수학ETF	2025년_고3_9월	기출문제
	1~30
	미적분II

[eqn: 5^{sqrt{2} + 1} TIMES LEFT ( {1} over {5} RIGHT )^{sqrt{2}}}]의 값은?

④

[eqn: rm5^{sqrt{2} + 1} TIMES LEFT ( {1} over {5} RIGHT )^{sqrt{2}}][eqn: = 5^{sqrt{2} + 1} TIMES LEFT ( 5^{-1} RIGHT )^{sqrt{2}}][eqn: = 5^{sqrt{2} + 1} TIMES 5^{-sqrt{2}}]

[eqn: = 5^{sqrt{2} + 1 - sqrt{2}}][eqn: = 5^{1}][eqn: = 5]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {25}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 25]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - 4 x + 2]에 대하여 [eqn: lim _{h -> 0} {f(4 + h) - f(4)} over {h}]의 값은?

④

[eqn: lim _{h -> 0} {f(4 + h) - f(4)} over {h} = f'(4)]

[eqn: f(x) = x^{2} - 4 x + 2]

[eqn: f'(x) = 2 x - 4], [eqn: f'(4) = 2 TIMES 4 - 4 = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k = 1} ^{6} LEFT ( 2 a_{k} - 1 RIGHT ) = 30]일 때, [eqn: sum _{k = 1} ^{6} a_{k}]의 값은?

⑤

[eqn: sum _{k = 1} ^{6} LEFT ( 2 a_{k} - 1 RIGHT ) = 30], [eqn: 2 sum _{k = 1} ^{6} a_{k} - sum _{k = 1} ^{6} 1 = 30], [eqn: 2 sum _{k = 1} ^{6} a_{k} - 6 = 30]

[eqn: 2 sum _{k = 1} ^{6} a_{k} = 36], [eqn: sum _{k = 1} ^{6} a_{k} = 18]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 18]

닫힌구간 [eqn: [-2,`2]]에서 정의된 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x -> 0-} f(x) + lim _{x -> 1+} f(x)]의 값은?

①

[eqn: x -> 0-]일 때 [eqn: f(x) -> -1]이므로 [eqn: lim _{x -> 0-} f(x) = -1]

[eqn: x -> 1+]일 때 [eqn: f(x) -> 2]이므로 [eqn: lim _{x -> 1+} f(x) = 2]

[eqn: lim _{x -> 0-} f(x) + lim _{x -> 1+} f(x) = -1 + 2 = 1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x) = LEFT ( x^{2} + 2 RIGHT ) LEFT ( x^{2} + x - 3 RIGHT )]에 대하여 [eqn: f'(1)]의 값은?

②

함수 [eqn: f(x) = LEFT ( x^{2} + 2 RIGHT ) LEFT ( x^{2} + x - 3 RIGHT )]에서 곱의 미분법을 이용하면

[eqn: f'(x) = 2x LEFT ( x^{2} + x - 3 RIGHT ) + LEFT ( x^{2} + 2 RIGHT ) LEFT ( 2x + 1 RIGHT )]

[eqn: x = 1]을 대입하면

[eqn: f'(1) = 2 TIMES LEFT ( 1 + 1 - 3 RIGHT ) + LEFT ( 1 + 2 RIGHT ) LEFT ( 2 + 1 RIGHT )]

[eqn: f'(1) = 2 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) + 3 TIMES 3], [eqn: f'(1) = -2 + 9 = 7]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: cos LEFT ( theta - pi RIGHT ) = {3} over {5}]이고 [eqn: tan theta < 0]일 때, [eqn: sin theta]의 값은?

⑤

[eqn: cos LEFT ( theta - pi RIGHT ) = - cos theta = {3} over {5}]이므로 [eqn: cos theta = - {3} over {5}]

[eqn: cos theta < 0], [eqn: tan theta < 0]이므로 [eqn: theta]는 제[eqn: 2]사분면의 각이고, [eqn: sin theta > 0]이다.

[eqn: sin^2 theta = 1 - cos^2 theta = 1 - LEFT ( - {3} over {5} RIGHT )^2 = {16} over {25}]

[eqn: sin theta > 0]이므로 [eqn: sin theta = {4} over {5}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: - {4} over {5}]	② [eqn: - {3} over {5}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

곡선 [eqn: y = x^{3} - 5 x^{2} + 6 x]위의 점 [eqn: ( 3 , 0 )]에서의 접선이 점 [eqn: ( 5 , a )]를 지날 때, [eqn: a]의 값은?

①

점 [eqn: ( 3 , 0 )]을 지나는 접선의 방정식을 [eqn: y = m ( x - 3 )]이라 하자.

이 직선이 곡선 [eqn: y = x^{3} - 5 x^{2} + 6 x] 위의 점 [eqn: ( 3 , 0 )]에서 접하므로, 방정식 [eqn: x^{3} - 5 x^{2} + 6 x = m ( x - 3 )]은 [eqn: x = 3]을 중근으로 가져야 한다.

[eqn: x ( x^{2} - 5 x + 6 ) - m ( x - 3 ) = 0]

[eqn: x ( x - 2 ) ( x - 3 ) - m ( x - 3 ) = 0]

[eqn: ( x - 3 ) ( x^{2} - 2 x - m ) = 0]

이 방정식이 [eqn: x = 3]을 중근으로 가지려면 이차방정식 [eqn: x^{2} - 2 x - m = 0]이 [eqn: x = 3]을 근으로 가져야 한다.

[eqn: 3^{2} - 2 CDOT 3 - m = 0], [eqn: m = 3]

따라서 접선의 방정식은 [eqn: y = 3 ( x - 3 )]이다.

이 접선이 점 [eqn: ( 5 , a )]를 지나므로 [eqn: a = 3 ( 5 - 3 ) = 6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]가
[eqn: log _{sqrt {2}} a + log _{2} b = 2], [eqn: log _{2} a + log _{2} b ^{2} = 7]
을 만족시킬 때, [eqn: a TIMES b]의 값은?

③

[eqn: log _{sqrt {2}} a + log _{2} b = 2]에서 [eqn: log _{sqrt {2}} a = 2 log _{2} a]이므로

[eqn: 2 log _{2} a + log _{2} b = 2], [eqn: log _{2} a + log _{2} b ^{2} = 7]에서

[eqn: log _{2} a + 2 log _{2} b = 7]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: log _{2} a = -1], [eqn: log _{2} b = 4], [eqn: a = 2 ^{-1} = 1 over 2], [eqn: b = 2 ^{4} = 16]

[eqn: a TIMES b = 1 over 2 TIMES 16 = 8]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

다항함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라 하고, 함수 [eqn: 2 f(x) + 1]의 한 부정적분을 [eqn: G(x)]라 하자. [eqn: G(3) = 2 F(3)]일 때, [eqn: G(5) - 2 F(5)]의 값은?

②

[eqn: G(x) = int {2 f(x) + 1} dx], [eqn: G(x) = 2 int f(x) dx + int 1 dx]

[eqn: G(x) = 2 F(x) + x + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: G(3) = 2 F(3)]이므로

[eqn: 2 F(3) + 3 + C = 2 F(3)]

[eqn: C = -3]

[eqn: G(x) = 2 F(x) + x - 3]

[eqn: G(5) - 2 F(5) = 2 F(5) + 5 - 3 - 2 F(5) = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자.
[eqn: a_2 =1], [eqn: sum _{k=1} ^{6} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k} S _{k} =21]
일 때, [eqn: S_{2} + S_{7}]의 값은?

③

등비수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 하자.

모든 항이 양수이므로 [eqn: a > 0], [eqn: r > 0]이다.

[eqn: a_{2} = ar = 1]

[eqn: sum _{k = 1}^{6} LEFT ( - 1 RIGHT )^{k} S_{k} = - S_{1} + S_{2} - S_{3} + S_{4} - S_{5} + S_{6}]

[eqn: LEFT ( S_{2} - S_{1} RIGHT ) + LEFT ( S_{4} - S_{3} RIGHT ) + LEFT ( S_{6} - S_{5} RIGHT ) = a_{2} + a_{4} + a_{6}]

[eqn: a_{2} + a_{4} + a_{6} = 21], [eqn: ar + ar^{3} + ar^{5} = 21]

[eqn: ar = 1]이므로 [eqn: 1 + r^{2} + r^{4} = 21], [eqn: r^{4} + r^{2} - 20 = 0]

[eqn: LEFT ( r^{2} + 5 RIGHT ) LEFT ( r^{2} - 4 RIGHT ) = 0]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: r^{2} = 4]에서 [eqn: r = 2]

[eqn: a TIMES 2 = 1]에서 [eqn: a = {1} over {2}]

[eqn: S_{n} = {{1} over {2} LEFT ( 2^{n} - 1 RIGHT )} over {2 - 1} = {1} over {2} LEFT ( 2^{n} - 1 RIGHT )]

[eqn: S_{2} = {1} over {2} LEFT ( 2^{2} - 1 RIGHT ) = {3} over {2}]

[eqn: S_{7} = {1} over {2} LEFT ( 2^{7} - 1 RIGHT ) = {127} over {2}]

[eqn: S_{2} + S_{7} = {3} over {2} + {127} over {2} = {130} over {2} = 65]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 61]	② [eqn: 63]	③ [eqn: 65]

④ [eqn: 67]	⑤ [eqn: 69]

시각 [eqn: t = 0]일 때 원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 시각이 [eqn: t][eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]일 때 점 [eqn: rmP]의 속도 [eqn: v(t)]가
[eqn: v(t) = 3 t^{2} - 10 t + 7]
이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 시각 [eqn: t = 1]일 때 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 바뀐다. ㄴ. 시각 [eqn: t = 1]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 3]이다. ㄷ. 시각 [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = 2]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는 [eqn: 4]이다.

⑤

[eqn: v(t) = 3 t^{2} - 10 t + 7 = ( 3 t - 7 ) ( t - 1 )]

ㄱ. [eqn: t = 1]전후로 [eqn: v(t)]의 부호가 양수에서 음수로 바뀌므로 운동 방향이 바뀐다. (참)

ㄴ. 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x(t)]는

[eqn: x(t) = int_{0}^{t} ( 3 s^{2} - 10 s + 7 ) ds = t^{3} - 5 t^{2} + 7 t]

[eqn: t = 1]일 때 위치는 [eqn: x(1) = 1 - 5 + 7 = 3]이다. (참)

ㄷ. [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = 2]까지 움직인 거리는

[eqn: int_{0}^{2} LEFT | v(t) RIGHT | dt = int_{0}^{1} v(t) dt - int_{1}^{2} v(t) dt]

[eqn: = LEFT [ t^{3} - 5 t^{2} + 7 t RIGHT ]_{0}^{1} - LEFT [ t^{3} - 5 t^{2} + 7 t RIGHT ]_{1}^{2}][eqn: = 3 - ( 2 - 3 ) = 4](참)

따라서 정답은 ⑤이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

상수 [eqn: a][eqn: LEFT ( a>1 RIGHT )]과 양수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y = a^{x}]과 두 직선 [eqn: x = t], [eqn: x = 2 t]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC]라 하자. [eqn: rmoverline {AB} = overline {AC}]이고 삼각형 [eqn: rmACB]의 넓이가 [eqn: 8]일 때, [eqn: a TIMES t]의 값은?

①

점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]의 좌표는 각각 [eqn: rmA LEFT ( itt,`a ^{t} RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( it2t,`a ^{2t} RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( it2t,`0 RIGHT )]이다.

[eqn: rmoverline {AB} = overline {AC}]에서 [eqn: rmoverline {AB}^{2} = overline {AC}^{2}]이므로

[eqn: LEFT ( 2 t - t RIGHT )^{2} + LEFT ( a^{2 t} - a^{t} RIGHT )^{2} = LEFT ( 2 t - t RIGHT )^{2} + LEFT ( 0 - a^{t} RIGHT )^{2}]

[eqn: t^{2} + LEFT ( a^{2 t} - a^{t} RIGHT )^{2} = t^{2} + a^{2 t}]

[eqn: LEFT ( a^{2 t} - a^{t} RIGHT )^{2} = a^{2 t}]

[eqn: a > 1], [eqn: t > 0]이므로 [eqn: a^{2 t} - a^{t} > 0]

[eqn: a^{2 t} - a^{t} = a^{t}], [eqn: a^{2 t} = 2 a^{t}], [eqn: a^{t} = 2]

삼각형 [eqn: rmACB]의 넓이가 [eqn: 8]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rmBC}} TIMES t=8], [eqn: {1} over {2} TIMES a^{2 t} TIMES t = 8]

[eqn: a^{t} = 2]에서 [eqn: a^{2 t} = 4]이므로 [eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES t = 8], [eqn: t = 4]

[eqn: a^{4} = 2]에서 [eqn: a = 2^{{1} over {4}}]

[eqn: a TIMES t = 2^{{1} over {4}} TIMES 4 = 2^{{1} over {4}} TIMES 2^{2} = 2^{{9} over {4}}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 2^{{9} over {4}}]	② [eqn: 2^{{23} over {8}}]	③ [eqn: 2^{{7} over {2}}]

④ [eqn: 2^{{33} over {8}}]	⑤ [eqn: 2^{{19} over {4}}]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} + 6 x + 12]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: k]의 개수는?

모든 실수 [eqn: a]에 대하여

[eqn: lim _{x -> a} {x^{2}} over {LEFT ( f(x) RIGHT )^{2} - k LEFT ( x + 2 RIGHT ) f(x)}]의 값이 존재한다.

④

주어진 식의 분모를 [eqn: g(x)]라 하면

[eqn: g(x) = LEFT ( f(x) RIGHT )^{2} - k LEFT ( x + 2 RIGHT ) f(x) = f(x) LEFT { f(x) - k LEFT ( x + 2 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: f(x) = x^{2} + 6 x + 12 = LEFT ( x + 3 RIGHT )^{2} + 3 > 0]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) neq 0]이다.

[eqn: h(x) = f(x) - k LEFT ( x + 2 RIGHT ) = x^{2} + LEFT ( 6 - k RIGHT ) x + 12 - 2 k]라 하자.

모든 실수 [eqn: a]에 대하여 주어진 값이 존재하려면, 분모가 [eqn: 0]이 되는 [eqn: x]의 값이 분자 [eqn: x^{2} = 0]을 만족하는 [eqn: x = 0]뿐이어야 하며, 그 중복도가 [eqn: 2]이하이어야 한다.

즉, 이차방정식 [eqn: h(x) = 0]은 [eqn: 0]이 아닌 실근을 가질 수 없다.

첫째, [eqn: h(x) = 0]이 실근을 갖지 않는 경우

판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D = LEFT ( 6 - k RIGHT )^{2} - 4 LEFT ( 12 - 2 k RIGHT ) < 0]

[eqn: k^{2} - 4 k - 12 < 0]

[eqn: LEFT ( k - 6 RIGHT ) LEFT ( k + 2 RIGHT ) < 0]

[eqn: - 2 < k < 6]

이를 만족하는 정수 [eqn: k]는 [eqn: - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]이다.

둘째, [eqn: h(x) = 0]이 [eqn: x = 0]을 실근으로 갖는 경우

[eqn: h(0) = 12 - 2 k = 0]에서 [eqn: k = 6]이다.

[eqn: k = 6]일 때 [eqn: h(x) = x^{2}]이므로 [eqn: x = 0]이외의 실근을 갖지 않는다.

이때 주어진 식은 [eqn: lim _{x -> a} {x^{2}} over {f(x) x^{2}} = lim _{x -> a} {1} over {f(x)}]이 되어 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 값이 존재한다.

따라서 [eqn: k = 6]도 조건을 만족한다.

조건을 만족하는 모든 정수 [eqn: k]는 [eqn: - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]으로 총 [eqn: 8]개이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

양수 [eqn: k]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { x left|0 LEQ x< {3k pi } over {2} ,x != {k pi } over {2} RIGHT }]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = tan {x} over {k}]가 있다. 점 [eqn: rmP LEFT ( 0, itp RIGHT )][eqn: LEFT ( p>0 RIGHT )]을 지나며 [eqn: x]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 만나는 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: LEFT ( rmbarPA <rmbarPB RIGHT )]라 하고, 직선 [eqn: y = - p]가 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. [eqn: rmoverline {AB} = 3 overline {PA}]이고 삼각형 [eqn: rmOCB]의 넓이가 [eqn: {5 pi } over {3}]일 때, [eqn: k + p]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

함수 [eqn: f(x) = tan {x} over {k}]의 주기는 [eqn: k pi]이다.

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: rmA LEFT ( italpha,`p RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it alpha +k`pi,`p RIGHT )]이다.

[eqn: rmP LEFT ( 0,`itp RIGHT )]이므로 [eqn: rmbarPA`=italpha], [eqn: rmbarAB`=itk`pi]이다.

[eqn: rmoverline {AB} = 3 overline {PA}]이므로 [eqn: k pi = 3 alpha], 즉 [eqn: alpha = {k pi } over {3}]이다.

[eqn: p = f LEFT ( {k pi } over {3} RIGHT ) = tan { pi } over {3} = sqrt {3}]

점 [eqn: rmC]는 직선 [eqn: y = - sqrt {3}]과 함수 [eqn: y = f(x)]의 교점이다.

[eqn: tan {x} over {k} = - sqrt {3}]에서 주어진 범위에 의해 [eqn: {x} over {k} = {2 pi } over {3}]이다.

[eqn: x = {2 k pi } over {3}]이므로 [eqn: rmC LEFT ( it {2k`pi} over {3} ,`- sqrt {3} RIGHT )]이다.

점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: rmB LEFT ( it {4k`pi} over {3} ,` sqrt {3} RIGHT )]이다.

선분 [eqn: rmBC]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자.

점 [eqn: rmB]와 점 [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표가 각각 [eqn: sqrt {3}], [eqn: - sqrt {3}]이므로 점 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmBC]의 중점인 [eqn: rmD LEFT ( itk`pi,`0 RIGHT )]이다.

삼각형 [eqn: rmOCB]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmODB]와 삼각형 [eqn: rmODC]의 넓이의 합과 같다.

[eqn: LEFT ( {1} over {2} TIMES k pi TIMES sqrt {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} TIMES k pi TIMES sqrt {3} RIGHT ) = sqrt {3} k pi]

삼각형 [eqn: rmOCB]의 넓이가 [eqn: {5 pi } over {3}]이므로 [eqn: sqrt {3} k pi = {5 pi } over {3}]이다.

[eqn: k = {5 sqrt {3}} over {9}], [eqn: k + p = {5 sqrt {3}} over {9} + sqrt {3} = {14 sqrt {3}} over {9}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {13 sqrt {3}} over {9}]	③ [eqn: {14 sqrt {3}} over {9}]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {16 sqrt {3}} over {9}]

최고차항의 계수가 양수이고 [eqn: f(0) = 0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수
[eqn: g(x) = int _{0}^{x} ( |f(t)| - |t| ) dt]
가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: g'(x) = 0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x = 2], [eqn: x = 6]에서 극값을 갖는다.

[eqn: f(6) TIMES g(2) < 0]일 때, [eqn: f(8)]의 값은?

⑤

[eqn: g'(x) = |f(x)| - |x|]

방정식 [eqn: g'(x) = 0]의 실근은 [eqn: f(x) = x]또는 [eqn: f(x) = -x]의 근이다.

[eqn: f(0) = 0]이므로 [eqn: x = 0]은 항상 실근이다.

조건 (나)에 의해 [eqn: x = 2], [eqn: x = 6]은 [eqn: g'(x) = 0]의 실근이다.

조건 (가)에 의해 실근이 [eqn: 4]개이므로, [eqn: f(x) - x = 0]과 [eqn: f(x) + x = 0]의 근의 합집합은 [eqn: {0, 2, 6, alpha }]이다.

[eqn: f(x)]는 삼차함수이므로 두 방정식 중 하나는 중근을 가져야 한다.

[경우 1] [eqn: f(x) - x = 0]이 [eqn: x = 0], [eqn: x = 2], [eqn: x = 6]을 근으로 갖고, [eqn: f(x) + x = 0]이 [eqn: x = alpha]에서 중근을 갖는 경우

[eqn: f(x) - x = ax(x - 2)(x - 6)], [eqn: f(x) + x = ax(x - alpha )^{2}]

[eqn: f(x) = ax(x - 2)(x - 6) + x]

[eqn: f(x) + x = ax(x^{2} - 8x + 12) + 2x = ax LEFT ( x^{2} - 8x + 12 + {2} over {a} RIGHT )]

이 식이 [eqn: ax(x^{2} - 2 alpha x + alpha ^{2})]과 같아야 하므로 계수를 비교하면

[eqn: 2 alpha = 8], [eqn: alpha ^{2} = 12 + {2} over {a}] 따라서 [eqn: alpha = 4], [eqn: a = {1} over {2}]이다.

[eqn: f(x) = {1} over {2} x(x - 2)(x - 6) + x]

이때 [eqn: f(6) = 6 > 0]이고, [eqn: 0 < t < 2]에서 [eqn: f(t) - t = {1} over {2} t(t - 2)(t - 6) > 0]이므로 [eqn: |f(t)| = f(t)]이다.

[eqn: g(2) = int _{0}^{2} ( f(t) - t ) dt > 0]

따라서 [eqn: f(6) TIMES g(2) > 0]이 되어 조건에 모순이다.

[경우 2] [eqn: f(x) + x = 0]이 [eqn: x = 0], [eqn: x = 2], [eqn: x = 6]을 근으로 갖고, [eqn: f(x) - x = 0]이 [eqn: x = alpha]에서 중근을 갖는 경우

[eqn: f(x) + x = ax(x - 2)(x - 6)], [eqn: f(x) - x = ax(x - alpha )^{2}]

[eqn: f(x) = ax(x - 2)(x - 6) - x]

[eqn: f(x) - x = ax(x^{2} - 8x + 12) - 2x = ax LEFT ( x^{2} - 8x + 12 - {2} over {a} RIGHT )]

계수를 비교하면 [eqn: 2 alpha = 8], [eqn: alpha ^{2} = 12 - {2} over {a}]

따라서 [eqn: alpha = 4], [eqn: a = - {1} over {2}]이다.

최고차항의 계수가 양수라는 조건에 모순이다.

[경우 3] [eqn: f(x) + x = 0]이 [eqn: x = 0]에서 중근을 갖고, [eqn: f(x) - x = 0]이 [eqn: x = 6]을 근으로 갖는 경우

[eqn: f(x) + x = ax^{2}(x - 2)], [eqn: f(x) - x = ax(x - 6)(x - beta )]

[eqn: f(x) = ax^{2}(x - 2) - x]

[eqn: f(x) - x = ax^{2}(x - 2) - 2x = ax LEFT ( x^{2} - 2x - {2} over {a} RIGHT )]

계수를 비교하면 [eqn: 6 + beta = 2], [eqn: 6 beta = - {2} over {a}]

따라서 [eqn: beta = -4], [eqn: a = {1} over {12}]이다.

[eqn: f(x) = {1} over {12} x^{2}(x - 2) - x]

이때 [eqn: f(6) = 6 > 0]이고, [eqn: 0 < t < 2]에서 [eqn: f(t) + t = {1} over {12} t^{2}(t - 2) < 0]이므로 [eqn: f(t) < -t < 0]이다.

[eqn: |f(t)| = -f(t)]이므로 [eqn: |f(t)| - t = -f(t) - t = - ( f(t) + t ) > 0]이다.

[eqn: g(2) = int _{0}^{2} ( |f(t)| - t ) dt > 0]

따라서 [eqn: f(6) TIMES g(2) > 0]이 되어 조건에 모순이다.

[경우 4] [eqn: f(x) - x = 0]이 [eqn: x = 0]에서 중근을 갖고, [eqn: f(x) + x = 0]이 [eqn: x = 2]를 근으로 갖는 경우

[eqn: f(x) - x = ax^{2}(x - 6)], [eqn: f(x) + x = ax(x - 2)(x - alpha )]

[eqn: f(x) = ax^{2}(x - 6) + x]

[eqn: f(x) + x = ax^{2}(x - 6) + 2x = ax LEFT ( x^{2} - 6x + {2} over {a} RIGHT )]

계수를 비교하면 [eqn: 2 + alpha = 6], [eqn: 2 alpha = {2} over {a}]

따라서 [eqn: alpha = 4], [eqn: a = {1} over {4}]이다.

[eqn: f(x) = {1} over {4} x^{2}(x - 6) + x]

이때 [eqn: f(6) = 6 > 0]이고, [eqn: 0 < t < 2]에서 [eqn: f(t) - t = {1} over {4} t^{2}(t - 6) < 0]이므로 [eqn: f(t) < t]이다.

또한 [eqn: f(t) + t = {1} over {4} t(t - 2)(t - 4) > 0]이므로 [eqn: f(t) > -t]이다.

즉, [eqn: -t < f(t) < t]이므로 [eqn: |f(t)| < t]이다.

[eqn: g(2) = int _{0}^{2} ( |f(t)| - t ) dt < 0]

따라서 [eqn: f(6) TIMES g(2) < 0]이 되어 모든 조건을 만족한다.

최종적으로 [eqn: f(x)]의 값을 구하면 다음과 같다.

[eqn: f(8) = {1} over {4} TIMES 64 TIMES 2 + 8 = 40]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 40]

수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]은 [eqn: a_{1} = 1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{n + 1} = n a_{n} + 2]
를 만족시킨다. [eqn: a_{3}]의 값을 구하시오.

[eqn: 8]

[eqn: a_{n + 1} = n a_{n} + 2]에 [eqn: n = 1]을 대입하면

[eqn: a_{2} = 1 TIMES a_{1} + 2 = 1 TIMES 1 + 2 = 3]

[eqn: n = 2]를 대입하면 [eqn: a_{3} = 2 TIMES a_{2} + 2 = 2 TIMES 3 + 2 = 8]

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x) = 3 x^{2} + 2 x + 1]이고 [eqn: f(1) = 6]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 17]

[eqn: f'(x) = 3 x^{2} + 2 x + 1][eqn: f(x) = int ( 3 x^{2} + 2 x + 1 ) dx = x^{3} + x^{2} + x + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(1) = 1 + 1 + 1 + C = 6], [eqn: C = 3]

[eqn: f(x) = x^{3} + x^{2} + x + 3], [eqn: f(2) = 2^{3} + 2^{2} + 2 + 3 = 17]

따라서 정답은 [eqn: 17]이다.

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: a_{3} = 6, 2 a_{5} - a_{4} = 15]
일 때, [eqn: a_{11}]의 값을 구하시오.

[eqn: 30]

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_{3} = a + 2d = 6]

[eqn: 2 a_{5} - a_{4} = 2 LEFT ( a + 4d RIGHT ) - LEFT ( a + 3d RIGHT ) = a + 5d = 15]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: 3d = 9]에서 [eqn: d = 3], [eqn: a + 6 = 6]에서 [eqn: a = 0]

따라서 [eqn: a_{11} = a + 10d = 0 + 10 TIMES 3 = 30]

따라서 정답은 [eqn: 30]이다.

함수 [eqn: f(x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 5 a]의 극솟값이 [eqn: a]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: 10]

[eqn: f(x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 5 a]

[eqn: f'(x) = 6 x^{2} - 6 a x = 6 x ( x - a )]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = 0]또는 [eqn: x = a]

함수 [eqn: f(x)]가 극값을 가지므로 [eqn: a neq 0]

[eqn: a > 0]인 경우

[eqn: x = a]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: f(a) = - a^{3} + 5 a = a]

[eqn: a^{3} - 4 a = 0]

[eqn: a ( a - 2 ) ( a + 2 ) = 0]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = 2]

이때 극댓값은 [eqn: x = 0]에서 가지므로 [eqn: f(0) = 5 a = 10]

[eqn: a < 0]인 경우

[eqn: x = 0]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: f(0) = 5 a = a]

[eqn: a = 0]이 되어 [eqn: a < 0]에 모순

따라서 정답은 [eqn: 10]이다.

그림과 같이 사각형 [eqn: rmABCD]가 한 원에 내접하고 [eqn: rmoverline {AB} : overline {CD} = 1 : 3], [eqn: rmoverline {BC} < overline {AD}]일 때, 직선 [eqn: rmAB]와 직선 [eqn: rmCD]가 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자.

다음은 [eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} : overline {BC} = 7 : 5 : sqrt {14}]이고 [eqn: rmoverline {AD} = 4 sqrt {13}]일 때, 삼각형 [eqn: rmBPC]의 외접원의 반지름의 길이를 구하는 과정이다.

[eqn: rmangle BPC = theta]라 할 때, [eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} : overline {BC} = 7 : 5 : sqrt {14}]이므로

삼각형 [eqn: rmBPC]에서 코사인법칙에 의하여 [eqn: cos theta = {6} over {7}]이다.

[eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} = 7 : 5]에서 [eqn: rmbarPB =it7k], [eqn: rmbarPC =it5k], [eqn: rmoverline {AB} : overline {CD} = 1 : 3]에서

[eqn: rmbarAB it=itl], [eqn: rmbarCD =3itl]이라 하자. 원의 성질에 의하여 삼각형

[eqn: rmBPC]와 삼각형 [eqn: rmDPA]가 서로 닮음이므로

[eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} = overline {PD} : overline {PA}]이고, [eqn: l= {BOX{```(가)```}} TIMES k]이다. 삼각형 [eqn: rmBPC]와

삼각형 [eqn: rmDPA]의 닮음비가 [eqn: 1 : (나)]이므로

[eqn: rm {bar{BC}} = {1} over {{BOX{```(나)```}}} TIMES {bar{AD}}]이다. 따라서 삼각형 [eqn: rmBPC]의 외접원의

반지름의 길이를 [eqn: R]이라 할 때, 삼각형 [eqn: rmBPC]에서

사인법칙에 의하여 [eqn: R= {BOX{```(다)```}}]이다.

위의 [eqn: (가), (나), (다)]에 알맞은 수를 각각 [eqn: p, q, r]이라 할 때, [eqn: p + q + r]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

[eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} = overline {PD} : overline {PA}]

[eqn: 7 k : 5 k = ( 5 k + 3 l ) : ( 7 k + l )]

[eqn: 7 ( 7 k + l ) = 5 ( 5 k + 3 l )]

[eqn: 49 k + 7 l = 25 k + 15 l]

[eqn: 8 l = 24 k]

[eqn: l = 3 k]

따라서 [eqn: (가) = 3]이므로 [eqn: p = 3]이다.

삼각형 [eqn: rmBPC]와 삼각형 [eqn: rmDPA]의 닮음비는 [eqn: rmoverline {PC} : overline {PA}]이다.

[eqn: {bar{rmPA}} =7k+l=7k+3k=10k]

[eqn: {bar{rmPC}} : {bar{rmPA}} =5k:10k=1:2]

따라서 [eqn: (나) = 2]이므로 [eqn: q = 2]이다.

[eqn: rmoverline {BC} = {1} over {2} TIMES overline {AD} = {1} over {2} TIMES 4 sqrt {13} = 2 sqrt {13}]

[eqn: cos theta = {6} over {7}]이므로 [eqn: sin theta = sqrt {1 - LEFT ( {6} over {7} RIGHT )^{2}} = {sqrt {13}} over {7}]

삼각형 [eqn: rmBPC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: 2R= {{bar{rmBC}}} over {sin theta } = {2 sqrt {13}} over {{sqrt {13}} over {7}} =14][eqn: R = 7]

따라서 [eqn: (다) = 7]이므로 [eqn: r = 7]이다.

[eqn: p + q + r = 3 + 2 + 7 = 12]

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f ( x )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f prime ( 10 )]의 값을 구하시오.

[eqn: 0]이 아닌 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: {f prime ( x )} over {2} + x^{2} - 2 le {f ( 2 x ) - f ( 0 )} over {2 x} le x^{4}]

이다.

[eqn: 296]

[eqn: f ( x ) = x^{3} + a x^{2} + b x + c]라 하면

[eqn: f prime ( x ) = 3 x^{2} + 2 a x + b]

[eqn: {f ( 2 x ) - f ( 0 )} over {2 x} = {8 x^{3} + 4 a x^{2} + 2 b x} over {2 x} = 4 x^{2} + 2 a x + b]

주어진 부등식에 대입:

[eqn: {3 x^{2} + 2 a x + b} over {2} + x^{2} - 2 le 4 x^{2} + 2 a x + b le x^{4}]

왼쪽 부등식 정리:

[eqn: {3} over {2} x^{2} + a x + {b} over {2} + 2 ge 0]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하므로 판별식 [eqn: D le 0]:

[eqn: D = a^{2} - 4 TIMES {3} over {2} LEFT ( {b} over {2} + 2 RIGHT ) = a^{2} - 3 b - 12 le 0], [eqn: b ge {a^{2} - 12} over {3}]

오른쪽 부등식 정리:

[eqn: x^{4} - 4 x^{2} - 2 a x - b ge 0]

[eqn: x = sqrt {2}]대입: [eqn: 4 - 8 - 2 sqrt {2} a - b ge 0]에서 [eqn: b le -4 - 2 sqrt {2} a]

[eqn: x = - sqrt {2}]대입: [eqn: 4 - 8 + 2 sqrt {2} a - b ge 0]에서 [eqn: b le -4 + 2 sqrt {2} a]

두 식을 더하면 [eqn: 2 b le -8]이므로 [eqn: b le -4][eqn: b]의 조건 결합:

[eqn: {a^{2} - 12} over {3} le b le -4], [eqn: a^{2} - 12 le -12]에서 [eqn: a^{2} le 0]

실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a = 0]이고 [eqn: b = -4]

따라서 [eqn: f prime ( x ) = 3 x^{2} - 4], [eqn: f prime ( 10 ) = 3 TIMES 10^{2} - 4 = 296]

따라서 정답은 [eqn: 296]이다.

곡선 [eqn: y = log _{2} x]위에 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 있다. 점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: y = x]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP]라 하고, 점 [eqn: rmB]를 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) (직선 AP의 [eqn: y]절편)-(직선 BQ의 [eqn: y]절편) [eqn: = { 13 } over { 2 }]

(나) 직선 AB의 기울기는 [eqn: { 6 } over { 7 }]이다.

사각형 APQB의 넓이가 [eqn: { q } over { p }]일 때, [eqn: p + q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 73]

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표를 각각 [eqn: rmA LEFT ( ita,`log` _{2} `a RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( itb,`log` _{2} `b RIGHT )]라 하자.

점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: y = x]에 내린 수선의 발이 [eqn: rmP]이므로 직선 [eqn: rmAP]의 기울기는 [eqn: -1]이다.

직선 [eqn: rmAP]의 방정식은 [eqn: y = -(x - a) + log_{2} a = -x + a + log_{2} a]

직선 [eqn: rmAP]의 [eqn: y]절편은 [eqn: a + log_{2} a]이다.

점 [eqn: rmB]를 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: rm Q`it(log _{2} b,b)]이다.

직선 [eqn: rmBQ]의 기울기는 [eqn: {b - log_{2} b} over {log_{2} b - b} = -1]이다.

직선 [eqn: rmBQ]의 방정식은 [eqn: y = -(x - b) + log_{2} b = -x + b + log_{2} b]

직선 [eqn: rmBQ]의 [eqn: y]절편은 [eqn: b + log_{2} b]이다.

조건 (가)에 의해 [eqn: (a + log_{2} a) - (b + log_{2} b) = {13} over {2}]

조건 (나)에 의해 직선 [eqn: rmAB]의 기울기는 [eqn: {log_{2} a - log_{2} b} over {a - b} = {6} over {7}]

[eqn: a - b = X], [eqn: log_{2} a - log_{2} b = Y]라 하면

[eqn: X + Y = {13} over {2}], [eqn: {Y} over {X} = {6} over {7}]

위 두 식을 연립하면 [eqn: X = {7} over {6} Y]이므로 [eqn: {7} over {6} Y + Y = {13} over {6} Y = {13} over {2}], [eqn: Y = 3], [eqn: X = {7} over {2}]

[eqn: log_{2} a - log_{2} b = log_{2} LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) = 3]에서 [eqn: a = 8b]

[eqn: a - b = 8b - b = 7b = {7} over {2}]에서 [eqn: b = {1} over {2}][eqn: a = 4]

따라서 두 점의 좌표는 [eqn: rmA(4, 2)], [eqn: rmB LEFT ( {1} over {2}, -1 RIGHT )]이다.

직선 [eqn: rmAP]의 방정식은 [eqn: y = -x + 6]이고, 직선 [eqn: y = x]와의 교점은 [eqn: rmP(3, 3)]이다.

점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: rmQ LEFT ( -1, {1} over {2} RIGHT )]이다.

사각형 [eqn: rmAPQB]는 [eqn: rmoverline {AP}]와 [eqn: rmoverline {BQ}]가 평행한 사다리꼴이다.

[eqn: rmoverline {AP} = sqrt {(4 - 3)^{2} + (2 - 3)^{2}} = sqrt {2}]

[eqn: rmoverline {BQ} = sqrt {LEFT ( {1} over {2} - (-1) RIGHT )^{2} + LEFT ( -1 - {1} over {2} RIGHT )^{2}} = {3 sqrt {2}} over {2}]

두 평행한 직선 [eqn: x + y - 6 = 0]과 [eqn: x + y + {1} over {2} = 0]사이의 거리 [eqn: d]는 [eqn: d = {LEFT | -6 - {1} over {2} RIGHT |} over {sqrt {1^{2} + 1^{2}}} = {13} over {2 sqrt {2}}]

사각형 [eqn: rmAPQB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( sqrt {2} + {3 sqrt {2}} over {2} RIGHT ) TIMES {13} over {2 sqrt {2}} = {65} over {8}]

[eqn: p = 8], [eqn: q = 65]이므로 [eqn: p + q = 73]

따라서 정답은 [eqn: 73]이다.

[eqn: lim _{x -> 1} {{e^{x} - e} over {x - 1}}]의 값은?

①

[eqn: f(x) = e^{x}]라 하면 [eqn: f(1) = e]

[eqn: lim _{x -> 1} {{e^{x} - e} over {x - 1}} = lim _{x -> 1} {{f(x) - f(1)} over {x - 1}} = f'(1)]

[eqn: f'(x) = e^{x}]이므로 [eqn: f'(1) = e]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: e]	② [eqn: 2 e]	③ [eqn: 3 e]

④ [eqn: 4 e]	⑤ [eqn: 5 e]

[eqn: int_{{ pi } over {4}}^{{3 pi } over {4}} cos LEFT ( x - { pi } over {4} RIGHT ) e^{sin LEFT ( x - { pi } over {4} RIGHT )} d x]의 값은?

④

[eqn: sin LEFT ( x - { pi } over {4} RIGHT ) = t]로 치환하면

[eqn: cos LEFT ( x - { pi } over {4} RIGHT ) d x = d t]

[eqn: x = { pi } over {4}]일 때 [eqn: t = 0]

[eqn: x = {3 pi } over {4}]일 때 [eqn: t = 1]

[eqn: int_{{ pi } over {4}}^{{3 pi } over {4}} cos LEFT ( x - { pi } over {4} RIGHT ) e^{sin LEFT ( x - { pi } over {4} RIGHT )} d x][eqn: = int_{0}^{1} e^{t} d t][eqn: = LEFT [ e^{t} RIGHT ]_{0}^{1}][eqn: = e - 1]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: e - 2]	② [eqn: {e - 1} over {2}]	③ [eqn: {e} over {2}]

④ [eqn: e - 1]	⑤ [eqn: {e + 1} over {2}]

두 실수 [eqn: a , b]에 대하여 [eqn: lim _{n -> inf} {a n^{b}} over {sqrt{n^{4} + 4 n} - sqrt{n^{4} + n}} = 6]일 때, [eqn: a + b]의 값은?

②

주어진 식의 분모를 유리화하면

[eqn: lim _{n -> inf} {a n^{b}} over {sqrt{n^{4} + 4 n} - sqrt{n^{4} + n}}][eqn: = lim _{n -> inf} {a n^{b} ( sqrt{n^{4} + 4 n} + sqrt{n^{4} + n} )} over {( n^{4} + 4 n ) - ( n^{4} + n )}]

[eqn: = lim _{n -> inf} {a n^{b} ( sqrt{n^{4} + 4 n} + sqrt{n^{4} + n} )} over {3 n}]

근호 안의 [eqn: n^{4}]을 밖으로 빼내어 정리하면

[eqn: = lim _{n -> inf} {a n^{b + 2} LEFT ( sqrt{1 + {4} over {n^{3}}} + sqrt{1 + {1} over {n^{3}}} RIGHT )} over {3 n}]

[eqn: = lim _{n -> inf} {a n^{b + 1} LEFT ( sqrt{1 + {4} over {n^{3}}} + sqrt{1 + {1} over {n^{3}}} RIGHT )} over {3}]

[eqn: 0]이 아닌 극한값 [eqn: 6]이 존재하므로 [eqn: n]의 지수가 [eqn: 0]이어야 한다.

[eqn: b + 1 = 0], [eqn: b = -1]

이때 극한값은

[eqn: {a ( 1 + 1 )} over {3} = {2 a} over {3} = 6], [eqn: a = 9], [eqn: a + b = 9 + ( -1 ) = 8]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

곡선 [eqn: y = {3} over {x - 1} LEFT ( x > 1 RIGHT )]이 두 직선 [eqn: y = 1 , y = 3]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA , B]라 하자. 곡선 [eqn: y = {3} over {x - 1} LEFT ( x > 1 RIGHT )]과 직선 [eqn: rmAB]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

①

[eqn: y = {3} over {x - 1}]과 [eqn: y = 1]의 교점 [eqn: rmA]

[eqn: {3} over {x - 1} = 1], [eqn: x = 4], [eqn: rmA LEFT ( 4 , 1 RIGHT )]

[eqn: y = {3} over {x - 1}]과 [eqn: y = 3]의 교점 [eqn: rmB]

[eqn: {3} over {x - 1} = 3], [eqn: x = 2], [eqn: rmB LEFT ( 2 , 3 RIGHT )]

두 점 [eqn: rmA LEFT ( 4 , 1 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 2 , 3 RIGHT )]를 지나는 직선 [eqn: rmAB]의 방정식

[eqn: y - 1 = {3 - 1} over {2 - 4} LEFT ( x - 4 RIGHT )], [eqn: y = - x + 5]

구간 [eqn: [2,`4]]에서 직선 [eqn: rmAB]가 곡선보다 위쪽에 있으므로 구하는 넓이는

[eqn: int_{2}^{4} LEFT ( - x + 5 - {3} over {x - 1} RIGHT ) dx][eqn: = LEFT [ - {1} over {2} x^{2} + 5 x - 3 ln LEFT | x - 1 RIGHT | RIGHT ]_{2}^{4}]

[eqn: = LEFT ( - 8 + 20 - 3 ln 3 RIGHT ) - LEFT ( - 2 + 10 - 0 RIGHT )][eqn: = 4 - 3 ln 3]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 4 - 3 ln 3]	② [eqn: 3 - 3 ln 2]	③ [eqn: 4 - 2 ln 3]

④ [eqn: 3 + 3 ln 2]	⑤ [eqn: 3 + 3 ln 3]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f ( x )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f ' ( x ) > 0]이다. 함수 [eqn: f ( x ^{3} + x )]의 역함수를 [eqn: g ( x )]라 할 때, [eqn: f ( 2 ) = 1], [eqn: f ' ( 2 ) = 8 g ' ( 1 ) - 1]이다. [eqn: g ( 1 ) + g ' ( 1 )]의 값은?

①

[eqn: h ( x ) = f ( x^{3} + x )]라 하면 [eqn: h ( x )]의 역함수가 [eqn: g ( x )]이므로 [eqn: g ( h ( x ) ) = x]이다.

[eqn: h ( 1 ) = f ( 2 ) = 1]이므로 [eqn: g ( 1 ) = 1]이다.

[eqn: g ( h ( x ) ) = x]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g ' ( h ( x ) ) h ' ( x ) = 1]

[eqn: h ' ( x ) = f ' ( x^{3} + x ) ( 3 x^{2} + 1 )]이므로

[eqn: g ' ( f ( x^{3} + x ) ) f ' ( x^{3} + x ) ( 3 x^{2} + 1 ) = 1]

[eqn: x = 1]을 대입하면

[eqn: g ' ( f ( 2 ) ) f ' ( 2 ) TIMES 4 = 1]

[eqn: f ( 2 ) = 1]이므로 [eqn: 4 f ' ( 2 ) g ' ( 1 ) = 1], [eqn: g ' ( 1 ) = {1} over {4 f ' ( 2 )}]

조건에서 [eqn: f ' ( 2 ) = 8 g ' ( 1 ) - 1]이므로

[eqn: f ' ( 2 ) = 8 LEFT ( {1} over {4 f ' ( 2 )} RIGHT ) - 1], [eqn: f ' ( 2 ) = {2} over {f ' ( 2 )} - 1]

[eqn: LEFT { f ' ( 2 ) RIGHT }^{2} + f ' ( 2 ) - 2 = 0], [eqn: LEFT { f ' ( 2 ) + 2 RIGHT } LEFT { f ' ( 2 ) - 1 RIGHT } = 0]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f ' ( x ) > 0]이므로 [eqn: f ' ( 2 ) = 1]이다.

따라서 [eqn: g ' ( 1 ) = {1} over {4}]이다.

[eqn: g ( 1 ) + g ' ( 1 ) = 1 + {1} over {4} = {5} over {4}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {5} over {4}]	② [eqn: {11} over {8}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {13} over {8}]	⑤ [eqn: {7} over {4}]

삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(x) = g(x) - tan g(x)]
이고 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: g'(0) TIMES (g(0))^{2}]의 값은?

(가) [eqn: f(0) = 0], [eqn: f''( pi ) = 0]

(나) [eqn: sin g( pi ) = 0], [eqn: lim _{x -> inf} g(x) = {3 pi } over {2}]

②

[eqn: f(x) = g(x) - tan g(x)]의 양변을 미분

[eqn: f'(x) = g'(x) - sec^{2} g(x) CDOT g'(x) = -g'(x) tan^{2} g(x)]

조건 (가)의 [eqn: f(0) = 0]대입

[eqn: g(0) - tan g(0) = 0]

[eqn: tan g(0) = g(0)]

[eqn: x = 0]일 때의 미분계수 확인

[eqn: f'(0) = -g'(0) tan^{2} g(0) = -g'(0) (g(0))^{2}]

삼차함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체에서 정의되므로 [eqn: tan g(x)]도 실수 전체에서 정의되어야 함

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) NEQ { pi } over {2} + n pi] (단, [eqn: n]은 정수)

조건 (나)의 [eqn: lim _{x -> inf} g(x) = {3 pi } over {2}]에 의해 연속함수 [eqn: g(x)]의 치역은 [eqn: LEFT ( { pi } over {2} , {3 pi } over {2} RIGHT )]또는 [eqn: LEFT ( {3 pi } over {2} , {5 pi } over {2} RIGHT )]에 속함

[eqn: g(x) in LEFT ( { pi } over {2} , {3 pi } over {2} RIGHT )]라 가정하면 [eqn: x -> inf]일 때 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -> LEFT ( {3pi} over {2} RIGHT ) ^{-}]이므로 [eqn: tan g(x) -> inf]가 되어 [eqn: f(x) -> - inf]

이때 [eqn: sin g( pi ) = 0]에서 [eqn: g( pi ) = pi], [eqn: f( pi ) = pi - tan pi = pi]

[eqn: f'( pi ) = -g'( pi ) tan^{2} pi = 0]

조건 (가)의 [eqn: f''( pi ) = 0]을 이용하여 삼차함수 식 작성

[eqn: f(x) = a(x - pi )^{3} + pi]

[eqn: f(0) = 0]에서 [eqn: a = {1} over { pi ^{2}} > 0]이므로 [eqn: x -> inf]일 때 [eqn: f(x) -> inf]가 되어 모순 발생

따라서 [eqn: g(x) in LEFT ( {3 pi } over {2} , {5 pi } over {2} RIGHT )]이어야 함

[eqn: sin g( pi ) = 0]에서 [eqn: g( pi ) = 2 pi]

[eqn: f( pi ) = 2 pi - tan 2 pi = 2 pi]

[eqn: f'( pi ) = -g'( pi ) tan^{2} 2 pi = 0]

[eqn: f''( pi ) = 0]을 이용하여 삼차함수 식 작성

[eqn: f(x) = a(x - pi )^{3} + 2 pi], [eqn: f(0) = 0]에서 [eqn: -a pi ^{3} + 2 pi = 0], [eqn: a = {2} over { pi ^{2}}], [eqn: f(x) = {2} over { pi ^{2}} (x - pi )^{3} + 2 pi], [eqn: f'(x) = {6} over { pi ^{2}} (x - pi )^{2}], [eqn: f'(0) = {6} over { pi ^{2}} (- pi )^{2} = 6], [eqn: g'(0) (g(0))^{2} = -f'(0) = -6]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: -12]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

첫째항이 양수이고 공비가 유리수인 등비수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]에 대하여 급수 [eqn: sum_{n = 1}^{inf} a_{n}]이 수렴하고, 수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a_{1} + a_{2} < 10]

(나) 수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]의 정수인 항의 개수는 [eqn: 3]이고, 이 세 항의 곱은 [eqn: 216]이다.

[eqn: sum_{n = 1}^{inf} a_{n} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p + q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 91]

공비 [eqn: r]를 서로소인 두 정수 [eqn: s], [eqn: t]에 대하여 [eqn: r = {t} over {s}]([eqn: s > 0])라 설정한다.

급수가 수렴하므로 [eqn: | r | < 1]에서 [eqn: | t | < s]이다.

유리수 공비를 갖는 등비수열에서 정수인 항은 연속하게 나타난다.

조건 (나)에 의해 정수인 세 항을 [eqn: a_{k}], [eqn: a_{k+1}], [eqn: a_{k+2}]라 하면, 세 항의 곱은 [eqn: a_{k} a_{k+1} a_{k+2} = a_{k+1}^{3} = 216]이므로 [eqn: a_{k+1} = 6]이다.

세 항은 [eqn: 6 {s} over {t}], [eqn: 6], [eqn: 6 {t} over {s}]이므로, [eqn: t]와 [eqn: s]는 각각 [eqn: 6]의 약수이다.

[eqn: s > | t | > 0]이고 서로소인 순서쌍 [eqn: (s, t)]는 [eqn: (2, +- 1)], [eqn: (3, +- 1)], [eqn: (3, +- 2)], [eqn: (6, +- 1)]이다.

이 중 [eqn: a_{1} > 0]이고 [eqn: a_{1} + a_{2} < 10]을 만족하는 경우를 확인한다.

[eqn: t = +- 1]인 경우, 정수인 항은 [eqn: a_{1}]부터 시작해야 하며 [eqn: a_{1} > 0]을 만족하는 값들은 모두 [eqn: a_{1} + a_{2} ge 10]이 되어 모순이다.

[eqn: t = 2], [eqn: s = 3]인 경우 ([eqn: r = {2} over {3}]), 정수인 세 항은 [eqn: 9, 6, 4]이다.

[eqn: a_{1} = 9]이면 [eqn: a_{1} + a_{2} = 15 ge 10]이고, [eqn: a_{2} = 9]이면 [eqn: a_{1} = {27} over {2}]이므로 [eqn: a_{1} + a_{2} = {45} over {2} ge 10]이 되어 모순이다.

[eqn: t = -2], [eqn: s = 3]인 경우 ([eqn: r = - {2} over {3}]), 정수인 세 항은 [eqn: -9, 6, -4]이다.

[eqn: a_{2} = -9]라 하면 [eqn: a_{1} = -9 TIMES LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) = {27} over {2} > 0]이다.

이때 [eqn: a_{1} + a_{2} = {27} over {2} - 9 = {9} over {2} < 10]이므로 조건 (가)를 만족한다.

(만약 [eqn: a_{4} = -9]이면 [eqn: a_{1} = {243} over {8}]이 되어 [eqn: a_{1} + a_{2} = {81} over {8} > 10]이므로 성립하지 않는다.)

따라서 첫째항은 [eqn: a_{1} = {27} over {2}], 공비는 [eqn: r = - {2} over {3}]이다.

급수의 합은 [eqn: sum_{n = 1}^{inf} a_{n} = {{27} over {2}} over {1 - LEFT ( - {2} over {3} RIGHT )} = {{27} over {2}} over {{5} over {3}} = {81} over {10}]이다.

[eqn: p = 10], [eqn: q = 81]이므로 [eqn: p + q = 91]이다.

따라서 정답은 [eqn: 91]이다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(x) = ln LEFT ( {g(x)} over {1 + x f'(x)} RIGHT )]
를 만족시킨다. [eqn: f(1) = 4 ln 2]이고
[eqn: int _{1}^{2} g(x) dx = 34, int _{1}^{2} x g(x) dx = 53]
일 때, [eqn: int _{1}^{2} x e^{f(x)} dx]의 값을 구하시오.

[eqn: 31]

[eqn: f(x) = ln LEFT ( {g(x)} over {1 + x f'(x)} RIGHT )][eqn: e^{f(x)} = {g(x)} over {1 + x f'(x)}][eqn: g(x) = e^{f(x)} (1 + x f'(x)) = e^{f(x)} + x f'(x) e^{f(x)}][eqn: g(x) = (x e^{f(x)})'][eqn: int _{1}^{2} g(x) dx = [x e^{f(x)}]_{1}^{2} = 2 e^{f(2)} - e^{f(1)} = 34][eqn: f(1) = 4 ln 2 = ln 16]이므로 [eqn: e^{f(1)} = 16][eqn: 2 e^{f(2)} - 16 = 34][eqn: e^{f(2)} = 25]

부분적분법을 이용하여 [eqn: int _{1}^{2} x g(x) dx]를 계산하면

[eqn: int _{1}^{2} x g(x) dx = int _{1}^{2} x (x e^{f(x)})' dx][eqn: = [x^2 e^{f(x)}]_{1}^{2} - int _{1}^{2} x e^{f(x)} dx = 53][eqn: [x^2 e^{f(x)}]_{1}^{2} = 4 e^{f(2)} - e^{f(1)} = 4 TIMES 25 - 16 = 84][eqn: 84 - int _{1}^{2} x e^{f(x)} dx = 53][eqn: int _{1}^{2} x e^{f(x)} dx = 84 - 53 = 31]

따라서 정답은 [eqn: 31]이다.