수학ETF	2024년_고3_3월	기출문제
	23~30
	기하

타원 [eqn: {x^{2}} over {17} + {y^{2}} over {8} = 1]의 두 초점 사이의 거리는?

③

타원 [eqn: {x^{2}} over {17} + {y^{2}} over {8} = 1]에서 [eqn: a^{2} = 17], [eqn: b^{2} = 8]이다.

타원의 두 초점의 좌표를 [eqn: (c, 0)], [eqn: (-c, 0)] ([eqn: c > 0])이라 하면

[eqn: c^{2} = 17 - 8 = 9]에서 [eqn: c = 3]

따라서 두 초점 사이의 거리는 [eqn: 2c = 6]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

초점이 [eqn: rmF]인 포물선 [eqn: y^{2} = 20x] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmoverline{PF} = 15]일 때, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는?

②

포물선의 방정식 [eqn: y^{2} = 20x]에서 [eqn: 4p = 20]이므로 [eqn: p = 5]

따라서 포물선의 초점은 [eqn: rmF(5, 0)]이고, 준선의 방정식은 [eqn: x = -5]이다.

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x_{1}, y_{1})]이라 하면 포물선의 정의에 의해 점 [eqn: rmP]에서 초점 [eqn: rmF]까지의 거리는 점 [eqn: rmP]에서 준선 [eqn: x = -5]까지의 거리와 같으므로

[eqn: {bar{rmPF}} =itx _{1} -(-5)=x _{1} +5]

주어진 조건에서 [eqn: rmoverline{PF} = 15]이므로

[eqn: x_{1} + 5 = 15] ∴ [eqn: x_{1} = 10]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

두 초점이 [eqn: x]축 위에 있고, 두 초점 사이의 거리가 [eqn: 30]인 쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 [eqn: y={3} over {4}x]일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는?

⑤

쌍곡선의 두 초점이 [eqn: x]축 위에 있으므로 쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {b^{2}} = 1] ([eqn: a>0], [eqn: b>0])이라 하고, 두 초점의 좌표를 [eqn: (c, 0)], [eqn: (-c, 0)] ([eqn: c>0])이라 하자.

두 초점 사이의 거리가 [eqn: 30]이므로

[eqn: 2c = 30]에서 [eqn: c = 15]

쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 [eqn: y = {3} over {4}x]이므로

[eqn: {b} over {a} = {3} over {4}]에서 [eqn: b = {3} over {4}a]

쌍곡선의 성질에 의해 [eqn: c^{2} = a^{2} + b^{2}]이므로

[eqn: 15^{2} = a^{2} + left ( {3} over {4}a right )^{2}]

[eqn: 225 = {25} over {16}a^{2}]에서 [eqn: a^{2} = 144]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a = 12]

구하는 쌍곡선의 주축의 길이는 [eqn: 2a = 24]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 포물선
[eqn: C : (y-a+1)^{2} = (a+b)x+1] (단, [eqn: a+b != 0])
이 있다. 포물선 [eqn: C] 가 원점을 지나고 초점과 준선 사이의 거리가 [eqn: 2]일 때, [eqn: a-b]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: M-m]의 값은?

④

포물선 [eqn: C : (y-a+1)^{2} = (a+b)x+1]이 원점 [eqn: (0, 0)]을 지나므로

[eqn: (-a+1)^{2} = 1]에서 [eqn: a^{2}-2a = 0]

[eqn: a(a-2) = 0] ∴ [eqn: a = 0] 또는 [eqn: a = 2]

포물선 [eqn: C]의 방정식을 변형하면

[eqn: (y-a+1)^{2} = (a+b) left ( x + {1} over {a+b} right )]

이 포물선은 [eqn: y^{2} = (a+b)x]의 그래프를 평행이동한 것이므로 [eqn: 4p = a+b]라 하면 [eqn: p = {a+b} over {4}]이다.

포물선의 초점과 준선 사이의 거리는 [eqn: left | 2p right |]이므로

[eqn: left | 2p right | = left | {a+b} over {2} right | = 2]

즉, [eqn: left | a+b right | = 4]에서 [eqn: a+b = 4] 또는 [eqn: a+b = -4]이다.

(ⅰ) [eqn: a = 0]일 때

[eqn: a+b = 4]이면 [eqn: b = 4]이므로 [eqn: a-b = -4]

[eqn: a+b = -4]이면 [eqn: b = -4]이므로 [eqn: a-b = 4]

(ⅱ) [eqn: a = 2]일 때

[eqn: a+b = 4]이면 [eqn: b = 2]이므로 [eqn: a-b = 0]

[eqn: a+b = -4]이면 [eqn: b = -6]이므로 [eqn: a-b = 8]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a-b]의 최댓값 [eqn: M = 8], 최솟값 [eqn: m = -4]이므로

[eqn: M-m = 8 - (-4) = 12]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {7} - {y^{2}} over {9} = -1] 위의 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]에 대하여 각 [eqn: rmFPF']의 이등분선이 점 [eqn: LEFT ( 0,`1 RIGHT )]을 지날 때, [eqn: rmoverline{FP} + overline{F'P}]의 값은?

①

쌍곡선의 방정식 [eqn: {x^{2}} over {7} - {y^{2}} over {9} = -1]에서

[eqn: a^{2}=7], [eqn: b^{2}=9]이므로 초점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: c] ([eqn: c>0])라 하면

[eqn: c^{2} = 7 + 9 = 16]에서 [eqn: c=4]

두 초점의 좌표는 [eqn: rmF(0, 4)], [eqn: rmF'(0, -4)]이고 주축의 길이는 [eqn: 2b = 6]이다.

각 [eqn: rmFPF']의 이등분선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmA(0, 1)]이라 하면

삼각형 [eqn: rmFPF']에서 내각의 이등분선 정리에 의해

[eqn: rmoverline{FP} : overline{F'P} = overline{FA} : overline{F'A}]

[eqn: rmoverline{FA} = 4 - 1 = 3], [eqn: rmoverline{F'A} = 1 - (-4) = 5]이므로

[eqn: rmoverline{FP} : overline{F'P} = 3 : 5]

[eqn: {bar{rmFP}} =it3k], [eqn: {bar{rmF prime P}} =it5k] ([eqn: k>0])라 하면

점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 1]사분면에 있으므로 [eqn: rmoverline{F'P} > overline{FP}]이고, 쌍곡선의 정의에 의해

[eqn: rmoverline{F'P} - overline{FP} = 6]

[eqn: 5k - 3k = 6]에서 [eqn: 2k = 6] ∴ [eqn: k=3]

따라서 [eqn: rm {bar{FP}} + {bar{F prime P}} =it8k=24]이므로 정답은 ①이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

두 초점이 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( it-c,`0 RIGHT )] [eqn: (c>0)]이고 장축의 길이가 [eqn: 18]인 타원을 [eqn: C_{1}]이라 하자. 점 [eqn: rmF]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 타원 [eqn: C_{1}]과 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하고, 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmA]이고 점 [eqn: rmP(9,`0)]을 지나는 타원을 [eqn: C_{2}]라 하자. 두 타원 [eqn: C_{1}]과 [eqn: C_{2}]가 만나는 점 중 점 [eqn: rmP]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmcos(angle FF'A) = {12} over {13}]일 때, [eqn: rmoverline{F'Q} - overline{AQ}]의 값은?

③

직각삼각형 [eqn: rmFF'A]에서 [eqn: rmcos(angle FF'A) = {12} over {13}]이므로

[eqn: rmoverline{F'F} : overline{F'A} : overline{FA} = 12 : 13 : 5]

[eqn: {bar{rmF prime F}} =it2c]이므로 [eqn: {bar{rmF prime A}} =it {13} over {6} c], [eqn: {bar{rmFA}} =it {5} over {6} c]

점 [eqn: rmA]는 타원 [eqn: C_{1}] 위의 점이므로 타원의 정의에 의해

[eqn: rmoverline{F'A} + overline{FA} = 18]

[eqn: {13} over {6} c + {5} over {6} c = 3c = 18] ∴ [eqn: c = 6]

따라서 [eqn: rmF(6, 0)]이고 [eqn: rmoverline{FA} = 5]이므로 [eqn: rmA(6, 5)]

타원 [eqn: C_{2}]는 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmA]이고 점 [eqn: rmP(9, 0)]을 지나므로 타원의 정의에 의해 [eqn: C_{2}]의 장축의 길이는

[eqn: rmoverline{FP} + overline{AP} = 3 + sqrt{(9-6)^{2} + (0-5)^{2}} = 3 + sqrt{34}]

점 [eqn: rmQ]는 타원 [eqn: C_{1}] 위의 점이므로

[eqn: rmoverline{F'Q} + overline{FQ} = 18] ……①

점 [eqn: rmQ]는 타원 [eqn: C_{2}] 위의 점이므로

[eqn: rmoverline{FQ} + overline{AQ} = 3 + sqrt{34}] ……②

①, ②에서

[eqn: rm {bar{F prime Q}} - {bar{AQ}} =( {bar{F prime Q}} + {bar{FQ}} )-( {bar{FQ}} + {bar{AQ}} )=15- sqrt {34}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 14 - sqrt{34}]	② [eqn: 20 - 2 sqrt{34}]	③ [eqn: 15 - sqrt{34}]

④ [eqn: 21 - 2 sqrt{34}]	⑤ [eqn: 16 - sqrt{34}]

포물선 [eqn: x^{2} = ay] ([eqn: a > 0])이 두 포물선
[eqn: C_{1} : y^{2} = 8x], [eqn: C_{2} : y^{2} = -x]
와 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하고, 두 포물선 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}]의 초점을 각각 [eqn: rmF_{1}], [eqn: rmF_{2}]라 하자. 직선 [eqn: rmPQ]의 기울기가 [eqn: 2 sqrt{2}]일 때, [eqn: {bar{rmF _{1} P}} + {bar{rmF _{2} Q}} =it {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 29]

포물선 [eqn: x^{2} = ay]와 [eqn: C_{1} : y^{2} = 8x]를 연립하면

[eqn: left ( {x^{2}} over {a} right )^{2} = 8x]에서 [eqn: x^{4} = 8a^{2}x]

점 [eqn: rmP]는 원점이 아니므로 [eqn: x neq 0]에서 [eqn: x^{3} = 8a^{2}]

[eqn: x = 2a^{ {2} over {3} }]을 [eqn: y = {x^{2}} over {a}]에 대입하면 [eqn: y = 4a^{ {1} over {3} }]

∴ [eqn: rmP LEFT ( it2a ^{{2} over {3}} ,4a ^{{1} over {3}} RIGHT )]

포물선 [eqn: x^{2} = ay]와 [eqn: C_{2} : y^{2} = -x]를 연립하면

[eqn: left ( {x^{2}} over {a} right )^{2} = -x]에서 [eqn: x^{4} = -a^{2}x]

점 [eqn: rmQ]는 원점이 아니므로 [eqn: x neq 0]에서 [eqn: x^{3} = -a^{2}]

[eqn: x = -a^{ {2} over {3} }]을 [eqn: y = {x^{2}} over {a}]에 대입하면 [eqn: y = a^{ {1} over {3} }]

∴ [eqn: rmQ LEFT ( it-a ^{{2} over {3}} ,a ^{{1} over {3}} RIGHT )]

직선 [eqn: rmPQ]의 기울기가 [eqn: 2 sqrt{2}]이므로

[eqn: {4a^{ {1} over {3} } - a^{ {1} over {3} }} over {2a^{ {2} over {3} } - left ( -a^{ {2} over {3} } right )} = {3a^{ {1} over {3} }} over {3a^{ {2} over {3} }} = {1} over {a^{ {1} over {3} }} = 2 sqrt{2}]

[eqn: a^{ {1} over {3} } = {sqrt{2}} over {4}]이고 [eqn: a^{ {2} over {3} } = {1} over {8}]이므로

[eqn: rmP left ( {1} over {4}, sqrt{2} right )], [eqn: rmQ left ( - {1} over {8}, {sqrt{2}} over {4} right )]

포물선 [eqn: C_{1}]의 방정식은 [eqn: y^{2} = 4 times 2 times x]이므로 준선의 방정식은 [eqn: x = -2]

포물선 [eqn: C_{2}]의 방정식은 [eqn: y^{2} = 4 times left ( - {1} over {4} right ) times x]이므로 준선의 방정식은 [eqn: x = {1} over {4}]

포물선의 정의에 의해 초점에서 포물선 위의 점까지의 거리는 준선에서 그 점까지의 거리와 같으므로

[eqn: rmoverline{F_{1}P} = {1} over {4} - (-2) = {9} over {4}]

[eqn: rmoverline{F_{2}Q} = {1} over {4} - left ( - {1} over {8} right ) = {3} over {8}]

[eqn: rmoverline{F_{1}P} + overline{F_{2}Q} = {9} over {4} + {3} over {8} = {21} over {8}]

[eqn: p=8], [eqn: q=21]이므로 [eqn: p+q = 29]

따라서 정답은 [eqn: 29]이다.

그림과 같이 두 점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: F' LEFT ( it-c,`0 RIGHT )] [eqn: (c>0)]을 초점으로 하고 주축의 길이가 [eqn: 6]인 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선이 선분 [eqn: rmFF']을 지름으로 하는 원과 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 선분 [eqn: rmF'P]가 쌍곡선과 만나는 점 중 점 [eqn: rmP]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하고, 선분 [eqn: rmrmFQ]가 쌍곡선과 만나는 점 중 점 [eqn: rmQ]가 아닌 점을 [eqn: rmR]이라 하자. 점 [eqn: rmQ]가 선분 [eqn: rmF'P]를 [eqn: 1:2]로 내분할 때, 삼각형 [eqn: rmQF'R]의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: 20S]의 값을 구하시오.

[eqn: 150]

[eqn: rm {bar{F'Q}} `= it k] ([eqn: k>0])라 하면 점 [eqn: rmQ]가 선분 [eqn: rm {bar{F prime P}}]를 [eqn: 1:2]로 내분하므로

[eqn: rmbarQP`=it2k], [eqn: rmbarF'P`=it3k]

점 [eqn: rmQ]는 쌍곡선의 왼쪽 가지에, 점 [eqn: rmP]는 오른쪽 가지에 있으므로 쌍곡선의 정의에 의해

[eqn: rmbarQF`-rmbarF'Q`=6]에서 [eqn: rmbarQF`=itk+6]

[eqn: rmbarF'P`-rmbarPF`=6]에서 [eqn: rmbarPF`=it3k-6]

선분 [eqn: rmFF']이 원의 지름이므로 원주각의 성질에 의해 [eqn: rmangle F'PF = 90^{circ}]이다.

직각삼각형 [eqn: rmQPF]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rmbarQF` ^{2} =rmbarQP` ^{2} +rmbarPF` ^{2}]

[eqn: (k+6)^{2} = (2k)^{2} + (3k-6)^{2}]에서 [eqn: 12k^{2} - 48k = 0]

[eqn: k>0]이므로 [eqn: k = 4]

따라서 [eqn: rmbarF'Q`=4], [eqn: rmbarQP`=8], [eqn: rmbarF'P`=12], [eqn: rmbarQF`=10], [eqn: rmbarPF`=6]이다.

세 점 [eqn: rmF'], [eqn: rmQ], [eqn: rmP]가 일직선 상에 있고 [eqn: rmangle F'PF = 90^{circ}]이므로 삼각형 [eqn: rmQF'F]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES rm {bar{F'Q}} ` TIMES rm {bar{PF}} `= {1} over {2} TIMES 4 TIMES 6=12]

직각삼각형 [eqn: rmQPF]에서 [eqn: rm cos( ANGLE PQF)= {rmbarQP} over {rmbarQF} = {8} over {10} = {4} over {5}]이고, [eqn: rmangle F'QF]와 [eqn: rmangle PQF]는 보각 관계이므로

[eqn: rmcos( angle F'QF) = - {4} over {5}]

점 [eqn: rmR]이 선분 [eqn: rmFQ] 위에 있으므로 [eqn: rmbarFR`=10-rmbarQR]이고, 점 [eqn: rmR]이 쌍곡선의 오른쪽 가지에 있으므로

[eqn: rm {bar{F'R}} `- rm {bar{FR}} `=6]에서 [eqn: rm {bar{F'R}} `=16- rm {bar{QR}}]

삼각형 [eqn: rmQF'R]에서 코사인 법칙에 의해

[eqn: rmbarF'R` ^{2} =rmbarF'Q` ^{2} +rmbarQR` ^{2} -2 TIMES rmbarF'Q` TIMES rmbarQR` TIMES cos LEFT ( anglermF'QR RIGHT )]

[eqn: (16-rmbarQR`) ^{2} =4 ^{2} +rmbarQR` ^{2} -2 TIMES 4 TIMES rmbarQR` TIMES LEFT ( - {4} over {5} RIGHT )]에서 [eqn: rmbarQR`= {25} over {4}]

삼각형 [eqn: rmQF'R]과 삼각형 [eqn: rmQF'F]는 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다.

[eqn: S=12 TIMES {rmbarQR} over {rmbarQF} =12 TIMES {{25} over {4}} over {10} = {15} over {2}]

따라서 [eqn: 20S = 20 times {15} over {2} = 150]

따라서 정답은 [eqn: 150]이다.