◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

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수 학 영 역

‘가’형

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2004학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: 4 ^ { { 1`} over {3` } }` DIV `8^ { - { 1`} over {2` } } `` = 4^x`]일 때, [eqn: x```]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: 4^ {{ 1} over { 3} } DIV 8^{- { 1} over {2 } } = 2^{ { 2} over {3 } } DIV 2^{- { 3} over {2 } }=2^{ { 2} over {3 } + { 3} over {2 } }] [eqn: =2^ {{ 13} over {6 } }=4^{ { 13} over {12 } }``]

① [eqn: 13over2]	② [eqn: 13over5]	③ [eqn: 13over8]	④ [eqn: 13over10]	⑤ [eqn: 13over12]

[eqn: sin `theta +cos `theta= { 1} over {2 } `]을 만족하는 각 [eqn: theta```]가 존재하는 사분면은?

④

[eqn: (sin `theta +cos `theta )^2 = 1+2sin theta cos theta = { 1} over {4 } `]

[eqn: sin theta TIMES cos theta =- { 3} over {8 }]

[eqn: ⅰ) ~sin theta >0 ~,~cos theta <0```일 ~때```], 2사분면

[eqn: ⅱ) ~sin theta <0 ~,~cos theta >0```일 ~때```], 4사분면

그러므로 2, 4사분면

[3점]

① 제[eqn: 2`]사분면

② 제[eqn: 1`]사분면 또는 제[eqn: 2`]사분면

③ 제[eqn: 1`]사분면 또는 제[eqn: 4`]사분면

④ 제[eqn: 2`]사분면 또는 제[eqn: 4`]사분면

⑤ 제[eqn: 1`]사분면 또는 제[eqn: 2`]사분면 또는 제[eqn: 4`]사분면

다음 <보기>에서 항상 성립하는 것을 모두 고르면?
(단, [eqn: a, `b, `c`]는 서로 다른 양수) [2점]

②

ㄱ. 산술 기하평균에서

[eqn: a+ { 1} over {a } ≧2 SQRT { a TIMES{ { 1} over {a } } } =2~~ THEREFORE ```a≧2``]

ㄴ. [eqn: `a^2 +b^2 +c^2 -(a b +bc+ca)]

[eqn: = { 1} over { 2} LEFT { (a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2 RIGHT } >0```]

[eqn: THEREFORE ~~a^2 +b^2 +c^2 >a b+bc+ca``]

[eqn: BECAUSE ~~a, ```b, ```c``]가 서로 다른 양수

ㄷ.  [eqn: LEFT | a+b RIGHT | ^2 -( LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | )^2 =2(a b - LEFT | a b RIGHT | )][eqn: =2(a b - a b )=0]

[eqn: THEREFORE ~~LEFT | a+b RIGHT | = LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT |]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a + { 1} over {a } ``>``2] ㄴ. [eqn: a^2 +b^2 +c^2 ``>``ab +bc +ca] ㄷ. [eqn: LEFT |` a+b`` RIGHT | ``>`` LEFT | `a ``RIGHT | + LEFT | `b ``RIGHT |]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

서로 다른 두 실수 [eqn: a, `b`]에 대하여 두 집합 [eqn: <a,`b>,~[a,`b]`]를
[eqn: <a,~b`> =left{left{a ``right},~left{a,~b right} ``right}]
[eqn: [a,~b`]`=left{a ``right}`∪`left{b``right}]
와 같이 정의할 때, 다음 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면?

②

ㄱ. [eqn: <a,~b`> =left{left{a ``right},~left{a,~b right} ``right}]

[eqn: <b,~a`> =left{left{b ``right},~left{b,~a right} ``right}``]    [eqn: <a,~b> != <b,~a>]

ㄴ.  집합 [eqn: <a,~b`> =left{left{a ``right},~left{a,~b right} ``right}] 의 부분집합의 개수는

[eqn: THEREFORE ``````2^2 =4``](개)

ㄷ. [eqn: [a,~b`]`=left{a ``right}`∪`left{b``right} = LEFT { a,```b RIGHT } ``]

[eqn: [c,~d`]`=left{c ``right}`∪`left{d``right} = LEFT { c,```d`` RIGHT } ``]이므로

[eqn: [a,~b`]=[c,~d`]`], 즉 [eqn: LEFT { a,```b` RIGHT } = LEFT { c,```d`RIGHT } ``]이라고 해서

[eqn: a=c ~,~b=d``]인 것은 아님.

[3점]

ㄱ. [eqn: <a,~b> =<b,~a>]

ㄴ. 집합 [eqn: <a,~b>`]의 부분집합의 개수는 [eqn: 4```]개이다.

ㄷ. [eqn: [a,~b`]=[c,~d`]`]이면 [eqn: a=c`,~b=d`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

실수 [eqn: a,`b,`c```]가 [eqn: a`b`c` `>``0```]를 만족할 때, 이차방정식
[eqn: ax^2 +bx+c=0`]의 두 근이 서로 다른 부호를 갖기 위한 필요충분조건은? [2점]

②

이차방정식[eqn: ax^2 +bx+c=0`]이 두 근이 서로 다른 부호의 실근을 가지려면 두 근의 곱이 음이면 된다.

[eqn: alpha beta = { c} over { a} <0```]  [eqn: THEREFORE ~ac <0```]이고

또, 조건에서 [eqn: a b c >0``]이므로 [eqn: THEREFORE ~b<0``]

① [eqn: b^2 -4ac`>`0]	② [eqn: b``<`0]	③ [eqn: bc`>`0]

④ [eqn: { c} over { a}- { b} over { a} `>`0]	⑤ [eqn: a+b+c`>`0]

두 사차함수 [eqn: y=f``(`x`)`]와 [eqn: y=g``(`x`)`]의 그래프가 아래 그림과 같을 때, 분수방정식 [eqn: left{f``(x) right}^2} over { g``(x`)} -{left { g``(x) right}^2} over { f``(x`)} =0`]의 실근은? [3점]

④

분수방정식 [eqn: left{f``(x) right}^2} over { g``(x`)} -{left { g``(x) right}^2} over { f``(x`)} =0`]의 양변에 [eqn: f`(x)``g`(x)``]을 곱하여 정리하면

[eqn: LEFT ( f`(x)-g`(x) RIGHT ) LEFT { LEFT { f`(x) RIGHT }^2 +f`(x)g`(x)+ LEFT { g`(x) RIGHT }^2 } RIGHT } =0``]이므로

[eqn: THEREFORE ~f`(x)=g`(x)``] [eqn: ( BECAUSE ``f(x) ^{2} +f`(x)g`(x)+g(x) ^{2} ``>0`)]

주어진 그래프에서 [eqn: f`(x)=g`(x)``]인 [eqn: x``]는 [eqn: a,```b,```c,```d``]인데 [eqn: x=c``]는 [eqn: f`(x)``]와 [eqn: g`(x)``]를 [eqn: 0``](분모)으로 하므로 무연근이다.

그러므로 방정식의 근은 [eqn: THEREFORE ~~a,```b,```d``]

① [eqn: a,~d]	② [eqn: b,~c]	③ [eqn: b,~c,~d]
④ [eqn: a, ~b,~d]	⑤ [eqn: a, ~b,~c,~d]

집합 [eqn: A=` LEFT { 2,`3,`4,`5`RIGHT }]에서 연산 [eqn: *]를 다음과 같이 정의한다.
[eqn: a*b`= cases{ a- (a-b) LEFT [ log_a `b` RIGHT ]` ,````b=2````또는``` b=3`##b- (b-a) LEFT [ log_b `a `RIGHT ]`, ````b=4````또는`` `b=5` }]
(단, [eqn: LEFT [ x` RIGHT ]]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대 정수이다.)
이 때, 방정식 [eqn: 4*(4*x)=x`]를 만족하는 [eqn: x`]의 개수는? [4점]

③

연산 [eqn: 4*x] 를 각각 계산하면

[eqn: 4∗2= 4-(4-2) LEFT [ log_4 ``2 ` RIGHT ]=4-2 LEFT [ { 1} over {2 } RIGHT ] =4 ~ THEREFORE``` 4∗2 =4``]

[eqn: 4∗3= 4-(4-3) LEFT [ log_4 ``3 ` RIGHT ]=4-LEFT [ log_4 ``3 ` RIGHT ]=4 ~ THEREFORE ```4∗3 =4``]

[eqn: 4∗4= 4-(4-4) LEFT [ log_4 ``4 ` RIGHT ]=4 ~ THEREFORE ```4∗4 =4``]

[eqn: 4∗5= 5-(5-4) LEFT [ log_5 ``4 ` RIGHT ]=5-LEFT [ log_5 ``4 ` RIGHT ]=5 ~ THEREFORE ```4∗5 =5``]

그러므로 방정식 [eqn: 4*(4*x)=x`] 에서

ⅰ) [eqn: x=2``]이면 [eqn: 4∗(4∗2)=4∗4=4```](×)

ⅱ) [eqn: x=3``]이면 [eqn: 4∗(4∗3)=4∗4=4```](×)

ⅲ) [eqn: x=4``]이면 [eqn: 4∗(4∗4)=4∗4=4```](○)

ⅳ) [eqn: x=5``]이면 [eqn: 4∗(4∗5)=4∗5=5```](○)

[eqn: THEREFORE ~x=4~또는~x=5``]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f`(x`)=4^x`]과 [eqn: f`(x`)`]의 역함수 [eqn: g`(x`)]에 대하여 방정식
[eqn: f``(x`)= f``( g``(`2^x`+6 `))`]의 실근을 [eqn: alpha `]라 할 때, 다음 중 옳은 것은?

④

함수[eqn: f`(x`)`]의 역함수가 [eqn: g`(x`)]이므로

[eqn: f``(x`)= f``( g``(`2^x`+6 `))`]에서  [eqn: 4^x =2^x +6``]이다.

[eqn: 2^x =t```(t>0)``]라 두면 [eqn: t^2 -t-6=0```]에서 [eqn: t=-2~또는~t=3``]

[eqn: THEREFORE ~t=2^x =3~~ THEREFORE``` alpha =log_2`` 3``]

[eqn: THEREFORE ~1≦ alpha <2``]

[3점]

① [eqn: -2``≦` `alpha ``<`-1]	② [eqn: -1``≦`` alpha ``<``0]	③[eqn: ``0``≦`` alpha ``<``1]

④[eqn: ``1``≦`` alpha ``<``2]	⑤[eqn: ``2``≦`` alpha ``<``3]

[eqn: f``(`x``)`]의 부정적분 [eqn: F``(`x``)`]와 [eqn: g``(`x``)`]의 부정적분 [eqn: G``(`x``)`]가 다음 관계식을 만족한다.
[eqn: f``(x`)= { G``(x`)+g``(x`)} over { 2} ,~g``(x`)= { F``(x`)+f``(x`)} over { 2}`]
[eqn: f``(0)=0,~g``(0)=2`]일 때, [eqn: f``(1)+g``(1)`]의 값은? (단, [eqn: e`]는 자연로그의 밑이다.) [3점]

⑤

[eqn: F`'(x)=f`(x)``], [eqn: G`'(x)=g`(x)``]이고 두 식을 변변 더하면

[eqn: f`(x)+g`(x)= { (F`(x)+G`(x))+(f`(x)+g`(x))} over {2 } ``]

정리하면 [eqn: F`(x)+G`(x)=f`(x)+g`(x)``]이다.

양변을 [eqn: x``]에 관하여 미분하면

[eqn: F`'(x)+G`'(x)=(f`(x) +g`(x))`'``]

[eqn: (f`(x)+g`(x)) prime =f`(x)+g`(x)``]

[eqn: {LEFT ( f(x)+g(x) RIGHT ) '} over {f(x)+g(x)} =1]

양변을 적분하면

[eqn: ln LEFT ( f(x)+g(x) RIGHT ) =x+C]

[eqn: f(x)+g(x)=e ^{x+C}]

양변에 [eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: C=`ln2]

[eqn: f(x)+g(x)=e ^{x+ln2} =e ^{x} `e ^{ln2} =2e ^{x}]

[eqn: THEREFORE ``f`(1)+g`(1)=2e``]

① [eqn: -2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 1+e]	④ [eqn: 2+ e]	⑤ [eqn: 2 e]

아래 그림과 같이 원 [eqn: rm O_1`] 밖의 한 점 [eqn: rmP`]에서 원 [eqn: rm O_1`]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmQ,`R`]이라고 하자. 이 때, [eqn: rmbarPR = 6 SQRT { 3}], [eqn: rmANGLE RPQ=60〫] 이다. 선분 [eqn: rmPQ`]와 선분 [eqn: rmPR`]에 접하고 원 [eqn: rm O_1`]에 외접하는 원 [eqn: rmO_2]를 그린다. 이와 같은 방법으로 원 [eqn: rm O_3 ,``O_4 , `CDOTS``]를 계속 그려 나갈 때, 원 [eqn: rm O _{1} ,```O _{2} ,```O _{3} ,```O _{4} , CDOTS ``]의 반지름 길이의 총합은? [3점]

②

[eqn: rmO_n]

[eqn: rmP]

[eqn: r_n +r_n+1 ``]

[eqn: rmO_n+1]

[eqn: 60〫]

[eqn: r_n -r_n+1 ``]

[eqn: 30 DEG]

그림에서

[eqn: { r_n -r_n+1 } over {r_n +r_n+1 } =sin 30 DEG = { 1} over { 2} ``]

[eqn: THEREFORE ~r_n+1 = { 1} over {3 } r_n``]이고

[eqn: { r_1 } over {6 SQRT { 3} } =tan 30 DEG = { 1} over { SQRT { 3} } ``]

[eqn: THEREFORE ~r_1 =6``]이므로

[eqn: THEREFORE ~r_n =6 CDOT LEFT ( { 1} over {3 } RIGHT ) ^n-1``]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE ~ SUM from { { n}=1} to inf r_n =SUM from { { n}=1} to inf 6 CDOT LEFT ( { 1} over {3 } RIGHT ) ^n-1 = { 6} over { 1- { 1} over { 3} } =9``]

[eqn: rmO_3]

[eqn: rmO_1]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: 6SQRT { 3}]

[eqn: rmR]

[eqn: rmO_2]

[eqn: 60〫]

① [eqn: 5 SQRT { 3}]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 6 SQRT { 3}]	⑤ [eqn: 12]

좌표평면 위의 두 영역 [eqn: A,~B`]가
[eqn: A=LEFT{(x,~y) line x^2 +y^2 `≦`8 ``right},`] [eqn: B=LEFT{(x,~y) line LEFT | x `RIGHT | + LEFT | y` RIGHT | `≦`1 ``right}`]
이고, 일차변환 [eqn: f`````]의 행렬이 [eqn: {pmatrix{sqrt {2}&````0``#&````#sqrt {2} ```&0}}]이다.
영역 [eqn: B```]가 일차변환 [eqn: f``^(n) ```]에 의하여 옮겨지는 영역을 [eqn: B_n`]이라 할 때, [eqn: A`⊂`B_n``]이 되도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은?
(단, [eqn: f``^(1) =f , ~f``^(n+1) =f`∘f``^(n)` `], [eqn: n`]은 자연수) [3점]

③

일차변환 [eqn: f`^(n)``]을 나타내는 행렬은

[eqn: {pmatrix{sqrt {2}&0#sqrt {2}&0}} ^{n} = {pmatrix{sqrt {2} ` ^{n}&0#sqrt {2} ` ^{n}&0}} = sqrt {2} ` ^{n} {pmatrix{1&0#0&1}}] 이므로

[eqn: LEFT ( pile{x`'#y`'} RIGHT ) = sqrt {2} ` ^{n} {pmatrix{1&0#0&1}} LEFT ( pile{x#y} RIGHT )] 에서 [eqn: x`'={ SQRT { 2}}^n x ,~y`'= {SQRT { 2}}^n y``]

[eqn: THEREFORE ~~x= { 1} over {{ SQRT { 2}}^n } x`',~y= { 1} over {{SQRT {2 }}^n } y`'``]을 영역[eqn: B``]의 식에 대입하면

[eqn: LEFT | { 1} over { {SQRT { 2}}^n } x`' RIGHT | + LEFT | { 1} over { {SQRT { 2}}^n } y`' RIGHT |≦1~~ LRARROW ~~ LEFT | x`' RIGHT | +LEFT | y`' RIGHT | ≦ {SQRT { 2}}^n ``]이므로

[eqn: THEREFORE ``B _{n} = LEFT { (x,~y) vert LEFT | x` RIGHT | + LEFT | y` RIGHT | ` <= ` sqrt {2} ^{n} `` RIGHT } `] : 마름모의 내부

또, [eqn: A=LEFT{(x,~y) line x^2 +y^2 `≦`8 ``right}``] : 원의 내부 (단, 경계포함)

[eqn: A`⊂`B_n``]이 되려면 아래그림에서

[eqn: 2 SQRT { 2} ``]

[eqn: {SQRT { 2} }^n``]

[eqn: {SQRT { 2} }^n``]

[eqn: - {SQRT { 2} }^n``]

[eqn: - {SQRT { 2} }^n``]

[eqn: y``]

[eqn: O``]

[eqn: x``]

원의 중심에서 직선 [eqn: x+y-{ SQRT { 2} }^n =0``]까지의 거리가 [eqn: 2 SQRT { 2} ``]보다 크거나 같으면 된다. 그러므로 점에서 직선사이의 거리공식을 이용하면

[eqn: { LEFT | -{ SQRT { 2}}^n RIGHT | } over { SQRT { 2} } ≧2 SQRT { 2} ~~ LRARROW ~~{ SQRT { 2} }^n ≧4~~ LRARROW ~~2^{ { n} over {2 } }≧2^2``]

[eqn: THEREFORE ~~ { n} over {2 } ≧2~~ THEREFORE ~~n≧4``]이므로 최솟값은 [eqn: 4``]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

복소수 [eqn: z```]가 [eqn: LEFT |` z+6-8i`` RIGHT | =5`]를 만족할 때, [eqn: arg```z`]의 최댓값과 최솟값의 차는? (단, [eqn: arg```z`]는 [eqn: z`]의 편각이고, [eqn: 0``≦`arg```z````<`2pi`]이다.) [3점]

③

[eqn: LEFT |` z-(-6+8i`)`` RIGHT | =5`]을 만족하는 점[eqn: z``]는 복소평면에서 [eqn: -6+8i``]을 중심으로 하고 반지름이 [eqn: 5``]인 원 위를 움직인다.

또, 편각이란 원점과 점[eqn: z``]를 이은 선분이 실수축의 양의방향과 이루는 각의 크기이므로 아래그림에서 점 [eqn: z``]의 편각 [eqn: arg `z``]의 최댓값은 [eqn: alpha ``]이고 최솟값은 [eqn: beta ``]이다.

[eqn: x``]

[eqn: y``]

[eqn: O``]

[eqn: alpha ``]

[eqn: beta ``]

[eqn: -6+8i``]

●

[eqn: 10``]

[eqn: 5``]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: THEREFORE ~ alpha - beta = { pi } over {3 } ``]

① [eqn: { pi} over {6 }]	② [eqn: { pi} over {4 }]	③ [eqn: { pi} over {3 }]	④ [eqn: { pi} over {2 }]	⑤ [eqn: { 2pi} over {3}]

곡선 [eqn: y=x^x``(x`>`0`)] 위의 점 [eqn: (2,`4)`]에서 접선의 기울기는?

④

[eqn: y=x^x ``]의 양변에 밑이 [eqn: e``]인 자연로그를 취하면

[eqn: ln y= x``ln `x ``]이고, 이 식을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: { y`'} over { y} =ln`x +x TIMES { 1} over {x }]

[eqn: THEREFORE ~y`'=x`^x (ln`x +1)``]이므로 접선의 기울기 [eqn: m``]은

[eqn: THEREFORE ~~m=y`'_{x=2} =4(ln`2 +1)``]이다.

[3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 2(1+ln`2)]	③ [eqn: 4(1-ln`2)]
④ [eqn: 4(1+ln`2)]	⑤ [eqn: 4(1+2ln`2)]

자연수 [eqn: n```]은 [eqn: n`=p _{1}^{m _{1}} ``p _{2}^{m _{2}} ` CDOTS `p _{r}^{m _{r}}] (단, [eqn: m_1 , `m_2 , `cdots, `m_r`]은 음이 아닌 정수이고, [eqn: p _{1} `,```p _{2} `,`` CDOTS `,```p _{r} `]은 모두 서로 다른 소수이다.)과 같이 유일하게 소인수분해된다.
이 때, [eqn: f`(n)= m_1 + m_2 + CDOTS + m_r`]로 정의한다. 예를 들면,
[eqn: f`(10)= f`(2^1`․5^1 )=1+1=2`]이다. 다음 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

③

ㄱ. [eqn: f`(10^4 )=f`(2^4 CDOT 5^4 )=4+4=8``]

[eqn: f`(10^5 )=f`(2^5 CDOT 5^5 )=5+5=10``]이므로

[eqn: THEREFORE ~~f``(10^4` )`<`f``(10^5` )`]

ㄴ. (반례) [eqn: n_1 =6~ <~n_2 =10``]이면

[eqn: f`(n_1 )=f`(6)=f`(2 CDOT 3)=1+1=2``]

[eqn: f`(n_2 )=f`(10)=f`(2 CDOT 5)=1+1=2``]이므로

[eqn: THEREFORE ~~f`(n_1 )=f`(n_2 )``]이되어 모순이다.

ㄷ.  자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: f`(2^n +2^n+3` )=f`(2^n (1+2^3 ))=f`(2^n CDOT 3^2 )=n+2``]

ㄱ. [eqn: f``(10^4` )`<`f``(10^5` )`]

ㄴ. [eqn: n_1`<`n_2`]이면 [eqn: f``(n_1`)`<`f``(n_2 `)`]이다.

ㄷ. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f``(2^n +2^n+3 `)`=n+2`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: a `>`b`>`0`]일 때, 직선 [eqn: y=ax``]에 대한 대칭변환을 [eqn: T_1 `], 직선 [eqn: y=bx``]에 대한 대칭변환을 [eqn: T_2 `]라 하자. 점[eqn: (1,`0)`]이 합성변환 [eqn: T_1 ∘T_2 `]에 의하여 점[eqn: (0,`1)`]로 옮겨질 때,  [eqn: a```]와 [eqn: b```]가 만족하는 식은? [4점]

④

[eqn: a `>`b`>`0`]일 때,

[eqn: 45 DEG]

[eqn: x``]

[eqn: y=ax``]

[eqn: y=bx``]

[eqn: y=x``]

[eqn: y``]

[eqn: O``]

[eqn: alpha ``]

[eqn: beta ``]

[eqn: (0,```1)``]

[eqn: (1,````0)``]

점[eqn: (1,```0)``]이 합성변환 [eqn: T_1 CIRC T_2``]에 의하여 점 [eqn: (0,```1)``]로 옮겨지려면 위의 그림에서 처럼 직각삼각형 4개가 모두 합동이다. 그러므로 직선 [eqn: y=ax``]와 직선 [eqn: y=bx``]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 45 DEG ``]이다.

그러므로 직선 [eqn: y=ax``]가 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: alpha ```]라 두면 [eqn: tan alpha =a``]이고,

직선 [eqn: y=bx``]가 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: beta ```]라 두면 [eqn: tan beta =b``]이고, [eqn: alpha -beta =45 DEG]이므로

삼각함수의 덧셈정리를 이용하면

[eqn: tan ( alpha - beta )= { tan alpha -tan beta } over { 1+tan alpha`` tan beta } ``]에서

[eqn: { a-b} over {1+a b } =1``] [eqn: THEREFORE ~~a b -a+b =-1``]

① [eqn: a+b=3]	② [eqn: ab-a-b=2]	③ [eqn: ab=1]
④ [eqn: ab-a+b=-1`]	⑤ [eqn: ab+a+b=1]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f``(n`)`]을 [eqn: f``(n`)= 1 TIMES 2 TIMES 3 TIMES CDOTS TIMES n`]이라고 정의할 때, [eqn: N= f``(1`) +f``(2) +f``(3`) + CDOTS +f``(2003`)`]의 십의 자리 숫자는? [4점]

①

[eqn: 100=2^2 TIMES 5^2 ``]이므로

[eqn: f`(10) & =1 TIMES 2 TIMES 3 TIMES CDOTS TIMES 10]

[eqn: =2 ^{LEFT [ {10} over {2} RIGHT ] + LEFT [ {10} over {2 ^{2}} RIGHT ] + LEFT [ {10} over {2 ^{3}} RIGHT ]} TIMES 3 ^{LEFT [ {10} over {3} RIGHT ] + LEFT [ {10} over {3 ^{2}} RIGHT ]} TIMES 5 ^{LEFT [ {10} over {5} RIGHT ]} TIMES 7]

[eqn: =2 ^{8} TIMES 3 ^{4} TIMES 5 ^{2} TIMES 7=2 ^{6} TIMES 3 ^{4} TIMES 7 TIMES 100``]

이므로 [eqn: f`(10)``]에서 [eqn: f`(2003)``]까지의 십의 자리수는 [eqn: 0``]이다.

[eqn: f`(1)=1``], [eqn: f`(2)=1 TIMES 2 =2``] , [eqn: f`(3)=1 TIMES 2 TIMES 3 =6``],

[eqn: f`(4)=24```], [eqn: f`(5)=120``],[eqn: f`(6)=720``], [eqn: f`(7)=5040``],

[eqn: f`(8)=15320``], [eqn: f`(9)=137880``]  그러므로

[eqn: f`(1)+f`(2)+f`(3)+ CDOTS +f`(9)``]의 십의 자리수는 [eqn: 1``]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 7]

다음과 같이 정의된 함수
[eqn: f``(`x`)`=cases{ &{ x^2} over { 2} +x+ { 3} over { 2} ~(x``<1)# &-x^2 +4x ~~~~`(x``≧`1)}]
가 있다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

⑤

[eqn: f_1 (x)= { x^2} over { 2} +x+ { 3} over {2 } ``], [eqn: f_2 (x)= -x^2 +4x```]라 두면

[eqn: f_1 '(x)= x+1````(x<1)``], [eqn: f_2 '(x)= -2x+4``(x≧1)``]

ㄱ. [eqn: f`(1)=f_1 (1)=f_2 (1)=3``]이고,   [eqn: lim from { x ->1 } f`(x) =3``]

[eqn: BECAUSE) ~ lim from { x ->1-0 } LEFT ( { x^2} over { 2} +x+ { 3} over {2 } RIGHT ) = lim from { x ->1+0 } (-x^2 +4x)=3``]

[eqn: THEREFORE ~f`(1)= lim from { x ->1 } f`(x)``]이므로 연속이다.

ㄴ. [eqn: f``'(1) =2``]이므로 미분가능이다.  [eqn: BECAUSE )~f_1 '(1) =f_2 '(1)=2``]

ㄷ. [eqn: f``'(1) =f_1 '(1) =f_2 '(1)=2``] 이고   [eqn: lim from { x ->1 } f``'(x)=2``]

[eqn: BECAUSE) ~ lim from { x ->1-0 } LEFT ( x+1 RIGHT ) = lim from { x ->1+0 } (-2x+4)=2``]

[eqn: THEREFORE ~f``'(1)= lim from { x ->1 } f``'(x)``]이므로 연속이다.

ㄱ. [eqn: f``(`x`)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

ㄴ. [eqn: f``(`x`)`]는 [eqn: x=1`]에서 미분가능하다.

ㄷ. [eqn: f``(`x`)`]의 도함수 [eqn: f``′(`x`)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: y=f``(x`)]의 그래프가 아래 그림과 같다. 함수 [eqn: g``(x`)`]의 도함수 [eqn: g`′(x`)`]가 [eqn: g`′(x`)`=-f``(-x`)`]일 때, [eqn: g``(x`)`]의 극대점과 극소점의 개수를 순서대로 구하면? (단, 함수 [eqn: f``(x`)`]의 그래프는
[eqn: x= alpha ,````x= beta `]에서 [eqn: x`]축에 접한다.) [3점]

③

함수 [eqn: g``'(x)=-f`(-x)``]은 [eqn: y=f`(x)``]를 원점에 대하여 대칭이동

한 그래프이다.

주어진 함수[eqn: y=f`(x)``]의 그래프가 [eqn: x```]축과 만나는 교점을

[eqn: alpha < p<0<q< beta ``]라 두면

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

-[eqn: alpha]

-[eqn: beta]

[eqn: -p``]

[eqn: y=g`'(x)``]

[eqn: -q``]

함수 [eqn: y=g`(x)``]의 증감표를 그리면

[eqn: x``]	…	[eqn: - beta ``]	…	[eqn: -q``]	…	[eqn: 0``]	…	[eqn: -p``]	…	[eqn: - alpha ``]	…
[eqn: g`'(x)``]	+	0	+	0	-	0	+	0	-	0	-
[eqn: g`(x)``]	↗		↗	大	↘	小	↗	大	↘		↘

위의 증감표에서   [eqn: THEREFORE ~~]극대점 : 2개 , 극소점 : 1개

① [eqn: 1,~1]	② [eqn: 1,~2]	③ [eqn: 2,~1]
④ [eqn: 2,~2]	⑤ [eqn: 3,~3]

아래 그림과 같이 직선 [eqn: l``]이 삼각형[eqn: rmABC`]의 두 변[eqn: rmAB`], [eqn: rmAC`]와 각각 [eqn: RMD,`F`]에서 만나고, 변[eqn: rmBC`]의 연장선과 직선 [eqn: l```]이 점[eqn: RME`]에서 만난다.

③

[증 명] 점[eqn: rmA,`B,`C`]에서 직선[eqn: l```]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmL,`M,`N`]이라고 하자.

[eqn: MATRIX {( TRIANGLE rmADL)∽ TRIANGLE rmBDM, ``` TRIANGLE rm BEM∽ TRIANGLE rmCEN`,``` TRIANGLE rmCFN∽ TRIANGLE rmAFL}]       이므로  삼각형의 닮음에서 [eqn: bar \AD ~:~bar \AL =bar \BD ~:~bar \BM``]

[eqn: bar \BE ~:~bar \BM =bar \CE ~:~bar \CN``]이므로

[eqn: MATRIX{rm {barAD } over {(bar \BD) } ={barAL } over {barBM } ,`````RM {barBE } over {barCE } ={(bar \BM) } over {barCN } `,`````rm {barCF } over {barAF } ={barCN } over {barAL } }] 이고,

이를 정리하면 [eqn: {RMbarAD } over {(bar \BD) } RMCDOT {barBE } over {RMbarCE } CDOT {barCF } over {barAF } =1`]을 얻을 수 있다.

[eqn: l``]

이 때, [eqn: {RMbarAD } over {(가) } RMCDOT {barBE } over {RMbarCE } CDOT {barCF } over {barAF } =1`]임을 보이는 다음의 [증명]과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면? [3점]

[증 명]

점[eqn: rmA,`B,`C`]에서 직선 [eqn: l```]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmL,`M,`N`]이라고 하자.

[eqn: ```````(나)````` PROPTO `` TRIANGLE BDM]

[eqn: TRIANGLE BEM``` PROPTO TRIANGLE CEN]

[eqn: TRIANGLE CFN``` PROPTO TRIANGLE AFL]

이므로

[eqn: {bar{AD}} over {(가)} `=` {bar{AL}} over {bar{BM}}] , [eqn: {bar{BE}} over {bar{CE}} `=` {(다)} over {bar{CN}}] ,  [eqn: {bar{CF}} over {bar{AF}} `=` {bar{CN}} over {bar{AL}}]

이고, 이를 정리하면 [eqn: {RMbarAD } over {(가) } RMCDOT {barBE } over {RMbarCE } CDOT {barCF } over {barAF } =1`]을 얻을 수 있다.

① [eqn: RMBARBM`,~△CEN,~BARBE]	② [eqn: RMBARBM`,~△CEN,~BARBM]

③ [eqn: RMBAR{BD}` ,~△ADL,~BARBM]	④ [eqn: RMBAR{BD}` ,~△ADL,~BARBE]

⑤ [eqn: RMBAR{CN},~△CEN,~BARBE]

다음은 폐구간 [eqn: [a,~b`]`]에서 연속인 함수 [eqn: f``(`x`)`]에 대하여
[eqn: F``(`x`)= INT _{ a}^{ x} f``(t`)`dt`]의 어떤 성질을 증명하는 과정이다.
(가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면? [3점]

①

(ⅰ) [eqn: h>0``]일 때,

[eqn: x``]와 [eqn: x+h``]가 개구간 [eqn: (a,```b)``]안에 있다면

[eqn: F`(x)= INT _{ a}^{x } f`(t) dt``]에서

[eqn: F`(x+h)-F`(x) & = int _{a} ^{x+h} {} f`(t)dt- int _{a} ^{x} {} f`(t)dt= int _{x} ^{x+h} {} f`(t)dt``] 이다.

또, [eqn: f`(x)``]는 구간 [eqn: LEFT [ a,```b RIGHT ] ``]에서 연속이므로 최대․최소정리에 의하여 적당한 상수 [eqn: m,```M(m≦M)``]이 존재하여

[eqn: mh≦ INT _{ x}^{ x+h} f`(t) dt ≦Mh``]이다.

양변을 [eqn: h```]로 나누고 [eqn: h -> +0``]이면 [eqn: m``]과 [eqn: M``]이 같아지므로

[eqn: lim from { h -> +0 } { F``(`x+h`) -F``(x`)} over {h } =f``(x`)`] 이다.

(ⅱ)[eqn: h``<`0`]일 때   (ⅰ)과 동일한 방법으로

[eqn: lim from { h -> -0 } { F``(`x+h`) -F``(x`)} over {h } =f``(x`)`] 임을 알 수 있다.

그러므로(ⅰ),(ⅱ)에 의하여[eqn: lim from { h -> 0 } { F``(`x+h`) -F``(x`)} over {h } =f``(x`)`]이다.

즉, [eqn: THEREFORE ~~F`'(x)=f`(x)``]

[증 명]

(ⅰ)[eqn: h`>`0`]일 때,

[eqn: x```]와 [eqn: x+h`]가 개구간 [eqn: (a,~b`)`] 안에 있다면

[eqn: F``(`x+h`)-F``(`x`)=] 이고

(가)

[eqn: f``(`x`)`]는 정의된 구간에서 이므로

(나)

적당한 상수 [eqn: m,`M~(m ``≦`M``)`]이 존재하여

[eqn: mh``≦``][eqn: ≦``Mh`]이다.

(가)

양변을 [eqn: h`]로 나누고 [eqn: h→+0`]이면 [eqn: m`]과 [eqn: M`]이 같아지므로

[eqn: lim from { h -> +0 } { F``(`x+h`) -F``(x`)} over {h } =f``(x`)```]이다.

(ⅱ)[eqn: h``<`0`]일 때

(ⅰ)과 동일한 방법으로

[eqn: lim from { h -> -0 } { F``(`x+h`) -F``(x`)} over {h } =f``(x`)```]임을 알 수 있다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여  이다.

(다)

① [eqn: INT _{ x}^{ x+h} f``(t`)dt```],  연속인 함수, [eqn: F``′(`x`)= f``(` x`)`]

② [eqn: INT _{ x}^{ x+h} f``(t`)dt```],  미분가능한 함수, [eqn: F``′(`x`)= f``(` x`)`]

③ [eqn: INT _{ a}^{ x+h} f``(t`)dt```],  연속인 함수, [eqn: F``′(`x`)= f``(` x`)`]

④ [eqn: INT _{ a}^{ x+h} f``(t`)dt```], 연속인 함수, [eqn: F``′(`x`)`]는 [eqn: [a,`b`]`]에서 연속

⑤ [eqn: INT _{ a}^{ x+h} f``(t`)dt```], 미분가능한 함수, [eqn: F``′(`x`)`]는 [eqn: [a,`b`]`]에서 연속

일반항이 [eqn: a_n =n left(root {{ n-1} over {4n+1 } }-a `right)`(n`≧`1)`]인 수열 [eqn: left{a_n `right}`]에 대하여 다음은 [eqn: lim from { n `-> `inf } a_n`]이 존재하도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값과 이 때, [eqn: lim from { n `-> `inf } a_n`]의 값을 구하는 과정이다. <풀이>에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면? [4점]

⑤

[eqn: lim from { n -> inf } a_n= lim from { n -> inf } { SQRT { { n-1} over {4n+1 } } -a} over { { 1} over {n } } ``]이 수렴하려면

[eqn: lim from { n -> inf } { 1} over {n } =0``]이므로 [eqn: lim from { n -> inf } LEFT ( SQRT { { n-1} over {4n+1 } }-a RIGHT ) =0````]이다.

그러므로 윗 식에서 [eqn: { 1} over {2 } -a=0~~~ THEREFORE ~a= { 1} over { 2} ``]이다.

따라서, [eqn: lim from { n -> inf } a_n= lim from { n -> inf } { SQRT { { n-1} over {4n+1 } } - { 1} over {2 } } over { { 1} over {n } }]

[eqn: = lim from { n -> inf } { LEFT ( SQRT { { n-1} over {4n+1 } } - { 1} over {2 } RIGHT ) LEFT ( SQRT { { n-1} over {4n+1 } } + { 1} over {2 } RIGHT ) } over { { 1} over {n } LEFT ( SQRT { { n-1} over {4n+1 } } + { 1} over {2 } RIGHT ) }]

[eqn: = lim from { n -> inf } { { n-1} over {4n+1 }- { 1} over {4 } } over { { 1} over {n } LEFT ( SQRT { { n-1} over {4n+1 } } + { 1} over {2 } RIGHT ) }]

[eqn: = lim from { n -> inf } { { -5n} over {4(4n+1) } } over { SQRT { { n-1} over {4n+1 } } + { 1} over {2 } } = { - { 5} over {16 } } over { { 1} over { 2} + { 1} over { 2} } =- { 5} over {16 }]

[eqn: a_n =n left(root {{ n-1} over {4n+1 } }-a `right)= {root {{ n-1} over {4n+1 } }-a } over { { 1} over {n } }`]

이므로 이 수열이 수렴하려면

[eqn: lim from { n -> inf } left(root {{ n-1} over {4n+1 } }-a `right)`=] 이다.

(가)

그러므로 [eqn: a=`]이다.

(나)

따라서,[eqn: lim from { n `-> `inf } a_n`=]이다.

(다)

① [eqn: 1,~`~{ 1} over { 2},``- { 5} over {4 }]	② [eqn: 1,`-{ 1} over { 2},``- { 5} over {4 }]

③ [eqn: 0,~~`{ 1} over { 2},```- { 5} over {4 }]	④ [eqn: 0,`-{ 1} over { 2},`- { 5} over {16 }]

⑤ [eqn: 0,~~`{ 1} over { 2},`-{ 5} over {16 }]

한국오페라하우스의 좌석은 [eqn: A SIM G```]까지 [eqn: 7``]개의 열로 구성되어 있고, 각 열에는 [eqn: 55``]개의 행이 같은 규칙으로 배열되어 있다. 예를 들어, [eqn: A```]열의 행들이 아래와 같이 배열되어 있을 때, 한국오페라하우스의 총 좌석수는? [4점]

②

A열의 총 좌석수를 [eqn: S``]라 두면

[eqn: S & =1 TIMES 5+2 TIMES 6+3 TIMES 7+ CDOTS +10 TIMES 14]

[eqn: = sum _{n=1} ^{10} n(n+4)= sum _{n=1} ^{10} (n ^{2} +4n)]

[eqn: = {10 CDOT 11 CDOT 21} over {6} +4 TIMES {10 CDOT 11} over {2} =605``]

그러므로 총 좌석수는 [eqn: THEREFORE ~605 TIMES 7 =4,235``]

[eqn: 1``]행           ---    [eqn: 5`]개

[eqn: 2``]행, [eqn: 3``]행      --- 각 [eqn: 6`]개

[eqn: 4``]행, [eqn: 5``]행, [eqn: 6``]행 --- 각 [eqn: 7`]개

․

․

․

․

․

․

① [eqn: 3,542]	② [eqn: 4,235]	③ [eqn: 5,733]

④ [eqn: 11,172]	⑤ [eqn: 21,175]

공간의 두 점 [eqn: (0,~2,~-3),~(0,`-1,~0)`]을 지나고, 평면
[eqn: y+z=5`]와 [eqn: 45̊]의 각을 이루는 평면이 [eqn: x`]축과 만나는 점의 좌표는? [4점]

①

[eqn: A(0,~2,~-3),~B(0,`-1,~0)`]라 두면[eqn: vec AB =(0,```-3,```3)``]이고

평면의 방정식의 법선벡터를 [eqn: vec n =(a,```b,```c)``]라 두면

ⅰ) [eqn: vec n BOT vec AB ~~ LRARROW ~~vec n CDOT vec AB =0``] [eqn: -3b+3c=0~~ THEREFORE c=b`` CDOTS CDOTS ①]

ⅱ) 평면 [eqn: y+z=5``]과 이루는 각이 [eqn: 45 DEG]이므로

이 평면의 법선벡터를 [eqn: vec n`'=(0,```1,```1)``]라 두면

[eqn: vec n ``]와 [eqn: vec n`'``]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 45 DEG ``]이므로

[eqn: vec n CDOT vec n`' = LEFT | vec n RIGHT | LEFT | vec n`' RIGHT | cos 45 DEG `]

[eqn: b+c = SQRT { a^2 +b^2 +c^2 } ```SQRT {2 } TIMES { 1} over { SQRT { 2} } ``]

양변제곱하여 정리하면 [eqn: a^2 =2bc``]이므로 ①을 대입하면

[eqn: a^2 =2b^2 ~~ THEREFORE ~a= +- SQRT { 2} b`` CDOTS CDOTS ②``]

①, ②에서 평면의 방정식의 방향비는

[eqn: a```:```b```:```c```= +- SQRT { 2} ```:```1```:```1``]이므로

평면의 방정식은 [eqn: +- SQRT { 2} (x-0)+(y-2)+(z+3)=0```]

[eqn: THEREFORE ~ +- SQRT { 2} x+y+z+1=0```]이다.

[eqn: x``]축과 만나는 점의 좌표는 [eqn: y=0,~z=0``]을 대입하면

[eqn: x= +- { SQRT { 2} } over { 2} ``] [eqn: THEREFORE ~ LEFT ( +- { SQRT { 2} } over {2 } ,```0,```0 RIGHT ) ``]

① [eqn: (± { sqrt 2} over {2} },`0,`0)]	② [eqn: (± 1,`0,`0)]       ③ [eqn: (± SQRT { 2} ,`0,`0)]

④ [eqn: (± 2 ,`0,`0)]	⑤ [eqn: (± 2 SQRT { 2} ,`0,`0)]

[eqn: D```]대학교 [eqn: 2003``]년도 학생 복지금은 학교 전체 예산의 [eqn: 1.1``%```]라고 한다. [eqn: 2003``]년부터 이 대학교는 매년 학교 예산과 학생 복지금을 전년대비 각각 [eqn: 5``%`], [eqn: 7``%`]씩 늘려갈 계획이다. 그러면, 학생 복지금이 학교 예산의 [eqn: 1.3``%```] 이상이 되는 것은 몇 년 후인가? (단, 아래 상용로그표에 있는 값만 이용하여 계산하시오.)

①

[eqn: 2003``]년도 학교 전체 예산을 [eqn: A``]원이라 두면

	학교전체예산	학생복지금
2003년도	[eqn: A``]	[eqn: 0.011A``]
[eqn: n``]년 후	[eqn: (1+0.05)^n ``A``]	[eqn: (1+0.07)^n `` 0.011``A]

[eqn: (1+0.07)^n ``0.011``A ≧0.013 TIMES (1+0.05)^n `A``]이므로

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n``log 1.07 +log 0.011≧n``log 1.05+log 0.013``]

[eqn: (log 1.07 -log 1.05)`n ≧log 0.013 -log 0.011``]

주어진 상용로그표에서

[eqn: log 1.07 =0.0294 ,~log 1.05=0.0212``]

[eqn: log 1.3 =0.1139``]이므로 [eqn: log 0.013= -2+0.1139``]이고,

[eqn: log 1.1 =0.0414``]이므로 [eqn: log 0.011=-2+0.0414``]이다.

[eqn: THEREFORE ~(0.0294-0.0212)``n≧(-2+0.1139)-(-2+0.0414)``]

[eqn: 0.0082 TIMES n ≧ 0.0725``]

[eqn: THEREFORE ~n≧8.8 CDOTS ``]이므로 [eqn: 9``]년후

[4점]

상용로그표
	0	1	…	4	5	6	7
1.0	.0000	.0043	…	.0170	.0212	.0253	.0294
1.1	.0414	.0453	…	.0569	.0607	.0645	.0682
1.2	.0792	.0828	…	.0934	.0969	.1004	.1038
1.3	.1139	.1173	…	.1271	.1303	.1335	.1367
1.4	.1461	.1492	…	.1584	.1614	.1644	.1673

① [eqn: 9`]년	② [eqn: 10`]년	③ [eqn: 11`]년	④ [eqn: 12`]년	⑤ [eqn: 13`]년

주관식 문항 (25～30)

서로 다른 두 실수 [eqn: a,`b`]에 대하여 함수 [eqn: f`(`x`)= LEFT | log_2`` x - 2`RIGHT |]가 [eqn: f``(a)=f``(b)`]를 만족할 때, [eqn: a `times`b`]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 16``]

[eqn: LEFT | log_2 `a-2 RIGHT | = LEFT | log_2 `b -2 RIGHT | ``]이고, [eqn: a != b```]이므로

[eqn: log_2` a-2 =- LEFT ( log_2 `b -2 RIGHT ) ``]

[eqn: log_2 `a+ log_2 `b =4``]

[eqn: log_2 `a b =4~~ LRARROW ~~ THEREFORE ~a b =16``]

삼차식 [eqn: f``(x`)`]와 이차식 [eqn: g``(`x`)`]가
[eqn: f``(`1+2 it i`)=3+2 `i`,~g``(`1+2 i`)=0`]
을 만족한다. [eqn: f``(`x`)`]를 [eqn: g``(x`)`]로 나눈 나머지를 [eqn: R``(`x`)`]라고 할 때, [eqn: R``(`10`)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: it i= SQRT { -1}` `]이고 [eqn: f``(x`)`]와 [eqn: g``(x`)`]의 계수는 모두 실수이다.) [3점]

[eqn: 12``]

[eqn: f`(x)``]를 [eqn: g`(x)``]로 나눈 몫을 [eqn: Q`(x)``], 나머지를 [eqn: ax+b``]라 두면

[eqn: f`(x)=g`(x) Q(x)+ax+b``] (단, [eqn: a, ```b``]는 실수)

[eqn: x=1+2i``]을 대입하면

[eqn: f`(1+2i) =g`(1+2i)Q(1+2i)+a(1+2i)+b``]

[eqn: 3+2i =(a+b)+2ai``]이므로 복소수의 상등에 의하여

[eqn: a+b=3,~2a=1``] [eqn: THEREFORE ~a=1,~b=2``]

[eqn: R(x)=x+2```]   [eqn: THEREFORE ~R(10)=12```]

타원 [eqn: 9x^2 +16y^2 =144`]위의 점[eqn: (x,`y)`]에 대하여 [eqn: x+y`]의 최댓값을 [eqn: M`]이라 할 때, [eqn: M`^2 `]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 25``]

[eqn: x+y=k``]라 두고 이 식을 타원에 대입하면

[eqn: 9x^2 +16(k-x)^2 =144``]

[eqn: 25x^2 -32k`x+(16k^2 -144)=0``]이 두 실근을 가져야하므로

[eqn: { D} over {4 } =(16k)^2 -25(16k^2 -144)≧0``]

[eqn: 144`k^2 ≦25 TIMES 144``]

[eqn: THEREFORE ~~k^2 ≦ 25``]이므로

[eqn: -5≦k≦5``]이므로 최댓값 [eqn: M=5``]  [eqn: THEREFORE ~M^2 =25``]

방정식 [eqn: x^5 =1]의 서로 다른 4개의 허근 [eqn: omega _1 , `omega _2 , ` omega _3 , `omega _4 `]에 대하여 [eqn: {3 {( 1 - omega _1`) ( 1 -omega _2`)( 1 -omega _3`)( 1-omega _4`)}}over{( 1 +omega _1`) ( 1 +omega _2`)( 1 +omega _3`)( 1 +omega _4`)} `]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 15``]

[eqn: x^5 -1=(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x+1 )=0```]이므로

방정식[eqn: x^4 +x^3 +x^2 + x+1=0```]의 근이[eqn: omega _1 ,~ omega _2 ,~ omega _3 ,~ omega _4 ``]이므로

[eqn: x^4 +x^3 +x^2 + x+1=(x- omega _1 )(x- omega _2 )(x- omega _3 )(x- omega _4 )``]이다.

ⅰ) [eqn: x=1``]을 대입하면

[eqn: 5=(1- omega _1 )(1- omega _2 )(1- omega _3 )(1- omega _4 )``]

ⅱ) [eqn: x=-1``]을 대입하면

[eqn: 1=(-1- omega _1 )(-1- omega _2 )(-1- omega _3 )(-1- omega _4 )``]

[eqn: 1=(1+omega _1 )(1+ omega _2 )(1+ omega _3 )(1+ omega _4 )``]

[eqn: THEREFORE ~~{3 {( 1 - omega _1`) ( 1 -omega _2`)( 1 -omega _3`)( 1-omega _4`)}}over{( 1 +omega _1`) ( 1 +omega _2`)( 1 +omega _3`)( 1 +omega _4`)} =15``]

철수가 자기집 정원을 완전하게 소독하려면 세 가지 화합물 [eqn: A,`B,`C`] 가 각각 [eqn: 10`` ㎎,`][eqn: 12``㎎,`][eqn: 12``㎎`]이 최소한 필요하다.
[eqn: A,`B,`C`]의 화합물이 각각 [eqn: 5 ``㎎,`][eqn: 2 ``㎎,`][eqn: 1 ``㎎`]이 혼합된 제품은 한 병에 [eqn: 3``]만원이고, [eqn: 1`` ㎎,`][eqn: 2 ``㎎,`][eqn: 4`` ㎎`]이 혼합된 제품은 한 병에 [eqn: 2``]만원이라면, 두 제품을 이용하여 정원을 완전하게 소독하는데 드는 최소비용은 만원이다. 이 때,  안의 알맞은 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 13``]

[eqn: A,`B,`C`]의 화합물이 각각 [eqn: 5 ㎎,`][eqn: 2 ㎎,`][eqn: 1 ㎎`]이 혼합된 제품을 [eqn: x``]병, 각각 [eqn: 1 ㎎,`] [eqn: 2 ㎎,`] [eqn: 4 ㎎`]이 혼합된 제품을 [eqn: y``]병이 필요하다면

ⅰ) [eqn: cases {x≧0,~y≧0 #5x+y≧10#2x+2y≧12#x+4y≧12}~]

ⅱ) 위의 영역을 도시하면

[eqn: y``]

[eqn: O``]

[eqn: x``]

[eqn: y=-x+6``]

[eqn: y=- { 1} over { 4} x+3``]

[eqn: y=-5x+10``]

[eqn: (4,```2)``]

[eqn: (1,```5)``]

ⅲ) [eqn: 3x+2y=k``](만원)라 두면

[eqn: y=- { 3} over {2 } x+ { k} over {2 } ``]이므로 기울기가 [eqn: - { 3} over { 2} ``]인 직선이다.

위의 점선 그래프 즉, [eqn: (1,```5)``]를 지날 때, 최소이다.

[eqn: THEREFORE ~~13``]만원

곡선 [eqn: y=ln`x`]와 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: y=2`]로 둘러싸인 부분을 [eqn: y`]축의 둘레로 회전하여 생기는 회전체의 부피는  [eqn: pi`]이다.  안에 알맞은 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, [eqn: e^4 =54.58`]로 계산한다.) [4점]

[eqn: 26.79``]

[eqn: x``]

[eqn: y=2``]

[eqn: O``]

[eqn: y``]

[eqn: 1``]

[eqn: y=ln x``]

[eqn: THEREFORE ~~V _{y} & = pi int _{0} ^{2} {} x ^{2} dy= pi int _{0} ^{2} {} e ^{2y} dy]

[eqn: = pi LEFT [ {1} over {2} e ^{2y} RIGHT ] ` _{0} ^{2} = {pi } over {2} LEFT ( e ^{4} -1 RIGHT ) =26.79``]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2004년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설