수학ETF	2026_고2_3월	기출문제
	1~30

두 다항식
[eqn: A = 2 x^{2} + 3 x - 1 , B = - x^{2} - 2 x + 3]
에 대하여 [eqn: A + B]를 간단히 하면?

[eqn: A + B = ( 2 x^{2} + 3 x - 1 ) + ( - x^{2} - 2 x + 3 )]

[eqn: = ( 2 - 1 ) x^{2} + ( 3 - 2 ) x + ( - 1 + 3 )][eqn: = x^{2} + x + 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: x^{2} + x - 4]	② [eqn: x^{2} + x + 2]	③ [eqn: x^{2} + 5 x + 2]

④ [eqn: 3 x^{2} + x + 2]	⑤ [eqn: 3 x^{2} + 5 x]

[eqn: LEFT ( 2 + i RIGHT )LEFT ( 2 - i RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: i = sqrt { - 1 }])

[eqn: LEFT ( 2 + i RIGHT ) LEFT ( 2 - i RIGHT ) = 2^{2} - i^{2}]

[eqn: i^{2} = - 1]이므로 [eqn: 2^{2} - i^{2} = 4 - LEFT ( - 1 RIGHT ) = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: rm{}_{6} P_{2}]의 값은?

[eqn: rm{}_{6} P_{2} = 6 TIMES 5][eqn: = 30]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 36]

그림은 함수 [eqn: f : X -> X]를 나타낸 것이다. [eqn: f^{-1} ( 5 )]의 값은?

[eqn: f^{-1}(5) = a]라 하면 역함수의 정의에 의해 [eqn: f(a) = 5]이다.

주어진 그림에서 [eqn: f(3) = 5]이므로 [eqn: a = 3]이다.

따라서 [eqn: f^{-1}(5) = 3]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

좌표평면 위의 점 [eqn: LEFT ( 3 , 1 RIGHT )]을 지나고 직선 [eqn: y = {1} over {3} x - 1]에 수직인 직선의 [eqn: y]절편은?

직선 [eqn: y = {1} over {3} x - 1]의 기울기는 [eqn: {1} over {3}]이다.

이 직선과 수직인 직선의 기울기를 [eqn: m]이라 하면 [eqn: {1} over {3} TIMES m = -1]이므로 [eqn: m = -3]이다.

점 [eqn: LEFT ( 3 , 1 RIGHT )]을 지나고 기울기가 [eqn: -3]인 직선의 방정식은

[eqn: y - 1 = -3 LEFT ( x - 3 RIGHT )], [eqn: y = -3x + 10]

따라서 구하는 직선의 [eqn: y]절편은 [eqn: 10]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

이차정사각행렬 [eqn: A]의 [eqn: (i, j)]성분 [eqn: a_{i j}]가
[eqn: a _{ij} =i+j``(i=1,2,j=1,2)]
일 때, 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은?

[eqn: a_{1 1} = 1 + 1 = 2], [eqn: a_{1 2} = 1 + 2 = 3]

[eqn: a_{2 1} = 2 + 1 = 3], [eqn: a_{2 2} = 2 + 2 = 4]

행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 [eqn: 2 + 3 + 3 + 4 = 12]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

삼차방정식 [eqn: x^{3} - 7 x + 6 = 0]의 모든 양의 실근의 합은?

[eqn: f(x) = x^{3} - 7 x + 6]이라 하면

[eqn: f(1) = 1 - 7 + 6 = 0]이므로 조립제법을 이용하면

[eqn: x^{3} - 7 x + 6 = ( x - 1 ) ( x^{2} + x - 6 ) = 0]

[eqn: ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x + 3 ) = 0]

[eqn: x = 1]또는 [eqn: x = 2]또는 [eqn: x = -3]

양의 실근은 [eqn: x = 1], [eqn: x = 2]이므로

모든 양의 실근의 합은 [eqn: 1 + 2 = 3]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[eqn: 3 le x le 5]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {a} over {x-1} +b] [eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]의 최댓값이 [eqn: 5], 최솟값이 [eqn: 4]일 때, 두 상수 [eqn: a, b]에 대하여 [eqn: a + b]의 값은?

[eqn: a > 0]이므로 함수 [eqn: f(x) = {a} over {x - 1} + b]는 [eqn: 3 le x le 5]에서 감소한다.

따라서 [eqn: x = 3]일 때 최댓값, [eqn: x = 5]일 때 최솟값을 갖는다.

[eqn: f(3) = {a} over {3 - 1} + b = {a} over {2} + b = 5]

[eqn: f(5) = {a} over {5 - 1} + b = {a} over {4} + b = 4]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: {a} over {2} - {a} over {4} = 5 - 4], [eqn: {a} over {4} = 1], [eqn: a = 4], [eqn: b = 3], [eqn: a + b = 4 + 3 = 7]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x + 1]로 나눈 나머지는 [eqn: 3]이고, [eqn: x - 2]로 나눈 나머지는 [eqn: -3]이다. 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: (x + 1)(x - 2)]로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(3)]의 값은?

나머지정리에 의하여 [eqn: P(-1) = 3], [eqn: P(2) = -3]

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: 2]차식 [eqn: (x + 1)(x - 2)]로 나눈 나머지 [eqn: R(x)]는 [eqn: 1]차 이하의 다항식이므로 [eqn: R(x) = ax + b] (단, [eqn: a, b]는 상수)라 하면

[eqn: P(x) = (x + 1)(x - 2)Q(x) + ax + b]

양변에 [eqn: x = -1], [eqn: x = 2]를 각각 대입하면

[eqn: P(-1) = -a + b = 3], [eqn: P(2) = 2a + b = -3]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a = -2], [eqn: b = 1]

따라서 [eqn: R(x) = -2x + 1]이므로 [eqn: R(3) = -2 TIMES 3 + 1 = -5]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: -11]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -3]

양수 [eqn: k]에 대하여 두 행렬 [eqn: A, B]를 각각
[eqn: A = pmatrix{ 1 & 3 # k & 5 }], [eqn: B = pmatrix{ k & 1 # -2 & 4 }]
라 하자. [eqn: AB = pmatrix{ a &13 # -1 & b }]일 때, 두 상수 [eqn: a, b]에 대하여 [eqn: a + b]의 값은?

[eqn: AB = left ( matrix { 1 & 3 # k & 5 } right ) left ( matrix { k & 1 # -2 & 4 } right ) = left ( matrix { k - 6 & 13 # k^{2} - 10 & k + 20 } right )]

[eqn: left ( matrix { k - 6 & 13 # k^{2} - 10 & k + 20 } right ) = left ( matrix { a & 13 # -1 & b } right )]

행렬이 서로 같을 조건에 의해 다음이 성립한다.

[eqn: k - 6 = a], [eqn: k^{2} - 10 = -1], [eqn: k + 20 = b]

[eqn: k^{2} - 10 = -1]에서 [eqn: k^{2} = 9]

양수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k = 3]

[eqn: k = 3]을 대입하여 [eqn: a, b]를 구하면 다음과 같다.

[eqn: a = 3 - 6 = -3], [eqn: b = 3 + 20 = 23], [eqn: a + b = -3 + 23 = 20]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

실수 [eqn: x]에 대한 두 조건
[eqn: p : x ge a]
[eqn: q : ( x - 5 ) ( x - 9 ) le 0]
이 있다. [eqn: q]가 [eqn: sim p]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 자연수 [eqn: a]의 최솟값은?

조건 [eqn: q]를 만족하는 [eqn: x]의 범위는

[eqn: ( x - 5 ) ( x - 9 ) le 0], [eqn: 5 le x le 9]

조건 [eqn: sim p]를 만족하는 [eqn: x]의 범위는

[eqn: x < a]

[eqn: q]가 [eqn: sim p]이기 위한 충분조건이 되려면 [eqn: 5 le x le 9]를 만족하는 모든 [eqn: x]가 [eqn: x < a]를 만족해야 한다.

따라서 다음 부등식이 성립해야 한다. [eqn: 9 < a]

이를 만족하는 자연수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 10]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 13]

그림과 같이 함수 [eqn: f(x) = 2 sqrt{x}]의 그래프와 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {4} x ^{2}] [eqn: LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )]의 그래프가 만나는 두 점 중 원점 [eqn: rmO]가 아닌 점을 [eqn: rmA]라 하고, 선분 [eqn: rmOA]를 [eqn: 1 : 3]으로 내분하는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rmP]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 두 곡선 [eqn: y = f(x)], [eqn: y = g(x)]와 만 나는 점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는?

두 함수 [eqn: y = f(x)]와 [eqn: y = g(x)]의 교점 [eqn: rmA]의 좌표를 구하면

[eqn: 2 sqrt{x} = {1} over {4} x^{2}], [eqn: x^{4} - 64x = 0], [eqn: x(x - 4)(x^{2} + 4x + 16) = 0]

[eqn: x > 0]이므로 [eqn: x = 4]

점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: (4, 4)]

원점 [eqn: rmO(0, 0)]과 점 [eqn: rmA(4, 4)]를 이은 선분 [eqn: rmOA]를 [eqn: 1 : 3]으로 내분하는 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (1, 1)]

점 [eqn: rmP]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선의 방정식은 [eqn: y = 1]

점 [eqn: rmB]는 직선 [eqn: y = 1]과 곡선 [eqn: y = f(x)]의 교점이므로

[eqn: 2 sqrt{x} = 1]에서 [eqn: x = {1} over {4}]

점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {1} over {4}, 1 RIGHT )]

점 [eqn: rmC]는 직선 [eqn: y = 1]과 곡선 [eqn: y = g(x)]의 교점이므로

[eqn: {1} over {4} x^{2} = 1]에서 [eqn: x^{2} = 4], [eqn: x ge 0]이므로 [eqn: x = 2]

점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: (2, 1)]

삼각형 [eqn: rmABC]의 밑변을 선분 [eqn: rmBC]라 하면 그 길이는 [eqn: {7} over {4}]

삼각형 [eqn: rmABC]의 높이는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표와 직선 [eqn: y = 1]사이의 거리이므로 [eqn: 4 - 1 = 3]

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES {7} over {4} TIMES 3 = {21} over {8}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {19} over {8}]	② [eqn: {21} over {8}]	③ [eqn: {23} over {8}]

④ [eqn: {25} over {8}]	⑤ [eqn: {27} over {8}]

복소수 [eqn: z]에 대하여 [eqn: z bar z + 2 z = 2 i]일 때, [eqn: z^{2}]의 값은? (단, [eqn: i = sqrt{-1}]이고, [eqn: bar z]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

[eqn: z = a + bi] (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수)라 하면 [eqn: bar{z} = a - bi]

주어진 식 [eqn: z bar{z} + 2z = 2i]에 대입하면

[eqn: (a + bi)(a - bi) + 2(a + bi) = 2i]

[eqn: a^{2} + b^{2} + 2a + 2bi = 2i]

[eqn: (a^{2} + b^{2} + 2a) + 2bi = 2i]

복소수가 서로 같을 조건에 의해

[eqn: a^{2} + b^{2} + 2a = 0], [eqn: b = 1]

이를 [eqn: a^{2} + b^{2} + 2a = 0]에 대입하면

[eqn: a^{2} + 1^{2} + 2a = 0], [eqn: a^{2} + 2a + 1 = 0], [eqn: (a + 1)^{2} = 0], [eqn: a = -1]

따라서 [eqn: z = -1 + i], [eqn: z^{2} = (-1 + i)^{2} = 1 - 2i + i^{2} = -2i]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: -2 i]	② [eqn: 2 i]	③ [eqn: 4 i]

④ [eqn: 3 - 4 i]	⑤ [eqn: 3 + 4 i]

그림과 같이 좌표평면 위에 원 [eqn: C : ( x - 7 )^{2} + ( y - 3 )^{2} = 2]와 점 [eqn: rmA ( 2 , 0 )]이 있다. 원 [eqn: rmC]위의 점 [eqn: rmP], 직선 [eqn: y = x]위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rmoverline {AQ} + overline {QP}]의 최솟값은?

점 [eqn: rmQ]의 좌표를 [eqn: (t, t)], 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (a, b)]라 하자.

점 [eqn: rmP]는 원 [eqn: C] 위의 점이므로 [eqn: (a-7)^{2} + (b-3)^{2} = 2]이다.

[eqn: {bar{rmAQ}} = sqrt {(t-2) ^{2} +t ^{2}} = sqrt {t ^{2} +(t-2) ^{2}}]

이는 점 [eqn: rmA'(0, 2)]와 점 [eqn: rmQ LEFT ( itt,`t RIGHT )]사이의 거리 [eqn: rmoverline {A'Q}]와 같다.

[eqn: rmoverline {AQ} + overline {QP} = overline {A'Q} + overline {QP}]

거리 식의 삼각부등식에 의해 다음이 성립한다.

[eqn: rmoverline {A'Q} + overline {QP} ge overline {A'P}]

원의 중심을 [eqn: rmO'(7, 3)]이라 하면, 점 [eqn: rmP]와 중심 사이의 거리는 반지름이므로 [eqn: rmoverline {PO'} = sqrt{2}]이다.

다시 삼각부등식에 의해 다음이 성립한다.

[eqn: rmoverline {A'P} + overline {PO'} ge overline {A'O'}]

[eqn: rmoverline {A'O'} = sqrt{(7-0)^{2} + (3-2)^{2}} = sqrt{50} = 5 sqrt{2}]

[eqn: rmoverline {A'P} + sqrt{2} ge 5 sqrt{2}], [eqn: rmoverline {A'P} ge 4 sqrt{2}]

따라서 [eqn: rmoverline {AQ} + overline {QP}]의 최솟값은 [eqn: 4 sqrt{2}]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 3 sqrt {2}]	② [eqn: 4 sqrt {2}]	③ [eqn: 5 sqrt {2}]

④ [eqn: 6 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 7 sqrt {2}]

[eqn: x]에 대한 연립부등식
[eqn: {cases{x ^{2} -2x-3 GEQ 0&#LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x-a+2 RIGHT ) <0&}}]
을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 6]이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은?

첫 번째 부등식을 푼다.

[eqn: x^{2} - 2 x - 3 ge 0], [eqn: LEFT ( x + 1 RIGHT ) LEFT ( x - 3 RIGHT ) ge 0]

[eqn: x le - 1]또는 [eqn: x ge 3]

두 번째 부등식 [eqn: LEFT ( x + a RIGHT ) LEFT ( x - a + 2 RIGHT ) < 0]의 해를 구하기 위해 두 근 [eqn: - a]와 [eqn: a - 2]의 대소를 비교한다.

경우 1: [eqn: - a < a - 2], 즉 [eqn: a > 1]일 때

부등식의 해는 [eqn: - a < x < a - 2]이다.

[eqn: a ge 5]이면 구간 [eqn: - a < x < a - 2]에 첫 번째 부등식을 만족하지 않는 정수 [eqn: x = 0 , 1 , 2]가 모두 포함된다.

구간 내 전체 정수의 개수는 [eqn: LEFT ( a - 2 RIGHT ) - LEFT ( - a RIGHT ) - 1 = 2 a - 3]이다.

연립부등식을 만족하는 정수의 개수는 [eqn: LEFT ( 2 a - 3 RIGHT ) - 3 = 2 a - 6]이다.

[eqn: 2 a - 6 = 6]에서 [eqn: a = 6]이다.

[eqn: a = 6]일 때 해는 [eqn: - 6 < x < 4]이며, 만족하는 정수 [eqn: x]는 [eqn: - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 3]으로 [eqn: 6]개가 되어 성립한다.

[eqn: a = 2 , 3 , 4]일 때는 각각 정수 해의 개수가 [eqn: 1,`2,`3]개이므로 조건에 맞지 않는다.

경우 2: [eqn: - a = a - 2], 즉 [eqn: a = 1]일 때

부등식은 [eqn: LEFT ( x + 1 RIGHT )^{2} < 0]이 되어 해가 없으므로 정수 해가 [eqn: 6]개가 될 수 없어 모순이다.

경우 3: [eqn: - a > a - 2], 즉 [eqn: a < 1]일 때

부등식의 해는 [eqn: a - 2 < x < - a]이다.

[eqn: a le - 3]이면 구간 [eqn: a - 2 < x < - a]내에 첫 번째 부등식을 만족하지 않는 정수 [eqn: x = 0 , 1 , 2]가 모두 포함된다.

구간 내 전체 정수의 개수는 [eqn: - a - LEFT ( a - 2 RIGHT ) - 1 = - 2 a + 1]이다.

연립부등식을 만족하는 정수의 개수는 [eqn: LEFT ( - 2 a + 1 RIGHT ) - 3 = - 2 a - 2]이다.

[eqn: - 2 a - 2 = 6]에서 [eqn: a = - 4]이다.

[eqn: a = - 4]일 때 해는 [eqn: - 6 < x < 4]이며, 만족하는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 6]개가 되어 성립한다.

[eqn: a = 0 , - 1 , - 2]일 때는 각각 정수 해의 개수가 [eqn: 1,`2,`3]개이므로 조건에 맞지 않는다.

모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 6 + LEFT ( - 4 RIGHT ) = 2]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: - 2]	② [eqn: - 1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

서로 다른 동화책 [eqn: 3]권, 서로 다른 시집 [eqn: 3]권이 있다. 이 [eqn: 6]권의 책을 다음 규칙에 따라 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 2]명과 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 3]명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, [eqn: 5]명의 학생 중 책을 한 권도 받지 못하는 학생은 없다.)

(가) 동화책은 [eqn: 2]학년 학생에게만 나누어 준다.

(나) 시집을 [eqn: 2]권 이상 받는 학생은 없다.

[eqn: 1]학년 학생을 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: 2]학년 학생을 [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE]라 하자.

조건 (가)에 의해 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 동화책을 받을 수 없으므로 적어도 [eqn: 1]권의 책을 받기 위해 시집을 받아야 한다.

조건 (나)에 의해 시집은 최대 [eqn: 1]권씩만 받을 수 있으므로 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 시집을 정확히 [eqn: 1]권씩 받아야 한다.

서로 다른 시집 [eqn: 3]권 중 [eqn: rmA]가 받을 시집을 정하는 방법은 [eqn: 3]가지, [eqn: rmB]가 받을 시집을 정하는 방법은 [eqn: 2]가지이므로 [eqn: 3 TIMES 2 = 6]가지이다.

남은 시집 [eqn: 1]권을 [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE]중 [eqn: 1]명에게 주는 방법은 [eqn: 3]가지이다.

시집을 나누어 주는 전체 경우의 수는 [eqn: 6 TIMES 3 = 18]

시집을 받은 [eqn: 2]학년 학생을 [eqn: rmC]라 하자.

[eqn: rmD], [eqn: rmE]는 아직 책을 받지 못했으므로 서로 다른 동화책 [eqn: 3]권 중 적어도 [eqn: 1]권씩을 받아야 한다.

동화책 [eqn: 3]권을 [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE]에게 나누어 주는 모든 경우의 수는 [eqn: 3^{3} = 27]

이 중 [eqn: rmD]가 동화책을 받지 못하는 경우의 수는 [eqn: 2^{3} = 8]

[eqn: rmE]가 동화책을 받지 못하는 경우의 수는 [eqn: 2^{3} = 8]

[eqn: rmD]와 [eqn: rmE]모두 동화책을 받지 못하는 경우의 수는 [eqn: 1^{3} = 1]

[eqn: rmD], [eqn: rmE]가 적어도 [eqn: 1]권씩 동화책을 받는 경우의 수는 [eqn: 27 - (8 + 8 - 1) = 12]

구하는 총 경우의 수는 [eqn: 18 TIMES 12 = 216]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 168]	② [eqn: 180]	③ [eqn: 192]

④ [eqn: 204]	⑤ [eqn: 216]

그림과 같이 좌표평면 위에 원 [eqn: C : LEFT ( x - 3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y - 3 RIGHT ) ^{2} = 9]와 직선 [eqn: y=mx] [eqn: LEFT ( 0<m<1 RIGHT )]이 있다. 원 [eqn: C] 의 중심을 [eqn: rmA], 점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: y = m x]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], 직선 [eqn: y = m x]가 원 [eqn: C] 와 만나는 두 점 중 원점 [eqn: rmO]에 가까운 점을 [eqn: rmB]라 할 때, [eqn: rmoverline {OH} : overline {BH} = sqrt {3} : 1]이다. 상수 [eqn: m]의 값은?

원 [eqn: C : LEFT ( x - 3 RIGHT )^{2} + LEFT ( y - 3 RIGHT )^{2} = 9]와 직선 [eqn: y = m x]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표는 다음 이차방정식의 해이다.

[eqn: LEFT ( x - 3 RIGHT )^{2} + LEFT ( m x - 3 RIGHT )^{2} = 9]

[eqn: LEFT ( m^{2} + 1 RIGHT ) x^{2} - 6 LEFT ( m + 1 RIGHT ) x + 9 = 0]

이 이차방정식의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립한다.

[eqn: alpha + beta = {6 LEFT ( m + 1 RIGHT )} over {m^{2} + 1}], [eqn: alpha beta = {9} over {m^{2} + 1}]

점 [eqn: rmH]는 원의 중심에서 현에 내린 수선의 발이므로 두 교점의 중점이다.

점 [eqn: rmH]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_{H}]라 하면 [eqn: x_{H} = { alpha + beta } over {2} = {3 LEFT ( m + 1 RIGHT )} over {m^{2} + 1}]이다.

점 [eqn: rmH]는 직선 [eqn: y = m x]위의 점이므로 선분 [eqn: rmOH]의 길이는 다음과 같다.

[eqn: {bar{rmOH}} = sqrt {x _{H} ^{2} + LEFT ( mx _{H} RIGHT ) ^{2}} =x _{H} sqrt {m ^{2} +1} = {3 LEFT ( m+1 RIGHT )} over {sqrt {m ^{2} +1}}]

두 교점 사이의 거리인 현의 길이는 [eqn: rm2 overline {BH}]이고, 이는 [eqn: | alpha - beta | sqrt {m^{2} + 1}]과 같다.

[eqn: LEFT ( alpha - beta RIGHT )^{2} = LEFT ( alpha + beta RIGHT )^{2} - 4 alpha beta = {36 LEFT ( m + 1 RIGHT )^{2}} over {LEFT ( m^{2} + 1 RIGHT )^{2}} - {36} over {m^{2} + 1} = {72 m} over {LEFT ( m^{2} + 1 RIGHT )^{2}}]

[eqn: 2 {bar{rmBH}} = sqrt {{72m} over {LEFT ( m ^{2} +1 RIGHT ) ^{2}}} TIMES sqrt {m ^{2} +1} = {6 sqrt {2m}} over {sqrt {m ^{2} +1}}]

[eqn: {bar{rmBH}} = {3 sqrt {2m}} over {sqrt {m ^{2} +1}}]

문제의 조건에서 [eqn: rmoverline {OH} : overline {BH} = sqrt {3} : 1]이므로 [eqn: rmoverline {OH} = sqrt {3} overline {BH}]이다.

[eqn: {3 LEFT ( m + 1 RIGHT )} over {sqrt {m^{2} + 1}} = sqrt {3} TIMES {3 sqrt {2 m}} over {sqrt {m^{2} + 1}}]

양변에 [eqn: {sqrt {m^{2} + 1}} over {3}]을 곱하여 정리하면 다음과 같다.

[eqn: m + 1 = sqrt {6 m}]

양변을 제곱하면 [eqn: m^{2} + 2 m + 1 = 6 m]이다.

[eqn: m^{2} - 4 m + 1 = 0]

근의 공식에 의해 [eqn: m = 2 +- sqrt {3}]이다.

이때 [eqn: 0 < m < 1]이므로 [eqn: m = 2 + sqrt {3}]은 조건에 모순이다.

따라서 [eqn: m = 2 - sqrt {3}]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: - 5 + 3 sqrt {3}]	② [eqn: - {3} over {2} + sqrt {3}]	③ [eqn: 2 - sqrt {3}]

④ [eqn: {11} over {2} - 3 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 3 - {3 sqrt {3}} over {2}]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]가 있다. [eqn: x]에 대한 방정식
[eqn: f(x) TIMES LEFT ( f(x) + {1} over {3} f(t) RIGHT ) = 0]
의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: t]의 값이 [eqn: -1, 7]일 때, [eqn: f(10)]의 값은?

방정식 [eqn: f(x) LEFT ( f(x) + {1} over {3} f(t) RIGHT ) = 0]의 실근은

[eqn: f(x) = 0]또는 [eqn: f(x) = - {1} over {3} f(t)]를 만족하는 [eqn: x]의 값이다.

두 방정식이 공통근을 가지면 [eqn: 0 = - {1} over {3} f(t)]에서 [eqn: f(t) = 0]이 되어 두 방정식이 일치하므로 서로 다른 실근의 개수는 최대 [eqn: 2]가 된다.

따라서 두 방정식은 공통근을 갖지 않는다.

이차함수 [eqn: f(x)]의 최솟값을 [eqn: q]라 하자.

서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이 되려면 두 방정식 중 하나는 서로 다른 두 실근을, 다른 하나는 중근을 가져야 한다.

만약 [eqn: f(x) = 0]이 중근을 가지면 [eqn: q = 0]이고, [eqn: f(x) = - {1} over {3} f(t)]가 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 [eqn: - {1} over {3} f(t) > 0]에서 [eqn: f(t) < 0]이다.

하지만 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: f(t) geq q = 0]이므로 이를 만족하는 실수 [eqn: t]는 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: f(x) = - {1} over {3} f(t)]가 중근을 가지고, [eqn: f(x) = 0]이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

[eqn: f(x) = - {1} over {3} f(t)]가 중근을 가지려면 [eqn: - {1} over {3} f(t) = q]이어야 하므로 [eqn: f(t) = -3q]이다.

이때 [eqn: f(x) = 0]이 서로 다른 두 실근을 가지므로 [eqn: q < 0]이다.

방정식 [eqn: f(t) = -3q]를 만족하는 [eqn: t]의 값이 [eqn: -1]과 [eqn: 7]이고 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(t) + 3q = (t + 1)(t - 7)]

[eqn: f(t) = t^2 - 6t - 7 - 3q], [eqn: f(t) = (t - 3)^2 - 16 - 3q]

이차함수 [eqn: f(t)]의 최솟값이 [eqn: q]이므로

[eqn: -16 - 3q = q], [eqn: 4q = -16], [eqn: q = -4]

따라서 [eqn: f(x)]는 다음과 같다.

[eqn: f(x) = (x - 3)^2 - 4], [eqn: f(10) = (10 - 3)^2 - 4 = 49 - 4 = 45]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 45]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 55]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 65]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5,`6,`7,`8,`9,`10 RIGHT }]이 있다. 다음 조건을 만족시키는 집합 [eqn: X]의 두 부분집합 [eqn: A , B]에 대하여 집합 [eqn: B - A]의 모든 원소의 합의 최댓값은?

(가) [eqn: n ( A cap B ) = 2 , n ( B - A ) = 3]

(나) [eqn: p in A cap B]이면 [eqn: {p + 2} over {3} in B - A]이다.

(다) [eqn: q in B - A]이면 [eqn: q + 3 in A]이다.

조건 (나)에 의해 [eqn: p in A cap B]이면 [eqn: {p + 2} over {3} in B - A]이다.

[eqn: B - A subset X]이므로 [eqn: {p + 2} over {3}]는 자연수이어야 한다.

따라서 [eqn: p + 2]는 [eqn: 3]의 배수이므로 가능한 [eqn: p]의 값은 [eqn: 1,`4,`7,`10]이다.

[eqn: p = 1]인 경우 [eqn: {1 + 2} over {3} = 1 in B - A]가 된다.

이는 [eqn: 1 in A cap B subset A]이므로 [eqn: A]와 [eqn: B - A]가 서로소라는 조건에 모순이다.

따라서 [eqn: p in {4 , 7 , 10}]이다.

조건 (가)에서 [eqn: n ( A cap B ) = 2]이므로 [eqn: A cap B]는 [eqn: 4,`7,`10]중 두 개의 원소를 가진다.

첫 번째 경우, [eqn: A cap B = {4 , 10}]일 때

[eqn: p = 4]이면 [eqn: 2 in B - A]이고, [eqn: p = 10]이면 [eqn: 4 in B - A]이다.

하지만 [eqn: 4 in A cap B subset A]이므로 [eqn: 4 in B - A]가 될 수 없어 모순이다.

두 번째 경우, [eqn: A cap B = {4 , 7}]일 때

[eqn: p = 4]이면 [eqn: 2 in B - A]이고, [eqn: p = 7]이면 [eqn: 3 in B - A]이다.

조건 (다)에 의해 [eqn: 2 + 3 = 5 in A], [eqn: 3 + 3 = 6 in A]이다.

[eqn: n ( B - A ) = 3]이므로 나머지 한 원소를 [eqn: q_3]라 하면 [eqn: B - A = {2 , 3 , q_3}]이다.

[eqn: q_3 + 3 in A subset X]이므로 [eqn: q_3 le 7]이다.

[eqn: q_3]는 [eqn: A]의 원소인 [eqn: 4,`5,`6,`7]이 될 수 없으므로 가능한 [eqn: q_3]의 최댓값은 [eqn: 1]이다.

이때 [eqn: B - A]의 모든 원소의 합은 [eqn: 2 + 3 + 1 = 6]이다.

세 번째 경우, [eqn: A cap B = {7 , 10}]일 때

[eqn: p = 7]이면 [eqn: 3 in B - A]이고, [eqn: p = 10]이면 [eqn: 4 in B - A]이다.

조건 (다)에 의해 [eqn: 3 + 3 = 6 in A], [eqn: 4 + 3 = 7 in A]이다.

[eqn: n ( B - A ) = 3]이므로 나머지 한 원소를 [eqn: q_3]라 하면 [eqn: B - A = {3 , 4 , q_3}]이다.

[eqn: q_3 + 3 in A subset X]이므로 [eqn: q_3 le 7]이다.

[eqn: q_3]는 [eqn: A]의 원소인 [eqn: 6,`7]이 될 수 없으므로 가능한 [eqn: q_3]의 최댓값은 [eqn: 5]이다.

[eqn: q_3 = 5]일 때 [eqn: 5 + 3 = 8 in A]가 되어 모든 조건을 만족한다.

이때 [eqn: B - A]의 모든 원소의 합은 [eqn: 3 + 4 + 5 = 12]이다.

따라서 집합 [eqn: B - A]의 모든 원소의 합의 최댓값은 [eqn: 12]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 서로 다른 세 이차다항식 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 다항식 [eqn: f(x) g(x)]는 다항식 [eqn: (x - 1) h(x)]로 나누어떨어진다.

(나) 다항식 [eqn: g(x) h(x)]는 다항식 [eqn: (x - 2) f(x)]로 나누어떨어진다.

[eqn: f(-1) + g(-1) = 18]일 때, [eqn: h(0)]의 값은?

조건 (가), (나)에서 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차다항식이므로, 나눗셈의 몫은 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 일차식이다.

따라서 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 다음과 같이 식을 세울 수 있다.

[eqn: f(x) g(x) = (x - 1) h(x) (x - a)], [eqn: g(x) h(x) = (x - 2) f(x) (x - b)]

첫 번째 식의 양변에 [eqn: h(x)]를 곱하면

[eqn: f(x) g(x) h(x) = (x - 1) {h(x)}^{2} (x - a)]

여기에 두 번째 식 [eqn: g(x) h(x)]를 대입하면

[eqn: f(x) (x - 2) f(x) (x - b) = (x - 1) {h(x)}^{2} (x - a)]

[eqn: (x - 2) (x - b) {f(x)}^{2} = (x - 1) (x - a) {h(x)}^{2}]

[eqn: {f(x)}^{2}]과 [eqn: {h(x)}^{2}]은 완전제곱식이므로 각 인수의 지수는 짝수이다.

따라서 양변에서 홀수 번 곱해진 인수의 종류가 같아야 하므로 [eqn: a = 2, b = 1]또는 [eqn: a = 1, b = 2]이다.

만약 [eqn: a = 2], [eqn: b = 1]이라면

[eqn: (x - 2) (x - 1) {f(x)}^{2} = (x - 1) (x - 2) {h(x)}^{2}]

[eqn: {f(x)}^{2} = {h(x)}^{2}]

최고차항의 계수가 양수이므로 [eqn: f(x) = h(x)]가 되어 세 다항식이 서로 다르다는 조건에 모순이다.

만약 [eqn: a = 1], [eqn: b = 2]라면

[eqn: {(x - 2)}^{2} {f(x)}^{2} = {(x - 1)}^{2} {h(x)}^{2}]

[eqn: (x - 2) f(x) = (x - 1) h(x)]

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x - 1]을, [eqn: h(x)]는 [eqn: x - 2]를 인수로 가져야 하므로 상수 [eqn: k]에 대하여 다음과 같이 둘 수 있다.

[eqn: f(x) = (x - 1) (x - k)]

[eqn: h(x) = (x - 2) (x - k)]

이를 [eqn: f(x) g(x) = {(x - 1)}^{2} h(x)]에 대입하면

[eqn: (x - 1) (x - k) g(x) = {(x - 1)}^{2} (x - 2) (x - k)]

[eqn: g(x) = (x - 1) (x - 2)]

주어진 조건 [eqn: f(-1) + g(-1) = 18]에 대입하면

[eqn: (-2) (-1 - k) + (-2) (-3) = 18]

[eqn: 2k + 2 + 6 = 18], [eqn: 2k = 10], [eqn: k = 5]

따라서 [eqn: h(x)]는 다음과 같다.

[eqn: h(x) = (x - 2) (x - 5)], [eqn: h(0) = (-2) TIMES (-5) = 10]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

실수 전체의 집합에서 정의되고 역함수를 갖는 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: g(f(x)) = x - 2]
를 만족시킨다. 좌표평면에서 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=kx] [eqn: LEFT ( k>1 RIGHT )]과 서로 다른 두 점 [eqn: rmA, B]에서만 만나고, 두 점 [eqn: rmA, B]는 원 [eqn: (x - 13)^{2} + (y - 13)^{2} = 26]위에 있다. [eqn: rmoverline {AB} = 2 sqrt {13}]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: g(x) = {1} over {k} x - 2]의 모든 실근은 [eqn: alpha], [eqn: beta] [eqn: LEFT ( alpha<beta RIGHT )]이다. [eqn: beta - alpha]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.)

[eqn: g(f(x)) = x - 2]에서 [eqn: f(x) = t]로 치환하면 [eqn: x = f^{-1}(t)]이므로

[eqn: g(t) = f^{-1}(t) - 2]

즉, [eqn: g(x) = f^{-1}(x) - 2]

방정식 [eqn: g(x) = {1} over {k} x - 2]에 대입하면

[eqn: f^{-1}(x) - 2 = {1} over {k} x - 2], [eqn: f^{-1}(x) = {1} over {k} x], [eqn: f LEFT ( {1} over {k} x RIGHT ) = x], [eqn: {1} over {k} x = X]

로 치환하면 [eqn: x = kX]이므로

[eqn: f(X) = kX]

이 방정식의 실근 [eqn: X]는 함수 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: y = kx]의 교점의 [eqn: x]좌표인 [eqn: x_{A}, x_{B}]이다.

따라서 원래 방정식의 실근은 [eqn: x = k x_{A}]또는 [eqn: x = k x_{B}]이다.

원 [eqn: (x - 13)^{2} + (y - 13)^{2} = 26]의 중심은 [eqn: rmC(13, 13)]이고 반지름의 길이는 [eqn: r = sqrt {26}]이다.

중심 [eqn: rmC]에서 직선 [eqn: kx - y = 0]까지의 거리를 [eqn: d]라 하면, 현의 길이는 [eqn: 2 sqrt {r^{2} - d^{2}}]이므로

[eqn: 2 sqrt {26 - d^{2}} = 2 sqrt {13}], [eqn: 26 - d^{2} = 13], [eqn: d = sqrt {13}]

점과 직선 사이의 거리 공식에 의해 [eqn: {|13k - 13|} over {sqrt {k^{2} + 1}} = sqrt {13}]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 169(k - 1)^{2} = 13(k^{2} + 1)], [eqn: 13(k^{2} - 2k + 1) = k^{2} + 1]

[eqn: 12k^{2} - 26k + 12 = 0], [eqn: 6k^{2} - 13k + 6 = 0]

[eqn: (2k - 3)(3k - 2) = 0], [eqn: k = {3} over {2}]또는 [eqn: k = {2} over {3}]

이때 문제의 조건에서 [eqn: k > 1]이므로 [eqn: k = {2} over {3}]는 모순이며, [eqn: k = {3} over {2}]이다.

두 점 [eqn: rmA, B]는 직선 [eqn: y = {3} over {2} x]위의 점이므로

[eqn: {bar{rmAB}} = sqrt {(x _{B} -x _{A} ) ^{2} +(y _{B} -y _{A} ) ^{2}}]

[eqn: = sqrt {(x_{B} - x_{A})^{2} + LEFT ( {3} over {2} RIGHT )^{2} (x_{B} - x_{A})^{2}}][eqn: = {|x_{B} - x_{A}|} sqrt {1 + {9} over {4}}]

[eqn: = {|x_{B} - x_{A}|} {sqrt {13}} over {2}]

[eqn: rmoverline {AB} = 2 sqrt {13}]이므로

[eqn: {|x_{B} - x_{A}|} {sqrt {13}} over {2} = 2 sqrt {13}], [eqn: |x_{B} - x_{A}| = 4]

두 실근 [eqn: alpha , beta]에 대하여 [eqn: beta - alpha]의 값은

[eqn: beta - alpha = k |x_{B} - x_{A}| = {3} over {2} TIMES 4 = 6]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: {13} over {2}]	⑤ [eqn: 7]

두 집합 [eqn: A = left { 3, 6, 9 right }, B = left { 1, 2, 6, 9 right }]에 대하여 집합 [eqn: A`capB]의 모든 원소의 합을 구하시오.

[eqn: A = left { 3, 6, 9 right }], [eqn: B = left { 1, 2, 6, 9 right }][eqn: A`capB= LEFT { 6,`9 RIGHT }]

집합 [eqn: A`capB]의 모든 원소의 합은

[eqn: 6 + 9 = 15]

따라서 정답은 [eqn: 15]이다.

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rmA ( 2 , 0 )], [eqn: rmB ( 2 , 6 )], [eqn: rmC ( 0 , 3 )]에 대하여 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표는 [eqn: ( p , q )]이다. [eqn: p TIMES q]의 값을 구하시오.

삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표 [eqn: ( p , q )]는

[eqn: p = {2 + 2 + 0} over {3} = {4} over {3}], [eqn: q = {0 + 6 + 3} over {3} = 3], [eqn: p TIMES q = {4} over {3} TIMES 3 = 4]

따라서 정답은 [eqn: 4]이다.

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^{2} - a x + 13 = 0]이 서로 다른 두 근 [eqn: alpha , beta]를 갖는다. [eqn: {1} over { alpha } + {1} over { beta } = 2]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta = a], [eqn: alpha beta = 13]

주어진 조건식을 통분하여 정리하면 [eqn: {1} over { alpha } + {1} over { beta } = { alpha + beta } over { alpha beta } = 2]

위 식에 [eqn: alpha + beta = a], [eqn: alpha beta = 13]을 대입하면 [eqn: {a} over {13} = 2], [eqn: a = 26]

따라서 정답은 [eqn: 26]이다.

좌표평면에서 원 [eqn: x^{2} + y^{2} = 2]위의 점 [eqn: (1, 1)]에서의 접선이 곡선 [eqn: y = x^{2} + a x + 2 a]에 접할 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

원 [eqn: x^2 + y^2 = 2]위의 점 [eqn: (1, 1)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: 1 cdot x + 1 cdot y = 2], [eqn: y = -x + 2]

이 접선이 곡선 [eqn: y = x^2 + a x + 2 a]에 접하므로 두 식을 연립하면

[eqn: x^2 + a x + 2 a = -x + 2], [eqn: x^2 + (a + 1) x + 2 a - 2 = 0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D = 0]이어야 하므로

[eqn: D = (a + 1)^2 - 4 (2 a - 2) = 0], [eqn: a^2 + 2 a + 1 - 8 a + 8 = 0], [eqn: a^2 - 6 a + 9 = 0], [eqn: (a - 3)^2 = 0], [eqn: a = 3]

따라서 정답은 [eqn: 3]이다.

두 실수 [eqn: a] [eqn: LEFT ( a!=0 RIGHT )], [eqn: b]에 대하여 이차함수 [eqn: f ( x )]를
[eqn: f ( x ) = a ( x - 2 ) ^{2} + b]
라 하자. 모든 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: - k ^{2} le x le 3 + k ^{2}]에서 함수 [eqn: f ( x )]의 최댓값이 [eqn: 3 k ^{4} + 12 k ^{2}]일 때, [eqn: a ^{2} + b ^{2}]의 값을 구하시오.

이차함수 [eqn: f ( x ) = a ( x - 2 ) ^{2} + b]의 대칭축은 [eqn: x = 2]이다.

주어진 구간 [eqn: - k ^{2} le x le 3 + k ^{2}]의 중점은 [eqn: { - k ^{2} + 3 + k ^{2} } over { 2 } = { 3 } over { 2 }]이고, 이는 대칭축 [eqn: x = 2]보다 항상 작다.

구간의 양 끝점 중에서 대칭축 [eqn: x = 2]에서 더 멀리 떨어진 점은 항상 왼쪽 끝점인 [eqn: x = - k ^{2}]이다.

[eqn: a < 0]인 경우

모든 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: - k ^{2} le 0 < 2 < 3 le 3 + k ^{2}]이므로 대칭축 [eqn: x = 2]가 항상 구간에 포함된다.

따라서 함수 [eqn: f ( x )]의 최댓값은 [eqn: f ( 2 ) = b]가 되어야 하는데, 이는 최댓값이 [eqn: 3 k ^{4} + 12 k ^{2}]라는 조건에 모순이다.

[eqn: a > 0]인 경우

함수 [eqn: f ( x )]는 구간 내에서 대칭축에서 더 멀리 떨어진 [eqn: x = - k ^{2}]일 때 최댓값을 가진다.

최댓값은 [eqn: f ( - k ^{2} ) = a ( - k ^{2} - 2 ) ^{2} + b = a k ^{4} + 4 a k ^{2} + 4 a + b]이다.

모든 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a k ^{4} + 4 a k ^{2} + 4 a + b = 3 k ^{4} + 12 k ^{2}]이 항상 성립해야 하므로 항등식의 성질에 의해

[eqn: a = 3], [eqn: 4 a = 12], [eqn: 4 a + b = 0]

위 식을 연립하여 풀면 [eqn: a = 3], [eqn: b = - 12]이다.

[eqn: a ^{2} + b ^{2} = 3 ^{2} + ( - 12 ) ^{2} = 9 + 144 = 153]

따라서 정답은 [eqn: 153]이다.

그림과 같이 좌석 번호가 적힌 [eqn: 8]개의 의자가 배열되어 있다.

네 학생 [eqn: rmA, B, C, D]가 다음 규칙에 따라 [eqn: 8]개의 의자 중에서 서로 다른 [eqn: 4]개의 의자에 앉는 경우의 수를 구하시오.

(가) [eqn: rmA]가 앉는 의자의 좌석 번호는 홀수이다.

(나) [eqn: rmB]가 앉는 의자의 좌석 번호는 [eqn: 32]이하이다.

(다) [eqn: rmC]와 [eqn: rmD]가 앉는 두 의자의 좌석 번호는 각각 [eqn: 31]이상이다.

조건 (가)에 의해 [eqn: rmA]는 짝수 번호 의자([eqn: 12, 22, 32, 42])에 앉을 수 없다.

따라서 [eqn: rmA]가 앉을 수 있는 홀수 번호 의자 [eqn: 11, 21, 31, 41]에 대해 경우를 나눈다.

(1) [eqn: rmA]가 [eqn: 11]또는 [eqn: 21]에 앉는 경우 (총 [eqn: 2]가지)

[eqn: rmA]가 [eqn: 11]에 앉았다고 가정하면, [eqn: rmB]는 [eqn: 32]이하의 남은 의자 [eqn: 12, 21, 22, 31, 32]중 하나에 앉는다.

[eqn: rmB]가 [eqn: 12, 21, 22]중 하나에 앉는 경우 ([eqn: 3]가지):

[eqn: rmC, D]는 [eqn: 31]이상의 의자 [eqn: 31, 32, 41, 42]중 [eqn: 2]개를 선택하여 앉으므로 [eqn: 4 TIMES 3 = 12]가지

이때의 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 12 = 36]

[eqn: rmB]가 [eqn: 31]또는 [eqn: 32]에 앉는 경우 ([eqn: 2]가지):

[eqn: rmC, D]는 남은 [eqn: 31]이상의 의자 [eqn: 3]개 중 [eqn: 2]개를 선택하여 앉으므로 [eqn: 3 TIMES 2 = 6]가지

이때의 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 6 = 12][eqn: A]가 [eqn: 11]에 앉는 경우의 수는 [eqn: 36 + 12 = 48]

[eqn: rmA]가 [eqn: 21]에 앉는 경우도 대칭성에 의해 [eqn: 48]가지이므로, 이 경우의 총 수는 [eqn: 2 TIMES 48 = 96]

(2) [eqn: rmA]가 [eqn: 31]에 앉는 경우

[eqn: rmB]는 [eqn: 32]이하의 남은 의자 [eqn: 11, 12, 21, 22, 32]중 하나에 앉는다.

[eqn: rmB]가 [eqn: 11, 12, 21, 22]중 하나에 앉는 경우 ([eqn: 4]가지):

[eqn: rmC, D]는 남은 [eqn: 31]이상의 의자 [eqn: 32, 41, 42]중 [eqn: 2]개를 선택하여 앉으므로 [eqn: 3 TIMES 2 = 6]가지

이때의 경우의 수는 [eqn: 4 TIMES 6 = 24]

[eqn: rmB]가 [eqn: 32]에 앉는 경우 ([eqn: 1]가지):

[eqn: rmC, D]는 남은 [eqn: 31]이상의 의자 [eqn: 41, 42]중 [eqn: 2]개를 선택하여 앉으므로 [eqn: 2 TIMES 1 = 2]가지

이때의 경우의 수는 [eqn: 1 TIMES 2 = 2]

이 경우의 총 수는 [eqn: 24 + 2 = 26]

(3) [eqn: rmA]가 [eqn: 41]에 앉는 경우

[eqn: rmB]는 [eqn: 32]이하의 의자 [eqn: 11, 12, 21, 22, 31, 32]중 하나에 앉는다.

[eqn: rmB]가 [eqn: 11, 12, 21, 22]중 하나에 앉는 경우 ([eqn: 4]가지):

[eqn: rmC, D]는 남은 [eqn: 31]이상의 의자 [eqn: 31, 32, 42]중 [eqn: 2]개를 선택하여 앉으므로 [eqn: 3 TIMES 2 = 6]가지

이때의 경우의 수는 [eqn: 4 TIMES 6 = 24]

[eqn: rmB]가 [eqn: 31]또는 [eqn: 32]에 앉는 경우 ([eqn: 2]가지):

[eqn: rmC, D]는 남은 [eqn: 31]이상의 의자 [eqn: 2]개 중 [eqn: 2]개를 선택하여 앉으므로 [eqn: 2 TIMES 1 = 2]가지

이때의 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 2 = 4]

이 경우의 총 수는 [eqn: 24 + 4 = 28]

모든 경우의 수를 더하면 [eqn: 96 + 26 + 28 = 150]

따라서 정답은 [eqn: 150]이다.

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5,`6,`7,`8,`9 RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f : X -> X]는
[eqn: f(k) = (3^{k}]의 일의 자리의 수[eqn: )]
이다. 다음 조건을 만족시키는 집합 [eqn: A]에 대하여 [eqn: A]의 모든 원소의 합의 최댓값을 구하시오.

(가) [eqn: A subset X, n(A) ge 2]

(나) 집합 [eqn: A]의 임의의 원소 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f(a) in A]이고, [eqn: (f circ f)(a) = 7]이다.

(다) 집합 [eqn: A]의 임의의 두 원소 [eqn: x, y]에 대하여 [eqn: x < y]이면 [eqn: f(x) le f(y)]이다.

함수 [eqn: f(k)]는 [eqn: 3^{k}]의 일의 자리의 수이므로 집합 [eqn: X]의 각 원소에 대한 함숫값은 다음과 같다.

[eqn: f(1) = 3], [eqn: f(2) = 9], [eqn: f(3) = 7], [eqn: f(4) = 1], [eqn: f(5) = 3], [eqn: f(6) = 9], [eqn: f(7) = 7], [eqn: f(8) = 1], [eqn: f(9) = 3]

조건 (나)에서 [eqn: (f circ f)(a) = 7]을 만족하는 원소 [eqn: a]를 찾기 위해 [eqn: f(f(k))]를 구하면 다음과 같다.

[eqn: f(f(1)) = f(3) = 7], [eqn: f(f(2)) = f(9) = 3], [eqn: f(f(3)) = f(7) = 7], [eqn: f(f(4)) = f(1) = 3], [eqn: f(f(5)) = f(3) = 7], [eqn: f(f(6)) = f(9) = 3], [eqn: f(f(7)) = f(7) = 7], [eqn: f(f(8)) = f(1) = 3], [eqn: f(f(9)) = f(3) = 7]

따라서 조건 (나)를 만족하는 집합 [eqn: A]의 원소는 [eqn: 1, 3, 5, 7, 9]중 하나이어야 하므로 [eqn: A`subset LEFT { 1,`3,`5,`7,`9 RIGHT }]이다.

또한 조건 (나)에서 [eqn: a in A]이면 [eqn: f(a) in A]이어야 한다.

조건 (다)에서 [eqn: x < y]이면 [eqn: f(x) le f(y)]를 만족해야 한다.

만약 [eqn: 5 in A]이면 [eqn: f(5) = 3 in A]가 되어 [eqn: 3, 5 in A]이다.

이때 [eqn: 3 < 5]이지만 [eqn: f(3) = 7], [eqn: f(5) = 3]이므로 [eqn: f(3) > f(5)]가 되어 조건 (다)에 모순이다.

따라서 [eqn: 5 notin A]이다.

만약 [eqn: 9 in A]이면 [eqn: f(9) = 3 in A]가 되어 [eqn: 3, 9 in A]이다.

이때 [eqn: 3 < 9]이지만 [eqn: f(3) = 7], [eqn: f(9) = 3]이므로 [eqn: f(3) > f(9)]가 되어 조건 (다)에 모순이다.

따라서 [eqn: 9 notin A]이다.

그러므로 집합 [eqn: A]는 [eqn: LEFT { 1,`3,`7 RIGHT }]의 부분집합이어야 한다.

조건 (가)에서 [eqn: n(A) ge 2]이므로 가능한 집합 [eqn: A]는 [eqn: LEFT { 3,`7 RIGHT }]또는 [eqn: LEFT { 1,`3,`7 RIGHT }]이다.

[eqn: A= LEFT { 3,`7 RIGHT }]인 경우, [eqn: 3 < 7]이고 [eqn: f(3) = 7 le f(7) = 7]이므로 모든 조건을 만족하며 원소의 합은 [eqn: 10]이다.

[eqn: A= LEFT { 1,`3,`7 RIGHT }]인 경우, [eqn: 1 < 3 < 7]이고 [eqn: f(1) = 3 le f(3) = 7 le f(7) = 7]이므로 모든 조건을 만족하며 원소의 합은 [eqn: 11]이다.

따라서 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합의 최댓값은 [eqn: 11]이다.

따라서 정답은 [eqn: 11]이다.

영행렬이 아닌 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{a _{11}&a _{12}#a _{21}&a _{22}}}], [eqn: B= {pmatrix{b _{11}&b _{12}#b _{21}&b _{22}}}]는 [eqn: A^{2} = B]이고, 각 행렬의 성분은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 [eqn: i,j``(i=1,2,j=1,2)]에 대하여 [eqn: a_{i j} TIMES b_{i j} = 0]이다.

(나) 모든 [eqn: i,j``(i=1,2,j=1,2)]에 대하여 [eqn: a_{i j} + b_{i j} neq 0]이다.

행렬 [eqn: A + B]의 모든 성분의 합이 [eqn: -1], 곱이 [eqn: -8]일 때, [eqn: a _{12} ` ^{3} +a _{21} ` ^{3}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: A^{2} = A A]이고, 행렬 [eqn: A]의 모든 성분은 실수이다.)

조건 (가), (나)에 의해 모든 [eqn: i, j]에 대하여 [eqn: a_{i j}]와 [eqn: b_{i j}]중 하나는 [eqn: 0]이고 다른 하나는 [eqn: 0]이 아니다.

[eqn: B=A ^{2} = {pmatrix{a _{11} ` ^{2} +a _{12} a _{21}&a _{12} LEFT ( a _{11} +a _{22} RIGHT )#a _{21} LEFT ( a _{11} +a _{22} RIGHT )&a _{22} ` ^{2} +a _{12} a _{21}}}]

만약 [eqn: a_{12} = 0]이면 [eqn: b_{12} = 0]이 되어 조건 (나)에 모순이므로 [eqn: a_{12} neq 0]이다.

따라서 [eqn: b_{12} = 0]이어야 하므로 [eqn: a_{12} ( a_{11} + a_{22} ) = 0]에서 [eqn: a_{11} + a_{22} = 0]이다.

마찬가지로 [eqn: a_{21} = 0]이면 [eqn: b_{21} = 0]이 되어 모순이므로 [eqn: a_{21} neq 0]이고, [eqn: b_{21} = 0]이다.

[eqn: a_{22} = - a_{11}]이므로 [eqn: b_{11} = a_{11}^{2} + a_{12} a_{21}], [eqn: b_{22} = a_{11}^{2} + a_{12} a_{21}]이다.

만약 [eqn: a_{11} neq 0]이면 조건에 의해 [eqn: b_{11} = 0]이고, [eqn: a_{22} = - a_{11} neq 0]이므로 [eqn: b_{22} = 0]이다.

이때 [eqn: b_{11} = a_{11}^{2} + a_{12} a_{21} = 0]이므로 [eqn: b_{22} = 0]도 성립하며, [eqn: B= {pmatrix{0&0#0&0}}]가 되어 행렬 [eqn: B]가 영행렬이 아니라는 조건에 모순이다.

따라서 [eqn: a_{11} = 0]이고 [eqn: a_{22} = 0]이다.

이때 [eqn: b_{11} = a_{12} a_{21} neq 0], [eqn: b_{22} = a_{12} a_{21} neq 0]이다.

행렬 [eqn: A+B= {pmatrix{a _{11} a _{21}&a _{12}#a _{21}&a _{12} a _{21}}}]이다.

모든 성분의 곱이 [eqn: -8]이므로 [eqn: ( a_{12} a_{21} )^{3} = -8]에서 [eqn: a_{12} a_{21} = -2]이다.

모든 성분의 합이 [eqn: -1]이므로 [eqn: 2 a_{12} a_{21} + a_{12} + a_{21} = -1]이다.

[eqn: 2 TIMES ( -2 ) + a_{12} + a_{21} = -1]에서 [eqn: a_{12} + a_{21} = 3]이다.

[eqn: a_{12}^{3} + a_{21}^{3} = ( a_{12} + a_{21} )^{3} - 3 a_{12} a_{21} ( a_{12} + a_{21} )]

[eqn: a_{12}^{3} + a_{21}^{3} = 3^{3} - 3 TIMES ( -2 ) TIMES 3 = 27 + 18 = 45]

따라서 정답은 [eqn: 45]이다.

[eqn: 0]이 아닌 정수 [eqn: a]와 유리수 [eqn: b] [eqn: LEFT ( b> {4} over {a} RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT | {ax-4} over {x-b} RIGHT |&``` LEFT ( x< {4} over {a} ~또는~x>b RIGHT )#ax ^{2} -4bx&``` LEFT ( {4} over {a} LEQ x LEQ b RIGHT )}}]
라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍이 [eqn: LEFT ( a _{1`} ,`b _{1} RIGHT )], [eqn: LEFT ( a _{2} ,`b _{2} RIGHT )]일 때, [eqn: a_{1} TIMES b_{1} TIMES a_{2} TIMES b_{2}]의 값을 구하시오.

(가) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 일대일함수이다.

(나) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = k]의 해가 존재하지 않도록 하는 양수 [eqn: k]의 값을 [eqn: p]라 하고, [eqn: {4} over {a} le x le b]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: p TIMES m = - 64]이다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 유리함수 부분인 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {a x - 4} over {x - b} = a + {a b - 4} over {x - b}]의 치역을 분석한다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 일대일함수이므로 각 구간에서 단조증가 또는 단조감소해야 하며, 치역이 겹치지 않아야 한다.

[eqn: a > 0]일 때, [eqn: b > {4} over {a}]에서 [eqn: a b - 4 > 0]이므로 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 감소함수이다.

[eqn: x < {4} over {a}]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = h LEFT ( x RIGHT )]의 치역은 [eqn: LEFT ( 0 , a RIGHT )]이고, [eqn: x > b]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = h LEFT ( x RIGHT )]의 치역은 [eqn: LEFT ( a , inf RIGHT )]이다.

[eqn: a < 0]일 때, [eqn: a b - 4 < 0]이므로 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 증가함수이다.

[eqn: x < {4} over {a}]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = - h LEFT ( x RIGHT )]의 치역은 [eqn: LEFT ( 0 , - a RIGHT )]이고, [eqn: x > b]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = - h LEFT ( x RIGHT )]의 치역은 [eqn: LEFT ( - a , inf RIGHT )]이다.

두 경우 모두 유리함수 부분의 치역의 합집합은 [eqn: LEFT ( 0 , LEFT | a RIGHT | RIGHT ) CUP LEFT ( LEFT | a RIGHT | , inf RIGHT )]이다.

이차함수 부분 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = a x^{2} - 4 b x]의 정의역은 [eqn: left[` {4} over {a} ,`b`right]]이고, 치역을 [eqn: left[m,`M`right]]이라 하자.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 일대일함수이려면 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 치역이 유리함수 부분의 치역과 겹치지 않아야 하므로 [eqn: M le 0]이어야 한다.

조건 (나)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = k]의 해가 없는 양수 [eqn: k]는 유리함수 점근선에 해당하는 [eqn: p = LEFT | a RIGHT |]뿐이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: left[` {4} over {a} ,`b`right]]에서 단조함수여야 하므로 대칭축 [eqn: x = {2 b} over {a}]는 구간의 바깥에 위치해야 한다.

첫째, [eqn: a > 0]인 경우 ([eqn: p = a])

(1) 대칭축이 왼쪽에 있을 때: [eqn: {2 b} over {a} le {4} over {a}]

즉 [eqn: b le 2][eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 증가함수이므로 최솟값 [eqn: m = g LEFT ( {4} over {a} RIGHT ) = {16 LEFT ( 1 - b RIGHT )} over {a}]이다.

[eqn: p TIMES m = a TIMES {16 LEFT ( 1 - b RIGHT )} over {a} = 16 LEFT ( 1 - b RIGHT ) = - 64]에서 [eqn: b = 5]가 되어 [eqn: b le 2]에 모순이다.

(2) 대칭축이 오른쪽에 있을 때: [eqn: {2 b} over {a} ge b] 즉 [eqn: a le 2]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 감소함수이므로 최솟값 [eqn: m = g LEFT ( b RIGHT ) = b^{2} LEFT ( a - 4 RIGHT )]이다.

[eqn: p TIMES m = a LEFT ( a - 4 RIGHT ) b^{2} = - 64][eqn: a = 1]이면 [eqn: b^{2} = {64} over {3}]이 되어 유리수 조건에 모순이다.

[eqn: a = 2]이면 [eqn: - 4 b^{2} = - 64]에서 [eqn: b^{2} = 16]이고, [eqn: b > {4} over {a} = 2]이므로 [eqn: b = 4]이다.

이때 [eqn: M = g LEFT ( 2 RIGHT ) = - 24 le 0]을 만족하므로 [eqn: LEFT ( a_{1} , b_{1} RIGHT ) = LEFT ( 2 , 4 RIGHT )]이다.

둘째, [eqn: a < 0]인 경우 ([eqn: p = - a])

(1) 대칭축이 왼쪽에 있을 때: [eqn: {2 b} over {a} le {4} over {a}] 즉 [eqn: b ge 2]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 감소함수이므로 최솟값 [eqn: m = g LEFT ( b RIGHT ) = b^{2} LEFT ( a - 4 RIGHT )]이다.

[eqn: p TIMES m = - a LEFT ( a - 4 RIGHT ) b^{2} = - 64]에서 [eqn: a LEFT ( a - 4 RIGHT ) b^{2} = 64]이다.

[eqn: M = g LEFT ( {4} over {a} RIGHT ) = {16 LEFT ( 1 - b RIGHT )} over {a} le 0]에서 [eqn: a < 0]이므로 [eqn: 1 - b ge 0]즉 [eqn: b le 1]이 되어 [eqn: b ge 2]에 모순이다.

(2) 대칭축이 오른쪽에 있을 때: [eqn: {2 b} over {a} ge b] 즉 [eqn: b le 0]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 증가함수이므로 최솟값 [eqn: m = g LEFT ( {4} over {a} RIGHT ) = {16 LEFT ( 1 - b RIGHT )} over {a}]이다.

[eqn: p TIMES m = - a TIMES {16 LEFT ( 1 - b RIGHT )} over {a} = - 16 LEFT ( 1 - b RIGHT ) = - 64]에서 [eqn: b = - 3]이다.

[eqn: b > {4} over {a}]에서 [eqn: - 3 > {4} over {a}]이고 [eqn: a < 0]이므로 [eqn: a > - {4} over {3}]가 되어 정수 [eqn: a = - 1]이다.

이때 [eqn: M = g LEFT ( - 3 RIGHT ) = - 45 le 0]을 만족하므로 [eqn: LEFT ( a_{2} , b_{2} RIGHT ) = LEFT ( - 1 , - 3 RIGHT )]이다.

따라서 모든 순서쌍에 대하여 [eqn: a_{1} TIMES b_{1} TIMES a_{2} TIMES b_{2} = 2 TIMES 4 TIMES LEFT ( - 1 RIGHT ) TIMES LEFT ( - 3 RIGHT ) = 24]이다.

따라서 정답은 [eqn: 24]이다.