수학ETF	2026년_고3_6월	기출문제
	23~30
	미적분II

[eqn: lim_{n rightarrow inf} {4 times 5^{n} - 2^{n+1}} over {5^{n} + 2^{n}}]의 값은?

④

[eqn: lim from {n -> inf} {4 times 5^{n} - 2^{n+1}} over {5^{n} + 2^{n}} = lim from {n -> inf} {4 times 5^{n} - 2 times 2^{n}} over {5^{n} + 2^{n}}]

분모, 분자를 [eqn: 5^{n}]으로 나누면

[eqn: lim from {n -> inf} {4 - 2 times left ( {2} over {5} right )^{n}} over {1 + left ( {2} over {5} right )^{n}} = {4 - 0} over {1 + 0} = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

곡선 [eqn: 2x + sqrt{y} = xy] 위의 점 [eqn: (-1,`1)]에서의 접선의 기울기는?

③

[eqn: 2x + sqrt{y} = xy]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 2 + {1} over {2 sqrt{y}} y' = y + xy']

[eqn: x = -1], [eqn: y = 1]을 대입하면

[eqn: 2 + {1} over {2} y' = 1 - y']

[eqn: {3} over {2} y' = -1] ∴ [eqn: y' = -{2} over {3}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -{1} over {3}]	② [eqn: -{1} over {2}]	③ [eqn: -{2} over {3}]

④ [eqn: -{5} over {6}]	⑤ [eqn: -1]

공차가 [eqn: 3]인 두 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }], [eqn: left { b_{n} right }]의 첫째항이 각각 [eqn: 4], [eqn: 7]일 때, [eqn: sum_{n=1}^{inf} {1} over {a_{n}b_{n}}]의 값은?

②

등차수열의 일반항에서

[eqn: a_{n} = 4 + (n-1) times 3 = 3n + 1]

[eqn: b_{n} = 7 + (n-1) times 3 = 3n + 4]

[eqn: b_{n} - a_{n} = 3]이므로

[eqn: {1} over {a_{n}b_{n}} = {1} over {3} left ( {1} over {3n+1} - {1} over {3n+4} right )]

[eqn: sum from {n=1} to {inf} {1} over {a_{n}b_{n}} = lim from {n -> inf} sum from {k=1} to {n} {1} over {a_{k}b_{k}}]

[eqn: = lim from {n -> inf} {1} over {3} left { left ( {1} over {4} - {1} over {7} right ) + left ( {1} over {7} - {1} over {10} right ) + cdots + left ( {1} over {3n+1} - {1} over {3n+4} right ) right }]

[eqn: = lim from {n -> inf} {1} over {3} left ( {1} over {4} - {1} over {3n+4} right ) = {1} over {12}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {1} over {24}]	② [eqn: {1} over {12}]	③ [eqn: {1} over {8}]

④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {5} over {24}]

곡선 [eqn: y=sinx][eqn: LEFT ( 0<x<pi RIGHT )]와 직선 [eqn: y = {sqrt{3}} over {2}]이 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 곡선 [eqn: y = sin x] 위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선과 곡선 [eqn: y = sin x] 위의 점 [eqn: rmB]에서의 접선이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan theta]의 값은?

⑤

[eqn: sin x = {sqrt{3}} over {2}] ([eqn: 0 < x < pi])에서

[eqn: x = {pi} over {3}] 또는 [eqn: x = {2 pi} over {3}]

[eqn: y = sin x]에서 [eqn: y' = cos x]이므로

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서의 접선의 기울기를 각각 [eqn: m_{1}], [eqn: m_{2}]라 하면

[eqn: m_{1} = cos {pi} over {3} = {1} over {2}], [eqn: m_{2} = cos {2 pi} over {3} = - {1} over {2}]

두 접선이 이루는 예각의 크기가 [eqn: theta]이므로

[eqn: tan theta = left | {m_{1} - m_{2}} over {1 + m_{1} m_{2}} right | = left | {{1} over {2} - left ( - {1} over {2} right )} over {1 + {1} over {2} times left ( - {1} over {2} right )} right | = {1} over {{3} over {4}} = {4} over {3}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {5} over {6}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {7} over {6}]	⑤ [eqn: {4} over {3}]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 시각이 [eqn: t] [eqn: LEFT ( {pi} over {2} <t< {3pi} over {2} RIGHT )]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치 [eqn: (x,`y)]가
[eqn: x = at + tan t], [eqn: y = 1 + sec t]
이다. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t = {3pi} over {4}]에서의 속력이 [eqn: t = pi]에서의 속력과 같을 때, 실수 [eqn: a]의 값은?

①

[eqn: x = at + tan t], [eqn: y = 1 + sec t]에서

[eqn: {dx} over {dt} = a + sec^{2} t], [eqn: {dy} over {dt} = sec t tan t]

[eqn: t = {3pi} over {4}]일 때, [eqn: sec {3pi} over {4} = -sqrt{2}], [eqn: tan {3pi} over {4} = -1]이므로

속력의 제곱은 [eqn: (a+2)^{2} + (sqrt{2})^{2} = a^{2} + 4a + 6] ……①

[eqn: t = pi]일 때, [eqn: sec pi = -1], [eqn: tan pi = 0]이므로

속력의 제곱은 [eqn: (a+1)^{2} + 0^{2} = a^{2} + 2a + 1] ……②

[eqn: t = {3pi} over {4}]에서의 속력이 [eqn: t = pi]에서의 속력과 같으므로 ①, ②에서

[eqn: a^{2} + 4a + 6 = a^{2} + 2a + 1]

[eqn: 2a = -5] ∴ [eqn: a = - {5} over {2}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: - {3} over {2}]	③ [eqn: - {1} over {2}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

좌표평면에서 양수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t]가 두 곡선 [eqn: y=e^{2x}-e^{-x}+1], [eqn: y=e^{2x}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=e^{2x}]과 만나는 점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: f(t)], 점 [eqn: rmQ]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=e^{2x}-e^{-x}+1]과 만나는 점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: g(t)]라 할 때, 두 함수 [eqn: f(t)], [eqn: g(t)]는 구간 [eqn: (0, inf)]에서 미분가능한 함수이다. [eqn: lim _{t->1} {{9f' LEFT ( t RIGHT ) -4g' LEFT ( t RIGHT )} over {t-1}}]의 값은?

③

점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_{2}]라 하면 [eqn: e^{2x_{2}} = t]에서 [eqn: x_{2} = {1} over {2} ln t]

[eqn: g(t) = e^{2x_{2}} - e^{-x_{2}} + 1 = t - t^{-{1} over {2}} + 1]

[eqn: g'(t) = 1 + {1} over {2} t^{-{3} over {2}}], [eqn: g''(t) = -{3} over {4} t^{-{5} over {2}}]

[eqn: t=1]일 때 [eqn: g'(1) = {3} over {2}], [eqn: g''(1) = -{3} over {4}]

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_{1}]이라 하면 [eqn: e^{2x_{1}} - e^{-x_{1}} + 1 = t]

[eqn: f(t) = e^{2x_{1}}]이므로 [eqn: e^{-x_{1}} = f(t)^{-{1} over {2}}]

[eqn: f(t) - f(t)^{-{1} over {2}} + 1 = t] ……①

[eqn: t=1]일 때 [eqn: f(1) - f(1)^{-{1} over {2}} = 0] ∴ [eqn: f(1) = 1]

①의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: f'(t) + {1} over {2} f(t)^{-{3} over {2}} f'(t) = 1]

[eqn: f'(t) left ( 1 + {1} over {2} f(t)^{-{3} over {2}} right ) = 1] ……②

[eqn: t=1] 대입하면 [eqn: f'(1) left ( 1 + {1} over {2} right ) = 1] ∴ [eqn: f'(1) = {2} over {3}]

②의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: f''(t) left ( 1 + {1} over {2} f(t)^{-{3} over {2}} right ) + f'(t) left ( -{3} over {4} f(t)^{-{5} over {2}} f'(t) right ) = 0]

[eqn: t=1] 대입하면 [eqn: f''(1) left ( 1 + {1} over {2} right ) - {3} over {4} left { f'(1) right } ^{2} = 0]

[eqn: {3} over {2} f''(1) - {3} over {4} left ( {2} over {3} right ) ^{2} = 0] ∴ [eqn: f''(1) = {2} over {9}]

[eqn: h(t) = 9f'(t) - 4g'(t)]라 하면 [eqn: h(1) = 9 left ( {2} over {3} right ) - 4 left ( {3} over {2} right ) = 0]이므로

[eqn: lim from {t -> 1} {9f'(t) - 4g'(t)} over {t - 1} = lim from {t -> 1} {h(t) - h(1)} over {t - 1} = h'(1)]

[eqn: h'(1) = 9f''(1) - 4g''(1) = 9 left ( {2} over {9} right ) - 4 left ( -{3} over {4} right ) = 2 + 3 = 5]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

모든 항이 정수인 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]과 모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left { b_{n} right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a_{1} = b_{1}], [eqn: a_{4} = b_{2}]

(나) 어떤 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_{k} = b_{3}]이다.

급수 [eqn: sum_{n=1}^{inf} b_{n}]이 수렴할 때, [eqn: left | sum_{n=1}^{inf} left ( b_{n} cos left ( a_{n} pi right ) right ) right |]의 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: 10 times m]의 값을 구하시오.

[eqn: 54]

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하고, 등비수열 [eqn: left { b_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: b], 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: a_{1} = b_{1}]에서 [eqn: a = b]

[eqn: a_{4} = b_{2}]에서 [eqn: a + 3d = ar] ∴ [eqn: 3d = a(r - 1)] ……①

[eqn: a_{k} = b_{3}]에서 [eqn: a + (k - 1)d = ar^{2}] ……②

①, ②에서 [eqn: (k - 1)d = a(r^{2} - 1) = a(r - 1)(r + 1) = 3d(r + 1)]

[eqn: d neq 0]이므로 [eqn: k - 1 = 3r + 3] ∴ [eqn: r = {k - 4} over {3}]

급수 [eqn: sum from {n=1} to {inf} b_{n}]이 수렴하므로 [eqn: 0 < r < 1]에서 [eqn: 0 < {k - 4} over {3} < 1] ∴ [eqn: 4 < k < 7]

[eqn: k]는 자연수이므로 [eqn: k = 5] 또는 [eqn: k = 6]

(ⅰ) [eqn: k = 5]일 때

[eqn: r = {1} over {3}]이므로 ①에서 [eqn: 9d = -2a]

[eqn: a], [eqn: d]는 정수이고 [eqn: a > 0], [eqn: d < 0]이므로 [eqn: d = -2p] ([eqn: p]는 자연수)라 하면 [eqn: a = 9p]

[eqn: a_{n} = 9p - 2p(n - 1) = p(11 - 2n)]

[eqn: cos (a_{n} pi) = cos (p(11 - 2n) pi) = (-1)^{p}]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} cos(a _{n} pi )=(-1) ^{p} sum _{n=1} ^{INF } 9p LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1}][eqn: =(-1) ^{p} {9p} over {1- {1} over {3}} =(-1) ^{p} {27p} over {2}]

절댓값의 최솟값은 [eqn: p = 1]일 때 [eqn: {27} over {2}]

(ⅱ) [eqn: k = 6]일 때

[eqn: r = {2} over {3}]이므로 ①에서 [eqn: 9d = -a]

[eqn: d = -q] ([eqn: q]는 자연수)라 하면 [eqn: a = 9q]

[eqn: a_{n} = 9q - q(n - 1) = q(10 - n)]

[eqn: cos (a_{n} pi) = cos (q(10 - n) pi) = (-1)^{q(10 - n)}]

[eqn: q]가 짝수이면 [eqn: cos (a_{n} pi) = 1]이므로

[eqn: sum from {n=1} to {inf} b_{n} cos (a_{n} pi) = sum from {n=1} to {inf} 9q left ( {2} over {3} right )^{n-1} = {9q} over {1 - {2} over {3}} = 27q]

절댓값의 최솟값은 [eqn: q = 2]일 때 [eqn: 54]

[eqn: q]가 홀수이면 [eqn: cos (a_{n} pi) = (-1)^{10 - n} = (-1)^{n}]이므로

[eqn: sum from {n=1} to {inf} b_{n} cos (a_{n} pi) = sum from {n=1} to {inf} 9q left ( {2} over {3} right )^{n-1} (-1)^{n} = {-9q} over {1 - left ( - {2} over {3} right )} = - {27q} over {5}]

절댓값의 최솟값은 [eqn: q = 1]일 때 [eqn: {27} over {5}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: m = {27} over {5}]

∴ [eqn: 10 times m = 10 times {27} over {5} = 54]

따라서 정답은 [eqn: 54]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]는
[eqn: g(x)= root {3} of {x LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) ^{2}}]
이다. 함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 [eqn: x = {19} over {7}]와 [eqn: x = 3]에서 극값을 가질 때, [eqn: f(5)]의 값을 구하시오.

[eqn: 20]

[eqn: g(x) = (x(f(x))^{2})^{{1} over {3}}]에서

[eqn: g'(x) = {f(x)^{2} + 2x f(x) f'(x)} over {3 (x(f(x))^{2})^{{2} over {3}}} = {f(x) + 2x f'(x)} over {3 x^{{2} over {3}} (f(x))^{{1} over {3}}}]

함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 다항식 [eqn: x(f(x))^{2}]의 모든 실근의 중복도가 [eqn: 3] 이상이어야 한다.

[eqn: x=0]에서 중복도가 [eqn: 3] 이상이려면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x]를 인수로 가져야 하므로

[eqn: f(x) = x(x^{2} + cx + d)]라 하자. (단, [eqn: x^{2} + cx + d = 0]은 중근 또는 허근)

[eqn: f(x)+2xf prime (x)][eqn: =(x ^{3} +cx ^{2} +dx)+2x(3x ^{2} +2cx+d)=x(7x ^{2} +5cx+3d)]이므로

[eqn: g'(x) = {x(7x^{2} + 5cx + 3d)} over {3 x^{{2} over {3}} (x(x^{2} + cx + d))^{{1} over {3}}} = {7x^{2} + 5cx + 3d} over {3 (x^{2} + cx + d)^{{1} over {3}}}]

[eqn: x = {19} over {7}], [eqn: x = 3]에서 극값을 가지므로 이차방정식 [eqn: 7x^{2} + 5cx + 3d = 0]의 두 근은 [eqn: {19} over {7}], [eqn: 3]이다.

근과 계수의 관계에서

[eqn: - {5c} over {7} = {19} over {7} + 3 = {40} over {7}] ∴ [eqn: c = -8]

[eqn: {3d} over {7} = {19} over {7} times 3 = {57} over {7}] ∴ [eqn: d = 19]

[eqn: f(x) = x(x^{2} - 8x + 19)]이고, [eqn: x^{2} - 8x + 19 = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} = 16 - 19 = -3 < 0]이므로 허근을 가져 미분가능성 조건을 만족한다.

∴ [eqn: f(5) = 5(25 - 40 + 19) = 20]

따라서 정답은 [eqn: 20]이다.