수학ETF	2025년_고3_9월	기출문제
	1~30
	확통

[eqn: 5^{sqrt{2} + 1} TIMES LEFT ( {1} over {5} RIGHT )^{sqrt{2}}}]의 값은?

④

[eqn: rm5^{sqrt{2} + 1} TIMES LEFT ( {1} over {5} RIGHT )^{sqrt{2}}][eqn: = 5^{sqrt{2} + 1} TIMES LEFT ( 5^{-1} RIGHT )^{sqrt{2}}][eqn: = 5^{sqrt{2} + 1} TIMES 5^{-sqrt{2}}]

[eqn: = 5^{sqrt{2} + 1 - sqrt{2}}][eqn: = 5^{1}][eqn: = 5]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {25}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 25]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - 4 x + 2]에 대하여 [eqn: lim _{h -> 0} {f(4 + h) - f(4)} over {h}]의 값은?

④

[eqn: lim _{h -> 0} {f(4 + h) - f(4)} over {h} = f'(4)]

[eqn: f(x) = x^{2} - 4 x + 2]

[eqn: f'(x) = 2 x - 4], [eqn: f'(4) = 2 TIMES 4 - 4 = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k = 1} ^{6} LEFT ( 2 a_{k} - 1 RIGHT ) = 30]일 때, [eqn: sum _{k = 1} ^{6} a_{k}]의 값은?

⑤

[eqn: sum _{k = 1} ^{6} LEFT ( 2 a_{k} - 1 RIGHT ) = 30], [eqn: 2 sum _{k = 1} ^{6} a_{k} - sum _{k = 1} ^{6} 1 = 30], [eqn: 2 sum _{k = 1} ^{6} a_{k} - 6 = 30]

[eqn: 2 sum _{k = 1} ^{6} a_{k} = 36], [eqn: sum _{k = 1} ^{6} a_{k} = 18]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 18]

닫힌구간 [eqn: [-2,`2]]에서 정의된 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x -> 0-} f(x) + lim _{x -> 1+} f(x)]의 값은?

①

[eqn: x -> 0-]일 때 [eqn: f(x) -> -1]이므로 [eqn: lim _{x -> 0-} f(x) = -1]

[eqn: x -> 1+]일 때 [eqn: f(x) -> 2]이므로 [eqn: lim _{x -> 1+} f(x) = 2]

[eqn: lim _{x -> 0-} f(x) + lim _{x -> 1+} f(x) = -1 + 2 = 1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x) = LEFT ( x^{2} + 2 RIGHT ) LEFT ( x^{2} + x - 3 RIGHT )]에 대하여 [eqn: f'(1)]의 값은?

②

함수 [eqn: f(x) = LEFT ( x^{2} + 2 RIGHT ) LEFT ( x^{2} + x - 3 RIGHT )]에서 곱의 미분법을 이용하면

[eqn: f'(x) = 2x LEFT ( x^{2} + x - 3 RIGHT ) + LEFT ( x^{2} + 2 RIGHT ) LEFT ( 2x + 1 RIGHT )]

[eqn: x = 1]을 대입하면

[eqn: f'(1) = 2 TIMES LEFT ( 1 + 1 - 3 RIGHT ) + LEFT ( 1 + 2 RIGHT ) LEFT ( 2 + 1 RIGHT )]

[eqn: f'(1) = 2 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) + 3 TIMES 3], [eqn: f'(1) = -2 + 9 = 7]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: cos LEFT ( theta - pi RIGHT ) = {3} over {5}]이고 [eqn: tan theta < 0]일 때, [eqn: sin theta]의 값은?

⑤

[eqn: cos LEFT ( theta - pi RIGHT ) = - cos theta = {3} over {5}]이므로 [eqn: cos theta = - {3} over {5}]

[eqn: cos theta < 0], [eqn: tan theta < 0]이므로 [eqn: theta]는 제[eqn: 2]사분면의 각이고, [eqn: sin theta > 0]이다.

[eqn: sin^2 theta = 1 - cos^2 theta = 1 - LEFT ( - {3} over {5} RIGHT )^2 = {16} over {25}]

[eqn: sin theta > 0]이므로 [eqn: sin theta = {4} over {5}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: - {4} over {5}]	② [eqn: - {3} over {5}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

곡선 [eqn: y = x^{3} - 5 x^{2} + 6 x]위의 점 [eqn: ( 3 , 0 )]에서의 접선이 점 [eqn: ( 5 , a )]를 지날 때, [eqn: a]의 값은?

①

점 [eqn: ( 3 , 0 )]을 지나는 접선의 방정식을 [eqn: y = m ( x - 3 )]이라 하자.

이 직선이 곡선 [eqn: y = x^{3} - 5 x^{2} + 6 x] 위의 점 [eqn: ( 3 , 0 )]에서 접하므로, 방정식 [eqn: x^{3} - 5 x^{2} + 6 x = m ( x - 3 )]은 [eqn: x = 3]을 중근으로 가져야 한다.

[eqn: x ( x^{2} - 5 x + 6 ) - m ( x - 3 ) = 0]

[eqn: x ( x - 2 ) ( x - 3 ) - m ( x - 3 ) = 0]

[eqn: ( x - 3 ) ( x^{2} - 2 x - m ) = 0]

이 방정식이 [eqn: x = 3]을 중근으로 가지려면 이차방정식 [eqn: x^{2} - 2 x - m = 0]이 [eqn: x = 3]을 근으로 가져야 한다.

[eqn: 3^{2} - 2 CDOT 3 - m = 0], [eqn: m = 3]

따라서 접선의 방정식은 [eqn: y = 3 ( x - 3 )]이다.

이 접선이 점 [eqn: ( 5 , a )]를 지나므로 [eqn: a = 3 ( 5 - 3 ) = 6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]가
[eqn: log _{sqrt {2}} a + log _{2} b = 2], [eqn: log _{2} a + log _{2} b ^{2} = 7]
을 만족시킬 때, [eqn: a TIMES b]의 값은?

③

[eqn: log _{sqrt {2}} a + log _{2} b = 2]에서 [eqn: log _{sqrt {2}} a = 2 log _{2} a]이므로

[eqn: 2 log _{2} a + log _{2} b = 2], [eqn: log _{2} a + log _{2} b ^{2} = 7]에서

[eqn: log _{2} a + 2 log _{2} b = 7]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: log _{2} a = -1], [eqn: log _{2} b = 4], [eqn: a = 2 ^{-1} = 1 over 2], [eqn: b = 2 ^{4} = 16]

[eqn: a TIMES b = 1 over 2 TIMES 16 = 8]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

다항함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라 하고, 함수 [eqn: 2 f(x) + 1]의 한 부정적분을 [eqn: G(x)]라 하자. [eqn: G(3) = 2 F(3)]일 때, [eqn: G(5) - 2 F(5)]의 값은?

②

[eqn: G(x) = int {2 f(x) + 1} dx], [eqn: G(x) = 2 int f(x) dx + int 1 dx]

[eqn: G(x) = 2 F(x) + x + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: G(3) = 2 F(3)]이므로

[eqn: 2 F(3) + 3 + C = 2 F(3)]

[eqn: C = -3]

[eqn: G(x) = 2 F(x) + x - 3]

[eqn: G(5) - 2 F(5) = 2 F(5) + 5 - 3 - 2 F(5) = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자.
[eqn: a_2 =1], [eqn: sum _{k=1} ^{6} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k} S _{k} =21]
일 때, [eqn: S_{2} + S_{7}]의 값은?

③

등비수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 하자.

모든 항이 양수이므로 [eqn: a > 0], [eqn: r > 0]이다.

[eqn: a_{2} = ar = 1]

[eqn: sum _{k = 1}^{6} LEFT ( - 1 RIGHT )^{k} S_{k} = - S_{1} + S_{2} - S_{3} + S_{4} - S_{5} + S_{6}]

[eqn: LEFT ( S_{2} - S_{1} RIGHT ) + LEFT ( S_{4} - S_{3} RIGHT ) + LEFT ( S_{6} - S_{5} RIGHT ) = a_{2} + a_{4} + a_{6}]

[eqn: a_{2} + a_{4} + a_{6} = 21], [eqn: ar + ar^{3} + ar^{5} = 21]

[eqn: ar = 1]이므로 [eqn: 1 + r^{2} + r^{4} = 21], [eqn: r^{4} + r^{2} - 20 = 0]

[eqn: LEFT ( r^{2} + 5 RIGHT ) LEFT ( r^{2} - 4 RIGHT ) = 0]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: r^{2} = 4]에서 [eqn: r = 2]

[eqn: a TIMES 2 = 1]에서 [eqn: a = {1} over {2}]

[eqn: S_{n} = {{1} over {2} LEFT ( 2^{n} - 1 RIGHT )} over {2 - 1} = {1} over {2} LEFT ( 2^{n} - 1 RIGHT )]

[eqn: S_{2} = {1} over {2} LEFT ( 2^{2} - 1 RIGHT ) = {3} over {2}]

[eqn: S_{7} = {1} over {2} LEFT ( 2^{7} - 1 RIGHT ) = {127} over {2}]

[eqn: S_{2} + S_{7} = {3} over {2} + {127} over {2} = {130} over {2} = 65]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 61]	② [eqn: 63]	③ [eqn: 65]

④ [eqn: 67]	⑤ [eqn: 69]

시각 [eqn: t = 0]일 때 원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 시각이 [eqn: t][eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]일 때 점 [eqn: rmP]의 속도 [eqn: v(t)]가
[eqn: v(t) = 3 t^{2} - 10 t + 7]
이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 시각 [eqn: t = 1]일 때 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 바뀐다. ㄴ. 시각 [eqn: t = 1]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 3]이다. ㄷ. 시각 [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = 2]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는 [eqn: 4]이다.

⑤

[eqn: v(t) = 3 t^{2} - 10 t + 7 = ( 3 t - 7 ) ( t - 1 )]

ㄱ. [eqn: t = 1]전후로 [eqn: v(t)]의 부호가 양수에서 음수로 바뀌므로 운동 방향이 바뀐다. (참)

ㄴ. 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x(t)]는

[eqn: x(t) = int_{0}^{t} ( 3 s^{2} - 10 s + 7 ) ds = t^{3} - 5 t^{2} + 7 t]

[eqn: t = 1]일 때 위치는 [eqn: x(1) = 1 - 5 + 7 = 3]이다. (참)

ㄷ. [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = 2]까지 움직인 거리는

[eqn: int_{0}^{2} LEFT | v(t) RIGHT | dt = int_{0}^{1} v(t) dt - int_{1}^{2} v(t) dt]

[eqn: = LEFT [ t^{3} - 5 t^{2} + 7 t RIGHT ]_{0}^{1} - LEFT [ t^{3} - 5 t^{2} + 7 t RIGHT ]_{1}^{2}][eqn: = 3 - ( 2 - 3 ) = 4](참)

따라서 정답은 ⑤이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

상수 [eqn: a][eqn: LEFT ( a>1 RIGHT )]과 양수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y = a^{x}]과 두 직선 [eqn: x = t], [eqn: x = 2 t]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC]라 하자. [eqn: rmoverline {AB} = overline {AC}]이고 삼각형 [eqn: rmACB]의 넓이가 [eqn: 8]일 때, [eqn: a TIMES t]의 값은?

①

점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]의 좌표는 각각 [eqn: rmA LEFT ( itt,`a ^{t} RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( it2t,`a ^{2t} RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( it2t,`0 RIGHT )]이다.

[eqn: rmoverline {AB} = overline {AC}]에서 [eqn: rmoverline {AB}^{2} = overline {AC}^{2}]이므로

[eqn: LEFT ( 2 t - t RIGHT )^{2} + LEFT ( a^{2 t} - a^{t} RIGHT )^{2} = LEFT ( 2 t - t RIGHT )^{2} + LEFT ( 0 - a^{t} RIGHT )^{2}]

[eqn: t^{2} + LEFT ( a^{2 t} - a^{t} RIGHT )^{2} = t^{2} + a^{2 t}]

[eqn: LEFT ( a^{2 t} - a^{t} RIGHT )^{2} = a^{2 t}]

[eqn: a > 1], [eqn: t > 0]이므로 [eqn: a^{2 t} - a^{t} > 0]

[eqn: a^{2 t} - a^{t} = a^{t}], [eqn: a^{2 t} = 2 a^{t}], [eqn: a^{t} = 2]

삼각형 [eqn: rmACB]의 넓이가 [eqn: 8]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rmBC}} TIMES t=8], [eqn: {1} over {2} TIMES a^{2 t} TIMES t = 8]

[eqn: a^{t} = 2]에서 [eqn: a^{2 t} = 4]이므로 [eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES t = 8], [eqn: t = 4]

[eqn: a^{4} = 2]에서 [eqn: a = 2^{{1} over {4}}]

[eqn: a TIMES t = 2^{{1} over {4}} TIMES 4 = 2^{{1} over {4}} TIMES 2^{2} = 2^{{9} over {4}}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 2^{{9} over {4}}]	② [eqn: 2^{{23} over {8}}]	③ [eqn: 2^{{7} over {2}}]

④ [eqn: 2^{{33} over {8}}]	⑤ [eqn: 2^{{19} over {4}}]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} + 6 x + 12]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: k]의 개수는?

모든 실수 [eqn: a]에 대하여

[eqn: lim _{x -> a} {x^{2}} over {LEFT ( f(x) RIGHT )^{2} - k LEFT ( x + 2 RIGHT ) f(x)}]의 값이 존재한다.

④

주어진 식의 분모를 [eqn: g(x)]라 하면

[eqn: g(x) = LEFT ( f(x) RIGHT )^{2} - k LEFT ( x + 2 RIGHT ) f(x) = f(x) LEFT { f(x) - k LEFT ( x + 2 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: f(x) = x^{2} + 6 x + 12 = LEFT ( x + 3 RIGHT )^{2} + 3 > 0]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) neq 0]이다.

[eqn: h(x) = f(x) - k LEFT ( x + 2 RIGHT ) = x^{2} + LEFT ( 6 - k RIGHT ) x + 12 - 2 k]라 하자.

모든 실수 [eqn: a]에 대하여 주어진 값이 존재하려면, 분모가 [eqn: 0]이 되는 [eqn: x]의 값이 분자 [eqn: x^{2} = 0]을 만족하는 [eqn: x = 0]뿐이어야 하며, 그 중복도가 [eqn: 2]이하이어야 한다.

즉, 이차방정식 [eqn: h(x) = 0]은 [eqn: 0]이 아닌 실근을 가질 수 없다.

첫째, [eqn: h(x) = 0]이 실근을 갖지 않는 경우

판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D = LEFT ( 6 - k RIGHT )^{2} - 4 LEFT ( 12 - 2 k RIGHT ) < 0]

[eqn: k^{2} - 4 k - 12 < 0]

[eqn: LEFT ( k - 6 RIGHT ) LEFT ( k + 2 RIGHT ) < 0]

[eqn: - 2 < k < 6]

이를 만족하는 정수 [eqn: k]는 [eqn: - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]이다.

둘째, [eqn: h(x) = 0]이 [eqn: x = 0]을 실근으로 갖는 경우

[eqn: h(0) = 12 - 2 k = 0]에서 [eqn: k = 6]이다.

[eqn: k = 6]일 때 [eqn: h(x) = x^{2}]이므로 [eqn: x = 0]이외의 실근을 갖지 않는다.

이때 주어진 식은 [eqn: lim _{x -> a} {x^{2}} over {f(x) x^{2}} = lim _{x -> a} {1} over {f(x)}]이 되어 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 값이 존재한다.

따라서 [eqn: k = 6]도 조건을 만족한다.

조건을 만족하는 모든 정수 [eqn: k]는 [eqn: - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]으로 총 [eqn: 8]개이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

양수 [eqn: k]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { x left|0 LEQ x< {3k pi } over {2} ,x != {k pi } over {2} RIGHT }]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = tan {x} over {k}]가 있다. 점 [eqn: rmP LEFT ( 0, itp RIGHT )][eqn: LEFT ( p>0 RIGHT )]을 지나며 [eqn: x]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 만나는 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: LEFT ( rmbarPA <rmbarPB RIGHT )]라 하고, 직선 [eqn: y = - p]가 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. [eqn: rmoverline {AB} = 3 overline {PA}]이고 삼각형 [eqn: rmOCB]의 넓이가 [eqn: {5 pi } over {3}]일 때, [eqn: k + p]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

함수 [eqn: f(x) = tan {x} over {k}]의 주기는 [eqn: k pi]이다.

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: rmA LEFT ( italpha,`p RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it alpha +k`pi,`p RIGHT )]이다.

[eqn: rmP LEFT ( 0,`itp RIGHT )]이므로 [eqn: rmbarPA`=italpha], [eqn: rmbarAB`=itk`pi]이다.

[eqn: rmoverline {AB} = 3 overline {PA}]이므로 [eqn: k pi = 3 alpha], 즉 [eqn: alpha = {k pi } over {3}]이다.

[eqn: p = f LEFT ( {k pi } over {3} RIGHT ) = tan { pi } over {3} = sqrt {3}]

점 [eqn: rmC]는 직선 [eqn: y = - sqrt {3}]과 함수 [eqn: y = f(x)]의 교점이다.

[eqn: tan {x} over {k} = - sqrt {3}]에서 주어진 범위에 의해 [eqn: {x} over {k} = {2 pi } over {3}]이다.

[eqn: x = {2 k pi } over {3}]이므로 [eqn: rmC LEFT ( it {2k`pi} over {3} ,`- sqrt {3} RIGHT )]이다.

점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: rmB LEFT ( it {4k`pi} over {3} ,` sqrt {3} RIGHT )]이다.

선분 [eqn: rmBC]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자.

점 [eqn: rmB]와 점 [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표가 각각 [eqn: sqrt {3}], [eqn: - sqrt {3}]이므로 점 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmBC]의 중점인 [eqn: rmD LEFT ( itk`pi,`0 RIGHT )]이다.

삼각형 [eqn: rmOCB]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmODB]와 삼각형 [eqn: rmODC]의 넓이의 합과 같다.

[eqn: LEFT ( {1} over {2} TIMES k pi TIMES sqrt {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} TIMES k pi TIMES sqrt {3} RIGHT ) = sqrt {3} k pi]

삼각형 [eqn: rmOCB]의 넓이가 [eqn: {5 pi } over {3}]이므로 [eqn: sqrt {3} k pi = {5 pi } over {3}]이다.

[eqn: k = {5 sqrt {3}} over {9}], [eqn: k + p = {5 sqrt {3}} over {9} + sqrt {3} = {14 sqrt {3}} over {9}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {13 sqrt {3}} over {9}]	③ [eqn: {14 sqrt {3}} over {9}]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {16 sqrt {3}} over {9}]

최고차항의 계수가 양수이고 [eqn: f(0) = 0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수
[eqn: g(x) = int _{0}^{x} ( |f(t)| - |t| ) dt]
가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: g'(x) = 0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x = 2], [eqn: x = 6]에서 극값을 갖는다.

[eqn: f(6) TIMES g(2) < 0]일 때, [eqn: f(8)]의 값은?

⑤

[eqn: g'(x) = |f(x)| - |x|]

방정식 [eqn: g'(x) = 0]의 실근은 [eqn: f(x) = x]또는 [eqn: f(x) = -x]의 근이다.

[eqn: f(0) = 0]이므로 [eqn: x = 0]은 항상 실근이다.

조건 (나)에 의해 [eqn: x = 2], [eqn: x = 6]은 [eqn: g'(x) = 0]의 실근이다.

조건 (가)에 의해 실근이 [eqn: 4]개이므로, [eqn: f(x) - x = 0]과 [eqn: f(x) + x = 0]의 근의 합집합은 [eqn: {0, 2, 6, alpha }]이다.

[eqn: f(x)]는 삼차함수이므로 두 방정식 중 하나는 중근을 가져야 한다.

[경우 1] [eqn: f(x) - x = 0]이 [eqn: x = 0], [eqn: x = 2], [eqn: x = 6]을 근으로 갖고, [eqn: f(x) + x = 0]이 [eqn: x = alpha]에서 중근을 갖는 경우

[eqn: f(x) - x = ax(x - 2)(x - 6)], [eqn: f(x) + x = ax(x - alpha )^{2}]

[eqn: f(x) = ax(x - 2)(x - 6) + x]

[eqn: f(x) + x = ax(x^{2} - 8x + 12) + 2x = ax LEFT ( x^{2} - 8x + 12 + {2} over {a} RIGHT )]

이 식이 [eqn: ax(x^{2} - 2 alpha x + alpha ^{2})]과 같아야 하므로 계수를 비교하면

[eqn: 2 alpha = 8], [eqn: alpha ^{2} = 12 + {2} over {a}] 따라서 [eqn: alpha = 4], [eqn: a = {1} over {2}]이다.

[eqn: f(x) = {1} over {2} x(x - 2)(x - 6) + x]

이때 [eqn: f(6) = 6 > 0]이고, [eqn: 0 < t < 2]에서 [eqn: f(t) - t = {1} over {2} t(t - 2)(t - 6) > 0]이므로 [eqn: |f(t)| = f(t)]이다.

[eqn: g(2) = int _{0}^{2} ( f(t) - t ) dt > 0]

따라서 [eqn: f(6) TIMES g(2) > 0]이 되어 조건에 모순이다.

[경우 2] [eqn: f(x) + x = 0]이 [eqn: x = 0], [eqn: x = 2], [eqn: x = 6]을 근으로 갖고, [eqn: f(x) - x = 0]이 [eqn: x = alpha]에서 중근을 갖는 경우

[eqn: f(x) + x = ax(x - 2)(x - 6)], [eqn: f(x) - x = ax(x - alpha )^{2}]

[eqn: f(x) = ax(x - 2)(x - 6) - x]

[eqn: f(x) - x = ax(x^{2} - 8x + 12) - 2x = ax LEFT ( x^{2} - 8x + 12 - {2} over {a} RIGHT )]

계수를 비교하면 [eqn: 2 alpha = 8], [eqn: alpha ^{2} = 12 - {2} over {a}]

따라서 [eqn: alpha = 4], [eqn: a = - {1} over {2}]이다.

최고차항의 계수가 양수라는 조건에 모순이다.

[경우 3] [eqn: f(x) + x = 0]이 [eqn: x = 0]에서 중근을 갖고, [eqn: f(x) - x = 0]이 [eqn: x = 6]을 근으로 갖는 경우

[eqn: f(x) + x = ax^{2}(x - 2)], [eqn: f(x) - x = ax(x - 6)(x - beta )]

[eqn: f(x) = ax^{2}(x - 2) - x]

[eqn: f(x) - x = ax^{2}(x - 2) - 2x = ax LEFT ( x^{2} - 2x - {2} over {a} RIGHT )]

계수를 비교하면 [eqn: 6 + beta = 2], [eqn: 6 beta = - {2} over {a}]

따라서 [eqn: beta = -4], [eqn: a = {1} over {12}]이다.

[eqn: f(x) = {1} over {12} x^{2}(x - 2) - x]

이때 [eqn: f(6) = 6 > 0]이고, [eqn: 0 < t < 2]에서 [eqn: f(t) + t = {1} over {12} t^{2}(t - 2) < 0]이므로 [eqn: f(t) < -t < 0]이다.

[eqn: |f(t)| = -f(t)]이므로 [eqn: |f(t)| - t = -f(t) - t = - ( f(t) + t ) > 0]이다.

[eqn: g(2) = int _{0}^{2} ( |f(t)| - t ) dt > 0]

따라서 [eqn: f(6) TIMES g(2) > 0]이 되어 조건에 모순이다.

[경우 4] [eqn: f(x) - x = 0]이 [eqn: x = 0]에서 중근을 갖고, [eqn: f(x) + x = 0]이 [eqn: x = 2]를 근으로 갖는 경우

[eqn: f(x) - x = ax^{2}(x - 6)], [eqn: f(x) + x = ax(x - 2)(x - alpha )]

[eqn: f(x) = ax^{2}(x - 6) + x]

[eqn: f(x) + x = ax^{2}(x - 6) + 2x = ax LEFT ( x^{2} - 6x + {2} over {a} RIGHT )]

계수를 비교하면 [eqn: 2 + alpha = 6], [eqn: 2 alpha = {2} over {a}]

따라서 [eqn: alpha = 4], [eqn: a = {1} over {4}]이다.

[eqn: f(x) = {1} over {4} x^{2}(x - 6) + x]

이때 [eqn: f(6) = 6 > 0]이고, [eqn: 0 < t < 2]에서 [eqn: f(t) - t = {1} over {4} t^{2}(t - 6) < 0]이므로 [eqn: f(t) < t]이다.

또한 [eqn: f(t) + t = {1} over {4} t(t - 2)(t - 4) > 0]이므로 [eqn: f(t) > -t]이다.

즉, [eqn: -t < f(t) < t]이므로 [eqn: |f(t)| < t]이다.

[eqn: g(2) = int _{0}^{2} ( |f(t)| - t ) dt < 0]

따라서 [eqn: f(6) TIMES g(2) < 0]이 되어 모든 조건을 만족한다.

최종적으로 [eqn: f(x)]의 값을 구하면 다음과 같다.

[eqn: f(8) = {1} over {4} TIMES 64 TIMES 2 + 8 = 40]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 40]

수열 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]은 [eqn: a_{1} = 1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{n + 1} = n a_{n} + 2]
를 만족시킨다. [eqn: a_{3}]의 값을 구하시오.

[eqn: 8]

[eqn: a_{n + 1} = n a_{n} + 2]에 [eqn: n = 1]을 대입하면

[eqn: a_{2} = 1 TIMES a_{1} + 2 = 1 TIMES 1 + 2 = 3]

[eqn: n = 2]를 대입하면 [eqn: a_{3} = 2 TIMES a_{2} + 2 = 2 TIMES 3 + 2 = 8]

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x) = 3 x^{2} + 2 x + 1]이고 [eqn: f(1) = 6]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 17]

[eqn: f'(x) = 3 x^{2} + 2 x + 1][eqn: f(x) = int ( 3 x^{2} + 2 x + 1 ) dx = x^{3} + x^{2} + x + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(1) = 1 + 1 + 1 + C = 6], [eqn: C = 3]

[eqn: f(x) = x^{3} + x^{2} + x + 3], [eqn: f(2) = 2^{3} + 2^{2} + 2 + 3 = 17]

따라서 정답은 [eqn: 17]이다.

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: a_{3} = 6, 2 a_{5} - a_{4} = 15]
일 때, [eqn: a_{11}]의 값을 구하시오.

[eqn: 30]

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_{3} = a + 2d = 6]

[eqn: 2 a_{5} - a_{4} = 2 LEFT ( a + 4d RIGHT ) - LEFT ( a + 3d RIGHT ) = a + 5d = 15]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: 3d = 9]에서 [eqn: d = 3], [eqn: a + 6 = 6]에서 [eqn: a = 0]

따라서 [eqn: a_{11} = a + 10d = 0 + 10 TIMES 3 = 30]

따라서 정답은 [eqn: 30]이다.

함수 [eqn: f(x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 5 a]의 극솟값이 [eqn: a]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: 10]

[eqn: f(x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 5 a]

[eqn: f'(x) = 6 x^{2} - 6 a x = 6 x ( x - a )]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = 0]또는 [eqn: x = a]

함수 [eqn: f(x)]가 극값을 가지므로 [eqn: a neq 0]

[eqn: a > 0]인 경우

[eqn: x = a]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: f(a) = - a^{3} + 5 a = a]

[eqn: a^{3} - 4 a = 0]

[eqn: a ( a - 2 ) ( a + 2 ) = 0]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = 2]

이때 극댓값은 [eqn: x = 0]에서 가지므로 [eqn: f(0) = 5 a = 10]

[eqn: a < 0]인 경우

[eqn: x = 0]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: f(0) = 5 a = a]

[eqn: a = 0]이 되어 [eqn: a < 0]에 모순

따라서 정답은 [eqn: 10]이다.

그림과 같이 사각형 [eqn: rmABCD]가 한 원에 내접하고 [eqn: rmoverline {AB} : overline {CD} = 1 : 3], [eqn: rmoverline {BC} < overline {AD}]일 때, 직선 [eqn: rmAB]와 직선 [eqn: rmCD]가 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자.

다음은 [eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} : overline {BC} = 7 : 5 : sqrt {14}]이고 [eqn: rmoverline {AD} = 4 sqrt {13}]일 때, 삼각형 [eqn: rmBPC]의 외접원의 반지름의 길이를 구하는 과정이다.

[eqn: rmangle BPC = theta]라 할 때, [eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} : overline {BC} = 7 : 5 : sqrt {14}]이므로

삼각형 [eqn: rmBPC]에서 코사인법칙에 의하여 [eqn: cos theta = {6} over {7}]이다.

[eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} = 7 : 5]에서 [eqn: rmbarPB =it7k], [eqn: rmbarPC =it5k], [eqn: rmoverline {AB} : overline {CD} = 1 : 3]에서

[eqn: rmbarAB it=itl], [eqn: rmbarCD =3itl]이라 하자. 원의 성질에 의하여 삼각형

[eqn: rmBPC]와 삼각형 [eqn: rmDPA]가 서로 닮음이므로

[eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} = overline {PD} : overline {PA}]이고, [eqn: l= {BOX{```(가)```}} TIMES k]이다. 삼각형 [eqn: rmBPC]와

삼각형 [eqn: rmDPA]의 닮음비가 [eqn: 1 : (나)]이므로

[eqn: rm {bar{BC}} = {1} over {{BOX{```(나)```}}} TIMES {bar{AD}}]이다. 따라서 삼각형 [eqn: rmBPC]의 외접원의

반지름의 길이를 [eqn: R]이라 할 때, 삼각형 [eqn: rmBPC]에서

사인법칙에 의하여 [eqn: R= {BOX{```(다)```}}]이다.

위의 [eqn: (가), (나), (다)]에 알맞은 수를 각각 [eqn: p, q, r]이라 할 때, [eqn: p + q + r]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

[eqn: rmoverline {PB} : overline {PC} = overline {PD} : overline {PA}]

[eqn: 7 k : 5 k = ( 5 k + 3 l ) : ( 7 k + l )]

[eqn: 7 ( 7 k + l ) = 5 ( 5 k + 3 l )]

[eqn: 49 k + 7 l = 25 k + 15 l]

[eqn: 8 l = 24 k]

[eqn: l = 3 k]

따라서 [eqn: (가) = 3]이므로 [eqn: p = 3]이다.

삼각형 [eqn: rmBPC]와 삼각형 [eqn: rmDPA]의 닮음비는 [eqn: rmoverline {PC} : overline {PA}]이다.

[eqn: {bar{rmPA}} =7k+l=7k+3k=10k]

[eqn: {bar{rmPC}} : {bar{rmPA}} =5k:10k=1:2]

따라서 [eqn: (나) = 2]이므로 [eqn: q = 2]이다.

[eqn: rmoverline {BC} = {1} over {2} TIMES overline {AD} = {1} over {2} TIMES 4 sqrt {13} = 2 sqrt {13}]

[eqn: cos theta = {6} over {7}]이므로 [eqn: sin theta = sqrt {1 - LEFT ( {6} over {7} RIGHT )^{2}} = {sqrt {13}} over {7}]

삼각형 [eqn: rmBPC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: 2R= {{bar{rmBC}}} over {sin theta } = {2 sqrt {13}} over {{sqrt {13}} over {7}} =14][eqn: R = 7]

따라서 [eqn: (다) = 7]이므로 [eqn: r = 7]이다.

[eqn: p + q + r = 3 + 2 + 7 = 12]

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f ( x )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f prime ( 10 )]의 값을 구하시오.

[eqn: 0]이 아닌 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: {f prime ( x )} over {2} + x^{2} - 2 le {f ( 2 x ) - f ( 0 )} over {2 x} le x^{4}]

이다.

[eqn: 296]

[eqn: f ( x ) = x^{3} + a x^{2} + b x + c]라 하면

[eqn: f prime ( x ) = 3 x^{2} + 2 a x + b]

[eqn: {f ( 2 x ) - f ( 0 )} over {2 x} = {8 x^{3} + 4 a x^{2} + 2 b x} over {2 x} = 4 x^{2} + 2 a x + b]

주어진 부등식에 대입:

[eqn: {3 x^{2} + 2 a x + b} over {2} + x^{2} - 2 le 4 x^{2} + 2 a x + b le x^{4}]

왼쪽 부등식 정리:

[eqn: {3} over {2} x^{2} + a x + {b} over {2} + 2 ge 0]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하므로 판별식 [eqn: D le 0]:

[eqn: D = a^{2} - 4 TIMES {3} over {2} LEFT ( {b} over {2} + 2 RIGHT ) = a^{2} - 3 b - 12 le 0], [eqn: b ge {a^{2} - 12} over {3}]

오른쪽 부등식 정리:

[eqn: x^{4} - 4 x^{2} - 2 a x - b ge 0]

[eqn: x = sqrt {2}]대입: [eqn: 4 - 8 - 2 sqrt {2} a - b ge 0]에서 [eqn: b le -4 - 2 sqrt {2} a]

[eqn: x = - sqrt {2}]대입: [eqn: 4 - 8 + 2 sqrt {2} a - b ge 0]에서 [eqn: b le -4 + 2 sqrt {2} a]

두 식을 더하면 [eqn: 2 b le -8]이므로 [eqn: b le -4][eqn: b]의 조건 결합:

[eqn: {a^{2} - 12} over {3} le b le -4], [eqn: a^{2} - 12 le -12]에서 [eqn: a^{2} le 0]

실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a = 0]이고 [eqn: b = -4]

따라서 [eqn: f prime ( x ) = 3 x^{2} - 4], [eqn: f prime ( 10 ) = 3 TIMES 10^{2} - 4 = 296]

따라서 정답은 [eqn: 296]이다.

곡선 [eqn: y = log _{2} x]위에 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 있다. 점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: y = x]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP]라 하고, 점 [eqn: rmB]를 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) (직선 AP의 [eqn: y]절편)-(직선 BQ의 [eqn: y]절편) [eqn: = { 13 } over { 2 }]

(나) 직선 AB의 기울기는 [eqn: { 6 } over { 7 }]이다.

사각형 APQB의 넓이가 [eqn: { q } over { p }]일 때, [eqn: p + q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 73]

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표를 각각 [eqn: rmA LEFT ( ita,`log` _{2} `a RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( itb,`log` _{2} `b RIGHT )]라 하자.

점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: y = x]에 내린 수선의 발이 [eqn: rmP]이므로 직선 [eqn: rmAP]의 기울기는 [eqn: -1]이다.

직선 [eqn: rmAP]의 방정식은 [eqn: y = -(x - a) + log_{2} a = -x + a + log_{2} a]

직선 [eqn: rmAP]의 [eqn: y]절편은 [eqn: a + log_{2} a]이다.

점 [eqn: rmB]를 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: rm Q`it(log _{2} b,b)]이다.

직선 [eqn: rmBQ]의 기울기는 [eqn: {b - log_{2} b} over {log_{2} b - b} = -1]이다.

직선 [eqn: rmBQ]의 방정식은 [eqn: y = -(x - b) + log_{2} b = -x + b + log_{2} b]

직선 [eqn: rmBQ]의 [eqn: y]절편은 [eqn: b + log_{2} b]이다.

조건 (가)에 의해 [eqn: (a + log_{2} a) - (b + log_{2} b) = {13} over {2}]

조건 (나)에 의해 직선 [eqn: rmAB]의 기울기는 [eqn: {log_{2} a - log_{2} b} over {a - b} = {6} over {7}]

[eqn: a - b = X], [eqn: log_{2} a - log_{2} b = Y]라 하면

[eqn: X + Y = {13} over {2}], [eqn: {Y} over {X} = {6} over {7}]

위 두 식을 연립하면 [eqn: X = {7} over {6} Y]이므로 [eqn: {7} over {6} Y + Y = {13} over {6} Y = {13} over {2}], [eqn: Y = 3], [eqn: X = {7} over {2}]

[eqn: log_{2} a - log_{2} b = log_{2} LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) = 3]에서 [eqn: a = 8b]

[eqn: a - b = 8b - b = 7b = {7} over {2}]에서 [eqn: b = {1} over {2}][eqn: a = 4]

따라서 두 점의 좌표는 [eqn: rmA(4, 2)], [eqn: rmB LEFT ( {1} over {2}, -1 RIGHT )]이다.

직선 [eqn: rmAP]의 방정식은 [eqn: y = -x + 6]이고, 직선 [eqn: y = x]와의 교점은 [eqn: rmP(3, 3)]이다.

점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: rmQ LEFT ( -1, {1} over {2} RIGHT )]이다.

사각형 [eqn: rmAPQB]는 [eqn: rmoverline {AP}]와 [eqn: rmoverline {BQ}]가 평행한 사다리꼴이다.

[eqn: rmoverline {AP} = sqrt {(4 - 3)^{2} + (2 - 3)^{2}} = sqrt {2}]

[eqn: rmoverline {BQ} = sqrt {LEFT ( {1} over {2} - (-1) RIGHT )^{2} + LEFT ( -1 - {1} over {2} RIGHT )^{2}} = {3 sqrt {2}} over {2}]

두 평행한 직선 [eqn: x + y - 6 = 0]과 [eqn: x + y + {1} over {2} = 0]사이의 거리 [eqn: d]는 [eqn: d = {LEFT | -6 - {1} over {2} RIGHT |} over {sqrt {1^{2} + 1^{2}}} = {13} over {2 sqrt {2}}]

사각형 [eqn: rmAPQB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( sqrt {2} + {3 sqrt {2}} over {2} RIGHT ) TIMES {13} over {2 sqrt {2}} = {65} over {8}]

[eqn: p = 8], [eqn: q = 65]이므로 [eqn: p + q = 73]

따라서 정답은 [eqn: 73]이다.

세 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]중에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는?

④

서로 다른 [eqn: 3]개의 문자 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는

[eqn: {} _{3} PI _{4} =3 ^{4} =81]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 72]	② [eqn: 75]	③ [eqn: 78]

④ [eqn: 81]	⑤ [eqn: 84]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여
[eqn: P(A cup B) = {5} over {6}], [eqn: P LEFT ( A^{C} cap B RIGHT ) = {1} over {4}]
일 때, [eqn: P LEFT ( A^{C} RIGHT )]의 값은?

③

[eqn: P(A cup B) = P(A) + P(A^C cap B)]

[eqn: {5} over {6} = P(A) + {1} over {4}]

[eqn: P(A) = {5} over {6} - {1} over {4} = {7} over {12}]

[eqn: P LEFT ( A ^{C} RIGHT ) =1-P(A)= {5} over {12}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {3} over {8}]	③ [eqn: {5} over {12}]

④ [eqn: {11} over {24}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[eqn: 1]학년 학생 [eqn: 1]명, [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 3]명, [eqn: 3]학년 학생 [eqn: 4]명이 있다. 이 [eqn: 8]명의 학생 중 임의로 [eqn: 5]명의 학생을 선택할 때, 선택된 [eqn: 2]학년 학생 수와 선택된 [eqn: 3]학년 학생 수가 서로 같을 확률은?

⑤

전체 [eqn: 8]명의 학생 중 [eqn: 5]명을 선택하는 경우의 수는 [eqn: {} _{8} rm C _{5} =56]

선택된 [eqn: 2]학년 학생 수와 [eqn: 3]학년 학생 수를 각각 [eqn: x]라 하면

[eqn: 2x + (1학년 학생 수) = 5]

[eqn: 1]학년 학생은 [eqn: 1]명이므로 [eqn: x = 2]

즉, [eqn: 1]학년 [eqn: 1]명, [eqn: 2]학년 [eqn: 2]명, [eqn: 3]학년 [eqn: 2]명을 선택해야 한다.

이 경우의 수는 [eqn: {} _{1} rmC _{1} TIMES _{3} rmC _{2} TIMES _{4} rmC _{2} =18]

구하는 확률은 [eqn: {18} over {56} = {9} over {28}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {15} over {56}]	③ [eqn: {2} over {7}]

④ [eqn: {17} over {56}]	⑤ [eqn: {9} over {28}]

평균이 [eqn: m]이고 표준편차가 [eqn: 2 sqrt {2}]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 128]인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균의 값이 [eqn: bar x]일 때, 이를 이용하여 구한 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95 %]의 신뢰구간이 [eqn: bar x - c le m le bar x + c]이다. [eqn: c]의 값은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: P ( | Z | le 1.96 ) = 0.95]로 계산한다.)

②

모표준편차 [eqn: sigma = 2 sqrt {2}], 표본의 크기 [eqn: n = 128]

신뢰도 [eqn: 95 %]에 대한 신뢰구간에서 [eqn: c]의 값은 다음과 같다.

[eqn: c=1.96 TIMES {sigma } over {sqrt {n}} =1.96 TIMES {2 sqrt {2}} over {sqrt {128}} =0.49]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 0.47]	② [eqn: 0.49]	③ [eqn: 0.51]

④ [eqn: 0.53]	⑤ [eqn: 0.55]

각 면에 숫자 [eqn: 1, 2, 2, 3]이 하나씩 적혀 있는 정사면체 모양의 서로 다른 상자 [eqn: 2]개가 있다. 이 두 상자를 동시에 던져서 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 두 수의 차를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: V(X)]의 값은?

④

두 상자를 던져 바닥에 닿은 면에 적힌 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하자.

[eqn: a]와 [eqn: b]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 1, 2, 3]이고, 그 확률은 각각 [eqn: {1} over {4}, {1} over {2}, {1} over {4}]이다.

확률변수 [eqn: X = | a - b |]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 0, 1, 2]이다.

[eqn: P(X=0)][eqn: =P LEFT ( 1,`1 RIGHT ) +P LEFT ( 2,`2 RIGHT ) +P LEFT ( 3,`3 RIGHT )][eqn: = {1} over {16} + {1} over {4} + {1} over {16} = {3} over {8}]

[eqn: P(X=1)]

[eqn: =P(1,`2)+P(2,`1)+P(2,`3)+P(3,`2)][eqn: = {1} over {8} + {1} over {8} + {1} over {8} + {1} over {8} = {1} over {2}]

[eqn: P(X=2)=P(1,`3)+P(3,`1)= {1} over {16} + {1} over {16} = {1} over {8}]

[eqn: E(X) = 0 TIMES {3} over {8} + 1 TIMES {1} over {2} + 2 TIMES {1} over {8} = {3} over {4}]

[eqn: E LEFT ( X ^{2} RIGHT ) =0 ^{2} TIMES {3} over {8} +1 ^{2} TIMES {1} over {2} +2 ^{2} TIMES {1} over {8} =1]

[eqn: V(X)=E LEFT ( X ^{2} RIGHT ) - LEFT ( E(X) RIGHT ) ^{2} =1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2} = {7} over {16}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {5} over {16}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {7} over {16}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

빨간색 카드 [eqn: 1]장, 파란색 카드 [eqn: 1]장, 노란색 카드 [eqn: 3]장, 보라색 카드 [eqn: 3]장이 있다. 이 [eqn: 8]장의 카드를 세 학생 [eqn: A, B, C]에게 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 같은 색 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.)

(가) 두 학생 [eqn: A, B]는 각각 [eqn: 1]장 이상의 카드를 받고,

학생 [eqn: C]는 카드를 받지 못할 수 있다.

(나) 학생 [eqn: A]가 받는 카드의 색의 가짓수는 [eqn: 3]이하이다.

②

전체 경우의 수를 구한다.

빨간색, 파란색 카드를 세 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 각각 [eqn: 3]

노란색, 보라색 카드를 세 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 각각 [eqn: _{3}H_{3} = _{5}C_{3} = 10]

조건이 없을 때 전체 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 3 TIMES 10 TIMES 10 = 900]

조건을 만족하지 않는 여사건을 다음과 같이 정의한다.

사건 [eqn: X]: 학생 [eqn: A]가 카드를 받지 못하는 경우

사건 [eqn: Y]: 학생 [eqn: B]가 카드를 받지 못하는 경우

사건 [eqn: Z]: 학생 [eqn: A]가 [eqn: 4]가지 색의 카드를 모두 받는 경우

구하는 경우의 수는

[eqn: 900 - n(X CUP Y CUP Z)]

[eqn: n(X) = 2 TIMES 2 TIMES _{2}H_{3} TIMES _{2}H_{3} = 2 TIMES 2 TIMES 4 TIMES 4 = 64]

[eqn: n(Y) = 2 TIMES 2 TIMES _{2}H_{3} TIMES _{2}H_{3} = 2 TIMES 2 TIMES 4 TIMES 4 = 64]

[eqn: n(Z)]는 학생 [eqn: A]가 빨간색, 파란색 카드를 받고, 노란색, 보라색 카드를 적어도 [eqn: 1]장씩 받는 경우이므로

[eqn: rm itn( it Z)=1 TIMES 1 TIMES _{3} rm H _{2} TIMES _{3} rm H _{2} =1 TIMES 1 TIMES 6 TIMES 6=36]

두 사건의 교집합의 경우의 수를 구한다.

[eqn: n(X CAP Y)]는 학생 [eqn: C]가 모든 카드를 받는 경우이므로 [eqn: 1]

[eqn: n(X CAP Z) = 0]

[eqn: n(Y CAP Z)]는 학생 [eqn: B]가 카드를 받지 못하고, 학생 [eqn: A]가 [eqn: 4]가지 색을 모두 받는 경우이므로

[eqn: n(Y SMALLINTER Z)=1 TIMES 1 TIMES _{2} rmH _{2} TIMES _{2} rmH _{2} =1 TIMES 1 TIMES 3 TIMES 3=9]

세 사건의 교집합의 경우의 수는 [eqn: n(X CAP Y CAP Z) = 0]

포함-배제의 원리에 의해

[eqn: n(X CUP Y CUP Z) = 64 + 64 + 36 - 1 - 0 - 9 + 0 = 154]

따라서 조건을 만족하는 경우의 수는 [eqn: 900 - 154 = 746]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 730]	② [eqn: 746]	③ [eqn: 762]

④ [eqn: 778]	⑤ [eqn: 794]

두 집합 [eqn: A=left{1, 2, 3right}], [eqn: B=left{2, 3right]에 대하여 다음 시행을 한다.

집합 [eqn: A]의 모든 부분집합 [eqn: 8]개 중에서

임의로 한 개를 선택하고,

집합 [eqn: B]의 모든 부분집합 [eqn: 4]개 중에서

임의로 한 개를 선택한다.

선택한 두 집합의 교집합의 원소의 개수를 기록한다.

[eqn: z]	[eqn: rmP LEFT ( it0 LEQ Z LEQ z RIGHT )]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.341]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.433]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.477]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.494]
[eqn: 3.0]	[eqn: 0.499]

이 시행을 [eqn: 15360]번 반복하여 기록한 수가 [eqn: 1]인 횟수가 [eqn: 5880]이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 [eqn: k]일 때, [eqn: 1000 TIMES k]의 값을 구하시오.

[eqn: 23]

집합 [eqn: A]의 부분집합을 [eqn: X], 집합 [eqn: B]의 부분집합을 [eqn: Y]라 하자.

전체 경우의 수는 [eqn: 2^{3} TIMES 2^{2} = 32]이다.

[eqn: n ( X cap Y ) = 1]이려면 [eqn: X cap Y = { 2 }]또는 [eqn: X cap Y = { 3 }]이어야 한다.

[eqn: X cap Y = { 2 }]인 경우의 수는 [eqn: 2 in X cap Y]인 경우에서 [eqn: { 2 , 3 } subset X cap Y]인 경우를 제외하여 구한다.

[eqn: 2^{3} - 1 TIMES 2^{2} - 1 - 2^{3} - 2 TIMES 2^{2} - 2 = 8 - 2 = 6]

[eqn: X cap Y = { 3 }]인 경우의 수도 동일하게 [eqn: 6]이다.

한 번의 시행에서 교집합의 원소의 개수가 [eqn: 1]일 확률은 [eqn: p = {6 + 6} over {32} = {3} over {8}]이다.

[eqn: 15360]번 반복 시행에서 기록한 수가 [eqn: 1]인 횟수를 [eqn: W]라 하면, [eqn: W]는 이항분포 [eqn: B LEFT ( 15360 , {3} over {8} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: E ( W ) = 15360 TIMES {3} over {8} = 5760]

[eqn: V ( W ) = 15360 TIMES {3} over {8} TIMES {5} over {8} = 3600 = 60^{2}]

시행 횟수가 충분히 크므로 [eqn: W]는 근사적으로 정규분포 [eqn: N ( 5760 , 60^{2} )]을 따른다.

[eqn: P ( W ge 5880 ) = P LEFT ( Z ge {5880 - 5760} over {60} RIGHT )]

[eqn: P ( W ge 5880 ) = P ( Z ge 2.0 )]

[eqn: P ( W ge 5880 ) = 0.5 - P ( 0 le Z le 2.0 )]

[eqn: P ( W ge 5880 ) = 0.5 - 0.477 = 0.023]

따라서 [eqn: k = 0.023]이다.

[eqn: 1000 TIMES k = 1000 TIMES 0.023 = 23]

따라서 정답은 [eqn: 23]이다.

학생 [eqn: A]는 숫자 [eqn: 1,8]이 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 2]장의 카드 중 임의로 한 장의 카드를 선택하여 선택한 카드에 적힌 수가 [eqn: 8]일 때만 선택한 카드를 바닥에 내려놓고, 학생 [eqn: B]는 숫자 [eqn: 2,3,4,5,6,7]이 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]장의 카드 중 임의로 한 장의 카드를 선택하여 선택한 카드에 적힌 수가 자연수 [eqn: n]보다 작거나 같을 때만 선택한 카드를 바닥에 내려놓는다. 다음 규칙에 따라 학생 [eqn: A]가 귤을 받을 확률을 [eqn: p], 학생 [eqn: B]가 귤을 받을 확률을 [eqn: q]라 하자.

카드를 내려놓은 학생이 [eqn: 2]명이면 더 큰 수가 적힌 카드를 내려놓은 학생만 귤을 받는다.

카드를 내려놓은 학생이 [eqn: 1]명이면 카드를 내려놓지 않은 학생만 귤을 받는다.

카드를 내려놓은 학생이 없으면 어느 학생도 귤을 받지 못한다.

[eqn: p = q]일 때, [eqn: 24(n + p)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: n]은 [eqn: 7]이하의 자연수이다.)

[eqn: 80]

학생 A가 카드를 내려놓을 확률은 [eqn: {1} over {2}]

학생 B가 카드를 내려놓을 확률은 [eqn: {n - 1} over {6}]

학생 A가 귤을 받는 확률 [eqn: p]는 A, B 모두 카드를 내려놓거나 B만 카드를 내려놓는 경우이므로

[eqn: p = {1} over {2} TIMES {n - 1} over {6} + {1} over {2} TIMES {n - 1} over {6} = {n - 1} over {6}]

학생 B가 귤을 받는 확률 [eqn: q]는 A만 카드를 내려놓는 경우이므로

[eqn: q = {1} over {2} TIMES LEFT ( 1 - {n - 1} over {6} RIGHT ) = {7 - n} over {12}]

[eqn: p = q]에서 [eqn: {n - 1} over {6} = {7 - n} over {12}], [eqn: 2n - 2 = 7 - n], [eqn: n = 3]

[eqn: p = {3 - 1} over {6} = {1} over {3}]

[eqn: 24(n + p) = 24 LEFT ( 3 + {1} over {3} RIGHT ) = 80]

따라서 정답은 [eqn: 80]이다.