수학ETF	2024년_고3_5월	기출문제
	23~30
	기하

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {36} = 1]의 한 점근선이 [eqn: y = 2x]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

③

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {36} = 1]에서 [eqn: b^{2} = 36]이므로 양수 [eqn: b]의 값은 [eqn: 6]이다.

쌍곡선의 점근선의 방정식은 [eqn: y = +- {b} over {a} x]이므로

주어진 점근선 [eqn: y = 2x]에서 기울기는 [eqn: {b} over {a} = 2]이다.

[eqn: b = 6]을 대입하면 [eqn: {6} over {a} = 2]

∴ [eqn: a = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

방향이 같은 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]에 대하여 [eqn: left | vec{a} right | = 3], [eqn: left | vec{a} - 2 vec{b} right | = 6]일 때, 벡터 [eqn: vec{b}]의 크기는?

④

두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]의 방향이 같으므로

[eqn: vec{b} = k vec{a}] ([eqn: k > 0])라 하면

[eqn: left | vec{a} - 2 vec{b} right | = left | vec{a} - 2k vec{a} right | = left | 1 - 2k right | left | vec{a} right | = 6]

[eqn: left | vec{a} right | = 3]이므로

[eqn: 3 left | 1 - 2k right | = 6]에서 [eqn: left | 1 - 2k right | = 2]

[eqn: 1 - 2k = 2] 또는 [eqn: 1 - 2k = -2]에서 [eqn: k = - {1} over {2}] 또는 [eqn: k = {3} over {2}]

[eqn: k > 0]이므로 [eqn: k = {3} over {2}]

따라서 [eqn: left | vec{b} right | = left | k vec{a} right | = k left | vec{a} right | = {3} over {2} times 3 = {9} over {2}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

한 초점이 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )] [eqn: LEFT ( c>0 RIGHT )]인 타원 [eqn: {x^{2}} over {2} + y^{2} = 1] 위의 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP LEFT ( itx _{1} ,`y _{1} RIGHT )]에서의 접선의 기울기와 직선 [eqn: rmPF]의 기울기의 곱이 [eqn: 1]일 때, [eqn: x_{1}^{2} + y_{1}^{2}]의 값은? (단, [eqn: x_{1} != c])

①

타원의 방정식 [eqn: {x^{2}} over {2} + y^{2} = 1]에서 [eqn: a^{2}=2], [eqn: b^{2}=1]이므로

[eqn: c^{2} = 2 - 1 = 1]

[eqn: c > 0]이므로 [eqn: c = 1]이고 초점은 [eqn: rmF(1, 0)]이다.

타원 위의 점 [eqn: rmP LEFT ( itx _{1} ,`y _{1} RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: {x_{1}x} over {2} + y_{1}y = 1]

이 접선의 기울기는 [eqn: - {x_{1}} over {2y_{1}}]이다.

또한, 점 [eqn: rmP LEFT ( itx _{1} ,`y _{1} RIGHT )]초점 [eqn: rmF(1, 0)]을 지나는 직선 [eqn: rmPF]의 기울기는 [eqn: {y_{1}} over {x_{1} - 1}]

접선의 기울기와 직선 [eqn: rmPF]의 기울기의 곱이 [eqn: 1]이므로

[eqn: - {x_{1}} over {2y_{1}} times {y_{1}} over {x_{1} - 1} = 1]

점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이므로 [eqn: y_{1} > 0]이다.

[eqn: y_{1}]을 약분하여 정리하면

[eqn: - {x_{1}} over {2(x_{1} - 1)} = 1]

[eqn: -x_{1} = 2x_{1} - 2]에서 [eqn: 3x_{1} = 2]

∴ [eqn: x_{1} = {2} over {3}]

점 [eqn: rmP]는 타원 위의 점이므로 [eqn: {x_{1}^{2}} over {2} + y_{1}^{2} = 1]에 [eqn: x_{1} = {2} over {3}]를 대입하면 [eqn: {1} over {2} times {4} over {9} + y_{1}^{2} = 1]에서 [eqn: y_{1}^{2} = {7} over {9}]

∴ [eqn: x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = {4} over {9} + {7} over {9} = {11} over {9}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {11} over {9}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {13} over {9}]

④ [eqn: {14} over {9}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( it-c,`0 RIGHT )] ([eqn: c > 0])인 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {16} = 1] 위의 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP]라 하고, 이 쌍곡선과 직선 [eqn: rmPF']이 만나는 점 중 [eqn: rmP]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmoverline{PF} = overline{QF}]이고 [eqn: rmoverline{PQ} = 8]일 때, 선분 [eqn: rmFF']의 길이는? (단, [eqn: a > 0])

②

쌍곡선의 정의에 의해 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면에 있으므로

[eqn: {bar{rmF prime P}} - {bar{rmFP}} =it2a] ……①

점 [eqn: rmQ]는 제[eqn: 2]사분면에 있으므로

[eqn: {bar{rmFQ}} - {bar{rmF prime Q}} =2ita] ……②

①, ②를 변끼리 더하면

[eqn: rm ( {bar{F prime P}} - {bar{F prime Q}} )+( {bar{FQ}} - {bar{FP}} )=4ita]

이때 세 점 [eqn: rmF'], [eqn: rmQ], [eqn: rmP]는 한 직선 위에 있고 [eqn: rmQ]가 선분 [eqn: rmF'P] 위에 있으므로

[eqn: rmoverline{F'P} - overline{F'Q} = overline{PQ}]

또한 조건에서 [eqn: rmoverline{PF} = overline{QF}]이므로 [eqn: rmoverline{FQ} - overline{FP} = 0]

따라서 [eqn: rm {bar{PQ}} =4ita]

[eqn: rmoverline{PQ} = 8]이므로 [eqn: 4a = 8]에서 [eqn: a = 2]

쌍곡선의 방정식에서 [eqn: b^{2} = 16]이므로

[eqn: c^{2} = a^{2} + b^{2} = 4 + 16 = 20]

[eqn: c > 0]이므로 [eqn: c = 2 sqrt{5}]

따라서 [eqn: rm {bar{FF prime }} =2itc=4 sqrt {5}]이므로 정답은 ②이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 4 sqrt{5}]	③ [eqn: 4 sqrt{6}]

④ [eqn: 4 sqrt{7}]	⑤ [eqn: 8 sqrt{2}]

점 [eqn: rmF]를 초점으로 하는 포물선 [eqn: y^{2} = 4x]가 있다. 다음 조건을 만족시키는 포물선 [eqn: y^{2} = 4x] 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]에 대하여 [eqn: rmoverline {PF} + overline {QF} + overline {RF}]의 값은?

점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: y = x - 2] 사이의 거리를 [eqn: k]라 할 때, 이 직선으로부터의 거리가 [eqn: k]가 되도록 하는 포물선 [eqn: y^{2} = 4x] 위의 점 중 [eqn: rmP]가 아닌 점은 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]뿐이다.

③

포물선 [eqn: y^{2} = 4x]의 초점 [eqn: rmF]의 좌표는 [eqn: (1, 0)]이고 준선의 방정식은 [eqn: x = -1]이다.

포물선 위의 점 [eqn: (x, y)]에서 초점 [eqn: rmF]까지의 거리는 포물선의 정의에 의해 준선까지의 거리와 같으므로 [eqn: x + 1]이다.

직선 [eqn: y = x - 2], 즉 [eqn: x - y - 2 = 0]과의 거리가 [eqn: k]인 점 [eqn: (x, y)]의 자취는 [eqn: {left | x - y - 2 right |} over {sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}} = k]에서 [eqn: left | x - y - 2 right | = sqrt{2}k]

즉, [eqn: y = x - 2 + sqrt{2}k] 또는 [eqn: y = x - 2 - sqrt{2}k]이다.

기울기가 [eqn: 1]인 직선 [eqn: y = x + c]와 포물선 [eqn: y^{2} = 4x]의 교점의 개수를 구하기 위해 연립하면

[eqn: (x + c)^{2} = 4x]에서 [eqn: x^{2} + 2(c - 2)x + c^{2} = 0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} = (c - 2)^{2} - c^{2} = -4c + 4]

[eqn: c < 1]일 때 교점이 [eqn: 2]개, [eqn: c = 1]일 때 교점이 [eqn: 1]개, [eqn: c > 1]일 때 교점이 [eqn: 0]개이다.

직선 [eqn: y = x - 2]로부터 거리가 [eqn: k]인 포물선 위의 점이 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]의 [eqn: 3]개뿐이려면, 두 직선 [eqn: y = x - 2 + sqrt{2}k]와 [eqn: y = x - 2 - sqrt{2}k] 중 하나는 포물선과 접하고 다른 하나는 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.

[eqn: k > 0]이므로 [eqn: -2 + sqrt{2}k > -2 - sqrt{2}k]이고, [eqn: c]의 값이 작을수록 교점의 개수가 많아지므로 [eqn: y]절편이 더 큰 직선이 접해야 한다.

따라서 [eqn: -2 + sqrt{2}k = 1]이고, [eqn: -2 - sqrt{2}k = -2 - 3 = -5]이다.

즉, 두 직선은 [eqn: y = x + 1]과 [eqn: y = x - 5]이다.

접하는 직선 [eqn: y = x + 1]을 [eqn: y^{2} = 4x]에 대입하면 [eqn: (x + 1)^{2} = 4x]에서 [eqn: (x - 1)^{2} = 0]이므로 접점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x_{1} = 1]이다.

다른 직선 [eqn: y = x - 5]를 [eqn: y^{2} = 4x]에 대입하면 [eqn: (x - 5)^{2} = 4x]에서 [eqn: x^{2} - 14x + 25 = 0]이다.

이 이차방정식의 두 근을 [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}]이라 하면 근과 계수의 관계에서 [eqn: x_{2} + x_{3} = 14]이다.

세 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}]이므로

[eqn: {bar{PF}} + {bar{QF}} + {bar{RF}} =(x _{1} +1)+(x _{2} +1)+(x _{3} +1)][eqn: =x _{1} +x _{2} +x _{3} +3=18]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 17]	② [eqn: {35} over {2}]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: {37} over {2}]	⑤ [eqn: 19]

서로 평행한 두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]가 있다. 직선 [eqn: l_{1}] 위의 점 [eqn: A]에 대하여 점 [eqn: A]와 직선 [eqn: l_{2}] 사이의 거리는 [eqn: d]이다. 직선 [eqn: l_{2}] 위의 점 [eqn: rmB]에 대하여 [eqn: rmleft | vec{AB} right | = 5]이고, 직선 [eqn: l_{1}] 위의 점 [eqn: rmC], 직선 [eqn: l_{2}] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: rmleft | 4 vec{AB} - vec{CD} right |]의 최솟값은 [eqn: 12]이다. [eqn: rmleft | 4 vec{AB} - vec{CD} right |]의 값이 최소일 때의 벡터 [eqn: rmvec{CD}]의 크기를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: d times k]의 값은? (단, [eqn: d]는 [eqn: d leq 5]인 상수이다.)

④

좌표평면에서 직선 [eqn: l_{2}]를 [eqn: x]축, 직선 [eqn: l_{1}]을 직선 [eqn: y=d]라 하자.

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (0, d)], 점 [eqn: rmB]의 좌표를 [eqn: (b, 0)]이라 하면

[eqn: {vec{rmAB}} =it(b,-d)]

[eqn: rmleft | vec{AB} right | = 5]이므로 [eqn: b^{2} + d^{2} = 25] ……①

점 [eqn: rmC]의 좌표를 [eqn: (c, d)], 점 [eqn: rmD]의 좌표를 [eqn: (x, 0)]이라 하면

[eqn: {vec{rmCD}} =it(x-c,-d)]

[eqn: x-c = t]라 하면 [eqn: {vec{rmCD}} =it(t,-d)]이므로

[eqn: 4 {vec{rmAB}} - {vec{rmCD}} =it4(b,-d)-(t,-d)=(4b-t,-3d)]

[eqn: LEFT | 4 {vec{rmAB}} - {vec{rmCD}} RIGHT | =it sqrt {(4b-t) ^{2} +(-3d) ^{2}}]

[eqn: t]는 실수이므로 [eqn: t = 4b]일 때 [eqn: rmleft | 4 vec{AB} - vec{CD} right |]는 최솟값 [eqn: sqrt{9d^{2}} = 3d]를 갖는다. (단, [eqn: d > 0])

최솟값이 [eqn: 12]이므로 [eqn: 3d = 12]에서 [eqn: d = 4]

①에 대입하면 [eqn: b^{2} + 16 = 25]에서 [eqn: b^{2} = 9]

[eqn: t = 4b]일 때 [eqn: rmleft | 4 vec{AB} - vec{CD} right |]의 값이 최소이므로 이때의 벡터 [eqn: rmvec{CD}]의 크기 [eqn: k]는

[eqn: k= sqrt {t ^{2} +(-d) ^{2}} = sqrt {16b ^{2} +d ^{2}} = sqrt {16 TIMES 9+16} =4 sqrt {10}]

따라서 [eqn: d times k = 4 times 4 sqrt{10} = 16 sqrt{10}]이므로 정답은 ④이다.

① [eqn: 16 sqrt{7}]	② [eqn: 32 sqrt{2}]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 16 sqrt{10}]	⑤ [eqn: 16 sqrt{11}]

그림과 같이 초점이 [eqn: rmF]인 포물선 [eqn: y^{2} = 8x]와 이 포물선 위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]가 있다. 점 [eqn: rmP]를 초점으로 하고 준선이 [eqn: x = k]인 포물선 중 점 [eqn: rmF]를 지나는 포물선을 [eqn: C]라 하자. 포물선 [eqn: y^{2} = 8x]와 포물선 [eqn: C]가 만나는 두 점을 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]이라 할 때, 사각형 [eqn: rmPRFQ]의 둘레의 길이는 [eqn: 18]이다. 삼각형 [eqn: rmOFP]의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: S^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k]는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표보다 크고, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[eqn: 24]

포물선 [eqn: y^{2} = 8x]의 초점은 [eqn: rmF(2, 0)]이고 준선은 [eqn: x = -2]이다.

두 점 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x_{Q}], [eqn: x_{R}]이라 하면, 두 점은 포물선 [eqn: y^{2} = 8x] 위의 점이므로 포물선의 정의에 의해

[eqn: rm {bar{QF}} `=itx _{Q} +2], [eqn: rmbarRF`=itx _{R} +2]

또한 두 점 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]은 초점이 [eqn: rmP]이고 준선이 [eqn: x = k]인 포물선 [eqn: C] 위의 점이므로 포물선의 정의에 의해

[eqn: rmbarQP`=itk-x _{Q}], [eqn: rmbarRP`=itk-x _{R}]

사각형 [eqn: rmPRFQ]의 둘레의 길이가 [eqn: 18]이므로

[eqn: rm {bar{PR}} `+ rm {bar{RF}} `+ rm {bar{FQ}} `+ rm {bar{QP}} `][eqn: = it (k-x _{R} )+(x _{R} +2)+(x _{Q} +2)+(k-x _{Q} )=18]에서

[eqn: 2k + 4 = 18] ∴ [eqn: k = 7]

점 [eqn: rmF(2, 0)]는 포물선 [eqn: C] 위의 점이므로 포물선의 정의에 의해 [eqn: rmbarFP`=itk-2=5]

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_{P}]라 하면, 점 [eqn: rmP]는 포물선 [eqn: y^{2} = 8x] 위의 점이므로 포물선의 정의에 의해

[eqn: rmbarFP`=itx _{P} +2]

즉, [eqn: x_{P} + 2 = 5]에서 [eqn: x_{P} = 3]

점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이므로 [eqn: y^{2} = 8x]에 [eqn: x = 3]을 대입하면 [eqn: y^{2} = 24]에서 점 [eqn: rmP]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2sqrt{6}]이다.

삼각형 [eqn: rmOFP]는 밑변의 길이가 [eqn: rm {bar{OF}} =2]이고 높이가 [eqn: 2sqrt{6}]이므로

[eqn: S = {1} over {2} times 2 times 2sqrt{6} = 2sqrt{6}]

∴ [eqn: S^{2} = (2sqrt{6})^{2} = 24]

따라서 정답은 [eqn: 24]이다.

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( it-c,`0 RIGHT )] ([eqn: c > 0])인 타원 [eqn: E_{1}]이 있다. 타원 [eqn: E_{1}]의 꼭짓점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmA]라 하고, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmF]를 초점으로 하고 점 [eqn: rmF']을 지나는 타원을 [eqn: E _{2}]라 하자. 두 타원 [eqn: E _{1}], [eqn: E _{2}]의 교점 중 [eqn: y]좌표가 양수인 점 [eqn: rmB]에 대하여 [eqn: rmoverline{BF'} - overline{BA} = {1} over {5} overline{AF'}]이 성립한다. 타원 [eqn: E_{2}]의 단축의 길이가 [eqn: 4 sqrt{3}]일 때, [eqn: 30 times c^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 36]

타원 [eqn: E_{1}]의 꼭짓점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (a, 0)] ([eqn: a > c > 0])이라 하면

[eqn: rm {bar{AF prime }} =ita+c], [eqn: rm {bar{FF prime }} =2itc], [eqn: rm {bar{AF}} =ITa-c]

타원 [eqn: E_{2}]는 두 초점이 [eqn: rmA], [eqn: rmF]이고 점 [eqn: rmF']을 지나므로 장축의 길이를 [eqn: 2a_{2}], 두 초점 사이의 거리를 [eqn: 2c_{2}]라 하면

[eqn: 2a _{2} = {bar{rmF prime A}} + {bar{rmF prime F}} =it(a+c)+2c=a+3c]

[eqn: 2c _{2} = {bar{rmAF}} =ita-c]

타원 [eqn: E_{2}]의 단축의 길이가 [eqn: 4 sqrt{3}]이므로 단축의 절반 [eqn: b_{2} = 2 sqrt{3}]이다.

타원의 성질 [eqn: a_{2}^{2} = b_{2}^{2} + c_{2}^{2}]에서

[eqn: left ( {a+3c} over {2} right )^{2} = (2 sqrt{3})^{2} + left ( {a-c} over {2} right )^{2}]

[eqn: a^{2}+6ac+9c^{2} = 48 + a^{2}-2ac+c^{2}]에서 [eqn: 8ac + 8c^{2} = 48]

∴ [eqn: ac + c^{2} = 6] ……①

점 [eqn: B]는 타원 [eqn: E_{1}] 위의 점이므로 타원의 정의에서

[eqn: overline{BF'} + overline{BF} = 2a]

점 [eqn: rmB]는 타원 [eqn: E_{2}] 위의 점이므로 타원의 정의에서

[eqn: rm {bar{BA}} + {bar{BF}} =it2a _{2} =a+3c]

두 식을 빼면

[eqn: {bar{rmBF prime }} - {bar{rmBA}} =it2a-(a+3c)=a-3c]

조건에서 [eqn: rmoverline{BF'} - overline{BA} = {1} over {5} overline{AF'}]이므로

[eqn: a - 3c = {1} over {5} (a + c)]에서 [eqn: 5a - 15c = a + c]

∴ [eqn: a = 4c] ……②

②를 ①에 대입하면

[eqn: 4c^{2} + c^{2} = 6]에서 [eqn: 5c^{2} = 6] ∴ [eqn: c^{2} = {6} over {5}]

따라서 [eqn: 30 times c^{2} = 30 times {6} over {5} = 36]

따라서 정답은 [eqn: 36]이다.