◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

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수 학 영 역

‘가’형

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2006학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: n`=`2006``]이고 [eqn: a`=` 3 over 4``]일 때, 세 수 [eqn: A`,```B`,```C```]를 각각
[eqn: A`=``^n`sqrt{a^{n-1}``}],  [eqn: B`=``^n`sqrt{a^{n+1}``}],  [eqn: C`=``^{n+1}`sqrt{a^{n}``}]
이라 하자. 다음 중 세 수 [eqn: A`,```B`,```C```]의 대소관계로 옳은 것은?

④

[eqn: A= LEFT ( { 3} over {4 } RIGHT ) ^{ { 2005} over {2006 } }``], [eqn: B= LEFT ( { 3} over {4 } RIGHT ) ^{ { 2007} over {2006 } }``], [eqn: C= LEFT ( { 3} over {4 } RIGHT ) ^{ { 2006} over {2007 } }``]

[eqn: a`=` 3 over 4``]에서 감소함수이므로

[eqn: { 2007} over { 2006 } > { 2006} over {2007 } > { 2005} over {2006 } ``]이므로 [eqn: THEREFORE ~ B<C<A``]

[2점]

① [eqn: A``<``B``<``C]	② [eqn: A``<``C``<``B``]	③ [eqn: B``<``A``<``C``]

④ [eqn: B``<``C``<``A``]	⑤ [eqn: C``<``A``<``B``]

반지름의 길이가 [eqn: 1``]인 구를 두 개의 반구로 나누었다. 그림과 같이 구의 중심 [eqn: \O`]로부터 거리가 [eqn: 1over2 ```]인 곳에서 반구의 단면에 수직인 평면으로 반구를 잘랐다. 이 때, 생긴 두 입체 중에서 작

③

구하는 입체의 부피[eqn: V_x``]는 좌표평면상에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =1``]의 [eqn: { 1} over {2 } ≦x≦1``]의 부분을 [eqn: x``]축을 회전축으로 하여 회전한 입체의 부피의 [eqn: { 1} over {2 } ``]과 같으므로

[eqn: THEREFORE `V _{x} = {1} over {2} ` pi ` int _{{1} over {2}} ^{1} {} y ^{2} `dx & = {1} over {2} pi ` int _{{1} over {2}} ^{1} {} (1-x ^{2} )`dx]

[eqn: = {1} over {2} ` pi ` LEFT [ x- {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{{1} over {2}} ^{1} = {5} over {48} pi]

은  입체의 부피는? [2점]

① [eqn: 1over5 pi``]	② [eqn: 1over12 pi``]	③ [eqn: 5over48 pi``]
④ [eqn: 2over27 pi``]	⑤ [eqn: 7over36 pi``]

폐구간 [eqn: [a`,``b`]```]에서 정의된 함수 [eqn: f```(x)`]가 [eqn: a`<`x_1`<`x_2`<`b``]인 임의의 두 실수 [eqn: x_1`,``x_2```]에 대하여
[eqn: {f``(x_1`)`-`f``(a)}over { x_1 `-`a }``>``{f``(x_2`)`-`f``(a)}over { x_2 `-`a }`]
를 만족할 때, 다음 중 함수 [eqn: y`=`f``(x)`]의 그래프가 될 수 있는 것은? [2점]

①

[eqn: {f``(x_1`)`-`f``(a)}over { x_1 `-`a }``]은 점[eqn: LEFT ( a,```f`(a)` RIGHT ) ``]과 [eqn: LEFT ( x_1 ,```f`(x_1 )` RIGHT ) ``]을 이은 선분의 기울기,

[eqn: {f``(x_2`)`-`f``(a)}over { x_2 `-`a }` `]은 점[eqn: LEFT ( a,```f`(a)` RIGHT ) ``]과 [eqn: LEFT ( x_2 ,```f`(x_2 )` RIGHT ) ``]을 이은 선분의 기울기

[eqn: a`<`x_1`<`x_2`<`b``]에서 [eqn: {f``(x_1`)`-`f``(a)}over { x_1 `-`a }``>``{f``(x_2`)`-`f``(a)}over { x_2 `-`a }`]이 성립한다는 것은 함수 [eqn: y=f`(x)`]의 그래프가 이 구간에서 위로 볼록한 그래프이어야 성립한다.

①	②	③

④	⑤

이차 이하의 모든 다항함수 [eqn: f``(x)``]에 대하여 등식
[eqn: int_0^2 f``(x)``dx `=`a``f``(0) `+` b``f``(1) `+` c``f``(2)``]
이 항상 성립하도록 하는 상수 [eqn: a,``b,``c``]의 곱 [eqn: a`b`c``]의 값은? [3점]

④

[eqn: f`(x)=px^2 +qx +r```(단, ``` p,``q,``r``은```임의의``` 실수``)``]라 두면

[eqn: f`(0) = r ````, f`(1)=p+q+r```, f`(2)=4p+2q+r ``]이고

[eqn: int _{0} ^{2} {} f`(x)`dx & = int _{0} ^{2} {} (px ^{2} +qx+r)`dx]

[eqn: = LEFT [ {p} over {3} x ^{3} + {q} over {2} x ^{2} +rx RIGHT ] _{0} ^{2} = {8p} over {3} +2q+2r``]

[eqn: {8} over {3} p+2q+2r & =a`r+b`(p+q+r)+c`(4p+2q+r)][eqn: =(b+4c)p+(b+2c)q+(a+b+c)r``]

[eqn: b+4c = { 8} over { 3} ,~ b+2c =2 ,~ a+b+c =2``]을 연립하면

[eqn: a= { 1} over { 3} ,~ b= { 4} over {3 } ,~ c= { 1} over { 3} ``]이므로

[eqn: THEREFORE ~ a b c = { 8} over {27 } ``]

① [eqn: 4```]	② [eqn: 8```]	③ [eqn: 4 over 27``]	④ [eqn: 8 over 27```]	⑤ [eqn: 8 over 9```]

헌혈을 하려는 학생 [eqn: 10`]명에게 자신의 혈액형을 [eqn: \A``]형, [eqn: \B``]형, [eqn: \AB``]형, [eqn: \O``]형으로만 기록하도록 하였더니 다음과 같은 결과가 나왔다.

④

혈액형이 [eqn: \A``]형, [eqn: \B``]형, [eqn: \AB``]형, [eqn: \O``]형인 학생의 수를 각각 [eqn: a,``b,``c,``d``]라 두면  [eqn: a+b+c+d =10``]

(다)에서 [eqn: a=4``]이고 (가)에서 [eqn: 4+b =c+d``]

(나)에서 [eqn: 4+c =b+d``] 연립하면

[eqn: a=4 ,```` b=1 ,``` c=1 ,``` d=4``]이므로

구하는 경우의 수는 같은 것을 포함하는 순열의 수와 같으므로

[eqn: THEREFORE ~{ 10` !} over {4`! TIMES 4`! } =6300``]

㈎ [eqn: \A```]형인 학생 수와 [eqn: \B``]형인 학생 수의 합은 [eqn: \A`\B```]형인 학생 수와 [eqn: \O```]형인 학생 수의 합과 같다.

㈏ [eqn: \A```]형인 학생 수와 [eqn: \A`\B```]형인 학생 수의 합은 [eqn: \B``]형인 학생 수와 [eqn: \O```]형인 학생 수의 합과 같다.

㈐ [eqn: \A```]형인 학생 수는 [eqn: 4``]명이다.

이 때, 이 [eqn: 10``]명의 학생이 모두 헌혈을 하였고, 각 학생의 혈액을 혈액형만 표시된 혈액팩에 넣었다. 이 [eqn: 10`]개의 혈액팩 모두를 일렬로 나열하는 방법은 모두 몇 가지인가?
(단, 각 혈액팩은 [eqn: \A``]형, [eqn: \B``]형, [eqn: \AB``]형, [eqn: \O``]형으로만 혈액형이 기록되어 있고, 기록된 혈액형으로만 구별할 수 있다) [3점]

① [eqn: 2100`]가지	② [eqn: 3900``]가지	③ [eqn: 4200``]가지
④ [eqn: 6300``]가지	⑤ [eqn: 12600``]가지

다음은 각 항이 정수이고 공차가 [eqn: d```]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n`RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a_1`․a_2`․a_3`․a_4`+`d``^4```]이 어떤 정수의 제곱임을 증명하는 과정이다.

①

각 항이 정수이고 공차가 [eqn: d``]인 등차수열[eqn: LEFT { a_n`RIGHT } ``]에 대하여

[eqn: a_1 CDOT a_2 CDOT a_3 CDOT a_4 +d`^4``]이 어떤 정수의 제곱임을 증명

증명〕

수열[eqn: LEFT { a_n`RIGHT } ``]이 등차수열이므로

[eqn: a_1 =a-3k ,``` a_2 =a-k ,``` a_3 = a+k ,``` a_4 =a+3k``]이 성립하도록
[eqn: a```,```k``]를 정하면

[eqn: a_1 +a_4 =2a~,~ a_2 +a_3 =2a``]에서

[eqn: a= { a_1 +a_4 } over {2 } ``] 또는 [eqn: a= { a_2 +a_3 } over { 2} ``]이고

공차가 [eqn: 2k= d ``]이므로 [eqn: k= { d} over { 2} ``]이다. 또,

[eqn: a_1 CDOT a_2 CDOT a_3 CDOT a_4 +d`^4 &=(a-3k )(a-k)(a+k )(a+3k)+d`^4 #&=(a^2 -k^2 )(a^2 -9`k^2 )+d`^4 #&=a^4 -10k^2 a^2 +9k^4 +d`^4 ``` LEFT ( d=2k RIGHT ) #&=a^4 -10a^2 k^2 +25k^4 #&=(a^2 -5k)^2``]

이 성립한다.

이 때, [eqn: LEFT ( a^2 -5k^2 RIGHT ) ^2 ={a_2 } +a_2 d -d`^2 ``]이고,

[eqn: a_2``]와 [eqn: d``]는 정수이므로 [eqn: a_1 CDOT a_2 CDOT a_3 CDOT a_4 +d`^4``]는 정수의 제곱이  된다.

[증명]

수열 [eqn: LEFT { a_n`RIGHT } `]이 등차수열이므로

[eqn: a_1`=`a`-`3`k`], [eqn: a_2`=`a`-`k`], [eqn: a_3`=`a`+`k`], [eqn: a_4`=`a`+`3`k`]

이 성립하도록

[eqn: a`=`] , [eqn: k``=`]

㈎

㈏

를 택하면

[eqn: {a_1`․a_2`․a_3`․a_4`+`d``^4`}`=`][eqn: (`][eqn: ``)^2`]

㈐

이 성립한다.

이 때, [eqn: `=``a_2`^2`+`a_2`d`-`d``^2`]이고,

㈐

[eqn: a_2`]와 [eqn: d`]는 정수이므로 [eqn: a_1`․a_2`․a_3`․a_4`+`d``^4`]는 정수의 제곱이 된다.

위의 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 쓰면? [4점]

(가)	(나)	(다)

① [eqn: {a_2`+`a_3}over{2}`]	[eqn: {d}over{2}`]	[eqn: a^2`-`5`k^2`]

② [eqn: {a_2`+`a_3}over{2}`]	[eqn: {d}over{2}`]	[eqn: a^2`-`3`k^2`]

③ [eqn: {a_2`+`a_3}over{2}`]	[eqn: {d}over{4}`]	[eqn: a^2`-`5`k^2`]

④ [eqn: {a_1`+`a_4}over{2}`]	[eqn: {d}over{2}`]	[eqn: a^2`-`3`k^2`]

⑤ [eqn: {a_1`+`a_4}over{2}`]	[eqn: {d}over{4}`]	[eqn: a^2`-`3`k^2`]

삼차함수 [eqn: f``(x)``]에 대하여 두 함수 [eqn: g``(x)`,``h``(x)``]를
[eqn: g``(x)`=`f``prime (x)`,``~ h``(x)`=`g``prime(x)```]로 정의하자.
[eqn: g``(0)`=`h``(0)`=`0``]이고 [eqn: f``(0) ``h` prime(0)``<``0``]일 때, 방정식 [eqn: f``(x)`=`0``]의 실근에 대한 설명으로 옳은 것은? [3점]

⑤

[eqn: f`(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d ```(a != 0)``]라 두면

[eqn: g`(x)=f`'(x)=3ax^2 +2bx +c ``]이고 [eqn: g`(0)=0``]이므로 [eqn: c=0``]

[eqn: h`(x) = g`'(x) =6ax +2b ``]이고 [eqn: h`(0) =0``]이므로 [eqn: b=0``]

[eqn: f`(x) = ax^3 +d``]

또, [eqn: h`'(x)= 6a``]에서 [eqn: h`' (0 )= 6a``]이므로

조건 [eqn: f`(0) h`'(0) =6ad <0``]에서 [eqn: ad<0``]이다.

그러므로 함수[eqn: f`(x)=ax^3 +d``]의 그래프는 [eqn: y=ax^3 ``]의 그래프를 [eqn: y``]축의 방향으로 [eqn: d``]만큼 평행이동한 그래프이므로 항상 [eqn: x``]축의 양의 방향에서 한 점에서 만나므로 방정식 [eqn: f`(x)=0``]은 한 개의 양의 실근을 갖는다.

① 서로 다른 세 개의 양의 실근을 갖는다.

② 서로 다른 세 개의 음의 실근을 갖는다.

③ 한 개의 양의 실근과 서로 다른 두 개의 음의 실근을 갖는다.

④ 한 개의 음의 실근과 서로 다른 두 개의 양의 실근을 갖는다.

⑤ 한 개의 양의 실근을 갖는다.

자연수 [eqn: n``]과 실수 [eqn: x``]에 대하여 함수 [eqn: F_n``(x)``]가
[eqn: F_n ``(x)``=` INT ``{x^{3n}``-``1_{}}over{x^2 `+`x+`1} ```d`x``]
[eqn: F_n``(1)`=`{1}over{3n-1}`-`{1}over{3n-2}`+`{1}over{3n-4}`-`{1}over{3n-5}`][eqn: +`…`+`{1}over{2}`-`1`]
와 같이 정의될 때, [eqn: F_n ``(0`)``]의 값은? [3점]

④

[eqn: x^3n -1 &= (x^3 -1) (x^3n-3 +x^3n-6 + CDOTS +x^3 +1)]

[eqn: = (x-1)(x^2 +x+1)(x^3n-3 +x^3n-6 + CDOTS +x^3 +1)``]

[eqn: &{ x^3n -1} over {x^2 +x+1 } =(x-1)(x^3n-3 +x^3n-6 + CDOTS +x^3 +1)]

[eqn: = x^3n-2 -x^3n-3 + x^3n-5 -x^3n-6 + CDOTS +x -1 ``]

[eqn: F_n (x) &= INT { x^3n -1} over {x^2 +x+1 } `dx #&= INT LEFT ( x^3n-2 -x^3n-3 + x^3n-5 -x^3n-6 + CDOTS +x -1 RIGHT ) #&= { 1} over {3n-1 } x^3n-1 - { 1} over {3n-2 } x^3n-2 + CDOTS + { 1} over {2 } x^2 -x +C``]

[eqn: F_n (1) &= { 1} over {3n-1 } - { 1} over {3n-2 } + CDOTS + { 1} over {2 } -1 ``]에서 [eqn: C=0``]이므로

[eqn: THEREFORE ~F_n (0) =0``]

① [eqn: {n`(n`-`1)}over{2}``]	② [eqn: {n(n-1)(n-2)}over{6}`]
③ [eqn: {(n-1)(n-2)}over{n`+`1}``]	④ [eqn: 0`]
⑤ [eqn: 1``]

<표준정규분포표>
[eqn: z``]	[eqn: \P``(`0`≦`Z`≦`z`)`]
1.53	0.4370
1.96	0.4750
2.17	0.4850
2.24	0.4875
2.58	0.4951

어느대학에서는 공개선발시험으로 [eqn: 40``]명의 학생을 선발하여 해외연수를 보내려고 한다. 이 시험에 응시한 학생 [eqn: 1600``]명의 시험성적은 평균 [eqn: 65``]점, 표준편차 [eqn: 10``]점인 정규분포를 따른다고 한다.
다음 표준정규분포표를 이용하여 선발된 학생의 최저점수를 구하면? [3점]

②

시험에 응시한 학생[eqn: 1600``]명의 시험성적을 확률변수[eqn: X``]라 두면 확률변수 [eqn: X ``]는 정규분포[eqn: \N( 65,``` 10^2 )``]을 따른다.

또, 이 시험에 선발될 확률이 [eqn: { 40} over {1600 } = { 1} over {40 } ``]이므로 선발된 학생의 최저 점수를 [eqn: k``]라 두면

[eqn: \P ( X ≧ k ) = \P LEFT ( Z ≧ { k-65} over {10 } RIGHT ) =0.025``]

[eqn: 0.5 - \P LEFT ( 0≦Z ≦ { k-65} over {10 } RIGHT ) =0.025``]

[eqn: THEREFORE ~\P LEFT ( 0≦Z ≦ { k-65} over {10 } RIGHT ) =0.4750``]

주어진 표준정규분포표에서 [eqn: { k-65} over {10 } =1.96``]이므로

[eqn: THEREFORE ~k=84.6``]

① [eqn: 80.3```]점	② [eqn: 84.6```]점	③ [eqn: 86.7```]점
④ [eqn: 87.4```]점	⑤ [eqn: 90.8```]점

모든 자연수 [eqn: n```]에 대하여 각 항이 실수인 두 수열 [eqn: LEFT { a_n``RIGHT } `]과 [eqn: LEFT { b_n``RIGHT } ``]이
[eqn: `a _{n+1} ` ^{2} `+`4`a _{n} ` ^{2} + LEFT ( a _{1} `-`2` RIGHT ) ^{2} `=`4`a _{n+1} ```a _{n} ``]
[eqn: {b_n}`=`log_root{2}````{a_n}``]
와 같이 정의될 때,[eqn: SUM from { { k}=1^{}} to {m`_{}}`b_k`=`72```]가 성립하도록 하는 자연수 [eqn: m```]의 값은? [3점]

①

[eqn: `a _{n+1} ` ^{2} `+`4`a _{n} ` ^{2} + LEFT ( a _{1} `-`2` RIGHT ) ^{2} `=`4`a _{n+1} ```a _{n} ``]

[eqn: LRARROW ~ LEFT ( a_n+1 -2 a_n` RIGHT ) ^2 +(a_1 -2 )^2 =0``]이고 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 각 항이 실수이므로 [eqn: a_n+1 -2a_n =0 ``]이고 [eqn: a_1 -2 =0``]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT } ``]은 [eqn: a_1 = 2 ,~ a_n+1 =2a_n`]인 등비수열이므로

[eqn: a_n = 2^n ``]이므로 [eqn: b_n = log_{ SQRT { 2} } ` 2^n = 2n``]

그러므로 [eqn: SUM from { { k}=1} to m b_k = SUM from { { k}=1} to m 2k = m(m+1) =72``]에서 [eqn: THEREFORE ~ m=8``]

① [eqn: 8`]	② [eqn: 9`]	③ [eqn: 10`]
④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 12`]

어느 항구 [eqn: \A``]에서 해안선과 인근 섬의 [eqn: \P``]지점을 운항하는 관광유람선이 있다. 그림과 같이 [eqn: \P``]지점에서 해안선까지의 최단거리인 지점 [eqn: \B`]까지의 거리는 [eqn: 3``]㎞이고, [eqn: \B`]로부터 해안선을 따라 [eqn: 7``]㎞ 떨어진 지점에 [eqn: \A`]가 위치하고 있다. 이 유람선은 [eqn: \A``]를 출발하여 해안선을 따라서 어떤 지점까지는 매시 [eqn: 12``]㎞의 속력으로 운항한 후, 곧바로 그 지점으로부터 섬의 [eqn: \P``]지점을 향하여 매시 [eqn: 10```]㎞의 속력으로 직선거리를 운항한다. 이 때, 이 유람선이 항구 [eqn: \A``]를 출발하여 섬의 [eqn: \P``]지점에 도착하기까지 [eqn: 45```]분 걸리고 운항거리가 최소가 되도록 운항경로를 정한다면 해안선을 따라서 이동한 거리는? (단, 해안선은 직선을 이루고 있다.) [3점]

②

해안선을 따라 이동한 거리를 [eqn: x``]라 두면

[eqn: {x} over {12} + {sqrt {3 ^{2} +(7-x) ^{2}}} over {10} = {45} over {60} ``]

[eqn: 6 SQRT { x^2 -14x+58} =45-5x``],  [eqn: 11x^2 -54x +63 =0``]

[eqn: (x-3)(11x-21)=0```]에서 [eqn: x=3 ``] 또는 [eqn: x= { 21} over {11 } ``]이고

운항거리[eqn: S(x) =x+ SQRT {9+(7-x)^2 } ``]라 두면

[eqn: S(3)= 3+5 =8``], [eqn: S LEFT ( { 21} over {11 } RIGHT ) = { 21} over {11 } + { 65} over { 11} = { 86} over {11 } <8``]이므로

운항거리가 최소가 되는 [eqn: x``]는 [eqn: {21} over {11} ``]

① [eqn: ``~2```````]㎞	② [eqn: {21}over{11}`]㎞	③ [eqn: {25}over{11}``]㎞
④ [eqn: {27}over{11}``]㎞	⑤ [eqn: ~``3```````]㎞

두 부등식[eqn: {cases{&log _{y} ``(1`-`x ^{2} `)`` <= ``2`#&#&2 ^{y} `` <= ``2``․``4 ^{x} `}} ``]을 동시에 만족시키는 영역  의 넓이는? [4점]

③

[eqn: cases {log_y `(1-x^2 ) ≦2~~ CDOTS CDOTS CDOTS ①# 2^y ≦2 CDOT 4^x ~~~~~~~~ CDOTS CDOTS CDOTS ② }``]

[eqn: 3`]

[eqn: \O`]

[eqn: 1`]

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: -1`]

[eqn: 1`]

[eqn: -1`]

[eqn: - { 1} over {2 } `]

[eqn: y=2x+1`]

[eqn: x^2 +y^2 =1``]

①식의 진수조건 [eqn: 1-x^2 >0``]에서 [eqn: -1<x<1``]이고

(ⅰ) [eqn: 0<y<1``]일 때,  [eqn: 1-x^2 ≧y^2 ~~ LRARROW ~~ x^2 +y^2 ≦ 1``]

(ⅱ) [eqn: y>1``]일 때,  [eqn: 1-x^2 ≦y^2 ~~ LRARROW ~~ x^2 +y^2 ≧1``]

②식에서 [eqn: 2^y ≦2^2x+1 ~~ LRARROW ~~ y≦2x+1``]

좌표평면위에 나타내면 위 그림과 같다.

그러므로 빗금친 영역의 넓이 [eqn: S``]는

[eqn: THEREFORE ~S= { 1} over { 2} TIMES { 1} over {2 } TIMES 1+ { pi } over {4 } + { 1} over {2 } TIMES 1 TIMES 2 = { 1} over { 4} LEFT ( pi +5 RIGHT ) ``]

① [eqn: {1}over{4}`(pi`+`1`)`]	② [eqn: {1}over{4}`(pi`+`3`)`]	③ [eqn: {1}over{4}`(pi`+`5`)`]

④ [eqn: {1}over{4}``]	⑤ [eqn: {9}over{4}``]

빨간 공 [eqn: 4``]개와 파란 공 [eqn: 2``]개가 들어 있는 상자 [eqn: \A``]가 있다. 상자 [eqn: \A``]에서 동시에 공 [eqn: 3``]개를 꺼내어 비어 있는 상자 [eqn: \B``]에 넣은 다음 다시 상자 [eqn: \B``]에서 공 [eqn: 1``]개를 꺼냈다. 상자 [eqn: \B``]에서 꺼낸 공이 파란 공이었을 때 상자 [eqn: \A``]에서 상자 [eqn: \B``]로 옮겨진 공 [eqn: 3``]개가 빨간 공 [eqn: 2``]개와 파란 공 [eqn: 1``]개일 확률은? [3점]

⑤

상자[eqn: \B``]에서 꺼낸 공이 파란공이 나오는 사건을 [eqn: \E``],

상자[eqn: \A``]에서 상자[eqn: \B``]로 옮겨진 공 [eqn: 3``]개가 빨간 공 [eqn: 2`]개와 파란 공 [eqn: 1``]개인 사건을 [eqn: \F``]라 두면 구하는 확률은

[eqn: \P( \F vert \E ) = {\P( \F cap \E ) } over { \P( \E)} ``]

(ⅰ) [eqn: \P ( \E ) = { `_4 \C_1 TIMES `_2 \C_2 } over { `_6 \C_3 } TIMES { 2} over { 3} + { `_4 \C_2 TIMES `_2 \C_1 } over { `_6 \C_3 } TIMES { 1} over { 3} ``]

(ⅱ) [eqn: \P( \F cap \E ) = { `_4 \C_2 TIMES `_2 \C_1 } over { `_6 \C_3 } TIMES { 1} over { 3} ``]

[eqn: THEREFORE ~\P( \F vert \E ) = {\P( \F cap \E ) } over { \P( \E)} = { 12} over {16 } = { 3} over {4 } ``]

① [eqn: {1}over{6}`]	② [eqn: {1}over{5}`]	③ [eqn: {1}over{2}`]	④ [eqn: {2}over{3}`]	⑤ [eqn: {3}over{5}``]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: \P_1`(1`,-1`)``], [eqn: \P_2`(4`,-2`)``]에 대하여 선분
[eqn: bar{ P _{1} P _{2} ` it} ``]를 [eqn: 2``:`1``]로 내분하는 점을 [eqn: \P_3``], 선분 [eqn: bar{rP _{2} P _{3} ` it} ``]을 [eqn: 2``:``1``]로 내분하는 점을 [eqn: \P_4``]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 선분 [eqn: bar{ P _{n} P _{n+1} it} `]을 [eqn: 2``:``1``]로 내분하는 점을 [eqn: P _{n+2} ``][eqn: left(`]단, [eqn: n`=`1`,`2,``3`, CDOTS][eqn: right)]라 하자. 이 때, 점[eqn: P _{n} ``]의 좌표를 [eqn: P _{n} ``(x _{n} `,``y _{n} `)```]이라 하면
[eqn: x_2005`-`y_2005```]의 값은? [4점]

④

내분점 공식에 의해서 [eqn: \P_n+2 ``({x_n`+`2x_n+1`}over{3}`,``{y_n`+`2y_n+1`}over{3}`)] 이므로

[eqn: x_n+2 ``=`` {x_n `+` 2x_n+1`}over{3}], [eqn: y_n+2 ``=`` {y_n `+` 2y_n+1`}over{3}] 이고

문제의 조건에서

[eqn: x_1 ``=`` 1`, ``x_2``=``4`, ``y_1``=``-1`,``y_2``=``-2] 이므로

[eqn: x_n ``=`` 13over4 `+`{27}over{4}(-{1}over{3})^n],

[eqn: y_n ``=`` {- 7over4} `+` (- 9over4 `) (- 1over3 `)^n]

[eqn: x_2005 ``=`` 13over4 `+` 27over4 (- 1over3`)^2005] -----①

[eqn: y_2005 ``=`` {- 7over4} `+` (- 9over4`)(- 1over3`)^2005] -----②

[[eqn: ①`-`②] ] : [eqn: x_2005 `-` y_2005 ``=`` 5 `+` 9(- 1over3`)^2005 ``=`` 5 `-` {3^{-2003}}]

[eqn: THEREFORE ```x_2005 `-` y_2005 ``=``5 `-` {3^{-2003}}]

① [eqn: 6`+``3^{-2003}`]	② [eqn: 6`-`3^{-2003}`]	③ [eqn: 5`+`3^{-2003}`]

④ [eqn: 5`-`3^{-2003}`]	⑤ [eqn: 5`-`3^{-2005}`]

실수전체의 집합에서 정의된 다항함수 [eqn: f``(x)``]는 [eqn: x`=`0``]에서 미분가능하고, 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f``(`2x`)`=`2`f```(`x`)```]를 만족한다. 이 함수 [eqn: f```(`x`)``]에 대하여 함수 [eqn: g``(x)``]를
[eqn: g``(x)`=` {cases{`` {f``(x)} over {x} `&(x` != ``0`)#&#``f` prime (0)&(x=0)}}]
으로 정의하자. [보기]에서 함수 [eqn: g``(x)```]에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

③

모든 실수에 대하여 [eqn: f`(2x)=2f`(x)``]가 성립하므로 [eqn: f`(0)=0```]이다

ㄱ. 함수 [eqn: g`(x)``]는 [eqn: x=0``]에서 연속이다. (참)

[eqn: lim from { x ->0 } g`(x)= lim from { x ->0 } { f`(x)-f`(0)} over { x-0} =f`' (0) ``]이므로 연속이다.

ㄴ. 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: g`(2x)=g`(x)``]이다. (참)

[eqn: x=0``]일 때는 성립한다.

[eqn: x != 0``]일 때 [eqn: g`(2x)= { f`(2x)} over {2x } = { 2f`(x)} over {2x } = { f`(x)} over { x} =g`(x)``]이다.

ㄷ. 함수 [eqn: g`(x)``]는 일차함수이다. (거짓)

함수 [eqn: g`(x)``]가 일차함수라면 [eqn: g`(x)=ax+b ``(a != 0)``]라 두면

ㄴ에서, 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: g`(2x)=g`(x)``]이므로

[eqn: 2ax + b =ax+b``]가 성립해야 하므로 [eqn: a=0``]가 되어 모순이다.

그러므로 함수 [eqn: g`(x)``]는 일차함수가 아니다.

[보기]

ㄱ. 함수 [eqn: g``(x)``]는 [eqn: x`=`0``]에서 연속이다.

ㄴ. 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: g``(2x)`=`g``(x)``]이다.

ㄷ. 함수 [eqn: g``(x)`]는 일차함수이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수[eqn: n``]에 대하여[eqn: f``(n)`=` LEFT [ ``{n}over{4}`` RIGHT ] ``]이라 하고, 수열 [eqn: LEFT { `a_n``RIGHT } ``]을
[eqn: a_1`=`a_2`=`a_3`=`0``], [eqn: a_n`=` SUM from { { k}=1^{}} to{`^{}f``(n)`_{}} k``] (단, [eqn: n`=`4`,``5`,``6`,``…`])
으로 정의할 때, [eqn: SUM from { { n}=1^{}} to {`^{}28`_{}} a_n`` ``]의 값은? (단, 실수 [eqn: x```]에 대하여 [eqn: LEFT [ `x`` RIGHT ] `]는 [eqn: x```]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

⑤

[eqn: a_n = SUM from { { k}=1} to f(n)` k= { f`(n) LEFT { f`(n) +1 RIGHT } } over { 2} = { LEFT [ { n} over { 4} RIGHT ] LEFT ( LEFT [ { n} over {4 } RIGHT ] +1 RIGHT ) } over {2 } ``]이다.

(ⅰ) [eqn: 1≦n<4``]일 때, [eqn: LEFT [ { n} over {4 } RIGHT ] =0``]이므로 [eqn: a_n =0``]

(ⅱ) [eqn: 4≦n<8``]일 때, [eqn: LEFT [ { n} over {4 } RIGHT ] =1``]이므로 [eqn: a_n =1``]

(ⅲ) [eqn: 8≦n<12``]일 때, [eqn: LEFT [ { n} over {4 } RIGHT ] =2``]이므로 [eqn: a_n =3``]

(ⅳ) [eqn: 12≦n<16``]일 때, [eqn: LEFT [ { n} over {4 } RIGHT ] =3``]이므로 [eqn: a_n =6``]

(ⅴ) [eqn: 16≦n<20``]일 때, [eqn: LEFT [ { n} over {4 } RIGHT ] =4``]이므로 [eqn: a_n =10``]

(ⅵ) [eqn: 20≦n<24``]일 때, [eqn: LEFT [ { n} over {4 } RIGHT ] =5``]이므로 [eqn: a_n =15``]

(ⅶ) [eqn: 24≦n<28``]일 때, [eqn: LEFT [ { n} over {4 } RIGHT ] =6``]이므로 [eqn: a_n =21``]

(ⅷ) [eqn: n=28``]일 때, [eqn: LEFT [ { n} over {4 } RIGHT ] =7``]이므로 [eqn: a_n =28``]

① [eqn: 204`]	② [eqn: 212`]	③ [eqn: 220`]
④ [eqn: 224`]	⑤ [eqn: 252``]

실수 [eqn: a`,``b`]와 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{a`&b`#a`&0`}} `], [eqn: P`=` {pmatrix{1&0#1&1}}]에 대하여 행렬 [eqn: B``]를 [eqn: B`=`P`A`P^{-1}`]라 하자. [보기]에서 옳은 것을 모두 고르면?
(단, [eqn: E``]는 단위행렬이고 [eqn: O``]는 영행렬이다.) [4점]

②

ㄱ. [eqn: B=O``]이면 [eqn: A=O``]이다. (참)

[eqn: B= PMATRIX { { 1}& {0 }``# {1 }& {1 } ``} PMATRIX { { a}& {b }``# {a }& {0 } ``} PMATRIX { { 1}& {0 }``# {-1 }& {1 } ``} =PMATRIX { { a-b}& {b }``# {2a-b }& {b } ``} =PMATRIX { { 0}& {0 }``# {0 }& {0 } ``} ``]이면  [eqn: a=0 ,``` b=0``]이므로 [eqn: A=O``]이다.

ㄴ. [eqn: A^3 = E ``]이면 [eqn: B^100 =B``]이다. (참)

[eqn: B= PA P^-1 ``]에서

[eqn: B^100 = PA^100 P^-1 = P(A^3 )^33 AP^-1 = PAP^-1 =B``]

ㄷ. [eqn: AB=E``]를 만족하는 행렬[eqn: A``]가 존재한다. (거짓)

[eqn: AB= A(PAP^-1 ) &=PMATRIX { { a}& {b }``# {a }& {0 } ``} PMATRIX { { a-b}& {b }``# {2a-b }& {b } ``} #&=PMATRIX { { a^2 +a b -b^2}& {a b +b^2 }``# {a^2 -a b }& {a b } ``} =PMATRIX { { 1}& {0 }``# {0 }& {1 } ``}]

[eqn: a^2 +a b -b^2 =1 ,~ b(a+b)=0 ,~ a(a-b)=0 ,~ a b =1``]이다.

그러므로[eqn: a b =1``]에서 [eqn: a != 0 ,~ b != 0``]이므로

[eqn: b(a+b)=0 ,~ a(a-b)=0 ``]에서 [eqn: a+b = 0 ,```` a-b =0``]이 되려면 [eqn: a=0 ,``` b=0``]이므로 모순이다.

그러므로 [eqn: AB=E``]를 만족하는 행렬[eqn: A``]가 존재하지 않는다.

[보기]

ㄱ. [eqn: B`=`O`]이면 [eqn: A`=`O`]이다.

ㄴ. [eqn: A^3`=`E`]이면 [eqn: B`^100`=`B```]이다.

ㄷ. [eqn: AB``=`E``]를 만족하는 행렬 [eqn: A`]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

쌍곡선 [eqn: 4`` x^{ 2 } `-` 9``y^{ 2 } `=`36```]이 [eqn: x```]축과 만나는 점을 각각 [eqn: \A`,``\B```]라 하고, 직선 [eqn: x`=`t``] (단, [eqn: t`>`3`])가 이 쌍곡선과 만나는 점을 각각 [eqn: \C`,``\D```]라 하자. [eqn: t```]의 값이 변함에 따라 두 직선 [eqn: \AC```]와 [eqn: \BD```]의 교점 [eqn: \P```]는 곡선을 그린다. 이 때, 이 곡선의 두 초점 사이의 거리는? [4점]

②

[eqn: \D (t,``-s)`]

[eqn: \B (3,``0)`]

[eqn: \A(-3,``0)``]

[eqn: \O`]

[eqn: y= -{ 2} over {3 } x`]

[eqn: y= { 2} over {3 } x`]

[eqn: \C (t,``s)`]

[eqn: 4x^2 -9y^2 =36``]

[eqn: \P (x,``y)``]

[eqn: y`]

[eqn: x`]

직선 [eqn: \AC``]와 [eqn: \BD``]의 교점 [eqn: \P (x,``y)`]라 두자.

[eqn: 4`t`^2 -9`s`^2 =36``~~ CDOTS CDOTS CDOTS ①``]

직선[eqn: \AC``]의 방정식은 [eqn: y= { s} over { t+3} (x+3)``]에서

[eqn: (t+3)y = s`(x+3)~~ CDOTS CDOTS CDOTS ②``]

직선[eqn: \BD``]의 방정식은 [eqn: y= {-s} over {t-3} (x-3)``]

[eqn: (t-3)y =- s`(x-3)~~ CDOTS CDOTS CDOTS ③``]

②, ③을 연립하면 [eqn: s= { 3y} over {x } ,~ t= { 9} over {x } ~~ CDOTS CDOTS ④``]

단, [eqn: t= { 9} over { x} >3 ``]에서 [eqn: x<3``]

④를 ①식에 대입하면

[eqn: 4 TIMES LEFT ( { 9} over {x } RIGHT ) ^2 -9 TIMES LEFT ( { 3y} over {x } RIGHT ) ^2 =36``]

[eqn: 36x^2 +81y^2 = 4 TIMES 81``]

그러므로 점[eqn: \P`]의 자취는 [eqn: { x^2 } over {3^2 } + { y^2 } over {2^2 } =1``]인 타원의 일부이다.

그러므로 초점은 [eqn: c^2 = 3^2 -2^2 =5``]에서 [eqn: c= +- SQRT { 5} ``]이므로

두 초점간의 거리는 [eqn: THEREFORE ~2 SQRT { 5} ``]

① [eqn: 2`root{3}``]	② [eqn: 2`root{5}``]	③ [eqn: 2root{13}`]

④ [eqn: 2`root{15}`]	⑤ [eqn: 4`root{2}`]

공간에서 원점 [eqn: \O``]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 [eqn: 3`,``4``]인 두 개의 구 [eqn: S_1`,``S_2``]가 있다. 이 때, 구 [eqn: S_1``]위의 임의의 점을 [eqn: \P``], 구 [eqn: S_2``]위의 임의의 점을 [eqn: \Q``]라 하고, 이 [eqn: \P`,``\Q```]에 대하여 [eqn: vec{\O`\P``} ``+``vec{\O`\Q``}``=``vec{\O`\R``}]을 만족하는 점을 [eqn: \R``]이라 하자. 다음은
[eqn: |``vec{\P`\Q``} ``+``vec{\O`\R``}``|]의 최댓값을 구하는 풀이과정이다.

③

[eqn: vec \OP = vec p ,~ vec \OQ = vec q ``]라 하면

[eqn: vec \PQ + vec \OR &=( vec \OQ - vec \OP ) + ( vec \OR - vec \OP )= ( vec q - vec p ) +( vec q + vec p )``]

이므로

[eqn: LEFT | vec \PQ + vec \OR` RIGHT | ^2 &= LEFT | ( vec q - vec p ) +( vec q + vec p ) RIGHT | ^2 #&= LEFT | vec q - vec p RIGHT | ^2 +2 ( vec q - vec p ) CDOT ( vec q + vec p ) + LEFT | ( vec q + vec p ) RIGHT | ^2 #& =2 ( LEFT | vec p` RIGHT | ^2 + LEFT | vec q` RIGHT | ^2 ) +2 ( vec q - vec p ) CDOT ( vec q + vec p ) ~ CDOTS CDOTS ㉠``]

그런데,

[eqn: ( vec q - vec p ) CDOT ( vec q + vec p ) &≦ LEFT | vec q - vec p RIGHT | LEFT | vec q + vec p RIGHT | ##&= SQRT {LEFT | vec q - vec p RIGHT |^2 LEFT | vec q + vec p RIGHT |^2 } ##&= SQRT { LEFT ( 25 - 2` vec p CDOT vec q` RIGHT ) LEFT ( 25 + 2` vec p CDOT vec q` RIGHT ) } ##&= SQRT { 25^2 -4 LEFT ( vec p CDOT vec q` RIGHT )^2 } ``]

[eqn: LEFT ( BECAUSE ~LEFT | vec p` RIGHT | =3 ,~ LEFT | vec q` RIGHT | =4 RIGHT )]

따라서, ㉠, ㉡에 의해

[eqn: LEFT | vec \PQ + vec \OR` RIGHT |^2 ≦ 2 LEFT ( 3^2 +4^2 RIGHT ) +2 TIMES 50 =100``]이므로

[eqn: LEFT | vec \PQ + vec \OR` RIGHT |]의 최댓값은 [eqn: 10``]이다.

[풀이]

[eqn: vec{\O\P}`=`vec{p``}``,```vec{\OQ}`=`vec{q``}``]라 하면

[eqn: vec{\P`\Q``} ``+``vec{\O`\R``} `=` left(`vec{q}`-`vec{p``}`right)`+`left(`vec{q``}`+`vec{p``}``right)``] 이므로

[eqn: {|``vec{\PQ``} `+`vec{\O`\R``}``|}^2 `]

[eqn: =`{|`vec{q``} `-`vec{p``}`|}^2 `+` 2``( `vec{q``} `-`vec{p``}``)․( `vec{q``} `+`vec{p``}``) `+` {|`vec{q``} `+`vec{p``}``|}^2]

[eqn: =`2``left(`][eqn: right)``][eqn: `+`2``( `vec{q``} `-`vec{p`}``)cdot( ``vec{q``} `+`vec{p``}``)] [eqn: CDOTS] ㉠

㈎

그런데, [eqn: ( `vec{q``} `-`vec{p`}``)cdot( ``vec{q``} `+`vec{p``}``)``≦` ` LEFT | vec{q``}`-`vec{p``}`` RIGHT | ``LEFT | vec{q``}`+`vec{p``}`` RIGHT |]

[eqn: =`root{LEFT | vec{q``}`-`vec{p``}`` RIGHT |^2 ``LEFT | vec{q``}`+`vec{p``}`` RIGHT |^2` `}``]

[eqn: =`][eqn: CDOTS] ㉡

㈏

따라서, ㉠과 ㉡에 의해 [eqn: |``vec{\P`\Q``} ``+``vec{\O`\R``}``|]의 최댓값은

이다.

㈐

위의 과정에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 쓰면? [3점]

㈎	㈏	㈐

① [eqn: {|``vec{p``}``|}^2`+`{|``vec{q``}``|`}^2]	[eqn: root{25`-`4 {LEFT ( vec{p``}․vec{q``} ``RIGHT ) }^2`}`]	[eqn: root{60}`]

② [eqn: {|``vec{p``}``|}^2`+`{|``vec{q``}``|`}^2]	[eqn: root{25^2`-`4 {LEFT ( vec{p``}․vec{q``} ``RIGHT ) }^2`}`]	[eqn: 15``]

③ [eqn: {|``vec{p``}``|}^2`+`{|``vec{q``}``|`}^2]	[eqn: root{25^2`-`4 {LEFT ( vec{p``}․vec{q``} ``RIGHT ) }^2`}`]	[eqn: 10`]

④ [eqn: {|``vec{p``}``|}^2`{|``vec{q``}``|`}^2]	[eqn: root{25`-`4 {LEFT ( vec{p``}․vec{q``} ``RIGHT ) }^2`}`]	[eqn: 10``]

⑤ [eqn: {|``vec{p``}``|}^2`{|``vec{q``}``|`}^2]	[eqn: root{25`-`4` {LEFT ( vec{p``}․vec{q``} ``RIGHT ) }^2`}`]	[eqn: root{60}`]

오른쪽 그림과 같이 편평한 땅에 거리가 [eqn: 10``m```]떨어진 두 개의 말뚝이 있다. 두 개의 말뚝에 길이가 [eqn: 14``][eqn: m```]인 끈을  묶고 이 끈을 팽팽하게 유지하면서 곡선을 그렸다. 두 말뚝을 지나면서 이 곡선에 접하는 직사각형 모양의 꽃밭을 만들었을 때, 이 꽃밭의 넓이는? [3점]

⑤

구하는 타원을 [eqn: { x^2 } over { a^2} + { y^2 } over {b^2 } =1```(a>b>0,```c^2 = a^2 -b^2 )``]라 두면

[eqn: 2a = 14``]에서 [eqn: a=7``]

[eqn: c^2 = a^2 -b^2``]에서 [eqn: 25 =49-b^2 ``]이므로 [eqn: b^2 = 24`]

그러므로 타원의 식은 [eqn: { x^2 } over {49 } + { y^2 } over { 24} =1````]이다.

[eqn: x=5``]을 대입하면 [eqn: y= +- { 24} over {7 } ``]이므로

구하는 꽃밭의 넓이는 [eqn: THEREFORE ~10 TIMES { 48} over { 7} = { 480} over { 7} ``` \m^2``]

① [eqn: 400over7 m^2]	② [eqn: 420over7 ` m^2]	③ [eqn: 440over7 m^2]

④ [eqn: 460over7 m^2]	⑤ [eqn: 480over7 m^2]

양궁대회에 참가한 어떤 선수가 활을 쏘아 과녁의 [eqn: 10`]점 부분을 명중시킨 다음 다시 활을 쏘아 [eqn: 10``]점 부분을 명중시킬 확률이 [eqn: {8}over{9}``]이고, [eqn: 10``]점 부분을 명중시키지 못한 다음 다시 [eqn: 10``]점 부분을 명중시키지 못할 확률이 [eqn: {1}over{5}``]이다. 이 선수가 반복하여 계속 활을 쏜다고 할 때, [eqn: n```]번째에 [eqn: 10```]점 부분을 명중시킬 확률을 [eqn: p_n``]이라 하자. 이 때, [eqn: lim from { n-> inf } ``p_n```]의 값은? [4점]

⑤

[eqn: n``]번째에 [eqn: 10`]점 부분에 명중시킬 확률이 [eqn: p_n```]이므로

[eqn: n+1``]번째에 [eqn: 10`]점 부분에 명중시킬 확률이 [eqn: p_n+1``]이므로

[eqn: p_n+1``]은 [eqn: n``]번째 명중하고 [eqn: n+1``]번째도 명중하거나 [eqn: n``]번째 명중하지 못하고 [eqn: n+1``]번째 명중할 확률의 합이므로

[eqn: p_n+1 = p_n TIMES { 8} over {9 } + LEFT ( 1-p_n RIGHT ) TIMES { 4} over { 5} ``][eqn: LRARROW ~p_n+1 = { 4} over {45 } p_n + { 4} over { 5} ``]

[eqn: lim from { n -> inf } p_n = alpha ``]라 두면

[eqn: alpha = { 4} over {45 } alpha + { 4} over { 5} ``]에서 [eqn: THEREFORE ~alpha = lim from { n -> inf } p_n = { 36} over {41 } ``]

① [eqn: {14}over{27}`]	② [eqn: {17}over{27}`]	③ [eqn: {25}over{41}`]
④ [eqn: {32}over{41}`]	⑤ [eqn: {36}over{41}`]

[eqn: a_n`=`3`n^2`-`3n``]([eqn: n`=`1`,``2`,``…``])과 같이 정의된 수열 [eqn: LEFT { a_n`RIGHT } ``]의 첫째항부터 제[eqn: n```]항까지의 합을 [eqn: S_n ``]이라 할 때, [eqn: S_n``]이 처음으로 [eqn: 16``]자리의 정수가 되도록 하는 [eqn: n```]을 [eqn: 10``]으로 나눈 나머지는?

②

[eqn: S_n &= SUM from { { k}=1} to n LEFT ( 3k^2 -3k RIGHT ) #&= 3 TIMES { n(n+1)(2n+1)} over { 6} -3 TIMES { n(n+1)} over { 2} =n^3 -n``]

[eqn: S_n``]이 처음으로 [eqn: 16``]자리의 정수가 되는 [eqn: n``]을 찾으려면

[eqn: n^3``]이 [eqn: 16``]자리의 정수가 되는 [eqn: n``]을 구해보면

[eqn: 15≦ log ` n^3 <16``~~ LRARROW ~~ 5≦log` n < { 16} over {3 } ``]에서

[eqn: n``]은 [eqn: 6``]자리의 정수이어야 한다.

[eqn: n=10^5 ``]이면

[eqn: S_n =n^3 -n =10^15 - 10^5]은 [eqn: 15``]자리의 정수이고

[eqn: n = 10^5 +1``]이면

[eqn: S_n = n^3 -n &= LEFT ( 10^5 +1 RIGHT ) ^3 - (10^5 +1 ) #&= 10^15 + 3 CDOT 10^10 +2 CDOT 10^5 ``] 은 [eqn: 16``]자리의 정수

그러므로 [eqn: S_n``]이 처음으로 [eqn: 16``]자리의 정수가 되는 [eqn: n``]은

[eqn: n= 10^5 +1``]이므로 [eqn: 10`]으로 나눈 나머지는 [eqn: 1``]이다.

[4점]

① [eqn: 0`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: 2`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 9`]

두 지수함수
[eqn: f``(x)`=`9^x`+`a```], [eqn: `g``(x)`=`b``․`3 ^{x} `+`2`]
에 대하여 곡선 [eqn: y`=`f``(x)``]와 곡선 [eqn: y`=`g``(x)``]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나고 두 교점의 [eqn: x``]좌표가
[eqn: x`=`log_3 ```2``,``x`=`log_3`` `k```](단, [eqn: k``>``2`])일 때, [보기]에서 실수 [eqn: a`,``b``]에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

③

[eqn: f`(x)= 9^x +a ,``` g`(x)= b CDOT 3^x +2 ``]가 만나는 교점은 연립하면

방정식 [eqn: 9^x +a = b CDOT 3^x +2``]의 두 근이 [eqn: log_3` 2 ,~ log_3 ` k``]이다.

[eqn: 3^x =t ```(t>0)``]라 두면

[eqn: t`^2 -b`t +(a-2)=0``]의 서로 다른 두 근이 [eqn: 2,```k``]이므로

판별식 [eqn: D = b^2 -4(a-2) >0``]에서 [eqn: b^2 > 4a-8``]이므로ㄱ은 거짓

근과 계수와의 관계에서

(ⅰ) 두 근의 합 : [eqn: 2+k =b`` ~CDOTS CDOTS ①]

(ⅱ) 두 근의 곱 : [eqn: 2k =a-2``~~ CDOTS CDOTS ②``]

①, ②에서 [eqn: k``]를 소거하면 [eqn: THEREFORE ~a=2b-2``]

또, 문제의 조건에서[eqn: k>2``]이므로

[eqn: k= { a-2} over {2 } >2``]에서 [eqn: THEREFORE ~a>6``]

그러므로 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ

[보기]

ㄱ. [eqn: b^2`=`4a`-`8`]

ㄴ. [eqn: a`=`2b`-`2`]

ㄷ. [eqn: a`>`6`]

① ㄴ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 각층의 높이가[eqn: 4``m```]인 직육면체 형태의 두 건물 [eqn: \A`,``\B``]가 있다. 건물 [eqn: \A``]와 건물 [eqn: \B``]는 서로 수직으로 붙어 있고, 두 건물의 외벽은 한변의 길이가 [eqn: 2``m```]인 정사각형 모양의 유리창으로 서로 이어져있다. 어떤 사람이 건물 [eqn: \A``]의 어느 창가에서 건물 [eqn: \B``]의 유리창을 향하여 레이저 빛을 쏘았는데 이 레이저 빛은 건물 [eqn: \B``]의 창문의 [eqn: \S```]지점과 바닥 면의 [eqn: \T``]지점을 지났다. 다음 중 레이저를 쏜 창가는? (단, 유리창틀의 두께는 무시하고, 레이저 빛은 유리창을 통과할 때 굴절되지 않는다고 가정한다.)

①

아래 그림처럼 공간좌표에 옮겨놓으면

[eqn: \C`]

[eqn: \R`]

[eqn: \P`]

[eqn: \B`]

[eqn: \A`]

∙

[eqn: \S`]

[eqn: \T`]

[eqn: \Q`]

ㄴ

ㄷ

ㄱ

[eqn: 4` \m`]

∙

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: z`]

ㄹ

ㅁ

↑

↓

[eqn: \S (1,``0,``3) ,~ \T(3,``-2,``0)``]이므로 두 점[eqn: \S ,`` \T``]를 지나는 직선의 방정식 [eqn: { x-3} over {-2 } = { y+2} over {2 } = { z} over {3 } ``]이 [eqn: y z``]평면과 만나는 교점이 레이저를 쏜 창가이다.

[eqn: x=0``]을 대입하면 [eqn: y=1 ,``` z= { 9} over { 2} ``]이므로 [eqn: LEFT ( 0,``1,`` { 9} over {2 } RIGHT ) ``]인 곳은 ㄱ지점이다.

[4점]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄹ	⑤ ㅁ

주관식 문항 (25 ～ 30)

행렬[eqn: A`=` PMATRIX { { 1``}& {2`` }# {3`` }& {a`` } } `]에 대하여 [eqn: A^2`X`=`X``]를 만족하는 행렬 [eqn: X``]가 [eqn: 2``]개 이상 존재하도록 실수 [eqn: a`]의 값을 정할 때, [eqn: A`` LEFT ( pile{p#q} RIGHT ) = LEFT ( pile{16#24} RIGHT )]를 만족하는 상수 [eqn: p`,``q``]의 합 [eqn: p`+`q```]의 값을 구하시오. (단, [eqn: X```]는 [eqn: 2 TIMES 1``]행렬이다.) [3점]

[eqn: 10``]

[eqn: A^2 = PMATRIX { { 1}& {2 }``# {3 }& {a }`` } PMATRIX { { 1}& {2 }``# {3 }& {a }`` } = PMATRIX { { 7}& {2+2a }``# {3+3a }& {6+a^2 }`` } ``]

[eqn: A^2 X = X ~~ LRARROW ~~ LEFT ( A^2 -E` RIGHT ) X = O``]

[eqn: PMATRIX { { 6}& {2(1+a) }``# {3(1+a) }& {5+a^2 }`` } PMATRIX { {x }``# { y} ``} = PMATRIX { {0 }``# { 0} ``} ``]을 만족하는 행렬[eqn: X`~]가 [eqn: 2``]개 이상 존재한다는 것은 연립방정식의 해가 부정인 해를 가진다는 뜻이므로

[eqn: D=6(5+a^2 ) -6(1+a)^2 =0``]에서 [eqn: a=2``]이고

[eqn: THEREFORE ~ A= PMATRIX { { 1}& {2 }``# {3 }& { 2}`` } ``]이므로  [eqn: PMATRIX { { 1}& {2 }``# {3 }& { 2}`` } PMATRIX { { p}``# {q }`` } = PMATRIX { { 16}``# {24 }`` } ``]

[eqn: PMATRIX { { p}``# {q }`` } = - { 1} over {4 }PMATRIX { { 2}& {-2 }``# {-3 }& { 1}`` } PMATRIX { { 16}``# {24 }`` } = PMATRIX { { 4}``# {6 }`` }``]

[eqn: THEREFORE ~ p+q = 10``]

[eqn: x`y=10```]이고 [eqn: 1`≦`x`≦`10^4```]일 때,
[eqn: (log_10``y`)^3 +3`(log_10``x`)^2 -6 `log_10``x +15 ```]의 최댓값을 구하시오.

[eqn: 16``]

[eqn: xy=10``]의 양변에 상용로그를 취하면[eqn: log ` y = 1-log` x``]

[eqn: 1≦x≦10^4``]의 양변에 상용로그를 취하면 [eqn: 0≦log`x ≦4``]

[eqn: LEFT ( log _10 y RIGHT ) ^3 +3 LEFT ( log_10 `x RIGHT ) ^2 -6log_10 ` x +15``]에서

[eqn: log_10 ` x =t``]라 두면

[eqn: f`(t) = (1-t`)^3 + 3t`^2 -6t +15 =-t^3 +6t^2 -9t+16``]

(단, [eqn: 0≦t≦4``])

[eqn: f`'(t) = -3t^2 +12t -9 =-3(t-1)(t-3)``]이고

[eqn: f`'(t) =0``]에서 [eqn: t=1 ``] 또는 [eqn: t=4``]

증감표를 그리면

[eqn: x`]	0	⋯	1	⋯	3	⋯	4
[eqn: f`'(x)`]		-	0	+	0	-
[eqn: f`(x)``]	16	↘	12	↗	16	↘	12

그러므로 최댓값은 [eqn: 16``]

[3점]

실수 [eqn: x`]에 대한 함수 [eqn: f``(x)`]가
[eqn: f``(x)``=`` _{6} ` C _{0} `+`` _{6} ` C _{1} ```x ^{2} `+` _{6} ` C _{2} ```x ^{4} `+` _{6} ` C _{3} ```x ^{6} `+` _{6} ` C _{4} ```x ^{8} `]
[eqn: +` _{6} ` C _{5} ```x ^{10} `+` _{6} ` C _{6} ```x ^{12} ``]
와 같이 정의될 때, [eqn: f``(tan`theta`)``=`2^12`]을 만족하는 [eqn: theta`]에 대하여
[eqn: {36`theta}over{pi}``]의 값을 구하시오.  (단, [eqn: 0`<`theta`<`{pi}over{2}`]) [4점]

[eqn: 12``]

[eqn: f`(x) & =(1+x ^{2} ) ^{6} =` _{6} rm C _{0} +` _{6} rm C _{1} `x ^{2} +` _{6} rm C _{2} `x ^{4} + CDOTS +` _{6} rm C _{6} `x ^{12} ``]

[eqn: f`( tan ` theta `) = (1+ tan^2 ` theta `)^6 = sec^2 ` theta =2^12``]에서

[eqn: sec ` theta =2~~ LRARROW ~~ cos` theta = { 1} over { 2} ``` LEFT ( 0< theta < { pi } over {2 } RIGHT ) ``]

[eqn: theta = { pi } over {3 } ``]이므로 [eqn: THEREFORE ~ { 36 theta } over { pi } = 12``]

동일한 직선도로 위를 같은 방향으로 달리는 두 자동차[eqn: A```]와 [eqn: B```]가 있다. 자동차 [eqn: A```]가 매시 [eqn: 72``km```]의 속력으로 달리고 있던 중 [eqn: P```]지점에 이르렀을 때, [eqn: P```]지점에서 [eqn: 100``m```]앞에 정지하고 있던 자동차 [eqn: B```]를 발견하고 제동장치를 작동하여 [eqn: -5``m`/초^2```]의 가속도로 운행하였다. [eqn: A```]가 제동장치를 작동한지 [eqn: 4```]초가 되는 순간에 정지하고 있던 [eqn: B```]는 [eqn: 6``m`/초^2```]의 가속도로 출발하였고, 동시에 [eqn: A```]는 [eqn: 10``m`/초^2```]의 가속도로 계속하여 운행하였다. 이 때, [eqn: P```]지점에서 [eqn: A```]가 [eqn: B```]를 추월하는 지점까지의 거리는 몇 [eqn: m```]인지를 구하시오. [4점]

[eqn: 190` \m``]

자동차 [eqn: \A``]의 속력은 시속[eqn: 72 ` \km ``]이므로

초속은 [eqn: { 72000} over {3600 } =20` \m``]이다.

자동차[eqn: \A``]가 [eqn: \P``]지점에서 [eqn: 100` \m``]앞의 자동차 [eqn: \B``]를 발견하고 제동장치를 작동하여 [eqn: -5`` \m /{초}^2``]의 가속도로 운행할 때, [eqn: t``]초 후의 자동차 [eqn: \A``]의 속력은 [eqn: 20-5t``]이므로 [eqn: 4``]초 동안 달린 거리는 [eqn: INT _{ 0}^{4 } (20-5t) ` dt = LEFT [ 20t - { 5} over {2 }t`^2 RIGHT ] _0^4 = 40`` \m``]이다.

또, [eqn: 4``]초 후의 자동차[eqn: \A``]의 속력은 [eqn: 0``](자동차가 멈춘다)이다.

이때부터 자동차 [eqn: \B``]는 [eqn: 6 ` \m /{초}^2``]의 가속도로 자동차 [eqn: \A``]는 [eqn: 10 ` \m /{초}^2``]의 가속도로 운행하므로 자동차[eqn: \A``]가 자동차 [eqn: \B``]를 [eqn: t``]초 후에 추월한다고 하면

[eqn: INT _{ 0}^{t } 10t `` d`t = 60+ INT _{ 0}^{t } 6t `` d`t``] , [eqn: LEFT [ 5t`^2 RIGHT ] _0^t = 60+ LEFT [ 3t`^2 RIGHT ] _0^t``]

[eqn: t`^2 =30 ``~~ LRARROW ~~ t= SQRT { 30``}](초)이므로

이 때, 달린 거리는 [eqn: 5 TIMES LEFT ( SQRT { 30} RIGHT ) ^2 =150`` \m``]

그러므로 자동차[eqn: \A``]가 [eqn: \B``]를 추월하는 지점까지 달린 거리는

[eqn: THEREFORE ~40+150 =190 `` \m]

다항함수 [eqn: f``(x)``]에 대하여
[eqn: lim from { x` -> `inf^{} }`` {f``(x)_{}}over{x^3`-`2x^2`+`3x`-`4`} `=`1```],  [eqn: lim from { x `-> `1^{} } ``{f``(x)_{}}over{x^2`-`3x`+`2^{}} `=`4```]
이 성립하고, 극한 [eqn: lim from { x ->2 }` { 13`f``(x)} over {x^2 -3x+2 }```]이 [eqn: alpha ```]로 수렴할 때, 상수 [eqn: alpha ```]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 65``]

[eqn: lim from { x -> inf } { f`(x)} over {x^3 -2x^2 +3x-4 } = 1``~~ CDOTS CDOTS CDOTS ①``]

[eqn: lim from { x ->1 } { f`(x) } over {(x-1)(x-2) } =4``](수렴) [eqn: CDOTS CDOTS CDOTS ②``]

[eqn: lim from { x ->2 } {13` f`(x) } over {(x-1)(x-2) } = alpha ``](수렴) [eqn: CDOTS CDOTS CDOTS ③``]

①에서 [eqn: f`(x)``]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1``]인 삼차식이고

②에서 [eqn: f`(1)=0``]이고, ③에서 [eqn: f`(2)=0``]이므로

[eqn: f`(x)=(x-1)(x-2)(x+a)``]라 두면  ②에 대입하면

[eqn: lim from { x ->1 } { (x-1)(x-2)(x+a)} over {(x-1)(x-2) } =4``]에서 [eqn: 1+a=4``] [eqn: THEREFORE ~a=3``]

[eqn: THEREFORE ~f`(x)=(x-1)(x-2)(x+3)``]을 ③에 대입하면

[eqn: THEREFORE ~alpha = lim from { x ->2 } {13`(x-1)(x-2)(x+3) } over {(x-1)(x-2) } =13 CDOT 5 =65`` ``]

[eqn: a_1`=`1`,~a_{n+1}`=`a_{n}^{2}``+`1`] (단, [eqn: n`=`1`,``2`,``…`])으로 정의되는 수열[eqn: LEFT { a_n``RIGHT } ``]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { r_n``RIGHT } ``]의 제[eqn: n```]항 [eqn: r_n``]은 [eqn: a_n``]을 [eqn: a_5``]로 나눈 나머지로 정의하자. 예를 들어 [eqn: r_1``]은 [eqn: a_1`]을 [eqn: a_5``]로 나눈 나머지이고, [eqn: r_2``]는 [eqn: a_2``]를 [eqn: a_5``]로 나눈 나머지이다. 이 때, 다음 그림과 같이 [eqn: 100`]개의 작은 사각형으로 이루어진 바둑판 모양의 사각형 각 칸에 [eqn: r_1``]부터 [eqn: r_100``]까지의 수를 차례로 채워나갈 때, 글자

모양의 어두운 부분에 채워지는 수들의 합을 구하시오. [4점]

[eqn: 39``]

[eqn: a_1 =1``], [eqn: a_2 =1^1 +1 =2``], [eqn: a_3 =2^2 +1 =5``]

[eqn: a_4 = 5^2 +1 =26``], [eqn: a_5 = 26^2 +1 =677``],

[eqn: a _{6} =a _{5} ^{2} `+1], ⋯ , [eqn: a _{100} =a _{`99} ^{2} `+1]이고

[eqn: r_n``]은 [eqn: a_n``]을 [eqn: a_5 = 677``]로 나눈 나머지이므로

[eqn: r_1 =1``], [eqn: r_2 = 2``], [eqn: r_3 =5``], [eqn: r_4 =26``], [eqn: r_5 =0``],

[eqn: a _{6} =a _{``5} ^{2} `+1] 이므로 [eqn: r_6 =1``]

[eqn: a _{7} & =a _{6`} ^{2} `+1] 이므로 [eqn: r_7 =2``]

[eqn: a _{8} & =a _{7``} ^{2} +1] 이므로 [eqn: r_8 =5``]

[eqn: a _{9} & =a _{8} ^{2} `+1]이므로 [eqn: r_9 =26``]

[eqn: a _{10} & =a _{9} ^{2} `+1]이므로 [eqn: r_10 =0``]

⋮               ⋮

1	2	5	26	0	1	2	5	26	0
					1
			26	0	1	2	5
					1
				0	1	2

그러므로 어두운 부분에 채워진 수들의 합은 [eqn: 39``]

[eqn: r_1``]	[eqn: r_2``]	[eqn: r_3``]	[eqn: r_4``]	[eqn: r_5``]	[eqn: r_6``]	[eqn: r_7``]	[eqn: r_8``]	[eqn: r_9``]	[eqn: r_10``]
[eqn: r_11``]									[eqn: r_20``]
[eqn: r_21``]									[eqn: r_30``]
[eqn: r_31``]									[eqn: r_40``]
[eqn: r_41``]									[eqn: r_50``]
[eqn: r_51``]									[eqn: r_60``]
[eqn: r_61``]									[eqn: r_70``]
[eqn: r_71``]									[eqn: r_80``]
[eqn: r_81``]									[eqn: r_90``]
[eqn: r_91``]									[eqn: r_100``]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2006년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설