수학ETF	2024년_고3_5월	기출문제
	1~22
	대수, 미적분

[eqn: 4^{1-sqrt{3}} times 2^{1+2sqrt{3}}]의 값은?

④

지수법칙을 적용하여 밑을 [eqn: 2]로 통일하면

[eqn: 4^{1-sqrt{3}} times 2^{1+2sqrt{3}} = (2^{2})^{1-sqrt{3}} times 2^{1+2sqrt{3}}]

[eqn: = 2^{2-2sqrt{3}} times 2^{1+2sqrt{3}}][eqn: = 2^{(2-2sqrt{3})+(1+2sqrt{3})}][eqn: = 2^{3} = 8]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

[eqn: lim_{x rightarrow infty} left ( sqrt{x^{2}+4x} - x right )]의 값은?

②

[eqn: lim from {x -> infty} left ( sqrt{x^{2}+4x} - x right )]

[eqn: = lim from {x -> infty} {left ( sqrt{x^{2}+4x} - x right ) left ( sqrt{x^{2}+4x} + x right )} over {sqrt{x^{2}+4x} + x}][eqn: = lim from {x -> infty} {4x} over {sqrt{x^{2}+4x} + x}]

분모와 분자를 [eqn: x]로 나누면

[eqn: lim from {x -> infty} {4} over {sqrt{1 + {4} over {x}} + 1} = {4} over {1+1} = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

첫째항이 [eqn: 1]인 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{5} - a_{3} = 8]일 때, [eqn: a_{2}]의 값은?

③

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: a_{5} - a_{3} = 2d]

주어진 조건에서 [eqn: a_{5} - a_{3} = 8]이므로 [eqn: 2d = 8] ∴ [eqn: d = 4]

첫째항이 [eqn: 1]이므로 [eqn: a_{2} = a_{1} + d = 1 + 4 = 5]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_{h rightarrow 0} {f(1+2h)-4} over {h} = 6]일 때, [eqn: f(1)+f'(1)]의 값은?

③

[eqn: lim from {h -> 0} {f(1+2h)-4} over {h} = 6]에서 극한값이 존재하고 [eqn: h -> 0]일 때 분모가 [eqn: 0]으로 가므로 분자도 [eqn: 0]으로 가야 한다.

즉, [eqn: lim from {h -> 0} left ( f(1+2h)-4 right ) = 0]이므로 [eqn: f(1) = 4]

주어진 식을 변형하면

[eqn: lim from {h -> 0} {f(1+2h)-f(1)} over {h} = lim from {h -> 0} {f(1+2h)-f(1)} over {2h} times 2 = 2f'(1)]

[eqn: 2f'(1) = 6]에서 [eqn: f'(1) = 3]

∴ [eqn: f(1)+f'(1) = 4+3 = 7]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: sin(-theta)+cos left ( {pi} over {2} + theta right ) = {8} over {5}]이고 [eqn: cos theta < 0]일 때, [eqn: tan theta]의 값은?

④

[eqn: sin(-theta) = -sin theta], [eqn: cos left ( {pi} over {2} + theta right ) = -sin theta]이므로

[eqn: -sin theta - sin theta = {8} over {5}]에서 [eqn: sin theta = -{4} over {5}]

[eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]에서 [eqn: cos^{2} theta = 1 - left ( -{4} over {5} right )^{2} = {9} over {25}]

[eqn: cos theta < 0]이므로 [eqn: cos theta = -{3} over {5}]

[eqn: tan theta = {sin theta} over {cos theta}]이므로 [eqn: tan theta = {4} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: -{5} over {3}]	② [eqn: -{4} over {3}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

함수 [eqn: f(x) = x^{3} + ax^{2} + 3a]가 [eqn: x = -2]에서 극대일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

⑤

함수 [eqn: f(x) = x^{3} + ax^{2} + 3a]에서 [eqn: f'(x) = 3x^{2} + 2ax]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x = -2]에서 극대이므로 [eqn: f'(-2) = 0]에서

[eqn: 12 - 4a = 0] ∴ [eqn: a = 3]

[eqn: f'(x) = 3x^{2} + 6x = 3x(x+2)]이므로 [eqn: f'(x) = 0]에서

[eqn: x = -2] 또는 [eqn: x = 0]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = 0]에서 극소이다.

[eqn: f(x) = x^{3} + 3x^{2} + 9]이므로 구하는 극솟값은 [eqn: f(0) = 9]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

다항함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 증가하고
[eqn: f'(x) = left { 3x - f(1) right } (x - 1)]
을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은?

②

다항함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 증가하므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f'(x) geq 0]이다.

[eqn: f'(x) = left { 3x - f(1) right } (x - 1) geq 0]

이 이차부등식이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하려면 이차방정식 [eqn: f'(x) = 0]이 중근을 가져야 하므로

[eqn: 3x - f(1) = 3(x - 1)], [eqn: f(1) = 3]

따라서 [eqn: f'(x) = 3(x - 1)^{2} = 3x^{2} - 6x + 3]

[eqn: f(x) = int f'(x) dx = int (3x^{2} - 6x + 3) dx = x^{3} - 3x^{2} + 3x + C] ([eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(1) = 1 - 3 + 3 + C = 3]에서 [eqn: C = 2]

[eqn: f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x + 2], [eqn: f(2) = 8 - 12 + 6 + 2 = 4]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=a cos bx]의 주기가 [eqn: 6 pi]이고 닫힌구간 [eqn: [ pi ,`4 pi ]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값이 [eqn: 1]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

⑤

함수 [eqn: f(x) = a cos bx]의 주기가 [eqn: 6 pi]이고 [eqn: b > 0]이므로

[eqn: {2 pi} over {b} = 6 pi]에서 [eqn: b = {1} over {3}]

따라서 [eqn: f(x) = a cos left ( {1} over {3} x right )]이다.

닫힌구간 [eqn: [ pi, 4 pi ]]에서 [eqn: {pi} over {3} leq {1} over {3} x leq {4 pi} over {3}]이므로

함수 [eqn: cos left ( {1} over {3} x right )]는 [eqn: {1} over {3} x = {pi} over {3}], 즉 [eqn: x = pi]일 때 최댓값 [eqn: cos left ( {pi} over {3} right ) = {1} over {2}]을 갖는다.

[eqn: a > 0]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: a times {1} over {2} = {a} over {2}]이다.

주어진 조건에서 최댓값이 [eqn: 1]이므로 [eqn: {a} over {2} = 1] ∴ [eqn: a = 2]

따라서 [eqn: a + b = 2 + {1} over {3} = {7} over {3}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {5} over {3}]	② [eqn: {11} over {6}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {13} over {6}]	⑤ [eqn: {7} over {3}]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{n+1} = 1 - 4 times S_{n}]
이고 [eqn: a_{4} = 4]일 때, [eqn: a_{1} times a_{6}]의 값은?

①

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n+1} = 1 - 4 times S_{n}] ……①

[eqn: n geq 2]일 때, ①에서 [eqn: n] 대신 [eqn: n-1]을 대입하면

[eqn: a_{n} = 1 - 4 times S_{n-1}] ……②

①에서 ②를 빼면

[eqn: a_{n+1} - a_{n} = -4(S_{n} - S_{n-1})]

[eqn: n geq 2]일 때 [eqn: S_{n} - S_{n-1} = a_{n}]이므로

[eqn: a_{n+1} - a_{n} = -4a_{n}] ∴ [eqn: a_{n+1} = -3a_{n}] ([eqn: n geq 2])

[eqn: a_{4} = 4]이므로

[eqn: a_{4} = -3a_{3} = (-3)^{2}a_{2} = 9a_{2}]에서 [eqn: 9a_{2} = 4] ∴ [eqn: a_{2} = {4} over {9}]

①에 [eqn: n=1]을 대입하면 [eqn: a_{2} = 1 - 4 times S_{1}]이고 [eqn: S_{1} = a_{1}]이므로

[eqn: {4} over {9} = 1 - 4a_{1}]에서 [eqn: 4a_{1} = {5} over {9}] ∴ [eqn: a_{1} = {5} over {36}]

또한, [eqn: a_{6} = -3a_{5} = (-3)^{2}a_{4} = 9 times 4 = 36]

따라서 [eqn: a_{1} times a_{6} = {5} over {36} times 36 = 5]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

실수 [eqn: m]에 대하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도를 각각
[eqn: v_{1}(t) = 3t^{2} + 1], [eqn: v_{2}(t) = mt - 4]
라 하자. 시각 [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = 2]까지 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 움직인 거리가 같도록 하는 모든 [eqn: m]의 값의 합은?

⑤

시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리를 [eqn: s_{1}]이라 하면 [eqn: v_{1}(t) = 3t^{2} + 1 > 0]이므로

[eqn: s_{1} = int from {0} to {2} left | 3t^{2} + 1 right | dt = int from {0} to {2} (3t^{2} + 1) dt = left [ t^{3} + t right ]_{0}^{2} = 10]

시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rmQ]가 움직인 거리를 [eqn: s_{2}]라 하면

[eqn: s_{2} = int from {0} to {2} left | mt - 4 right | dt]

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 움직인 거리가 같으므로

[eqn: int from {0} to {2} left | mt - 4 right | dt = 10] ……①

(ⅰ) [eqn: m leq 2]일 때

[eqn: 0 leq t leq 2]에서 [eqn: mt - 4 leq 0]이므로

[eqn: int from {0} to {2} (-mt + 4) dt = left [ - {m} over {2} t^{2} + 4t right ]_{0}^{2} = -2m + 8]

①에서 [eqn: -2m + 8 = 10] ∴ [eqn: m = -1]

(ⅱ) [eqn: m > 2]일 때

[eqn: v_{2}(t) = 0]에서 [eqn: t = { {4} over {m} }]이고 [eqn: 0 < { {4} over {m} } < 2]이므로

[eqn: int from {0} to {2} left | mt - 4 right | dt = int from {0} to { {4} over {m} } (-mt + 4) dt + int from { {4} over {m} } to {2} (mt - 4) dt]

[eqn: = left [ - {m} over {2} t^{2} + 4t right ]_{0}^{ {4} over {m} } + left [ {m} over {2} t^{2} - 4t right ]_{ {4} over {m} }^{2}]

[eqn: = {8} over {m} + 2m - 8 + {8} over {m} = 2m - 8 + {16} over {m}]

①에서 [eqn: 2m - 8 + {16} over {m} = 10]

[eqn: m^{2} - 9m + 8 = 0], [eqn: (m-1)(m-8) = 0]

[eqn: m > 2]이므로 [eqn: m = 8]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족하는 모든 [eqn: m]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 8]이므로 합은 [eqn: 7]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

공차가 정수인 두 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }], [eqn: left { b_{n} right }]과 자연수 [eqn: m] ([eqn: m geq 3])이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: left | a_{1} - b_{1} right | = 5]

(나) [eqn: a_{m} = b_{m}], [eqn: a_{m+1} < b_{m+1}]

[eqn: sum_{k=1}^{m} a_{k} = 9]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{m} b_{k}]의 값은?

①

두 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }], [eqn: left { b_{n} right }]의 공차를 각각 [eqn: d_{a}], [eqn: d_{b}]라 하면

조건 (나)에서 [eqn: a_{m} = b_{m}]이고 [eqn: a_{m+1} < b_{m+1}]이므로

[eqn: a_{m} + d_{a} < b_{m} + d_{b}]에서 [eqn: d_{a} < d_{b}], 즉 [eqn: d_{b} - d_{a} > 0]이다.

[eqn: a_{m} = b_{m}]에서 [eqn: a_{1} + (m-1)d_{a} = b_{1} + (m-1)d_{b}]이므로

[eqn: a_{1} - b_{1} = (m-1)(d_{b} - d_{a})]

[eqn: m geq 3]이므로 [eqn: m-1 geq 2]이고, [eqn: d_{b} - d_{a} > 0]이므로 [eqn: a_{1} - b_{1} > 0]이다.

조건 (가)에서 [eqn: left | a_{1} - b_{1} right | = 5]이므로 [eqn: a_{1} - b_{1} = 5]

즉, [eqn: (m-1)(d_{b} - d_{a}) = 5]

[eqn: m-1 geq 2]이고 [eqn: d_{b} - d_{a}]는 양의 정수이므로 [eqn: 5]의 약수 성질에 의해 [eqn: m-1 = 5], [eqn: d_{b} - d_{a} = 1] ∴ [eqn: m = 6]

[eqn: sum from {k=1} to {m} a_{k} = 9]에 [eqn: m = 6]을 대입하면

[eqn: sum from {k=1} to {6} a_{k} = {6(a_{1} + a_{6})} over {2} = 3(a_{1} + a_{6}) = 9]에서 [eqn: a_{1} + a_{6} = 3]

구하고자 하는 값은 [eqn: sum from {k=1} to {6} b_{k}]이므로

[eqn: sum from {k=1} to {6} b_{k} = {6(b_{1} + b_{6})} over {2} = 3(b_{1} + b_{6})]

이때 조건 (나)에서 [eqn: b_{6} = a_{6}]이고, [eqn: a_{1} - b_{1} = 5]에서 [eqn: b_{1} = a_{1} - 5]이므로

[eqn: b_{1} + b_{6} = (a_{1} - 5) + a_{6} = (a_{1} + a_{6}) - 5 = 3 - 5 = -2]

∴ [eqn: sum from {k=1} to {6} b_{k} = 3 times (-2) = -6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y={1} over {2}x]가 원점 [eqn: rmO]에서 접하고 [eqn: x]좌표가 양수인 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]([eqn: rmoverline{OA} < overline{OB}])에서 만난다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 선분 [eqn: rmOA]로 둘러싸인 영역의 넓이를 [eqn: S_{1}], 곡선 [eqn: y=f(x)]와 선분 [eqn: rmAB]로 둘러싸인 영역의 넓이를 [eqn: S_{2}]라 하자. [eqn: rmoverline{AB}= sqrt{5}]이고 [eqn: S_{1} = S_{2}]일 때, [eqn: f(1)]의 값은?

⑤

[eqn: g(x) = f(x) - {1} over {2}x]라 하면

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y={1} over {2}x]가 원점 [eqn: rmO]에서 접하고 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만나므로

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta] ([eqn: 0 < alpha < beta])라 하면

[eqn: g(x) = x^{2}(x- alpha)(x- beta) = x^{4} - ( alpha + beta)x^{3} + alpha beta x^{2}]

그래프에서 [eqn: 0 < x < alpha]일 때 [eqn: f(x) > {1} over {2}x]이고, [eqn: alpha < x < beta]일 때 [eqn: f(x) < {1} over {2}x]이므로

[eqn: S_{1} = int from {0} to {alpha} g(x) dx], [eqn: S_{2} = - int from {alpha} to {beta} g(x) dx]

[eqn: S_{1} = S_{2}]에서 [eqn: int from {0} to {alpha} g(x) dx + int from {alpha} to {beta} g(x) dx = 0]이므로

[eqn: int from {0} to {beta} g(x) dx = 0]

[eqn: int from {0} to {beta} left { x^{4} - ( alpha + beta)x^{3} + alpha beta x^{2} right } dx = left [ {1} over {5}x^{5} - {alpha + beta} over {4}x^{4} + {alpha beta} over {3}x^{3} right ] from {0} to {beta} = 0]

[eqn: beta^{3} left ( {1} over {5} beta^{2} - {alpha + beta} over {4} beta + {alpha beta} over {3} right ) = 0]

[eqn: beta > 0]이므로 [eqn: {1} over {5} beta^{2} - {1} over {4} alpha beta - {1} over {4} beta^{2} + {1} over {3} alpha beta = 0]

[eqn: - {1} over {20} beta^{2} + {1} over {12} alpha beta = 0]에서 [eqn: 5 alpha beta - 3 beta^{2} = 0]

[eqn: beta > 0]이므로 [eqn: beta = {5} over {3} alpha] ……①

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 직선 [eqn: y={1} over {2}x] 위의 점이므로 [eqn: rmA LEFT ( italpha,` {1} over {2} alpha RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( itbeta,` {1} over {2} beta RIGHT )]

[eqn: rmoverline{AB} = sqrt{5}]에서 [eqn: sqrt{( beta - alpha)^{2} + left ( {1} over {2} beta - {1} over {2} alpha right )^{2}} = sqrt{5}]

[eqn: sqrt{{5} over {4} ( beta - alpha)^{2}} = sqrt{5}]

[eqn: beta > alpha]이므로 [eqn: {sqrt{5}} over {2} ( beta - alpha) = sqrt{5}] ∴ [eqn: beta - alpha = 2] ……②

①, ②에서 [eqn: {5} over {3} alpha - alpha = 2] ∴ [eqn: alpha = 3], [eqn: beta = 5]

따라서 [eqn: g(x) = x^{2}(x-3)(x-5)]이므로

[eqn: f(x) = x^{2}(x-3)(x-5) + {1} over {2}x]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f(1) = 1 times (-2) times (-4) + {1} over {2} = {17} over {2}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {9} over {2}]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: {13} over {2}]

④ [eqn: {15} over {2}]	⑤ [eqn: {17} over {2}]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b(b>0)]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를
[eqn: f(x) = left { matrix { 2^{x+3}+b & (x leq a) # 2^{-x+5}+3b & (x > a) } right .]
라 하자. 다음 조건을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 최댓값이 [eqn: 4b+8]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: k>b])

[eqn: b < t < k]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]의 교점의 개수는 [eqn: 1]이다.

①

[eqn: x leq a]에서 함수 [eqn: y = 2^{x+3}+b]는 증가하고 점근선은 [eqn: y=b]이므로 치역은 [eqn: (b, 2^{a+3}+b]]이다.

[eqn: x > a]에서 함수 [eqn: y = 2^{-x+5}+3b]는 감소하고 점근선은 [eqn: y=3b]이므로 치역은 [eqn: (3b, 2^{-a+5}+3b)]이다.

[eqn: b < t < k]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]의 교점의 개수가 [eqn: 1]이 되려면 두 치역의 관계를 만족해야 한다.

만약 [eqn: 2^{a+3}+b < 3b]이면 [eqn: 2^{a+3}+b < t leq 3b]에서 교점이 [eqn: 0]개이므로 [eqn: k leq 2^{a+3}+b < 3b]가 되어 [eqn: k]의 최댓값이 [eqn: 4b+8]이라는 조건에 모순이다. ([eqn: b>0]이므로 [eqn: 4b+8 > 3b])

만약 [eqn: 2^{a+3}+b > 3b]이면 [eqn: t]가 [eqn: 3b]보다 크고 [eqn: 2^{a+3}+b]보다 작은 어떤 구간에서 교점이 [eqn: 2]개가 되므로 [eqn: k leq 3b]가 되어 마찬가지로 모순이다.

따라서 [eqn: 2^{a+3}+b = 3b]이어야 한다.

[eqn: 2^{a+3}+b = 3b]에서 [eqn: 2^{a+3} = 2b] ∴ [eqn: 2^{a+2} = b] ……①

이때 함수 [eqn: f(x)]의 치역은 [eqn: (b, 2^{-a+5}+3b)]이므로 교점이 [eqn: 1]개인 [eqn: t]의 범위는 [eqn: b < t < 2^{-a+5}+3b]이다.

따라서 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 2^{-a+5}+3b]이므로

[eqn: 2^{-a+5}+3b = 4b+8]에서 [eqn: 2^{-a+5} = b+8] ……②

①에서 [eqn: 2^{-a} = {4} over {b}]이므로 이를 ②에 대입하면

[eqn: 32 times {4} over {b} = b+8]에서 [eqn: b^{2}+8b-128=0]

[eqn: (b+16)(b-8)=0]이고 [eqn: b>0]이므로 [eqn: b=8]

[eqn: b=8]을 ①에 대입하면 [eqn: 2^{a+2} = 8] ∴ [eqn: a=1]

따라서 [eqn: a+b = 1+8 = 9]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( t,`f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: y]절편을 [eqn: g(t)]라 하자. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(t)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: left | f(k) right | + left | g(k) right | = 0]을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: 4f(1)+2g(1)=-1]일 때, [eqn: f(4)]의 값은?

②

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t, f(t))]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y - f(t) = f'(t)(x - t)]

[eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: y]절편 [eqn: g(t)]는 [eqn: g(t) = f(t) - tf'(t)]

[eqn: left | f(k) right | + left | g(k) right | = 0]에서 [eqn: f(k) = 0]이고 [eqn: g(k) = 0]

[eqn: g(k) = f(k) - kf'(k) = 0]이므로 [eqn: kf'(k) = 0]

즉, [eqn: f(k) = 0]이고 ([eqn: k = 0] 또는 [eqn: f'(k) = 0])

조건을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: 2]이므로 삼차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x]축과 두 점에서 만난다.

[eqn: f(x) = 0]의 두 근을 [eqn: 0], [eqn: alpha]라 하면

(ⅰ) [eqn: f(x) = x^2(x- alpha)] ([eqn: alpha neq 0])일 때

[eqn: f(0)=0], [eqn: f'(0)=0]이므로 [eqn: k=0]은 조건을 만족한다.

[eqn: f( alpha)=0]이지만 [eqn: alpha neq 0], [eqn: f'( alpha) neq 0]이므로 [eqn: k= alpha]는 조건을 만족하지 않는다.

따라서 조건을 만족하는 [eqn: k]의 개수가 [eqn: 1]이므로 모순이다.

(ⅱ) [eqn: f(x) = x(x- alpha)^2] ([eqn: alpha neq 0])일 때

[eqn: f(0)=0]이고 [eqn: 0 times f'(0)=0]이므로 [eqn: k=0]은 조건을 만족한다.

[eqn: f( alpha)=0], [eqn: f'( alpha)=0]이므로 [eqn: k= alpha]는 조건을 만족한다.

따라서 조건을 만족하는 [eqn: k]의 개수가 [eqn: 2]이므로 성립한다.

[eqn: f(x) = x(x- alpha)^2]에서 [eqn: f'(x) = (x- alpha)^2 + 2x(x- alpha)]

[eqn: 4f(1) + 2g(1) = 4f(1) + 2(f(1) - f'(1)) = 6f(1) - 2f'(1) = -1]

[eqn: f(1) = (1- alpha)^2], [eqn: f'(1) = (1- alpha)^2 + 2(1- alpha) = (1- alpha)(3- alpha)]이므로

[eqn: 6(1- alpha)^2 - 2(1- alpha)(3- alpha) = -1]

[eqn: 2(1- alpha) left { 3(1- alpha) - (3- alpha) right } = -1]

[eqn: 2(1- alpha)(-2 alpha) = -1]에서 [eqn: 4 alpha^2 - 4 alpha + 1 = 0]

[eqn: (2 alpha - 1)^2 = 0] ∴ [eqn: alpha = {1} over {2}]

따라서 [eqn: f(x) = x left ( x - {1} over {2} right )^2]이므로

[eqn: f(4) = 4 times left ( 4 - {1} over {2} right )^2 = 4 times {49} over {4} = 49]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 46]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 52]

④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 58]

첫째항이 자연수인 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{{a _{n}} over {3}&``` LEFT ( a _{n} 이``3의``배수인``경우 RIGHT )#{a _{n} ` ^{2} +5} over {3}&``` LEFT ( a _{n} 이``3의``배수가``아닌``경우 RIGHT )}}]
를 만족시킬 때, [eqn: a_{4} + a_{5} = 5]가 되도록 하는 모든 [eqn: a_{1}]의 값의 합은?

④

첫째항 [eqn: a_{1}]이 자연수이므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n}]은 자연수이다.

[eqn: a_{4} + a_{5} = 5]를 만족시키는 자연수 쌍 [eqn: (a_{4}, a_{5})]는 [eqn: (1, 4)], [eqn: (2, 3)], [eqn: (3, 2)], [eqn: (4, 1)]이다.

(ⅰ) [eqn: a_{4} = 1]일 때, [eqn: a_{4}]는 [eqn: 3]의 배수가 아니므로 [eqn: a_{5} = {1^{2} + 5} over {3} = 2 neq 4]

(ⅱ) [eqn: a_{4} = 2]일 때, [eqn: a_{4}]는 [eqn: 3]의 배수가 아니므로 [eqn: a_{5} = {2^{2} + 5} over {3} = 3]

(ⅲ) [eqn: a_{4} = 3]일 때, [eqn: a_{4}]는 [eqn: 3]의 배수이므로 [eqn: a_{5} = {3} over {3} = 1 neq 2]

(ⅳ) [eqn: a_{4} = 4]일 때, [eqn: a_{4}]는 [eqn: 3]의 배수가 아니므로 [eqn: a_{5} = {4^{2} + 5} over {3} = 7 neq 1]

(ⅰ) ~ (ⅳ)에서 [eqn: a_{4} = 2]이다.

주어진 점화식에서 [eqn: a_{n}]을 구하는 식을 정리하면

[eqn: a_{n} = 3a_{n+1}] ([eqn: a_{n}]이 [eqn: 3]의 배수인 경우)

[eqn: a_{n} = sqrt{3a_{n+1} - 5}] ([eqn: a_{n}]이 [eqn: 3]의 배수가 아닌 경우)

[eqn: a_{4} = 2]이므로

[eqn: a_{3} = 3 times 2 = 6] 또는 [eqn: a_{3} = sqrt{3 times 2 - 5} = 1]

[eqn: a_{3} = 6]은 [eqn: 3]의 배수이고, [eqn: a_{3} = 1]은 [eqn: 3]의 배수가 아니므로 모두 성립한다.

(ⅰ) [eqn: a_{3} = 1]일 때

[eqn: a_{2} = 3 times 1 = 3] 또는 [eqn: a_{2} = sqrt{3 times 1 - 5} = sqrt{-2}]

[eqn: a_{2}]는 자연수이므로 [eqn: a_{2} = 3]

[eqn: a_{2} = 3]에서 [eqn: a_{1} = 3 times 3 = 9] 또는 [eqn: a_{1} = sqrt{3 times 3 - 5} = 2]

[eqn: a_{1} = 9]는 [eqn: 3]의 배수이고, [eqn: a_{1} = 2]는 [eqn: 3]의 배수가 아니므로 모두 성립한다.

(ⅱ) [eqn: a_{3} = 6]일 때

[eqn: a_{2} = 3 times 6 = 18] 또는 [eqn: a_{2} = sqrt{3 times 6 - 5} = sqrt{13}]

[eqn: a_{2}]는 자연수이므로 [eqn: a_{2} = 18]

[eqn: a_{2} = 18]에서 [eqn: a_{1} = 3 times 18 = 54] 또는 [eqn: a_{1} = sqrt{3 times 18 - 5} = 7]

[eqn: a_{1} = 54]는 [eqn: 3]의 배수이고, [eqn: a_{1} = 7]은 [eqn: 3]의 배수가 아니므로 모두 성립한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 [eqn: a_{1}]의 값은 [eqn: 2], [eqn: 7], [eqn: 9], [eqn: 54]이므로 합은 [eqn: 2 + 7 + 9 + 54 = 72]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 63]	② [eqn: 66]	③ [eqn: 69]

④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 75]

방정식
[eqn: log` _{2} `(x-3)=1-log` _{2} `(x-4)]
를 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 5]

로그의 진수 조건에서

[eqn: x-3>0], [eqn: x-4>0]이므로 [eqn: x>4] ……①

주어진 방정식에서

[eqn: log_{2}(x-3)+log_{2}(x-4)=1], [eqn: log_{2}(x-3)(x-4)=1]

로그의 정의에 의해

[eqn: (x-3)(x-4)=2], [eqn: x^{2}-7x+10=0], [eqn: (x-2)(x-5)=0]

[eqn: x=2] 또는 [eqn: x=5]

①에 의해 [eqn: x>4]이므로 [eqn: x=5]

따라서 정답은 [eqn: 5]이다.

함수 [eqn: f(x)=(x-1)(x^{3}+x^{2}+5)]에 대하여 [eqn: f'(1)]의 값을 구하시오.

[eqn: 7]

함수 [eqn: f(x) = (x-1)(x^{3}+x^{2}+5)]에서 곱의 미분법을 이용하면

[eqn: f'(x) = 1 times (x^{3}+x^{2}+5) + (x-1)(3x^{2}+2x)]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f'(1) = (1^{3}+1^{2}+5) + 0 = 7]

따라서 정답은 [eqn: 7]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 3]인 이차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: int_{0}^{x} f(t) dt = 2x^{3} + int_{0}^{-x} f(t) dt]
를 만족시킨다. [eqn: f(1)=5]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

최고차항의 계수가 [eqn: 3]인 이차함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x) = 3x^{2} + ax + b]라 하자.

주어진 식 [eqn: int_{0}^{x} f(t) dt = 2x^{3} + int_{0}^{-x} f(t) dt]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f(x) + f(-x) = 6x^{2}]

[eqn: f(x) = 3x^{2} + ax + b]를 대입하면

[eqn: (3x^{2} + ax + b) + (3x^{2} - ax + b) = 6x^{2}]에서 [eqn: 6x^{2} + 2b = 6x^{2}]

∴ [eqn: b = 0]

[eqn: f(1) = 5]이므로 [eqn: 3 + a = 5]에서 [eqn: a = 2]

따라서 [eqn: f(x) = 3x^{2} + 2x]이므로 [eqn: f(2) = 3 times 2^{2} + 2 times 2 = 16]

따라서 정답은 [eqn: 16]이다.

집합 [eqn: U= LEFT { x`|`-5 LEQ x LEQ 5,x는``정수 RIGHT }]의 공집합이 아닌 부분집합 [eqn: X]에 대하여 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]를
[eqn: A= LEFT { a`|`a는``x의``실수인``네제곱근,`x IN X RIGHT }],
[eqn: B= LEFT { b`|`b는``x의``실수인``세제곱근,`x IN X RIGHT }]
라 하자. [eqn: n(A) = 9], [eqn: n(B) = 7]이 되도록 하는 집합 [eqn: X]의 모든 원소의 합의 최댓값을 구하시오.

[eqn: 11]

집합 [eqn: X]의 원소 중 양수의 개수를 [eqn: p], [eqn: 0]의 개수를 [eqn: z], 음수의 개수를 [eqn: m]이라 하면

실수 [eqn: x]의 실수인 네제곱근의 개수는 [eqn: x > 0]일 때 [eqn: 2]개, [eqn: x = 0]일 때 [eqn: 1]개, [eqn: x < 0]일 때 [eqn: 0]개이므로 [eqn: n(A) = 2p + z]

실수 [eqn: x]의 실수인 세제곱근의 개수는 항상 [eqn: 1]개이므로

[eqn: n(B) = p + z + m]

[eqn: n(A) = 9]이므로 [eqn: 2p + z = 9]

[eqn: z]는 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]이고 [eqn: 2p]는 짝수이므로 [eqn: z = 1], [eqn: p = 4]

[eqn: n(B) = 7]이므로 [eqn: 4 + 1 + m = 7]에서 [eqn: m = 2]

집합 [eqn: X]의 모든 원소의 합이 최대가 되려면 [eqn: U]의 원소 중 가장 큰 양수 [eqn: 4]개, [eqn: 0], 가장 큰 음수 [eqn: 2]개를 선택해야 하므로 [eqn: X = left { -2, -1, 0, 2, 3, 4, 5 right }]

따라서 집합 [eqn: X]의 모든 원소의 합의 최댓값은

[eqn: -2 - 1 + 0 + 2 + 3 + 4 + 5 = 11]

따라서 정답은 [eqn: 11]이다.

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: x f(x) = left ( - {1} over {2} x + 3 right ) g(x) - x^{3} + 2 x^{2}]
을 만족시킨다. 상수 [eqn: k (k neq 0)]에 대하여
[eqn: lim_{x rightarrow 2} {g(x-1)} over {f(x) - g(x)} times lim_{x rightarrow infty} {left { f(x) right }^{2}} over {g(x)} = k]
일 때, [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 25]

주어진 등식 [eqn: x f(x) = left ( - {1} over {2} x + 3 right ) g(x) - x^{3} + 2 x^{2}] ……①

①의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: 0 = 3g(0)] ∴ [eqn: g(0) = 0]

[eqn: lim from {x -> inf} {left { f(x) right }^{2}} over {g(x)}] 가 [eqn: 0]이 아닌 상수로 수렴하므로 [eqn: left { f(x) right }^{2}]과 [eqn: g(x)]의 차수는 같다.

[eqn: g(x)]의 차수를 [eqn: n]이라 하면 [eqn: f(x)]의 차수는 [eqn: {n} over {2}]이므로 [eqn: n]은 짝수이다.

만약 [eqn: n geq 4]이면 ①의 우변의 최고차항은 [eqn: n+1]차이고 좌변의 최고차항은 [eqn: {n} over {2} + 1]차이므로 모순이다.

따라서 [eqn: n=2]이고 [eqn: g(x)]는 이차함수, [eqn: f(x)]는 일차함수이다.

[eqn: g(x) = ax^{2} + bx] ([eqn: a neq 0])라 하면 ①에서

[eqn: x f(x) = left ( - {1} over {2} x + 3 right ) (ax^{2} + bx) - x^{3} + 2 x^{2}]

[eqn: = left ( - {1} over {2} a - 1 right ) x^{3} + left ( 3a - {1} over {2} b + 2 right ) x^{2} + 3bx]

[eqn: f(x)]가 일차함수이므로 [eqn: x f(x)]는 이차함수이다.

즉, [eqn: x^{3}]의 계수가 [eqn: 0]이어야 하므로 [eqn: - {1} over {2} a - 1 = 0] ∴ [eqn: a = -2]

[eqn: x f(x) = left ( -4 - {1} over {2} b right ) x^{2} + 3bx]에서 [eqn: f(x) = left ( -4 - {1} over {2} b right ) x + 3b]

[eqn: lim from {x -> 2} {g(x-1)} over {f(x) - g(x)}] 가 수렴하고 [eqn: x -> 2]일 때 (분모) [eqn: -> f(2) - g(2) = (2b - 8) - (2b - 8) = 0]이므로 (분자) [eqn: -> 0]이어야 한다.

[eqn: lim from {x -> 2} g(x-1) = g(1) = -2 + b = 0] ∴ [eqn: b = 2]

따라서 [eqn: f(x) = -5x + 6], [eqn: g(x) = -2x^{2} + 2x]이다.

[eqn: lim from {x -> 2} {g(x-1)} over {f(x) - g(x)} = lim from {x -> 2} {-2(x-1)^{2} + 2(x-1)} over {-5x + 6 - (-2x^{2} + 2x)}]

[eqn: = lim from {x -> 2} {-2(x-1)(x-2)} over {2x^{2} - 7x + 6} = lim from {x -> 2} {-2(x-1)(x-2)} over {(2x-3)(x-2)}]

[eqn: = lim from {x -> 2} {-2(x-1)} over {2x-3} = -2]

[eqn: lim from {x -> inf} {left { f(x) right }^{2}} over {g(x)} = lim from {x -> inf} {(-5x + 6)^{2}} over {-2x^{2} + 2x} = - {25} over {2}]

따라서 [eqn: k = -2 times left ( - {25} over {2} right ) = 25]

따라서 정답은 [eqn: 25]이다.

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO], 반지름의 길이가 [eqn: 6]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 호 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmC]를 [eqn: rmoverline{AC} = 4 sqrt{2}]가 되도록 잡는다. 호 [eqn: rmAC] 위의 한 점 [eqn: rmD]에 대하여 점 [eqn: rmD]를 지나고 선분 [eqn: rmOA]에 평행한 직선과 점 [eqn: rmC]를 지나고 선분 [eqn: rmAC]에 수직인 직선이 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자. 삼각형 [eqn: rmCED]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 3 sqrt{2}]일 때, [eqn: {bar{rmAD}} =itp+q sqrt {7}]을 만족시키는 두 유리수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: 9 times left | p times q right |]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rmD]는 점 [eqn: rmA]도 아니고 점 [eqn: rmC]도 아니다.)

[eqn: 64]

점 [eqn: rmO]에서 선분 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 삼각형 [eqn: rmOAC]는 [eqn: rmoverline{OA} = overline{OC} = 6]인 이등변삼각형이므로

[eqn: rmoverline{AH} = {1} over {2} overline{AC} = 2 sqrt{2}]

직각삼각형 [eqn: rmOAH]에서

[eqn: rmcos ( angle OAC ) = {overline{AH}} over {overline{OA}} = {2 sqrt{2}} over {6} = {sqrt{2}} over {3}]

[eqn: rmsin ( angle AOH ) = {overline{AH}} over {overline{OA}} = {sqrt{2}} over {3}]이고 [eqn: rmangle AOH]는 예각이므로

[eqn: rm cos( ANGLE AOH)= sqrt {1-sin ^{2} ( ANGLE rmAOH)} = sqrt {1- {2} over {9}} = {sqrt {7}} over {3}]

직선 [eqn: rmDE]와 직선 [eqn: rmAC]가 만나는 점을 [eqn: rmF]라 하자.

[eqn: rmoverline{OA} // overline{DE}]이므로 엇각의 성질에 의해

[eqn: rmangle AFE = angle OAC]

직각삼각형 [eqn: rmCFE]에서 [eqn: rmangle FCE = 90^{circ}]이므로

[eqn: rmangle CED = 90^{circ} - angle AFE = 90^{circ} - angle OAC]

따라서 [eqn: rm sin( ANGLE CED)=sin(90 ^{CIRC } - ANGLE rmOAC)=cos( ANGLE rmOAC)= {sqrt {2}} over {3}]

삼각형 [eqn: rmCED]에서 사인법칙에 의해 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 3 sqrt{2}]이므로

[eqn: rm {bar{CD}} =2 TIMES 3 sqrt {2} TIMES sin( ANGLE rmCED)=6 sqrt {2} TIMES {sqrt {2}} over {3} =4]

점 [eqn: rmD]가 호 [eqn: rmAC] 위에 있으므로 사각형 [eqn: rmOADC]는 원에 내접하는 사각형의 일부로 볼 수 있다.

호 [eqn: rmAC]에 대한 중심각이 [eqn: rmangle AOC = 2 angle AOH]이므로 호 [eqn: rmABC]에 대한 중심각은 [eqn: rm360^{circ} - 2 angle AOH]이다.

따라서 원주각의 성질에 의해 [eqn: rmangle ADC = {1} over {2} ( 360^{circ} - 2 angle AOH ) = 180^{circ} - angle AOH]

그러므로 [eqn: rm cos( ANGLE ADC)=cos(180 ^{CIRC } - ANGLE rm AOH)][eqn: -cos( ANGLE rm AOH)=- {sqrt {7}} over {3}]

삼각형 [eqn: rmACD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{AC}^{2} = overline{AD}^{2} + overline{CD}^{2} - 2 times overline{AD} times overline{CD} times cos ( angle ADC )]

[eqn: rm( 4 sqrt{2} )^{2} = overline{AD}^{2} + 4^{2} - 2 times overline{AD} times 4 times left ( - {sqrt{7}} over {3} right )]

[eqn: rmoverline{AD}^{2} + {8 sqrt{7}} over {3} overline{AD} - 16 = 0]

근의 공식에 의해

[eqn: rmoverline{AD} = - {4 sqrt{7}} over {3} +- sqrt{left ( {4 sqrt{7}} over {3} right )^{2} - ( - 16 )} = - {4 sqrt{7}} over {3} +- {16} over {3}]

[eqn: rmoverline{AD} > 0]이므로 [eqn: rmoverline{AD} = {16} over {3} - {4} over {3} sqrt{7}]

따라서 [eqn: p = {16} over {3}], [eqn: q = - {4} over {3}]이므로

[eqn: 9 times left | p times q right | = 9 times left | {16} over {3} times left ( - {4} over {3} right ) right | = 64]

따라서 정답은 [eqn: 64]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 4]이고 서로 다른 세 극값을 갖는 사차함수 [eqn: f(x)]와 두 함수 [eqn: g(x)],
[eqn: h(x) = left { matrix { 4x+2 & (x < a) # -2x-3 & (x geq a) } right .]
가 있다. 세 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: left | g(x) right | = f(x)], [eqn: lim_{t rightarrow 0+} {g(x+t)-g(x)} over {t} = left | f'(x) right |]
이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)h(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

[eqn: g(0) = {40} over {3}]일 때, [eqn: g(1) times h(3)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: 114]

조건 (가)에서 [eqn: left | g(x) right | = f(x)]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq 0]이다.

또한 [eqn: lim from {t -> 0+} {g(x+t)-g(x)} over {t}]는 [eqn: g(x)]의 우미분계수이므로

[eqn: f'(x) > 0]인 구간에서는 [eqn: g(x) = f(x)], [eqn: f'(x) < 0]인 구간에서는 [eqn: g(x) = -f(x)]이다.

사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x)=0]을 만족시키는 세 실근을 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}] ([eqn: x_{1} < x_{2} < x_{3}])라 하면

[eqn: x < x_{1}] 또는 [eqn: x_{2} < x < x_{3}]에서 [eqn: f'(x) < 0]이므로 [eqn: g(x) = -f(x)]

[eqn: x_{1} < x < x_{2}] 또는 [eqn: x > x_{3}]에서 [eqn: f'(x) > 0]이므로 [eqn: g(x) = f(x)]이다.

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=x_{1}], [eqn: x=x_{2}], [eqn: x=x_{3}]에서 불연속이 될 수 있다.

[eqn: f(x_{1})], [eqn: f(x_{2})], [eqn: f(x_{3})]의 값이 모두 다르므로 [eqn: f(x_{1}) = f(x_{3}) = 0]이더라도 [eqn: f(x_{2}) > 0]이다.

따라서 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=x_{2}]에서 반드시 불연속이다.

조건 (나)에서 [eqn: g(x)h(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [eqn: x=x_{2}]에서 연속이어야 한다.

[eqn: h(x)]의 불연속점 [eqn: a]가 [eqn: x_{2}]와 같지 않다면 [eqn: h(x_{2})=0]이어야 하지만, [eqn: h(x)]의 근은 [eqn: x=- {1} over {2}] 또는 [eqn: x=- {3} over {2}]뿐이므로 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}]에서 모두 [eqn: h(x)=0]이 될 수는 없다.

따라서 [eqn: a=x_{2}]이어야 하고, [eqn: x=a]에서 [eqn: g(x)h(x)]의 좌극한과 우극한이 같아야 하므로

[eqn: f(a)(4a+2) = -f(a)(-2a-3)]

[eqn: f(a) > 0]이므로 [eqn: 4a+2 = 2a+3] ∴ [eqn: a = {1} over {2}]

즉, [eqn: x_{2} = {1} over {2}]이다.

[eqn: h(x) = left { matrix { 4x+2 & left ( x < {1} over {2} right ) # -2x-3 & left ( x geq {1} over {2} right ) } right .]이므로 [eqn: h(x)]는 [eqn: x < {1} over {2}]에서 근 [eqn: x = - {1} over {2}]을 갖는다.

[eqn: g(x)h(x)]가 [eqn: x=x_{1}], [eqn: x=x_{3}]에서 연속이려면 [eqn: h(x)=0]이거나 [eqn: f(x)=0]이어야 한다.

[eqn: x_{3} > {1} over {2}]에서 [eqn: h(x_{3}) = -2x_{3}-3 < -4 neq 0]이므로 [eqn: f(x_{3}) = 0]이다.

[eqn: f(x_{1})], [eqn: f(x_{2})], [eqn: f(x_{3})]의 값이 모두 다르므로 [eqn: f(x_{1}) neq f(x_{3})]에서 [eqn: f(x_{1}) neq 0]이다.

따라서 [eqn: h(x_{1}) = 0]이어야 하므로 [eqn: x_{1} = - {1} over {2}]이다.

[eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 4]이므로

[eqn: f'(x) = 16 left ( x + {1} over {2} right ) left ( x - {1} over {2} right ) (x-x_{3}) = 16x^{3} - 16x_{3}x^{2} - 4x + 4x_{3}]

[eqn: f(x) = 4x^{4} - {16} over {3} x_{3}x^{3} - 2x^{2} + 4x_{3}x + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: x=0]은 [eqn: - {1} over {2} < x < {1} over {2}]에 속하므로 [eqn: f'(0) > 0]이고 [eqn: g(0) = f(0) = C]이다.

[eqn: g(0) = {40} over {3}]이므로 [eqn: C = {40} over {3}]이다.

[eqn: f(x_{3}) = 0]이므로 [eqn: 4x_{3}^{4} - {16} over {3} x_{3}^{4} - 2x_{3}^{2} + 4x_{3}^{2} + {40} over {3} = 0]에서 [eqn: 2x_{3}^{4} - 3x_{3}^{2} - 20 = 0]

[eqn: (2x_{3}^{2}+5)(x_{3}^{2}-4) = 0]이고 [eqn: x_{3} > {1} over {2}]이므로 [eqn: x_{3} = 2]

따라서 [eqn: f(x) = 4x^{4} - {32} over {3} x^{3} - 2x^{2} + 8x + {40} over {3}]이다.

[eqn: x=1]은 [eqn: {1} over {2} < x < 2]에 속하므로 [eqn: f'(1) < 0]이고 [eqn: g(1) = -f(1)]이다.

[eqn: f(1) = 4 - {32} over {3} - 2 + 8 + {40} over {3} = {38} over {3}]이므로 [eqn: g(1) = - {38} over {3}]

[eqn: x=3]은 [eqn: x geq {1} over {2}]에 속하므로 [eqn: h(3) = -2 times 3 - 3 = -9]

따라서 정답은 [eqn: 114]이다.