수학ETF	2026년_고3_3월	기출문제
	1~22
	대수, 미적분

[eqn: 4^{2 over 3} times 2^{- 1 over 3}]의 값은?

③

[eqn: 4^{2 over 3} times 2^{- 1 over 3} = (2^{2})^{2 over 3} times 2^{- 1 over 3} = 2^{4 over 3} times 2^{- 1 over 3} = 2^{{4 over 3} - {1 over 3}} = 2^{1} = 2]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt{2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2 sqrt{2}]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x) = 2x^{2} + x + 2]에 대하여 [eqn: lim_{h rightarrow 0} {f(1+h) - f(1)} over {h}]의 값은?

⑤

[eqn: lim from {h -> 0} {f(1+h) - f(1)} over {h} = f'(1)]이다.

함수 [eqn: f(x) = 2x^{2} + x + 2]에서

[eqn: f'(x) = 4x + 1]이므로

[eqn: f'(1) = 4 times 1 + 1 = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: a_{1} = 2], [eqn: 2a_{2} + a_{7} = 30]
일 때, [eqn: a_{10}]의 값은?

①

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_{1} = 2]이므로 [eqn: a_{2} = 2 + d], [eqn: a_{7} = 2 + 6d]

[eqn: 2a_{2} + a_{7} = 30]에 대입하면

[eqn: 2(2 + d) + (2 + 6d) = 30]에서 [eqn: 8d = 24] ∴ [eqn: d = 3]

따라서 [eqn: a_{10} = a_{1} + 9d = 2 + 9 times 3 = 29]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 29]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 31]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 33]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ax ^{2} -2&``` LEFT ( x<2 RIGHT )#3x&``` LEFT ( x GEQ 2 RIGHT )}}]
가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [eqn: x=2]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim from {x -> 2-} f(x) = lim from {x -> 2+} f(x) = f(2)]

[eqn: lim from {x -> 2-} f(x) = lim from {x -> 2-} (ax^{2}-2) = 4a-2]

[eqn: lim from {x -> 2+} f(x) = f(2) = 3 times 2 = 6]

즉, [eqn: 4a-2=6]에서 [eqn: 4a=8]

∴ [eqn: a=2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=(x+1)(2x^{2}-5x+1)]에 대하여 [eqn: f'(2)]의 값은?

⑤

함수 [eqn: f(x) = (x+1)(2x^{2}-5x+1)]을 전개하면

[eqn: f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 4x + 1]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f'(x) = 6x^{2} - 6x - 4]

[eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: f'(2) = 6 times 2^{2} - 6 times 2 - 4 = 8]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]가
[eqn: log _{`3} `a ^{2} =4], [eqn: log` _{9} `ab= {5} over {2}]
를 만족시킬 때, [eqn: {b} over {a}]의 값은?

④

[eqn: log_{3}a^{2} = 4]에서 로그의 정의에 의해

[eqn: a^{2} = 3^{4} = 81]

[eqn: a]는 양수이므로 [eqn: a = 9]

[eqn: log_{9}ab = {5} over {2}]에서 로그의 정의에 의해

[eqn: ab = 9^{{5} over {2}} = (3^{2})^{{5} over {2}} = 3^{5} = 243]

[eqn: a = 9]를 대입하면 [eqn: 9b = 243]에서 [eqn: b = 27]

∴ [eqn: {b} over {a} = {27} over {9} = 3]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

곡선 [eqn: y = x^{2}]과 [eqn: y]축 및 두 직선 [eqn: y = x - 2], [eqn: x = 2]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

④

주어진 그래프에서 닫힌 구간 [eqn: [0, 2]]에서 곡선 [eqn: y = x^{2}]이 직선 [eqn: y = x - 2]보다 항상 위쪽에 있으므로

구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S = int from {0} to {2} left { x^{2} - (x - 2) right } dx = int from {0} to {2} (x^{2} - x + 2) dx]

[eqn: = left [ {1} over {3} x^{3} - {1} over {2} x^{2} + 2x right ] _{0} ^{2} = {8} over {3} - 2 + 4 = {14} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {11} over {3}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {13} over {3}]

④ [eqn: {14} over {3}]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: cos theta = 4 sin theta]이고 [eqn: sin left ( {pi} over {2} + theta right ) < 0]일 때, [eqn: cos theta]의 값은?

①

[eqn: sin left ( {pi} over {2} + theta right ) = cos theta]이므로 주어진 조건에서

[eqn: cos theta < 0] ……①

[eqn: cos theta = 4 sin theta]에서 [eqn: sin theta = {1} over {4} cos theta]이므로

[eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]에 대입하면

[eqn: rmleft ( {1} over {4} cos theta right )^{2} + cos^{2} theta = 1], [eqn: rm{17} over {16} cos^{2} theta = 1], [eqn: cos^{2} theta = {16} over {17}]

①에 의해 [eqn: cos theta < 0]이므로

[eqn: cos theta = - {4} over {sqrt{17}} = - {4 sqrt{17}} over {17}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: - {4 sqrt{17}} over {17}]	② [eqn: - {sqrt{17}} over {17}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {sqrt{17}} over {17}]	⑤ [eqn: {4 sqrt{17}} over {17}]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 1,`3 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + a]가 최댓값 [eqn: M], 최솟값 [eqn: 4]를 가질 때, [eqn: M]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

③

[eqn: f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + a]에서

[eqn: f'(x) = 6x^{2} - 6x - 12 = 6(x-2)(x+1)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = -1] 또는 [eqn: x = 2]

닫힌구간 [eqn: left [ 1, 3 right ]]에서 [eqn: f'(x) = 0]인 [eqn: x]의 값은 [eqn: x = 2]이다.

[eqn: x=1], [eqn: x=2], [eqn: x=3]에서의 함숫값을 각각 구하면

[eqn: f(1) = a - 13], [eqn: f(2) = a - 20], [eqn: f(3) = a - 9]

이때 [eqn: a - 20 < a - 13 < a - 9]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = 2]에서 최솟값 [eqn: a - 20], [eqn: x = 3]에서 최댓값 [eqn: a - 9]를 갖는다.

최솟값이 [eqn: 4]이므로 [eqn: a - 20 = 4] ∴ [eqn: a = 24]

따라서 최댓값 [eqn: M]은 [eqn: M = a - 9 = 24 - 9 = 15]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

양수 [eqn: k]에 대하여 곡선 [eqn: y=log` _{2} `(x-k)]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 직선 [eqn: y=2]가 곡선 [eqn: y=log` _{2} `(x-k)]와 만나는 점을 [eqn: rmB], [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. [eqn: rmoverline{AB}=overline{AC}]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는?

②

곡선 [eqn: y = log_{2}(x-k)]에 [eqn: y = 0]을 대입하면 [eqn: x = k+1]

따라서 [eqn: rmA(itk+1,0)]이다.

곡선 [eqn: y = log_{2}(x-k)]에 [eqn: y = 2]를 대입하면 [eqn: x = k+4]

따라서 [eqn: rmB(itk+4,2)]이다.

직선 [eqn: y = 2]가 [eqn: y]축과 만나는 점은 [eqn: rmC(0, 2)]이다.

[eqn: rmoverline{AB} = overline{AC}]에서 [eqn: {bar{rmAB}} ^{2} = {bar{rmAC}} ^{2}]이므로

[eqn: (k+4-k-1)^{2} + (2-0)^{2} = (0-k-1)^{2} + (2-0)^{2}]

[eqn: 9 + 4 = (k+1)^{2} + 4], [eqn: (k+1)^{2} = 9]

[eqn: k > 0]이므로 [eqn: k = 2]

따라서 세 점의 좌표는 [eqn: rmA(3, 0)], [eqn: rmB(6, 2)], [eqn: rmC(0, 2)]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmBC]를 밑변으로 하면

밑변의 길이는 [eqn: rmoverline{BC} = 6 - 0 = 6]이고,

높이는 점 [eqn: rmA]와 직선 [eqn: y = 2] 사이의 거리이므로 [eqn: 2]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 6 times 2 = 6]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

시각 [eqn: t=0]일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 시각이 [eqn: t] [eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]일 때 점 [eqn: rmP]의 속도 [eqn: v(t)]가
[eqn: v(t) = 3t^{2} - 24t + 36]
이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. 시각 [eqn: t=1]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 25]이다.

ㄴ. 출발한 후 점 [eqn: rmP]의 운동 방향은 두 번 바뀐다.

ㄷ. 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는 [eqn: 37]이다.

⑤

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치를 [eqn: x(t)]라 하면

[eqn: x(t) = int (3t^{2} - 24t + 36) dt = t^{3} - 12t^{2} + 36t + C] ([eqn: C] 는 적분상수)

시각 [eqn: t=0]일 때 원점을 출발하므로 [eqn: x(0) = 0]에서 [eqn: C = 0]

∴ [eqn: x(t) = t^{3} - 12t^{2} + 36t]

ㄱ. 시각 [eqn: t=1]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치는

[eqn: x(1) = 1 - 12 + 36 = 25] (참)

ㄴ. [eqn: v(t) = 3(t^{2} - 8t + 12) = 3(t-2)(t-6)]

[eqn: v(t) = 0]에서 [eqn: t=2] 또는 [eqn: t=6]

[eqn: t=2], [eqn: t=6]의 좌우에서 [eqn: v(t)]의 부호가 바뀌므로 출발한 후 점 [eqn: P]의 운동 방향은 두 번 바뀐다. (참)

ㄷ. 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: int from {0} to {3} left | v(t) right | dt = int from {0} to {2} v(t) dt - int from {2} to {3} v(t) dt]

[eqn: = left [ t^{3} - 12t^{2} + 36t right ] _{0} ^{2} - left [ t^{3} - 12t^{2} + 36t right ] _{2} ^{3}]

[eqn: = 32 - (27 - 32) = 37] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: a_{1} = 3], [eqn: a_{2} = 10]인 수열 [eqn: left { a_{n} right }]과 모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left { b_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum_{k=1}^{n} {a_{k}} over {b_{k} + 1} = n^{2} + n]
을 만족시킨다. 다음은 [eqn: sum_{n=1}^{5} {a_{n}} over {n}]의 값을 구하는 과정이다.

[eqn: n=1]일 때, [eqn: {a_{1}} over {b_{1} + 1} = 2]에서 [eqn: b_{1} = {1} over {2}]이다.

[eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {a_{n}} over {b_{n} + 1} = sum_{k=1}^{n} {a_{k}} over {b_{k} + 1} - sum_{k=1}^{n-1} {a_{k}} over {b_{k} + 1}]이므로

[eqn: {a _{n}} over {b _{n} +1} =box{```(가)```} TIMES n CDOTS CDOTS ㉠] 이다.

[eqn: n=1]일 때도 [eqn: ㉠]이 성립하므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {a _{n}} over {n} =box{```(가)```} TIMES (b _{n} +1) CDOTS CDOTS ㉡] 이다.

그러므로 등비수열 [eqn: left { b_{n} right }]의 공비는 [eqn: box{```(나)```}]이다.

따라서 [eqn: ㉡]에 의하여 [eqn: sum _{n=1} ^{5} {a _{n}} over {n} =box{```(다)```}]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]이라 할 때, [eqn: p+q+r]의 값은?

①

[eqn: S_{n} = sum_{k=1}^{n} {a_{k}} over {b_{k} + 1} = n^{2} + n]이라 하면

[eqn: n geq 2]일 때

[eqn: {a_{n}} over {b_{n} + 1} = S_{n} - S_{n-1} = (n^{2} + n) - left { (n-1)^{2} + (n-1) right } = 2n]

이므로 [eqn: box{```(가)```}]에 알맞은 수는 [eqn: 2]이다. ∴ [eqn: p = 2]

[eqn: n=1]일 때도 성립하므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {a_{n}} over {n} = 2(b_{n} + 1)]

[eqn: n=2]일 때 [eqn: {a_{2}} over {2} = 2(b_{2} + 1)]이고 [eqn: a_{2} = 10]이므로

[eqn: 5 = 2(b_{2} + 1)]에서 [eqn: b_{2} = {3} over {2}]

등비수열 [eqn: left { b_{n} right }]의 공비를 [eqn: q]라 하면 [eqn: b_{1} = {1} over {2}]이므로

[eqn: q = {b_{2}} over {b_{1}} = { {3} over {2} } over { {1} over {2} } = 3]

이므로 [eqn: box{```(나)```}]에 알맞은 수는 [eqn: 3]이다. ∴ [eqn: q = 3]

[eqn: sum_{n=1}^{5} {a_{n}} over {n} = sum_{n=1}^{5} 2(b_{n} + 1) = 2 sum_{n=1}^{5} b_{n} + sum_{n=1}^{5} 2]

[eqn: = 2 times { {1} over {2} (3^{5} - 1) } over { 3 - 1 } + 2 times 5 = 121 + 10 = 131]

이므로 [eqn: box{```(다)```}]에 알맞은 수는 [eqn: 131]이다. ∴ [eqn: r = 131]

따라서 [eqn: p+q+r = 2+3+131 = 136]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 136]	② [eqn: 137]	③ [eqn: 138]

④ [eqn: 139]	⑤ [eqn: 140]

함수 [eqn: f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 6x - 8]에 대하여 곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 점 [eqn: rmP LEFT ( 1,`-5 RIGHT )]에서의 접선이 곡선 [eqn: y = f(x)]와 만나는 점 중 [eqn: rmP]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 점 [eqn: rmQ]에서의 접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

⑤

[eqn: f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 6x - 8]이라 하면 [eqn: f'(x) = 3x^{2} - 8x + 6]

점 [eqn: rmP(1, -5)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: f'(1) = 1]이므로 접선의 방정식은 [eqn: y = x - 6] ……①

곡선 [eqn: y = f(x)]와 직선 ①이 만나는 점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x^{3} - 4x^{2} + 6x - 8 = x - 6]에서 [eqn: x^{3} - 4x^{2} + 5x - 2 = 0]

이 방정식은 [eqn: x=1]을 중근으로 가지므로 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]

점 [eqn: rmQ]는 점 [eqn: rmP]가 아니므로 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2]이고, ①에 대입하면 [eqn: y = -4]이므로 [eqn: rmQ(2, -4)]

점 [eqn: rmQ]에서의 접선의 기울기는 [eqn: f'(2) = 3 times 4 - 8 times 2 + 6 = 2]이므로 접선의 방정식은 [eqn: y = 2x - 8]

이 접선의 [eqn: x]절편은 [eqn: 4], [eqn: y]절편은 [eqn: -8]이므로

구하는 도형의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 4 times left | -8 right | = 16]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

두 상수 [eqn: a][eqn: LEFT ( a!=0 RIGHT )], [eqn: b]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [0,`2 pi ]]에서 정의된 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{3sinx&``` LEFT ( 0 LEQ x<pi RIGHT )#a`cosx+b&``` LEFT ( pi LEQ x LEQ 2pi RIGHT )}}]
가 있다. [eqn: 0 leq t leq 2pi]인 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x) = f(t)]를 만족시키는 모든 [eqn: x]의 값의 합이 [eqn: {7} over {4} pi]가 되도록 하는 서로 다른 모든 실수 [eqn: t]의 개수가 [eqn: 4]일 때, [eqn: a^{2} + b^{2}]의 값은?

②

[eqn: f(t) = k]라 하면 방정식 [eqn: f(x) = f(t)]는 [eqn: f(x) = k]와 같다.

구간 [eqn: 0 leq x < pi]에서 방정식 [eqn: 3 sin x = k]의 실근의 합을 [eqn: k]의 값에 따라 분류하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: k=0]일 때, [eqn: x=0]이므로 실근의 합은 [eqn: 0]이다.

(ⅱ) [eqn: k=3]일 때, [eqn: x= {pi} over {2}]이므로 실근의 합은 [eqn: {pi} over {2}]이다.

(ⅲ) [eqn: 0 < k < 3]일 때, 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha < beta])라 하면 대칭성에 의해 [eqn: alpha + beta = pi]이므로 실근의 합은 [eqn: pi]이다.

구간 [eqn: pi leq x leq 2 pi]에서 [eqn: a neq 0]이므로 함수 [eqn: y = a cos x + b]는 단조증가하거나 단조감소한다.

따라서 방정식 [eqn: a cos x + b = k]의 실근은 최대 [eqn: 1]개 존재하므로 이 실근을 [eqn: gamma] ([eqn: pi leq gamma leq 2 pi])라 하자.

방정식 [eqn: f(x) = k]의 모든 실근의 합이 [eqn: {7} over {4} pi]가 되기 위한 [eqn: k]의 조건을 확인한다.

[eqn: 0 < k < 3]일 때, 실근의 합은 [eqn: pi + gamma = {7} over {4} pi]에서 [eqn: gamma= {3} over {4} pi]가 되나, 이는 [eqn: pi leq gamma leq 2 pi]를 만족시키지 않으므로 모순이다.

[eqn: k=0]일 때, 실근의 합은 [eqn: 0+ gamma = {7} over {4} pi]에서 [eqn: gamma = {7} over {4} pi]이다.

이때 [eqn: f(x) = 0]을 만족시키는 [eqn: x]는 [eqn: 0], [eqn: {7} over {4} pi]이므로 [eqn: t]의 개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: k=3]일 때, 실근의 합은 [eqn: {c`pi} over {2} +gamma= {7} over {4} pi]에서 [eqn: gamma= {5} over {4} pi]이다.

이때 [eqn: f(x) = 3]을 만족시키는 [eqn: x]는 [eqn: {c} over {2} pi], [eqn: {5} over {4} pi]이므로 [eqn: t]의 개수는 [eqn: 2]이다.

따라서 [eqn: k=0]과 [eqn: k=3]일 때 조건을 만족시키는 서로 다른 모든 실수 [eqn: t]의 개수가 [eqn: 4]가 된다.

[eqn: f LEFT ( {7} over {4} pi RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( {5} over {4} pi RIGHT ) =3]이므로

[eqn: a`cos` LEFT ( {7} over {4} pi RIGHT ) +b=0], [eqn: a`cos` LEFT ( {5} over {4} pi RIGHT ) +b=3]

즉, [eqn: {sqrt {2}} over {2} a+b=0] ……①

[eqn: - {sqrt {2}} over {2} a+b=3] ……②

①, ②를 연립하여 풀면 [eqn: a=- {3 sqrt {2}} over {2}], [eqn: b= {3} over {2}]

∴ [eqn: a ^{2} +b ^{2} = {27} over {4}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {13} over {2}]	② [eqn: {27} over {4}]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: {29} over {4}]	⑤ [eqn: {15} over {2}]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-xf LEFT ( x RIGHT ) -ax ^{2}&``` LEFT ( x LEQ 0 RIGHT )#{1} over {4} f LEFT ( x RIGHT ) -bx ^{2}&``` LEFT ( x>0 RIGHT )}}]
이 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+b]의 값은?

(가) 집합 [eqn: LEFT { x`|`g(x)=-27 RIGHT }]의 원소의 개수는 [eqn: 2]이다.

(나) [eqn: LEFT { x`|`g(x)=-27 RIGHT } SUBSET LEFT { x`|`g prime (x)=0 RIGHT }]

③

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이므로

[eqn: lim from {x -> 0-} g(x) = lim from {x -> 0+} g(x) = g(0)]에서

[eqn: 0 = {1} over {4} f(0)] ∴ [eqn: f(0) = 0]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하므로

[eqn: x < 0]일 때 [eqn: g'(x) = -f(x) - xf'(x) - 2ax]

[eqn: x > 0]일 때 [eqn: g'(x) = {1} over {4} f'(x) - 2bx]

[eqn: lim from {x -> 0-} g'(x) = lim from {x -> 0+} g'(x)]에서

[eqn: -f(0) = {1} over {4} f'(0)] ∴ [eqn: f'(0) = 0]

[eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이므로 [eqn: f(x) = x^{3} + px^{2}] ([eqn: p]는 상수)라 하면

[eqn: g(x) = left { matrix { -x^{4} - px^{3} - ax^{2} & left ( x leq 0 right ) # {1} over {4} x^{3} + left ( {p} over {4} - b right ) x^{2} & left ( x > 0 right ) } right .]

조건 (나)에서 [eqn: g(x) = -27]을 만족하는 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g'(x) = 0]이어야 하므로, 직선 [eqn: y = -27]은 함수 [eqn: y = g(x)]의 그래프에 접해야 한다.

[eqn: x leq 0]에서 [eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 음수인 사차함수이고 [eqn: lim from {x -> -inf} g(x) = -inf]이므로, 방정식 [eqn: g(x) = -27]은 [eqn: x leq 0]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

이때 [eqn: g(x) = -27]이 단순 접점(이중근)을 가지면 다른 곳에서 반드시 교차하게 되어 조건 (나)를 위배하므로, 삼중근을 가져야 한다.

따라서 [eqn: g(x) + 27 = -(x - alpha)^{3} (x - beta)] ([eqn: alpha < 0], [eqn: beta > 0])라 하면

[eqn: g(x)+27][eqn: =-x ^{4} +(3 alpha + beta )x ^{3} -3 alpha ( alpha + beta )x ^{2} + alpha ^{2} ( alpha +3 beta )x- alpha ^{3} beta]

[eqn: x leq 0]일 때 [eqn: g(x) + 27 = -x^{4} - px^{3} - ax^{2} + 27]이므로 계수를 비교하면

[eqn: alpha^{2} ( alpha + 3 beta) = 0]에서 [eqn: alpha = -3 beta]

[eqn: - alpha^{3} beta = 27]에 대입하면 [eqn: 27 beta^{4} = 27] ∴ [eqn: beta = 1], [eqn: alpha = -3]

[eqn: g(x) + 27 = -(x+3)^{3} (x-1) = -x^{4} - 8x^{3} - 18x^{2} + 27]이므로

[eqn: p = 8], [eqn: a = 18]

[eqn: p = 8]을 [eqn: x > 0]일 때의 [eqn: g(x)]에 대입하면

[eqn: g(x) = {1} over {4} x^{3} + (2-b) x^{2}]

조건 (가)에서 [eqn: g(x) = -27]의 실근의 개수가 [eqn: 2]이고 [eqn: x leq 0]에서 [eqn: x = -3]을 근으로 가지므로, [eqn: x > 0]에서 [eqn: g(x) = -27]은 오직 하나의 실근 [eqn: gamma]를 가져야 한다.

조건 (나)에 의해 [eqn: g'(gamma) = 0]이므로 [eqn: x = gamma]에서 극솟값 [eqn: -27]을 갖는다.

[eqn: g'(x) = {3} over {4} x^{2} + 2(2-b) x]에서 [eqn: g'(gamma) = {3} over {4} gamma^{2} + 2(2-b) gamma = 0]이므로 [eqn: 2-b = - {3} over {8} gamma]

[eqn: g(gamma) = {1} over {4} gamma^{3} + (2-b) gamma^{2} = {1} over {4} gamma^{3} - {3} over {8} gamma^{3} = - {1} over {8} gamma^{3} = -27]

[eqn: gamma^{3} = 216] ∴ [eqn: gamma = 6]

[eqn: 2-b = - {3} over {8} times 6 = - {9} over {4}] ∴ [eqn: b = {17} over {4}]

따라서 [eqn: a+b = 18 + {17} over {4} = {89} over {4}]이므로 정답은 ③이다.

① [eqn: {85} over {4}]	② [eqn: {87} over {4}]	③ [eqn: {89} over {4}]

④ [eqn: {91} over {4}]	⑤ [eqn: {93} over {4}]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]은 [eqn: a_{1} = 3]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{n+1} = a_{n}^{2} - 3n]
을 만족시킨다. [eqn: a_{3}]의 값을 구하시오.

[eqn: 30]

주어진 점화식 [eqn: a_{n+1} = a_{n}^{2} - 3n]에 [eqn: n=1]을 대입하면

[eqn: a_{2} = a_{1}^{2} - 3 times 1 = 3^{2} - 3 = 6]

[eqn: n=2]를 대입하면

[eqn: a_{3} = a_{2}^{2} - 3 times 2 = 6^{2} - 6 = 30]

따라서 정답은 [eqn: 30]이다.

함수 [eqn: f(x) = 4x^{3} - 3x^{2} + 2]의 한 부정적분 [eqn: F(x)]에 대하여 [eqn: F(1) = 5]일 때, [eqn: F(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 15]

함수 [eqn: f(x) = 4x^{3} - 3x^{2} + 2]의 한 부정적분 [eqn: F(x)]는

[eqn: F(x) = int (4x^{3} - 3x^{2} + 2) dx = x^{4} - x^{3} + 2x + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: F(1) = 5]이므로 [eqn: 1 - 1 + 2 + C = 5]에서 [eqn: C = 3]

[eqn: F(x) = x^{4} - x^{3} + 2x + 3]이므로

[eqn: F(2) = 16 - 8 + 4 + 3 = 15]

따라서 정답은 [eqn: 15]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmoverline {AB} = 6], [eqn: rmoverline {AC} = 8]이고 [eqn: cos A = - {1} over {4}]일 때, [eqn: rmbarBC` ^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 124]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인 법칙에 의해

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} = {bar{AB}} ^{2} + {bar{AC}} ^{2} -2 TIMES {bar{AB}} TIMES {bar{AC}} TIMES cosA]

주어진 값을 대입하면

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} =6 ^{2} +8 ^{2} -2 TIMES 6 TIMES 8 TIMES LEFT ( - {1} over {4} RIGHT ) =36+64+24=124]

따라서 정답은 [eqn: 124]이다.

함수 [eqn: f(x)=x^{3}-6x^{2}+ax+b]는 [eqn: x=1]에서 극대이다. 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값이 [eqn: 5]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

[eqn: 14]

[eqn: f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b]에서 [eqn: f'(x) = 3x^{2} - 12x + a]

[eqn: x=1]에서 극대이므로 [eqn: f'(1) = 0]에서

[eqn: 3 - 12 + a = 0] ∴ [eqn: a = 9]

[eqn: f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)]이므로

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = 1] 또는 [eqn: x = 3]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=3]에서 극소이고 이때의 함숫값이 [eqn: 5]이므로

[eqn: f(3) = 27 - 54 + 27 + b = 5] ∴ [eqn: b = 5]

따라서 [eqn: a+b = 9+5 = 14]

따라서 정답은 [eqn: 14]이다.

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n} = {cases{n&``` LEFT ( n이``5의``배수가``아닌``경우 RIGHT )#-4n+10&``` LEFT ( n이``5의``배수인``경우 RIGHT )}}]
일 때, [eqn: 20 leq sum_{k=1}^{m} a_{k} < 30]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 67]

[eqn: S_{m} = sum from {k=1} to {m} a_{k}]라 하자.

자연수 [eqn: k]에 대하여 연속된 [eqn: 5]개 항의 합을 구하면

[eqn: a _{5k-4} +a _{5k-3} +a _{5k-2} +a _{5k-1} +a _{5k}][eqn: =(5k-4)+(5k-3)+(5k-2)+(5k-1)+(-20k+10)=0]이므로 [eqn: S_{5k} = 0]이다.

[eqn: 0] 이상의 정수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: m]을 [eqn: 5]로 나눈 나머지에 따라 경우를 나누면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: m = 5k+1]일 때

[eqn: S_{5k+1} = S_{5k} + a_{5k+1} = 5k+1]

[eqn: 20 leq 5k+1 < 30]에서 [eqn: 19 leq 5k < 29]

이를 만족시키는 정수 [eqn: k]는 [eqn: 4], [eqn: 5]이므로 [eqn: m = 21], [eqn: 26]

(ⅱ) [eqn: m = 5k+2]일 때

[eqn: S_{5k+2} = S_{5k+1} + a_{5k+2} = (5k+1) + (5k+2) = 10k+3]

[eqn: 20 leq 10k+3 < 30]에서 [eqn: 17 leq 10k < 27]

이를 만족시키는 정수 [eqn: k]는 [eqn: 2]이므로 [eqn: m = 12]

(ⅲ) [eqn: m = 5k+3]일 때

[eqn: S_{5k+3} = S_{5k+2} + a_{5k+3} = (10k+3) + (5k+3) = 15k+6]

[eqn: 20 leq 15k+6 < 30]에서 [eqn: 14 leq 15k < 24]

이를 만족시키는 정수 [eqn: k]는 [eqn: 1]이므로 [eqn: m = 8]

(ⅳ) [eqn: m = 5k+4]일 때

[eqn: S_{5k+4} = S_{5k+3} + a_{5k+4} = (15k+6) + (5k+4) = 20k+10]

[eqn: 20 leq 20k+10 < 30]에서 [eqn: 10 leq 20k < 20]

이를 만족시키는 정수 [eqn: k]는 존재하지 않는다.

(ⅴ) [eqn: m = 5k] ([eqn: k]는 자연수)일 때

[eqn: S_{5k} = 0]이므로 주어진 부등식을 만족시키지 않는다.

(ⅰ) ~ (ⅴ)에서 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: m]의 값은 [eqn: 8], [eqn: 12], [eqn: 21], [eqn: 26]이다.

따라서 정답은 [eqn: 67]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f(0)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수
[eqn: g(x) = int_{0}^{x} (f(t) - left | f(t) right |) dt]
가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(4)]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: x geq k]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: g'(x)=0]을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 최솟값이 [eqn: 2]이다.

(나) [eqn: g(2)=-8]

[eqn: 48]

[eqn: g(x) = int_{0}^{x} (f(t) - left | f(t) right |) dt]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g'(x) = f(x) - left | f(x) right |]

[eqn: f(x) geq 0]이면 [eqn: g'(x) = 0]이고, [eqn: f(x) < 0]이면 [eqn: g'(x) = 2f(x)]이다.

조건 (가)에서 [eqn: x geq k]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g'(x)=0]을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 최솟값이 [eqn: 2]이므로

[eqn: x geq 2]일 때 [eqn: f(x) geq 0]이고, [eqn: x=2]의 좌극한 부근에서는 [eqn: f(x) < 0]이어야 한다.

따라서 [eqn: f(2)=0]이다.

[eqn: f(0)=0], [eqn: f(2)=0]이고 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(x) = x(x-2)(x- alpha)]라 하면 [eqn: x geq 2]에서 [eqn: f(x) geq 0]이려면 [eqn: alpha leq 2]이어야 한다.

만약 [eqn: alpha=2]이면 [eqn: f(x)=x(x-2)^{2}]이 되어 [eqn: x geq 0]에서 [eqn: f(x) geq 0]이므로 [eqn: k]의 최솟값이 [eqn: 0]이 되어 모순이므로 [eqn: alpha < 2]이다.

[eqn: alpha leq 0]인 경우를 가정하면 [eqn: 0 < x < 2]에서 [eqn: f(x) < 0]이므로 조건 (나)에서 [eqn: int_{0}^{2} (t^{3} - (2+ alpha)t^{2} + 2 alpha t) dt = -4]

[eqn: left [ {1} over {4} t^{4} - {2+ alpha} over {3} t^{3} + alpha t^{2} right ]_{0}^{2} = 4 - {8(2+ alpha)} over {3} + 4 alpha = -4]에서 [eqn: 4 alpha = -8] ∴ [eqn: alpha = -2]

이는 [eqn: alpha leq 0]을 만족하므로 [eqn: f(x) = x(x-2)(x+2)]이다.

[eqn: f(4) = 4 times 2 times 6 = 48]

따라서 정답은 [eqn: 48]이다.

자연수 [eqn: k]에 대하여 두 함수
[eqn: f(x) = 2^{x}], [eqn: g(x) = 2 times 4^{x} + left ( {1} over {2} right )^{k}]
이 있다. 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: x = t]가 두 곡선 [eqn: y = f(x)], [eqn: y = g(x)]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 사이의 거리가 [eqn: {1} over {5}]이 되도록 하는 실수 [eqn: t]의 개수가 [eqn: 2]이고 이 두 실수의 합을 [eqn: p]라 할 때, [eqn: k times left ( {1} over {2} right )^{p}]의 값을 구하시오.

[eqn: 80]

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 사이의 거리가 [eqn: {1} over {5}]이므로

[eqn: left | 2 times 4^{t} + left ( {1} over {2} right )^{k} - 2^{t} right | = {1} over {5}]

[eqn: X = 2^{t}] ([eqn: X > 0])이라 하면 [eqn: left | 2X^{2} - X + 2^{-k} right | = {1} over {5}]

절댓값을 풀면 다음 두 방정식으로 나눌 수 있다.

[eqn: 2X^{2} - X + 2^{-k} - {1} over {5} = 0] ……①

[eqn: 2X^{2} - X + 2^{-k} + {1} over {5} = 0] ……②

방정식 ②의 판별식을 [eqn: D_{2}]라 하면

[eqn: D_{2} = (-1)^{2} - 4 times 2 times left ( 2^{-k} + {1} over {5} right ) = - {3} over {5} - 8 times 2^{-k}]

자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 2^{-k} > 0]이므로 [eqn: D_{2} < 0]이다.

따라서 방정식 ②는 실근을 갖지 않는다.

실수 [eqn: t]가 [eqn: 2]개 존재하려면 방정식 ①이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다.

방정식 ①의 판별식을 [eqn: D_{1}]이라 하면

[eqn: D_{1} = (-1)^{2} - 4 times 2 times left ( 2^{-k} - {1} over {5} right ) = {13} over {5} - 8 times 2^{-k} > 0]에서 [eqn: 2^{-k} < {13} over {40}]

두 근의 합은 [eqn: {1} over {2} > 0]으로 항상 성립하고, 두 근의 곱은 [eqn: {2^{-k} - {1} over {5}} over {2} > 0]에서 [eqn: 2^{-k} > {1} over {5}]

∴ [eqn: {1} over {5} < 2^{-k} < {13} over {40}]

이를 만족하는 자연수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 2]이다.

[eqn: k = 2]를 ①에 대입하면 [eqn: 2X^{2} - X + {1} over {20} = 0]

이 이차방정식의 두 근을 [eqn: X_{1}], [eqn: X_{2}]라 하면 근과 계수의 관계에서 [eqn: X_{1} X_{2} = {1} over {40}]

[eqn: X_{1} = 2^{t_{1}}], [eqn: X_{2} = 2^{t_{2}}]라 하면 [eqn: X_{1} X_{2} = 2^{t_{1}} times 2^{t_{2}} = 2^{t_{1} + t_{2}} = 2^{p}]이므로 [eqn: 2^{p} = {1} over {40}] ∴ [eqn: left ( {1} over {2} right )^{p} = 40]

따라서 정답은 [eqn: 80]이다.

포물선 [eqn: y^{2} = 20x]의 준선이 [eqn: x = k]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

①

포물선의 방정식 [eqn: y^{2} = 20x]를 [eqn: y^{2} = 4px] 꼴로 나타내면

[eqn: y^{2} = 4 times 5 times x]이므로 [eqn: p = 5]

포물선 [eqn: y^{2} = 20x]의 준선의 방정식은 [eqn: x = -5]이므로

[eqn: k = -5]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

타원 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} + {y^{2}} over {25} = 1]의 단축의 길이가 [eqn: 6]일 때, 이 타원의 두 초점 사이의 거리는? (단, [eqn: a]는 양수이다.)

③

타원의 방정식 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} + {y^{2}} over {25} = 1]에서 [eqn: y^{2}]의 분모가 [eqn: 25]이므로 [eqn: b^{2} = 25]에서 [eqn: b = 5]이다.

만약 [eqn: y]축이 단축이라면 단축의 길이는 [eqn: 2b = 10]이 되어 조건에 맞지 않으므로 단축은 [eqn: x]축 위에 있다.

단축의 길이가 [eqn: 6]이므로 [eqn: 2a = 6]에서 [eqn: a = 3]이다.

타원의 두 초점의 좌표를 [eqn: (0, c)], [eqn: (0, -c)] ([eqn: c > 0])라 하면

[eqn: c^{2} = 25 - a^{2} = 25 - 9 = 16]에서 [eqn: c = 4]이다.

두 초점 사이의 거리는 [eqn: 2c]이므로 [eqn: 2 times 4 = 8]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {5a^{2}} - {y^{2}} over {a^{2}+1} = 1]의 한 점근선의 방정식이 [eqn: y = - {1} over {2} x]일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? (단, [eqn: a]는 양수이다.)

②

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {5a^{2}} - {y^{2}} over {a^{2}+1} = 1]의 점근선의 방정식은 [eqn: y = +- {sqrt{a^{2}+1}} over {sqrt{5a^{2}}} x]

한 점근선의 방정식이 [eqn: y = - {1} over {2} x]이므로 [eqn: {sqrt{a^{2}+1}} over {sqrt{5a^{2}}} = {1} over {2}]

양변을 제곱하면 [eqn: {a^{2}+1} over {5a^{2}} = {1} over {4}]에서 [eqn: 4a^{2}+4 = 5a^{2}], [eqn: a^{2} = 4]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = 2]

따라서 쌍곡선의 주축의 길이는 [eqn: 2 sqrt{5a^{2}} = 2 sqrt{5 times 4} = 4 sqrt{5}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 2 sqrt{5}]	② [eqn: 4 sqrt{5}]	③ [eqn: 6 sqrt{5}]

④ [eqn: 8 sqrt{5}]	⑤ [eqn: 10 sqrt{5}]

포물선 [eqn: y^{2} = 4px]([eqn: p > 0])의 초점을 지나고 기울기가 [eqn: {4} over {3}]인 직선이 이 포물선과 만나는 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rmP]와 이 포물선의 준선 사이의 거리가 [eqn: 20]일 때, [eqn: p]의 값은?

④

포물선 [eqn: y^{2} = 4px]의 초점을 [eqn: rmF], 준선을 [eqn: l]이라 하면

[eqn: rmF(itp,0)], [eqn: l : x = -p]이다.

점 [eqn: rmP]와 준선 [eqn: l] 사이의 거리가 [eqn: 20]이므로 포물선의 정의에 의해 [eqn: rmoverline{PF} = 20]

직선의 기울기가 [eqn: {4} over {3}]이므로 직선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: tan theta = {4} over {3}]

점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 1]사분면에 있으므로 [eqn: 0 < theta < {pi} over {2}]에서

[eqn: cos theta = {3} over {5}], [eqn: sin theta = {4} over {5}]

점 [eqn: rmP]는 초점 [eqn: rmF LEFT ( itp,`0 RIGHT )]에서 직선을 따라 거리 [eqn: 20]만큼 이동한 점이므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: left ( p + 20 cos theta, 20 sin theta right )]

즉, [eqn: rmP(p+12, 16)]

점 [eqn: rmP]와 준선 [eqn: x = -p] 사이의 거리가 [eqn: 20]이므로

[eqn: (p+12) - (-p) = 20]에서 [eqn: 2p = 8] ∴ [eqn: p = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( -itc,`0 RIGHT )] [eqn: (c>0)]을 초점으로 하고 장축의 길이가 [eqn: 8]인 타원이 있다. 점 [eqn: rmF]를 지나고 기울기가 양수인 직선이 이 타원과 만나는 점 중 [eqn: y]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmP], [eqn: y]좌표가 음수인 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmoverline{FP} : overline{FQ} = 1 : 2], [eqn: rmoverline{F'P} : overline{F'Q} = 3 : 2]일 때, [eqn: c]의 값은?

⑤

조건 [eqn: rmoverline{FP} : overline{FQ} = 1 : 2]에서 [eqn: {bar{rmFP}} =itk], [eqn: {bar{rmFQ}} =it2k] ([eqn: k>0])라 하면

타원의 장축의 길이가 [eqn: 8]이므로 타원의 정의에 의해

[eqn: rmoverline{F'P} + overline{FP} = 8]에서 [eqn: {bar{rmF prime P}} =it8-k]

[eqn: rmoverline{F'Q} + overline{FQ} = 8]에서 [eqn: {bar{rmF prime Q}} =it8-2k]

조건 [eqn: rmoverline{F'P} : overline{F'Q} = 3 : 2]이므로

[eqn: (8 - k) : (8 - 2k) = 3 : 2]

[eqn: 24 - 6k = 16 - 2k]에서 [eqn: 4k = 8] ∴ [eqn: k = 2]

따라서 [eqn: rmoverline{FP} = 2], [eqn: rmoverline{FQ} = 4], [eqn: rmoverline{F'P} = 6], [eqn: rmoverline{F'Q} = 4]이다.

[eqn: rmangle F'FP = theta]라 하면 [eqn: rmangle F'FQ = pi - theta]이고 [eqn: {bar{rmF prime F}} =it2c]이므로

[eqn: rmtriangle F'FP]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: 6^{2} = (2c)^{2} + 2^{2} - 2 times 2c times 2 times cos theta]

[eqn: 36 = 4c^{2} + 4 - 8c cos theta] ……①

[eqn: rmtriangle F'FQ]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: 4^{2} = (2c)^{2} + 4^{2} - 2 times 2c times 4 times cos ( pi - theta )]

[eqn: 16 = 4c^{2} + 16 + 16c cos theta]

[eqn: 16c cos theta = -4c^{2}]에서 [eqn: c>0]이므로 [eqn: cos theta = - {c} over {4}]

이를 ①에 대입하면

[eqn: 36 = 4c^{2} + 4 - 8c times left ( - {c} over {4} right )]

[eqn: 36 = 4c^{2} + 4 + 2c^{2}]에서 [eqn: 6c^{2} = 32]

[eqn: c^{2} = {16} over {3}]이고 [eqn: c>0]이므로 [eqn: c = {4 sqrt{3}} over {3}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {2 sqrt{3}} over {3}]	② [eqn: {5 sqrt{3}} over {6}]	③ [eqn: sqrt{3}]

④ [eqn: {7 sqrt{3}} over {6}]	⑤ [eqn: {4 sqrt{3}} over {3}]

그림과 같이 두 점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( it-c,`0 RIGHT )] ([eqn: c>0])을 초점으로 하는 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위의 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmF'P]가 이 쌍곡선과 만나는 점 중 [eqn: rmP]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하고, 점 [eqn: rmP]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmQ]를 지나는 원을 [eqn: C] 라 하자. 원 [eqn: C] 가 [eqn: x]축과 점 [eqn: rmF]에서 접하고 [eqn: rmoverline{PQ} + overline{FQ} = 1]일 때, 원 [eqn: C] 의 반지름의 길이는?

③

원 [eqn: C] 의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 하자.

원 [eqn: C] 가 [eqn: x]축과 점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )]에서 접하므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (c, r)]이고 [eqn: {bar{rmPF}} it=r], [eqn: {bar{rmPQ}} =itr]이다.

삼각형 [eqn: rmF'FP]는 [eqn: angle F = 90^{circ}]인 직각삼각형이다.

조건에서 [eqn: rmoverline{PQ} + overline{FQ} = 1]이므로 [eqn: {bar{rmFQ}} =it1-r]이다.

쌍곡선의 정의에 의해 두 초점까지의 거리의 차는 일정하므로 [eqn: rmoverline{F'P} - overline{PF} = overline{FQ} - overline{F'Q}]

[eqn: rm {bar{F prime P}} = {bar{F prime Q}} + {bar{PQ}} = {bar{F prime Q}} +itr]이므로

[eqn: ( {bar{rmF prime Q}} +itr)-r=(1-r)- {bar{rmF prime Q}}]에서 [eqn: 2 {bar{rmF prime Q}} =it1-r]

∴ [eqn: {bar{rmF prime Q}} =it {1-r} over {2}]

[eqn: {bar{rm F prime P it}} = {bar{rmF prime Q}} + it r= {1+r} over {2}]

직각삼각형 [eqn: rmF'FP]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: {bar{rmF prime P}} ^{2} = {bar{rmF prime F}} ^{2} + {bar{rmPF}} ^{2}]

[eqn: left ( {1 + r} over {2} right )^{2} = (2c)^{2} + r^{2}], [eqn: 1 + 2r + r^{2} = 16c^{2} + 4r^{2}]

∴ [eqn: 16c^{2} = 1 + 2r - 3r^{2} = (1 - r)(1 + 3r)] ……①

점 [eqn: rmQ]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 직각삼각형 [eqn: rmF'QH]와 직각삼각형 [eqn: rmF'PF]는 [eqn: rmangle F']을 공유하므로 AA 닮음이다.

닮음비는 [eqn: rm {bar{F prime Q}} : {bar{F prime P}} =it {1-r} over {2} : {1+r} over {2} =(1-r):(1+r)]이므로

[eqn: rm {bar{QH}} = {bar{PF}} TIMES it {1-r} over {1+r} = {r(1-r)} over {1+r}]

[eqn: rm {bar{F prime H}} = {bar{F prime F}} TIMES it {1-r} over {1+r} = {2c(1-r)} over {1+r}]

[eqn: rm {bar{FH}} = {bar{F prime F}} - {bar{F prime H}} it=2c- {2c(1-r)} over {1+r} = {4cr} over {1+r}]

직각삼각형 [eqn: rmFQH]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{FQ}} ^{2} = {bar{FH}} ^{2} + {bar{QH}} ^{2}]

[eqn: (1 - r)^{2} = left ( {4cr} over {1 + r} right )^{2} + left ( {r(1 - r)} over {1 + r} right )^{2}]

양변에 [eqn: (1 + r)^{2}]을 곱하면

[eqn: (1 - r)^{2}(1 + r)^{2} = 16c^{2}r^{2} + r^{2}(1 - r)^{2}]

[eqn: r > 0]이고 [eqn: rm {bar{FQ}} =it1-r>0]에서 [eqn: 0 < r < 1]이므로 양변을 [eqn: (1 - r)]로 나눌 수 있다.

①을 대입하면

[eqn: (1 - r)^{2}(1 + r)^{2} = (1 - r)(1 + 3r)r^{2} + r^{2}(1 - r)^{2}]

양변을 [eqn: 1 - r]로 나누면

[eqn: (1 - r)(1 + r)^{2} = (1 + 3r)r^{2} + r^{2}(1 - r)]에서

[eqn: 1 + r - r^{2} - r^{3} = 2r^{2} + 2r^{3}]

[eqn: 3r^{3} + 3r^{2} - r - 1 = 0]

[eqn: 3r^{2}(r + 1) - (r + 1) = 0]

[eqn: (3r^{2} - 1)(r + 1) = 0]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: r = {sqrt{3}} over {3}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {3 sqrt{3}} over {10}]	② [eqn: {2 sqrt{2}} over {5}]	③ [eqn: {sqrt{3}} over {3}]

④ [eqn: {5 sqrt{2}} over {12}]	⑤ [eqn: {3 sqrt{2}} over {7}]

초점이 [eqn: rmF LEFT ( itp,`0 RIGHT )] [eqn: LEFT ( p>0 RIGHT )]이고 준선이 [eqn: x=-p]인 포물선과 점 [eqn: rmF]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: r] [eqn: LEFT ( r>p RIGHT )]인 원 [eqn: C] 가 있다. 원 [eqn: C] 가 [eqn: x]축과 만나는 점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmA]라 하고, 원 [eqn: C] 가 이 포물선과 만나는 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rmP]에서 이 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. [eqn: rmcos(angle PHF)={sqrt{3}} over {3}]이고 사각형 [eqn: rmAPHF]의 넓이가 [eqn: 54sqrt{2}]일 때, [eqn: p+r]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

포물선의 정의에 의해 [eqn: rmbarPF`=rmbarPH]이다.

점 [eqn: rmP]는 원 [eqn: C] 위의 점이므로 [eqn: rmbarPF`=itr]에서 [eqn: rmbarPH`=itr]이다.

점 [eqn: rmH]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -p]이므로 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: r-p]이다.

포물선의 방정식 [eqn: y^{2} = 4px]에 [eqn: x = r-p]를 대입하면 [eqn: y^{2} = 4p(r-p)]이고, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면의 점이므로 [eqn: y = 2sqrt{p(r-p)}]이다.

즉, [eqn: rmP(itr-p,2 sqrt {p(r-p)} )], [eqn: rmH(it-p,2 sqrt {p(r-p)} )]이다.

점 [eqn: rmH]와 점 [eqn: rmF(itp,0)] 사이의 거리는

[eqn: rm {bar{HF}} `= it sqrt {(p-(-p)) ^{2} +(0-2 sqrt {p(r-p)} ) ^{2}}][eqn: = sqrt {4p ^{2} +4p(r-p)} =2 sqrt {pr}]

삼각형 [eqn: rmPHF]는 [eqn: rmbarPH`=rmbarPF`=itr]인 이등변삼각형이므로 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmHF]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: rmM]은 선분 [eqn: rmHF]의 중점이다.

[eqn: rmbarHM`= {1} over {2} rmbarHF`=it sqrt {pr}]이므로 직각삼각형 [eqn: rmPHM]에서

[eqn: rmcos( ANGLE PHF)= {HM} over {PH} =it {sqrt {pr}} over {r} = sqrt {{p} over {r}}]

주어진 조건에서 [eqn: rmcos(angle PHF) = {sqrt{3}} over {3}]이므로 [eqn: sqrt{{p} over {r}} = {1} over {sqrt{3}}] ∴ [eqn: r = 3p]

[eqn: r = 3p]를 대입하면 [eqn: rmP(it2p,2 sqrt {2} p)], [eqn: rmH(it-p,2 sqrt {2} p)], [eqn: rmF(itp,0)]이고, 점 [eqn: rmA]는 원 [eqn: C] 와 [eqn: x]축의 교점이므로 [eqn: rm A(itp+r,0)]에서 [eqn: rmA(it4p,0)]이다.

사각형 [eqn: rmAPHF]에서 선분 [eqn: rmHP]와 선분 [eqn: rmFA]는 모두 [eqn: x]축에 평행하고 [eqn: rm {bar{HP}} `=3itp], [eqn: rmbarFA`=it3p]로 길이가 같으므로 사각형 [eqn: rmAPHF]는 평행사변형이다.

평행사변형 [eqn: rmAPHF]의 넓이는 밑변의 길이가 [eqn: 3p], 높이가 [eqn: 2sqrt{2}p]이므로 [eqn: 3p times 2sqrt{2}p = 6sqrt{2}p^{2}]

주어진 조건에서 사각형 [eqn: rmAPHF]의 넓이가 [eqn: 54sqrt{2}]이므로

[eqn: 6sqrt{2}p^{2} = 54sqrt{2}]에서 [eqn: p^{2} = 9]

[eqn: p > 0]이므로 [eqn: p = 3]이고 [eqn: r = 3p = 9]이다.

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

그림과 같이 두 점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( it-c,`0 RIGHT )] ([eqn: c>0])을 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {2a^{2}} = 1]이 있다. 이 쌍곡선의 꼭짓점 중 [eqn: x]좌표가 음수인 점을 [eqn: rmA]라 하고, 점 [eqn: rmF']을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제[eqn: 2]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmPF]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmF]를 초점으로 하고 점 [eqn: rmH]를 지나는 타원이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제[eqn: 4]사분면에 있는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmoverline{AQ} + overline{F'Q} = 6 + 8 sqrt{3}] 일 때, 이 타원의 장축의 길이는 [eqn: p + q sqrt{3}] 이다. [eqn: p^{2} + q^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 양수이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수이다.)

[eqn: 52]

쌍곡선의 방정식에서 [eqn: c^{2} = a^{2} + 2a^{2} = 3a^{2}]이므로 [eqn: c = sqrt{3}a] ([eqn: c>0])

[eqn: rm F( sqrt {3} ita,0)], [eqn: rm F prime (- sqrt {3} ita,0)], [eqn: rm A(-ita,0)]이다.

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -sqrt{3}a]이므로 쌍곡선의 방정식에 대입하면

[eqn: {(-sqrt{3}a)^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {2a^{2}} = 1]에서 [eqn: y^{2} = 4a^{2}]

점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 2]사분면의 점이므로 [eqn: rmP(it- sqrt {3} a,2a)]

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmF]를 지나는 직선 [eqn: rmPF]의 방정식은 [eqn: x + sqrt{3}y - sqrt{3}a = 0]

점 [eqn: rmA LEFT ( it-a,`0 RIGHT )]에서 직선 [eqn: rmPF]에 내린 수선의 발이 [eqn: rmH]이므로 점과 직선 사이의 거리에 의해

[eqn: rm {bar{AH}} =it {LEFT | -a- sqrt {3} a RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +( sqrt {3} ) ^{2}}} = {(1+ sqrt {3} )a} over {2}]

직각삼각형 [eqn: rmAHF]에서 [eqn: {bar{rmAF}} =it sqrt {3} a-(-a)=( sqrt {3} +1)a]이므로 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{FH}} = sqrt {{bar{AF ^{2}}} - {bar{AH ^{2}}}}]

[eqn: = it sqrt {( sqrt {3} +1) ^{2} a ^{2} - {(1+ sqrt {3} ) ^{2} a ^{2}} over {4}} = {(3+ sqrt {3} )a} over {2}]

타원의 두 초점이 [eqn: rmA], [eqn: rmF]이고 점 [eqn: rmH]를 지나므로 타원의 정의에 의해 장축의 길이는

[eqn: rm {bar{AH}} + {bar{FH}} =it {(1+ sqrt {3} )a} over {2} + {(3+ sqrt {3} )a} over {2} =(2+ sqrt {3} )a]

점 [eqn: rmQ]는 타원 위의 점이므로 [eqn: rm {bar{AQ}} + {bar{FQ}} =(2+ sqrt {3} )ita] ……①

점 [eqn: rmQ]는 쌍곡선의 오른쪽 갈래 위의 점이므로 쌍곡선의 정의에 의해 [eqn: rm {bar{F prime Q}} - {bar{FQ}} =2ita] ……②

①, ②를 더하면 [eqn: rm {bar{AQ}} + {bar{F prime Q}} =(4+ sqrt {3} )ita]

주어진 조건에서 [eqn: rmoverline{AQ} + overline{F'Q} = 6 + 8sqrt{3}]이므로

[eqn: (4+sqrt{3})a = 6 + 8sqrt{3}]

[eqn: a = {6 + 8sqrt{3}} over {4+sqrt{3}} = {(6+8sqrt{3})(4-sqrt{3})} over {16-3} = {26sqrt{3}} over {13} = 2sqrt{3}]

따라서 타원의 장축의 길이는 [eqn: (2+sqrt{3}) times 2sqrt{3} = 6 + 4sqrt{3}]

[eqn: p=6], [eqn: q=4]이므로 [eqn: p^{2} + q^{2} = 36 + 16 = 52]

따라서 정답은 [eqn: 52]이다.