수학ETF	2024년_고3_3월	기출문제
	23~30
	미적분

[eqn: lim_{n rightarrow infty} {2^{n+1} + 3^{n-1}} over {2^{n} - 3^{n}}] 의 값은?

①

[eqn: lim from {n -> inf} {2^{n+1} + 3^{n-1}} over {2^{n} - 3^{n}} = lim from {n -> inf} {2 times 2^{n} + {1} over {3} times 3^{n}} over {2^{n} - 3^{n}}]

분모, 분자를 [eqn: 3^{n}]으로 나누면

[eqn: lim from {n -> inf} {2 times left ( {2} over {3} right )^{n} + {1} over {3}} over {left ( {2} over {3} right )^{n} - 1}]

이때 [eqn: lim from {n -> inf} left ( {2} over {3} right )^{n} = 0]이므로

[eqn: lim from {n -> inf} {2 times left ( {2} over {3} right )^{n} + {1} over {3}} over {left ( {2} over {3} right )^{n} - 1} = {2 times 0 + {1} over {3}} over {0 - 1} = - {1} over {3}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: - {1} over {3}]	② [eqn: - {1} over {6}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

두 수열 [eqn: left { a_{n} right }], [eqn: left { b_{n} right }]이
[eqn: lim_{n rightarrow infty} n a_{n} = 1], [eqn: lim_{n rightarrow infty} {b_{n}} over {n} = 3]
을 만족시킬 때, [eqn: lim_{n rightarrow infty} {n^{2} a_{n} + b_{n}} over {1 + 2 b_{n}}]의 값은?

③

[eqn: lim from {n -> inf} {n^{2} a_{n} + b_{n}} over {1 + 2 b_{n}}]의 분모, 분자를 각각 [eqn: n]으로 나누면

[eqn: lim from {n -> inf} {n^{2} a_{n} + b_{n}} over {1 + 2 b_{n}} = lim from {n -> inf} {n a_{n} + {b_{n}} over {n}} over {{1} over {n} + 2 {b_{n}} over {n}}]

[eqn: lim from {n -> inf} n a_{n} = 1], [eqn: lim from {n -> inf} {b_{n}} over {n} = 3], [eqn: lim from {n -> inf} {1} over {n} = 0]이므로 수열의 극한에 대한 기본 성질에 의하여

[eqn: lim from {n -> inf} {n a_{n} + {b_{n}} over {n}} over {{1} over {n} + 2 {b_{n}} over {n}} = {1 + 3} over {0 + 2 times 3} = {4} over {6} = {2} over {3}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {5} over {6}]	⑤ [eqn: 1]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: 2n+3 < a_{n} < 2n+4]
를 만족시킬 때, [eqn: lim_{n rightarrow infty} {(a_{n}+1)^{2}+6n^{2}} over {na_{n}}]의 값은?

⑤

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2n+3 < a_{n} < 2n+4]이므로 각 변을 [eqn: n]으로 나누면 [eqn: {2n+3} over {n} < {a_{n}} over {n} < {2n+4} over {n}]

이때 [eqn: lim from {n -> inf} {2n+3} over {n} = 2], [eqn: lim from {n -> inf} {2n+4} over {n} = 2]이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 [eqn: lim from {n -> inf} {a_{n}} over {n} = 2]

구하는 극한식의 분모와 분자를 [eqn: n^{2}]으로 나누면

[eqn: lim from {n -> inf} {(a_{n}+1)^{2}+6n^{2}} over {na_{n}} = lim from {n -> inf} { left ( {a_{n}} over {n} + {1} over {n} right )^{2} + 6 } over { {a_{n}} over {n} }]

[eqn: lim from {n -> inf} {a_{n}} over {n} = 2]이고 [eqn: lim from {n -> inf} {1} over {n} = 0]이므로

[eqn: lim from {n -> inf} { left ( {a_{n}} over {n} + {1} over {n} right )^{2} + 6 } over { {a_{n}} over {n} } = {(2+0)^{2}+6} over {2} = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{n+1} - a_{n} = a_{1} + 2]
를 만족시킨다. [eqn: lim_{n rightarrow infty} {2a_{n} + n} over {a_{n} - n + 1} = 3]일 때, [eqn: a_{10}]의 값은? (단, [eqn: a_{1} > 0])

④

조건 [eqn: a_{n+1} - a_{n} = a_{1} + 2]에서 수열 [eqn: left { a_{n} right }]은 첫째항이 [eqn: a_{1}]이고 공차가 [eqn: a_{1} + 2]인 등차수열이므로

[eqn: a_{n} = a_{1} + (n-1)(a_{1} + 2) = (a_{1} + 2)n - 2]

주어진 극한식에 대입하면

[eqn: lim from {n -> inf} {2a_{n} + n} over {a_{n} - n + 1} = lim from {n -> inf} {2(a_{1} + 2)n - 4 + n} over {(a_{1} + 2)n - 2 - n + 1}]

[eqn: = lim from {n -> inf} {(2a_{1} + 5)n - 4} over {(a_{1} + 1)n - 1} = {2a_{1} + 5} over {a_{1} + 1} = 3]

[eqn: 2a_{1} + 5 = 3a_{1} + 3]에서 [eqn: a_{1} = 2]

[eqn: a_{1} > 0]이므로 조건을 만족한다.

따라서 [eqn: a_{n} = 4n - 2]이므로

[eqn: a_{10} = 4 times 10 - 2 = 38]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 35]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 37]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 39]

[eqn: a_{1} = 3], [eqn: a_{2} = 6]인 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]과 모든 항이 양수인 수열 [eqn: left { b_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum_{k=1}^{n} a_{k} (b_{k})^{2} = n^{3} - n + 3]
을 만족시킬 때, [eqn: lim_{n rightarrow infty} {a_{n}} over {b_{n} b_{2n}}]의 값은?

②

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항이 [eqn: 3], 둘째항이 [eqn: 6]이므로 공차는 [eqn: 3]이다.

[eqn: a_{n} = 3 + (n-1) times 3 = 3n]

[eqn: S_{n} = sum from {k=1} to {n} a_{k} (b_{k})^{2} = n^{3} - n + 3]이라 하면 [eqn: n geq 2]일 때

[eqn: a_{n} (b_{n})^{2} = S_{n} - S_{n-1}]

[eqn: = (n^{3} - n + 3) - left { (n-1)^{3} - (n-1) + 3 right }][eqn: = 3n^{2} - 3n]

[eqn: a_{n} = 3n]을 대입하면 [eqn: 3n (b_{n})^{2} = 3n(n-1)]에서 [eqn: (b_{n})^{2} = n-1]

모든 항이 양수이므로 [eqn: b_{n} = sqrt{n-1}] ([eqn: n geq 2])

[eqn: lim from {n -> inf} {a_{n}} over {b_{n} b_{2n}} = lim from {n -> inf} {3n} over {sqrt{n-1} sqrt{2n-1}}][eqn: = lim from {n -> inf} {3n} over {sqrt{2n^{2} - 3n + 1}}]

[eqn: = {3} over {sqrt{2}} = {3 sqrt{2}} over {2}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {3 sqrt{2}} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 3 sqrt{2}]	⑤ [eqn: 6]

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=2nx]가 곡선 [eqn: y=x^{2}+n^{2}-1]과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA _{itn}], [eqn: rmB _{itn}]이라 하자. 원 [eqn: (x-2)^{2}+y^{2}=1] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn} rmP]의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rmP]를 [eqn: rmP _{itn}]이라 할 때, 삼각형 [eqn: rm A _{it n rm} rm B _{it n rm} rm P _{itn}]의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 하자. [eqn: lim_{n rightarrow infty} {S_{n}} over {n}]의 값은?

③

직선 [eqn: y = 2nx]와 곡선 [eqn: y = x^{2} + n^{2} - 1]이 만나는 두 점 [eqn: rmA _{itn}], [eqn: rmB _{itn}]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x^{2} + n^{2} - 1 = 2nx]에서 [eqn: x^{2} - 2nx + n^{2} - 1 = 0]

[eqn: (x - n)^{2} - 1 = 0] ∴ [eqn: x = n - 1] 또는 [eqn: x = n + 1]

두 점 [eqn: rmA _{itn}], [eqn: rmB _{itn}]은 직선 [eqn: y = 2nx] 위의 점이므로 두 점 사이의 거리는

[eqn: {bar{rmA _{itn} rmB _{itn} it}} = sqrt {((n+1)-(n-1)) ^{2} +(2n(n+1)-2n(n-1)) ^{2}}]

[eqn: = sqrt{2^{2} + (4n)^{2}} = 2sqrt{4n^{2} + 1}]

삼각형 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn} rmP]의 넓이가 최대가 되려면 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn}]까지의 거리가 최대이어야 한다.

원의 중심 [eqn: (2, 0)]에서 직선 [eqn: 2nx - y = 0]까지의 거리 [eqn: d]는

[eqn: d = {left | 2n times 2 - 0 right |} over {sqrt{(2n)^{2} + (-1)^{2}}} = {4n} over {sqrt{4n^{2} + 1}}]

원 [eqn: (x-2)^{2} + y^{2} = 1]의 반지름의 길이가 [eqn: 1]이므로 삼각형 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn} rmP]의 높이의 최댓값 [eqn: h_{n}]은

[eqn: h_{n} = d + 1 = {4n} over {sqrt{4n^{2} + 1}} + 1]

따라서 삼각형 [eqn: rm A _{it n rm} rm B _{it n rm} rm P _{itn}]의 넓이 [eqn: S_{n}]은

[eqn: S _{n} = {1} over {2} TIMES {bar{rmA _{itn} rmB _{itn}}} TIMES h _{n}]

[eqn: = {1} over {2} times 2sqrt{4n^{2} + 1} times left ( {4n} over {sqrt{4n^{2} + 1}} + 1 right )][eqn: = 4n + sqrt{4n^{2} + 1}]

[eqn: lim from {n -> inf} {S_{n}} over {n} = lim from {n -> inf} {4n + sqrt{4n^{2} + 1}} over {n}]

[eqn: = lim from {n -> inf} left ( 4 + sqrt{4 + {1} over {n^{2}}} right ) = 4 + sqrt{4} = 6]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를
[eqn: f(x) = {4} over {n^{3}} x^{3} + 1]
이라 하자. 원점에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선을 [eqn: l_{n}], 접선 [eqn: l_{n}]의 접점을 [eqn: rmP _{itn}]이라 하자. [eqn: x]축과 직선 [eqn: l_{n}]에 동시에 접하고 점 [eqn: rmP _{itn}]을 지나는 원 중 중심의 [eqn: x]좌표가 양수인 것을 [eqn: C_{n}]이라 하자. 원 [eqn: C_{n}]의 반지름의 길이를 [eqn: r_{n}]이라 할 때, [eqn: 40 times lim_{n rightarrow infty} n^{2}(4r_{n}-3)]의 값을 구하시오.

[eqn: 270]

접점 [eqn: rmP _{itn}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면 [eqn: f'(x) = {12} over {n^{3}} x^{2}]이므로 원점을 지나는 접선 [eqn: l_{n}]의 방정식은 [eqn: y = {12} over {n^{3}} t^{2} x]

이 직선이 점 [eqn: left ( t, {4} over {n^{3}} t^{3} + 1 right )]을 지나므로

[eqn: {4} over {n^{3}} t^{3} + 1 = {12} over {n^{3}} t^{3}]에서 [eqn: {8} over {n^{3}} t^{3} = 1] ∴ [eqn: t = {n} over {2}]

따라서 접점은 [eqn: rmP _{itn} LEFT ( it {n} over {2} ,` {3} over {2} RIGHT )]이고, 접선 [eqn: l_{n}]의 방정식은 [eqn: y = {3} over {n} x], 즉 [eqn: 3x - ny = 0]이다.

원점 [eqn: rmO]에서 원 [eqn: C_{n}]에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 원 [eqn: C_{n}]과 [eqn: x]축의 접점을 [eqn: rmQ]라 하면 [eqn: rmbarOQ`=rmbarOP _{itn}]이다.

[eqn: rm {bar{OP _{itn}}} `= it sqrt {LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {n ^{2} +9}} over {2}]이므로 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: left ( {sqrt{n^{2}+9}} over {2}, 0 right )]이다.

원 [eqn: C_{n}]이 [eqn: x]축에 접하므로 중심의 좌표를 [eqn: left ( {sqrt{n^{2}+9}} over {2}, r_{n} right )]이라 하면, 이 중심에서 직선 [eqn: l_{n}: 3x - ny = 0]까지의 거리가 [eqn: r_{n}]이므로 [eqn: {left | {3} over {2} sqrt{n^{2}+9} - n r_{n} right |} over {sqrt{3^{2}+(-n)^{2}}} = r_{n}]

이때 중심이 직선 [eqn: l_{n}]의 아래쪽에 위치하므로 절댓값 안의 식은 양수이다.

[eqn: {3} over {2} sqrt{n^{2}+9} - n r_{n} = r_{n} sqrt{n^{2}+9}]에서 [eqn: r_{n} (sqrt{n^{2}+9} + n) = {3} over {2} sqrt{n^{2}+9}]

∴ [eqn: r_{n} = {3 sqrt{n^{2}+9}} over {2(sqrt{n^{2}+9} + n)}]

구하고자 하는 극한식의 일부를 계산하면

[eqn: 4r_{n} - 3 = {6 sqrt{n^{2}+9}} over {sqrt{n^{2}+9} + n} - 3 = {3(sqrt{n^{2}+9} - n)} over {sqrt{n^{2}+9} + n}]

분자를 유리화하면

[eqn: 4r_{n} - 3 = {3(n^{2}+9 - n^{2})} over {(sqrt{n^{2}+9} + n)^{2}} = {27} over {(sqrt{n^{2}+9} + n)^{2}}]

따라서 구하는 극한값은

[eqn: 40 times lim from {n -> inf} n^{2}(4r_{n}-3) = 40 times lim from {n -> inf} {27n^{2}} over {(sqrt{n^{2}+9} + n)^{2}}]

[eqn: = 40 times lim from {n -> inf} {27} over {left ( sqrt{1 + {9} over {n^{2}}} + 1 right )^{2}} = 40 times {27} over {4} = 270]

따라서 정답은 [eqn: 270]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 자연수 [eqn: m]에 대하여 구간 [eqn: (0, infty)]에서 정의된 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) = lim_{n rightarrow infty} { f(x) left ( {x} over {m} right )^{n} + x } over { left ( {x} over {m} right )^{n} + 1 }]
라 하자. 함수 [eqn: g(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 구간 [eqn: (0, infty)]에서 미분가능하고, [eqn: g'(m+1) leq 0]이다.

(나) [eqn: g(k)g(k+1) = 0]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 3]이다.

(다) [eqn: g(l) geq g(l+1)]을 만족시키는 자연수 [eqn: l]의 개수는 [eqn: 3]이다.

[eqn: g(12)]의 값을 구하시오.

[eqn: 84]

[eqn: x]의 값의 범위에 따라 함수 [eqn: g(x)]를 구하면

[eqn: g(x) = left { matrix { x & left ( 0 < x < m right ) # {f(m)+m} over {2} & left ( x = m right ) # f(x) & left ( x > m right ) } right .]

조건 (가)에서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=m]에서 연속이므로

[eqn: lim from {x -> m-} g(x) = lim from {x -> m+} g(x) = g(m)]에서 [eqn: m = f(m)]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=m]에서 미분가능하므로

[eqn: lim from {x -> m-} g'(x) = lim from {x -> m+} g'(x)]에서 [eqn: 1 = f'(m)]

[eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이므로

[eqn: f(x) = (x-m)^{3} + a(x-m)^{2} + (x-m) + m]이라 하면

[eqn: f'(x) = 3(x-m)^{2} + 2a(x-m) + 1]

조건 (가)에서 [eqn: g'(m+1) leq 0]이므로

[eqn: f'(m+1) = 3 + 2a + 1 = 2a + 4 leq 0] ∴ [eqn: a leq -2]

조건 (나)에서 [eqn: g(k)g(k+1) = 0]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: 3]이다.

[eqn: x leq m]일 때 [eqn: g(x) = x > 0]이므로 [eqn: g(x) = 0]의 근은 [eqn: x > m]에 존재한다.

따라서 [eqn: f(x) = 0]은 [eqn: x > m]에서 연속된 두 자연수를 근으로 가져야 한다.

이 두 근을 [eqn: m+d], [eqn: m+d+1] ([eqn: d]는 자연수)이라 하면

[eqn: f(m+d) = d^{3} + ad^{2} + d + m = 0] ……①

[eqn: f(m+d+1) = (d+1)^{3} + a(d+1)^{2} + (d+1) + m = 0] ……②

②에서 ①을 빼면 [eqn: 3d^{2} + 3d + 1 + a(2d+1) + 1 = 0]에서 [eqn: a = {-3d^{2}-3d-2} over {2d+1}]

①에 대입하여 정리하면 [eqn: m = {d^{4}+2d^{3}-d} over {2d+1}]

[eqn: m]이 자연수이므로 [eqn: 2d+1]은 [eqn: d^{4}+2d^{3}-d = d(d+1)(d^{2}+d-1)]의 약수이어야 한다.

[eqn: 2d+1]과 [eqn: d(d+1)]은 서로소이고, [eqn: 4(d^{2}+d-1) = (2d+1)^{2} - 5]이므로 [eqn: 2d+1]은 [eqn: 5]의 약수이어야 한다.

[eqn: d]는 자연수이므로 [eqn: 2d+1 = 5] ∴ [eqn: d = 2]

[eqn: d = 2]를 대입하면 [eqn: a = -4], [eqn: m = 6] ([eqn: a leq -2]를 만족한다.)

따라서 [eqn: f(x) = (x-6)^{3} - 4(x-6)^{2} + (x-6) + 6]

조건 (다)에서 [eqn: g(l) geq g(l+1)]을 만족시키는 자연수 [eqn: l]을 구해보면

[eqn: l leq 5]일 때 [eqn: g(l) = l < g(l+1) = l+1]

[eqn: l = 6]일 때 [eqn: g(6) = 6 geq g(7) = f(7) = 4]

[eqn: l = 7]일 때 [eqn: g(7) = 4 geq g(8) = f(8) = 0]

[eqn: l = 8]일 때 [eqn: g(8) = 0 geq g(9) = f(9) = 0]

[eqn: l = 9]일 때 [eqn: g(9) = 0 < g(10) = f(10) = 10]

[eqn: l geq 10]일 때 [eqn: f'(x) > 0]이므로 [eqn: g(l) < g(l+1)]

따라서 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: l]은 [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8]로 [eqn: 3]개이므로 조건 (다)를 만족시킨다.

[eqn: g(12) = f(12) = 6^{3} - 4 times 6^{2} + 6 + 6 = 84]

따라서 정답은 [eqn: 84]이다.