◦  자신이 선택한 유형(가형/나형)의 문제지인지 확인하시오.

수 학 영 역

‘가’형

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수 학 영 역

‘가’형

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2002학년도 사관학교 1차 선발시험 문제지

제 3 교시        수 학 영 역

성명			수험번호

‘가’형

◦  먼저 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 기입하시오.

◦  답안지의 해당란에 성명과 수험번호를 정확하게 표기하시오.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

◦  주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하여, ‘0’ 이 포함된 경우에는, ‘0’ 을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오.

16

실수 [eqn: x`,``y`]에 대하여 [eqn: a`,``b`]를 각각 [eqn: a`=`9^x`], [eqn: b`=`3^y`]이라 할 때, [eqn: log_a``root{b}`]를 [eqn: x`]와 [eqn: y`]로 나타내면? (단, [eqn: x`!=`0`]) [2점]

①

[eqn: a=9^x ~ LRARROW ~x=log_9 `a = { 1} over {2 } log_3 `a``] , [eqn: b=3^y ~ LRARROW ~y=log_3 `b```]

[eqn: THEREFORE ~log_a ` SQRT { b} = { { 1} over { 2} log_3 `b} over {log_3 `a } = { { 1} over {2 }y } over { 2x} = { y} over {4x } ``]

① [eqn: {y}over{4x}`]	② [eqn: {y}over{3x}`]	③ [eqn: {2y}over{3x}`]
④ [eqn: {3y}over{4x}`]	⑤ [eqn: {2y}over{x}`]

일차변환 [eqn: f```]는 점 [eqn: (2`,``1`)`]을 점 [eqn: (3`,``2`)`]로 옮기고,
합성변환 [eqn: f``circ`f```]는 점 [eqn: (2`,``1`)`]을 점 [eqn: (1`,``-2`)`]로 옮긴다.
일차변환 [eqn: f```]에 의하여 점 [eqn: (-2`,``-4`)`]로 옮겨지는 점은? [3점]

③

[eqn: ` & f`((2,1))=(3,`2),]

[eqn: (f CIRC f``)((2,`1))=f`(f`((2,`1)))=f`((3,`2))=(1,`-2)``]

일차변환 [eqn: f``]의 행렬을 [eqn: PMATRIX { { a}& {b }``# {c }& {d }`` } ``]라 두면

[eqn: ` & {pmatrix{a&b``#c&d``}} `` {pmatrix{2&3``#1&2``}} = {pmatrix{3&1``#2&-2``}} LRARROW ` {pmatrix{a&b``#c&d``}} = {pmatrix{3&1``#2&-2``}} {pmatrix{2&-3``#-1&2``}}]

[eqn: THEREFORE ` {pmatrix{a&b``#c&d``}} = {pmatrix{5&-7``#6&-10``}}]

그러므로

[eqn: {pmatrix{-2``#-4``}} = {pmatrix{5&-7``#6&-10``}} {pmatrix{x``#y``}}]

[eqn: THEREFORE ` {pmatrix{x``#y``}} =- {1} over {8} {pmatrix{-10&7``#-6&5``}} {pmatrix{-2``#-4``}} =- {1} over {8} {pmatrix{-8``#-8``}} = {pmatrix{1``#1``}} ``]

① [eqn: (1`,``0`)`]	② [eqn: (-1`,``0`)`]	③ [eqn: (1`,``1`)`]
④ [eqn: (-1`,``1`)`]	⑤ [eqn: (-1`,``-1`)`]

전체집합을 [eqn: U`=` LEFT { a`,``b`,``c`,``d`RIGHT } `]라 하고, [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여 연산 [eqn: TRIANGLE `]을
[eqn: A`△`B`=`(A`-`B`)`cup`(B`-`A`)`]
로 정의할 때, [eqn: LEFT { a`,``b`,``c`RIGHT } ` TRIANGLE `X`=`Y`]를 만족하는 집합 [eqn: X`,``Y`]에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은? [3점]

④

집합 [eqn: A TRIANGLE B=(A-B) cup (B-A)``]은 대칭 차집합이므로

즉, [eqn: A``]와 [eqn: B``]의 합집합에서 교집합을 뺀 집합이다.

[eqn: A``]

[eqn: B``]

④에서

[eqn: X=U``]이면 [eqn: LEFT { a,~b,~c RIGHT } TRIANGLE LEFT { a,~b,~c,~d RIGHT } = LEFT { d RIGHT } ``]이다.

① [eqn: X`=` LEFT { a`,``b`,``c`RIGHT } `]이면 [eqn: Y`=`emptyset`]이다.

② [eqn: X`=` LEFT { d`RIGHT } `]이면 [eqn: Y`=` U`]이다.

③ [eqn: X`=` LEFT { c`RIGHT } `]이면 [eqn: Y`=` LEFT { a`,``b` RIGHT } `]이다.

④ [eqn: X`=`U`]이면 [eqn: Y`=`left{a`,``b`,``c`right}`]이다.

⑤ [eqn: X`=` LEFT { c`,``d`RIGHT } `]이면 [eqn: Y`=` LEFT { a`,``b`,``d`RIGHT } `]이다.

[eqn: lim from {x` -> `1` } ``{1`-`x^27}over{1`-`x`````}`] 의 값은? [2점]

④

로피탈의 정리사용

[eqn: lim from { x ->1 } { 1-x^27} over {1-x } = lim from { x ->1 } { x^27 -1} over {x-1 }= lim from { x ->1 } { 27x^26} over { 1} =27``]

미분계수이용

[eqn: f`(x)=x^27``]이라 두면

[eqn: 준식)= lim from { x ->1 } { f`(x)-1} over {x-1 }=f`'(1)=27``]

① [eqn: 0`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: 26`]
④ [eqn: 27`]	⑤ [eqn: INF `]

[eqn: SUM from { { k}=1`} to{100`}``(k`-`2)^2 ` - SUM from { { k}=1`} to{101`}``4 ```+ ````4 SUM from { { k}=1`} to{100`}``k` - SUM from { { k}=2`} to{101`}``(k`-`1)^2 `] 의 값은? [3점]

②

[eqn: 준식 & = sum _{k=1} ^{100} (k-2) ^{2} - LEFT ( sum _{k=1} ^{100} 4+4 RIGHT ) + sum _{k=1} ^{100} 4k- LEFT ( sum _{k=1} ^{100} (k-1) ^{2} +100 ^{2} RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{100} LEFT { (k-2) ^{2} -4+4k-(k-1) ^{2} RIGHT } -4-100 ^{2}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{100} (2k-1)-4-100 ^{2}]

[eqn: =100 TIMES 101-100-4-100 ^{2} =-4``]

① [eqn: -400`]	② [eqn: -4`]	③ [eqn: 0`]
④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 400`]

삼각방정식 [eqn: 6``sin^2 `x``+``root{3}`sin`x`cos`x``+``7`cos^2 `x`=`6```]의 모든 근의 합은? (단, [eqn: -pi`≦`x`≦`pi`]) [3점]

④

반각공식과 배각공식을 이용하면 주어진 방정식은

[eqn: 6 TIMES { 1-cos 2x} over {2 } + { SQRT { 3} } over { 2} TIMES sin 2x +7 TIMES { 1+cos 2x} over {2 } =6~]

[eqn: SQRT { 3} sin 2x+cos 2x=-1``][eqn: LARROW ~]합성하면

[eqn: sin LEFT ( 2x+ { pi } over {6 } RIGHT ) =- { 1} over {2 } ``] [eqn: (- pi ≦x≦ pi )``]에서

[eqn: theta =2 x+ { pi } over { 6} ``]라 두면

[eqn: - 2pi+ { pi } over { 6} ≦ theta ≦2 pi+ { pi } over {6 } ``]이므로 (그래프를 이용하면)

[eqn: theta =- pi + {pi } over {6} ,~- {pi } over {6} ,~ pi + {pi } over {6} ,~2 pi - {pi } over {6}]

[eqn: THEREFORE `x=- {pi } over {2} ,~- {pi } over {6} ,~ {pi } over {2} ,~ {5 pi } over {6}]

[eqn: THEREFORE ```모든`합은```` {2 pi } over {3} ``]

① [eqn: - {pi}over{3}`]	② [eqn: 0`]	③ [eqn: {pi}over{3}`]
④ [eqn: {2}over{3}`pi`]	⑤ [eqn: pi`]

실수 [eqn: a`,``b`,``c`,``d`]에 대하여 [eqn: [a`, ``b`,``c`,``d`]_(x)`]를
[eqn: [a`,``b`,``c`,``d`]`_(x)`=`a`x^3 `+`b`x^2`+`c`x`+`d`]
로 정의하자. 예를 들면 [eqn: [2,`1,`3,`6]_(x)`=`2x^3 + x^2 + 3x + 6```]이다.
이 때, 등식 [eqn: [1`,``1`,``0`,``1]_(x)`=`[p`,``q`,``r`,``s`]_{(x-1)}```]이 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 항상 성립하도록 하는 상수 [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: r`], [eqn: s`]의 합
[eqn: p`+`q`+`r`+`s`]의 값은? [3점]

⑤

정의에서 [eqn: LEFT [ a,~b,~c,~d RIGHT ]_ (x) =ax^3 +bx^2 +cx+d``]이므로

[eqn: LEFT [ 1,~1,~0,~1 RIGHT ] _(x) = LEFT [ p,~q,~r,~s RIGHT ] _(x-1)``]

[eqn: x ^{3} +x ^{2} +1=p`(x-1) ^{3} +q`(x-1) ^{2} +r`(x-1)+s``]

연 조립제법을 이용하면

1    1    0    1

1    2    2

1    2    2

1

1

1    2    2    (3) ⇐[eqn: s``]

1

1

1    3    (5) ⇐[eqn: r``]

1    3

1    2    2

1    2    2

1    2    2

1    2    2

(1)  (4) ⇐ [eqn: q`]

↳ [eqn: p``]

따라서,  [eqn: p+q+r+s=1+4+5+3=13``]

① [eqn: -1`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 9`]	④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 13`]

[eqn: x^2 `+`4`root{4`+`2`root{3}}`=`11`], [eqn: y^2 `-`4`root{4`-`2root{3}}`=`11`]을 만족하는 양의 실수 [eqn: x`,``y``]에 대하여 [eqn: x^3 `+`y^3 ``]의 값은? [4점]

②

[eqn: x^2 &=11-4 SQRT { 4+2 SQRT { 3} } =11-4( SQRT { 3} +1) =7-2 SQRT { 12} ``]

[eqn: THEREFORE ~x= SQRT { 7-2 SQRT { 12} } =2- SQRT { 3} ``]

[eqn: y^2 &=11+4 SQRT { 4-2 SQRT { 3} } =11+4( SQRT { 3} -1) =7+2 SQRT { 12}``]

[eqn: THEREFORE ~y= SQRT { 7+2 SQRT { 12} } =2+ SQRT { 3} ``]

[eqn: x+y=4,~xy=1``]이므로

[eqn: x^3 +y^3 =(x+y)^3 -3xy(x+y)=52``]

① [eqn: 48`]	② [eqn: 52`]	③ [eqn: 24`root{3}`]

④ [eqn: 16`+`16`root{3}`]	⑤ [eqn: 64`-`6root{3}`]

실수 [eqn: x`,``y`]에 대하여 <보기> 중에서 조건 [eqn: p`]가 조건 [eqn: q`]이기 위한 충분조건인 것을 모두 고르면? [3점]

④

ㄱ. [eqn: x+y=0`~~ LARROW ~~x^2 +y^2 =0``](필요)

ㄴ. [eqn: p```:```][eqn: LEFT | x RIGHT | ≦1~~ LRARROW ~~-1≦x≦1```]

[eqn: q```:```][eqn: LEFT | x^2 -1 RIGHT | ≦2 LEFT | x-1 RIGHT | ~ LRARROW ~ LEFT | x-1 RIGHT | LEFT | x+1 RIGHT | ≦2 LEFT | x-1 RIGHT | ``]

[eqn: x=1``]일 때 성립 또는 [eqn: x != 1``]일 때는 [eqn: LEFT | x+1 RIGHT | ≦2~ LRARROW ~-3≦x≦1``~]이다.

[eqn: THEREFORE ~-3≦x≦1```]      [eqn: THEREFORE ~p~~ RARROW ~~q``](충분)

[eqn: y=1- SQRT { 1-x} ``]

[eqn: x``]

[eqn: y``]

[eqn: y=x``]

[eqn: x=1``]

[eqn: y=1``]

[eqn: O``]

ㄷ. 위 그래프에서 [eqn: 0<x<1``]에서 [eqn: y=x``]의 그래프가  [eqn: y=1- SQRT { 1-x} ``]의 그래프보다 위에  존재하므로

[eqn: THEREFORE ~p~~ RARROW ~~q``](충분)

ㄱ. [eqn: p`][eqn: :`][eqn: x`+`y`=`0`]
[eqn: q`][eqn: :`][eqn: x^2 `+`y^2 `=`0`]

ㄴ. [eqn: p`][eqn: :`][eqn: LEFT | x` RIGHT | `≦`1`]
[eqn: q`][eqn: :`][eqn: LEFT | x^2 `-`1` RIGHT | `≦`2` LEFT | x`-`1` RIGHT | `]

ㄷ. [eqn: p`][eqn: :`][eqn: 0`<`x`<`1`]이고 [eqn: y`<`1-root{1-x}`]
[eqn: q`][eqn: :`][eqn: y`<`x`]

< 보기 >

① ㄴ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: f``(1)`=`2`], [eqn: f``'`(1)`=`3`]을 만족하는 미분가능한 함수 [eqn: f``(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g`(x)`]를

⑤

[eqn: g`(x)``]가 [eqn: x=1``]에서 연속이므로 연속의 정의에 의해서

[eqn: lim from { x ->1 }f`(x) =f`(1)``]

[eqn: lim _{x -> 1} {} {axf`(x)-2a} over {x-1} = lim _{x -> 1} {} a {x TIMES f`(x)-1 TIMES f(1)} over {x-1} ``]

[eqn: =a LEFT { xf(x) RIGHT } ' _{x=1}]

[eqn: =a LEFT { f`(1)+f` prime (1) RIGHT }]

[eqn: =5a=9]

[eqn: THEREFORE `a= {9} over {5} ``]

[eqn: g(x)= {cases{eqalign{```` {axf(x)-2a} over {x-1}# }&eqalign{````(x != 1)# }#````````````````````````9&````(x=1)}}]

로 정의하자. 함수 [eqn: g`(x)`]가 [eqn: x`=`1`]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [4점]

① [eqn: {3}over{2}`]	② [eqn: {2}over{3}`]	③ [eqn: {5}over{2}`]	④ [eqn: {2}over{5}`]	⑤ [eqn: {9}over{5}`]

곡선 [eqn: x^3 `+`y^3 `-`9`x`y`=`0```] 위의 점 [eqn: (2,``4`)`]에서의 접선이 [eqn: y`]축과 만나는 점의 좌표가 [eqn: (0`,``a`)`]일 때, [eqn: a```]의 값은? [4점]

③

음함수 미분법을 이용하면

[eqn: 3x ^{2} +3y ^{2} TIMES {dy} over {dx} -9 LEFT ( y+x TIMES {dy} over {dx} RIGHT ) =0]

[eqn: (3y ^{2} -9x) TIMES {dy} over {dx} =9y-3x ^{2}]

[eqn: THEREFORE ` {dy} over {dx} = {9y-3x ^{2}} over {3y ^{2} -9x} ```]

그러므로 [eqn: (2,```4)``]에서의 접선의 기울기 [eqn: m``]은

[eqn: LEFT [ { dy} over {dx } RIGHT ]_ {LEFT ( {{x=2 } atop {y=4 } RIGHT ) }}= { 4} over { 5} ``]  접선의 방정식은

[eqn: y-4 = { 4} over {5 } (x-2)``]그러므로 [eqn: y``]축 절편은 [eqn: a= { 12} over {5 } ``]

① [eqn: 2`]	② [eqn: {11}over{5}`]	③ [eqn: {12}over{5}`]	④ [eqn: {13}over{5}`]	⑤ [eqn: {14}over{5}`]

다음 그림은 다항함수 [eqn: f``(x)`]의 도함수 [eqn: y`=`f``'`(x)`]의 그래프이다. 함수 [eqn: f`(x)`]의 극대점, 극소점, 변곡점의 개수를 차례로 나열하면? [3점]

⑤

[eqn: O``]

[eqn: x``]

[eqn: y``]

[eqn: a``]

[eqn: b``]

[eqn: c``]

[eqn: d``]

[eqn: p`]

[eqn: q`]

[eqn: y=f`'(x)``]

[eqn: x`]	…	[eqn: a]	…	[eqn: p]	…	[eqn: b`]	…	[eqn: O`]	…	[eqn: c`]	…	[eqn: q`]	…	[eqn: d`]	…
[eqn: f`'(x)]	+	0	-	-	-	0	+	+	+	0	-	-	-	0	+
[eqn: f`''(x)``]	-	-	-	0	+	+	+	0	-	-	-	0	+	+	+
[eqn: f`(x)`]	□	극대	□	변곡	□	극소	□	변곡	□	극대	□	변곡	□	극소	□

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: O`]

[eqn: y`=`f``'`(x)`]

① [eqn: 1`,```2`,```3`]	② [eqn: 2`,```1`,```3`]	③ [eqn: 2`,```1`,```2`]
④ [eqn: 2`,```2`,```2`]	⑤ [eqn: 2`,```2`,```3`]

다음은 [eqn: rm angle`A`=`90`DEG`]인 직각삼각형[eqn: rm {ABC}`]에서
[eqn: rm bar{AB} ` ^{2} `+` bar{CA} ` ^{2} `=` bar{BC} ` ^{2} ``]을 증명한 것이다.

③

중선의 정리에 의해서

[eqn: {bar AB} ^2 +{bar CA }^2 =2({bar BM }^2 +{bar AM}^2 )`` CDOTS CDOTS ①]이고,

이 때, [eqn: bar BM = { 1} over {2 } bar BC ``]이고, [eqn: bar AM = { 1} over {2 } bar BC`` CDOTS CDOTS ②]이므로

[eqn: LEFT ( THEREFORE ~M은~직각삼각형` TRIANGLE ABC의~외접원의~중심`` RIGHT )]

②식을 ①식에 대입하면

[eqn: {bar AB}^2 +{bar CA}^2 =2 LEFT ( { 1} over {2 } {bar BC}^2 RIGHT ) ={bar BC}^2``]이다.

[증명] 오른쪽 그림과 같이
변[eqn: rm{BC`}`]의 중점을 [eqn: rm{M}`]이라 하면
[eqn: rm{{bar{AB}}^2 `+`{bar{CA}}^2 }`][eqn: =`][eqn: rm (` bar{BM} ` ^{2} `+``](  )[eqn: `^2`][eqn: rm{)}`]

㈎

㈏

이 때, [eqn: rm{bar{BM``}}`=`{1}over{2}`bar{BC``}`]이고,

[eqn: =`] [eqn: rm bar{BC} ``]이므로

㈏

㈐

[eqn: rm bar{AB} ` ^{2} `+` bar{CA} ` ^{2} `=`] (  [eqn: rm bar{BC} ` ^{2} `])

㈎

㈑

[eqn: rm{B}`]

[eqn: rm{C}`]

[eqn: rm{A}`]

[eqn: rm{M}`]

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐, ㈑에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은? [3점]

㈎	㈏	㈐	㈑

① [eqn: 3`]	[eqn: rm{2bar{AM``}} `]	[eqn: {1}over{2}`]	[eqn: {1}over{3}`]

② [eqn: 4]	[eqn: rm{2bar{AM``}} `]	[eqn: {1}over{2}`]	[eqn: {1}over{4}`]

③ [eqn: 2`]	[eqn: rm{bar{AM``}} `]	[eqn: {1}over{2}`]	[eqn: {1}over{2}`]

④ [eqn: 2`]	[eqn: rm{bar{AM``}} `]	[eqn: {1}over{4}`]	[eqn: {1}over{2}`]

⑤ [eqn: {16}over{5}`]	[eqn: rm{bar{AM``}}`]	[eqn: {1}over{4}`]	[eqn: {5}over{16}`]

빗변의 길이가 [eqn: 5`]인 직각삼각형 중에서 넓이가 최대인 것의 둘레의 길이는? [3점]

③

직각삼각형의 가로의 길이를[eqn: a``], 세로의 길이를[eqn: b``]라 두면

[eqn: a^2 +b^2 =25``]이고, 넓이는[eqn: S= { 1} over { 2} ab``]이므로 산술기하평균에서

[eqn: {a ^{2} +b ^{2}} over {2} >= sqrt {a ^{2} b ^{2}} `(단,~등호는~a=b```일~때`성립)][eqn: THEREFORE ~~ab <= {25} over {2} ``` THEREFORE ~~ab~의`최대값은~ {25} over {2} `이다.]

등호가 성립하려면, [eqn: a=b``]이므로

[eqn: a^2 = { 25} over {2 } ``][eqn: THEREFORE ~~a=b= { 5 SQRT { 2} } over {2 } ``]일 때 넓이는 최대이다.

이 때, 삼각형의 둘레의 길이는 [eqn: 5+5 SQRT { 2} ``]

① [eqn: 12`]	② [eqn: 15`]	③ [eqn: 5`+`5`root{2}`]

④ [eqn: 5`+`2`root{5}`]	⑤ [eqn: 10`+`2`root{2}`]

그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 원과 두 직선 [eqn: y`=`{12}over{5}`x`], [eqn: y`=`{3}over{4}`x``]와의 제[eqn: ``1```]사분면 위에서의 교점을 각각 [eqn: rm{P}`], [eqn: rm{Q}`]라 하자. 이 때, 점[eqn: rm{P}`]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원과 점[eqn: rm{Q}`]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원을 그렸을 때, 점[eqn: rmP`]와 점[eqn: rm Q`]를 중심으로 하는 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구하면? [4점]

①

원 [eqn: x^2 +y^2 =9``]에 대하여

ⅰ) [eqn: y= { 12} over {5 } x``]와의 1사분면위의 교점을 구하면 [eqn: P` LEFT ( { 15} over {13 } ,~ { 36} over {13 } RIGHT ) ``]

ⅱ) [eqn: y= { 3} over {4 } x``]와의 1사분면위의 교점을 구하면 [eqn: Q` LEFT ( { 12} over {5 },~ { 9} over {5 } RIGHT ) ``]

구하는 직선은 직선 [eqn: PQ``]와 수직이고 원점을 지나므로

직선의 [eqn: PQ``]의 기울기가 [eqn: - { 7} over {9 } ``]이므로

[eqn: THEREFORE ~~y= { 9} over {7 } x``]

[eqn: rm{Q}`]

[eqn: y`]

[eqn: y`=`{12}over{5}`x`]

[eqn: y`=`{3}over{4}`x`]

[eqn: x`]

[eqn: rm{P}`]

[eqn: O`]

[eqn: 3`]

[eqn: 3`]

[eqn: -3`]

[eqn: -3`]

① [eqn: 9x`-`7y`=`0`]	② [eqn: 7x`-`9y`=`0`]	③ [eqn: 7x`-`5y`=`0`]

④ [eqn: 5x`-`7y`=`0`]	⑤ [eqn: 4x`-`3y`=`0`]

곡선 [eqn: y`=`ln `x`]와 직선 [eqn: x`=`e^2 `], [eqn: x`]축으로 둘러싸인 영역을 [eqn: x`]축의 둘레로 [eqn: 270`DEG]만큼 회전하여 생긴 회전체의 부피는? [4점]

⑤

주어진 조건의 영역을 [eqn: x``]축의 둘레로 [eqn: 360 DEG]만큼 회전하여 생긴 회전체의 부피를 구하면

[eqn: V _{x} & = pi int _{1} ^{e ^{2}} {} y ^{2} dx= pi int _{1} ^{e ^{2}} {} ln ^{2} x``dx]

[eqn: = pi LEFT { LEFT [ x`ln ^{2} x RIGHT ] _{1} ^{e ^{2}} - int _{1} ^{e ^{2}} {} x``(2lnx` TIMES {1} over {x} )`dx RIGHT }]

[eqn: = pi LEFT { 4e ^{2} -2 int _{1} ^{e ^{2}} {} lnx``dx RIGHT }]

[eqn: = pi LEFT { 4e ^{2} -2 LEFT ( LEFT [ x`lnx RIGHT ] _{1} ^{e ^{2}} - int _{1} ^{e ^{2}} {} x TIMES {1} over {x} `dx RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = pi LEFT { 4e ^{2} -2 LEFT ( 2e ^{2} -(e ^{2} -1)`` RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =2(e ^{2} -1)` pi ``]

[eqn: THEREFORE ~~]구하는 부피는 [eqn: V= { 3} over {4 } V_x = { 3} over {2 } (e^2 -1)` pi ``]

① [eqn: {pi}over{2}`(e^2 `-`1`)`]	② [eqn: {3}over{4}`pi`(e^2 `-`1`)`]	③ [eqn: {3}over{2}`pi`e^2`]

④ [eqn: {3}over{4}`pi`e^2 `]	⑤ [eqn: {3}over{2}`pi`(e^2 `-`1`)`]

두 일차식 [eqn: f``(t`)`], [eqn: g`(t`)`]를 각각
[eqn: f``(t)`=`t` INT _{ 0}^{{pi}over{6} } sin^2 `x``dx``+` INT _{ {pi}over{4}}^{{pi}over{6} } ``cos^2 `u``du`]
[eqn: g``(t)`=` INT _{ 0}^{{pi}over{6} } cos^2 `x``dx``+` t `INT _{ {pi}over{4}}^{{pi}over{6} } ``sin^2 `y``dy`]
라 할 때, 방정식 [eqn: f``(t`)`=`g`(t`)```]의 근은? [3점]

②

[eqn: f`(t)=g`(t)``]를 정리하면

[eqn: t ``LEFT { INT _{ 0}^{ { pi } over { 6} }sin^2 x``dx - INT _{ { pi } over {4 } }^{ { pi } over {6 } }sin^2 y``dy RIGHT } = INT _{ 0}^{ { pi } over { 6} }cos^2 x``dx - INT _{ { pi } over {4 } }^{ { pi } over {6 } }cos^2 u``du]

[eqn: t ``LEFT { INT _{ 0}^{ { pi } over { 6} }sin^2 x``dx + INT _{ { pi } over {6 } }^{ { pi } over {4 } }sin^2 x``dx RIGHT } = INT _{ 0}^{ { pi } over { 6} }cos^2 x``dx + INT _{ { pi } over {6 } }^{ { pi } over {4 } }cos^2 x``dx]

[eqn: t ``LEFT { INT _{ 0}^{ { pi } over { 4} }sin^2 x``dx RIGHT } = INT _{ 0}^{ { pi } over { 4} }cos^2 x``dx ``]

[eqn: t ``LEFT { INT _{ 0}^{ { pi } over { 4} } { 1-cos2x } over {2 } ``dx RIGHT } = INT _{ 0}^{ { pi } over { 4} } { 1+cos2x} over {2 } ``dx ``]

[eqn: t`` LEFT [ x- { 1} over {2 }sin `2x RIGHT ] _{0 } ^{ { pi } over {4 } } = LEFT [ x+ { 1} over {2 }sin `2x RIGHT ] _{0 } ^{ { pi } over {4 } }``]

[eqn: t`` LEFT ( { pi } over {4 } - { 1} over {2 } RIGHT ) = LEFT ( { pi } over {4 } + { 1} over {2 } RIGHT ) ``]

[eqn: THEREFORE ~~t= { pi +2} over { pi -2 } ``]

① [eqn: {pi-2}over{pi+2}`]	② [eqn: {pi+2}over{pi-2}`]	③ [eqn: {pi+3}over{pi-3}`]

④ [eqn: {pi+2}over{2pi-4}`]	⑤ [eqn: {pi+4}over{pi-2}`]

다음은 임의의 실수 [eqn: a,~b`]에 대하여
[eqn: ≦` |a` + `b`| `≦`]임을 증명한 것이다.

④

[eqn: - LEFT | a RIGHT | ≦a≦ LEFT | a RIGHT | ,~- LEFT | b RIGHT | ≦b≦ LEFT | b RIGHT | ``]에서

[eqn: -LEFT | a RIGHT | - LEFT | b RIGHT | ≦a+b≦ LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | ``]   [eqn: THEREFORE ~ LEFT | a+b RIGHT | ≦ LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | CDOTS ㉠```]

[eqn: ㉠``]을 이용하면 [eqn: LEFT | a RIGHT | ≦ LEFT | a+b RIGHT | + LEFT |b RIGHT | ``]이므로

[eqn: LEFT | a RIGHT | - LEFT | b RIGHT | ≦ LEFT | a+b RIGHT | ```]이다.

같은 방법으로 하면 [eqn: LEFT | b RIGHT | - LEFT | a RIGHT | ≦ LEFT | a+b RIGHT | ``]

[eqn: THEREFORE ~~ LEFT | LEFT | a RIGHT |- LEFT | b RIGHT | RIGHT | ≦ LEFT | a+b RIGHT | `` CDOTS CDOTS ㉡``]

[eqn: ㉠과~㉡``]에 의해[eqn: LEFT | LEFT | a RIGHT | - LEFT | b RIGHT | RIGHT | ≦ LEFT | a+b RIGHT | ≦ LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | ``]가 성립한다.

㈎

㈏

[증명] [eqn: -`|a`|`≦`a`≦`|a`|`]이고 [eqn: -`|b`|`≦` b`≦`|b`|`]이므로

[eqn: |`a`+`b`|`≦`]․․․㉠

㈏

㉠을 이용하면 [eqn: |`a`|`≦`|a`+`b`|`+`]이므로

㈐

[eqn: |a`|`][eqn: -`][eqn: ≦`|a`+`b`|`]이다.

㈐

같은 방법으로 하면 [eqn: -`|a`|`≦`|a`+`b`|`]

㈐

∴ [eqn: `≦` |a` +`b``| `]․․․㉡

㈎

㉠과 ㉡에 의해 [eqn: ≦` |a` + `b`| `≦`]가 성립한다.

㈎

㈏

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 순서대로 적은 것은?

[4점]

㈎	㈏	㈐

① [eqn: |`|a`|`-`|b`|``|`]	[eqn: |a`|`-`|b`|`]	[eqn: |b`|`]

② [eqn: |`|a`|`-`|b`|``|`]	[eqn: |a`|`+`|b`|`]	[eqn: -|b`|`]

③ [eqn: |a`+`b`|`]	[eqn: |a`-`b`|`]	[eqn: -|b`|`]

④ [eqn: |`|a`|`-`|b`|``|`]	[eqn: |a`|`+`|b`|`]	[eqn: |b`|`]

⑤ [eqn: |a`-`b`|`]	[eqn: |a`+`b`|`]	[eqn: |b`|`]

다음의 극한값을 구하면? [4점]

③

[eqn: 준식) & = lim _{n -> INF } {} LEFT { {LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) ^{2}} over {1+ LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) ^{3}} + {LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) ^{2}} over {1+ LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) ^{3}} + {LEFT ( {3} over {n} RIGHT ) ^{2}} over {1+ LEFT ( {3} over {n} RIGHT ) ^{3}} + CDOTS + {LEFT ( {n} over {n} RIGHT ) ^{2}} over {1+ LEFT ( {n} over {n} RIGHT ) ^{3}} RIGHT } TIMES {1} over {n}]

[eqn: & = lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2}} over {1+ LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{3}} TIMES {1} over {n} = int _{0} ^{1} {} {x ^{2}} over {1+x ^{3}} `dx]

[eqn: = {1} over {3} LEFT [ ln LEFT | 1+x ^{3} RIGHT | RIGHT ] _{0} ^{1} = {1} over {3} ln`2``]

[eqn: lim from { n -> inf } ` LEFT ( {1^2}over{n^3 + 1^3}`+`{2^2}over{n^3 +2^3}`+`{3^2}over{n^3 +3^3}`+`…`+`{n^2}over{n^3 +n^3}` RIGHT )]

① [eqn: 2`ln`2``]	② [eqn: ln`2`]	③ [eqn: {1}over{3}`ln`2`]

④ [eqn: {1}over{2}`ln`2`]	⑤ [eqn: 3`ln`2`]

다항식 [eqn: f`(x)`], [eqn: g`(x)`]에 대하여 세 집합 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`]를
[eqn: A`=` LEFT { x``|``f`(x)`=`0`RIGHT } `]
[eqn: B`=` LEFT { x``|``g`(x)`=`0`RIGHT } `]
[eqn: C`=`LEFT {x``left|``left( f`(x)`+`g`(x)` RIGHT ) ^3 `=` LEFT ( f`(x)`RIGHT )^3` +` LEFT ( g`(x)`RIGHT )^3``}` right}`]
라고 하자. [eqn: n(A)`=`4`]이고 [eqn: n`(B)`=`3`]일 때, [eqn: n(C`)`]의 최솟값은?
(단, [eqn: n`(X)`]는 집합 [eqn: X`]의 원소의 개수) [4점]

②

집합 [eqn: C``]의 방정식을 정리하면

[eqn: f`(x)`g`(x)` LEFT { f`(x)+g`(x)RIGHT } =0``]이므로

[eqn: f`(x)=0``] 또는 [eqn: g`(x)=0``]또는 [eqn: f`(x)+g`(x)=0``]이다.

[eqn: n(A)=4,~n(B)=3``]이고

[eqn: n(C)```]는 [eqn: B SUBSET A``]일 때 최솟값 4이다.

① [eqn: 3`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 5`]
④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 7`]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 반원에서 지름의 양 끝점을 [eqn: rm P_0`],[eqn: rmP_1`]이라 하자. 이 때, [eqn: rm ∠P_0 P_1 P_2 = 1`DEG`], [eqn: rm ∠P_1 P_2 P_3 = 2`DEG`],[eqn: cdots] ,[eqn: ∠rm P _k-1 P_k P_k+1 = (2^k-1 )`DEG`]를 만족하는 원주 위의 점 [eqn: rm P_2 `],[eqn: rmP_3 `], …,[eqn: rmP_7`]에 대하여 선분 [eqn: {rm P_6 ` P_7}] 의 길이는? [4점]

③

원의 중심을 [eqn: O``]라 두면 중심각의 크기는 원주각의 크기의 [eqn: 2``]배이고,
[eqn: ANGLE P_0 P_1 P_2 =1 ^o , ``ANGLE P_1 P_2 P_3 =2 ^o ,] [eqn: ANGLE P_2 P_3 P_4 = LEFT ( 2^2 RIGHT ) DEG ,]
[eqn: CDOTS,ANGLE P_k-1 P_k P_k+1 = LEFT ( 2^k-1 RIGHT ) DEG]

[eqn: ANGLE P_5 P_6 P_7 = LEFT ( 2^6-1 RIGHT ) =32 DEG `,~`` ANGLE P_6 P_7 P_8 = 64 DEG ``]이므로

호 [eqn: P_6 P_7]의 중심각의 크기를 [eqn: x DEG]라 두면 각 호의 중심각의 크기의 합은  [eqn: 2 DEG +4 DEG +8 DEG +16 DEG +32 DEG +64 DEG +x DEG =180 DEG]

[eqn: THEREFORE ~x DEG = 54 DEG]이므로 호 [eqn: P_6 P_7]의 원주각의 크기는 [eqn: 27 DEG]이다.

[eqn: P_5`]

[eqn: P_6`]

[eqn: P_7`]

[eqn: 27 DEG]

그러므로 사인 법칙에서

[eqn: { P_6 P_7} over { sin 27 DEG } =2 TIMES 1``]이므로 [eqn: P_6 P_7 =2`sin 27 DEG =2cos63 DEG]

① [eqn: 2cos 32`DEG`]	② [eqn: 2sin 32`DEG`]	③ [eqn: 2cos 63`DEG`]
④ [eqn: 2cos 64`DEG`]	⑤ [eqn: 2sin 64`DEG`]

어느 대학교에서는 [eqn: 2001`]학년도 신입생을 면접, 내신과 수능성적으로 [eqn: 3200`]명의 지원자 중에서 [eqn: 800`]명을 선발하였다. 면접시험에서 [eqn: 85`]점 이상을 받은 학생은 합격자의 [eqn: 80``%`]이고 불합격자의 [eqn: 30``%`]이다. 이 때, 면접시험에서 [eqn: 85`]점 이상을 받은 학생이 합격할 확률은? [4점]

②

합격자중 면접시험에서 85점 이상을 받은 학생은 합격자의 80%이므로 학생의 수는 [eqn: 800 TIMES 0.8=640``]명이고,

불합격자중 면접시험에서 85점 이상을 받은 학생은 불합격자의 30%이므로 학생의 수는 [eqn: 2400 TIMES 0.3=720``]명이다. 그러므로 면접시험에서 85점 이상을 받은 학생이 합격할 확률은

[eqn: P= { 640} over {640+720 } = { 8} over { 17} ``]

① [eqn: {7}over{17}`]	② [eqn: {8}over{17}`]	③ [eqn: {17}over{40}`]
④ [eqn: {7}over{11}`]	⑤ [eqn: {8}over{11}`]

그림과 같이 일직선으로 된 해안가에 있는 두 등대 [eqn: A`], [eqn: B```]사이의 거리는 [eqn: 20``km```]이다. 이 해안가로부터 [eqn: 6``km```]떨어진 해상에 두 지점 [eqn: P`], [eqn: Q`]가 있다. 등대 [eqn: A`]와 [eqn: B```]로부터 [eqn: P`]지점까지의 거리의 차와 등대 [eqn: A```]와 [eqn: B```]로부터 [eqn: Q```]지점까지의 거리의 차가 모두 [eqn: 16``km```]이다. 어떤 배가 해안선과 평행하게 분속 [eqn: 0.5``km```]의 속력으로 [eqn: P```]지점과 [eqn: Q```]지점 사이를 통과하는 데 걸리는 시간은 몇 분인가? [4점]

②

좌표평면에서 점[eqn: A(-10,~0),~B(10,~0)``]을 초점으로 하고 주축의 길이가 16인 쌍곡선을 생각하면 쌍곡선의 방정식은

[eqn: { x^2} over {a^2 } - { y^2} over { b^2} =1``]라 두면

주축의 길이 : [eqn: 2a=16~~ THEREFORE ~a=8``]

초점 : [eqn: a^2 +b^2 =k^2 ``~64+b^2 =100~ THEREFORE ~b=6``]

그러므로 쌍곡선의 식은 [eqn: { x^2} over {64 } - { y^2} over {36 } =1``]와 [eqn: y=-6``]과의 교점의 [eqn: x``]좌표를 구하면 [eqn: x= +- 8 SQRT { 2} ``]이므로 점[eqn: P``],[eqn: Q``]간의 거리는 [eqn: 16 SQRT { 2} ``]

그러므로 걸리는 시간은

[eqn: { 16 SQRT { 2} } over {0.5 } =32 SQRT { 2} ``](분)

[eqn: P`]

[eqn: A`]

[eqn: B```]

[eqn: 20``]㎞

[eqn: 6``]㎞

[eqn: Q`]

① [eqn: 30`root{2}`]	② [eqn: 32`root{2}`]	③ [eqn: 34`root{2}`]
④ [eqn: 28``root{3}`]	⑤ [eqn: 32`root{3}`]

그림과 같이 전기회로도에서 크기가 [eqn: R_1`](Ω), [eqn: R_2`](Ω)인 두 저항을 연결하였을 때, 총 저항의 크기 [eqn: R`](Ω)은 직렬연결에서는 [eqn: R `=`R_1 `+`R_2`]이 되고, 병렬연결에서는 [eqn: { 1} over {R } `=`{1}over{R_1} `+`{1}over{R_2 }`]이 된다.

⑤

병렬회로에 걸리는 저항은 [eqn: R'``]라 두면

[eqn: { 1} over { R`'} = { 1} over {10 } + { 1} over {x-3 } = { x+7} over {10(x-3) } ``]

[eqn: R` prime = {10(x-3)} over {x+7} ``]이므로

[eqn: R=f`(x)= { 10(x-3)} over {x+7 } +5= {-100 } over {x+7 } +15```(5≦x≦13)``]

그러므로 치역은 [eqn: LEFT { R vert { 20} over { 3}≦R≦10 RIGHT } ``]

[직렬연결]                  [병렬연결]

[eqn: R`=`R_1 `+`R_2`]

[eqn: R_2`]

[eqn: R_1`]

[eqn: { 1} over {R } `=`{1}over{R_1} `+`{1}over{R_2 }`]

[eqn: R_1`]

[eqn: R_2`]

위의 사실을 이용하여 오른쪽 그림과 같은 전기회로도에서 구한 총 저항의 크기를 [eqn: R`](Ω)이라 하자. 함수 [eqn: R`=`f`(x)`]의 정의역이 [eqn: LEFT { x``|``5`≦`x`≦`13`RIGHT } `]일 때 이 함수의 치역은?
(단, Ω은 저항의 단위이다.)

10Ω

[eqn: (x-3)] Ω

5Ω

[4점]

① [eqn: LEFT { R``left|``7`≦`R`≦`12`RIGHT } `]	② [eqn: LEFT { R``left|``{15}over{2}`≦`R`≦`{29}over{3} RIGHT } `]
③ [eqn: LEFT { R``left|``{20}over{3}`≦`R`≦`12`RIGHT } `]	④ [eqn: LEFT { R``left|``{22}over{3}`≦`R`≦`10`RIGHT } `]
⑤ [eqn: LEFT { R``left|``{20}over{3}`≦`R`≦`10`RIGHT } `]

주관식 문항(25～30)

삼차다항식 [eqn: 3x^3 `-`6x^2`-`3x`+`a`]를 [eqn: x`+`b`]로 나눈 몫이 [eqn: 3x^2 `-`3`]이고 나머지가 [eqn: 11`]일 때, 상수 [eqn: a`,``b`]의 곱 [eqn: a`b`]의 값을 구하시오.

[eqn: -34``]

[eqn: 3x ^{3} -6x ^{2} -3x+a & =(x+b)(3x ^{2} -3)+11][eqn: =3x ^{3} +3bx ^{2} -3x-3b+11```]

[eqn: THEREFORE ~~3b=-6``~a=-3b+11``]

[eqn: THEREFORE ~a=17,~b=-2``]이므로

[eqn: ab=-34``]

[2점]

[eqn: 3^n `=`31381059609`]를 만족하는 양의 정수 [eqn: n`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0.47`<`log`3`<`0.48`]) [4점]

[eqn: 22``]

[eqn: 3^n =31381059609```(11자리정수)``]이므로 지표의 성질에서

[eqn: 10<log`3^n <11``` LRARROW ``` { 10} over { log`3} <n< { 11} over {log`3 } ``]

[eqn: THEREFORE ~21. CDOTS <n<22. CDOTS ``]

[eqn: THEREFORE ~n=22``]

두 행렬 [eqn: A`=` PMATRIX { { 1}& { }& { 0}`# { }& { }& { }#` {0 }& { }& { -1}` } `], [eqn: B`=` PMATRIX { { 1}& { }& { 1}`# { }& { }& { }`# {0 }& { }& { 1}` } `] 에 대하여 행렬
[eqn: P`=`ABA^{-1}`]이라 할 때, 행렬 [eqn: P`^20`]의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, [eqn: A^{-1}`]은 [eqn: A`]의 역행렬) [3점]

[eqn: -18``]

[eqn: P^20 =(ABA^-1 )(ABA^-1 )cdots(ABA^-1 )=AB^20 A^-1``cdots``](1)

케일리 헤밀턴 정리에 의하여

[eqn: B^2 -2B+E=O``]   [eqn: therefore`````B^2 =2B-E``]

[eqn: B^3 =2B^2 -B=2(2B-E)-B=3B-2E``]

[eqn: B^4 =3B^2 -2B=3(2B-E)-2B=4B-3E``]

[eqn: vdots]

[eqn: B^20 =20B-19E=pmatrix{``20``&``20``#``0``&``20``}-pmatrix{``19``&``0``#``0``&``19``}=pmatrix{``1``&``20``#``0``&``1``}``cdots``](2)

또한, [eqn: A^2 -E=O``]이므로 [eqn: A=A^-1``]이다. 이 결과를 식 (1)에 대입하면

[eqn: P^20 =pmatrix{``1``&``0``#``0``&``-1``}pmatrix{``1``&``20``#``0``&``1``}pmatrix{``1``&``0``#``0``&``-1``}``][eqn: =pmatrix{``1``&``-20``#``0``&``1``}``]

따라서, 모든 성분의 합은

[eqn: 1-20+1=-18``]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 6`]인 정사면체 [eqn: rmOABC`]에서 [eqn: rmbar AB `]의 중점을 [eqn: rm M`], [eqn: rm TRIANGLE OBC]의 무게중심을 [eqn: rm G`]라 할 때, 두 벡터 [eqn: rm vecOM`], [eqn: rm vec OG`]의 내적의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 15``]

점 [eqn: A]를 [eqn: (`0`,``0`,``0`)], 점 [eqn: B]를 [eqn: (`6`,``0`,`0)], 점 [eqn: C`]를 [eqn: (`3`,``3 sqrt {3} `,`0)],

점 [eqn: O]를 [eqn: (`3`,`` sqrt {3} `,``2 sqrt {6} `)]라고 하면

점[eqn: M`]과 점[eqn: G`]의 좌표는 각각 [eqn: (`3`,``0`,``0`)`,`` LEFT ( `4`,`` {4 sqrt {3}} over {3} `,`` {2 sqrt {6}} over {3} RIGHT )]이고

[eqn: {vec{OM}} `=(0`,`- sqrt {3} `,`-2 sqrt {6} )] , [eqn: {vec{OG}} `=`(`1`,`` {sqrt {3}} over {3} `,`- {4 sqrt {6}} over {3} `)]이다.

[eqn: THEREFORE ` vec{OM} ` BULLET vec{OG} ``=`15]

[eqn: rm C`]

[eqn: rm G`]

[eqn: rm M`]

[eqn: rm A`]

[eqn: rm B`]

[eqn: rm O`]

성별 조	남자	여자
[eqn: A`]	4 명	3 명
[eqn: B`]	3 명	5 명

월드컵 조직위원회에서는 통역이 가능한 남녀 자원봉사자들을 [eqn: A`]와 [eqn: B`] 두 종류의 조로 편성하여 축구 경기장 주변의 각 안내소에 한 조씩을 배치하려고 한다. 한 조를 편성하는 데 필요한 남자와 자의 수가 각각 오른쪽 표와 같고, 조직위원회에서 확보할 수 있는 통역이 가능한 남자 자원봉사자는 최대 [eqn: 330`]명이고, 여자 자원봉사자는 최대 [eqn: 385`]명이다. 이 경우에 조직위원회에서 편성할 수 있는 조의 개수의 최댓값을 구하시오. [4점]

[eqn: 95``]

[eqn: A,~B``]조를 각각 [eqn: x``], [eqn: y``]개 편성한다고 하자.

[eqn: x≧0,~y≧0``], [eqn: 4x+3y≦330,~3x+5y≦385``]이다.

ⅰ) 영역을 도시하면 빗금친 부분이고

ⅱ) [eqn: x+y=k``]라 두면

[eqn: y=-x+k``](직선)이 점 [eqn: (45,~50)``]을 지날 때이다.

[eqn: THEREFORE ~k=95``]이다.

[eqn: x``]

[eqn: y``]

[eqn: 4x+3y=330``]

[eqn: 3x+5y=385``]

[eqn: O``]

[eqn: (45,~50)``]

[eqn: x+y=k``]

이차방정식 [eqn: x^2 `+`2k`x`+`6`=`0```]의 두 근 [eqn: alpha`], [eqn: beta```]가
[eqn: {{alpha}^{-1}`-`{beta}`}^{-1}}over{{alpha}^{-2}`-`{beta}^{-2}}`=`4over25`]
를 만족할 때, 상수 [eqn: k`]의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. [2점]

[eqn: -18.75``]

근과 계수와의 관계에서 [eqn: alpha +beta=-2k,~~ alpha beta =6``]이고,

[eqn: { { 1} over { alpha }- { 1} over { beta } } over { { 1} over { alpha ^2 }- { 1} over { beta ^2} } = { 4} over {25 } ~~ LRARROW ~~ { alpha beta } over { alpha +beta } = { 6} over { -2k}= { 4} over {25 } ``]

[eqn: THEREFORE ~k=-18.75```]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

2002년 사관학교 1차 선발시험(가형) 해설