수학ETF	2025_고2_3월	기출문제
	1~30

두 다항식
[eqn: A = x^{2} + 2 x y - 2 y^{2} , B = x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}]
에 대하여 [eqn: A + B]를 간단히 하면?

④

[eqn: A = x^{2} + 2 x y - 2 y^{2}], [eqn: B = x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}]

[eqn: A + B = ( x^{2} + 2 x y - 2 y^{2} ) + ( x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} )]

[eqn: = ( 1 + 1 ) x^{2} + ( 2 + 3 ) x y + ( - 2 + 2 ) y^{2}][eqn: = 2 x^{2} + 5 x y]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: x^{2} + 4 x y + y^{2}]	② [eqn: x^{2} + 5 x y]	③ [eqn: 2 x^{2} + 5 x y - y^{2}]

④ [eqn: 2 x^{2} + 5 x y]	⑤ [eqn: 2 x^{2} + 6 x y]

[eqn: LEFT ( 1 + i RIGHT ) + LEFT ( 3 - 4 i RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: i = sqrt { - 1 }])

③

[eqn: LEFT ( 1 + i RIGHT ) + LEFT ( 3 - 4 i RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1 + 3 RIGHT ) + LEFT ( 1 - 4 RIGHT ) i][eqn: = 4 - 3 i]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 3 - 3 i]	② [eqn: 3 + 3 i]	③ [eqn: 4 - 3 i]

④ [eqn: 4 + 3 i]	⑤ [eqn: 4 - 4 i]

[eqn: rm{}_{5} C_{2}]의 값은?

⑤

[eqn: rm{}_{5} C_{2} = {5 TIMES 4} over {2 TIMES 1}][eqn: = 10]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

수직선 위의 두 점 [eqn: rmA LEFT ( - 3 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 5 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1 : 3]으로 내분하는 점의 좌표는?

①

수직선 위의 두 점 [eqn: rmA LEFT ( - 3 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 5 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1 : 3]으로 내분하는 점의 좌표는 다음과 같다.

[eqn: {1 TIMES 5 + 3 TIMES LEFT ( - 3 RIGHT )} over {1 + 3}][eqn: = {5 - 9} over {4}][eqn: = - 1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: - 1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

일차함수 [eqn: f (x) = 2 x + k]의 역함수 [eqn: f^{ - 1} (x)]에 대하여 [eqn: f^{ - 1} (7) = 2]일 때, [eqn: f (k)]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.)

②

[eqn: f^{ - 1} (7) = 2]이므로 역함수의 성질에 의해 [eqn: f (2) = 7]

[eqn: f (x) = 2 x + k]에 [eqn: x = 2]를 대입하면

[eqn: f (2) = 4 + k = 7], [eqn: k = 3]

따라서 [eqn: f (x) = 2 x + 3]이므로

[eqn: f (k) = f (3) = 2 TIMES 3 + 3 = 9]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

이차함수 [eqn: y = x^{2} - 2 a x + a + 1]의 그래프가 직선 [eqn: y = - 2 x]에 접할 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

③

이차함수 [eqn: y = x^{2} - 2 a x + a + 1]의 그래프와 직선 [eqn: y = - 2 x]가 접하므로, 두 식을 연립한 이차방정식은 중근을 가져야 한다.

[eqn: x^{2} - 2 a x + a + 1 = - 2 x], [eqn: x^{2} - 2 ( a - 1 ) x + a + 1 = 0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D = 0]이어야 하므로

[eqn: {D} over {4} = ( a - 1 )^{2} - ( a + 1 ) = 0]

[eqn: a^{2} - 2 a + 1 - a - 1 = 0], [eqn: a^{2} - 3 a = 0], [eqn: a ( a - 3 ) = 0]

[eqn: a = 0]또는 [eqn: a = 3]

이때 [eqn: a]는 양수이므로 [eqn: a = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: a - b = 2 , a^3 - b^3 = 32]일 때, [eqn: a b]의 값은?

④

곱셈공식의 변형에 의하여

[eqn: a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)]

주어진 식에 [eqn: a - b = 2], [eqn: a^3 - b^3 = 32]를 대입하면

[eqn: 32 = 2^3 + 3ab(2)], [eqn: 32 = 8 + 6ab], [eqn: 6ab = 24], [eqn: ab = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: -5]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 7]

연립부등식
[eqn: {cases{x ^{2} -x-6 GEQ 0&#x ^{2} -25<0&}}]
을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은?

①

첫 번째 부등식 [eqn: x^2 - x - 6 ge 0]에서

[eqn: (x - 3)(x + 2) ge 0], [eqn: x le -2]또는 [eqn: x ge 3]

두 번째 부등식 [eqn: x^2 - 25 < 0]에서

[eqn: (x - 5)(x + 5) < 0], [eqn: -5 < x < 5]

두 부등식의 공통 범위는

[eqn: -5 < x le -2]또는 [eqn: 3 le x < 5]

이를 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -4], [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: 3], [eqn: 4]이다.

따라서 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: -4 + (-3) + (-2) + 3 + 4 = -2]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

직선 [eqn: y = a x + 4]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼 평행이동한 후, [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 직선이 원 [eqn: LEFT ( x + 3 RIGHT )^{2} + LEFT ( y + 5 RIGHT )^{2} = 1]의 넓이를 이등분할 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

⑤

직선 [eqn: y = a x + 4]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼 평행이동한 직선의 방정식은 [eqn: y = a LEFT ( x - 4 RIGHT ) + 4]

이 직선을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식은

[eqn: y = a LEFT ( - x - 4 RIGHT ) + 4 = - a x - 4 a + 4]

직선이 원 [eqn: LEFT ( x + 3 RIGHT )^{2} + LEFT ( y + 5 RIGHT )^{2} = 1]의 넓이를 이등분하려면 원의 중심 [eqn: LEFT ( - 3 , - 5 RIGHT )]를 지나야 한다.

[eqn: - 5 = - a TIMES LEFT ( - 3 RIGHT ) - 4 a + 4], [eqn: a = 9]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

그림과 같이 양수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = sqrt{2 x}]의 그래프 위의 두 점 [eqn: rmA LEFT ( itk,`f LEFT ( k RIGHT ) RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( it4k,`f LEFT ( 4k RIGHT ) RIGHT )]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. 사각형 [eqn: rmACDB]의 넓이가 [eqn: 18]일 때, [eqn: rmoverline {AB}]의 값은?

②

점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표는 각각 [eqn: rmA LEFT ( itk,` sqrt {2k} RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( it4k,`2 sqrt {2k} RIGHT )]

점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]의 좌표는 각각 [eqn: rmC LEFT ( itk,`0 RIGHT )], [eqn: rmD LEFT ( it4k,`0 RIGHT )]

사각형 [eqn: rmACDB]는 사다리꼴이므로 넓이는 다음과 같다.

[eqn: {1} over {2} TIMES ( sqrt{2k} + 2 sqrt{2k} ) TIMES ( 4k - k ) = {9} over {2} k sqrt{2k}]

사각형 [eqn: rmACDB]의 넓이가 [eqn: 18]이므로

[eqn: {9} over {2} k sqrt{2k} = 18], [eqn: k sqrt{2k} = 4]

양변을 제곱하면 [eqn: 2k^3 = 16], [eqn: k^3 = 8], [eqn: k > 0]이므로 [eqn: k = 2]

따라서 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표는 각각 [eqn: rmA(2, 2)], [eqn: rmB(8, 4)]이다.

[eqn: rmoverline {AB} = sqrt{(8 - 2)^2 + (4 - 2)^2} = sqrt{36 + 4} = sqrt{40} = 2 sqrt{10}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: sqrt{35}]	② [eqn: 2 sqrt{10}]	③ [eqn: 3 sqrt{5}]

④ [eqn: 5 sqrt{2}]	⑤ [eqn: sqrt{55}]

실수가 아닌 복소수 [eqn: z]에 대하여 [eqn: z^2 + 4 bar z = 0]일 때, [eqn: z bar z]의 값은? (단, [eqn: bar z]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

④

복소수 [eqn: z = a + bi]([eqn: a, b]는 실수, [eqn: b != 0])라 하자.

주어진 식에 대입하여 정리하면

[eqn: (a + bi)^2 + 4(a - bi) = 0], [eqn: (a^2 - b^2 + 4a) + 2b(a - 2)i = 0]

복소수가 서로 같을 조건에 의해

[eqn: a^2 - b^2 + 4a = 0], [eqn: 2b(a - 2) = 0]

[eqn: z]가 실수가 아니므로 [eqn: b != 0]이다. 따라서 [eqn: a = 2]

이를 첫 번째 식에 대입하면 [eqn: 2^2 - b^2 + 4 TIMES 2 = 0], [eqn: b^2 = 12]

따라서 구하는 값은 [eqn: z bar z = a^2 + b^2 = 2^2 + 12 = 16]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

좌표평면 위에 원 [eqn: C : x^2 + y^2 - 4 y = 0]이 있다. 두 점 [eqn: rmA(2, - 2)], [eqn: rmB(5, 1)]과 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는?

②

원 [eqn: C] 의 방정식을 표준형으로 변형하면 [eqn: x^2 + (y - 2)^2 = 4]이다.

원의 중심을 [eqn: rmO(0, 2)], 반지름의 길이를 [eqn: r = 2]라 하자.

두 점 [eqn: rmA(2, - 2)], [eqn: rmB(5, 1)]을 지나는 직선 [eqn: rmAB]의 방정식은

[eqn: x - y - 4 = 0]

삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이가 최대가 되려면 선분 [eqn: rmAB]를 밑변으로 할 때 높이가 최대가 되어야 한다.

높이가 최대가 되는 점 [eqn: rmP]는 원의 중심 [eqn: rmO]를 지나고 직선 [eqn: rmAB]에 수직인 직선이 원과 만나는 두 점 중 직선 [eqn: rmAB]와 더 멀리 떨어진 점이다.

직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: 1]이므로, 이에 수직인 직선의 기울기는 [eqn: - 1]이다.

중심 [eqn: rmO(0, 2)]를 지나고 기울기가 [eqn: - 1]인 직선의 방정식은

[eqn: y = - x + 2]

이 직선과 원 [eqn: C] 의 교점을 구하기 위해 원의 방정식에 대입하면

[eqn: x^2 + (- x + 2 - 2)^2 = 4], [eqn: 2x^2 = 4], [eqn: x^2 = 2]

[eqn: x = - sqrt 2]또는 [eqn: x = sqrt 2]

[eqn: x = sqrt 2]일 때 [eqn: y = 2 - sqrt 2]이므로 점의 좌표는 [eqn: (sqrt 2, 2 - sqrt 2)]이다.

[eqn: x = - sqrt 2]일 때 [eqn: y = 2 + sqrt 2]이므로 점의 좌표는 [eqn: (- sqrt 2, 2 + sqrt 2)]이다.

중심 [eqn: rmO(0, 2)]에서 직선 [eqn: x - y - 4 = 0]까지의 거리는 [eqn: {|0 - 2 - 4|} over {sqrt {1^2 + (- 1)^2}} = 3 sqrt 2]이다.

점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: rmAB]사이의 최대 거리는 중심에서 직선까지의 거리에 반지름을 더한 [eqn: 3 sqrt 2 + 2]가 되어야 한다.

점 [eqn: (- sqrt 2, 2 + sqrt 2)]와 직선 [eqn: x - y - 4 = 0]사이의 거리는

[eqn: {|- sqrt 2 - (2 + sqrt 2) - 4|} over {sqrt {1^2 + (- 1)^2}} = {|- 2 sqrt 2 - 6|} over {sqrt 2} = 3 sqrt 2 + 2]이므로 최대가 된다.

반면 점 [eqn: (sqrt 2, 2 - sqrt 2)]일 때의 거리는 [eqn: 3 sqrt 2 - 2]로 최소가 된다.

따라서 삼각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: - sqrt 2]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: - sqrt 3]	② [eqn: - sqrt 2]	③ [eqn: - 1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

연립방정식
[eqn: {cases{2x ^{2} -5xy+2y ^{2} =0&#4x ^{2} -y ^{2} =45&}}]
의 해를 [eqn: x = alpha], [eqn: y = beta]라 할 때, [eqn: alpha + beta]의 값은? (단, [eqn: alpha > 0], [eqn: beta > 0])

⑤

첫 번째 식을 인수분해하면

[eqn: 2 x^2 - 5 x y + 2 y^2 = 0][eqn: (2 x - y)(x - 2 y) = 0], [eqn: y = 2 x]또는 [eqn: x = 2 y]

[eqn: y = 2 x]인 경우

두 번째 식에 대입하면

[eqn: 4 x^2 - (2 x)^2 = 45], [eqn: 0 = 45]가 되어 모순이므로 해가 존재하지 않는다.

[eqn: x = 2 y]인 경우

두 번째 식에 대입하면

[eqn: 4 (2 y)^2 - y^2 = 45], [eqn: 16 y^2 - y^2 = 45], [eqn: 15 y^2 = 45], [eqn: y^2 = 3]

[eqn: y = beta > 0]이므로 [eqn: y = sqrt{3}]

[eqn: x = 2 y]이므로 [eqn: x = 2 sqrt{3}]

[eqn: alpha = 2 sqrt{3}], [eqn: beta = sqrt{3}]이므로

[eqn: alpha + beta = 2 sqrt{3} + sqrt{3} = 3 sqrt{3}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: sqrt{3}]	② [eqn: {3 sqrt{3}} over {2}]	③ [eqn: 2 sqrt{3}]

④ [eqn: {5 sqrt{3}} over {2}]	⑤ [eqn: 3 sqrt{3}]

[eqn: 1 le x le 3]에서 함수 [eqn: f ( x ) = {4 x - k} over {x - 4}]의 최댓값이 [eqn: 2]가 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은?

①

[eqn: f ( x ) = {4 x - k} over {x - 4} = {4 ( x - 4 ) + 16 - k} over {x - 4} = {16 - k} over {x - 4} + 4]

[eqn: 1 le x le 3]에서 [eqn: x - 4 < 0]이고, [eqn: x]의 값이 증가할 때 [eqn: {1} over {x - 4}]의 값은 감소한다.

(i) [eqn: 16 - k > 0]인 경우

함수 [eqn: f ( x )]는 감소함수이므로 [eqn: x = 1]에서 최댓값을 갖는다.

[eqn: f ( 1 ) = {4 - k} over {1 - 4} = {4 - k} over {- 3} = 2], [eqn: k = 10]

이는 [eqn: 16 - k > 0]을 만족한다.

(ii) [eqn: 16 - k < 0]인 경우

함수 [eqn: f ( x )]는 증가함수이므로 [eqn: x = 3]에서 최댓값을 갖는다.

[eqn: f ( 3 ) = {12 - k} over {3 - 4} = {12 - k} over {- 1} = 2], [eqn: k = 14]

이때 [eqn: 16 - k = 2 > 0]이 되어 [eqn: 16 - k < 0]이라는 가정에 모순이다.

(iii) [eqn: 16 - k = 0]인 경우

[eqn: f ( x ) = 4]이므로 최댓값이 [eqn: 2]가 될 수 없다.

따라서 [eqn: k = 10]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 26]

실수 [eqn: x]에 대한 두 조건
[eqn: p : ( x - a ) ( x + 2 a ) > 0],
[eqn: q : | x - 1 | le 5]
가 있다. [eqn: q]가 [eqn: sim p]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M + m]의 값은?

③

조건 [eqn: q]의 진리집합을 [eqn: Q]라 하면

[eqn: | x - 1 | le 5]에서 [eqn: - 5 le x - 1 le 5]이므로 [eqn: - 4 le x le 6]

조건 [eqn: sim p]의 진리집합을 [eqn: P^c]라 하면

[eqn: ( x - a ) ( x + 2a ) le 0]

[eqn: q]가 [eqn: sim p]이기 위한 필요조건이 되려면 [eqn: P^c subset Q]이어야 한다.

[eqn: a]의 값에 따라 세 가지 경우로 나눈다.

(i) [eqn: a > 0]일 때

[eqn: P^c]는 [eqn: - 2a le x le a]

[eqn: P^c subset Q]이려면 [eqn: - 4 le - 2a]이고 [eqn: a le 6]

따라서 [eqn: a le 2]이므로 [eqn: 0 < a le 2]

(ii) [eqn: a = 0]일 때

[eqn: P^c]는 [eqn: x = 0]

[eqn: 0]은 [eqn: - 4 le x le 6]에 포함되므로 성립한다.

(iii) [eqn: a < 0]일 때

[eqn: P^c]는 [eqn: a le x le - 2a]

[eqn: P^c subset Q]이려면 [eqn: - 4 le a]이고 [eqn: - 2a le 6]

따라서 [eqn: a ge - 3]이므로 [eqn: - 3 le a < 0]

(i), (ii), (iii)에 의해 실수 [eqn: a]의 범위는 [eqn: - 3 le a le 2]

따라서 최댓값 [eqn: M = 2], 최솟값 [eqn: m = - 3]

[eqn: M + m = 2 + ( - 3 ) = - 1]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: - 5]	② [eqn: - 3]	③ [eqn: - 1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

어느 청소년 센터에서는 서로 다른 [eqn: 3]개의 체육 동아리와 서로 다른 [eqn: 2]개의 음악 동아리를 운영한다. 두 청소년 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 이 [eqn: 5]개의 동아리 중에서 다음 조건을 만족시키도록 동아리를 선택하는 경우의 수는?

(가) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 각자 [eqn: 1]개 이상의 체육 동아리와 [eqn: 1]개 이상의 음악 동아리를 포함한 서로 다른 [eqn: 3]개의 동아리를 선택 한다.

(나) [eqn: rmA]는 선택하고 [eqn: rmB]는 선택하지 않은 동아리의 개수는 적어도 [eqn: 1]이다.

⑤

조건 (가)를 만족하도록 한 사람이 [eqn: 3]개의 동아리를 선택하는 경우는 다음과 같다.

체육 동아리 [eqn: 2]개, 음악 동아리 [eqn: 1]개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 6]

체육 동아리 1개, 음악 동아리 2개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 3]

따라서 한 사람이 동아리를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 6 + 3 = 9]

A와 B가 각각 조건 (가)를 만족하도록 동아리를 선택하는 전체 경우의 수는 [eqn: 9 TIMES 9 = 81]

조건 (나)의 여사건은 A가 선택한 모든 동아리를 B도 선택하는 경우이다.

A와 B가 각각 3개의 동아리를 선택하므로, 이는 A와 B가 선택한 동아리가 완전히 일치하는 경우와 같다.

A와 B가 같은 동아리를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 9]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 81 - 9 = 72]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 56]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 68]	⑤ [eqn: 72]

이차함수 [eqn: f(x) = x^{2} - 6 x + 5]가 있다. 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x) f(x - k) = 0]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g(k)]라 하자. [eqn: g(k - 7) + g(k + 1) = 6]이 되도록 하는 모든 [eqn: k]의 값의 합은?

①

[eqn: f(x) = x^2 - 6 x + 5 = (x - 1) (x - 5)]

[eqn: f(x) = 0]의 해는 [eqn: x = 1]또는 [eqn: x = 5]

[eqn: f(x - k) = 0]의 해는 [eqn: x - k = 1]또는 [eqn: x - k = 5]이므로 [eqn: x = k + 1]또는 [eqn: x = k + 5]

방정식 [eqn: f(x) f(x - k) = 0]의 실근은 [eqn: 1], [eqn: 5], [eqn: k + 1], [eqn: k + 5]이다.

[eqn: g(k)]는 서로 다른 실근의 개수이므로 중복되는 근에 따라 값이 결정된다.

[eqn: k + 1 = 1]또는 [eqn: k + 5 = 5]인 경우: [eqn: k = 0]

이때 실근은 [eqn: 1], [eqn: 5]이므로 [eqn: g(0) = 2]

[eqn: k + 1 = 5]인 경우: [eqn: k = 4]

이때 실근은 [eqn: 1], [eqn: 5], [eqn: 9]이므로 [eqn: g(4) = 3]

[eqn: k + 5 = 1]인 경우: [eqn: k = - 4]

이때 실근은 [eqn: - 3], [eqn: 1], [eqn: 5]이므로 [eqn: g(- 4) = 3]

그 외의 [eqn: k]에 대하여 [eqn: g(k) = 4]

[eqn: g(k - 7) + g(k + 1) = 6]을 만족하는 경우는 [eqn: g(x)]의 치역이 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이므로 세 가지뿐이다.

1) [eqn: g(k - 7) = 2], [eqn: g(k + 1) = 4]

[eqn: k - 7 = 0]에서 [eqn: k = 7]

[eqn: k = 7]일 때 [eqn: g(8) = 4]이므로 성립한다.

2) [eqn: g(k - 7) = 3], [eqn: g(k + 1) = 3]

[eqn: k - 7 = - 4]또는 [eqn: k - 7 = 4]에서 [eqn: k = 3]또는 [eqn: k = 11]

[eqn: k + 1 = - 4]또는 [eqn: k + 1 = 4]에서 [eqn: k = - 5]또는 [eqn: k = 3]

공통해는 [eqn: k = 3]이다.

3) [eqn: g(k - 7) = 4], [eqn: g(k + 1) = 2]

[eqn: k + 1 = 0]에서 [eqn: k = - 1]

[eqn: k = - 1]일 때 [eqn: g(- 8) = 4]이므로 성립한다.

모든 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 7 + 3 + (- 1) = 9]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

어느 숙소에는 그림과 같이 객실 번호가 적힌 [eqn: 10]개의 객실이 있다.

관광객 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 포함한 [eqn: 5]명의 관광객이 다음 규칙에 따라 [eqn: 10]개의 객실 중에서 각자 서로 다른 한 객실에 숙박하는 경우의 수는?

(가) [eqn: 5]명의 관광객 중 어느 관광객도 객실 번호가 [eqn: 102], [eqn: 204]인 객실에는 숙박하지 않는다.

(나) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 숙박하는 객실 번호의 차는 [eqn: 1]또는 [eqn: 100]이다.

(다) [eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 숙박하는 객실 번호의 차는 [eqn: 4]보다 크고 [eqn: 100]이 아니다.

④

[eqn: rmA]의 객실 번호에 따라 가능한 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]의 경우의 수를 구한다.

[eqn: rmA = 101]일 때: [eqn: rmB]는 [eqn: rm201]([eqn: 1]가지). [eqn: rmC]는 [eqn: 202], [eqn: 203], [eqn: 205]가능 ([eqn: 3]가지). 총 [eqn: 1 TIMES 3 = 3]가지.

[eqn: rmA = 103]일 때: [eqn: rmB]는 [eqn: 104], [eqn: 203]([eqn: 2]가지). [eqn: rmC]는 [eqn: 201], [eqn: 202], [eqn: 205]가능 ([eqn: 3]가지). 총 [eqn: 2 TIMES 3 = 6]가지.

[eqn: rmA = 104]일 때: [eqn: rmB]는 [eqn: 103], [eqn: 105]([eqn: 2]가지). [eqn: rmC]는 [eqn: 201], [eqn: 202], [eqn: 203], [eqn: 205]가능 ([eqn: 4]가지). 총 [eqn: 2 TIMES 4 = 8]가지.

[eqn: rmA = 105]일 때: [eqn: rmB]는 [eqn: 104], [eqn: 205]([eqn: 2]가지). [eqn: rmC]는 [eqn: 201], [eqn: 202], [eqn: 203]가능 ([eqn: 3]가지). 총 [eqn: 2 TIMES 3 = 6]가지.

[eqn: rmA = 201]일 때: [eqn: rmB]는 [eqn: 101], [eqn: 202]([eqn: 2]가지). [eqn: rmC]는 [eqn: 103], [eqn: 104], [eqn: 105]가능 ([eqn: 3]가지). 총 [eqn: 2 TIMES 3 = 6]가지.

[eqn: rmA = 202]일 때: [eqn: rmB]는 [eqn: 201], [eqn: 203]([eqn: 2]가지). [eqn: rmC]는 [eqn: 101], [eqn: 103], [eqn: 104], [eqn: 105]가능 ([eqn: 4]가지). 총 [eqn: 2 TIMES 4 = 8]가지.

[eqn: rmA = 203]일 때: [eqn: rmB]는 [eqn: 103], [eqn: 202]([eqn: 2]가지). [eqn: rmC]는 [eqn: 101], [eqn: 104], [eqn: 105]가능 ([eqn: 3]가지). 총 [eqn: 2 TIMES 3 = 6]가지.

[eqn: rmA = 205]일 때: [eqn: rmB]는 [eqn: 105]([eqn: 1]가지). [eqn: rmC]는 [eqn: 101], [eqn: 103], [eqn: 104]가능 ([eqn: 3]가지). 총 [eqn: 1 TIMES 3 = 3]가지.

따라서 [eqn: rm(A, B, C)]를 배정하는 총 경우의 수는 [eqn: 3 + 6 + 8 + 6 + 6 + 8 + 6 + 3 = 46]가지이다.

남은 [eqn: 2]명의 관광객을 남은 [eqn: 5]개의 객실에 배정하는 경우의 수는 [eqn: 5 TIMES 4 = 20]가지이다.

총 경우의 수는 [eqn: 46 TIMES 20 = 920]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 800]	② [eqn: 840]	③ [eqn: 880]

④ [eqn: 920]	⑤ [eqn: 960]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 서로 다른 두 삼차다항식 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 서로 다른 두 이차다항식 [eqn: P_{1}(x), P_{2}(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 다항식 [eqn: f(x) + g(x)]는 세 다항식 [eqn: P_{1}(x), P_{2}(x)], [eqn: x^{2} - 5x + 6]으로 각각 나누어떨어진다.

(나) 두 다항식 [eqn: P_{1}(x), P_{2}(x)]는 각각 다항식 [eqn: f(x) - g(x)]로 나누어떨어진다.

[eqn: f(1) = g(1)]이고 [eqn: f(2) = 1]일 때, [eqn: g(3)]의 값은?

②

[eqn: f(x)], [eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식이므로 [eqn: f(x) - g(x)]는 이차 이하의 다항식이다.

조건 (나)에서 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 서로 다른 두 이차다항식 [eqn: P_{1}(x)], [eqn: P_{2}(x)]가 [eqn: f(x) - g(x)]로 각각 나누어떨어진다.

만약 [eqn: f(x) - g(x)]가 이차식이면 [eqn: P_{1}(x) = P_{2}(x)]가 되어 서로 다른 두 다항식이라는 조건에 모순이므로, [eqn: f(x) - g(x)]는 일차식이다.

[eqn: f(1) = g(1)]이므로 [eqn: f(x) - g(x) = a(x - 1)]([eqn: a != 0])로 둘 수 있다.

조건 (가)에서 [eqn: f(x) + g(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 삼차다항식이고, [eqn: x^{2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)]으로 나누어떨어진다.

따라서 [eqn: f(x) + g(x) = 2(x - 2)(x - 3)(x - k)]로 둘 수 있다.

[eqn: P_{1}(x)], [eqn: P_{2}(x)]는 [eqn: f(x) + g(x)]의 인수이면서 [eqn: x - 1]을 인수로 가져야 하므로 [eqn: k = 1]이다.

[eqn: f(x) + g(x) = 2(x - 1)(x - 2)(x - 3)]

두 식을 더하여 [eqn: f(x)]를 구하면 다음과 같다.

[eqn: 2f(x) = 2(x - 1)(x - 2)(x - 3) + a(x - 1)][eqn: f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) + {a} over {2} (x - 1)][eqn: f(2) = 1]이므로 대입하면 [eqn: {a} over {2} = 1], 즉 [eqn: a = 2]이다.

[eqn: f(x) - g(x) = 2(x - 1)]이므로 두 식을 빼서 [eqn: g(x)]를 구한다.

[eqn: 2g(x) = 2(x - 1)(x - 2)(x - 3) - 2(x - 1)][eqn: g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) - (x - 1)][eqn: g(3) = (3 - 1)(3 - 2)(3 - 3) - (3 - 1) = -2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

전체집합 [eqn: U= LEFT { x`□`x는``20``이하의``자연수 RIGHT }]의 부분집합 [eqn: A]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 명제 '모든 [eqn: x in U]에 대하여 [eqn: LEFT { x,`x ^{2} +1 RIGHT } NSUBSETA]이다.'는 거짓이다.

(나) 자연수 [eqn: x]에 대한 두 조건 [eqn: p , q]가
[eqn: p : x]는 [eqn: {1} over {2} x in A]인 [eqn: 20]이하의 자연수이다.
[eqn: q : x]는 [eqn: x in A]인 [eqn: 20]이하의 짝수이다.
일 때, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요충분조건이다.

[eqn: 1 notin A]일 때, 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합의 최솟값은?

③

조건 (가)에서 주어진 명제가 거짓이므로, 어떤 [eqn: x in U]에 대하여 [eqn: LEFT { x, x^2 + 1 RIGHT } subset A]이다.

이때 [eqn: x^2 + 1 le 20]이어야 하므로 가능한 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 1, 2, 3, 4]이다.

조건 (나)에서 두 조건 [eqn: p, q]의 진리집합을 각각 [eqn: P, Q]라 하자.

[eqn: P= LEFT { x IN U left| {1} over {2} x IN A RIGHT }][eqn: Q = LEFT { x in U left| x in A, x는 짝수 RIGHT }]

[eqn: x in P]이면 [eqn: {1} over {2} x]가 자연수이므로 [eqn: x]는 짝수이다.

[eqn: x = 2k] ([eqn: k le 10]) 라 하면, [eqn: 2k in P] ([eqn: k in A])이고 [eqn: 2k in Q] ([eqn: 2k inA])이다.

[eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요충분조건이므로 [eqn: P = Q]이고, 따라서 [eqn: k in A] ([eqn: 2k in A]) ([eqn: k le 10]) 가 성립한다.

문제에서 [eqn: 1 notin A]이므로 위 조건에 의해 [eqn: 2 notin A], [eqn: 4 notin A], [eqn: 8 notin A], [eqn: 16 notin A]이다.

따라서 조건 (가)를 만족하는 [eqn: x]는 [eqn: 1, 2, 4]가 될 수 없으므로 [eqn: x = 3]이어야 한다.

그러므로 [eqn: LEFT { 3, 10 RIGHT } subset A]이다.

[eqn: k inA] ([eqn: 2k in A])조건에 의해 파생되는 원소들을 찾으면 다음과 같다.

[eqn: 3 in A]이므로 [eqn: 6 in A], [eqn: 12 in A]이다.

[eqn: 10 in A]이므로 [eqn: 5 in A], [eqn: 20 in A]이다.

집합 [eqn: A]의 원소의 합이 최소가 되려면 [eqn: A]는 위에서 구한 필수 원소들만 포함해야 한다.

[eqn: A = LEFT { 3, 5, 6, 10, 12, 20 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합의 최솟값은 다음과 같다.

[eqn: 3 + 5 + 6 + 10 + 12 + 20 = 56]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 50]	② [eqn: 53]	③ [eqn: 56]

④ [eqn: 59]	⑤ [eqn: 62]

두 실수 [eqn: a , b ( b > 0 )]에 대하여 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x ^{2} +ax+b&``` LEFT ( `x LEQ 0 RIGHT )#-x ^{2} +ax-b&``` LEFT ( x>0 RIGHT )}}]
이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f ( 2 ) = p + q sqrt {2}]이다. [eqn: p - q]의 값은? (단, [eqn: p , q]는 유리수이다.)

(가) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f ( x ) = t]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 실수 [eqn: t]의 개수는 [eqn: 1]이다.

(나) 모든 정수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: f ( k ) f ( k + 1 ) ge 0]이다.

②

조건 (가)를 만족하기 위한 [eqn: a]와 [eqn: b]의 관계식을 도출한다.

[eqn: x le 0]일 때, [eqn: f_1 ( x ) = x^2 + a x + b = LEFT ( x + {a} over {2} RIGHT )^2 + b - {a^2} over {4}]

[eqn: x > 0]일 때, [eqn: f_2 ( x ) = - x^2 + a x - b = - LEFT ( x - {a} over {2} RIGHT )^2 - b + {a^2} over {4}]

[eqn: a le 0]이면 [eqn: f ( x )]는 실수 전체에서 감소하므로 [eqn: f ( x ) = t]의 실근이 최대 1개이다. 따라서 [eqn: a > 0]이다.

[eqn: f_1 ( x )]의 최솟값은 [eqn: m_1 = b - {a^2} over {4}]이고, [eqn: f_2 ( x )]의 최댓값은 [eqn: M_2 = - b + {a^2} over {4}]이다.

방정식 [eqn: f ( x ) = t]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]개인 실수 [eqn: t]가 오직 [eqn: 1]개 존재하려면, 그래프 개형상 [eqn: m_1 = - b]이어야 한다.

[eqn: b - {a^2} over {4} = - b], [eqn: a^2 = 8 b], [eqn: a > 0]이므로 [eqn: a = 2 sqrt {2b}]이다.

조건 (나)를 만족하기 위한 [eqn: b]의 값을 구하기 위해 [eqn: f ( x ) = 0]의 실근을 조사한다.

[eqn: x^2 + 2 sqrt {2b} x + b = 0]에서 [eqn: x = - sqrt {b} ( sqrt {2} +- 1 )]

[eqn: - x^2 + 2 sqrt {2b} x - b = 0]에서 [eqn: x = sqrt {b} ( sqrt {2} +- 1 )]

모든 정수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: f ( k ) f ( k + 1 ) ge 0]이 성립하려면, [eqn: f ( x )]의 부호가 바뀌는 경계인 가장 큰 실근 [eqn: x = sqrt {b} ( sqrt {2} + 1 )]이 반드시 자연수 [eqn: m]이어야 한다.

[eqn: sqrt {b} ( sqrt {2} + 1 ) = m], [eqn: sqrt {b} = m ( sqrt {2} - 1 )], [eqn: b = m^2 ( 3 - 2 sqrt {2} )]

이때 [eqn: x le 0]에서의 두 실근은 [eqn: - m]과 [eqn: - m ( 3 - 2 sqrt {2} )]가 된다.

만약 [eqn: m ge 2]이면, 두 근 사이의 거리인 [eqn: m - m ( 3 - 2 sqrt {2} ) = 2 m ( sqrt {2} - 1 )]이 [eqn: 1]보다 커지게 된다.

이 경우 구간 [eqn: ( - m , - m ( 3 - 2 sqrt {2} ) )]내에 정수 [eqn: k]가 반드시 존재하게 되며, 이 구간에서 [eqn: f ( x ) < 0]이므로 [eqn: f ( k ) < 0]이 된다.

결과적으로 [eqn: f ( k ) f ( k + 1 ) < 0]이 되는 정수 [eqn: k]가 발생하여 조건 (나)에 모순이다.

따라서 조건을 만족하는 자연수는 [eqn: m = 1]뿐이다.

[eqn: m = 1]을 대입하면 [eqn: b = 3 - 2 sqrt {2}]이고, [eqn: a = 2 sqrt {2} ( sqrt {2} - 1 ) = 4 - 2 sqrt {2}]이다.

[eqn: f ( 2 )]의 값을 계산한다.

[eqn: x = 2 > 0]이므로 [eqn: f_2 ( x )]에 대입한다.

[eqn: f ( 2 ) = - 2^2 + 2 a - b], [eqn: f ( 2 ) = - 4 + 2 ( 4 - 2 sqrt {2} ) - ( 3 - 2 sqrt {2} )]

[eqn: f ( 2 ) = 1 - 2 sqrt {2}]

문제에서 [eqn: f ( 2 ) = p + q sqrt {2}]이므로 [eqn: p = 1], [eqn: q = - 2]이다.

[eqn: p - q = 1 - ( - 2 ) = 3]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: - 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 15]

두 집합 [eqn: A = left { 1, 3, 5, 7, 9 right }, B = left { 2, 5, 9 right }]에 대하여 집합 [eqn: A cap B]의 모든 원소의 합을 구하시오.

[eqn: 14]

[eqn: A = left { 1, 3, 5, 7, 9 right }][eqn: B = left { 2, 5, 9 right }][eqn: A cap B = left { 5, 9 right }]

따라서 집합 [eqn: A cap B]의 모든 원소의 합은

[eqn: 5 + 9 = 14]

따라서 정답은 [eqn: 14]이다.

두 함수 [eqn: f(x) = x + 3, g(x) = x^{2} + 1]에 대하여 [eqn: (g circ f)(9)]의 값을 구하시오.

[eqn: 145]

[eqn: (g circ f)(9) = g(f(9))]

[eqn: f(9) = 9 + 3 = 12]

[eqn: g(12) = 12^{2} + 1 = 144 + 1 = 145]

따라서 정답은 [eqn: 145]이다.

두 실수 [eqn: a, b]에 대하여 이차방정식 [eqn: x^{2} + a x + b = 0]의 한 근이 [eqn: 2 + 3 i]일 때, [eqn: a^{2} + b^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i = sqrt { - 1 }])

[eqn: 185]

이차방정식 [eqn: x^{2} + a x + b = 0]의 계수 [eqn: a], [eqn: b]가 실수이므로, 한 근이 [eqn: 2 + 3 i]이면 다른 한 근은 [eqn: 2 - 3 i]이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: ( 2 + 3 i ) + ( 2 - 3 i ) = - a], [eqn: a = - 4]

[eqn: ( 2 + 3 i ) ( 2 - 3 i ) = b], [eqn: b = 2^{2} - ( 3 i )^{2} = 4 + 9 = 13]

[eqn: a^{2} + b^{2} = ( - 4 )^{2} + 13^{2} = 16 + 169 = 185]

따라서 정답은 [eqn: 185]이다.

무리함수 [eqn: y = sqrt {2 ( x - 1 )} + a]의 역함수의 그래프가 두 점 [eqn: ( 5 , 1 )], [eqn: ( b , 3 )]을 지날 때, [eqn: a + b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: 12]

함수 [eqn: f ( x ) = sqrt {2 ( x - 1 )} + a]라 하자.

함수 [eqn: y = f ( x )]의 역함수의 그래프가 두 점 [eqn: ( 5 , 1 )], [eqn: ( b , 3 )]을 지나므로 함수 [eqn: y = f ( x )]의 그래프는 두 점 [eqn: ( 1 , 5 )], [eqn: ( 3 , b )]를 지난다.

[eqn: f ( 1 ) = 5]이므로 [eqn: sqrt {2 ( 1 - 1 )} + a = 5], [eqn: a = 5]

따라서 [eqn: f ( x ) = sqrt {2 ( x - 1 )} + 5]이다.

[eqn: f ( 3 ) = b]이므로 [eqn: sqrt {2 ( 3 - 1 )} + 5 = b], [eqn: sqrt {4} + 5 = b], [eqn: b = 7]

따라서 [eqn: a + b = 5 + 7 = 12]이다.

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

좌표평면 위의 원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rmA(1, 2)]에 대하여 선분 [eqn: rmOA]를 [eqn: 2 : 1]로 외분하는 점을 [eqn: rmP], 점 [eqn: rmB(5, 5)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]위의 한 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rm{overline {PQ}}^2]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M + m]의 값을 구하시오.

[eqn: 11]

원점 [eqn: rmO(0, 0)]과 점 [eqn: rmA(1, 2)]에 대하여 선분 [eqn: rmOA]를 [eqn: 2 : 1]로 외분하는 점 [eqn: rmP]의 좌표는

[eqn: x = {2 TIMES 1 - 1 TIMES 0} over {2 - 1} = 2], [eqn: y = {2 TIMES 2 - 1 TIMES 0} over {2 - 1} = 4]

따라서 [eqn: rmP(2, 4)]이다.

점 [eqn: rmA(1, 2)]와 점 [eqn: rmB(5, 5)]를 지나는 일차함수를 [eqn: y = ax + b]라 하면 [eqn: a + b = 2], [eqn: 5a + b = 5]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: 4a = 3]에서 [eqn: a = {3} over {4}], [eqn: b = {5} over {4}]이다.

따라서 선분 [eqn: rmAB]위의 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: LEFT ( x , {3} over {4} x + {5} over {4} RIGHT )] ([eqn: 1 le x le 5])로 둘 수 있다.

[eqn: rm{overline {PQ}}^2]을 [eqn: x]에 대한 함수 [eqn: f(x)]라 하면

[eqn: f(x) = (x - 2)^2 + LEFT ( {3} over {4} x + {5} over {4} - 4 RIGHT )^2]

[eqn: f(x) = {25} over {16} LEFT ( x - {13} over {5} RIGHT )^2 + 1]

[eqn: x]의 범위가 [eqn: 1 le x le 5]이고, 꼭짓점의 [eqn: x]좌표 [eqn: {13} over {5}]이 이 범위에 포함되므로

최솟값 [eqn: m]은 [eqn: x = {13} over {5}]일 때 [eqn: m = 1]이다.

최댓값 [eqn: M]은 꼭짓점에서 더 멀리 떨어진 [eqn: x = 5]일 때의 값이다.

[eqn: M = f(5) = {25} over {16} LEFT ( 5 - {13} over {5} RIGHT )^2 + 1 = {25} over {16} TIMES {144} over {25} + 1 = 9 + 1 = 10]

따라서 정답은 [eqn: 11]이다.

두 정수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x^{3} + a x^{2} + b x - 3 a = 0]은 [eqn: a]를 포함한 서로 다른 세 정수를 근으로 갖고, [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x^{3} + b x^{2} - 2 a x - 2 a b = 0]은 정수인 근을 오직 하나만 갖는다. [eqn: a - b]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

방정식 [eqn: x^{3} + a x^{2} + b x - 3 a = 0]이 [eqn: x = a]를 근으로 가지므로 대입하면 다음과 같다.

[eqn: a^{3} + a^{3} + a b - 3 a = 0], [eqn: a ( 2 a^{2} + b - 3 ) = 0]

[eqn: a = 0]인 경우, 첫 번째 방정식은 [eqn: x^{3} + b x = 0]이 되어 근이 [eqn: 0], [eqn: +- sqrt {-b}]이다.

서로 다른 세 정수 근을 가지려면 [eqn: -b > 0]이어야 한다.

이때 두 번째 방정식은 [eqn: x^{3} + b x^{2} = 0]이 되어 근이 [eqn: 0]과 [eqn: -b]가 되므로 정수 근이 2개가 되어 모순이다.

따라서 [eqn: a != 0]이고 [eqn: b = 3 - 2 a^{2}]이다.

이를 첫 번째 방정식에 대입하여 인수분해하면 다음과 같다.

[eqn: x^{3} + a x^{2} + ( 3 - 2 a^{2} ) x - 3 a = 0]

[eqn: x^{2} ( x - a ) + 2 a x ( x - a ) + 3 ( x - a ) = 0]

[eqn: ( x - a ) ( x^{2} + 2 a x + 3 ) = 0]

이 방정식이 서로 다른 세 정수 근을 가지려면 [eqn: x^{2} + 2 a x + 3 = 0]이 서로 다른 두 정수 근을 가져야 한다.

두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: alpha beta = 3], [eqn: alpha + beta = -2 a]이다.

곱해서 [eqn: 3]이 되는 두 정수 순서쌍 [eqn: ( alpha , beta )]는 [eqn: ( 1, 3 )]또는 [eqn: ( -1, -3 )]이다.

[eqn: ( alpha , beta ) = ( 1, 3 )]일 때: [eqn: -2 a = 4]이므로 [eqn: a = -2], [eqn: b = -5]

[eqn: ( alpha , beta ) = ( -1, -3 )]일 때: [eqn: -2 a = -4]이므로 [eqn: a = 2], [eqn: b = -5]

두 번째 방정식 [eqn: x^{3} + b x^{2} - 2 a x - 2 a b = 0]을 인수분해하면 다음과 같다.

[eqn: x^{2} ( x + b ) - 2 a ( x + b ) = 0], [eqn: ( x + b ) ( x^{2} - 2 a ) = 0]

[eqn: a = 2], [eqn: b = -5]인 경우: [eqn: ( x - 5 ) ( x^{2} - 4 ) = 0]이 되어 정수 근이 [eqn: 5], [eqn: 2], [eqn: -2]로 [eqn: 3]개이므로 모순이다.

[eqn: a = -2], [eqn: b = -5]인 경우: [eqn: ( x - 5 ) ( x^{2} + 4 ) = 0]이 되어 정수 근이 [eqn: 5]오직 하나뿐이므로 조건을 만족한다.

따라서 [eqn: a = -2], [eqn: b = -5]이다.

[eqn: a - b = -2 - ( -5 ) = 3]

따라서 정답은 [eqn: 3]이다.

그림과 같이 직선 [eqn: y = x]위의 점 [eqn: rmA]를 중심으로 하고 [eqn: x]축과 만나지 않는 원 [eqn: C] 에 대하여 원점 [eqn: rmO]를 지나고 원 [eqn: C]에 접하는 두 직선 중 기울기가 작은 직선을 [eqn: l : y = mx]라 하자. 원 [eqn: C] 와 직선 [eqn: y = x]의 교점 중 [eqn: x]좌표가 작은 것을 [eqn: rmP_{1}], [eqn: x]좌표가 큰 것을 [eqn: rmP_{2}]라 하면 [eqn: rmoverline {OP_{1}} = 2]이다. 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP_{1}]에서의 접선과 직선 [eqn: l]의 교점을 [eqn: rmQ_{1}], 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP_{2}]에서의 접선과 직선 [eqn: l]의 교점을 [eqn: rmQ_{2}]라 하면 삼각형 [eqn: rmAQ_{2}P_{2}]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmAP_{1}Q_{1}]의 넓이의 [eqn: 4]배이다. [eqn: m = {q} over {p}]일 때, [eqn: p + q]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rmA]는 제 [eqn: 1]사분면 위의 점이고, [eqn: p, q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 8]

[eqn: y = x]는 원 [eqn: C] 의 중심 [eqn: rmA]를 지나므로 선분 [eqn: rmP_{1}P_{2}]는 원 [eqn: C] 의 지름이다.

점 [eqn: rmP_{1}, P_{2}]에서의 접선은 지름에 수직이므로 직선 [eqn: y = x]와 수직이다.

직선 [eqn: l]과 직선 [eqn: y = x]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하자.

직각삼각형 [eqn: rmOP_{1}Q_{1}]에서 [eqn: rmP_{1}Q_{1} = OP_{1} tan theta = 2 tan theta]이다.

직각삼각형 [eqn: rmOP_{2}Q_{2}]에서 [eqn: rmP_{2}Q_{2} = OP_{2} tan theta]이다.

원 [eqn: C] 의 반지름을 [eqn: r]이라 하면, 삼각형 [eqn: rmAP_{1}Q_{1}]과 [eqn: rmAQ_{2}P_{2}]의 넓이 조건에 의해 다음이 성립한다.

[eqn: rm{1} over {2} r CDOT P_{2}Q_{2} = 4 TIMES {1} over {2} r CDOT P_{1}Q_{1}]

[eqn: rmP_{2}Q_{2} = 4 P_{1}Q_{1}]

[eqn: rmOP_{2} tan theta = 4 TIMES 2 tan theta]

[eqn: tan theta > 0]

이므로 [eqn: rmOP_{2} = 8]이다.

원의 지름 [eqn: 2r = OP_{2} - OP_{1} = 8 - 2 = 6]이므로 반지름 [eqn: r = 3]이다.

중심 [eqn: rmA]는 선분 [eqn: rmP_{1}P_{2}]의 중점이므로 [eqn: rmOA = {OP_{1} + OP_{2}} over {2} = 5]이다.

점 [eqn: rmA]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이고 직선 [eqn: y = x]위에 있으므로 [eqn: rmA LEFT ( {5 sqrt {2}} over {2} , {5 sqrt {2}} over {2} RIGHT )]이다.

직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: mx - y = 0]이고, 중심 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: l]까지의 거리는 반지름 [eqn: r = 3]과 같다.

[eqn: {LEFT | m CDOT {5 sqrt {2}} over {2} - {5 sqrt {2}} over {2} RIGHT |} over {sqrt {m^{2} + (-1)^{2}}} = 3][eqn: {5 sqrt {2}} over {2} LEFT | m - 1 RIGHT | = 3 sqrt {m^{2} + 1}]

양변을 제곱하여 정리하면 다음과 같다.

[eqn: {50} over {4} LEFT ( m^{2} - 2m + 1 RIGHT ) = 9 LEFT ( m^{2} + 1 RIGHT )]에서 [eqn: m = {1} over {7}]또는 [eqn: m = 7]

이때 [eqn: m = 7]이면 직선 [eqn: l]의 기울기가 직선 [eqn: y = x]의 기울기인 [eqn: 1]보다 커지므로, 두 접선 중 기울기가 작은 직선이라는 조건에 모순된다.

따라서 [eqn: m = {1} over {7}]이다.

[eqn: p = 7, q = 1]이므로 [eqn: p + q = 8]이다.

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

전체집합 [eqn: U= LEFT { x`□`x는``15이하의``자연수 RIGHT }]의 부분집합 [eqn: P= LEFT { x`□`x는``15이하의``소수 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: U]의 부분집합 [eqn: X]의 개수를 구하시오.

(가) [eqn: n(X-P) TIMES n LEFT ( X`cupP ^{C} RIGHT ) =11]

(나) 집합 [eqn: X]의 모든 원소의 곱이 [eqn: M]일 때, [eqn: M]의 양의 약수의 개수는 [eqn: 16]이다.

[eqn: 38]

전체집합 [eqn: U = lbrace 1 , 2 , 3 , CDOTS , 15 rbrace]

소수의 집합 [eqn: P = lbrace 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 rbrace]이므로 [eqn: n ( P ) = 6]

[eqn: P^C = lbrace 1 , 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , 15 rbrace]이므로 [eqn: n ( P^C ) = 9]

조건 (가)에서 [eqn: n ( X - P ) TIMES n LEFT ( X cup P^C RIGHT ) = 11]

[eqn: 11]은 소수이므로 두 자연수의 곱이 [eqn: 11]이 되는 경우는 [eqn: 1 TIMES 11]또는 [eqn: 11 TIMES 1]이다.

이때 [eqn: X - P = X cap P^C subset X cup P^C]이므로 [eqn: n ( X - P ) leq n LEFT ( X cup P^C RIGHT )]

따라서 [eqn: n ( X - P ) = 11], [eqn: n LEFT ( X cup P^C RIGHT ) = 1]인 경우는 모순이므로 제외된다.

즉, [eqn: n ( X - P ) = 1], [eqn: n LEFT ( X cup P^C RIGHT ) = 11]

[eqn: X - P = X cap P^C]이므로 집합 [eqn: X]는 [eqn: P^C]의 원소를 정확히 [eqn: 1]개 포함한다.

[eqn: X cup P^C = ( X cap P ) cup P^C]이고 두 집합은 서로소이므로

[eqn: n LEFT ( X cup P^C RIGHT ) = n ( X cap P ) + n ( P^C ) = n ( X cap P ) + 9 = 11]

따라서 [eqn: n ( X cap P ) = 2]

결과적으로 집합 [eqn: X]는 [eqn: P^C]에서 [eqn: 1]개, [eqn: P]에서 [eqn: 2]개의 원소를 가진다.

[eqn: X = lbrace a , b , c rbrace](단, [eqn: a in P^C], [eqn: b , c in P]) 라 하자.

조건 (나)에서 [eqn: M = a TIMES b TIMES c]의 양의 약수의 개수가 [eqn: 16]이다.

[eqn: b , c]는 서로 다른 소수이므로, [eqn: a]의 값에 따라 경우를 나눈다.

[eqn: a = 1]인 경우: [eqn: M = b TIMES c]의 약수 개수는 [eqn: 2 TIMES 2 = 4 neq 16](모순)

[eqn: a = 4 = 2^2]인 경우: [eqn: b , c neq 2]이면 약수 개수 [eqn: 3 TIMES 2 TIMES 2 = 12 neq 16], [eqn: b = 2]이면 [eqn: M = 2^3 TIMES c]로 약수 개수 [eqn: 4 TIMES 2 = 8 neq 16](모순)

[eqn: a = 9 = 3^2]인 경우: [eqn: b , c neq 3]이면 약수 개수 [eqn: 12 neq 16], [eqn: b = 3]이면 약수 개수 [eqn: 8 neq 16](모순)

[eqn: a = 6 = 2 TIMES 3]인 경우: [eqn: b , c]가 [eqn: 2 , 3]이 아니면 약수 개수 [eqn: 2 TIMES 2 TIMES 2 TIMES 2 = 16]

이때 [eqn: b , c in lbrace 5 , 7 , 11 , 13 rbrace]이므로 가능한 집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: _4 C _2 = 6]

([eqn: b , c]중 [eqn: 2]나 [eqn: 3]이 포함되면 약수 개수가 [eqn: 12]또는 [eqn: 9]가 되어 모순)

[eqn: a = 8 = 2^3]인 경우: [eqn: b , c neq 2]이면 약수 개수 [eqn: 4 TIMES 2 TIMES 2 = 16]

이때 [eqn: b , c in lbrace 3 , 5 , 7 , 11 , 13 rbrace]이므로 가능한 집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: _5 C _2 = 10]

([eqn: b = 2]이면 약수 개수가 [eqn: 10]이 되어 모순)

[eqn: a = 10 = 2 TIMES 5]인 경우: [eqn: b , c]가 [eqn: 2 , 5]가 아니면 약수 개수 [eqn: 16]

이때 [eqn: b , c in lbrace 3 , 7 , 11 , 13 rbrace]이므로 가능한 집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: _4 C _2 = 6][eqn: a = 12 = 2^2 TIMES 3]인 경우: [eqn: b = 2]일 때 [eqn: c neq 3]이면 [eqn: M = 2^3 TIMES 3 TIMES c]로 약수 개수 [eqn: 4 TIMES 2 TIMES 2 = 16]

이때 [eqn: c in lbrace 5 , 7 , 11 , 13 rbrace]이므로 가능한 집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: 4]

([eqn: b , c]가 모두 [eqn: 2 , 3]이 아니면 약수 개수 [eqn: 24], [eqn: b = 3]이면 약수 개수 [eqn: 18]이 되어 모순)

[eqn: a = 14 = 2 TIMES 7]인 경우: [eqn: b , c]가 [eqn: 2 , 7]이 아니면 약수 개수 [eqn: 16]

이때 [eqn: b , c in lbrace 3 , 5 , 11 , 13 rbrace]이므로 가능한 집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: _4 C _2 = 6][eqn: a = 15 = 3 TIMES 5]인 경우: [eqn: b , c]가 [eqn: 3 , 5]가 아니면 약수 개수 [eqn: 16]

이때 [eqn: b , c in lbrace 2 , 7 , 11 , 13 rbrace]이므로 가능한 집합 [eqn: X]의 개수는 [eqn: _4 C _2 = 6]

따라서 조건을 만족하는 부분집합 [eqn: X]의 총 개수는 [eqn: 6 + 10 + 6 + 4 + 6 + 6 = 38]

따라서 정답은 [eqn: 38]이다.

실수 [eqn: a ( a != 0 )]과 [eqn: 2]보다 큰 자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { x`□`x!=2인``실수 RIGHT }]에서 정의된 함수 [eqn: f ( x )]를
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{ax-an} over {x-2} -n&``` LEFT ( x<2``또는``2<x<n RIGHT )#-a sqrt {x-n} -n&``` LEFT ( x GEQ n RIGHT )}}]
이라 하자. 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: | f ( x ) | = t]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g ( t )]라 할 때, 함수 [eqn: g ( t )]가 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

(가) [eqn: g ( t ) = 2]를 만족시키는 실수 [eqn: t]의 최솟값은 [eqn: 0], 최댓값은 [eqn: {3} over {2} n]이다.

(나) [eqn: g ( | f ( 5 ) | ) TIMES g ( n ) = 6]

[eqn: 68]

[eqn: x < n] ([eqn: x != 2])에서 [eqn: f ( x ) = {a ( x - n )} over {x - 2} - n = {a ( 2 - n )} over {x - 2} + a - n]

점근선은 [eqn: x = 2], [eqn: y = a - n]이다.

만약 [eqn: a > 0]이면, [eqn: f ( x ) = 0]인 실근이 최대 [eqn: 1]개이므로 [eqn: g ( 0 ) le 1]이 되어 조건 (가)의 최솟값이 [eqn: 0]이라는 조건에 모순이다.

따라서 [eqn: a < 0]이다.

[eqn: a < 0]일 때, [eqn: f ( x )]는 [eqn: x < 2]에서 감소, [eqn: 2 < x < n]에서 감소, [eqn: x ge n]에서 증가한다.

[eqn: f ( x ) = 0]인 실근은 [eqn: 2 < x < n]과 [eqn: x > n]에서 각각 [eqn: 1]개씩 존재하므로 [eqn: g ( 0 ) = 2]이다.

[eqn: y = | f ( x ) |]의 그래프를 그리면 [eqn: g ( t )]는 다음과 같다.

[eqn: g ( t ) = pmatrix { 0 & ( t < 0 ) # 2 & ( t = 0 ) # 4 & ( 0 < t < n ) # 3 & ( t = n ) # 2 & ( n < t le n - a ) # 3 & ( t > n - a ) }]

조건 (가)에서 [eqn: g ( t ) = 2]인 [eqn: t]의 최댓값이 [eqn: {3} over {2} n]이므로 [eqn: n - a = {3} over {2} n]이다.

[eqn: a = - {1} over {2} n]

조건 (나)에서 [eqn: g ( n ) = 3]이므로 [eqn: g ( | f ( 5 ) | ) TIMES 3 = 6]에서 [eqn: g ( | f ( 5 ) | ) = 2]이다.

따라서 [eqn: | f ( 5 ) | = 0]또는 [eqn: n < | f ( 5 ) | le {3} over {2} n]이다.

경우 1: [eqn: n le 5]인 경우 ([eqn: n = 3 , 4 , 5])

[eqn: x = 5]는 [eqn: x ge n]에 속하므로 [eqn: f ( 5 ) = {1} over {2} n sqrt {5 - n} - n]

[eqn: n = 3 , 4 , 5]를 대입하면 조건을 만족하는 값이 없다.

경우 2: [eqn: n ge 6]인 경우

[eqn: x = 5]는 [eqn: 2 < x < n]에 속하므로 [eqn: f ( 5 ) = {- {1} over {2} n ( 5 - n )} over {3} - n = {n^{2} - 11n} over {6}]

[eqn: | f ( 5 ) | = 0]일 때, [eqn: n^{2} - 11n = 0]이므로 [eqn: n = 11]

[eqn: n < | f ( 5 ) | le {3} over {2} n]일 때, [eqn: n < LEFT | {n^{2} - 11n} over {6} RIGHT | le {3} over {2} n]

[eqn: n > 0]이므로 양변을 [eqn: n]으로 나누면 [eqn: 1 < LEFT | {n - 11} over {6} RIGHT | le {3} over {2}]

[eqn: 6 < | n - 11 | le 9]

[eqn: n ge 11]일 때, [eqn: 6 < n - 11 le 9]에서 [eqn: 17 < n le 20]이므로 [eqn: n = 18 , 19 , 20]

[eqn: n < 11]일 때, [eqn: 6 < 11 - n le 9]에서 [eqn: 2 le n < 5]이므로 [eqn: n ge 6]에 모순이다.

따라서 가능한 [eqn: n]의 값은 [eqn: 11 , 18 , 19 , 20]이다.

[eqn: 11 + 18 + 19 + 20 = 68]

따라서 정답은 [eqn: 68]이다.