◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘나’형

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수 학 영 역

‘나’형

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2002학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘나’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

실수 [eqn: x`,``y`]에 대하여 [eqn: a`,``b`]를 각각 [eqn: a`=`9^x`], [eqn: b`=`3^y`]이라 할 때, [eqn: log_a``root{b}`]를 [eqn: x`]와 [eqn: y`]로 나타내면? (단, [eqn: x`!=`0`]) [2점]

①

주어진 조건에 의해서

[eqn: log_a``sqrtb =log_{9^x}````sqrt3^y `=log_{3^2x}``3^{1 over 2 y} = y over 4x`log_3``3= y over 4x``]

① [eqn: {y}over{4x}`]	② [eqn: {y}over{3x}`]	③ [eqn: {2y}over{3x}`]	④ [eqn: {3y}over{4x}`]	⑤ [eqn: {2y}over{x}`]

복소수 [eqn: z`]와 [eqn: z`]의 켤레복소수 [eqn: bar z`]에 대하여 [eqn: d`(z)`]를
[eqn: d`(z)`=`root{z`bar z`}`]
로 정의할 때, [eqn: d` LEFT ( LEFT ( {1`-`i}over{1`+`i} RIGHT )^2001` RIGHT ) `]의 값은? [2점]

③

[eqn: LEFT ( {1-i} over {1+i} RIGHT ) ^{2001} = LEFT ( -i RIGHT ) ^{2001} =`-i]

[eqn: d` LEFT ( LEFT ( {1`-`i} over {1`+`i} RIGHT ) ^{2001} ` RIGHT ) `=d LEFT ( -i RIGHT ) = sqrt {(-i)(i)} =1]

① [eqn: {1}over{2001}`]	② [eqn: {1}over{root{2}}`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: root{2}`]	⑤ [eqn: 2001`]

전체집합을 [eqn: U`=` LEFT { a`,``b`,``c`,``d`RIGHT } `]라 하고, [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여 연산 [eqn: TRIANGLE `]을
[eqn: A`△`B`=`(A`-`B`)`cup`(B`-`A`)`]
로 정의할 때, [eqn: LEFT { a`,``b`,``c`RIGHT } ` TRIANGLE `X`=`Y`]를 만족하는 집합 [eqn: X`,``Y`]에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은? [3점]

④

집합 [eqn: X=U``]일 때,

[eqn: left{``a,``b,``c``right} triangle X = left{``a,``b,``c``right} triangle left{``a,``b,``c,``d``right}``]

[eqn: = emptyset cup left{``d``right}``]

[eqn: = left{``d``right}``]

① [eqn: X`=` LEFT { a`,``b`,``c` RIGHT } `]이면 [eqn: Y`=`emptyset`]이다.

② [eqn: X`=` LEFT { d` RIGHT } `]이면 [eqn: Y`=` U`]이다.

③ [eqn: X`=` LEFT { c` RIGHT } `]이면 [eqn: Y`=` LEFT { a`,``b` RIGHT } `]이다.

④ [eqn: X`=`U`]이면 [eqn: Y`=`left{a`,``b`,``c`right}`]이다.

⑤ [eqn: X`=` LEFT { c`,``d`RIGHT } `]이면 [eqn: Y`=` LEFT { a`,``b`,``d`RIGHT } `]이다.

[eqn: lim from {x` -> `1` } ``{1`-`x^27}over{1`-`x`````}`]의 값은? [2점]

④

곱셈정리에 의해서

[eqn: (1-x^27 )=(1-x)(1+x+x^2 +cdots+x^26 )``]

따라서,

[eqn: lim_{x->1}``{1- x^27 } over {1-x} = lim_{x->1}``{(1-x)(1+x+x^2 +cdots+x^26 )} over 1-x``]

[eqn: =lim_{x->1}``(1+x+x^2 +cdots+x^26 )``]

[eqn: =27``]

① [eqn: 0`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: 26`]	④ [eqn: 27`]	⑤ [eqn: INF `]

[eqn: SUM from { { k}=1`} to{100`}``(k`-`2)^2 ` - SUM from { { k}=1`} to{101`}``4 ```+ ````4 SUM from { { k}=1`} to{100`}``k` - SUM from { { k}=2`} to{101`}``(k`-`1)^2 `] 의 값은? [3점]

②

시그마의 성질을 이용하여 식을 정리하면

[eqn: sum_{k=1}^{100}``(k-2)^2 -sum_{k=1}^{101}``4``+``4`sum_{k=1}^{100}``k -sum_{k=2}^{101}``(k-1)^2``]

[eqn: =sum_{k=1}^{100}``left{(k-2)^2 -4+4k-(k-1)^2 right}-4-100^2``]

[eqn: left(because`````sum_{k=2}^{101}``(k-1)^2 =sum_{k=1}^{101}``(k-1)^2 right)]

[eqn: =sum_{k=1}^{100}``(2k-1) -4-100^2``]

[eqn: =2 cdot 1 over 2 100 cdot 101 -100 -4 -100^2``]

[eqn: =-4``]

① [eqn: -400`]	② [eqn: -4`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 400`]

두 함수 [eqn: f``(theta`)`]와 [eqn: g`(theta`)`]를
[eqn: f``(theta`)={sin LEFT ( pi+theta` RIGHT )}over{1+cos LEFT ( {pi}over{2}+theta` RIGHT ) }], [eqn: g`(theta`)={cos LEFT ( pi+theta` RIGHT )}over{1+cos` LEFT ( {3pi}over{2}-theta` RIGHT ) }`]
로 정의할 때, [eqn: f`(theta`)`f`(-theta`)`g(theta`)`g`(-theta`)`]를 간단히 하면? [3점]

②

삼각함수의 성질을 이용하여 각을 [eqn: theta``]로 표현하면

[eqn: f(theta)= - {sin``theta} over {1-sin``theta}``], [eqn: g(theta)=- {cos``theta} over {1-sin``theta}``]

[eqn: theta``]대신 [eqn: -theta``]를 대입한 경우에

[eqn: f(-theta)=- {sin``(-theta)} over {1-sin``(-theta)}= {sin``theta} over {1+sin``theta}``]

[eqn: g(-theta)=- {cos``(-theta)} over {1-sin``(-theta)} =- {cos``theta} over {1+sin``theta}``]

따라서,

준 식[eqn: = - {sin``theta} over {1-sin``theta} cdot {sin``theta} over {1+sin``theta} cdot - {cos``theta} over {1-sin``theta} cdot - {cos``theta} over {1+sin``theta}``]

[eqn: =- {sin^2 ``theta} over {1- sin^2 ``theta} cdot {cos^2 ``theta} over {1-sin^2``theta}``]

[eqn: =- left( {sin``theta} over {cos``theta} right)^2``]

[eqn: =-tan^2 ``theta``]

① [eqn: -cot^2`theta}`]	② [eqn: -`tan^2 `theta`]	③ [eqn: sec^2 `theta`]

④ [eqn: tan^2 `theta`]	⑤ [eqn: cot^2 `theta`]

수 [eqn: a`,``b`,``c`,``d`]에 대하여 [eqn: [a`, ``b`,``c`,``d`]_(x)`]를
[eqn: [a`,``b`,``c`,``d`]`_(x)`=`a`x^3 `+`b`x^2`+`c`x`+`d`]
로 정의하자. 예를 들면 [eqn: [2,`1,`3,`6]_(x)`=`2x^3 + x^2 + 3x + 6`]이다. 이 때, 등식 [eqn: [1`,``1`,``0`,``1]_(x)`=`[p`,``q`,``r`,``s`]_{(x-1)}`]이 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 항상 성립하도록 하는 상수 [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: r`], [eqn: s`]의 합 [eqn: p`+`q`+`r`+`s`]의 값은? [3점]

⑤

주어진 정의에 의하여

[eqn: x^3 +x^2 +1=p(x-1)^3 +q(x-1)^2 +r(x-1)+s``cdots``](1)

식 (1)이 [eqn: x``]에 관한 항등식이어야 하므로 좌변의 식을 [eqn: x-1``]에 대한 내림차순으로 정리하면 미지수를 결정할 수 있다. 아래와 같은 방법으로 조립제법을 이용하면

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]
		[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 3]
		[eqn: 1]	[eqn: 3]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]
		[eqn: 1]
	[eqn: 1]	[eqn: 4]

[eqn: p=1,``q=4,``r=5,``s=3``]

따라서,

[eqn: p+q+r+s=1+4+5+3=13``]

① [eqn: -1`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 9`]	④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 13`]

[eqn: x^2 `+`4`root{4`+`2`root{3}}`=`11`], [eqn: y^2 `-`4`root{4`-`2root{3}}`=`11`]을 만족하는 양의 실수 [eqn: x`,``y``]에 대하여 [eqn: x^3 `+`y^3 ``]의 값은? [4점]

②

준 식을 정리하면

[eqn: x^2 +4 sqrt{4+2sqrt3} =11``]

[eqn: x^2 +4(sqrt3 +1)=11``]

[eqn: x^2 =7-4 sqrt3``]

[eqn: therefore`````x=sqrt{7-4sqrt3 }=2-sqrt3``] ([eqn: because`````x>0])

같은 방법으로

[eqn: y=2+sqrt3``] ([eqn: because`````y>0])

그러므로

[eqn: x+y=4,```xy=1``]

따라서,

[eqn: x^3 +y^3 =(x+y)^3 -3xy(x+y)=64-12=52``]

① [eqn: 48`]	② [eqn: 52`]	③ [eqn: 24`root{3}`]

④ [eqn: 16`+`16`root{3}`]	⑤ [eqn: 64`-`6root{3}`]

실수 [eqn: x`,``y`]에 대하여 [보기] 중에서 조건 [eqn: p`]가 조건 [eqn: q`] 이기 위한 충분조건인 것을 모두 고르면? [3점]

④

ㄱ.  [eqn: p``rarrow``q``] :  [eqn: x+y=0``]이면 [eqn: x^2 +y^2 =0``]이다.

(반례) [eqn: x=1,``y=-1``]   (거짓)

[eqn: q``rarrow``p``] :  [eqn: x^2 +y^2 =0``]이기 위한 조건은 [eqn: x=y=0``]이므로

[eqn: x+y=0``]이다. (참)

따라서, [eqn: p``]는 [eqn: q``]이기 위한 필요조건이다.

ㄴ. 준 부등식을 정리하면

[eqn: |``x^2 -1``|<=2`|``x-1``|``]

[eqn: LRARROW]  [eqn: |``x-1``||``x+1``|<=2`|``x-1``|``]

[eqn: LRARROW]  [eqn: |``x-1``| cdot (|``x+1``|-2)<=0``]

[eqn: p``rarrow``q``] : [eqn: -1<=x<=1``]이면 [eqn: |``x-1``|-2<=0``]이므로 항상

[eqn: |``x^2 -1``|<=2`|``x-1``|``]이다. (참)

[eqn: q``rarrow``p``] : [eqn: |``x+1``|-2<=0``]의 해집합이 [eqn: -3<=x<=1``]이므로

반례가 존재한다. (거짓)

따라서, 조건 [eqn: p``]는 조건 [eqn: q``]이기 위한 충분조건이다.

ㄷ.  [eqn: p``rarrow``q``] : 그림 참조 (참)

[eqn: q``rarrow``p``] : [eqn: y<x``]의 해집합은 직선의 아래쪽 모든 영역을 의미한다.

(거짓)

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: y=x]

[eqn: y=1-sqrt{1-x}]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: p`][eqn: :`][eqn: x`+`y`=`0`] [eqn: q`][eqn: :`][eqn: x^2 `+`y^2 `=`0`] ㄴ. [eqn: p`][eqn: :`][eqn: LEFT | x` RIGHT | `≦`1`] [eqn: q`][eqn: :`][eqn: LEFT | x^2 `-`1` RIGHT | `≦`2` LEFT | x`-`1` RIGHT | `] ㄷ. [eqn: p`][eqn: :`][eqn: 0`<`x`<`1`]이고 [eqn: y`<`1-root{1-x}`] [eqn: q`][eqn: :`][eqn: y`<`x`]

① ㄴ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: f``(1)`=`2`], [eqn: f``'`(1)`=`3`]을 만족하는 미분 가능한 함수 [eqn: f``(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g`(x)`]를
[eqn: g`(x)`=`cases{{a`x`f`(x)`-`2a}over{x`-`1}```&(x`!=`1)`#&#~~~~~~~9```&(x`=`1`)`}`]
로 정의하자. 함수 [eqn: g`(x)`]가 [eqn: x`=`1`]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a`] 의 값은? [4점]

⑤

[eqn: g`(x)``]가 [eqn: x=1``]에서 연속이므로 연속의 정의에 의해서

[eqn: lim from { x ->1 }f`(x) =f`(1)``]

[eqn: lim _{x -> 1} {} {axf`(x)-2a} over {x-1} = lim _{x -> 1} {} a {x TIMES f`(x)-1 TIMES f(1)} over {x-1} ``]

[eqn: =a LEFT { xf(x) RIGHT } ' _{x=1}]

[eqn: =a LEFT { f`(1)+f` prime (1) RIGHT }]

[eqn: =5a=9]

[eqn: THEREFORE `a= {9} over {5} ``]

① [eqn: {3}over{2}`]	② [eqn: {2}over{3}`]	③ [eqn: {5}over{2}`]	④ [eqn: {2}over{5}`]	⑤ [eqn: {9}over{5}`]

이차부등식 [eqn: a`x^2`+`b`x`+`c`≧`0`]의 해집합이 [eqn: LEFT { 3`RIGHT } `]일 때, 부등식 [eqn: b`x^2 `+`c`x`+`6`a`<`0`]을 만족하는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [3점]

③

조건을 만족하는 이차함수는 그림과 같은 경우이다.

[eqn: x]

[eqn: y=a(x-3) ^{2}]

[eqn: 3]

[eqn: y]

즉,

[eqn: y=a(x-3) ^{2``}],  [eqn: a<0``]

그러므로

[eqn: ax^2 +bx+c=a(x-3)^2``]

[eqn: =ax^2 -6ax+9a``]

[eqn: therefore`````b=-6a,``c=9a``]

따라서, 주어진 부등식의 해집합은

[eqn: bx^2 +cx+6a=-6ax^2 +9ax+6a``]

[eqn: =-3a(2x^2 -3x-2)``]

[eqn: =-3a(2x-1)(x-2)<0``]

[eqn: therefore`````- 1 over 2 <x<2``]

조건을 만족하는 정수는 [eqn: 0,``1``]로 [eqn: 2``]개다.

① [eqn: 0`]개	② [eqn: 1`]개	③ [eqn: 2`]개

④ [eqn: 3`]개	⑤ 무수히 많다.

일차함수 [eqn: f`(x)`=`ax`+`b`]가
[eqn: f^{-1}`(1)`=`0`]과 [eqn: f^{-1}` LEFT ( f^{-1}``(b)` RIGHT ) `=`2b`]
를 만족할 때, [eqn: f``(a^2 `-`b^2 `)`]의 값은? [3점]

④

주어진 조건에 의하여

[eqn: f(0)=1,```f circ f(2b)=b``]

[eqn: f(x)=ax+b``]이므로

[eqn: f(0)=b=1``]

[eqn: f circ f(2b)=f circ f(2)=f(2a+1)=2a^2 +a+1 =1``]

[eqn: therefore`````a= - 1 over 2``] ([eqn: because`````a!=0])

따라서, 구하고자 하는 식의 값은

[eqn: f(a^2 -b^2 )=f left( - 3 over 4 right)= - 1 over 2 cdot left(- 3 over 4 right)+1= 11 over 8``]

① [eqn: -{7}over{3}`]	② [eqn: -{5}over{4}`]	③ [eqn: {7}over{2}`]	④ [eqn: {11}over{8}`]	⑤ [eqn: {17}over{10}`]

다음은[eqn: rm angle`A`=`90`DEG`]인 직각삼각형 [eqn: rm {ABC}`]에서
[eqn: rm {{bar{AB``}}^2 `+`{bar{CA``}}^2 `=`{bar{BC``}}^2 `}`]을 증명한 것이다.

③

중선 정리에 의해

[eqn: {bar{AB``}}^2 +{bar{CA``}}^2 =2 left({bar{BM``}}^2 +{bar{AM``}}^2 right)``cdots``](1)

이 때,

[eqn: bar{BM``} =bar{AM``}= 1over 2 bar{BC``}``cdots``](2)

식 (2)를 식 (1)에 대입하여 정리하면

[eqn: {bar{AB``}}^2 +{bar{CA``}}^2 = 2 left( 1 over 4 {bar{BC``}}^2 + 1 over 4 {bar{BC``}}^2 right)``]

[eqn: =2 left( 1 over 2 {bar{BC``}}^2 right)``]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: M]

[eqn: CDOT]

		< 증 명 >
	오른쪽 그림과 같이 변[eqn: rm{BC`}`]의 중점을[eqn: rm{M}`]이라 하면 [eqn: rm{{bar{AB}}^2 `+`{bar{CA}}^2 }`] [eqn: =`][eqn: rm{(`{bar{BM``}}^2 `+`}`]( )[eqn: `^2`][eqn: rm{)}`] ㈎ ㈏ 이 때,[eqn: rm{bar{BM``}}`=`{1}over{2}`bar{BC``}`]이고, [eqn: =`] [eqn: rm{bar{BC``}`}`]이므로 ㈏ ㈐ [eqn: rm{{bar{AB}}^2 `+`{bar{CA}}^2 }`=`] ( [eqn: rm{bar{BC``}}^2 `]) ㈎ ㈑

[eqn: rm{B}`]

[eqn: rm{C}`]

[eqn: rm{A}`]

[eqn: rm{M}`]

위의 증명에서 (가), (나), (다), (라)에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은? [3점]

(가)	(나)	(다)	(라)

① [eqn: 3`]	[eqn: rm{2bar{AM``}} `]	[eqn: {1}over{2}`]	[eqn: {1}over{3}`]

② [eqn: 4]	[eqn: rm{2bar{AM``}} `]	[eqn: {1}over{2}`]	[eqn: {1}over{4}`]

③ [eqn: 2`]	[eqn: rm{bar{AM``}} `]	[eqn: {1}over{2}`]	[eqn: {1}over{2}`]

④ [eqn: 2`]	[eqn: rm{bar{AM``}} `]	[eqn: {1}over{4}`]	[eqn: {1}over{2}`]

⑤ [eqn: {16}over{5}`]	[eqn: rm{bar{AM``}}`]	[eqn: {1}over{4}`]	[eqn: {5}over{16}`]

빗변의 길이가 [eqn: 5`]인 직각삼각형 중에서 넓이가 최대인 것의 둘레의 길이는? [3점]

③

[eqn: O]

[eqn: CDOT]

[eqn: 5]

빗변의 길이가 [eqn: 5``]인 모든 직각 삼각형은 그림과 같이 지름이 [eqn: 5``]인 원에 내접하는 삼각형이 된다. 따라서, 면적이 최대일 때는 높이([eqn: h])가 최대일 때 즉, 반지름의 길이와 같은 경우이다. 따라서, 둘레의 길이는

[eqn: 5 over 2 cdot sqrt2 + 5 over 2 cdot sqrt2 +5=5sqrt2 +5``]

① [eqn: 12`]	② [eqn: 15`]	③ [eqn: 5`+`5`root{2}`]

④ [eqn: 5`+`2`root{5}`]	⑤ [eqn: 10`+`2`root{2}`]

그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 원과 두 직선 [eqn: y`=`{12}over{5}`x`], [eqn: y`=`{3}over{4}`x``]와의 제1사분면 위에서의 교점을 각각 [eqn: rm{P}`],[eqn: rm{Q}`]라 하자. 이 때, 점 [eqn: rm{P}`]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원과 점 [eqn: rm{Q}`]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원을 그렸을 때, 점 [eqn: rmP`]와 점 [eqn: rm Q`]를 중심으로 하는 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구하면? [4점]

①

[eqn: rm{Q}`]

[eqn: y`]

[eqn: y`=`{12}over{5}`x`]

[eqn: y`=`{3}over{4}`x`]

[eqn: x`]

[eqn: rm{P}`]

[eqn: O`]

[eqn: 3`]

[eqn: 3`]

[eqn: rm{M}`]

[eqn: rm{R}`]

그림에서 알 수 있듯이

[eqn: bar{PR``}=bar{QR``}=2``]

[eqn: bar{PM``}=bar{QM``}``]

따라서, 직선 [eqn: OM``]은 직선 [eqn: PQ``]의 수직이등분선이다.

점 [eqn: P``left( 15 over 13 ,``36 over 13 right)``], 점 [eqn: Q``left(12 over 5 ,``9 over 5 right)``]이므로

[eqn: bar{PQ``}``]의 기울기[eqn: = {9 over 5 - 36 over 13} over {12 over 5 - 15 over 13}=- 7 over 9``]

따라서,

[eqn: y= 9 over 7 x``]

[eqn: rm{Q}`]

[eqn: y`]

[eqn: y`=`{12}over{5}`x`]

[eqn: y`=`{3}over{4}`x`]

[eqn: x`]

[eqn: rm{P}`]

[eqn: O`]

[eqn: 3`]

[eqn: 3`]

[eqn: -3`]

[eqn: -3`]

① [eqn: 9x`-`7y`=`0`]	② [eqn: 7x`-`9y`=`0`]	③ [eqn: 7x`-`5y`=`0`]

④ [eqn: 5x`-`7y`=`0`]	⑤ [eqn: 4x`-`3y`=`0`]

[eqn: f`], [eqn: g`]가 일대일 대응일 때, [eqn: f`circ`h_1`=`g`], [eqn: h_2 `circ`f`=`g`]를 만족하는 [eqn: h_1 `], [eqn: h_2 `]에 대한  [보기]의 설명 중 항상 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

②

ㄱ. [eqn: f,``g``]가 일대일 대응이므로 [eqn: f^-1 ,``g^-1``]이 존재한다.

[eqn: f^-1 circ f circ h_1 =f^-1 circ g``]

[eqn: therefore`````h_1 =f^-1 circ g``]

[eqn: h_2 circf circ f^-1 =g circ f^-1``]

[eqn: therefore`````h_2 =g circ f^-1``] (참)

ㄴ. [eqn: h_1^-1 =g^-1 circ f,```h_2^-1 =f circ g^-1``]

따라서, [eqn: h_1``]과 [eqn: h_2``]는 모두 일대일 대응이다. (참)

ㄷ. 일반적으로 [eqn: f^-1 circ g != g circ f^-1``]이다.

만약 [eqn: g^-1 =f``] 또는 [eqn: f^-1 =g``]인 경우에는 [eqn: h_1 =h_2``]이다.

(거짓)

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: h_1`=`f^{-1}`circ`g`]이고 [eqn: h_2 `=`g`circ`f^{-1}`]이다. ㄴ. [eqn: h_1`]과 [eqn: h_2`]는 모두 일대일 대응이다. ㄷ. [eqn: h_1`]과 [eqn: h_2`]는 서로 같은 함수가 아니다.

① ㄴ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 곡선 [eqn: y`=`x^2 `] 위의 점 [eqn: {rmP}{(a`,``a^2 `)}`]에서 그은 접선을 [eqn: l_{1}`]이라 하고, 직선 [eqn: l_{1}`]과 [eqn: x`]축이 이루는 각 중에서 큰 각을 이등분하는 직선을 [eqn: l_{2}`]라고 하자. 직선 [eqn: l_2 `]의 방정식이
[eqn: y`=`-root{3}`x`+`k`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? (단, [eqn: a`>`0`]) [4점]

①

[eqn: y`=`x^2`]

[eqn: x`]

[eqn: O`]

[eqn: rm{P}`]

[eqn: l_2 `]

[eqn: y`]

[eqn: y=-sqrt3 x +k]

[eqn: (a`,``a^2 `)`]

[eqn: CDOT]

[eqn: CDOT]

직선 [eqn: y=-sqrt3 x+k``]와 [eqn: x``]축이 이루는 각은 [eqn: 120DEG``]이므로 그림에서 [eqn: anglecdot``=60DEG``]이다. 따라서, 점 [eqn: P``]에서의 접선과 [eqn: x``]축의 양의 방향이 이루는 각은 [eqn: 60DEG``]이고, 접선의 기울기는 [eqn: sqrt3``]이다. 따라서, 접선의 방정식은

[eqn: y=sqrt3 x-k``]

곡선 [eqn: y=x^2``]과 접하므로

[eqn: x^2 =sqrt3 x-k``]

[eqn: x^2 -sqrt3 x+k=0``]

의 판별식 [eqn: D= 3-4k=0``]이어야 한다. 따라서,

[eqn: k= 3 over 4``]

[eqn: y`=`x^2`]

[eqn: x`]

[eqn: O`]

[eqn: rm{P}`]

[eqn: l_2 `]

[eqn: y`]

[eqn: l_{1}`]

[eqn: (a`,``a^2 `)`]

① [eqn: {3}over{4}`]	② [eqn: {root{3}}over{2}`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: {3}over{2}`]	⑤ [eqn: root{3}`]

다음은 임의의 실수 [eqn: a,~b`]에 대하여
[eqn: ≦` |a` + `b`| `≦`] 임을 증명한 것이다.

④

증명하는 과정을 한 단계씩 따라가면

[eqn: -`|a`|`≦`a`≦`|a`|`]이고 [eqn: -`|b`|`≦` b`≦`|b`|`]이므로

[eqn: |`a`+`b`|`≦`]  [eqn: cdots``]㉠

[eqn: |`a`|+|`b`|]

두 수가 [eqn: a+b,``-b``]일 때 ㉠을 이용하면

[eqn: |`a`|`≦`|a`+`b`|`+`]

[eqn: |`b`|]

이므로

[eqn: |a`|`][eqn: -`][eqn: ≦`|a`+`b`|`]

[eqn: |`b`|]

이다. 같은 방법으로 하면  [eqn: -`|a`|`≦`|a`+`b`|`]

[eqn: |`b`|]

∴ [eqn: `≦` |a` +`b``| `][eqn: cdots``]㉡

[eqn: |`|`a`|-|`b`|`|]

㉠과 ㉡에 의해  [eqn: ≦` |a` + `b`| `≦`] 가 성립한다.

[eqn: |`|`a`|-|`b`|`|]

[eqn: |`a`|+|`b`|]

㈎

㈏

		< 증 명 >
	[eqn: -`|a`|`≦`a`≦`|a`|`]이고 [eqn: -`|b`|`≦` b`≦`|b`|`]이므로 [eqn: |`a`+`b`|`≦`] [eqn: cdots``]㉠ ㈏ ㉠을 이용하면 [eqn: |`a`|`≦`|a`+`b`|`+`] 이므로 ㈐ [eqn: |a`|`][eqn: -`][eqn: ≦`|a`+`b`|`]이다. ㈐ 같은 방법으로 하면 [eqn: -`|a`|`≦`|a`+`b`|`] ㈐ ∴ [eqn: `≦` |a` +`b``| `][eqn: cdots``]㉡ ㈎ ㉠과 ㉡에 의해 [eqn: ≦` |a` + `b`| `≦`] 가 성립한다. ㈎ ㈏

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은? [4점]

(가)	(나)	(다)

① [eqn: |`|a`|`-`|b`|``|`]	[eqn: |a`|`-`|b`|`]	[eqn: |b`|`]

② [eqn: |`|a`|`-`|b`|``|`]	[eqn: |a`|`+`|b`|`]	[eqn: -|b`|`]

③ [eqn: |a`+`b`|`]	[eqn: |a`-`b`|`]	[eqn: -|b`|`]

④ [eqn: |`|a`|`-`|b`|``|`]	[eqn: |a`|`+`|b`|`]	[eqn: |b`|`]

⑤ [eqn: |a`-`b`|`]	[eqn: |a`+`b`|`]	[eqn: |b`|`]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 원 [eqn: (x`-`2n)^2 `+`y^2 `=`1`]과 원점을 지나는 직선이 제1사분면에서 접할 때, 이 직선의 기울기를 [eqn: a_n `]이라고 하자. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf ``a_n^2`]의 값은? [4점]

①

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 2n]

[eqn: CDOT]

[eqn: 1]

[eqn: theta]

그림에서 접선의 기울기 [eqn: a _{n``}]은

[eqn: a_n =tan``theta= 1 over {sqrt{4n^2 -1}}``]

따라서,

[eqn: sum_{n=1}^{inf}``a_n^2 =lim_{n->inf}``sum_{k=1}^n``left( 1 over {sqrt{4k^2 -1}} right)^2``]

[eqn: =lim_{n->inf}``sum_{k=1}^{n}``1 over {4k^2 -1}``]

[eqn: =lim_{n->inf}``sum_{k=1}^{n}`` 1 over 2 left( 1 over 2k-1 - 1 over 2k+1 right)``]

[eqn: =lim_{n->inf}``1 over 2 left{ left( 1- 1 over 3 right)+left( 1 over 3 - 1 over 5 right)+cdots+left( 1 over 2n-1 - 1 over 2n+1 right)right}``]

[eqn: =lim_{n->inf}``1 over 2 left(1- 1 over 2n+1 right)``]

[eqn: = 1 over 2``]

① [eqn: {1}over{2}`]	② [eqn: {2}over{3}`]	③ [eqn: {3}over{4}`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

다항식 [eqn: f`(x)`], [eqn: g`(x)`]에 대하여 세 집합 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`]를
[eqn: A`=` LEFT { x``|``f`(x)`=`0`RIGHT } `] , [eqn: B`=` LEFT { x``|``g`(x)`=`0`RIGHT } `]
[eqn: C`=`LEFT {x``left|``left( f`(x)`+`g`(x)` RIGHT ) ^3 `=` LEFT ( f`(x)`RIGHT )^3` +` LEFT ( g`(x)`RIGHT )^3``}` right}`]
라고 하자. [eqn: n(A)`=`4`]이고 [eqn: n`(B)`=`3`]일 때, [eqn: n(C`)`]의 최솟값은?
(단, [eqn: n`(X)`]는 집합 [eqn: X`]의 원소의 개수) [4점]

②

집합 [eqn: C``]의 방정식을 정리하면

[eqn: f`(x)`g`(x)` LEFT { f`(x)+g`(x)RIGHT } =0``]이므로

[eqn: f`(x)=0``] 또는 [eqn: g`(x)=0``]또는 [eqn: f`(x)+g`(x)=0``]이다.

[eqn: n(A)=4,~n(B)=3``]이고

[eqn: n(C)```]는 [eqn: B SUBSET A``]일 때 최솟값 4이다.

① [eqn: 3`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 5`]	④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 7`]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 반원에서 지름의 양 끝점을 [eqn: rm P_0`],[eqn: rmP_1`]이라 하자. 이 때, [eqn: rm ∠P_0 P_1 P_2 = 1`DEG`], [eqn: rm ∠P_1 P_2 P_3 = 2`DEG`],[eqn: cdots] ,[eqn: ∠rm P _k-1 P_k P_k+1 = (2^k-1 )`DEG`]를 만족하는 원주 위의 점 [eqn: rm P_2 `],[eqn: rmP_3 `], …,[eqn: rmP_7`]에 대하여 선분 [eqn: {rm P_6 ` P_7}] 의 길이는? [4점]

③

원의 중심을 [eqn: O``]라 두면 중심각의 크기는 원주각의 크기의 [eqn: 2``]배이고,
[eqn: ANGLE P_0 P_1 P_2 =1 ^o , ``ANGLE P_1 P_2 P_3 =2 ^o ,] [eqn: ANGLE P_2 P_3 P_4 = LEFT ( 2^2 RIGHT ) DEG ,]
[eqn: CDOTS,ANGLE P_k-1 P_k P_k+1 = LEFT ( 2^k-1 RIGHT ) DEG]

[eqn: ANGLE P_5 P_6 P_7 = LEFT ( 2^6-1 RIGHT ) =32 DEG `,~`` ANGLE P_6 P_7 P_8 = 64 DEG ``]이므로

호 [eqn: P_6 P_7]의 중심각의 크기를 [eqn: x DEG]라 두면 각 호의 중심각의 크기의 합은  [eqn: 2 DEG +4 DEG +8 DEG +16 DEG +32 DEG +64 DEG +x DEG =180 DEG]

[eqn: THEREFORE ~x DEG = 54 DEG]이므로 호 [eqn: P_6 P_7]의 원주각의 크기는 [eqn: 27 DEG]이다.

[eqn: P_5`]

[eqn: P_6`]

[eqn: P_7`]

[eqn: 27 DEG]

그러므로 사인 법칙에서

[eqn: { P_6 P_7} over { sin 27 DEG } =2 TIMES 1``]이므로 [eqn: P_6 P_7 =2`sin 27 DEG =2cos63 DEG]

① [eqn: 2cos 32`DEG`]	② [eqn: 2sin 32`DEG`]	③ [eqn: 2cos 63`DEG`]
④ [eqn: 2cos 64`DEG`]	⑤ [eqn: 2sin 64`DEG`]

어느 대학교에서는 [eqn: 2001`]학년도 신입생을 면접, 내신과 수능 성적으로 [eqn: 3200`]명의 지원자 중에서 [eqn: 800`]명을 선발하였다. 면접시험에서 [eqn: 85`]점 이상을 받은 학생은 합격자의 [eqn: 80``%`] 이고 불합격자의 [eqn: 30``%`]이다. 이 때, 면접시험에서 [eqn: 85`]점 이상을 받은 학생이 합격할 확률은? [4점]

②

주어진 조건에 의하여 면접점수가 [eqn: 85``]점 이상인 학생중에서 합격한 학생 수는

[eqn: 0.8 times 800=640``](명)

이고, 불합격한 학생 수는

[eqn: 0.3 times 2400=720``](명)

이다. 따라서, 면접점수가 [eqn: 85``]점 이상을 받았을 때 합격할 확률은

[eqn: 640 over {640+720}= 640 over 1360 = 8 over 17``]

① [eqn: {7}over{17}`]	② [eqn: {8}over{17}`]	③ [eqn: {17}over{40}`]	④ [eqn: {7}over{11}`]	⑤ [eqn: {8}over{11}`]

그림과 같이 헬리콥터가 동해에서 조업하는 세 어선을 동시에 관찰하고 있다. 이 헬리콥터는 세 어선을 꼭지점으로 하는 삼각형의 외심에서 수직 위로 [eqn: 500``m`] 상공에 있고 각 어선 사이의 거리가 모두 [eqn: 600``m`]로 일정할 때, 헬리콥터에서 한 어선까지의 거리는? [4점]

③

[eqn: CDOT]

[eqn: x]

[eqn: l]

[eqn: 600]

[eqn: 300]

세 어선으로 이루어지는 삼각형이 정삼각형이므로 외심과 무게중심은 일치한다. 그러므로 외심에서 어선까지의 수면위에서의 거리 [eqn: l``]은

[eqn: l= 2 over 3 times 300sqrt3 =200 sqrt3``]

따라서, 헬리콥터에서 어선까지의 거리 [eqn: x``]는

[eqn: x= sqrt{(200sqrt3 )^2 +500^2 }``]

[eqn: =100sqrt37``]

[eqn: 500``m`]

[eqn: 600``m`]

① [eqn: 300`root{3}`m`]	② [eqn: 550`m`]	③ [eqn: 100`root{37}`m`]

④ [eqn: 100`root{41}``m`]	⑤ [eqn: 300`root{5`}m`]

그림과 같이 전기회로도에서 크기가 [eqn: R_1`](Ω), [eqn: R_2`](Ω)인 두 저항을 연결하였을 때, 총 저항의 크기 [eqn: R`](Ω)은 직렬연결에서는 [eqn: R `=`R_1 `+`R_2`]이 되고, 병렬연결에서는 [eqn: { 1} over {R } `=`{1}over{R_1} `+`{1}over{R_2 }`]이 된다.

⑤

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=R(x)]

[eqn: 15]

[eqn: -7]

주어진 전기회로의 총 저항 [eqn: R``]은

[eqn: R(x)= {10 cdot (x-3)} over {10+(x-3)} +5``]

[eqn: =15- 100 over x+7``]

[eqn: y=R(x)``]라 하면 그림과 같이 주어진 정의역 [eqn: 5<=x<=13``]에서 단조증가함수이다.

[eqn: f(5)=15- 100 over 12 = 20 over 3``]

[eqn: f(13)=15- 100 over 20 =10``]

따라서, 치역은

[eqn: 20 over 3 <=R(x)<=10``]

[직렬연결]              [병렬연결]

[eqn: R`=`R_1 `+`R_2`]

[eqn: R_2`]

[eqn: R_1`]

[eqn: { 1} over {R } `=`{1}over{R_1} `+`{1}over{R_2 }`]

[eqn: R_1`]

[eqn: R_2`]

위의 사실을 이용하여 오른쪽 그림과 같은 전기회로도에서 구한 총 저항의 크기를 [eqn: R`](Ω)이라 하자. 함수 [eqn: R`=`f`(x)`]의 정의역이 [eqn: LEFT { x``|``5`≦`x`≦`13`RIGHT } `] 일 때 이 함수의 치역은? (단, Ω은 저항의 단위이다.) [4점]

10Ω

[eqn: (x-3)] Ω

5Ω

① [eqn: LEFT { R``left|``7`≦`R`≦`12`RIGHT } `]	② [eqn: LEFT { R``left|``{15}over{2}`≦`R`≦`{29}over{3} RIGHT } `]

③ [eqn: LEFT { R``left|``{20}over{3}`≦`R`≦`12`RIGHT } `]	④ [eqn: LEFT { R``left|``{22}over{3}`≦`R`≦`10`RIGHT } `]

⑤ [eqn: LEFT { R``left|``{20}over{3}`≦`R`≦`10`RIGHT } `]

삼차다항식 [eqn: 3x^3 `-`6x^2`-`3x`+`a`]를 [eqn: x`+`b`]로 나눈 몫이 [eqn: 3x^2 `-`3`]이고 나머지가 [eqn: 11`]일 때, 상수 [eqn: a`,``b`]의 곱 [eqn: a`b`]의 값을 구하시오.

[eqn: -34``]

나머지 정리에 의해서

[eqn: 3x^3 -6x^2 -3x+a=(x+b)(3x^2 -3)+11``cdots``](1)

식 (1)은 [eqn: x``]에 관한 항등식이므로

[eqn: x=1``]일 때 : [eqn: 3-6-3+a=11``]   [eqn: therefore`````a=17``]

이 결과를 이용하여 식 (1)을 정리하면

[eqn: 3x^3 -6x^2 -3x+6=3(x+b)(x+1)(x-1)``]

[eqn: 3(x+1)(x-1)(x-2)=3(x-b)(x+1)(x-1)``]

[eqn: therefore`````b=-2``]

따라서,

[eqn: ab=17 times (-2)=-34``]

[2점]

[eqn: 3^n `=`31381059609`]를 만족하는 양의 정수 [eqn: n`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0.47`<`log`3`<`0.48`]) [4점]

[eqn: 22``]

[eqn: 3^n``]이 [eqn: 11``]자리 정수이므로 [eqn: log``3^n``]의 지표는 [eqn: 10``]이다.

[eqn: 10<log``3^n <11``]

[eqn: 10 over n < log``3< 11 over n``]

주어진 조건에서 [eqn: 0.47<log``3<0.48``]이므로 다음 두 조건이 만족시켜야 한다. 즉,

[eqn: 0.47> 10 over n``], [eqn: 11 over n >0.48``]

[eqn: therefore`````21.2<n<22.9``]

따라서, 양의 정수 [eqn: n``]은 [eqn: 22``]이다.

두 행렬 [eqn: A`=` PMATRIX { `` 1``& ```````` 0``# ``0 ``& `` -1`` } ``], [eqn: B`=` PMATRIX { `` 1``&`` 1``# ``0 ``& ``1`` } ``]에 대하여
행렬 [eqn: P`=`ABA^{-1}`] 이라 할 때, 행렬 [eqn: P`^20`]의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, [eqn: A^{-1}`]은 [eqn: A`]의 역행렬) [3점]

[eqn: -18``]

[eqn: P^20 =(ABA^-1 )(ABA^-1 )cdots(ABA^-1 )=AB^20 A^-1``cdots``](1)

케일리 헤밀턴 정리에 의하여

[eqn: B^2 -2B+E=O``]   [eqn: therefore`````B^2 =2B-E``]

[eqn: B^3 =2B^2 -B=2(2B-E)-B=3B-2E``]

[eqn: B^4 =3B^2 -2B=3(2B-E)-2B=4B-3E``]

[eqn: vdots]

[eqn: B^20 =20B-19E=pmatrix{``20``&``20``#``0``&``20``}-pmatrix{``19``&``0``#``0``&``19``}=pmatrix{``1``&``20``#``0``&``1``}``cdots``](2)

또한, [eqn: A^2 -E=O``]이므로 [eqn: A=A^-1``]이다. 이 결과를 식 (1)에 대입하면

[eqn: P^20 =pmatrix{``1``&``0``#``0``&``-1``}pmatrix{``1``&``20``#``0``&``1``}pmatrix{``1``&``0``#``0``&``-1``}``][eqn: =pmatrix{``1``&``-20``#``0``&``1``}``]

따라서, 모든 성분의 합은

[eqn: 1-20+1=-18``]

부등식 [eqn: n`<` INT _{ 0}^{2 }``root{27`+`2`sin`x`}``dx`` <`n`+`1`]을 만족하는 양의 정수 [eqn: n`]을 구하시오. [4점]

[eqn: 10``]

구간 [eqn: 0<=x<=2``]에서 [eqn: 0<=sin``x<=1``]이므로

[eqn: int_{0}^{2}``sqrt{27}dx<int_{0}^{2}``sqrt{27+2sin``x}dx<int_{0}^{2}``sqrt29 dx``]

[eqn: sqrt27 x`]_0^2 <int_{0}^{2}``sqrt{27+2sin``x} `dx<sqrt29 x]_0^2``]

[eqn: sqrt108 <int_{0}^{2}``sqrt{27+2sin``x}``dx< sqrt116``]

[eqn: 10<sqrt108 <int_{0}^{2}``sqrt{27+2sin``x}``dx<sqrt116 <11``]

[eqn: therefore`````n=10``]

성별 조	남자	여자
[eqn: A`]	4 명	3 명
[eqn: B`]	3 명	5 명

월드컵 조직위원회에서는 통역이 가능한 남녀 자원봉사자들을 [eqn: A`]와 [eqn: B`] 두 종류의 조로 편성하여 축구 경기장 주변의 각 안내소에 한 조씩을 배치 하려고 한다. 한 조를 편성하는 데 필요한 남자와 여자의 수가 각각 오른쪽 표와 같고, 조직위원회에서 확보할 수 있는 통역이 가능한 남자 자원봉사자는 최대 [eqn: 330`]명이고, 여자 자원봉사자는 최대 [eqn: 385`]명이다. 이 경우에 조직위원회에서 편성할 수 있는 조의 개수의 최댓값을 구하시오. [4점]

[eqn: 95``]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 110]

[eqn: 77]

[eqn: 4x+3y=330]

[eqn: 3x+5y=385]

[eqn: x+y=k]

[eqn: (45,``50)]

[eqn: A``]조를 [eqn: x``]개, [eqn: B``]조를 [eqn: y``]개 만든다고 하면 필요한 남녀의 인원 수는

[eqn: 4x+3y<=330``cdots``](1)

[eqn: 3x+5y<=385``cdots``](2)

식 (1)과 식 (2)의 영역을 좌표평면에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. [eqn: x+y=k``]라 하면 [eqn: k``]의 값은  두 직선 [eqn: 4x+3y=330``]와 [eqn: 3x+5y=385``]의 교점에서 최대가 된다. 교점의 좌표는 [eqn: (45,``50)``]이므로 최댓값은

[eqn: x+y=45+50=95``]

이다.

이차방정식 [eqn: x^2 `+`2k`x`+`6`=`0`]의 두 근 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]가

[eqn: -18.75``]

근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: alpha+beta=-2k,```alpha beta=6``]

주어진 식을 두 근 [eqn: alpha,``beta``]의 합과 곱의 형태로 나타내면

[eqn: {1 over alpha - 1 over beta} over {1 over alpha^2 - 1 over beta^2} = {{beta-alpha} over {alpha beta}} over {{beta^2 -alpha^2} over {(alpha beta)^2}}= {alpha beta} over {alpha+beta} = 3 over {-2k}= 4 over 25``]

따라서,

[eqn: k= - 75 over 4 =-18.75``]

[eqn: {{alpha}^{-1}`-`{beta}`}^{-1}}over{{alpha}^{-2}`-`{beta}^{-2}}`=`4over25`]

를 만족할 때, 상수 [eqn: k`]의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. [2점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2002년 사관학교 1차 선발시험(나형) 해설