◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

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수 학 영 역

‘나’형

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2006학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: n`=`2006``]이고 [eqn: a`=` {3 over 4}``]일 때, 세 수 [eqn: A`,```B`,```C```]를 각각
[eqn: A`=``^n`sqrt{a^{n-1}``}], [eqn: B`=``^n`sqrt{a^{n+1}``}], [eqn: C`=``^{n+1}`sqrt{a^{n}``}]
이라 하자. 다음 중 세 수[eqn: A`,```B`,```C```]의 대소관계로 옳은 것은?

④

[eqn: 0``<``a``<``1] 에서 [eqn: f`(x) ``=`` a^x]는 감소 함수이고

[eqn: {n-1}over{n} ``<`` {n}over{n+1}``<``{n+1}over{n}] 이므로 [eqn: A ``>`` C``>``B]

[2점]

① [eqn: A``<``B``<``C]	② [eqn: A``<``C``<``B``]	③ [eqn: B``<``A``<``C``]

④ [eqn: B``<``C``<``A``]	⑤ [eqn: C``<``A``<``B``]

첫째항이 [eqn: -312``]이고 공차가 [eqn: 8``]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n``RIGHT } ``]에 대하여
수열 [eqn: LEFT { ` b_n``RIGHT } ``]을 [eqn: b_n`=` SUM from { { k}=1^{}} to {n_{}}```(`a_{k+1}`-`a_k`)` `]로 정의할 때,
극한 [eqn: lim from { n -> inf^{} } ``{1_{}}over{(2n`+`1`)^2^{}} SUM from { { k}=1}to {n_{}}``b_k`` }]의 값은? [2점]

④

[eqn: b_n ``=`` SUM from { {k }=1_{}} to {n^{}} `(a_k+1 `-` a_k`) ``=`` 8n]

[eqn: lim_{n`->`inf}`{1}over{(2n`+`1`)^2}SUM from { {k }=1_{}} to {n^{}} b_k ``=`` lim_{n`->`inf}`{1}over{(2n`+`1`)^2}SUM from { {k }=1_{}} to {n^{}} 8k]

[eqn: =``lim_{n`->`inf}`{4n(n+1)}over{(2n+1)^2} ``=`` 1]

① [eqn: -`2``]	② [eqn: -1``]	③ [eqn: 0``]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

그림과 같이 개폐식 스위치 [eqn: s_1`,``s_2`,``s_3```]를 갖춘 전기체계가 있다. 이 전기체계의 각 스위치들은 모두 서로 독립적으로 작동되고, 전류는 스위치 [eqn: s_1``]과 [eqn: s_2``]가 모두 닫혀있거나 [eqn: s_3``]가 닫혀있을때, [eqn: A``]에서 [eqn: B``]로 흐르도록 되어있다. 이 때, 각각의 스위치 [eqn: s_k ``]
([eqn: k`=`1,``2,``3```])가 닫혀있을 확률이 모두 [eqn: {1}over{3}``]로 같다고 할 때, 전류가 [eqn: A``]에서 [eqn: B``]로 흐를 확률은? [3점]

⑤

[eqn: s_3]가 연결될 확률 : [eqn: 1over3]

[eqn: s_1]과 [eqn: s_2]가 연결될 확률 : [eqn: 1over3 TIMES 1over3 ``=`` 1over9]

[[eqn: A]에서 [eqn: B]로 전류가 흐를 확률]

[eqn: =][eqn: 1over3 TIMES (1`-`1over9`) `+` (1`-`1over3`) TIMES 1over9 `+` 1over3 TIMES 1over9][eqn: =][eqn: 11over27]

[eqn: s_1``]

[eqn: B``]

[eqn: s_2``]

[eqn: A``]

[eqn: s_3``]

① [eqn: {1}over{27}``]	② [eqn: {1}over{9}``]	③ [eqn: {5}over{27}`]	④ [eqn: {1}over{3}`]	⑤ [eqn: {11}over{27}`]

무한수열 [eqn: LEFT { a_n`RIGHT } ``]의 첫째항부터 제[eqn: n```]항까지의 합을 [eqn: S_n ``]이라 하자. [eqn: lim from { n -> inf^{} } ``S_n``=`2``]이라 할 때, 극한 [eqn: lim from { n -> inf^{} } ``{a_n`+`{S_n}}over{S_n`^3}`]의 값은? [2점]

②

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} ` {a _{n} `+`S _{n} `} over {S _{n} ^{3}} =`` lim _{n` -> ` INF } {} ` {2S _{n} `-`S _{n-1} `} over {S _{n} ^{3}} = {1} over {4}]

([eqn: BECAUSE][eqn: lim_{n`->`inf} `S_n ``=`` lim_{n`->`inf} `S_n-1 ``=`` 2] )

① [eqn: {1}over{8}`]	② [eqn: {1}over{4}`]	③ [eqn: {3}over{8}`]	④ [eqn: {1}over{2}`]	⑤ [eqn: {5}over{8}`]

헌혈을 하려는 학생 [eqn: 10`]명에게 자신의 혈액형을 [eqn: rm A]형, [eqn: rm B]형, [eqn: rm AB]형, [eqn: rm O]형으로만 기록하도록 하였더니 다음과 같은 결과가 나왔다.

④

A형 학생수를 [eqn: x], B형 학생수를 [eqn: y], AB형 학생수를 [eqn: z], O형 학생수를 [eqn: w]라고 하면

[eqn: x`+` y ``=`` z `+` w] -----①

[eqn: x `+` z``=`` y `+` w] -----②

[eqn: x ``=`` 4] -----③

[eqn: x`+` y `+` z`+` w ``=`` 10] -----④

[[eqn: ①`-`②]] : [eqn: y`-`z ``=`` z`-`y] [eqn: LRARROW] [eqn: y `-`z ``=`` 0] [eqn: LRARROW] [eqn: y``=`` z] ---[eqn: ① prime]

[[eqn: ③`, `① prime `->`②]] : [eqn: 4 `+` y ``=`` y `+` w] [eqn: LRARROW] [eqn: w``=`` 4] -----[eqn: ② prime]

[[eqn: ③`, `① prime `->`④]] : [eqn: 4 `+` 2y `+` w``=`` 10] [eqn: LRARROW] [eqn: 2y `+` w``=`` 6] -----[eqn: ④ prime]

[[eqn: ② prime``->``④ prime]] : [eqn: y ``=`` 1``=`` z]

[eqn: THEREFORE] A형은 4명, B형은 1명, AB형은 1명, O형은 4명이다.

[eqn: THEREFORE] (혈액형에 따라서 나열하는 방법의 수)[eqn: =][eqn: {10!}over{4!`1!`1!`4!`}``=`` 6300] (가지)

㈎ [eqn: \A```]형인 학생 수와 [eqn: \B``]형인 학생 수의 합은 [eqn: \A`\B```]형인 학생수와 [eqn: \O```]형인 학생 수의 합과 같다.

㈏ [eqn: \A```]형인 학생 수와 [eqn: \A`\B```]형인 학생 수의 합은 [eqn: \B``]형인 학생 수와 [eqn: \O```]형인 학생 수의 합과 같다.

㈐ [eqn: \A```]형인 학생 수는 [eqn: 4``]명이다

이 때, 이 [eqn: 10``]명의 학생이 모두 헌혈을 하였고, 각 학생의 혈액을 혈액형만 표시된 혈액팩에 넣었다. 이 [eqn: 10`]개의 혈액팩 모두를 일렬로 나열하는 방법은 모두 몇 가지인가? (단, 각 혈액팩은 [eqn: \A``]형, [eqn: \B``]형, [eqn: \AB``]형, [eqn: \O``]형으로만 혈액형이 기록되어 있고, 기록된 혈액형으로만 구별할 수 있다.) [3점]

① [eqn: 2100`]가지	② [eqn: 3900``]가지	③ [eqn: 4200``]가지
④ [eqn: 6300``]가지	⑤ [eqn: 12600``]가지

다음은 극한 [eqn: lim from { n -> inf } `` LEFT (`` 1`+`{1}over{n}`` RIGHT )^n``]의 값의 범위를 구하는 풀이 과정의 일부이다.

⑤

[eqn: lim from { n -> inf } `` LEFT (`` 1`+`{1}over{n}`` RIGHT )^n``][eqn: =`` lim from { n -> inf } ` SUM from { {k }=0} to {n_{}}`` `_{n}C_k ```1^{n-k} ``LEFT ( {1}over{n} RIGHT )^k``]

[eqn: =`` lim from { n -> inf } ` SUM from { {k }=0} to {n_{}}`` `_{n}C_k ``LEFT ( {1}over{n} RIGHT )^k``][eqn: =`][eqn: `_{n}C_0 ``( {1}over{n}`)^0 `+` `_{n}C_1 ``( {1}over{n}`)^1]                          [eqn: `+` lim from { n -> inf } `` SUM from { { k}=2} to{n_{}}``{1}over{k!}`times`{n`(n-1)`…(n-k+1) }over{n^k}`]

[eqn: =`][eqn: 2][eqn: `+` lim from { n -> inf } `` SUM from { { k}=2} to{n_{}}``{1}over{k!}`times`{n`(n-1)`…(n-k+1) }over{n^k}`]

[eqn: =`][eqn: 2][eqn: `+` lim from { n -> inf } `` SUM from { { k}=2} to {n`_{}}``{1}over{k!}`left{ LEFT ( 1`-`{1}over{n}`RIGHT)`LEFT ( 1`-`{2}over{n}`RIGHT)`…`LEFT ( 1`-`{k-1}over{n}`RIGHT)`right}``]

<[eqn: 2`+` lim from { n -> inf } `` SUM from { { k}=2} to {n`_{}}``{1}over{k!}``] ([eqn: BECAUSE][eqn: 1 ````≦```` i ````≦```` n-1] 일 때, [eqn: 1`-`{i}over{n} ``<`` 1] )

<[eqn: 2`+` lim from { n -> inf } `` SUM from { { k}=2} to {n`_{}}``{1}over{2^{k-1}}`]

그런데, [eqn: lim from { n -> inf } `` SUM from { { k}=2} to{n_{}}``{1}over{k!}`times`{n`(n-1)`…(n-k+1) }over{n^k}``>``0] 이므로

[eqn: 2````<````2`+` lim from { n -> inf } `` SUM from { { k}=2} to{n_{}}``{1}over{k!}`times`{n`(n-1)`…(n-k+1) }over{n^k}` ````<```` 2 `+` lim from { n -> inf } `` SUM from { { k}=2} to {n`_{}}``{1}over{2^{k-1}}`]

[eqn: 2````<```` lim from { n -> inf } `` LEFT (`` 1`+`{1}over{n}`` RIGHT )^n``<```` 2 `+` {1over2}over{1`-` 1over2}]

[eqn: 2````<```` lim from { n -> inf } `` LEFT (`` 1`+`{1}over{n}`` RIGHT )^n``<```` 3]

[풀이]

이항정리에 의해

[eqn: lim from { n -> inf } `` LEFT (`` 1`+`{1}over{n}`` RIGHT )^n`` =` lim from { n -> inf } ` SUM from { {k }=0} to {n_{}}``][eqn: LEFT ( {1}over{n} RIGHT )^k``]

㈎

[eqn: =`][eqn: `+` lim from { n -> inf } `` SUM from { { k}=2} to{n_{}}``{1}over{k!}`times`{n`(n-1)`…(n-k+1) }over{n^k}`]

㈏

[eqn: =`][eqn: `+` lim from { n -> inf } `` SUM from { { k}=2} to {n`_{}}``{1}over{k!}`left{ LEFT ( 1`-`{1}over{n}`RIGHT)`LEFT ( 1`-`{2}over{n}`RIGHT)`…`LEFT ( 1`-`{k-1}over{n}`RIGHT)`right}``]

㈏

[eqn: `<```][eqn: `+` lim from { n -> inf } `` SUM from { { k}=2} to {n`_{}}``{1}over{k!}``]

㈏

[eqn: `<```][eqn: `+` lim from { n -> inf } `` SUM from { { k}=2} to {n`_{}}``{1}over{2^{k-1}}`]

㈏

그런데, [eqn: lim from { n -> inf } `` SUM from { { k}=2} to{n_{}}``{1}over{k!}`times`{n`(n-1)`…(n-k+1) }over{n^k}``>``0``]이므로

[eqn: `<`` lim from { n -> inf } `` LEFT (`` 1`+`{1}over{n}`` RIGHT )^n``<``]

㈏

㈐

위의 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 쓰면? [3점]

㈎	㈏	㈐

① [eqn: `_n`\C_k`]	[eqn: 1`]	[eqn: 2`]

② [eqn: `_n-1`\C_k`]	[eqn: 1`]	[eqn: 2`]

③ [eqn: `_n`\C_k`]	[eqn: 1``]	[eqn: 3``]

④ [eqn: `_n-1`\C_k`]	[eqn: 2``]	[eqn: 3``]

⑤ [eqn: `_n`\C_k`]	[eqn: 2``]	[eqn: 3``]

이차정사각행렬 [eqn: A```]에 대하여
[eqn: A^2 `-`5A`+`6E`=`O`,~``A `PMATRIX { { ~```2``}# {-3`` }}`=`PMATRIX { { 11``}# {``1`}} `]
이 성립할 때, [eqn: A ``PMATRIX { { -22``}# {``-2`` }}`+`A` PMATRIX { { ~```20``}# {-30``}}``]는? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [4점]

③

[eqn: A ``PMATRIX { { -22``}# {``-2`` }}`+`A` PMATRIX { { ~```20``}# {-30``}} ``=`` -2 A PMATRIX { {11``} # {1``}} `+` 10 A PMATRIX{ {2``} #{-3``}}]

[eqn: =`` -2 A^2 PMATRIX {{2``}#{3``}} `+` 10A PMATRIX{ {2``} # {3``}} ``=`` (-2A^2 `+` 10A) PMATRIX{{2``}#{3``}}]

[eqn: =`` 12 E PMATRIX{{2``}# {3``}}][eqn: =`` pmatrix {{```````24``} # {-36``}}]

[[eqn: BECAUSE][eqn: -2A^2 `+` 10A ``=`` -2(A^2 `-` 5A`) ``=`` -2(-6E`)]]

① [eqn: `PMATRIX { { -24```}# {-36``` }}``]	② [eqn: `PMATRIX { { ```24```}# {```36``` }}``]	③ [eqn: `PMATRIX { { ~```24```}# {-36``` }}``]

④ [eqn: `PMATRIX { { -36```}# {~```24``` }}``]	⑤ [eqn: `PMATRIX { {~```36``}# {-24``` }}``]

[eqn: 0``]이 아닌 두 실수 [eqn: a`,``b`]에 대하여 이차함수 [eqn: ax^2`+`y`=`4`]의 그래프와 직선 [eqn: b`y`=`7``]이 [eqn: (1`,``3`)`]에서 만난다. 이 때, 행렬
[eqn: A`=` PMATRIX { { a``}& {1`` }# {0`` }& {b`` } }}``]에 대하여 [eqn: A ^{-1} ``` LEFT ( pile{4#7} RIGHT )]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: A^-1 ``]은 [eqn: A``]의 역행렬이다.) [3점]

③

[eqn: ax^2 `+` y ``=`` 4] 와 [eqn: by ``=``7] 이 [eqn: (1`,``3`)]에서 만나므로

[eqn: a `+` 3 ``=`` 4], [eqn: 3b ``=`` 7]

[eqn: a ``=`` 1],[eqn: b ``=``` 7over3][eqn: RARROW][eqn: A ``=`` pmatrix{{1} & {``1} # {0}&{```{7over3}}}] , [eqn: A^{-1} ``=`` pmatrix{{1} & {- 3over7} # {0} & { ````````3over7}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: A^{-1} pmatrix{{4``} #{7``}} ``=`` pmatrix{{1} & {- 3over7} # {0} & { ````````3over7}}`pmatrix{{4``} #{7``}} ``=`` pmatrix{{1``} # {3``}}]

[eqn: THEREFORE] (성분의 합)[eqn: = `` 1 `+` 3 ``=`` 4]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 7`]	⑤ [eqn: 10`]

빨간 공 [eqn: 4``]개와 파란 공 [eqn: 2``]개가 들어 있는 상자 [eqn: \A``]가 있다. 상자 [eqn: \A``]에서 동시에 공 [eqn: 3``]개를 꺼내어 비어 있는 상자 [eqn: \B``]에 넣은 다음 다시 상자 [eqn: \B``]에서 공 [eqn: 1``]개를 꺼냈다. 상자 [eqn: \B``]에서 꺼낸 공이 파란 공이었을 때 상자 [eqn: \A``]에서 상자 [eqn: \B``]로 옮겨진 공 [eqn: 3``]개가 빨간 공 [eqn: 2``]개와 파란 공 [eqn: 1``] 개일 확률은? [3점]

⑤

상자 A에서 선택한 3개의 공 중에서 파란 공이 [eqn: k]개([eqn: 0 ```≦``` k ```≦``` 2])가 있는 사건을 [eqn: C_k`], 상자 B에서 파란 공을 선택하는 사건을 [eqn: G``]라고 하면

[eqn: \P`(G`) ``=`` \P`(C_1 `CAP ` G`) `+` \P`(C_2 `CAP ` G`)]

[eqn: = ``{`_{2}C_1 TIMES `_{4}C_2 `}over{`_{6}C_3`} TIMES {1}over{3} `+` {`_{2}C_2 TIMES `_{4}C_1 `}over{`_{6}C_3`} TIMES {2}over{3} ``=`` {3}over{15} `+` {2}over{15} ``=`` {1}over{3}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: \P`(C_1 ` |` ` G`)``=`` { \P`(C_1` CAP ` G`) `}over{ \P`(G`)} ``=`` { 1over5} over{ 1over3} ``=`` 3over5]

① [eqn: {1}over{6}`]	② [eqn: {1}over{5}`]	③ [eqn: {1}over{2}`]	④ [eqn: {2}over{3}`]	⑤ [eqn: {3}over{5}``]

수열의 합 [eqn: SUM from { { k}=1^{}} to {n_{}}``2^k```]의 값이 [eqn: 65``]의 배수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n``]의 최솟값은? [3점]

③

[eqn: SUM from { { k}=1^{}} to {n_{}}2^k``` =`` {2(2^n `-`1`)}over{2`-`1`} ``=`` 2(2^n `-` 1`) ``=`` 65 `k] 이고

2와 65는 서로 소이므로 [eqn: 2^n `-` 1 ``=`` 65`k prime] 이 성립하면 된다.

[eqn: 2^n ``=`` 65`k prime `+` 1 ``=`` (5 cdot 13 `)`k prime `+` 1] ([eqn: n `, `k] 는 자연수)

[i] 수열 [eqn: a_n ``=`` 2^n] 을 5로 나눈 나머지의 수열을 [eqn: a_n^`prime] 이라고 하면

[eqn: a_n^`prime] : 2,  4,  3,  1,  2,  4,  3,  1, [eqn: cdots cdots] 이므로

[eqn: 2^n] 을 5로 나눈 나머지가 1이 되는 경우는 [eqn: n]이 4의 배수일 때이다.

[ii] [eqn: 2^4m ``=`` (2^4`)^m ``=`` (13 `+` 3`)^m] 을 13으로 나눈 나머지는 [eqn: 3^m]을 13으로 나눈 나머지와 같다.

수열 [eqn: b_m ``=`` 3^m] 을 13으로 나눈 나머지의 수열을 [eqn: b_m^`prime] 이라고 하면

[eqn: b_m^`prime] : 3,  9,  1,  3,  9,  1, [eqn: cdots cdots] 이므로

[eqn: 2^4m] 을 13으로 나눈 나머지가 1이 되는 경우는 [eqn: m]이 3의 배수일 때이다.

[eqn: THEREFORE] [i], [ii]에서 [eqn: 2^n]을 5, 13으로 나눈 나머지가 모두 1이 되는 경우는 [eqn: n] 이 12의 배수가 될 때이다.

① [eqn: 10``]	② [eqn: 11``]	③ [eqn: 12``]	④ [eqn: 13``]	⑤ [eqn: 14``]

어떤 혈압강하제를 투여하면 혈액 속에 남아 있는 그 약의 양은 매 [eqn: 4```]시간이 지날 때마다 [eqn: 4``]시간 전의 양의 반으로 줄어든다고 한다. 그 약은 일단 투여를 시작하면 매 [eqn: 12```]시간마다 계속하여 일정한 양을 투여하도록 되어있고, 혈액 속에 남아 있는 그 약의 양은 [eqn: 560```]㎎ 이하를 유지해야 한다. 이 약을 규칙적으로 장기간 투여해야 하는 환자에게 매회 투여 가능한 약의 최대량은 몇 ㎎인가? [3점]

④

매회 투여량을 [eqn: beta ```(mg`)] 이라고 하고, [eqn: n]회 투여하였을 때 체내에 존재하는 혈압 강하제의 양을 [eqn: a_n ```(mg`)] 이라고 하면  [eqn: a_n+1 ``=`` {(`1over2`)^3}a_n `+` beta ``=`` {1over8}a_n `+` beta]

이고 체내에 들어간 혈압 강하제의 양은 투여 시점 이후 다음 투여할 때까지는 계속 감소하므로 [eqn: lim_n->inf ``a_n ````≦```` 560] 라는 조건을 만족시키면 체내의 허용량 조건을 만족시킬 수 있다.

[eqn: a_n+1 ``=`` {1}over{8}a_n `+` beta] [eqn: LRARROW] [eqn: (a_n+1 `-` 8over7 beta `) ``=`` 1over8 ( a_n `-` 8over7 beta `)]

[eqn: LRARROW] [eqn: a_n `-` 8over7 beta ``=`` ( beta `-` 8over7 beta `) ( 1over8`)^n-1 ``=`` - 1over7 beta ` ( 1over8 `)^n-1]

[eqn: LRARROW] [eqn: a_n ``=`` {8over7} beta `-` 1over7 ( 1over8`)^n-1]

[eqn: lim_n->inf ``a_n ``=`` 8over7 beta ````≦```` 560] 이므로 [eqn: beta `````≦````` 490``(mg`)]

[eqn: THEREFORE] 투여 가능한 약의 최대량은 [eqn: 490```mg``]이다.

① [eqn: 300`] ㎎	② [eqn: 375``] ㎎	③ [eqn: 400`] ㎎

④ [eqn: 490`] ㎎	⑤ [eqn: 520`] ㎎

자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: f``(n)`=` LEFT [ ``{n}over{4}`` RIGHT ] ``]이라 하고, 수열 [eqn: LEFT { `a_n``RIGHT } ``]을
[eqn: a_1`=`a_2`=`a_3`=`0``], [eqn: a_n`=` SUM from { { k}=1^{}} to{`^{}f``(n)`_{}} k``] (단, [eqn: n`=`4`,``5`,``6`,``…`])
으로 정의할 때, [eqn: SUM from { { n}=1^{}} to {`^{}28`_{}} a_n`` ``]의 값은? (단, 실수 [eqn: x```]에 대하여 [eqn: LEFT [ `x`` RIGHT ] `]는 [eqn: x```]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

⑤

[eqn: 4m ````≦```` n ````≦```` 4m`+`3] ([eqn: m ``≧`` 1`])일 때,

[eqn: f`(n) ``=`` [{n}over{4}] ``=`` m] 이므로

[eqn: a_n ``=`` SUM from { {k }=1^```} to {f`(n)_````} k ``=`` SUM from { {k }=1^```} to {m_```} k ``=`` {m(m+1)}over{2}]

[eqn: SUM from { {n }=1^```} to {28_```} a_n][eqn: =` (a_1 `+` a_2 `+` a_3`) + SUM from { {m }=1_{```}} to {6^{```}} (a_4m + a_4m+1 + a_4m+2 + a_4m+3`) `+` a_{4cdot7}]

[eqn: = ``( 0 `+` 0 `+` 0 `) `+` SUM from { {m }=1} to {6} { {4m(m+1)}over{2}} `+` {7(7+1)}over{2}]

[eqn: = `` 2 TIMES {6 TIMES 7 TIMES 8}over{3} `+` 28] [eqn: =`` 252]

① [eqn: 204`]	② [eqn: 212`]	③ [eqn: 220`]	④ [eqn: 224`]	⑤ [eqn: 252``]

어느 대학에서는 공개선발시험으로 [eqn: 40``]명의 학생을 선발하여 해외 연수를 보내려고 한다. 이 시험에 응시한 학생 [eqn: 1600``]명의 시험성적은 평균 [eqn: 65``]점, 표준편차 [eqn: 10``]점인 정규분포를 따른다고 한다. 다음 표준 정규분포표를 이용하여 선발된 학생의 최저점수를 구하면? [3점]

②

시험 성적을 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 [eqn: \N`(65`, ``10^2`)]을 따르므로

[eqn: Z ``=`` {X `-` m`}over{ sigma } ``=`` {X`-` 65}over{10}] 이라고 하면 [eqn: Z]는 표준 정규분포를 따른다.

[eqn: 1600]명 중에서 [eqn: 40]등은 [eqn: 2.5 ``%] 이므로
[eqn: \P`(0 ```≦``` Z```≦``` z`) ``=`` 0.025] ([eqn: = ``0.5 `-` 0.4750] )인 [eqn: z] 를 구하면
[eqn: z ``=`` 1.96] 이고 이것에 대응하는
[eqn: X ``=`` 84.6]점[[eqn: LARROW ``{X`-`65}over{10}=` 1.96]]이다.

① [eqn: 80.3```]점	② [eqn: 84.6```]점	③ [eqn: 86.7```]점
④ [eqn: 87.4```]점	⑤ [eqn: 90.8```]점

좌표평면 위의 두 점 [eqn: \P_1`(1`,-1`)``], [eqn: \P_2`(4`,-2`)``]에 대하여 선분
[eqn: bar{ P _{1} P _{2} ` it} ``]를 [eqn: 2~:~1``]로 내분하는 점을 [eqn: \P_3``], 선분 [eqn: bar{rP _{2} P _{3} ` it} ``]을 [eqn: 2``:``1``]로 내분하는 점을 [eqn: \P_4``]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 선분 [eqn: bar{ P _{n} P _{n+1} it} `]을 [eqn: 2``:``1``]로 내분하는 점을 [eqn: P _{n+2} ``][eqn: left(`]단, [eqn: n`=`1`,`2,``3`, CDOTS][eqn: right)]라 하자. 이 때, 점[eqn: P _{n} ``]의 좌표를 [eqn: P _{n} ``(x _{n} `,``y _{n} `)```]이라 하면 [eqn: x_2005`-`y_2005```]의 값은? [4점]

④

내분점 공식에 의해서 [eqn: \P_n+2 ``({x_n`+`2x_n+1`}over{3}`,``{y_n`+`2y_n+1`}over{3}`)] 이므로

[eqn: x_n+2 ``=`` {x_n `+` 2x_n+1`}over{3}], [eqn: y_n+2 ``=`` {y_n `+` 2y_n+1`}over{3}] 이고

문제의 조건에서

[eqn: x_1 ``=`` 1`, ``x_2``=``4`, ``y_1``=``-1`,``y_2``=``-2] 이므로

[eqn: x_n ``=`` 13over4 `+`{27}over{4}(-{1}over{3})^n],

[eqn: y_n ``=`` {- 7over4} `+` (- 9over4 `) (- 1over3 `)^n]

[eqn: x_2005 ``=`` 13over4 `+` 27over4 (- 1over3`)^2005] -----①

[eqn: y_2005 ``=`` {- 7over4} `+` (- 9over4`)(- 1over3`)^2005] -----②

[[eqn: ①`-`②] ] : [eqn: x_2005 `-` y_2005 ``=`` 5 `+` 9(- 1over3`)^2005 ``=`` 5 `-` {3^{-2003}}]

[eqn: THEREFORE ```x_2005 `-` y_2005 ``=``5 `-` {3^{-2003}}]

① [eqn: 6`+``3^{-2003}`]	② [eqn: 6`-`3^{-2003}`]	③ [eqn: 5`+`3^{-2003}`]

④ [eqn: 5`-`3^{-2003}`]	⑤ [eqn: 5`-`3^{-2005}`]

사건 [eqn: A``]가 [eqn: 1`]회의 시행에서 일어날 확률이 [eqn: p``]일 때, [eqn: n``]회의 독립시행에서 사건 [eqn: A``]가 일어나는 횟수를 확률변수 [eqn: X``]라 하자. 확률변수 [eqn: X```]의 평균이 [eqn: 80``]이고 분산이 [eqn: 64``]라 할 때,
[eqn: SUM from { { r}=0^{}} to {n_{}}``5^r ``\P`(X=r`)```]의 값은? (단, [eqn: \P`(X`=`r``)`]은 [eqn: X`=`r``]일 때의 확률이다.) [3점]

①

[eqn: m ``=`` n `p ``=`` 80] -----①

[eqn: sigma ^2 ``=`` n `p `(1-p`) ``=`` 64] -----②

[[eqn: ② DIV ①``]] : [eqn: 1`-`p ``=`` {64}over{80} ``=`` {4}over{5}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p ``=`` 1over5], [eqn: n ``=`` 400] ([eqn: BECAUSE][eqn: ①``])

[eqn: SUM from { { r}=0^{}} to {n_{}}``5^r ``\P`(X=r`) ``=`` SUM from { {r }=0^{}} to {400_{}} ``left{5^r `_{n}C_r ( 1over5 `)^r `( 4over5 `)^{n-r} ` right}]

[eqn: = `` SUM from { {r }=0^{}} to {400_{}} ``left{ `_{n}C_r ( 5over5 `)^r `( 4over5 `)^{n-r} ` right}][eqn: =``SUM from { {r }=0^{}} to {400_{}} ``left{`_{n}C_r `( 4over5 `)^{n-r} ` right}]

[eqn: =`` (1`+` 4over5`)^400 ``=`` ( 9over5`)^400]

① [eqn: LEFT ( {9}over{5} RIGHT )^400``]	② [eqn: LEFT ( {7}over{5} RIGHT )^450``]	③ [eqn: LEFT ( {9}over{5} RIGHT )^399``]

④ [eqn: 2^399`]	⑤ [eqn: 2^400``]

두 부등식 [eqn: {cases{&log _{y} ``(1`-`x ^{2} `)`` <= ``2`#&#&2 ^{y} `` <= ``2``․``4 ^{x} `}} ``] 을 동시에 만족시키는 영역의 넓이는? [4점]

③

[eqn: log_y `~(1`-`x^2`)``≦``2] 에서 [eqn: y]는 로그의 밑이므로 [eqn: y ``>`` 0], [eqn: y ``!=`` 1]이고

[eqn: 1 `-` x^2 ``>`` 0] ([eqn: BECAUSE] 로그의 진수) [eqn: LRARROW] [eqn: -1 ``< `` x ``<`` 1]

(i) [eqn: 0 ``<`` y ``<`` 1] 일 때, [eqn: cases{&1`-`x^2``` ≧``` y^2 #&#& y ````≦```` 2x `+` 1`}``]  , [eqn: -1 ``< `` x ``<`` 1]

(ii) [eqn: y ``>`` 1] 일 때,    [eqn: cases{&1`-`x^2```≦``` y^2 #&#& y ````≦```` 2x `+` 1}``]  , [eqn: -1 ``< `` x ``<`` 1]

이므로 영역의 넓이는 [eqn: {pi `+` 5}over{4}]

① [eqn: {1}over{4}`(pi`+`1`)`]	② [eqn: {1}over{4}`(pi`+`3`)`]	③ [eqn: {1}over{4}`(pi`+`5`)`]
④ [eqn: {1}over{4}``]	⑤ [eqn: {9}over{4}``]

실수 [eqn: a`,``b`]와 두 행렬 [eqn: A`=` PMATRIX { { a`}& {b` }# { a`}& {0` } } `], [eqn: P`=` {pmatrix{1&0#1&1}}]에 대하여 행렬 [eqn: B``]를 [eqn: B`=`P`A`P^{-1}`]라 하자. [보기]에서 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고 [eqn: O``]는 영행렬이다.) [4점]

②

ㄱ. [eqn: A ``=`` P^{-1} `B `P] 이므로 [eqn: B``=``O] 이면

[eqn: A ``=`` P^{-1}`O`P ``=`` O]    : 참

ㄴ. [eqn: B^3 ``=`` (P`A`P^{-1})^3 ``=`` P`A^3`P^{-1}] 이므로 [eqn: A^3 ``=`` E] 이면

[eqn: B^3 ``=`` P`A^3`P^{-1} ``=`` P`E`P^{-1} ``=`` E]

[eqn: RARROW] [eqn: B^100 ``=`` (B^3`)^33 `B ``=`` (E`)^33 `B ``=`` B]  : 참

ㄷ. [eqn: A`B ``=`` A`P`A`P^{-1} ``=`` pmatrix{{a^2 + ab - b^2} & {``ab + b^2} # {a^2 - ab} & {``ab}} ``=`` E]

[eqn: LRARROW] [eqn: cases{{a^2 + ab - b^2 ``=`` ab ``=`` 1`-----①} ## {ab + b^2 ``=`` a^2 - ab ``=`` 0`-----②}}]

① [eqn: RARROW] [eqn: a^2 `-` b^2 ``=`` 0]  -----[eqn: ① prime]

② [eqn: RARROW] [eqn: a^2 `-` b^2 ``=`` 2ab] -----[eqn: ② prime]

[eqn: ① prime `, `② prime]에서 [eqn: ab ``=`` 0] (모순) [[eqn: BECAUSE]①에서 [eqn: ab ``=`` 1``]]

[eqn: THEREFORE] [eqn: AB``=`E``]를 만족하는 행렬 [eqn: A`]는 존재하지 않는다.  : 거짓

ㄱ. [eqn: B`=`O`]이면 [eqn: A`=`O`]이다.

ㄴ. [eqn: A^3`=`E`]이면 [eqn: B`^100`=`B```]이다.

ㄷ. [eqn: AB``=`E``]를 만족하는 행렬 [eqn: A`]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 1```]보다 큰 세 실수 [eqn: a`,``b`,``c```]에 대하여 두 등식

④

[eqn: a^2 b^3 ``=`` 64] -----①

[eqn: LEFT ( log_a ```c `RIGHT ) ^2 `-` 2` LEFT ( log_b ```c `RIGHT ) ^2 `=` -`LEFT (log_a ```c ` RIGHT )` LEFT ( log_b ```c `RIGHT )] -----②

① [eqn: LRARROW] [eqn: 2log_2 ``a ``+` `3 log_2 ``b ```=`` 6] -----[eqn: ① prime]

② [eqn: LRARROW] [eqn: 3 {{log_a``c}over{log_b``c}} `-` 2{{log_b``c}over{log_a``c}} ``=`` -1]

[eqn: LRARROW] [eqn: 3{{log_c``b}over{log_c``a}} `-` 2 {{log_c``a}over{log_c``b}} ``=`` -1]

[eqn: LRARROW] [eqn: 3{{log_2``b}over{log_2``a}}`-`2{{log_2``a}over{log_2``b}} ``=`` -1]

[eqn: LRARROW] [eqn: 3(log_2``b`)^2 `-` 2(log_2``a`)^2 ``=`` -log_2``a ``log_2``b]

[eqn: LRARROW] [eqn: 3(log _{2} ``b`) ^{2} `-`2 LEFT { 3`-` {3} over {2} log _{2} ``b` RIGHT } ^{2} ``]

[eqn: =``- LEFT { 3`-` {3} over {2} log _{2} ``b` RIGHT } ``log _{2} b] ([eqn: BECAUSE ``① prime]) -------[eqn: ② prime]

[eqn: log_2 ``b ``=`` x] 라고 하면

[eqn: ② prime] [eqn: LRARROW] [eqn: 3x^2 `-` 2(3`-` {3}over{2}x`)^2 ``=`` -3x `+` {3}over{2}x^2]

[eqn: LRARROW] [eqn: x^2 `-` 7x `+` 6 ``=`` 0]   [eqn: THEREFORE] [eqn: x ``=`` 1 ````or `` 6]

[i] [eqn: x ``=`` 1] 이면 (즉, [eqn: log_2 ``b ``=`` 1])

[eqn: log_2 ``a ``=`` 3 `-` {3}over{2}log_2 ``b ``=`` {3}over{2}] ([eqn: BECAUSE ``① prime])

[ii] [eqn: x ``=`` 6] 이면 (즉, [eqn: log_2 ``b ``=`` 6`])

[eqn: log_2 ``a ``=`` 3 `-` {3}over{2}log_2 ``b ``=`` -6] ([eqn: BECAUSE ``① prime])

[문제의 조건을 만족하지 않음]

([eqn: BECAUSE] 문제의 조건에서 [eqn: a, ``b, ``c] 가 1보다 크기 때문에

[eqn: log_2``a`, ``log_2``b`, ``log_2``c] 는 0보다 크다.            )

[eqn: THEREFORE] [eqn: log_2``a ``=`` {3}over{2}], [eqn: log_2``b ``=`` 1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: log_2``ab ``=`` log_2``a `+` log_2``b ``=`` {3}over{2} `+` 1 ``=`` {5}over{2}]

[eqn: cases{&`a^2``b^3`=`64`#&#&3`` LEFT ( log_a ```c `RIGHT ) ^2 `-` 2` LEFT ( log_b ```c `RIGHT ) ^2 `=` -`LEFT (log_a ```c ` RIGHT )` LEFT ( log_b ```c `RIGHT ) `}``]

이 성립하도록 하는 두 수 [eqn: a``]와 [eqn: b``]에 대하여 [eqn: log_2 `````a``b```]의 값은?

[4점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: {3}over{2}`]	③ [eqn: 2``]	④ [eqn: {5}over{2}``]	⑤ [eqn: 3``]

다음은 각 항이 정수이고 공차가 [eqn: d```]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n`RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{1} `․`a _{2} `․`a _{3} `․`a _{4} `+`d`` ^{4} ```]이 어떤 정수의 제곱임을 증명하는 과정이다.

①

수열 [eqn: LEFT { a_n`RIGHT } `]이 등차 수열이므로

[eqn: a_1`=`a`-`3`k`], [eqn: a_2`=`a`-`k`], [eqn: a_3`=`a`+`k`], [eqn: a_4`=`a`+`3`k`]

이 성립하도록  [eqn: a`=` {a_2 `+` a_3}over{2}], [eqn: k``=` {d}over{2}] 를 택하면

[eqn: {a_1`․a_2`․a_3`․a_4`+`d``^4`}`=`][eqn: (a-3k)(a-k)(a+k)(a+3k) `+` (2k)^4]

[eqn: = `` a^4 `-` 10 k^2 a^2 `+` 25k^2 ``=`` (a^2 `-` 5k^2`)^2]

이 성립한다. 이 때,

[eqn: a ^{2} `-`5k ^{2} ``=``(a _{2} `+`k`) ^{2} `-`5k ^{2} ``=a ^{2} +2a _{2} k-4k ^{2} =a ^{2} +a _{2} d-d ^{2}]

이고,

[eqn: a_2`]와 [eqn: d`]는 정수이므로 [eqn: a_1`․a_2`․a_3`․a_4`+`d``^4`]는 정수의 제곱이 된다.

[증명]

수열 [eqn: LEFT { a_n`RIGHT } `]이 등차수열이므로

[eqn: a_1`=`a`-`3`k`], [eqn: a_2`=`a`-`k`], [eqn: a_3`=`a`+`k`], [eqn: a_4`=`a`+`3`k`]

이 성립하도록

[eqn: a`=`], [eqn: k``=`]

㈎

㈏

를 택하면

[eqn: {a_1`․a_2`․a_3`․a_4`+`d``^4`}`=`][eqn: (`][eqn: ``)^2`]

㈐

이 성립한다.

이 때, [eqn: `=``a_2`^2`+`a_2`d`-`d``^2`]이고,

㈐

[eqn: a_2`]와 [eqn: d`]는 정수이므로 [eqn: a_1`․a_2`․a_3`․a_4`+`d``^4`]는 정수의 제곱이 된다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 쓰면? [4점]

㈎	㈏	㈐

① [eqn: {a_2`+`a_3}over{2}`]	[eqn: {d}over{2}`]	[eqn: a^2`-`5`k^2`]

② [eqn: {a_2`+`a_3}over{2}`]	[eqn: {d}over{2}`]	[eqn: a^2`-`3`k^2`]

③ [eqn: {a_2`+`a_3}over{2}`]	[eqn: {d}over{4}`]	[eqn: a^2`-`5`k^2`]

④ [eqn: {a_1`+`a_4}over{2}`]	[eqn: {d}over{2}`]	[eqn: a^2`-`3`k^2`]

⑤ [eqn: {a_1`+`a_4}over{2}`]	[eqn: {d}over{4}`]	[eqn: a^2`-`3`k^2`]

모든 자연수 [eqn: n```]에 대하여 각 항이 실수인 두 수열 [eqn: LEFT { a_n``RIGHT } `]과 [eqn: LEFT { b_n``RIGHT } ``]이
[eqn: `a _{n+1} ` ^{2} `+`4`a _{`} ^{2} + LEFT ( a _{1} `-`2` RIGHT ) ^{2} `=`4`a _{n+1} ```a _{n} ``]
[eqn: {b_n}`=`log_root{2}````{a_n}``]
와 같이 정의될 때,[eqn: SUM from { { k}=1^{}} to {m`_{}}`b_k`=`72```]가 성립하도록 하는 자연수 [eqn: m```]의 값은? [3점]

①

[eqn: `a _{n+1} ` ^{2} `+`4`a _{`} ^{2} + LEFT ( a _{1} `-`2` RIGHT ) ^{2} `=`4`a _{n+1} ```a _{n} ``]

[eqn: LRARROW ~ LEFT ( a_n+1 -2 a_n` RIGHT ) ^2 +(a_1 -2 )^2 =0``]이고 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 각 항이 실수이므로 [eqn: a_n+1 -2a_n =0 ``]이고 [eqn: a_1 -2 =0``]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT } ``]은 [eqn: a_1 = 2 ,~ a_n+1 =2a_n`]인 등비수열이므로

[eqn: a_n = 2^n ``]이므로 [eqn: b_n = log_{ SQRT { 2} } ` 2^n = 2n``]

그러므로 [eqn: SUM from { { k}=1} to m b_k = SUM from { { k}=1} to m 2k = m(m+1) =72``]에서

[eqn: THEREFORE ~ m=8``]

① [eqn: 8`]	② [eqn: 9`]	③ [eqn: 10`]
④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 12`]

[eqn: a_n`=`3`n^2`-`3n```]([eqn: n`=`1`,``2`,``…``])과 같이 정의된 수열 [eqn: LEFT { a_n`RIGHT } ``]의 첫째항부터 제[eqn: n```]항까지의 합을 [eqn: S_n ``]이라 할 때, [eqn: S_n``]이 처음으로 [eqn: 16``]자리의 정수가 되도록 하는 [eqn: n```]을 [eqn: 10``]으로 나눈 나머지는?

②

[eqn: S_n ``=`` SUM from { {k }=1^```} to {n_```} `(3k^2 `-` 3k`)]

[eqn: =`` 3 TIMES {n(n`+`1)(2n`+`1)}over{6} `-`` 3 TIMES {{n(n`+`1)}over{2}}]

[eqn: =`` (n`-`1)n(n`+`1)]

[eqn: f`(x) ``=`` (x`-`1`)`x`(x`+`1`) `-` 10^15] 이라고 하면

[eqn: x ``≧`` 1]에서 [eqn: y ``=`` f`(x)]은 증가 함수이고

[eqn: f`(10^5`) ``=`` (10^5 `-` 1`)(10^5`)(10^5 `+`1`)`-`10^15 ``=`` -` 10^5] < [eqn: 0]

[eqn: f`(10^5 `+` 1`) ``=`` (10^5`)(10^5 `+` 1`)(10^5 `+` 2`) `-` 10^15 ``=`` 3 cdot 10^10 `+` 2 cdot 10^5] > [eqn: 0] 이므로

[eqn: 1 ```≦``` x```≦``` 10^5] 일 때는 [eqn: f`(x) ``<`` 0] [[eqn: (x`-`1)`x`(x`+`1) ``<`` 10^15] ]이고

[eqn: x ``≧`` 10^5 `+` 1] 일 때는 [eqn: f`(x) ``>`` 0] [ [eqn: (x`-`1)`x`(x`+`1) ``>`` 0] ]이다.

따라서, 처음으로 [eqn: S_n `-` 10^15 `` >`` 0] 이 되는 자연수는

[eqn: n ``=`` 10^5 `+` 1] 이 된다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: 10^5 `+` 1]을 10으로 나눈 나머지는 [eqn: 1]이다.

[4점]

① [eqn: 0`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: 2`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 9`]

양궁대회에 참가한 어떤 선수가 활을 쏘아 과녁의 [eqn: 10`]점 부분을 명중시킨 다음 다시 활을 쏘아 [eqn: 10``]점 부분을 명중시킬 확률이 [eqn: {8}over{9}``]이고, [eqn: 10``]점 부분을 명중시키지 못한 다음 다시 [eqn: 10``]점 부분을 명중시키지 못할 확률이 [eqn: {1}over{5}``]이다. 이 선수가 반복하여 계속 활을 쏜다고 할 때, [eqn: n```]번째에 [eqn: 10```]점 부분을 명중시킬 확률을 [eqn: p_n``]이라 하자. 이 때, [eqn: lim from { n-> inf } ``p_n```]의 값은? [4점]

정답 ⑤

[eqn: p_n+1 ``=`` {8}over{9}p_n `+` (1`-`{1}over{5})(1`-`p_n`)] [eqn: = `` {4}over{45}p_n `+` {4}over{5}]

[eqn: LRARROW] [eqn: (p_n+1 `-` 36over41`) ``=`` { 4over45}(p_n `-` 36over41`)] [[eqn: n ``≧`` 1] ]

[eqn: LRARROW] [eqn: p_n `-` 36over41 ``=``(p_1 `-` 36over41`)(`4over45`)^n-1]

[eqn: LRARROW] [eqn: p_n ``=`` 36over41 `+` (p_1 `-` 36over41`)( 4over45` )^n-1] [[eqn: 0 ````≦```` p_1 ````≦```` 1]]

[eqn: lim_n->inf ``p_n ``=``][eqn: lim_n->inf ``left{36over41 `+` (p_1 `-` 36over41`)( 4over45` )^n-1 ` right}][eqn: = `` 36over41]

① [eqn: {14}over{27}`]	② [eqn: {17}over{27}`]	③ [eqn: {25}over{41}`]	④ [eqn: {32}over{41}`]	⑤ [eqn: {36}over{41}`]

두 지수함수 [eqn: f``(x)`=`9^x`+`a```], [eqn: `g``(x)`=`b``․`3 ^{x} `+`2`]에 대하여 곡선 [eqn: y`=`f``(x)``]와 곡선 [eqn: y`=`g``(x)``]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나고 두 교점의 [eqn: x``]좌표가[eqn: x`=`log_3 ```2``,``x`=`log_3`` `k```](단, [eqn: k``>``2`])일 때, [보기]에서 [eqn: a`,``b``]에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

③

[eqn: x ``=`` log_3 ``z] 라고 하면

[eqn: f`(x) ``=`` 9^x `+` a ``=`` 9^{log_3 ``z} `+` a ``=`` z^2 `+` a ```==``` p`(z)]

[eqn: g`(x) ``=`` b cdot 3^x `+` 2 ``=`` b cdot 3^{log_3 ``z} `+` 2 ``=`` b`z `+` 2```==``` q(z)]

문제의 조건에서 [eqn: f`(x) ``=`` g`(x)] 의 근은

[eqn: x ``=`` log_3``2], [eqn: x ``=`` log_3 ``k] ([eqn: k ``>`` 2``])이므로 [eqn: p`(z) ``=`` q`(z)]의 근은 [eqn: z``=`` 2], [eqn: z ``=`` k] ([eqn: k ``>`` 2``])이다.

[eqn: p`(z) ``=`` q`(z)] [eqn: LRARROW] [eqn: z^2 `+` a ``=`` b `z `+` 2]

[eqn: LRARROW] [eqn: z^2 `-` b`z `+` a `-` 2 ``=``0] -----①

[eqn: z]에 대한 이차 방정식은 서로 다른 두 실근 [eqn: 2], [eqn: k] ([eqn: k ``>`` 2 ``])을 가지므로

(판별식)[eqn: =][eqn: (-b)^2 `-` 4 cdot (a`-`2) ``>`` 0] [eqn: LRARROW] [eqn: b^2 ```>`` 4a `-` 8]  : (ㄱ)은 거짓

[eqn: z ``=`` 2]는 방정식의 근이므로

[eqn: 4 `-` 2b `+` a `-` 2 ``=`` 0] [eqn: LRARROW] [eqn: a ``=`` 2b `-` 2] : (ㄴ)은 참

(두 근의 곱)[eqn: = `` 2 k ``=`` a`-`2] > [eqn: 4] ([eqn: BECAUSE ``` k ``>`` 2``])

[eqn: LRARROW] [eqn: a ``>`` 6] : (ㄷ)은 참

ㄱ. [eqn: b^2`=`4a`-`8`]      ㄴ. [eqn: a`=`2b`-`2`]         ㄷ. [eqn: a`>`6`]

① ㄴ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음 그림과 같이 중심이 [eqn: \O``]이고 반지름의 길이가 [eqn: r_0``]인 원 [eqn: \C_0``]가 있다. 원 [eqn: \C_0``]의 반지름을 [eqn: 3``]등분하여 원점 [eqn: \O```]에서부터 가까운 점을 차례로 [eqn: \P_1`,``\Q_1`]이라 하고, 중심이 [eqn: \O```]이고 반지름을 [eqn: bar{\OP_1^{} }```], [eqn: bar{\OQ_1^{} }```]으로 하는 원을 각각 [eqn: \C_1```], [eqn: \D_1``]이라 하자. 같은 방법으로 원 [eqn: \C_1``]의 반지름 [eqn: bar{\OP_1^{} }```]을 [eqn: 3``]등분하여 원점 [eqn: \O```]에서부터 가까운 점을 차례로 [eqn: \P_2`,``\Q_2``]이라 하고, 중심이 [eqn: \O```]이고 반지름을[eqn: bar{\OP_2^{} }```], [eqn: bar{\OQ_2^{} }```]으로 하는 원을 각각 [eqn: \C_2```],[eqn: \D_2```]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 원 [eqn: \C_n `,``\D_n``](단, [eqn: n`=`1`,``2`,``3`,``…`])을 만든다. 이 때, 원 [eqn: \D_n``]의 넓이에서 원 [eqn: \C_{n}``]의 넓이를 뺀 값을 [eqn: S_n``]이라 하면 [eqn: SUM from { { n}=1^{}} to inf ``S_n``]의 값은? [4점]

②

[eqn: s _{1} ``=`` pi LEFT { ( {2} over {3} `) ^{2} `-`( {1} over {3} `) ^{2} ` RIGHT } `r _{0} ^{2} `= {1} over {3} pi r _{0} ^{2} ``] 이고

[eqn: {s_n+1} ``=`` ( 1over3`)^2 `s_n] 이므로

[eqn: sum _{n=1 _{}} ^{INF ^{}} `s _{n} ``=`` {{1} over {3} pi r _{0} ^{2}} over {1- {1} over {9}} = {3} over {8} pi r _{0} ^{2}]

[eqn: r_0`]

[eqn: \C_0`]

[eqn: \P_1`]

[eqn: \O`]

[eqn: \D_1`]

[eqn: \C_1`]

[eqn: \Q_1`]

① [eqn: {3}over{4}`pi`r_0^2`]	② [eqn: {3}over{8}`pi``r_0^2`]	③ [eqn: {5}over{8}`pi`r_0^2`]
④ [eqn: {9}over{16}`pir_0^2`]	⑤ [eqn: {9}over{64}pi`r_0^2`]

주관식 문항 (25 ～ 30)

행렬 [eqn: A`=` PMATRIX { { 1``}& {2`` }# {3`` }& {a`` } } `]에 대하여 [eqn: A^2`X`=`X``]를 만족하는 행렬 [eqn: X``]가 [eqn: 2``]개 이상 존재하도록 실수[eqn: a`]의 값을 정할 때, [eqn: A`` LEFT ( pile{p#q} RIGHT ) `= LEFT ( pile{16#24} RIGHT )] 를 만족하는 상수 [eqn: p`,``q``]의 합 [eqn: p`+`q```]의 값을 구하시오.
(단, Ⅹ는 2 × 1 행렬이다.) [3점]

[eqn: 10]

[eqn: A^2 X ``=`` X] [eqn: LRARROW] [eqn: (A^2 `-` E`) X ``=`` O]

만일 행렬 [eqn: (A^2 `-` E`)]의 역행렬이 존재한다면 행렬[eqn: X]는 하나만 존재할 수 있으므로 문제의 조건처럼 행렬 [eqn: X]가 [eqn: 2]개 이상 존재하기 위해서는 행렬[eqn: (A^2 `-` E`)]의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.

[eqn: A^2 `-` E ``=`` pmatrix{ {6} & {`2+2a``} # {3+3a} & {`5+a^2``}}] 이므로

[eqn: Det`(A^2 `-` E`) ``=`` 30 + 6a^2 `-` 6(a+1)^2 ``=`` 24`-`12a ``=`` 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a ``=`` 2] [eqn: RARROW] [eqn: A``=`` pmatrix{{1} & {2``} # {3} & {2``}}], [eqn: A^{-1} ``=`` 1over4 pmatrix{{-2}&{```````2`}# {`````````3}&{-1`}}]

[eqn: A`` LEFT ( pile{p#q} RIGHT ) `= LEFT ( pile{16#24} RIGHT )] [eqn: LRARROW] [eqn: LEFT ( pile{p#q} RIGHT ) =A ^{-1} LEFT ( pile{16#24} RIGHT ) = {1} over {4} {pmatrix{-2&2#3&-1}} LEFT ( pile{16#24} RIGHT ) = LEFT ( pile{4#6} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p `+` q``=`` 4 `+` 6 ``=`` 10]

연립방정식
[eqn: cases{&{2}over{log_x````4}`+`{1}over{log_y````2}`=`3`#&#&log_2````3x`+`log_root{2}`````y`=`log_{2}``48``}``]
의 해를 [eqn: x`=`alpha`,``y`=`beta`]라 할 때, [eqn: alpha^2`+`beta^2`]의 값을 구하시오.

[eqn: 20]

[eqn: {2}over{log_x````4}`+`{1}over{log_y````2}`=`3] -----①

[eqn: log_2````3x`+`log_root{2}`````y`=`log_{2}``48] -----②

① [eqn: LRARROW] [eqn: log_2``x `+` log_2``y ``=`` 3] -----[eqn: ① prime]

② [eqn: LRARROW] [eqn: log_2 ``x `+` 2log_2``y ``=`` log_2``{48over3} ``=`` 4] -----[eqn: ② prime]

[eqn: ① prime `, ② prime]의 연립 방정식을 풀면

[eqn: log_2 ``x ``=`` 2] [eqn: LRARROW] [eqn: x ``=`` 2^2 ``=`` 4]

[eqn: log_2``y ``=`` 1] [eqn: LRARROW] [eqn: y ``=`` 2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha ``=`` 4 `, `` beta ``=`` 2] 이므로 [eqn: alpha ^2 `+` beta ^2 ``=`` 20]

[3점]

[eqn: {{2^68 `times` 5^68 _{}}over{2^7 `times` 5^7 `+` 2^4 `times` 5^4}^{}}`=`alpha `times` 10^n``] (단, [eqn: 1`≦`alpha`<`10``])라 할 때, 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 60]

[eqn: {{2^68 `times` 5^68 _{}}over{2^7 `times` 5^7 `+` 2^4 `times` 5^4}^{}} ``=`` {10^68}over{10^7 `+` 10^4``}] 이고

[eqn: a ``>`` 0] 일 때, [eqn: y ``=`` {a}over{x}] ([eqn: x ``>`` 0`])는 감소함수이므로

[eqn: {9 TIMES 10^68}over{10^8 `}``<`` {10^68}over{10^7 `+` 10^4``}``<`` {10^68}over{10^7 ``}] ([eqn: BECAUSE][eqn: {10^8 }over{9} ``>`` 10^7 `+` 10^5 ```>`` 10^7] )

[eqn: {9 TIMES 10^68}over{10^8 `} ``=`` 9 TIMES 10^60],  [eqn: {10^68}over{10^7} ``=`` 10^61]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 9 TIMES 10^60 ``<`` {10^68}over{10^7 `+` 10^4``} ``<`` 10^61]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {10^68}over{10^7 `+` 10^4``} ``=`` a TIMES 10^60] ([eqn: 9 ``<`` a ``<``10`]) 이므로[eqn: n ``=`` 60] 이다.

다음은 오존층의 두께를 조사하는 방법 중 하나를 서술한 것이다.

[eqn: 395]

[eqn: log_a `{I_0}over{I} ``=`` kx] [eqn: LRARROW] [eqn: {I_0}over{I````} ``=`` a^{k`x}]

[eqn: x ``=`` 0.2] 일 때, [eqn: I ``=`` {5}over{6}I_0] 이므로 [eqn: {I_0}over{ {5}over{6}I_0} ``=`` a^{{k}over{5}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a^k `=`` ( 6over5 )^5]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 1000` log_10 ``a^k ``=`` 1000 ` log_10`` ( 6over5 )^5 ``=`` 5000 TIMES 0.079 ``=`` 395]

태양광선이 대기권에 도달하기 전의 특정한 파장의 세기를 [eqn: I_0```], 그 파장이 두께가 [eqn: x``]㎝ 인 오존층을 통과한 후의 파장의 세기를 [eqn: I```]라 하면

[eqn: log_{a}``{I_0}`-`log_{a}``{I````}`=`k`x`]

이 성립한다.

여기서, [eqn: a``]는 [eqn: 2`<`a`<`3`]인 상수이고,[eqn: k``]는 그 파장에 대한 오존의 흡수상수이다.

위와 같은 공식을 이용하면, 진폭이 [eqn: 3`times`10^{-8}`] ㎝ 인 특정파장이 두께가 [eqn: 0.2``]㎝인 오존층을 통과하였을 때, [eqn: I`=`{5}over{6}``I_0```]를 만족한다고 한다. 이 때, [eqn: 1000`log_{10}```a^{`k}`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: log_10 ```2`=`0.301], [eqn: log_10 ```3`=`0.477`]로 계산한다.) [4점]

실수 [eqn: x`]에 대한 함수 [eqn: f``(x)`]가
[eqn: f``(x)``=`` _{6} ` C _{0} `+`` _{6} ` C _{1} ```x ^{2} `+` _{6} ` C _{2} ```x ^{4} `+` _{6} ` C _{3} ```x ^{6} `+` _{6} ` C _{4} ```x ^{8} `]
[eqn: +` _{6} ` C _{5} ```x ^{10} `+` _{6} ` C _{6} ```x ^{12} ``]
와 같이 정의될 때, [eqn: f``(tan`theta`)``=`2^12`]을 만족하는 [eqn: theta`]에 대하여
[eqn: {36`theta}over{pi}``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0`<`theta`<`{pi}over{2}`]) [4점]

[eqn: 12]

[eqn: f``(x)``=`` _{6} ` C _{0} `+`` _{6} ` C _{1} ```x ^{2} `+` _{6} ` C _{2} ```x ^{4} `+` _{6} ` C _{3} ```x ^{6} `+` _{6} ` C _{4} ```x ^{8} `]
[eqn: +` _{6} ` C _{5} ```x ^{10} `+` _{6} ` C _{6} ```x ^{12} ``]

[eqn: = SUM from { {k }=0} to {6} `_{6}\C_k``` x^2k ``=`` (1 `+` x^2 `)^6]

[eqn: f`(tan theta `) ``=`` (1`+` tan^2 theta `)^6 ``=`` 2^12]

[eqn: 1 `+` tan^2 theta ``=`` 4] [eqn: LRARROW] [eqn: tan^2 theta ``=`` 3]

[eqn: LRARROW] [eqn: tan theta ``=`` sqrt{3``}] ( [eqn: BECAUSE ``` 0 ``<`` theta ``< `{pi}over{2}]에서 [eqn: tan theta ``>`` 0``])

[eqn: THEREFORE] [eqn: theta ``=`` {pi}over{3}] 이므로 [eqn: {36 theta }over{pi} ``=`` 12]

[eqn: a_1`=`1`,~a_{n+1}`=`a_{n}^{2}``+`1`] (단, [eqn: n`=`1`,``2`,``3`,``…`])으로 정의되는 수열 [eqn: LEFT { a_n``RIGHT } ``]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { r_n``RIGHT } ``]의 제[eqn: n```]항 [eqn: r_n``]은 [eqn: a_n``]을 [eqn: a_5``]로 나눈 나머지로 정의하자. 예를 들어 [eqn: r_1``]은 [eqn: a_1`]을 [eqn: a_5``]로 나눈 나머지이고, [eqn: r_2``]는 [eqn: a_2``]를 [eqn: a_5``]로 나눈 나머지이다. 이 때, 다음 그림과 같이 [eqn: 100`]개의 작은 사각형으로 이루어진 바둑판 모양의 사각형 각 칸에 [eqn: r_1``]부터 [eqn: r_100``]까지의 수를 차례로 채워나갈 때, 글자

모양의 어두운 부분에 채워지는 수들의 합을 구하시오. [4점]

[eqn: 39]

[eqn: a_1 ``=`` 1], [eqn: a_2 ``=`` 2], [eqn: a_3 ``=`` 5], [eqn: a_4 ``=`` 26], [eqn: a_5 ``=`` 677], [eqn: a_6 ``=`` {a_5}^2 `+` 1], .....

이므로 [eqn: r_1 ``=`` 1], [eqn: r_2 ``=`` 2], [eqn: r_3 ``=`` 5], [eqn: r_4 ``=`` 26], [eqn: r_5``=`` 0], [eqn: r_6 ``=`` 1], [eqn: r_7 ``=`` 2], .....

([eqn: BECAUSE] [eqn: a_n ``=`` a_5 cdot m `+` p] ([eqn: 0 ```≦``` p ``<`` a_5]) 이면

[eqn: a_n+1 ``=`` (a_5 cdot m `+` p `)^2 `+` 1 ``=`` a_5 `(a_5 cdot m^2 `+` 2`p`m `) `+` p^2 `+` 1] 이므로 [eqn: r_n ``=``p ``````` RARROW ````r_n+1 ``=`` p^2 `+` 1]  )

[eqn: THEREFORE] [eqn: r_n ``=`` cases{ 1 ````````( n ``=`` 5m `+` 1``) # 2 ````````(n ``=`` 5m`+`2``) # 5 ````````(n ``=`` 5m `+`3``) # 26 `````(n ``=`` 5m `+`4``) # 0 `````````(n ``=`` 5m``)}]  , [eqn: m]은 정수

[eqn: THEREFORE] (수의 합)[eqn: =`` 26 TIMES 1 `+` 0 TIMES 2 `+` 1 TIMES 4 `+` 2 TIMES 2 `+` 5 TIMES 1 ``=`` 39]

[eqn: r_1``]	[eqn: r_2``]	[eqn: r_3``]	[eqn: r_4``]	[eqn: r_5``]	[eqn: r_6``]	[eqn: r_7``]	[eqn: r_8``]	[eqn: r_9``]	[eqn: r_10``]
[eqn: r_11``]									[eqn: r_20``]
[eqn: r_21``]									[eqn: r_30``]
[eqn: r_31``]									[eqn: r_40``]
[eqn: r_41``]									[eqn: r_50``]
[eqn: r_51``]									[eqn: r_60``]
[eqn: r_61``]									[eqn: r_70``]
[eqn: r_71``]									[eqn: r_80``]
[eqn: r_81``]									[eqn: r_90``]
[eqn: r_91``]									[eqn: r_100``]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2006년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설