수학ETF	2026년_고3_3월	기출문제
	23~30
	확통

[eqn: rm{}_{3}H_{5}]의 값은?

②

중복조합의 계산 공식에 의해 [eqn: rm{}_{3} H _{5} = {}_{3+5-1} C _{5} = {}{}_{{7}} C _{{5}}]

조합의 성질에 의해 [eqn: rm{}{}_{{7}} C _{{5}} = {}{}_{{7}} C _{{7}}-5} = {}{}_{{7}} C _{{2}}]

[eqn: rm{}{}_{{7}} C _{{2}} = {7 times 6} over {2 times 1} = 21]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 20]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 24]

서로 다른 종류의 연필 [eqn: 4]자루가 있다. 이 [eqn: 4]자루의 연필을 세 명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 연필을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

④

서로 다른 [eqn: 4]자루의 연필 각각에 대하여 연필을 받을 학생을 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 중에서 선택하는 경우의 수는 [eqn: 3]이다.

연필을 받지 못하는 학생이 있을 수 있으므로, 구하는 전체 경우의 수는 [eqn: 3^{4} = 81]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 72]	② [eqn: 75]	③ [eqn: 78]

④ [eqn: 81]	⑤ [eqn: 84]

숫자 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 3]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 7]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 7]장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 합이 [eqn: 4]가 되도록 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 숫자가 적혀 있는 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.)

①

양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 합이 [eqn: 4]가 되는 경우는 [eqn: (1, 3)] 또는 [eqn: (2, 2)]이다.

(ⅰ) 양 끝에 [eqn: 1]과 [eqn: 3]이 놓이는 경우

양 끝에 [eqn: 1]과 [eqn: 3]을 배치하는 방법의 수는 [eqn: (1, 3)], [eqn: (3, 1)]의 [eqn: 2]가지이다.

남은 카드 [eqn: 5]장([eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3])을 가운데에 나열하는 경우의 수는 [eqn: {5!} over {2! times 2!} = 30]

이므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 2 times 30 = 60]

(ⅱ) 양 끝에 [eqn: 2]와 [eqn: 2]가 놓이는 경우

양 끝에 [eqn: 2]와 [eqn: 2]를 배치하는 방법의 수는 [eqn: 1]가지이다.

남은 카드 [eqn: 5]장([eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3])을 가운데에 나열하는 경우의 수는 [eqn: {5!} over {3! times 2!} = 10]

이므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 1 times 10 = 10]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 총 경우의 수는 [eqn: 60 + 10 = 70]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 70]	② [eqn: 75]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 85]	⑤ [eqn: 90]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,`b,`c,`d)]의 개수는?

[eqn: a+b+c+ left | d-1 right | = 4]

③

[eqn: k = left | d-1 right |]이라 하면 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 음이 아닌 정수이므로

[eqn: a+b+c = 4-k geq 0]에서 [eqn: k]의 가능한 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이다.

(ⅰ) [eqn: k=0]일 때

[eqn: left | d-1 right | = 0]에서 [eqn: d=1]이므로 [eqn: d]의 개수는 [eqn: 1]이다.

[eqn: a+b+c=4]를 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a, b, c)]의 개수는 [eqn: rm{}_{3} H _{4} = {}{}_{{6}} C _{{4}} = 15]

∴ [eqn: 1 times 15 = 15]

(ⅱ) [eqn: k=1]일 때

[eqn: left | d-1 right | = 1]에서 [eqn: d=0] 또는 [eqn: d=2]이므로 [eqn: d]의 개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: a+b+c=3]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a, b, c)]의 개수는 [eqn: rm{}_{3} H _{3} = {}{}_{{5}} C _{{3}} = 10]

∴ [eqn: 2 times 10 = 20]

(ⅲ) [eqn: k=2]일 때

[eqn: left | d-1 right | = 2]에서 [eqn: d=-1] 또는 [eqn: d=3]이고 [eqn: d geq 0]이므로 [eqn: d=3]이다. 즉, [eqn: d]의 개수는 [eqn: 1]이다.

[eqn: a+b+c=2]를 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a, b, c)]의 개수는 [eqn: rm{}_{3} H _{2} = {}{}_{{4}} C _{{2}} = 6]

∴ [eqn: 1 times 6 = 6]

(ⅳ) [eqn: k=3]일 때

[eqn: left | d-1 right | = 3]에서 [eqn: d=-2] 또는 [eqn: d=4]이고 [eqn: d geq 0]이므로 [eqn: d=4]이다. 즉, [eqn: d]의 개수는 [eqn: 1]이다.

[eqn: a+b+c=1]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a, b, c)]의 개수는 [eqn: rm{}_{3} H _{1} = {}{}_{{3}} C _{{1}} = 3]

∴ [eqn: 1 times 3 = 3]

(ⅴ) [eqn: k=4]일 때

[eqn: left | d-1 right | = 4]에서 [eqn: d=-3] 또는 [eqn: d=5]이고 [eqn: d geq 0]이므로 [eqn: d=5]이다. 즉, [eqn: d]의 개수는 [eqn: 1]이다.

[eqn: a+b+c=0]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a, b, c)]의 개수는 [eqn: rm{}_{3} H _{0} = {}{}_{{2}} C _{{0}} = 1]

∴ [eqn: 1 times 1 = 1]

(ⅰ) ~ (ⅴ)에 의하여 구하는 모든 순서쌍 [eqn: (a, b, c, d)]의 개수는 [eqn: 15 + 20 + 6 + 3 + 1 = 45]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 35]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 55]

전체집합 [eqn: U= LEFT { -4,`-2,`-1,`1,`2,`4 RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 집합 [eqn: A], [eqn: B]의 모든 순서쌍 [eqn: (A,`B)]의 개수는?

(가) [eqn: n(A cap B) geq 2]

(나) 집합 [eqn: A cap B]의 모든 원소의 합은 [eqn: 0]이다.

⑤

조건 (나)에서 집합 [eqn: A cap B]의 모든 원소의 합이 [eqn: 0]이 되려면 [eqn: A cap B]는 절댓값이 같고 부호가 다른 두 수의 쌍으로 이루어져야 한다.

전체집합 [eqn: U]의 원소 중 절댓값이 같고 부호가 다른 두 수의 쌍은 [eqn: left { -4, 4 right }], [eqn: left { -2, 2 right }], [eqn: left { -1, 1 right }]이다.

조건 (가)에서 [eqn: n(A cap B) geq 2]이므로 [eqn: A cap B]의 원소의 개수에 따라 경우를 나누면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: n(A cap B) = 2]일 때

집합 [eqn: A cap B]가 될 수 있는 집합은 [eqn: left { -4, 4 right }], [eqn: left { -2, 2 right }], [eqn: left { -1, 1 right }]의 [eqn: 3]개이다.

[eqn: A cap B]에 속하지 않는 나머지 [eqn: 4]개의 원소는 각각 [eqn: A-B], [eqn: B-A], [eqn: (A cup B)^{c}]의 [eqn: 3]개의 영역 중 하나에 속할 수 있으므로 순서쌍 [eqn: (A, B)]의 개수는 [eqn: 3 times 3^{4} = 243]

(ⅱ) [eqn: n(A cap B) = 4]일 때

집합 [eqn: A cap B]가 될 수 있는 집합은 [eqn: left { -4, -2, 2, 4 right }], [eqn: left { -4, -1, 1, 4 right }], [eqn: left { -2, -1, 1, 2 right }]의 [eqn: 3]개이다.

[eqn: A cap B]에 속하지 않는 나머지 [eqn: 2]개의 원소는 각각 [eqn: A-B], [eqn: B-A], [eqn: (A cup B)^{c}]의 [eqn: 3]개의 영역 중 하나에 속할 수 있으므로 순서쌍 [eqn: (A, B)]의 개수는 [eqn: 3 times 3^{2} = 27]

(ⅲ) [eqn: n(A cap B) = 6]일 때

집합 [eqn: A cap B]가 될 수 있는 집합은 [eqn: left { -4, -2, -1, 1, 2, 4 right }]의 [eqn: 1]개이다.

순서쌍 [eqn: (A, B)]의 개수는 [eqn: 1 times 3^{0} = 1]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 구하는 모든 순서쌍 [eqn: (A, B)]의 개수는 [eqn: 243 + 27 + 1 = 271]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 259]	② [eqn: 262]	③ [eqn: 265]

④ [eqn: 268]	⑤ [eqn: 271]

두 집합 [eqn: X= LEFT { x`|`x는``9`이하의``자연수 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,`2,`4 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f:X`` -> ``Y]의 개수는?

(가) 집합 [eqn: LEFT { x`|`f(x)=1,`x IN X RIGHT }]의 원소의 개수는 [eqn: 3]이고,
집합 [eqn: LEFT { x`|`f(x)=2,`x IN X RIGHT }]의 원소의 개수는 [eqn: 2]이고,
집합 [eqn: LEFT { x`|`f(x)=4,`x IN X RIGHT }]의 원소의 개수는 [eqn: 4]이다.

(나) [eqn: 7] 이하의 모든 자연수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(x) + f(x+1) neq f(x+2)]이다.

③

조건 (가)를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 1]을 [eqn: 3]개, [eqn: 2]를 [eqn: 2]개, [eqn: 4]를 [eqn: 4]개 일렬로 나열하는 같은 것이 있는 순열의 수와 같으므로 전체 경우의 수를 [eqn: N]이라 하면 [eqn: N = {9!} over {3! times 2! times 4!} = 1260]

조건 (나)의 여사건은 [eqn: 7] 이하의 어떤 자연수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) + f(x+1) = f(x+2)]인 경우이다.

공역 [eqn: Y = left { 1, 2, 4 right }]의 원소 중 [eqn: a + b = c]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a, b, c)]는 [eqn: (1, 1, 2)]와 [eqn: (2, 2, 4)]뿐이다.

(ⅰ) 패턴 [eqn: (1, 1, 2)]가 적어도 한 번 나타나는 사건을 [eqn: A]라 하자.

[eqn: (1, 1, 2)]를 하나의 묶음으로 생각하고, 남은 원소 [eqn: 1] [eqn: 1]개, [eqn: 2] [eqn: 1]개, [eqn: 4] [eqn: 4]개와 함께 일렬로 나열하는 경우의 수이므로 [eqn: n(A) = {7!} over {4!} = 210]

(이때 [eqn: 1]이 [eqn: 3]개뿐이므로 [eqn: (1, 1, 2)]가 두 번 나타날 수 없고, 중복되는 경우는 없다.)

(ⅱ) 패턴 [eqn: (2, 2, 4)]가 적어도 한 번 나타나는 사건을 [eqn: B]라 하자.

[eqn: (2, 2, 4)]를 하나의 묶음으로 생각하고, 남은 원소 [eqn: 1] [eqn: 3]개, [eqn: 4] [eqn: 3]개와 함께 일렬로 나열하는 경우의 수이므로 [eqn: n(B) = {7!} over {3! times 3!} = 140]

(ⅲ) 두 패턴이 동시에 나타나는 사건 [eqn: A cap B]의 경우의 수를 구하자.

[eqn: 2]의 총 개수가 [eqn: 2]개뿐이므로 두 패턴은 반드시 [eqn: (1, 1, 2, 2, 4)] 형태로 겹쳐야 한다.

[eqn: (1, 1, 2, 2, 4)]를 하나의 묶음으로 생각하고, 남은 원소 [eqn: 1] [eqn: 1]개, [eqn: 4] [eqn: 3]개와 함께 일렬로 나열하는 경우의 수이므로 [eqn: n(A cap B) = {5!} over {3!} = 20]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 조건 (나)를 만족시키지 않는 경우의 수는

[eqn: n(A cup B) = n(A) + n(B) - n(A cap B) = 210 + 140 - 20 = 330]

따라서 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 1260 - 330 = 930]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 920]	② [eqn: 925]	③ [eqn: 930]

④ [eqn: 935]	⑤ [eqn: 940]

숫자 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9]가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 5]개의 흰색 접시와 숫자 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10]이 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 5]개의 검은색 접시가 있다. 이 [eqn: 10]개의 접시를 원 모양의 식탁에 일정한 간격을 두고 원형으로 놓을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

(가) 흰색 접시끼리는 서로 이웃하지 않는다.

(나) 서로 이웃한 [eqn: 2]개의 접시에 적혀 있는 수의 곱은 [eqn: 70] 이하이다.

[eqn: 864]

조건 (가)에서 흰색 접시 [eqn: 5]개와 검은색 접시 [eqn: 5]개를 원형으로 배열할 때 흰색 접시끼리 이웃하지 않으려면 흰색 접시와 검은색 접시가 교대로 배치되어야 한다.

조건 (나)에서 서로 이웃한 [eqn: 2]개의 접시에 적혀 있는 수의 곱은 [eqn: 70] 이하이어야 한다.

흰색 접시에 적힌 수와 검은색 접시에 적힌 수의 곱 중 [eqn: 70]을 초과하는 경우는 [eqn: 9 times 8 = 72], [eqn: 9 times 10 = 90]

뿐이므로 [eqn: 9]가 적힌 흰색 접시는 [eqn: 8], [eqn: 10]이 적힌 검은색 접시와 이웃할 수 없다.

흰색 접시 [eqn: 5]개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 [eqn: (5-1)! = 24]

흰색 접시가 고정된 상태에서 [eqn: 9]가 적힌 흰색 접시의 양 옆 [eqn: 2]자리에 들어갈 검은색 접시를 배치하는 경우의 수는 [eqn: 8]과 [eqn: 10]을 제외한 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6] 중 [eqn: 2]개를 선택하여 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: rm{}{}_{{3}} P _{{2}} = 3 times 2 = 6]

남은 [eqn: 3]개의 검은색 접시 자리에 남은 [eqn: 3]개의 검은색 접시를 배치하는 경우의 수는 [eqn: 3! = 6]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 24 times 6 times 6 = 864]

따라서 정답은 [eqn: 864]이다.

정수 [eqn: -1]이 적혀 있는 [eqn: 6]장의 카드와 정수 [eqn: 1]이 적혀 있는 [eqn: 6]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 12]장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 그림과 같은 [eqn: 12]개의 자리에 각각 한 장씩 놓을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 수가 적혀 있는 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.)

[eqn: 11] 이하의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: n]번째 자리에 놓인 카드에 적혀 있는 수와

[eqn: (n+1)]번째 자리에 놓인 카드에 적혀 있는 수의 곱을

[eqn: a_{n}]이라 할 때, [eqn: sum_{n=1}^{11} a_{n} = 3]이다.

[eqn: 100]

[eqn: n]번째 자리에 놓인 카드에 적혀 있는 수를 [eqn: x_{n}]이라 하면 [eqn: x_{n}]은 [eqn: 1] 또는 [eqn: -1]이다.

[eqn: a_{n} = x_{n} times x_{n+1}]이므로 [eqn: a_{n}]도 [eqn: 1] 또는 [eqn: -1]이다.

[eqn: a_{1}, a_{2}, cdots, a_{11}] 중 [eqn: 1]의 개수를 [eqn: p], [eqn: -1]의 개수를 [eqn: q]라 하면

[eqn: p+q=11], [eqn: p-q=3]에서 [eqn: p=7], [eqn: q=4]

즉, [eqn: a_{n} = -1]인 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 4]이다.

[eqn: a_{n} = -1]은 [eqn: x_{n}]과 [eqn: x_{n+1}]의 부호가 다름을 의미하므로, 수열 [eqn: x_{n}]에서 부호가 바뀌는 횟수는 [eqn: 4]번이다.

따라서 같은 숫자로 이루어진 연속된 묶음(블록)은 총 [eqn: 5]개 존재한다.

이때 블록이 [eqn: 5]개인 경우는 다음 두 가지 패턴으로 분류할 수 있다.

(ⅰ) [eqn: 1]로 시작하는 경우

[eqn: 1]로 이루어진 블록이 [eqn: 3]개, [eqn: -1]로 이루어진 블록이 [eqn: 2]개이다.

[eqn: 1]이 적힌 카드 [eqn: 6]장을 [eqn: 3]개의 블록에 나누어 넣는 경우의 수는

방정식 [eqn: y_{1} + y_{2} + y_{3} = 6]의 자연수 해의 개수와 같으므로

[eqn: rm{}_{3} H _{6-3} = {}_{3} H _{3} = {}{}_{{5}} C _{{3}} = 10]

[eqn: -1]이 적힌 카드 [eqn: 6]장을 [eqn: 2]개의 블록에 나누어 넣는 경우의 수는

방정식 [eqn: z_{1} + z_{2} = 6]의 자연수 해의 개수와 같으므로

[eqn: rm{}_{2} H _{6-2} = {}_{2} H _{4} = {}{}_{{5}} C _{{4}} = 5]

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 10 times 5 = 50]이다.

(ⅱ) [eqn: -1]로 시작하는 경우

[eqn: -1]로 이루어진 블록이 [eqn: 3]개, [eqn: 1]로 이루어진 블록이 [eqn: 2]개이다.

[eqn: -1]이 적힌 카드 [eqn: 6]장을 [eqn: 3]개의 블록에 나누어 넣는 경우의 수는

방정식 [eqn: y_{1} + y_{2} + y_{3} = 6]의 자연수 해의 개수와 같으므로 [eqn: rm{}_{3} H _{3} = 10]

[eqn: 1]이 적힌 카드 [eqn: 6]장을 [eqn: 2]개의 블록에 나누어 넣는 경우의 수는

방정식 [eqn: z_{1} + z_{2} = 6]의 자연수 해의 개수와 같으므로 [eqn: rm{}_{2} H _{4} = 5]

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 10 times 5 = 50]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 경우의 수는 [eqn: 50 + 50 = 100]

따라서 정답은 [eqn: 100]이다.