수학ETF	2026년_고3_3월	기출문제
	23~30
	미적분

[eqn: lim_{n rightarrow infty} {n^{2}(12n+1)} over {4n^{3}-1}] 의 값은?

③

[eqn: lim from {n -> inf} {n^{2}(12n+1)} over {4n^{3}-1} = lim from {n -> inf} {12n^{3}+n^{2}} over {4n^{3}-1}]

분모와 분자의 최고차항의 차수가 같으므로

[eqn: lim from {n -> inf} {12n^{3}+n^{2}} over {4n^{3}-1} = {12} over {4} = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 수열 [eqn: left { a_{n} right }], [eqn: left { b_{n} right }]에 대하여
[eqn: lim_{n rightarrow infty} (3n+2)a_{n} = 6], [eqn: lim_{n rightarrow infty} {b_{n}} over {n} = 2]
일 때, [eqn: lim_{n rightarrow infty} a_{n}b_{n}]의 값은?

④

[eqn: lim from {n -> inf} (3n+2)a_{n} = 6], [eqn: lim from {n -> inf} {b_{n}} over {n} = 2]이고

[eqn: lim from {n -> inf} {n} over {3n+2} = {1} over {3}]이므로

수열의 극한에 대한 기본 성질에 의하여

[eqn: lim from {n -> inf} a_{n}b_{n} = lim from {n -> inf} left { (3n+2)a_{n} times {b_{n}} over {n} times {n} over {3n+2} right }]

[eqn: = lim from {n -> inf} (3n+2)a_{n} times lim from {n -> inf} {b_{n}} over {n} times lim from {n -> inf} {n} over {3n+2}][eqn: = 6 times 2 times {1} over {3} = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum_{k=1}^{n} a_{k} = sqrt{n+2}]
를 만족시킬 때, [eqn: lim_{n rightarrow infty} sqrt{n} a_{n}]의 값은?

①

[eqn: S_{n} = sum from {k=1} to {n} a_{k}]라 하면 [eqn: S_{n} = sqrt{n+2}]이다.

[eqn: n geq 2]일 때,

[eqn: a_{n} = S_{n} - S_{n-1} = sqrt{n+2} - sqrt{n+1}]

따라서

[eqn: lim from {n -> inf} sqrt{n} a_{n} = lim from {n -> inf} sqrt{n} ( sqrt{n+2} - sqrt{n+1} )]

[eqn: = lim from {n -> inf} {sqrt{n} ( sqrt{n+2} - sqrt{n+1} ) ( sqrt{n+2} + sqrt{n+1} )} over {sqrt{n+2} + sqrt{n+1}}]

[eqn: = lim from {n -> inf} {sqrt{n}} over {sqrt{n+2} + sqrt{n+1}}][eqn: = lim from {n -> inf} {1} over {sqrt{1 + {2} over {n}} + sqrt{1 + {1} over {n}}}]

[eqn: = {1} over {2}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

자연수 [eqn: a]에 대하여
[eqn: lim_{n rightarrow infty} {5a^{2n} + (2a)^{n+1}} over {a^{2n} + (2a)^{n}} = a+1]
을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: a]의 값의 합은?

②

주어진 극한식의 분모와 분자에 있는 지수항의 밑인 [eqn: a^{2}]과 [eqn: 2a]의 크기를 비교하여 [eqn: a]의 범위를 세 가지 경우로 나눈다.

[eqn: a]는 자연수이므로 [eqn: a^{2}]과 [eqn: 2a]의 대소 관계는 [eqn: a > 2], [eqn: a = 2], [eqn: a = 1]인 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: a > 2]일 때

[eqn: a^{2} > 2a]이므로 분모와 분자를 [eqn: a^{2n}]으로 나누면

[eqn: lim from {n -> inf} {5a^{2n} + (2a)^{n+1}} over {a^{2n} + (2a)^{n}} = lim from {n -> inf} {5 + 2a left ( {2} over {a} right )^{n}} over {1 + left ( {2} over {a} right )^{n}} = 5]

[eqn: 5 = a+1]에서 [eqn: a = 4]

[eqn: a=4]는 [eqn: a>2]를 만족한다.

(ⅱ) [eqn: a = 2]일 때

[eqn: lim from {n -> inf} {5 cdot 4^{n} + 4^{n+1}} over {4^{n} + 4^{n}} = lim from {n -> inf} {9 cdot 4^{n}} over {2 cdot 4^{n}} = {9} over {2}]

우변은 [eqn: a+1 = 3]이므로 [eqn: {9} over {2} neq 3]

따라서 조건을 만족하지 않는다.

(ⅲ) [eqn: a = 1]일 때

[eqn: lim from {n -> inf} {5 + 2^{n+1}} over {1 + 2^{n}} = lim from {n -> inf} {5 left ( {1} over {2} right )^{n} + 2} over {left ( {1} over {2} right )^{n} + 1} = 2]

우변은 [eqn: a+1 = 2]이므로 [eqn: 2 = 2]

따라서 조건을 만족한다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 4]이므로 그 합은 [eqn: 5]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 [eqn: a_{n}]인 직선이

점 [eqn: (2n-1,`0)]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: n]인

원과 서로 다른 두 점에서 만나고

점 [eqn: (2n+1,`0)]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: n+1]인

원과 만나지 않는다.

[eqn: lim_{n rightarrow infty} n left ( 3 - {1} over {a_{n}^{2}} right )]의 값은?

⑤

원점을 지나고 기울기가 [eqn: a_{n}]인 직선의 방정식은 [eqn: a_{n}x - y = 0]이다.

직선 [eqn: a_{n}x - y = 0]이 점 [eqn: (2n-1, 0)]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: n]인 원과 서로 다른 두 점에서 만나므로 원의 중심과 직선 사이의 거리는 반지름의 길이보다 작다.

[eqn: a_{n} > 0]이고 [eqn: n]은 자연수이므로

[eqn: {LEFT | a _{n} (2n-1) RIGHT |} over {sqrt {a _{n} ` ^{2} +(-1) ^{2}}} <n]에서 [eqn: {a _{n} (2n-1)} over {sqrt {a _{n} ` ^{2} +1}} <n]

양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: a _{n} ` ^{2} < {n ^{2}} over {3n ^{2} -4n+1}] ……①

또한, 직선 [eqn: a_{n}x - y = 0]이 점 [eqn: (2n+1, 0)]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: n+1]인 원과 만나지 않으므로 원의 중심과 직선 사이의 거리는 반지름의 길이보다 크다.

[eqn: {LEFT | a _{n} (2n+1) RIGHT |} over {sqrt {a _{n} ` ^{2} +1}} >n+1]에서 [eqn: a _{n} ` ^{2} > {(n+1) ^{2}} over {3n ^{2} +2n}] ……②

①, ②에서 [eqn: {(n+1) ^{2}} over {3n ^{2} +2n} <a _{n} ` ^{2} < {n ^{2}} over {3n ^{2} -4n+1}]

정리하면 [eqn: {4n^{2} + 3n} over {n^{2} + 2n + 1} < n left ( 3 - {1} over {a_{n}^{2}} right ) < {4n^{2} - n} over {n^{2}}]

이때

[eqn: lim from {n -> inf} {4n^{2} + 3n} over {n^{2} + 2n + 1} = 4], [eqn: lim from {n -> inf} {4n^{2} - n} over {n^{2}} = 4]이므로

수열의 극한의 대소 관계에 의해 [eqn: lim from {n -> inf} n left ( 3 - {1} over {a_{n}^{2}} right ) = 4]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x) = {1} over {2} x^{3} - {3} over {2} x^{2} + 5]가 있다. 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{1} over {2} px ^{2} + {1} over {2} qx+5&``` LEFT ( x<0 RIGHT )#5&``` LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]
이라 하자.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수
[eqn: h(x) = lim_{n rightarrow infty} { (f(x))^{2n+1} + 5^{2n} times g(x) } over { (f(x))^{2n} + 5^{2n} }]
에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: 7]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y = left ( k - {1} over {2^{n}} right ) x + 5]가

함수 [eqn: y = h(x)]의 그래프와 만나는 점의 개수를 [eqn: a_{n}]이라

할 때, [eqn: lim_{n rightarrow infty} a_{n} = 4]이다.

[eqn: p + q + h(4)]의 값은?

③

함수 [eqn: h(x)]의 식의 분모, 분자를 [eqn: 5^{2n}]으로 나누면

[eqn: h(x) = lim from {n -> inf} { f(x) left ( {f(x)} over {5} right )^{2n} + g(x) } over { left ( {f(x)} over {5} right )^{2n} + 1 }]

[eqn: left | f(x) right | > 5]일 때 [eqn: h(x) = f(x)]

[eqn: left | f(x) right | < 5]일 때 [eqn: h(x) = g(x)]

[eqn: f(x) = 5]일 때 [eqn: h(x) = {5 + g(x)} over {2}]

[eqn: f(x) = -5]일 때 [eqn: h(x) = {-5 + g(x)} over {2}]

[eqn: f(x) = 5]에서 [eqn: {1} over {2} x^{3} - {3} over {2} x^{2} + 5 = 5]이므로 [eqn: x^{2}(x-3) = 0] ∴ [eqn: x = 0] 또는 [eqn: x = 3]

[eqn: f(x) = -5]에서 [eqn: {1} over {2} x^{3} - {3} over {2} x^{2} + 5 = -5]이므로 [eqn: x^{3} - 3x^{2} + 20 = 0]

[eqn: (x+2)(x^{2} - 5x + 10) = 0] ∴ [eqn: x = -2]

[eqn: h(x)]가 실수 전체에서 연속이므로 [eqn: x = -2]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim from {x -> -2-} h(x) = lim from {x -> -2-} f(x) = -5]

[eqn: lim from {x -> -2+} h(x) = lim from {x -> -2+} g(x) = 2p - q + 5]

[eqn: -5 = 2p - q + 5] ∴ [eqn: q = 2p + 10] ……①

직선 [eqn: y = left ( k - {1} over {2^{n}} right ) x + 5]의 기울기를 [eqn: m_{n}]이라 하면 직선은 항상 [eqn: (0, 5)]를 지난다.

[eqn: x geq 0]에서 교점의 개수를 구하면

[eqn: x = 0]일 때 [eqn: (0, 5)]에서 만나므로 교점 [eqn: 1]개

[eqn: 0 < x leq 3]일 때 [eqn: h(x) = 5]이고 [eqn: m_{n} > 0]이므로 교점이 없다.

[eqn: x > 3]일 때 [eqn: f(x) = m_{n} x + 5]에서 [eqn: x^{2} - 3x = 2m_{n}]

[eqn: y = x^{2} - 3x]의 그래프는 [eqn: x > 3]에서 [eqn: y > 0]이고 증가하므로 [eqn: 2m_{n} > 0]과 항상 [eqn: 1]개의 교점을 갖는다.

따라서 [eqn: x geq 0]에서 교점은 [eqn: 2]개이다.

[eqn: lim from {n -> inf} a_{n} = 4]이려면 [eqn: x < 0]에서 교점이 [eqn: 2]개이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: -2 leq x < 0]에서 [eqn: g(x) = m_{n} x + 5]

[eqn: {1} over {2} p x^{2} + left ( {1} over {2} q - m_{n} right ) x = 0]에서 [eqn: x = {2m_{n} - q} over {p}] ([eqn: x neq 0])

[eqn: -2 leq {2m_{n} - q} over {p} < 0]에서 [eqn: q - 2p leq 2m_{n} < q]

①에 의해 [eqn: 10 leq 2m_{n} < q] ∴ [eqn: 5 leq m_{n} < {q} over {2}]

(ⅱ) [eqn: x < -2]에서 [eqn: f(x) = m_{n} x + 5]

[eqn: x^{2} - 3x = 2m_{n}]이고 [eqn: x < -2]에서 [eqn: x^{2} - 3x > 10]이므로 [eqn: 2m_{n} > 10] ∴ [eqn: m_{n} > 5]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: x < 0]에서 교점이 [eqn: 2]개가 되려면 [eqn: 5 < m_{n} < {q} over {2}]이어야 한다.

[eqn: m_{n} = k - {1} over {2^{n}}]이고 [eqn: n -> inf]일 때 [eqn: m_{n}]은 [eqn: k]보다 작으면서 [eqn: k]에 한없이 가까워지므로

조건을 만족하는 자연수 [eqn: k]의 범위는 [eqn: 5 < k leq {q} over {2}]이다.

자연수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: 7]이므로 [eqn: k = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]

[eqn: 12 leq {q} over {2} < 13]에서 [eqn: 24 leq q < 26]

①에서 [eqn: q]는 짝수이므로 [eqn: q = 24]이고 [eqn: p = 7]이다.

[eqn: h(4) = f(4) = {1} over {2} times 4^{3} - {3} over {2} times 4^{2} + 5 = 13]

따라서 [eqn: p + q + h(4) = 7 + 24 + 13 = 44]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 38]	② [eqn: 41]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 47]	⑤ [eqn: 50]

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: rm {bar{AC}} = {bar{BC}} =it4n+2]인 사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmQ]라 하고, 선분 [eqn: rmDQ]가 선분 [eqn: rmAC]와 만나는 점을 [eqn: rmR]이라 하자.
[eqn: rmangle CAB = angle PQR], [eqn: rm {bar{CP}} =it sqrt {15n ^{2} +16n+4}], [eqn: rmoverline{DR} : overline{DC} = 1 : 2]
일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( {bar{rmDR}} -it {4} over {3} n RIGHT ) = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 11]

삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: rmoverline{AC} = overline{BC}]인 이등변삼각형이고 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmAB]의 중점이므로 [eqn: rmoverline{CP} bot overline{AB}]이다.

직각삼각형 [eqn: rmCPB]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{PB}} ^{2} = {bar{BC}} ^{2} - {bar{CP}} ^{2} =it(4n+2) ^{2} -(15n ^{2} +16n+4)=n ^{2}]

[eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: rm {bar{PB}} =itn]이고 [eqn: rm {bar{AB}} =2itn]이다.

직각삼각형 [eqn: rmAPC]에서

[eqn: rm cos( ANGLE CAB)= {{bar{AP}}} over {{bar{AC}}} =it {n} over {4n+2}] ……①

삼각형 [eqn: rmABC]에서 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]는 각각 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC]의 중점이므로 삼각형의 중점연결정리에 의해 [eqn: rmoverline{PQ} // overline{AC}]이다.

평행선의 엇각의 성질에 의해 [eqn: rmangle PQR = angle QRC]이고, 조건에서 [eqn: rmangle CAB = angle PQR]이므로 [eqn: rmangle QRC = angle CAB]이다.

삼각형 [eqn: rmCQR]과 삼각형 [eqn: rmCAB]에서 [eqn: rmangle C]는 공통이고 [eqn: rmangle QRC = angle CAB]이므로

[eqn: rmtriangle CQR sim triangle CAB] (AA 닮음)

닮음비는 [eqn: rm {bar{CQ}} : {bar{CA}} =it(2n+1):(4n+2)=1:2]이므로

[eqn: rm {bar{CR}} = {1} over {2} {bar{CB}} =it2n+1], [eqn: rm {bar{QR}} = {1} over {2} {bar{AB}} =itn]이다.

점 [eqn: rmD], [eqn: rmR], [eqn: rmQ]가 일직선 위에 있으므로 [eqn: rmangle CRD + angle CRQ = 180^{circ}]이다.

이때 닮음에 의해 [eqn: rmangle CRQ = angle CAB]이므로 ①에서

[eqn: cos( ANGLE rm CRD)=cos(180 ^{CIRC } - ANGLE rm CRQ)=-cos( ANGLE rm CRQ)][eqn: = it - {n} over {4n+2}]

조건에서 [eqn: rmoverline{DR} : overline{DC} = 1 : 2]이므로 [eqn: rm {bar{DR}} =itx] ([eqn: x > 0])라 하면 [eqn: rm {bar{DC}} =2itx]이다.

삼각형 [eqn: CDR]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar{DC}} ^{2} = {bar{DR}} ^{2} + {bar{CR}} ^{2} -2 TIMES {bar{DR}} TIMES {bar{CR}} TIMES cos( ANGLE rmCRD)]

[eqn: (2x)^{2} = x^{2} + (2n+1)^{2} - 2x(2n+1) times left ( - {n} over {4n+2} right )]

[eqn: 4x^{2} = x^{2} + (2n+1)^{2} + nx], [eqn: 3x^{2} - nx - (2n+1)^{2} = 0]

근의 공식에 의해 [eqn: x= {n± sqrt {49n ^{2} +48n+12}} over {6}]

[eqn: x > 0]이므로 [eqn: {bar{rmDR}} = {n+ sqrt {49n ^{2} +48n+12}} over {6}]

따라서

[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( {bar{rmDR}} it- {4} over {3} n RIGHT ) = lim _{n -> INF } {} LEFT ( {n+ sqrt {49n ^{2} +48n+12}} over {6} - {8n} over {6} RIGHT )]

[eqn: = lim from {n -> inf} {sqrt{49n^{2}+48n+12} - 7n} over {6}]

[eqn: = lim from {n -> inf} {(sqrt{49n^{2}+48n+12} - 7n)(sqrt{49n^{2}+48n+12} + 7n)} over {6(sqrt{49n^{2}+48n+12} + 7n)}]

[eqn: = lim from {n -> inf} {48n+12} over {6(sqrt{49n^{2}+48n+12} + 7n)}]

[eqn: = {48} over {6(sqrt{49} + 7)} = {48} over {84} = {4} over {7}]

[eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이므로 [eqn: p = 7], [eqn: q = 4]

∴ [eqn: p+q = 11]

따라서 정답은 [eqn: 11]이다.

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합을 구하시오. (단, [eqn: k]는 [eqn: 20] 이하의 자연수이다.)

두 정수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

[eqn: lim_{n rightarrow infty} left | a right | (a+b)^{n}]의 값과 [eqn: lim_{n rightarrow infty} left | {2a+2b-20} over {k} right |^{n}]의 값이

모두 존재하며

[eqn: lim_{n rightarrow infty} left | a right | (a+b)^{n} = lim_{n rightarrow infty} left | {2a+2b-20} over {k} right |^{n}]이 되도록 하는

정수 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,`b)]의 개수는 [eqn: 19]이다.

[eqn: 57]

[eqn: lim from {n -> inf} left | a right | (a+b)^{n}]의 값이 존재하므로 [eqn: a=0]이거나 [eqn: a neq 0]일 때 [eqn: -1 < a+b leq 1]이어야 한다.

[eqn: a], [eqn: b]가 정수이므로 [eqn: a neq 0]일 때 [eqn: a+b=0] 또는 [eqn: a+b=1]이다.

[eqn: lim from {n -> inf} left | {2a+2b-20} over {k} right |^{n}]의 값이 존재하므로 [eqn: 0 leq left | {2a+2b-20} over {k} right | leq 1]이다.

두 극한값이 같아야 하므로 다음 세 가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: a=0]일 때

[eqn: lim from {n -> inf} left | a right | (a+b)^{n} = 0]이므로 [eqn: lim from {n -> inf} left | {2a+2b-20} over {k} right |^{n} = 0]이어야 한다.

[eqn: left | {2b-20} over {k} right | < 1]에서 [eqn: 20-k < 2b < 20+k]

이 부등식을 만족시키는 정수 [eqn: b]의 개수를 [eqn: N(k)]라 하자.

[eqn: k]가 짝수이면 [eqn: 10 - {k} over {2} < b < 10 + {k} over {2}]이므로 [eqn: N(k) = left ( 10 + {k} over {2} right ) - left ( 10 - {k} over {2} right ) - 1 = k-1]

[eqn: k]가 홀수이면 [eqn: b]는 정수이므로 [eqn: 10 - {k-1} over {2} leq b leq 10 + {k-1} over {2}]에서 [eqn: N(k) = left ( 10 + {k-1} over {2} right ) - left ( 10 - {k-1} over {2} right ) + 1 = k]

(ⅱ) [eqn: a neq 0]이고 [eqn: a+b=0]일 때

[eqn: lim from {n -> inf} left | a right | (a+b)^{n} = 0]이므로 [eqn: lim from {n -> inf} left | {2a+2b-20} over {k} right |^{n} = 0]이어야 한다.

[eqn: left | {-20} over {k} right | < 1]에서 [eqn: k > 20]이므로 [eqn: k leq 20]인 자연수 [eqn: k]는 존재하지 않는다.

(ⅲ) [eqn: a neq 0]이고 [eqn: a+b=1]일 때

[eqn: lim from {n -> inf} left | a right | (a+b)^{n} = left | a right |]이고 [eqn: lim from {n -> inf} left | {2a+2b-20} over {k} right |^{n}]의 값은 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]이다.

[eqn: a neq 0]인 정수이므로 [eqn: left | a right | geq 1]에서 두 극한값이 같으려면 [eqn: left | a right | = 1]이고 [eqn: left | {2(a+b)-20} over {k} right | = 1]이어야 한다.

[eqn: left | a right | = 1]에서 [eqn: a=1] 또는 [eqn: a=-1]이고, [eqn: a+b=1]이므로 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (1, 0)], [eqn: (-1, 2)]이다.

[eqn: left | {2-20} over {k} right | = 1]에서 [eqn: k=18]이다.

즉, [eqn: k=18]일 때만 순서쌍 [eqn: (1, 0)], [eqn: (-1, 2)]의 [eqn: 2]개가 추가된다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수가 [eqn: 19]가 되는 [eqn: k]의 값을 구하면 다음과 같다.

[eqn: k neq 18]일 때 [eqn: N(k)=19]이어야 하므로 [eqn: k]가 짝수이면 [eqn: k-1=19]에서 [eqn: k=20], [eqn: k]가 홀수이면 [eqn: k=19]이다.

[eqn: k=18]일 때 [eqn: N(18)+2 = 17+2 = 19]이므로 성립한다.

따라서 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 18], [eqn: 19], [eqn: 20]이므로 그 합은 [eqn: 18+19+20=57]

따라서 정답은 [eqn: 57]이다.