수학ETF	2025년_고3_9월	기출문제
	1~30
	기하

[eqn: 5^{sqrt{2} + 1} TIMES LEFT ( {1} over {5} RIGHT )^{sqrt{2}}}]의 값은?

④

[eqn: rm5^{sqrt{2} + 1} TIMES LEFT ( {1} over {5} RIGHT )^{sqrt{2}}][eqn: = 5^{sqrt{2} + 1} TIMES LEFT ( 5^{-1} RIGHT )^{sqrt{2}}][eqn: = 5^{sqrt{2} + 1} TIMES 5^{-sqrt{2}}]

[eqn: = 5^{sqrt{2} + 1 - sqrt{2}}][eqn: = 5^{1}][eqn: = 5]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {25}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 25]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - 4 x + 2]에 대하여 [eqn: lim _{h -> 0} {f(4 + h) - f(4)} over {h}]의 값은?

④

[eqn: lim _{h -> 0} {f(4 + h) - f(4)} over {h} = f'(4)]

[eqn: f(x) = x^{2} - 4 x + 2]

[eqn: f'(x) = 2 x - 4], [eqn: f'(4) = 2 TIMES 4 - 4 = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k = 1} ^{6} LEFT ( 2 a_{k} - 1 RIGHT ) = 30]일 때, [eqn: sum _{k = 1} ^{6} a_{k}]의 값은?

⑤

[eqn: sum _{k = 1} ^{6} LEFT ( 2 a_{k} - 1 RIGHT ) = 30], [eqn: 2 sum _{k = 1} ^{6} a_{k} - sum _{k = 1} ^{6} 1 = 30], [eqn: 2 sum _{k = 1} ^{6} a_{k} - 6 = 30]

[eqn: 2 sum _{k = 1} ^{6} a_{k} = 36], [eqn: sum _{k = 1} ^{6} a_{k} = 18]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 18]

닫힌구간 [eqn: [-2,`2]]에서 정의된 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x -> 0-} f(x) + lim _{x -> 1+} f(x)]의 값은?

①

[eqn: x -> 0-]일 때 [eqn: f(x) -> -1]이므로 [eqn: lim _{x -> 0-} f(x) = -1]

[eqn: x -> 1+]일 때 [eqn: f(x) -> 2]이므로 [eqn: lim _{x -> 1+} f(x) = 2]

[eqn: lim _{x -> 0-} f(x) + lim _{x -> 1+} f(x) = -1 + 2 = 1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x) = LEFT ( x^{2} + 2 RIGHT ) LEFT ( x^{2} + x - 3 RIGHT )]에 대하여 [eqn: f'(1)]의 값은?

②

함수 [eqn: f(x) = LEFT ( x^{2} + 2 RIGHT ) LEFT ( x^{2} + x - 3 RIGHT )]에서 곱의 미분법을 이용하면

[eqn: f'(x) = 2x LEFT ( x^{2} + x - 3 RIGHT ) + LEFT ( x^{2} + 2 RIGHT ) LEFT ( 2x + 1 RIGHT )]

[eqn: x = 1]을 대입하면

[eqn: f'(1) = 2 TIMES LEFT ( 1 + 1 - 3 RIGHT ) + LEFT ( 1 + 2 RIGHT ) LEFT ( 2 + 1 RIGHT )]

[eqn: f'(1) = 2 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) + 3 TIMES 3], [eqn: f'(1) = -2 + 9 = 7]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: cos LEFT ( theta - pi RIGHT ) = {3} over {5}]이고 [eqn: tan theta < 0]일 때, [eqn: sin theta]의 값은?

⑤

[eqn: cos LEFT ( theta - pi RIGHT ) = - cos theta = {3} over {5}]이므로 [eqn: cos theta = - {3} over {5}]

[eqn: cos theta < 0], [eqn: tan theta < 0]이므로 [eqn: theta]는 제[eqn: 2]사분면의 각이고, [eqn: sin theta > 0]이다.

[eqn: sin^2 theta = 1 - cos^2 theta = 1 - LEFT ( - {3} over {5} RIGHT )^2 = {16} over {25}]

[eqn: sin theta > 0]이므로 [eqn: sin theta = {4} over {5}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: - {4} over {5}]	② [eqn: - {3} over {5}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

곡선 [eqn: y = x^{3} - 5 x^{2} + 6 x]위의 점 [eqn: ( 3 , 0 )]에서의 접선이 점 [eqn: ( 5 , a )]를 지날 때, [eqn: a]의 값은?

①

점 [eqn: ( 3 , 0 )]을 지나는 접선의 방정식을 [eqn: y = m ( x - 3 )]이라 하자.

이 직선이 곡선 [eqn: y = x^{3} - 5 x^{2} + 6 x] 위의 점 [eqn: ( 3 , 0 )]에서 접하므로, 방정식 [eqn: x^{3} - 5 x^{2} + 6 x = m ( x - 3 )]은 [eqn: x = 3]을 중근으로 가져야 한다.

[eqn: x ( x^{2} - 5 x + 6 ) - m ( x - 3 ) = 0]

[eqn: x ( x - 2 ) ( x - 3 ) - m ( x - 3 ) = 0]

[eqn: ( x - 3 ) ( x^{2} - 2 x - m ) = 0]

이 방정식이 [eqn: x = 3]을 중근으로 가지려면 이차방정식 [eqn: x^{2} - 2 x - m = 0]이 [eqn: x = 3]을 근으로 가져야 한다.

[eqn: 3^{2} - 2 CDOT 3 - m = 0], [eqn: m = 3]

따라서 접선의 방정식은 [eqn: y = 3 ( x - 3 )]이다.

이 접선이 점 [eqn: ( 5 , a )]를 지나므로 [eqn: a = 3 ( 5 - 3 ) = 6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]가
[eqn: log _{sqrt {2}} a + log _{2} b = 2], [eqn: log _{2} a + log _{2} b ^{2} = 7]
을 만족시킬 때, [eqn: a TIMES b]의 값은?

③

[eqn: log _{sqrt {2}} a + log _{2} b = 2]에서 [eqn: log _{sqrt {2}} a = 2 log _{2} a]이므로

[eqn: 2 log _{2} a + log _{2} b = 2], [eqn: log _{2} a + log _{2} b ^{2} = 7]에서

[eqn: log _{2} a + 2 log _{2} b = 7]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: log _{2} a = -1], [eqn: log _{2} b = 4], [eqn: a = 2 ^{-1} = 1 over 2], [eqn: b = 2 ^{4} = 16]

[eqn: a TIMES b = 1 over 2 TIMES 16 = 8]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

다항함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라 하고, 함수 [eqn: 2 f(x) + 1]의 한 부정적분을 [eqn: G(x)]라 하자. [eqn: G(3) = 2 F(3)]일 때, [eqn: G(5) - 2 F(5)]의 값은?

②

[eqn: G(x) = int {2 f(x) + 1} dx], [eqn: G(x) = 2 int f(x) dx + int 1 dx]

[eqn: G(x) = 2 F(x) + x + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: G(3) = 2 F(3)]이므로

[eqn: 2 F(3) + 3 + C = 2 F(3)]

[eqn: C = -3]

[eqn: G(x) = 2 F(x) + x - 3]

[eqn: G(5) - 2 F(5) = 2 F(5) + 5 - 3 - 2 F(5) = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자.
[eqn: a_2 =1], [eqn: sum _{k=1} ^{6} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k} S _{k} =21]
일 때, [eqn: S_{2} + S_{7}]의 값은?

③

등비수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 하자.

모든 항이 양수이므로 [eqn: a > 0], [eqn: r > 0]이다.

[eqn: a_{2} = ar = 1]

[eqn: sum _{k = 1}^{6} LEFT ( - 1 RIGHT )^{k} S_{k} = - S_{1} + S_{2} - S_{3} + S_{4} - S_{5} + S_{6}]

[eqn: LEFT ( S_{2} - S_{1} RIGHT ) + LEFT ( S_{4} - S_{3} RIGHT ) + LEFT ( S_{6} - S_{5} RIGHT ) = a_{2} + a_{4} + a_{6}]

[eqn: a_{2} + a_{4} + a_{6} = 21], [eqn: ar + ar^{3} + ar^{5} = 21]

[eqn: ar = 1]이므로 [eqn: 1 + r^{2} + r^{4} = 21], [eqn: r^{4} + r^{2} - 20 = 0]

[eqn: LEFT ( r^{2} + 5 RIGHT ) LEFT ( r^{2} - 4 RIGHT ) = 0]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: r^{2} = 4]에서 [eqn: r = 2]

[eqn: a TIMES 2 = 1]에서 [eqn: a = {1} over {2}]

[eqn: S_{n} = {{1} over {2} LEFT ( 2^{n} - 1 RIGHT )} over {2 - 1} = {1} over {2} LEFT ( 2^{n} - 1 RIGHT )]

[eqn: S_{2} = {1} over {2} LEFT ( 2^{2} - 1 RIGHT ) = {3} over {2}]

[eqn: S_{7} = {1} over {2} LEFT ( 2^{7} - 1 RIGHT ) = {127} over {2}]

[eqn: S_{2} + S_{7} = {3} over {2} + {127} over {2} = {130} over {2} = 65]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 61]	② [eqn: 63]	③ [eqn: 65]

④ [eqn: 67]	⑤ [eqn: 69]

시각 [eqn: t = 0]일 때 원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 시각이 [eqn: t][eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]일 때 점 [eqn: rmP]의 속도 [eqn: v(t)]가
[eqn: v(t) = 3 t^{2} - 10 t + 7]
이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 시각 [eqn: t = 1]일 때 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 바뀐다. ㄴ. 시각 [eqn: t = 1]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 3]이다. ㄷ. 시각 [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = 2]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는 [eqn: 4]이다.

⑤

[eqn: v(t) = 3 t^{2} - 10 t + 7 = ( 3 t - 7 ) ( t - 1 )]

ㄱ. [eqn: t = 1]전후로 [eqn: v(t)]의 부호가 양수에서 음수로 바뀌므로 운동 방향이 바뀐다. (참)

ㄴ. 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x(t)]는

[eqn: x(t) = int_{0}^{t} ( 3 s^{2} - 10 s + 7 ) ds = t^{3} - 5 t^{2} + 7 t]

[eqn: t = 1]일 때 위치는 [eqn: x(1) = 1 - 5 + 7 = 3]이다. (참)

ㄷ. [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = 2]까지 움직인 거리는

[eqn: int_{0}^{2} LEFT | v(t) RIGHT | dt = int_{0}^{1} v(t) dt - int_{1}^{2} v(t) dt]

[eqn: = LEFT [ t^{3} - 5 t^{2} + 7 t RIGHT ]_{0}^{1} - LEFT [ t^{3} - 5 t^{2} + 7 t RIGHT ]_{1}^{2}][eqn: = 3 - ( 2 - 3 ) = 4](참)

따라서 정답은 ⑤이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

상수 [eqn: a][eqn: LEFT ( a>1 RIGHT )]과 양수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y = a^{x}]과 두 직선 [eqn: x = t], [eqn: x = 2 t]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC]라 하자. [eqn: rmoverline {AB} = overline {AC}]이고 삼각형 [eqn: rmACB]의 넓이가 [eqn: 8]일 때, [eqn: a TIMES t]의 값은?

①

점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]의 좌표는 각각 [eqn: rmA LEFT ( itt,`a ^{t} RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( it2t,`a ^{2t} RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( it2t,`0 RIGHT )]이다.

[eqn: rmoverline {AB} = overline {AC}]에서 [eqn: rmoverline {AB}^{2} = overline {AC}^{2}]이므로

[eqn: LEFT ( 2 t - t RIGHT )^{2} + LEFT ( a^{2 t} - a^{t} RIGHT )^{2} = LEFT ( 2 t - t RIGHT )^{2} + LEFT ( 0 - a^{t} RIGHT )^{2}]

[eqn: t^{2} + LEFT ( a^{2 t} - a^{t} RIGHT )^{2} = t^{2} + a^{2 t}]

[eqn: LEFT ( a^{2 t} - a^{t} RIGHT )^{2} = a^{2 t}]

[eqn: a > 1], [eqn: t > 0]이므로 [eqn: a^{2 t} - a^{t} > 0]

[eqn: a^{2 t} - a^{t} = a^{t}], [eqn: a^{2 t} = 2 a^{t}], [eqn: a^{t} = 2]

삼각형 [eqn: rmACB]의 넓이가 [eqn: 8]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rmBC}} TIMES t=8], [eqn: {1} over {2} TIMES a^{2 t} TIMES t = 8]

[eqn: a^{t} = 2]에서 [eqn: a^{2 t} = 4]이므로 [eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES t = 8], [eqn: t = 4]

[eqn: a^{4} = 2]에서 [eqn: a = 2^{{1} over {4}}]

[eqn: a TIMES t = 2^{{1} over {4}} TIMES 4 = 2^{{1} over {4}} TIMES 2^{2} = 2^{{9} over {4}}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 2^{{9} over {4}}]	② [eqn: 2^{{23} over {8}}]	③ [eqn: 2^{{7} over {2}}]

④ [eqn: 2^{{33} over {8}}]	⑤ [eqn: 2^{{19} over {4}}]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} + 6 x + 12]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: k]의 개수는?

모든 실수 [eqn: a]에 대하여

[eqn: lim _{x -> a} {x^{2}} over {LEFT ( f(x) RIGHT )^{2} - k LEFT ( x + 2 RIGHT ) f(x)}]의 값이 존재한다.

④

주어진 식의 분모를 [eqn: g(x)]라 하면

[eqn: g(x) = LEFT ( f(x) RIGHT )^{2} - k LEFT ( x + 2 RIGHT ) f(x) = f(x) LEFT { f(x) - k LEFT ( x + 2 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: f(x) = x^{2} + 6 x + 12 = LEFT ( x + 3 RIGHT )^{2} + 3 > 0]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) neq 0]이다.

[eqn: h(x) = f(x) - k LEFT ( x + 2 RIGHT ) = x^{2} + LEFT ( 6 - k RIGHT ) x + 12 - 2 k]라 하자.

모든 실수 [eqn: a]에 대하여 주어진 값이 존재하려면, 분모가 [eqn: 0]이 되는 [eqn: x]의 값이 분자 [eqn: x^{2} = 0]을 만족하는 [eqn: x = 0]뿐이어야 하며, 그 중복도가 [eqn: 2]이하이어야 한다.

즉, 이차방정식 [eqn: h(x) = 0]은 [eqn: 0]이 아닌 실근을 가질 수 없다.

첫째, [eqn: h(x) = 0]이 실근을 갖지 않는 경우

판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D = LEFT ( 6 - k RIGHT )^{2} - 4 LEFT ( 12 - 2 k RIGHT ) < 0]

[eqn: k^{2} - 4 k - 12 < 0]

[eqn: LEFT ( k - 6 RIGHT ) LEFT ( k + 2 RIGHT ) < 0]

[eqn: - 2 < k < 6]

이를 만족하는 정수 [eqn: k]는 [eqn: - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]이다.

둘째, [eqn: h(x) = 0]이 [eqn: x = 0]을 실근으로 갖는 경우

[eqn: h(0) = 12 - 2 k = 0]에서 [eqn: k = 6]이다.

[eqn: k = 6]일 때 [eqn: h(x) = x^{2}]이므로 [eqn: x = 0]이외의 실근을 갖지 않는다.

이때 주어진 식은 [eqn: lim _{x -> a} {x^{2}} over {f(x) x^{2}} = lim _{x -> a} {1} over {f(x)}]이 되어 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 값이 존재한다.

따라서 [eqn: k = 6]도 조건을 만족한다.

조건을 만족하는 모든 정수 [eqn: k]는 [eqn: - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]으로 총 [eqn: 8]개이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

양수 [eqn: k]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { x left|0 LEQ x< {3k pi } over {2} ,x != {k pi } over {2} RIGHT }]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = tan {x} over {k}]가 있다. 점 [eqn: rmP LEFT ( 0, itp RIGHT )][eqn: LEFT ( p>0 RIGHT )]을 지나며 [eqn: x]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 만나는 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: LEFT ( rmbarPA <rmbarPB RIGHT )]라 하고, 직선 [eqn: y = - p]가 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. [eqn: rmoverline {AB} = 3 overline {PA}]이고 삼각형 [eqn: rmOCB]의 넓이가 [eqn: {5 pi } over {3}]일 때, [eqn: k + p]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

함수 [eqn: f(x) = tan {x} over {k}]의 주기는 [eqn: k pi]이다.

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: rmA LEFT ( italpha,`p RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it alpha +k`pi,`p RIGHT )]이다.

[eqn: rmP LEFT ( 0,`itp RIGHT )]이므로 [eqn: rmbarPA`=italpha], [eqn: rmbarAB`=itk`pi]이다.

[eqn: rmoverline {AB} = 3 overline {PA}]이므로 [eqn: k pi = 3 alpha], 즉 [eqn: alpha = {k pi } over {3}]이다.

[eqn: p = f LEFT ( {k pi } over {3} RIGHT ) = tan { pi } over {3} = sqrt {3}]

점 [eqn: rmC]는 직선 [eqn: y = - sqrt {3}]과 함수 [eqn: y = f(x)]의 교점이다.

[eqn: tan {x} over {k} = - sqrt {3}]에서 주어진 범위에 의해 [eqn: {x} over {k} = {2 pi } over {3}]이다.

[eqn: x = {2 k pi } over {3}]이므로 [eqn: rmC LEFT ( it {2k`pi} over {3} ,`- sqrt {3} RIGHT )]이다.

점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: rmB LEFT ( it {4k`pi} over {3} ,` sqrt {3} RIGHT )]이다.

선분 [eqn: rmBC]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자.

점 [eqn: rmB]와 점 [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표가 각각 [eqn: sqrt {3}], [eqn: - sqrt {3}]이므로 점 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmBC]의 중점인 [eqn: rmD LEFT ( itk`pi,`0 RIGHT )]이다.

삼각형 [eqn: rmOCB]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmODB]와 삼각형 [eqn: rmODC]의 넓이의 합과 같다.

[eqn: LEFT ( {1} over {2} TIMES k pi TIMES sqrt {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} TIMES k pi TIMES sqrt {3} RIGHT ) = sqrt {3} k pi]

삼각형 [eqn: rmOCB]의 넓이가 [eqn: {5 pi } over {3}]이므로 [eqn: sqrt {3} k pi = {5 pi } over {3}]이다.

[eqn: k = {5 sqrt {3}} over {9}], [eqn: k + p = {5 sqrt {3}} over {9} + sqrt {3} = {14 sqrt {3}} over {9}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {13 sqrt {3}} over {9}]	③ [eqn: {14 sqrt {3}} over {9}]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {16 sqrt {3}} over {9}]

최고차항의 계수가 양수이고 [eqn: f(0) = 0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수
[eqn: g(x) = int _{0}^{x} ( |f(t)| - |t| ) dt]
가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: g'(x) = 0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x = 2], [eqn: x = 6]에서 극값을 갖는다.

[eqn: f(6) TIMES g(2) < 0]일 때, [eqn: f(8)]의 값은?

⑤

[eqn: g'(x) = |f(x)| - |x|]

방정식 [eqn: g'(x) = 0]의 실근은 [eqn: f(x) = x]또는 [eqn: f(x) = -x]의 근이다.

[eqn: f(0) = 0]이므로 [eqn: x = 0]은 항상 실근이다.

조건 (나)에 의해 [eqn: x = 2], [eqn: x = 6]은 [eqn: g'(x) = 0]의 실근이다.

조건 (가)에 의해 실근이 [eqn: 4]개이므로, [eqn: f(x) - x = 0]과 [eqn: f(x) + x = 0]의 근의 합집합은 [eqn: {0, 2, 6, alpha }]이다.

[eqn: f(x)]는 삼차함수이므로 두 방정식 중 하나는 중근을 가져야 한다.

[경우 1] [eqn: f(x) - x = 0]이 [eqn: x = 0], [eqn: x = 2], [eqn: x = 6]을 근으로 갖고, [eqn: f(x) + x = 0]이 [eqn: x = alpha]에서 중근을 갖는 경우

[eqn: f(x) - x = ax(x - 2)(x - 6)], [eqn: f(x) + x = ax(x - alpha )^{2}]

[eqn: f(x) = ax(x - 2)(x - 6) + x]

[eqn: f(x) + x = ax(x^{2} - 8x + 12) + 2x = ax LEFT ( x^{2} - 8x + 12 + {2} over {a} RIGHT )]

이 식이 [eqn: ax(x^{2} - 2 alpha x + alpha ^{2})]과 같아야 하므로 계수를 비교하면

[eqn: 2 alpha = 8], [eqn: alpha ^{2} = 12 + {2} over {a}] 따라서 [eqn: alpha = 4], [eqn: a = {1} over {2}]이다.

[eqn: f(x) = {1} over {2} x(x - 2)(x - 6) + x]

이때 [eqn: f(6) = 6 > 0]이고, [eqn: 0 < t < 2]에서 [eqn: f(t) - t = {1} over {2} t(t - 2)(t - 6) > 0]이므로 [eqn: |f(t)| = f(t)]이다.

[eqn: g(2) = int _{0}^{2} ( f(t) - t ) dt > 0]

따라서 [eqn: f(6) TIMES g(2) > 0]이 되어 조건에 모순이다.

[경우 2] [eqn: f(x) + x = 0]이 [eqn: x = 0], [eqn: x = 2], [eqn: x = 6]을 근으로 갖고, [eqn: f(x) - x = 0]이 [eqn: x = alpha]에서 중근을 갖는 경우

[eqn: f(x) + x = ax(x - 2)(x - 6)], [eqn: f(x) - x = ax(x - alpha )^{2}]

[eqn: f(x) = ax(x - 2)(x - 6) - x]

[eqn: f(x) - x = ax(x^{2} - 8x + 12) - 2x = ax LEFT ( x^{2} - 8x + 12 - {2} over {a} RIGHT )]

계수를 비교하면 [eqn: 2 alpha = 8], [eqn: alpha ^{2} = 12 - {2} over {a}]

따라서 [eqn: alpha = 4], [eqn: a = - {1} over {2}]이다.

최고차항의 계수가 양수라는 조건에 모순이다.

[경우 3] [eqn: f(x) + x = 0]이 [eqn: x = 0]에서 중근을 갖고, [eqn: f(x) - x = 0]이 [eqn: x = 6]을 근으로 갖는 경우

[eqn: f(x) + x = ax^{2}(x - 2)], [eqn: f(x) - x = ax(x - 6)(x - beta )]

[eqn: f(x) = ax^{2}(x - 2) - x]

[eqn: f(x) - x = ax^{2}(x - 2) - 2x = ax LEFT ( x^{2} - 2x - {2} over {a} RIGHT )]

계수를 비교하면 [eqn: 6 + beta = 2], [eqn: 6 beta = - {2} over {a}]

따라서 [eqn: beta = -4], [eqn: a = {1} over {12}]이다.

[eqn: f(x) = {1} over {12} x^{2}(x - 2) - x]

이때 [eqn: f(6) = 6 > 0]이고, [eqn: 0 < t < 2]에서 [eqn: f(t) + t = {1} over {12} t^{2}(t - 2) < 0]이므로 [eqn: f(t) < -t < 0]이다.

[eqn: |f(t)| = -f(t)]이므로 [eqn: |f(t)| - t = -f(t) - t = - ( f(t) + t ) > 0]이다.

[eqn: g(2) = int _{0}^{2} ( |f(t)| - t ) dt > 0]

따라서 [eqn: f(6) TIMES g(2) > 0]이 되어 조건에 모순이다.

[경우 4] [eqn: f(x) - x = 0]이 [eqn: x = 0]에서 중근을 갖고, [eqn: f(x) + x = 0]이 [eqn: x = 2]를 근으로 갖는 경우

[eqn: f(x) - x = ax^{2}(x - 6)], [eqn: f(x) + x = ax(x - 2)(x - alpha )]

[eqn: f(x) = ax^{2}(x - 6) + x]

[eqn: f(x) + x = ax^{2}(x - 6) + 2x = ax LEFT ( x^{2} - 6x + {2} over {a} RIGHT )]

계수를 비교하면 [eqn: 2 + alpha = 6], [eqn: 2 alpha = {2} over {a}]

따라서 [eqn: alpha = 4], [eqn: a = {1} over {4}]이다.

[eqn: f(x) = {1} over {4} x^{2}(x - 6) + x]

이때 [eqn: f(6) = 6 > 0]이고, [eqn: 0 < t < 2]에서 [eqn: f(t) - t = {1} over {4} t^{2}(t - 6) < 0]이므로 [eqn: f(t) < t]이다.

또한 [eqn: f(t) + t = {1} over {4} t(t - 2)(t - 4) > 0]이므로 [eqn: f(t) > -t]이다.

즉, [eqn: -t < f(t) < t]이므로 [eqn: |f(t)| < t]이다.

[eqn: g(2) = int _{0}^{2} ( |f(t)| - t ) dt < 0]

따라서 [eqn: f(6) TIMES g(2) < 0]이 되어 모든 조건을 만족한다.

최종적으로 [eqn: f(x)]의 값을 구하면 다음과 같다.

[eqn: f(8) = {1} over {4} TIMES 64 TIMES 2 + 8 = 40]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 40]

수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]은 [eqn: a_{1} = 1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{n + 1} = n a_{n} + 2]
를 만족시킨다. [eqn: a_{3}]의 값을 구하시오.

[eqn: 8]

[eqn: a_{n + 1} = n a_{n} + 2]에 [eqn: n = 1]을 대입하면

[eqn: a_{2} = 1 TIMES a_{1} + 2 = 1 TIMES 1 + 2 = 3]

[eqn: n = 2]를 대입하면 [eqn: a_{3} = 2 TIMES a_{2} + 2 = 2 TIMES 3 + 2 = 8]

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x) = 3 x^{2} + 2 x + 1]이고 [eqn: f(1) = 6]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 17]

[eqn: f'(x) = 3 x^{2} + 2 x + 1][eqn: f(x) = int ( 3 x^{2} + 2 x + 1 ) dx = x^{3} + x^{2} + x + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(1) = 1 + 1 + 1 + C = 6], [eqn: C = 3]

[eqn: f(x) = x^{3} + x^{2} + x + 3], [eqn: f(2) = 2^{3} + 2^{2} + 2 + 3 = 17]

따라서 정답은 [eqn: 17]이다.

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: a_{3} = 6, 2 a_{5} - a_{4} = 15]
일 때, [eqn: a_{11}]의 값을 구하시오.

[eqn: 30]

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_{3} = a + 2d = 6]

[eqn: 2 a_{5} - a_{4} = 2 LEFT ( a + 4d RIGHT ) - LEFT ( a + 3d RIGHT ) = a + 5d = 15]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: 3d = 9]에서 [eqn: d = 3], [eqn: a + 6 = 6]에서 [eqn: a = 0]

따라서 [eqn: a_{11} = a + 10d = 0 + 10 TIMES 3 = 30]

따라서 정답은 [eqn: 30]이다.

함수 [eqn: f(x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 5 a]의 극솟값이 [eqn: a]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: 10]

[eqn: f(x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 5 a]

[eqn: f'(x) = 6 x^{2} - 6 a x = 6 x ( x - a )]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = 0]또는 [eqn: x = a]

함수 [eqn: f(x)]가 극값을 가지므로 [eqn: a neq 0]

[eqn: a > 0]인 경우

[eqn: x = a]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: f(a) = - a^{3} + 5 a = a]

[eqn: a^{3} - 4 a = 0]

[eqn: a ( a - 2 ) ( a + 2 ) = 0]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = 2]

이때 극댓값은 [eqn: x = 0]에서 가지므로 [eqn: f(0) = 5 a = 10]

[eqn: a < 0]인 경우

[eqn: x = 0]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: f(0) = 5 a = a]

[eqn: a = 0]이 되어 [eqn: a < 0]에 모순

따라서 정답은 [eqn: 10]이다.

그림과 같이 사각형 [eqn: rmABCD]가 한 원에 내접하고 [eqn: rmoverline {AB} : overline {CD} = 1 : 3], [eqn: rmoverline {BC} < overline {AD}]일 때, 직선 [eqn: rmAB]와 직선 [eqn: rmCD]가 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자.

다음은 [eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} : overline {BC} = 7 : 5 : sqrt {14}]이고 [eqn: rmoverline {AD} = 4 sqrt {13}]일 때, 삼각형 [eqn: rmBPC]의 외접원의 반지름의 길이를 구하는 과정이다.

[eqn: rmangle BPC = theta]라 할 때, [eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} : overline {BC} = 7 : 5 : sqrt {14}]이므로

삼각형 [eqn: rmBPC]에서 코사인법칙에 의하여 [eqn: cos theta = {6} over {7}]이다.

[eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} = 7 : 5]에서 [eqn: rmbarPB =it7k], [eqn: rmbarPC =it5k], [eqn: rmoverline {AB} : overline {CD} = 1 : 3]에서

[eqn: rmbarAB it=itl], [eqn: rmbarCD =3itl]이라 하자. 원의 성질에 의하여 삼각형

[eqn: rmBPC]와 삼각형 [eqn: rmDPA]가 서로 닮음이므로

[eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} = overline {PD} : overline {PA}]이고, [eqn: l= {BOX{```(가)```}} TIMES k]이다. 삼각형 [eqn: rmBPC]와

삼각형 [eqn: rmDPA]의 닮음비가 [eqn: 1 : (나)]이므로

[eqn: rm {bar{BC}} = {1} over {{BOX{```(나)```}}} TIMES {bar{AD}}]이다. 따라서 삼각형 [eqn: rmBPC]의 외접원의

반지름의 길이를 [eqn: R]이라 할 때, 삼각형 [eqn: rmBPC]에서

사인법칙에 의하여 [eqn: R= {BOX{```(다)```}}]이다.

위의 [eqn: (가), (나), (다)]에 알맞은 수를 각각 [eqn: p, q, r]이라 할 때, [eqn: p + q + r]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

[eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} = overline {PD} : overline {PA}]

[eqn: 7 k : 5 k = ( 5 k + 3 l ) : ( 7 k + l )]

[eqn: 7 ( 7 k + l ) = 5 ( 5 k + 3 l )]

[eqn: 49 k + 7 l = 25 k + 15 l]

[eqn: 8 l = 24 k]

[eqn: l = 3 k]

따라서 [eqn: (가) = 3]이므로 [eqn: p = 3]이다.

삼각형 [eqn: rmBPC]와 삼각형 [eqn: rmDPA]의 닮음비는 [eqn: rmoverline {PC} : overline {PA}]이다.

[eqn: {bar{rmPA}} =7k+l=7k+3k=10k]

[eqn: {bar{rmPC}} : {bar{rmPA}} =5k:10k=1:2]

따라서 [eqn: (나) = 2]이므로 [eqn: q = 2]이다.

[eqn: rmoverline {BC} = {1} over {2} TIMES overline {AD} = {1} over {2} TIMES 4 sqrt {13} = 2 sqrt {13}]

[eqn: cos theta = {6} over {7}]이므로 [eqn: sin theta = sqrt {1 - LEFT ( {6} over {7} RIGHT )^{2}} = {sqrt {13}} over {7}]

삼각형 [eqn: rmBPC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: 2R= {{bar{rmBC}}} over {sin theta } = {2 sqrt {13}} over {{sqrt {13}} over {7}} =14][eqn: R = 7]

따라서 [eqn: (다) = 7]이므로 [eqn: r = 7]이다.

[eqn: p + q + r = 3 + 2 + 7 = 12]

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f ( x )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f prime ( 10 )]의 값을 구하시오.

[eqn: 0]이 아닌 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: {f prime ( x )} over {2} + x^{2} - 2 le {f ( 2 x ) - f ( 0 )} over {2 x} le x^{4}]

이다.

[eqn: 296]

[eqn: f ( x ) = x^{3} + a x^{2} + b x + c]라 하면

[eqn: f prime ( x ) = 3 x^{2} + 2 a x + b]

[eqn: {f ( 2 x ) - f ( 0 )} over {2 x} = {8 x^{3} + 4 a x^{2} + 2 b x} over {2 x} = 4 x^{2} + 2 a x + b]

주어진 부등식에 대입:

[eqn: {3 x^{2} + 2 a x + b} over {2} + x^{2} - 2 le 4 x^{2} + 2 a x + b le x^{4}]

왼쪽 부등식 정리:

[eqn: {3} over {2} x^{2} + a x + {b} over {2} + 2 ge 0]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하므로 판별식 [eqn: D le 0]:

[eqn: D = a^{2} - 4 TIMES {3} over {2} LEFT ( {b} over {2} + 2 RIGHT ) = a^{2} - 3 b - 12 le 0], [eqn: b ge {a^{2} - 12} over {3}]

오른쪽 부등식 정리:

[eqn: x^{4} - 4 x^{2} - 2 a x - b ge 0]

[eqn: x = sqrt {2}]대입: [eqn: 4 - 8 - 2 sqrt {2} a - b ge 0]에서 [eqn: b le -4 - 2 sqrt {2} a]

[eqn: x = - sqrt {2}]대입: [eqn: 4 - 8 + 2 sqrt {2} a - b ge 0]에서 [eqn: b le -4 + 2 sqrt {2} a]

두 식을 더하면 [eqn: 2 b le -8]이므로 [eqn: b le -4][eqn: b]의 조건 결합:

[eqn: {a^{2} - 12} over {3} le b le -4], [eqn: a^{2} - 12 le -12]에서 [eqn: a^{2} le 0]

실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a = 0]이고 [eqn: b = -4]

따라서 [eqn: f prime ( x ) = 3 x^{2} - 4], [eqn: f prime ( 10 ) = 3 TIMES 10^{2} - 4 = 296]

따라서 정답은 [eqn: 296]이다.

곡선 [eqn: y = log _{2} x]위에 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 있다. 점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: y = x]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP]라 하고, 점 [eqn: rmB]를 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) (직선 AP의 [eqn: y]절편)-(직선 BQ의 [eqn: y]절편) [eqn: = { 13 } over { 2 }]

(나) 직선 AB의 기울기는 [eqn: { 6 } over { 7 }]이다.

사각형 APQB의 넓이가 [eqn: { q } over { p }]일 때, [eqn: p + q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 73]

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표를 각각 [eqn: rmA LEFT ( ita,`log` _{2} `a RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( itb,`log` _{2} `b RIGHT )]라 하자.

점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: y = x]에 내린 수선의 발이 [eqn: rmP]이므로 직선 [eqn: rmAP]의 기울기는 [eqn: -1]이다.

직선 [eqn: rmAP]의 방정식은 [eqn: y = -(x - a) + log_{2} a = -x + a + log_{2} a]

직선 [eqn: rmAP]의 [eqn: y]절편은 [eqn: a + log_{2} a]이다.

점 [eqn: rmB]를 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: rm Q`it(log _{2} b,b)]이다.

직선 [eqn: rmBQ]의 기울기는 [eqn: {b - log_{2} b} over {log_{2} b - b} = -1]이다.

직선 [eqn: rmBQ]의 방정식은 [eqn: y = -(x - b) + log_{2} b = -x + b + log_{2} b]

직선 [eqn: rmBQ]의 [eqn: y]절편은 [eqn: b + log_{2} b]이다.

조건 (가)에 의해 [eqn: (a + log_{2} a) - (b + log_{2} b) = {13} over {2}]

조건 (나)에 의해 직선 [eqn: rmAB]의 기울기는 [eqn: {log_{2} a - log_{2} b} over {a - b} = {6} over {7}]

[eqn: a - b = X], [eqn: log_{2} a - log_{2} b = Y]라 하면

[eqn: X + Y = {13} over {2}], [eqn: {Y} over {X} = {6} over {7}]

위 두 식을 연립하면 [eqn: X = {7} over {6} Y]이므로 [eqn: {7} over {6} Y + Y = {13} over {6} Y = {13} over {2}], [eqn: Y = 3], [eqn: X = {7} over {2}]

[eqn: log_{2} a - log_{2} b = log_{2} LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) = 3]에서 [eqn: a = 8b]

[eqn: a - b = 8b - b = 7b = {7} over {2}]에서 [eqn: b = {1} over {2}][eqn: a = 4]

따라서 두 점의 좌표는 [eqn: rmA(4, 2)], [eqn: rmB LEFT ( {1} over {2}, -1 RIGHT )]이다.

직선 [eqn: rmAP]의 방정식은 [eqn: y = -x + 6]이고, 직선 [eqn: y = x]와의 교점은 [eqn: rmP(3, 3)]이다.

점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: rmQ LEFT ( -1, {1} over {2} RIGHT )]이다.

사각형 [eqn: rmAPQB]는 [eqn: rmoverline {AP}]와 [eqn: rmoverline {BQ}]가 평행한 사다리꼴이다.

[eqn: rmoverline {AP} = sqrt {(4 - 3)^{2} + (2 - 3)^{2}} = sqrt {2}]

[eqn: rmoverline {BQ} = sqrt {LEFT ( {1} over {2} - (-1) RIGHT )^{2} + LEFT ( -1 - {1} over {2} RIGHT )^{2}} = {3 sqrt {2}} over {2}]

두 평행한 직선 [eqn: x + y - 6 = 0]과 [eqn: x + y + {1} over {2} = 0]사이의 거리 [eqn: d]는 [eqn: d = {LEFT | -6 - {1} over {2} RIGHT |} over {sqrt {1^{2} + 1^{2}}} = {13} over {2 sqrt {2}}]

사각형 [eqn: rmAPQB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( sqrt {2} + {3 sqrt {2}} over {2} RIGHT ) TIMES {13} over {2 sqrt {2}} = {65} over {8}]

[eqn: p = 8], [eqn: q = 65]이므로 [eqn: p + q = 73]

따라서 정답은 [eqn: 73]이다.

포물선 [eqn: y^{2} = 8 x]의 초점의 좌표가 [eqn: (p, 0)]일 때, [eqn: p]의 값은?

②

포물선의 방정식 [eqn: y^{2} = 4 p x]의 초점의 좌표는 [eqn: (p, 0)]이다.

주어진 포물선의 방정식이 [eqn: y^{2} = 8 x]이므로

[eqn: 4 p = 8], [eqn: p = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

좌표평면에서 두 직선
[eqn: {{x - 1} over {2}} = y - 4], [eqn: {{x + 2} over {8}} = {{y + 5} over {a}}]
가 서로 평행할 때, 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a neq 0])

④

주어진 두 직선의 방정식을 [eqn: y]에 대하여 정리하면

[eqn: y = {1 over 2} x + {7 over 2}], [eqn: y = {a over 8} x + {a over 4} - 5]

두 직선이 서로 평행하므로 기울기가 같다.

[eqn: {1 over 2} = {a over 8}], [eqn: a = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

좌표공간의 점 [eqn: rmA(4, 3, - 9)]를 [eqn: x y]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmA]를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmC]라 할 때, 선분 [eqn: rmBC]의 길이는?

①

점 [eqn: rmA(4, 3, -9)]를 [eqn: xy]평면에 대하여 대칭이동한 점

[eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: rmB(4, 3, 9)]

점 [eqn: rmA(4, 3, -9)]를 원점에 대하여 대칭이동한 점

[eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: rmrmC(-4, -3, 9)]

선분 [eqn: rmBC]의 길이는

[eqn: rmoverline {BC} = sqrt{(-4 - 4)^2 + (-3 - 3)^2 + (9 - 9)^2}]

[eqn: = sqrt{(-8)^2 + (-6)^2}][eqn: = sqrt{64 + 36}][eqn: = sqrt{100} = 10]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

그림과 같이 [eqn: rmbarAB`=10], [eqn: rmbarAD`=5], [eqn: rmbarAE`=1]인 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]가 있다. 점 [eqn: rmA]와 직선 [eqn: rmFH]사이의 거리는?

①

점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: rmEFGH]에 내린 수선의 발은 점 [eqn: rmE]이다.

점 [eqn: rmE]에서 직선 [eqn: rmFH]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP]라 하면, 삼수선의 정리에 의해 [eqn: rmoverline {AP} BOT overline {FH}]이다.

따라서 구하는 거리는 선분 [eqn: rmAP]의 길이이다.

직각삼각형 [eqn: rmEFH]에서 [eqn: rmoverline {EF} = 10], [eqn: rmoverline {EH} = 5]이므로

[eqn: rmoverline {FH} = sqrt {10^{2} + 5^{2}} = 5 sqrt {5}]

삼각형 [eqn: rmEFH]의 넓이에서 [eqn: rmoverline {EF} TIMES overline {EH} = overline {FH} TIMES overline {EP}]이므로

[eqn: rm10 TIMES 5 = 5 sqrt {5} TIMES overline {EP}], [eqn: rmoverline {EP} = {50} over {5 sqrt {5}} = 2 sqrt {5}]

직각삼각형 [eqn: rmAEP]에서 [eqn: rmoverline {AE} = 1]이므로

[eqn: rmoverline {AP} = sqrt {overline {AE}^{2} + overline {EP}^{2}} = sqrt {1^{2} + LEFT ( 2 sqrt {5} RIGHT )^{2}} = sqrt {1 + 20} = sqrt {21}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: sqrt {21}]	② [eqn: sqrt {22}]	③ [eqn: sqrt {23}]

④ [eqn: 2 sqrt {6}]	⑤ [eqn: 5]

두 초점이 [eqn: rmF LEFT ( it0,`c RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( it0,`-c RIGHT )][eqn: ( c > 0 )]인 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} = -1]위의 점 [eqn: rmP]가 제 [eqn: 2]사분면에 있다. 삼각형 [eqn: rmPF ' F]의 둘레의 길이가 [eqn: 30]일 때, 이 쌍곡선 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기는?

②

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} = -1]에서 [eqn: c ^{2} = 9 + 16 = 25]이므로 [eqn: c = 5]

두 초점은 [eqn: rmF ( 0 , 5 )], [eqn: rmF ' ( 0 , -5 )]이고, [eqn: rmoverline {FF '} = 10]

삼각형 [eqn: rmPF ' F]의 둘레의 길이가 [eqn: 30]이므로

[eqn: rmoverline {PF} + overline {PF '} + overline {FF '} = 30], [eqn: rmoverline {PF} + overline {PF '} = 20]

쌍곡선의 정의에 의해 [eqn: rm| overline {PF '} - overline {PF} | = 2 TIMES 4 = 8]

점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 2]사분면에 있으므로 [eqn: rmoverline {PF '} > overline {PF}], [eqn: rmoverline {PF '} - overline {PF} = 8]

두 식을 연립하면 [eqn: rmoverline {PF '} = 14], [eqn: rmoverline {PF} = 6]

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: ( x _{1} , y _{1} )]이라 하면

[eqn: {bar{rmPF}} ^{2} =x _{1} ^{2} +(y _{1} -5) ^{2} =36][eqn: {bar{rmPF prime }} ^{2} =x _{1} ^{2} +(y _{1} +5) ^{2} =196]

두 식을 빼면 [eqn: 20 y _{1} = 160]에서 [eqn: y _{1} = 8]

[eqn: y _{1} = 8]을 대입하면 [eqn: x _{1} ^{2} + 9 = 36]에서 [eqn: x _{1} ^{2} = 27]

점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 2]사분면의 점이므로 [eqn: x _{1} = -3 sqrt {3}]

점 [eqn: rmP ( -3 sqrt {3} , 8 )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {-3 sqrt {3} x} over {9} - {8 y} over {16} = -1], [eqn: y = - {2 sqrt {3}} over {3} x + 2]

접선의 기울기는 [eqn: - {2 sqrt {3}} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: - {7 sqrt {3}} over {9}]	② [eqn: - {2 sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: - {5 sqrt {3}} over {9}]

④ [eqn: - {4 sqrt {3}} over {9}]	⑤ [eqn: - {sqrt {3}} over {3}]

좌표공간의 구 [eqn: S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 36]위의 점 [eqn: rmA]에 대하여 구 [eqn: S]위의 점 [eqn: rmB]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 선분 [eqn: rmOA]위의 [eqn: rmoverline {OC} = 4]인 점 [eqn: rmC]에 대하여 직선 [eqn: rmBC]와 [eqn: x y]평면이 서로 평행하다.

(나) 두 직선 [eqn: rmOA, AB]와 [eqn: x y]평면이 이루는 예각의 크기를 각각 [eqn: alpha , beta]라 하면 [eqn: sin alpha = 3 sin beta]이다.

삼각형 [eqn: rmOAB]의 [eqn: x y]평면 위로의 정사영이 직각삼각형일 때, 평면 [eqn: rmOAB]와 [eqn: x y]평면이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: cos theta]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이고, 점 [eqn: rmA]의 [eqn: z]좌표는 [eqn: 6]이 아닌 양수이다.)

④

구 [eqn: S]의 반지름이 [eqn: 6]이므로 [eqn: rmoverline {OA} = 6], [eqn: rmoverline {OB} = 6]

점 [eqn: rmA]의 [eqn: z]좌표를 [eqn: z _{rmA}]라 하면 [eqn: z _{rmA} =6sin alpha]

점 [eqn: rmC]는 선분 [eqn: rmOA]위에 있고 [eqn: rmoverline {OC} = 4]이므로 점 [eqn: rmC]의 [eqn: z]좌표는 [eqn: z _{rmC} =4sin alpha]

직선 [eqn: rmBC]가 [eqn: xy]평면과 평행하므로 점 [eqn: rmB]의 [eqn: z]좌표는 [eqn: z _{rmB} =z _{rmC} =4sin alpha]

직선 [eqn: rmAB]가 [eqn: xy]평면과 이루는 각이 [eqn: beta]이므로 [eqn: {bar{rm AB it}} `sin beta =|z _{rmA} -z _{rmB} |=2sin alpha]

조건 (나)에서 [eqn: sin alpha = 3 sin beta]이므로 [eqn: {bar{rmAB}} `sin beta =6sin beta]

[eqn: z _{rmA} >0]이므로 [eqn: sin beta > 0], 따라서 [eqn: rmoverline {AB} = 6]

삼각형 [eqn: rmOAB]는 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형이므로 넓이는 [eqn: S = {sqrt{3}} over {4} TIMES 6^{2} = 9 sqrt{3}]

점 [eqn: rmA, B]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영을 각각 [eqn: rmA', B']라 하면

[eqn: {bar{rmOA prime }} ^{2} =36-36sin ^{2} alpha]

[eqn: {bar{rmOB prime }} ^{2} =36-16sin ^{2} alpha]

[eqn: {bar{rmA prime B prime }} ^{2} =36-4sin ^{2} alpha]

삼각형 [eqn: rmOA'B']가 직각삼각형이 되려면 빗변이 [eqn: rmoverline {A'B'}]이어야 하므로 [eqn: rmoverline {OA'}^{2} + overline {OB'}^{2} = overline {A'B'}^{2}]

[eqn: ( 36 - 36 sin^{2} alpha ) + ( 36 - 16 sin^{2} alpha ) = 36 - 4 sin^{2} alpha]

[eqn: 48 sin^{2} alpha = 36], [eqn: sin^{2} alpha = {3} over {4}]

따라서 [eqn: rm {bar{OA prime }} ^{2} =9], [eqn: rm {bar{OB prime }} ^{2} =24]이므로 삼각형 [eqn: rmOA'B']의 넓이는 [eqn: S' = {1} over {2} TIMES 3 TIMES 2 sqrt{6} = 3 sqrt{6}]

정사영의 넓이 공식에 의해 [eqn: S' = S cos theta]이므로

[eqn: 3 sqrt {6} =9 sqrt {3} `cos theta], [eqn: cos theta = {sqrt{2}} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {sqrt {2}} over {6}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {5}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {4}]

④ [eqn: {sqrt {2}} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

두 점 [eqn: rmF LEFT ( 0 , 6 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( 0 , - 6 RIGHT )]을 초점으로 하는 타원 [eqn: C_{1}]에 대하여 점 [eqn: rmF]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 타원 [eqn: C_{1}]과 만나는 점 중 제 [eqn: 1]사분면 위에 있는 점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmPF']과 [eqn: x]축이 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmF]를 초점으로 하고 점 [eqn: rmQ]가 꼭짓점인 타원 [eqn: C_{2}]에 대하여 두 타원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}]가 만나는 점 중 [eqn: x]축에 가까운 점을 [eqn: rmR]이라 하자. [eqn: rmoverline {F' R} - overline {PR} = 7 sqrt {2}]일 때, 두 타원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}]의 장축의 길이의 곱을 구하시오.

[eqn: 396]

타원 [eqn: C_{1}]의 방정식을 [eqn: {x^{2}} over {b^{2}} + {y^{2}} over {a^{2}} = 1]([eqn: a > b > 0])이라 하자.

두 초점이 [eqn: rmF LEFT ( 0 , 6 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( 0 , - 6 RIGHT )]이므로 [eqn: a^{2} - b^{2} = 36]이다.

점 [eqn: rmF]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선은 [eqn: y = 6]이다.

이를 타원 [eqn: C_{1}]의 방정식에 대입하면 [eqn: {x^{2}} over {b^{2}} + {36} over {a^{2}} = 1]이고, [eqn: x > 0]이므로 [eqn: x = {b^{2}} over {a}]이다.

따라서 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {b^{2}} over {a} , 6 RIGHT )]이다.

직선 [eqn: rmPF']의 방정식은 [eqn: y - 6 = {6 - LEFT ( - 6 RIGHT )} over {{b^{2}} over {a} - 0} LEFT ( x - {b^{2}} over {a} RIGHT )]에서 [eqn: y = {12 a} over {b^{2}} x - 6]이다.

이 직선의 [eqn: x]절편이 [eqn: rmQ]이므로 [eqn: y = 0]을 대입하면 [eqn: x = {b^{2}} over {2 a}]이고, [eqn: rmQ LEFT ( it {b ^{2}} over {2a} ,0 RIGHT )]이다.

타원 [eqn: C_{2}]의 두 초점은 [eqn: rmP LEFT ( it {b ^{2}} over {a} ,6 RIGHT )], [eqn: rmF LEFT ( 0 , 6 RIGHT )]이고, 점 [eqn: rmQ]가 타원 [eqn: C_{2}]위의 점이므로 타원 [eqn: C_{2}]의 장축의 길이를 [eqn: 2 a_{2}]라 하면 타원의 정의에 의해 [eqn: {bar{rmQF}} + {bar{rmQP}} =2a _{2}]이다.

[eqn: {bar{rmQF}} = sqrt {LEFT ( {b ^{2}} over {2a} RIGHT ) ^{2} +6 ^{2}}],

[eqn: {bar{rmQP}} = sqrt {LEFT ( {b ^{2}} over {2a} - {b ^{2}} over {a} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 0-6 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {LEFT ( - {b ^{2}} over {2a} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -6 RIGHT ) ^{2}} = {bar{rmQF}}]

이다.

[eqn: 2a _{2} =2 sqrt {LEFT ( {b ^{2}} over {2a} RIGHT ) ^{2} +36} = sqrt {{b ^{4}} over {a ^{2}} +144}]

[eqn: = sqrt {{LEFT ( a ^{2} -36 RIGHT ) ^{2} +144a ^{2}} over {a ^{2}}} = sqrt {{a ^{4} +72a ^{2} +1296} over {a ^{2}}}]

[eqn: = sqrt {{LEFT ( a ^{2} +36 RIGHT ) ^{2}} over {a ^{2}}} = {a ^{2} +36} over {a} =a+ {36} over {a}]이다.

점 [eqn: rmR]은 두 타원 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}]의 교점이므로 타원의 정의에 의해 다음이 성립한다.

[eqn: rmR]이 [eqn: C_{1}]위의 점이므로 [eqn: {bar{rmRF}} + {bar{rmRF prime }} =2a]

[eqn: rmR]이 [eqn: C_{2}]위의 점이므로 [eqn: {bar{rmRF}} + {bar{rmRP}} =2a _{2}]

두 식을 빼면 [eqn: {bar{rmRF prime }} - {bar{rmRP}} =2a-2a _{2}]이다.

조건에서 [eqn: rmoverline {F' R} - overline {PR} = 7 sqrt {2}]이므로 [eqn: 2 a - 2 a_{2} = 7 sqrt {2}]이다.

[eqn: 2 a - LEFT ( a + {36} over {a} RIGHT ) = a - {36} over {a} = 7 sqrt {2}]

양변에 [eqn: a]를 곱하여 정리하면 [eqn: a^{2} - 7 sqrt {2} a - 36 = 0]이다.

[eqn: LEFT ( a - 9 sqrt {2} RIGHT ) LEFT ( a + 2 sqrt {2} RIGHT ) = 0]이고 [eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = 9 sqrt {2}]이다.

타원 [eqn: C_{1}]의 장축의 길이는 [eqn: 2 a = 18 sqrt {2}]이다.

타원 [eqn: C_{2}]의 장축의 길이는 [eqn: 2 a_{2} = 2 a - 7 sqrt {2} = 18 sqrt {2} - 7 sqrt {2} = 11 sqrt {2}]이다.

두 타원의 장축의 길이의 곱은 [eqn: 18 sqrt {2} TIMES 11 sqrt {2} = 396]이다.

따라서 정답은 [eqn: 396]이다.

좌표평면에 [eqn: rmoverline {AB} = overline {AC} = 8 sqrt {5}], [eqn: rmoverline {BC} = 16]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]위의 점 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmBC]위의 점 [eqn: rmQ], 선분 [eqn: rmCA]위의 점 [eqn: rmR]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: rmLEFT ( vec {PB} + vec {PQ} RIGHT ) CDOT vec {BC} = LEFT ( vec {RC} + vec {RQ} RIGHT ) CDOT vec {BC} = 0]

(나) [eqn: rmvec {QP} CDOT vec {QR} = | vec {QP} |^2]

[eqn: rm| 3 vec {XP} + vec {XR} | = | vec {PR} |]을 만족시키는 점 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: rm| vec {BX} |]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M, m]이라 할 때, [eqn: M TIMES m]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm| vec {PQ} | > 0])

[eqn: 69]

점 [eqn: rmB]를 원점 [eqn: (0, 0)]으로 하는 좌표평면을 설정한다.

[eqn: rmoverline {BC} = 16]이므로 [eqn: rmC(16, 0)]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]는 이등변삼각형이므로 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 8]이고, 높이는 [eqn: sqrt{(8sqrt{5})^{2} - 8^{2}} = 16]이므로 [eqn: rmA(8, 16)]이다.

직선 [eqn: rmAB]의 방정식은 [eqn: y = 2x]이고, 직선 [eqn: rmCA]의 방정식은 [eqn: y = -2x + 32]이다.

점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAB]위의 점이므로 [eqn: rmP LEFT ( ita,`2a RIGHT )]([eqn: 0 leq a leq 8])로 둘 수 있다.

점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmBC]위의 점이므로 [eqn: rmQ LEFT ( itq,`0 RIGHT )]으로 둘 수 있다.

조건 (가)에서 [eqn: rm(vec{PB} + vec{PQ}) CDOT vec{BC} = 0]이므로 [eqn: rmvec{PB} + vec{PQ}]의 [eqn: x]성분은 [eqn: 0]이다.

[eqn: {vec{rmPB}} =(-a,-2a)], [eqn: {vec{rmPQ}} =(q-a,-2a)]이므로 [eqn: -a + (q - a) = 0]에서 [eqn: q = 2a]이다. 즉, [eqn: rmQ(it2a,0)]이다.

점 [eqn: rmR]은 선분 [eqn: rmCA]위의 점이므로 [eqn: rmR(itc,-2c+32)]로 둘 수 있다.

조건 (가)에서 [eqn: rmrm(vec{RC} + vec{RQ}) CDOT vec{BC} = 0]이므로 [eqn: rmvec{RC} + vec{RQ}]의 [eqn: x]성분은 [eqn: 0]이다.

[eqn: {vec{rmRC}} =(16-c,2c-32)], [eqn: {vec{rmRQ}} =(2a-c,2c-32)]이므로 [eqn: (16 - c) + (2a - c) = 0]에서 [eqn: 2c = 2a + 16], 즉 [eqn: c = a + 8]이다.

따라서 [eqn: rmR(ita+8,-2a+16)]이다.

조건 (나)에서 [eqn: rmvec{QP} CDOT vec{QR} = |vec{QP}|^{2}]이므로 [eqn: rmvec{QP} CDOT (vec{QR} - vec{QP}) = 0], 즉 [eqn: rmvec{QP} CDOT vec{PR} = 0]이다.

[eqn: {vec{rmQP}} =(-a,2a)], [eqn: {vec{rmPR}} =(8,-4a+16)]이므로 내적을 계산하면 다음과 같다.

[eqn: -8a + 2a(-4a + 16) = -8a^{2} + 24a = -8a(a - 3) = 0]

[eqn: rm|vec{PQ}| > 0]이므로 [eqn: a neq 0]이고, 따라서 [eqn: a = 3]이다.

이를 대입하면 [eqn: rmP(3, 6)], [eqn: rmR(11, 10)]이다.

주어진 식 [eqn: rm|3vec{XP} + vec{XR}| = |vec{PR}|]에서 선분 [eqn: rmPR]을 [eqn: 1 : 3]으로 내분하는 점을 [eqn: rmY]라 하면 [eqn: rm3vec{YP} + vec{YR} = vec{0}]이다.

[eqn: rmvec{OY} = LEFT ( {3vec{OP} + vec{OR}} over {4} RIGHT ) = LEFT ( {3(3, 6) + (11, 10)} over {4} RIGHT ) = (5, 7)]이므로 [eqn: rmY(5, 7)]이다.

[eqn: rm3vec{XP} + vec{XR} = 3(vec{YP} - vec{YX}) + (vec{YR} - vec{YX}) = -4vec{YX} = 4vec{XY}]이므로 [eqn: rm4|vec{XY}| = |vec{PR}|]이다.

[eqn: rmvec{PR} = (8, 4)]이므로 [eqn: rm|vec{PR}| = sqrt{8^{2} + 4^{2}} = 4sqrt{5}]이고, 따라서 [eqn: rm|vec{XY}| = sqrt{5}]이다.

즉, 점 [eqn: rmX]는 중심이 [eqn: rmY(5, 7)]이고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt{5}]인 원 위의 점이다.

[eqn: rm|vec{BX}|]는 원점 [eqn: rmB]에서 원 위의 점 [eqn: rmX]까지의 거리이다.

원점 [eqn: rmB]와 원의 중심 [eqn: rmY(5, 7)]사이의 거리는 [eqn: rmoverline {BY} = sqrt{5^{2} + 7^{2}} = sqrt{74}]이다.

따라서 [eqn: rm|vec{BX}|]의 최댓값 [eqn: M]과 최솟값 [eqn: m]은 다음과 같다.

[eqn: M = sqrt{74} + sqrt{5}], [eqn: m = sqrt{74} - sqrt{5}]

[eqn: M TIMES m = (sqrt{74} + sqrt{5})(sqrt{74} - sqrt{5}) = 74 - 5 = 69]

따라서 정답은 [eqn: 69]이다.