수학ETF	25_고1_6월	기출문제
	1 ~ 30

[eqn: (1+2i)-5i]의 값은? (단, [eqn: i=sqrt{-1}])

③

복소수의 덧셈과 뺄셈은 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 계산하므로

[eqn: (1+2i)-5i = 1+(2-5)i][eqn: = 1-3i]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1-i]	② [eqn: 1-2i]	③ [eqn: 1-3i]

④ [eqn: 1-4i]	⑤ [eqn: 1-5i]

다항식 [eqn: x^{2}-2x+6]을 [eqn: x+1]로 나눈 나머지는?

⑤

다항식 [eqn: P(x) = x^{2}-2x+6]이라 하면

나머지정리에 의해 [eqn: P(x)]를 [eqn: x+1]로 나눈 나머지는 [eqn: P(-1)]이다.

[eqn: P(-1) = (-1)^{2} - 2 times (-1) + 6][eqn: = 1 + 2 + 6][eqn: = 9]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

이차부등식 [eqn: x^{2}-5x+4<0]을 만족시키는 모든 [eqn: x]의 값의 범위가 [eqn: 1<x<a]일 때, [eqn: a]의 값은?

①

이차부등식 [eqn: x^{2}-5x+4<0]의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x-1)(x-4)<0]

이 이차부등식의 해는 [eqn: 1<x<4]이다.

주어진 해의 범위가 [eqn: 1<x<a]이므로

[eqn: a=4]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: a+4+bi=b+(2-i)i]
일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: i=sqrt{-1}])

③

주어진 식의 우변을 전개하여 정리하면

[eqn: b+(2-i)i = b+2i-i^{2} = b+1+2i]

이므로 주어진 식은

[eqn: a+4+bi = b+1+2i]

[eqn: a], [eqn: b]가 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의해

[eqn: a+4 = b+1], [eqn: b = 2]

[eqn: b = 2]를 [eqn: a+4 = b+1]에 대입하면

[eqn: a+4 = 3] ∴ [eqn: a = -1]

∴ [eqn: a+b = -1+2 = 1]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^{2}-4 sqrt{3} x+a=0]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: a]의 개수는?

③

이차방정식 [eqn: x^{2}-4 sqrt{3} x+a=0]이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식을 [eqn: D]라 할 때 [eqn: D > 0]이어야 하므로

[eqn: {D} over {4} = (-2 sqrt{3})^{2} - a > 0]

[eqn: 12 - a > 0]

∴ [eqn: a < 12]

이를 만족하는 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 11]이므로 그 개수는 [eqn: 11]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

연립부등식
[eqn: {cases{3x GEQ x-3&#2x+1 LEQ 11&}}]
을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은?

⑤

주어진 연립부등식의 각 부등식을 풀면

[eqn: 3x geq x-3]에서 [eqn: 2x geq -3]

[eqn: x geq - {3} over {2}] ……①

[eqn: 2x+1 leq 11]에서 [eqn: 2x leq 10]

[eqn: x leq 5] ……②

①, ②의 공통 범위를 구하면

[eqn: - {3} over {2} leq x leq 5]

이 부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]이다.

따라서 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: -1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

전하를 저장하는 전기적 장치를 축전기라 한다. 축전기에 저장된 전기에너지를 [eqn: U(J)], 전기용량을 [eqn: C(F)], 전압을 [eqn: V(V)]라 할 때, 축전기에 저장된 전기에너지는 다음과 같은 관계식이 성립한다.
[eqn: U = {1} over {2} C V^{2}]
두 축전기 [eqn: A]와 [eqn: B]에 대하여 축전기 [eqn: A]의 전기용량은 축전기 [eqn: B]의 전기용량의 [eqn: 3]배이고, 축전기 [eqn: A]의 전압은 축전기 [eqn: B]의 전압의 [eqn: {2} over {3}]배이다. 두 축전기 [eqn: A]와 [eqn: B]에 저장된 전기에너지를 각각 [eqn: U_{A}]와 [eqn: U_{B}]라 할 때, [eqn: {U_{A}} over {U_{B}}]의 값은?

④

축전기 [eqn: A]와 [eqn: B]의 전기용량을 각각 [eqn: C_{A}], [eqn: C_{B}]라 하고, 전압을 각각 [eqn: V_{A}], [eqn: V_{B}]라 하면

조건에서 [eqn: C_{A} = 3 C_{B}], [eqn: V_{A} = {2} over {3} V_{B}]이므로

[eqn: {C_{A}} over {C_{B}} = 3], [eqn: {V_{A}} over {V_{B}} = {2} over {3}]

두 축전기 [eqn: A]와 [eqn: B]에 저장된 전기에너지는 각각

[eqn: U_{A} = {1} over {2} C_{A} V_{A}^{2}], [eqn: U_{B} = {1} over {2} C_{B} V_{B}^{2}]

이므로

[eqn: {U_{A}} over {U_{B}} = { {1} over {2} C_{A} V_{A}^{2} } over { {1} over {2} C_{B} V_{B}^{2} } = {C_{A}} over {C_{B}} times left ( {V_{A}} over {V_{B}} right )^{2}]

[eqn: = 3 times left ( {2} over {3} right )^{2} = 3 times {4} over {9} = {4} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

이차방정식 [eqn: x^{2}-3x+5=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha^{2}beta+alphabeta^{2}-alphabeta]의 값은?

③

이차방정식 [eqn: x^{2}-3x+5=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + beta = 3], [eqn: alpha beta = 5]

구하고자 하는 식을 인수분해하면

[eqn: alpha^{2}beta+alphabeta^{2}-alphabeta = alphabeta(alpha+beta-1)]

[eqn: alpha + beta = 3], [eqn: alpha beta = 5]이므로

[eqn: alphabeta(alpha+beta-1) = 5 times (3-1) = 10]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: {15} over {2}]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: {25} over {2}]	⑤ [eqn: 15]

연립방정식
[eqn: {cases{x-y=3&#2x ^{2} +y ^{2} =6&}}]
의 해를 [eqn: x=alpha], [eqn: y=beta]라 할 때, [eqn: alpha+beta]의 값은?

②

연립방정식의 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리하여 이차방정식에 대입한다.

[eqn: x - y = 3]에서 [eqn: y = x - 3] ……①

①을 [eqn: 2x^{2} + y^{2} = 6]에 대입하면

[eqn: 2x^{2} + (x - 3)^{2} = 6]

[eqn: 2x^{2} + x^{2} - 6x + 9 = 6]

[eqn: 3x^{2} - 6x + 3 = 0]

[eqn: x^{2} - 2x + 1 = 0]

[eqn: (x - 1)^{2} = 0]

∴ [eqn: x = 1]

[eqn: x = 1]을 ①에 대입하면

[eqn: y = 1 - 3 = -2]

따라서 [eqn: alpha = 1], [eqn: beta = -2]이므로

[eqn: alpha + beta = 1 + (-2) = -1]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: {2026^{3} + 1} over {2025^{2} + 2026}] 의 값은?

④

[eqn: 2026 = x]라 하면 [eqn: 2025 = x - 1]이므로 주어진 식을 [eqn: x]에 대한 식으로 나타내면

[eqn: {x^{3} + 1} over {(x - 1)^{2} + x}]

분모를 전개하여 정리하면

[eqn: (x - 1)^{2} + x = x^{2} - 2x + 1 + x = x^{2} - x + 1]

분자를 인수분해하면

[eqn: x^{3} + 1 = (x + 1)(x^{2} - x + 1)]

따라서 주어진 식은

[eqn: {(x + 1)(x^{2} - x + 1)} over {x^{2} - x + 1} = x + 1]

[eqn: x = 2026]이므로

[eqn: x + 1 = 2026 + 1 = 2027]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 2024]	② [eqn: 2025]	③ [eqn: 2026]

④ [eqn: 2027]	⑤ [eqn: 2028]

두 양수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=mx+2]가 두 이차함수 [eqn: y={1} over {3}x^{2}+5], [eqn: y=x^{2}+4x+n]의 그래프에 동시에 접할 때, [eqn: m+n]의 값은?

②

직선 [eqn: y=mx+2]가 이차함수 [eqn: y={1} over {3}x^{2}+5]의 그래프에 접하므로

이차방정식 [eqn: {1} over {3}x^{2}+5 = mx+2], 즉 [eqn: x^{2}-3mx+9=0]의 판별식을 [eqn: D_{1}]이라 하면

[eqn: D_{1} = (-3m)^{2} - 4 times 1 times 9 = 0], [eqn: 9m^{2} - 36 = 0], [eqn: m^{2} = 4]

[eqn: m > 0]이므로 [eqn: m = 2]

또한, 직선 [eqn: y=2x+2]가 이차함수 [eqn: y=x^{2}+4x+n]의 그래프에 접하므로

이차방정식 [eqn: x^{2}+4x+n = 2x+2], 즉 [eqn: x^{2}+2x+n-2=0]의 판별식을 [eqn: D_{2}]라 하면

[eqn: {D_{2}} over {4} = 1^{2} - (n-2) = 0], [eqn: 3 - n = 0]

∴ [eqn: n = 3]

따라서 [eqn: m+n = 2+3 = 5]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

다음은 사차다항식 [eqn: P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d]를 조립제법을 이용하여 [eqn: x-2]로 나눈 몫과 나머지를 구하고, 그 몫을 다시 [eqn: x-2]로 나눈 몫과 나머지를 구하는 과정의 일부이다.

[eqn: P(3)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 상수이다.)

①

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라 하면, 첫 번째 조립제법의 결과에서 나머지가 [eqn: 1]이므로

[eqn: P(x) = (x-2)Q(x) + 1] ……①

두 번째 조립제법의 결과에서 몫 [eqn: Q(x)]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 몫의 계수가 차례대로 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: -8]이고 나머지가 [eqn: 5]이므로

[eqn: Q(x) = (x-2)(x^{2} + 2x - 8) + 5] ……②

구하고자 하는 값은 [eqn: P(3)]이므로 ②에 [eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: Q(3)=(3-2)(3 ^{2} +2 TIMES 3-8)+5=12]

①에 [eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: P(3) = (3-2)Q(3) + 1]

[eqn: P(3) = 1 times 12 + 1 = 13]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 13]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 25]

이차방정식 [eqn: x^{2}-7x+5=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차다항식 [eqn: P(x)]에 대하여
[eqn: P(alpha)=5alpha-2], [eqn: P(beta)=5beta-2]
일 때, [eqn: P(5)]의 값은?

②

이차방정식 [eqn: x^{2}-7x+5=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

[eqn: P(alpha)=5alpha-2], [eqn: P(beta)=5beta-2]에서

[eqn: P(alpha)-5alpha+2=0], [eqn: P(beta)-5beta+2=0]

따라서 이차방정식 [eqn: P(x)-5x+2=0]의 두 근은 [eqn: alpha], [eqn: beta]이다.

[eqn: P(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차다항식이므로 [eqn: P(x)-5x+2]도 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차다항식이다.

[eqn: alpha], [eqn: beta]를 두 근으로 하고 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차식은 [eqn: x^{2}-7x+5]이므로

[eqn: P(x)-5x+2=x^{2}-7x+5]

[eqn: P(x)=x^{2}-7x+5+5x-2]

[eqn: P(x)=x^{2}-2x+3]

∴ [eqn: P(5)=5^{2}-2 times 5+3=25-10+3=18]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

그림과 같이 모든 모서리의 길이의 합이 [eqn: 16 sqrt{2}], 부피가 [eqn: 4 sqrt{2}], [eqn: rmoverline{AG} = 2 sqrt{3}]인 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]가 있다. 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이를 [eqn: S_{1}], 사각형 [eqn: rmBFGC]의 넓이를 [eqn: S_{2}], 사각형 [eqn: rmABFE]의 넓이를 [eqn: S_{3}]이라 할 때, [eqn: S _{1} ` ^{2} +S _{2} ` ^{2} +S _{3} ` ^{2}]의 값은?

⑤

직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]의 세 모서리 [eqn: rmoverline{AB}], [eqn: rmoverline{AD}], [eqn: rmoverline{AE}]의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 하면

모든 모서리의 길이의 합이 [eqn: 16 sqrt{2}]이므로

[eqn: 4(a+b+c) = 16 sqrt{2}]에서 [eqn: a+b+c = 4 sqrt{2}] ……①

부피가 [eqn: 4 sqrt{2}]이므로 [eqn: abc = 4 sqrt{2}] ……②

대각선 [eqn: rmoverline{AG}]의 길이가 [eqn: 2 sqrt{3}]이므로

[eqn: sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} = 2 sqrt{3}]에서 [eqn: a^{2}+b^{2}+c^{2} = 12] ……③

①, ③에서 다항식의 곱셈 공식의 변형에 의해

[eqn: a^{2}+b^{2}+c^{2} = (a+b+c)^{2} - 2(ab+bc+ca)]이므로

[eqn: 12 = (4 sqrt{2})^{2} - 2(ab+bc+ca)]에서 ∴ [eqn: ab+bc+ca = 10] ……④

사각형 [eqn: rmABCD], [eqn: rmBFGC], [eqn: rmABFE]의 넓이는

[eqn: S_{1} = ab], [eqn: S_{2} = bc], [eqn: S_{3} = ca]

구하는 값은 [eqn: S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} = (ab)^{2} + (bc)^{2} + (ca)^{2} = a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2}]이다.

다항식의 곱셈 공식의 변형에 의해

[eqn: a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2} = (ab+bc+ca)^{2} - 2abc(a+b+c)]이므로

②, ④를 대입하면

[eqn: a^{2}b^{2} + b^{2}c^{2} + c^{2}a^{2} = 10^{2} - 2 times 4 sqrt{2} times 4 sqrt{2}][eqn: = 100 - 64 = 36]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 28]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 36]

복소수 [eqn: z=1-i]에 대하여
[eqn: left ( {1} over {z} - {1} over {bar{z}} right )^{n} = (z-1)i]
를 만족시키는 [eqn: 50] 이하의 자연수 [eqn: n]의 개수는? (단, [eqn: i = sqrt{-1}] 이고, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

②

[eqn: z = 1 - i]이므로 [eqn: bar{z} = 1 + i]이다.

좌변의 괄호 안의 식을 정리하면

[eqn: {1} over {z} - {1} over {bar{z}} = {bar{z} - z} over {z bar{z}} = {(1+i) - (1-i)} over {(1-i)(1+i)} = {2i} over {1 - i^{2}} = {2i} over {2} = i]

우변의 식을 정리하면

[eqn: (z-1)i = (1-i-1)i = -i times i = -i^{2} = 1]

주어진 식에 대입하면

[eqn: i^{n} = 1]

[eqn: i^{4} = 1]이므로 이를 만족시키는 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 4]의 배수이다.

[eqn: 50] 이하의 자연수 중 [eqn: 4]의 배수는 [eqn: 4, 8, 12, cdots, 48]이다.

[eqn: 48 = 4 times 12]이므로 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 12]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

두 실수 [eqn: a(a>2)], [eqn: b]에 대하여 이차함수 [eqn: y=x^{2}-(a+1)x+a]의 그래프와 직선 [eqn: y=bx-b]가 한 점 [eqn: rmA(1, 0)]에서만 만난다. 함수 [eqn: y=x^{2}-(a+1)x+a]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmB], 함수 [eqn: y=x^{2}-(a+1)x+a]의 그래프가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmC], 직선 [eqn: y=bx-b]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 다음은 삼각형 [eqn: rmOAD]의 넓이를 [eqn: S_{1}], 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이를 [eqn: S_{2}]라 할 때, [eqn: S_{1} : S_{2} = 2 : 7]이 되도록 하는 [eqn: a]의 값을 구하는 과정이다. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

이차함수 [eqn: y=x^{2}-(a+1)x+a]의 그래프가 직선 [eqn: y=bx-b]와 한 점 [eqn: rmA]에서만 만나므로

이차방정식 [eqn: x^{2}-(a+b+1)x+a+b=0]의 판별식 [eqn: D=0]이다. 삼각형 [eqn: rmOAD]의 넓이 [eqn: S_{1}]과 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이 [eqn: S_{2}]를 [eqn: a]에 대한 식으로 나타내면

[eqn: S _{1} =box{```(가)```}], [eqn: S _{2} =box{```(나)```}] 이다.

따라서 [eqn: S_{1} : S_{2} = 2 : 7]이 되도록 하는 [eqn: a]의 값은

[eqn: a=box{```(다)```}] 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(a)], [eqn: g(a)]라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: f(5)+g(5)+p]의 값은?

③

이차함수 [eqn: y = x^{2} - (a+1)x + a]의 그래프와 직선 [eqn: y = bx - b]가 한 점 [eqn: rmA(1, 0)]에서만 만나므로

이차방정식 [eqn: x^{2} - (a+1)x + a = bx - b], 즉 [eqn: x^{2} - (a+b+1)x + a+b = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D = (a+b+1)^{2} - 4(a+b) = 0]

[eqn: (a+b-1)^{2} = 0] ∴ [eqn: b = 1-a]

이차함수 [eqn: y = x^{2} - (a+1)x + a = (x-1)(x-a)]에서 [eqn: x]축과 만나는 점은 [eqn: x=1], [eqn: x=a]이고 [eqn: a>2]이므로

[eqn: rmA(1, 0)], [eqn: rm B(ita,0)]

이차함수의 [eqn: y]절편은 [eqn: rm C(0,ita)]이고 직선 [eqn: y = (1-a)x - (1-a)]의 [eqn: y]절편은 [eqn: rmD(0,ita-1)]이다.

삼각형 [eqn: rmOAD]의 넓이 [eqn: S_{1}]은 밑변이 [eqn: rmbarOA], 높이가 [eqn: rmbarOD]이므로

[eqn: S_{1} = {1} over {2} times 1 times (a-1) = {a-1} over {2}]

∴ [eqn: f(a) = {a-1} over {2}]

사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이 [eqn: S_{2}]는 삼각형 [eqn: rmACD]와 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이의 합과 같다.

삼각형 [eqn: rmACD]의 넓이는 밑변이 [eqn: rmbarCD], 높이가 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표이므로

[eqn: {1} over {2} times left ( a - (a-1) right ) times 1 = {1} over {2}]

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 밑변이 [eqn: rmbarAB], 높이가 점 [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표이므로

[eqn: {1} over {2} times (a-1) times a = {a^{2}-a} over {2}]

[eqn: S_{2} = {1} over {2} + {a^{2}-a} over {2} = {a^{2}-a+1} over {2}]

∴ [eqn: g(a) = {a^{2}-a+1} over {2}]

[eqn: S_{1} : S_{2} = 2 : 7]에서 [eqn: {a-1} over {2} : {a^{2}-a+1} over {2} = 2 : 7]

[eqn: 2(a^{2}-a+1) = 7(a-1)], [eqn: 2a^{2} - 9a + 9 = 0], [eqn: (2a-3)(a-3) = 0]

[eqn: a>2]이므로 [eqn: a = 3]

∴ [eqn: p = 3]

따라서 [eqn: f(5) = {5-1} over {2} = 2], [eqn: g(5) = {5^{2}-5+1} over {2} = {21} over {2}]이므로

[eqn: f(5) + g(5) + p = 2 + {21} over {2} + 3 = {31} over {2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {27} over {2}]	② [eqn: {29} over {2}]	③ [eqn: {31} over {2}]

④ [eqn: {33} over {2}]	⑤ [eqn: {35} over {2}]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x^{2}-1]로 나눈 몫과 나머지는 서로 같다. [eqn: (x+1)P(x)]가 [eqn: x^{2}-1]로 나누어떨어질 때, [eqn: P(4)]의 값은?

①

[eqn: P(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식이므로 [eqn: x^{2}-1]로 나눈 몫은 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 일차식이다.

몫을 [eqn: x+a]라 하면 나머지도 [eqn: x+a]이므로

[eqn: P(x) = (x^{2}-1)(x+a) + x+a]

[eqn: P(x) = (x^{2}-1+1)(x+a) = x^{2}(x+a)]

다항식 [eqn: (x+1)P(x)]가 [eqn: x^{2}-1]로 나누어떨어지므로 몫을 [eqn: Q(x)]라 하면

[eqn: (x+1)P(x) = (x^{2}-1)Q(x)]

[eqn: x = 1]을 대입하면

[eqn: 2P(1) = 0]

∴ [eqn: P(1) = 0]

[eqn: P(1) = 1^{2}(1+a) = 1+a = 0]에서 [eqn: a = -1]

따라서 [eqn: P(x) = x^{2}(x-1)]이므로

[eqn: P(4) = 4^{2}(4-1) = 16 times 3 = 48]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 48]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 56]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 64]

[eqn: x]에 대한 연립부등식
[eqn: {cases{LEFT | ax-1 RIGHT | <21&#2x+3>5&}}]
를 만족시키는 자연수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 2]일 때, 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은?

②

연립부등식의 두 번째 부등식 [eqn: 2x+3 > 5]에서

[eqn: 2x > 2] ∴ [eqn: x > 1] ……①

첫 번째 부등식 [eqn: left | ax-1 right | < 21]에서

[eqn: -21 < ax-1 < 21]

[eqn: -20 < ax < 22] ……②

①, ②를 만족시키는 자연수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 2]이려면, [eqn: x > 1]이므로 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 2], [eqn: 3]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: a > 0]일 때

②에서 [eqn: - {20} over {a} < x < {22} over {a}]

①과의 공통 범위는 [eqn: 1 < x < {22} over {a}]

이 범위에 자연수 [eqn: 2], [eqn: 3]만 포함되어야 하므로

[eqn: 3 < {22} over {a} leq 4]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: 3a < 22]에서 [eqn: a < {22} over {3}]

[eqn: 4a geq 22]에서 [eqn: a geq {11} over {2}]

따라서 [eqn: {11} over {2} leq a < {22} over {3}]이므로 정수 [eqn: a]는 [eqn: 6], [eqn: 7]이다.

(ⅱ) [eqn: a < 0]일 때

②에서 [eqn: {22} over {a} < x < - {20} over {a}]

[eqn: a < 0]이므로 [eqn: {22} over {a} < 0]이다.

①과의 공통 범위는 [eqn: 1 < x < - {20} over {a}]

이 범위에 자연수 [eqn: 2], [eqn: 3]만 포함되어야 하므로

[eqn: 3 < - {20} over {a} leq 4]

[eqn: a < 0]이므로 [eqn: 3a > -20]에서 [eqn: a > - {20} over {3}]

[eqn: 4a leq -20]에서 [eqn: a leq -5]

따라서 [eqn: - {20} over {3} < a leq -5]이므로 정수 [eqn: a]는 [eqn: -6], [eqn: -5]이다.

(ⅲ) [eqn: a = 0]일 때

②에서 [eqn: -20 < 0 < 22]가 되어 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립한다.

①과의 공통 범위는 [eqn: x > 1]이므로 자연수 [eqn: x]의 개수는 무수히 많다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: a]의 값은 [eqn: -6], [eqn: -5], [eqn: 6], [eqn: 7]이므로 그 합은

[eqn: -6 + (-5) + 6 + 7 = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

이차다항식 [eqn: P(x)=x^{2}-ax+7-a]에 대하여
[eqn: sqrt{P(1)}+sqrt{-P(1)}-sqrt{P(0)-4}]
의 값이 실수일 때, 모든 [eqn: P(-4)]의 값의 합은? (단, [eqn: a]는 실수이다.)

④

이차다항식 [eqn: P(x) = x^{2} - ax + 7 - a]에서

[eqn: P(1) = 1 - a + 7 - a = 8 - 2a]

[eqn: P(0) - 4 = 7 - a - 4 = 3 - a]

주어진 식은 [eqn: sqrt{8-2a} + sqrt{-(8-2a)} - sqrt{3-a}]이다.

이 값이 실수가 되기 위한 조건을 [eqn: 8-2a]의 부호에 따라 나누어 생각한다.

(ⅰ) [eqn: 8-2a > 0], 즉 [eqn: a < 4]일 때

[eqn: sqrt{8-2a}]는 실수이고, [eqn: sqrt{-(8-2a)} = sqrt{8-2a} i]는 순허수이다.

주어진 식이 실수가 되려면 [eqn: sqrt{3-a}]가 허수 부분을 가져서 [eqn: sqrt{8-2a} i]와 상쇄되어야 한다.

즉, [eqn: 3-a < 0]이어야 하므로 [eqn: a > 3]이다.

이때 [eqn: sqrt{3-a} = sqrt{a-3} i]이므로

[eqn: sqrt{8-2a} i - sqrt{a-3} i = 0]에서 [eqn: 8-2a = a-3]

[eqn: 3a = 11] ∴ [eqn: a = {11} over {3}]

이 값은 [eqn: 3 < a < 4]를 만족한다.

(ⅱ) [eqn: 8-2a < 0], 즉 [eqn: a > 4]일 때

[eqn: sqrt{8-2a} = sqrt{2a-8} i]는 순허수이고, [eqn: sqrt{-(8-2a)} = sqrt{2a-8}]은 실수이다.

주어진 식이 실수가 되려면 [eqn: sqrt{3-a}]가 허수 부분을 가져서 [eqn: sqrt{2a-8} i]와 상쇄되어야 한다.

즉, [eqn: 3-a < 0]이어야 하므로 [eqn: a > 3]이다.

이때 [eqn: sqrt{3-a} = sqrt{a-3} i]이므로

[eqn: sqrt{2a-8} i - sqrt{a-3} i = 0]에서 [eqn: 2a-8 = a-3]

∴ [eqn: a = 5]

이 값은 [eqn: a > 4]를 만족한다.

(ⅲ) [eqn: 8-2a = 0], 즉 [eqn: a = 4]일 때

[eqn: P(1) = 0], [eqn: P(0)-4 = -1]이므로

주어진 식은 [eqn: 0 + 0 - sqrt{-1} = -i]가 되어 실수가 아니다.

따라서 조건을 만족하는 [eqn: a]의 값은 [eqn: {11} over {3}], [eqn: 5]이다.

[eqn: P(-4) = 16 + 4a + 7 - a = 3a + 23]이므로

[eqn: a = {11} over {3}]일 때, [eqn: P(-4) = 3 times left ( {11} over {3} right ) + 23 = 34]

[eqn: a = 5]일 때, [eqn: P(-4) = 3 times 5 + 23 = 38]

모든 [eqn: P(-4)]의 값의 합은 [eqn: 34 + 38 = 72]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 60]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 68]

④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 76]

[eqn: x]에 대한 연립부등식
[eqn: left { matrix { ax^{2}+(a+b)x+a+b+1 < 0 # (a+b)x^{2}+(a+b+1)x+a < 0 } right .]
을 만족시키는 모든 [eqn: x]의 값의 범위가 [eqn: x < p]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: p]는 실수이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a=-1]일 때, [eqn: p=-1]이다. ㄴ. [eqn: b>0] ㄷ. [eqn: a^{3} leq -1]

②

(ⅰ) [eqn: a > 0]인 경우

첫 번째 부등식 [eqn: ax^{2}+(a+b)x+a+b+1 < 0]은 아래로 볼록한 이차함수이므로 해가 [eqn: alpha < x < beta] 형태의 유한한 구간이거나 해가 없다.

연립부등식의 해가 [eqn: x < p] 형태가 될 수 없으므로 [eqn: a leq 0]이다.

(ⅱ) [eqn: a+b > 0]인 경우

두 번째 부등식 [eqn: (a+b)x^{2}+(a+b+1)x+a < 0]의 해가 유한한 구간이거나 없으므로 모순이다. ∴ [eqn: a+b leq 0]

(ⅲ) [eqn: a = 0]인 경우

[eqn: a+b leq 0]에서 [eqn: b leq 0]이다.

[eqn: b < 0]이면 첫 번째 부등식은 [eqn: bx+b+1 < 0]에서 [eqn: x > {-b-1} over {b}]가 되어 아래로 닫혀 있으므로 모순이다.

[eqn: b = 0]이면 [eqn: 1 < 0]이 되어 해가 없으므로 모순이다. ∴ [eqn: a < 0]

(ⅳ) [eqn: a < 0]이고 [eqn: a+b < 0]인 경우

두 부등식 모두 위로 볼록한 이차함수이므로, 각각의 해는 [eqn: x < alpha] 또는 [eqn: x > beta] 형태이다.

두 해의 공통부분은 반드시 어떤 실수 [eqn: M]에 대하여 [eqn: x > M]인 구간을 포함하게 되므로 해가 [eqn: x < p] 형태가 될 수 없다.

따라서 (ⅰ)~(ⅳ)에 의해 [eqn: a < 0]이고 [eqn: a+b = 0]이다.

[eqn: a+b = 0]에서 [eqn: b = -a]이고 [eqn: a < 0]이므로 [eqn: b > 0]이다. (∴ ㄴ은 참)

주어진 연립부등식에 [eqn: a+b = 0]을 대입하면

[eqn: left { matrix { ax^{2}+1 < 0 # x+a < 0 } right .]

위의 두 부등식을 각각 ①, ②라 하면

[eqn: a < 0]이므로 ①에서 [eqn: x^{2} > - {1} over {a}]

[eqn: - {1} over {a} > 0]이므로 ①의 해는 [eqn: x < - sqrt{- {1} over {a}}] 또는 [eqn: x > sqrt{- {1} over {a}}]이다.

②의 해는 [eqn: x < -a]이다.

이때 [eqn: -a > 0]이고 [eqn: - sqrt{- {1} over {a}} < 0]이므로, ①과 ②의 공통부분이 [eqn: x < p] 형태가 되려면 ②의 해가 ①의 [eqn: x > sqrt{- {1} over {a}}] 부분과 겹치지 않아야 한다.

즉, [eqn: -a leq sqrt{- {1} over {a}}]이다.

양변이 모두 양수이므로 제곱하면 [eqn: a^{2} leq - {1} over {a}]

[eqn: a < 0]이므로 양변에 [eqn: a]를 곱하면 부등호 방향이 바뀌어 [eqn: a^{3} geq -1]이다. (∴ ㄷ은 거짓)

이 조건을 만족할 때 연립부등식의 해는 [eqn: x < - sqrt{- {1} over {a}}]이므로 [eqn: p = - sqrt{- {1} over {a}}]이다.

ㄱ. [eqn: a = -1]일 때

[eqn: a^{3} = -1 geq -1]을 만족하므로 [eqn: p = - sqrt{- {1} over {-1}} = -1]이다. (∴ ㄱ은 참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

따라서 정답은 ②이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 [eqn: k]와 최고차항의 계수가 [eqn: {1} over {2}]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x)+x=k]가 서로 다른 두 자연수 [eqn: alpha], [eqn: beta]를 근으로 가질 때, 함수 [eqn: f(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(beta)=beta]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq beta]이다.

[eqn: f(0) leq alpha+beta+f(alpha)]일 때, 모든 [eqn: f(6)]의 값의 곱은?

①

방정식 [eqn: f(x)+x=k]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이고 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: {1} over {2}]이므로

[eqn: f(x)+x-k = {1} over {2}(x-alpha)(x-beta)]

즉, [eqn: f(x) = {1} over {2}(x-alpha)(x-beta)-x+k] ……①

조건 (가)에서 [eqn: f(beta)=beta]이므로

[eqn: f(beta) = -beta+k = beta]에서 [eqn: k=2beta]

이를 ①에 대입하면

[eqn: f(x) = {1} over {2}(x-alpha)(x-beta)-x+2beta]

[eqn: = {1} over {2}x^{2} - {alpha+beta+2} over {2}x + {1} over {2}alpha beta + 2beta]

[eqn: = {1} over {2} left ( x - {alpha+beta+2} over {2} right )^{2} - {1} over {8}(alpha+beta+2)^{2} + {1} over {2}alpha beta + 2beta]

조건 (나)에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq beta]이므로 이차함수의 최솟값은 [eqn: beta] 이상이어야 한다.

[eqn: - {1} over {8}(alpha+beta+2)^{2} + {1} over {2}alpha beta + 2beta geq beta]

양변에 [eqn: 8]을 곱하여 정리하면

[eqn: -(alpha+beta+2)^{2} + 4alpha beta + 8beta geq 0]

[eqn: -(alpha^{2}+2alpha beta+beta^{2}+4alpha+4beta+4) + 4alpha beta + 8beta geq 0]

[eqn: -alpha^{2}+2alpha beta-beta^{2}-4alpha+4beta-4 geq 0]

[eqn: -(alpha-beta)^{2}-4(alpha-beta)-4 geq 0]

[eqn: - left ( (alpha-beta)+2 right )^{2} geq 0]

실수의 제곱은 항상 [eqn: 0] 이상이므로 [eqn: left ( (alpha-beta)+2 right )^{2} = 0]이어야 한다.

[eqn: alpha-beta+2=0]에서 [eqn: beta=alpha+2] ……②

주어진 부등식 [eqn: f(0) leq alpha+beta+f(alpha)]에서

[eqn: f(0) = {1} over {2}alpha beta + 2beta]

[eqn: f(alpha) = -alpha+2beta]이므로

[eqn: {1} over {2}alpha beta + 2beta leq alpha+beta-alpha+2beta]

[eqn: {1} over {2}alpha beta leq beta]

[eqn: beta]는 자연수이므로 양변을 [eqn: beta]로 나누면

[eqn: alpha leq 2]

[eqn: alpha]는 자연수이므로 [eqn: alpha=1] 또는 [eqn: alpha=2]이다.

(ⅰ) [eqn: alpha=1]일 때, ②에서 [eqn: beta=3]이므로

[eqn: f(x) = {1} over {2}(x-1)(x-3)-x+6]

[eqn: f(6) = {1} over {2} times 5 times 3 - 6 + 6 = {15} over {2}]

(ⅱ) [eqn: alpha=2]일 때, ②에서 [eqn: beta=4]이므로

[eqn: f(x) = {1} over {2}(x-2)(x-4)-x+8]

[eqn: f(6) = {1} over {2} times 4 times 2 - 6 + 8 = 6]

따라서 모든 [eqn: f(6)]의 값의 곱은 [eqn: {15} over {2} times 6 = 45]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 45]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 51]

④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 57]

등식
[eqn: x^{2}+(a+1)x+8=x^{2}+10x+b]
가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 항상 성립할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[eqn: 17]

주어진 등식이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 항상 성립하므로 [eqn: x]에 대한 항등식이다.

양변의 동류항의 계수를 비교하면

[eqn: a+1 = 10], [eqn: b = 8]

따라서 [eqn: a = 9], [eqn: b = 8]이다.

∴ [eqn: a+b = 9+8 = 17]

따라서 정답은 [eqn: 17]이다.

사차방정식
[eqn: x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x=0]
의 모든 양의 실근의 합을 구하시오.

[eqn: 3]

주어진 사차방정식의 좌변을 인수분해하면

[eqn: x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x=0]

[eqn: x(x^{3}-2x^{2}-x+2)=0]

[eqn: x left ( x^{2}(x-2)-(x-2) right )=0]

[eqn: x(x^{2}-1)(x-2)=0]

[eqn: x(x+1)(x-1)(x-2)=0]

이므로 사차방정식의 해는

[eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]

이 중 양의 실근은 [eqn: x=1], [eqn: x=2]이므로 모든 양의 실근의 합은 [eqn: 1+2=3]

따라서 정답은 [eqn: 3]이다.

[eqn: k - {3} over {k} = 6]일 때, [eqn: k^{3} - {27} over {k^{3}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 270]

[eqn: k^{3} - {27} over {k^{3}} = left ( k - {3} over {k} right )^{3} + 3 times k times {3} over {k} times left ( k - {3} over {k} right )]

[eqn: = left ( k - {3} over {k} right )^{3} + 9 left ( k - {3} over {k} right )]

[eqn: k - {3} over {k} = 6]이므로

[eqn: k^{3} - {27} over {k^{3}} = 6^{3} + 9 times 6][eqn: = 216 + 54][eqn: = 270]

따라서 정답은 [eqn: 270]이다.

[eqn: a]가 음수일 때, [eqn: {sqrt{-4a}} over {sqrt{a} sqrt{-4}} - {sqrt{-32} sqrt{4a}} over {sqrt{2} sqrt{-a}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 7]

[eqn: a < 0]이므로 [eqn: -a > 0]이다.

주어진 식의 근호 안의 음수를 허수단위 [eqn: i]를 이용하여 나타내면

[eqn: sqrt{-4a} = sqrt{4(-a)} = 2sqrt{-a}]

[eqn: sqrt{a} = sqrt{-(-a)} = sqrt{-a} i]

[eqn: sqrt{-4} = 2i]

[eqn: sqrt{-32} = sqrt{32} i = 4sqrt{2} i]

[eqn: sqrt{4a} = sqrt{-4(-a)} = 2sqrt{-a} i]

이를 주어진 식에 대입하면

[eqn: {sqrt{-4a}} over {sqrt{a} sqrt{-4}} - {sqrt{-32} sqrt{4a}} over {sqrt{2} sqrt{-a}}][eqn: = {2sqrt{-a}} over {sqrt{-a} i times 2i} - {4sqrt{2} i times 2sqrt{-a} i} over {sqrt{2} sqrt{-a}}]

[eqn: = {2sqrt{-a}} over {2sqrt{-a} i^{2}} - {8sqrt{2} sqrt{-a} i^{2}} over {sqrt{2} sqrt{-a}}][eqn: = {1} over {i^{2}} - 8i^{2}]

[eqn: = {1} over {-1} - 8(-1)][eqn: = -1 + 8][eqn: = 7]

∴ [eqn: 7]

따라서 정답은 [eqn: 7]이다.

[eqn: x]에 대한 부등식
[eqn: 2x+1 leq 2x+a leq x^{2}-2x+24]
의 해가 모든 실수가 되도록 하는 [eqn: a]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (단, [eqn: a]는 실수이다.)

[eqn: 21]

주어진 부등식은 연립부등식

[eqn: 2x+1 leq 2x+a] ……①

[eqn: 2x+a leq x^{2}-2x+24] ……②

부등식의 해가 모든 실수가 되려면 ①, ②가 각각 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립해야 한다.

①에서 [eqn: 1 leq a]이므로 [eqn: a geq 1]

②에서 [eqn: x^{2}-4x+24-a geq 0]

이 이차부등식이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하려면 이차방정식 [eqn: x^{2}-4x+24-a = 0]의 판별식 [eqn: D]에 대하여

[eqn: {D} over {4} = (-2)^{2} - (24-a) leq 0]

[eqn: 4 - 24 + a leq 0]

[eqn: a - 20 leq 0] ∴ [eqn: a leq 20]

따라서 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: 1 leq a leq 20]이다.

[eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 20], 최솟값은 [eqn: 1]이므로 그 합은 [eqn: 20 + 1 = 21]이다.

따라서 정답은 [eqn: 21]이다.

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: -2 leq x leq 2]에서 이차함수 [eqn: f(x)=(x-a)^{2}+2b]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: M leq 36]이고 [eqn: m geq 5]를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수를 구하시오.

[eqn: 23]

이차함수 [eqn: f(x) = (x-a)^{2} + 2b]의 그래프는 꼭짓점이 [eqn: (a, 2b)]이고 아래로 볼록한 포물선이다.

[eqn: a]는 자연수이므로 대칭축 [eqn: x = a]의 위치에 따라 구간 [eqn: -2 leq x leq 2]에서의 최댓값과 최솟값을 구한다.

(ⅰ) [eqn: a = 1], [eqn: a = 2]일 때

대칭축 [eqn: x = a]가 구간 [eqn: -2 leq x leq 2]에 포함되므로 [eqn: x = a]에서 최솟값을 갖고, 대칭축에서 더 멀리 떨어진 [eqn: x = -2]에서 최댓값을 갖는다.

[eqn: m = f(a) = 2b]

[eqn: M = f(-2) = (-2-a)^{2} + 2b = (a+2)^{2} + 2b]

조건에서 [eqn: m geq 5], [eqn: M leq 36]이므로

[eqn: 2b geq 5]에서 [eqn: b geq 3] ([eqn: b]는 자연수)

[eqn: (a+2)^{2} + 2b leq 36]

[eqn: a = 1]일 때, [eqn: 9 + 2b leq 36]에서 [eqn: 2b leq 27]이므로 [eqn: b leq 13]

따라서 [eqn: 3 leq b leq 13]이므로 만족하는 자연수 [eqn: b]는 [eqn: 11]개이다.

[eqn: a = 2]일 때, [eqn: 16 + 2b leq 36]에서 [eqn: 2b leq 20]이므로 [eqn: b leq 10]

따라서 [eqn: 3 leq b leq 10]이므로 만족하는 자연수 [eqn: b]는 [eqn: 8]개이다.

(ⅱ) [eqn: a geq 3]일 때

대칭축 [eqn: x = a]가 구간 [eqn: -2 leq x leq 2]의 오른쪽에 있으므로, 구간 [eqn: -2 leq x leq 2]에서 함수 [eqn: f(x)]는 감소한다.

따라서 [eqn: x = 2]에서 최솟값을 갖고, [eqn: x = -2]에서 최댓값을 갖는다.

[eqn: m = f(2) = (2-a)^{2} + 2b]

[eqn: M = f(-2) = (-2-a)^{2} + 2b = (a+2)^{2} + 2b]

조건에서 [eqn: m geq 5], [eqn: M leq 36]이므로

[eqn: (a-2)^{2} + 2b geq 5]

[eqn: (a+2)^{2} + 2b leq 36]

[eqn: a = 3]일 때, [eqn: (3-2)^{2} + 2b geq 5]에서 [eqn: 1 + 2b geq 5], 즉 [eqn: b geq 2]

[eqn: (3+2)^{2} + 2b leq 36]에서 [eqn: 25 + 2b leq 36], 즉 [eqn: 2b leq 11]이므로 [eqn: b leq 5]

따라서 [eqn: 2 leq b leq 5]이므로 만족하는 자연수 [eqn: b]는 [eqn: 4]개이다.

[eqn: a = 4]일 때, [eqn: (4+2)^{2} + 2b leq 36]에서 [eqn: 36 + 2b leq 36], 즉 [eqn: 2b leq 0]이므로 이를 만족하는 자연수 [eqn: b]는 존재하지 않는다.

[eqn: a geq 5]일 때, [eqn: (a+2)^{2} + 2b > 36]이므로 이를 만족하는 자연수 [eqn: b]는 존재하지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는 [eqn: 11 + 8 + 4 = 23]이다.

따라서 정답은 [eqn: 23]이다.

계수가 [eqn: 1]인 이차다항식 [eqn: P(x)]에 대하여 [eqn: left { P(x) right }^{2}]을 [eqn: x^{2}-4x-5]로 나눈 몫은 [eqn: Q(x)]이고 나머지는 [eqn: 36]이다. [eqn: P(0) neq P(4)]일 때, 모든 [eqn: Q(-1)]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 8]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: P(x) = x^{2} + ax + b]라 하자.

주어진 조건에서 [eqn: left { P(x) right }^{2} = (x^{2}-4x-5)Q(x) + 36]

즉, [eqn: left { P(x) right }^{2} = (x-5)(x+1)Q(x) + 36] ……①

①의 양변에 [eqn: x=5], [eqn: x=-1]을 각각 대입하면

[eqn: left { P(5) right }^{2} = 36]에서 [eqn: P(5) = 6] 또는 [eqn: P(5) = -6]

[eqn: left { P(-1) right }^{2} = 36]에서 [eqn: P(-1) = 6] 또는 [eqn: P(-1) = -6]

한편, [eqn: P(0) neq P(4)]에서

[eqn: b neq 16 + 4a + b]이므로 [eqn: 4a neq -16]

∴ [eqn: a neq -4]

(ⅰ) [eqn: P(5) = 6], [eqn: P(-1) = 6]인 경우

[eqn: P(x) - 6 = (x-5)(x+1)]이므로 [eqn: P(x) = x^{2} - 4x + 1]

이때 [eqn: a = -4]가 되어 [eqn: a neq -4]에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: P(5) = -6], [eqn: P(-1) = -6]인 경우

[eqn: P(x) + 6 = (x-5)(x+1)]이므로 [eqn: P(x) = x^{2} - 4x - 11]

이때 [eqn: a = -4]가 되어 [eqn: a neq -4]에 모순이다.

(ⅲ) [eqn: P(5) = 6], [eqn: P(-1) = -6]인 경우

[eqn: P(5) = 25 + 5a + b = 6]

[eqn: P(-1) = 1 - a + b = -6]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a = -2], [eqn: b = -9]이므로 [eqn: P(x) = x^{2} - 2x - 9]

이때 [eqn: a neq -4]를 만족한다.

①에서 [eqn: (x-5)(x+1)Q(x) = left { P(x) right }^{2} - 36 = left { P(x) - 6 right } left { P(x) + 6 right }]

[eqn: P(x) - 6 = x^{2} - 2x - 15 = (x-5)(x+3)]

[eqn: P(x) + 6 = x^{2} - 2x - 3 = (x-3)(x+1)]

따라서 [eqn: (x-5)(x+1)Q(x) = (x-5)(x+3)(x-3)(x+1)]이므로

[eqn: Q(x) = (x+3)(x-3)]

∴ [eqn: Q(-1) = 2 times (-4) = -8]

(ⅳ) [eqn: P(5) = -6], [eqn: P(-1) = 6]인 경우

[eqn: P(5) = 25 + 5a + b = -6]

[eqn: P(-1) = 1 - a + b = 6]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a = -6], [eqn: b = -1]이므로 [eqn: P(x) = x^{2} - 6x - 1]

이때 [eqn: a neq -4]를 만족한다.

①에서 [eqn: (x-5)(x+1)Q(x) = left { P(x) - 6 right } left { P(x) + 6 right }]

[eqn: P(x) - 6 = x^{2} - 6x - 7 = (x-7)(x+1)]

[eqn: P(x) + 6 = x^{2} - 6x + 5 = (x-5)(x-1)]

따라서 [eqn: (x-5)(x+1)Q(x) = (x-7)(x+1)(x-5)(x-1)]이므로

[eqn: Q(x) = (x-7)(x-1)]

∴ [eqn: Q(-1) = (-8) times (-2) = 16]

(ⅰ) ~ (ⅳ)에서 모든 [eqn: Q(-1)]의 값의 합은 [eqn: -8 + 16 = 8]이다.

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: (x-1)(x^{2}+ax+b)=0]의 서로 다른 세 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라 하자. [eqn: (2alpha+2beta-gamma)^{2}=-81]일 때, [eqn: (4+alpha)(4+beta)(4+gamma)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

[eqn: 65]

삼차방정식 [eqn: (x-1)(x^{2}+ax+b)=0]의 한 근은 [eqn: x=1]이고, 나머지 두 근은 이차방정식 [eqn: x^{2}+ax+b=0]의 근이다.

[eqn: a], [eqn: b]가 실수이므로 이차방정식 [eqn: x^{2}+ax+b=0]의 두 근을 [eqn: p+qi], [eqn: p-qi] ([eqn: p], [eqn: q]는 실수, [eqn: q neq 0])라 하면 세 근 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]는 [eqn: 1], [eqn: p+qi], [eqn: p-qi]이다.

조건에서 [eqn: (2alpha+2beta-gamma)^{2}=-81]이므로

[eqn: 2alpha+2beta-gamma = +- 9i]

즉, [eqn: 2alpha+2beta-gamma]는 순허수이다.

[eqn: 2alpha+2beta-gamma = 2(alpha+beta+gamma)-3gamma]이고, 세 근의 합 [eqn: alpha+beta+gamma = 1+(p+qi)+(p-qi) = 2p+1]이므로

[eqn: 2alpha+2beta-gamma = 2(2p+1)-3gamma = 4p+2-3gamma]

만약 [eqn: gamma=1]이면 [eqn: 2alpha+2beta-gamma = 4p-1]이 되어 실수이므로 모순이다.

따라서 [eqn: gamma]는 허수근이어야 하므로 일반성을 잃지 않고 [eqn: gamma=p+qi]라 하면

[eqn: 2alpha+2beta-gamma = 4p+2-3(p+qi) = p+2-3qi]

이 값이 순허수이어야 하므로 실수부분은 [eqn: 0]이고 허수부분은 [eqn: 0]이 아니어야 한다.

[eqn: p+2=0]에서 [eqn: p=-2]

[eqn: ( -3qi )^{2} = -9q^{2} = -81]에서 [eqn: q^{2}=9]

따라서 [eqn: q=3] 또는 [eqn: q=-3]이므로 이차방정식 [eqn: x^{2}+ax+b=0]의 두 근은 [eqn: -2+3i], [eqn: -2-3i]이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

두 근의 합은 [eqn: (-2+3i)+(-2-3i) = -4]이므로 [eqn: a=4]

두 근의 곱은 [eqn: (-2+3i)(-2-3i) = 13]이므로 [eqn: b=13]

따라서 주어진 삼차방정식은 [eqn: (x-1)(x^{2}+4x+13)=0]이다.

이 방정식의 세 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]이므로

[eqn: (x-alpha)(x-beta)(x-gamma) = (x-1)(x^{2}+4x+13)]

구하는 값은 [eqn: (4+alpha)(4+beta)(4+gamma)]이므로

[eqn: (4+alpha)(4+beta)(4+gamma) = -(-4-alpha)(-4-beta)(-4-gamma)]

위의 항등식에 [eqn: x=-4]를 대입하면

[eqn: (-4-alpha)(-4-beta)(-4-gamma) = (-4-1)( (-4)^{2}+4 times (-4)+13 )]

[eqn: (-4-alpha)(-4-beta)(-4-gamma) = -5 times (16-16+13) = -65]

∴ [eqn: (4+alpha)(4+beta)(4+gamma) = -(-65) = 65]

따라서 정답은 [eqn: 65]이다.

두 이차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: 4x^{2}-2 left { f(x)+g(x) right } x+f(x)g(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 1]이다.

(나) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: 4k^{2}-2 left { f(x)+g(x) right } k+f(x)g(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: - {1} over {2}], [eqn: 0], [eqn: 1]이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)-g(x) geq 0]일 때, [eqn: f(10)+g(6)]의 값을 구하시오.

[eqn: 114]

조건 (가)의 방정식을 인수분해하면

[eqn: 4x^{2}-2 left { f(x)+g(x) right } x+f(x)g(x)=0]에서

[eqn: left { 2x-f(x) right } left { 2x-g(x) right } =0]이므로

[eqn: f(x)=2x] 또는 [eqn: g(x)=2x] ……①

조건 (나)의 방정식을 인수분해하면

[eqn: 4k^{2}-2 left { f(x)+g(x) right } k+f(x)g(x)=0]에서

[eqn: left { 2k-f(x) right } left { 2k-g(x) right } =0]이므로

[eqn: f(x)=2k] 또는 [eqn: g(x)=2k] ……②

조건 (나)에서 ②를 만족하는 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이 되는 [eqn: k]는 [eqn: - {1} over {2}], [eqn: 0], [eqn: 1]이므로 두 이차함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=2k]와 만나는 교점의 개수가 [eqn: 3]이 되는 [eqn: 2k]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 2]이고,

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)-g(x) geq 0]에서 [eqn: f(x) geq g(x)]이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: y=g(x)]의 그래프보다 항상 위쪽에 있거나 한 점에서 접해야 하고, 직선 [eqn: y=2k]와의 교점이 [eqn: 3]개가 되는 [eqn: 2k]의 값이 [eqn: 3]개 존재하려면 [eqn: f(x)]는 아래로 볼록하고 [eqn: g(x)]는 위로 볼록하며 두 그래프가 한 점에서 접해야 하므로

[eqn: f(x)]의 최솟값을 [eqn: y_{f}], [eqn: g(x)]의 최댓값을 [eqn: y_{g}], 두 그래프의 접점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: y_{0}]이라 하면

[eqn: f(x) geq y_{f}]이고 [eqn: g(x) leq y_{g}]이므로 [eqn: y_{f} leq y_{0} leq y_{g}]이고, 교점의 개수가 [eqn: 3]이 되는 [eqn: 2k]의 값은 [eqn: y_{f}], [eqn: y_{0}], [eqn: y_{g}]이므로

∴ [eqn: y_{f}=-1], [eqn: y_{0}=0], [eqn: y_{g}=2]

접점의 좌표를 [eqn: (x_{0}, 0)]이라 하고, 이 점에서의 공통 접선의 방정식을 [eqn: y=m(x-x_{0})]이라 하면

[eqn: f(x)=a(x-x_{0})^{2}+m(x-x_{0})] ([eqn: a>0]), [eqn: g(x)=b(x-x_{0})^{2}+m(x-x_{0})] ([eqn: b<0])이고

[eqn: f(x)]의 최솟값은 이차함수의 성질에 의해 [eqn: - {m^{2}} over {4a} = -1]에서 [eqn: a = {m^{2}} over {4}]이고, [eqn: g(x)]의 최댓값은 [eqn: - {m^{2}} over {4b} = 2]에서 [eqn: b = - {m^{2}} over {8}]이므로

∴ [eqn: f(x)= {m^{2}} over {4} (x-x_{0})^{2}+m(x-x_{0})], [eqn: g(x)=- {m^{2}} over {8} (x-x_{0})^{2}+m(x-x_{0})]

조건 (가)에서 ①의 실근이 [eqn: 1]개이려면 두 방정식이 공통인 중근을 가져야 하고, [eqn: f(x)=g(x)]인 점은 접점 [eqn: (x_{0}, 0)]뿐이므로

[eqn: f(x_{0})=2x_{0}]에서 [eqn: 0=2x_{0}]

∴ [eqn: x_{0}=0]

[eqn: x_{0}=0]을 대입하면 [eqn: f(x)= {m^{2}} over {4} x^{2}+mx]이고, [eqn: f(x)=2x]가 중근 [eqn: x=0]을 가져야 하므로

[eqn: {m^{2}} over {4} x^{2}+(m-2)x=0]에서 [eqn: m-2=0]

∴ [eqn: m=2]

[eqn: m=2], [eqn: x_{0}=0]이므로

[eqn: f(x)=x^{2}+2x], [eqn: g(x)=- {1} over {2} x^{2}+2x]이고

[eqn: f(10)=100+20=120], [eqn: g(6)=-18+12=-6]이므로

[eqn: f(10)+g(6)=120+(-6)=114]

따라서 정답은 [eqn: 114]이다.