◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

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수 학 영 역

‘나’형

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2004학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: 4 ^{{1`} over {3`}} `÷`8 ^{- {1`} over {2`}} ``=4 ^{x} `]일 때, [eqn: x```]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: 4^ {{ 1} over { 3} } DIV 8^{- { 1} over {2 } } = 2^{ { 2} over {3 } } DIV 2^{- { 3} over {2 } }=2^{ { 2} over {3 } + { 3} over {2 } }=2^ {{ 13} over {6 } }=4^{ { 13} over {12 } }``]

① [eqn: 13over2]	② [eqn: 13over5]	③ [eqn: 13over8]	④ [eqn: 13over10]	⑤ [eqn: 13over12]

[eqn: sin `theta +cos `theta= { 1} over {2 } `]을 만족하는 각 [eqn: theta```]가 존재하는 사분면은?

④

[eqn: (sin `theta +cos `theta )^2 = 1+2sin theta cos theta = { 1} over {4 } `]

[eqn: sin theta TIMES cos theta =- { 3} over {8 }]

[eqn: ⅰ) ~sin theta >0 ~,~cos theta <0```일 ~때```], 2사분면

[eqn: ⅱ) ~sin theta <0 ~,~cos theta >0```일 ~때```], 4사분면

그러므로 2, 4사분면

[3점]

① 제[eqn: 2`]사분면

② 제[eqn: 1`]사분면 또는 제[eqn: 2`]사분면

③ 제[eqn: 1`]사분면 또는 제[eqn: 4`]사분면

④ 제[eqn: 2`]사분면 또는 제[eqn: 4`]사분면

⑤ 제[eqn: 1`]사분면 또는 제[eqn: 2`]사분면 또는 제[eqn: 4`]사분면

다음 <보기>에서 항상 성립하는 것을 모두 고르면?
(단, [eqn: a, `b, `c`]는 서로 다른 양수) [2점]

②

ㄱ. 산술 기하평균에서

[eqn: a+ { 1} over {a } ≧2 SQRT { a TIMES{ { 1} over {a } } } =2~~ THEREFORE ```a≧2``]

ㄴ. [eqn: a^2 +b^2 +c^2 -(a b +bc+ca)]

[eqn: = { 1} over { 2} LEFT { (a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2 RIGHT } >0```]

[eqn: THEREFORE ~~a^2 +b^2 +c^2 >a b+bc+ca``]

[eqn: BECAUSE ~~a, ```b, ```c``]가 서로 다른 양수

ㄷ.  [eqn: LEFT | a+b RIGHT | ^2 -( LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | )^2 =2(a b - LEFT | a b RIGHT | )=2(a b - a b )=0]

[eqn: THEREFORE ~~LEFT | a+b RIGHT | = LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT |]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a + { 1} over {a } ``>``2] ㄴ. [eqn: a^2 +b^2 +c^2 ``>``ab +bc +ca] ㄷ. [eqn: LEFT |` a+b`` RIGHT | ``>`` LEFT | `a ``RIGHT | + LEFT | `b ``RIGHT |]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

서로 다른 두 실수 [eqn: a, `b`]에 대하여 두 집합 [eqn: <a,`b>,~[a,`b]`]를
[eqn: <a,~b`> =left{left{a ``right},~left{a,~b right} ``right}]

②

ㄱ. [eqn: <a,~b`> =left{left{a ``right},~left{a,~b right} ``right}]

[eqn: <b,~a`> =left{left{b ``right},~left{b,~a right} ``right}``]    [eqn: <a,~b> != <b,~a>]

ㄴ.  집합 [eqn: <a,~b`> =left{left{a ``right},~left{a,~b right} ``right}] 의 부분집합의 개수는

[eqn: THEREFORE ``````2^2 =4``](개)

ㄷ. [eqn: [a,~b`]`=left{a ``right}`∪`left{b``right} = LEFT { a,```b RIGHT } ``]

[eqn: [c,~d`]`=left{c ``right}`∪`left{d``right} = LEFT { c,```d`` RIGHT } ``]이므로

[eqn: [a,~b`]=[c,~d`]`], 즉 [eqn: LEFT { a,```b` RIGHT } = LEFT { c,```d`RIGHT } ``]이라고 해서

[eqn: a=c ~,~b=d``]인 것은 아님.

[eqn: [a,~b`]`=left{a ``right}`∪`left{b``right}]

와 같이 정의할 때, 다음 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면?

[3점]

ㄱ. [eqn: <a,~b> =<b,~a>]

ㄴ. 집합 [eqn: <a,~b>`]의 부분집합의 개수는 [eqn: 4```]개이다.

ㄷ. [eqn: [a,~b`]=[c,~d`]`]이면 [eqn: a=c`,~b=d`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

실수 [eqn: a,`b,`c```]가 [eqn: a`b`c` `>``0```]를 만족할 때, 이차방정식
[eqn: ax^2 +bx+c=0`]의 두 근이 서로 다른 부호를 갖기 위한 필요충분조건은? [2점]

②

이차방정식 [eqn: ax^2 +bx+c=0`]이 두 근이 서로 다른 부호의 실근을 가지려면 두 근의 곱이 음이면 된다.

[eqn: alpha beta = { c} over { a} <0```]  [eqn: THEREFORE ~ac <0```]이고

또, 조건에서 [eqn: a b c >0``]이므로 [eqn: THEREFORE ~b<0``]

① [eqn: b^2 -4ac`>`0]	② [eqn: b``<`0]	③ [eqn: bc`>`0]
④ [eqn: { c} over { a}- { b} over { a} `>`0]	⑤ [eqn: a+b+c`>`0]

집합 [eqn: LEFT { x vert x^2 -ax +b`=0`RIGHT } ``]의 한 원소가 [eqn: SQRT {4-2root3} ```]일 때,
[eqn: a^2 +b^2```]의 값은? (단, [eqn: a`,b```]는 유리수) [3점]

④

유리계수방정식[eqn: x^2 -ax+b=0```(단, a,```b``는 ~유리수)``]의 한근이

[eqn: SQRT { 4-2 SQRT { 3} } =-1+ SQRT { 3} ``]이므로 다른 한 근은 [eqn: -1- SQRT { 3} ``]이다.

근과 계수와의 관계에서  두 근의 합 : [eqn: a=-2``]

두 근의 곱 : [eqn: b=-2``]    [eqn: THEREFORE a^2 +b^2 =8``]

① [eqn: { 1} over {4 }]	② [eqn: { 5} over {4 }]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: ``8]	⑤ [eqn: ``16]

집합 [eqn: A=` LEFT { 2,`3,`4,`5`RIGHT }]에서 연산 [eqn: *]를 다음과 같이 정의한다.

③

연산 [eqn: 4*x] 를 각각 계산하면

[eqn: 4∗2= 4-(4-2) LEFT [ log_4 ``2 ` RIGHT ]=4-2 LEFT [ { 1} over {2 } RIGHT ] =4 ~ THEREFORE``` 4∗2 =4``]

[eqn: 4∗3= 4-(4-3) LEFT [ log_4 ``3 ` RIGHT ]=4-LEFT [ log_4 ``3 ` RIGHT ]=4 ~ THEREFORE ```4∗3 =4``]

[eqn: 4∗4= 4-(4-4) LEFT [ log_4 ``4 ` RIGHT ]=4 ~ THEREFORE ```4∗4 =4``]

[eqn: 4∗5= 5-(5-4) LEFT [ log_5 ``4 ` RIGHT ]=5-LEFT [ log_5 ``4 ` RIGHT ]=5 ~ THEREFORE ```4∗5 =5``]

그러므로 방정식 [eqn: 4*(4*x)=x`] 에서

ⅰ) [eqn: x=2``]이면 [eqn: 4∗(4∗2)=4∗4=4```](×)

ⅱ) [eqn: x=3``]이면 [eqn: 4∗(4∗3)=4∗4=4```](×)

ⅲ) [eqn: x=4``]이면 [eqn: 4∗(4∗4)=4∗4=4```](○)

ⅳ) [eqn: x=5``]이면 [eqn: 4∗(4∗5)=4∗5=5```](○)

[eqn: THEREFORE ~x=4~또는~x=5``]

[eqn: a*b`= cases{ a- (a-b) LEFT [ log_a `b` RIGHT ]` ,````b=2````또는``` b=3`##b- (b-a) LEFT [ log_b `a `RIGHT ]`, ````b=4````또는`` `b=5` }]

(단, [eqn: LEFT [ x` RIGHT ]]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대 정수이다.)

이 때, 방정식 [eqn: 4*(4*x)=x`]를 만족하는 [eqn: x`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f`(x`)=4^x`]과 [eqn: f`(x`)`]의 역함수 [eqn: g`(x`)]에 대하여 방정식
[eqn: f``(x`)= f``( g``(`2^x`+6 `))`]의 실근을 [eqn: alpha `]라 할 때, 다음 중 옳은 것은?

④

함수[eqn: f`(x`)`]의 역함수가 [eqn: g`(x`)]이므로

[eqn: f``(x`)= f``( g``(`2^x`+6 `))`]에서  [eqn: 4^x =2^x +6``]이다.

[eqn: 2^x =t```(t>0)``]라 두면

[eqn: t^2 -t-6=0```]에서 [eqn: t=-2~또는~t=3``]

[eqn: THEREFORE ~t=2^x =3~~ THEREFORE``` alpha =log_2`` 3``]

[eqn: THEREFORE ~1≦ alpha <2``]

[3점]

① [eqn: -2``≦` `alpha ``<`-1]	② [eqn: -1``≦`` alpha ``<``0]	③[eqn: ``0``≦`` alpha ``<``1]
④ [eqn: ``1``≦`` alpha ``<``2]	⑤ [eqn: ``2``≦`` alpha ``<``3]

곡선 [eqn: y=3cos left(2x- { π} over { 4}right)`]와 두 직선 [eqn: y= 2 ,`][eqn: y=-2 `]가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 원점에서 가까운 것부터 차례대로 [eqn: alpha `,`` beta `,``` gamma `,`` delta ``]라 할 때, [eqn: alpha + beta + gamma + delta `]의 값은? [3점]

①

함수 [eqn: y=3cos left(2x- { π} over { 4}right) =3cos 2 `left (x- { π} over { 8}right)``]이므로

[eqn: y=3cos 2x``]의 그래프를 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: { pi } over { 8} ``]만큼 평행이동한 그래프이고, 주기가 [eqn: pi ``]이다.

[eqn: { pi } over { 8} ```]에서 [eqn: alpha ``]까지의 거리를 [eqn: k``]라 두면

[eqn: alpha = { pi } over { 8} +k``]  ,   [eqn: beta = { pi } over {2 } + { pi } over {8 } -k``]

[eqn: gamma = { pi } over {2 } + { pi } over {8 } +k``] ,   [eqn: delta = pi + { pi } over {8 } +k``]

[eqn: THEREFORE ~ alpha +beta +gamma +delta =2 pi + { pi } over {2 } = { 5 pi } over {2 }]

① [eqn: { 5π} over { 2}]	② [eqn: 3π]	③ [eqn: { 7π} over { 2}]	④ [eqn: 4π]	⑤ [eqn: { 9π} over { 2}]

아래 그림과 같이 원 [eqn: rm O_1`] 밖의 한 점[eqn: rmP`]에서 원[eqn: rm O_1`]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rm Q,````R``]이라고 하자. 이 때, [eqn: rmbarPR = 6 SQRT { 3}],
[eqn: rmANGLE RPQ=60〫]이다. 선분[eqn: rmPQ`]와 선분[eqn: rmPR`]에 접하고 원[eqn: rm O_1`]에 외접하는 원 [eqn: rmO_2]를 그린다. 이와 같은 방법으로 원 [eqn: rm O _{3} `,```O _{4} `,`` CDOTS ``]를 계속 그려 나갈 때, 원 [eqn: rmO_1 ,`O_2 ,`O_3 ,`O_4 ,CDOTS``]의 반지름 길이의 총합은?

②

[eqn: rmO_n]

[eqn: rmP]

[eqn: r_n +r_n+1 ``]

[eqn: rmO_n+1]

[eqn: 60〫]

[eqn: r_n -r_n+1 ``]

[eqn: 30 DEG]

그림에서

[eqn: { r_n -r_n+1 } over {r_n +r_n+1 } =sin 30 DEG = { 1} over { 2} ``] [eqn: THEREFORE ~r_n+1 = { 1} over {3 } r_n``]이고

[eqn: { r_1 } over {6 SQRT { 3} } =tan 30 DEG = { 1} over { SQRT { 3} } ``]   [eqn: THEREFORE ~r_1 =6``]이므로

[eqn: THEREFORE ~r_n =6 CDOT LEFT ( { 1} over {3 } RIGHT ) ^n-1``]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE ~ SUM from { { n}=1} to inf r_n =SUM from { { n}=1} to inf 6 CDOT LEFT ( { 1} over {3 } RIGHT ) ^n-1 = { 6} over { 1- { 1} over { 3} } =9``]

[3점]

[eqn: rmO_3]

[eqn: rmO_1]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: 6SQRT { 3}]

[eqn: rmR]

[eqn: rmO_2]

[eqn: 60〫]

① [eqn: 5 SQRT { 3}]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 6 SQRT { 3}]	⑤ [eqn: 12]

이차정사각행렬[eqn: A,``B`]에 대하여 다음 <보기>의 명제 중 항상 참인 것을 모두 고르면 ? (단, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [3점]

①

ㄱ. [eqn: A,~B``]가 역행렬이 존재하므로

[eqn: (BA^-1 )(AB^-1 )=B(A^-1 A)B^-1 =BEB^-1 =BB^-1 =E``]

[eqn: (AB^-1 )(BA^-1 )=A(B^-1 B)A^-1 =AEA^-1 =AA^-1 =E``]

[eqn: THEREFORE ~{ LEFT ( BA^-1 RIGHT ) }^{-1} =AB^-1``]

ㄴ. [eqn: A != O``]일 때,

[eqn: A^2 +AB =A(A+B)=O``]이라고 해서 [eqn: A+B=O``]인 것은 아니다. ([eqn: AB=O ~ LARROW ~A=O ~또는~B=O``] : 필요조건)

ㄷ. [eqn: A+B=X`]이고 [eqn: A^2 +B^2 =O`]에서

[eqn: (A+B)^2 =X^2] 하면

[eqn: (A+B)(A+B)=A^2 +AB +BA +B^2 =AB+BA=X^2``]이고

[eqn: AB != BA``](교환법칙)이므로 [eqn: AB != { 1} over {2 } X^2``]

ㄱ. [eqn: A,``B`]의 역행렬이 존재하면 [eqn: BA^-1`]의 역행렬이 존재한다.

ㄴ. [eqn: A`NE`O`]일 때, [eqn: A^2 +AB`=O`]이면 [eqn: A+B=O`]이다.

ㄷ. [eqn: A+B=X`]이고 [eqn: A^2 +B^2 =O`]이면 [eqn: AB`= 1over2 X^2`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

실수에서 정의된 함수[eqn: f``(x`)`]를 [eqn: f``(x`)=x- [x`] `]라고 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: [x`]`]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대 정수이다.) [4점]

③

함수 [eqn: f``(x`)`]를 [eqn: f``(x`)=x- [x`] `]의 그래프는

ⅰ) [eqn: -1≦x<0``]일 때, [eqn: f``(x`)=x+1` `]

ⅱ) [eqn: 0≦x<1``]일 때, [eqn: f``(x`)=x` `]

ⅲ) [eqn: 1≦x<2``]일 때, [eqn: f``(x`)=x-1` `]

ⅳ) [eqn: 2≦x<3``]일 때, [eqn: f``(x`)=x-2` `]와 같이 되므로

[eqn: 1``]

[eqn: -1``]

[eqn: -2``]

[eqn: -3``]

…

…

[eqn: y``]

[eqn: 0``]

[eqn: 3``]

[eqn: 2``]

[eqn: x``]

○

●

○

○

○

○

○

●

●

●

●

●

●

ㄱ. [eqn: f`(-3.14)=-3.14- LEFT [-3.14 RIGHT ] =-3.14-(-4)=0.16``]

[eqn: f`(3.14)=3.14- LEFT [ 3.14 RIGHT ] =3.14-3=0.14``]

[eqn: THEREFORE ~f`(-3.14) != f`(3.14)``]

ㄴ. 함수 [eqn: f`(x)``]의 치역은 [eqn: LEFT { f`(x) vert 0≦f`(x)<1RIGHT } ``]이므로

[eqn: LEFT { y vert y= LEFT [ f`(x) RIGHT ] RIGHT } = LEFT { 0`RIGHT } ``]이다.

ㄷ. 위의 그림에서 함수 [eqn: f`(x)``]는 주기가 [eqn: 1``]인 주기 함수이므로

[eqn: THEREFORE ~~f`(x)=f`(x+1)``]

ㄱ. [eqn: f`(-3.14)=f`(3.14)]

ㄴ. 모든 [eqn: x`]에 대하여, [eqn: LEFT { y`vert y= LEFT [ f``(x`) `RIGHT ] RIGHT } ``= `LEFT { -1,0`RIGHT }]

ㄷ. 모든 [eqn: x`]에 대하여, [eqn: f``(x`)=f``(x+1`)`]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

두 집합

④

곡선[eqn: y= SQRT { 4(x-2)} ``]과 직선[eqn: y=x+k``]이 만나는 교점이 두 개가 되도록 [eqn: k``]의 값의 범위를 정하면 되므로

[eqn: -2``]

[eqn: O``]

[eqn: y=x+k``]

[eqn: 2``]

[eqn: y= SQRT { 4x-8} ``]

[eqn: y``]

[eqn: x``]

접할 때, [eqn: k``]의 값을 구하면

[eqn: x+k= SQRT { 4x-8} ``]을 양변 제곱하면

[eqn: x^2 +2(k-2)x +(k^2 +8)=0``]

[eqn: { D} over {4 } =(k-2)^2 -(k^2 +8)=0``]  [eqn: THEREFORE ~~k=-1``]

[eqn: THEREFORE ~~-2≦k< -1``]

[eqn: M= LEFT { (x`,y`) vert y= SQRT { 4x-8`} `RIGHT }], [eqn: N= LEFT { (x`,y`) vert y= x+k`` RIGHT }]

에 대하여 [eqn: n`(M cap N`) =2`]가 되도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값의 범위는?
(단, [eqn: n`(X`)`]는 집합 [eqn: X`]의 원소의 개수이다.) [3점]

① [eqn: k``< `-1]	② [eqn: k``≦` -1]	③ [eqn: -2 `<`k`<` -1]
④ [eqn: -2 `≦`k`< `-1]	⑤ [eqn: -2 `≦`k``≦` -1]

자연수 [eqn: n```]은 [eqn: n`=p _{1}^{m _{1}} ``p _{2}^{m _{2}} ` CDOTS `p _{r}^{m _{r}}] (단, [eqn: m_1 , `m_2 , `cdots, `m_r`]은 음이 아닌 정수이고, [eqn: p _{1} `,```p _{2} `,`` CDOTS `,```p _{r} `]은 모두 서로 다른 소수이다.)과 같이 유일하게 소인수분해된다.
이 때, [eqn: f`(n)= m_1 + m_2 + CDOTS + m_r`]로 정의한다. 예를 들면,
[eqn: f`(10)= f`(2^1`․5^1 )=1+1=2`]이다. 다음 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

③

ㄱ. [eqn: f`(10^4 )=f`(2^4 CDOT 5^4 )=4+4=8``]

[eqn: f`(10^5 )=f`(2^5 CDOT 5^5 )=5+5=10``]이므로

[eqn: THEREFORE ~~f``(10^4` )`<`f``(10^5` )`]

ㄴ. (반례) [eqn: n_1 =6~ <~n_2 =10``]이면

[eqn: f`(n_1 )=f`(6)=f`(2 CDOT 3)=1+1=2``]

[eqn: f`(n_2 )=f`(10)=f`(2 CDOT 5)=1+1=2``]이므로

[eqn: THEREFORE ~~f`(n_1 )=f`(n_2 )``]이되어 모순이다.

ㄷ.  자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: f`(2^n +2^n+3` )=f`(2^n (1+2^3 ))=f`(2^n CDOT 3^2 )=n+2``]

ㄱ. [eqn: f``(10^4` )`<`f``(10^5` )`]

ㄴ. [eqn: n_1`<`n_2`]이면 [eqn: f``(n_1`)`<`f``(n_2 `)`]이다.

ㄷ. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f``(2^n +2^n+3 `)`=n+2`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표평면 위에 두 정점[eqn: rm{P``(12,`0`)},`][eqn: RMQ``(0,`5`)`]가 있다. 길이가 [eqn: 5ROOT2`]인 선분[eqn: RMRS`]가 반직선 [eqn: y=-x``(x`≧`-5)`] 위에서 움직일 때, 사각형 [eqn: RMPQRS`]의 둘레의 길이의 최솟값은? [4점]

⑤

[eqn: x]

[eqn: \Q(0,```5)``]

[eqn: \P(12,```0)``]

[eqn: rmR]

[eqn: rmS]

[eqn: RMO]

[eqn: y]

[eqn: y=-x``(x`≧`-5)]

○

○

‗

‗

[eqn: \U(-5,``-7)``]

[eqn: \T(0,-12)``]

[eqn: y=-x-12``]

○

사각형 [eqn: \PQRS``]의 둘레의 길이의 최솟값은

[eqn: {bar{rm PQ}} =13```,`` {bar{rm RS}} =5 sqrt {2} ``]로 일정하므로 [eqn: bar \PS + bar \QR``]이 최소이면 된다.

그림처럼 점 [eqn: \P(12,``0)``]의 [eqn: y=-x``]에 대한 대칭점 [eqn: \T(0,-12)``]를 잡고 점[eqn: \T``]를 지나고 기울기가 -[eqn: 1``]인 직선 [eqn: y=-x-12``]위에 [eqn: bar \RS =5 SQRT { 2} = bar \TU``]되도록 [eqn: \U(-5,-7)``]을 잡으면 [eqn: bar \RS``]가 직선 [eqn: y=-x```]위를 움직이더라도 [eqn: bar \PS =bar \ST =bar \RU``]이므로 [eqn: bar \PS + bar \QR =bar \RU +bar \QR``]이다.

그러므로 [eqn: bar \QR +bar \RU``]의 최솟값은

[eqn: THEREFORE ~~bar \PS + bar \QR =bar \QR +bar \RU≧bar \QU =13``]

[eqn: THEREFORE] [eqn: \PQRS``]의 둘레의 길이[eqn: GEQ `13+5 sqrt {2} `+13=26+5 sqrt {2}]

① [eqn: 20+6root2]	② [eqn: 22+6root2]	③ [eqn: 22+8root2]
④ [eqn: 24+5root2]	⑤ [eqn: 26+5root2]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f``(n`)`]을 [eqn: f``(n`)= 1 TIMES 2 TIMES 3 TIMES CDOTS TIMES n`]이라고 정의할 때, [eqn: N= f``(1`) +f``(2) +f``(3`) + CDOTS +f``(2003`)`]의 십의 자리 숫자는? [4점]

①

[eqn: 100=2^2 TIMES 5^2 ``]이므로

[eqn: f`(10) & =1 TIMES 2 TIMES 3 TIMES CDOTS TIMES 10``]

[eqn: =2 ^{LEFT [ {10} over {2} RIGHT ] + LEFT [ {10} over {2 ^{2}} RIGHT ] + LEFT [ {10} over {2 ^{3}} RIGHT ]} TIMES 3 ^{LEFT [ {10} over {3} RIGHT ] + LEFT [ {10} over {3 ^{2}} RIGHT ]} TIMES 5 ^{LEFT [ {10} over {5} RIGHT ]} TIMES 7][eqn: =2 ^{8} TIMES 3 ^{4} TIMES 5 ^{2} TIMES 7 & =2 ^{6} TIMES 3 ^{4} TIMES 7 TIMES 100``]

이므로 [eqn: f`(10)``]에서 [eqn: f`(2003)``]까지의 십의 자리수는 [eqn: 0``]이다.

[eqn: f`(1)=1``], [eqn: f`(2)=1 TIMES 2 =2``] , [eqn: f`(3)=1 TIMES 2 TIMES 3 =6``],

[eqn: f`(4)=24```], [eqn: f`(5)=120``],[eqn: f`(6)=720``], [eqn: f`(7)=5040``],

[eqn: f`(8)=15320``], [eqn: f`(9)=137880``]

그러므로

[eqn: f`(1)+f`(2)+f`(3)+ CDOTS +f`(9)``]의 십의 자리수는 [eqn: 1``]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 7]

다음과 같이 정의된 함수

⑤

[eqn: f_1 (x)= { x^2} over { 2} +x+ { 3} over {2 } ``], [eqn: f_2 (x)= -x^2 +4x```]라 두면

[eqn: f_1 '(x)= x+1````(x<1)``], [eqn: f_2 '(x)= -2x+4``(x≧1)``]

ㄱ. [eqn: f`(1)=f_1 (1)=f_2 (1)=3``]이고, [eqn: lim from { x ->1 } f`(x) =3``]

[eqn: BECAUSE) ~ lim from { x ->1-0 } LEFT ( { x^2} over { 2} +x+ { 3} over {2 } RIGHT ) = lim from { x ->1+0 } (-x^2 +4x)=3``]

[eqn: THEREFORE ~f`(1)= lim from { x ->1 } f`(x)``]이므로 연속이다.

ㄴ. [eqn: f``'(1) =2``]이므로 미분가능이다.   [eqn: BECAUSE )~f_1 '(1) =f_2 '(1)=2``]

ㄷ. [eqn: f``'(1) =f_1 '(1) =f_2 '(1)=2``]이고  [eqn: lim from { x ->1 } f``'(x)=2``]

[eqn: BECAUSE) ~ lim from { x ->1-0 } LEFT ( x+1 RIGHT ) = lim from { x ->1+0 } (-2x+4)=2``]

[eqn: THEREFORE ~f``'(1)= lim from { x ->1 } f``'(x)``]이므로 연속이다.

[eqn: f``(`x`)`=cases{ &{ x^2} over { 2} +x+ { 3} over { 2} ~(x``<1)# &-x^2 +4x ~~~~`(x``≧`1)}]

가 있다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

ㄱ. [eqn: f``(`x`)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

ㄴ. [eqn: f``(`x`)`]는 [eqn: x=1`]에서 미분가능하다.

ㄷ. [eqn: f``(`x`)`]의 도함수 [eqn: f``′(`x`)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: y=f``(x`)]의 그래프가 아래 그림과 같다. 함수 [eqn: g``(x`)`]의 도함수 [eqn: g`′(x`)`]가 [eqn: g`′(x`)`=-f``(-x`)`]일 때, [eqn: g``(x`)`]의 극대점과 극소점의 개수를 순서대로 구하면? (단, 함수 [eqn: f``(x`)`]의 그래프는 [eqn: x= alpha ,``x= beta `]에서 [eqn: x`]축에 접한다.) [3점]

③

함수 [eqn: g``'(x)=-f`(-x)``]은 [eqn: y=f`(x)``]를 원점에 대하여 대칭이동한 그래프이다.

주어진 함수[eqn: y=f`(x)``]의 그래프가 [eqn: x```]축과 만나는 교점을 [eqn: alpha < p<0<q< beta ``]라 두면

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

-[eqn: alpha]

-[eqn: beta]

[eqn: -p``]

[eqn: y=g`'(x)``]

[eqn: -q``]

함수 [eqn: y=g`(x)``]의 증감표를 그리면

[eqn: x``]	…	[eqn: - beta ``]	…	[eqn: -q``]	…	[eqn: 0``]	…	[eqn: -p``]	…	[eqn: - alpha ``]	…
[eqn: g`'(x)``]	+	0	+	0	-	0	+	0	-	0	-
[eqn: g`(x)``]	↗		↗	大	↘	小	↗	大	↘		↘

위의 증감표에서

[eqn: THEREFORE ~~]극대점 : 2개 , 극소점 : 1개

① [eqn: 1,~1]	② [eqn: 1,~2]	③ [eqn: 2,~1]
④ [eqn: 2,~2]	⑤ [eqn: 3,~3]

아래 그림과 같이 직선 [eqn: l``]이 삼각형[eqn: rmABC`]의 두 변 [eqn: rmAB`], [eqn: rmAC`]와 각각 [eqn: RMD,`F`]에서 만나고, 변 [eqn: rmBC`]의 연장선과 직선 [eqn: l```]이 점 [eqn: RME`]에서 만난다.

③

점[eqn: rmA,`B,`C`]에서 직선[eqn: l```]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmL,`M,`N`]이라고 하자.

[eqn: MATRIX {( TRIANGLE rmADL)∽ TRIANGLE rmBDM, ``` TRIANGLE rm BEM∽ TRIANGLE rmCEN`,``` TRIANGLE rmCFN∽ TRIANGLE rmAFL}] 이므로

삼각형의 닮음에서 [eqn: bar \AD ~:~bar \AL =bar \BD ~:~bar \BM``]

[eqn: bar \BE ~:~bar \BM =bar \CE ~:~bar \CN``]이므로

[eqn: MATRIX{rm {barAD } over {(bar \BD) } ={barAL } over {barBM } ,`````RM {barBE } over {barCE } ={(bar \BM) } over {barCN } `,`````rm {barCF } over {barAF } ={barCN } over {barAL } }]

이고, 이를 정리하면 [eqn: {RMbarAD } over {(bar \BD) } RMCDOT {barBE } over {RMbarCE } CDOT {barCF } over {barAF } =1`]을 얻을 수 있다.

[eqn: l``]

이 때, [eqn: {RMbarAD } over {(가) } RMCDOT {barBE } over {RMbarCE } CDOT {barCF } over {barAF } =1`]임을 보이는 다음의 [증명]과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면? [3점]

[증 명]

점[eqn: rmA,`B,`C`]에서 직선 [eqn: l```]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmL,`M,`N`]이라고 하자.

[eqn: ```````(나)````` PROPTO `` TRIANGLE BDM]

[eqn: TRIANGLE BEM``` PROPTO TRIANGLE CEN]

[eqn: TRIANGLE CFN``` PROPTO TRIANGLE AFL]

이므로

[eqn: {bar{AD}} over {(가)} `=` {bar{AL}} over {bar{BM}}]

[eqn: {bar{BE}} over {bar{CE}} `=` {(다)} over {bar{CN}}]

[eqn: {bar{CF}} over {bar{AF}} `=` {bar{CN}} over {bar{AL}}]

이고, 이를 정리하면 [eqn: {RMbarAD } over {(가) } RMCDOT {barBE } over {RMbarCE } CDOT {barCF } over {barAF } =1`]을 얻을 수 있다.

① [eqn: RMBARBM`,~△CEN,~BARBE]	② [eqn: RMBARBM`,~△CEN,~BARBM]
③ [eqn: RMBAR{BD}` ,~△ADL,~BARBM]	④ [eqn: RMBAR{BD}` ,~△ADL,~BARBE]
⑤ [eqn: RMBAR{CN},~△CEN,~BARBE]

다음은 폐구간 [eqn: [a,~b`]`]에서 연속인 함수 [eqn: f``(`x`)`]에 대하여
[eqn: F``(`x`)= INT _{ a}^{ x} f``(t`)`dt`]의 어떤 성질을 증명하는 과정이다.
(가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면? [3점]

①

(ⅰ) [eqn: h>0``]일 때,  [eqn: x``]와 [eqn: x+h``]가 개구간 [eqn: (a,```b)``]안에 있다면

[eqn: F`(x)= INT _{ a}^{x } f`(t) dt``]에서

[eqn: F`(x+h)-F`(x) & = int _{a} ^{x+h} {} f`(t)dt- int _{a} ^{x} {} f`(t)dt= int _{x} ^{x+h} {} f`(t)dt``]

이다.

또, [eqn: f`(x)``]는 구간 [eqn: LEFT [ a,```b RIGHT ] ``]에서 연속이므로 최대․최소정리에 의하여 적당한 상수 [eqn: m,```M(m≦M)``]이 존재하여

[eqn: mh≦ INT _{ x}^{ x+h} f`(t) dt ≦Mh``]이다.

양변을 [eqn: h```]로 나누고 [eqn: h -> +0``]이면 [eqn: m``]과 [eqn: M``]이 같아지므로

[eqn: lim from { h -> +0 } { F``(`x+h`) -F``(x`)} over {h } =f``(x`)`] 이다.

(ⅱ)[eqn: h``<`0`]일 때  (ⅰ)과 동일한 방법으로

[eqn: lim from { h -> -0 } { F``(`x+h`) -F``(x`)} over {h } =f``(x`)`] 임을 알 수 있다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: lim from { h -> 0 } { F``(`x+h`) -F``(x`)} over {h } =f``(x`)`]이다.  즉, [eqn: THEREFORE ~~F`'(x)=f`(x)``]

[증 명]

(ⅰ) [eqn: h`>`0`]일 때,

[eqn: x```]와 [eqn: x+h`]가 개구간 [eqn: (a,~b`)`] 안에 있다면

[eqn: F``(`x+h`)-F``(`x`)=] 이고

(가)

[eqn: f``(`x`)`]는 정의된 구간에서 이므로

(나)

적당한 상수 [eqn: m,`M~(m ``≦`M``)`]이 존재하여

[eqn: mh``≦``][eqn: ≦``Mh`]이다.

(가)

양변을 [eqn: h`]로 나누고 [eqn: h→+0`]이면 [eqn: m`]과 [eqn: M`]이 같아지므로

[eqn: lim from { h -> +0 } { F``(`x+h`) -F``(x`)} over {h } =f``(x`)```]이다.

(ⅱ)[eqn: h``<`0`]일 때

(ⅰ)과 동일한 방법으로

[eqn: lim from { h -> -0 } { F``(`x+h`) -F``(x`)} over {h } =f``(x`)```]임을 알 수 있다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여  이다.

(다)

① [eqn: INT _{ x}^{ x+h} f``(t`)dt```],  연속인 함수, [eqn: F``′(`x`)= f``(` x`)`]

② [eqn: INT _{ x}^{ x+h} f``(t`)dt```],  미분가능한 함수, [eqn: F``′(`x`)= f``(` x`)`]

③ [eqn: INT _{ a}^{ x+h} f``(t`)dt```],  연속인 함수, [eqn: F``′(`x`)= f``(` x`)`]

④ [eqn: INT _{ a}^{ x+h} f``(t`)dt```], 연속인 함수, [eqn: F``′(`x`)`]는 [eqn: [a,`b`]`]에서 연속

⑤ [eqn: INT _{ a}^{ x+h} f``(t`)dt```], 미분가능한 함수, [eqn: F``′(`x`)`]는 [eqn: [a,`b`]`]에서 연속

일반항이 [eqn: a_n =n left(root {{ n-1} over {4n+1 } }-a `right)`(n`≧`1)`]인 수열 [eqn: left{a_n `right}`]에 대하여 다음은 [eqn: lim from { n `-> `inf } a_n`]이 존재하도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값과 이 때, [eqn: lim from { n `-> `inf } a_n`]의 값을 구하는 과정이다. <풀이>에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면? [4점]

⑤

[eqn: lim from { n -> inf } a_n= lim from { n -> inf } { SQRT { { n-1} over {4n+1 } } -a} over { { 1} over {n } } ``]이 수렴하려면

[eqn: lim from { n -> inf } { 1} over {n } =0``]이므로 [eqn: lim from { n -> inf } LEFT ( SQRT { { n-1} over {4n+1 } }-a RIGHT ) =0````]이다.

그러므로 윗 식에서 [eqn: { 1} over {2 } -a=0~~~ THEREFORE ~a= { 1} over { 2} ``]이다.

따라서,

[eqn: lim from { n -> inf } a_n= lim from { n -> inf } { SQRT { { n-1} over {4n+1 } } - { 1} over {2 } } over { { 1} over {n } }][eqn: = lim from { n -> inf } { LEFT ( SQRT { { n-1} over {4n+1 } } - { 1} over {2 } RIGHT ) LEFT ( SQRT { { n-1} over {4n+1 } } + { 1} over {2 } RIGHT ) } over { { 1} over {n } LEFT ( SQRT { { n-1} over {4n+1 } } + { 1} over {2 } RIGHT ) }]

[eqn: = lim from { n -> inf } { { n-1} over {4n+1 }- { 1} over {4 } } over { { 1} over {n } LEFT ( SQRT { { n-1} over {4n+1 } } + { 1} over {2 } RIGHT ) }][eqn: = lim from { n -> inf } { { -5n} over {4(4n+1) } } over { SQRT { { n-1} over {4n+1 } } + { 1} over {2 } } = { - { 5} over {16 } } over { { 1} over { 2} + { 1} over { 2} } =- { 5} over {16 }]

[eqn: a_n =n left(root {{ n-1} over {4n+1 } }-a `right)= {root {{ n-1} over {4n+1 } }-a } over { { 1} over {n } }`]

이므로 이 수열이 수렴하려면

[eqn: lim from { n -> inf } left(root {{ n-1} over {4n+1 } }-a `right)`=] 이다.

(가)

그러므로 [eqn: a=`]이다.

(나)

따라서,[eqn: lim from { n `-> `inf } a_n`=]이다.

(다)

① [eqn: 1,~`~{ 1} over { 2},``- { 5} over {4 }]	② [eqn: 1,`-{ 1} over { 2},``- { 5} over {4 }]	③ [eqn: 0,~~`{ 1} over { 2},```- { 5} over {4 }]
④ [eqn: 0,`-{ 1} over { 2},`- { 5} over {16 }]	⑤ [eqn: 0,~~`{ 1} over { 2},`-{ 5} over {16 }]

한국오페라하우스의 좌석은 [eqn: A``` SIM ```G```]까지 [eqn: 7``]개의 열로 구성되어 있고, 각 열에는 [eqn: 55``]개의 행이 같은 규칙으로 배열되어 있다. 예를 들어, [eqn: A```]열의 행들이 아래와 같이 배열되어 있을 때, 한국오페라하우스의 총 좌석수는? [4점]

②

A열의 총 좌석수를 [eqn: S``]라 두면

[eqn: S & =1 TIMES 5+2 TIMES 6+3 TIMES 7+ CDOTS +10 TIMES 14]

[eqn: = sum _{n=1} ^{10} n(n+4)= sum _{n=1} ^{10} (n ^{2} +4n)]

[eqn: = {10 CDOT 11 CDOT 21} over {6} +4 TIMES {10 CDOT 11} over {2} =605``]

그러므로 총 좌석수는 [eqn: THEREFORE ~605 TIMES 7 =4,235``]

[eqn: 1``]행              ---     [eqn: 5`]개

[eqn: 2``]행, [eqn: 3``]행         --- 각 [eqn: 6`]개

[eqn: 4``]행, [eqn: 5``]행, [eqn: 6``]행    --- 각 [eqn: 7`]개

․

․

․

․

․

․

① [eqn: 3,542]	② [eqn: 4,235]	③ [eqn: 5,733]
④ [eqn: 11,172]	⑤ [eqn: 21,175]

[그림 1]과 같이 길이가 [eqn: 21㎝`]인 막대에 반지름이 [eqn: 7㎝ `]인 원모양의 시계추가 매달려 있다. 시계추가 [그림 1]의 위치에서 출발하여 [그림 2]의 [eqn: A`]의 위치에 도달하였다. 이 때, 시계추의 중심은 수직 방향으로는 [eqn: 14㎝ `] 위에 있다. 이 시계추의 중심이 움직인 거리는? [3점]

④

[그림2 ]에서

[eqn: 28``]

[eqn: 14``]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: 28``]

[eqn: { pi } over {3 }]

위의 그림에서 시계추의 중심이 움직인 거리는

중심각이 [eqn: { pi } over {3 } ``]이고 반지름이 [eqn: 28``]인 부채꼴의 호의 길이이다.

[eqn: THEREFORE ~~l=r theta =28 TIMES { pi } over {3 } = { 28 pi } over {3 } ```㎝]

[eqn: 21]

추

[그림 1]

[그림 2]

[eqn: A`]

① [eqn: 21㎝]	② [eqn: 28㎝]	③ [eqn: {20pi} over {3 } `㎝]
④ [eqn: {28pi} over {3 } `㎝]	⑤ [eqn: {32pi} over {3 } `㎝]

[eqn: D```]대학교 [eqn: 2003``]년도 학생 복지금은 학교 전체 예산의 [eqn: 1.1``%```]라고 한다. [eqn: 2003``]년부터 이 대학교는 매년 학교 예산과 학생 복지금을 전년대비 각각 [eqn: 5``%`], [eqn: 7``%`]씩 늘려갈 계획이다. 그러면, 학생 복지금이 학교 예산의 [eqn: 1.3``%```] 이상이 되는 것은 몇 년 후인가? (단, 아래 상용로그표에 있는 값만 이용하여 계산하시오.)

①

[eqn: 2003``]년도 학교 전체 예산을 [eqn: A``]원이라 두면

	학교전체예산	학생복지금
2003년도	[eqn: A``]	[eqn: 0.011A``]
[eqn: n``]년 후	[eqn: (1+0.05)^n ``A``]	[eqn: (1+0.07)^n `` 0.011``A]

[eqn: (1+0.07)^n ``0.011``A ≧0.013 TIMES (1+0.05)^n `A``]이므로

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n``log 1.07 +log 0.011≧n``log 1.05+log 0.013``]

[eqn: (log 1.07 -log 1.05)`n ≧log 0.013 -log 0.011``]

주어진 상용로그표에서

[eqn: log 1.07 =0.0294 ,~log 1.05=0.0212``]

[eqn: log 1.3 =0.1139``]이므로 [eqn: log 0.013= -2+0.1139``]이고,

[eqn: log 1.1 =0.0414``]이므로 [eqn: log 0.011=-2+0.0414``]이다.

[eqn: THEREFORE ~(0.0294-0.0212)``n≧(-2+0.1139)-(-2+0.0414)``]

[eqn: 0.0082 TIMES n ≧ 0.0725``]

[eqn: THEREFORE ~n≧8.8 CDOTS ``]이므로 [eqn: 9``]년후

[4점]

상용로그표
	0	1	…	4	5	6	7
1.0	.0000	.0043	…	.0170	.0212	.0253	.0294
1.1	.0414	.0453	…	.0569	.0607	.0645	.0682
1.2	.0792	.0828	…	.0934	.0969	.1004	.1038
1.3	.1139	.1173	…	.1271	.1303	.1335	.1367
1.4	.1461	.1492	…	.1584	.1614	.1644	.1673

① [eqn: 9`]년	② [eqn: 10`]년	③ [eqn: 11`]년	④ [eqn: 12`]년	⑤ [eqn: 13`]년

주관식 문항 (25～30)

서로 다른 두 실수 [eqn: a,`b`]에 대하여 함수 [eqn: f`(`x`)= LEFT | log_2`` x - 2`RIGHT |]가 [eqn: f``(a)=f``(b)`]를 만족할 때, [eqn: a `times`b`]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 16``]

[eqn: LEFT | log_2 `a-2 RIGHT | = LEFT | log_2 `b -2 RIGHT | ``]이고, [eqn: a != b```]이므로

[eqn: log_2` a-2 =- LEFT ( log_2 `b -2 RIGHT ) ``]

[eqn: log_2 `a+ log_2 `b =4``]  [eqn: log_2 `a b =4~~ LRARROW ~~ THEREFORE ~a b =16``]

삼차식 [eqn: f``(x`)`]와 이차식 [eqn: g``(`x`)`]가

[eqn: 12``]

[eqn: f`(x)``]를 [eqn: g`(x)``]로 나눈 몫을 [eqn: Q`(x)``], 나머지을 [eqn: ax+b``]라 두면

[eqn: f`(x)=g`(x) Q(x)+ax+b``] (단, [eqn: a, ```b``]는 실수)

[eqn: x=1+2i``]을 대입하면

[eqn: f`(1+2i) =g`(1+2i)Q(1+2i)+a(1+2i)+b``]

[eqn: 3+2i =(a+b)+2ai``]이므로 복소수의 상등에 의하여

[eqn: a+b=3,~2a=1``] [eqn: THEREFORE ~a=1,~b=2``]

[eqn: R(x)=x+2```]

[eqn: f``(`1+2 it i`)=3+2 `i`,~g``(`1+2 i`)=0`]

을 만족한다. [eqn: f``(`x`)`]를 [eqn: g``(x`)`]로 나눈 나머지를 [eqn: R``(`x`)`]라고 할 때, [eqn: R``(`10`)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: it i= SQRT { -1}` `]이고 [eqn: f``(x`)`]와 [eqn: g``(x`)`]의 계수는 모두 실수이다.) [3점]

등식 [eqn: lim from { x->-1 } { 2-sqrt{x+a}} over { x+1} =b`] 을 만족하는 상수 [eqn: a,`b`]에 대하여 [eqn: {a -b } over b`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: -21``]

ⅰ) [eqn: lim from { x ->-1 } (분모)=0``]이므로 [eqn: lim from { x ->-1 } (분자)=0``]이다.

[eqn: lim from { x ->-1 } (2- SQRT { x+a} )=0``]

[eqn: 2- SQRT { -1+a} =0~~ THEREFORE ~~a=5``]

ⅱ) [eqn: THEREFORE ~~b & = lim _{x -> -1} {} {2- sqrt {x+5}} over {x+1}]

[eqn: = lim _{x -> -1} {} {(2- sqrt {x+5} )(2+ sqrt {x+5} )} over {(x+1)(2+ sqrt {x+5} )}]

[eqn: = lim _{x -> -1} {} {-(x+1)} over {(x+1)(2+ sqrt {x+5} )}]

[eqn: = lim _{x -> -1} {} {-1} over {2+ sqrt {x+5}} =- {1} over {4}]

[eqn: THEREFORE ~ { a-b} over {b } = { 5+ { 1} over {4 } } over {- { 1} over { 4} } =-21``]

방정식 [eqn: x^5 =1]의 서로 다른 4개의 허근 [eqn: omega _1 , `omega _2 , ` omega _3 , `omega _4 `]에 대하여 [eqn: {3 {( 1 - omega _1`) ( 1 -omega _2`)( 1 -omega _3`)( 1-omega _4`)}}over{( 1 +omega _1`) ( 1 +omega _2`)( 1 +omega _3`)( 1 +omega _4`)} `]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 15``]

[eqn: x^5 -1=(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x+1 )=0```]이므로

방정식[eqn: x^4 +x^3 +x^2 + x+1=0```]의 근이[eqn: omega _1 ,~ omega _2 ,~ omega _3 ,~ omega _4 ``]이므로

[eqn: x^4 +x^3 +x^2 + x+1=(x- omega _1 )(x- omega _2 )(x- omega _3 )(x- omega _4 )``]이다.

ⅰ) [eqn: x=1``]을 대입하면

[eqn: 5=(1- omega _1 )(1- omega _2 )(1- omega _3 )(1- omega _4 )``]

ⅱ) [eqn: x=-1``]을 대입하면

[eqn: 1=(-1- omega _1 )(-1- omega _2 )(-1- omega _3 )(-1- omega _4 )``]

[eqn: 1=(1+omega _1 )(1+ omega _2 )(1+ omega _3 )(1+ omega _4 )``]

[eqn: THEREFORE ~~{3 {( 1 - omega _1`) ( 1 -omega _2`)( 1 -omega _3`)( 1-omega _4`)}}over{( 1 +omega _1`) ( 1 +omega _2`)( 1 +omega _3`)( 1 +omega _4`)} =15``]

철수가 자기집 정원을 완전하게 소독하려면 세 가지 화합물 [eqn: A,`B,`C`]가 각각 [eqn: 10`` ㎎,`][eqn: 12``㎎,`][eqn: 12``㎎`]이 최소한 필요하다. [eqn: A,`B,`C`]의 화합물이 각각 [eqn: 5 ``㎎,`][eqn: 2 ``㎎,`][eqn: 1 ``㎎`]이 혼합된 제품은 한 병에 [eqn: 3``]만원이고, [eqn: 1`` ㎎,`][eqn: 2 ``㎎,`][eqn: 4`` ㎎`]이 혼합된 제품은 한 병에 [eqn: 2``]만원이라면, 두 제품을 이용하여 정원을 완전하게 소독하는데 드는 최소비용은 만원이다. 이 때,  안의 알맞은 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 13``](만원)

[eqn: A,`B,`C`]의 화합물이 각각 [eqn: 5 ㎎,`][eqn: 2 ㎎,`][eqn: 1 ㎎`]이 혼합된 제품을 [eqn: x``]병, 각각[eqn: 1 ㎎,`][eqn: 2 ㎎,`][eqn: 4 ㎎`]이 혼합된 제품을 [eqn: y``]병이 필요하다면

ⅰ) [eqn: cases {x≧0,~y≧0 #5x+y≧10#2x+2y≧12#x+4y≧12}~]

ⅱ) 위의 영역을 도시하면

[eqn: y``]

[eqn: O``]

[eqn: x``]

[eqn: y=-x+6``]

[eqn: y=- { 1} over { 4} x+3``]

[eqn: y=-5x+10``]

[eqn: (4,```2)``]

[eqn: (1,```5)``]

ⅲ) [eqn: 3x+2y=k``](만원)라 두면

[eqn: y=- { 3} over {2 } x+ { k} over {2 } ``]이므로 기울기가 [eqn: - { 3} over { 2} ``]인 직선이다.

위의 점선 그래프 즉, [eqn: (1,```5)``]를 지날 때, 최소이다.

[eqn: THEREFORE ~~13``]만원

폐구간 [eqn: [0,`2]`]에서 정의된 두 함수 [eqn: f``(x`)`]와 [eqn: g``(x`)`]의 그래프는 아래 그림과 같다. 이 때, [eqn: { 1} over {3 } INT _{0 }^{2 } `f``(g`(x`)`)`dx`]의 값을 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 소수 둘째 자리까지 구하시오.

[eqn: 10.67``]

[eqn: f`(x)=cases{32x~~~~~~~`````(0≦x≦1)##-32x+64```~(1≦x≦2)}``]

[eqn: g`(x)=cases{-2x+1~~~~``` LEFT ( 0≦x≦ { 1} over {2 } RIGHT ) ## { 2} over {3 } x- { 1} over { 3} ````````````~ LEFT ( { 1} over {2 } ≦x≦2 RIGHT ) }``]

ⅰ) [eqn: 0≦x≦ { 1} over {2 } ``]일 때,

[eqn: f`(`g(x))=f`(-2x+1)=32(-2x+1)=-64x+32``]

ⅱ) [eqn: { 1} over {2 }≦x≦2 ``]일 때,

[eqn: f`(`g(x))=f` LEFT ( { 2} over {3 } x- { 1} over { 3} RIGHT ) =32LEFT ( { 2} over {3 } x- { 1} over { 3} RIGHT )= { 64} over {3 } x- { 32} over {3 } ``]

[eqn: ` & {1} over {3} int _{0} ^{2} {} `f``(g`(x`)`)`dx`]

[eqn: = {1} over {3} LEFT { int _{0} ^{{1} over {2}} {} (-64x+32)dx+ int _{{1} over {2}} ^{2} {} LEFT ( {64} over {3} x- {32} over {3} RIGHT ) dx RIGHT }]

[eqn: = {1} over {3} LEFT { LEFT [ -32x ^{2} +32x RIGHT ] ` _{0} ^{{1} over {2}} + LEFT [ {32} over {3} x ^{2} - {32} over {3} x RIGHT ] ` _{{1} over {2}} ^{2} RIGHT }]

[eqn: = {1} over {3} (8+24)= {32} over {3} =10.666 CDOTS ``]

[eqn: THEREFORE ~10.67``]

[4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: { 1} over { 2}][eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: y=g``(x`)]

[eqn: rmO]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 32]

[eqn: 2]

[eqn: y=f``(x`)]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2004년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설