◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

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수 학 영 역

‘가’형

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2003학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

[eqn: { SQRT { 9+ SQRT { 80``} } ``} over { SQRT { 9- SQRT { 80``} } ``} + { SQRT { 9- SQRT { 80``} } ``} over { SQRT { 9+ SQRT { 80``} } ``}]을 계산하면? [2점]

④

먼저 이중근호를 풀면

[eqn: SQRT { 9 +- SQRT { 80} } = SQRT { 9 +- 2 SQRT { 20} } = SQRT { 5} +- 2``]

[eqn: (준식) & = {sqrt {5} +2} over {sqrt {5} -2} + {sqrt {5} -2} over {sqrt {5} +2}]

[eqn: =( sqrt {5} +2) ^{2} +( sqrt {5} -2) ^{2} =18``]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 36]

집합 [eqn: left{0,~1,~2,~3,~4 right}`]에 대하여 이항연산 ⊕와 ⊗을 다음과 같이 정의한다.

④

이항 연산표를 참고하면

[eqn: 4⊕2=1``]이므로

[eqn: (3⊗x)⊕2=1``` LRARROW ```3⊗x=4`````` THEREFORE x=3``]

⊕	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

⊗	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

방정식[eqn: (``3``⊗``x``)``⊕``2``=``1`]의 해는? [2점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: LEFT | `x-5 `RIGHT | `<`0.1`]을 만족하는 모든 [eqn: x`]에 대하여, [eqn: LEFT |` x^2 -25 `RIGHT | `<`p`]이 성립하도록 하는 [eqn: p` ``]의 최솟값은? [3점]

⑤

[eqn: LEFT | x-5 RIGHT | <0.1~ LRARROW ~-0.1<x-5<0.1~ CDOTS CDOTS ①``]

또, [eqn: -0.1<x-5<0.1 ``이므로```9.9<x+5<10.1 ```CDOTS CDOTS ②``]

[eqn: THEREFORE -1.01<(x-5)(x+5)<1.01~ LRARROW ~ LEFT | x^2 -25 RIGHT | <1.01```]

① [eqn: 0.01]	② [eqn: 0.99]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 1.001]	⑤ [eqn: 1.01]

자연수 [eqn: n`]을 [eqn: n=3^m ․k`] (단, [eqn: m`]은 음이 아닌 정수, [eqn: k` ``]는 [eqn: 3`]의 배수가 아닌 자연수)로 나타냈을 때, [eqn: f``(n`)`=`m`] 이라 하자. 예를 들면, [eqn: f``(36`)`=`f``(3^2 ․4`)`=`2`] 이다.

④

ㄱ. [eqn: 10000=3^0 TIMES 10000``]이므로 [eqn: THEREFORE ``f`(10000)=0``]

ㄴ. 반례) [eqn: f`(3)=1~,~f`(4)=0``]

ㄷ. [eqn: n_1 <n_2 ~이면~f`(3^n_1 )=n_1~ <~f`(3^n_2 )=n_2 이다.``]

ㄱ. [eqn: f``(10000`)`=`0`]이다.

ㄴ. [eqn: n_1 `<`n_2`] 이면 [eqn: f``(n_1` ) `≦`f``(n_2 `)`] 이다.

ㄷ. [eqn: n_1 `<`n_2`] 이면 [eqn: f``(`3^n_1 ` ) `<`f``(`3^n_2` )`] 이다.

위의 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ , ㄷ

집합 [eqn: A`= LEFT { ```0``,``1` RIGHT } ``,`````B= LEFT { ``1``,````4(x-1)``,````x+2`` RIGHT }]에 대하여
[eqn: A` OTIMES B`= LEFT { ab```|`a` IN `A,~b` IN `B RIGHT } `]라 할 때, [eqn: A`⊗B`]의 진부분집합의 개수가 [eqn: 7`]이다. 이 때, [eqn: x`]의 최댓값과 최솟값의 합은? (단, [eqn: x`]는  실수) [4점]

①

[eqn: A⊗B= LEFT { 0,~1,~4(x-1),~x+2``RIGHT }]

⊗	0	1
1	0	1
[eqn: 4(x-1)``]	0	[eqn: 4(x-1)``]
[eqn: x+2``]	0	[eqn: x+2``]

집합[eqn: A⊗B``]의 진부분집합의 개수가 7이므로 원소의 개수는 3개이다.

ⅰ) [eqn: 4(x-1)=x+2~일 때,~ x=2```]

[eqn: RARROW ~A⊗B= LEFT { 0,```1,```4``RIGHT } ``]

ⅱ) [eqn: 4(x-1)=0```]일 때, [eqn: x=1``] [eqn: RARROW ~A⊗B= LEFT { 0,```1,```3``RIGHT } ``]

ⅲ) [eqn: 4(x-1)=1``]일 때, [eqn: x= { 5} over {4 } ``]

[eqn: RARROW ~A⊗B= LEFT { 0,```1,``` { 13} over {4 } ``RIGHT } ``]

ⅳ) [eqn: x+2=0``]일 때, [eqn: x=-2``] [eqn: RARROW ~A⊗B= LEFT { 0,```1,```-12``RIGHT } ``]

ⅴ) [eqn: x+2=1``]일 때, [eqn: x=-1``] [eqn: RARROW ~A⊗B= LEFT { 0,```1,```-8``RIGHT } ``]

[eqn: THEREFORE`````` x``]의 최댓값은 2, 최솟값은 -2

① [eqn: 0]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: - 3over4]	⑤ [eqn: -1]

각 자리 숫자가 [eqn: 1`]부터 [eqn: 9`]까지인 [eqn: 4`]자리 수로 된 여행용 가방의 비밀번호를 잊어버렸다. 그런데, 비밀번호의 일의 자리 숫자는 [eqn: 5`], 백의 자리 숫자는 [eqn: 2`]이고, 비밀번호가 [eqn: 9`]로 나누어 떨어진다는 것을 알고 있다. 이 때, 비밀번호로 가능한 것은 몇 가지인가? [3점]

①

비밀번호가 9로 나누어 떨어지므로 9의 배수이다.

그러므로 각 자리수의 합이 9의 배수이면 된다.

천의 자리수의 숫자를[eqn: a``] 십의 자리의 숫자를[eqn: b``]라 두자.

[eqn: a+2+b+5=9k```(단,~a,`b=1,2,3, CDOTS ,9, k는 ~자연수)``]

ⅰ) [eqn: a+b=2``]일 때, [eqn: (a,```b)=(1,```1)``] [eqn: THEREFORE ``] 1가지

ⅱ) [eqn: a+b=11``]일 때,

[eqn: (a,```b) & =(2,``9),``(3,```8),``(4,```7),``(5,```6),``(9,```2),``(8,```3),``(7,```4),``(6,```5)``]

[eqn: THEREFORE] 8가지

[eqn: THEREFORE ~~1+8=9``]가지

	2		5

① [eqn: 9``]가지	② [eqn: 10``]가지	③ [eqn: 11``]가지
④ [eqn: 12``]가지	⑤ [eqn: 13``]가지

두 함수 [eqn: f``(x`)``=`` `log_2 ``x`,`~g``(x`)``=`` SQRT { 2-x``}`]에 대하여
[eqn: h _{1} (x`)=`f``(x`)+`g``(x`)`,] [eqn: h _{2} (x)= {f``(x`)} over {g``(x`)} `,`] [eqn: h _{3} (x)=(g CIRC f`)(x)]
의 정의역을 각각 [eqn: D_1` ,`D_2`,`D_3```]라 할 때, 정의역의 포함관계가 옳은 것은? [3점]

②

[eqn: f`(x)=log_2 x ,~g`(x)= SQRT { 2-x} ```]이므로

ⅰ) [eqn: h_1 (x)=f`(x)+g`(x)=log_2 `x + SQRT { 2-x}]

[eqn: RARROW ```x>0,~2-x >= 0~ THEREFORE `D _{1} = LEFT { x vert 0<x <= 2 RIGHT } `]

ⅱ) [eqn: h_2 (x)= { f`(x)} over {g`(x) } = { log_2 `x} over { SQRT { 2-x} } ``]

[eqn: RARROW ```x>0,~2-x>0~ THEREFORE D _{2} = LEFT { x vert 0<x<2 RIGHT } ```]

ⅲ) [eqn: h_3 (x) =(g CIRC f)(x)= SQRT { 2-log_2 `x} ``]

[eqn: RARROW ```2-log _{2} `x >= 0~ THEREFORE log _{2} `x <= 2` THEREFORE D _{3} = LEFT { x vert 0<x <= 4 RIGHT } ``]

[eqn: THEREFORE ~D_2 ``SUBSET D_1`` SUBSET D_3```]

① [eqn: D_1 ``⊂``D_2 ``⊂``D_3]	② [eqn: D_2`` ⊂``D_1 ``⊂``D_3]

③ [eqn: D_2 ``⊂``D_3 ``⊂``D_1]	④ [eqn: D_3`` ⊂``D_1`` ⊂``D_2]

⑤ [eqn: D_3`` ⊂``D_2 ``⊂``D_1]

아래 그림은 두 함수 [eqn: y=2^x , ~```y=log_2 ``x` ```]의 그래프이다. 점
[eqn: P(2,~2)` ``]에서 [eqn: x`]축과 [eqn: y` ``]축에 평행한 직선을 그어 함수 [eqn: y=2^x` ``]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: A], [eqn: B` ``]라 하고, 함수 [eqn: y=log_2 ``x` ``]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: C], [eqn: D` ``]라 한다. 이 때, [eqn: △ADP` ``]와 [eqn: △BPC```]의 면적의 비는? [3점]

④

[eqn: P`(1.```2)``]이므로

ⅰ) [eqn: 2^x =2 ~ THEREFORE ~x=1 ~THEREFORE ~A(1,~2)``] 또, [eqn: B`(2,```4)``]

ⅱ) [eqn: log _2 `x=2~ THEREFORE ~x=4~ THEREFORE ~C`(4,```2)``] 또, [eqn: D`(2,```1)``]

그러므로 [eqn: TRIANGLE ADP = { 1} over {2 } TIMES 1 TIMES 1= { 1} over {2 } ``]

[eqn: TRIANGLE BPC = { 1} over {2 } TIMES 2 TIMES 2=2``] [eqn: THEREFORE ~ { 1} over {2 } :2=1:4``]

① [eqn: 1``:``1]	② [eqn: 1``:``2]	③ [eqn: 1``:``3]
④ [eqn: 1``:``4`]	⑤ [eqn: 2``:``3`]

어떤 소리의 세기 [eqn: I`` `]의 세기준위 [eqn: beta ` ``]는 [eqn: β=10`log_10`` {I } over {I_0 } ```]이고, 단위는 데시벨[eqn: (dB`)]이다. 여기서 [eqn: I_0` ``]는 인간이 들을 수 있는 최소의 소리의 세기이다. 지하철의 소리의 세기준위가 [eqn: 100``dB` ``]이고, 제트엔진의 소리의 세기준위가 [eqn: 150``dB` ``]일 때, 제트엔진의 소리의 세기는 지하철의 소리의 세기의 몇 배인가? [3점]

⑤

ⅰ) [eqn: 10` log_10 ` { I_지} over {I_0 } =100~ LRARROW ~log_10 ` { I_지} over {I_0 } =10``]

[eqn: THEREFORE ~I_지 =10^10 `I_0```]

ⅱ) [eqn: 10`log_10 ` { I_제} over {I_0 } =150~ LRARROW ~log_10 { I_제} over {I_0 } =15``]

[eqn: THEREFORE ~I_제 =10^15 I_0 =10^5 I_지```] [eqn: THEREFORE ~10^5``]배

① [eqn: 1.5 ``]배	② [eqn: 15 ``]배	③ [eqn: 50 ``]배
④ [eqn: 10^3` ``]배	⑤ [eqn: 10^5 ``]배

가로, 세로의 길이가 각각 [eqn: 7,~5` ``]인 직사각형 모양인 당구대의 모퉁이에서 변과 [eqn: 45〫 ``]의 각도로 당구공을 칠 때, 처음으로 어느 모퉁이에 도달할 때까지 당구공이 움직인 거리는? (단, 당구공이 변과 부딪쳐 튕겨 나갈 때, 입사각과 반사각의 크기는 같다.)

④

그림에서 굵은 선이 한 모퉁이에 처음 도착하게 되는 당구공이 움직인 거리이다.가로선은 가로변이고 세로선은 세로변이다.

[eqn: THEREFORE ~(5+2+3+4+1+6+4+3+2+5) SQRT { 2} =35 SQRT { 2} ``]

5

2

3

4

1

6

4

3

2

5

[eqn: x``]

[eqn: O``]

[eqn: y``]

[4점]

입사각

반사각

[eqn: 45°]

① [eqn: 25]	② [eqn: 25 SQRT { 2}]	③ [eqn: 35 `]
④ [eqn: 35 SQRT {2}`]	⑤ [eqn: 49`]

자연수 전체의 집합을 [eqn: N` ``]이라 할 때, 함수 [eqn: f```:```N ``→`` N`` `]가  두 조건
[eqn: f``(1)=1], [eqn: ~f``(n`)f``(n+1)=5left{f``(n`)right}^2 +5left{f``(n`)right}-f``(n+1)`]
를 만족한다. 이 때, [eqn: f``(n`)`>``2000` ``]을 만족하는 최소의 자연수 [eqn: n` ``]의 값은? [3점]

②

[eqn: ` & f`(n)`f`(n+1)=5 LEFT { f`(n) RIGHT } ^{2} +5 LEFT { f`(n) RIGHT } -f`(n+1)]

[eqn: LRARROW LEFT { f`(n)+1 RIGHT } f`(n+1)=5`f`(n)` LEFT { f`(n)+1 RIGHT }]

[eqn: THEREFORE `f`(1)=1,~~f`(n+1)=5`f`(n)``]

[eqn: THEREFORE ~f`(n)=5^n-1 >2000~~ THEREFORE ~n≧6```]

[eqn: THEREFORE ~]최솟값은 6

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

태풍으로 인하여 가로수가 기울어져 아래 그림과 같이 두 개의 막대로 지지시켰다. 이 때, 작은 막대의 길이 [eqn: x``]는? [3점]

③

그림에서 사잇각을 [eqn: theta ``]라두고 코사인 제이법칙을 이용하면

ⅰ) [eqn: cos theta = { 6^2 +3^2 -4^2} over {2 TIMES 3 TIMES 6 } = { 29} over {36 } ``]

ⅱ)  [eqn: x^2 &=2^2 +3^2 -2 TIMES 2 TIMES 3 TIMES cos theta =13-12 TIMES { 29} over {36 } = { 10} over {3} ``]

[eqn: THEREFORE ~x= { SQRT { 30} } over {3 } ``]

[eqn: 1m]

[eqn: 3m]

[eqn: 2m]

[eqn: 4m]

[eqn: 3m]

[eqn: x ``m]

① [eqn: { 2 SQRT { 7} } over {3 }]	② [eqn: { SQRT { 29} } over {3 }]	③ [eqn: { SQRT { 30} } over {3 }]
④ [eqn: { SQRT { 31} } over {3 }]	⑤ [eqn: { 4 SQRT { 2} } over {3 }]

원[eqn: O` ``]의 내부에 아래 그림과 같이 [eqn: n` ``]개의 원 [eqn: O _{1} `,``O _{2} `,`` CDOTS `,``] [eqn: O_n``]이 차례로 외접하고 원[eqn: O_1`]과 원[eqn: O_n`]은 원[eqn: O`]에 내접해 있다.
원[eqn: O,`O_1 `,`O_2 `,`cdots`, O_n` ``]의 넓이를 각각 [eqn: S`,```S _{1} `,```S _{2} `,][eqn: CDOTS`,S_n` ``]이라 할 때, 다음은 [eqn: S`,```S _{1} `,```S _{2} `,` CDOTS `,``S _{n} ```]사이의 관계식 [eqn: S`=`] 을 증명하는 과정이다.

③

닮은비가 [eqn: a``:``b``]이면 넓이의 비는 [eqn: a^2 ``:``b^2``]이므로  (가) [eqn: r```]

그리고,

[eqn: { SQRT { S_1} } over { r_1} = { SQRT { S_2} } over {r_2 } = CDOTS = { SQRT { S_n} } over {r_n } =k``]라 두면

[eqn: { SQRT { S} } over {r } =k`````` LRARROW ``````S=r^2 k^2``]

[eqn: SQRT { S_1} =r_1 k,~ SQRT { S_2} =r_2 k,~ CDOTS ,~ SQRT { S_n} =r_n k``] 이므로

[eqn: S & =r ^{2} k ^{2} =(r _{1} +r _{2} + CDOTS +r _{n} ) ^{2} k ^{2} =(r _{1} k+r _{2} k+ CDOTS +r _{n} k) ^{2}][eqn: =( sqrt {S _{1}} + sqrt {S _{2}} + CDOTS + sqrt {S _{n}} ) ^{2} = LEFT { sum _{k=1} ^{n} sqrt {S _{k}} RIGHT } ^{2} ```]

㈏

[eqn: O_1]

[eqn: O_2]

[eqn: O]

[eqn: O_n]

[eqn: cdots]

[증 명]

원 [eqn: O,```O_1 `,`O_2 `,`cdots`, O_n``]의 반지름을

각각 [eqn: r,~r_1 ,~r_2 , cdots,r_n`]이라 하면,

[eqn: SQRT { S_1}`:` SQRT { S} =r_1`:`]

㈎

[eqn: SQRT { S_2}`:` SQRT { S} =r_2`:`]

㈎

[eqn: vdots]

[eqn: SQRT { S_n}`:` SQRT { S} =r_n`:`]  이다.

㈎

그리고, [eqn: { SQRT { S_1} } over {r_1 } = { SQRT { S_2} } over {r_2 }=``cdots``= { SQRT { S_n} } over {r_n }=k`]라 하면,

[eqn: SQRT { S_1}=r_1 k,~ SQRT { S_2}=r_2 k,``cdots,`` SQRT { S_n}=r_n k`] 이므로

[eqn: S`=`] 이다.

㈏

위의 증명에서 (나)에 알맞은 것은? [4점]

① [eqn: SUM from { { k}=1} to n SQRT { S_k}`]	② [eqn: SQRT { SUM from { { k}=1} to n S_k}`]	③ [eqn: left{SUM from { { k}=1} to n SQRT {S_k }right}^2]
④ [eqn: SUM from { { k}=1} to n S_k`]	⑤ [eqn: 4 SUM from { { k}=1} to n S_k`]

영수는 피로가 누적되어 매일 [eqn: 100``mg ```]의 비타민을 섭취하도록 의사의 처방을 받았다. 그래서, 영수는 매일 비타민 [eqn: 100``mg```]을 섭취하려고 한다. 비타민을 섭취한 후 24시간이 되면 영수의 체내에 있는 비타민의 [eqn: 60``%```]가 체외로 빠져나간다. 영수가 계속해서 비타민을 섭취하면, 앞으로 영수의 체내에 남게 될 비타민의 잔류량이 어떻게 되는지 <풀이>와 같이 구해본다. (단, 영수는 비타민 [eqn: 100``mg```]을 24시간 간격으로 복용하고, 기타 생리적 작용은 배제한다.)

②

[eqn: a_1 =140``],  [eqn: a_2 =0.4 CDOT 140 +100=156]

[eqn: ~~ & a _{n+1} =0.4 CDOT a _{n} +100# -) & a _{n} =0.4 CDOT a _{n-1} +100# & a _{n+1} -a _{n} =0.4 CDOT (a _{n} -a _{n-1} )]

[eqn: THEREFORE ~a _{n+1} -a _{n} =(a _{2} -a _{1} ) CDOT (0.4) ^{n-1} ``` LARROW ```a _{2} -a _{1} =16]

[eqn: THEREFORE ``a _{n+1} -a _{n} =16 CDOT (0.4) ^{n-1} ```]

[eqn: THEREFORE ``a _{n} & =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} 16 CDOT (0.4) ^{k-1} =140+ sum _{k=1} ^{n-1} 16 CDOT (0.4) ^{k-1} ```]

[eqn: THEREFORE ~~ lim from { n -> inf } a_n =140 + {16 } over {1-0.4 } = { 500} over {3 } ``]

[eqn: a_n`]을 [eqn: n`]일 후 비타민의 잔류량이라고 하자.

그러면, [eqn: a_1 `=0.4․100+100=140`]이고 [eqn: a_n`]과 [eqn: a_n+1`]의

관계식을 구하면 [eqn: a_n+1``=``] [eqn: ․a_n ` +`100]이다.

㈎

이 식에서 일반항 [eqn: a_n`]을 구하면

[eqn: a_n`` =`140`+ SUM from { { k}=1} to n-1 `] 이다.

㈏

[eqn: lim from { n` ->` inf } a_n`` =`]이므로 영수가 매일 [eqn: 100mg`]씩 비타민을

㈐

복용하면 체내에 남을 비타민의 잔류량은  [eqn: mg`]에

㈐

가까워짐을 알 수 있다.

위의 풀이에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면? [4점]

① [eqn: 0.3]	[eqn: 140`(0.3)^k-1]	[eqn: { 100} over {7 }]

② [eqn: 0.4]	[eqn: 16`(0.4)^k-1]	[eqn: { 500} over {3 }]

③ [eqn: 0.4]	[eqn: 156`(0.4)^k-1]	[eqn: { 500} over {3 }]

④ [eqn: 0.6]	[eqn: 16`(0.6)^k-1]	[eqn: 250]

⑤ [eqn: 0.6]	[eqn: 156`(0.6)^k-1]	[eqn: 250]

사차함수 [eqn: f``(x)`]에 대하여 [eqn: y=f``′(x)`]의 그래프가 아래 그림과 같다. [eqn: f``′(alpha`)=0],[eqn: ~f``′(beta`)=0], [eqn: f``′(gamma`)=0`] 이고, [eqn: f```(alpha`)=4`],
[eqn: f``(beta`)=-4`], [eqn: f``(gamma`)=-1`], [eqn: f``(0)=-3] 일 때, 방정식
[eqn: |`f``(x)`|-3`=`0`] 의 실근의 개수는? [4점]

⑤

[eqn: y= LEFT | f`(x) RIGHT | ``]의 그래프를 대충 그리면

4

-4

-1

-3

[eqn: y=f`(x)]

[eqn: x``]

[eqn: y``]

[eqn: O``]

[eqn: beta ``]

[eqn: gamma ``]

[eqn: alpha ``]

[eqn: y=3``]

위의 그림의 [eqn: x``]축 아래 부분을 꺽어 올려붙이면 [eqn: y=3``]과 만나는 교점의 개수는 6 개이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: P_n ``= lim from { x`` ->`` inf } left{(1+ { 1} over { x} )(1+ { 2} over { x})(1+ { 3} over { x})`cdots`(1+ { n} over { x})right}^x`] 일 때,
[eqn: sum _{n=1} ^{20} {1} over {ln`P _{n}} `]의 값은? [4점]

⑤

[eqn: P _{n} & = lim _{x -> INF } {} LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) ^{x} LEFT ( 1+ {2} over {x} RIGHT ) ^{x} LEFT ( 1+ {3} over {x} RIGHT ) ^{x} CDOTS LEFT ( 1+ {n} over {x} RIGHT ) ^{x}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {} LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) ^{x} LEFT { LEFT ( 1+ {2} over {x} RIGHT ) ^{{x} over {2}} RIGHT } ^{2} LEFT { LEFT ( 1+ {3} over {x} RIGHT ) ^{{x} over {3}} RIGHT } ^{3} CDOTS LEFT { LEFT ( 1+ {n} over {x} RIGHT ) ^{{x} over {n}} RIGHT } ^{n} ``]

[eqn: =e CDOT e ^{2} CDOT e ^{3} CDOT CDOTS CDOT e ^{n} ```=e ^{1+2+3+ CDOTS +n} =e ^{{n(n+1)} over {2}} ````]

[eqn: ln P_n = { n(n+1)} over { 2} ``~]

[eqn: THEREFORE ~~ SUM from { { n}=1} to 20 { 1} over { ln Pn} = SUM from { { n}=1} to 20 { 2} over {n(n+1) } =2 LEFT ( 1- { 1} over {21 } RIGHT ) = { 40} over {21 } ``]

① [eqn: { 19} over { 20}]	② [eqn: { 21} over { 20}]	③ [eqn: { 20} over { 21}]	④ [eqn: { 38} over { 21}]	⑤ [eqn: { 40} over { 21}]

함수 [eqn: f``(x)=e^x +ln`x` ``]의 역함수를 [eqn: g``(x)` ``]라 할 때, [eqn: g``′(e)` ``]의 값은? [4점]

②

[eqn: y=e^x +ln``x``]이므로

[eqn: x=e^y +ln`y``]을 양변을 [eqn: y``]에 관하여 미분하면

[eqn: { dx} over {dy } =e^y + { 1} over {y } = { y``e^y +1} over {y } ```] [eqn: g`'(x)= { dy} over {dx } = { y} over {y`e^y +1 } ``]

이므로    [eqn: g`'(e)= LEFT [ { dy} over {dx } RIGHT ] _{y=1} = { 1} over {e+1 } ```]

([eqn: BECAUSE~e=e^y +ln`y~~ THEREFORE ``y=1] )

① [eqn: { 1} over {e }]	② [eqn: { 1} over {e+1 }]	③ [eqn: { e} over {e+1 }]
④  [eqn: e]	⑤  [eqn: e+1]

이차방정식 [eqn: x^2 -3x+1=0`]의 두 근을 [eqn: α,`β` ``]라 할 때, 분수방정식 [eqn: {x- beta ^{3}} over {x- alpha ^{3}} + {x- alpha ^{3}} over {x- beta ^{3}} +2=0```]의 근은? [3점]

②

[eqn: alpha + beta =3,~ alpha beta =1``]

주어진 분수방정식의 양변에 [eqn: (x- alpha ^3 )(x- beta ^3 )``]을 곱하면

[eqn: (x- beta ^3 )^2 +(x- alpha ^3 )^2 +2(x- alpha ^3 )(x- beta ^3 )=0```]

[eqn: 4x^2 -4( alpha ^3 + beta ^3 )x +( alpha ^3 + beta ^3 )^2 =0```]

[eqn: RARROW ``` alpha ^3 + beta ^3 =( alpha + beta )^3 -3 alpha beta ( alpha+ beta )=18```]

[eqn: THEREFORE ~~x^2 -18x +81=0~~ THEREFORE ~~x=9```]

① [eqn: { 17} over {2 }]	②  [eqn: 9]	③ [eqn: { 19} over {2 }]	④  [eqn: 10]	⑤ [eqn: {21} over {2 }]

포물선 [eqn: y^2 -4y-8x+28=0`]의 축에 수직이고 초점을 지나는 현의 길이는? [3점]

④

[eqn: y^2 -4y -8x+28=0~~ LRARROW ~~(y-2)^2 =8(x-3)```]

[eqn: y^2 =8x``]의 그래프를 [eqn: x``]축으로 3만큼 [eqn: y``]축으로 2만큼 평행이동한 식이므로

초점의 좌표는 [eqn: F(5,```2)```]대칭축의 방정식은 [eqn: y=2``]이다.

포물선과 직선 [eqn: x=5``]만나는 점은 [eqn: y^2 -4y-12=0```]에서

[eqn: y=-2~~또는 ~~y=6``] 현의 길이는 6-(-2)=8

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: z^6 =1`]을 만족하는 복소수 [eqn: z`]에 대하여 [eqn: LEFT | ``z-z^2 ``RIGHT | ` ``]의 최댓값은? [4점]

⑤

1

1

-1

-1

[eqn: O``]

[eqn: y``]

[eqn: x``]

[eqn: z_6]

[eqn: z_5]

[eqn: z_4]

[eqn: z_3]

[eqn: z_2]

[eqn: z_1]

[eqn: z^6 =1``]을 만족하는 6개의 근은 오른쪽 그림의 복소평면에서 반지름이 1인 원에 내접하는 정육각형의 6개의 꼭지점이다.  (단, [eqn: z=1``]포함)

그러므로 절대값의 성질에서

[eqn: LEFT | z-z^2 RIGHT | = LEFT | z RIGHT | LEFT | 1-z RIGHT | = LEFT | 1-z RIGHT |] [eqn: LRARROW ``] 1에서 [eqn: z``]까지의 거리

그러므로 1에서 가장 멀리 떨어져있는 점은 [eqn: z_4 =-1``]이다.

그러므로 최댓값은 [eqn: 1-(-1)=2]

① [eqn: { 1} over {2 }]	② [eqn: 1]	③ [eqn: SQRT { 2}]	④ [eqn: SQRT { 3}]	⑤ [eqn: 2]

구 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 =1`]과 평면 [eqn: { SQRT { 3} } over { 4}x - { 3} over {4 } y+ { 1} over { 2} z=0` ```]이 만나서 생긴 도형의 [eqn: xy`] 평면 위로의 정사영의 넓이는? [4점]

①

평면 [eqn: { SQRT { 3} } over {4 } x- { 3} over {4 } y+ { 1} over { 2} z=0``]와 [eqn: xy``]평면이 이루는각을 [eqn: theta``],

[eqn: vec n_1 = LEFT ( { SQRT { 3} } over {4 },~- { 3} over { 4} ,~ { 1} over {2 } RIGHT ) ````], [eqn: vec n_2 =(0,```0,```1)``]라 두면

[eqn: cos theta &= { vec n_1 CDOT vec n_2} over { LEFT | vec n_1 RIGHT | LEFT | vec n_2 RIGHT | } = { 1} over { 2} ```]

정사영을 이용하면

[eqn: THEREFORE ~~S`'=S`` cos theta = pi TIMES { 1} over {2} = { pi } over {2 } ```]

① [eqn: { 1 } over {2 } π]	② [eqn: { 1 } over {3 } π]	③ [eqn: { 1 } over {4 } π]
④ [eqn: { SQRT {2} } over {2 } π]	⑤ [eqn: { SQRT {3} } over {2 } π]

일차변환 [eqn: f`` ``]와 [eqn: g`` ``]의 행렬이 각각 [eqn: PMATRIX {{ { 1} over { 2} }& {- { SQRT { 3} } over {2 } ` }# {{ SQRT { 3} } over {2 } }& {{ { 1} over { 2} } }} ``]과 [eqn: PMATRIX { { 1 }& {0 ```}# {0 }& {2`` `}}`]일 때, 합성변환 [eqn: f``∘g`` `]에 의하여 타원 [eqn: { x^2} over { 4} +y^2 =1` ``]이 옮겨지는 도형의 둘레의 길이는? [3점]

③

[eqn: f` CIRC g~:~ PMATRIX { { { 1} over {2 } }& {- { SQRT { 3} } over {2 } }# { { SQRT { 3} } over {2 } }& { { 1} over {2 } } } PMATRIX { {1 }& {0 }# {0}& { 2} } = PMATRIX { { { 1} over {2 } }& {- SQRT { 3} }# { { SQRT { 3} } over {2 } }& { 1} }]

[eqn: PMATRIX { {x' }&# {y' } } =PMATRIX { { { 1} over {2 } }& {- SQRT { 3} }# { { SQRT { 3} } over {2 } }& { 1} } PMATRIX { {x }&# {y } } ``][eqn: PMATRIX { {x }&# {y } } = { 1} over { 2} PMATRIX { { 1 }& { SQRT { 3} }# {- { SQRT { 3} } over {2 } }& { { 1} over {2 } } } PMATRIX { {x' }&# {y' } } ``]

[eqn: x= { 1} over {2 } (x' + SQRT { 3} y'),~y= { 1} over { 2} (- { SQRT { 3} } over {2 } x'+ { 1} over { 2} y')]을 [eqn: { x^2} over {4 } +y^2 =1``]에 대입하여 정리하면

[eqn: x' ^2 +y' ^2 =4``]

둘레의 길이는 [eqn: 4 pi ``]

① [eqn: π]	② [eqn: 2 π]	③ [eqn: 4 π]	④ [eqn: 6 π]	⑤ [eqn: 8 π]

수열 [eqn: LEFT{a_n right}`]을 [eqn: a_0 =1,~a_n = SQRT { n +a_n-1}~` (n≧1)`]로 정의한다. 다음은 [eqn: lim from { n`` -> ``inf } { a_n} over { SQRT { n} } =] 임을 증명한 것이다.

①

[eqn: a_n = SQRT { n+a_n-1} ``(n≧1)]을 양변 제곱하면

[eqn: a _{n} ^{2} `=`n+a _{n-1} `` LRARROW ``a _{n} ^{2} `-n=a _{n-1} `]

[eqn: (a_n - SQRT { n} )(a_n + SQRT { n } )=a_n-1```]

[eqn: THEREFORE ~a_n - SQRT { n} = { 1} over {a_n + SQRT { n} } CDOT a_n-1 ```(n≧1)``]

[eqn: 0<a_n - SQRT { n} <1``]에서

[eqn: SQRT { n} <a_n < SQRT { n} +1``]을 양변을 [eqn: SQRT { n} ``]으로 나누면

[eqn: 1< { a_n} over { SQRT { n} } <1+ { 1} over { SQRT { n} } ``] 의 양변에 극한을 취하면

[eqn: 1< lim from { n -> inf } { a_n} over { SQRT { n} } < lim from { n -> inf } LEFT ( 1+ { 1} over { SQRT { n} } RIGHT ) =1``](센드위치)

[eqn: THEREFORE ~ lim from { n -> inf } { a_n} over { SQRT { n} } =1```]

㈏

[증 명]

수학적 귀납법을 이용하면 [eqn: CDOTS] ( 중 략 ) [eqn: CDOTS]

[eqn: n`≧`0`]인 모든 정수에 대하여 [eqn: 0``<`a_n`< `a_n+1`]이 성립함을

알 수 있다.

점화식 [eqn: a_n = SQRT { n +a_n-1}~` (n≧1)`]을 변형하면

[eqn: a_n - SQRT { n} = { 1} over {a_n + SQRT { n} }]․[eqn: (``n`≧`1``)`] 임을 알 수 있다.

㈎

[eqn: a_n `<`a_n+1`] 과 점화식 [eqn: a_n = SQRT { n +a_n-1} `]을

이용하여 [eqn: a_n - SQRT { n} `]의 범위를 구하면

[eqn: 0``<``a_n - SQRT { n}``<`1`] 이 된다.

그러므로, [eqn: lim from { n`` -> ``inf } { a_n} over { SQRT { n} } =] 이 된다.

㈏

위의 증명에서 (가), (나) 에 알맞은 것을 순서대로 적으면?

[4점]

① [eqn: a_n-1` ,] [eqn: 1]	② [eqn: a_n-1`,] 0	③ [eqn: a_n`,] [eqn: 1]

④ [eqn: a_n`,]   0	⑤ [eqn: a_n`,]  2

아래 그림은 [eqn: 0`≦`x`≦`2π` ``]에서 정의된 함수
[eqn: f``(x`)=cos`x+ LEFT | `cos`x ``RIGHT | ` ``]의 그래프이다.

③

[eqn: 준식) & = int _{{pi } over {6}} ^{pi } {} LEFT { cos LEFT ( 2x- {pi } over {6} RIGHT ) + LEFT | cos LEFT ( 2x- {pi } over {6} RIGHT ) RIGHT | RIGHT } dx]

[eqn: = int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} {} 2`cos LEFT ( 2x- {pi } over {6} RIGHT ) dx+ int _{{5 pi } over {6}} ^{pi } {} 2`cos` LEFT ( 2x- {pi } over {6} RIGHT ) dx]

[eqn: = LEFT [ sin LEFT ( 2x- {pi } over {6} RIGHT ) RIGHT ] _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} + LEFT [ sin LEFT ( 2x- {pi } over {6} RIGHT ) RIGHT ] _{{5 pi } over {6}} ^{pi }]

[eqn: = LEFT ( sin` {pi } over {2} -sin` {pi } over {6} RIGHT ) + LEFT ( sin` {11 pi } over {6} -sin` {3 pi } over {2} RIGHT ) =1```]

이 때, [eqn: INT _{ { π} over {6 } }^{ π} f``(2x- { π} over {6 })`dx`]의 값은? [4점]

[eqn: 2]

[eqn: y]

[eqn: 3pi over 2]

[eqn: 2pi]

[eqn: pi over 2]

[eqn: 0]

[eqn: y`=`f``(x`)]

[eqn: x]

① [eqn: { 1} over { 2}]	② [eqn: { SQRT { 3} } over {2 }]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: SQRT { 3}]	⑤ [eqn: { 3SQRT { 3} } over {2 }]

주관식 문항 (25～30)

임의의 행렬 [eqn: A= PMATRIX { { a}& {b ```}# { c}& { d```} }`]에 대하여 [eqn: f``(A)=ad-bc` ``]라 정의한다. 행렬 [eqn: B= PMATRIX { { 1}& {3 ```}# { 5}& { 2```} }`], [eqn: E= PMATRIX { { 1}& {0 ```}# { 0}& { 1```} }`]일 때, [eqn: x```]에 관한 이차방정식
[eqn: f``(`B-xE``)`=`0`]의  두 근의 곱을 구하시오. [3점]

[eqn: -13``]

[eqn: B-xE= PMATRIX { { 1}& {3 }``# {5 }& {2 }`` } -PMATRIX { { x}& {0 }``# {0 }& {x }`` } =PMATRIX { { 1-x}& {3 }``# {5 }& {2-x }`` } ``]

[eqn: THEREFORE ~~f`(B-xE)=(1-x)(2-x)-15=0``]

[eqn: x^2 -3x-13=0``]

[eqn: THEREFORE ~~]두 근의 곱은 [eqn: -13]

직선 [eqn: y=-4x```]와 직선 [eqn: y=2x```]가 [eqn: x` ``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 [eqn: α`], [eqn: β` ``]라 할 때, [eqn: sec^2 `(α-β)`=` { A} over {49 }` ``]이다. 이 때, [eqn: A`]의 값을 구하시오. [3점]

85

[eqn: tan` alpha =-4,~~tan` beta =2``]이므로

[eqn: tan`( alpha -beta )= { tan` alpha -tan` beta } over {1+tan` alpha ``tan` beta } = { 6} over { 7} ``]

[eqn: sec^2 ( alpha - beta )=1+tan^2 ( alpha- beta )= { A} over {49 } ``]

[eqn: 1+ { 36} over {49 } = { A} over {49 } ~~ THEREFORE ~A=85``]

이차방정식 [eqn: x^2 -x+2=0` ``]의 두 근이 [eqn: α,``β```]이고, 삼차방정식 [eqn: x^3 -3x+5=0` ``]의 세 근이 [eqn: p,~q,~r` ``]일 때,
[eqn: (`pα+qβ`)^2 ``+``(`pβ-qα`)^2 ``+``r^2 α^2`` +``r^2 β^2`` ``]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: -18``]

근과 계수 관계에서

[eqn: ` & alpha + beta =1,~ alpha beta =2]

[eqn: p+q+r=0,~pq+qr+rp=-3,~pqr=-5``]

[eqn: 준식)=p ^{2} alpha ^{2} +2 alpha beta pq+q ^{2} beta ^{2} +p ^{2} beta ^{2} +q ^{2} alpha ^{2} -2 alpha beta pq+r ^{2} alpha ^{2} +r ^{2} beta ^{2}]

[eqn: =(p ^{2} +q ^{2} +r ^{2} ) alpha ^{2} +(p ^{2} +q ^{2} +r ^{2} ) beta ^{2}]

[eqn: =(p ^{2} +q ^{2} +r ^{2} )( alpha ^{2} + beta ^{2} )]

[eqn: = LEFT { (p+q+r) ^{2} -2(pq+qr+rp) RIGHT } LEFT { ( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta RIGHT }]

[eqn: =-18```]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: A(1,~2)` ``]와 [eqn: B(3,~5)` ``]가 있다. 점 [eqn: P```]가 [eqn: x` ``]축 위를 움직일 때, [eqn: LEFT | ``barAP```` -``BAR BP```` RIGHT |^2` ``]의 최댓값을 구하시오.

13

[eqn: TRIANGLE PAB]에서

[eqn: bar{AP} ` LEQ bar{BP} `+ bar{AB}] (등호는 점[eqn: P`,``A`,``B``]가 일직선일 때 성립)

[eqn: THEREFORE ` bar{AP} `- bar{BP} `` LEQ bar{AB} `= sqrt {13}]

[4점]

수열 [eqn: LEFT{a_n ``right}`]을 [eqn: a_n =(2n)° ``]라 하고, 한 변의 길이가 [eqn: sin`a_n` ``]인 정사각형의 면적을 [eqn: A_n` ``]으로 정의한다. 이 때, [eqn: SUM from { { n}=1} to 45 A_n` ``]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 23``]

[eqn: A_n =sin^2 a_n``]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{45} A _{n} & =sin ^{2} a _{1} +sin ^{2} a _{2} + CDOTS +sin ^{2} a _{45}]

[eqn: =sin ^{2} `2 DEG +sin ^{2} 4 DEG +` CDOTS `+sin ^{2} 88 DEG +sin ^{2} 90 DEG ``]

[eqn: =22+1=23``]

[eqn: (BECAUSE `sin ^{2} A+cos ^{2} A=1`` LRARROW ````sin ^{2} A+sin ^{2} (90 DEG -A)=1``)]

[eqn: a_n =int_0^n (n-x) dx` ``]으로 정의되는 수열 [eqn: left{a_n `right} ``]에 대하여
[eqn: { a_1 +a _2 +a_3 +cdots+a_10} over {10 } ```]의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, [eqn: n` ``]은 자연수) [2점]

[eqn: 19.25``]

[eqn: a _{n} & = int _{0} ^{n} {} (n-x)dx= LEFT [ nx- {1} over {2} x ^{2} ` RIGHT ] _{0} ^{n}]

[eqn: =n ^{2} - {1} over {2} n ^{2=} {1} over {2} n ^{2} ```]

[eqn: 준식= {1} over {10} sum _{k=1} ^{10} {1} over {2} k ^{2} = {1} over {20} TIMES {10 CDOT 11 CDOT 21} over {6} = {77} over {4} =19.25```]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2003년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설