수학ETF	2025년_고3_6월	기출문제
	1~22
	미적분II

[eqn: 4^{1 over 4} times 2^{1 over 2}]의 값은?

②

지수법칙에 의해

[eqn: 4^{{1} over {4}} times 2^{{1} over {2}} = (2^{2})^{{1} over {4}} times 2^{{1} over {2}}][eqn: = 2^{{1} over {2}} times 2^{{1} over {2}}][eqn: = 2^{{{1} over {2}} + {{1} over {2}}}][eqn: = 2^{1} = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - x + 1]에 대하여 [eqn: lim_{h rightarrow 0} {f(1+h) - f(1)} over {h}]의 값은?

①

미분계수의 정의에 의해 [eqn: lim from {h -> 0} {f(1+h) - f(1)} over {h} = f'(1)]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - x + 1]에서 [eqn: f'(x) = 2x - 1]

[eqn: x = 1]을 대입하면 [eqn: f'(1) = 2 times 1 - 1 = 1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{7} a_{k} = 8]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{7} left ( 2a_{k} + 1 right )]의 값은?

③

[eqn: sum from {k=1} to {7} left ( 2a_{k} + 1 right ) = 2 sum from {k=1} to {7} a_{k} + sum from {k=1} to {7} 1]

주어진 조건에서 [eqn: sum from {k=1} to {7} a_{k} = 8]이므로

[eqn: 2 sum from {k=1} to {7} a_{k} + sum from {k=1} to {7} 1 = 2 times 8 + 7 = 23]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-x ^{2} +a&``` LEFT ( x<3 RIGHT )#5x-a&``` LEFT ( x GEQ 3 RIGHT )}}]
이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

③

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [eqn: x=3]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim from {x -> 3-} f(x) = lim from {x -> 3+} f(x) = f(3)]이어야 한다.

[eqn: lim from {x -> 3-} f(x) = lim from {x -> 3-} left ( -x^{2} + a right ) = -9 + a]

[eqn: lim from {x -> 3+} f(x) = lim from {x -> 3+} left ( 5x - a right ) = 15 - a]

[eqn: f(3) = 15 - a]

따라서 [eqn: -9 + a = 15 - a]에서 [eqn: 2a = 24] ∴ [eqn: a = 12]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

[eqn: int_{0}^{2} (6x^{2}-2x+1) dx]의 값은?

②

[eqn: int_{0}^{2} (6x^{2}-2x+1) dx = left [ 2x^{3}-x^{2}+x right ]_{0}^{2}][eqn: = 16 - 4 + 2 = 14]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = a cos bx + 1]의 최댓값이 [eqn: 8]이고 주기가 [eqn: pi]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

④

[eqn: a > 0]이므로 함수 [eqn: f(x) = a cos bx + 1]의 최댓값은 [eqn: a+1]이다.

최댓값이 [eqn: 8]이므로

[eqn: a+1=8]에서 [eqn: a=7]

[eqn: b > 0]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: {2 pi} over {b}]이다.

주기가 [eqn: pi]이므로 [eqn: {2 pi} over {b} = pi]에서 [eqn: b=2]

따라서 [eqn: a+b = 7+2 = 9]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {15} over {2}]	② [eqn: 8]	③ [eqn: {17} over {2}]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: {19} over {2}]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) = 5x^{2} + xf(x)]
라 하자. [eqn: f(3) = 2], [eqn: f'(3) = 1]일 때, [eqn: g'(3)]의 값은?

⑤

함수 [eqn: g(x) = 5x^{2} + xf(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g'(x) = 10x + f(x) + xf'(x)]

[eqn: x = 3]을 대입하면 [eqn: g'(3) = 30 + f(3) + 3f'(3)]

주어진 조건에서 [eqn: f(3) = 2], [eqn: f'(3) = 1]이므로

[eqn: g'(3) = 30 + 2 + 3 times 1 = 35]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 31]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 33]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 35]

[eqn: sin(pi-theta)>0]이고 [eqn: 2cos theta = sin theta]일 때, [eqn: cos theta]의 값은?

⑤

[eqn: sin ( pi - theta ) = sin theta]이므로 주어진 조건에서 [eqn: sin theta > 0]

[eqn: 2 cos theta = sin theta]이고 [eqn: sin theta > 0]이므로 [eqn: cos theta > 0]

[eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]에 [eqn: sin theta = 2 cos theta]를 대입하면

[eqn: ( 2 cos theta )^{2} + cos^{2} theta = 1]에서 [eqn: 5 cos^{2} theta = 1] ∴ [eqn: cos^{2} theta = {1} over {5}]

[eqn: cos theta > 0]이므로 [eqn: cos theta = {1} over {sqrt{5}} = {sqrt{5}} over {5}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: - {sqrt{5}} over {5}]	② [eqn: - {sqrt{5}} over {10}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {sqrt{5}} over {10}]	⑤ [eqn: {sqrt{5}} over {5}]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} + ax]에 대하여
[eqn: int_{-3}^{3} (x+1)f(x)dx = 36 + int_{-3}^{3} f(x)dx]
일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

[eqn: int_{-3}^{3} (x+1)f(x)dx = 36 + int_{-3}^{3} f(x)dx]에서

우변의 적분항을 좌변으로 이항하여 정리하면

[eqn: int_{-3}^{3} left { (x+1)f(x) - f(x) right } dx = 36], [eqn: int_{-3}^{3} x f(x) dx = 36]

[eqn: f(x) = x^{2} + ax]이므로 [eqn: int_{-3}^{3} (x^{3} + ax^{2}) dx = 36]

적분 구간이 원점에 대하여 대칭이므로

[eqn: 2 int_{0}^{3} ax^{2} dx = 36], [eqn: 2 left [ {a} over {3} x^{3} right ]_{0}^{3} = 18a = 36] ∴ [eqn: a = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 [eqn: a][eqn: LEFT ( a>1 RIGHT )]에 대하여 곡선 [eqn: y=log` _{a} `(x+3)]이 곡선 [eqn: y=log` _{a} `(-x+3)]과 만나는 점을 [eqn: rmA], 곡선 [eqn: y=log` _{a} `(x+3)]이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmB], 곡선 [eqn: y=log` _{a} `(-x+3)]이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형일 때, [eqn: a]의 값은?

①

두 곡선 [eqn: y=log_{a}(x+3)]과 [eqn: y=log_{a}(-x+3)]이 만나는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: log_{a}(x+3) = log_{a}(-x+3)]에서 [eqn: x+3 = -x+3] ∴ [eqn: x = 0]

[eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: y = log_{a}3]이므로 [eqn: rmA(it0,log _{a} 3)]

곡선 [eqn: y=log_{a}(x+3)]이 [eqn: x]축과 만나는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: log_{a}(x+3) = 0]에서 [eqn: x+3 = 1] ∴ [eqn: x = -2] 따라서 [eqn: rmB(-2, 0)]

곡선 [eqn: y=log_{a}(-x+3)]이 [eqn: x]축과 만나는 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: log_{a}(-x+3) = 0]에서 [eqn: -x+3 = 1] ∴ [eqn: x = 2]

따라서 [eqn: rmC(2, 0)]

삼각형 [eqn: rmABC]의 밑변인 선분 [eqn: rmBC]의 길이는 [eqn: 4]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형이므로 높이는 [eqn: {sqrt{3}} over {2} times 4 = 2 sqrt{3}]

점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표가 삼각형 [eqn: rmABC]의 높이와 같으므로 [eqn: log_{a}3 = 2 sqrt{3}]

로그의 정의에 의해 [eqn: a^{2 sqrt{3}} = 3] ∴ [eqn: a = 3^{1 over {2 sqrt{3}}} = 3^{sqrt{3} over 6}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 3^{sqrt{3} over 6}]	② [eqn: 3^{sqrt{3} over 4}]	③ [eqn: 3^{sqrt{3} over 3}]

④ [eqn: 3 ^{{5 sqrt {3}} over {12}}]	⑤ [eqn: 3^{sqrt{3} over 2}]

시각 [eqn: t=0]일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 시각이 [eqn: t][eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치 [eqn: x]가
[eqn: x=t^{3}-t^{2}-t+1]
이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 시각 [eqn: t=1]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 1]이다. ㄴ. 시각 [eqn: t=1]일 때 점 [eqn: rmP]의 속도는 [eqn: 0]이다. ㄷ. 출발한 후 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 바뀌는 시각에 점 [eqn: rmP]의 가속도는 [eqn: 4]이다.

⑤

시각 [eqn: t]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치를 [eqn: x(t)]라 하면 [eqn: x(t) = t^{3} - t^{2} - t + 1]

ㄱ. [eqn: x(1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0]이므로 시각 [eqn: t=1]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 0]이다. (거짓)

ㄴ. 점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: v(t)]라 하면 [eqn: v(t) = x'(t) = 3t^{2} - 2t - 1]

[eqn: v(1) = 3 - 2 - 1 = 0]이므로 시각 [eqn: t=1]일 때 점 [eqn: rmP]의 속도는 [eqn: 0]이다. (참)

ㄷ. 점 [eqn: rmP]의 가속도를 [eqn: a(t)]라 하면 [eqn: a(t) = v'(t) = 6t - 2]

[eqn: v(t) = 0]에서 [eqn: (3t+1)(t-1) = 0]이고 [eqn: t geq 0]이므로 [eqn: t=1]

[eqn: t=1]의 좌우에서 [eqn: v(t)]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 점 [eqn: rmP]는 [eqn: t=1]에서 운동 방향이 바뀐다.

이때 점 [eqn: rmP]의 가속도는 [eqn: a(1) = 6 - 2 = 4]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{4}]의 최댓값은?

(가) [eqn: a_{1} = a_{3}]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: (a_{n+1} - a_{n} + 3)(a_{n+1} - 2a_{n}) = 0]
이다.

②

조건 (나)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n+1} = a_{n} - 3] 또는 [eqn: a_{n+1} = 2a_{n}]이다.

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a_{2} = a_{1} - 3] 또는 [eqn: a_{2} = 2a_{1}]이다.

[eqn: n=2]일 때, [eqn: a_{3} = a_{2} - 3] 또는 [eqn: a_{3} = 2a_{2}]이므로 [eqn: a_{3}]을 [eqn: a_{1}]에 대한 식으로 나타내면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a_{2} = a_{1} - 3]인 경우

[eqn: a_{3} = (a_{1} - 3) - 3 = a_{1} - 6] 또는 [eqn: a_{3} = 2(a_{1} - 3) = 2a_{1} - 6]

(ⅱ) [eqn: a_{2} = 2a_{1}]인 경우

[eqn: a_{3} = 2a_{1} - 3] 또는 [eqn: a_{3} = 2(2a_{1}) = 4a_{1}]

조건 (가)에서 [eqn: a_{1} = a_{3}]이므로 각 경우에 대하여 [eqn: a_{1}]의 값을 구하면

[eqn: a_{1} = a_{1} - 6]을 만족시키는 [eqn: a_{1}]의 값은 존재하지 않는다.

[eqn: a_{1} = 2a_{1} - 6]에서 [eqn: a_{1} = 6]

[eqn: a_{1} = 2a_{1} - 3]에서 [eqn: a_{1} = 3]

[eqn: a_{1} = 4a_{1}]에서 [eqn: a_{1} = 0]

[eqn: a_{3} = a_{1}]이므로 가능한 [eqn: a_{3}]의 값은 [eqn: 6], [eqn: 3], [eqn: 0]이다.

[eqn: n=3]일 때, [eqn: a_{4} = a_{3} - 3] 또는 [eqn: a_{4} = 2a_{3}]이므로 각 [eqn: a_{3}]의 값에 따른 [eqn: a_{4}]의 값을 구하면

[eqn: a_{3} = 6]일 때, [eqn: a_{4} = 3] 또는 [eqn: a_{4} = 12]

[eqn: a_{3} = 3]일 때, [eqn: a_{4} = 0] 또는 [eqn: a_{4} = 6]

[eqn: a_{3} = 0]일 때, [eqn: a_{4} = -3] 또는 [eqn: a_{4} = 0]

따라서 가능한 [eqn: a_{4}]의 값 중 최댓값은 [eqn: 12]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 21]

그림과 같이 함수 [eqn: f(x) = 3x^{2} - 7x + 2]에 대하여 곡선 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: y = {1} over {3} x - {2} over {3}] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 영역을 [eqn: A], 곡선 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: y = {1} over {3} x - {2} over {3}]로 둘러싸인 영역을 [eqn: B], 곡선 [eqn: y = f(x)]와 두 직선 [eqn: y = {1} over {3} x - {2} over {3}], [eqn: x = k (k > 2)]로 둘러싸인 영역을 [eqn: C]라 하자.
([eqn: A]의 넓이) + ([eqn: C]의 넓이) = ([eqn: B]의 넓이)
일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

④

곡선 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: y = {1} over {3} x - {2} over {3}]의 교점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha < beta])라 하자.

그래프에서 구간 [eqn: [0, alpha]]와 [eqn: [beta, k]]에서는 곡선이 직선보다 위에 있고, 구간 [eqn: [alpha, beta]]에서는 직선이 곡선보다 위에 있으므로

[eqn: A = int from {0} to {alpha} left { f(x) - left ( {1} over {3} x - {2} over {3} right ) right } dx]

[eqn: B = - int from {alpha} to {beta} left { f(x) - left ( {1} over {3} x - {2} over {3} right ) right } dx]

[eqn: C = int from {beta} to {k} left { f(x) - left ( {1} over {3} x - {2} over {3} right ) right } dx]

조건에서 ([eqn: A]의 넓이) + ([eqn: C]의 넓이) = ([eqn: B]의 넓이)이므로

[eqn: A - B + C = 0]

[eqn: int _{0} ^{alpha } {} LEFT { f(x)- LEFT ( {1} over {3} x- {2} over {3} RIGHT ) RIGHT } dx][eqn: + int _{alpha } ^{beta } {} LEFT { f(x)- LEFT ( {1} over {3} x- {2} over {3} RIGHT ) RIGHT } dx][eqn: + int _{beta } ^{k} {} LEFT { f(x)- LEFT ( {1} over {3} x- {2} over {3} RIGHT ) RIGHT } dx=0]

즉, [eqn: int from {0} to {k} left { f(x) - left ( {1} over {3} x - {2} over {3} right ) right } dx = 0]

[eqn: f(x) = 3x^{2} - 7x + 2]이므로

[eqn: int from {0} to {k} left ( 3x^{2} - {22} over {3} x + {8} over {3} right ) dx = 0], [eqn: left [ x^{3} - {11} over {3} x^{2} + {8} over {3} x right ] _{0} ^{k} = 0]

[eqn: k^{3} - {11} over {3} k^{2} + {8} over {3} k = 0]에서 [eqn: k(3k-8)(k-1) = 0] [eqn: k > 2]이므로 [eqn: k = {8} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {29} over {12}]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: {31} over {12}]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {4}]

[eqn: rmoverline {AB} = 2 sqrt {7}]인 삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 5:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.
[eqn: rmoverline {AQ} = 3 sqrt {2}], [eqn: rm sin( ANGLE QAP):sin( ANGLE rmAPQ)= sqrt {2} :3]
일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이는?

②

선분 [eqn: rmBC]의 길이를 [eqn: 6k] ([eqn: k > 0])라 하면

점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmBC]의 중점이므로 [eqn: rm {bar{BP}} = {bar{PC}} =3itk]

점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 5:1]로 내분하는 점이므로 [eqn: rm {bar{BQ}} =5itk], [eqn: rm {bar{QC}} =itk]

[eqn: rm {bar{PQ}} = {bar{PC}} - {bar{QC}} =2itk]

삼각형 [eqn: rmAPQ]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {{bar{rmPQ}}} over {sin( ANGLE rmQAP)} = {{bar{rmAQ}}} over {sin( ANGLE rmAPQ)}]

[eqn: {bar{rmPQ}} = {bar{rmAQ}} TIMES {sin( ANGLE rmQAP)} over {sin( ANGLE rmAPQ)} =3 sqrt {2} TIMES {sqrt {2}} over {3} =2]

[eqn: 2k = 2]에서 [eqn: k = 1]

∴ [eqn: rmoverline {BC} = 6], [eqn: rmoverline {BP} = 3], [eqn: rmoverline {PQ} = 2]

[eqn: {bar{rmAP}} =x] ([eqn: x > 0])라 하면 삼각형 [eqn: rmAPQ]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: (3 sqrt {2} ) ^{2} =x ^{2} +2 ^{2} -2 TIMES x TIMES 2 TIMES cos( ANGLE rmAPQ)]에서 [eqn: cos( ANGLE rmAPQ)= {x ^{2} -14} over {4x}] ……①

삼각형 [eqn: rmABP]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: (2 sqrt {7} ) ^{2} =x ^{2} +3 ^{2} -2 TIMES x TIMES 3 TIMES cos( ANGLE rmAPB)]에서 [eqn: cos( ANGLE rmAPB)= {x ^{2} -19} over {6x}] ……②

[eqn: rmangle APB + angle APQ = 180^{ circ}]이므로 [eqn: rm cos( ANGLE APB)=-cos( ANGLE rmAPQ)]

①, ②에서 [eqn: {x^{2} - 19} over {6x} = - {x^{2} - 14} over {4x}]

[eqn: 2(x^{2} - 19) = -3(x^{2} - 14)]에서 [eqn: 5x^{2} = 80] ∴ [eqn: x = 4]

삼각형 [eqn: rmABP]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: cos( ANGLE rmB)= {(2 sqrt {7} ) ^{2} +3 ^{2} -4 ^{2}} over {2 TIMES 2 sqrt {7} TIMES 3} = {21} over {12 sqrt {7}} = {sqrt {7}} over {4}]

[eqn: sin ^{2} ( ANGLE rmB)=1-cos ^{2} ( ANGLE B)=1- {7} over {16} = {9} over {16}]이고 [eqn: sin( ANGLE rmB)>0]이므로 [eqn: sin( angle B) = {3} over {4}]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline {AC}^{2} = (2 sqrt {7})^{2} + 6^{2} - 2 times 2 sqrt {7} times 6 times {sqrt {7}} over {4} = 28 + 36 - 42 = 22] ∴ [eqn: rmoverline {AC} = sqrt {22}]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]이라 하면 사인법칙에 의해

[eqn: 2R= {{bar{rmAC}}} over {sin( ANGLE rmB)} = {sqrt {22}} over {3/4} = {4 sqrt {22}} over {3}] ∴ [eqn: R = {2 sqrt {22}} over {3}]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이는 [eqn: pi R^{2} = {88} over {9} pi]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {85} over {9} pi]	② [eqn: {88} over {9} pi]	③ [eqn: {91} over {9} pi]

④ [eqn: {94} over {9} pi]	⑤ [eqn: {97} over {9} pi]

상수 [eqn: k]와 [eqn: f'(0)=6]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT ) +k&``` LEFT ( LEFT | x RIGHT | >1 RIGHT )#-f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( LEFT | x RIGHT | LEQ 1 RIGHT )}}]
이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: k+f left ( {1} over {2} right )]의 값은?

(가) 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim_{x rightarrow a+} {{g(x)-g(a)} over {x-a}}]의 값이 존재하고 그 값은 [eqn: 0] 이하이다.

(나) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: g(x)=t]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 실수 [eqn: t]의 최댓값은 [eqn: 13]이다.

①

조건 (가)에서 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim from {x -> a+} {{g(x)-g(a)} over {x-a}}]의 값이 존재하므로 함수 [eqn: g(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에서 우연속이다.

또한 그 값이 [eqn: 0] 이하이므로 [eqn: x neq -1], [eqn: x neq 1]에서 [eqn: g'(x) leq 0]이다.

[eqn: left | x right | > 1]일 때 [eqn: g'(x) = f'(x) leq 0]

[eqn: left | x right | < 1]일 때 [eqn: g'(x) = -f'(x) leq 0]에서 [eqn: f'(x) geq 0]

[eqn: f(x)]는 삼차함수이므로 [eqn: f'(x)]는 이차함수이고, [eqn: x = -1], [eqn: x = 1]에서 부호가 바뀐다.

[eqn: f'(0) = 6]이므로 [eqn: f'(x) = -6(x+1)(x-1) = -6x^{2} + 6]

[eqn: f(x) = -2x^{3} + 6x + C] ([eqn: C]는 적분상수)라 하자.

[eqn: x = 1]에서 우연속이어야 하므로 [eqn: lim from {x -> 1+} g(x) = g(1)]에서

[eqn: f(1) + k = -f(1)]

[eqn: k = -2f(1) = -2(4+C) = -2C - 8]

[eqn: x = -1]에서 우연속 조건 [eqn: lim from {x -> -1+} g(x) = g(-1)]은 [eqn: -f(-1) = -f(-1)]이므로 항상 성립한다.

함수 [eqn: g(x)]의 각 구간별 치역을 구하면

[eqn: x < -1]에서 [eqn: g(x)]는 감소하고 [eqn: lim from {x -> -1-} g(x) = f(-1) + k = (-4+C) + (-2C-8) = -C - 12]이므로 치역은 [eqn: left ( -C - 12, inf right )]

[eqn: -1 leq x leq 1]에서 [eqn: g(x)]는 감소하고 [eqn: g(-1) = -f(-1) = -C + 4], [eqn: g(1) = -f(1) = -C - 4]이므로 치역은 [eqn: left [ -C - 4, -C + 4 right ]]

[eqn: x > 1]에서 [eqn: g(x)]는 감소하고 [eqn: lim from {x -> 1+} g(x) = f(1) + k = -C - 4]이므로 치역은 [eqn: left ( -inf, -C - 4 right )]

조건 (나)에서 방정식 [eqn: g(x) = t]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되려면 직선 [eqn: y = t]가 두 구간의 치역과 겹쳐야 하므로

[eqn: -C - 12 < t leq -C + 4]

실수 [eqn: t]의 최댓값이 [eqn: 13]이므로 [eqn: -C + 4 = 13] ∴ [eqn: C = -9]

따라서 [eqn: f(x) = -2x^{3} + 6x - 9], [eqn: k = -2(-9) - 8 = 10]이므로

[eqn: k + f left ( {1} over {2} right ) = 10 + left ( - {1} over {4} + 3 - 9 right ) = {15} over {4}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {15} over {4}]	② [eqn: {27} over {4}]	③ [eqn: {39} over {4}]

④ [eqn: {51} over {4}]	⑤ [eqn: {63} over {4}]

방정식 [eqn: log` _{5} `(x+1)+log` _{5} `(x-1)=log` _{25} `9]를 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

로그의 진수 조건에서

[eqn: x+1 > 0], [eqn: x-1 > 0]이므로 [eqn: x > 1] ……①

주어진 방정식의 우변은 [eqn: log_{25}9 = log_{5^{2}}3^{2} = log_{5}3]

좌변을 정리하면

[eqn: log_{5}(x+1)+log_{5}(x-1) = log_{5}(x+1)(x-1) = log_{5}(x^{2}-1)]

즉, [eqn: log_{5}(x^{2}-1) = log_{5}3]이므로 [eqn: x^{2}-1 = 3]에서 [eqn: x^{2} = 4]

[eqn: x = 2] 또는 [eqn: x = -2]

①에 의해 [eqn: x > 1]이므로 [eqn: x = 2]

따라서 정답은 [eqn: 2]이다.

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x) = 3x^{2} + 4x]이고 [eqn: f(0) = 3]일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오.

[eqn: 6]

[eqn: f'(x) = 3x^{2} + 4x]이므로

[eqn: f(x) = int (3x^{2} + 4x) dx = x^{3} + 2x^{2} + C] ([eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(0) = 3]이므로 [eqn: C = 3], [eqn: f(x) = x^{3} + 2x^{2} + 3]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f(1) = 1^{3} + 2 times 1^{2} + 3 = 6]

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{6} left ( k^{2} + 2k right )]의 값을 구하시오.

[eqn: 133]

시그마의 성질과 자연수의 거듭제곱의 합 공식에서

[eqn: sum from {k=1} to {6} left ( k^{2} + 2k right ) = sum from {k=1} to {6} k^{2} + 2 sum from {k=1} to {6} k]

[eqn: = {6 times 7 times 13} over {6} + 2 times {6 times 7} over {2}][eqn: = 91 + 42 = 133]

따라서 정답은 [eqn: 133]이다.

상수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = 3x^{3} - 9x^{2} + a]의 극댓값이 [eqn: 20]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값을 구하시오.

[eqn: 8]

[eqn: f(x) = 3x^{3} - 9x^{2} + a]에서

[eqn: f'(x) = 9x^{2} - 18x = 9x(x - 2)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = 0] 또는 [eqn: x = 2]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = 0]에서 극대이고 [eqn: x = 2]에서 극소이다.

함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 20]이므로 [eqn: f(0) = a = 20]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은 [eqn: f(2) = 24 - 36 + 20 = 8]

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 0 leq x < 4]일 때 [eqn: f(x) = -x^{2} + 4x]이고,

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+4) = f(x)]이다.

방정식 [eqn: f(f(x)) = f(x)]의 [eqn: 0] 이상인 모든 실근을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: a_{n}]이라 하자. 다음은 [eqn: a_{20} + a_{21} + a_{22}]의 값을 구하는 과정이다.

방정식 [eqn: f(x) = x]의 모든 실근이 [eqn: 0], [eqn: 3]이므로

방정식 [eqn: f(f(x)) = f(x)]의 실근을 구하는 것은

방정식 [eqn: f(x) times (f(x) - 3) = 0]의 실근을 구하는 것과 같다.

[eqn: 0 leq x < 4]일 때, 방정식 [eqn: f(x) times (f(x) - 3) = 0]의

모든 실근은 [eqn: 0], [eqn: box{```(가)```}], [eqn: 3]이므로

[eqn: a_{1} = 0], [eqn: a _{2} =box{```(가)```}], [eqn: a_{3} = 3]

이다. 또한 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+4) = f(x)]이므로

세 수열 [eqn: left { a_{3n-2} right }], [eqn: left { a_{3n-1} right }], [eqn: left { a_{3n} right }]은

첫째항이 각각 [eqn: 0], [eqn: box{```(가)```}], [eqn: 3]이고

공차가 모두 [eqn: box{```(나)```}]인 등차수열이다.

따라서 [eqn: a _{20} +a _{21} +a _{22} =box{```(다)```}]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]이라 할 때, [eqn: p+q+r]의 값을 구하시오.

[eqn: 85]

[eqn: 0 leq x < 4]일 때 방정식 [eqn: f(x) times (f(x) - 3) = 0]에서

[eqn: f(x) = 0] 또는 [eqn: f(x) = 3]이다.

[eqn: f(x) = 0]에서 [eqn: -x^{2} + 4x = 0]

[eqn: x(x-4) = 0] ∴ [eqn: x = 0] ([eqn: 0 leq x < 4])

[eqn: f(x) = 3]에서 [eqn: -x^{2} + 4x = 3]

[eqn: x^{2} - 4x + 3 = 0], [eqn: (x-1)(x-3) = 0] ∴ [eqn: x = 1] 또는 [eqn: x = 3]

따라서 [eqn: 0 leq x < 4]일 때 방정식 [eqn: f(x) times (f(x) - 3) = 0]의 모든 실근은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 3]이므로 [eqn: a_{1} = 0], [eqn: a_{2} = 1], [eqn: a_{3} = 3]

∴ [eqn: p = 1]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+4) = f(x)]이므로 실근은 [eqn: 4]마다 반복된다.

세 수열 [eqn: left { a_{3n-2} right }], [eqn: left { a_{3n-1} right }], [eqn: left { a_{3n} right }]은 첫째항이 각각 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 3]이고 공차가 모두 [eqn: 4]인 등차수열이다. ∴ [eqn: q = 4]

세 등차수열의 일반항을 구하면

[eqn: a_{3n-2} = 4n - 4], [eqn: a_{3n-1} = 4n - 3], [eqn: a_{3n} = 4n - 1]

[eqn: a_{20}]은 [eqn: n=7]일 때 [eqn: a_{3n-1}]이므로 [eqn: a_{20} = 4 times 7 - 3 = 25]

[eqn: a_{21}]은 [eqn: n=7]일 때 [eqn: a_{3n}]이므로 [eqn: a_{21} = 4 times 7 - 1 = 27]

[eqn: a_{22}]는 [eqn: n=8]일 때 [eqn: a_{3n-2}]이므로 [eqn: a_{22} = 4 times 8 - 4 = 28]

[eqn: a_{20} + a_{21} + a_{22} = 25 + 27 + 28 = 80]

∴ [eqn: r = 80]

따라서 [eqn: p + q + r = 1 + 4 + 80 = 85]이다.

따라서 정답은 [eqn: 85]이다.

함수 [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 [eqn: a]에 대하여

[eqn: lim_{x rightarrow a} {g(x) times left | f(x) right |} over {f(x)}]의 값과 [eqn: lim_{x rightarrow a} {left | g(x)-f(x) right |} over {g(x)}]의 값이

모두 존재한다.

[eqn: g(-1)]의 값을 구하시오.

[eqn: 42]

함수 [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)]에서 [eqn: f(1)=0], [eqn: f(2)=0]이다.

모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim from {x -> a} {g(x) times left | f(x) right |} over {f(x)}]의 값이 존재하므로 [eqn: a=1], [eqn: a=2]일 때도 극한값이 존재해야 한다.

[eqn: x -> 1-]일 때 [eqn: f(x)>0]이므로 [eqn: lim from {x -> 1-} {g(x) times f(x)} over {f(x)} = g(1)]

[eqn: x -> 1+]일 때 [eqn: f(x)<0]이므로 [eqn: lim from {x -> 1+} {g(x) times left ( -f(x) right )} over {f(x)} = -g(1)]

좌극한과 우극한이 같아야 하므로 [eqn: g(1)=-g(1)]에서 [eqn: g(1)=0]

마찬가지로 [eqn: x -> 2]일 때도 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 [eqn: g(2)=-g(2)]에서 [eqn: g(2)=0]

[eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수이므로 [eqn: g(x)=(x-1)(x-2)Q(x)=f(x)Q(x)]라 할 수 있다. (단, [eqn: Q(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수)

모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim from {x -> a} {left | g(x)-f(x) right |} over {g(x)}]의 값이 존재하므로

[eqn: lim from {x -> a} {left | f(x)Q(x)-f(x) right |} over {f(x)Q(x)} = lim from {x -> a} {left | f(x) right | left | Q(x)-1 right |} over {f(x)Q(x)}]의 값이 존재해야 한다.

[eqn: a=1]일 때 극한값이 존재해야 하므로

[eqn: x -> 1-]일 때 [eqn: f(x)>0]이므로 [eqn: lim from {x -> 1-} {f(x) left | Q(x)-1 right |} over {f(x)Q(x)} = {left | Q(1)-1 right |} over {Q(1)}]

[eqn: x -> 1+]일 때 [eqn: f(x)<0]이므로 [eqn: lim from {x -> 1+} {-f(x) left | Q(x)-1 right |} over {f(x)Q(x)} = -{left | Q(1)-1 right |} over {Q(1)}]

두 값이 같아야 하므로 [eqn: {left | Q(1)-1 right |} over {Q(1)} = 0]에서 [eqn: Q(1)=1]

마찬가지로 [eqn: a=2]일 때 극한값이 존재해야 하므로 [eqn: {left | Q(2)-1 right |} over {Q(2)} = 0]에서 [eqn: Q(2)=1]

[eqn: Q(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이므로 [eqn: Q(x)-1=(x-1)(x-2)]

∴ [eqn: Q(x)=x^{2}-3x+3]

이때 이차방정식 [eqn: Q(x)=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D=9-12=-3<0]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: Q(x)>0]이다.

따라서 [eqn: x neq 1], [eqn: x neq 2]인 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 분모인 [eqn: g(a) neq 0]이므로 극한값이 항상 존재한다.

[eqn: g(x)=(x-1)(x-2)(x^{2}-3x+3)]이므로

[eqn: g(-1)=(-2) times (-3) times (1+3+3)=42]

따라서 정답은 [eqn: 42]이다.

[eqn: k > 1]인 실수 [eqn: k]에 대하여 두 곡선
[eqn: y = 2^{x} + {k} over {2}], [eqn: y = k times left ( {1} over {2} right )^{x} + k - 2]
가 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하고, 점 [eqn: rmA]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y = 2^{x-2} - 3]과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이가 [eqn: 16]일 때, [eqn: k + log_{2}k = {q} over {p}]이다. [eqn: p + q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 38]

두 곡선 [eqn: y = 2^{x} + {k} over {2}], [eqn: y = k times left ( {1} over {2} right )^{x} + k - 2]가 만나는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2^{x} + {k} over {2} = k times 2^{-x} + k - 2]의 근이다.

[eqn: 2^{x} = t] ([eqn: t > 0])라 하면 [eqn: t + {k} over {2} = {k} over {t} + k - 2]에서

[eqn: 2t^{2} + (4 - k)t - 2k = 0], [eqn: (2t + 4) left ( t - {k} over {2} right ) = 0]

[eqn: t > 0]이고 [eqn: k > 1]이므로 [eqn: t = {k} over {2}]

[eqn: 2^{x} = {k} over {2}]에서 [eqn: x = log_{2}k - 1]이고 [eqn: y = 2^{log_{2}k - 1} + {k} over {2} = k]이므로

[eqn: rm A LEFT ( log` _{2} `k-1,`k RIGHT ) rm]

점 [eqn: rmA]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y - k = -(x - log_{2}k + 1)]에서 [eqn: y = -x + k + log_{2}k - 1]

직선 [eqn: l]과 곡선 [eqn: y = 2^{x-2} - 3]이 만나는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: -x + k + log_{2}k - 1 = 2^{x-2} - 3]에서 [eqn: x + 2^{x-2} = log_{2}k + k + 2]의 근이다.

함수 [eqn: f(x) = x + 2^{x-2}]은 증가함수이므로 방정식 [eqn: f(x) = f(log_{2}k + 2)]의 실근은 [eqn: x = log_{2}k + 2]뿐이다.

[eqn: x = log_{2}k + 2]일 때 [eqn: y = 2^{log_{2}k} - 3 = k - 3]이므로 [eqn: rmB LEFT ( log` _{2} `k+2,`k-3 RIGHT )]

세 점 [eqn: rmO(0, 0)], [eqn: rmA(log_{2}k - 1, k)], [eqn: rmB(log_{2}k + 2, k - 3)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} LEFT | (log _{2} k-1)(k-3)-k(log _{2} k+2) RIGHT |][eqn: = {1} over {2} LEFT | -3k-3log _{2} k+3 RIGHT | = {3} over {2} LEFT | k+log _{2} k-1 RIGHT |]

[eqn: k > 1]이므로 [eqn: k + log_{2}k - 1 > 0]

삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이가 [eqn: 16]이므로

[eqn: {3} over {2} (k + log_{2}k - 1) = 16]에서 [eqn: k + log_{2}k = {35} over {3}]

따라서 [eqn: p = 3], [eqn: q = 35]이므로 [eqn: p + q = 38]

따라서 정답은 [eqn: 38]이다.

[eqn: lim_{n rightarrow infty} {4 times 3^{n+1}} over {2^{n} + 3^{n}}] 의 값은?

①

[eqn: lim from {n -> inf} {4 times 3^{n+1}} over {2^{n} + 3^{n}} = lim from {n -> inf} {12 times 3^{n}} over {2^{n} + 3^{n}}]

분모와 분자를 [eqn: 3^{n}]으로 나누면

[eqn: lim from {n -> inf} {12} over {left ( {2} over {3} right )^{n} + 1}]

이때 [eqn: lim from {n -> inf} left ( {2} over {3} right )^{n} = 0]이므로 [eqn: lim from {n -> inf} {12} over {left ( {2} over {3} right )^{n} + 1} = 12]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

곡선 [eqn: 3x+y+cos(xy)=2] 위의 점 [eqn: (0,`1)]에서의 접선의 [eqn: x]절편은?

②

곡선 [eqn: 3x+y+cos(xy)=2]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 3 + y' - sin(xy) times (y + xy') = 0]

점 [eqn: (0, 1)]에서의 접선의 기울기를 구하기 위해 [eqn: x=0], [eqn: y=1]을 대입하면

[eqn: 3 + y' - sin(0) times (1 + 0 times y') = 0]에서 [eqn: y' = -3]

따라서 점 [eqn: (0, 1)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y - 1 = -3(x - 0)] 즉, [eqn: y = -3x + 1]

이 접선의 [eqn: x]절편을 구하기 위해 [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: 0 = -3x + 1] ∴ [eqn: x = {1} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

양수 [eqn: a]에 대하여 급수 [eqn: sum_{n=1}^{infty} left ( {a-3n} over {n} + {an+6} over {n+a} right )]이 실수 [eqn: S]에 수렴할 때, [eqn: a+S]의 값은?

④

급수 [eqn: sum from {n=1} to {inf} left ( {a-3n} over {n} + {an+6} over {n+a} right )]이 수렴하므로

[eqn: lim from {n -> inf} left ( {a-3n} over {n} + {an+6} over {n+a} right ) = 0]

[eqn: lim from {n -> inf} {a-3n} over {n} = -3], [eqn: lim from {n -> inf} {an+6} over {n+a} = a]이므로

[eqn: -3 + a = 0] ∴ [eqn: a = 3]

[eqn: a=3]을 주어진 급수의 일반항에 대입하여 정리하면

[eqn: {3-3n} over {n} + {3n+6} over {n+3} = {3} over {n} - 3 + {3(n+3)-3} over {n+3} = {3} over {n} - {3} over {n+3}]

이 급수의 제[eqn: N]항까지의 부분합을 [eqn: S_{N}]이라 하면

[eqn: S_{N} = sum from {n=1} to {N} left ( {3} over {n} - {3} over {n+3} right )]

[eqn: = 3 left { left ( 1 - {1} over {4} right ) + left ( {1} over {2} - {1} over {5} right ) + left ( {1} over {3} - {1} over {6} right ) + cdots + left ( {1} over {N} - {1} over {N+3} right ) right }]

[eqn: = 3 left ( 1 + {1} over {2} + {1} over {3} - {1} over {N+1} - {1} over {N+2} - {1} over {N+3} right )]

따라서 급수의 합 [eqn: S]는

[eqn: S = lim from {N -> inf} S_{N} = 3 left ( 1 + {1} over {2} + {1} over {3} right ) = {11} over {2}]

∴ [eqn: a+S = 3 + {11} over {2} = {17} over {2}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 7]	② [eqn: {15} over {2}]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: {17} over {2}]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f(x) = e^{3x} - 3e^{2x} + 4e^{x}] 의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자. [eqn: g'(a) = {1} over {8}] 이 되도록 하는 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a + f'(g(a))]의 값은?

②

역함수의 미분법에 의해 [eqn: g'(a) = {1} over {f'(g(a))}]이므로

[eqn: {1} over {f'(g(a))} = {1} over {8}]에서 [eqn: f'(g(a)) = 8]

[eqn: g(a) = k]라 하면 [eqn: f(k) = a]이고 [eqn: f'(k) = 8]

[eqn: f(x) = e^{3x} - 3e^{2x} + 4e^{x}]에서

[eqn: f'(x) = 3e^{3x} - 6e^{2x} + 4e^{x}]이므로

[eqn: f'(k) = 3e^{3k} - 6e^{2k} + 4e^{k} = 8]

[eqn: e^{k} = t] ([eqn: t > 0])라 하면

[eqn: 3t^{3} - 6t^{2} + 4t - 8 = 0], [eqn: 3t^{2}(t - 2) + 4(t - 2) = 0]

[eqn: (3t^{2} + 4)(t - 2) = 0]

[eqn: t > 0]이므로 [eqn: t = 2] 즉, [eqn: e^{k} = 2]

[eqn: a = f(k) = e^{3k} - 3e^{2k} + 4e^{k}]이므로 [eqn: e^{k} = 2]를 대입하면

[eqn: a = 2^{3} - 3 times 2^{2} + 4 times 2 = 4]

∴ [eqn: a + f'(g(a)) = 4 + 8 = 12]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm ANGLE BAP= theta][eqn: ( {pi } over {4} < theta < {pi } over {2} )]라 하고, 점 [eqn: rmP]를 지나고 선분 [eqn: rmAB]에 평행한 직선이 호 [eqn: rmAB]와 만나는 점 중 [eqn: rmP]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 사각형 [eqn: rmABQP]의 넓이를 [eqn: f(theta)]라 하고, [eqn: rmoverline{AP} : overline{BP} = 1 : 3]이 되도록 하는 [eqn: theta]의 값을 [eqn: alpha]라 할 때, [eqn: f'(alpha)]의 값은?

③

선분 [eqn: rmAB]가 반원의 지름이므로 [eqn: rmangle APB = {pi} over {2}]이다.

직각삼각형 [eqn: rmAPB]에서 [eqn: rmoverline{AB} = 2]이므로

[eqn: rmoverline{AP} = 2cos theta], [eqn: rmoverline{BP} = 2sin theta]

[eqn: theta = alpha]일 때 [eqn: rmoverline{AP} : overline{BP} = 1 : 3]이므로

[eqn: 2cos alpha : 2sin alpha = 1 : 3]에서 [eqn: sin alpha = 3cos alpha]

[eqn: cos alpha neq 0]이므로 [eqn: tan alpha = 3]

[eqn: sec^{2} alpha = 1 + tan^{2} alpha = 10]에서 [eqn: cos^{2} alpha = {1} over {10}]이므로

[eqn: cos(2alpha) = 2cos^{2} alpha - 1 = 2 left ( {1} over {10} right ) - 1 = - {4} over {5}]

점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 직각삼각형 [eqn: rmAPH]에서

[eqn: rmoverline{PH} = overline{AP} sin theta = 2cos theta sin theta = sin(2theta)]

[eqn: rmoverline{AH} = overline{AP} cos theta = 2cos^{2} theta]

선분 [eqn: rmPQ]와 선분 [eqn: rmAB]가 평행하므로 사각형 [eqn: rmABQP]는 등변사다리꼴이다.

[eqn: rmoverline{PQ} = overline{AB} - 2 overline{AH} = 2 - 4cos^{2} theta = -2(2cos^{2} theta - 1) = -2cos(2theta)]

(이때 [eqn: {pi} over {4} < theta < {pi} over {2}]에서 [eqn: {pi} over {2} < 2theta < pi]이므로 [eqn: cos(2theta) < 0]이고 [eqn: rmoverline{PQ} > 0]이다.)

사다리꼴 [eqn: rmABQP]의 넓이 [eqn: f(theta)]는

[eqn: itf( theta )rm= {1} over {2} ( {bar{AB}} + {bar{PQ}} ) TIMES {bar{PH}}]

[eqn: = {1} over {2} (2 - 2cos(2theta)) sin(2theta)][eqn: = (1 - cos(2theta)) sin(2theta)]

[eqn: f(theta)]를 [eqn: theta]에 대하여 미분하면

[eqn: f'(theta) = 2sin(2theta) sin(2theta) + (1 - cos(2theta)) times 2cos(2theta)]

[eqn: = 2sin^{2}(2theta) + 2cos(2theta) - 2cos^{2}(2theta)]

[eqn: = 2(1 - cos^{2}(2theta)) + 2cos(2theta) - 2cos^{2}(2theta)]

[eqn: = -4cos^{2}(2theta) + 2cos(2theta) + 2]

[eqn: theta = alpha]를 대입하면

[eqn: f'(alpha) = -4 left ( - {4} over {5} right )^{2} + 2 left ( - {4} over {5} right ) + 2][eqn: = - {64} over {25} - {8} over {5} + 2 = - {54} over {25}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: - {64} over {25}]	② [eqn: - {59} over {25}]	③ [eqn: - {54} over {25}]

④ [eqn: - {49} over {25}]	⑤ [eqn: - {44} over {25}]

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f(x)]와 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a times e^{b}]의 값은?

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: left ( f(x) right )^{5} + left ( f(x) right )^{3} + ax + b = ln left ( x^{2} + x + {5} over {2} right )]
이다.

(나) [eqn: f(-3)f(3) < 0], [eqn: f'(2) > 0]

①

[eqn: g(t) = t^{5} + t^{3}], [eqn: h(x) = ln left ( x^{2} + x + {5} over {2} right )]라 하면

[eqn: g'(t) = 5t^{4} + 3t^{2}], [eqn: g''(t) = 20t^{3} + 6t]

[eqn: h'(x) = {2x+1} over {x^{2}+x+ {5} over {2}}], [eqn: h''(x) = {-2(x+2)(x-1)} over {left ( x^{2}+x+ {5} over {2} right )^{2}}]

조건 (가)의 식은 [eqn: g(f(x)) + ax + b = h(x)]이고 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g'(f(x))f'(x) + a = h'(x)] ……①

①의 양변을 [eqn: x]에 대하여 한 번 더 미분하면

[eqn: g''(f(x)) left ( f'(x) right )^{2} + g'(f(x))f''(x) = h''(x)] ……②

조건 (나)에서 [eqn: f(-3)f(3) < 0]이므로 사잇값 정리에 의해 [eqn: f(c) = 0]인 [eqn: c]가 구간 [eqn: (-3, 3)]에 적어도 하나 존재한다.

[eqn: f(c) = 0]일 때 [eqn: g'(0) = 0], [eqn: g''(0) = 0]이므로 ②에 [eqn: x=c]를 대입하면

[eqn: g''(0) left ( f'(c) right )^{2} + g'(0)f''(c) = h''(c)]에서 [eqn: h''(c) = 0]

[eqn: h''(x) = 0]에서 [eqn: x = -2] 또는 [eqn: x = 1]이므로 [eqn: c = -2] 또는 [eqn: c = 1]이다.

(ⅰ) [eqn: c = 1]인 경우

[eqn: f(1) = 0]이므로 ①에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: g'(0)f'(1) + a = h'(1)]에서 [eqn: a = {3} over {1+1+ {5} over {2}} = {2} over {3}]

①에서 [eqn: g'(f(x))f'(x) = h'(x) - {2} over {3}]

[eqn: h'(x)]는 [eqn: x=1]에서 최댓값 [eqn: h'(1) = {2} over {3}]을 가지므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: h'(x) - {2} over {3} leq 0]이다.

모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g'(t) = 5t^{4} + 3t^{2} geq 0]이므로 [eqn: g'(f(x)) geq 0]

따라서 [eqn: f'(x) leq 0]이 되어 [eqn: f'(2) > 0]에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: c = -2]인 경우

[eqn: f(-2) = 0]이므로 ①에 [eqn: x=-2]를 대입하면

[eqn: g'(0)f'(-2) + a = h'(-2)]에서 [eqn: a = {-3} over {4-2+ {5} over {2}} = - {2} over {3}]

①에서 [eqn: g'(f(x))f'(x) = h'(x) + {2} over {3}]

[eqn: h'(x)]는 [eqn: x=-2]에서 최솟값 [eqn: h'(-2) = - {2} over {3}]을 가지므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: h'(x) + {2} over {3} geq 0]이다.

[eqn: g'(f(x)) geq 0]이므로 [eqn: f'(x) geq 0]이 되어 [eqn: f'(2) > 0]을 만족시킨다.

조건 (가)의 식에 [eqn: x=-2]를 대입하면

[eqn: left ( f(-2) right )^{5} + left ( f(-2) right )^{3} - 2a + b = h(-2)]

[eqn: 0 + 0 - 2 left ( - {2} over {3} right ) + b = ln left ( 4 - 2 + {5} over {2} right )] ∴ [eqn: b = ln left ( {9} over {2} right ) - {4} over {3}]

따라서 [eqn: a times e^{b} = - {2} over {3} times e^{ln left ( {9} over {2} right ) - {4} over {3}} = - {2} over {3} times {9} over {2} times e^{- {4} over {3}} = -3e^{- {4} over {3}}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: -3e^{- {4} over {3}}]	② [eqn: - {5} over {3} e^{- {4} over {3}}]	③ [eqn: - {1} over {3} e^{- {4} over {3}}]

④ [eqn: e^{- {4} over {3}}]	⑤ [eqn: {7} over {3} e^{- {4} over {3}}]

두 정수 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha > beta])에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 있다.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n} = alpha times sin {n} over {2} pi + beta times cos {n} over {2} pi]

이고, [eqn: a_{1} times a_{2} times a_{3} times a_{4} = 4]이다.

수열 [eqn: left { a_{n} right }]과 [eqn: b_{1} > 0]인 등비수열 [eqn: left { b_{n} right }]에 대하여
[eqn: sum_{n=1}^{infty} (a_{4n-2} b_{n}) = sum_{n=1}^{infty} (a_{4n-3} b_{2n}) = 6]
일 때, [eqn: b_{1} times b_{3} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 109]

[eqn: n=1, 2, 3, 4]를 대입하면

[eqn: a_{1} = alpha], [eqn: a_{2} = -beta], [eqn: a_{3} = -alpha], [eqn: a_{4} = beta]

[eqn: a_{1} times a_{2} times a_{3} times a_{4} = 4]이므로

[eqn: alpha times (-beta) times (-alpha) times beta = 4]에서 [eqn: alpha^{2} beta^{2} = 4]

[eqn: alpha], [eqn: beta]는 정수이고 [eqn: alpha > beta]이므로 가능한 [eqn: (alpha, beta)]의 순서쌍은

[eqn: (2, 1)], [eqn: (-1, -2)], [eqn: (2, -1)], [eqn: (1, -2)]이다.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n+4} = a_{n}]이므로

[eqn: a_{4n-2} = a_{2} = -beta], [eqn: a_{4n-3} = a_{1} = alpha]

수열 [eqn: left { b_{n} right }]의 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: sum from {n=1} to {inf} (a_{4n-2} b_{n}) = sum from {n=1} to {inf} (-beta b_{n}) = 6]에서 [eqn: {-beta b_{1}} over {1-r} = 6] ……①

[eqn: b_{1} > 0]이고 등비급수가 수렴하므로 [eqn: 1-r > 0]에서 [eqn: -beta > 0] ∴ [eqn: beta < 0]

따라서 [eqn: (alpha, beta)]의 후보 중 [eqn: (2, 1)]은 제외된다.

수열 [eqn: left { b_{2n} right }]은 첫째항이 [eqn: b_{1} r]이고 공비가 [eqn: r^{2}]인 등비수열이므로

[eqn: sum from {n=1} to {inf} (a_{4n-3} b_{2n}) = sum from {n=1} to {inf} (alpha b_{2n}) = 6]에서 [eqn: {alpha b_{1} r} over {1-r^{2}} = 6] ……②

①, ②에서 [eqn: {-beta b_{1}} over {1-r} = {alpha b_{1} r} over {1-r^{2}}]

[eqn: b_{1} > 0]이므로 양변을 [eqn: b_{1}]으로 나누고 정리하면

[eqn: -beta = {alpha r} over {1+r}]에서 [eqn: r = {-beta} over {alpha+beta}]

남은 [eqn: (alpha, beta)]의 후보를 대입하여 등비급수의 수렴 조건 [eqn: -1 < r < 1]을 확인하면

(ⅰ) [eqn: (alpha, beta) = (-1, -2)]일 때, [eqn: r = {-(-2)} over {-1-2} = - {2} over {3}] (조건 만족)

(ⅱ) [eqn: (alpha, beta) = (2, -1)]일 때, [eqn: r = {-(-1)} over {2-1} = 1] (조건 불만족)

(ⅲ) [eqn: (alpha, beta) = (1, -2)]일 때, [eqn: r = {-(-2)} over {1-2} = -2] (조건 불만족)

따라서 [eqn: alpha = -1], [eqn: beta = -2], [eqn: r = - {2} over {3}]이다.

①에 대입하면 [eqn: {2 b_{1}} over {1 - left ( - {2} over {3} right )} = 6]에서 [eqn: b_{1} = 5]

[eqn: b_{3} = b_{1} r^{2} = 5 times left ( - {2} over {3} right )^{2} = {20} over {9}]

[eqn: b_{1} times b_{3} = 5 times {20} over {9} = {100} over {9}]이므로 [eqn: p = 9], [eqn: q = 100]

따라서 정답은 [eqn: 109]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수
[eqn: g(x) = left | f left ( {2} over {1+e^{-x}} right ) right |]
가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 극소이고, [eqn: g(0)>0]이다.

(나) [eqn: g'(ln3)<0], [eqn: left | g'(-ln3) right | = {3} over {8} g(-ln3)]

[eqn: g(0)]의 최솟값을 [eqn: {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 25]

[eqn: h(x) = {2} over {1+e^{-x}}]라 하면 [eqn: h(x)]는 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수이고 치역은 [eqn: (0, 2)]이다.

[eqn: h(0)=1], [eqn: h'(0)= {1} over {2}], [eqn: h(ln3)= {3} over {2}], [eqn: h'(ln3)= {3} over {8}], [eqn: h(-ln3)= {1} over {2}], [eqn: h'(-ln3)= {3} over {8}]

[eqn: g(x) = left | f(h(x)) right |]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 구간 [eqn: (0, 2)]에서 [eqn: f(t)]는 부호를 바꾸지 않는다.

즉, 구간 [eqn: (0, 2)]에서 [eqn: f(t) geq 0] 또는 [eqn: f(t) leq 0]이다.

조건 (가)에서 [eqn: g(0)>0]이므로 [eqn: f(h(0)) = f(1) neq 0]

[eqn: x=0]에서 극소이므로 [eqn: g'(0)=0]

[eqn: g prime (0)=+-f prime (1)h prime (0)=0]에서 [eqn: h'(0) neq 0]이므로 [eqn: f'(1)=0]

(ⅰ) 구간 [eqn: (0, 2)]에서 [eqn: f(t) geq 0]일 때

[eqn: g(x) = f(h(x))]이므로 [eqn: g'(x) = f'(h(x))h'(x)]

조건 (나)에서 [eqn: g'(ln3) = f' left ( {3} over {2} right ) h'(ln3) < 0]이므로 [eqn: f' left ( {3} over {2} right ) < 0]

[eqn: f'(t) = 3(t-1)(t- alpha)]라 하면 [eqn: f' left ( {3} over {2} right ) = {3} over {2} left ( {3} over {2} - alpha right ) < 0]에서 [eqn: alpha > {3} over {2}]

[eqn: g''(x) = f''(h(x)) left { h'(x) right } ^{2} + f'(h(x))h''(x)]에서

[eqn: g''(0) = f''(1) left { h'(0) right } ^{2} + f'(1)h''(0) = {1} over {4} f''(1)]

[eqn: f''(t) = 6t - 3(1+ alpha)]이므로 [eqn: f''(1) = 3 - 3 alpha < 0]

따라서 [eqn: g''(0) < 0]이 되어 [eqn: x=0]에서 극대이므로 조건 (가)에 모순이다.

(ⅱ) 구간 [eqn: (0, 2)]에서 [eqn: f(t) leq 0]일 때

[eqn: g(x) = -f(h(x))]이므로 [eqn: g'(x) = -f'(h(x))h'(x)]

[eqn: g'(ln3) = -f' left ( {3} over {2} right ) h'(ln3) < 0]이므로 [eqn: f' left ( {3} over {2} right ) > 0]

[eqn: f' left ( {3} over {2} right ) = {3} over {2} left ( {3} over {2} - alpha right ) > 0]에서 [eqn: alpha < {3} over {2}]

[eqn: g''(0) = - {1} over {4} f''(1) > 0]이므로 [eqn: f''(1) = 3 - 3 alpha < 0]에서 [eqn: alpha > 1]

∴ [eqn: 1 < alpha < {3} over {2}]

조건 (나)에서 [eqn: left | g'(-ln3) right | = {3} over {8} g(-ln3)]이므로

[eqn: left | -f' left ( {1} over {2} right ) h'(-ln3) right | = - {3} over {8} f left ( {1} over {2} right )]

[eqn: left | - {3} over {8} f' left ( {1} over {2} right ) right | = - {3} over {8} f left ( {1} over {2} right )], [eqn: left | f' left ( {1} over {2} right ) right | = -f left ( {1} over {2} right )]

[eqn: f' left ( {1} over {2} right ) = {3} over {2} left ( alpha - {1} over {2} right ) > 0]이므로 [eqn: f' left ( {1} over {2} right ) = -f left ( {1} over {2} right )]

∴ [eqn: f left ( {1} over {2} right ) + f' left ( {1} over {2} right ) = 0]

[eqn: f'(t) = 3t^{2} - 3(1+ alpha)t + 3 alpha]이므로

[eqn: f(t) = t^{3} - {3} over {2} (1+ alpha)t^{2} + 3 alpha t + C]

[eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) +f prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = LEFT ( - {1} over {4} + {9} over {8} alpha +C RIGHT ) + LEFT ( - {3} over {4} + {3} over {2} alpha RIGHT )][eqn: =-1+ {21} over {8} alpha +C=0]

∴ [eqn: C = 1 - {21} over {8} alpha]

[eqn: f(t) = t^{3} - {3} over {2} (1+ alpha)t^{2} + 3 alpha t + 1 - {21} over {8} alpha]

구간 [eqn: (0, 2)]에서 [eqn: f(t) leq 0]이어야 하므로 [eqn: f(2) leq 0]

[eqn: f(2) = 8 - 6(1+ alpha) + 6 alpha + 1 - {21} over {8} alpha = 3 - {21} over {8} alpha leq 0]

∴ [eqn: alpha geq {8} over {7}]

[eqn: g(0) = -f(1) = - left { 1 - {3} over {2} (1+ alpha) + 3 alpha + 1 - {21} over {8} alpha right } = {9} over {8} alpha - {1} over {2}]

[eqn: alpha geq {8} over {7}]이므로 [eqn: g(0) geq {9} over {8} times {8} over {7} - {1} over {2} = {11} over {14}]

따라서 [eqn: g(0)]의 최솟값은 [eqn: {11} over {14}]이므로 [eqn: p=14], [eqn: q=11]

따라서 정답은 [eqn: 25]이다.