◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

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수 학 영 역

‘나’형

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2005학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: LEFT ( log` _sqrt 6 ``2 RIGHT ) LEFT ( log _6 ``4 RIGHT ) + LEFT ( log _sqrt 6 ``3 RIGHT ) LEFT ( log _6 ```9 RIGHT ) + LEFT ( log _sqrt 6 ``4 RIGHT ) LEFT ( log _6 ``9 RIGHT )]의 값은?

②

[eqn: 준식) & =4 LEFT ( log _{6} 2 RIGHT ) ^{2} +4 LEFT ( log _{6} `3 RIGHT ) ^{2} +8 LEFT ( log _{6} `2 RIGHT ) LEFT ( log _{6} `3 RIGHT )]

[eqn: =4 LEFT ( log _{6} `2+log _{6} `3 RIGHT ) ^{2} =4``]

[2점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

두 사건 [eqn: A,```B```]에 대하여 [eqn: rm P(B|A)``=0.8``], [eqn: rm P(A)=0.3``],
[eqn: rm P(B)=0.4```]일 때, [eqn: rm P(A`|`B)```]의 값은?
(단, [eqn: rm P(X)]는 사건 [eqn: X```]가 일어날 확률이다.) [2점]

④

[eqn: \P ( \A)=0.3 ,~ \P ( \B)=0.4 ,~ \P ( \B vert \A)=0.8 ``]에서

[eqn: \P ( \B vert \A) = { \P ( \A cap \B )} over {\P ( \A) } =0.8~~ THEREFORE ~ \P ( \A cap \B )=0.24``]

[eqn: \P ( \A vert \B) = { \P ( \A cap \B )} over {\P ( \B) } = { 0.24} over {0.4 } =0.6``]

① [eqn: 0.3]	② [eqn: 0.4]	③ [eqn: 0.5]	④ [eqn: 0.6]	⑤ [eqn: 0.7]

서로 다른 두 수[eqn: x,~y````]에 대하여 다음 두 수열이 모두 등차수열을 이룬다.

③

Ⅰ) [eqn: x,```a,```b,```y``]가 등차수열을 이루므로

[eqn: a-x=b-a=y-b``]   [eqn: THEREFORE ~x=2a-b ~,~y=2b-a``]

Ⅱ) [eqn: x,```c,```d,```e,```y``]가 등차수열을 이루므로

[eqn: c-e =x-d =d-y``~]

[eqn: 2(c-e)=x-y =(2a-b)-(2b-a)=3(a-b)``]

[eqn: THEREFORE ~ { a-b} over {c-e } = { 2} over {3 } ``]

Ⅰ) [eqn: x,`a,`b,`y]          Ⅱ) [eqn: x,`c,`d,`e,`y]

이때, [eqn: {a-b} over {c-e} ```]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]	④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

수열 [eqn: LEFT { LEFT . {log``n} over {log```2n} RIGHT } RIGHT .```]의 극한값을 [eqn: alpha ```], 수열 [eqn: LEFT { LEFT ( 1+` {2} over {n} RIGHT ) ^{{1} over {n}} RIGHT }```]의 극한값을 [eqn: beta ```]라 할 때, [eqn: alpha + beta ```]의 값은? [3점]

①

ⅰ) 수열[eqn: LEFT { { log` n} over { log` 2n} RIGHT } ``]의 극한은

[eqn: alpha = lim _{n -> INF } {} {log`n} over {log`2n} & = lim _{n -> INF } {} {log`n} over {log`2+log`n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {1} over {{log`2} over {log`n} +1} = {1} over {0+1} =1``] ([eqn: BECAUSE ~ lim from { n -> inf } log` n = INF ``])

ⅱ) 수열[eqn: LEFT { LEFT ( 1+ { 2} over {n } RIGHT )^{ { 1} over {n } } RIGHT } ``]의 극한은

[eqn: beta = lim from { n -> inf } LEFT ( 1+ { 2} over {n } RIGHT )^{ { 1} over {n } }= LEFT ( 1+0 RIGHT ) ^0 =1``]

[eqn: THEREFORE ~ alpha+ beta =2``]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

구간 [eqn: LEFT [ -3a,`3a RIGHT ]```]에서 정의된 연속확률변수 [eqn: X```]의 확률밀도함수 [eqn: f``(x)```]의 그래프가 아래 그림과 같을 때, 확률 [eqn: rm P it (|X```|` <= {1} over {2} )]의 값은? (단, [eqn: f``(a)=``f``(-a)=1```]) [3점]

⑤

구간[eqn: LEFT [ -3a,``` 3a RIGHT ] ``]에서 정의된 연속확률변수 [eqn: \X`]의 확률밀도 함수 [eqn: f`(x)`]는 이 구간에서 함수[eqn: f`(x)`]와 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 1``]이 되어야 하므로

[eqn: { 1} over {2 } TIMES LEFT ( 2a+6a RIGHT ) TIMES 1=1~~ THEREFORE ~a= { 1} over {4 } ``]

[eqn: THEREFORE ` rm P( LEFT | rm X RIGHT | <= {1} over {2} ) & =1-2 TIMES rm P( {1} over {2} <= rm X <= {3} over {4} )]

[eqn: =1-2 TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {4} TIMES {1} over {2} = {7} over {8} ``]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {4} over {5}]	④ [eqn: {6} over {7}]	⑤ [eqn: {7} over {8}]

이차정사각행렬 [eqn: A,``B,``C`````]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은 ? (단, [eqn: O```]는 영행렬이고 [eqn: E```]는 단위행렬이다.)

④

ㄱ. [eqn: \A^2 \B = \A ( \AB)= \E ``]이므로 [eqn: \A^-1 = \AB``]이다.

[eqn: THEREFORE ~ \ABA = \A^-1 \A = \E``](참)

ㄴ. [eqn: \A + \B + \C = \E``]에서 [eqn: \B = \E - \A - \C``]이므로

[eqn: \AB - \BA &= \A ( \E - \A - \C) -( \E - \A - \C) \A #&= \A - \A^2 - \AC - \A + \A^2 + \CA #&= \CA - \AC ```(거짓)``]

ㄷ. [eqn: \A^3 + \A + \E = \O ~~ &LRARROW ~~- \A ( \A^2 + \E) = \E``]

[eqn: THEREFORE ~ \A^-1 =- \A^2 - \E``]존재 (참)

[3점]

ㄱ. [eqn: A ^{2`} B=E``]이면 [eqn: ABA=E``]이다.

ㄴ. [eqn: A+B+C=E``] 이면 [eqn: AB-BA=AC-CA```]이다.

ㄷ. [eqn: A ^{3} +A+E=O```]일 때, [eqn: A```]의 역행렬은 존재한다.

<보기>

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: LEFT ( x ^{3} + {1} over {x} RIGHT ) ^{n+1}```]의 전개식에서 [eqn: {1} over {x ^{n-7}}```]의 계수를 [eqn: a _{n}```]이라 할 때,
[eqn: sum _{n=1} ^{15} {1} over {a _{n}}```]의 값은? [3점]

④

[eqn: LEFT ( x^3 + { 1} over {x } RIGHT ) ^n+1``]의 전개식의 일반항은

[eqn: {} _{n+1} C _{r} ` LEFT ( x ^{3} RIGHT ) ^{n+1-r} ` LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{r} ```(r=0,``1,``2,`` CDOTS ,``n+1)]

[eqn: = _{n+1} C _{r} ``x ^{3n-4r+3}]

[eqn: { 1} over { x^n-7} ``]항의 계수는

[eqn: 3n-4r+3=7-n]

[eqn: THEREFORE `r=n-1``]일 때 이므로

[eqn: THEREFORE `a _{n} =` _{n+1} C _{n-1} = {(n+1)!} over {(n-1)!``2!} = {n`(n+1)} over {2} ``]

[eqn: THEREFORE ` sum _{n=1} ^{15} {1} over {a _{n}} & =2 TIMES sum _{n=1} ^{15} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT ) =2 TIMES LEFT ( 1- {1} over {16} RIGHT ) = {15} over {8} ``]

① [eqn: {15} over {4}]	② [eqn: {15} over {8}]	③ [eqn: {15} over {16}]	④ [eqn: {30} over {7}]	⑤ [eqn: {30} over {13}]

일반항이 [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k-1}], [eqn: T _{n} =` sum _{k=1} ^{n} {1} over {k(k+1)}``]인 두 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT }```]에 대하여 이차방정식 [eqn: x ^{2`} -S _{n} ```x+T _{n} =0````]의 두 근을 [eqn: alpha _{n}], [eqn: beta _{n}```]이라 할 때,  [eqn: lim _{n``` -> INF } {LEFT ( alpha _{n} ^{2} + beta _{n} ^{``2} RIGHT ) ``}```]의 값은? [3점]

⑤

[eqn: \S_n = SUM from { { k}=1} to n LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT ) ^n-1 = { 1- LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^n } over {1- { 1} over {2 } } =2- LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT ) ^n-1``]

[eqn: T _{n} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {k(k+1)} = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT ) =1- {1} over {n+1} ``]

이차방정식 [eqn: x ^{2} - S _{n} `x+ T _{n} =0``]의 두 근이 [eqn: alpha _n ,``` beta _n``]이므로

근과 계수와의 관계에서

[eqn: alpha _n + beta _n = \S_n ~,~ alpha _n ` beta _n = \T_n ``]

[eqn: alpha _{n} ^{2} + beta _{n} ^{2} & = LEFT ( alpha _{n} + beta _{n} ` RIGHT ) ^{2} -2` alpha _{n} ` beta _{n} = rm S _{n} it ^{2} -2` rm T _{n}][eqn: = LEFT { 2- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT } ^{2} -2 TIMES LEFT ( 1- {1} over {n+1} RIGHT )][eqn: =2-4 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} + LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n-1} +2 TIMES {1} over {n+1} ``]

[eqn: THEREFORE ~ lim from { n -> inf } LEFT ( alpha _n^2 + beta _n^2 RIGHT ) =2``]

① [eqn: 0``]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: 6]개로 이루어진 정육각형 모양의 도형이 있다. 동전을 던져 앞면이 나오면 정삼각형의 변을 따라 [eqn: 1`]만큼씩 움직이고, 뒷면이 나오면 움직이지 않는다. 갑과 을이 각각 동전을 한번씩 던지고 난 후에 갑은 점 [eqn: rm A]에서, 을은 점 [eqn: rm F]에서 출발하여 움직였을 때, 두 사람 사이의 거리가 [eqn: 1]이 될 확률은? (단, 두 점 [eqn: rm A,`````` rm F]에서 각 변을 따라 움직일 확률은 모두 [eqn: {1} over {3}]이다.) [4점]

④

갑과 을이 각각 동전을 던지면 경우의 수는

[eqn: LEFT { LEFT ( \T , \T RIGHT ) ,``` LEFT ( \H , \T RIGHT ) ,``` LEFT ( \T , \H RIGHT ) ,``` LEFT ( \H , \H RIGHT ) ``RIGHT }]

ⅰ) [eqn: LEFT ( \T , \T RIGHT ) ``]일 때,

갑과 을의 위치가 [eqn: \A ,~ \F`]이고 거리가 [eqn: 1``]이므로

[eqn: THEREFORE ~p_1 = { 1} over { 2} TIMES { 1} over {2 } = { 1} over { 4} ``]

ⅱ) [eqn: LEFT ( \H , \T RIGHT ) ``]일 때,

을의 위치는[eqn: \F`]이고 을의 위치는[eqn: \G`]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이므로

[eqn: THEREFORE ~p_2 = { 1} over { 4} TIMES { 1} over { 3} = { 1} over { 12} ``]

ⅲ) [eqn: LEFT ( \T , \H RIGHT ) ``]일 때,

갑의 위치는 [eqn: \A`]이고 을의 위치는 [eqn: \G`]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이므로

[eqn: THEREFORE ~p_3 = { 1} over { 4} TIMES { 1} over { 3} = { 1} over { 12} ``]

ⅳ) [eqn: LEFT ( \H , \H RIGHT ) ``]일 때,

① 갑의 위치가 [eqn: \B`]이면 을의 위치는 [eqn: \A ~또는~ \G`]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이고

② 갑의 위치가 [eqn: \G`]이면 을의 위치는 [eqn: \A ~또는~ \E`]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이고

③ 갑의 위치가 [eqn: \F`]이면 을의 위치는 [eqn: \A ~또는~ \G~또는~ \E``]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이고

[eqn: THEREFORE ~p_4 = { 1} over { 4} TIMES { 1} over { 3} TIMES { 1} over {3 } TIMES 7 = { 7} over { 36} ``]

그러므로 구하고자하는 확률 [eqn: p``]는

[eqn: p&=p_1 +p_2 +p_3 +p_4 = { 1} over {4 } + { 1} over {12 } + { 1} over {12 } + { 7} over { 36} = { 22} over {36 } = { 11} over {18 } ``]

① [eqn: {7} over {18}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {5} over {9}]	④ [eqn: {11} over {18}]	⑤ [eqn: {13} over {18}]

어떤 회사는 [eqn: 20]명의 사원을 [eqn: 6]시간씩 [eqn: 3]개조로 나누어 근무시간표를 운영하고 있다. [eqn: rm A]조는 오전[eqn: 10]시부터 오후[eqn: 4]시까지, [eqn: rm B]조는 오후 [eqn: 2]시부터 오후 [eqn: 8]시까지, [eqn: rm C]조는 오후 [eqn: 5]시부터 오후 [eqn: 11]시까지 근무한다. 오후 [eqn: 2]시부터 오후 [eqn: 3]시까지는 [eqn: 12]명의 사원을, 오후 [eqn: 6]시부터 오후 [eqn: 8]시까지는 [eqn: 15]명의 사원이 근무하도록 조를 편성하려고 한다. [eqn: rm A]조의 인원수를 [eqn: x]명, [eqn: rm B```]조의 인원수를 [eqn: y]명, [eqn: rm C]조의 인원수를 [eqn: z]명으로 놓고 행렬[eqn: X= LEFT ( pile{{pile{{x``}#{y``}}}#{```z``}} RIGHT )```]를 만들어서 [eqn: MX= LEFT ( pile{{pile{{20``}#{12``}}}#{```15``}} RIGHT )```] 의 꼴로 나타내었을 때, 행렬 [eqn: M]은? [3점]

②

ⅰ) 전체 사원이 [eqn: 20``]명이고, [eqn: \A`]조의 인원수가 [eqn: x`]명, [eqn: \B`]조의 인원수가 [eqn: y`]명, [eqn: \C`]조의 인원수가 [eqn: z`]명이므로

[eqn: x+y+z=20``~ CDOTS CDOTS ①]

ⅱ) 오후 [eqn: 2`]시부터 [eqn: 3`]시까지 [eqn: 12``]명의 사원이 근무하므로 [eqn: \A `]조의 사원과 [eqn: \B`]조의 사원이 같은 시간에 근무하므로

[eqn: x+y=12~ CDOTS CDOTS ②``]

ⅲ) 오후 [eqn: 6`]시부터 [eqn: 8`]시까지 [eqn: 15``]명의 사원이 근무하므로 [eqn: \B`]조의 사원과 [eqn: \C`]조의 사원이 같은 시간에 근무하므로

[eqn: y+z=15~ CDOTS CDOTS ③``]

①, ②, ③의 관계를 행렬을 사용하여 나타내면

[eqn: THEREFORE ~~ PMATRIX { { 1}& { 1}& {1 }`# {1 }& {1 }& {0 }`# { 0}& { 1}& {1 }` } PMATRIX { {x }`# {y } `# {z }` } = PMATRIX { {20 }`# {12 } `# {15 }` }]

[eqn: ①``` LEFT ( matrix{`1`&`1`&`1`#`1`&`0`&`1`#`1`&`1`&`0`} RIGHT ) `````]	[eqn: ②``` LEFT ( matrix{`1`&`1`&`1`#`1`&`1`&`0`#`0`&`1`&`1`} RIGHT ) `````]	[eqn: ③``` LEFT ( matrix{`1`&`1`&`0`#`1`&`1`&`1`#`1`&`0`&`1`} RIGHT ) ````]
[eqn: ④``` LEFT ( matrix{`0`&`1`&`1`#`1`&`1`&`0`#`1`&`1`&`1`} RIGHT ) `````````]	[eqn: ⑤``` LEFT ( matrix{`1`&`1`&`1`#`0`&`1`&`1`#`1`&`0`&`1`} RIGHT ) ``````````]

오른쪽 그림과 같이 두 점 [eqn: (0,3)]과 [eqn: LEFT ( {3} over {2} ,`0 RIGHT )]을 지나는 직선 [eqn: l``]이 있다. 이 직선 위의 임의의 한 점을 [eqn: {\P }(a,```b)``]라 할 때, [eqn: 9 ^{a} +3 ^{b} ```]의 최솟값은? [3점]

⑤

직선의 방정식은 [eqn: y=-2x+3``]이고 점[eqn: \P(a,``b)``]가 직선 위의 임의의 점이므로 [eqn: b=-2a+3``]이다.

[eqn: THEREFORE ~ 9^a + 3^b =3^2a +3^-2a+3 ≧2 TIMES SQRT { 3^2a TIMES 3^-2a+3 } =6 SQRT { 3} ``]

① [eqn: 3 sqrt {2}]	② [eqn: 3 sqrt {3}]	③ [eqn: 4 sqrt {2}]
④ [eqn: 6 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 6 sqrt {3}]

[eqn: {2 ^{500}} over {A} ```]을 [eqn: 10`` ^{n} ```]([eqn: n```]은 음의 정수)의 꼴로 나타낼 수 있을 때, 자연수 [eqn: A```]의 최고자리 숫자는?
(단, [eqn: log` _{10} 2=0.3010,``````log` _{10} 3=0.4771````]) [3점]

③

[eqn: { 2^500 } over {\A } ``]을 [eqn: 10^n``]([eqn: n``]은 음의 정수)의 꼴로 나타낼려면

[eqn: \A =2^500 TIMES 10^m``]([eqn: m``]은 양의 정수)꼴이어야 하므로

[eqn: \A``]의 최고자리의 숫자는 [eqn: 2^500``]의 최고자리의 수와 같다.

[eqn: log_10` 2^500 =500 log_10 ` 2 =500 TIMES 0.3010=150 +0.5000``]

그러므로 [eqn: log_10 `2^500``]의 가수가 [eqn: 0.5``]는

[eqn: log_10` 3= 0.4771 <0.5000<0.6020=log_10 ` 4``]이다.

[eqn: log_10 `3 TIMES 10^150 < log_10 `2^500 <log_10 ` 4 TIMES 10^150 ``]

[eqn: THEREFORE ~3 TIMES 10^150 < 2^500 < 4 TIMES 10^150``]이므로

그러므로 최고자리 숫자는 [eqn: 3``]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

행렬 [eqn: N= pmatrix{``````3&~~2``#-1&~~0``} ````]과 단위행렬 [eqn: E ```]에 대하여
[eqn: N ^{2`} -3N+2E=O```]이 성립한다. 행렬 [eqn: N ^{2005} +N-2E``]는?
(단, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [4점]

③

[eqn: \N^2005 + \N -2 \E``]을 [eqn: \N^2 - 3 \N +2 \E] 로 나눈 나머지는

[eqn: x ^{2005} +x-2 & =(x ^{2} -3x+2)` rm Q(x)+ax+b][eqn: =(x-1)(x-2)` rm Q(x)+ax+b``]

ⅰ) [eqn: x=1``]을 대입하면 [eqn: a+b=0`~~~ CDOTS CDOTS ①`]

ⅱ) [eqn: x=2``]을 대입하면 [eqn: 2a+b=2^2005``~~~ CDOTS CDOTS ②``]

①, ②에서

[eqn: a=2^2005 ,~ b=-2^2005``]이므로 나머지는 [eqn: 2^2005 (x-1)``]이므로

즉, [eqn: 2^2005 ( \N - \E) ``]이다.

[eqn: THEREFORE ` rm N ^{2005} + rm N-2 rm E & =( rm N ^{2} -3 rm N+2 rm E) rm M+2 ^{2005} ( rm N- rm E)]

[eqn: =2 ^{2005} ( rm N- rm E)]

[eqn: =2 ^{2005} {pmatrix{2&2`#-1&-1`}} = {pmatrix{2 ^{2006}&2 ^{2006} `#-2 ^{2005}&-2 ^{2005} `}} ``]

① [eqn: pmatrix{``2 ^{2005}~~&2 ^{2005}``#``2 ^{2005}~~&2 ^{2005}``} ````]	② [eqn: pmatrix{``2 ^{2005} ~~&2 ^{2005} ``#``2 ^{2006} ~~&2 ^{2006} ``} ````]

③ [eqn: pmatrix{`````````2 ^{2006} ~~&```````2 ^{2006} ``#``-2 ^{2005} ~~&-2 ^{2005} ``} ````]	④ [eqn: pmatrix{``2 ^{2006} ~~&2 ^{2006} ``#``2 ^{2005} ~~&2 ^{2005} ``} ````]

⑤ [eqn: pmatrix{`````````2 ^{2005} ~~&~~2 ^{2005} ``#``-2 ^{2006} ~~&-2 ^{2006} ``} ````]

[eqn: bar{rm AB _{1} it} = bar{rm AC _{1} it} =10``]인 이등변삼각형 [eqn: rm AB _{1} C _{1}]이 있다. 오른쪽 그림과 같이 점 [eqn: rm C _{1}] 에서 변 [eqn: rm AB _{1}] 에 내린 수선의 발을 [eqn: rm B _{2}], 점 [eqn: rm B _{2}```]에서 변 [eqn: rm B _{1`} C _{1}```]과 평행한 분을 그어 변 [eqn: rm AC _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rm C _{2}]라 한다. 이와 같은 방법으로 변 [eqn: rm AB _{1}]과 변 [eqn: rm AC _{1}]위에 점을 잡아서 각 점을 [eqn: rm B _{3} ,``C _{3} ,``B _{4} ,``C _{4} ,`` CDOTS ``]라 하자. [eqn: bar{rm B _{1`} B _{2} it}]의 길이가 [eqn: bar{rm B _{1} C _{1} it}]의 길이의 [eqn: {1} over {4}]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{INF } bar{rm B _{it k` rm} C _{it k rm} it}]의 값은? [3점]

①

[eqn: bar { \A \B_1 }=bar { \A \C_1 }=10``]이고, [eqn: bar { \B_1 \B_2 } = { 1} over {4 } bar { \B_1 \C_1 } ``] 이므로

삼각형의 닮음비에서

[eqn: bar{ B _{k} B _{k+1} it} = {1} over {4} bar{ B _{k} C _{k} it}]

[eqn: THEREFORE `` bar{ B _{k} C _{k} it} =4` bar{ B _{k} B _{k+1} it} ``]

[eqn: THEREFORE ` sum _{k=1} ^{INF } bar{ B _{k} C _{k} it} =4` sum _{k=1} ^{INF } bar{ B _{k} B _{k+1} it} =4 bar{ AB _{1} it} =40``]

① [eqn: 40]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 20]

다음은 [eqn: a _{0} = {pi } over {2} ,`````a _{1`} =1], [eqn: a _{n+2`} = {n+1} over {n+2} a _{n} ````][eqn: (n=0,1,2,` CDOTS )]으로 정의된 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: a _{2n+1} `≦` {I} over {sqrt {n}} `≦` a _{2n-2} ````] [eqn: (n=1,2,3,` CDOTS )]
가 성립할 때, [eqn: I``]의 값을 구하는 과정이다.

⑤

Ⅰ) 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: n` a_n a_n-1 = { pi } over {2 } ``]임을 수학적귀납법으로 증명하면

ⅰ)[eqn: n=1``]일 때,[eqn: a_1 CDOT a_0 =1 TIMES { pi } over { 2} = { pi } over {2 } ``]이므로 성립한다.

ⅱ) [eqn: n=k``]일 때, 성립한다고 가정하면

[eqn: k`a_k a_k-1 = { pi } over {2 } ~~~ CDOTS CDOTS CDOTS ①]이 성립한다.

[eqn: n=k+1 ``]일 때,

[eqn: a_n+2 = { n+1} over {n+2 } a_n``]에서 [eqn: a_k+1 = { k} over { k+1} a_k-1``]이므로

[eqn: (k+1)`a _{k+1} `a _{k} & =(k+1) TIMES LEFT [ {k} over {k+1} a _{k-1} RIGHT ] TIMES a _{k} =k`a _{k} `a _{k-1} = {pi } over {2} ``]

[eqn: THEREFORE ~(k+1)`a_k+1` a_k = { pi } over { 2} ``]

그러므로 [eqn: n=k+1``]일 때도 성립하므로

자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: n` a_n a_n-1 = { pi } over {2 } ``]이 성립한다.

Ⅱ) 수열[eqn: LEFT { a_n RIGHT } ``]이 감소하는 수열임을 수학적 귀납법으로 증명하면

⋯중략⋯

따라서, [eqn: a_n ≧a_n+1 ```(n=0,```1,```2,```3,``` CDOTS )``]이다.

조건에서 [eqn: a_2n+1 ≦ { \I } over { SQRT { n} } ≦a_2n-2``]이고 수열[eqn: LEFT { a_n RIGHT } ``]이 감소하는

수열이므로

[eqn: n ` a_2n+2 a_2n+1 ≦ LEFT [ \I^2 RIGHT ] ≦n`a_2n-2 `a_2n-3``] 임을 유추할 수 있다.

그러므로 Ⅰ)에 의해서[eqn: 2`]이상의 모든 자연수[eqn: n``]에 대하여

[eqn: { n pi } over {2(2n+2) } ≦ LEFT [ \I^2 RIGHT ] ≦ { n pi } over {2(2n-2) }``]

따라서, [eqn: lim from { n -> inf } { n pi } over {2(2n+2) }= lim from { n -> inf } { n pi } over {2(2n-2) }= { pi } over {4 } ``]이므로

[eqn: lim from { n -> inf } \I^2 = { pi } over { 4} ``~~~ THEREFORE~ \I = LEFT [ { SQRT { pi } } over {2 } RIGHT ] ``]이다.

Ⅰ) 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: na _{n} a _{n-1} = {pi } over {2}]임을 수학적 귀납법
으로 증명하면

ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: a _{1} CDOT a _{0} =1 TIMES {pi } over {2} = {pi } over {2}]이므로 성립한다.

ⅱ) [eqn: n=k]일 때 성립한다고 가정하면 [eqn: n=k+1]일 때,

[eqn: (k+1)a _{k+1} a _{k} =(k+1)`][eqn: `a _{k} =` {pi } over {2} ```]

(가)

이므로 성립한다.

Ⅱ) 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ```]이 감소하는 수열임을 수학적 귀납법으로
증명하면

[eqn: CDOTS]  중략  [eqn: CDOTS]

따라서 [eqn: a _{n} >= a _{n+1} `````] [eqn: (n=0,1,2,3,` CDOTS )]이다.

조건에서 [eqn: a _{2n+1} <= {I} over {sqrt {n}} <= a _{2n-2} ``]이고

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]이 감소하는 수열이므로

[eqn: na _{2n+2} a _{2n+1} <=```][eqn: ```<= na _{2n-2} a _{2n-3} ````]

(나)

임을 유추할 수 있다.

그러므로 Ⅰ)에 의해서 [eqn: 2]이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {n pi } over {2(2n+2)} <= ```] [eqn: ```<= {n pi } over {2(2n-2)} ```]

(나)

따라서 [eqn: I=] 이다.

(다)

위의 과정에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [4점]

(가)	(나)	(다)

① [eqn: {k} over {k+1} a _{k-1} ````]	[eqn: I]	[eqn: {pi } over {2}]

② [eqn: {k+1} over {k} a _{k-1} `````]	[eqn: I]	[eqn: {sqrt {pi }} over {2}]

③ [eqn: {k} over {k+1} a _{k-1} ````]	[eqn: I ^{``2}]	[eqn: {pi } over {4}]

④ [eqn: {k+1} over {k} a _{k-1} `````]	[eqn: I ^{``2}]	[eqn: {pi } over {4}]

⑤ [eqn: {k} over {k+1} a _{k-1} ````]	[eqn: I ^{``2}]	[eqn: {sqrt {pi }} over {2}]

다음은 곡선 [eqn: y=`log` _{2} ````x```]위의 두 점 [eqn: rm `P,```Q```]의 [eqn: x```]좌표를 각각 [eqn: p,~q```]라 할 때, [eqn: {1} over {p} + {1} over {q} =1```]이면 [eqn: {log _{2`} p} over {p} + {log _{2} q} over {q} `≦` 1``]임을 증명한 것이다.

①

[eqn: pq= LEFT [ p+q RIGHT ] ``]이므로

[eqn: {log _{2} `p} over {p} + {log _{2} `q} over {q} & = {q`log _{2} `p+p`log _{2} `q} over {pq} ` CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: = {q`log _{2} `p+p`log _{2} `q} over {LEFT [ p+q RIGHT ]} ``]

[eqn: bar \PQ ``]를 [eqn: p``:``q``]로 내분하는 점을 [eqn: \R (x_0 ,```y_0 )``]라 하면

[eqn: x _{0} = {pq+qp} over {p+q} = {2pq} over {p+q} = LEFT [ 2 RIGHT ] `,]

[eqn: y _{0} = {q`log _{2} `p+p`log _{2} `q} over {p+q} ~~ CDOTS CDOTS ㉡``]

그런데 곡선[eqn: y=log_2 ` x`]는 [eqn: LEFT [ 위로~볼록 RIGHT ] ``]이므로

[eqn: y_0 ≦log_2 `x_0``]이다.

따라서 ㉠, ㉡에서 [eqn: { log_2 ` p} over {p } + { log_2`q} over {q } ≦1``]

[eqn: pq=`] 이므로

(가)

[eqn: {log` _{2`} p} over {p} + {log`` _{2} q} over {q} = {q``log` _{2} p`+p`log``` _{2} q} over {pq}]

[eqn: `= {q``log` _{2} p`+p`log``` _{2} q} over {{BOX{`````(가)`````}}} `````` CDOTS ````㉠````````]

[eqn: rm bar{PQ}] 를 [eqn: p``:```q``]로 내분하는 점을 [eqn: rm R(x _{0} ,``y _{0} `)``]라 하면

[eqn: x _{0} =`],

(나)

[eqn: y _{0} =` {q``log` _{2} p+p```log` _{2} q} over {p+q} ```` CDOTS ````㉡]

그런데 곡선 [eqn: y=`log` _{2} x]는
이므로
[eqn: y _{0`} <= `log` _{2} ```x _{0} `] 이다.

(다)

따라서 ㉠, ㉡ 에서

[eqn: {log` _{2`} p} over {p} + {log`` _{2} q} over {q} <= 1``]

<증명>

위의 증명에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [3점]

[eqn: LEFT ( ` bold{가} ` RIGHT )]	[eqn: LEFT ( ` bold{나} ` RIGHT )]	[eqn: LEFT ( ` bold{다} ` RIGHT )]

①  [eqn: p+q]	[eqn: 2]	위로 볼록

② [eqn: -p-q]	[eqn: 3]	위로 볼록

③  [eqn: p+q]	[eqn: 3]	위로 볼록

④ [eqn: -p-q]	[eqn: 2]	아래로 볼록

⑤  [eqn: p+q]	[eqn: 3]	아래로 볼록

첫째항이 [eqn: 2004]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: b _{n} =`1+` sum _{k=1} ^{n} `a _{k}```]로 정의되는 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]도 등비수열일 때, [eqn: b _{2}] 의 값은? [3점]

③

등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT } ``]의 공비를 [eqn: r``]이라 두면 [eqn: a_n =2004 CDOT r^n-1``]이고

[eqn: THEREFORE `b _{n} & =1+ sum _{k=1} ^{n} a _{k}]

[eqn: =1+ {2004 LEFT ( r ^{n} -1 RIGHT )} over {r-1} = {r-2005} over {r-1} + {2004`r} over {r-1} TIMES r ^{n-1} ``]

수열[eqn: LEFT { b_n RIGHT } ``]도 등비수열이므로

[eqn: { r-2005} over {r-1 } =0``] [eqn: THEREFORE ~ r=2005``]이다.

[eqn: THEREFORE ~b_n &= { 2004` TIMES 2005} over {2005-1 } TIMES LEFT ( 2005 RIGHT ) ^n-1 ``=2005^n``]

[eqn: THEREFORE ~b_2 =2005^2``]

① [eqn: 2004 ^{2}]	② [eqn: 2004 CDOT 2005]	③ [eqn: 2005 ^{2}]
④ [eqn: 1+2004 ^{2}]	⑤ [eqn: 1+2005 ^{2}]

아래 그림과 같이 세 변이 모두 평행하고 넓이가 [eqn: S``]인 도형이 있다. 이 도형의 평행한 세 변을 각각 [eqn: 3]등분하여 대응하는 점끼리 연결시킨 후, 세 부분으로 나뉘어진 도형의 가운데 부분을 색칠한다. 다시, 색칠이 안 된 도형의 평행한 세 변을 각각 [eqn: 3]등분하여 대응하는 점끼리 연결시킨 후, 각각 세 부분으로 나뉘어진 도형의 가운데 부분들을 색칠한다.

⑤

[eqn: n``]번째 후의 색칠한 부분의 넓이를 [eqn: \S_n``]이라 두면

[eqn: \S_1 = { 1} over {3 } \S`]

[eqn: rm S _{2} & = {1} over {3} rm S+2 TIMES {1} over {3} rm S TIMES {1} over {3} = {1} over {3} rm S+ {1} over {3} rm S TIMES {2} over {3} = {1} over {3} rm S TIMES LEFT ( 1+ {2} over {3} RIGHT ) ``]

[eqn: rm S _{3} & = {1} over {3} rm S+ {1} over {3} rm S TIMES {2} over {3} +4 TIMES {1} over {9} rm S TIMES {1} over {3}]

[eqn: = {1} over {3} rm S+ {1} over {3} rm S TIMES {2} over {3} + {1} over {3} rm S TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} = {1} over {3} rm S TIMES LEFT { 1+ {2} over {3} + LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ``]

그러므로,

[eqn: THEREFORE ` rm S _{10} & = {1} over {3} rm S TIMES LEFT { 1+ {2} over {3} + LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} + CDOTS + LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{9} RIGHT }][eqn: = {1} over {3} rm S TIMES {1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{10}} over {1- {2} over {3}} = rm S` LEFT { 1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT } ``]

위와 같은 과정을 계속할 때, [eqn: 10]번째까지 색칠한 부분의 넓이의 합은? [4점]

① [eqn: {S} over {4} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT } ```````]	② [eqn: {S} over {3} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT } ```````]	③ [eqn: {S} over {2} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT } ````````]
④ [eqn: {S} over {2} LEFT { 1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT } ``````]	⑤ [eqn: S```` LEFT { 1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT } ````]

오른쪽 그림은 직선 [eqn: y=x```]와 두 함수 [eqn: y=2 ^{x} ,] [eqn: `y=`log` _{3} x```]의 그래프이다. [eqn: x```]좌표가 [eqn: 4```]인 곡선
[eqn: y=`log` _{3`} x```]위의 점 [eqn: rm A```]에서 [eqn: y```]축에 내린 수선이 직선 [eqn: y=x```]와 만나는 점을 [eqn: rm P```]라 하고, [eqn: y```]좌표가 [eqn: 3```]인 곡선 [eqn: y=2 ^{x}```]위의 점 [eqn: rm B```]에서 [eqn: x```]축에 내린 수선이 직선 [eqn: y=x```]와 만나는 점을 [eqn: rm Q```]라 한다. 이때, [eqn: rm bar{OP} CDOT bar{OQ}```]의 값은? (단, [eqn: rm O```]는 원점)

①

주어진 그래프에서

[eqn: \A (4,``` log_3 `4 )``]이므로 [eqn: \P ( 2 log_3 2 ,```2log_3 `2 )``]이다.

[eqn: bar \OP = SQRT { LEFT ( 2 log_3 2 RIGHT )^2 + LEFT ( 2 log_3 2 RIGHT )^2 } =2 SQRT { 2} log_3 `2``]

[eqn: \B (log_2 `3 ,``` 3 )``]이므로 [eqn: \Q ( log_2 `3 ,```log_2 `3 )``]이다.

[eqn: bar \OQ = SQRT { LEFT ( log_2` 3 RIGHT )^2 + LEFT ( log_2` 3 RIGHT )^2 } = SQRT { 2} log_2 `3``]

[eqn: THEREFORE ~bar \OP CDOT bar \OQ =2 SQRT { 2} log_3 `2 TIMES SQRT { 2} log_2 `3` =4``]

[4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 4 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 6 sqrt {2}]

아래 그림과 같이, [eqn: 10 TIMES 10```]체스판에 가로줄로는 공차가 [eqn: 2```]인 등차수열을 이루고, 세로줄로는 공차가 [eqn: 3```]인 등차수열을 이루도록 수를 배열하였다. 이 때, 색칠한 [eqn: 10```]개의 칸에 쓰여지는 수들의 합은 ? [3점]

②

1	3	5	7	9	11	13	15	17	19
4	6	8	10						22
7	9	11
10	12
13

↙ 방향으로는 공차가 [eqn: 1``]인 등차수열이므로

ⅰ) [eqn: 17`]의 ↙방향으로 5개의 수는 공차가 2인 등차수열

합=[eqn: ` {5 LEFT { 17 TIMES 2+4 TIMES 2 RIGHT }} over {2} =105``]

ⅱ) [eqn: 22``]의 ↙방향으로 5개의 수는 공차가 2인 등차수열

합=[eqn: ` {5 LEFT { 22 TIMES 2+4 TIMES 2 RIGHT }} over {2} =130``]

그러므로 10개 칸에 쓰여진 수들의 합은 [eqn: 235``]

[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	[eqn: 7]	[eqn: 9]	[eqn: 11]	[eqn: 13]	[eqn: 15]	[eqn: 17]	[eqn: 19]
[eqn: 4]	[eqn: 6]	[eqn: 8]	[eqn: 10]
[eqn: 7]	[eqn: 9]	[eqn: 11]
[eqn: 10]	[eqn: 12]
[eqn: 13]

① [eqn: 233]	② [eqn: 235]	③ [eqn: 237]	④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 242]

두 개의 주머니 [eqn: rm A,``````B]가 있다. [eqn: rm A]주머니에는 흰 공 [eqn: 1```]개와 검은 공 [eqn: 1```]개가 들어 있고 [eqn: rm B```]주머니에는 검은 공 [eqn: 2```]개가 들어 있다. [eqn: rm A```]주머니에 있는 공을 [eqn: 1```]개 꺼내어 [eqn: rm B```]주머니에 넣은 후, 다시 [eqn: rm B```]주머니에서 공을 [eqn: 1```]개 꺼내어 [eqn: rm A```]주머니에 넣는 과정을 [eqn: 1```]번의 시행이라 하자. 이와 같은 시행을 [eqn: 4```]번 반복하였을 때, [eqn: rm A```]주머니에 횐 공이 들어 있을 확률은 ? [4점]

④

한 번 시행에서 주머니 [eqn: \A`]에 흰 공이 들어 있을 확률을 [eqn: p_1``]이라 두면

[eqn: p_1 = { 1} over {2 } TIMES { 1} over {3 } + { 1} over { 2} = { 4} over {6 } = { 2} over {3 } ``]이다.

[eqn: n`]번 시행 후 주머니 [eqn: \A`]에 흰 공이 들어 있을 확률을 [eqn: p_n``]이라

두면 [eqn: (n+1)``]번 시행 후 주머니[eqn: \A`]에 흰 공이 들어 있을 확률 [eqn: p_n+1`]은

[eqn: p_n+1 =p_n TIMES { 2} over {3 } +(1- p_n ) TIMES { 1} over {3 } = { 1} over {3 } p_n + { 1} over { 3} ``]

[eqn: LRARROW ~~ LEFT ( p_n+1 - { 1} over {2 } RIGHT ) = { 1} over {3 } LEFT ( p_n - { 1} over {2 } RIGHT ) ```]이므로

수열[eqn: LEFT { p_n - { 1} over {2 } RIGHT } ``]은 첫째항은 [eqn: p_1 - { 1} over {2 } = { 1} over {6 } ``]이고 공비가 [eqn: { 1} over {3 } ``]인 등비수열이므로

[eqn: p_n - { 1} over {2 } = { 1} over {6 } TIMES LEFT ( { 1} over {3 } RIGHT ) ^n-1 ```` LRARROW ````p_n = { 1} over {6 } TIMES LEFT ( { 1} over {3 } RIGHT ) ^n-1 + { 1} over {2 }``]

[eqn: THEREFORE ~ p_4 = { 1} over { 6} TIMES LEFT ( { 1} over { 3} RIGHT ) ^3 + { 1} over {2 } = { 41} over {81 } ``]

① [eqn: {83} over {162}]	② [eqn: {41} over {81}]	③ [eqn: {14} over {27}]	④ [eqn: {33} over {64}]	⑤ [eqn: {9} over {16}]

아래 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 12``]인 정삼각형 [eqn: rm OAB```]에서 [eqn: rm bar{AB} ,``` rm bar{OA}```]의 중점을 각각 [eqn: rm A _{1} `,`````B _{1`} ```]이라 한다. 또 [eqn: rm bar{A _{1} B _{1}} ,``` rm bar{AA _{1}}```]의 중점을 각각 [eqn: rm A _{2} `,`````B _{2`} ```]라 하고, [eqn: rm bar{A _{2} B _{2}} ,``` rm bar{A _{1} A _{2}}```]의 중점을 각각
[eqn: rm A _{3} `,`````B _{3`} ```]이라 한다. 이와 같이 [eqn: rm bar{A _{it n rm} B _{it n rm}} ,``` rm bar{A _{it n-1 rm} A _{it n rm}}````]의 중점을 각각 [eqn: rm A _{it n+1 rm} `,`````B _{it n rm +1 it ` rm} `]로 정하는 과정을 한없이 계속할 때,
[eqn: lim _{n`` -> `` INF } {tan`( ANGLE rm AOA` _{n} )} it ``]의 값은? [4점]

③

[eqn: \A_n ( x_n ,``` y_n )``]이라 두면

[eqn: lim _{n -> INF } {} `tan LEFT ( ANGLE AOA _{n} RIGHT ) = lim _{n -> INF } {} {y _{n}} over {x _{n}} ``]이므로

아래 그림에서

[eqn: \B_1`]

[eqn: \O`]

[eqn: \A(12,``0)`]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: \B`]

[eqn: \A_2 (x_2 ,`` y_2 )`]

[eqn: \A_1 (x_1 ,`` y_1 )`]

[eqn: \A_3 (x_3 ,`` y_3 )`]

[eqn: \A_4 (x_4 ,`` y_4 )`]

삼각형의 한 변의 길이를 [eqn: a=12``]라 두면

ⅰ) [eqn: & THEREFORE lim _{n -> INF } {} x _{n}]

[eqn: =a- {1} over {2} a TIMES cos {pi } over {3} - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} a TIMES cos {pi } over {3} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} TIMES a]

[eqn: - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} a TIMES cos {pi } over {3} - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} a TIMES cos {pi } over {3} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} TIMES a+ CDOTS ``]

[eqn: =a TIMES LEFT { 1+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} + CDOTS RIGHT }]

[eqn: - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) a TIMES `cos {pi } over {3} TIMES LEFT { 1+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} + CDOTS RIGHT }][eqn: `- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} a TIMES `cos {pi } over {3} TIMES LEFT { 1+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} + CDOTS RIGHT }]

[eqn: & =a TIMES LEFT ( 1- {1} over {4} - {1} over {8} RIGHT ) TIMES LEFT { 1+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} + CDOTS RIGHT }]

[eqn: =a TIMES {5} over {8} TIMES {1} over {1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3}} = {5} over {7} a``]

ⅱ) [eqn: & THEREFORE lim _{n -> INF } {} y _{n}]

[eqn: =0+ {1} over {2} a TIMES sin {pi } over {3} - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} a TIMES sin {pi } over {3} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} a TIMES sin {pi } over {3}][eqn: - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} a TIMES sin {pi } over {3} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} a TIMES sin {pi } over {3} + CDOTS]

[eqn: =a TIMES sin {pi } over {3} TIMES LEFT [ LEFT { {1} over {2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} + CDOTS RIGHT } ``- LEFT { LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{8} CDOTS RIGHT } RIGHT ]]

[eqn: = {sqrt {3}} over {2} a TIMES LEFT { {{1} over {2}} over {1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3}} - {LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}} over {1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3}} RIGHT } = {sqrt {3}} over {7} a``]

[eqn: THEREFORE ~ lim from { n -> inf }tan LEFT ( ANGLE \AOA_n RIGHT ) = lim from { n -> inf } { y_n } over {x_n } = { { SQRT { 3} } over {7 }a } over { { 5} over {7 }a } = { SQRT { 3} } over {5 } ``]

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {4}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {5}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {5}]

광도(물체의 밝기)가 [eqn: B _{````0}```]인 물체를 [eqn: r( rm km)]의 거리에서 바라볼 때의 물체의 광도가 [eqn: B``]이면 대기혼탁도 [eqn: n``](네뷸/[eqn: rm km])은
[eqn: log`B=`log`B _{```0} -0.03nr````]
의 관계를 만족한다. 예를 들어, 대기혼탁도가 [eqn: 1]네뷸/[eqn: rm km]인 대기에서 [eqn: 1 rm km] 떨어진 물체를 바라보면 [eqn: {B} over {B _{0}} =10 ^{-0.03} =0.9333````]이므로 물체의 밝기 [eqn: B````]는 본래 밝기 [eqn: B _{````0} ```]의 [eqn: 93.33%]로 줄어든다. 대기혼탁도가 [eqn: 1]네뷸/[eqn: rm km]인 대기에서 [eqn: 500`` rm m```] 떨어진 어떤 물체를 바라보면, 이 물체의 밝기는 본래 밝기의 몇 [eqn: %```]정도로 줄어드는가?

④

주어진 식 [eqn: log ` \B = log `\B_0 -0.03` n`r ``]에 [eqn: n=1 ,``` r=0.5``]을 대입하면

[eqn: log {\B} over {\B_0 } =-0.015~ LRARROW ~ { \B} over {\B_0 }=10^-0.015``]

[eqn: log ` 10^-0.015 =-0.015 =-1+0.9850``]

지표는 [eqn: -1``], 가수는 [eqn: 0.9850``]이고

주어진 상용로그표에서 [eqn: log `9.66 =0.9850``]이므로

[eqn: THEREFORE ~{ \B} over {\B_0 }=10^-0.015 = 0.996`]

[eqn: THEREFORE ~ \B =0.996` \B_0 ``]이므로 [eqn: 96.6%`]정도로 줄어든다.

[4점]

상용로그표

수	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]
[eqn: 9.5]	[eqn: 0.9777]	[eqn: 0.9782]	[eqn: 0.9786]	[eqn: 0.9791]	[eqn: 0.9795]	[eqn: 0.9800]	[eqn: 0.9805]	[eqn: 0.9809]	[eqn: 0.9814]	[eqn: 0.9818]
[eqn: 9.6]	[eqn: 0.9823]	[eqn: 0.9827]	[eqn: 0.9832]	[eqn: 0.9836]	[eqn: 0.9841]	[eqn: 0.9845]	[eqn: 0.9850]	[eqn: 0.9854]	[eqn: 0.9859]	[eqn: 0.9863]

① [eqn: 95.5%]	② [eqn: 95.8%]	③ [eqn: 96.2%]
④ [eqn: 96.6%]	⑤ [eqn: 96.9%]

[eqn: z]	[eqn: rm P(0 `≦` Z `≦` z)]
0.5	0.192
1	0.341
1.5	0.353
2	0.477

지난달에 시행된 [eqn: 2005```]학년도 모의대학수학능력시험에서는 수험생의 상위 [eqn: 15.9``%```]가 도심근교의 대학에 합격할 것으로 나타났다. 이 시험에 응시한 전체 수험생의 점수는 평균이 [eqn: 520```]점이고 표준편차가 [eqn: 90``]점인 정규분포를 이루었고, 수험생이 [eqn: 3000```]명 거주하고 있는 [eqn: rm `K``]지역 수험생들의 점수는 평균이 [eqn: 580]점이고 표준편차가 [eqn: 20]점인 정규분포를 이루었다. [eqn: rm `K]지역의 수험생 중 도심 근교의 대학에 합격할 것으로 나타난 인원수는 ? (단, 대학이나 학과는 고려하지 않는다.) [4점]

①

ⅰ) 전체 수험생의 점수[eqn: \X`]는 정규분포[eqn: \N (520,```90)`]을 따르고 수험생의 상위[eqn: 15.9%`]가 도심근교의 대학에 합격할 것으로 나타났으므로 상위 [eqn: 15.9%`]에 들어가려면 점수[eqn: \X`]가 [eqn: k``]점 이상일 확률 [eqn: \P ( \X ≧ k)=0.159``]이다.

[eqn: 0.5- rm P(0 <= rm Z <= {k-520} over {90} )=0.159]

[eqn: THEREFORE ` rm P(0 <= rm Z <= {k-520} over {90} )=0.341``]

[eqn: { k-520} over {90 } =1~~ THEREFORE~ k=610``](점)

ⅱ) [eqn: \K`]지역 수험생 [eqn: 3000`]명의 점수 [eqn: \Y`]는 정규분포 [eqn: \N (580,```20)`]을 따르므로

[eqn: rm P( rm Y >= 610) & = rm P( rm Z >= {610-580} over {20} )= rm P( rm Z >= 1.5)][eqn: =0.5- rm P(0 <= rm Z <= 1.5)=0.5-0.353=0.147``]

[eqn: THEREFORE ~3000 TIMES 0.147 =441``]명

① [eqn: 441``]명	② [eqn: 430``]명	③ [eqn: 419``]명
④ [eqn: 408``]명	⑤ [eqn: 392``]명

두 이차정사각행렬

[eqn: 42``]

[eqn: \A = PMATRIX { { 23}& {-1 }`# {-1 }& { 0} `} ,~ \B = PMATRIX { { 0}& {-1 }`# {-1 }& { -23} `} ``]에서

[eqn: \AB = PMATRIX { { 23}& {-1 }`# {-1 }& { 0} `} PMATRIX { { 0}& {-1 }`# {-1 }& { -23} `} = PMATRIX { { 1}& {0 }`# {0 }& {1} `} = \E``]

[eqn: \B^-1 = PMATRIX { { 23}& {-1 }`# {-1 }& { 0} `} ``]이므로

[eqn: \A^2 \B + \B^-1 \AB =( \A + \B^-1 ) \AB = \A + \B^-1 = PMATRIX { { 46}& {-2 }`# {-2}& { 0} `} ``]

[eqn: THEREFORE ~]모든 성분의 합은 [eqn: 42``]

[eqn: A= pmatrix{``23&~-1#-1~&~~0} `,``````B= pmatrix{~``````0&`````````-1#``-1&``````-23} `````]

에 대하여 행렬 [eqn: A ^{2`} B+B ^{-1} AB```]의 모든 성분의 합을 구하시오.

[3점]

다음은 수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }```]에서 제[eqn: 1``]행에는 [eqn: a _{1}```]을 [eqn: n``]개, 제[eqn: 2``]행에는 [eqn: a _{2}```]를 [eqn: n-1``]개, 제[eqn: 3```]행에는 [eqn: a _{3}```]을 [eqn: n-2```]개, [eqn: CDOTS], 제[eqn: n```]행에는 [eqn: a _{n}```]을 [eqn: 1]개 나열한 것이다.

[eqn: 265``]

제[eqn: 1`]행부터 제[eqn: n`]행까지의 모든 항의 합을 [eqn: \S_n``]이라 두면

[eqn: \S_n =n`a_1 +(n-1)`a_2 +(n-2)`a_3 + CDOTS ~+2`a_n-1 +a_n `]

[eqn: \S_n-1 =(n-1)`a_1 +(n-2)`a_2 +(n-3)a`_3 + CDOTS +a_n-1]

[eqn: \T_n = \S_n - \S_n-1 =a_1 +a_2 +a_3 + CDOTS +a_n ``]이다.

[eqn: \T_n &= { n(n+1)(n+5)} over {6 } - { (n-1)n(n+4)} over {6 } = { n(n+3)} over {2} ``]

[eqn: THEREFORE `a _{21} +a _{22} + CDOTS +a _{30} & = rm T _{30} - rm T _{20}]

[eqn: = {30(30+3)} over {2} - {20(20+3)} over {2} =265``]

제[eqn: 1``]행부터 제[eqn: n``]행까지의 모든 항들의 합이 [eqn: {n(n+1)(n+5)} over {6}```]일 때, [eqn: a _{21} `+`a _{22} `+a _{23} +` CDOTS `+a _{30} `]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rm A```]고등학교의 학생비율은 [eqn: 1,2```]학년이 각각 [eqn: 40``%```]이고 [eqn: 3```]학년은 [eqn: 20``%```]이다. 이 학생들에게 사관학교에 진학할 의향이 있는 지를 조사하였더니 [eqn: 1``]학년은 [eqn: 30%], [eqn: 2``]학년은 [eqn: 10%], [eqn: 3``]학년은 [eqn: 15%``]가 졸업 후 사관학교에 진학하기를 희망한다고 답하였다. 사관학교에 진학하기를 희망하는 학생 중 [eqn: 1``]명을 택하였을 때, 그 학생이 [eqn: 1``]학년이거나 [eqn: 2``]학년 학생일 확률은 [eqn: {n} over {m}```]이다. 이때, [eqn: m+n```]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m```]과 [eqn: n```]은 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: 35``]

	1학년	2학년	3학년
A고등학교 학생비율	40%	40%	20%
사관학교 진학을 희망하는 학생비율	30%	10%	15%

전체 학생 중 [eqn: 1`]명을 택할 때, 사관학교에 진학하기를 희망하는 학생이 택하여 지는 사건을 [eqn: \E`], [eqn: 1`]학년 학생인 사건을 [eqn: \A`], [eqn: 2`]학년 학생인 사건을 [eqn: \B`], [eqn: 3`]학년 학생인 사건을 [eqn: \C`]라 두면 조건부확률에서

[eqn: THEREFORE ` rm P & = {rm P LEFT ( rm A SMALLINTER rm E RIGHT ) + rm P( rm B SMALLINTER rm E)} over {rm P LEFT ( rm A SMALLINTER rm E RIGHT ) + rm P( rm B SMALLINTER rm E)+ rm P( rm C SMALLINTER rm E)}][eqn: = {{40} over {100} TIMES {30} over {100} + {40} over {100} TIMES {10} over {100}} over {{40} over {100} TIMES {30} over {100} + {40} over {100} TIMES {10} over {100} + {20} over {100} TIMES {15} over {100}} = {16} over {19}]

[eqn: THEREFORE ~m+n =19+16=35``]

컴퓨터에 중요한 자료를 넣어 두고 다른 사람이 보는 것을 방지하기 위하여 [eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지 [eqn: 9]개의 자연수에서 서로  다른 세 개의 수를 뽑아 세 자리 정수의 비밀번호를 설정하려고 한다. 비밀번호는 소수가 두 개 이상 포함되도록 하여 가장 큰 정수부터 차례로 나열할 때 [eqn: 61]번째의 수이다. 이 비밀번호를 구하시오.

[eqn: 675``]

[eqn: 1``]부터 [eqn: 9``]까지의 자연수 중 소수는 [eqn: 2,``3,``5,``7``]이고 비밀번호는 소수가 두 개 이상 포함되어야 하므로 가장 큰 수부터 생각하면

ⅰ) [eqn: 9`□`□``] [eqn: RARROW ``] [eqn: `_4 \P_2 =12```](개)

ⅱ) [eqn: 8`□`□``] [eqn: RARROW ``] [eqn: `_4 \P_2 =12```](개)

ⅲ) [eqn: 7`□`□``]

소수 [eqn: 2`]개 포함 [eqn: RARROW ``][eqn: `_3 \C_1 TIMES `_5 \C_1 TIMES 2 ! =30``](개)

소수 [eqn: 3`]개 포함 [eqn: RARROW ``] [eqn: `_3 \P_2 =6``](개)

ⅰ), ⅱ), ⅲ) 까지 [eqn: 60``]개이므로

[eqn: 61``]번째의 수는 백의 자리의 숫자가 [eqn: 6``]이고 소수를 두 개 포함하는 가장 큰 수이므로

[eqn: THEREFORE ~675``]

[3점]

이산확률변수 [eqn: X```]는 이항분포 [eqn: B(120, {1} over {121} )``]을 따른다.
함수 [eqn: f(x)= sum _{k=0} ^{120} (x-ak) ^{2} P(X=k)```]의 최솟값이 [eqn: 1```]이 되도록 하는 양수 [eqn: a```]에 대하여 [eqn: 120``a```]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 121``]

[eqn: \X ``]가 이항분포 [eqn: \B LEFT ( 120, { 1} over {121 } RIGHT ) ``]을 따르므로

[eqn: m= \E ( \X)= SUM from { { k}=0} to 120 k CDOT \P( \X =k) =120 TIMES { 1} over {121 } = { 120} over {121 } ``]

[eqn: \V ( \X)= SUM from { { k}=0} to 120 k^2`\P( \X =k) -m^2 =120 TIMES { 1} over {121 } TIMES { 120} over {121 } = { 120^2} over {121^2 } ``]

[eqn: f`(x) & = sum _{k=0} ^{120} (x ^{2} -2ax`k+a ^{2} k ^{2} ) rm P( rm X=k)]

[eqn: =x ^{2} -2ax sum _{k=0} ^{120} k CDOT rm P( rm X=k)+a ^{2} sum _{k=0} ^{120} k ^{2} CDOT rm P( rm X=k)]

[eqn: =x ^{2} -2am`x+a ^{2} sum _{k=0} ^{120} k ^{2} CDOT rm P( rm X=k)]

[eqn: =(x-am) ^{2} +a ^{2} LEFT ( sum _{k=0} ^{120} k ^{2} CDOT rm P( rm X=k)-m ^{2} RIGHT )]

[eqn: =(x-am) ^{2} + {120 ^{2}} over {121 ^{2}} a ^{2} ``]

함수[eqn: f`(x)`]는 [eqn: x=am``]일 때, 최솟값 [eqn: { 120^2} over {121^2 } a^2] 이다.

[eqn: THEREFORE ~ { 120^2} over {121^2 } a^2 =1``]에서 [eqn: a= { 121} over {120 } ~(a>0)``]

[eqn: THEREFORE ~120a =121``]

아래 그림은 제[eqn: 1``]행에는 [eqn: LEFT ( 1`````1 RIGHT )]을 놓고 제[eqn: 2``]행부터는 바로 위 행의 이웃한 두 수 사이에 두 수의 차를 추가하여 수를 배열한 것이다. 즉, 제[eqn: 2``]행은 제[eqn: 1``]행의 [eqn: LEFT ( 1`````1 RIGHT )]사이에 [eqn: 1]과 [eqn: 1]의 차인 [eqn: 0]을 추가한 것이고, 제[eqn: 3``]행은 제[eqn: 2``]행의 [eqn: LEFT ( 1`````0`````1 RIGHT )```]의 이웃한 두 수 [eqn: 1]과 [eqn: 0] 사이에는 [eqn: 1`]과 [eqn: 0]의 차인 [eqn: 1]을,[eqn: 0]과 [eqn: 1]사이에는 [eqn: 0] 과 [eqn: 1]의 차인 [eqn: 1]을 추가하여 수를 배열한 것이다. 이와 같은 과정을 반복하여 수를 배열할 때 제[eqn: 10]행에 나타나는 [eqn: 1]의 개수를 구하시오. [4점]

[eqn: 342``]

ⅰ) 각 행의 수의 개수로 된 수열은

[eqn: 2~~,~~3~~,~~5~~,~~9~~,~~17~~, ~~CDOTS ~~]이고

제 [eqn: 1`] 계차수열이 [eqn: 1~,~2~,~4~,~8~,~ CDOTS ``]이므로

제[eqn: 10`]행의 수의 개수는

[eqn: 2+ SUM from { { k}=1} to 9 2^k-1 =2+ { 2^9 -1} over {2-1 } = 513``](개)

ⅱ) 제[eqn: 10`]행(짝수 행)의 수의 나열은

[eqn: (1```,```0```,```1)```,```(1```,```0```,```1)```,```(1```,```0```,```1)```,``` CDOTS ```,```(1```,```0```,```1)``]이므로

ⅰ), ⅱ)에서

제[eqn: 10`]행의 [eqn: 1``]의 개수는

[eqn: THEREFORE ~ 513 TIMES { 2} over {3 } =342``]이다

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2005년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설