=O``] 이다.

ㄴ. [eqn: C_{2} =C_{3}] 이면 [eqn: D _{2} =D _{3}``]이다.

ㄷ. [eqn: D _{2} =E] 이면 [eqn: D _{3} =E``] 이다.

<보기>

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ,  ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ,  ㄷ

[eqn: z``]	[eqn: rm P it (0 <= Z <= z`)``]
[eqn: 0.5``]	[eqn: 0.1915``]
[eqn: 1.0``]	[eqn: 0.3413``]
[eqn: 1.5``]	[eqn: 0.4332``]
[eqn: 2.0``]	[eqn: 0.4772``]

어느 양식장에 있는 물고기의 무게는 평균 [eqn: 600 rm `g`], 표준편차 [eqn: 144 rm `g``]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 양식장에서 [eqn: 36]마리의 물고기를 임의추출하였을 때, 무게의 평균이 [eqn: 576 rm `g``]이상 [eqn: 636 rm `g``]이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값은? [3점]

①

임의 추출한 [eqn: 36]마리의 물고기의 무게 [eqn: X]의 평균과 표준편차를 각각 [eqn: m ,~sigma]라 하면  [eqn: m=600g,~sigma= 144over{sqrt36 }=24g]

이므로 무게의 평균이 [eqn: 576g]이상 [eqn: 636g]이하일 확률은

[eqn: P(576<=X<=636)]

[eqn: =p(m-sigma<=X<=m+1.5sigma)]

[eqn: =P(m-sigma<=X<=0)+P(0<=X<=m+1.5sigma)]

[eqn: =P(0<=X<=m+sigma)+P(0<=X<=m+1.5sigma)]

확률변수 [eqn: Z= X-m over sigma]라 하면

[eqn: P(576<=x<=636)=P(0<=Z<=1)+P(0<=Z<=1.5)]

[eqn: =~0.3413+0.4332][eqn: =0.7745]

① [eqn: 0.7745``]	② [eqn: 0.6826``]	③ [eqn: 0.6687``]
④ [eqn: 0.6247``]	⑤ [eqn: 0.5328``]

연속확률변수 [eqn: X``]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)`]의 그래프가 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: r``]인 반원의 호가 되도록 상수 [eqn: r``]의 값을 정할 때, 확률 [eqn: rm P it left(X` >= {1} over {sqrt {2 pi }} right)``]의 값은?
(단, [eqn: -r `<=` x` <= `r``]이다.) [3점]

④

[eqn: 1 over 2 pi r^2 =1]에서 [eqn: r= root {2 over pi}]

[eqn: 1 over {root 2pi} = 1 over 2 root {2 over pi } = 1 over 2 r]

[eqn: x``]좌표가 [eqn: 1 over 2 r``]인 반원 위의 점을 [eqn: \A]라 하면 동경 [eqn: rm OA]가 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기 [eqn: theta``]는 [eqn: 1 over 3 pi]이다.

∴ P[eqn: left(X ≧ 1 over {root 2pi} right) = 1 over 2 r^2 theta- 1 over 4 r^2 `sin theta][eqn: = 1 over 3 - root3 over 4pi]

① [eqn: {2} over {3} - {sqrt {3}} over {4 pi } ``]	② [eqn: {1} over {3} - {sqrt {3}} over {3 pi } ``]	③ [eqn: {2} over {3} - {sqrt {3}} over {2 pi } ``]
④ [eqn: {1} over {3} - {sqrt {3}} over {4 pi } ``]	⑤ [eqn: 1- {sqrt {3}} over {pi } ``]

이차정사각행렬 [eqn: A``]가 [eqn: A ^{2} `-`A`-`2E``=`O``] 를 만족할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: O``]는 영행렬, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

②

ㄱ. [eqn: A^2 -1-2E=0]이므로

[eqn: (A+E)^2 =A^2 +2A+E]=[eqn: (A+2E)+2A+E]=[eqn: 3(A+E)] (참)

ㄴ. 행렬 [eqn: A]의 역행렬이 존재하므로 양 변의 외쪽에 [eqn: A^-1]을 곱하면

[eqn: AB=AC]    [eqn: A ^{-1} AB=A ^{ -1} } AC]	[eqn: THEREFORE ~B=C] (참)

ㄷ. 행렬 [eqn: A= LEFT( matrix{a & b# c& d}right)]라 하면 케일리 헤밀턴의 정리에 의하여

[eqn: a+d=1,~ad-bc=-2]

따라서, [eqn: A-E= LEFT( matrix{ a&b # c&d }right)-left( matrix{ 1&0 #0 &1 }right) =left( matrix{ a-1& b# c&d-1 }right)]의 판별식 [eqn: D]는

[eqn: D=(a-1)(d-1)-bc][eqn: =(ad-bc)-(a+d)+1][eqn: =-2]

이므로 역행렬이 존재한다.

그러므로 [eqn: (A-E) left( matrix{ x # y } right)=left( matrix{ 0 #0}right)]

[eqn: (A-E)^-1 (A-E)left( matrix{ x #y }right)=(A-E)^-1 left( matrix{ 0 #0 }right)]

[eqn: THEREFOREleft( matrix{ x #y }right)=left( matrix{ 0 #0 }right)] (거짓)

ㄱ. [eqn: (A+E) ^{2} `=`3(A+E)]

ㄴ. 이차정사각행렬 [eqn: B``], [eqn: C``]에 대하여 [eqn: AB``=`AC``] 이면
[eqn: B``=`C] 이다.

ㄷ. 연립일차방정식 [eqn: (A`-E) pmatrix{x#y} `=` pmatrix{0#0}]은 [eqn: x=0,```y=0] 이외의 해를 가진다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 5]개의 제비 중에서 당첨제비가 [eqn: 2]개 있다. 갑이 먼저 한 개의 제비를 뽑은 다음 을이 한 개의 제비를 뽑을 때, 갑이 당첨제비를 뽑을 사건을 [eqn: A`], 을이 당첨제비를 뽑을 사건을 [eqn: B``]라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 한 번 뽑은 제비는 다시 넣지 않는다.) [3점]

⑤

갑이 당첨될 확률 P[eqn: (A)= 2 over 5]

을이 당첨될 확률

∙ 갑이 당첨됐을 경우

P[eqn: (A∩B`)= 2 over 5 × 1 over 4 = 1 over 10]

∙ 갑이 당첨되지 않았을 경우

P[eqn: (A^C ∩B`)= 3 over 5 × 2 over 4 = 3 over 10]

∴ P[eqn: (B`)= 1 over 10 + 3 over 10 = 2 over 5]

ㄱ. 참

[eqn: \P(A)= \P(B`)= 2 over 5]

ㄴ. 거짓

[eqn: \P(B`|A)= {\P(A∩B`)} over {\P(A)}= {1 over 10} over {2 over 5} = 1 over 4]

[eqn: \P(B`|A^C )= {\P(A^C ∩B`)} over {\P(A^C )}= {3 over 10} over {3 over 5} = 1 over 2]

∴ [eqn: \P(B`|A)＜ \P(B`|A^C `)]

ㄷ. 참

[eqn: \P(B`|A)= {\P(A∩B`)} over {\P(A`)}]

[eqn: \P(A|B`)= {\P(A∩B`)} over {\P(B)}]

[eqn: \P(A)= \P(B`)]이므로 [eqn: \P(B`|A)= \P(A|B`)]

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ㄱ. [eqn: {rmP}(A)={rmP}(B)]

ㄴ. [eqn: {rmP}(B``|A)`>`{rmP}(B``|A ^{c} ``)`]

ㄷ. [eqn: {rmP}(B``|A)`={rmP}(A``|B)]

<보기>

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄷ

주머니 속에 빨간 공 [eqn: 3``]개, 노란 공 [eqn: 4``]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 2``]개의 공을 꺼내는 시행을 반복할 때, 세 번째 시행에서 처음으로 서로 다른 색의 공이 뽑힐 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) [3점]

③

첫 번째와 두 번째 꺼낸 공의 색이 같은 경우와 다른 경우에 대하여 나누어 구하면

[eqn: 1)]색이 다른 경우

[eqn: {}_{2}C_1 TIMES{{}_{3}C_2 CDOT{}_{4}C_2}OVER{{}_{7}C_2 CDOT{}_{5}C_2 }TIMES{{}_{1}C_1 CDOT{}_{2} C_1}OVER{{}_{3} C_2} = 4OVER35]

[eqn: 2)]색이 같은 경우: 노랑 공을 [eqn: 2]개씩 두 번 꺼낸 경우이므로 남아 있는 공은 모두 빨강 공이 되어 서로 다른 색의공을 꺼낼 수 없다. 따라서, 구하는 값은 [eqn: 4OVER35]이다.

① [eqn: 2over35``]	② [eqn: 3over35``]	③ [eqn: 4over35``]	④ [eqn: 6over35``]	⑤ [eqn: 8over35``]

행렬 [eqn: A= pmatrix{``1```&``0``#``1```&``2``} ``]의 역행렬을 [eqn: B``]라 할 때, [eqn: B^{``n}``]의 [eqn: (2``,~1)``]성분을 [eqn: a _{n``}`]이라 하자.  [eqn: sum _{k=1} ^{10} ``a _{k} ``]의 값은? [4점]

③

행렬 [eqn: A]의 역행렬 [eqn: B]는 [eqn: B= 1OVER2 LEFT( matrix{ 2&0 # -1&1 }RIGHT)=LEFT( matrix{1 &0 #- 1OVER2 &1OVER2 }RIGHT)]이므로

[eqn: B^2 =LEFT( matrix{ 1&0 #- 1OVER2 & 1OVER2}RIGHT)LEFT( matrix{ 1&0 # - 1OVER2& 1OVER2}RIGHT)= LEFT ( matrix{ 1&0 # 1OVER2^2 -1& LEFT ( 1OVER2 RIGHT )^2 } RIGHT )]

[eqn: B^3= LEFT ( matrix{ 1&0 #1OVER2^2-1 & LEFT ( 1OVER2 RIGHT )^2 } RIGHT ) LEFT ( matrix{ 1& 0# - 1OVER2&1OVER2 } RIGHT )= LEFT ( matrix{ 1&0 #1OVER3^3 -1 & LEFT ( 1OVER2 RIGHT ) ^3} RIGHT )]

[eqn: B^n= LEFT ( matrix{ 1&0 # 1OVER2^n -1& LEFT ( 1OVER2 RIGHT ) ^n} RIGHT )]	[eqn: THEREFORE a_n = 1OVER2^n -1]

① [eqn: -11`-` {1} over {2 ^{10}} ``]	② [eqn: -10`-` {1} over {2 ^{10}} ``]	③ [eqn: -9`-` {1} over {2 ^{10}} ``]
④ [eqn: -10`-` {1} over {2 ^{11}} ``]	⑤ [eqn: -9`-` {1} over {2 ^{11}} ``]

수열 [eqn: LEFT { S _{n`} RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} left( sqrt {1+ {k} over {n ^{2}}} -1`right)``]일 때, 다음은
[eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n} ``]의 값을 구하는 과정이다.

④

모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: {x} over {2+x} < sqrt {1+x} -1< {x} over {2}]가 성립한다. 자연수 [eqn: k,~n`]([eqn: k`≦`n`])에 대하여 [eqn: x= {k} over {n ^{2}} ``]를 위 등식에 대입하여 정리하면

[eqn: {k} over {2n ^{2} +k}` < sqrt {1+ {k} over {n ^{2}}} -1< {k} over {2n ^{2}} ``]

이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{n} {k} over {2n ^{2} +k} <S _{n} < {1} over {2n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} k``]

이다. 이 때,

[eqn: lim from {n`→`inf} 1 over 2n^2 SUM from k=1 to n k ``= lim from {n`→`inf} 1 over 2n^2 × n(n+1) over 2][eqn: = lim from {n`→`inf} {n^2 +n} over 4n^2 = 1 over 4]

이고

[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT { {1} over {2n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} k- sum _{k=1} ^{n} {k} over {2n ^{2} +k} RIGHT }]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {k ^{`2}} over {2n ^{2} (2n ^{2} +k)}] [eqn: ≦lim from n->inf sum _{k=1} ^{n} {k ^{`2}} over {4n ^{4}}]

[eqn: = lim from {n`→`inf} 1 over 4n^4 × {n(n+1)(2n+1)} over 6 =0]

이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n} =``][eqn: {1} over {4}]이다.

모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: {x} over {2+x} < sqrt {1+x} -1< {x} over {2} ``]가

성립한다.

자연수 [eqn: k,~n`] ([eqn: k`<=`n`])에 대하여 [eqn: x= {k} over {n ^{2}} ``]를 위 부등식에

대입하여 정리하면

[eqn: {k} over {2n ^{2} +k}` < sqrt {1+ {k} over {n ^{2}}} -1< {k} over {2n ^{2}} ``]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {k} over {2n ^{2} +k} <S _{n} < {1} over {2n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} k``] 이다.

이 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {2n ^{2}}} sum _{k=1} ^{n} k=``](  가  )이고,

[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT { {1} over {2n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} k- sum _{k=1} ^{n} {k} over {2n ^{2} +k} RIGHT } = lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {k ^{`2}} over {2n ^{2} (2n ^{2} +k)} #≦lim from n->inf sum _{k=1} ^{n} {k ^{`2}} over {4n ^{4}} ``= ( ~ ~나~)]

이므로  [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n} =``](  다  )이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)          (나)           (다)
①    [eqn: {1} over {2}]            [eqn: 0]              [eqn: {1} over {2}]

②    [eqn: {1} over {2}]           [eqn: {1} over {2}]             [eqn: {1} over {2}]

③    [eqn: {1} over {4}]           [eqn: 0]              [eqn: {1} over {2}]

④    [eqn: {1} over {4}]           [eqn: 0]              [eqn: {1} over {4}]

⑤    [eqn: {1} over {4}]           [eqn: {1} over {2}]              [eqn: {1} over {4}]

확률변수 [eqn: X``]가 정규분포 [eqn: {rmN}(5`,``3 ^{2}` )``]을 따를 때,
[eqn: rm P it (|X-5| <= 3)=0.6826``]이다. 확률변수 [eqn: Y``]를 [eqn: Y=2X`+1``]이라 할 때, [eqn: {rmP}(Y` >= `17)``]의 값은? [3점]

②

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: N(5.3^2 )]을 따르므로

[eqn: m=5,~sigma=3]

[eqn: P( vert X-5 vert<=3)=P(-3<=X-5<=3)]

[eqn: =P(2<=X<=8)][eqn: =][eqn: P(m-sigma<=X<=m+sigma)]

[eqn: =][eqn: 2P(0<=X<=m+sigma)][eqn: =0.6826]

[eqn: THEREFORE P(0<=X<=m+sigma)=0.3413]

따라서,

[eqn: p(y>=17)=P(2X+1>=17)]

[eqn: =P(X>=8)][eqn: =P(X>=m+sigma)][eqn: = 1 over2 -P(0<=X<=m+sigma)]

[eqn: =0.5-0.3413][eqn: =0.1587]

① [eqn: 0.1037``]	② [eqn: 0.1587``]	③ [eqn: 0.3174``]
④ [eqn: 0.3413``]	⑤ [eqn: 0.6826``]

좌표평면에서 자연수 [eqn: k``]에 대하여 네 부등식
[eqn: x``>``0``,~y``>``0``,~y``<``2 ^{-x} +k``,~x``<``k+ {1} over {2}]을 모두 만족하는 영역에 있는 점 중에서 [eqn: x``]좌표와 [eqn: y``]좌표가 모두 자연수인 점의 개수를 [eqn: N(k`)``]라 하자.  [eqn: sum _{k=1} ^{10} N(k)``]의 값은? [4점]

⑤

그림과 같이 [eqn: x=k]일 때 주어진 부등식의 영역 내에 있는 격자점의 수 [eqn: N(k)]는

[eqn: N(k)=sum_n=1^k left[1over2^n +k right]=sum_n=1^k k=k^2] 이므로

[eqn: sum_k=1^10 N(k)=sum_k=1^10 k^2 = 1over6 cdot10 cdot11cdot21 =385]

① [eqn: 55``]	② [eqn: 125``]	③ [eqn: 144``]	④ [eqn: 252``]	⑤ [eqn: 385``]

선분 [eqn: rm AB]를 한 변으로 공유하는 정삼각형, 정사각형, 정오각형, ⋯ 을 차례로 그린다. 그림과 같이 선분 [eqn: rm AB]의 양 끝점에 [eqn: 1``], [eqn: 2``]를 각각 적고, 각 정다각형의 꼭지점 중 두 점 [eqn: rm A,~B`]를 제외한 모든 꼭지점에 정삼각형, 정사각형, 정오각형, ⋯ 의 순서로 자연수 [eqn: 3,~4,~5,~ CDOTS `]를 차례로 대응시킨다. 정[eqn: 40]각형의 꼭지점에 대응되는 자연수 중에서 가장 큰 수는? [4점]

③

정 [eqn: n]각형 (단, [eqn: n>=3)]의 꼭지점에 대응하는 수 중에서 가장 큰 수를 [eqn: a_n]이라고 하면 [eqn: a_3 =3,~a_4 =5,~a_5 =8,~cdots]

수열 [eqn: left{b_n}right}]을 [eqn: b_n =a_n-2]라 하면, [eqn: left{b_n}right}]은 계차가 공차가 [eqn: 1]인 등차수열이다.

[eqn: b _{n} =b _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} )(k+1)=3+ {1} over {2} n)(n-1)+(n-1)][eqn: = 1over2 (n^2 +n+4)]

따라서, 정 [eqn: 40]각형의 가장 큰 수 [eqn: a_40]은

[eqn: a_40 =b_n = 1over2 (38^2 +38+4)][eqn: =743]

① [eqn: 555``]	② [eqn: 639``]	③ [eqn: 743``]	④ [eqn: 857``]	⑤ [eqn: 950``]

자연수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f`(k`)``]가
[eqn: f`(k`)= cases{k-2~~~~~~&(``k`` >= ``4``)#&#```f`(f`(k+3`))`~~~`&(``k``<``4``)}]
을 만족할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} f`(k`)``]의 값은? [4점]

③

[eqn: k=1]일 때,

[eqn: f(1)=f(f(4))=f(2)=f(f(5))=f(3)=f(f(6))=f(4)=2]

같은 방법으로 계산하면

[eqn: f(2)=f(3)=2] 따라서, 구하는 값은

[eqn: sum_k=1^20 f(k)=3times2 +sum_k=4^20 f(k)][eqn: =6+sum_k=1^20 (k-2)-sum_k=1^20 (k-2)]

[eqn: =6+left(1over2 times20times21-2times20Right)-left(1over2 times3times4-2times3right)]

[eqn: =6+170][eqn: =176]

① [eqn: 168``]	② [eqn: 172``]	③ [eqn: 176``]	④ [eqn: 180``]	⑤ [eqn: 184``]

그림은 제[eqn: 1`]행에 [eqn: 1``]을 시작으로 바로 다음 행에 ↙ 방향으로는 직전의 수에 [eqn: 2``]를 더한 수를, ↘ 방향으로는 직전의 수의 역수를 나열하는 과정을 반복한 것이다. 예를 들면, 제[eqn: 3`]행의 첫 번째 수 [eqn: 5``]는 직전의 수 [eqn: 3``]에 [eqn: 2``]를 더한 수이고, 두 번째 수 [eqn: 1over3``]은 직전의 수 [eqn: 3``]의 역수이다.

②

각 행에 있는 항의 수는 [eqn: 1,2,4,8,cdots] 이므로 [eqn: n]행에 있는 항의 수는 [eqn: 2^n-1]개다.

또한, [eqn: n>=2]인 경우 [eqn: n]행에서 [eqn: 2^n-2 +1] 항의 수열은 [eqn: 1,3,5,7,cdots] 이므로 일반항 [eqn: a_n]은 [eqn: a_n =2n-3] (단, [eqn: n>=2])

따라서, [eqn: 10]행에서 [eqn: 2 ^8 +2]번째 항은 [eqn: 9]행에서 [eqn: 2^7 +1]번째 항

즉, [eqn: a_9]의 역함수이므로 [eqn: a_9 =2times9-3=15]

[eqn: THEREFORE 1over15]

제[eqn: 10`]행의 맨 왼쪽부터 [eqn: left( 2 ^{8} +2 ` right)``]번째에 있는 수는? [4점]

① [eqn: {1} over {17} ``]	② [eqn: {1} over {15} ``]	③ [eqn: 13``]	④ [eqn: 15``]	⑤ [eqn: 17``]

세 로그함수 [eqn: f(x)=log _{``a} ``x``,~g(x)=log _{``b} ``x``,~h(x)=log _{``c} ``x``]의 밑 [eqn: a,~b,~c``]가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

⑤

밑 조건에 의하여 [eqn: a,b,c]는 [eqn: 1]이 아닌 양수이고 이 순서로 등비수열을 이루므로

[eqn: b^2 =ac cdots(1)]

ㄱ. [eqn: a,b,c]가 양수이므로 산술 [eqn: cdot]기하평균에 의하여

[eqn: {a+c}over2 >=sqrtac =sqrtb^2 =b]

따라서, [eqn: a+c]의 최솟값은 [eqn: 2b]이다 (참)

ㄴ.[eqn: 1overf(5) =log_5 a,~ 1over5 =log_5 b,~ 1overh(5) =log_5 c]이므로 식 [eqn: (1)]의 양 변에 밑이 [eqn: 5]인 로그를 취하면 [eqn: 2log_5 b=log_5 a+log_5 c]

[eqn: THEREFORE 2overg(5) = 1overf(5) + 1overf(5)] 따라서 [eqn: 1overf(5) = 1overf(5) + 1overh(5)]는

등차수열을 이룬다. (참)

ㄷ.[eqn: x_1 =a^5,~ x_2 =b^5,~ x_3 =c^5]이므로 식 [eqn: (1)]에 대입하면

[eqn: left[x_2^{{1}over{5}}^2}right]=left[x_1^{{1}over5}right]cdot left[x_3^{{1over5}}right]]

[eqn: THEREFORE x^2{}_{2}=x_1 cdot x_3]

따라서, [eqn: x_1,~ x_2, ~x_3]은 등비수열을 이룬다. (참)

		〈 보기 〉
*보기*
	ㄱ. [eqn: a+c``]의 최솟값은 [eqn: 2b`]이다. ㄴ. [eqn: {1} over {f(5)} ,~ {1} over {g(5)} ,~ {1} over {h(5)} `]은 이 순서로 등차수열을 이룬다. ㄷ. [eqn: f(x _{1} )=g(x _{2} )=h(x _{3} )=5`]이면 [eqn: x _{1} ,~x _{2} ,~x _{3} `]은 이 순서로 등비수열을 이룬다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표평면 위에 서로 다른 세 점 [eqn: rm A(0`,``1`)``], [eqn: rm B(1`,``0)``], [eqn: {rm C}` (a,~b)``]가 있다. 선분 [eqn: rm {AC ``]의 중점을 [eqn: {rm P} it rm _{1} ``]이라 하고, 선분 [eqn: rm {BP _{1}} ``]의 중점을 [eqn: rm Q it rm _{1} ``]이라 하자. 또, 선분 [eqn: rm {AQ _{1}} ``]의 중점을 [eqn: {rm P} it rm _{2} ``]라 하고, 선분 [eqn: rm {BP _{2}} ``]의 중점을 [eqn: rm Q it rm _{2} ``]라 하자. 이와 같이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 선분 [eqn: {{rm BP} it rm _{n} it}]의 중점을 [eqn: {rm Q} it rm _{n} ``]이라 하고, 선분 [eqn: {rm AQ} it _{n} it]의 중점을 [eqn: {rm P} it rm _{n+1`} ``]이라 하자. [eqn: n``]이 한없이 커질 때, 점 [eqn: {rm P} it rm _{n} ``]은 어떤 점에 한없이 가까워지는가?	[4점]

④

[eqn: P_n]을 [eqn: (x_n ,~ y_n )]이라고 하면 [eqn: Q_n]은 [eqn: BP_n]의 중점이므로

[eqn: Q_n = left({x_n +1}over2 , y_n over2right)] 또한, [eqn: P_n+1]은 선분 [eqn: AQ_n]의 중점

이므로 [eqn: P_n+1 =left({x_n +1 }over4 ,{ y_n +2}over{4}right)]이다.

따라서, [eqn: x_n+1 = 1over4 x_n + 1over4 , ~y_n+1 = 1over4 y_n + 1over2] [eqn: x_n ,~y_n]은

모두 계차수열이 공비가 [eqn: 1over4]인 등비수열이므로 두 수열의

일반항을 구하면

[eqn: x_n =left(x_1 - 1over3right)cdotleft(1over4right)^n+1 + 1over3 cdots(1)]

[eqn: y_n =left(y_1 - 2over3right)cdot left(1over4 right)^n-1 + 2over3 cdots(2)]

[eqn: n->inf]일 때, 식 [eqn: (1)]과[eqn: (2)]의 극한값은

[eqn: lim_n->inf x_n = 1over3 ,~lim_n->inf y_n = 2over3]

따라서, 점 [eqn: P_n]은 [eqn: left(1over3 , 2over3right)]에 가까워진다.

① [eqn: LEFT ( {3} over {4} `,`` {1} over {4} RIGHT )]	② [eqn: LEFT ( {2} over {3} `,`` {1} over {3} RIGHT )]	③ [eqn: LEFT ( {1} over {2} `,`` {1} over {2} RIGHT )]
④ [eqn: LEFT ( {1} over {3} `,`` {2} over {3} RIGHT )]	⑤ [eqn: LEFT ( {1} over {4} `,`` {3} over {4} RIGHT )]

집합 [eqn: A= LEFT { x``|``x``는~12의~양의~약수 RIGHT } ``]의 원소 중에서 서로 다른 [eqn: 4``]개의 원소를 택하여 일렬로 나열할 때, 양 끝에 놓인 두 수의 곱과 나머지 두 수의 곱이 서로 같은 경우의 수는?	[4점]

⑤

집합 [eqn: A=left{1,2,3,4,6,12right]이므로 두 수의 곱의 크기에 따라 나누어 고려하면

[eqn: 1)] 두 수의 곱이 [eqn: 6]인 경우

처음과 끝이 오는 두 수가 [eqn: 1,6] 또는 [eqn: 2,3]이고 나머지 두 수가 가운데 오는 경우의 수는 [eqn: {}_{2} C_1 times2!times2! =8] (가지)

[eqn: 2)] 두 수의 곱이 [eqn: 12]인 경우

두 가지 즉, [eqn: 1,12]와 [eqn: 2,6], [eqn: 3,4] 세 가지이다. 따라서 가능한 경우의 수는 [eqn: {}_{3}C_2 TIMES{}_{2} C_1 TIMES2!TIMES2! =48] (가지)

[eqn: 3)] 두 수의 곱이 [eqn: 24]인 경우

두 가지 즉, [eqn: 2,12]와 [eqn: 4,6]일 때 가능하다, 따라서, 가능한 경우의 수는 [eqn: 1)]의 경우와 같다. 따라서, 가능한 경우의

수는 [eqn: 8+24+8=40] (가지)

① [eqn: 18]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 32``]	⑤ [eqn: 40``]

공기는 산소, 수소, 질소 등과 같은 여러 가지 원소들로 이루어져 있다. 지표면에서부터 높이가 [eqn: x``](km)인 곳에서의 어떤 원소의 밀도를 [eqn: n(x)]라 하면 관계식 [eqn: log``n(x)=log``n _{0} -k`x``] (단, [eqn: n _{0}`]은 지표면에서의 밀도, [eqn: k`]는 양의 상수)가 성립한다고 한다. 이 원소의 밀도가 지표면에서의 밀도의 [eqn: {1} over {2}]배, [eqn: {1} over {1000}]배가 되는 높이를 각각 [eqn: x _{1} ``], [eqn: x _{2} ``]라 할 때, [eqn: {x _{2}} over {x _{1}} ``]의 값은? (단, [eqn: log``2=0.3``]으로 계산한다.) [4점]

③

지표면에서 원소의 밀도를 [eqn: a]라 하면

밀도가 [eqn: 1over2]배인 지점 [eqn: x_1]에서 다음 관계가 성립한다.

[eqn: log {1} over {2} a=loga-kx _{1}]

[eqn: THEREFORE x _{1} =` {log2} over {k}]

마찬가지로 원소의 밀도가 [eqn: 1over1000]배인 지점 [eqn: x_2]에서 관계식은

[eqn: log {1} over {1000} a=loga-kx _{2}]

[eqn: THEREFORE x _{2} = {3} over {k}]

따라서 [eqn: {x _{2}} over {x _{1}} = {{3} over {k}} over {{log2} over {k}} = {3} over {log2} = {3} over {0.3} =10]

① [eqn: 5``]	② [eqn: 8``]	③ [eqn: 10``]	④ [eqn: 15``]	⑤ [eqn: 20``]

한 변의 길이가 [eqn: 1``]인 정사각형을 [eqn: R`]라 하자. [eqn: R`]의 각 변을 [eqn: 2`]등분 한 후 [그림1]과 같이 각 꼭지점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {2} ``]인 사분원을 그릴 때, 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S _{1} ``]이라 하자. [eqn: R`]의 각 변을 [eqn: 4``]등분 한 후 [그림2]와 같이 각 꼭지점 및 각 변의 이등분점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {4} ``]인 사분원과 반원을 그릴 때, 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S _{2} ``]라 하자.
[eqn: R`]의 각 변을 [eqn: 8``]등분 한 후 [그림3]과 같이 각 꼭지점 및 각 변의 사등분점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {8} ``]인 사분원과 반원을 그릴 때, 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S _{3} ``]이라 하자.
이와 같은 방법으로 [eqn: S _{4} `,````S _{5} ,````S _{6} `,`` CDOTS] 을 구할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ```S _{n} ``]의 값은?

①

[eqn: n`]번째 도형에서 작은 원 [eqn: 1]개의 넓이는 [eqn: left (1 over 2^n right )^2 pi= 1 over 4^n pi]

[eqn: n`]번째 도형에서 작은 원의 개수는 [eqn: 2^n -1]

[eqn: S_n = {2^n -1} over 4^n pi][eqn: = left( 1 over 2^n - 1 over 4^n right) pi]

∴ [eqn: SUM from n=1 to inf S_n = left({1 over 2} over {1- 1 over 2} - {1 over 4} over {1- 1 over 4} right) pi][eqn: = left( 1- 1 over 3 right) pi = 2 over 3 pi]

[4점]

① [eqn: {2} over {3} pi ``]	② [eqn: {3} over {4} pi ``]	③ [eqn: 7 over 9 pi ``]	④ [eqn: 7 over 8 pi ``]	⑤ [eqn: {8} over {9} pi ``]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sqrt {n ^{2`}+3n}`]의 소수부분을 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {``10overa _{n}}]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 20]

임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: (n+1)^2 <n^2 +3n<(n+2)^2]이 성립하므로 [eqn: sqrt{n^2 +3n}]의 정수부분은 [eqn: n+1]이다. 그러므로 소수 부분 [eqn: a_n]은  [eqn: a_n =sqrt{n^2 +3n }-(n+1)]

따라서, 구하는 값은

[eqn: lim _{n -> INF } {} {10} over {a _{n}} = lim _{n -> INF } {} {10} over {sqrt {n ^{2} +3n} -(n+1)}]

[eqn: =lim_n->in{ {10}{left{sqrt{n^2 +3n }+(n+1)}right}}over{n^2 +3n-(n^2 +2n +1)][eqn: =lim_n->inf{ { {10}left{sqrt{n^2 +3n}+(n+1)}right}}over{n-1}]

[eqn: =20]

수열 [eqn: "{"a _{n} "}"`]의 일반항이
[eqn: a _{n} =n-4 LEFT [ {n} over {4} RIGHT ] ``]
일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{25} a _{n} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: [x]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

[eqn: 37]

[eqn: n]을 [eqn: 4]로 나누었을 때의 나머지에 따라 값이 달라지므로 [eqn: n=4k+r](단, [eqn: r=0,1,2,3)]인 경우를 고려하면

[eqn: a_4k+r =(4k+r)-4left[4k+r over4 right]=r]

따라서, [eqn: sum_n=1^25 a_n =6 cdot(0+1+2+3)+1=37]

[eqn: A`=` pmatrix{1&``````3```#-1```````&-2```}]이고, [eqn: A ^{11} `` pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{``18```#``13```} ```]일 때, [eqn: x+y```]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 13]

행렬 [eqn: A]에 대하여 케일리 헤밀턴 정리를 적용하면

[eqn: A^2 +A+E=0,~ THEREFOREA^3 =E] 또한 , [eqn: -A(A+E)=E]

이므로 행렬 [eqn: A]의 역행렬은 [eqn: -(A+E)]이다.

그리고, [eqn: A^11 =(A^2 ) A^2 =A^2 =-(A+E)]이므로 주어진

관계식을 정리하면

[eqn: A^1 LEFT( matrix{ x # y }RIGHT)=LEFT( matrix{ 18 # 13 }RIGHT)][eqn: -(A+E)LEFT( matrix{ x #y }right)=left( matrix{ 18 #13 }right)]양 변에 [eqn: -(A+E)]의

역행렬 [eqn: A]를 곱하면

[eqn: THEREFORELEFT( matrix{ x # y }right)=A left( matrix{ 18 # 13 }right)=left( matrix{1&3 #-1& -2}right)left( matrix{ 18 # 2 }right)=left( matrix{ 57 # -44 }right)] 따라서,

[eqn: x+y=57-44=13]

어느 사관학교에서는 매년 휴가기간에 [eqn: 4``]학년 생도 전부를 대상으로 해외 배낭여행을 실시하고 있다. 여행 [eqn: 6`]개월 전에 희망지역을 조사한 결과, 유럽, 미국, 아시아 지역을 희망한 생도의 비율이 각각 [eqn: 30`]%, [eqn: 50`]%, [eqn: 20`]%이었다. 비자발급을 위해 여행 [eqn: 3`]개월 전에 희망지역을 최종적으로 조사한 결과 유럽 지역을 희망했던 생도의 [eqn: 15`]%, 미국 지역을 희망했던 생도의 [eqn: 5`]%, 아시아 지역을 희망했던 생도의 [eqn: 35`]%가 여행지를 변경하였다. 여행지역을 변경한 생도 [eqn: 1``]명을 임의로 택할 때, 그 생도가 최초에 미국 지역을 희망했을 확률은 [eqn: q over p ``]이다. [eqn: p+q``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`,~q``]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: 33]

[eqn: 4]학년 생도 수를 [eqn: a]라 하면 여행 [eqn: 3]개월 전에 희망지역을 변경한 생도 수는 표와 같다.

희망지역	유럽	미국	아시아
최초 희망자 수	[eqn: 3over10 a]	[eqn: 1over2 a]	[eqn: 1over5 a]
변경한 희망자 수	[eqn: 0.15times 3over10 a]	[eqn: 0.05times 1over2 a]	[eqn: 0.35times 1over5 a]

따라서, 여행지역을 변경한 생도 [eqn: 1]명을 임의로 택할 때, 그 생도가 최초에 미국 지역을 택했을 확률은

[eqn: {{q} over {p} ={ {5} over {100} TIMES {1} over {2} a} over {LEFT( {15} over {100`}times 3over10 a}RIGHT )+ LEFT ( 5over100 times 1over2 a RIGHT ) + LEFT ( {35} over {100} TIMES {1} over {5} a RIGHT )}]

[eqn: = 25over45+25+70][eqn: = {5} over {28}]

따라서, [eqn: p+q=5+28=33]

수면에서 수면과 수직인 방향으로 물속을 향해 발사된 총알은 시간이 지날수록 물의 저항에 의해 속도가 줄어든다. 수면에서 [eqn: 1000 ``](m/초)의 속도로 어떤 총알이 발사된 후 [eqn: t``]초
[eqn: left( 0`` <= ``t``<`` 1 over 50 right)]가 지난 순간 총알의 속도를 [eqn: v(t)``](m/초)라 하면 관계식 [eqn: v`(t)=a CDOT b ^{100t} ``] (단, [eqn: a``]와 [eqn: b``]는 양의 상수)이 성립한다고 하자. 발사 후 [eqn: {1} over {100} ``]초가 지난 순간 총알의 속도가 [eqn: 50 rm (m/초)``]이었다. 총알의 속도가 [eqn: 100 sqrt {5} `` rm (m/초)``]가 되는 것은 총알이 발사된 후 [eqn: p`]초가 지난 순간이다. [eqn: 1over p`]의 값을 구하시오.	[4점]

[eqn: 200]

[eqn: v(0)=a=1000]

[eqn: v left(1 over 100 right) =1000 ⋅b=50]에서 [eqn: b= 1 over 20]

[eqn: 100root5 =1000⋅b^100p]에서 [eqn: b^100p = root5 over 10]

[eqn: 100p log 1 over 20 = log root{1 over 20 }]에서 [eqn: 100p = 1 over 2]

∴ [eqn: 1 over p =200]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5`` RIGHT } `]에서 [eqn: X``]로의 함수 중에서 다음 조건을 모두 만족하는 함수 [eqn: f``]의 개수를 구하시오.	[4점]

[eqn: 72]

㈎ 일대일 대응이다.

㈏ 정의역의 1은 공역의 1과 대응되지 않는다.

㈐ 정의역의 1은 공역의 2와 대응되지 않는다.

㈏, ㈐에서 1은 3, 4, 5로만 갈 수 있고, 나머지는 순열로 계산하면 [eqn: 3`×`4! =72]이다.

(가) [eqn: f`]의 역함수가 존재한다.

(나) [eqn: f(1)` not=`1`]

(다) [eqn: f(2)` not=`f(f(1))`]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2007년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설