수학ETF	2025_고2_6월	기출문제
	1~30

[eqn: LEFT ( 2^{sqrt {2} + 1} RIGHT )^{-1} TIMES 2^{sqrt {2}}]의 값은?

②

지수법칙을 이용하여 주어진 식을 정리하면 다음과 같다.

[eqn: LEFT ( 2^{sqrt {2} + 1} RIGHT )^{-1} TIMES 2^{sqrt {2}}][eqn: = 2^{-(sqrt {2} + 1)} TIMES 2^{sqrt {2}}][eqn: = 2^{-sqrt {2} - 1 + sqrt {2}}][eqn: = 2^{-1}][eqn: = {1} over {2}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: log _{5} { {25} over {2} } + log _{5} 10]의 값은?

③

로그의 성질에 의하여

[eqn: log _{5} { {25} over {2} } + log _{5} 10 = log _{5} LEFT ( { {25} over {2} } TIMES 10 RIGHT )][eqn: = log _{5} 125][eqn: = log _{5} 5^{3}][eqn: = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

반지름의 길이가 [eqn: 2]이고 넓이가 [eqn: { pi } over {3}]인 부채꼴의 중심각의 크기는?

④

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r], 중심각의 크기를 [eqn: theta], 넓이를 [eqn: S]라 하자.

주어진 조건에서 [eqn: r = 2], [eqn: S = { pi } over {3}]이므로

[eqn: { pi } over {3} = {1} over {2} TIMES 2^2 TIMES theta], [eqn: { pi } over {3} = 2 theta], [eqn: theta = { pi } over {6}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: { pi } over {24}]	② [eqn: { pi } over {12}]	③ [eqn: { pi } over {8}]

④ [eqn: { pi } over {6}]	⑤ [eqn: {5} over {24} pi]

[eqn: { pi } over {2} < x < {3} over {2} pi]일 때, 방정식 [eqn: sqrt {3} `tanx=1]의 해는?

④

주어진 방정식 [eqn: sqrt {3} `tanx=1]에서

[eqn: tan x = {1} over {sqrt {3}} = {sqrt {3}} over {3}]

[eqn: tan x]의 주기는 [eqn: pi]이고, 제1사분면에서 [eqn: tan x = {sqrt {3}} over {3}]을 만족하는 [eqn: x]의 값은 [eqn: { pi } over {6}]이다.

따라서 방정식의 일반해는 [eqn: x = n pi + { pi } over {6}](단, [eqn: n]은 정수)이다.

주어진 범위가 [eqn: { pi } over {2} < x < {3} over {2} pi]이므로

[eqn: n = 1]일 때, [eqn: x = pi + { pi } over {6} = {7} over {6} pi]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {2} over {3} pi]	② [eqn: {5} over {6} pi]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: {7} over {6} pi]	⑤ [eqn: {4} over {3} pi]

다음은 상용로그표의 일부이다.

위의 표를 이용하여 [eqn: log 0.183]의 값을 구한 것은?

④

상용로그표에서 [eqn: log 1.83 = 0.2625]이다.

[eqn: log 0.183 = log ( 1.83 TIMES 10^{-1} )][eqn: = log 1.83 - 1][eqn: = 0.2625 - 1][eqn: = - 0.7375]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: - 1.7375]	② [eqn: - 1.7328]	③ [eqn: - 0.7595]

④ [eqn: - 0.7375]	⑤ [eqn: - 0.7328]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm {bar{BC}} =5], [eqn: rm ANGLE A= {pi } over {6}], [eqn: rm ANGLE B= {pi } over {4}]일 때, 선분 [eqn: rmAC]의 길이는?

②

사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{rmBC}}} over {sinA} = {{bar{rmAC}}} over {sinB}], [eqn: {5} over {sin {pi } over {6}} = {{bar{rmAC}}} over {sin {pi } over {4}}]

[eqn: rmoverline {AC} = 10 TIMES {sqrt {2}} over {2} = 5 sqrt {2}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {9} over {2} sqrt {2}]	② [eqn: 5 sqrt {2}]	③ [eqn: {11} over {2} sqrt {2}]

④ [eqn: 6 sqrt {2}]	⑤ [eqn: {13} over {2} sqrt {2}]

[eqn: { pi } over {2} < theta < pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: {cos theta} over {tan theta} + sin theta = sqrt {3}]일 때, [eqn: cos theta]의 값은?

①

[eqn: tan theta = {sin theta} over {cos theta}]이므로 주어진 식은 다음과 같이 정리된다.

[eqn: {cos theta} over {tan theta} + sin theta = {cos^2 theta} over {sin theta} + sin theta = sqrt {3}]

양변에 [eqn: sin theta]를 곱하면

[eqn: cos ^{2} theta +sin ^{2} theta = sqrt {3} `sin theta]

[eqn: 1= sqrt {3} `sin theta], [eqn: sin theta = {1} over {sqrt {3}}]

[eqn: cos^2 theta = 1 - sin^2 theta = 1 - LEFT ( {1} over {sqrt {3}} RIGHT )^2 = {2} over {3}]

[eqn: { pi } over {2} < theta < pi]이므로 [eqn: cos theta < 0]이다.

[eqn: cos theta = - sqrt {{2} over {3}} = - {sqrt {6}} over {3}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: - {sqrt {6}} over {3}]	② [eqn: - {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {3}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt {6}} over {3}]

함수 [eqn: y=log _{` LEFT ( -a ^{2} -a+7 RIGHT )} `x]가 [eqn: x]의 값이 증가할 때 [eqn: y]의 값도 증가하도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은?

⑤

함수 [eqn: y = log_{LEFT ( - a^2 - a + 7 RIGHT )} x]가 [eqn: x]의 값이 증가할 때 [eqn: y]의 값도 증가하려면 밑이 [eqn: 1]보다 커야 한다.

[eqn: - a^2 - a + 7 > 1]에서 [eqn: - 3 < a < 2]

이를 만족하는 정수 [eqn: a]는 [eqn: - 2], [eqn: - 1], [eqn: 0], [eqn: 1]이다.

따라서 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: - 2 + LEFT ( - 1 RIGHT ) + 0 + 1 = - 2]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: - 6]	② [eqn: - 5]	③ [eqn: - 4]

④ [eqn: - 3]	⑤ [eqn: - 2]

두 양수 [eqn: a, b]에 대하여 함수 [eqn: y = a sin bx + 1]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: a + b]의 값은?

③

함수 [eqn: y = a sin bx + 1]의 최댓값이 [eqn: 3]이므로 [eqn: a = 2]

주어진 그래프에서 함수 [eqn: y = a sin bx + 1]의 주기를 [eqn: T]라 하면

[eqn: T = {5} over {4} pi - { pi } over {4} = pi]

함수 [eqn: y = a sin bx + 1]의 주기는 [eqn: {2 pi } over {b}]이므로

[eqn: {2 pi } over {b} = pi]에서 [eqn: b = 2]

따라서 [eqn: a + b = 2 + 2 = 4]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: y = 2^{-x + a} + a]의 역함수의 그래프가 점 [eqn: (a + 1, 1)]을 지날 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

①

함수 [eqn: f(x) = 2^{-x+a} + a]라 하자.

함수 [eqn: y = f(x)]의 역함수의 그래프가 점 [eqn: (a+1, 1)]을 지나므로

[eqn: f^{-1}(a+1) = 1]이다.

역함수의 성질에 의하여 [eqn: f(1) = a+1]이 성립한다.

[eqn: f(1) = 2^{-1+a} + a = a+1], [eqn: a = 1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x le 3]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = 2^{2 x} - 2^{x + 2} + 6]의 최댓값과 최솟값의 합은?

③

[eqn: 2^x = t] (단, [eqn: t > 0])로 치환하면

[eqn: x le 3]이므로 [eqn: 0 < t le 8]이다.

주어진 함수를 [eqn: t]에 대한 식으로 나타내면

[eqn: f(x) = t^2 - 4t + 6][eqn: = (t - 2)^2 + 2]

[eqn: 0 < t le 8]에서 이 함수는

[eqn: t = 2]일 때 최솟값 [eqn: 2]를 갖고,

[eqn: t = 8]일 때 최댓값 [eqn: (8 - 2)^2 + 2 = 38]을 갖는다.

따라서 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 38 + 2 = 40]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 32]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 48]

[eqn: {bar{rm AB it}} : {bar{rm BC it}} =3:2], [eqn: ANGLE rm ABC= {pi } over {3}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이가 [eqn: 7 pi]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는?

①

삼각형 [eqn: rm ABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]이라 하면 외접원의 넓이가 [eqn: 7 pi]이므로

[eqn: pi R^{2} = 7 pi], [eqn: R = sqrt {7}]

사인법칙에 의하여

[eqn: {overline {rm AC}} over {sin LEFT ( { pi } over {3} RIGHT )} = 2R = 2 sqrt {7}], [eqn: overline {rm AC} = 2 sqrt {7} TIMES {sqrt {3}} over {2} = sqrt {21}]

[eqn: overline {rm AB} : overline {rm BC} = 3 : 2]이므로 [eqn: overline {rm AB} = 3k], [eqn: overline {rm BC} = 2k] ([eqn: k > 0])라 하면 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm AC}} ^{2} = {bar{rm AB it}} ^{2} + {bar{rm BC}} ^{2} -2 TIMES {bar{rm AB it}} TIMES {bar{rm BC it}} TIMES cos LEFT ( {pi } over {3} RIGHT )]

[eqn: 21 = (3k)^{2} + (2k)^{2} - 2 TIMES 3k TIMES 2k TIMES {1} over {2}]

[eqn: 21 = 9k^{2} + 4k^{2} - 6k^{2}]

[eqn: 7k^{2} = 21], [eqn: k^{2} = 3], [eqn: k > 0]이므로 [eqn: k = sqrt {3}]

따라서 [eqn: overline {rm AB} = 3 sqrt {3}], [eqn: overline {rm BC} = 2 sqrt {3}]

삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES overline {rm AB} TIMES overline {rm BC} TIMES sin LEFT ( { pi } over {3} RIGHT ) = {1} over {2} TIMES 3 sqrt {3} TIMES 2 sqrt {3} TIMES {sqrt {3}} over {2} = {9} over {2} sqrt {3}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {9} over {2} sqrt {3}]	② [eqn: {19} over {4} sqrt {3}]	③ [eqn: 5 sqrt {3}]

④ [eqn: {21} over {4} sqrt {3}]	⑤ [eqn: {11} over {2} sqrt {3}]

[eqn: {{ pi } over {2}} < t < pi]인 실수 [eqn: t]에 대하여 이차방정식
[eqn: 5 x^2 + x + k = 0] ([eqn: k]는 상수)
가 두 실근 [eqn: sin t], [eqn: cos t]를 가질 때, [eqn: k TIMES tan t]의 값은?

②

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: sin t + cos t = - {1} over {5}], [eqn: sin t cos t = {k} over {5}]

위의 첫 번째 식의 양변을 제곱하면

[eqn: ( sin t + cos t )^2 = sin^2 t + cos^2 t + 2 sin t cos t = 1 + 2 sin t cos t]

[eqn: LEFT ( - {1} over {5} RIGHT )^2 = 1 + 2 TIMES {k} over {5}], [eqn: k = - {12} over {5}]

따라서 [eqn: sin t cos t = - {12} over {25}]이므로 [eqn: sin t]와 [eqn: cos t]는 다음 이차방정식의 두 근이다.

[eqn: X^2 + {1} over {5} X - {12} over {25} = 0], [eqn: X = {3} over {5}]또는 [eqn: X = - {4} over {5}]

[eqn: { pi } over {2} < t < pi]이므로 [eqn: sin t > 0], [eqn: cos t < 0]이다.

따라서 [eqn: sin t = {3} over {5}], [eqn: cos t = - {4} over {5}]이다.

[eqn: tan t = {sin t} over {cos t} = - {3} over {4}], [eqn: k TIMES tan t = LEFT ( - {12} over {5} RIGHT ) TIMES LEFT ( - {3} over {4} RIGHT ) = {9} over {5}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {9} over {5}]	③ [eqn: {21} over {10}]

④ [eqn: {12} over {5}]	⑤ [eqn: {27} over {10}]

곡선 [eqn: y = 2^{x}]위의 두 점 [eqn: rmrmA], [eqn: rmB]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM], 점 [eqn: rmM]을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y = 2^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmN]이라 하자. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표가 각각 [eqn: {1} over {2} `log _{2} {3} over {2}], [eqn: {5} over {2} `log _{2} {3} over {2}]일 때, 선분 [eqn: rmMN]의 길이는?

③

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표를 구하면 다음과 같다.

[eqn: rm A LEFT ( {1} over {2} `log _{2} {3} over {2} ,`2 ^{{1} over {2} `log _{2} {3} over {2}} RIGHT )] [eqn: y_A = LEFT ( {{3} over {2}} RIGHT )^{{1} over {2}} = {{sqrt{6}} over {2}} = {{4 sqrt{6}} over {8}}]

[eqn: rmB LEFT ( {5} over {2} `log _{2} {3} over {2} ,2 ^{{5} over {2} `log _{2} {3} over {2}} RIGHT )] [eqn: y_B = LEFT ( {{3} over {2}} RIGHT )^{{5} over {2}} = {{9} over {4}} LEFT ( {{3} over {2}} RIGHT )^{{1} over {2}} = {{9 sqrt{6}} over {8}}]

선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rmM]의 좌표를 구하면 다음과 같다.

[eqn: x _{M} = {{1} over {2} `log _{2} {3} over {2} + {5} over {2} `log _{2} {3} over {2}} over {2} = {3} over {2} `log _{2} {3} over {2}]

[eqn: y_M = {{y_A + y_B} over {2}} = {1} over {2} LEFT ( {{4 sqrt{6}} over {8}} + {{9 sqrt{6}} over {8}} RIGHT ) = {{13 sqrt{6}} over {16}}]

점 [eqn: rmN]은 점 [eqn: rmM]을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y = 2^{x}]과 만나는 점이므로 [eqn: x_N = x_M]이다.

[eqn: y_N = 2^{x_M} = 2^{{3} over {2} log_{2} {{3} over {2}}} = LEFT ( {{3} over {2}} RIGHT )^{{3} over {2}} = {{3} over {2}} LEFT ( {{3} over {2}} RIGHT )^{{1} over {2}} = {{3 sqrt{6}} over {4}} = {{12 sqrt{6}} over {16}}]

따라서 선분 [eqn: rmMN]의 길이는 다음과 같다.

[eqn: {bar{rmMN}} =y _{M} -y _{N} = {13 sqrt {6}} over {16} - {12 sqrt {6}} over {16} = {sqrt {6}} over {16}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {sqrt{6}} over {48}]	② [eqn: {sqrt{6}} over {24}]	③ [eqn: {sqrt{6}} over {16}]

④ [eqn: {sqrt{6}} over {12}]	⑤ [eqn: {5} over {48} sqrt{6}]

[eqn: log_{|x + 1|} LEFT { ( n - x ) ( n + 1 + x ) RIGHT }]가 정의되도록 하는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 25]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값은?

②

로그의 밑 조건에 의해

[eqn: |x + 1| > 0]이고 [eqn: |x + 1| != 1][eqn: x != -1]이고 [eqn: x != 0], [eqn: x != -2]

로그의 진수 조건에 의해

[eqn: ( n - x ) ( n + 1 + x ) > 0], [eqn: ( x - n ) ( x + n + 1 ) < 0]

[eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: -( n + 1 ) < x < n]

이 부등식을 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수는

[eqn: ( n - 1 ) - ( -n ) + 1 = 2n]

정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 25]이므로 [eqn: n ge 2]이고, 이 경우 범위 내에 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0]이 항상 포함된다.

따라서 조건을 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수는

[eqn: 2n - 3 = 25], [eqn: 2n = 28], [eqn: n = 14]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

두 실수 [eqn: a, b ( a < 0, b > 0 )]에 대하여 [eqn: 0 le x le b]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = a sin { pi } over {b} x + a^2]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값과 최솟값의 차는 [eqn: 2]이다.

(나) [eqn: x]에 대한 방정식
[eqn: log { LEFT { (f(x))^2 - 5 RIGHT } } = log { LEFT { 5 f(x) - 11 RIGHT } }]
의 서로 다른 모든 실근의 합은 [eqn: 6]이다.

[eqn: a + b]의 값은?

④

[eqn: 0 le x le b]에서 [eqn: 0 le { pi } over {b} x le pi]이므로 [eqn: 0 le sin { pi } over {b} x le 1]이다.

[eqn: a < 0]이므로 함수 [eqn: f(x) = a sin { pi } over {b} x + a^2]의 최댓값은 [eqn: sin { pi } over {b} x = 0]일 때 [eqn: a^2]이다.

최솟값은 [eqn: sin { pi } over {b} x = 1]일 때 [eqn: a + a^2]이다.

조건 (가)에서 최댓값과 최솟값의 차가 [eqn: 2]이므로

[eqn: a^2 - ( a + a^2 ) = 2], [eqn: a = -2]

조건 (나)의 로그방정식에서 진수 조건에 의해

[eqn: ( f(x) )^2 - 5 > 0]및 [eqn: 5 f(x) - 11 > 0]

따라서 [eqn: f(x) > {11} over {5}]이어야 한다.

로그방정식을 풀면

[eqn: ( f(x) )^2 - 5 = 5 f(x) - 11]

[eqn: ( f(x) )^2 - 5 f(x) + 6 = 0]

[eqn: ( f(x) - 2 ) ( f(x) - 3 ) = 0]

[eqn: f(x) = 2]또는 [eqn: f(x) = 3]

진수 조건 [eqn: f(x) > {11} over {5}]를 만족하는 값은 [eqn: f(x) = 3]뿐이다.

[eqn: a = -2]를 대입하면

[eqn: f(x) = -2 sin { pi } over {b} x + 4 = 3], [eqn: sin { pi } over {b} x = {1} over {2}]

[eqn: 0 le { pi } over {b} x le pi]범위에서 위 방정식을 만족하는 서로 다른 두 실근이 존재한다.

구간 [eqn: 0 le x le b]에서 함수 [eqn: y = sin { pi } over {b} x]의 그래프는 [eqn: x = {b} over {2}]에 대하여 대칭이다.

따라서 두 실근의 합은 대칭성에 의해 [eqn: 2 TIMES {b} over {2} = b]이다.

조건 (나)에서 모든 실근의 합이 [eqn: 6]이므로 [eqn: b = 6]이다.

[eqn: a + b = -2 + 6 = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

[eqn: 0 le x < 24]에서 부등식
[eqn: LEFT ( sin { pi } over {12} x - {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( cos { pi } over {12} x - {1} over {2} RIGHT ) < 0]
을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 개수는?

②

[eqn: { pi } over {12} x = theta]로 치환하면 [eqn: 0 le x < 24]에서 [eqn: 0 le theta < 2 pi]이다.

주어진 부등식은 [eqn: LEFT ( sin theta - {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( cos theta - {1} over {2} RIGHT ) < 0]이다.

이 부등식을 만족하려면 다음 두 가지 경우 중 하나여야 한다.

(i) [eqn: sin theta > {1} over {2}]이고 [eqn: cos theta < {1} over {2}]인 경우

[eqn: sin theta > {1} over {2}]의 해는 [eqn: { pi } over {6} < theta < {5 pi } over {6}]

[eqn: cos theta < {1} over {2}]의 해는 [eqn: { pi } over {3} < theta < {5 pi } over {3}]

공통 범위는 [eqn: { pi } over {3} < theta < {5 pi } over {6}]이다.

[eqn: theta = { pi } over {12} x]를 대입하면 [eqn: { pi } over {3} < { pi } over {12} x < {5 pi } over {6}], [eqn: 4 < x < 10]

이를 만족하는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 5, 6, 7, 8, 9]로 총 [eqn: 5]개이다.

(ii) [eqn: sin theta < {1} over {2}]이고 [eqn: cos theta > {1} over {2}]인 경우

[eqn: sin theta < {1} over {2}]의 해는 [eqn: 0 le theta < { pi } over {6}]또는 [eqn: {5 pi } over {6} < theta < 2 pi]

[eqn: cos theta > {1} over {2}]의 해는 [eqn: 0 le theta < { pi } over {3}]또는 [eqn: {5 pi } over {3} < theta < 2 pi]

공통 범위는 [eqn: 0 le theta < { pi } over {6}]또는 [eqn: {5 pi } over {3} < theta < 2 pi]이다.

[eqn: theta = { pi } over {12} x]를 대입하면 [eqn: 0 le { pi } over {12} x < { pi } over {6}]또는 [eqn: {5 pi } over {3} < { pi } over {12} x < 2 pi]

[eqn: 0 le x < 2]또는 [eqn: 20 < x < 24]

이를 만족하는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 0, 1]그리고 [eqn: 21, 22, 23]으로 총 [eqn: 5]개이다.

따라서 모든 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 5 + 5 = 10]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

그림과 같이 상수 [eqn: a(a > 1)]에 대하여 두 곡선 [eqn: y = a^{ax}]과 [eqn: y= {1} over {a} `log _{a} LEFT ( x- {1} over {a} RIGHT ) - {1} over {a}]이 있다. 곡선 [eqn: y = a^{ax}]위의 점 중 [eqn: x]좌표가 [eqn: {1} over {a}]보다 큰  점 [eqn: rmA]에 대하여 점 [eqn: rmA]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y= {1} over {a} `log _{a} LEFT ( x- {1} over {a} RIGHT ) - {1} over {a}]과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. 곡선 [eqn: y= {1} over {a} `log _{a} LEFT ( x- {1} over {a} RIGHT ) - {1} over {a}]이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하고, 점 [eqn: rmC]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y = a^{ax}]과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표와 점 [eqn: rmD]의 [eqn: x]좌표의 차가 [eqn: {1} over {a}]이고 직선 [eqn: rmAD]가 원점을 지날 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는?

⑤

점 [eqn: rmC]는 [eqn: y= {1} over {a} `log _{a} LEFT ( x- {1} over {a} RIGHT ) - {1} over {a} =0]을 만족하므로,

[eqn: log_{a} LEFT ( x - {1} over {a} RIGHT ) = 1], [eqn: x - {1} over {a} = a], [eqn: x = a + {1} over {a}]

따라서 [eqn: rmC`it LEFT ( a+ {1} over {a} ,0 RIGHT )]이다.

점 [eqn: rmC]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선의 방정식은 [eqn: y = - LEFT ( x - a - {1} over {a} RIGHT )]이다.

이 직선이 [eqn: y = a^{ax}]와 만나는 점이 [eqn: rmD`it(x _{D} ,y _{D} )]이므로,

[eqn: x_{D} + y_{D} = a + {1} over {a}], [eqn: y_{D} = a^{ax_{D}}]

점 [eqn: rmA(itx _{A} ,y _{A} )]는 [eqn: y = a^{ax}]위의 점이고, [eqn: x_{A} - x_{D} = {1} over {a}]이므로 [eqn: x_{A} = x_{D} + {1} over {a}]이다.

[eqn: y_{A} = a^{ax_{A}} = a^{a LEFT ( x_{D} + {1} over {a} RIGHT )} = a^{ax_{D} + 1} = a CDOT a^{ax_{D}} = a y_{D}]

직선 [eqn: rmAD]가 원점을 지나므로 세 점 [eqn: rmO, D, A]는 일직선 위에 있다.

[eqn: {y_{D}} over {x_{D}} = {y_{A}} over {x_{A}}], [eqn: {y_{D}} over {x_{D}} = {a y_{D}} over {x_{D} + {1} over {a}}]

[eqn: y_{D} > 0]이므로 양변을 [eqn: y_{D}]로 나누면,

[eqn: x_{D} + {1} over {a} = a x_{D}], [eqn: (a - 1) x_{D} = {1} over {a}], [eqn: x_{D} = {1} over {a(a - 1)}]

이를 [eqn: x_{D} + y_{D} = a + {1} over {a}]에 대입하면,

[eqn: {1} over {a(a - 1)} + a^{a CDOT {1} over {a(a - 1)}} = a + {1} over {a}]

[eqn: a^{1 over {a - 1}} = a + {1} over {a} - {1} over {a(a - 1)}]

[eqn: a^{1 over {a - 1}} = {a^{2}(a - 1) + a - 1 - 1} over {a(a - 1)} = {a^{3} - a^{2} + a - 2} over {a(a - 1)}]

이 방정식을 만족하는 [eqn: a > 1]인 상수를 찾으면 [eqn: a = 2]이다.

[eqn: a = 2]일 때 각 점의 좌표를 구하면,

[eqn: x_{D} = {1} over {2(2 - 1)} = {1} over {2}], [eqn: y_{D} = 2^{2 CDOT {1} over {2}} = 2]

따라서 [eqn: rmD LEFT ( {1} over {2}, 2 RIGHT )]

[eqn: x_{A} = {1} over {2} + {1} over {2} = 1], [eqn: y_{A} = 2 CDOT 2 = 4]

따라서 [eqn: rmA(1, 4)], [eqn: rmC LEFT ( 2 + {1} over {2}, 0 RIGHT ) = C LEFT ( {5} over {2}, 0 RIGHT )]

두 곡선 [eqn: y = 2^{2x}]와 [eqn: y= {1} over {2} `log _{2} LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) - {1} over {2}]의 관계를 살펴보자.

점 [eqn: (x, y)]가 [eqn: y = 2^{2x}]위에 있으면, 이를 [eqn: y = x]에 대칭이동한 점 [eqn: (y, x)]는 [eqn: y= {1} over {2} `log _{2} x]위에 있다.

이 점을 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: {1} over {2}], [eqn: y]축 방향으로 [eqn: - {1} over {2}]만큼 평행이동한 점 [eqn: LEFT ( y + {1} over {2}, x - {1} over {2} RIGHT )]는 곡선 [eqn: y= {1} over {2} `log _{2} LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) - {1} over {2}]위에 있다.

이때 두 점 [eqn: (x, y)]와 [eqn: LEFT ( y + {1} over {2}, x - {1} over {2} RIGHT )]를 지나는 직선의 기울기는 [eqn: {x - {1} over {2} - y} over {y + {1} over {2} - x} = -1]이다.

따라서 곡선 [eqn: y = 2^{2x}]위의 점 [eqn: rmA(1, 4)]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 다른 곡선과 만나는 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 4 + {1} over {2}, 1 - {1} over {2} RIGHT ) = LEFT ( {9} over {2}, {1} over {2} RIGHT )]이다.

사각형 [eqn: rmABCD]는 [eqn: rmoverline {AB}]와 [eqn: rmoverline {CD}]가 모두 기울기가 [eqn: -1]인 직선 위에 있으므로 평행한 사다리꼴이다.

[eqn: rmoverline {AB} = sqrt{LEFT ( {9} over {2} - 1 RIGHT )^{2} + LEFT ( {1} over {2} - 4 RIGHT )^{2}} = sqrt{{49} over {4} + {49} over {4}} = {7 sqrt{2}} over {2}]

[eqn: rmoverline {CD} = sqrt{LEFT ( {5} over {2} - {1} over {2} RIGHT )^{2} + (0 - 2)^{2}} = sqrt{4 + 4} = 2 sqrt{2}]

두 평행선 [eqn: x + y - 5 = 0](직선 [eqn: rmAB])과 [eqn: x + y - {5} over {2} = 0](직선 [eqn: rmCD]) 사이의 거리 [eqn: h]는

[eqn: h = {| -5 - LEFT ( - {5} over {2} RIGHT ) |} over {sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = {{5} over {2}} over {sqrt{2}} = {5 sqrt{2}} over {4}]

따라서 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이 [eqn: S]는 [eqn: S= {1} over {2} CDOT LEFT ( {bar{rmAB}} + {bar{rmCD}} RIGHT ) CDOT h]

[eqn: S = {1} over {2} CDOT {11 sqrt{2}} over {2} CDOT {5 sqrt{2}} over {4} = {55} over {8}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {35} over {8}]	② [eqn: 5]	③ [eqn: {45} over {8}]

④ [eqn: {25} over {4}]	⑤ [eqn: {55} over {8}]

[eqn: 7]이하의 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 함수
[eqn: f(x) = LEFT | 2^{m} cos x - 2^{n} RIGHT |]
이 있다. [eqn: 0 le x le 2 pi]에서 방정식
[eqn: LEFT { f(x) RIGHT }^{2} - LEFT ( 2^{5} + 2^{4} RIGHT ) f(x) + 2^{9} = 0]
의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 6]이 되도록 하는 [eqn: m], [eqn: n]의 모든 순서쌍 [eqn: (m, n)]의 개수는?

②

방정식 [eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -(2 ^{5} +2 ^{4} )f(x)+2 ^{9} =0]에서

[eqn: f(x) = t]라 하면 [eqn: t^{2} - 48t + 512 = 0]에서 [eqn: t = 16] 또는 [eqn: t = 32]

즉, [eqn: f(x) = 16] 또는 [eqn: f(x) = 32]이다.

[eqn: f(x) = left | 2^{m} cos x - 2^{n} right |]이므로

[eqn: 2^{m} cos x - 2^{n} = 16], [eqn: -16], [eqn: 32], [eqn: -32]

[eqn: cos x = {2^{n} - 32} over {2^{m}}], [eqn: {2^{n} - 16} over {2^{m}}], [eqn: {2^{n} + 16} over {2^{m}}], [eqn: {2^{n} + 32} over {2^{m}}]

이 [eqn: 4]개의 값을 크기 순으로 [eqn: X_{1}], [eqn: X_{2}], [eqn: X_{3}], [eqn: X_{4}]라 하면

[eqn: X_{1} = {2^{n} - 32} over {2^{m}}], [eqn: X_{2} = {2^{n} - 16} over {2^{m}}], [eqn: X_{3} = {2^{n} + 16} over {2^{m}}], [eqn: X_{4} = {2^{n} + 32} over {2^{m}}]이다.

[eqn: 0 leq x leq 2 pi]에서 [eqn: cos x = X]의 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: X = 1]일 때 [eqn: 2]개 ([eqn: x = 0, 2 pi]),

[eqn: -1 < X < 1]일 때 [eqn: 2]개,

[eqn: X = -1]일 때 [eqn: 1]개 ([eqn: x = pi]),

[eqn: X > 1] 또는 [eqn: X < -1]일 때 [eqn: 0]개이다.

방정식의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 6]이 되려면 [eqn: 4]개의 [eqn: X] 값 중 [eqn: 3]개가 [eqn: (-1, 1]]에 속하고 [eqn: 1]개가 범위를 벗어나야 한다.

([eqn: X_{i} = -1]이면 실근의 개수가 홀수가 되므로 불가능하다.)

[eqn: X_{1} < X_{2} < X_{3} < X_{4}]이므로 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: -1 < X_{1}]이고 [eqn: X_{3} leq 1 < X_{4}]인 경우

[eqn: -1 < {2^{n} - 32} over {2^{m}}]에서 [eqn: 2^{m} + 2^{n} > 32]

[eqn: {2^{n} + 16} over {2^{m}} leq 1]에서 [eqn: 2^{n} leq 2^{m} - 16]

[eqn: {2^{n} + 32} over {2^{m}} > 1]에서 [eqn: 2^{n} > 2^{m} - 32]

즉, [eqn: 2^{m} - 32 < 2^{n} leq 2^{m} - 16]

[eqn: m], [eqn: n]은 [eqn: 7] 이하의 자연수이므로 이를 만족하는 [eqn: m]은 [eqn: 5]뿐이다.

[eqn: m = 5]일 때 [eqn: 0 < 2^{n} leq 16]이므로 [eqn: n = 1, 2, 3, 4]

이때 [eqn: 2^{m} + 2^{n} > 32]도 만족하므로 순서쌍 [eqn: (m, n)]은 [eqn: (5, 1)], [eqn: (5, 2)], [eqn: (5, 3)], [eqn: (5, 4)]의 [eqn: 4]개이다.

(ⅱ) [eqn: X_{1} < -1 < X_{2}]이고 [eqn: X_{4} leq 1]인 경우

[eqn: {2^{n} - 32} over {2^{m}} < -1]에서 [eqn: 2^{m} + 2^{n} < 32]

[eqn: {2^{n} + 32} over {2^{m}} leq 1]에서 [eqn: 2^{n} leq 2^{m} - 32] 즉, [eqn: 2^{m} - 2^{n} geq 32]

[eqn: 2^{m} + 2^{n} < 32]와 [eqn: 2^{m} - 2^{n} geq 32]를 동시에 만족하는 자연수 [eqn: m], [eqn: n]은 존재하지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족하는 순서쌍 [eqn: (m, n)]의 개수는 [eqn: 4]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: t > 4]인 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식
[eqn: LEFT | 2^{-x + 3} - 2 RIGHT | = -x^2 + t x - 4]
의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha , beta ( alpha < beta )]라 하자. 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT | 2 ^{-x+3} -2 RIGHT |&``` LEFT ( x<alpha``또는``x>beta RIGHT )#-x ^{2} +tx-4&``` LEFT ( alpha LEQ x LEQ beta RIGHT )}}]
에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f ( x ) = f LEFT ( {t} over {2} RIGHT )]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 [eqn: t]의 최솟값은?

[eqn: g(x) = -x^{2}+tx-4], [eqn: h(x) = left | 2^{-x+3}-2 right |]라 하면

[eqn: t>4]이므로 [eqn: g(2) = 2t-8 > 0]이고 [eqn: h(2) = 0]에서 [eqn: g(2) > h(2)]이므로 [eqn: alpha < 2 < beta]이다.

[eqn: x > 2]에서 [eqn: h(x) = 2 - 2^{-x+3} < 2]이다.

[eqn: g(x) = - left ( x - {t} over {2} right )^{2} + {t^{2}} over {4} - 4]이므로 [eqn: x = {t} over {2}]에서 최댓값 [eqn: {t^{2}} over {4} - 4]를 가진다.

만약 [eqn: g left ( {t} over {2} right ) geq 2]라면 [eqn: h left ( {t} over {2} right ) < 2 leq g left ( {t} over {2} right )]이므로 [eqn: x = {t} over {2}]는 [eqn: alpha]와 [eqn: beta] 사이에 있다.

따라서 [eqn: f left ( {t} over {2} right ) = {t^{2}} over {4} - 4]이다.

방정식 [eqn: f(x) = f left ( {t} over {2} right )]의 실근은 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=f left ( {t} over {2} right )]의 교점의 [eqn: x]좌표이다.

[eqn: x = {t} over {2}]에서 교점 [eqn: 1]개가 존재한다.

[eqn: x < alpha]에서 [eqn: f(x) = 2^{-x+3}-2]는 치역이 [eqn: LEFT { y``|``y>f( alpha ) RIGHT }]이므로 교점 [eqn: 1]개가 존재한다.

[eqn: x > beta]에서 [eqn: f(x) = 2 - 2^{-x+3}]은 치역이 [eqn: LEFT { y``|``f( beta )<y<2 RIGHT }]이다.

방정식의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되려면 [eqn: x > beta]에서 교점이 존재하지 않아야 하므로

[eqn: f left ( {t} over {2} right ) geq 2]이어야 한다.

[eqn: {t^{2}} over {4} - 4 geq 2]에서 [eqn: t^{2} geq 24]

[eqn: t > 4]이므로 [eqn: t geq 2sqrt{6}]

따라서 [eqn: t]의 최솟값은 [eqn: 2sqrt{6}]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 2 sqrt {6}]	② [eqn: sqrt {26}]	③ [eqn: 2 sqrt {7}]

④ [eqn: sqrt {30}]	⑤ [eqn: 4 sqrt {2}]

그림과 같이 길이가 [eqn: 6]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB]위에 점 [eqn: rmC]를 [eqn: rmcos ( angle CAB ) = {1} over {3}]이 되도록 잡고, 선분 [eqn: rmAB]위에 점 [eqn: rmD]를 [eqn: rmoverline {AC} = overline {DB}]가 되도록 잡는다. 점 [eqn: rmB]를 지나고 선분 [eqn: rmCD]와 평행한 직선이 호 [eqn: rmAB]와 만나는 점 중 [eqn: rmB]가 아닌 점을 [eqn: rmE]라 할 때, 선분 [eqn: rmCE]의 길이는?

⑤

선분 [eqn: rmAB]가 지름이므로 삼각형 [eqn: rmABC]는 직각삼각형이다.

[eqn: rmoverline{AC} = overline{AB} cos( angle CAB) = 6 times {1} over {3} = 2]

[eqn: rmoverline{BC} = overline{AB} sin( angle CAB) = 6 times sqrt{1 - left ( {1} over {3} right )^{2}} = 4 sqrt{2}]

[eqn: rmoverline{DB} = overline{AC} = 2]이므로 [eqn: rmoverline{AD} = overline{AB} - overline{DB} = 4]

삼각형 [eqn: rmADC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{CD}^{2} = overline{AC}^{2} + overline{AD}^{2} - 2 times overline{AC} times overline{AD} times cos( angle CAB)]

[eqn: = 2^{2} + 4^{2} - 2 times 2 times 4 times {1} over {3} = 20 - {16} over {3} = {44} over {3}]

[eqn: rmoverline{CD} = {2 sqrt{33}} over {3}]

삼각형 [eqn: rmADC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm cos( ANGLE ADC)= {{bar{AD}} ^{2} + {bar{CD}} ^{2} - {bar{AC}} ^{2}} over {2 TIMES {bar{AD}} TIMES {bar{CD}}}]

[eqn: = {16 + {44} over {3} - 4} over {2 times 4 times {2 sqrt{33}} over {3}} = {{80} over {3}} over {{16 sqrt{33}} over {3}} = {5} over {sqrt{33}}]

선분 [eqn: rmCD]와 직선 [eqn: rmBE]가 평행하고 직선 [eqn: rmAB]가 두 직선과 만나므로 동위각의 크기가 같아 [eqn: rmangle ABE = angle ADC]이다.

[eqn: rmcos( angle ABE) = {5} over {sqrt{33}}]

선분 [eqn: rmAB]가 지름이므로 삼각형 [eqn: rmABE]는 직각삼각형이다.

[eqn: rmoverline{BE} = overline{AB} cos( angle ABE) = 6 times {5} over {sqrt{33}} = {30} over {sqrt{33}}]

[eqn: rm {bar{AE}} = {bar{AB}} sin( ANGLE ABE)=6 TIMES sqrt {1- LEFT ( {5} over {sqrt {33}} RIGHT ) ^{2}} = {12 sqrt {2}} over {sqrt {33}}]

호 [eqn: rmCE]에 대한 원주각의 크기는 같으므로 [eqn: rmangle CAE = angle CBE]이다.

삼각형 [eqn: rmACE]와 삼각형 [eqn: rmBCE]에서 각각 코사인법칙을 적용하면

[eqn: rm {bar{CE}} ^{2} = {bar{AC}} ^{2} + {bar{AE}} ^{2} -2 TIMES {bar{AC}} TIMES {bar{AE}} TIMES cos( ANGLE rmCAE)]

[eqn: rm= 4 + {288} over {33} - {48 sqrt{2}} over {sqrt{33}} cos( angle CAE) = {140} over {11} - {48 sqrt{2}} over {sqrt{33}} cos( angle CAE)] ……①

[eqn: rm {bar{CE}} ^{2} = {bar{BC}} ^{2} + {bar{BE}} ^{2} -2 TIMES {bar{BC}} TIMES {bar{BE}} TIMES cos( ANGLE rmCBE)]

[eqn: rm =32+ {900} over {33} - {240 sqrt {2}} over {sqrt {33}} cos( ANGLE CBE)][eqn: = {652} over {11} - {240 sqrt {2}} over {sqrt {33}} `cos( ANGLE rmCBE)] ……②

[eqn: rmangle CAE = angle CBE]이므로 ①의 양변에 [eqn: 5]를 곱하면

[eqn: rm 5 {bar{CE}} ^{2} = {700} over {11} - {240 sqrt {2}} over {sqrt {33}} cos( ANGLE CAE)] ……③

③에서 ②를 빼면

[eqn: rm 4 {bar{CE}} ^{2} = {700} over {11} - {652} over {11} = {48} over {11}], [eqn: rm {bar{CE}} ^{2} = {12} over {11}], [eqn: rmoverline{CE} = sqrt{{12} over {11}} = {2 sqrt{33}} over {11}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {sqrt {33}} over {11}]	② [eqn: {5} over {44} sqrt {33}]	③ [eqn: {3} over {22} sqrt {33}]

④ [eqn: {7} over {44} sqrt {33}]	⑤ [eqn: {2} over {11} sqrt {33}]

[eqn: root {6} of {25 ^{2}} TIMES root {3} of {5 ^{4}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 25]

[eqn: 25 = 5^{2}]이므로 [eqn: 25^{2} = (5^{2})^{2} = 5^{4}]이다.

주어진 식을 지수 형태로 변환하면

[eqn: root {6} of {25^{2}} = root {6} of {5^{4}} = 5^{{4} over {6}} = 5^{{2} over {3}}]

[eqn: root {3} of {5^{4}} = 5^{{4} over {3}}]

따라서

[eqn: root {6} of {25^{2}} times root {3} of {5^{4}} = 5^{{2} over {3}} times 5^{{4} over {3}}][eqn: = 5^{{2} over {3} + {4} over {3}}][eqn: = 5^{{6} over {3}}][eqn: = 5^{2} = 25]

따라서 정답은 [eqn: 25]이다.

방정식 [eqn: 3^{4 - x} = 9^{x - 7}]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 6]

방정식의 밑을 [eqn: 3]으로 통일하면

[eqn: 3^{4 - x} = (3^{2})^{x - 7}], [eqn: 3^{4 - x} = 3^{2x - 14}]

밑이 같으므로 지수가 같아야 한다.

[eqn: 4 - x = 2x - 14], [eqn: 3x = 18], [eqn: x = 6]

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

부등식 [eqn: log_{2} (x - 1) < 5]를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 개수를 구하시오.

[eqn: 31]

진수의 조건에 의하여 [eqn: x - 1 > 0], [eqn: x > 1]

주어진 부등식에서

[eqn: log_{2} (x - 1) < 5], [eqn: log_{2} (x - 1) < log_{2} 2^{5}], [eqn: log_{2} (x - 1) < log_{2} 32]

밑이 [eqn: 1]보다 크므로 [eqn: x - 1 < 32], [eqn: x < 33]

따라서 [eqn: x]의 범위는 [eqn: 1 < x < 33]

이를 만족시키는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 2, 3, 4, cdots, 32]이다.

따라서 자연수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 31]이다.

따라서 정답은 [eqn: 31]이다.

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = 6 cos a x + 10]의 주기가 [eqn: 4 pi]일 때, [eqn: f LEFT ( {4} over {3} pi RIGHT )]의 값을 구하시오.

[eqn: 7]

함수 [eqn: f(x) = 6 cos ax + 10]의 주기는 [eqn: {2 pi } over {|a|}]이다.

[eqn: a > 0]이므로 주기는 [eqn: {2 pi } over {a}]이다.

주기가 [eqn: 4 pi]이므로 [eqn: {2 pi } over {a} = 4 pi]에서 [eqn: a = {1} over {2}]이다.

따라서 [eqn: f(x) = 6 cos LEFT ( {1} over {2} x RIGHT ) + 10]이다.

[eqn: x = {4} over {3} pi]를 대입하면 다음과 같다.

[eqn: f LEFT ( {4} over {3} pi RIGHT ) = 6 cos LEFT ( {1} over {2} TIMES {4} over {3} pi RIGHT ) + 10][eqn: = 6 cos LEFT ( {2} over {3} pi RIGHT ) + 10]

[eqn: = 6 TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) + 10][eqn: = -3 + 10 = 7]

따라서 정답은 [eqn: 7]이다.

양수 [eqn: k]에 대하여 좌표평면에서 점 [eqn: rm A`it LEFT ( - {1} over {sqrt {k ^{2} +1}} , {k} over {sqrt {k ^{2} +1}} RIGHT )]를 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmB]라 하고, 두 동경 [eqn: rmOA], [eqn: rmOB]가 나타내는 각의 크기를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. [eqn: cos alpha sin beta = {1} over {3}]일 때, [eqn: k^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: x]축의 양의 방향을 시초선으로 한다.)

[eqn: 2]

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (x_1, y_1)]이라 하면,

[eqn: x_1 = - {1} over {sqrt {k^2 + 1}}], [eqn: y_1 = {k} over {sqrt {k^2 + 1}}]

원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rmA]사이의 거리는 [eqn: sqrt {x_1^2 + y_1^2} = 1]이므로 점 [eqn: rmA]는 단위원 위의 점이다.

동경 [eqn: rmOA]가 나타내는 각이 [eqn: alpha]이므로 [eqn: cos alpha = - {1} over {sqrt {k^2 + 1}}]

점 [eqn: rmA]를 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmB]의 좌표를 [eqn: (x_2, y_2)]라 하면,

[eqn: x_2 = {k} over {sqrt {k^2 + 1}}], [eqn: y_2 = - {1} over {sqrt {k^2 + 1}}]

동경 [eqn: rmOB]가 나타내는 각이 [eqn: beta]이므로 [eqn: sin beta = - {1} over {sqrt {k^2 + 1}}]

주어진 조건 [eqn: cos alpha sin beta = {1} over {3}]에 대입하면

[eqn: LEFT ( - {1} over {sqrt {k^2 + 1}} RIGHT ) TIMES LEFT ( - {1} over {sqrt {k^2 + 1}} RIGHT ) = {1} over {3}]

[eqn: {1} over {k^2 + 1} = {1} over {3}], [eqn: k^2 + 1 = 3], [eqn: k^2 = 2]

따라서 정답은 [eqn: 2]이다.

다음 조건을 만족시키는 두 자연수 [eqn: m, n]에 대하여 모든 [eqn: m]의 값의 합을 구하시오.

(가) [eqn: m]의 양의 제곱근은 [eqn: n]의 양의 네제곱근의 [eqn: 2]배이다.

(나) [eqn: {3 m} over {n}]은 자연수이다.

[eqn: 112]

조건 (가)에서 [eqn: sqrt{m} = 2 root {4} of {n}]

양변을 제곱하면 [eqn: m = 4 sqrt{n}]

양변을 다시 제곱하면 [eqn: m^{2} = 16n], [eqn: n = {m^{2}} over {16}]

조건 (나)에서 [eqn: {3m} over {n} = {3m} over {{m^{2}} over {16}} = {48} over {m}]

이 값이 자연수이므로 [eqn: m]은 [eqn: 48]의 양의 약수이다.

또한 [eqn: n]이 자연수이므로 [eqn: n = {m^{2}} over {16}]에서 [eqn: m]은 [eqn: 4]의 배수이어야 한다.

따라서 조건을 만족하는 [eqn: m]은 [eqn: 48]의 약수 중 [eqn: 4]의 배수이다.

[eqn: m = 4, 8, 12, 16, 24, 48]

모든 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: 4 + 8 + 12 + 16 + 24 + 48 = 112]

따라서 정답은 [eqn: 112]이다.

자연수 [eqn: k]에 대하여 두 곡선 [eqn: y = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x - k - 2}], [eqn: y = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x - k} - 2]와 직선 [eqn: y = k]가 있다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: x = n]이 두 곡선 [eqn: y = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x - k - 2}], [eqn: y = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x - k} - 2]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때 선분 [eqn: rmAB]가 직선 [eqn: y = k]와 만나도록 하는 [eqn: n]의 최댓값과 최솟값의 합을 [eqn: f(k)]라 하자. [eqn: f(k) = 15]를 만족시키는 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

직선 [eqn: x = n]이 두 곡선과 만나는 점의 [eqn: y]좌표를 각각 [eqn: y_1, y_2]라 하면

[eqn: y_1 = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n - k - 2} = 4 TIMES 2^{k - n}]

[eqn: y_2 = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n - k} - 2 = 2^{k - n} - 2]

[eqn: y_1 - y_2 = 3 TIMES 2^{k - n} + 2 > 0]이므로 항상 [eqn: y_1 > y_2]이다.

선분 [eqn: rmAB]가 직선 [eqn: y = k]와 만나기 위한 조건은 [eqn: y_2 le k le y_1]

[eqn: 2^{k - n} - 2 le k le 4 TIMES 2^{k - n}]

이를 [eqn: 2^{k - n}]에 대하여 정리하면

[eqn: {k} over {4} le 2^{k - n} le k + 2]

[eqn: f(k) = 15]이므로 조건을 만족하는 [eqn: n]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하면 [eqn: M + m = 15]이다.

[eqn: n]은 연속된 정수 값을 가지므로 [eqn: m = 7, M = 8]

[eqn: n = 8]일 때 부등식을 만족해야 하므로 [eqn: {k} over {4} le 2^{k - 8}]에서 [eqn: k le 2^{k - 6}]

[eqn: n = 7]일 때 부등식을 만족해야 하므로 [eqn: 2^{k - 7} le k + 2]

두 조건을 동시에 만족하는 자연수 [eqn: k]를 찾으면 [eqn: k = 10]이다.

[eqn: k = 10]을 대입하면 [eqn: {10} over {4} le 2^{10 - n} le 12]에서 [eqn: 2.5 le 2^{10 - n} le 12]이다.

이를 만족하는 정수 [eqn: 10 - n]은 [eqn: 2, 3]이므로 [eqn: n = 7, 8]이 되어 [eqn: f(10) = 7 + 8 = 15]를 만족한다.

따라서 정답은 [eqn: 10]이다.

그림과 같이 [eqn: rmoverline {AB} = 4], [eqn: rmoverline {AC} = 5], [eqn: rmcos ( angle BAC ) = {1} over {8}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 1 : 2]로 내분하는 점을 [eqn: rmD], 직선 [eqn: rmAD]가 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원과 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmE]라 하자. 점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rmCE]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmF]라 할 때, 선분 [eqn: rmFC]의 길이는 [eqn: {q} over {p} sqrt {11}]이다. [eqn: p + q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 45]

[eqn: rmtriangle ABC]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: {bar{rmBC}} ^{2} =4 ^{2} +5 ^{2} -2 TIMES 4 TIMES 5 TIMES {1} over {8} =36], [eqn: rmoverline {BC} = 6]

점 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 1 : 2]로 내분하므로

[eqn: rmoverline {BD} = 2], [eqn: rmoverline {CD} = 4]

[eqn: rmtriangle ABC]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: cos B = {4^2 + 6^2 - 5^2} over {2 TIMES 4 TIMES 6} = {9} over {16}]

[eqn: rmtriangle ABD]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: {bar{rmAD}} ^{2} =4 ^{2} +2 ^{2} -2 TIMES 4 TIMES 2 TIMES {9} over {16} =11], [eqn: rmoverline {AD} = sqrt {11}]

[eqn: rmtriangle ABD]와 [eqn: rmtriangle CED]에서

[eqn: rmangle ABD = angle CED] (호 [eqn: rmAC]에 대한 원주각)

[eqn: rmangle ADB = angle CDE] (맞꼭지각)

이므로 [eqn: rmtriangle ABD sim triangle CED] (AA 닮음)이다.

닮음비에 의해 [eqn: rmoverline {AD} : overline {CD} = overline {BD} : overline {ED} = overline {AB} : overline {CE}]이므로

[eqn: rmsqrt {11} : 4 = 2 : overline {ED} = 4 : overline {CE}]

[eqn: rmoverline {ED} = {8} over {sqrt {11}}], [eqn: rmoverline {CE} = {16} over {sqrt {11}}]

직각삼각형 [eqn: rmDEF]에서 [eqn: rmangle CED = angle B]이므로

[eqn: rm {bar{EF}} = {bar{ED}} TIMES cos( ANGLE rmCED)= {8} over {sqrt {11}} TIMES {9} over {16} = {9} over {2 sqrt {11}}]

따라서 선분 [eqn: rmFC]의 길이는

[eqn: rmoverline {FC} = overline {CE} - overline {EF} = {16} over {sqrt {11}} - {9} over {2 sqrt {11}} = {23} over {2 sqrt {11}} = {23} over {22} sqrt {11}]

[eqn: p = 22], [eqn: q = 23]이므로

따라서 정답은 [eqn: 45]이다.

함수 [eqn: f(x) = - x^2 + 2 x - 1]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: 0]이 아닌 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합을 구하시오.

(가) [eqn: log_{2^k} LEFT { f(2) + |k| RIGHT } le log_{2^k} 8]

(나) 부등식 [eqn: log_{2^k} LEFT { f(x) + |k|(x - 1) RIGHT } le log_{2^k} 4 x]를 만족시키는 자연수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 6]이다.

[eqn: 5]

[eqn: f(x) = - x^2 + 2 x - 1 = - (x - 1)^2], [eqn: f(2) = - 1]

조건 (가)의 진수 조건에 의해 [eqn: f(2) + |k| > 0]이므로 [eqn: |k| > 1]

[eqn: k]는 [eqn: 0]이 아닌 정수이므로 [eqn: k ge 2]또는 [eqn: k le - 2]

[1] [eqn: k ge 2]인 경우

밑이 [eqn: 1]보다 크므로 부등호 방향이 유지된다.

조건 (가)에서 [eqn: - 1 + k le 8]이므로 [eqn: k le 9]

조건 (나)의 진수 조건에서 [eqn: f(x) + k (x - 1) > 0]

[eqn: - (x - 1)^2 + k (x - 1) > 0], [eqn: (x - 1) (k - x + 1) > 0]

[eqn: x]는 자연수이므로 [eqn: x ge 2]이고, [eqn: x < k + 1]이므로 [eqn: 2 le x le k]

조건 (나)의 부등식을 풀면 [eqn: f(x) + k (x - 1) le 4 x]

[eqn: - x^2 + 2 x - 1 + k x - k le 4 x], [eqn: x^2 + (2 - k) x + k + 1 ge 0]

이 부등식을 만족하는 [eqn: x in LEFT { 2 , 3 , cdots , k RIGHT }]의 개수가 [eqn: 6]이어야 한다.

[eqn: k = 7]일 때, [eqn: x^2 - 5 x + 8 ge 0]은 항상 성립하므로 [eqn: x in LEFT { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 RIGHT }] ([eqn: 6]개 성립)

[eqn: k = 8]일 때, [eqn: x^2 - 6 x + 9 ge 0]은 항상 성립하므로 [eqn: x in LEFT { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 RIGHT }] ([eqn: 7]개 모순)

[eqn: k = 9]일 때, [eqn: x^2 - 7 x + 10 ge 0]에서 [eqn: (x - 2) (x - 5) ge 0]이므로 [eqn: x le 2]또는 [eqn: x ge 5]

[eqn: x in LEFT { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 RIGHT }]중 [eqn: x = 2 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9] ([eqn: 6]개 성립)

따라서 [eqn: k = 7 , 9]

[2] [eqn: k le - 2]인 경우

밑이 [eqn: 1]보다 작으므로 부등호 방향이 반대가 된다.

조건 (가)에서 [eqn: - 1 - k ge 8]이므로 [eqn: k le - 9]

조건 (나)의 진수 조건에서 [eqn: f(x) - k (x - 1) > 0]

[eqn: - (x - 1)^2 - k (x - 1) > 0], [eqn: (x - 1) (- k - x + 1) > 0]

[eqn: x]는 자연수이므로 [eqn: x ge 2]이고, [eqn: x < - k + 1]이므로 [eqn: 2 le x le - k]

조건 (나)의 부등식을 풀면 [eqn: f(x) - k (x - 1) ge 4 x]

[eqn: - x^2 + 2 x - 1 - k x + k ge 4 x], [eqn: x^2 + (2 + k) x - k + 1 le 0]

이 부등식을 만족하는 [eqn: x in LEFT { 2 , 3 , cdots , - k RIGHT }]의 개수가 [eqn: 6]이어야 한다.

[eqn: k = - 9]일 때, [eqn: x^2 - 7 x + 10 le 0]에서 [eqn: 2 le x le 5]이므로 [eqn: x in LEFT { 2 , 3 , 4 , 5 RIGHT }] ([eqn: 4]개 모순)

[eqn: k = - 10]일 때, [eqn: x^2 - 8 x + 11 le 0]에서 [eqn: 4 - sqrt {5} le x le 4 + sqrt {5}]이므로 [eqn: x in LEFT { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 RIGHT }] ([eqn: 5]개 모순)

[eqn: k = - 11]일 때, [eqn: x^2 - 9 x + 12 le 0]에서 [eqn: {9 - sqrt {33}} over {2} le x le {9 + sqrt {33}} over {2}]이므로 [eqn: x in LEFT { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 RIGHT }] ([eqn: 6]개 성립)

[eqn: k = - 12]일 때, [eqn: x^2 - 10 x + 13 le 0]에서 [eqn: 5 - sqrt {12} le x le 5 + sqrt {12}]이므로 [eqn: x in LEFT { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 RIGHT }] ([eqn: 7]개 모순)

따라서 [eqn: k = - 11]

모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 7 + 9 + (- 11) = 5]

따라서 정답은 [eqn: 5]이다.