수학ETF	2026년_고3_6월	기출문제
	23~30
	확률과통계

[eqn: 4]개의 문자 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: z]를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는?

③

[eqn: 4]개의 문자 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: z] 중 [eqn: z]가 [eqn: 2]개이므로 구하는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!} = 12]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여
[eqn: P(A cap B) = {1 over 3}], [eqn: P(A cap B^{C}) = {3 over 8}]
일 때, [eqn: P(A^{C})]의 값은?

②

[eqn: A = (A cap B) cup (A cap B^{C})]이고 두 사건 [eqn: A cap B], [eqn: A cap B^{C}]은 서로 배반사건이므로

[eqn: P(A) = P(A cap B) + P(A cap B^{C}) = {1} over {3} + {3} over {8} = {17} over {24}]

여사건의 확률에 의해

[eqn: P(A^{C}) = 1 - P(A) = 1 - {17} over {24} = {7} over {24}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {1 over 4}]	② [eqn: {7 over 24}]	③ [eqn: {1 over 3}]

④ [eqn: {3 over 8}]	⑤ [eqn: {5 over 12}]

다항식 [eqn: (x+4)^{6}(3x+2)]의 전개식에서 [eqn: x^{6}]의 계수는?

①

[eqn: (x+4)^{6}(3x+2) = 3x(x+4)^{6} + 2(x+4)^{6}]

[eqn: (x+4)^{6}]의 전개식의 일반항은

[eqn: {}{}_{6} C _{r} x^{r} 4^{6-r}] ([eqn: r = 0, 1, cdots, 6])

[eqn: x^{6}] 항은 [eqn: 3x]와 [eqn: (x+4)^{6}]의 [eqn: x^{5}] 항이 곱해지거나, [eqn: 2]와 [eqn: (x+4)^{6}]의 [eqn: x^{6}] 항이 곱해질 때 나온다.

(ⅰ) [eqn: x^{5}]의 계수 ([eqn: r=5]일 때):

[eqn: rm{}{}_{6} C _{5} times 4^{1} = 24]

(ⅱ) [eqn: x^{6}]의 계수 ([eqn: r=6]일 때):

[eqn: rm{}{}_{6} C _{6} times 4^{0} = 1]

∴ [eqn: x^{6}]의 계수는 [eqn: 3 times 24 + 2 times 1 = 74]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 74]	② [eqn: 78]	③ [eqn: 82]

④ [eqn: 86]	⑤ [eqn: 90]

주머니에 [eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 10]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 네 자연수의 곱이 [eqn: 5]의 배수일 확률은?

⑤

[eqn: 10]개의 공 중에서 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는

[eqn: rm{}{}_{10} C _{4} = {10 times 9 times 8 times 7} over {4 times 3 times 2 times 1} = 210]

꺼낸 네 자연수의 곱이 [eqn: 5]의 배수가 아니려면 [eqn: 5]의 배수인 [eqn: 5], [eqn: 10]을 제외한 [eqn: 8]개의 공 중에서 [eqn: 4]개를 꺼내야 하므로 그 경우의 수는

[eqn: rm{}{}_{8} C _{4} = {8 times 7 times 6 times 5} over {4 times 3 times 2 times 1} = 70]

꺼낸 네 자연수의 곱이 [eqn: 5]의 배수가 아닐 확률은 [eqn: {70} over {210} = {1} over {3}]

∴ 구하는 확률은 [eqn: 1 - {1} over {3} = {2} over {3}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: {7} over {15}]	③ [eqn: {8} over {15}]

④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,`2,`3 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f] 중 [eqn: f(1) times f(2) neq 4]를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는?

④

[eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 전체 함수의 개수는 [eqn: 3^{5} = 243]

조건 [eqn: f(1) times f(2) neq 4]의 여사건은 [eqn: f(1) times f(2) = 4]

[eqn: Y = left { 1, 2, 3 right }]이므로 [eqn: f(1) times f(2) = 4]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(1), f(2))]는 [eqn: (2,`2)]의 [eqn: 1]가지

나머지 원소 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]의 함숫값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 3^{3} = 27]

여사건의 함수의 개수는 [eqn: 1 times 27 = 27]

∴ 구하는 함수의 개수는 [eqn: 243 - 27 = 216]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 189]	② [eqn: 198]	③ [eqn: 207]

④ [eqn: 216]	⑤ [eqn: 225]

앞면에 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 하나씩 적혀 있는 카드 [eqn: 6]장이 있다. 각 카드의 뒷면에는 앞면에 적힌 숫자와 같은 숫자가 적혀 있다. 이 [eqn: 6]장의 카드가 다음과 같이 놓여 있다.

숫자 [eqn: 1], [eqn: 6]이 적힌 카드는 뒷면이 보이도록 놓여 있고,

숫자 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]가 적힌 카드는 앞면이 보이도록 놓여 있다.

이 [eqn: 6]장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: k]일 때,

[eqn: k]가 홀수이면 [eqn: k] 이하의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집고,

[eqn: k]가 짝수이면 [eqn: k] 이상의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집는다.

이 시행을 [eqn: 4]번 반복한 후 [eqn: 6]장의 카드가 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은?

③

주사위 눈 [eqn: k]가 나온 횟수를 [eqn: n_{k}]라 하면

최종적으로 모든 카드가 앞면이 되려면 [eqn: 1]번, [eqn: 6]번 카드는 홀수 번, [eqn: 2]번, [eqn: 3]번, [eqn: 4]번, [eqn: 5]번 카드는 짝수 번 뒤집혀야 하므로

[eqn: n_{1} + n_{3} + n_{5}]는 홀수 ……①

[eqn: n_{2} + n_{3} + n_{5}]는 짝수 ……②

[eqn: n_{2} + n_{4} + n_{5}]는 짝수 ……③

[eqn: n_{2} + n_{4} + n_{6}]은 홀수 ……④

①, ②에서 [eqn: n_{1} + n_{2}]는 홀수

②, ③에서 [eqn: n_{3} + n_{4}]는 짝수

③, ④에서 [eqn: n_{5} + n_{6}]은 홀수

총 시행 횟수가 [eqn: 4]이므로 [eqn: n_{1} + n_{2} + n_{3} + n_{4} + n_{5} + n_{6} = 4]

가능한 [eqn: (n_{1}+n_{2},`n_{3}+n_{4},`n_{5}+n_{6})]의 순서쌍은 [eqn: (1,`2,`1)], [eqn: (1,`0,`3)], [eqn: (3,`0,`1)]이다.

(ⅰ) [eqn: (n_{1}+n_{2},`n_{3}+n_{4},`n_{5}+n_{6}) = (1,`2,`1)]일 때

②를 만족하는 [eqn: (n_{1},`n_{2},`n_{3},`n_{4},`n_{5},`n_{6})]는

[eqn: (1,`0,`1,`1,`1,`0)], [eqn: (1,`0,`2,`0,`0,`1)], [eqn: (1,`0,`0,`2,`0,`1)], [eqn: (0,`1,`2,`0,`1,`0)], [eqn: (0,`1,`0,`2,`1,`0)], [eqn: (0,`1,`1,`1,`0,`1)]

경우의 수는 [eqn: 24 times 2 + 12 times 4 = 96]

(ⅱ) [eqn: (n_{1}+n_{2},`n_{3}+n_{4},`n_{5}+n_{6}) = (1,`0,`3)]일 때

②를 만족하는 [eqn: (n_{1},`n_{2},`n_{3},`n_{4},`n_{5},`n_{6})]는

[eqn: (1,`0,`0,`0,`0,`3)], [eqn: (1,`0,`0,`0,`2,`1)], [eqn: (0,`1,`0,`0,`1,`2)], [eqn: (0,`1,`0,`0,`3,`0)]

경우의 수는 [eqn: 4 times 2 + 12 times 2 = 32]

(ⅲ) [eqn: (n_{1}+n_{2},`n_{3}+n_{4},`n_{5}+n_{6}) = (3,`0,`1)]일 때

②를 만족하는 [eqn: (n_{1},`n_{2},`n_{3},`n_{4},`n_{5},`n_{6})]는

[eqn: (2,`1,`0,`0,`1,`0)], [eqn: (0,`3,`0,`0,`1,`0)], [eqn: (3,`0,`0,`0,`0,`1)], [eqn: (1,`2,`0,`0,`0,`1)]

경우의 수는 [eqn: 12 times 2 + 4 times 2 = 32]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 96 + 32 + 32 = 160]

전체 경우의 수는 [eqn: 6^{4} = 1296]이므로

구하는 확률은 [eqn: {160} over {1296} = {10} over {81}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {19} over {162}]	② [eqn: {13} over {108}]	③ [eqn: {10} over {81}]

④ [eqn: {41} over {324}]	⑤ [eqn: {7} over {54}]

서로 다른 다섯 개의 주사위를 동시에 던져 나온 다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수일 때, 이 다섯 개의 눈의 수의 합이 [eqn: 15]일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 98]

다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수이려면 다섯 개의 눈이 모두 홀수이어야 하므로

전체 경우의 수는 [eqn: 3^{5} = 243]

다섯 개의 눈의 수의 합이 [eqn: 15]가 되는 홀수의 조합은

[eqn: (3,`3,`3,`3,`3)], [eqn: (5,`3,`3,`3,`1)], [eqn: (5,`5,`3,`1,`1)]

각 조합을 서로 다른 [eqn: 5]개의 주사위에 배열하는 경우의 수는

(ⅰ) [eqn: (3,`3,`3,`3,`3)]일 때: [eqn: 1]

(ⅱ) [eqn: (5,`3,`3,`3,`1)]일 때: [eqn: {5!} over {3!} = 20]

(ⅲ) [eqn: (5,`5,`3,`1,`1)]일 때: [eqn: {5!} over {2! 2!} = 30]

합이 [eqn: 15]가 되는 경우의 수는 [eqn: 1 + 20 + 30 = 51]

구하는 확률은 [eqn: {51} over {243} = {17} over {81}]

[eqn: p = 81], [eqn: q = 17]이므로 [eqn: p+q = 98]

따라서 정답은 [eqn: 98]이다.

노란색 공 [eqn: 4]개, 보라색 공 [eqn: 4]개, 검은색 공 [eqn: 4]개가 있다. 이 [eqn: 12]개의 공을 모두 일렬로 나열할 때, 노란색 공이 보라색 공과 이웃하지 않게 나열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

[eqn: 780]

검은색 공 [eqn: 4]개를 일렬로 나열하면 공 사이와 양 끝에 [eqn: 5]개의 자리가 생긴다.

노란색 공과 보라색 공이 이웃하지 않으려면 이 [eqn: 5]개의 자리 중 각 자리에는 노란색 공만 들어가거나 보라색 공만 들어가야 한다.

노란색 공이 들어가는 자리의 개수를 [eqn: k], 보라색 공이 들어가는 자리의 개수를 [eqn: m]이라 하자. ([eqn: k geq 1], [eqn: m geq 1], [eqn: k+m leq 5])

[eqn: k]개의 자리에 노란색 공 [eqn: 4]개를 빈자리 없이 넣는 경우의 수는 [eqn: {} _{it k} rm H _{it 4-k rm} = _{3} rm C _{it k rm -1}]

[eqn: m]개의 자리에 보라색 공 [eqn: 4]개를 빈자리 없이 넣는 경우의 수는 [eqn: {} _{it m} rm H _{it 4-m rm} = _{3} rm C _{it m rm -1}]

[eqn: 5]개의 자리 중 노란색 공이 들어갈 [eqn: k]개, 보라색 공이 들어갈 [eqn: m]개의 자리를 정하는 경우의 수는 [eqn: {} _{5} rmC _{itk} TIMES _{it5-k} rmC _{itm}]

따라서 각 [eqn: (k,`m)]에 대한 경우의 수는 [eqn: {} _{5} rmC _{itk} TIMES _{it5-k} rmC _{itm} TIMES _{3} rmC _{itk} -1 TIMES _{3} rmC _{itm-1}]이다.

(ⅰ) [eqn: k=1]일 때

[eqn: m=1]: [eqn: rm{}{}_{5} C _{1} times {}{}_{4} C _{1} times {}{}_{3} C _{0} times {}{}_{3} C _{0} = 20]

[eqn: m=2]: [eqn: rm{}{}_{5} C _{1} times {}{}_{4} C _{2} times {}{}_{3} C _{0} times {}{}_{3} C _{1} = 90]

[eqn: m=3]: [eqn: rm{}{}_{5} C _{1} times {}{}_{4} C _{3} times {}{}_{3} C _{0} times {}{}_{3} C _{2} = 60]

[eqn: m=4]: [eqn: rm{}{}_{5} C _{1} times {}{}_{4} C _{4} times {}{}_{3} C _{0} times {}{}_{3} C _{3} = 5]

(ⅱ) [eqn: k=2]일 때

[eqn: m=1]: [eqn: rm{}{}_{5} C _{2} times {}{}_{3} C _{1} times {}{}_{3} C _{1} times {}{}_{3} C _{0} = 90]

[eqn: m=2]: [eqn: rm{}{}_{5} C _{2} times {}{}_{3} C _{2} times {}{}_{3} C _{1} times {}{}_{3} C _{1} = 270]

[eqn: m=3]: [eqn: rm{}{}_{5} C _{2} times {}{}_{3} C _{3} times {}{}_{3} C _{1} times {}{}_{3} C _{2} = 90]

(ⅲ) [eqn: k=3]일 때

[eqn: m=1]: [eqn: rm{}{}_{5} C _{3} times {}{}_{2} C _{1} times {}{}_{3} C _{2} times {}{}_{3} C _{0} = 60]

[eqn: m=2]: [eqn: rm{}{}_{5} C _{3} times {}{}_{2} C _{2} times {}{}_{3} C _{2} times {}{}_{3} C _{1} = 90]

(ⅳ) [eqn: k=4]일 때

[eqn: m=1]: [eqn: rm{}{}_{5} C _{4} times {}{}_{1} C _{1} times {}{}_{3} C _{3} times {}{}_{3} C _{0} = 5]

∴ [eqn: 20 + 90 + 60 + 5 + 90 + 270 + 90 + 60 + 90 + 5 = 780]

따라서 정답은 [eqn: 780]이다.