◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

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수 학 영 역

‘가’형

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2005학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: LEFT ( log _sqrt 6 ``2 RIGHT ) LEFT ( log _6 ``4 RIGHT ) + LEFT ( log _sqrt 6 ``3 RIGHT ) LEFT ( log _6 ```9 RIGHT ) + LEFT ( log _sqrt 6 ``4 RIGHT ) LEFT ( log _6`` 9 RIGHT ) ``]의 값은?

②

[eqn: 준식) & =4 LEFT ( log _{6} 2 RIGHT ) ^{2} +4 LEFT ( log _{6} `3 RIGHT ) ^{2} +8 LEFT ( log _{6} `2 RIGHT ) LEFT ( log _{6} `3 RIGHT )]

[eqn: =4 LEFT ( log _{6} `2+log _{6} `3 RIGHT ) ^{2} =4``]

[2점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: lim _{x -> `2005`} {{2007(2005-x)} over {sqrt {2006-x} ```- sqrt {x-2004}}} ```]의 값은? [2점]

④

[eqn: lim _{x -> `2005`} {{2007(2005-x)} over {sqrt {2006-x} ```- sqrt {x-2004}} `} ```]

[eqn: = lim _{x -> `2005`} {{2007(2005-x)} over {sqrt {2006-x} `- sqrt {x-2004}} TIMES {sqrt {2006-x} `+ sqrt {x-2004}} over {sqrt {2006-x} `+ sqrt {x-2004}}} ```]

[eqn: = lim _{x -> `2005`} {{2007(2005-x)( sqrt {2006-x} `+ sqrt {x-2004} )} over {LEFT ( 2006-x)-(x-2004 RIGHT )}} ```]

[eqn: = lim _{x -> `2005`} {{2007(2005-x)( sqrt {2006-x} `+ sqrt {x-2004} )} over {2 LEFT ( 2005-x RIGHT )}} ```]

[eqn: = lim _{x -> `2005`} {{2007( sqrt {2006-x} `+ sqrt {x-2004} )} over {2}} ```]

[eqn: = lim _{x -> `2005`} {{2007(1`+1)} over {2}} ```]

[eqn: =2007```]

① [eqn: 2004```]	② [eqn: 2005]	③ [eqn: 2006]	④ [eqn: 2007]	⑤ [eqn: 2008]

다항함수 [eqn: g(x)```]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=`x ^{2} g(x)```]이고 [eqn: g(1)=3````], [eqn: g` prime (1)=5````]일 때, 미분계수 [eqn: f` prime (1)````]의 값은? [2점]

④

[eqn: f(x)=`x ^{2} g(x)```]에서 [eqn: f`'(x)=2x`g`(x) + x^2 g`'(x)``]이므로

[eqn: THEREFORE ~f`'(1)=2`g`(1)+g`'(1)=11``]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

두 함수 [eqn: f(x),````g(x)``]의 그래프가 아래 그림과 같을 때 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

①

ㄱ. [eqn: lim from { x ->-2 } f`(x)=1 ,~ lim from { x ->-2 } g`(x)=-1``]이므로

[eqn: THEREFORE ~lim _{x`` -> ```-2} {LEFT { f(x)+5g(x) RIGHT } =-4}] (참)

ㄴ.[eqn: lim _{x -> 1} {} f`(x)=2, lim _{x -> 1-} {} g`(x)=-2, lim _{x -> 1+} {} g`(x)=-1`]이고

[eqn: lim _{x`` -> 1-} {f(x)g(x)=-4} ,~ lim _{x`` -> 1+} {f(x)g(x)=-2}] 이므로

[eqn: THEREFORE ~lim _{x`` -> ```1} {f(x)g(x)=-4}] (거짓)

ㄷ. [eqn: lim from { x ->2 } f`(x)=1 ,~ lim from { x ->2 } g`(x)=0``]이므로

[eqn: THEREFORE ~lim _{x`` -> ```2} {{f(x)} over {g(x)} = INF }``](거짓)

ㄱ. [eqn: lim _{x`` -> ```-2} {LEFT { f(x)+5g(x) RIGHT } =-4}]

ㄴ. [eqn: lim _{x`` -> ```1} {f(x)g(x)=-4}]

ㄷ. [eqn: lim _{x`` -> ```2} {{f(x)} over {g(x)} =0}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

세 다항함수 [eqn: f(x),`````g(x),`````h(x)]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을  모두 고른 것은 ? (단, [eqn: a,````b]는 상수) [3점]

④

ㄱ. [eqn: a≦x≦b``]인 모든 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f`(x)≦g`(x)``]이면

[eqn: int _{a} ^{b} {} f`(x)`dx- int _{a} ^{b} {} g`(x)`dx]

[eqn: = int _{a} ^{b} {} LEFT { f`(x)-g`(x) RIGHT } `dx <= 0``]

[eqn: THEREFORE ~ INT _{ a}^{ b} f`(x) `dx ≦ INT _{ a}^{ b} g`(x) `dx``]이다. (참)

ㄴ. [eqn: a≦x≦b``]인 모든 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: INT _{ a}^{ b} LEFT | f`(x) RIGHT | `dx ≧ LEFT | INT _{ a}^{ b} f`(x) `dx RIGHT | ``]이다. (거짓)

ㄷ. 임의의 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: h`(-x)=h`(x)``]이므로 [eqn: h`(x)`]는 우함수이므로

[eqn: INT _{ -a}^{ a} h`(x) `dx =2 INT _{ 0}^{ a} h`(x) `dx =2 ` omega ``]이다.

[eqn: THEREFORE ` int _{-a} ^{a} {} (x-1)h`(x)`dx]

[eqn: = int _{-a} ^{a} {} LEFT { x`h`(x)-h`(x) RIGHT } `dx]

[eqn: =- int _{-a} ^{a} {} h`(x)`dx=-2 omega ````(참)``]

ㄱ. [eqn: a <= `x` <= b] 인 모든 [eqn: x] 에 대하여 [eqn: f(x) <= `g(x)] 이면
[eqn: int _{a} ^{b} {f(x)dx} `` <= int _{a} ^{b} {g(x)dx} ````]이다.

ㄴ. [eqn: a <= `x` <= b] 인 모든 [eqn: x] 에 대하여
[eqn: int _{a} ^{b} {LEFT | f(x) RIGHT | ```dx} <= LEFT | int _{a} ^{b} {f(x)dx```} RIGHT | ``````]이다.

ㄷ. 임의의 실수 [eqn: x] 에 대하여 [eqn: h(-x)=h(x)```]이고
[eqn: int _{0} ^{a} {h(x)dx} = omega `````]이면 [eqn: int _{-a} ^{a} {(x-1)h(x)dx} =-2 omega ````]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

아래 그림과 같이 각 변의 길이가 [eqn: 3,````4,````5]인 직육면체
[eqn: rm ABCD-EFGH]에서 [eqn: vec{ AX it} ``=k vec{ AB it} ``+(1-k) vec{ GD it} ````](단, [eqn: 0 `≦` k `≦` 1````])를 만족시키는 점 [eqn: rm X]가 나타내는 자취의 길이는? [3점]

③

[eqn: vec \AX =k ` vec \AB +(1-k) ` vec \GD ```(단,~0≦k≦1)``]에서

[eqn: vec \GD =- vec \AF``]을 대입하면

[eqn: vec \AX =k LEFT ( ` vec \AB +` vec \AF )- vec \AF `````(단,```0≦k≦1)``]이다.

[eqn: ` vec \AB +` vec \AF = ` vec \AI` `],  [eqn: - vec \AF =vec \AF`'``]라 두면

아래 그림에서

[eqn: \A`]

[eqn: \F`]

[eqn: \B``]

[eqn: \F`'`]

[eqn: \I`]

[eqn: \E`]

[eqn: 4``]

[eqn: 3``]

[eqn: 3``]

[eqn: 3``]

[eqn: 4``]

[eqn: vec \AX =k ` vec \AI + vec \AF`' `````(단,```0≦k≦1)``]

[eqn: THEREFORE ~\X``]의 자취는 [eqn: bar \BF`'``]이므로 자취의 길이는

[eqn: THEREFORE ~ SQRT { 36+16 } =2 SQRT { 13} ``]

① [eqn: sqrt {34}]	② [eqn: sqrt {41}]	③ [eqn: 2 sqrt {13}]
④ [eqn: 2 sqrt {15}]	⑤ [eqn: 6 sqrt {2}]

아래 그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2`} =12x``]의 초점 [eqn: rm F```]를 지나는 직선 [eqn: l```]과 이 포물선이 만나는 두 점을 [eqn: rm A,````B] 라 하자.
[eqn: bar{rm AF it} :`` bar{rm BF it} `=4``:``1]일 때 직선 [eqn: l```]의 방정식은 [eqn: ax+by=12]이다. 이때, 상수 [eqn: a,````b] 에 대하여 [eqn: a-b] 의 값은? [3점]

④

교점[eqn: \A ,~ \B`]의 [eqn: x``]좌표를 각각 [eqn: alpha ,``` beta ``]라 두면

포물선 [eqn: y^2 =12x =4 CDOT 3 CDOT x``]에서

초점[eqn: \F(3,```0)``], 준선의 방정식은 [eqn: x=-3``]이고

[eqn: bar \AF ```:``` bar \BF =4```:```1``]이므로 포물선의 정의에서

[eqn: LEFT ( alpha +3 RIGHT ) ``:`` LEFT ( beta +3 RIGHT ) =4``:``1~ LRARROW ~ alpha -4 beta =9~ CDOTS CDOTS ①``]

또, 내분점 공식에서 [eqn: {4 beta + alpha } over {4+1 } =3~ LRARROW ~ alpha +4 beta =15~~ CDOTS CDOTS ②``]

①, ②에서 [eqn: alpha =12,~ beta = { 3} over {4 } ``]이다.

[eqn: THEREFORE ~ \A (12,```12) ,~ \B LEFT ( { 3} over { 4} ,```3 RIGHT ) ``]

그러므로 직선[eqn: l``]의 방정식은 (직선 [eqn: \AF`])

[eqn: y-0 = { 12-0} over {12-3 } (x-3)``` LRARROW ```y= { 4} over {3 } (x-3)``]

[eqn: THEREFORE ~4x-3y=12``]이므로 [eqn: a=4,``` b=-3``]이다.

[eqn: THEREFORE ~ a-b=7``]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

아래 그림은 실수 전체의 집합에서 정의된 세 함수 [eqn: f(x)],
[eqn: `f`` prime (x)], [eqn: int _{0} ^{x} {f(t)dt}]의 그래프의 일부이다. 각 그래프와 함수가 바르게 대응된 것은? [3점]

②

[eqn: \F `(x)= INT _{ 0}^{ x} f`(t)` dt``]라 두면 [eqn: \F` '(x)= f`(x)``]이므로

[eqn: INT _{ 0}^{ x} f`(t)` dt````]의 도함수가 [eqn: f`(x)``]이고  [eqn: f`(x)``]의 도함수가 [eqn: f`'(x)``]이다. 위쪽 그래프에서 [eqn: a``]의 그래프는 도함수(즉, 접선의 기울기)가 음이므로 함수[eqn: f`(x)``]나 함수[eqn: INT _{ 0}^{ x} f`(t)` dt````]이 될 수가 없다. ([eqn: BECAUSE ~함수```b,``` c``]가 모두 양이므로)

따라서, [eqn: a``]의 그래프는 [eqn: f`'(x)``]이다. 또, [eqn: a``]의 그래프는 감소하므로 [eqn: b``]와 [eqn: c``]의 그래프의 도함수(즉, 접선의 기울기) 중 감수하는 것은 [eqn: b``]의 그래프이므로 [eqn: b``]의 그래프가 [eqn: f`(x)``]이고 [eqn: c``]의 그래프가 [eqn: INT _{ 0}^{ x} f`(t)` dt````]이다.

[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]

① [eqn: `f(x)]	[eqn: ``f``` prime (x)]	[eqn: ` int _{0} ^{x} {f(t)dt}]

② [eqn: ``f``` prime (x)]	[eqn: `f(x)]	[eqn: ` int _{0} ^{x} {f(t)dt}]

③ [eqn: ``f``` prime (x)]	[eqn: ` int _{0} ^{x} {f(t)dt}]	[eqn: `f(x)]

④ [eqn: ` int _{0} ^{x} {f(t)dt}]	[eqn: ``f``` prime (x)]	[eqn: `f(x)]

⑤ [eqn: ` int _{0} ^{x} {f(t)dt}]	[eqn: `f(x)]	[eqn: ``f``` prime (x)]

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: 6]개로 이루어진 정육각형 모양의 도형이 있다. 동전을 던져 앞면이 나오면 정삼각형의 변을 따라 [eqn: 1`]만큼씩 움직이고, 뒷면이 나오면 움직이지 않는다. 갑과 을이 각각 동전을 한번씩 던지고 난 후에 갑은 점 [eqn: rm A]에서, 을은 점 [eqn: rm F]에서 출발하여 움직였을 때, 두 사람 사이의 거리가 [eqn: 1]이 될 확률은? (단, 두 점 [eqn: rm A,`````` rm F]에서 각 변을 따라 움직일 확률은 모두 [eqn: {1} over {3}]이다.) [4점]

④

갑과 을이 각각 동전을 던지면 경우의 수는

[eqn: LEFT { LEFT ( \T , \T RIGHT ) ,``` LEFT ( \H , \T RIGHT ) ,``` LEFT ( \T , \H RIGHT ) ,``` LEFT ( \H , \H RIGHT ) ``RIGHT }]

ⅰ) [eqn: LEFT ( \T , \T RIGHT ) ``]일 때,

갑과 을의 위치가 [eqn: \A ,~ \F`]이고 거리가 [eqn: 1``]이므로

[eqn: THEREFORE ~p_1 = { 1} over { 2} TIMES { 1} over {2 } = { 1} over { 4} ``]

ⅱ) [eqn: LEFT ( \H , \T RIGHT ) ``]일 때,

을의 위치는 [eqn: \F`]이고 을의 위치는 [eqn: \G`]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이므로 [eqn: THEREFORE ~p_2 = { 1} over { 4} TIMES { 1} over { 3} = { 1} over { 12} ``]

ⅲ) [eqn: LEFT ( \T , \H RIGHT ) ``]일 때,

갑의 위치는 [eqn: \A`]이고 을의 위치는 [eqn: \G`]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이므로   [eqn: THEREFORE ~p_3 = { 1} over { 4} TIMES { 1} over { 3} = { 1} over { 12} ``]

ⅳ) [eqn: LEFT ( \H , \H RIGHT ) ``]일 때,

① 갑의 위치가 [eqn: \B`]이면 을의 위치는 [eqn: \A ~또는~ \G`]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이고

② 갑의 위치가 [eqn: \G`]이면 을의 위치는 [eqn: \A ~또는~ \E`]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이고

③ 갑의 위치가 [eqn: \F`]이면 을의 위치는 [eqn: \A ~또는~ \G~또는~ \E``]가 되어야 거리가 [eqn: 1``]이고

[eqn: THEREFORE ~p_4 = { 1} over { 4} TIMES { 1} over { 3} TIMES { 1} over {3 } TIMES 7 = { 7} over { 36} ``]

그러므로 구하고자하는 확률 [eqn: p``]는

[eqn: p & =p _{1} +p _{2} +p _{3} +p _{4} = {1} over {4} + {1} over {12} + {1} over {12} + {7} over {36} = {22} over {36} = {11} over {18} ``]

① [eqn: {7} over {18}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {5} over {9}]	④ [eqn: {11} over {18}]	⑤ [eqn: {13} over {18}]

어떤 회사는 [eqn: 20]명의 사원을 [eqn: 6]시간씩 [eqn: 3]개조로 나누어 근무시간표를 운영하고 있다. [eqn: rm A]조는 오전 [eqn: 10]시부터 오후 [eqn: 4]시까지, [eqn: rm B]조는 오후 [eqn: 2]시부터 오후 [eqn: 8]시까지, [eqn: rm C]조는 오후 [eqn: 5]시부터 오후 [eqn: 11]시까지 근무한다. 오후 [eqn: 2]시부터 오후 [eqn: 3]시까지는 [eqn: 12]명의 사원을, 오후 [eqn: 6]시부터 오후 [eqn: 8]시까지는 [eqn: 15]명의 사원이 근무하도록 조를 편성하려고 한다. [eqn: rm A]조의 인원수를 [eqn: x```]명, [eqn: rm B```]조의 인원수를 [eqn: y```]명, [eqn: rm C]조의 인원수를 [eqn: z```]명으로 놓고 행렬 [eqn: X= LEFT ( pile{{pile{{x``}#{y``}}}#{```z``}} RIGHT )```]를 만들어서
[eqn: MX= LEFT ( pile{{pile{{20``}#{12``}}}#{```15``}} RIGHT )```]의 꼴로 나타내었을 때, 행렬 [eqn: M]은? [3점]

②

ⅰ) 전체 사원이 [eqn: 20``]명이고, [eqn: \A`]조의 인원수가 [eqn: x`]명, [eqn: \B`]조의 인원수가 [eqn: y`]명, [eqn: \C`]조의 인원수가 [eqn: z`]명이므로

[eqn: x+y+z=20``~ CDOTS CDOTS ①]

ⅱ) 오후 [eqn: 2`]시부터 [eqn: 3`]시까지 [eqn: 12``]명의 사원이 근무하므로, [eqn: \A `]조의 사원과 [eqn: \B`]조의 사원이 같은 시간에 근무하므로

[eqn: x+y=12~ CDOTS CDOTS ②``]

ⅲ) 오후 [eqn: 6`]시부터 [eqn: 8`]시까지 [eqn: 15``]명의 사원이 근무하므로, [eqn: \B`]조의 사원과 [eqn: \C`]조의 사원이 같은 시간에 근무하므로

[eqn: y+z=15~ CDOTS CDOTS ③``]

①, ②, ③의 관계를 행렬을 사용하여 나타내면

[eqn: THEREFORE ~~ PMATRIX { { 1}& { 1}& {1 }`# {1 }& {1 }& {0 }`# { 0}& { 1}& {1 }` } PMATRIX { {x }`# {y } `# {z }` } = PMATRIX { {20 }`# {12 } `# {15 }` }]

[eqn: ①``` LEFT ( matrix{`1`&`1`&`1`#`1`&`0`&`1`#`1`&`1`&`0`} RIGHT ) `````]	[eqn: ②``` LEFT ( matrix{`1`&`1`&`1`#`1`&`1`&`0`#`0`&`1`&`1`} RIGHT ) `````]	[eqn: ③``` LEFT ( matrix{`1`&`1`&`0`#`1`&`1`&`1`#`1`&`0`&`1`} RIGHT ) ````]
[eqn: ④``` LEFT ( matrix{`0`&`1`&`1`#`1`&`1`&`0`#`1`&`1`&`1`} RIGHT ) `````````]	[eqn: ⑤``` LEFT ( matrix{`1`&`1`&`1`#`0`&`1`&`1`#`1`&`0`&`1`} RIGHT ) ``````````]

오른쪽 그림과 같이 두 점 [eqn: (0,3)]과 [eqn: LEFT ( {3} over {2} ,`0 RIGHT )]을 지나는 직선 [eqn: l``]이 있다. 이 직선 위의 임의의 한 점을 [eqn: {\P }(a,```b)``]라 할 때, [eqn: 9 ^{a} +3 ^{b} ```]의 최솟값은? [3점]

⑤

직선의 방정식은 [eqn: y=-2x+3``]이고 점[eqn: \P(a,``b)``]가 직선 위의 임의의 점이므로 [eqn: b=-2a+3``]이다.

[eqn: THEREFORE ~ 9^a + 3^b =3^2a +3^-2a+3 ≧2 TIMES SQRT { 3^2a TIMES 3^-2a+3 } =6 SQRT { 3} ``]

① [eqn: 3 sqrt {2}]	② [eqn: 3 sqrt {3}]
③ [eqn: 4 sqrt {2}]	④ [eqn: 6 sqrt {2}]
⑤ [eqn: 6 sqrt {3}]

영벡터가 아닌 두 공간벡터 [eqn: vec{a} =(a _{1} ,`a _{2} ,`a _{3} ``)```]와 [eqn: vec{b``} =(b _{1} ,`b _{2} ,`b _{3} ``)```]에 대하여 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축, [eqn: z``]축에 대한 [eqn: vec{a} ```]의 방향코사인을 차례대로 [eqn: cos` alpha _{1}], [eqn: cos` beta _{1}], [eqn: cos` gamma _{1}]이라 하고, [eqn: vec{b`} `]의 방향코사인을 차례대로 [eqn: cos` alpha _{2} ``], [eqn: cos` beta _{2} ``], [eqn: cos` gamma _{2} ``]라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

③

ⅰ) [eqn: vec a =(a_1 ,``` a_2 ,``` a_3 )``]의 방향코사인은

[eqn: RARROW ~cos alpha _1 = { a_1} over { LEFT | vec a RIGHT | } ~,~cos beta _1 = { a_2} over { LEFT | vec a RIGHT | } ~,~cos gamma _1 = { a_3} over { LEFT | vec a RIGHT | } ```]

ⅱ) [eqn: vec b =(b_1 ,``` b_2 ,``` b_3 )``]의 방향코사인은

[eqn: RARROW ~cos alpha _2 = { b_1} over { LEFT | vec b RIGHT | } ~,~cos beta _2 = { b_2} over { LEFT | vec b RIGHT | } ~,~cos gamma _2 = { b_3} over { LEFT | vec b RIGHT | } ```]

ㄱ. [eqn: & cos alpha _{1} `cos alpha _{2} +cos beta _{1} `cos beta _{2} +cos gamma _{1} `cos gamma _{2}]

[eqn: = {a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2} +a _{3} b _{3}} over {LEFT | vec{a} RIGHT | LEFT | vec{b} RIGHT |} =알수없음.`(거짓)]

ㄴ. 벡터 [eqn: vec a``]의 각 성분이 [eqn: a_1 < a_2 <a_3``]이면

[eqn: cos alpha _1 < cos beta _1 < cos gamma _1 ``]이고 [eqn: y=cos x`]는 감소함수이므로

[eqn: alpha _1 > beta _1 > gamma _1 ``]이다. (참)

ㄷ. 벡터 [eqn: vec a `]의 성분 중 [eqn: a_3 =-5``]이면

[eqn: cos gamma _1 =- {5 } over { LEFT | vec a RIGHT | } <0``]이므로 [eqn: { pi } over {2 } < gamma _1 < pi ``]이다. (참)

ㄱ. [eqn: cos` alpha _{1`} `cos` alpha _{2} +`cos` beta _{1} `cos` beta _{2} `+``cos` gamma _{1} `cos` gamma _{2} =1]이다.

ㄴ. 벡터 [eqn: vec{a} `]의 각 성분에 대하여 [eqn: a _{1`} <a _{2} `<a _{3} ```]이면
[eqn: gamma _{1} < beta _{1} < alpha _{1} ```]이다.

ㄷ. 벡터 [eqn: vec{a``}]의 성분 중 [eqn: a _{``3} =-5]이면 [eqn: {pi } over {2} < gamma _{1} < pi]이다.

<보기>

① ㄴ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

행렬 [eqn: N= pmatrix{``````3&~~2``#-1&~~0``} ````]과 단위행렬 [eqn: E ```]에 대하여
[eqn: N ^{2`} -3N+2E=O```]이 성립한다. 행렬 [eqn: N ^{2005} +N-2E``]는?
(단, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [4점]

③

[eqn: \N^2005 + \N -2 \E``]을 [eqn: \N^2 - 3 \N +2 \E] 로 나눈 나머지는

[eqn: x ^{2005} +x-2 & =(x ^{2} -3x+2)` rm Q(x)+ax+b][eqn: =(x-1)(x-2)` rm Q(x)+ax+b``]

ⅰ) [eqn: x=1``]을 대입하면 [eqn: a+b=0`~~~ CDOTS CDOTS ①`]

ⅱ) [eqn: x=2``]을 대입하면 [eqn: 2a+b=2^2005``~~~ CDOTS CDOTS ②``]

①, ②에서

[eqn: a=2^2005 ,~ b=-2^2005``]이므로 나머지는 [eqn: 2^2005 (x-1)``]이므로

즉, [eqn: 2^2005 ( \N - \E) ``]이다.

[eqn: THEREFORE ` rm N ^{2005} + rm N-2 rm E & =( rm N ^{2} -3 rm N+2 rm E) rm M+2 ^{2005} ( rm N- rm E)]

[eqn: =2 ^{2005} ( rm N- rm E)=2 ^{2005} {pmatrix{2&2`#-1&-1`}} = {pmatrix{2 ^{2006}&2 ^{2006} `#-2 ^{2005}&-2 ^{2005} `}} ``]

① [eqn: pmatrix{``2 ^{2005}~~&2 ^{2005}``#``2 ^{2005}~~&2 ^{2005}``} ````]	② [eqn: pmatrix{``2 ^{2005} ~~&2 ^{2005} ``#``2 ^{2006} ~~&2 ^{2006} ``} ````]

③ [eqn: pmatrix{`````````2 ^{2006} ~~&```````2 ^{2006} ``#``-2 ^{2005} ~~&-2 ^{2005} ``} ````]	④ [eqn: pmatrix{``2 ^{2006} ~~&2 ^{2006} ``#``2 ^{2005} ~~&2 ^{2005} ``} ````]

⑤ [eqn: pmatrix{`````````2 ^{2005} ~~&~~2 ^{2005} ``#``-2 ^{2006} ~~&-2 ^{2006} ``} ````]

[eqn: bar{rm AB _{1} it} = bar{rm AC _{1} it} =10``]인 이등변삼각형 [eqn: rm AB _{1} C _{1}]이 있다. 오른쪽 그림과 같이 점 [eqn: rm C _{1}] 에서 변 [eqn: rm AB _{1}] 에 내린 수선의 발을 [eqn: rm B _{2}], 점 [eqn: rm B _{2}```]에서 변 [eqn: rm B _{1`} C _{1}```]과 평행한 선분을 그어 변 [eqn: rm AC _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rm C _{2}]라 한다. 이와 같은 방법으로 변 [eqn: rm AB _{1}]과 변 [eqn: rm AC _{1}]위에 점을 잡아서 각 점을 [eqn: rm B _{3} ,``C _{3} ,``B _{4} ,``C _{4} ,`` CDOTS ``]라 하자. [eqn: bar{rm B _{1`} B _{2} it}]의 길이가 [eqn: bar{rm B _{1} C _{1} it}]의 길이의 [eqn: {1} over {4}]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{INF } bar{rm B _{it k` rm} C _{it k rm} it}]의 값은? [3점]

①

[eqn: bar { \A \B_1 }=bar { \A \C_1 }=10``]이고, [eqn: bar { \B_1 \B_2 } = { 1} over {4 } bar { \B_1 \C_1 } ``] 이므로

삼각형의 닮음비에서

[eqn: bar { \B_k \B_k+1 } = { 1} over {4 } bar { \B_k \C_k } ~~~ THEREFORE ~bar { \B_k \C_k } =4 `bar { \B_k \B_k+1 }``]

[eqn: THEREFORE ` sum _{k=1} ^{INF } bar{rm B _{k} rm C _{k} it} & =4` sum _{k=1} ^{INF } bar{rm B _{k} rm B _{k+1} it} =4 bar{rm AB _{1} it} =40``]

① [eqn: 40]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 20]

다음은 [eqn: a _{0} = {pi } over {2} ,`````a _{1`} =1], [eqn: a _{n+2`} = {n+1} over {n+2} a _{n} ````][eqn: (n=0,1,2,` CDOTS )] 으로 정의된 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: a _{2n+1} `≦` {I} over {sqrt {n}} `≦` a _{2n-2} ````] [eqn: (n=1,2,3,` CDOTS )]
가 성립할 때,[eqn: I``] 의 값을 구하는 과정이다.

⑤

Ⅰ) 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: n` a_n a_n-1 = { pi } over {2 } ``]임을 수학적귀납법으로 증명하면

ⅰ)[eqn: n=1``]일 때,[eqn: a_1 CDOT a_0 =1 TIMES { pi } over { 2} = { pi } over {2 } ``]이므로 성립한다.

ⅱ) [eqn: n=k``]일 때, 성립한다고 가정하면

[eqn: k`a_k a_k-1 = { pi } over {2 } ~~~ CDOTS CDOTS CDOTS ①]이 성립한다.

[eqn: n=k+1 ``]일 때,

[eqn: a_n+2 = { n+1} over {n+2 } a_n``]에서 [eqn: a_k+1 = { k} over { k+1} a_k-1``]이므로

[eqn: (k+1)`a _{k+1} `a _{k} & =(k+1) TIMES LEFT [ {k} over {k+1} a _{k-1} RIGHT ] TIMES a _{k} =k`a _{k} `a _{k-1} = {pi } over {2} ``]

[eqn: THEREFORE ~(k+1)`a_k+1` a_k = { pi } over { 2} ``]

그러므로 [eqn: n=k+1``]일 때도 성립하므로

자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: n` a_n a_n-1 = { pi } over {2 } ``]이 성립한다.

Ⅱ) 수열[eqn: LEFT { a_n RIGHT } ``]이 감소하는 수열임을 수학적 귀납법으로 증명하면

⋯중략⋯

따라서, [eqn: a_n ≧a_n+1 ```(n=0,```1,```2,```3,``` CDOTS )``]이다.

조건에서 [eqn: a_2n+1 ≦ { \I } over { SQRT { n} } ≦a_2n-2``]이고 수열[eqn: LEFT { a_n RIGHT } ``]이 감소하는

수열이므로

[eqn: n ` a_2n+2 a_2n+1 ≦ LEFT [ \I^2 RIGHT ] ≦n`a_2n-2 `a_2n-3``]

임을 유추할 수 있다.

그러므로 Ⅰ)에 의해서 [eqn: 2`]이상의 모든 자연수[eqn: n``]에 대하여

[eqn: { n pi } over {2(2n+2) } ≦ LEFT [ \I^2 RIGHT ] ≦ { n pi } over {2(2n-2) }``]

따라서, [eqn: lim from { n -> inf } { n pi } over {2(2n+2) }= lim from { n -> inf } { n pi } over {2(2n-2) }= { pi } over {4 } ``]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} rm I ^{2} = {pi } over {4}]

[eqn: THEREFORE ` rm I= LEFT [ {sqrt {pi }} over {2} RIGHT ] ``]이다.

Ⅰ) 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: na _{n} a _{n-1} = {pi } over {2}]임을 수학적귀납법으로 증명하면

ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: a _{1} CDOT a _{0} =1 TIMES {pi } over {2} = {pi } over {2}]이므로 성립한다.

ⅱ) [eqn: n=k]일 때 성립한다고 가정하면 [eqn: n=k+1]일 때,

[eqn: (k+1)a _{k+1} a _{k} =(k+1)`][eqn: `a _{k} =` {pi } over {2} ```]

(가)

이므로 성립한다.

Ⅱ) 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ```]이 감소하는 수열임을 수학적귀납법으로 증명하면

[eqn: CDOTS]  중략  [eqn: CDOTS]

따라서 [eqn: a _{n} `≧` a _{n+1} `````] [eqn: (n=0,1,2,3,` CDOTS )]이다.

조건에서 [eqn: a _{2n+1} `≦` {I} over {sqrt {n}} `≦` a _{2n-2} ``]이고 수열[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]이 감소하는

수열이므로

[eqn: na _{2n+2} a _{2n+1} `≦````][eqn: ````≦` na _{2n-2} a _{2n-3} ````]

(나)

임을 유추할 수 있다.

그러므로 Ⅰ)에 의해서 [eqn: 2]이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {n pi } over {2(2n+2)} `≦` ```] [eqn: ````≦` {n pi } over {2(2n-2)} ```]

(나)

따라서 [eqn: I=]  이다.

(다)

위의 과정에서 [eqn: LEFT ( ` {가} ` RIGHT )], [eqn: LEFT ( ` {나} ` RIGHT )], [eqn: LEFT ( ` {다} ` RIGHT )]에 알맞은 것은? [4점]

[eqn: LEFT ( ` {가} ` RIGHT )]	[eqn: LEFT ( ` {나} ` RIGHT )]	[eqn: LEFT ( ` {다} ` RIGHT )]

① [eqn: {k} over {k+1} a _{k-1} ````]	[eqn: I]	[eqn: {pi } over {2}]

② [eqn: {k+1} over {k} a _{k-1} `````]	[eqn: I]	[eqn: {sqrt {pi }} over {2}]

③ [eqn: {k} over {k+1} a _{k-1} ````]	[eqn: I ^{``2}]	[eqn: {pi } over {4}]

④ [eqn: {k+1} over {k} a _{k-1} `````]	[eqn: I ^{``2}]	[eqn: {pi } over {4}]

⑤ [eqn: {k} over {k+1} a _{k-1} ````]	[eqn: I ^{``2}]	[eqn: {sqrt {pi }} over {2}]

다음은 [eqn: rm TRIANGLE ABC]에서 [eqn: vec{`\BC`} = vec{a`}`], [eqn: { vec { \CA } } = vec { b` }``], [eqn: { vec { `\AB` } } = vec { c``}`]라 할 때,
[eqn: ( vec{b``} CDOT vec{c``} ``)`` vec{a} ``+( vec{c``} CDOT vec{a`} )`` vec{b`} +`( vec{a} `` CDOT vec{b`} ``)``` vec{c`} ``=``` vec{0`}] 이면 [eqn: rm TRIANGLE ABC]는 정삼각형임을 증명한 것이다. (단, [eqn: vec{x`} CDOT vec{y`}] 는 두 벡터 [eqn: vec{x`} ,`````` vec{y`}]의 내적이다.)

①

[eqn: vec c = vec \AB =vec \CB - vec \CA =- vec a - vec b``]를 주어진 조건식에 대입하여 정리하면

[eqn: & LEFT ( vec{b} CDOT (- vec{a} - vec{b)} ` RIGHT ) vec{a} + LEFT ( (- vec{a} - vec{b)} CDOT vec{a} ` RIGHT ) vec{b} + LEFT ( vec{a} CDOT vec{b} RIGHT ) (- vec{a} - vec{b)} `]

[eqn: = LEFT ( - vec{a} CDOT vec{b} - vec{b} CDOT vec{b} ` RIGHT ) vec{a} + LEFT ( - vec{a} CDOT vec{a} - vec{a} CDOT vec{b} ` RIGHT ) vec{b} - LEFT ( vec{a} CDOT vec{b} RIGHT ) vec{a} - LEFT ( vec{a} CDOT vec{b} RIGHT ) vec{b}]

[eqn: = LEFT ( -2 vec{a} CDOT vec{b} - vec{b} CDOT vec{b} `` RIGHT ) vec{a} + LEFT ( -2 vec{a} CDOT vec{b} - vec{a} CDOT vec{a} `` RIGHT ) vec{b} = vec{0} ``]

[eqn: vec a``]와 [eqn: vec b``]는 평행하지 않으므로

[eqn: cases {-2 vec a CDOT vec b -vec b CDOT vec b =0 ## -2 vec a CDOT vec b -vec a CDOT vec a =0 }``]

위의 두 식에서[eqn: vec a CDOT vec a =vec b CDOT vec b ~~~ THEREFORE ``` LEFT | vec a RIGHT | = LEFT | vec b RIGHT | ``]

같은 방법으로, [eqn: vec b = - vec a -vec c``]을 주어진 조건식에 대입하여 정리하면 [eqn: LEFT | vec{a} RIGHT | = LEFT | vec{c} RIGHT | `]가 얻어진다.

따라서 [eqn: TRIANGLE \ABC `]는 정삼각형이다.

[eqn: vec{c```} =` BOX{`````(가)`````}]를 주어진 조건식에 대입하여 정리하면

[eqn: (` vec{b} CDOT BOX{`````(가)`````}] [eqn: )`` vec{a} +][eqn: (` BOX{`````가)`````} CDOT vec{a} `)` vec{``b``} `+`( vec{`a} ` CDOT vec{b``} `)` BOX{`````(가)`````}]

[eqn: =(` BOX{`````(나)`````} `- vec{b``} CDOT vec{`b`} `)` vec{`a} `+`][eqn: (` BOX{`````(나)`````} `- vec{a`} CDOT vec{a} `)` vec{b`} ``= vec{0`} ``]

[eqn: vec{a} `]와 [eqn: vec{b``} `]는 평행하지 않으므로

[eqn: {cases{&BOX{`````(나)`````} `- vec{b`} CDOT vec{b`} =0#&#&` BOX{`````(나)`````} `-`` vec{a} CDOT vec{a} `=0}}]

위의 두 식에서 [eqn: vec{`a``} ` CDOT vec{`a```} `= vec{b``} CDOT vec{b``} `````````]

∴ [eqn: ` LEFT | vec{a} ` RIGHT | ``= LEFT | vec{b`} ` RIGHT | `]

같은 방법으로, [eqn: vec{b`} ``=` BOX{`````(다)`````}] 를 주어진 조건식에 대입하여

정리하면 [eqn: ` LEFT | vec{a} ` RIGHT | ``= LEFT | vec{c} ` RIGHT | `]가 얻어진다.

따라서 [eqn: rm TRIANGLE ABC]는 정삼각형이다.

위의 증명에서 [eqn: LEFT ( ` {가} ` RIGHT )], [eqn: LEFT ( ` {나} ` RIGHT )], [eqn: LEFT ( ` {다} ` RIGHT )]에 알맞은 것은? [3점]

(가)	(나)	(다)

① [eqn: - vec{a} - vec{b``} ````````]	[eqn: -2` vec{a} CDOT vec{b``} ````````]	[eqn: - vec{a} - vec{c``} `````````]

②   [eqn: vec{a} + vec{b``} ``````]	[eqn: -2` vec{a} CDOT vec{b``} ````````]	[eqn: vec{a} + vec{c``} `````````]

③   [eqn: vec{a} + vec{b``} ``````]	[eqn: vec{a} CDOT vec{b``} ````````]	[eqn: - vec{a} - vec{c``} `````````]

④ [eqn: - vec{a} - vec{b``} ````````]	[eqn: -` vec{a} CDOT vec{b``} ````````]	[eqn: vec{a} + vec{c``} `````````]

⑤   [eqn: vec{a} - vec{b`} ``````]	[eqn: 2` vec{a} CDOT vec{b``}]	[eqn: - vec{a} - vec{c``} `````````]

첫째항이 [eqn: 2004]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: b _{n} =`1+` sum _{k=1} ^{n} `a _{k}```]로 정의되는 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]도 등비수열일 때, [eqn: b _{2}] 의 값은 ? [3점]

③

등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT } ``]의 공비를 [eqn: r``]이라 두면 [eqn: a_n =2004 CDOT r^n-1``]이고

[eqn: THEREFORE `b _{n} & =1+ sum _{k=1} ^{n} a _{k} =1+ {2004 LEFT ( r ^{n} -1 RIGHT )} over {r-1} = {r-2005} over {r-1} + {2004`r} over {r-1} TIMES r ^{n-1} ``]

수열[eqn: LEFT { b_n RIGHT } ``]도 등비수열이므로

[eqn: { r-2005} over {r-1 } =0``] [eqn: THEREFORE ~ r=2005``]이다.

[eqn: THEREFORE `b _{n} & = {2004` TIMES 2005} over {2005-1} TIMES LEFT ( 2005 RIGHT ) ^{n-1} ``=2005 ^{n} ``]

[eqn: THEREFORE ~b_2 =2005^2``]

① [eqn: 2004 ^{2}]	② [eqn: 2004 CDOT 2005]	③ [eqn: 2005 ^{2}]
④ [eqn: 1+2004 ^{2}]	⑤ [eqn: 1+2005 ^{2}]

아래 그림과 같이 세 변이 모두 평행하고 넓이가 [eqn: S``]인 도형이 있다. 이 도형의 평행한 세 변을 각각 [eqn: 3]등분하여 대응하는 점끼리 연결시킨 후, 세 부분으로 나뉘어진 도형의 가운데 부분을 색칠한다. 다시, 색칠이 안 된 도형의 평행한 세 변을 각각 [eqn: 3]등분하여 대응하는 점끼리 연결시킨 후, 각각 세 부분으로 나뉘어진 도형의 가운데 부분들을 색칠한다.

⑤

[eqn: n``]번째 후의 색칠한 부분의 넓이를 [eqn: \S_n``]이라 두면

[eqn: \S_1 = { 1} over {3 } \S`]

[eqn: rm S _{2} & = {1} over {3} rm S+2 TIMES {1} over {3} rm S TIMES {1} over {3} = {1} over {3} rm S+ {1} over {3} rm S TIMES {2} over {3} = {1} over {3} rm S TIMES LEFT ( 1+ {2} over {3} RIGHT ) ``]

[eqn: rm S _{3} & = {1} over {3} rm S+ {1} over {3} rm S TIMES {2} over {3} +4 TIMES {1} over {9} rm S TIMES {1} over {3} = {1} over {3} rm S+ {1} over {3} rm S TIMES {2} over {3} + {1} over {3} rm S TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}# & = {1} over {3} rm S TIMES LEFT { 1+ {2} over {3} + LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ``]

[eqn: CDOTS]

[eqn: rm S _{10} = {1} over {3} rm S TIMES LEFT { 1+ {2} over {3} + LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} CDOTS + LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{9} RIGHT } ``]

[eqn: = {1} over {3} rm S TIMES LEFT { {1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{10}} over {1- {2} over {3}} RIGHT } `=S TIMES LEFT { 1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT } `]

위와 같은 과정을 계속할 때, [eqn: 10]번째까지 색칠한 부분의 넓이의 합은 ? [4점]

① [eqn: {S} over {4} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT } ```````]	② [eqn: {S} over {3} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT } ```````]

③ [eqn: {S} over {2} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT } ````````]	④ [eqn: {S} over {2} LEFT { 1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT } ``````]

⑤ [eqn: S```` LEFT { 1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{10} RIGHT } ````]

오른쪽 그림은 직선 [eqn: y=x```]와 두 함수 [eqn: y=2 ^{x} ,] [eqn: `y=`log` _{3} x```]의 그래프이다. [eqn: x```]좌표가 [eqn: 4```]인 곡선 [eqn: y=`log` _{3`} x```]위의 점 [eqn: rm A```]에서 [eqn: y```]축 에 내린 수선이 직선 [eqn: y=x```]와 만나는 점을 [eqn: rm P```]라 하고, [eqn: y```]좌표가 [eqn: 3```]인 곡선 [eqn: y=2 ^{x}```]위의 점 [eqn: rm B```]에서 [eqn: x```]축에 내린 수선이 직선 [eqn: y=x```]와 만나는 점을 [eqn: rm Q```]라 한다. 이때, [eqn: rm bar{OP} CDOT bar{OQ}```]의 값은 ? (단, [eqn: rm O```]는 원점) [4점]

①

주어진 그래프에서 [eqn: \A (4,``` log_3 `4 )``]이므로

[eqn: \P ( 2 log_3 2 ,```2log_3 `2 )``]이다.

[eqn: bar \OP = SQRT { LEFT ( 2 log_3 2 RIGHT )^2 + LEFT ( 2 log_3 2 RIGHT )^2 } =2 SQRT { 2} log_3 `2``]

[eqn: \B (log_2 `3 ,``` 3 )``]이므로 [eqn: \Q ( log_2 `3 ,```log_2 `3 )``]이다.

[eqn: bar \OQ = SQRT { LEFT ( log_2` 3 RIGHT )^2 + LEFT ( log_2` 3 RIGHT )^2 } = SQRT { 2} log_2 `3``]

[eqn: THEREFORE ~bar \OP CDOT bar \OQ =2 SQRT { 2} log_3 `2 TIMES SQRT { 2} log_2 `3` =4``]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 4 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 6 sqrt {2}]

오른쪽 그림과 같이 포물선
[eqn: y=-3x ^{2}] 위에 서로 다른 두 점
[eqn: rm P _{1} ,``P _{2}] 가 있고, 포물선 [eqn: y=(x-4) ^{2}]위에 두 점 [eqn: rm Q _{1} ,`Q _{2}] 가 있다. 점 [eqn: rm P _{1}] 에서의 접선과 점 [eqn: rm Q _{1}] 에서의 접선이 서로 평행하고, 점 [eqn: rm P _{2}] 에서의 접선과 점 [eqn: rm Q _{2}] 에서의 접선이 서로 평행할 때, 직선 [eqn: rm P _{1} Q _{1} ``]과 직선 [eqn: rm P _{2} Q _{2} ``]의 교점의 좌표는 ? [3점]

⑤

[eqn: P _{1} `(`a,`-3a ^{2} )`,``P _{2} (b`,`-3b ^{2} )`,``Q _{1} (`c`,`(c-4) ^{2} )`,``Q _{2} (d`,`(d-4) ^{4} )]

[eqn: f`(x)=-3x ^{2} ,~````g`(x)=(x-4) ^{2} ``]라 두면

[eqn: f` prime (x)=`-6x`,``````g` prime (x)=2(x-4)]

[eqn: f`'(a)=g`'(c)] 에서 [eqn: c=-3a+4]

[eqn: f` prime (b)=g` prime (d)] 에서 [eqn: d=-3b+4]

직선 [eqn: P _{1} Q _{1}]의 방정식은

[eqn: y= {(c-4) ^{2} +3a ^{2}} over {c-a} (x-a)-3a ^{2}]

[eqn: = {-3a ^{2}} over {a-1} (x-a)-3a ^{2}]

직선 [eqn: P _{2} Q _{2}]의 방정식은

[eqn: y= {(d-4) ^{2} +3b ^{2}} over {d-b} (x-b)-3b ^{2}]

[eqn: = {-3b ^{2}} over {b-1} (x-b)-3b ^{2}]

두 직선의 교점을 구해보면

[eqn: {-3a ^{2}} over {a-1} (x-a)-3a ^{2}][eqn: = {-3b ^{2}} over {b-1} (x-b)-3b ^{2}]

정리하면  [eqn: `x=1]

직선 [eqn: P _{1} Q _{1}]의 방정식에 대입하면  [eqn: y=0]

직선[eqn: \P_1 \Q_1 ``]과 직선[eqn: \P_2 \Q_2 ``]의 교점의 좌표는

[eqn: THEREFORE ~(1,```0)``]

① [eqn: (2,1)]	② [eqn: (2,0)]	③ [eqn: (1,1)]
④ [eqn: (1,-1)]	⑤ [eqn: (1,0)]

두 개의 주머니 [eqn: rm A,``````B]가 있다. [eqn: rm A]주머니에는 흰 공 [eqn: 1```]개와 검은 공 [eqn: 1```]개가 들어 있고 [eqn: rm B```]주머니에는 검은 공 [eqn: 2```]개가 들어 있다. [eqn: rm A```]주머니에 있는 공을 [eqn: 1```]개 꺼내어 [eqn: rm B```]주머니에 넣은 후, 다시 [eqn: rm B```]주머니에서 공을 [eqn: 1```]개 꺼내어 [eqn: rm A```]주머니에 넣는 과정을 [eqn: 1```]번의 시행이라 하자. 이와 같은 시행을 [eqn: 4```]번 반복하였을 때, [eqn: rm A```]주머니에 횐 공이 들어 있을 확률은 ? [4점]

④

한 번 시행에서 주머니 [eqn: \A`]에 흰 공이 들어 있을 확률을 [eqn: p_1``]이라 두면

[eqn: p_1 = { 1} over {2 } TIMES { 1} over {3 } + { 1} over { 2} = { 4} over {6 } = { 2} over {3 } ``]이다.

[eqn: n`]번 시행 후 주머니 [eqn: \A`]에 흰 공이 들어 있을 확률을 [eqn: p_n``]이라 두면 [eqn: (n+1)``]번 시행 후 주머니 [eqn: \A`]에 흰 공이 들어 있을 확률 [eqn: p_n+1`]은

[eqn: p_n+1 =p_n TIMES { 2} over {3 } +(1- p_n ) TIMES { 1} over {3 } = { 1} over {3 } p_n + { 1} over { 3} ``]

[eqn: LRARROW ~~ LEFT ( p_n+1 - { 1} over {2 } RIGHT ) = { 1} over {3 } LEFT ( p_n - { 1} over {2 } RIGHT ) ```]이므로

수열[eqn: LEFT { p_n - { 1} over {2 } RIGHT } ``]은 첫째항은 [eqn: p_1 - { 1} over {2 } = { 1} over {6 } ``]이고 공비가 [eqn: { 1} over {3 } ``]인 등비수열이므로

[eqn: p_n - { 1} over {2 } = { 1} over {6 } TIMES LEFT ( { 1} over {3 } RIGHT ) ^n-1 ```` LRARROW ````p_n = { 1} over {6 } TIMES LEFT ( { 1} over {3 } RIGHT ) ^n-1 + { 1} over {2 }``]

[eqn: THEREFORE ~ p_4 = { 1} over { 6} TIMES LEFT ( { 1} over { 3} RIGHT ) ^3 + { 1} over {2 } = { 41} over {81 } ``]

① [eqn: {83} over {162}]	② [eqn: {41} over {81}]	③ [eqn: {14} over {27}]	④ [eqn: {33} over {64}]	⑤ [eqn: {9} over {16}]

오른쪽 그림과 같이 밑면은 한 변의 길이가 [eqn: 5```]인 정사각형이고 높이는 [eqn: 2```]인 직육면체 [eqn: rm ABCD-EFGH````]가 있다. 직육면체의 면 위에 점 [eqn: rm E```]에서부터 두 모서리 [eqn: rm AB```]와 [eqn: rm BC```]를 지나고 점 [eqn: rm G```]에 이르는 최단거리의 선을 그어 모서리 [eqn: rm AB```]와 만나는 점을 [eqn: rm P], 모서리 [eqn: rm BC```]와 만나는 점을 [eqn: rm Q```]라 하자. 평면 [eqn: rm EPQG```]와 평면 [eqn: rm EFGH```]가 이루는 이면각의 크기를 [eqn: theta ```]라 할 때, [eqn: cos` theta ```]의 값은? [4점]

②

주어진 직육면체의 면 위에 점[eqn: \E`]에서부터 두 모서리 [eqn: \AB`]와 [eqn: \BC`]를 지나고 점[eqn: \G`]에 이르는 최단거리의 선을 그으려면 아래의 일부전개도에서 선분[eqn: \EG`] 일 때가 최소이므로

[eqn: \C`]

[eqn: \D`]

[eqn: \Q`]

[eqn: \P`]

[eqn: \G`]

[eqn: \A`]

[eqn: \F`]

[eqn: \F`]

[eqn: \B`]

[eqn: \E`]

[eqn: 2`]

[eqn: 2`]

[eqn: 2`]

[eqn: 2`]

[eqn: 3 `]

[eqn: 3 `]

[eqn: bar \PE =bar \QG = 2 SQRT { 2} ~,~ bar \PQ =3 SQRT { 3} ``]이므로

아래 등변사다리꼴 [eqn: \EPQG``]에서 [eqn: bar \EG =5 SQRT { 2} `]이므로

[eqn: SQRT { 6} `]

[eqn: SQRT { 2} `]

[eqn: 2 SQRT { 2} ``]

[eqn: 3 SQRT { 2} `]

[eqn: \E`]

[eqn: \Q`]

[eqn: \G`]

[eqn: \P`]

넓이 [eqn: THEREFORE ~\S= { 1} over { 2} LEFT ( 3 SQRT { 2}+5 SQRT { 2} RIGHT ) TIMES SQRT { 6} =8 SQRT { 3} ``]

등변사다리꼴 [eqn: \EPQG``]의 밑면[eqn: \EFGH``]위로 정사영을 내리면 점[eqn: \P`]의 정사영의 발을 [eqn: \P`'`], 점[eqn: \Q`]의 정사영의 발을 [eqn: \Q`'``]라 하면 아래 등변사다리꼴 [eqn: \E` \P`' \Q`' \G``]에서

[eqn: SQRT {2} `]

[eqn: SQRT {2} `]

[eqn: 2 `]

[eqn: 2 ``]

[eqn: 3 SQRT { 2} `]

[eqn: \E`]

[eqn: \Q`'`]

[eqn: \G`]

[eqn: \P`'`]

넓이 [eqn: THEREFORE ~\S`' = { 1} over { 2} LEFT ( 3 SQRT { 2}+5 SQRT { 2} RIGHT ) TIMES SQRT { 2} =8``]

[eqn: THEREFORE ~ \S`' = \S cos ` theta ``]에서 [eqn: THEREFORE ~ cos` theta = { SQRT { 3} } over { 3} ``]

① [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	⑤ [eqn: {sqrt {6}} over {6}]

[eqn: 7.5``km```] 떨어진 두 지점 [eqn: rm A,`````B```]를 잇는 산책로가 있다. 갑은 [eqn: rm A```]지점에서, 을은 [eqn: rm B```]지점에서 동시에 출발하여 각각 [eqn: rm A,`````B```]사이를 왕복할 때 갑이 먼저 도착하였다. 한편, 갑과 을이 각각 왕복하는 동안에 [eqn: rm C```]지점에서 처음으로 만났고, 그로부터 [eqn: 50```]분 후에 [eqn: rm D```]지점에서 두 번째로 만났다. [eqn: rm C```]지점과 [eqn: rm D```]지점 사이의 거리가 [eqn: 3``km```]일 때, 갑과 을의 속력의 비는? (단, 갑과 을은 각각 일정한 속력으로 움직이고, 을은 반환점 [eqn: rm A```]를 지난 후 두 번째로 만났다. ) [4점]

①

갑의 속력을 [eqn: a``], 을의 속력을 [eqn: b``]라 두고,

[eqn: AD=x`㎞,~ CD=3`㎞,~ BC=y`㎞``]라 두면

[eqn: THEREFORE ~x+y =4.5 ``~ CDOTS CDOTS ①]

ⅰ) 처음으로 [eqn: \C`]지점에서 만날 때

[eqn: { x+3} over {a } = { y} over { b} ~~ LRARROW ~~ { a} over {b } = { x+3} over {y } ``~ CDOTS CDOTS ②``]

ⅱ) 두 번째로 [eqn: \D`]지점에서 만날 때

[eqn: { 2y+3} over {a } = { 2x+3} over { b} ~~ LRARROW ~~ { a} over {b } = { 2y+3} over {2x+3 } ``~ CDOTS CDOTS ③``]

①, ②, ③을 연립하면  [eqn: x= { 3} over {2 } ,``` y=3``]이므로

[eqn: THEREFORE ~ { a} over {b } = { 3} over { 2} ```][eqn: THEREFORE ~ a```:```b = 3```:```2``]

① [eqn: 3``:``2````]	② [eqn: 4``:3`````]	③ [eqn: 3``:``4````]
④ [eqn: 4``:5`````]	⑤ [eqn: 5``:3`````]

일직선 운동을 하는 두 물체 [eqn: rm P], [eqn: rm Q```]의 [eqn: t```]초 후의 속도를 각각 [eqn: v _{rm P it} ``], [eqn: v _{rm Q it} ````]라 하자. 물체 [eqn: rm P```]는 물체 [eqn: rm Q```]보다 [eqn: 54``m```] 앞에서 출발하여 [eqn: v _{rm P it} =3t ^{2}```]([eqn: m]/초)의 속도로 움직이고 물체 [eqn: rm Q```]는 일정한 속도  [eqn: v _{rm Q it}]([eqn: m]/초)로 움직인다. 두 물체가 만나게 되는 [eqn: v _{rm Q }```]의 값 중에서 최소인 것을 [eqn: a```]라 하자. [eqn: v _{rm Q it} =a```]일 때, 두 물체는 [eqn: rm Q```]가 처음에 있었던 위치보다 얼마만큼 떨어진 위치에서 만나게 되는가?

81

[eqn: t``]초 후의 물체 [eqn: \P ,``` \Q`]의 위치를 각각 [eqn: x_\P ,~x_\Q``]라 두면

[eqn: x_\P = 54+ INT _{ 0}^{t } 3t^2 `dt =t^3 +54``], [eqn: x_\Q =v_\Q `t ``]이다.

두 물체가 만나려면 [eqn: x_\P = x_\Q ``]이므로

[eqn: v_\Q = { 54} over {t } +t^2 = { 27} over {t } + { 27} over {t } +t^2``]이다.

(세 양수의 산술•기하평균을 이용하면)

[eqn: v_\Q ≧``3 CDOT `^{ 3} SQRT { { 27} over {t } TIMES { 27} over {t } TIMES t^2 } =27``]

(단, 등호는 [eqn: { 27} over {t } = { 27} over {t } =t^2``]일 때 성립.)

[eqn: THEREFORE ~ t=3``]일 때, [eqn: v_\Q``]의 최솟값 [eqn: a=27``]

그러므로 [eqn: 3``]초 후의 점[eqn: \Q`]의 위치는

[eqn: THEREFORE ~3 TIMES 27=81` m``]

다른풀이】

[eqn: v_\Q =f`(t)= { 54} over {t } +t^2 ``]라 두고  양변을 [eqn: t``]에 관하여 미분하면

[eqn: f`'(t)= - { 54} over { t^2} +2t = {2(t-3)(t^2 +3t+9) } over {t^2 } ``],

[eqn: f`'(t)=0``]에서 [eqn: t=3``]

[eqn: t``]	([eqn: 0`])	⋯	[eqn: 3`]	⋯
[eqn: f`'(t)`]		-	[eqn: 0`]	-
[eqn: f`(t)`]		↘	[eqn: 27``]	↗

위의 증감표에서 [eqn: f`(t)`]는 [eqn: t=3``]에서 최솟값[eqn: 27``]이므로

그러므로 [eqn: 3``]초 후의 점[eqn: \Q`]의 위치는

[eqn: THEREFORE ~3 TIMES 27=81` m``]

[4점]

① [eqn: 54m]     ② [eqn: 61m]     ③ [eqn: 73m]     ④ [eqn: 78m]     ⑤ [eqn: 81m]

주관식 문항 (25～30)

오른쪽 그림과 같이 [eqn: y```]축 위의 점 [eqn: rm P```]에서 원 [eqn: x ^{2} +(y+k) ^{2} =5```]에 그은 두 접선이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1```]과 만나는 교점을 각각 [eqn: rm A,```B```]와 [eqn: rm C,``D]라 한다. [eqn: rm bar{AB} =10]일 때, [eqn: rm bar{AB}```]와 [eqn: x```]축과의 교점 [eqn: rm F(5,0)```]에 대하여 [eqn: rm bar{CF} + bar{DF}```]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 22``]

[eqn: bar \AB = bar \CD =10``]이고, [eqn: bar \CD`]와 [eqn: x``]축과의 교점을 [eqn: \F`'``]라 두면

쌍곡선의 정의에 의해서

[eqn: bar \CF - bar \CF`' =6 , ~ bar \DF - bar \DF`' =6``](주축의 길이)이므로

변변 더하면

[eqn: bar \CF + bar \DF - ( bar \CF`' + bar \DF`') =bar \CF + bar \DF - bar \CD =12``]

[eqn: THEREFORE ~bar \CF + bar \DF = bar \CD +12 =22``]

실수 전체의 집합에서 정의된 다항함수 [eqn: f``(x)```]가 다음 세 조건을 만족한다.

[eqn: 50``]

1) 조건Ⅱ.에서

양변을 [eqn: x``]에 관하여 미분하면

[eqn: f` prime (x) & = {1} over {2} LEFT { f`(x+1)-f`(x) RIGHT } - {1} over {2} LEFT { f`(x-1)-f`(x) RIGHT }][eqn: = {1} over {2} LEFT { f`(x+1)-f`(x-1) RIGHT } ``]

[eqn: THEREFORE ~ f`'(1)= { 1} over {2 } LEFT { f`(2)-f`(0) RIGHT } ~~ CDOTS CDOTS CDOTS ①``]

2) 조건Ⅰ. 과 Ⅱ.에서

임의의 실수[eqn: x,```y``]에 대하여

[eqn: f`(x+y)+f`(x-y)=2 LEFT { f`(x)+f`(y) RIGHT } ``]가 성립하므로

ⅰ) [eqn: x=1,``` y=0``]을 대입하면

[eqn: f`(1) +f`(1)=2 LEFT { f`(1)+f`(0) RIGHT } ``~~ THEREFORE ~f`(0)=0```` CDOTS CDOTS ②``]

ⅱ) [eqn: x=1,~y=1``]을 대입하면

[eqn: & f`(2)+f`(0)=2 LEFT { f`(1)+f`(1) RIGHT }]

[eqn: THEREFORE `f`(2)=4f`(1)=100```` CDOTS CDOTS ③``]

①, ②, ③에서

[eqn: f`'(1)=50]

Ⅰ. [eqn: f(1)=25]

Ⅱ. [eqn: f(x)`=` {1} over {2} int _{x} ^{x+1} {f(t)dt} - {1} over {2} int _{x} ^{x-1} {f(t)dt} - int _{0} ^{1} {f(t)dt}]

Ⅲ. 임의의 실수 [eqn: x,``y]에 대하여

[eqn: f(x+y)+f(x-y)=2 LEFT { f(x)+f(y) RIGHT }]

이때, 미분계수 [eqn: f`` prime (1)```]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rm A```]고등학교의 학생비율은 [eqn: 1,2```]학년이 각각 [eqn: 40``%```]이고 [eqn: 3```]학년은 [eqn: 20``%```]이다. 이 학생들에게 사관학교에 진학할 의향이 있는지를 조사하였더니 [eqn: 1```]학년은 [eqn: 30``%```], [eqn: 2```]학년은 [eqn: 10``%], [eqn: 3``]학년은 [eqn: 15``%```]가 졸업 후 사관학교에 진학하기를 희망한다고 답하였다. 사관학교에 진학하기를 희망하는 학생 중 [eqn: 1```]명을 택하였을 때, 그 학생이 [eqn: 1```]학년이거나 [eqn: 2```]학년 학생일 확률은 [eqn: {n} over {m}```]이다. 이때,
[eqn: m+n```]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m```]과 [eqn: n```]은 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 35``]

	1학년	2학년	3학년
A고등학교 학생비율	[eqn: 40%`]	[eqn: 40%`]	[eqn: 20%`]
사관학교 진학을 희망하는 학생비율	[eqn: 30%`]	[eqn: 10%`]	[eqn: 15%`]

전체 학생 중 [eqn: 1`]명을 택할 때, 사관학교에 진학하기를 희망하는 학생이 택하여 지는 사건을 [eqn: \E`], [eqn: 1`]학년 학생인 사건을 [eqn: \A`], [eqn: 2`]학년 학생인 사건을[eqn: \B`], [eqn: 3`]학년 학생인 사건을 [eqn: \C`]라 두면 조건부확률에서

[eqn: THEREFORE ` rm P & = {rm P LEFT ( rm A SMALLINTER rm E RIGHT ) + rm P( rm B SMALLINTER rm E)} over {rm P LEFT ( rm A SMALLINTER rm E RIGHT ) + rm P( rm B SMALLINTER rm E)+ rm P( rm C SMALLINTER rm E)}]

[eqn: = {{40} over {100} TIMES {30} over {100} + {40} over {100} TIMES {10} over {100}} over {{40} over {100} TIMES {30} over {100} + {40} over {100} TIMES {10} over {100} + {20} over {100} TIMES {15} over {100}} = {16} over {19}]

[eqn: THEREFORE ~m+n =19+16=35``]

[4점]

오른쪽 그림과 같이 원 [eqn: x ^{2`} +y ^{2} =1```]의 내부에 각 변이 좌표축에 평행한 직사각형 [eqn: rm ABCD```]가 내접해 있다. 활꼴 [eqn: rm AED```]와 활꼴 [eqn: rm AFB```]를 [eqn: y] 축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 각각 [eqn: V _{1}], [eqn: V _{2}```]라 한다. [eqn: rm ANGLE AOB= {pi } over {3}```]일 때, [eqn: V _{1} -V _{2} = {pi } over { LEFT ( bold{가} ` RIGHT )}```] 이다.
[eqn: left ( bold{가}`right )]에 알맞은 값을 구하시오.

[eqn: 24``]

[eqn: rm V _{1} & = pi int _{{1} over {2}} ^{1} {} x ^{2} `dy= pi int _{{1} over {2}} ^{1} {} LEFT ( 1-y ^{2} RIGHT ) `dy][eqn: = pi LEFT [ y- {1} over {3} y ^{3} RIGHT ] ` _{{1} over {2}} ^{1} = pi LEFT { LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) - {1} over {3} LEFT ( 1 ^{3} - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} RIGHT ) RIGHT } = {5} over {24} pi ``]

[eqn: rm V _{2} & = pi int _{- {1} over {2}} ^{{1} over {2}} {} x ^{2} `dy- pi ` LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = pi int _{- {1} over {2}} ^{{1} over {2}} {} LEFT ( 1-y ^{2} RIGHT ) `dy- pi ` LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =2` pi int _{0} ^{{1} over {2}} {} LEFT ( 1-y ^{2} RIGHT ) `dy- pi ` LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: & =2 pi LEFT [ y- {1} over {3} y ^{3} RIGHT ] ` _{0} ^{{1} over {2}} - pi ` LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =2 pi LEFT { LEFT ( {1} over {2} -0 RIGHT ) - {1} over {3} LEFT ( LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} -0 ^{3} RIGHT ) RIGHT } - pi ` LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2} = {4} over {24} pi ``]

[eqn: THEREFORE ~ \V_1 - \V_2 = { 5} over { 24} pi - { 4} over {24 } pi = { pi } over {24 } ``]

[3점]

이산확률변수 [eqn: X```]는 이항분포 [eqn: B(120, {1} over {121} )```]을 따른다. 함수
[eqn: f(x)= sum _{k=0} ^{120} (x-ak) ^{2} P(X=k)```]의 최솟값이 [eqn: 1```]이 되도록 하는 양수 [eqn: a```]에 대하여 [eqn: 120`a```]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 121``]

[eqn: \X ``]가 이항분포[eqn: \B LEFT ( 120, { 1} over {121 } RIGHT ) ``]을 따르므로

[eqn: m= \E ( \X)= SUM from { { k}=0} to 120 k CDOT \P( \X =k) =120 TIMES { 1} over {121 } = { 120} over {121 } ``]

[eqn: \V ( \X)= SUM from { { k}=0} to 120 k^2`\P( \X =k) -m^2 =120 TIMES { 1} over {121 } TIMES { 120} over {121 } = { 120^2} over {121^2 } ``]

[eqn: f`(x) & = sum _{k=0} ^{120} (x ^{2} -2ax`k+a ^{2} k ^{2} ) rm P( rm X=k)]

[eqn: =x ^{2} -2ax sum _{k=0} ^{120} k CDOT rm P( rm X=k)+a ^{2} sum _{k=0} ^{120} k ^{2} CDOT rm P( rm X=k)]

[eqn: =x ^{2} -2am`x+a ^{2} sum _{k=0} ^{120} k ^{2} CDOT rm P( rm X=k)]

[eqn: =(x-am) ^{2} +a ^{2} LEFT ( sum _{k=0} ^{120} k ^{2} CDOT rm P( rm X=k)-m ^{2} RIGHT )]

[eqn: =(x-am) ^{2} + {120 ^{2}} over {121 ^{2}} a ^{2} ``]

함수[eqn: f`(x)`]는 [eqn: x=am``]일 때, 최솟값 [eqn: { 120^2} over {121^2 } a^2] 이다.

[eqn: THEREFORE ~ { 120^2} over {121^2 } a^2 =1``]에서 [eqn: a= { 121} over {120 } ~(a>0)``]

[eqn: THEREFORE ~120a =121``]

아래 그림은 제[eqn: 1``]행에는 [eqn: LEFT ( 1`````1 RIGHT )]을 놓고 제[eqn: 2``]행부터는 바로 위 행의 이웃한 두 수 사이에 두 수의 차를 추가하여 수를 배열한 것이다. 즉,  제[eqn: 2``]행은  제[eqn: 1``]행의 [eqn: LEFT ( 1`````1 RIGHT )]사이에 ‘[eqn: 1]과 [eqn: 1]의 차인 [eqn: 0]’을 추가한 것이고, 제[eqn: 3``]행은 제[eqn: 2``]행의 [eqn: LEFT ( 1`````0`````1 RIGHT )```]의 이웃한 두 수 [eqn: 1]과 [eqn: 0]사이에는 ‘[eqn: 1`]과 [eqn: 0]의 차인 [eqn: 1]’을,[eqn: 0]과 [eqn: 1]사이에는  ‘[eqn: 0]과 [eqn: 1]의 차인 [eqn: 1]’을 추가하여 수를 배열한 것이다. 이와 같은 과정을 반복하여 수를 배열할 때 제[eqn: 10]행에 나타나는 [eqn: 1]의 개수를 구하시오. [4점]

[eqn: 342``]

ⅰ) 각 행의 수의 개수로 된 수열은

[eqn: 2~~,~~3~~,~~5~~,~~9~~,~~17~~, ~~CDOTS ~~]이고

제 [eqn: 1`] 계차수열이

[eqn: 1~~,~~2~~,~~4~~,~~8~~,~~ CDOTS ``]이므로

제[eqn: 10`]행의 수의 개수는

[eqn: 2+ SUM from { { k}=1} to 9 2^k-1 =2+ { 2^9 -1} over {2-1 } = 513``](개)

ⅱ) 제[eqn: 10`]행(짝수 행)의 수의 나열은

[eqn: (1```,```0```,```1)```,```(1```,```0```,```1)```,```(1```,```0```,```1)```,``` CDOTS ```,```(1```,```0```,```1)``]이므로

ⅰ), ⅱ)에서

제[eqn: 10`]행의 [eqn: 1``]의 개수는

[eqn: THEREFORE ~ 513 TIMES { 2} over {3 } =342``]이다.

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2005년 사관학교 1차 선발시험(가형) 및 해설