수학ETF	2026년_고3_3월	기출문제
	23~30
	기하

포물선 [eqn: y^{2} = 20x]의 준선이 [eqn: x = k]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

①

포물선의 방정식 [eqn: y^{2} = 20x]를 [eqn: y^{2} = 4px] 꼴로 나타내면

[eqn: y^{2} = 4 times 5 times x]이므로 [eqn: p = 5]

포물선 [eqn: y^{2} = 20x]의 준선의 방정식은 [eqn: x = -5]이므로

[eqn: k = -5]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

타원 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} + {y^{2}} over {25} = 1]의 단축의 길이가 [eqn: 6]일 때, 이 타원의 두 초점 사이의 거리는? (단, [eqn: a]는 양수이다.)

③

타원의 방정식 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} + {y^{2}} over {25} = 1]에서 [eqn: y^{2}]의 분모가 [eqn: 25]이므로 [eqn: b^{2} = 25]에서 [eqn: b = 5]이다.

만약 [eqn: y]축이 단축이라면 단축의 길이는 [eqn: 2b = 10]이 되어 조건에 맞지 않으므로 단축은 [eqn: x]축 위에 있다.

단축의 길이가 [eqn: 6]이므로 [eqn: 2a = 6]에서 [eqn: a = 3]이다.

타원의 두 초점의 좌표를 [eqn: (0, c)], [eqn: (0, -c)] ([eqn: c > 0])라 하면

[eqn: c^{2} = 25 - a^{2} = 25 - 9 = 16]에서 [eqn: c = 4]이다.

두 초점 사이의 거리는 [eqn: 2c]이므로 [eqn: 2 times 4 = 8]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {5a^{2}} - {y^{2}} over {a^{2}+1} = 1]의 한 점근선의 방정식이 [eqn: y = - {1} over {2} x]일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? (단, [eqn: a]는 양수이다.)

②

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {5a^{2}} - {y^{2}} over {a^{2}+1} = 1]의 점근선의 방정식은 [eqn: y = +- {sqrt{a^{2}+1}} over {sqrt{5a^{2}}} x]

한 점근선의 방정식이 [eqn: y = - {1} over {2} x]이므로 [eqn: {sqrt{a^{2}+1}} over {sqrt{5a^{2}}} = {1} over {2}]

양변을 제곱하면 [eqn: {a^{2}+1} over {5a^{2}} = {1} over {4}]에서 [eqn: 4a^{2}+4 = 5a^{2}], [eqn: a^{2} = 4]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = 2]

따라서 쌍곡선의 주축의 길이는 [eqn: 2 sqrt{5a^{2}} = 2 sqrt{5 times 4} = 4 sqrt{5}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 2 sqrt{5}]	② [eqn: 4 sqrt{5}]	③ [eqn: 6 sqrt{5}]

④ [eqn: 8 sqrt{5}]	⑤ [eqn: 10 sqrt{5}]

포물선 [eqn: y^{2} = 4px]([eqn: p > 0])의 초점을 지나고 기울기가 [eqn: {4} over {3}]인 직선이 이 포물선과 만나는 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rmP]와 이 포물선의 준선 사이의 거리가 [eqn: 20]일 때, [eqn: p]의 값은?

④

포물선 [eqn: y^{2} = 4px]의 초점을 [eqn: rmF], 준선을 [eqn: l]이라 하면

[eqn: rmF(itp,0)], [eqn: l : x = -p]이다.

점 [eqn: rmP]와 준선 [eqn: l] 사이의 거리가 [eqn: 20]이므로 포물선의 정의에 의해 [eqn: rmoverline{PF} = 20]

직선의 기울기가 [eqn: {4} over {3}]이므로 직선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: tan theta = {4} over {3}]

점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 1]사분면에 있으므로 [eqn: 0 < theta < {pi} over {2}]에서

[eqn: cos theta = {3} over {5}], [eqn: sin theta = {4} over {5}]

점 [eqn: rmP]는 초점 [eqn: rmF LEFT ( itp,`0 RIGHT )]에서 직선을 따라 거리 [eqn: 20]만큼 이동한 점이므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: left ( p + 20 cos theta, 20 sin theta right )]

즉, [eqn: rmP(p+12, 16)]

점 [eqn: rmP]와 준선 [eqn: x = -p] 사이의 거리가 [eqn: 20]이므로

[eqn: (p+12) - (-p) = 20]에서 [eqn: 2p = 8] ∴ [eqn: p = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( -itc,`0 RIGHT )] [eqn: (c>0)]을 초점으로 하고 장축의 길이가 [eqn: 8]인 타원이 있다. 점 [eqn: rmF]를 지나고 기울기가 양수인 직선이 이 타원과 만나는 점 중 [eqn: y]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmP], [eqn: y]좌표가 음수인 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmoverline{FP} : overline{FQ} = 1 : 2], [eqn: rmoverline{F'P} : overline{F'Q} = 3 : 2]일 때, [eqn: c]의 값은?

⑤

조건 [eqn: rmoverline{FP} : overline{FQ} = 1 : 2]에서 [eqn: {bar{rmFP}} =itk], [eqn: {bar{rmFQ}} =it2k] ([eqn: k>0])라 하면

타원의 장축의 길이가 [eqn: 8]이므로 타원의 정의에 의해

[eqn: rmoverline{F'P} + overline{FP} = 8]에서 [eqn: {bar{rmF prime P}} =it8-k]

[eqn: rmoverline{F'Q} + overline{FQ} = 8]에서 [eqn: {bar{rmF prime Q}} =it8-2k]

조건 [eqn: rmoverline{F'P} : overline{F'Q} = 3 : 2]이므로

[eqn: (8 - k) : (8 - 2k) = 3 : 2]

[eqn: 24 - 6k = 16 - 2k]에서 [eqn: 4k = 8] ∴ [eqn: k = 2]

따라서 [eqn: rmoverline{FP} = 2], [eqn: rmoverline{FQ} = 4], [eqn: rmoverline{F'P} = 6], [eqn: rmoverline{F'Q} = 4]이다.

[eqn: rmangle F'FP = theta]라 하면 [eqn: rmangle F'FQ = pi - theta]이고 [eqn: {bar{rmF prime F}} =it2c]이므로

[eqn: rmtriangle F'FP]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: 6^{2} = (2c)^{2} + 2^{2} - 2 times 2c times 2 times cos theta]

[eqn: 36 = 4c^{2} + 4 - 8c cos theta] ……①

[eqn: rmtriangle F'FQ]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: 4^{2} = (2c)^{2} + 4^{2} - 2 times 2c times 4 times cos ( pi - theta )]

[eqn: 16 = 4c^{2} + 16 + 16c cos theta]

[eqn: 16c cos theta = -4c^{2}]에서 [eqn: c>0]이므로 [eqn: cos theta = - {c} over {4}]

이를 ①에 대입하면

[eqn: 36 = 4c^{2} + 4 - 8c times left ( - {c} over {4} right )]

[eqn: 36 = 4c^{2} + 4 + 2c^{2}]에서 [eqn: 6c^{2} = 32]

[eqn: c^{2} = {16} over {3}]이고 [eqn: c>0]이므로 [eqn: c = {4 sqrt{3}} over {3}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {2 sqrt{3}} over {3}]	② [eqn: {5 sqrt{3}} over {6}]	③ [eqn: sqrt{3}]

④ [eqn: {7 sqrt{3}} over {6}]	⑤ [eqn: {4 sqrt{3}} over {3}]

그림과 같이 두 점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( it-c,`0 RIGHT )] ([eqn: c>0])을 초점으로 하는 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위의 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmF'P]가 이 쌍곡선과 만나는 점 중 [eqn: rmP]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하고, 점 [eqn: rmP]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmQ]를 지나는 원을 [eqn: C] 라 하자. 원 [eqn: C] 가 [eqn: x]축과 점 [eqn: rmF]에서 접하고 [eqn: rmoverline{PQ} + overline{FQ} = 1]일 때, 원 [eqn: C] 의 반지름의 길이는?

③

원 [eqn: C] 의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 하자.

원 [eqn: C] 가 [eqn: x]축과 점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )]에서 접하므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (c, r)]이고 [eqn: {bar{rmPF}} it=r], [eqn: {bar{rmPQ}} =itr]이다.

삼각형 [eqn: rmF'FP]는 [eqn: angle F = 90^{circ}]인 직각삼각형이다.

조건에서 [eqn: rmoverline{PQ} + overline{FQ} = 1]이므로 [eqn: {bar{rmFQ}} =it1-r]이다.

쌍곡선의 정의에 의해 두 초점까지의 거리의 차는 일정하므로 [eqn: rmoverline{F'P} - overline{PF} = overline{FQ} - overline{F'Q}]

[eqn: rm {bar{F prime P}} = {bar{F prime Q}} + {bar{PQ}} = {bar{F prime Q}} +itr]이므로

[eqn: ( {bar{rmF prime Q}} +itr)-r=(1-r)- {bar{rmF prime Q}}]에서 [eqn: 2 {bar{rmF prime Q}} =it1-r]

∴ [eqn: {bar{rmF prime Q}} =it {1-r} over {2}]

[eqn: {bar{rm F prime P it}} = {bar{rmF prime Q}} + it r= {1+r} over {2}]

직각삼각형 [eqn: rmF'FP]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: {bar{rmF prime P}} ^{2} = {bar{rmF prime F}} ^{2} + {bar{rmPF}} ^{2}]

[eqn: left ( {1 + r} over {2} right )^{2} = (2c)^{2} + r^{2}], [eqn: 1 + 2r + r^{2} = 16c^{2} + 4r^{2}]

∴ [eqn: 16c^{2} = 1 + 2r - 3r^{2} = (1 - r)(1 + 3r)] ……①

점 [eqn: rmQ]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 직각삼각형 [eqn: rmF'QH]와 직각삼각형 [eqn: rmF'PF]는 [eqn: rmangle F']을 공유하므로 AA 닮음이다.

닮음비는 [eqn: rm {bar{F prime Q}} : {bar{F prime P}} =it {1-r} over {2} : {1+r} over {2} =(1-r):(1+r)]이므로

[eqn: rm {bar{QH}} = {bar{PF}} TIMES it {1-r} over {1+r} = {r(1-r)} over {1+r}]

[eqn: rm {bar{F prime H}} = {bar{F prime F}} TIMES it {1-r} over {1+r} = {2c(1-r)} over {1+r}]

[eqn: rm {bar{FH}} = {bar{F prime F}} - {bar{F prime H}} it=2c- {2c(1-r)} over {1+r} = {4cr} over {1+r}]

직각삼각형 [eqn: rmFQH]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{FQ}} ^{2} = {bar{FH}} ^{2} + {bar{QH}} ^{2}]

[eqn: (1 - r)^{2} = left ( {4cr} over {1 + r} right )^{2} + left ( {r(1 - r)} over {1 + r} right )^{2}]

양변에 [eqn: (1 + r)^{2}]을 곱하면

[eqn: (1 - r)^{2}(1 + r)^{2} = 16c^{2}r^{2} + r^{2}(1 - r)^{2}]

[eqn: r > 0]이고 [eqn: rm {bar{FQ}} =it1-r>0]에서 [eqn: 0 < r < 1]이므로 양변을 [eqn: (1 - r)]로 나눌 수 있다.

①을 대입하면

[eqn: (1 - r)^{2}(1 + r)^{2} = (1 - r)(1 + 3r)r^{2} + r^{2}(1 - r)^{2}]

양변을 [eqn: 1 - r]로 나누면

[eqn: (1 - r)(1 + r)^{2} = (1 + 3r)r^{2} + r^{2}(1 - r)]에서

[eqn: 1 + r - r^{2} - r^{3} = 2r^{2} + 2r^{3}]

[eqn: 3r^{3} + 3r^{2} - r - 1 = 0]

[eqn: 3r^{2}(r + 1) - (r + 1) = 0]

[eqn: (3r^{2} - 1)(r + 1) = 0]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: r = {sqrt{3}} over {3}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {3 sqrt{3}} over {10}]	② [eqn: {2 sqrt{2}} over {5}]	③ [eqn: {sqrt{3}} over {3}]

④ [eqn: {5 sqrt{2}} over {12}]	⑤ [eqn: {3 sqrt{2}} over {7}]

초점이 [eqn: rmF LEFT ( itp,`0 RIGHT )] [eqn: LEFT ( p>0 RIGHT )]이고 준선이 [eqn: x=-p]인 포물선과 점 [eqn: rmF]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: r] [eqn: LEFT ( r>p RIGHT )]인 원 [eqn: C] 가 있다. 원 [eqn: C] 가 [eqn: x]축과 만나는 점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmA]라 하고, 원 [eqn: C] 가 이 포물선과 만나는 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rmP]에서 이 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. [eqn: rmcos(angle PHF)={sqrt{3}} over {3}]이고 사각형 [eqn: rmAPHF]의 넓이가 [eqn: 54sqrt{2}]일 때, [eqn: p+r]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

포물선의 정의에 의해 [eqn: rmbarPF`=rmbarPH]이다.

점 [eqn: rmP]는 원 [eqn: C] 위의 점이므로 [eqn: rmbarPF`=itr]에서 [eqn: rmbarPH`=itr]이다.

점 [eqn: rmH]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -p]이므로 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: r-p]이다.

포물선의 방정식 [eqn: y^{2} = 4px]에 [eqn: x = r-p]를 대입하면 [eqn: y^{2} = 4p(r-p)]이고, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면의 점이므로 [eqn: y = 2sqrt{p(r-p)}]이다.

즉, [eqn: rmP(itr-p,2 sqrt {p(r-p)} )], [eqn: rmH(it-p,2 sqrt {p(r-p)} )]이다.

점 [eqn: rmH]와 점 [eqn: rmF(itp,0)] 사이의 거리는

[eqn: rm {bar{HF}} `= it sqrt {(p-(-p)) ^{2} +(0-2 sqrt {p(r-p)} ) ^{2}}][eqn: = sqrt {4p ^{2} +4p(r-p)} =2 sqrt {pr}]

삼각형 [eqn: rmPHF]는 [eqn: rmbarPH`=rmbarPF`=itr]인 이등변삼각형이므로 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmHF]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: rmM]은 선분 [eqn: rmHF]의 중점이다.

[eqn: rmbarHM`= {1} over {2} rmbarHF`=it sqrt {pr}]이므로 직각삼각형 [eqn: rmPHM]에서

[eqn: rmcos( ANGLE PHF)= {HM} over {PH} =it {sqrt {pr}} over {r} = sqrt {{p} over {r}}]

주어진 조건에서 [eqn: rmcos(angle PHF) = {sqrt{3}} over {3}]이므로 [eqn: sqrt{{p} over {r}} = {1} over {sqrt{3}}] ∴ [eqn: r = 3p]

[eqn: r = 3p]를 대입하면 [eqn: rmP(it2p,2 sqrt {2} p)], [eqn: rmH(it-p,2 sqrt {2} p)], [eqn: rmF(itp,0)]이고, 점 [eqn: rmA]는 원 [eqn: C] 와 [eqn: x]축의 교점이므로 [eqn: rm A(itp+r,0)]에서 [eqn: rmA(it4p,0)]이다.

사각형 [eqn: rmAPHF]에서 선분 [eqn: rmHP]와 선분 [eqn: rmFA]는 모두 [eqn: x]축에 평행하고 [eqn: rm {bar{HP}} `=3itp], [eqn: rmbarFA`=it3p]로 길이가 같으므로 사각형 [eqn: rmAPHF]는 평행사변형이다.

평행사변형 [eqn: rmAPHF]의 넓이는 밑변의 길이가 [eqn: 3p], 높이가 [eqn: 2sqrt{2}p]이므로 [eqn: 3p times 2sqrt{2}p = 6sqrt{2}p^{2}]

주어진 조건에서 사각형 [eqn: rmAPHF]의 넓이가 [eqn: 54sqrt{2}]이므로

[eqn: 6sqrt{2}p^{2} = 54sqrt{2}]에서 [eqn: p^{2} = 9]

[eqn: p > 0]이므로 [eqn: p = 3]이고 [eqn: r = 3p = 9]이다.

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

그림과 같이 두 점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( it-c,`0 RIGHT )] ([eqn: c>0])을 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {2a^{2}} = 1]이 있다. 이 쌍곡선의 꼭짓점 중 [eqn: x]좌표가 음수인 점을 [eqn: rmA]라 하고, 점 [eqn: rmF']을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제[eqn: 2]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmPF]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmF]를 초점으로 하고 점 [eqn: rmH]를 지나는 타원이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제[eqn: 4]사분면에 있는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmoverline{AQ} + overline{F'Q} = 6 + 8 sqrt{3}] 일 때, 이 타원의 장축의 길이는 [eqn: p + q sqrt{3}] 이다. [eqn: p^{2} + q^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 양수이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수이다.)

[eqn: 52]

쌍곡선의 방정식에서 [eqn: c^{2} = a^{2} + 2a^{2} = 3a^{2}]이므로 [eqn: c = sqrt{3}a] ([eqn: c>0])

[eqn: rm F( sqrt {3} ita,0)], [eqn: rm F prime (- sqrt {3} ita,0)], [eqn: rm A(-ita,0)]이다.

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -sqrt{3}a]이므로 쌍곡선의 방정식에 대입하면

[eqn: {(-sqrt{3}a)^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {2a^{2}} = 1]에서 [eqn: y^{2} = 4a^{2}]

점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 2]사분면의 점이므로 [eqn: rmP(it- sqrt {3} a,2a)]

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmF]를 지나는 직선 [eqn: rmPF]의 방정식은 [eqn: x + sqrt{3}y - sqrt{3}a = 0]

점 [eqn: rmA LEFT ( it-a,`0 RIGHT )]에서 직선 [eqn: rmPF]에 내린 수선의 발이 [eqn: rmH]이므로 점과 직선 사이의 거리에 의해

[eqn: rm {bar{AH}} =it {LEFT | -a- sqrt {3} a RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +( sqrt {3} ) ^{2}}} = {(1+ sqrt {3} )a} over {2}]

직각삼각형 [eqn: rmAHF]에서 [eqn: {bar{rmAF}} =it sqrt {3} a-(-a)=( sqrt {3} +1)a]이므로 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{FH}} = sqrt {{bar{AF ^{2}}} - {bar{AH ^{2}}}}]

[eqn: = it sqrt {( sqrt {3} +1) ^{2} a ^{2} - {(1+ sqrt {3} ) ^{2} a ^{2}} over {4}} = {(3+ sqrt {3} )a} over {2}]

타원의 두 초점이 [eqn: rmA], [eqn: rmF]이고 점 [eqn: rmH]를 지나므로 타원의 정의에 의해 장축의 길이는

[eqn: rm {bar{AH}} + {bar{FH}} =it {(1+ sqrt {3} )a} over {2} + {(3+ sqrt {3} )a} over {2} =(2+ sqrt {3} )a]

점 [eqn: rmQ]는 타원 위의 점이므로 [eqn: rm {bar{AQ}} + {bar{FQ}} =(2+ sqrt {3} )ita] ……①

점 [eqn: rmQ]는 쌍곡선의 오른쪽 갈래 위의 점이므로 쌍곡선의 정의에 의해 [eqn: rm {bar{F prime Q}} - {bar{FQ}} =2ita] ……②

①, ②를 더하면 [eqn: rm {bar{AQ}} + {bar{F prime Q}} =(4+ sqrt {3} )ita]

주어진 조건에서 [eqn: rmoverline{AQ} + overline{F'Q} = 6 + 8sqrt{3}]이므로

[eqn: (4+sqrt{3})a = 6 + 8sqrt{3}]

[eqn: a = {6 + 8sqrt{3}} over {4+sqrt{3}} = {(6+8sqrt{3})(4-sqrt{3})} over {16-3} = {26sqrt{3}} over {13} = 2sqrt{3}]

따라서 타원의 장축의 길이는 [eqn: (2+sqrt{3}) times 2sqrt{3} = 6 + 4sqrt{3}]

[eqn: p=6], [eqn: q=4]이므로 [eqn: p^{2} + q^{2} = 36 + 16 = 52]

따라서 정답은 [eqn: 52]이다.