수학ETF	2024년_고3_3월	기출문제
	23~30
	확통

[eqn: rm{}_{3}H_{3}]의 값은?

①

[eqn: rm{}_{3} H _{3} = {}_{3+3-1} C _{3} = {}{}_{{5}} C _{{3}}]

조합의 성질에 의해 [eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{3}} = {}{}_{{5}} C _{{2}}]이므로

[eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{2}} = {5 times 4} over {2 times 1} = 10]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리 자연수 중 홀수의 개수는?

⑤

네 자리 자연수가 홀수이려면 일의 자리 숫자가 홀수이어야 한다.

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중 홀수는 [eqn: 1], [eqn: 3]이므로 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 [eqn: 2]가지이다.

중복을 허락하므로 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 각각 [eqn: 3]가지이다.

따라서 구하는 홀수의 개수는 [eqn: 3 times 3 times 3 times 2 = 54]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 30]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 42]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 54]

남학생 [eqn: 5]명, 여학생 [eqn: 2]명이 있다. 이 [eqn: 7]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉을 때, 여학생끼리 이웃하여 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

②

여학생 [eqn: 2]명을 하나의 묶음으로 생각하면 남학생 [eqn: 5]명과 여학생 묶음 [eqn: 1]개, 총 [eqn: 6]명을 원형으로 배열하는 경우의 수는 [eqn: (6-1)! = 5! = 120]

이때 묶음 안에서 여학생 [eqn: 2]명이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2! = 2]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 120 times 2 = 240]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 200]	② [eqn: 240]	③ [eqn: 280]

④ [eqn: 320]	⑤ [eqn: 360]

그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 [eqn: rmA] 지점에서 출발하여 [eqn: rmB] 지점까지 최단 거리로 갈 때, [eqn: rmP] 지점을 지나면서 [eqn: rmQ] 지점을 지나지 않는 경우의 수는?

④

[eqn: rmA(0, 0)]이라 하면 두 격자의 연결점 [eqn: rmC]는 [eqn: (3, 3)], 도착점 [eqn: rmB]는 [eqn: (6, 6)], 점 [eqn: rmP]는 [eqn: (2, 1)], 점 [eqn: rmQ]는 [eqn: (4, 5)]이다.

두 격자가 점 [eqn: rmC(3, 3)]에서만 연결되어 있으므로 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]로 가는 모든 최단 경로는 반드시 [eqn: rmC]를 지난다.

따라서 구하는 경우의 수는 ([eqn: rmA]에서 [eqn: rmP]를 거쳐 [eqn: rmC]까지 가는 경로의 수) [eqn: times] ([eqn: rmC]에서 [eqn: rmQ]를 지나지 않고 [eqn: rmB]까지 가는 경로의 수)이다.

(ⅰ) [eqn: rmA]에서 [eqn: rmP]를 거쳐 [eqn: rmC]까지 가는 경로의 수

[eqn: rmA(0, 0)]에서 [eqn: rmP(2, 1)]까지 가는 경로의 수는 [eqn: {3!} over {2!1!} = 3]

[eqn: rmP(2, 1)]에서 [eqn: rmC(3, 3)]까지 가는 경로의 수는 [eqn: {3!} over {1!2!} = 3]

따라서 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmP]를 거쳐 [eqn: rmC]까지 가는 경로의 수는 [eqn: 3 times 3 = 9]

(ⅱ) [eqn: rmC]에서 [eqn: rmQ]를 지나지 않고 [eqn: rmB]까지 가는 경로의 수

[eqn: rmC(3, 3)]에서 [eqn: rmB(6, 6)]까지 가는 전체 경로의 수는 [eqn: {6!} over {3!3!} = 20]

[eqn: rmC(3, 3)]에서 [eqn: rmQ(4, 5)]를 거쳐 [eqn: rmB(6, 6)]까지 가는 경로의 수는

[eqn: left ( {3!} over {1!2!} right ) times left ( {3!} over {2!1!} right ) = 3 times 3 = 9]

따라서 [eqn: rmC]에서 [eqn: rmQ]를 지나지 않고 [eqn: rmB]까지 가는 경로의 수는 [eqn: 20 - 9 = 11]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 구하는 최단 경로의 수는 [eqn: 9 times 11 = 99]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 72]	② [eqn: 81]	③ [eqn: 90]

④ [eqn: 99]	⑤ [eqn: 108]

그림과 같이 문자 [eqn: rmA], [eqn: rmA], [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 7]장의 카드와 [eqn: 1]부터 [eqn: 7]까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 7]개의 빈 상자가 있다. 각 상자에 한 장의 카드만 들어가도록 [eqn: 7]장의 카드를 나누어 넣을 때, 문자 [eqn: rmA]가 적혀 있는 카드가 들어간 [eqn: 3]개의 상자에 적힌 수의 합이 홀수가 되도록 나누어 넣는 경우의 수는? (단, 같은 문자가 적힌 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.)

③

[eqn: 1]부터 [eqn: 7]까지의 자연수 중 홀수는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7]의 [eqn: 4]개이고 짝수는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6]의 [eqn: 3]개이다.

문자 [eqn: rmA]가 적힌 카드가 들어갈 [eqn: 3]개의 상자에 적힌 수의 합이 홀수가 되려면 상자의 번호가 모두 홀수이거나, 홀수 [eqn: 1]개와 짝수 [eqn: 2]개이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: 3]개의 상자 번호가 모두 홀수인 경우

[eqn: 4]개의 홀수 중 [eqn: 3]개를 선택하는 경우의 수이므로 [eqn: rm{}{}_{{4}} C _{{3}} = 4]

(ⅱ) [eqn: 3]개의 상자 번호가 홀수 [eqn: 1]개, 짝수 [eqn: 2]개인 경우

[eqn: 4]개의 홀수 중 [eqn: 1]개를 선택하고 [eqn: 3]개의 짝수 중 [eqn: 2]개를 선택하는 경우의 수이므로 [eqn: rm{}{}_{{4}} C _{{1}} times {}{}_{{3}} C _{{2}} = 4 times 3 = 12]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 문자 [eqn: rmA]가 적힌 카드가 들어갈 상자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 4 + 12 = 16]

남은 [eqn: 4]개의 빈 상자에 남은 카드 [eqn: rmB], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 나누어 넣는 경우의 수는 같은 것이 있는 순열에 의해 [eqn: {4!} over {2!} = 12]

따라서 구하는 총 경우의 수는 [eqn: 16 times 12 = 192]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 144]	② [eqn: 168]	③ [eqn: 192]

④ [eqn: 216]	⑤ [eqn: 240]

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b,`c RIGHT )]의 개수는?

(가) [eqn: ab^{2}c = 720]

(나) [eqn: a]와 [eqn: c]는 서로소가 아니다.

②

[eqn: 720]을 소인수분해하면 [eqn: 720 = 2^{4} times 3^{2} times 5]이다.

조건 (가)에서 [eqn: b^{2}]은 [eqn: 720]의 약수이므로 가능한 자연수 [eqn: b]는 [eqn: 12]의 약수인 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 12]이다.

조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a, c)]의 개수는 [eqn: ac = K]를 만족시키는 전체 순서쌍의 개수에서 [eqn: a]와 [eqn: c]가 서로소인 순서쌍의 개수를 뺀 값과 같다.

[eqn: ac = K]를 만족시키는 전체 순서쌍 [eqn: (a, c)]의 개수는 [eqn: K]의 양의 약수의 개수와 같고, [eqn: a]와 [eqn: c]가 서로소인 순서쌍의 개수는 [eqn: K]의 서로 다른 소인수의 개수를 [eqn: m]이라 할 때 [eqn: 2^{m}]이다.

(ⅰ) [eqn: b=1]일 때

[eqn: ac = 2^{4} times 3^{2} times 5]이므로 전체 순서쌍의 개수는 [eqn: 5 times 3 times 2 = 30]이고, 서로소인 순서쌍의 개수는 [eqn: 2^{3} = 8]이다.

조건을 만족시키는 순서쌍의 개수는 [eqn: 30 - 8 = 22]

(ⅱ) [eqn: b=2]일 때

[eqn: ac = 2^{2} times 3^{2} times 5]이므로 전체 순서쌍의 개수는 [eqn: 3 times 3 times 2 = 18]이고, 서로소인 순서쌍의 개수는 [eqn: 2^{3} = 8]이다.

조건을 만족시키는 순서쌍의 개수는 [eqn: 18 - 8 = 10]

(ⅲ) [eqn: b=3]일 때

[eqn: ac = 2^{4} times 5]이므로 전체 순서쌍의 개수는 [eqn: 5 times 2 = 10]이고, 서로소인 순서쌍의 개수는 [eqn: 2^{2} = 4]이다.

조건을 만족시키는 순서쌍의 개수는 [eqn: 10 - 4 = 6]

(ⅳ) [eqn: b=4]일 때

[eqn: ac = 3^{2} times 5]이므로 전체 순서쌍의 개수는 [eqn: 3 times 2 = 6]이고, 서로소인 순서쌍의 개수는 [eqn: 2^{2} = 4]이다.

조건을 만족시키는 순서쌍의 개수는 [eqn: 6 - 4 = 2]

(ⅴ) [eqn: b=6]일 때

[eqn: ac = 2^{2} times 5]이므로 전체 순서쌍의 개수는 [eqn: 3 times 2 = 6]이고, 서로소인 순서쌍의 개수는 [eqn: 2^{2} = 4]이다.

조건을 만족시키는 순서쌍의 개수는 [eqn: 6 - 4 = 2]

(ⅵ) [eqn: b=12]일 때

[eqn: ac = 5]이므로 전체 순서쌍의 개수는 [eqn: 2]이고, 서로소인 순서쌍의 개수는 [eqn: 2^{1} = 2]이다.

조건을 만족시키는 순서쌍의 개수는 [eqn: 2 - 2 = 0]

따라서 (ⅰ)~(ⅵ)에 의해 구하는 모든 순서쌍 [eqn: (a, b, c)]의 개수는 [eqn: 22 + 10 + 6 + 2 + 2 + 0 = 42]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 38]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 46]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 54]

세 명의 학생에게 서로 다른 종류의 초콜릿 [eqn: 3]개와 같은 종류의 사탕 [eqn: 5]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 사탕을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

(가) 적어도 한 명의 학생은 초콜릿을 받지 못한다.

(나) 각 학생이 받는 초콜릿의 개수와 사탕의 개수의 합은 [eqn: 2] 이상이다.

[eqn: 117]

세 명의 학생을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 하자.

조건 (가)에서 적어도 한 명의 학생은 초콜릿을 받지 못하므로, [eqn: 3]명에게 서로 다른 초콜릿 [eqn: 3]개를 나누어 주는 전체 경우의 수 [eqn: 3^{3}]에서 [eqn: 3]명이 각각 [eqn: 1]개씩 받는 경우의 수 [eqn: 3!]을 빼면 초콜릿을 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 27 - 6 = 21]

학생이 받는 초콜릿의 개수 분포에 따라 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) 한 명이 초콜릿 [eqn: 3]개를 모두 받는 경우

[eqn: 3]명 중 초콜릿 [eqn: 3]개를 받을 [eqn: 1]명을 선택하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{3}} C _{{1}} = 3]

초콜릿을 [eqn: 3]개 받은 학생은 조건 (나)를 이미 만족하고, 초콜릿을 받지 못한 나머지 두 학생은 사탕을 각각 [eqn: 2]개 이상 받아야 한다.

같은 종류의 사탕 [eqn: 5]개 중 [eqn: 4]개를 두 학생에게 [eqn: 2]개씩 나누어 주고, 남은 사탕 [eqn: 1]개를 [eqn: 3]명에게 중복을 허락하여 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: rm{}_{3} H _{1} = {}{}_{{3}} C _{{1}} = 3]

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 3 times 3 = 9]

(ⅱ) 두 명이 초콜릿을 각각 [eqn: 2]개, [eqn: 1]개 받는 경우

[eqn: 3]명 중 초콜릿을 [eqn: 2]개 받을 학생과 [eqn: 1]개 받을 학생을 선택하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{3}} P _{{2}} = 6]이고, 서로 다른 초콜릿 [eqn: 3]개를 [eqn: 2]개, [eqn: 1]개로 분할하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{3}} C _{{2}} = 3]이므로 초콜릿을 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: rm6 times 3 = 18]

초콜릿을 [eqn: 2]개 받은 학생은 조건 (나)를 이미 만족하고, 초콜릿을 [eqn: 1]개 받은 학생은 사탕을 [eqn: 1]개 이상, 초콜릿을 받지 못한 학생은 사탕을 [eqn: 2]개 이상 받아야 한다.

같은 종류의 사탕 [eqn: 5]개 중 [eqn: 3]개를 두 학생에게 각각 [eqn: 1]개, [eqn: 2]개 나누어 주고, 남은 사탕 [eqn: 2]개를 [eqn: 3]명에게 중복을 허락하여 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: rm{}_{3} H _{2} = {}{}_{{4}} C _{{2}} = 6]

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 18 times 6 = 108]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 전체 경우의 수는 [eqn: 9 + 108 = 117]

따라서 정답은 [eqn: 117]이다.

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f:X`` -> ``X]의 개수를 구하시오.

(가) [eqn: f(1) leq f(2) leq f(3)]

(나) [eqn: 1 < f(5) < f(4)]

(다) [eqn: f(a) = b], [eqn: f(b) = a]를 만족시키는 집합 [eqn: X]의 서로 다른 두 원소 [eqn: a], [eqn: b]가 존재한다.

[eqn: 90]

조건 (다)를 만족시키는 집합 [eqn: X]의 서로 다른 두 원소로 이루어진 집합을 [eqn: left { a, b right }] ([eqn: a < b])라 하자.

집합 [eqn: left { a, b right }]의 원소에 따라 다음 세 가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: left { a, b right } subset left { 1, 2, 3 right }]인 경우

[eqn: f(a) = b], [eqn: f(b) = a]라 하면 조건 (가)에 의해 [eqn: f(a) leq f(b)]이므로 [eqn: b leq a]가 되어 [eqn: a < b]에 모순이다.

따라서 이 경우를 만족시키는 함수 [eqn: f]는 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: left { a, b right } = left { 4, 5 right }]인 경우

[eqn: a = 4], [eqn: b = 5]이므로 [eqn: f(4) = 5], [eqn: f(5) = 4]이다.

이때 조건 (나)의 [eqn: 1 < 4 < 5]를 만족시킨다.

조건 (가)를 만족시키는 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)]을 정하는 경우의 수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: {}_{5} H _{3} = {}{}_{{7}} C _{{3}} = 35]

(ⅲ) [eqn: a in left { 1, 2, 3 right }], [eqn: b in left { 4, 5 right }]인 경우

[eqn: b = 4]인 경우와 [eqn: b = 5]인 경우로 나눈다.

① [eqn: b = 4]인 경우

[eqn: f(a) = 4], [eqn: f(4) = a]이다.

조건 (나)에서 [eqn: 1 < f(5) < f(4) = a]이므로 [eqn: a geq 3]이다.

[eqn: a in left { 1, 2, 3 right }]이므로 [eqn: a = 3]이고, [eqn: f(5) = 2]로 결정된다.

[eqn: f(3) = 4]이므로 조건 (가)를 만족시키는 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)]를 정하는 경우의 수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: {}_{4} H _{2} = {}{}_{{5}} C _{{2}} = 10]

② [eqn: b = 5]인 경우

[eqn: f(a) = 5], [eqn: f(5) = a]이다.

조건 (나)에서 [eqn: 1 < f(5) = a < f(4)]이므로 [eqn: a > 1]이다.

[eqn: a in left { 1, 2, 3 right }]이므로 [eqn: a = 2] 또는 [eqn: a = 3]이다.

[eqn: a = 2]일 때, [eqn: f(2) = 5], [eqn: f(5) = 2]이다.

조건 (가)에서 [eqn: f(1) leq 5 leq f(3)]이므로 [eqn: f(3) = 5]이고, [eqn: f(1)]이 될 수 있는 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]의 [eqn: 5]가지이다.

조건 (나)에서 [eqn: f(4) > 2]이므로 [eqn: f(4)]가 될 수 있는 값은 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]의 [eqn: 3]가지이다.

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 5 times 3 = 15]

[eqn: a = 3]일 때, [eqn: f(3) = 5], [eqn: f(5) = 3]이다.

조건 (가)를 만족시키는 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)]를 정하는 경우의 수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 [eqn: {}_{5} H _{2} = {}{}_{{6}} C _{{2}} = 15]이다.

조건 (나)에서 [eqn: f(4) > 3]이므로 [eqn: f(4)]가 될 수 있는 값은 [eqn: 4], [eqn: 5]의 [eqn: 2]가지이다.

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 15 times 2 = 30]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)의 각 경우는 서로 배반사건이므로 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 0 + 35 + 10 + 15 + 30 = 90]

따라서 정답은 [eqn: 90]이다.