수학ETF	2025년_고3_6월	기출문제
	1~30
	확률과 통계

[eqn: 4^{1 over 4} times 2^{1 over 2}]의 값은?

②

지수법칙에 의해

[eqn: 4^{{1} over {4}} times 2^{{1} over {2}} = (2^{2})^{{1} over {4}} times 2^{{1} over {2}}][eqn: = 2^{{1} over {2}} times 2^{{1} over {2}}][eqn: = 2^{{{1} over {2}} + {{1} over {2}}}][eqn: = 2^{1} = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - x + 1]에 대하여 [eqn: lim_{h rightarrow 0} {f(1+h) - f(1)} over {h}]의 값은?

①

미분계수의 정의에 의해 [eqn: lim from {h -> 0} {f(1+h) - f(1)} over {h} = f'(1)]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - x + 1]에서 [eqn: f'(x) = 2x - 1]

[eqn: x = 1]을 대입하면 [eqn: f'(1) = 2 times 1 - 1 = 1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{7} a_{k} = 8]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{7} left ( 2a_{k} + 1 right )]의 값은?

③

[eqn: sum from {k=1} to {7} left ( 2a_{k} + 1 right ) = 2 sum from {k=1} to {7} a_{k} + sum from {k=1} to {7} 1]

주어진 조건에서 [eqn: sum from {k=1} to {7} a_{k} = 8]이므로

[eqn: 2 sum from {k=1} to {7} a_{k} + sum from {k=1} to {7} 1 = 2 times 8 + 7 = 23]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-x ^{2} +a&``` LEFT ( x<3 RIGHT )#5x-a&``` LEFT ( x GEQ 3 RIGHT )}}]
이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

③

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [eqn: x=3]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim from {x -> 3-} f(x) = lim from {x -> 3+} f(x) = f(3)]이어야 한다.

[eqn: lim from {x -> 3-} f(x) = lim from {x -> 3-} left ( -x^{2} + a right ) = -9 + a]

[eqn: lim from {x -> 3+} f(x) = lim from {x -> 3+} left ( 5x - a right ) = 15 - a]

[eqn: f(3) = 15 - a]

따라서 [eqn: -9 + a = 15 - a]에서 [eqn: 2a = 24] ∴ [eqn: a = 12]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

[eqn: int_{0}^{2} (6x^{2}-2x+1) dx]의 값은?

②

[eqn: int_{0}^{2} (6x^{2}-2x+1) dx = left [ 2x^{3}-x^{2}+x right ]_{0}^{2}][eqn: = 16 - 4 + 2 = 14]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = a cos bx + 1]의 최댓값이 [eqn: 8]이고 주기가 [eqn: pi]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

④

[eqn: a > 0]이므로 함수 [eqn: f(x) = a cos bx + 1]의 최댓값은 [eqn: a+1]이다.

최댓값이 [eqn: 8]이므로

[eqn: a+1=8]에서 [eqn: a=7]

[eqn: b > 0]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: {2 pi} over {b}]이다.

주기가 [eqn: pi]이므로 [eqn: {2 pi} over {b} = pi]에서 [eqn: b=2]

따라서 [eqn: a+b = 7+2 = 9]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {15} over {2}]	② [eqn: 8]	③ [eqn: {17} over {2}]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: {19} over {2}]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) = 5x^{2} + xf(x)]
라 하자. [eqn: f(3) = 2], [eqn: f'(3) = 1]일 때, [eqn: g'(3)]의 값은?

⑤

함수 [eqn: g(x) = 5x^{2} + xf(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g'(x) = 10x + f(x) + xf'(x)]

[eqn: x = 3]을 대입하면 [eqn: g'(3) = 30 + f(3) + 3f'(3)]

주어진 조건에서 [eqn: f(3) = 2], [eqn: f'(3) = 1]이므로

[eqn: g'(3) = 30 + 2 + 3 times 1 = 35]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 31]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 33]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 35]

[eqn: sin(pi-theta)>0]이고 [eqn: 2cos theta = sin theta]일 때, [eqn: cos theta]의 값은?

⑤

[eqn: sin ( pi - theta ) = sin theta]이므로 주어진 조건에서 [eqn: sin theta > 0]

[eqn: 2 cos theta = sin theta]이고 [eqn: sin theta > 0]이므로 [eqn: cos theta > 0]

[eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]에 [eqn: sin theta = 2 cos theta]를 대입하면

[eqn: ( 2 cos theta )^{2} + cos^{2} theta = 1]에서 [eqn: 5 cos^{2} theta = 1] ∴ [eqn: cos^{2} theta = {1} over {5}]

[eqn: cos theta > 0]이므로 [eqn: cos theta = {1} over {sqrt{5}} = {sqrt{5}} over {5}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: - {sqrt{5}} over {5}]	② [eqn: - {sqrt{5}} over {10}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {sqrt{5}} over {10}]	⑤ [eqn: {sqrt{5}} over {5}]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} + ax]에 대하여
[eqn: int_{-3}^{3} (x+1)f(x)dx = 36 + int_{-3}^{3} f(x)dx]
일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

[eqn: int_{-3}^{3} (x+1)f(x)dx = 36 + int_{-3}^{3} f(x)dx]에서

우변의 적분항을 좌변으로 이항하여 정리하면

[eqn: int_{-3}^{3} left { (x+1)f(x) - f(x) right } dx = 36], [eqn: int_{-3}^{3} x f(x) dx = 36]

[eqn: f(x) = x^{2} + ax]이므로 [eqn: int_{-3}^{3} (x^{3} + ax^{2}) dx = 36]

적분 구간이 원점에 대하여 대칭이므로

[eqn: 2 int_{0}^{3} ax^{2} dx = 36], [eqn: 2 left [ {a} over {3} x^{3} right ]_{0}^{3} = 18a = 36] ∴ [eqn: a = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 [eqn: a][eqn: LEFT ( a>1 RIGHT )]에 대하여 곡선 [eqn: y=log` _{a} `(x+3)]이 곡선 [eqn: y=log` _{a} `(-x+3)]과 만나는 점을 [eqn: rmA], 곡선 [eqn: y=log` _{a} `(x+3)]이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmB], 곡선 [eqn: y=log` _{a} `(-x+3)]이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형일 때, [eqn: a]의 값은?

①

두 곡선 [eqn: y=log_{a}(x+3)]과 [eqn: y=log_{a}(-x+3)]이 만나는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: log_{a}(x+3) = log_{a}(-x+3)]에서 [eqn: x+3 = -x+3] ∴ [eqn: x = 0]

[eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: y = log_{a}3]이므로 [eqn: rmA(it0,log _{a} 3)]

곡선 [eqn: y=log_{a}(x+3)]이 [eqn: x]축과 만나는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: log_{a}(x+3) = 0]에서 [eqn: x+3 = 1] ∴ [eqn: x = -2] 따라서 [eqn: rmB(-2, 0)]

곡선 [eqn: y=log_{a}(-x+3)]이 [eqn: x]축과 만나는 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: log_{a}(-x+3) = 0]에서 [eqn: -x+3 = 1] ∴ [eqn: x = 2]

따라서 [eqn: rmC(2, 0)]

삼각형 [eqn: rmABC]의 밑변인 선분 [eqn: rmBC]의 길이는 [eqn: 4]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형이므로 높이는 [eqn: {sqrt{3}} over {2} times 4 = 2 sqrt{3}]

점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표가 삼각형 [eqn: rmABC]의 높이와 같으므로 [eqn: log_{a}3 = 2 sqrt{3}]

로그의 정의에 의해 [eqn: a^{2 sqrt{3}} = 3] ∴ [eqn: a = 3^{1 over {2 sqrt{3}}} = 3^{sqrt{3} over 6}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 3^{sqrt{3} over 6}]	② [eqn: 3^{sqrt{3} over 4}]	③ [eqn: 3^{sqrt{3} over 3}]

④ [eqn: 3 ^{{5 sqrt {3}} over {12}}]	⑤ [eqn: 3^{sqrt{3} over 2}]

시각 [eqn: t=0]일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 시각이 [eqn: t][eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치 [eqn: x]가
[eqn: x=t^{3}-t^{2}-t+1]
이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 시각 [eqn: t=1]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 1]이다. ㄴ. 시각 [eqn: t=1]일 때 점 [eqn: rmP]의 속도는 [eqn: 0]이다. ㄷ. 출발한 후 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 바뀌는 시각에 점 [eqn: rmP]의 가속도는 [eqn: 4]이다.

⑤

시각 [eqn: t]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치를 [eqn: x(t)]라 하면 [eqn: x(t) = t^{3} - t^{2} - t + 1]

ㄱ. [eqn: x(1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0]이므로 시각 [eqn: t=1]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 0]이다. (거짓)

ㄴ. 점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: v(t)]라 하면 [eqn: v(t) = x'(t) = 3t^{2} - 2t - 1]

[eqn: v(1) = 3 - 2 - 1 = 0]이므로 시각 [eqn: t=1]일 때 점 [eqn: rmP]의 속도는 [eqn: 0]이다. (참)

ㄷ. 점 [eqn: rmP]의 가속도를 [eqn: a(t)]라 하면 [eqn: a(t) = v'(t) = 6t - 2]

[eqn: v(t) = 0]에서 [eqn: (3t+1)(t-1) = 0]이고 [eqn: t geq 0]이므로 [eqn: t=1]

[eqn: t=1]의 좌우에서 [eqn: v(t)]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 점 [eqn: rmP]는 [eqn: t=1]에서 운동 방향이 바뀐다.

이때 점 [eqn: rmP]의 가속도는 [eqn: a(1) = 6 - 2 = 4]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{4}]의 최댓값은?

(가) [eqn: a_{1} = a_{3}]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: (a_{n+1} - a_{n} + 3)(a_{n+1} - 2a_{n}) = 0]
이다.

②

조건 (나)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n+1} = a_{n} - 3] 또는 [eqn: a_{n+1} = 2a_{n}]이다.

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a_{2} = a_{1} - 3] 또는 [eqn: a_{2} = 2a_{1}]이다.

[eqn: n=2]일 때, [eqn: a_{3} = a_{2} - 3] 또는 [eqn: a_{3} = 2a_{2}]이므로 [eqn: a_{3}]을 [eqn: a_{1}]에 대한 식으로 나타내면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a_{2} = a_{1} - 3]인 경우

[eqn: a_{3} = (a_{1} - 3) - 3 = a_{1} - 6] 또는 [eqn: a_{3} = 2(a_{1} - 3) = 2a_{1} - 6]

(ⅱ) [eqn: a_{2} = 2a_{1}]인 경우

[eqn: a_{3} = 2a_{1} - 3] 또는 [eqn: a_{3} = 2(2a_{1}) = 4a_{1}]

조건 (가)에서 [eqn: a_{1} = a_{3}]이므로 각 경우에 대하여 [eqn: a_{1}]의 값을 구하면

[eqn: a_{1} = a_{1} - 6]을 만족시키는 [eqn: a_{1}]의 값은 존재하지 않는다.

[eqn: a_{1} = 2a_{1} - 6]에서 [eqn: a_{1} = 6]

[eqn: a_{1} = 2a_{1} - 3]에서 [eqn: a_{1} = 3]

[eqn: a_{1} = 4a_{1}]에서 [eqn: a_{1} = 0]

[eqn: a_{3} = a_{1}]이므로 가능한 [eqn: a_{3}]의 값은 [eqn: 6], [eqn: 3], [eqn: 0]이다.

[eqn: n=3]일 때, [eqn: a_{4} = a_{3} - 3] 또는 [eqn: a_{4} = 2a_{3}]이므로 각 [eqn: a_{3}]의 값에 따른 [eqn: a_{4}]의 값을 구하면

[eqn: a_{3} = 6]일 때, [eqn: a_{4} = 3] 또는 [eqn: a_{4} = 12]

[eqn: a_{3} = 3]일 때, [eqn: a_{4} = 0] 또는 [eqn: a_{4} = 6]

[eqn: a_{3} = 0]일 때, [eqn: a_{4} = -3] 또는 [eqn: a_{4} = 0]

따라서 가능한 [eqn: a_{4}]의 값 중 최댓값은 [eqn: 12]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 21]

그림과 같이 함수 [eqn: f(x) = 3x^{2} - 7x + 2]에 대하여 곡선 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: y = {1} over {3} x - {2} over {3}] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 영역을 [eqn: A], 곡선 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: y = {1} over {3} x - {2} over {3}]로 둘러싸인 영역을 [eqn: B], 곡선 [eqn: y = f(x)]와 두 직선 [eqn: y = {1} over {3} x - {2} over {3}], [eqn: x = k (k > 2)]로 둘러싸인 영역을 [eqn: C]라 하자.
([eqn: A]의 넓이) + ([eqn: C]의 넓이) = ([eqn: B]의 넓이)
일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

④

곡선 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: y = {1} over {3} x - {2} over {3}]의 교점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: alpha < beta])라 하자.

그래프에서 구간 [eqn: [0, alpha]]와 [eqn: [beta, k]]에서는 곡선이 직선보다 위에 있고, 구간 [eqn: [alpha, beta]]에서는 직선이 곡선보다 위에 있으므로

[eqn: A = int from {0} to {alpha} left { f(x) - left ( {1} over {3} x - {2} over {3} right ) right } dx]

[eqn: B = - int from {alpha} to {beta} left { f(x) - left ( {1} over {3} x - {2} over {3} right ) right } dx]

[eqn: C = int from {beta} to {k} left { f(x) - left ( {1} over {3} x - {2} over {3} right ) right } dx]

조건에서 ([eqn: A]의 넓이) + ([eqn: C]의 넓이) = ([eqn: B]의 넓이)이므로

[eqn: A - B + C = 0]

[eqn: int _{0} ^{alpha } {} LEFT { f(x)- LEFT ( {1} over {3} x- {2} over {3} RIGHT ) RIGHT } dx][eqn: + int _{alpha } ^{beta } {} LEFT { f(x)- LEFT ( {1} over {3} x- {2} over {3} RIGHT ) RIGHT } dx][eqn: + int _{beta } ^{k} {} LEFT { f(x)- LEFT ( {1} over {3} x- {2} over {3} RIGHT ) RIGHT } dx=0]

즉, [eqn: int from {0} to {k} left { f(x) - left ( {1} over {3} x - {2} over {3} right ) right } dx = 0]

[eqn: f(x) = 3x^{2} - 7x + 2]이므로

[eqn: int from {0} to {k} left ( 3x^{2} - {22} over {3} x + {8} over {3} right ) dx = 0], [eqn: left [ x^{3} - {11} over {3} x^{2} + {8} over {3} x right ] _{0} ^{k} = 0]

[eqn: k^{3} - {11} over {3} k^{2} + {8} over {3} k = 0]에서 [eqn: k(3k-8)(k-1) = 0] [eqn: k > 2]이므로 [eqn: k = {8} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {29} over {12}]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: {31} over {12}]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {4}]

[eqn: rmoverline {AB} = 2 sqrt {7}]인 삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 5:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.
[eqn: rmoverline {AQ} = 3 sqrt {2}], [eqn: rm sin( ANGLE QAP):sin( ANGLE rmAPQ)= sqrt {2} :3]
일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이는?

②

선분 [eqn: rmBC]의 길이를 [eqn: 6k] ([eqn: k > 0])라 하면

점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmBC]의 중점이므로 [eqn: rm {bar{BP}} = {bar{PC}} =3itk]

점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 5:1]로 내분하는 점이므로 [eqn: rm {bar{BQ}} =5itk], [eqn: rm {bar{QC}} =itk]

[eqn: rm {bar{PQ}} = {bar{PC}} - {bar{QC}} =2itk]

삼각형 [eqn: rmAPQ]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {{bar{rmPQ}}} over {sin( ANGLE rmQAP)} = {{bar{rmAQ}}} over {sin( ANGLE rmAPQ)}]

[eqn: {bar{rmPQ}} = {bar{rmAQ}} TIMES {sin( ANGLE rmQAP)} over {sin( ANGLE rmAPQ)} =3 sqrt {2} TIMES {sqrt {2}} over {3} =2]

[eqn: 2k = 2]에서 [eqn: k = 1]

∴ [eqn: rmoverline {BC} = 6], [eqn: rmoverline {BP} = 3], [eqn: rmoverline {PQ} = 2]

[eqn: {bar{rmAP}} =x] ([eqn: x > 0])라 하면 삼각형 [eqn: rmAPQ]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: (3 sqrt {2} ) ^{2} =x ^{2} +2 ^{2} -2 TIMES x TIMES 2 TIMES cos( ANGLE rmAPQ)]에서 [eqn: cos( ANGLE rmAPQ)= {x ^{2} -14} over {4x}] ……①

삼각형 [eqn: rmABP]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: (2 sqrt {7} ) ^{2} =x ^{2} +3 ^{2} -2 TIMES x TIMES 3 TIMES cos( ANGLE rmAPB)]에서 [eqn: cos( ANGLE rmAPB)= {x ^{2} -19} over {6x}] ……②

[eqn: rmangle APB + angle APQ = 180^{ circ}]이므로 [eqn: rm cos( ANGLE APB)=-cos( ANGLE rmAPQ)]

①, ②에서 [eqn: {x^{2} - 19} over {6x} = - {x^{2} - 14} over {4x}]

[eqn: 2(x^{2} - 19) = -3(x^{2} - 14)]에서 [eqn: 5x^{2} = 80] ∴ [eqn: x = 4]

삼각형 [eqn: rmABP]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: cos( ANGLE rmB)= {(2 sqrt {7} ) ^{2} +3 ^{2} -4 ^{2}} over {2 TIMES 2 sqrt {7} TIMES 3} = {21} over {12 sqrt {7}} = {sqrt {7}} over {4}]

[eqn: sin ^{2} ( ANGLE rmB)=1-cos ^{2} ( ANGLE B)=1- {7} over {16} = {9} over {16}]이고 [eqn: sin( ANGLE rmB)>0]이므로 [eqn: sin( angle B) = {3} over {4}]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline {AC}^{2} = (2 sqrt {7})^{2} + 6^{2} - 2 times 2 sqrt {7} times 6 times {sqrt {7}} over {4} = 28 + 36 - 42 = 22] ∴ [eqn: rmoverline {AC} = sqrt {22}]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]이라 하면 사인법칙에 의해

[eqn: 2R= {{bar{rmAC}}} over {sin( ANGLE rmB)} = {sqrt {22}} over {3/4} = {4 sqrt {22}} over {3}] ∴ [eqn: R = {2 sqrt {22}} over {3}]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이는 [eqn: pi R^{2} = {88} over {9} pi]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {85} over {9} pi]	② [eqn: {88} over {9} pi]	③ [eqn: {91} over {9} pi]

④ [eqn: {94} over {9} pi]	⑤ [eqn: {97} over {9} pi]

상수 [eqn: k]와 [eqn: f'(0)=6]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT ) +k&``` LEFT ( LEFT | x RIGHT | >1 RIGHT )#-f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( LEFT | x RIGHT | LEQ 1 RIGHT )}}]
이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: k+f left ( {1} over {2} right )]의 값은?

(가) 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim_{x rightarrow a+} {{g(x)-g(a)} over {x-a}}]의 값이 존재하고 그 값은 [eqn: 0] 이하이다.

(나) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: g(x)=t]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 실수 [eqn: t]의 최댓값은 [eqn: 13]이다.

①

조건 (가)에서 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim from {x -> a+} {{g(x)-g(a)} over {x-a}}]의 값이 존재하므로 함수 [eqn: g(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에서 우연속이다.

또한 그 값이 [eqn: 0] 이하이므로 [eqn: x neq -1], [eqn: x neq 1]에서 [eqn: g'(x) leq 0]이다.

[eqn: left | x right | > 1]일 때 [eqn: g'(x) = f'(x) leq 0]

[eqn: left | x right | < 1]일 때 [eqn: g'(x) = -f'(x) leq 0]에서 [eqn: f'(x) geq 0]

[eqn: f(x)]는 삼차함수이므로 [eqn: f'(x)]는 이차함수이고, [eqn: x = -1], [eqn: x = 1]에서 부호가 바뀐다.

[eqn: f'(0) = 6]이므로 [eqn: f'(x) = -6(x+1)(x-1) = -6x^{2} + 6]

[eqn: f(x) = -2x^{3} + 6x + C] ([eqn: C]는 적분상수)라 하자.

[eqn: x = 1]에서 우연속이어야 하므로 [eqn: lim from {x -> 1+} g(x) = g(1)]에서

[eqn: f(1) + k = -f(1)]

[eqn: k = -2f(1) = -2(4+C) = -2C - 8]

[eqn: x = -1]에서 우연속 조건 [eqn: lim from {x -> -1+} g(x) = g(-1)]은 [eqn: -f(-1) = -f(-1)]이므로 항상 성립한다.

함수 [eqn: g(x)]의 각 구간별 치역을 구하면

[eqn: x < -1]에서 [eqn: g(x)]는 감소하고 [eqn: lim from {x -> -1-} g(x) = f(-1) + k = (-4+C) + (-2C-8) = -C - 12]이므로 치역은 [eqn: left ( -C - 12, inf right )]

[eqn: -1 leq x leq 1]에서 [eqn: g(x)]는 감소하고 [eqn: g(-1) = -f(-1) = -C + 4], [eqn: g(1) = -f(1) = -C - 4]이므로 치역은 [eqn: left [ -C - 4, -C + 4 right ]]

[eqn: x > 1]에서 [eqn: g(x)]는 감소하고 [eqn: lim from {x -> 1+} g(x) = f(1) + k = -C - 4]이므로 치역은 [eqn: left ( -inf, -C - 4 right )]

조건 (나)에서 방정식 [eqn: g(x) = t]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되려면 직선 [eqn: y = t]가 두 구간의 치역과 겹쳐야 하므로

[eqn: -C - 12 < t leq -C + 4]

실수 [eqn: t]의 최댓값이 [eqn: 13]이므로 [eqn: -C + 4 = 13] ∴ [eqn: C = -9]

따라서 [eqn: f(x) = -2x^{3} + 6x - 9], [eqn: k = -2(-9) - 8 = 10]이므로

[eqn: k + f left ( {1} over {2} right ) = 10 + left ( - {1} over {4} + 3 - 9 right ) = {15} over {4}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {15} over {4}]	② [eqn: {27} over {4}]	③ [eqn: {39} over {4}]

④ [eqn: {51} over {4}]	⑤ [eqn: {63} over {4}]

방정식 [eqn: log` _{5} `(x+1)+log` _{5} `(x-1)=log` _{25} `9]를 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

로그의 진수 조건에서

[eqn: x+1 > 0], [eqn: x-1 > 0]이므로 [eqn: x > 1] ……①

주어진 방정식의 우변은 [eqn: log_{25}9 = log_{5^{2}}3^{2} = log_{5}3]

좌변을 정리하면

[eqn: log_{5}(x+1)+log_{5}(x-1) = log_{5}(x+1)(x-1) = log_{5}(x^{2}-1)]

즉, [eqn: log_{5}(x^{2}-1) = log_{5}3]이므로 [eqn: x^{2}-1 = 3]에서 [eqn: x^{2} = 4]

[eqn: x = 2] 또는 [eqn: x = -2]

①에 의해 [eqn: x > 1]이므로 [eqn: x = 2]

따라서 정답은 [eqn: 2]이다.

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x) = 3x^{2} + 4x]이고 [eqn: f(0) = 3]일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오.

[eqn: 6]

[eqn: f'(x) = 3x^{2} + 4x]이므로

[eqn: f(x) = int (3x^{2} + 4x) dx = x^{3} + 2x^{2} + C] ([eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(0) = 3]이므로 [eqn: C = 3], [eqn: f(x) = x^{3} + 2x^{2} + 3]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f(1) = 1^{3} + 2 times 1^{2} + 3 = 6]

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{6} left ( k^{2} + 2k right )]의 값을 구하시오.

[eqn: 133]

시그마의 성질과 자연수의 거듭제곱의 합 공식에서

[eqn: sum from {k=1} to {6} left ( k^{2} + 2k right ) = sum from {k=1} to {6} k^{2} + 2 sum from {k=1} to {6} k]

[eqn: = {6 times 7 times 13} over {6} + 2 times {6 times 7} over {2}][eqn: = 91 + 42 = 133]

따라서 정답은 [eqn: 133]이다.

상수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = 3x^{3} - 9x^{2} + a]의 극댓값이 [eqn: 20]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값을 구하시오.

[eqn: 8]

[eqn: f(x) = 3x^{3} - 9x^{2} + a]에서

[eqn: f'(x) = 9x^{2} - 18x = 9x(x - 2)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = 0] 또는 [eqn: x = 2]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = 0]에서 극대이고 [eqn: x = 2]에서 극소이다.

함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 20]이므로 [eqn: f(0) = a = 20]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은 [eqn: f(2) = 24 - 36 + 20 = 8]

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 0 leq x < 4]일 때 [eqn: f(x) = -x^{2} + 4x]이고,

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+4) = f(x)]이다.

방정식 [eqn: f(f(x)) = f(x)]의 [eqn: 0] 이상인 모든 실근을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: a_{n}]이라 하자. 다음은 [eqn: a_{20} + a_{21} + a_{22}]의 값을 구하는 과정이다.

방정식 [eqn: f(x) = x]의 모든 실근이 [eqn: 0], [eqn: 3]이므로

방정식 [eqn: f(f(x)) = f(x)]의 실근을 구하는 것은

방정식 [eqn: f(x) times (f(x) - 3) = 0]의 실근을 구하는 것과 같다.

[eqn: 0 leq x < 4]일 때, 방정식 [eqn: f(x) times (f(x) - 3) = 0]의

모든 실근은 [eqn: 0], [eqn: box{```(가)```}], [eqn: 3]이므로

[eqn: a_{1} = 0], [eqn: a _{2} =box{```(가)```}], [eqn: a_{3} = 3]

이다. 또한 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+4) = f(x)]이므로

세 수열 [eqn: left { a_{3n-2} right }], [eqn: left { a_{3n-1} right }], [eqn: left { a_{3n} right }]은

첫째항이 각각 [eqn: 0], [eqn: box{```(가)```}], [eqn: 3]이고

공차가 모두 [eqn: box{```(나)```}]인 등차수열이다.

따라서 [eqn: a _{20} +a _{21} +a _{22} =box{```(다)```}]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]이라 할 때, [eqn: p+q+r]의 값을 구하시오.

[eqn: 85]

[eqn: 0 leq x < 4]일 때 방정식 [eqn: f(x) times (f(x) - 3) = 0]에서

[eqn: f(x) = 0] 또는 [eqn: f(x) = 3]이다.

[eqn: f(x) = 0]에서 [eqn: -x^{2} + 4x = 0]

[eqn: x(x-4) = 0] ∴ [eqn: x = 0] ([eqn: 0 leq x < 4])

[eqn: f(x) = 3]에서 [eqn: -x^{2} + 4x = 3]

[eqn: x^{2} - 4x + 3 = 0], [eqn: (x-1)(x-3) = 0] ∴ [eqn: x = 1] 또는 [eqn: x = 3]

따라서 [eqn: 0 leq x < 4]일 때 방정식 [eqn: f(x) times (f(x) - 3) = 0]의 모든 실근은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 3]이므로 [eqn: a_{1} = 0], [eqn: a_{2} = 1], [eqn: a_{3} = 3]

∴ [eqn: p = 1]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+4) = f(x)]이므로 실근은 [eqn: 4]마다 반복된다.

세 수열 [eqn: left { a_{3n-2} right }], [eqn: left { a_{3n-1} right }], [eqn: left { a_{3n} right }]은 첫째항이 각각 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 3]이고 공차가 모두 [eqn: 4]인 등차수열이다. ∴ [eqn: q = 4]

세 등차수열의 일반항을 구하면

[eqn: a_{3n-2} = 4n - 4], [eqn: a_{3n-1} = 4n - 3], [eqn: a_{3n} = 4n - 1]

[eqn: a_{20}]은 [eqn: n=7]일 때 [eqn: a_{3n-1}]이므로 [eqn: a_{20} = 4 times 7 - 3 = 25]

[eqn: a_{21}]은 [eqn: n=7]일 때 [eqn: a_{3n}]이므로 [eqn: a_{21} = 4 times 7 - 1 = 27]

[eqn: a_{22}]는 [eqn: n=8]일 때 [eqn: a_{3n-2}]이므로 [eqn: a_{22} = 4 times 8 - 4 = 28]

[eqn: a_{20} + a_{21} + a_{22} = 25 + 27 + 28 = 80]

∴ [eqn: r = 80]

따라서 [eqn: p + q + r = 1 + 4 + 80 = 85]이다.

따라서 정답은 [eqn: 85]이다.

함수 [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 [eqn: a]에 대하여

[eqn: lim_{x rightarrow a} {g(x) times left | f(x) right |} over {f(x)}]의 값과 [eqn: lim_{x rightarrow a} {left | g(x)-f(x) right |} over {g(x)}]의 값이

모두 존재한다.

[eqn: g(-1)]의 값을 구하시오.

[eqn: 42]

함수 [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)]에서 [eqn: f(1)=0], [eqn: f(2)=0]이다.

모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim from {x -> a} {g(x) times left | f(x) right |} over {f(x)}]의 값이 존재하므로 [eqn: a=1], [eqn: a=2]일 때도 극한값이 존재해야 한다.

[eqn: x -> 1-]일 때 [eqn: f(x)>0]이므로 [eqn: lim from {x -> 1-} {g(x) times f(x)} over {f(x)} = g(1)]

[eqn: x -> 1+]일 때 [eqn: f(x)<0]이므로 [eqn: lim from {x -> 1+} {g(x) times left ( -f(x) right )} over {f(x)} = -g(1)]

좌극한과 우극한이 같아야 하므로 [eqn: g(1)=-g(1)]에서 [eqn: g(1)=0]

마찬가지로 [eqn: x -> 2]일 때도 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 [eqn: g(2)=-g(2)]에서 [eqn: g(2)=0]

[eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수이므로 [eqn: g(x)=(x-1)(x-2)Q(x)=f(x)Q(x)]라 할 수 있다. (단, [eqn: Q(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수)

모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim from {x -> a} {left | g(x)-f(x) right |} over {g(x)}]의 값이 존재하므로

[eqn: lim from {x -> a} {left | f(x)Q(x)-f(x) right |} over {f(x)Q(x)} = lim from {x -> a} {left | f(x) right | left | Q(x)-1 right |} over {f(x)Q(x)}]의 값이 존재해야 한다.

[eqn: a=1]일 때 극한값이 존재해야 하므로

[eqn: x -> 1-]일 때 [eqn: f(x)>0]이므로 [eqn: lim from {x -> 1-} {f(x) left | Q(x)-1 right |} over {f(x)Q(x)} = {left | Q(1)-1 right |} over {Q(1)}]

[eqn: x -> 1+]일 때 [eqn: f(x)<0]이므로 [eqn: lim from {x -> 1+} {-f(x) left | Q(x)-1 right |} over {f(x)Q(x)} = -{left | Q(1)-1 right |} over {Q(1)}]

두 값이 같아야 하므로 [eqn: {left | Q(1)-1 right |} over {Q(1)} = 0]에서 [eqn: Q(1)=1]

마찬가지로 [eqn: a=2]일 때 극한값이 존재해야 하므로 [eqn: {left | Q(2)-1 right |} over {Q(2)} = 0]에서 [eqn: Q(2)=1]

[eqn: Q(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이므로 [eqn: Q(x)-1=(x-1)(x-2)]

∴ [eqn: Q(x)=x^{2}-3x+3]

이때 이차방정식 [eqn: Q(x)=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D=9-12=-3<0]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: Q(x)>0]이다.

따라서 [eqn: x neq 1], [eqn: x neq 2]인 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 분모인 [eqn: g(a) neq 0]이므로 극한값이 항상 존재한다.

[eqn: g(x)=(x-1)(x-2)(x^{2}-3x+3)]이므로

[eqn: g(-1)=(-2) times (-3) times (1+3+3)=42]

따라서 정답은 [eqn: 42]이다.

[eqn: k > 1]인 실수 [eqn: k]에 대하여 두 곡선
[eqn: y = 2^{x} + {k} over {2}], [eqn: y = k times left ( {1} over {2} right )^{x} + k - 2]
가 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하고, 점 [eqn: rmA]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y = 2^{x-2} - 3]과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이가 [eqn: 16]일 때, [eqn: k + log_{2}k = {q} over {p}]이다. [eqn: p + q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 38]

두 곡선 [eqn: y = 2^{x} + {k} over {2}], [eqn: y = k times left ( {1} over {2} right )^{x} + k - 2]가 만나는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2^{x} + {k} over {2} = k times 2^{-x} + k - 2]의 근이다.

[eqn: 2^{x} = t] ([eqn: t > 0])라 하면 [eqn: t + {k} over {2} = {k} over {t} + k - 2]에서

[eqn: 2t^{2} + (4 - k)t - 2k = 0], [eqn: (2t + 4) left ( t - {k} over {2} right ) = 0]

[eqn: t > 0]이고 [eqn: k > 1]이므로 [eqn: t = {k} over {2}]

[eqn: 2^{x} = {k} over {2}]에서 [eqn: x = log_{2}k - 1]이고 [eqn: y = 2^{log_{2}k - 1} + {k} over {2} = k]이므로

[eqn: rm A LEFT ( log` _{2} `k-1,`k RIGHT ) rm]

점 [eqn: rmA]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y - k = -(x - log_{2}k + 1)]에서 [eqn: y = -x + k + log_{2}k - 1]

직선 [eqn: l]과 곡선 [eqn: y = 2^{x-2} - 3]이 만나는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: -x + k + log_{2}k - 1 = 2^{x-2} - 3]에서 [eqn: x + 2^{x-2} = log_{2}k + k + 2]의 근이다.

함수 [eqn: f(x) = x + 2^{x-2}]은 증가함수이므로 방정식 [eqn: f(x) = f(log_{2}k + 2)]의 실근은 [eqn: x = log_{2}k + 2]뿐이다.

[eqn: x = log_{2}k + 2]일 때 [eqn: y = 2^{log_{2}k} - 3 = k - 3]이므로 [eqn: rmB LEFT ( log` _{2} `k+2,`k-3 RIGHT )]

세 점 [eqn: rmO(0, 0)], [eqn: rmA(log_{2}k - 1, k)], [eqn: rmB(log_{2}k + 2, k - 3)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} LEFT | (log _{2} k-1)(k-3)-k(log _{2} k+2) RIGHT |][eqn: = {1} over {2} LEFT | -3k-3log _{2} k+3 RIGHT | = {3} over {2} LEFT | k+log _{2} k-1 RIGHT |]

[eqn: k > 1]이므로 [eqn: k + log_{2}k - 1 > 0]

삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이가 [eqn: 16]이므로

[eqn: {3} over {2} (k + log_{2}k - 1) = 16]에서 [eqn: k + log_{2}k = {35} over {3}]

따라서 [eqn: p = 3], [eqn: q = 35]이므로 [eqn: p + q = 38]

따라서 정답은 [eqn: 38]이다.

[eqn: 6]개의 문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는?

③

[eqn: 6]개의 문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중에서 [eqn: a]가 [eqn: 4]개이므로

구하는 경우의 수는 [eqn: {6!} over {4!} = 6 times 5 = 30]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 18]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 42]

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이고
[eqn: P(A cup B) = 1], [eqn: P(A ^{C} `)=2P(A)]
일 때, [eqn: P(B)]의 값은?

④

여사건의 확률의 성질에 의해 [eqn: P(A^{C}) = 1 - P(A)]이므로

[eqn: 1 - P(A) = 2P(A)]에서 [eqn: 3P(A) = 1] ∴ [eqn: P(A) = {1} over {3}]

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이므로

[eqn: P(A cup B) = P(A) + P(B)]

[eqn: P(A cup B) = 1]이므로 [eqn: {1} over {3} + P(B) = 1] ∴ [eqn: P(B) = {2} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

다항식 [eqn: (2x-1)^{5}(x+1)]의 전개식에서 [eqn: x^{3}]의 계수는?

③

다항식 [eqn: (2x-1)^{5}(x+1)]의 전개식에서 [eqn: x^{3}] 항이 나오는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: (2x-1)^{5}]의 [eqn: x^{2}] 항과 [eqn: (x+1)]의 [eqn: x] 항이 곱해지는 경우

(ⅱ) [eqn: (2x-1)^{5}]의 [eqn: x^{3}] 항과 [eqn: (x+1)]의 상수항이 곱해지는 경우

이항정리에 의해 [eqn: (2x-1)^{5}]의 전개식의 일반항은

[eqn: {} _{5} rmC _{itr} it(2x) ^{5-r} (-1) ^{r} = _{5} rmC _{itr} it2 ^{5-r} (-1) ^{r} x ^{5-r}] ([eqn: r=0, 1, 2, 3, 4, 5])

(ⅰ)의 경우: [eqn: 5-r=2]에서 [eqn: r=3]이므로 [eqn: (2x-1)^{5}]의 [eqn: x^{2}]의 계수는 [eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{3}} times 2^{2} times (-1)^{3} = 10 times 4 times (-1) = -40]

이때 [eqn: (x+1)]의 [eqn: x]의 계수는 [eqn: 1]이므로 두 항을 곱하여 얻은 [eqn: x^{3}]의 계수는 [eqn: -40 times 1 = -40]

(ⅱ)의 경우: [eqn: 5-r=3]에서 [eqn: r=2]이므로 [eqn: (2x-1)^{5}]의 [eqn: x^{3}]의 계수는 [eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{2}} times 2^{3} times (-1)^{2} = 10 times 8 times 1 = 80]

이때 [eqn: (x+1)]의 상수항은 [eqn: 1]이므로 두 항을 곱하여 얻은 [eqn: x^{3}]의 계수는 [eqn: 80 times 1 = 80]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 [eqn: x^{3}]의 계수는 [eqn: -40 + 80 = 40]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 7]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 7]장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 곱이 짝수가 되도록 카드가 놓일 확률은?

⑤

[eqn: 7]장의 카드를 일렬로 나열하는 전체 경우의 수는 [eqn: 7!]이다.

양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 곱이 짝수인 사건의 여사건은 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 곱이 홀수인 사건이다.

두 수의 곱이 홀수이려면 양 끝에 모두 홀수가 적힌 카드가 놓여야 한다.

[eqn: 1]부터 [eqn: 7]까지의 자연수 중 홀수는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7]의 [eqn: 4]개이므로 양 끝에 홀수가 적힌 카드를 나열하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{4}} P _{{2}}]이다.

나머지 [eqn: 5]장의 카드를 그 사이에 나열하는 경우의 수는 [eqn: 5!]이므로 여사건의 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{4}} P _{{2}} times 5!]이다.

따라서 구하는 확률은 [eqn: rm1 - {{}{}_{{4}} P _{{2}} times 5!} over {7!} = 1 - {4 times 3} over {7 times 6} = 1 - {2} over {7} = {5} over {7}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {3} over {7}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {4} over {7}]

④ [eqn: {9} over {14}]	⑤ [eqn: {5} over {7}]

[eqn: 5]명이 둘러앉을 수 있는 원 모양의 탁자와 남학생 [eqn: 5]명, 여학생 [eqn: 3]명이 있다. 이 [eqn: 8]명의 학생 중에서 [eqn: 4]명 이상의 남학생을 포함하여 [eqn: 5]명의 학생을 선택하고 이 [eqn: 5]명의 학생 모두를 일정한 간격으로 탁자에 둘러앉게 하는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

①

남학생 [eqn: 4]명 이상을 포함하여 [eqn: 5]명을 선택하는 경우는 다음과 같이 두 가지로 나눌 수 있다.

(ⅰ) 남학생 [eqn: 4]명, 여학생 [eqn: 1]명을 선택하는 경우

남학생 [eqn: 5]명 중 [eqn: 4]명을 선택하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{4}} = 5]

여학생 [eqn: 3]명 중 [eqn: 1]명을 선택하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{3}} C _{{1}} = 3]

선택된 [eqn: 5]명을 원탁에 둘러앉게 하는 경우의 수는 [eqn: (5-1)! = 24]

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 5 times 3 times 24 = 360]

(ⅱ) 남학생 [eqn: 5]명을 선택하는 경우

남학생 [eqn: 5]명 중 [eqn: 5]명을 선택하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{5}} = 1]

선택된 [eqn: 5]명을 원탁에 둘러앉게 하는 경우의 수는 [eqn: (5-1)! = 24]

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 1 times 24 = 24]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 [eqn: 360 + 24 = 384]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 384]	② [eqn: 408]	③ [eqn: 432]

④ [eqn: 456]	⑤ [eqn: 480]

공 [eqn: 15]개와 비어 있는 세 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 세 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 공을 넣는 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져

나온 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수이면

세 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 넣는 공의 개수가 각각 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 0]이고,

나온 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수가 아니면

세 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 넣는 공의 개수가 각각 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1]이다.

이 시행을 [eqn: 5]번 반복한 후 상자 [eqn: rmB]에 들어 있는 공의 개수가 홀수일 때, 상자 [eqn: rmA]에 들어 있는 공의 개수와 상자 [eqn: rmC]에 들어 있는 공의 개수의 합이 [eqn: 8] 이상일 확률은?

⑤

주사위를 한 번 던져 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: E], [eqn: 3]의 배수가 아닌 눈이 나오는 사건을 [eqn: F] 라 하면

[eqn: P(E) = {1} over {3}], [eqn: P(F) = {2} over {3}]

[eqn: 5]번의 시행 중 사건 [eqn: E] 가 일어나는 횟수를 [eqn: x] ([eqn: x = 0, 1, 2, 3, 4, 5])라 하면

상자 [eqn: rmB]에 들어 있는 공의 개수는 [eqn: 2x + (5-x) = x + 5]

상자 [eqn: rmB]에 들어 있는 공의 개수가 홀수이려면 [eqn: x]는 짝수이어야 하므로 [eqn: x = 0] 또는 [eqn: x = 2] 또는 [eqn: x = 4]

상자 [eqn: rmA]에 들어 있는 공의 개수는 [eqn: x + (5-x) = 5]이고, 상자 [eqn: rmC]에 들어 있는 공의 개수는 [eqn: 5-x]이므로

상자 [eqn: rmA]와 상자 [eqn: rmC]에 들어 있는 공의 개수의 합은 [eqn: 5 + (5-x) = 10-x]

이 합이 [eqn: 8] 이상이 되려면 [eqn: 10-x geq 8]에서 [eqn: x leq 2]

따라서 구하는 조건부 확률은 [eqn: x=0, 2, 4]일 때 중에서 [eqn: x=0, 2]일 확률이다.

독립시행의 확률에 의해

[eqn: rm P( it x=0)= _{5} rmC _{0} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{0} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{5} = {32} over {243}]

[eqn: rm P( it x=2)= _{5} rmC _{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} =10 TIMES {1} over {9} TIMES {8} over {27} = {80} over {243}]

[eqn: rm P( it x=4)= _{5} rmC _{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{1} =5 TIMES {1} over {81} TIMES {2} over {3} = {10} over {243}]

구하는 조건부 확률은

[eqn: {rm P( it x=0)+ rm P( it x=2)} over {rm P( it x=0)+ rm P( it x=2)+ rm P( it x=4)} = {{32} over {243} + {80} over {243}} over {{32} over {243} + {80} over {243} + {10} over {243}}][eqn: = {112} over {122} = {56} over {61}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {44} over {61}]	② [eqn: {47} over {61}]	③ [eqn: {50} over {61}]

④ [eqn: {53} over {61}]	⑤ [eqn: {56} over {61}]

한 개의 주사위를 세 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때, [eqn: a+b=8] 또는 [eqn: b geq c]일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 44]

한 개의 주사위를 세 번 던질 때 일어날 수 있는 전체 경우의 수는 [eqn: 6^{3} = 216]

사건 [eqn: A]를 [eqn: a+b=8]이라 하고, 사건 [eqn: B]를 [eqn: b geq c]라 하자.

[eqn: a+b=8]을 만족하는 [eqn: (a, b)]의 순서쌍은

[eqn: (2, 6)], [eqn: (3, 5)], [eqn: (4, 4)], [eqn: (5, 3)], [eqn: (6, 2)]의 [eqn: 5]가지이고, 각각에 대하여 [eqn: c]는 [eqn: 6]가지이므로 [eqn: n(A) = 5 times 6 = 30]

[eqn: b geq c]를 만족하는 [eqn: (b, c)]의 순서쌍의 개수는

[eqn: b=1]일 때 [eqn: 1]개, [eqn: b=2]일 때 [eqn: 2]개, [eqn: cdots], [eqn: b=6]일 때 [eqn: 6]개이므로

[eqn: 1+2+3+4+5+6 = 21]

각각에 대하여 [eqn: a]는 [eqn: 6]가지이므로 [eqn: n(B) = 21 times 6 = 126]

사건 [eqn: A cap B]는 [eqn: a+b=8]이고 [eqn: b geq c]인 사건이므로

[eqn: b=6]일 때 [eqn: c]는 [eqn: 6]개, [eqn: b=5]일 때 [eqn: c]는 [eqn: 5]개

[eqn: b=4]일 때 [eqn: c]는 [eqn: 4]개, [eqn: b=3]일 때 [eqn: c]는 [eqn: 3]개

[eqn: b=2]일 때 [eqn: c]는 [eqn: 2]개

[eqn: n(A cap B) = 6+5+4+3+2 = 20]

확률의 덧셈정리에 의해 [eqn: a+b=8] 또는 [eqn: b geq c]인 사건의 경우의 수는

[eqn: n(A cup B) = n(A) + n(B) - n(A cap B) = 30 + 126 - 20 = 136]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {q} over {p} = {136} over {216} = {17} over {27}]

[eqn: p=27], [eqn: q=17]이므로 [eqn: p+q = 27+17 = 44]

따라서 정답은 [eqn: 44]이다.

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f:X`` -> ``X]의 개수를 구하시오.

(가) [eqn: x=1,`2,`3,`4]일 때 [eqn: f(x+1) + 3 geq f(x) + x]이다.

(나) [eqn: f(2)]의 값은 홀수이다.

[eqn: 115]

조건 (가)에서 [eqn: f(x+1) geq f(x) + x - 3]이므로 [eqn: x=1, 2, 3, 4]를 각각 대입하면

[eqn: f(2) geq f(1) - 2] ……①, [eqn: f(3) geq f(2) - 1] ……②

[eqn: f(4) geq f(3)] ……③, [eqn: f(5) geq f(4) + 1] ……④

조건 (나)에 의해 [eqn: f(2)]는 홀수이고, 함수 [eqn: f]의 치역은 [eqn: X = left { 1, 2, 3, 4, 5 right }]이므로 [eqn: f(2)]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5] 중 하나이다.

②, ③, ④에서 [eqn: f(2) - 1 leq f(3) leq f(4) leq f(5) - 1]이다.

[eqn: f(5)' = f(5) - 1]이라 하면 [eqn: f(5) leq 5]에서 [eqn: f(5)' leq 4]이므로

[eqn: f(2) - 1 leq f(3) leq f(4) leq f(5)' leq 4] ……⑤

(ⅰ) [eqn: f(2) = 1]일 때

①에서 [eqn: f(1) leq 3]이므로 가능한 [eqn: f(1)]의 개수는 [eqn: 3]이다.

⑤에서 [eqn: 0 leq f(3) leq f(4) leq f(5)' leq 4]이고, [eqn: f(3) geq 1]이므로

[eqn: 1 leq f(3) leq f(4) leq f(5)' leq 4]

이를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(3), f(4), f(5)')]의 개수는

[eqn: rm{}_{4} H _{3} = {}{}_{{6}} C _{{3}} = 20]

따라서 함수의 개수는 [eqn: 3 times 20 = 60]이다.

(ⅱ) [eqn: f(2) = 3]일 때

①에서 [eqn: f(1) leq 5]이므로 가능한 [eqn: f(1)]의 개수는 [eqn: 5]이다.

⑤에서 [eqn: 2 leq f(3) leq f(4) leq f(5)' leq 4]

이를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(3), f(4), f(5)')]의 개수는

[eqn: rm{}_{3} H _{3} = {}{}_{{5}} C _{{3}} = 10]

따라서 함수의 개수는 [eqn: 5 times 10 = 50]이다.

(ⅲ) [eqn: f(2) = 5]일 때

①에서 [eqn: f(1) leq 7]이고 [eqn: f(1) leq 5]이므로 가능한 [eqn: f(1)]의 개수는 [eqn: 5]이다.

⑤에서 [eqn: 4 leq f(3) leq f(4) leq f(5)' leq 4]

이를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(3), f(4), f(5)')]의 개수는

[eqn: rm{}_{1} H _{3} = {}{}_{{3}} C _{{3}} = 1]

따라서 함수의 개수는 [eqn: 5 times 1 = 5]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 60 + 50 + 5 = 115]

따라서 정답은 [eqn: 115]이다.