수학ETF	2024년_고3_5월	기출문제
	23~30
	미적분

함수 [eqn: f(x) = sin 2x]에 대하여 [eqn: f'' left ( {pi} over {4} right )]의 값은?

①

[eqn: f(x) = sin 2x]에서 합성함수의 미분법에 의해

[eqn: f'(x) = 2 cos 2x]

이를 다시 미분하면

[eqn: f''(x) = -4 sin 2x]

[eqn: x = {pi} over {4}]를 대입하면

[eqn: f'' left ( {pi} over {4} right ) = -4 sin left ( 2 times {pi} over {4} right ) = -4 sin {pi} over {2} = -4]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: d(d>0)]인 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{n=1}^{infty} left ( {n} over {a_{n}} - {n+1} over {a_{n+1}} right ) = {2} over {3}]일 때, [eqn: d]의 값은?

③

주어진 급수의 제[eqn: N]항까지의 부분합을 [eqn: S_{N}]이라 하면

[eqn: S_{N} = sum_{n=1}^{N} left ( {n} over {a_{n}} - {n+1} over {a_{n+1}} right )]

[eqn: = left ( {1} over {a_{1}} - {2} over {a_{2}} right ) + left ( {2} over {a_{2}} - {3} over {a_{3}} right ) + cdots + left ( {N} over {a_{N}} - {N+1} over {a_{N+1}} right )][eqn: = {1} over {a_{1}} - {N+1} over {a_{N+1}}]

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: d]이므로

[eqn: a_{1} = 1], [eqn: a_{N+1} = 1 + Nd]

[eqn: S_{N} = 1 - {N+1} over {Nd+1}]

주어진 급수의 합은 [eqn: lim_{N -> infty} S_{N}]이므로

[eqn: lim_{N -> infty} S_{N} = lim_{N -> infty} left ( 1 - {N+1} over {Nd+1} right ) = 1 - {1} over {d}]

이때 급수의 합이 [eqn: {2} over {3}]이므로

[eqn: 1 - {1} over {d} = {2} over {3}]에서 [eqn: {1} over {d} = {1} over {3}] ∴ [eqn: d = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

곡선 [eqn: y = e^{2x} - 1] 위의 점 [eqn: rmP LEFT ( itt,`e ^{2t} -1 RIGHT )][eqn: LEFT ( t>0 RIGHT )]에 대하여 [eqn: rmoverline{PQ} = overline{OQ}]를 만족시키는 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f(t)]라 할 때, [eqn: lim_{t rightarrow 0+} {f(t)} over {t}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

④

점 [eqn: rmO(0, 0)], [eqn: rmP(itt,e ^{2t} -1)], [eqn: rmQ(itf(t),0)]에 대하여 [eqn: rmoverline{PQ} = overline{OQ}]이므로 [eqn: rmoverline{PQ}^{2} = overline{OQ}^{2}]에서

[eqn: (t - f(t))^{2} + (e^{2t} - 1)^{2} = (f(t))^{2}]

[eqn: t^{2} - 2t f(t) + (e^{2t} - 1)^{2} = 0]

[eqn: t > 0]이므로 [eqn: f(t)]에 대하여 정리하면

[eqn: f(t) = {t^{2} + (e^{2t} - 1)^{2}} over {2t}]

양변을 [eqn: t]로 나누면

[eqn: {f(t)} over {t} = {t^{2} + (e^{2t} - 1)^{2}} over {2t^{2}} = {1} over {2} + {1} over {2} left ( {e^{2t} - 1} over {t} right )^{2}]

[eqn: lim from {t -> 0+} {e^{2t} - 1} over {t} = 2]이므로

[eqn: lim from {t -> 0+} {f(t)} over {t} = lim from {t -> 0+} left { {1} over {2} + {1} over {2} left ( {e^{2t} - 1} over {t} right )^{2} right } = {1} over {2} + {1} over {2} times 2^{2} = {5} over {2}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

열린구간 [eqn: (0, infty)]에서 정의된 함수
[eqn: f(x)= lim _{n->inf} {{x ^{n+1} + LEFT ( {4} over {x} RIGHT ) ^{n}} over {x ^{n} + LEFT ( {4} over {`x} RIGHT ) ^{n+1}}}]
이 있다. [eqn: x > 0]일 때, 방정식 [eqn: f(x) = 2x - 3]의 모든 실근의 합은?

④

[eqn: x > 0]에서 극한의 밑인 [eqn: x]와 [eqn: {4} over {x}]의 크기를 비교하기 위해 [eqn: x = {4} over {x}]를 풀면 [eqn: x^{2} = 4]에서 [eqn: x = 2]이다.

(ⅰ) [eqn: 0 < x < 2]일 때

[eqn: x < {4} over {x}]이므로 분모와 분자를 [eqn: left ( {4} over {x} right )^{n}]으로 나누면

[eqn: f(x) = lim from {n -> inf} {x left ( {x^{2}} over {4} right )^{n} + 1} over {left ( {x^{2}} over {4} right )^{n} + {4} over {x}} = {1} over {{4} over {x}} = {x} over {4}]

[eqn: f(x) = 2x - 3]에서 [eqn: {x} over {4} = 2x - 3] ∴ [eqn: x = {12} over {7}]

[eqn: 0 < {12} over {7} < 2]이므로 해가 된다.

(ⅱ) [eqn: x = 2]일 때

[eqn: x = {4} over {x} = 2]이므로 [eqn: f(2) = lim from {n -> inf} {2^{n+1} + 2^{n}} over {2^{n} + 2^{n+1}} = 1]

[eqn: f(2) = 2 times 2 - 3 = 1]이 성립하므로 [eqn: x = 2]는 해가 된다.

(ⅲ) [eqn: x > 2]일 때

[eqn: x > {4} over {x}]이므로 분모와 분자를 [eqn: x^{n}]으로 나누면

[eqn: f(x) = lim from {n -> inf} {x + left ( {4} over {x^{2}} right )^{n}} over {1 + {4} over {x} left ( {4} over {x^{2}} right )^{n}} = x]

[eqn: f(x) = 2x - 3]에서 [eqn: x = 2x - 3] ∴ [eqn: x = 3]

[eqn: 3 > 2]이므로 해가 된다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구한 모든 실근의 합은

[eqn: {12} over {7} + 2 + 3 = {47} over {7}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {41} over {7}]	② [eqn: {43} over {7}]	③ [eqn: {45} over {7}]

④ [eqn: {47} over {7}]	⑤ [eqn: 7]

함수 [eqn: f(x)=x^{3}+x+1]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자. 매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선
[eqn: x=g(t)+t], [eqn: y=g(t)-t]
에서 [eqn: t=3]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은?

⑤

[eqn: x=g(t)+t], [eqn: y=g(t)-t]를 각각 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: {dx} over {dt} = g'(t) + 1], [eqn: {dy} over {dt} = g'(t) - 1]

매개변수로 나타낸 함수의 미분법에 의해

[eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {g'(t) - 1} over {g'(t) + 1}]

[eqn: g(3) = k]라 하면 [eqn: f(k) = 3]이므로

[eqn: k^{3} + k + 1 = 3]에서 [eqn: k^{3} + k - 2 = 0]

[eqn: (k-1)(k^{2} + k + 2) = 0]

[eqn: k]는 실수이므로 [eqn: k = 1]

즉, [eqn: g(3) = 1]

[eqn: f(x) = x^{3} + x + 1]에서 [eqn: f'(x) = 3x^{2} + 1]이므로 [eqn: f'(1) = 4]

역함수의 미분법에 의해 [eqn: g'(3) = {1} over {f'(g(3))} = {1} over {f'(1)} = {1} over {4}]

따라서 [eqn: t=3]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은 [eqn: {g'(3) - 1} over {g'(3) + 1} = {{1} over {4} - 1} over {{1} over {4} + 1} = - {3} over {5}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: - {1} over {5}]	② [eqn: - {3} over {10}]	③ [eqn: - {2} over {5}]

④ [eqn: - {1} over {2}]	⑤ [eqn: - {3} over {5}]

두 상수 [eqn: a(a > 0)], [eqn: b]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]를
[eqn: f(x) = a sin x - cos x], [eqn: g(x) = e^{2x-b} - 1]
이라 하자. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: tan b]의 값은?

(가) [eqn: f(k) = g(k) = 0]을 만족시키는 실수 [eqn: k]가
열린구간 [eqn: LEFT ( - {pi } over {2} ,` {pi } over {2} RIGHT )]에 존재한다.

(나) 열린구간 [eqn: LEFT ( - {pi } over {2} ,` {pi } over {2} RIGHT )]에서
방정식 [eqn: left { f(x)g(x) right } ' = 2f(x)]의 모든 해의 합은 [eqn: {pi} over {4}]이다.

②

조건 (가)에서 [eqn: g(k) = e^{2k-b} - 1 = 0]이므로 [eqn: 2k - b = 0] ∴ [eqn: b = 2k]

[eqn: f(k) = a sin k - cos k = 0]에서 [eqn: a sin k = cos k]

[eqn: k in left ( - {pi} over {2} , {pi} over {2} right )]에서 [eqn: cos k = 0]이면 [eqn: sin k = 0]이 되어 모순이므로 [eqn: cos k neq 0]이다.

양변을 [eqn: cos k]로 나누면 [eqn: tan k = {1} over {a}] ……①

조건 (나)의 방정식 [eqn: left { f(x)g(x) right } ' = 2f(x)]의 좌변을 미분하면

[eqn: f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 2f(x)]

[eqn: g'(x) = 2e^{2x-b} = 2(g(x)+1)]이므로

[eqn: f'(x)g(x) + 2f(x)g(x) + 2f(x) = 2f(x)]

[eqn: g(x) left { f'(x) + 2f(x) right } = 0]

[eqn: g(x) = 0] 또는 [eqn: f'(x) + 2f(x) = 0]

[eqn: g(x) = 0]의 해는 [eqn: x = {b} over {2} = k]이다.

[eqn: f'(x) + 2f(x) = 0]에서 [eqn: f'(x) = a cos x + sin x]이므로

[eqn: (a cos x + sin x) + 2(a sin x - cos x) = 0]

[eqn: (2a+1)sin x + (a-2)cos x = 0]

[eqn: x in left ( - {pi} over {2} , {pi} over {2} right )]에서 [eqn: cos x = 0]이면 [eqn: sin x = 0]이 되어 모순이므로 [eqn: cos x neq 0]이다.

양변을 [eqn: cos x]로 나누면 [eqn: (2a+1)tan x + a - 2 = 0]

[eqn: tan x = {2-a} over {2a+1}]

이 방정식의 해를 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: tan alpha = {2-a} over {2a+1}] ……②

조건 (나)에서 모든 해의 합이 [eqn: {pi} over {4}]이므로 [eqn: k + alpha = {pi} over {4}]

양변에 탄젠트를 취하면 [eqn: tan (k + alpha) = 1]이므로

[eqn: {tan k + tan alpha} over {1 - tan k tan alpha} = 1]

①, ②를 대입하면 [eqn: { {1} over {a} + {2-a} over {2a+1} } over { 1 - {1} over {a} times {2-a} over {2a+1} } = 1]

분모와 분자에 [eqn: a(2a+1)]을 곱하여 정리하면

[eqn: {(2a+1) + a(2-a)} over {a(2a+1) - (2-a)} = 1], [eqn: {-a^{2} + 4a + 1} over {2a^{2} + 2a - 2} = 1]

[eqn: -a^{2} + 4a + 1 = 2a^{2} + 2a - 2] ∴ [eqn: 3a^{2} - 2a - 3 = 0]

[eqn: b = 2k]이므로 [eqn: tan b = tan 2k]

[eqn: tan 2k = {2 tan k} over {1 - tan^{2} k} = { 2 times {1} over {a} } over { 1 - {1} over {a^{2}} } = {2a} over {a^{2} - 1}]

[eqn: 3a^{2} - 2a - 3 = 0]에서 [eqn: 3(a^{2} - 1) = 2a]이므로 [eqn: a^{2} - 1 = {2a} over {3}]

따라서 [eqn: tan b = {2a} over { {2a} over {3} } = 3]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

그림과 같이 길이가 [eqn: 3]인 선분 [eqn: rmAB]를 삼등분하는 점 중 [eqn: rmA]와 가까운 점을 [eqn: rmC], [eqn: rmB]와 가까운 점을 [eqn: rmD]라 하고, 선분 [eqn: rmBC]를 지름으로 하는 원을 [eqn: O]라 하자. 원 [eqn: O] 위의 점 [eqn: rmP]를 [eqn: rmangle BAP = theta (0 < theta < {pi} over {6})]가 되도록 잡고, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmD]를 지나는 직선이 원 [eqn: O]와 만나는 점 중 [eqn: rmP]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 선분 [eqn: rmAQ]의 길이를 [eqn: f(theta)]라 할 때, [eqn: cos theta_{0} = {7} over {8}]인 [eqn: theta_{0}]에 대하여 [eqn: f'(theta_{0}) = k]이다. [eqn: k^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmangle APD < {pi} over {2}]이고 [eqn: 0 < theta_{0} < {pi} over {6}]이다.)

[eqn: 40]

선분 [eqn: rmAB]의 길이가 [eqn: 3]이고 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 선분 [eqn: rmAB]를 삼등분하므로 [eqn: rmbarAC`=rmbarCD`=rmbarDB`=1]

원 [eqn: rmO]는 선분 [eqn: rmBC]를 지름으로 하므로 중심은 [eqn: rmD]이고 반지름의 길이는 [eqn: 1]이다.

따라서 [eqn: rmbarAD`=2], [eqn: rmbarDP`=rmbarDQ`=1]

삼각형 [eqn: rmAPQ]에서 점 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmPQ]의 중점이므로 파푸스 중선 정리에 의해

[eqn: rmbarAP` ^{2} +rmbarAQ` ^{2} =2 LEFT ( rmbarAD` ^{2} +rmbarDP` ^{2} RIGHT )]

[eqn: rmbarAP` ^{2} +f LEFT ( theta RIGHT ) ^{2} =2 LEFT ( 2 ^{2} +1 ^{2} RIGHT ) =10] ……①

삼각형 [eqn: rmADP]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmbarDP` ^{2} =rmbarAD` ^{2} +rmbarAP` ^{2} -2 TIMES rmbarAD` TIMES rmbarAP` TIMES cos`theta]

[eqn: 1 ^{2} =2 ^{2} +rmbarAP` ^{2} -4 TIMES rmbarAP` TIMES cos theta]

[eqn: rmbarAP` ^{2} -4 TIMES rmbarAP` TIMES cos theta +3=0] ……②

[eqn: theta = theta_{0}]일 때 [eqn: cos theta_{0} = {7} over {8}]이므로 ②에 대입하면

[eqn: rmbarAP` ^{2} - {7} over {2} rmbarAP`+3=0]에서 [eqn: rmbarAP`= {3} over {2}] 또는 [eqn: rmbarAP`=2]

조건에서 [eqn: rmangle APD < {pi} over {2}]이므로 삼각형 [eqn: rmADP]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar{AD}} ` ^{2} = rm {bar{AP}} ` ^{2} + rm {bar{DP}} ` ^{2} -2 TIMES rm {bar{AP}} ` TIMES rm {bar{DP}} ` TIMES cos( ANGLE rmAPD)]

[eqn: 4=rmbarAP` ^{2} +1-2 TIMES rmbarAP` TIMES cos( ANGLE rmAPD)]

[eqn: cos( ANGLE rmAPD)= {rmbarAP` ^{2} -3} over {2 TIMES rmbarAP} >0]

즉, [eqn: rmbarAP` ^{2} >3]이므로 [eqn: rmbarAP`=2]

①에 [eqn: rmbarAP`=2]를 대입하면 [eqn: 4 + f(theta_{0})^{2} = 10]에서 [eqn: f(theta_{0}) = sqrt{6}] ([eqn: f(theta) > 0])

②의 양변을 [eqn: theta]에 대하여 미분하면

[eqn: 2 TIMES rmbarAP` TIMES {d(rmbarAP`)} over {d theta } -4 LEFT ( {d(rmbarAP`)} over {d theta } TIMES cos theta +rmbarAP` TIMES (-sin theta ) RIGHT ) =0]

[eqn: (rmbarAP`-2cos theta ) {d(rmbarAP`)} over {d theta } =-2 TIMES rmbarAP` TIMES sin theta]

[eqn: theta = theta_{0}]일 때 [eqn: cos theta_{0} = {7} over {8}]이고 [eqn: 0 < theta_{0} < {pi} over {6}]이므로

[eqn: sin theta_{0} = sqrt{1 - left ( {7} over {8} right )^{2}} = {sqrt{15}} over {8}]

[eqn: rmbarAP`=2], [eqn: cos theta_{0} = {7} over {8}], [eqn: sin theta_{0} = {sqrt{15}} over {8}]을 대입하면

[eqn: LEFT ( 2-2 TIMES {7} over {8} RIGHT ) {d(rmbarAP`)} over {d theta } =-2 TIMES 2 TIMES {sqrt {15}} over {8}]

[eqn: {1} over {4} {d(rmbarAP`)} over {d theta } =- {sqrt {15}} over {2}] ∴ [eqn: {d(rmbarAP`)} over {d theta } =-2 sqrt {15}]

①의 양변을 [eqn: theta]에 대하여 미분하면

[eqn: 2 TIMES rmbarAP` TIMES {d(rmbarAP`)} over {d theta } +2 TIMES f( theta ) TIMES f prime ( theta )=0]

[eqn: theta = theta_{0}]일 때의 값들을 대입하면

[eqn: 2 times 2 times (-2 sqrt{15}) + 2 times sqrt{6} times k = 0]

[eqn: 2 sqrt{6} k = 8 sqrt{15}]

[eqn: k = {4 sqrt{15}} over {sqrt{6}} = 2 sqrt{10}]에서 [eqn: k^{2} = 40]

따라서 정답은 [eqn: 40]이다.

수열 [eqn: left { a_{n} right }]은 공비가 [eqn: 0]이 아닌 등비수열이고, 수열 [eqn: left { b_{n} right }]을 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: b _{n} = {cases{a _{n}&``` LEFT ( LEFT | a _{n} RIGHT | <alpha RIGHT )#- {5} over {a _{n}}&``` LEFT ( LEFT | a _{n} RIGHT | GEQ alpha RIGHT )}}] ([eqn: alpha]는 양의 상수)
라 할 때, 두 수열 [eqn: left { a_{n} right }], [eqn: left { b_{n} right }]과 자연수 [eqn: p]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: sum_{n=1}^{infty} a_{n} = 4]

(나) [eqn: sum_{n=1}^{m} {a_{n}} over {b_{n}}]의 값이 최소가 되도록 하는 자연수 [eqn: m]은 [eqn: p]이고, [eqn: sum_{n=1}^{p} b_{n} = 51], [eqn: sum_{n=p+1}^{infty} b_{n} = {1} over {64}]이다.

[eqn: 32 times (a_{3} + p)]의 값을 구하시오.

[eqn: 138]

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 하면

조건 (가)에서 [eqn: sum from {n=1} to {inf} a_{n} = 4]이므로 [eqn: left | r right | < 1]이고

[eqn: {a} over {1-r} = 4]에서 [eqn: a = 4(1-r)] ……①

조건 (나)에서 [eqn: b_{n}]의 정의에 따라 [eqn: {a_{n}} over {b_{n}}]을 구하면

[eqn: left | a_{n} right | < alpha]일 때 [eqn: b_{n} = a_{n}]이므로 [eqn: {a_{n}} over {b_{n}} = 1]

[eqn: left | a_{n} right | geq alpha]일 때 [eqn: b_{n} = - {5} over {a_{n}}]이므로 [eqn: {a_{n}} over {b_{n}} = - {a_{n}^{2}} over {5} < 0]

[eqn: sum from {n=1} to {m} {a_{n}} over {b_{n}}]의 값이 최소가 되려면 음수인 항들을 모두 더해야 하므로

[eqn: n leq p]일 때 [eqn: left | a_{n} right | geq alpha]이고 [eqn: n geq p+1]일 때 [eqn: left | a_{n} right | < alpha]

따라서 [eqn: n leq p]일 때 [eqn: b_{n} = - {5} over {a_{n}}]이고 [eqn: n geq p+1]일 때 [eqn: b_{n} = a_{n}]

[eqn: sum from {n=p+1} to {inf} b_{n} = {1} over {64}]이므로

[eqn: sum from {n=p+1} to {inf} a_{n} = {a_{p+1}} over {1-r} = {a r^{p}} over {1-r} = {1} over {64}]

①을 대입하면 [eqn: 4 r^{p} = {1} over {64}] ∴ [eqn: r^{p} = {1} over {256}] ……②

[eqn: sum from {n=1} to {p} b_{n} = 51]이므로

[eqn: sum from {n=1} to {p} left ( - {5} over {a_{n}} right ) = -5 sum from {n=1} to {p} {1} over {a_{n}} = 51]

수열 [eqn: left { {1} over {a_{n}} right }]은 첫째항이 [eqn: {1} over {a}]이고 공비가 [eqn: {1} over {r}]인 등비수열이므로

[eqn: -5 times { {1} over {a} left ( 1 - left ( {1} over {r} right )^{p} right )} over {1 - {1} over {r}} = -5 times {r (r^{p} - 1)} over {a r^{p} (r-1)} = 51]

①, ②를 대입하면

[eqn: -5 times {r left ( {1} over {256} - 1 right )} over {4(1-r) times {1} over {256} times (r-1)} = 51]

[eqn: 5 times {r left ( - {255} over {256} right )} over {4(1-r)^{2} times {1} over {256}} = 51]에서 [eqn: - {1275 r} over {4(1-r)^{2}} = 51]

[eqn: -25r = 4(1-r)^{2}]에서 [eqn: 4r^{2} + 17r + 4 = 0]

[eqn: (4r+1)(r+4) = 0]이고 [eqn: left | r right | < 1]이므로 [eqn: r = - {1} over {4}]

②에 대입하면 [eqn: left ( - {1} over {4} right )^{p} = {1} over {256}] ∴ [eqn: p = 4]

①에 대입하면 [eqn: a = 4 left ( 1 - left ( - {1} over {4} right ) right ) = 5]

[eqn: a_{3} = a r^{2} = 5 left ( - {1} over {4} right )^{2} = {5} over {16}]

[eqn: 32 times (a_{3} + p) = 32 times left ( {5} over {16} + 4 right ) = 10 + 128 = 138]

따라서 정답은 [eqn: 138]이다.