수학ETF	2026년_고3_6월	기출문제
	1~22
	대수, 미적분1

[eqn: root {3} of {9} times 3^{- {5} over {3}}]의 값은?

②

[eqn: root {3} of {9} times 3^{- {5} over {3}} = (3^{2})^{1 over 3} times 3^{- {5} over {3}}][eqn: = 3^{2 over 3} times 3^{- {5} over {3}}][eqn: = 3^{{2} over {3} - {5} over {3}}][eqn: = 3^{-1} = {1} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f(x) = 3x^{2} - x + 1]에 대하여 [eqn: lim_{x rightarrow 1} {f(x) - f(1)} over {x - 1}]의 값은?

⑤

[eqn: lim from {x -> 1} {f(x) - f(1)} over {x - 1} = f'(1)]

[eqn: f(x) = 3x^{2} - x + 1]에서 [eqn: f'(x) = 6x - 1]이므로

[eqn: f'(1) = 6 - 1 = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 수열 [eqn: left { a_{n} right }], [eqn: left { b_{n} right }]에 대하여
[eqn: sum_{k=1}^{5} (2a_{k}+b_{k}) = 19], [eqn: sum_{k=1}^{5} (a_{k}+b_{k}) = 10]
일 때, [eqn: sum_{k=1}^{5} a_{k}]의 값은?

④

[eqn: sum from {k=1} to {5} (2a_{k}+b_{k}) = 2 sum from {k=1} to {5} a_{k} + sum from {k=1} to {5} b_{k} = 19] ……①

[eqn: sum from {k=1} to {5} (a_{k}+b_{k}) = sum from {k=1} to {5} a_{k} + sum from {k=1} to {5} b_{k} = 10] ……②

①에서 ②를 변변 빼면

[eqn: sum from {k=1} to {5} a_{k} = 9]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim_{x rightarrow -1-} f(x) + lim_{x rightarrow 1+} f(x)]의 값은?

③

그래프에서 [eqn: x -> -1-]일 때 [eqn: f(x) -> -1]이므로

[eqn: lim from {x -> -1-} f(x) = -1]

[eqn: x -> 1+]일 때 [eqn: f(x) -> 1]이므로

[eqn: lim from {x -> 1+} f(x) = 1]

∴ [eqn: lim from {x -> -1-} f(x) + lim from {x -> 1+} f(x) = -1 + 1 = 0]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x)=(3x-1)(x^{2}-2x+2)]에 대하여 [eqn: f'(2)]의 값은?

①

[eqn: f(x) = (3x-1)(x^{2}-2x+2)]에서

[eqn: f'(x) = 3(x^{2}-2x+2) + (3x-1)(2x-2)]

[eqn: x = 2] 대입하면

[eqn: f'(2) = 3(4-4+2) + (6-1)(4-2) = 6 + 10 = 16]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

[eqn: {3 pi} over {2} < theta < 2 pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos^{2} theta = {1} over {10}]일 때, [eqn: tan theta]의 값은?

①

[eqn: {3 pi} over {2} < theta < 2 pi]이므로 [eqn: theta]는 제[eqn: 4]사분면의 각이다.

[eqn: tan theta < 0] ……①

[eqn: 1 + tan^{2} theta = {1} over {cos^{2} theta}]에 [eqn: cos^{2} theta = {1} over {10}]을 대입하면

[eqn: 1 + tan^{2} theta = 10]

[eqn: tan^{2} theta = 9]

①에 의해 [eqn: tan theta = -3]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

함수 [eqn: f(x) = x^{3} + ax + 9]는 [eqn: x = -1]에서 극대이다. 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

②

[eqn: f'(x) = 3x^{2} + a]

[eqn: x = -1]에서 극대이므로 [eqn: f'(-1) = 0]

[eqn: 3 + a = 0] ∴ [eqn: a = -3]

[eqn: f'(x) = 3x^{2} - 3 = 3(x-1)(x+1) = 0]에서 [eqn: x = -1] 또는 [eqn: x = 1]

그래프에서 [eqn: x = -1]에서 극대이므로 [eqn: x = 1]에서 극소이다.

∴ 극솟값은 [eqn: f(1) = 1 - 3 + 9 = 7]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

삼각형 [eqn: rmABC]에서
[eqn: rmoverline {AB} = 4], [eqn: rmoverline {BC} = 8], [eqn: rmcos A = - {1} over {4}]
일 때, 선분 [eqn: rmAC]의 길이는?

④

[eqn: rm {bar{AC}} =itx]라 하면 삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} = rm {bar{AB}} ^{2} + rm {bar{AC}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{AB}} TIMES rm {bar{AC}} TIMES cosA]

[eqn: 8^{2} = 4^{2} + x^{2} - 2 times 4 times x times left ( - {1} over {4} right )]

[eqn: 64 = 16 + x^{2} + 2x]

[eqn: x^{2} + 2x - 48 = 0]

[eqn: (x+8)(x-6) = 0]

[eqn: x > 0]이므로 [eqn: x = 6]

∴ [eqn: rmbar {AC} = 6]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {9} over {2}]	② [eqn: 5]	③ [eqn: {11} over {2}]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: {13} over {2}]

시각 [eqn: t=0]일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 있다. 시각이 [eqn: t] ([eqn: t geq 0])일 때 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 속도가 각각
[eqn: v_{1}(t) = t^{2} - t], [eqn: v_{2}(t) = t]
이다. 출발한 후 시각 [eqn: t=k]에서 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 위치가 같아질 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

③

시각 [eqn: t]에서 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 위치를 각각 [eqn: x_{1}(t)], [eqn: x_{2}(t)]라 하면

[eqn: x_{1}(t) = int from {0} to {t} (s^{2} - s) ds = {1} over {3} t^{3} - {1} over {2} t^{2}]

[eqn: x_{2}(t) = int from {0} to {t} s ds = {1} over {2} t^{2}]

시각 [eqn: t = k]에서 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 위치가 같으므로 [eqn: x_{1}(k) = x_{2}(k)]에서

[eqn: {1} over {3} k^{3} - {1} over {2} k^{2} = {1} over {2} k^{2}]

[eqn: {1} over {3} k^{3} - k^{2} = 0]

[eqn: k^{2} left ( {1} over {3} k - 1 right ) = 0]

[eqn: k > 0]이므로 [eqn: k = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]가
[eqn: log` _{9} `a+log` _{3} `b=2], [eqn: log _{`3} `a=8log` _{9} `b]
를 만족시킬 때, [eqn: {a} over {b}]의 값은?

③

[eqn: log _{9} a= {1} over {2} `log _{3} a], [eqn: log _{9} b= {1} over {2} `log _{3} b]이므로

주어진 두 식은

[eqn: {1} over {2} `log _{3} a+log _{3} b=2] ……①

[eqn: log_{3}a = 4 log_{3}b] ……②

②를 ①에 대입하면

[eqn: 2 log_{3}b + log_{3}b = 2]

[eqn: 3 log_{3}b = 2] ∴ [eqn: log_{3}b = {2} over {3}]

②에서 [eqn: log_{3}a = {8} over {3}]

[eqn: log_{3} {a} over {b} = log_{3}a - log_{3}b = {8} over {3} - {2} over {3} = 2]

∴ [eqn: {a} over {b} = 3^{2} = 9]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 81]

일차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: lim_{x rightarrow a} {f(x+2)} over {x(f(x)-3)}]
의 값이 [eqn: a=0]일 때 존재하고 [eqn: a=3]일 때 존재하지 않는다. [eqn: f(4)]의 값은?

①

[eqn: lim_{x -> 0} {f(x+2)} over {x(f(x)-3)}]의 값이 존재하고 [eqn: x -> 0]일 때 (분모) [eqn: -> 0]이므로

[eqn: lim_{x -> 0} f(x+2) = f(2) = 0]

[eqn: f(x)]는 일차함수이므로 [eqn: f(x) = m(x-2)] ([eqn: m neq 0])라 하면

[eqn: lim_{x -> 3} {f(x+2)} over {x(f(x)-3)}]의 값이 존재하지 않으려면 [eqn: x -> 3]일 때 (분모) [eqn: -> 0]이어야 하므로

[eqn: 3(f(3)-3) = 0] ∴ [eqn: f(3) = 3]

[eqn: f(3) = m(3-2) = m = 3]이므로 [eqn: f(x) = 3(x-2)]

이때 [eqn: lim_{x -> 3} {f(x+2)} over {x(f(x)-3)} = lim_{x -> 3} {3x} over {x(3x-9)} = lim_{x -> 3} {3} over {3x-9}]이므로 극한값이 존재하지 않는다.

∴ [eqn: f(4) = 3(4-2) = 6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

공비가 양수인 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]이
[eqn: 2a_{1}(a_{1} + a_{3}) = 5a_{2}(a_{1} + a_{2}) = 20]
을 만족시킬 때, [eqn: a_{1} times a_{6}]의 값은?

①

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 공비를 [eqn: r] ([eqn: r > 0])라 하면

[eqn: a_{2} = a_{1} r], [eqn: a_{3} = a_{1} r^{2}]이므로

[eqn: 2a_{1}(a_{1} + a_{1} r^{2}) = 20]에서 [eqn: a_{1}^{2}(1 + r^{2}) = 10] ……①

[eqn: 5a_{1} r(a_{1} + a_{1} r) = 20]에서 [eqn: a_{1}^{2} r(1 + r) = 4] ……②

①, ②에서 [eqn: a_{1}^{2}]을 소거하면

[eqn: {1 + r^{2}} over {r(1 + r)} = {10} over {4} = {5} over {2}]

[eqn: 2(1 + r^{2}) = 5r(1 + r)]

[eqn: 3r^{2} + 5r - 2 = 0]

[eqn: (3r - 1)(r + 2) = 0]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: r = {1} over {3}]

[eqn: r = {1} over {3}]을 ①에 대입하면

[eqn: a_{1}^{2} left ( 1 + {1} over {9} right ) = 10] ∴ [eqn: a_{1}^{2} = 9]

∴ [eqn: a_{1} times a_{6} = a_{1} times a_{1} r^{5} = a_{1}^{2} r^{5} = 9 times left ( {1} over {3} right )^{5} = {1} over {27}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {1} over {27}]	② [eqn: {1} over {9}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

두 다항함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) > g(x)]를 만족시키고, [eqn: f(1) = g(1) + 1]이다. 양수 [eqn: t]에 대하여 두 곡선 [eqn: y = f(x)], [eqn: y = g(x)]와 두 직선 [eqn: x = 0], [eqn: x = t]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S(t)]라 할 때,
[eqn: S'(t) = t^{2} - 2t + a]
이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a = 1] ㄴ. [eqn: S(3) = 6] ㄷ. 두 곡선 [eqn: y = f(x)], [eqn: y = g(x)]와 두 직선 [eqn: x = -2], [eqn: x = 2]로 둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: S(4)]의 값과 같다.

⑤

[eqn: f(x) > g(x)]이므로 넓이 [eqn: S(t) = int_{0}^{t} (f(x) - g(x)) dx]

양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면 [eqn: S'(t) = f(t) - g(t)]

[eqn: S'(t) = t^{2} - 2t + a]이므로 [eqn: f(t) - g(t) = t^{2} - 2t + a]

[eqn: f(1) = g(1) + 1]에서 [eqn: f(1) - g(1) = 1]이므로

[eqn: t = 1]을 대입하면 [eqn: 1 - 2 + a = 1] ∴ [eqn: a = 2] (ㄱ은 거짓)

[eqn: S'(t) = t^{2} - 2t + 2]이므로

[eqn: S(t) = int_{0}^{t} (x^{2} - 2x + 2) dx = {1} over {3} t^{3} - t^{2} + 2t]

[eqn: S(3) = 9 - 9 + 6 = 6] (ㄴ은 참)

두 곡선 [eqn: y = f(x)], [eqn: y = g(x)]와 두 직선 [eqn: x = -2], [eqn: x = 2]로 둘러싸인 도형의 넓이는

[eqn: int_{-2}^{2} (f(x) - g(x)) dx = int_{-2}^{2} (x^{2} - 2x + 2) dx]

[eqn: = 2 int_{0}^{2} (x^{2} + 2) dx = 2 left [ {1} over {3} x^{3} + 2x right ]_{0}^{2} = {40} over {3}]

[eqn: S(4) = {64} over {3} - 16 + 8 = {40} over {3}]이므로 두 값은 같다. (ㄷ은 참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

양수 [eqn: a]와 자연수 [eqn: b]에 대하여 [eqn: 0 leq x leq 2]일 때 [eqn: x]에 대한 방정식
[eqn: left ( cos(b pi x) - {1} over {2} right ) left ( a cos(b pi x) + {a+2} over {2} right ) = 0]
의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 15]이다. [eqn: a+b]의 값은?

③

주어진 방정식에서 [eqn: cos(b pi x) = {1} over {2}] 또는 [eqn: cos(b pi x) = - {a+2} over {2a} = - {1} over {2} - {1} over {a}]

[eqn: X = b pi x]라 하면 [eqn: 0 leq x leq 2]에서 [eqn: 0 leq X leq 2b pi]

[eqn: cos X]의 주기가 [eqn: 2 pi]이므로 구간 [eqn: [0, 2b pi]]에서 그래프는 [eqn: b]번 반복된다.

[eqn: cos X = {1} over {2}]의 실근은 한 주기당 [eqn: 2]개이므로 총 [eqn: 2b]개이다.

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: - {1} over {2} - {1} over {a} < - {1} over {2}]

[eqn: cos X = - {1} over {2} - {1} over {a}]의 실근 개수를 분류하면

(ⅰ) [eqn: - {1} over {2} - {1} over {a} < -1]일 때

실근이 없으므로 총 실근 개수는 [eqn: 2b = 15] (모순)

(ⅱ) [eqn: - {1} over {2} - {1} over {a} = -1]일 때

한 주기당 실근이 [eqn: 1]개이므로 총 실근 개수는 [eqn: 2b + b = 3b = 15] ∴ [eqn: b = 5]

이때 [eqn: - {1} over {2} - {1} over {a} = -1]에서 [eqn: a = 2]

(ⅲ) [eqn: -1 < - {1} over {2} - {1} over {a} < - {1} over {2}]일 때

한 주기당 실근이 [eqn: 2]개이므로 총 실근 개수는 [eqn: 2b + 2b = 4b = 15] (모순)

∴ [eqn: a = 2], [eqn: b = 5]

[eqn: a+b = 7]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: {13} over {2}]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: {15} over {2}]	⑤ [eqn: 8]

상수항이 [eqn: 0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: int_{p}^{p+3} left | f(x) right | dx neq left | int_{p}^{p+3} f(x) dx right |]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: p]의 값의 범위는 [eqn: 0 < p < 3]이다.

(나) [eqn: int_{0}^{3} left | f(x) + q right | dx neq left | int_{0}^{3} (f(x) + q) dx right |]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: q]의 값의 범위는 [eqn: 0 < q < 1]이다.

[eqn: f(6)]의 값은?

④

조건 (가)에서 [eqn: int_{p}^{p+3} left | f(x) right | dx neq left | int_{p}^{p+3} f(x) dx right |]이므로

구간 [eqn: [p, p+3]]에서 [eqn: f(x)]의 부호가 변해야 한다.

이 부등식을 만족하는 [eqn: p]의 범위가 [eqn: 0 < p < 3]이므로

[eqn: f(x)]의 부호가 바뀌는 [eqn: x]의 값은 오직 [eqn: x=3]뿐이다.

[eqn: f(x)]는 상수항이 [eqn: 0]인 삼차함수이므로 [eqn: f(0)=0]이고,

[eqn: x=0]에서는 부호가 변하지 않아야 하므로 [eqn: x=0]은 중근이다.

[eqn: f(x) = a x^{2} (x - 3)] ([eqn: a neq 0])라 하면

[eqn: f'(x) = 3ax(x-2) = 0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

조건 (나)에서 구간 [eqn: [0, 3]]에서 [eqn: f(x) + q]의 부호가 변해야 하므로

방정식 [eqn: f(x) = -q]가 구간 [eqn: (0,`3)]에서 실근을 가져야 한다.

[eqn: a < 0]이면 구간 [eqn: [0, 3]]에서 [eqn: f(x) geq 0]이므로 [eqn: q > 0]일 때 [eqn: f(x) = -q]는 실근을 갖지 않아 모순이다.

[eqn: a > 0]이면 구간 [eqn: [0, 3]]에서 [eqn: -4a leq f(x) leq 0]이므로

그래프에서 [eqn: f(x) = -q]가 실근을 가질 조건은 [eqn: -4a < -q < 0] ∴ [eqn: 0 < q < 4a]

이 범위가 [eqn: 0 < q < 1]과 같으므로 [eqn: 4a = 1] ∴ [eqn: a = {1} over {4}]

[eqn: f(x) = {1} over {4} x^{2} (x - 3)]이므로

[eqn: f(6) = {1} over {4} times 36 times 3 = 27]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 18]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 30]

방정식 [eqn: 3^{x-6} = left ( {1} over {9} right )^{x}]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

지수법칙을 적용하여 밑을 [eqn: 3]으로 통일하면

[eqn: 3^{x-6} = 3^{-2x}]

[eqn: x - 6 = -2x] ∴ [eqn: x = 2]

따라서 정답은 [eqn: 2]이다.

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x) = 6x^{2} + 5]이고 [eqn: f(0) = 3]일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

[eqn: f'(x) = 6x^{2} + 5]이므로

[eqn: f(x) = int (6x^{2} + 5) dx = 2x^{3} + 5x + C] ([eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(0) = 3]에서 [eqn: C = 3]

[eqn: f(x) = 2x^{3} + 5x + 3]

[eqn: f(1) = 2 + 5 + 3 = 10]

따라서 정답은 [eqn: 10]이다.

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: a_{6} = 5], [eqn: a_{5} = a_{2} - 6]
일 때, [eqn: a_{1}]의 값을 구하시오.

[eqn: 15]

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_{6} = a + 5d = 5] ……①

[eqn: a_{5} = a_{2} - 6]에서 [eqn: a + 4d = a + d - 6]

[eqn: 3d = -6] ∴ [eqn: d = -2]

[eqn: d = -2]를 ①에 대입하면

[eqn: a - 10 = 5] ∴ [eqn: a = 15]

따라서 정답은 [eqn: 15]이다.

곡선 [eqn: y=x^{3}-5x^{2}+3x+6] 위의 점 [eqn: (1,`5)]에서의 접선의 [eqn: y]절편을 구하시오.

[eqn: 9]

[eqn: f(x) = x^{3} - 5x^{2} + 3x + 6]에서 [eqn: f'(1) = -4]

점 [eqn: (1,`5)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y = -4x + 9]

따라서 정답은 [eqn: 9]이다.

그림과 같이 [eqn: 1]보다 큰 실수 [eqn: b]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x) = b^{x}]과 [eqn: g(x)=-log` _{b} `x]의 그래프가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (alpha,`beta)]라 하자.

다음은 [eqn: alpha beta^{3} = 1]일 때, 직선 [eqn: rmOP]의 기울기 [eqn: m]에 대하여 [eqn: g(m)]의 값을 구하는 과정이다. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP LEFT ( italpha,`beta RIGHT )]는 두 곡선

[eqn: y = f(x)], [eqn: y = g(x)]

위의 점이므로, 두 양수 [eqn: alpha], [eqn: beta]가

[eqn: beta = b^{alpha}], [eqn: beta =-log` _{b} ` alpha]

를 만족시킨다.

[eqn: alpha beta^{3} = 1]이고 [eqn: alpha =log` _{b} ` beta], [eqn: beta =-log` _{b} ` alpha]이므로

[eqn: 3 alpha - beta =3log` _{b`} beta +log` _{b} ` alpha =log` _{b} ( alpha beta ^{3} )=0]

이다. 그러므로 [eqn: m= {beta } over {alpha } =box{```(가)```}] 이다.

[eqn: beta^{4} = m alpha beta^{3} = m]이므로 [eqn: beta =box{```(나)```}] 이다.

[eqn: b = alpha^{- {1} over {beta}}]이고 [eqn: alpha = {beta} over {m}]이므로

[eqn: g(m)=-log` _{b} `m= {beta } over {log` _{m} ` alpha } = {beta } over {-1+log` _{m} ` beta } =box{```(다)```}]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]이라 할 때, [eqn: (p times q times r)^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 48]

[eqn: 3alpha - beta = 0]에서 [eqn: beta = 3alpha]이므로

[eqn: m = {beta} over {alpha} = 3]

[eqn: therefore p = 3]

[eqn: beta^{4} = m alpha beta^{3}]에 [eqn: m = 3], [eqn: alpha beta^{3} = 1]을 대입하면

[eqn: beta^{4} = 3]

[eqn: beta > 0]이므로 [eqn: beta = 3^{{1} over {4}}]

[eqn: therefore q = 3^{{1} over {4}}]

[eqn: g(m) = {beta} over {-1 + log_{m}beta}]에 [eqn: m = 3], [eqn: beta = 3^{{1} over {4}}]을 대입하면

[eqn: g(3) = {3^{{1} over {4}}} over {-1 + log_{3}3^{{1} over {4}}} = {3^{{1} over {4}}} over {-1 + {1} over {4}} = - {4} over {3} times 3^{{1} over {4}}]

[eqn: therefore r = - {4} over {3} times 3^{{1} over {4}}]

[eqn: therefore (p times q times r)^{2} = left ( 3 times 3^{{1} over {4}} times left ( - {4} over {3} times 3^{{1} over {4}} right ) right )^{2} = left ( -4 times 3^{{1} over {2}} right )^{2} = 48]

따라서 정답은 [eqn: 48]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 실수 [eqn: t]에 대하여
[eqn: f(alpha) = f'(t) - 4t^{2} + 4]
를 만족시키는 실수 [eqn: alpha]의 최댓값을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=3]에서만 불연속이고 [eqn: g(3)=1]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 11]

[eqn: f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c]라 하면 [eqn: f'(x) = 3x^{2} + 2ax + b]

[eqn: h(t) = f'(t) - 4t^{2} + 4 = -t^{2} + 2at + b + 4]

방정식 [eqn: f(x) = k]의 가장 큰 실근을 [eqn: M(k)]라 하자.

[eqn: M(k)]는 삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]의 교점의 [eqn: x]좌표 중 최댓값이다.

[eqn: f'(x)=0]의 두 실근 중 큰 값을 [eqn: x_{2}]라 하면, 그래프에서 [eqn: M(k)]는 직선 [eqn: y=k]가 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x=x_{2}]에서 접할 때, 즉 [eqn: k = f(x_{2})]에서만 불연속이다.

[eqn: g(t) = M(h(t))]가 [eqn: t=3]에서만 불연속이려면, 이차함수 [eqn: h(t)]가 [eqn: h(t) = f(x_{2})]를 만족하는 [eqn: t]가 오직 [eqn: 3] 하나뿐이어야 하므로 [eqn: y=h(t)]는 [eqn: t=3]에서 최댓값 [eqn: f(x_{2})]를 가져야 한다.

[eqn: h(t) = -(t-a)^{2} + a^{2} + b + 4]이므로 [eqn: a = 3]이고, 최댓값은 [eqn: h(3) = b + 13 = f(x_{2})]이다.

[eqn: g(3) = M(h(3)) = M(f(x_{2}))]이고, 직선 [eqn: y=f(x_{2})]와 [eqn: y=f(x)]의 교점 중 가장 큰 [eqn: x]좌표는 [eqn: x_{2}]이므로 [eqn: M(f(x_{2})) = x_{2}]이다.

[eqn: g(3) = 1]이므로 [eqn: x_{2} = 1]이다.

[eqn: f'(1) = 3 + 2a + b = 3 + 6 + b = 0]이므로 [eqn: b = -9]

[eqn: f(x_{2}) = f(1) = -9 + 13 = 4]이므로 [eqn: f(1) = 1 + 3 - 9 + c = 4] ∴ [eqn: c = 9]

[eqn: f(x) = x^{3} + 3x^{2} - 9x + 9]이므로 [eqn: f(2) = 8 + 12 - 18 + 9 = 11]

따라서 정답은 [eqn: 11]이다.

수열 [eqn: left { a_{n} right }]은 [eqn: a_{1} = 1], [eqn: a_{3} = 4]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{2n} = a_{n} + 1],
[eqn: a_{4n+3} = a_{4n+1} = a_{n} + 4]
를 만족시킨다. [eqn: a_{k} = 10]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수를 구하시오.

[eqn: 32]

모든 자연수 [eqn: k]는 초기값 [eqn: k=1] 또는 [eqn: k=3]에서 시작하여 다음 세 가지 연산을 통해 중복 없이 유일하게 생성된다.

(연산 [eqn: A]) [eqn: n -> 2n]: [eqn: a_{2n} = a_{n} + 1] (값 [eqn: 1] 증가)

(연산 [eqn: B]) [eqn: n -> 4n+1]: [eqn: a_{4n+1} = a_{n} + 4] (값 [eqn: 4] 증가)

(연산 [eqn: C]) [eqn: n -> 4n+3]: [eqn: a_{4n+3} = a_{n} + 4] (값 [eqn: 4] 증가)

[eqn: a_{k} = 10]이 되기 위해 연산 [eqn: A]를 [eqn: x]번, 연산 [eqn: B] 또는 [eqn: C]를 [eqn: y]번 사용한다고 하자.

(ⅰ) [eqn: k=1]에서 시작하는 경우

[eqn: a_{1} = 1]이므로 [eqn: x + 4y = 9] ([eqn: x], [eqn: y]는 음이 아닌 정수)

- [eqn: x=1], [eqn: y=2]일 때: 연산 순서를 나열하는 경우의 수는 [eqn: rmrm{}{}_{3} C _{2} = 3]이고, 연산 [eqn: B], [eqn: C]를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2^{2} = 4]이므로 [eqn: 3 times 4 = 12]

- [eqn: x=5], [eqn: y=1]일 때: 연산 순서를 나열하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{6} C _{1} = 6]이고, 연산 [eqn: B], [eqn: C]를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2^{1} = 2]이므로 [eqn: 6 times 2 = 12]

- [eqn: x=9], [eqn: y=0]일 때: 연산 순서를 나열하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{9} C _{0} = 1]이고, 연산 [eqn: B], [eqn: C]를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2^{0} = 1]이므로 [eqn: 1 times 1 = 1]

∴ [eqn: 12 + 12 + 1 = 25]

(ⅱ) [eqn: k=3]에서 시작하는 경우

[eqn: a_{3} = 4]이므로 [eqn: x + 4y = 6] ([eqn: x], [eqn: y]는 음이 아닌 정수)

- [eqn: x=2], [eqn: y=1]일 때: 연산 순서를 나열하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{3} C _{1} = 3]이고, 연산 [eqn: B], [eqn: C]를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2^{1} = 2]이므로 [eqn: 3 times 2 = 6]

- [eqn: x=6], [eqn: y=0]일 때: 연산 순서를 나열하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{6} C _{0} = 1]이고, 연산 [eqn: B], [eqn: C]를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2^{0} = 1]이므로 [eqn: 1 times 1 = 1]

∴ [eqn: 6 + 1 = 7]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 25 + 7 = 32]

따라서 정답은 [eqn: 32]이다.