◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

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수 학 영 역

‘가’형

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2007학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

등차수열 [eqn: "{"a _{n} "}"`]에 대하여
[eqn: a _{6} -a _{`7} +a _{8} =2007`]
일 때, [eqn: a _{`7}``]의 값은? [2점]

④

수열 [eqn: left{ a_n right}]이 등차수열이므로 [eqn: a_7`]은 [eqn: a_6`], [eqn: a_8`]의 등차중항이다.

[eqn: a_6 +a_8 =2a_7]

∴ [eqn: a_6 -a_7 +a_8 =2a_7 -a_7 =a_7`]

∴ [eqn: a_7 =2007]

① [eqn: {2007} over {4} `]	② [eqn: 669`]	③ [eqn: {2007} over {2} `]

④ [eqn: 2007`]	⑤ [eqn: 4014`]

[eqn: left{ {( sqrt {10} `+`3) ^{{1} over {2}} `+`( sqrt {10} `-`3) ^{{1} over {2}}} over {( sqrt {10} `+`1) ^{{1} over {2}}}right}^2]의 값은? [2점]

②

(주어진 식)

[eqn: = {left{(root10 +3)^{1 over 2} +(root10 -3)^{1 over 2} right}^2} over {left{(root10 +1)^{1 over 2} right}^2}]

[eqn: = {(root10 +3) +(root10 -3)+2left{(root10 +3)(root10 -3)right}^{1 over 2}} over {root10 +1}]

[eqn: = {2root10 +2⋅1^{1 over 2}} over {root10 +1}]

[eqn: = {2(root10 +1)} over {root10 +1}]

[eqn: = 2]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: sqrt {5}]
④ [eqn: 3``]	⑤ [eqn: sqrt {10}]

함수 [eqn: f``(x)=x ^{2} +k] 에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를 [eqn: g(x)= "{" f``(x)`"}"^2```]이라 할 때, [eqn: g`` prime (1)=`16``]을 만족하는 상수 [eqn: k]의 값은? [2점]

③

[eqn: g`(x)=x^4 +2kx^2 +k^2]

[eqn: g`'(x)=4x^3 +4kx]

[eqn: g`'(1)=4+4k=16]

∴ [eqn: k=3]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]
④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

어떤 실수 [eqn: alpha ``]의 세제곱에 [eqn: 1``]을 더한 값이 [eqn: alpha ``]와 같을 때, 다음 중 [eqn: alpha ``]가 존재하는 구간은? [3점]

②

[eqn: alpha^3 +1=alpha]에서 [eqn: alpha^3 -alpha+1=0]

[eqn: f`(alpha)=alpha^3 -alpha+1]이라 하면

[eqn: f`(-2)=(-2)^3 -(-2)+1=-5]

[eqn: f`(-1)=(-1)^3 -(-1)+1=1]

이므로 중간값 정리에 의하여 [eqn: f`(alpha)=0]을 만족하는 [eqn: alpha``]가 구간 (-2, -1)에서 존재한다.

① [eqn: (-3`,``````-2`)``]	② [eqn: (-2`,``````-1`)``]	③ [eqn: (-1`,``````0`)``]

④ [eqn: (0`,``````1`)``]	⑤ [eqn: (1`,``````2`)``]

이차함수 [eqn: y=f``(x)```]의 그래프가 그림과 같을 때, 분수부등식
[eqn: {f(x-2)} over {f(x)} <= 0] 을 만족하는 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합은? [3점]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: y=f`(x`)]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

①

[eqn: f`(x)=a(x-1)(x-3)]

[eqn: f`(x-2)=a(x-3)(x-5)]

[eqn: {f`(x-2)} over {f`(x)} = {(x-3)(x-5)} over {(x-1)(x-3)} ≦0]

[eqn: (x-1)(x-3)^2 (x-5)≦0], [eqn: x≠1], [eqn: x≠3]

∴ [eqn: 1<x≦5``(x≠3)]

∴ [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=4] 또는 [eqn: x=5]

따라서 [eqn: x``]의 값의 합은 [eqn: 2+4+5=11]이다.

① [eqn: 11``]	② [eqn: 12``]

③ [eqn: 13``]	④ [eqn: 14``]

⑤ [eqn: 15``]

평면 위에 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정삼각형 [eqn: \ABC`]와 정사각형 [eqn: \BDEC`]가 그림과 같이 변 [eqn: \BC`]를 공유하고 있다. 이 때,
[eqn: vec{rm AC it} cdot vec{rmAD}``]의 값은? [3점]

⑤

점 [eqn: \A]를 원점으로 하고 직선 [eqn: \AB]를 [eqn: x``]축으로 하는 좌표평면을 생각하면

[eqn: vec \AC ⋅vec \AD = left ( 1 over 2 , ~root 3 over 2 right ) cdot left ( 1+ root 3 over 2 , ~1 over 2 right )]

[eqn: = 1 over 2 + root 3 over 4 + root 3 over 4][eqn: = 1 over 2 + root 3 over 2][eqn: = {1 + root 3} over 2]

[eqn: rm A]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

① [eqn: 1``]	② [eqn: {sqrt2}``]	③ [eqn: {sqrt3} ``]
④ [eqn: {1+sqrt2} over {2} ``]	⑤ [eqn: {1 + sqrt {3}} over {2}]

이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]에 대하여 [eqn: AB`=C`] 일 때, 이를 [그림1]과 같이 나타내기로 하자.

⑤

ㄱ. 거짓

[반례] [eqn: A= left(0 atop 0 1 atop 0 right)]이라 하면

[eqn: C_1 =A^2 = left(0 atop 0 1 atop 0 right)left(0 atop 0 1 atop 0 right) = left(0 atop 0 0 atop 0 right)]

따라서 [eqn: C_1 =O`]이지만 [eqn: A≠O`]이다.

ㄴ. 참

[eqn: C_2 =AB], [eqn: C_3 =BA], [eqn: C_4 =AB`]에서

[eqn: C_2 =C_3`]이면 [eqn: AB=BA`]이므로

[eqn: D_2 =C_2 C_3 =(AB`)(BA)=(AB`)(AB`)]

[eqn: =ABAB]

[eqn: D_3 =C_3 C_4 =(BA)(AB)=(AB`)(AB`)]

[eqn: =ABAB]

∴ [eqn: D_2 =D_3]

ㄷ. 참

[eqn: D_2 =ABBA=E`]이면

[eqn: (AB`)^-1 =BA], [eqn: (BA)^-1 =AB`]이므로

[eqn: D_3 =BAAB=(AB)^-1 AB=E`]

그러므로 항상 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[그림1]

[eqn: A]		[eqn: B]
	[eqn: C]

이와 같은 방법으로 [그림2]의 이차정사각행렬 [eqn: C _{1} ,~C _{2} ,~C_3 ,~C_4 ``]와 [eqn: D _{1} ,~D _{2} ,~D_3 ``]을 정의할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: O``]는 영행렬, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

[eqn: A]		[eqn: A]		[eqn: B]		[eqn: A]		[eqn: B]
	[eqn: C _{1}]		[eqn: C _{2}]		[eqn: C _{3}]		[eqn: C _{4}]
		[eqn: D _{1}]		[eqn: D _{2}]		[eqn: D _{3}]
			[그림2]

[보기]

ㄱ. [eqn: C _{1} =O] 이면 [eqn: A=O``] 이다.

ㄴ. [eqn: C_{2} =C_{3}] 이면 [eqn: D _{2} =D _{3}``]이다.

ㄷ. [eqn: D _{2} =E] 이면 [eqn: D _{3} =E``] 이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ,  ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ,  ㄷ

[보기]의 함수 중 [eqn: lim _{x ->` 0} ``{f`(x)`} `]의 값이 존재하는 것을 모두 고른 것은? [3점]

③

ㄱ. [eqn: -1≦sin 1 over x ≦1]이므로 [eqn: lim from {x`→`0} left (x^2 ``sin 1 over x right ) =0]이다.

ㄴ. 유리수인 경우 (좌극한)=(우극한)=0

ㄷ. (좌극한)=0, (우극한)=1

그러므로 [eqn: lim from {x`→`0} f`` (x)]의 값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[보기]

ㄱ. [eqn: f(x)`=`x ^{2} ``sin` {1} over {x}]

ㄴ. [eqn: f``(x)= cases{``x^2~~~&``(x```는~유리수)#```0````````````&```(x```는~무리수)}]

ㄷ. [eqn: f``(x)`=`x-[`x`]]

(단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

연속확률변수 [eqn: X``]의 확률밀도함수 [eqn: f``(x)```]의 그래프가 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: r``]인 반원의 호가 되도록 상수 [eqn: r``]의 값을 정할 때, 확률 [eqn: rm P it left(X` >= {1} over {sqrt {2 pi }} right)``]의 값은?
(단, [eqn: -r `<=` x` <= `r``]이다.) [3점]

④

[eqn: 1 over 2 pi r^2 =1]에서 [eqn: r= root {2 over pi}]

[eqn: 1 over {root 2pi} = 1 over 2 root {2 over pi } = 1 over 2 r]

[eqn: x``]좌표가 [eqn: 1 over 2 r``]인 반원 위의 점을 [eqn: \A]라 하면 동경 [eqn: rm OA]가 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기 [eqn: theta``]는 [eqn: 1 over 3 pi]이다.

∴ P[eqn: left(X ≧ 1 over {root 2pi} right) = 1 over 2 r^2 theta- 1 over 4 r^2 `sin theta][eqn: = 1 over 3 - root3 over 4pi]

[eqn: y``]

[eqn: x]

[eqn: -r]

[eqn: r]

[eqn: r]

[eqn: rmO]

[eqn: y`=`f(`x`)``]

① [eqn: {2} over {3} - {sqrt {3}} over {4 pi } ``]	② [eqn: {1} over {3} - {sqrt {3}} over {3 pi } ``]	③ [eqn: {2} over {3} - {sqrt {3}} over {2 pi } ``]

④ [eqn: {1} over {3} - {sqrt {3}} over {4 pi } ``]	⑤ [eqn: 1- {sqrt {3}} over {pi } ``]

다항함수 [eqn: f```(x)```]가
[eqn: lim_x->1 {f``(`x^2` ) + f``(`x`)+12} over x-1 =12 ``]
를 만족할 때, 곡선 [eqn: y=f``(x)```] 위의 점 [eqn: (1,~f``(1))``]에서의 접선의 [eqn: y`] 절편은? [3점]

②

[eqn: f`(1)+f`(1)+12=0]

∴ [eqn: f`(1)=-6]

[eqn: lim from {x`→`1} {f`(x^2 ) +f`(x)+12} over x-1]

[eqn: =lim from {x`→`1} left{ {f`(x^2 )+6} over {x-1} + {f`(x)+6} over x-1 right}]

[eqn: =lim from {x`→`1} left{ {"{"f`(x^2 )-f`(1)"}"(x+1)} over {(x-1)(x+1)} + {f`(x)-f`(1)} over x-1 right}]

[eqn: =lim from {x`→`1} left{ {"{"f`(x^2 )-f`(1)"}"(x+1)} over {x^2 -1} + {f`(x)-f`(1)} over x-1 right}]

[eqn: =2f`'(1)+f`'(1)]

[eqn: =3f`'(1)=12]

∴ [eqn: f`'(1)=4]

따라서 접선의 방정식이 [eqn: y=4(x-1)-6=4x-10]이므로 [eqn: y``]절편은 [eqn: -10]이다.

① [eqn: -12`]	② [eqn: -10`]	③ [eqn: -8`]

④ [eqn: -6`]	⑤ [eqn: -4`]

[eqn: 5]개의 제비 중에서 당첨제비가 [eqn: 2]개 있다. 갑이 먼저 한 개의 제비를 뽑은 다음 을이 한 개의 제비를 뽑을 때, 갑이 당첨제비를 뽑을 사건을 [eqn: A`], 을이 당첨제비를 뽑을 사건을 [eqn: B``]라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 한 번 뽑은 제비는 다시 넣지 않는다.) [3점]

⑤

갑이 당첨될 확률 P[eqn: (A)= 2 over 5]

을이 당첨될 확률

∙ 갑이 당첨됐을 경우

P[eqn: (A∩B`)= 2 over 5 × 1 over 4 = 1 over 10]

∙ 갑이 당첨되지 않았을 경우

P[eqn: (A^C ∩B`)= 3 over 5 × 2 over 4 = 3 over 10]

∴ P[eqn: (B`)= 1 over 10 + 3 over 10 = 2 over 5]

ㄱ. 참

[eqn: \P(A)= \P(B`)= 2 over 5]

ㄴ. 거짓

[eqn: \P(B`|A)= {\P(A∩B`)} over {\P(A)}= {1 over 10} over {2 over 5} = 1 over 4]

[eqn: \P(B`|A^C )= {\P(A^C ∩B`)} over {\P(A^C )}= {3 over 10} over {3 over 5} = 1 over 2]

∴ [eqn: \P(B`|A)＜ \P(B`|A^C `)]

ㄷ. 참

[eqn: \P(B`|A)= {\P(A∩B`)} over {\P(A`)}]

[eqn: \P(A|B`)= {\P(A∩B`)} over {\P(B)}]

[eqn: \P(A)= \P(B`)]이므로 [eqn: \P(B`|A)= \P(A|B`)]

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ㄱ. [eqn: {rmP}(A)={rmP}(B)]

ㄴ. [eqn: {rmP}(B``|A)`>`{rmP}(B``|A ^{c} ``)`]

ㄷ. [eqn: {rmP}(B``|A)`={rmP}(A``|B)]

<보기>

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄷ

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over 2`]인 부채꼴
[eqn: \OAB]가 있다. 호 [eqn: \AB`] 위를 움직이는 두 점 [eqn: \P,~Q`]에  대하여 [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

[eqn: \B]

[eqn: \O]

[eqn: \A]

[eqn: \Q]

[eqn: \P]

⑤

[eqn: rm ∠POQ = theta``]라 할 때

ㄱ. 참

[eqn: |vec \OP + vec \OQ | = root{1^2 +1^2 -2cos(pi - theta)}][eqn: = root{1^2 +1^2 +2cos theta} ≧root2]

ㄴ. 참

[eqn: |vec \OP - vec \OQ | = root{1^2 +1^2 -2cos theta`} ≦root2]

ㄷ. 참

[eqn: vec \OP ⋅ vec \OQ = cos theta `≦1]

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[보기]

ㄱ. [eqn: rm |vec OP + vec OQ |`]의 최솟값은 [eqn: root2`]이다.

ㄴ. [eqn: rm |vec OP - vec OQ |`]의 최댓값은 [eqn: root2`]이다.

ㄷ. [eqn: rm vec OP `` { cdot} `vec OQ `]의 최댓값은 [eqn: 1`]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

행렬 [eqn: A= pmatrix{``1```&``0``#``1```&``2``} ``]의 역행렬을 [eqn: B``]라 할 때, [eqn: B^{``n}``]의 [eqn: (2``,~1)``]성분을 [eqn: a _{n``}`]이라 하자.   [eqn: sum _{k=1} ^{10} ``a _{k} ``]의 값은? [4점]

③

[eqn: B=A^-1 = 1 over 2 left( { 2} atop -1 0 atop 1 right)]

[eqn: B^2 = 1 over 2 left( { 2} atop -1 0 atop 1 right) cdot 1 over 2 left( { 2} atop -1 0 atop 1 right) = 1 over 2^2 left( { 2^2} atop -3 0 atop 1 right)]

[eqn: B^3 = 1 over 2^2 left( { 2^2} atop -3 0 atop 1 right) cdot 1 over 2 left( { 2} atop -1 0 atop 1 right) = 1 over 2^3 left( { 2^3} atop -7 0 atop 1 right)]

[eqn: ⋮]

[eqn: B^n = 1 over 2^n left( {2^n} atop {-2^n +1} 0 atop 1 right)]

[eqn: a_n = {-2^n +1} over 2^n]

∴ [eqn: SUM from k=1 to 10 a_k = - SUM from k=1 to 10 1 + SUM from k=1 to 10 1 over 2^k][eqn: =-10 + {1 over 2 left(1- 1 over 2^10 right)} over {1- 1 over 2}]

[eqn: =-10 + 1 - 1 over 2^10][eqn: =-9 - 1 over 2^10]

① [eqn: -11`-` {1} over {2 ^{10}} ``]	② [eqn: -10`-` {1} over {2 ^{10}} ``]	③ [eqn: -9`-` {1} over {2 ^{10}} ``]
④ [eqn: -10`-` {1} over {2 ^{11}} ``]	⑤ [eqn: -9`-` {1} over {2 ^{11}} ``]

수열 [eqn: LEFT { S _{n`} RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} left( sqrt {1+ {k} over {n ^{2}}} -1`right)``]일 때, 다음은 [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n} ``]의 값을 구하는 과정이다.

④

모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: {x} over {2+x} < sqrt {1+x} -1< {x} over {2}]가 성립한다. 자연수 [eqn: k,~n`]([eqn: k`≦`n`])에 대하여 [eqn: x= {k} over {n ^{2}} ``]를 위 등식에 대입하여 정리하면

[eqn: {k} over {2n ^{2} +k}` < sqrt {1+ {k} over {n ^{2}}} -1< {k} over {2n ^{2}} ``]

이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{n} {k} over {2n ^{2} +k} <S _{n} < {1} over {2n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} k``]

이다. 이 때,

[eqn: lim from {n`→`inf} 1 over 2n^2 SUM from k=1 to n k ``= lim from {n`→`inf} 1 over 2n^2 × n(n+1) over 2][eqn: = lim from {n`→`inf} {n^2 +n} over 4n^2 = 1 over 4]

이고

[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT { {1} over {2n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} k- sum _{k=1} ^{n} {k} over {2n ^{2} +k} RIGHT }]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {k ^{`2}} over {2n ^{2} (2n ^{2} +k)}] [eqn: ≦lim from n->inf sum _{k=1} ^{n} {k ^{`2}} over {4n ^{4}}]

[eqn: = lim from {n`→`inf} 1 over 4n^4 × {n(n+1)(2n+1)} over 6 =0]

이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n} =``][eqn: {1} over {4}]이다.

모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: {x} over {2+x} < sqrt {1+x} -1< {x} over {2} ``]가 성립한다.

자연수 [eqn: k,~n`] ([eqn: k`<=`n`])에 대하여 [eqn: x= {k} over {n ^{2}} ``]를 위 부등식에 대입하여 정리하면

[eqn: {k} over {2n ^{2} +k}` < sqrt {1+ {k} over {n ^{2}}} -1< {k} over {2n ^{2}} ``]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {k} over {2n ^{2} +k} <S _{n} < {1} over {2n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} k``]

이다. 이 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {2n ^{2}}} sum _{k=1} ^{n} k=``]        이고

(가)

[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT { {1} over {2n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} k- sum _{k=1} ^{n} {k} over {2n ^{2} +k} RIGHT }]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {k ^{`2}} over {2n ^{2} (2n ^{2} +k)} ≦lim from n->inf sum _{k=1} ^{n} {k ^{`2}} over {4n ^{4}} ``=]

(나)

(다)

이므로  [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n} =``]         이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)         (나)           (다)

①    [eqn: {1} over {2}]            [eqn: 0]              [eqn: {1} over {2}]

②    [eqn: {1} over {2}]           [eqn: {1} over {2}]             [eqn: {1} over {2}]

③    [eqn: {1} over {4}]           [eqn: 0]              [eqn: {1} over {2}]

④    [eqn: {1} over {4}]           [eqn: 0]              [eqn: {1} over {4}]

⑤    [eqn: {1} over {4}]           [eqn: {1} over {2}]              [eqn: {1} over {4}]

함수 [eqn: f`(x`)``]의 그래프가 그림과 같을 때, 함수 [eqn: g`(x)``]를
[eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {f(t)dt}``]라 하자. [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 두 함수 [eqn: f`(x`),`````g`(x)``]의 정의역은 [eqn: left{`x``|``0 <= x <= 7``right}``]이다.) [3점]

③

ㄱ. [eqn: f`(x)]는 [eqn: g`(x)]의 도함수이므로 (+)에서 (-)부호로 바뀌는 곳이 극대값이다. 따라서 [eqn: x=1]과 [eqn: x=5]에서 극대값을 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: g`(x)]는 [eqn: x=1]에서 극대값을 갖는다. (거짓)

ㄷ. [eqn: g`(1)- left| int from 1 to 3 f`(t`)dt` right| + left| int from 3 to 5 f`(t`)dt` right|]

[eqn: =int from 0 to 1 f`(t`)dt + int from 1 to 3 f`(t`)dt + int from 3 to 5 f`(t`)dt][eqn: =int from 0 to 5 f`(t`)dt =g`(5)] (참)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: 5]

[eqn: 7]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y=f(x)]

[보기]

ㄱ. [eqn: g(x)]는 [eqn: x`=`5`]에서 극대값을 갖는다.

ㄴ. [eqn: g(x)]는 [eqn: x`=`1`]에서 최솟값을 갖는다.

ㄷ. [eqn: g(5)`=`g(1)`-` LEFT | int _{1} ^{3} {f(t)dt} ` RIGHT | `+` LEFT | int _{3} ^{5} {f(t)dt`} RIGHT |]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표공간 위의 두 점 [eqn: rm `A it (0`,``0`,``1)``], [eqn: rm `B it (1`,``0`,``0)``]이 있다. 점 [eqn: rm P`]가 점 [eqn: rm B`]에서 출발하여 [eqn: xy`]평면 위의 직선 [eqn: x=1`]을 따라 [eqn: y`]축의 양의 방향으로 한없이 움직일 때, 선분 [eqn: rm AP it ``]와 평면 [eqn: y-z=0``]이 만나는 점을 [eqn: rm Q``]라 하자. 점 [eqn: rm Q``]가 나타내는 자취의 길이는?

④

[eqn: \P(1], [eqn: p], [eqn: 0)]이라 하면

직선 [eqn: \AP]의 방정식은 [eqn: x over 1 = y over p = z-1 over -1], 평면의 방정식은 [eqn: y=z]이므로 직선의 방정식과 평면의 방정식을 연립하여 풀면 [eqn: x= 1 over p+1], [eqn: y= p over p+1], [eqn: z= p over p+1]

[eqn: \P`]가 처음 [eqn: \B`]에 있을 때

[eqn: rm Q=B(1], 0, 0)

[eqn: y`]축의 양의 방향으로 한없이 움직이므로 [eqn: p`→`inf]이다.

[eqn: \Q left( 1 over p+1], [eqn: p over p+1], [eqn: p over p+1 right)] 가 (0, 1, 1)로 수렴하므로

[eqn: \Q`]의 자취의 길이는 [eqn: root{(-1)^2 +1^2 +1^2 `} =root3]이다.

[4점]

① [eqn: sqrt2 over 2 `]	② [eqn: sqrt3 over 2 `]	③ [eqn: sqrt2``]
④ [eqn: sqrt3 ``]	⑤ [eqn: 2`]

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: x ^{2} - {y ^{2}} =1``] 위의 점 [eqn: rm P `it (`a`,`b)``]
[eqn: (a>1`,``b>0``)``]에서의 접선이 [eqn: x``]축과 만나는 점을 [eqn: rm A`], 쌍곡선의 점근선 중 기울기가 양수인 직선과 만나는 점을 [eqn: rm B``]라 하자.
삼각형 [eqn: rm OAB``]의 넓이를 [eqn: S``(`a`)``]라 할 때, [eqn: lim _{a -> INF } {} ``S``(`a`)``]의 값은?
(단, [eqn: rm O``]는 원점이다.) [4점]

①

쌍곡선의 접선의 방정식이 [eqn: ax-by=1]이므로 [eqn: y=0]일 때, [eqn: x= 1 over a]

∴ [eqn: bar \OA = 1 over a]

또한 점근선의 방정식이 [eqn: y=x`]이므로

[eqn: ax-bx=1]에서 [eqn: (a-b)x=1]

∴ [eqn: \B left( 1 over a-b], [eqn: 1 over a-b right)]

[eqn: \P (a,~b)]가 쌍곡선 위의 점이므로

[eqn: a^2 -b^2 =1]에서 [eqn: b^2 =a^2 -1]

∴ [eqn: b = root { a^2 -1}`` (∵``b>0)]

[eqn: S(a)= 1 over 2 × 1 over a × 1 over a-b}][eqn: = 1 over 2 × 1 over a × 1 over {a-root{a^2 -1}}][eqn: = {a+root{a^2 -1}} over 2a]

∴ [eqn: lim from {a`→`inf} {a+root{a^2 -1}} over 2a = lim from {a`→`inf} {1+root{1 - 1 over a^2 }} over 2][eqn: = 1+1 over 2][eqn: =1]

[eqn: x ^{2} -y ^{2} =1]

[eqn: {rmP}(a,``b`)]

[eqn: rm A]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm B]

[eqn: y]

① [eqn: 1``]	② [eqn: sqrt {2} ``]	③ [eqn: sqrt3 ``]	④ [eqn: 2 ``]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2} ``]

그림과 같이 서로 합동인 두 타원 [eqn: C _{`1}` ,~C _{`2}``]가 외접하고 있다. 두 점 [eqn: \A,~ B`]는 타원 [eqn: C_{`1}``]의 초점, 두 점 [eqn: \C`,~D`]는 타원 [eqn: C_{`2}``]의 초점이고, 네 점 [eqn: \A`,~B`,~C`,~D`]는 모두 한 직선 위에 있다. 두 점 [eqn: \B`,~C`]를 초점, 선분 [eqn: \AD`]를 장축으로 하는 타원을 [eqn: C_{`3}``]이라 하고, 두 타원 [eqn: C_{`1}` ,~ C_{`3}``]의 교점을 [eqn: \P`]라 하자.
[eqn: rm bar{AB}`=8 it ``]이고 [eqn: rm bar{BC}` =6 it ``]일 때, [eqn: \ bar CP`` -` bar AP`]의 값은? [4점]

②

[eqn: bar \CP - bar \AP =( bar \CP + bar \PB )-(bar \AP + bar \PB )]

[eqn: rm =( bar AB + bar BC + bar CD ) - ( bar AB + bar BC )]

[eqn: rm = bar CD = bar AB]

[eqn: = 8]

[eqn: rm P]

[eqn: rm D]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: C_1`]

[eqn: C_3`]

[eqn: C_2`]

① [eqn: 7`]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9`]	④ [eqn: 10`]	⑤ [eqn: 11`]

그림은 제[eqn: 1`]행에 [eqn: 1``]을 시작으로 바로 다음 행에 ↙ 방향으로는 직전의 수에 [eqn: 2``]를 더한 수를, ↘ 방향으로는 직전의 수의 역수를 나열하는 과정을 반복한 것이다. 예를 들면, 제[eqn: 3`]행의 첫 번째 수 [eqn: 5``]는 직전의 수 [eqn: 3``]에 [eqn: 2``]를 더한 수이고, 두 번째 수 [eqn: 1over3``]은 직전의 수 [eqn: 3``]의 역수이다.

②

제 [eqn: n`]행의 수의 개수는 [eqn: 2^(n-1)]개이므로 10행의 수의 개수는 [eqn: 2^9]개이다.

10행의 맨 왼쪽의 수는 [eqn: 2 cdot 10-1=19]이므로 ([eqn: 2^8 +1])번째 수는 17이고 그 위의 수는 [eqn: 17-2 = 15]이므로 ([eqn: 2^8 +2])번째 수는 [eqn: 1 over 15]이다.

제[eqn: 10`]행의 맨 왼쪽부터 [eqn: left( 2 ^{8} +2 ` right)``]번째에 있는 수는? [4점]

① [eqn: {1} over {17} ``]	② [eqn: {1} over {15} ``]	③ [eqn: 13``]
④ [eqn: 15``]	⑤ [eqn: 17``]

세 로그함수
[eqn: f``(x)=log _{``a}`` x`,~``g(x)=log _{``b} ``x`,~``h(x)=log _{``c} ``x``]
의 밑 [eqn: a,~b,~c``]가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

⑤

[eqn: a=a], [eqn: b=ar], [eqn: c=ar^2]

ㄱ. 참

[eqn: a+c=a+ar^2][eqn: ≧2root{a^2 r^2 `}][eqn: =2ar=2b]

ㄴ. 참

[eqn: 1 over {f`(5)} =]log5[eqn: a], [eqn: 1 over {g`(5)} =]log5[eqn: ar],

[eqn: 1 over {h(5)} =]log5[eqn: ar^2]

log5[eqn: ar-]log5[eqn: a =]log5[eqn: r]

log5[eqn: ar^2 -]log5[eqn: ar =]log5[eqn: r]

따라서 공차가 log5[eqn: r`]인 등차수열이다.

ㄷ. 참

[eqn: f`(x_1 ) = g(x_2 )=h(x_3 )=5]

[eqn: x_1 =a^5], [eqn: x_2 =a^5 r^5], [eqn: x_3 =a^5 r^10]

따라서 첫째항은 [eqn: a^5]이고 공비가 [eqn: r^5 `]인 등비수열이다.

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[보기]

ㄱ. [eqn: a+c``]의 최솟값은 [eqn: 2b```]이다.

ㄴ. [eqn: {1} over {f(5)} ,~ {1} over {g(5)} ,~ {1} over {h(5)} ```]은 이 순서로 등차수열을 이룬다.

ㄷ. [eqn: f``(x _{1} )=g(x _{2} )=h(x _{3} )=5```]이면 [eqn: x _{1} ,~x _{2} ,~x _{3} `]은 이순서로
등비수열을 이룬다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표평면 위에 서로 다른 세 점 [eqn: rm A(0`,``1`)``], [eqn: rm B(1`,``0)``], [eqn: {rm C}` (a,~b)``]가 있다. 선분 [eqn: rm {AC ``}]의 중점을 [eqn: {rm P}_1 ``]이라 하고, 선분 [eqn: rm {BP _{1}} ``]의 중점을 [eqn: rm Q it rm _{1} ``]이라 하자. 또, 선분 [eqn: rm {AQ _{1}} ``]의 중점을 [eqn: {rm P}_2 ``]라 하고, 선분 [eqn: rm {BP_2} ``]의 중점을 [eqn: rm Q_2 ``]라 하자. 이와 같이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 선분 [eqn: {{rm BP} _n}]의 중점을 [eqn: {rm Q}_n ``]이라 하고, 선분 [eqn: {rm AQ}_n]의 중점을 [eqn: {rm P}_n+1` ``]이라 하자. [eqn: n``]이 한없이 커질 때, 점 [eqn: {rm P}_n ``]은 어떤 점에 한없이 가까워지는가? [4점]

④

[eqn: n`]이 한없이 커지게 되면 [eqn: \P_n`]과 [eqn: \Q_n`]은 선분 AB 위에 놓이게 된다.

[eqn: \P_n (t`], [eqn: 1-t`)]이라 하면 [eqn: \Q_n`]은 [eqn: bar \BP_n`]의 중점이므로

[eqn: \Q_n left(t+1 over 2], [eqn: 1-t over 2 right)]

[eqn: \P_n+1 left(t+1 over 4], [eqn: 3-t over 4 right)]

[eqn: lim from {n`→`inf} \P_n ``= lim from {n`→`inf} \P_n+1]이므로 [eqn: t= t+1 over 4]

[eqn: t+1=4t]

∴ [eqn: t = 1 over 3], [eqn: 1-t= 2 over 3]

∴ [eqn: \P_n left(1 over 3], [eqn: 2 over 3 right)]

① [eqn: LEFT ( {3} over {4} `,`` {1} over {4} RIGHT )]	② [eqn: LEFT ( {2} over {3} `,`` {1} over {3} RIGHT )]	③ [eqn: LEFT ( {1} over {2} `,`` {1} over {2} RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( {1} over {3} `,`` {2} over {3} RIGHT )]	⑤ [eqn: LEFT ( {1} over {4} `,`` {3} over {4} RIGHT )]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 6``]인 반구가 평평한 지면 위에 떠 있다. 반구의 밑면이 지면과 평행하고 태양광선이 지면과 [eqn: 60°]의 각을 이룰 때, 지면에 나타나는 반구의 그림자의 넓이는? (단, 태양광선은 평행하게 비춘다.) [4점]

②

(i) 태양광선과 밑면이 접하는 쪽의 반원의 정사영의 넓이는

[eqn: 6^2 pi `× 1 over 2 = 18 pi]

(ii) 태양광선과 구면이 접하는 쪽의 나머지 부분의 정사영의 넓이는

[eqn: 6^2 pi `× 1 over 2 × 1 over cos30° =12root3 pi]

(i), (ii)에서 [eqn: 18pi +12 root 3 pi=6(3+2root3 )pi]

지면

[eqn: 60`°]

[eqn: 6]

태양광선

① [eqn: 6(3+` sqrt {3} ) pi ``]	② [eqn: 6(3+2` sqrt {3} ) pi ``]	③ [eqn: 8(2+` sqrt {3} ) pi ``]
④ [eqn: 8(1+2` sqrt {3} ) pi ``]	⑤ [eqn: 8(2+3` sqrt {3} ) pi ``]

공기는 산소, 수소, 질소 등과 같은 여러 가지 원소들로 이루어져 있다. 지표면에서부터 높이가 [eqn: x``](km)인 곳에서의 어떤 원소의 밀도를 [eqn: n(x)]라 하면 관계식
[eqn: log``n(x)=log``n _{0} -k`x``]
(단, [eqn: n _{0}`]은 지표면에서의 밀도, [eqn: k`]는 양의 상수)
가 성립한다고 한다. 이 원소의 밀도가 지표면에서의 밀도의 [eqn: {1} over {2}]배, [eqn: {1} over {1000}]배가 되는 높이를 각각 [eqn: x _{1} ``], [eqn: x _{2} ``]라 할 때, [eqn: {x _{2}} over {x _{1}} ``]의 값은? (단, [eqn: log``2=0.3``]으로 계산한다.) [4점]

③

지표면에서 원소의 밀도를 [eqn: a]라 하면

밀도가 [eqn: 1over2]배인 지점 [eqn: x_1]에서 다음 관계가 성립한다.

[eqn: log {1} over {2} a=loga-kx _{1}]

[eqn: THEREFORE x _{1} =` {log2} over {k}]

마찬가지로 원소의 밀도가 [eqn: 1over1000]배인 지점 [eqn: x_2]에서 관계식은

[eqn: log {1} over {1000} a=loga-kx _{2}]

[eqn: THEREFORE x _{2} = {3} over {k}]

따라서 [eqn: {x _{2}} over {x _{1}} = {{3} over {k}} over {{log2} over {k}} = {3} over {log2} = {3} over {0.3} =10]

① [eqn: 5``]	② [eqn: 8``]	③ [eqn: 10``]
④ [eqn: 15``]	⑤ [eqn: 20``]

한 변의 길이가 [eqn: 1``]인 정사각형을 [eqn: R`]라 하자. [eqn: R`]의 각 변을 [eqn: 2`]등분 한 후 [그림1]과 같이 각 꼭지점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {2} ``]인 사분원을 그릴 때, 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S _{1} ``]이라 하자. [eqn: R`]의 각 변을 [eqn: 4``]등분 한 후 [그림2]와 같이 각 꼭지점 및 각 변의 이등분점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {4} ``]인 사분원과 반원을 그릴 때, 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S _{2} ``]라 하자. [eqn: R`]의 각 변을 [eqn: 8``]등분 한 후 [그림3]과 같이 각 꼭지점 및 각 변의 사등분점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {8} ``]인 사분원과 반원을 그릴 때, 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S _{3} ``]이라 하자.
이와 같은 방법으로 [eqn: S _{4} `,````S _{5} ,````S _{6} `,`` CDOTS] 을 구할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ```S _{n} ``]의 값은?

①

[eqn: n`]번째 도형에서 작은 원 [eqn: 1]개의 넓이는 [eqn: left (1 over 2^n right )^2 pi= 1 over 4^n pi]

[eqn: n`]번째 도형에서 작은 원의 개수는 [eqn: 2^n -1]

[eqn: S_n = {2^n -1} over 4^n pi][eqn: = left( 1 over 2^n - 1 over 4^n right) pi]

∴ [eqn: SUM from n=1 to inf S_n = left({1 over 2} over {1- 1 over 2} - {1 over 4} over {1- 1 over 4} right) pi][eqn: = left( 1- 1 over 3 right) pi = 2 over 3 pi]

[4점]

[eqn: cdots`]

[eqn: 1]

[그림1]    [그림2]     [그림3]    [그림4]

① [eqn: {2} over {3} pi ``]	② [eqn: {3} over {4} pi ``]	③ [eqn: 7 over 9 pi ``]

④ [eqn: 7 over 8 pi ``]	⑤ [eqn: {8} over {9} pi ``]

주관식 문항 (25~30)

이차함수 [eqn: f(x)`=`-`12`x`(`x`-`a`)`]에 대하여 [eqn: f`'(0)+f`'(2)=0`]일 때, [eqn: int_0^a f`(x) dx ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

16

[eqn: f`'(x)=-12(x-a)-12x=-24x+12a]

[eqn: f`'(0)+f`'(2)=12a-48+12a][eqn: =24a-48=0]

∴ [eqn: a=2]

[eqn: int from 0 to a f`(x)dx = int from 0 to 2 "{"-12x`(x-2)"}"dx]

[eqn: = int from 0 to 2 (-12x^2 +24x)dx] [eqn: =[-4x^3 +12x^2 ]_0^2] [eqn: =-32+48]=16

수열 [eqn: "{"a _{n} "}"`]의 일반항이
[eqn: a _{n} =n-4 LEFT [ {n} over {4} RIGHT ] ``]
일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{25} a _{n} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: [x]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

37

(i) [eqn: 1≦n＜4]일 때 [eqn: left[ n over 4 right] =0]이므로  [eqn: SUM from n=1 to 3 n=6]

(ii) [eqn: 4≦n＜8]일 때 [eqn: left[ n over 4 right] =1]이므로

[eqn: SUM from n=4 to 7 (n-4)=SUM from n=1 to 4 (n-1) =6]

(iii) [eqn: 8≦n＜12]일 때 [eqn: left[ n over 4 right] =2]이므로

[eqn: SUM from n=8 to 11 (n-8)=SUM from n=1 to 4 (n-1) =6]

이런 식으로 계속하게 되면

[eqn: 12≦n＜16]일 때, [eqn: 16≦n＜20]일 때, [eqn: 20≦n＜24]일 때도 모두 [eqn: 6]이고, [eqn: 24≦n≦25]일 때 [eqn: 0+1=1]이므로

[eqn: SUM from n=1 to 25 a_n =6`×`6+1=37]

좌표공간에 두 점 [eqn: rm A _{1} (1`,`2`,`7`)`], [eqn: rm C _{2} (3`,`4`,`5`)`]가 있다. 그림과 같이 각 면이 [eqn: xy``]평면 또는 [eqn: yz``]평면 또는 [eqn: zx``]평면에 평행한 직육면체 [eqn: rm A _{1} B _{1} B _{2} A _{2} -D _{1} C _{1} C _{2} D _{2}]를 만든다.
면 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} `]를 공유하고 [eqn: rm bar{C _{2} C _{3}} = {1} over {2}` bar{C _{1} C _{2}}] 가 되도록 그림과 같이 직육면체 [eqn: rm A _{2} B _{2} B _{3} A _{3} -D _{2} C _{2} C _{3} D _{3} `]을 만든다.
면 [eqn: rm A _{3} B _{3} C _{3} D _{3} `]을 공유하고 [eqn: rm bar{C _{3} C _{4}} = {1} over {2}` bar{C _{2} C _{3}}] 이 되도록 그림과 같이 직육면체 [eqn: rm A _{3} B _{3} B _{4} A _{4} -D _{3} C _{3} C _{4} D _{4} `]를 만든다.
이와 같은 과정을 계속하여 직육면체
[eqn: {rm A} _{n} {rmB} _{n} {rmB} _{n+1} {rmA} _{n+1} -{rmD} _{n} {rmC} _{n} {rmC} _{n+1} {rmD} _{n+1} `]을 만들 때, [eqn: n`]의 값이 한없이 커지면 점 [eqn: rm D it rm _{n} ``]은 점 [eqn: (a,`b,`c`)``]에 한없이 가까워진다. [eqn: abc``]의 값을 구하시오. [3점]

30

[eqn: \D_1 =(1], 2, 5)

[eqn: \D_2 =(1], 4, 5)

[eqn: \D_n =left (1, ~4+1+ 1 over 2 + 1 over 2^2 +… + 1 over 2^n , ~5 right)]

[eqn: lim from {n`→`inf} \D_n = left(1, ~5+ {1 over 2 } over {1- 1 over 2} ,~5 right) = (1,~6,~5)]

∴ [eqn: abc=30]

[eqn: rm B _{3}]

[eqn: rm D _{3}]

[eqn: rm D _{4}]

[eqn: rm A _{1} (1,``2,``7)]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm C _{2}(3, ``4, ``5)]

[eqn: rm D _{2}]

[eqn: rm A _{3}]

[eqn: rm C _{3}]

[eqn: rm A _{4}]

[eqn: rm B _{4}]

[eqn: rm C _{4}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: z]

[eqn: rm O]

[eqn: cdots cdots]

삼차함수 [eqn: f`(x)``]가 다음 두 조건을 모두 만족한다.

26

㈎ [eqn: f`(1)=-1], [eqn: f`'(1)=0]

㈏ [eqn: f``(-1)=1], [eqn: f`'(-1)=0]

[eqn: f`'(x)=a(x-1)(x+1)]이므로

[eqn: f`(x)=a left(1 over 3 x^3 -x right)+C]

[eqn: f`(1)= - 2 over 3 a +C=-1] ……………………… ㉠

[eqn: f`(-1)= 2 over 3 a+C=1] ………………………… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: C=0], [eqn: a= 3 over 2]

∴ [eqn: f`(x)= 3 over 2 left(1 over 3 x^3 -x right)= 1 over 2 x^3 - 3 over 2 x]

∴ [eqn: f`(4)=32-6=26]

(가) 곡선 [eqn: y`=`f`(x)`+1``]은 [eqn: x`=`1``]에서 [eqn: x``]축에 접한다.

(나) 곡선 [eqn: y`=`f`(x)`-1``]은 [eqn: x`=`-1``]에서 [eqn: x``]축에 접한다.

이 때, [eqn: f`(4)``]의 값을 구하시오. [4점]

수면에서 수면과 수직인 방향으로 물속을 향해 발사된 총알은 시간이 지날수록 물의 저항에 의해 속도가 줄어든다. 수면에서 [eqn: 1000 ``](m/초)의 속도로 어떤 총알이 발사된 후 [eqn: t``]초
[eqn: left( 0`` <= ``t``<`` 1 over 50 right)] 가 지난 순간 총알의 속도를 [eqn: v(t)``](m/초)라 하면 관계식
[eqn: v`(t)=a CDOT b ^{100t} ``] (단, [eqn: a``]와 [eqn: b``]는 양의 상수)
이 성립한다고 하자. 발사 후 [eqn: {1} over {100} ``]초가 지난 순간 총알의 속도가 [eqn: 50 rm (m/초)``]이었다. 총알의 속도가 [eqn: 100 sqrt {5} `` rm (m/초)``]가 되는 것은 총알이 발사된 후 [eqn: p`]초가 지난 순간이다. [eqn: 1over p`]의 값을 구하시오.

200

[eqn: v(0)=a=1000]

[eqn: v left(1 over 100 right) =1000 ⋅b=50]에서 [eqn: b= 1 over 20]

[eqn: 100root5 =1000⋅b^100p]에서 [eqn: b^100p = root5 over 10]

[eqn: 100p log 1 over 20 = log root{1 over 20 }]에서 [eqn: 100p = 1 over 2]

∴ [eqn: 1 over p =200]

[4점]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5`` RIGHT } `]에서 [eqn: X``]로의 함수 중에서 다음 조건을 모두 만족하는 함수 [eqn: f``]의 개수를 구하시오. [4점]

72

㈎ 일대일 대응이다.

㈏ 정의역의 1은 공역의 1과 대응되지 않는다.

㈐ 정의역의 1은 공역의 2와 대응되지 않는다.

㈏, ㈐에서 1은 3, 4, 5로만 갈 수 있고, 나머지는 순열로 계산하면 [eqn: 3`×`4! =72]이다.

(가) [eqn: f```]의 역함수가 존재한다.

(나) [eqn: f``(1)` not=`1`]

(다) [eqn: f``(2)` not=`f``(f``(1))```]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2007년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설