수학ETF	2026년_고3_6월	기출문제
	23~30
	기하

두 벡터 [eqn: vec{a} = (3,`0)], [eqn: vec{b} = (-1,`2)]에 대하여 [eqn: vec{a} + 2vec{b}]의 모든 성분의 합은?

⑤

[eqn: vec{a} + 2vec{b} = (3,`0) + 2(-1,`2) = (3,`0) + (-2,`4) = (1,`4)]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 1 + 4 = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

포물선 [eqn: y^{2} = -12x]의 초점의 좌표가 [eqn: (p,`0)]일 때, [eqn: p]의 값은?

③

포물선의 방정식 [eqn: y^{2} = 4px]에서 초점의 좌표는 [eqn: (p,`0)]이므로

[eqn: 4p = -12]

∴ [eqn: p = -3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

좌표평면에 방향벡터가 [eqn: (1,`5)]인 직선 [eqn: l_{1}]과 직선 [eqn: l_{2} : {x-5} over {3} = {y+1} over {2}]이 있다. 두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값은?

직선 [eqn: l_{1}]의 방향벡터를 [eqn: vec{u_{1}}]이라 하면 [eqn: vec{u_{1}} = (1,`5)]

직선 [eqn: l_{2}]의 방향벡터를 [eqn: vec{u_{2}}]라 하면 [eqn: vec{u_{2}} = (3,`2)]

두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]가 이루는 예각의 크기가 [eqn: theta]이므로

[eqn: cos theta = {left | vec{u_{1}} cdot vec{u_{2}} right |} over {left | vec{u_{1}} right | left | vec{u_{2}} right |} = {left | 1 times 3 + 5 times 2 right |} over {sqrt{1^{2} + 5^{2}} sqrt{3^{2} + 2^{2}}}]

[eqn: = {13} over {sqrt{26} sqrt{13}} = {13} over {13 sqrt{2}} = {sqrt{2}} over {2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {sqrt{2}} over {3}]	② [eqn: {5 sqrt{2}} over {12}]	③ [eqn: {sqrt{2}} over {2}]

④ [eqn: {7 sqrt{2}} over {12}]	⑤ [eqn: {2 sqrt{2}} over {3}]

타원 [eqn: {x^{2}} over {18} + {y^{2}} over {8} = 1] 위의 점 [eqn: (a,`2)]에서의 접선의 [eqn: x]절편은? (단, [eqn: a]는 양수이다.)

①

점 [eqn: (a,`2)]가 타원 [eqn: {x^{2}} over {18} + {y^{2}} over {8} = 1] 위의 점이므로

[eqn: {a^{2}} over {18} + {4} over {8} = 1]

[eqn: {a^{2}} over {18} = {1} over {2}] ∴ [eqn: a^{2} = 9]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = 3]

타원 위의 점 [eqn: (3,`2)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {3x} over {18} + {2y} over {8} = 1]

∴ [eqn: {x} over {6} + {y} over {4} = 1]

[eqn: y = 0]을 대입하면 [eqn: {x} over {6} = 1] ∴ [eqn: x = 6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

마름모 [eqn: rmOABC]에 대하여 [eqn: {vec{rmOA}} = {vec{ita}}], [eqn: {vec{rm OB it}} = {vec{it b}}], [eqn: {vec{rm OC it}} = {vec{it c}}] 라 하자. [eqn: left | vec{a} right | = 6], [eqn: left | vec{b} right | = 4]이고 두 벡터 [eqn: vec{b} - vec{c}]와 [eqn: vec{b} + t vec{c}]가 서로 수직일 때, 실수 [eqn: t]의 값은?

②

마름모 [eqn: rmOABC]에서

[eqn: vec{b} = vec{a} + vec{c}]

마름모의 네 변의 길이는 같으므로

[eqn: left | vec{c} right | = left | vec{a} right | = 6]

[eqn: left | vec{b} right | ^{2} = left | vec{a} + vec{c} right | ^{2}]에서

[eqn: 16 = left | vec{a} right | ^{2} + 2 ( vec{a} cdot vec{c} ) + left | vec{c} right | ^{2}]

[eqn: 16 = 36 + 2 ( vec{a} cdot vec{c} ) + 36]

[eqn: ∴ vec{a} cdot vec{c} = -28]

[eqn: vec{a} cdot vec{b} = vec{a} cdot ( vec{a} + vec{c} ) = left | vec{a} right | ^{2} + vec{a} cdot vec{c} = 36 - 28 = 8]

두 벡터 [eqn: vec{b} - vec{c}]와 [eqn: vec{b} + t vec{c}]가 서로 수직이므로

[eqn: ( vec{b} - vec{c} ) cdot ( vec{b} + t vec{c} ) = 0]

[eqn: vec{b} - vec{c} = vec{a}]이므로

[eqn: vec{a} cdot ( vec{b} + t vec{c} ) = 0]

[eqn: vec{a} cdot vec{b} + t ( vec{a} cdot vec{c} ) = 0]

[eqn: 8 - 28t = 0]

[eqn: ∴ t = {2} over {7}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {5} over {21}]	② [eqn: {2} over {7}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {8} over {21}]	⑤ [eqn: {3} over {7}]

두 초점이 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( it-c,`0 RIGHT )] [eqn: (c > 0)]인 타원 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} + {y^{2}} over {b^{2}} = 1]이 있다. 이 타원 위에 있는 제[eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: rmP]와 이 타원 위에 있는 제[eqn: 4]사분면 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 점 [eqn: rmF]가 선분 [eqn: rmPQ] 위에 있고
[eqn: rm{overline {PF}} over {overline {QF}} = {1} over {2}], [eqn: rm{overline {PF}} over {overline {FF'}} = {sqrt{6}} over {16}]
이다. 삼각형 [eqn: rmFF'Q]의 넓이가 [eqn: 4 sqrt{5}]일 때, [eqn: b^{2}]의 값은? (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 양수이다.)

④

[eqn: rm {bar{PF}} =itk]라 하면 [eqn: rm {bar{QF}} =2itk], [eqn: rmbar {FF'} = 2c]

[eqn: rmbar {PF} : rmbar {FF'} = {sqrt{6}} : 16]이므로 [eqn: k = {sqrt{6}} over {8} c]

타원의 정의에 의해 [eqn: rm {bar{PF prime }} =it2a-k], [eqn: rm {bar{QF prime }} =it2a-2k]

[eqn: rmangle PFF' = theta]라 하면 [eqn: rmangle QFF' = pi - theta]

[eqn: rmtriangle PFF']에서 코사인 법칙에 의해

[eqn: (2a-k)^{2} = k^{2} + 4c^{2} - 4kc cos theta] ……①

[eqn: rmtriangle QFF']에서 코사인 법칙에 의해

[eqn: (2a-2k)^{2} = 4k^{2} + 4c^{2} + 8kc cos theta] ……②

①[eqn: times 2 +]②를 하면

[eqn: 2(2a-k)^{2} + (2a-2k)^{2} = 6k^{2} + 12c^{2}]

[eqn: 12a^{2} - 16ak = 12c^{2}]

[eqn: 12(a^{2} - c^{2}) = 16ak]

[eqn: a^{2} - c^{2} = b^{2}]이므로 [eqn: 3b^{2} = 4ak] ∴ [eqn: a = {3b^{2}} over {4k}]

[eqn: a^{2} = b^{2} + c^{2}]에 대입하면

[eqn: left ( {3b^{2}} over {4k} right )^{2} = b^{2} + c^{2}]

[eqn: k^{2} = {3} over {32} c^{2}]이므로

[eqn: {9b^{4}} over {16 times {3} over {32} c^{2}} = b^{2} + c^{2}]

[eqn: 6b^{4} = b^{2} c^{2} + c^{4}]

[eqn: c^{4} + b^{2} c^{2} - 6b^{4} = 0]

[eqn: (c^{2} + 3b^{2})(c^{2} - 2b^{2}) = 0]

[eqn: c^{2} > 0], [eqn: b^{2} > 0]이므로 [eqn: c^{2} = 2b^{2}]

[eqn: rmtriangle FF'Q]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times 2c times 2k times sin ( pi - theta ) = 2ck sin theta = 4 sqrt{5}]

∴ [eqn: ck sin theta = 2 sqrt{5}] ……③

①에서 [eqn: 4a^{2} - 4ak = 4c^{2} - 4kc cos theta]

[eqn: 4(a^{2} - c^{2}) - 4ak = -4kc cos theta]

[eqn: 4b^{2} - 3b^{2} = -4kc cos theta]

∴ [eqn: kc cos theta = - {b^{2}} over {4}] ……④

③, ④의 양변을 각각 제곱하여 더하면

[eqn: c^{2} k^{2} ( sin^{2} theta + cos^{2} theta ) = 20 + {b^{4}} over {16}]

[eqn: c^{2} k^{2} = 20 + {b^{4}} over {16}]

[eqn: c^{2} k^{2} = c^{2} left ( {3} over {32} c^{2} right ) = {3} over {32} c^{4} = {3} over {32} (2b^{2})^{2} = {3} over {8} b^{4}]이므로

[eqn: {3} over {8} b^{4} = 20 + {b^{4}} over {16}]

[eqn: {5} over {16} b^{4} = 20] ∴ [eqn: b^{4} = 64]

[eqn: b^{2} > 0]이므로 [eqn: b^{2} = 8]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {13} over {2}]	② [eqn: 7]	③ [eqn: {15} over {2}]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: {17} over {2}]

두 초점이 [eqn: rmF(3,`0)], [eqn: rmF'(-3,`0)]인 쌍곡선 [eqn: C_{1}]이 있다. 쌍곡선 [eqn: C_{1}]의 두 꼭짓점 중 [eqn: x]좌표가 음수인 점을 [eqn: rm A( it -a,`0)][eqn: (a>0)]이라 하고, 초점이 [eqn: rmF]이고 꼭짓점이 [eqn: rmA]인 포물선을 [eqn: C_{2}], 이 포물선의 준선을 [eqn: l]이라 하자. 쌍곡선 [eqn: C_{1}]과 포물선 [eqn: C_{2}]가 만나는 점 중 제[eqn: 1]사분면 위의 점의 [eqn: y]좌표와 쌍곡선 [eqn: C_{1}]과 직선 [eqn: l]이 만나는 점 중 제[eqn: 2]사분면 위의 점의 [eqn: y]좌표가 같을 때, [eqn: a^{2}]의 값이 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 14]

쌍곡선 [eqn: C_{1}]의 두 초점이 [eqn: rmF(3,`0)], [eqn: rmF'(-3,`0)]이고 주축의 길이가 [eqn: 2a]이므로

[eqn: C_{1}]의 방정식은 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {9-a^{2}} = 1] ……①

포물선 [eqn: C_{2}]의 초점이 [eqn: rmF(3,`0)], 꼭짓점이 [eqn: rm A(-ita,`0)]이므로

[eqn: C_{2}]의 방정식은 [eqn: y^{2} = 4(a+3)(x+a)] ……②

포물선 [eqn: C_{2}]의 준선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: x = -a - (a+3) = -2a-3]

쌍곡선 [eqn: C_{1}]과 준선 [eqn: l]이 만나는 제[eqn: 2]사분면 위의 점을 [eqn: rm Q(itx _{2} ,`y _{2} )]라 하면

[eqn: x_{2} = -2a-3]을 ①에 대입하여

[eqn: {(-2a-3)^{2}} over {a^{2}} - {y_{2}^{2}} over {9-a^{2}} = 1]

[eqn: ∴ y_{2}^{2} = {3(9-a^{2})(a+1)(a+3)} over {a^{2}}]

쌍곡선 [eqn: C_{1}]과 포물선 [eqn: C_{2}]가 만나는 제[eqn: 1]사분면 위의 점을 [eqn: rm P(itx _{1} ,`y _{1} )]이라 하면

조건에서 [eqn: y_{1} = y_{2}]이고 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 모두 쌍곡선 [eqn: C_{1}] 위의 점이므로

[eqn: x_{1}^{2} = x_{2}^{2}]에서 [eqn: x_{1} = -x_{2} = 2a+3] ([eqn: ∵ x_{1} > 0], [eqn: x_{2} < 0])

점 [eqn: rm P(it2a+3,`y _{1} )]이 포물선 [eqn: C_{2}] 위의 점이므로 ②에 대입하면

[eqn: y_{1}^{2} = 4(a+3)(2a+3+a) = 12(a+3)(a+1)]

[eqn: y_{1}^{2} = y_{2}^{2}]이므로

[eqn: 12(a+3)(a+1) = {3(9-a^{2})(a+1)(a+3)} over {a^{2}}]

[eqn: a > 0]이므로 양변을 [eqn: 3(a+1)(a+3)]으로 나누면

[eqn: 4 = {9-a^{2}} over {a^{2}}]

[eqn: 4a^{2} = 9-a^{2}] [eqn: ∴ a^{2} = {9} over {5}]

[eqn: p=5], [eqn: q=9]이므로 [eqn: p+q = 14]

따라서 정답은 [eqn: 14]이다.

좌표평면에서 [eqn: rmrmoverline{AB} = overline{AC} = 2], [eqn: rmangle CAB > {pi} over {2}]인 이등변삼각형의 세 꼭짓점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]와 선분 [eqn: rmAB]의 수직이등분선 위의 점 [eqn: rmD]가
[eqn: rmvec{BA} cdot vec{BC} = vec{CB} cdot vec{CD}], [eqn: rm2 vec{AC} cdot vec{AD} = vec{DA} cdot vec{DB}]
를 만족시킨다. 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 위를 움직이는 점 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: rmvec{DX} cdot vec{BC}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: left | M times m right | = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 29]

선분 [eqn: rmAB]의 중점을 원점 [eqn: rmO(0,`0)]으로 하는 좌표계를 설정하면 [eqn: rmA(-1,`0)], [eqn: rmB(1,`0)]이다.

[eqn: rmangle CAB = alpha] ([eqn: alpha > {pi} over {2}])라 하면 [eqn: rmbar {AC} = 2]이므로 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: (-1 + 2 cos alpha,`2 sin alpha)]이다.

점 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmAB]의 수직이등분선인 [eqn: y]축 위에 있으므로 [eqn: rm D(0,`itd)]라 하자.

[eqn: rmvec{BA} = (-2,`0)], [eqn: rmvec{BC} = (-2 + 2 cos alpha,`2 sin alpha)]이므로

[eqn: rmvec{BA} cdot vec{BC} = 4 - 4 cos alpha]

[eqn: rmvec{CB} = (2 - 2 cos alpha,`-2 sin alpha)], [eqn: rmvec{CD} = (1 - 2 cos alpha,`d - 2 sin alpha)]이므로

[eqn: rm {vec{CB}} CDOT {vec{CD}} =2(1-cos alpha )(1-2cos alpha )-2sin alpha (d-2sin alpha )][eqn: =6-6cos alpha -2d`sin alpha]

[eqn: rmvec{BA} cdot vec{BC} = vec{CB} cdot vec{CD}]에서

[eqn: 4 - 4 cos alpha = 6 - 6 cos alpha - 2d sin alpha]

[eqn: d sin alpha = 1 - cos alpha] ……①

[eqn: rmvec{AC} = (2 cos alpha,`2 sin alpha)], [eqn: rmvec{AD} = (1,`d)]이므로

[eqn: rm2 vec{AC} cdot vec{AD} = 4 cos alpha + 4d sin alpha]

[eqn: rm {vec{DA}} =(-1,`-itd)], [eqn: rm {vec{DB}} =(1,`-itd)]이므로

[eqn: rm {vec{DA}} CDOT {vec{DB}} =itd ^{2} -1]

[eqn: rm2 vec{AC} cdot vec{AD} = vec{DA} cdot vec{DB}]에서

[eqn: 4 cos alpha + 4d sin alpha = d^{2} - 1] ……②

①을 ②에 대입하면

[eqn: 4 cos alpha + 4(1 - cos alpha) = d^{2} - 1]

[eqn: d^{2} = 5]

[eqn: alpha > {pi} over {2}]이므로 [eqn: cos alpha < 0]이고, ①에서 [eqn: d sin alpha > 0]이므로 [eqn: d = sqrt{5}]

①에 [eqn: d = sqrt{5}]를 대입하여 양변을 제곱하면

[eqn: 5 sin^{2} alpha = (1 - cos alpha)^{2}]

[eqn: 5(1 - cos^{2} alpha) = 1 - 2 cos alpha + cos^{2} alpha]

[eqn: 3 cos^{2} alpha - cos alpha - 2 = 0]

[eqn: (3 cos alpha + 2)(cos alpha - 1) = 0]

[eqn: cos alpha < 0]이므로 [eqn: cos alpha = - {2} over {3}], [eqn: sin alpha = {sqrt{5}} over {3}]

따라서 [eqn: rmC left ( - {7} over {3},`{2 sqrt{5}} over {3} right )]이므로 [eqn: rmvec{BC} = left ( - {10} over {3},`{2 sqrt{5}} over {3} right )]

[eqn: rmleft | vec{BC} right | ^{2} = {100} over {9} + {20} over {9} = {120} over {9}]

점 [eqn: rmX]는 원점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 점이므로

[eqn: rmvec{DX} cdot vec{BC} = (vec{OX} - vec{OD}) cdot vec{BC} = vec{OX} cdot vec{BC} - vec{OD} cdot vec{BC}]

[eqn: rmvec{OD} cdot vec{BC} = (0,`sqrt{5}) cdot left ( - {10} over {3},`{2 sqrt{5}} over {3} right ) = {10} over {3}]

[eqn: rmvec{OX} cdot vec{BC}]의 최댓값은 [eqn: rmleft | vec{BC} right |], 최솟값은 [eqn: rm- left | vec{BC} right |]이므로

[eqn: M= LEFT | {vec{rmBC}} RIGHT | - {10} over {3}], [eqn: m=- LEFT | {vec{rmBC}} RIGHT | - {10} over {3}]

[eqn: M TIMES m=- LEFT | {vec{rmBC}} RIGHT | ^{2} + {100} over {9} =- {120} over {9} + {100} over {9} =- {20} over {9}]

[eqn: left | M times m right | = {20} over {9}]

[eqn: p = 9], [eqn: q = 20]이므로 [eqn: p + q = 29]

따라서 정답은 [eqn: 29]이다.