수학ETF	2024년_고3_3월	기출문제
	1~22
	대수, 미적분

[eqn: root { 3 } of { 54 } times 2^{5 over 3}]의 값은?

⑤

[eqn: 54 = 2 times 3^{3}]이므로

[eqn: root { 3 } of { 54 } times 2^{5 over 3} = root { 3 } of { 2 times 3^{3} } times 2^{5 over 3}][eqn: = 2^{1 over 3} times 3 times 2^{5 over 3}][eqn: = 2^{{1 over 3} + {5 over 3}} times 3]

[eqn: = 2^{2} times 3 = 12]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

함수 [eqn: f(x) = x^{3} - 3x^{2} + x]에 대하여 [eqn: lim_{h rightarrow 0} {f(3+h) - f(3)} over {2h}]의 값은?

③

[eqn: lim from {h -> 0} {f(3+h) - f(3)} over {2h} = {1} over {2} lim from {h -> 0} {f(3+h) - f(3)} over {h} = {1} over {2} f'(3)]

[eqn: f(x) = x^{3} - 3x^{2} + x]에서 [eqn: f'(x) = 3x^{2} - 6x + 1]

[eqn: x = 3]을 대입하면 [eqn: f'(3) = 27 - 18 + 1 = 10]

∴ [eqn: {1} over {2} f'(3) = {1} over {2} times 10 = 5]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: cos theta > 0]이고 [eqn: sin theta + cos theta tan theta = -1]일 때, [eqn: tan theta]의 값은?

②

[eqn: tan theta = {sin theta} over {cos theta}]이므로 주어진 식에 대입하면

[eqn: sin theta + cos theta times {sin theta} over {cos theta} = -1], [eqn: 2sin theta = -1] ∴ [eqn: sin theta = - {1} over {2}]

[eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]이고 [eqn: cos theta > 0]이므로

[eqn: cos theta = sqrt{1 - sin^{2} theta} = sqrt{1 - left ( - {1} over {2} right )^{2}} = {sqrt{3}} over {2}]

[eqn: tan theta = {sin theta} over {cos theta}]이므로 [eqn: tan theta = {{- {1} over {2}}} over {{sqrt{3}} over {2}} = - {1} over {sqrt{3}} = - {sqrt{3}} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: - sqrt{3}]	② [eqn: - {sqrt{3}} over {3}]	③ [eqn: {sqrt{3}} over {3}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt{3}]

함수
[eqn: f(x) = left { matrix { 2x+a & left ( x < 3 right ) # sqrt{x+1}-a & left ( x geq 3 right ) } right .]
이 [eqn: x=3]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

①

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=3]에서 연속이려면

[eqn: lim from {x -> 3-} f(x) = lim from {x -> 3+} f(x) = f(3)]이어야 한다.

[eqn: lim from {x -> 3-} f(x) = lim from {x -> 3-} (2x+a) = 6+a]

[eqn: lim from {x -> 3+} f(x) = f(3) = lim from {x -> 3+} (sqrt{x+1}-a) = 2-a]

[eqn: 6+a = 2-a]에서 [eqn: 2a = -4]

∴ [eqn: a = -2]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

다항함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f'(x) = x(3x+2)], [eqn: f(1) = 6]
을 만족시킬 때, [eqn: f(0)]의 값은?

④

[eqn: f'(x) = x(3x+2) = 3x^{2} + 2x]이므로

[eqn: f(x) = int (3x^{2} + 2x) dx = x^{3} + x^{2} + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(1) = 6]이므로 [eqn: 1 + 1 + C = 6]에서 [eqn: C = 4]

따라서 [eqn: f(x) = x^{3} + x^{2} + 4]이므로 [eqn: f(0) = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

공비가 [eqn: 1]보다 큰 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자.
[eqn: {S_{4}} over {S_{2}} = 5], [eqn: a_{5} = 48]
일 때, [eqn: a_{1} + a_{4}]의 값은?

⑤

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a_{1}], 공비를 [eqn: r] ([eqn: r > 1])이라 하면

[eqn: {S_{4}} over {S_{2}} = {{a_{1}(r^{4}-1)} over {r-1}} times {{r-1} over {a_{1}(r^{2}-1)}} = {r^{4}-1} over {r^{2}-1} = r^{2}+1]

[eqn: r^{2}+1=5]에서 [eqn: r^{2}=4]이고 [eqn: r>1]이므로 [eqn: r=2]

[eqn: a_{5} = a_{1}r^{4} = 48]에서 [eqn: 16a_{1}=48] ∴ [eqn: a_{1}=3]

[eqn: a_{4} = a_{1}r^{3} = 3 times 2^{3} = 24]

[eqn: a_{1}+a_{4} = 3+24 = 27]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 39]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 33]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 27]

함수 [eqn: f(x) = {1} over {3} x^{3} - 2x^{2} - 5x + 1]이 닫힌구간 [eqn: [a, b]]에서 감소할 때, [eqn: b-a]의 최댓값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: a < b]인 실수이다.)

①

함수 [eqn: f(x) = {1} over {3} x^{3} - 2x^{2} - 5x + 1]에서 [eqn: f'(x) = x^{2} - 4x - 5]

함수 [eqn: f(x)]가 닫힌구간 [eqn: [a, b]]에서 감소하려면 이 구간에서 [eqn: f'(x) leq 0]이어야 하므로

[eqn: x^{2} - 4x - 5 leq 0]에서 [eqn: (x+1)(x-5) leq 0]

∴ [eqn: -1 leq x leq 5]

따라서 함수 [eqn: f(x)]가 감소하는 구간은 [eqn: [-1, 5]]이므로 [eqn: b-a]의 최댓값은 [eqn: 5 - (-1) = 6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여
[eqn: (x+1)f(x)+(1-x)g(x)=x^{3}+9x+1], [eqn: f(0)=4]
일 때, [eqn: f'(0)+g'(0)]의 값은?

②

주어진 등식 [eqn: (x+1)f(x)+(1-x)g(x)=x^{3}+9x+1]의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f(0)+g(0)=1]

[eqn: f(0)=4]이므로 [eqn: 4+g(0)=1]에서 [eqn: g(0)=-3]

주어진 등식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)+(x+1)f'(x)-g(x)+(1-x)g'(x)=3x^{2}+9]

양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f(0)+f'(0)-g(0)+g'(0)=9]

[eqn: 4+f'(0)-(-3)+g'(0)=9]

[eqn: f'(0)+g'(0)+7=9]

∴ [eqn: f'(0)+g'(0)=2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: LEFT ( 0,`0 RIGHT )], [eqn: (log _{`2} `9,`k)]를 지나는 직선이 직선 [eqn: (log _{`4} `3)x+(log _{`9} `8)y-2=0]에 수직일 때, [eqn: 3^{k}]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.)

③

두 점 [eqn: (0, 0)], [eqn: (log_{2}9, k)]를 지나는 직선의 기울기를 [eqn: m_{1}]이라 하면 [eqn: m_{1} = {k} over {log_{2}9} = {k} over {2 log_{2}3}]

직선 [eqn: (log_{4}3)x+(log_{9}8)y-2=0]의 기울기를 [eqn: m_{2}]라 하면

[eqn: m _{2} =- {log _{4} 3} over {log _{9} 8} =- {{1} over {2} `log _{2} 3} over {{3} over {2} `log _{3} 2} =- {1} over {3} (log _{2} 3) ^{2}]

두 직선이 서로 수직이므로 [eqn: m_{1} times m_{2} = -1]에서

[eqn: {k} over {2 log_{2}3} times left ( - {1} over {3} (log_{2}3)^{2} right ) = -1], [eqn: - {k} over {6} `log _{2} 3=-1]

[eqn: k = {6} over {log_{2}3} = 6 log_{3}2 = log_{3}64]

따라서 [eqn: 3^{k} = 3^{log_{3}64} = 64]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 128]	⑤ [eqn: 256]

시각 [eqn: t=0]일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t] ([eqn: t geq 0])에서의 속도가 각각
[eqn: v_{1}(t) = 3t^{2} - 6t - 2], [eqn: v_{2}(t) = -2t + 6]
이다. 출발한 시각부터 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다시 만날 때까지 점 [eqn: rmQ]가 움직인 거리는?

④

시각 [eqn: t]에서 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 위치를 각각 [eqn: x_{1}(t)], [eqn: x_{2}(t)]라 하면

[eqn: t=0]일 때 두 점 모두 원점을 출발하므로

[eqn: x_{1}(t) = int from {0} to {t} (3s^{2} - 6s - 2) ds = t^{3} - 3t^{2} - 2t]

[eqn: x_{2}(t) = int from {0} to {t} (-2s + 6) ds = -t^{2} + 6t]

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다시 만나려면 [eqn: x_{1}(t) = x_{2}(t)]이어야 하므로

[eqn: t^{3} - 3t^{2} - 2t = -t^{2} + 6t]에서 [eqn: t^{3} - 2t^{2} - 8t = 0]

[eqn: t(t-4)(t+2) = 0]

[eqn: t > 0]이므로 [eqn: t = 4]

즉, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]는 출발한 지 [eqn: 4]초 후에 다시 만난다.

[eqn: t=0]부터 [eqn: t=4]까지 점 [eqn: rmQ]가 움직인 거리는

[eqn: int from {0} to {4} left | v_{2}(t) right | dt = int from {0} to {4} left | -2t + 6 right | dt]

[eqn: v_{2}(t) = -2t + 6]은 [eqn: t=3]에서 부호가 바뀌므로

[eqn: int from {0} to {4} left | -2t + 6 right | dt = int from {0} to {3} (-2t + 6) dt + int from {3} to {4} (2t - 6) dt]

[eqn: = left [ -t^{2} + 6t right ]_{0}^{3} + left [ t^{2} - 6t right ]_{3}^{4}][eqn: = 9 + 1 = 10]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

공차가 음의 정수인 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: a_{6} = -2], [eqn: sum_{k=1}^{8} left | a_{k} right | = sum_{k=1}^{8} a_{k} + 42]
일 때, [eqn: sum_{k=1}^{8} a_{k}]의 값은?

②

주어진 조건에서 [eqn: sum from {k=1} to {8} left | a_{k} right | - sum from {k=1} to {8} a_{k} = 42]이므로

[eqn: sum from {k=1} to {8} left ( left | a_{k} right | - a_{k} right ) = 42] ……①

[eqn: left | a_{k} right | - a_{k}]는 [eqn: a_{k} geq 0]일 때 [eqn: 0]이고, [eqn: a_{k} < 0]일 때 [eqn: -2a_{k}]이다.

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: d]는 음의 정수이고 [eqn: a_{6} = -2]이므로 [eqn: a_{6}], [eqn: a_{7}], [eqn: a_{8}]은 모두 음수이다.

(ⅰ) [eqn: a_{5} geq 0]일 때

제[eqn: 1]항부터 제[eqn: 8]항 중 음수인 항은 [eqn: a_{6}], [eqn: a_{7}], [eqn: a_{8}]뿐이므로 ①에서

[eqn: -2(a_{6} + a_{7} + a_{8}) = 42], [eqn: a_{6} + a_{7} + a_{8} = -21]

[eqn: a_{6} = -2]이므로 [eqn: -2 + (-2+d) + (-2+2d) = -21]에서 [eqn: 3d = -15] ∴ [eqn: d = -5]

이때 [eqn: a_{5} = a_{6} - d = 3 geq 0]이므로 조건을 만족한다.

(ⅱ) [eqn: a_{5} < 0]일 때

[eqn: a_{5} = -2 - d < 0]에서 [eqn: d > -2]이고 [eqn: d]는 음의 정수이므로 [eqn: d = -1]이다.

[eqn: d = -1]이면 [eqn: a_{6} = -2], [eqn: a_{5} = -1], [eqn: a_{4} = 0]이므로 제[eqn: 1]항부터 제[eqn: 8]항 중 음수인 항은 [eqn: a_{5}], [eqn: a_{6}], [eqn: a_{7}], [eqn: a_{8}]이다.

이때 [eqn: -2(a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8}) = -2(-1-2-3-4) = 20 neq 42]이므로 모순이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: d = -5]이고 [eqn: a_{6} = a_{1} + 5d = -2]에서 [eqn: a_{1} = 23]이다.

[eqn: sum from {k=1} to {8} a_{k} = {8(2 times 23 + 7 times (-5))} over {2} = 44]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 40]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 56]

실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는
[eqn: f(x) = left { matrix { 3x^{2} + 3x + a & (x < 0) # 3x + a & (x geq 0) } right .]
이다. 함수
[eqn: g(x) = int_{-4}^{x} f(t) dt]
가 [eqn: x=2]에서 극솟값을 가질 때, 함수 [eqn: g(x)]의 극댓값은?

⑤

[eqn: g(x) = int_{-4}^{x} f(t) dt]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g'(x) = f(x)]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: g'(2) = 0]이다.

[eqn: x geq 0]일 때 [eqn: f(x) = 3x + a]이므로

[eqn: g'(2) = f(2) = 6 + a = 0]

∴ [eqn: a = -6]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x) = left { matrix { 3x^{2} + 3x - 6 & left ( x < 0 right ) # 3x - 6 & left ( x geq 0 right ) } right .]

[eqn: g'(x) = 0]에서 [eqn: f(x) = 0]이므로

[eqn: x < 0]일 때, [eqn: 3x^{2} + 3x - 6 = 3(x+2)(x-1) = 0]에서 [eqn: x = -2]

[eqn: x geq 0]일 때, [eqn: 3x - 6 = 0]에서 [eqn: x = 2]

[eqn: x = -2]의 좌우에서 [eqn: g'(x)]의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x = -2]에서 극댓값을 갖는다.

따라서 구하는 극댓값은

[eqn: g(-2) = int_{-4}^{-2} f(t) dt][eqn: = int_{-4}^{-2} (3t^{2} + 3t - 6) dt][eqn: = left [ t^{3} + {3} over {2} t^{2} - 6t right ]_{-4}^{-2}][eqn: = left ( -8 + 6 + 12 right ) - left ( -64 + 24 + 24 right )][eqn: = 10 - (-16) = 26]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

그림과 같이
[eqn: rm2 overline{AB} = overline{BC}], [eqn: cos( ANGLE rmABC)=- {5} over {8}]
인 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원을 [eqn: O] 라 하자. 원 [eqn: O] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPAC]의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rmP]를 [eqn: rmQ]라 할 때, [eqn: rmoverline{QA} = 6 sqrt{10}] 이다. 선분 [eqn: rmAC] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: rm ANGLE CDB= {2} over {3} pi]일 때, 삼각형 [eqn: rmCDB]의 외접원의 반지름의 길이는?

②

[eqn: {bar{rmAB}} =itc]라 하면 조건에서 [eqn: {bar{rmBC}} =it2c]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인 법칙에 의해

[eqn: {bar{rmAC}} ^{2} =itc ^{2} +(2c) ^{2} -2 TIMES c TIMES 2c TIMES cos( ANGLE rmABC)]

[eqn: = 5c^{2} - 4c^{2} times left ( - {5} over {8} right ) = {15} over {2} c^{2}] ……①

원 [eqn: rmO] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPAC]의 넓이가 최대가 되려면 점 [eqn: rmP]는 호 [eqn: rmAC]의 중점이어야 하므로 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rmoverline{QA} = overline{QC} = 6 sqrt{10}]이다.

사각형 [eqn: rmABQC]가 원 [eqn: rmO]에 내접하므로

[eqn: rmangle AQC = pi - angle ABC]에서 [eqn: rm cos( ANGLE AQC)=-cos( ANGLE rmABC)= {5} over {8}]

삼각형 [eqn: rmQAC]에서 코사인 법칙에 의해

[eqn: {bar{rm AC it}} ^{2} = it (6 sqrt {10} ) ^{2} +(6 sqrt {10} ) ^{2} -2 TIMES 6 sqrt {10} TIMES 6 sqrt {10} TIMES cos( ANGLE rmAQC)]

[eqn: = 360 + 360 - 720 times {5} over {8} = 270] ……②

①, ②에서 [eqn: {15} over {2} c^{2} = 270] ∴ [eqn: c = 6] ([eqn: c > 0])

따라서 [eqn: rmoverline{BC} = 12]이다.

삼각형 [eqn: rmCDB]에서 사인 법칙에 의해 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R']이라 하면

[eqn: 2R prime = {{bar{rmBC}}} over {sin( ANGLE rmCDB)} = {12} over {sin LEFT ( {2} over {3} pi RIGHT )} = {12} over {{sqrt {3}} over {2}} =8 sqrt {3}]

∴ [eqn: R' = 4 sqrt{3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 3 sqrt{3}]	② [eqn: 4 sqrt{3}]	③ [eqn: 3 sqrt{6}]

④ [eqn: 5 sqrt{3}]	⑤ [eqn: 4 sqrt{6}]

두 정수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는
[eqn: f(x) = left { matrix { x^{2} - 2ax + {a^{2}} over {4} + b^{2} & left ( x leq 0 right ) # x^{3} - 3x^{2} + 5 & left ( x > 0 right ) } right .]
이다. 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 점의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=k]에서 불연속인 실수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 두 정수 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )]의 개수는?

③

[eqn: x > 0]일 때 [eqn: f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 5]라 하면

[eqn: f'(x) = 3x^{2} - 6x = 3x(x-2)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x=2]

[eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: 1]을 갖고, [eqn: lim from {x -> 0+} f(x) = 5]이다.

[eqn: x leq 0]일 때 [eqn: f(x) = x^{2} - 2ax + {a^{2}} over {4} + b^{2} = (x-a)^{2} - {3} over {4} a^{2} + b^{2}]이다.

(ⅰ) [eqn: a geq 0]일 때

[eqn: x leq 0]에서 [eqn: f(x)]는 감소하므로 최솟값은 [eqn: f(0) = {a^{2}} over {4} + b^{2}]이다.

[eqn: y_{0} = {a^{2}} over {4} + b^{2}]이라 하면, 함수 [eqn: g(t)]가 불연속이 될 수 있는 [eqn: t]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 5], [eqn: y_{0}]이다.

[eqn: y_{0} = 5]이면 [eqn: lim from {t -> 5-} g(t) = 2+0=2], [eqn: g(5) = 1+1=2], [eqn: lim from {t -> 5+} g(t) = 1+1=2]이므로 [eqn: t=5]에서 연속이 되어 불연속점은 [eqn: t=1] 하나뿐이다.

[eqn: y_{0} = 1]이면 [eqn: t=1], [eqn: 5]에서 불연속이 되어 조건을 만족한다.

[eqn: {a^{2}} over {4} + b^{2} = 1]에서 [eqn: a^{2} + 4b^{2} = 4]

[eqn: a geq 0]인 정수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (2, 0)], [eqn: (0, 1)], [eqn: (0, -1)]로 [eqn: 3]개이다.

(ⅱ) [eqn: a < 0]일 때

[eqn: x leq 0]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: f(a) = - {3} over {4} a^{2} + b^{2}]이다.

[eqn: v = - {3} over {4} a^{2} + b^{2}], [eqn: y_{0} = {a^{2}} over {4} + b^{2}]이라 하면 [eqn: v < y_{0}]이고, [eqn: g(t)]가 불연속이 될 수 있는 [eqn: t]의 값은 [eqn: v], [eqn: y_{0}], [eqn: 1], [eqn: 5]이다.

불연속점이 [eqn: 2]개가 되려면 [eqn: v=1], [eqn: y_{0}=5]이어야 한다.

이때 [eqn: lim from {t -> 1-} g(t) = 0], [eqn: g(1) = 2], [eqn: lim from {t -> 1+} g(t) = 4]로 [eqn: t=1]에서 불연속이고,

[eqn: lim from {t -> 5-} g(t) = 4], [eqn: g(5) = 3], [eqn: lim from {t -> 5+} g(t) = 2]로 [eqn: t=5]에서 불연속이 되어 조건을 만족한다.

[eqn: - {3} over {4} a^{2} + b^{2} = 1], [eqn: {a^{2}} over {4} + b^{2} = 5]를 연립하면

[eqn: a^{2} = 4]에서 [eqn: a = -2]

[eqn: b^{2} = 4]에서 [eqn: b = 2] 또는 [eqn: b = -2]

순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (-2, 2)], [eqn: (-2, -2)]로 [eqn: 2]개이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는 [eqn: 3+2=5]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{a _{n}&``` LEFT ( a _{n} >n RIGHT )#3n-2-a _{n}&``` LEFT ( a _{n} LEQ n RIGHT )}}]
을 만족시킬 때, [eqn: a_{5} = 5]가 되도록 하는 모든 [eqn: a_{1}]의 값의 곱은?

③

[eqn: n=4]일 때, [eqn: a_{5} = 5]이므로

[eqn: a_{4} > 4]이면 [eqn: a_{5} = a_{4} = 5] (조건 만족)

[eqn: a_{4} leq 4]이면 [eqn: a_{5} = 10 - a_{4} = 5]에서 [eqn: a_{4} = 5] (조건 불만족)

∴ [eqn: a_{4} = 5]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: a_{4} = 5]이므로

[eqn: a_{3} > 3]이면 [eqn: a_{4} = a_{3} = 5] (조건 만족)

[eqn: a_{3} leq 3]이면 [eqn: a_{4} = 7 - a_{3} = 5]에서 [eqn: a_{3} = 2] (조건 만족)

∴ [eqn: a_{3} = 5] 또는 [eqn: a_{3} = 2]

[eqn: n=2]일 때,

(ⅰ) [eqn: a_{3} = 5]인 경우

[eqn: a_{2} > 2]이면 [eqn: a_{3} = a_{2} = 5] (조건 만족)

[eqn: a_{2} leq 2]이면 [eqn: a_{3} = 4 - a_{2} = 5]에서 [eqn: a_{2} = -1] (조건 만족)

(ⅱ) [eqn: a_{3} = 2]인 경우

[eqn: a_{2} > 2]이면 [eqn: a_{3} = a_{2} = 2] (조건 불만족)

[eqn: a_{2} leq 2]이면 [eqn: a_{3} = 4 - a_{2} = 2]에서 [eqn: a_{2} = 2] (조건 만족)

∴ [eqn: a_{2} = 5] 또는 [eqn: a_{2} = -1] 또는 [eqn: a_{2} = 2]

[eqn: n=1]일 때,

(ⅰ) [eqn: a_{2} = 5]인 경우

[eqn: a_{1} > 1]이면 [eqn: a_{2} = a_{1} = 5] (조건 만족)

[eqn: a_{1} leq 1]이면 [eqn: a_{2} = 1 - a_{1} = 5]에서 [eqn: a_{1} = -4] (조건 만족)

(ⅱ) [eqn: a_{2} = -1]인 경우

[eqn: a_{1} > 1]이면 [eqn: a_{2} = a_{1} = -1] (조건 불만족)

[eqn: a_{1} leq 1]이면 [eqn: a_{2} = 1 - a_{1} = -1]에서 [eqn: a_{1} = 2] (조건 불만족)

(ⅲ) [eqn: a_{2} = 2]인 경우

[eqn: a_{1} > 1]이면 [eqn: a_{2} = a_{1} = 2] (조건 만족)

[eqn: a_{1} leq 1]이면 [eqn: a_{2} = 1 - a_{1} = 2]에서 [eqn: a_{1} = -1] (조건 만족)

따라서 조건을 만족하는 모든 [eqn: a_{1}]의 값은 [eqn: 5], [eqn: -4], [eqn: 2], [eqn: -1]이므로 그 곱은

[eqn: 5 times (-4) times 2 times (-1) = 40]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 20]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 60]

방정식 [eqn: 4^{x} = left ( {1} over {2} right )^{x-9}]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

주어진 방정식 [eqn: 4^{x} = left ( {1} over {2} right )^{x-9}]에서 밑을 [eqn: 2]로 통일하면

[eqn: 2^{2x} = 2^{-(x-9)}]

[eqn: 2^{2x} = 2^{-x+9}]

밑이 [eqn: 2]로 같으므로 지수를 비교하면

[eqn: 2x = -x+9]에서 [eqn: 3x = 9]

∴ [eqn: x = 3]

따라서 정답은 [eqn: 3]이다.

[eqn: int_{0}^{2} (3x^{2}-2x+3)dx - int_{2}^{0} (2x+1)dx]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

[eqn: int_{0}^{2} (3x^{2}-2x+3)dx - int_{2}^{0} (2x+1)dx]

[eqn: = int_{0}^{2} (3x^{2}-2x+3)dx + int_{0}^{2} (2x+1)dx]

[eqn: = int_{0}^{2} left { (3x^{2}-2x+3) + (2x+1) right } dx]

[eqn: = int_{0}^{2} (3x^{2}+4)dx]

[eqn: = left [ x^{3}+4x right ]_{0}^{2}]

[eqn: = (2^{3}+4 times 2) - 0 = 16]

따라서 정답은 [eqn: 16]이다.

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: sum_{k=1}^{10} a_{k} + sum_{k=1}^{9} a_{k} = 137], [eqn: sum_{k=1}^{10} a_{k} - sum_{k=1}^{9} 2a_{k} = 101]
일 때, [eqn: a_{10}]의 값을 구하시오.

[eqn: 113]

[eqn: sum from {k=1} to {9} a_{k} = S_{9}]라 하면

[eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k} = sum from {k=1} to {9} a_{k} + a_{10} = S_{9} + a_{10}]이므로

주어진 첫 번째 조건식에 대입하면

[eqn: (S_{9} + a_{10}) + S_{9} = 137]에서

[eqn: 2S_{9} + a_{10} = 137] ……①

주어진 두 번째 조건식에서 [eqn: sum from {k=1} to {9} 2a_{k} = 2 sum from {k=1} to {9} a_{k} = 2S_{9}]이므로

[eqn: (S_{9} + a_{10}) - 2S_{9} = 101]에서

[eqn: -S_{9} + a_{10} = 101]

즉, [eqn: S_{9} = a_{10} - 101] ……②

②를 ①에 대입하면

[eqn: 2(a_{10} - 101) + a_{10} = 137]에서

[eqn: 3a_{10} = 339]

∴ [eqn: a_{10} = 113]

따라서 정답은 [eqn: 113]이다.

실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = x^{3} - {5} over {2} x^{2} + ax + 2]이다. 곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 0,`2 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( it2,`f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )]서의 접선을 각각 [eqn: l], [eqn: m]이라 하자. 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 만나는 점이 [eqn: x]축 위에 있을 때, [eqn: 60 times left | f(2) right |]의 값을 구하시오.

[eqn: 80]

함수 [eqn: f(x) = x^{3} - {5} over {2} x^{2} + ax + 2]에서 [eqn: f'(x) = 3x^{2} - 5x + a]

점 [eqn: rmA(0, 2)]에서의 접선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: f'(0) = a]이므로 접선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y = ax + 2]

접선 [eqn: l]이 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: y = 0]을 대입하면 [eqn: ax + 2 = 0]에서 [eqn: x = - {2} over {a}] ([eqn: a neq 0])

따라서 두 접선 [eqn: l], [eqn: m]의 교점의 좌표는 [eqn: left ( - {2} over {a}, 0 right )]이다.

한편, [eqn: x = 2]일 때 [eqn: f(2) = 8 - 10 + 2a + 2 = 2a]이고, [eqn: f'(2) = 12 - 10 + a = a + 2]이므로

점 [eqn: B(2, 2a)]에서의 접선 [eqn: m]의 방정식은 [eqn: y - 2a = (a + 2)(x - 2)]

접선 [eqn: m]이 점 [eqn: left ( - {2} over {a}, 0 right )]을 지나므로

[eqn: -2a = (a + 2) left ( - {2} over {a} - 2 right )], [eqn: -2a = -2 - 2a - {4} over {a} - 4]

[eqn: {4} over {a} = -6] ∴ [eqn: a = - {2} over {3}]

따라서 [eqn: f(2) = 2a = - {4} over {3}]이므로

[eqn: 60 times left | f(2) right | = 60 times left | - {4} over {3} right | = 80]

따라서 정답은 [eqn: 80]이다.

두 함수 [eqn: f(x)=2x^{2}+2x-1], [eqn: g(x)=cos {pi} over {3} x]에 대하여 [eqn: 0 leq x < 12]에서 방정식
[eqn: f(g(x))=g(x)]
를 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 36]

[eqn: g(x) = t]라 하면 [eqn: -1 leq t leq 1]이고 주어진 방정식은 [eqn: f(t) = t]이다.

[eqn: 2t^{2} + 2t - 1 = t]에서 [eqn: 2t^{2} + t - 1 = 0]

[eqn: (2t - 1)(t + 1) = 0] ∴ [eqn: t = {1} over {2}] 또는 [eqn: t = -1]

(ⅰ) [eqn: t = {1} over {2}]일 때

[eqn: cos {pi} over {3} x = {1} over {2}]

[eqn: 0 leq x < 12]에서 [eqn: 0 leq {pi} over {3} x < 4 pi]이므로

[eqn: {pi} over {3} x = {pi} over {3}, {5 pi} over {3}, {7 pi} over {3}, {11 pi} over {3}]

∴ [eqn: x = 1, 5, 7, 11]

(ⅱ) [eqn: t = -1]일 때

[eqn: cos {pi} over {3} x = -1]

[eqn: 0 leq x < 12]에서 [eqn: 0 leq {pi} over {3} x < 4 pi]이므로

[eqn: {pi} over {3} x = pi, 3 pi]

∴ [eqn: x = 3, 9]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 실수 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: 1 + 5 + 7 + 11 + 3 + 9 = 36]

따라서 정답은 [eqn: 36]이다.

[eqn: a > 2]인 실수 [eqn: a]에 대하여 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 두 곡선
[eqn: y = a^{x} + 2], [eqn: y=log _{`a} `x+2]
와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원의 중심의 [eqn: y]좌표가 [eqn: {19} over {2}]이고 넓이가 [eqn: {121} over {2} pi]일 때, [eqn: a^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 13]

두 곡선 [eqn: y = a^{x} + 2]와 [eqn: y = log_{a} x + 2]는 각각 [eqn: y = a^{x}]와 [eqn: y = log_{a} x]의 그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 것이다.

두 곡선 [eqn: y = a^{x}]와 [eqn: y = log_{a} x]는 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이므로, 두 곡선 [eqn: y = a^{x} + 2]와 [eqn: y = log_{a} x + 2]는 직선 [eqn: y = x + 2]에 대하여 대칭이다.

기울기가 [eqn: -1]인 직선은 대칭축 [eqn: y = x + 2]와 수직이므로, 두 교점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 직선 [eqn: y = x + 2]에 대하여 대칭이다.

따라서 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원의 중심 [eqn: rmM]은 선분 [eqn: rmAB]의 중점이자 대칭축 [eqn: y = x + 2] 위에 있다.

중심 [eqn: rmM]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: {19} over {2}]이므로 [eqn: y = x + 2]에 대입하면

[eqn: {19} over {2} = x + 2]에서 [eqn: x = {15} over {2}]

∴ [eqn: rmM left ( {15} over {2}, {19} over {2} right )]

원의 넓이가 [eqn: {121} over {2} pi]이므로 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: pi r^{2} = {121} over {2} pi]에서 [eqn: r^{2} = {121} over {2}]

직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: -1]이므로 점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: left ( {15} over {2} - d, {19} over {2} + d right )] ([eqn: d > 0])라 하면

선분 [eqn: rmAM]의 길이의 제곱이 [eqn: r^{2}]이므로

[eqn: d^{2} + d^{2} = {121} over {2}]에서 [eqn: 2d^{2} = {121} over {2}]

[eqn: d^{2} = {121} over {4}]이고 [eqn: d > 0]이므로 [eqn: d = {11} over {2}]

따라서 점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: left ( {15} over {2} - {11} over {2}, {19} over {2} + {11} over {2} right )], 즉 [eqn: rmA(2, 15)]이다.

점 [eqn: rmA(2, 15)]는 곡선 [eqn: y = a^{x} + 2] 위의 점이므로

[eqn: 15 = a^{2} + 2]

∴ [eqn: a^{2} = 13]

따라서 정답은 [eqn: 13]이다.

함수 [eqn: f(x) = left | x^{3} - 3x + 8 right |]과 실수 [eqn: t]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [t,`t+2]]에서의 [eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: g(t)]라 하자. 서로 다른 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=alpha]와 [eqn: t=beta]에서만 미분가능하지 않다. [eqn: alpha beta = m + n sqrt{6}]일 때, [eqn: m+n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 정수이다.)

[eqn: 2]

[eqn: h(x) = x^{3} - 3x + 8]이라 하면 [eqn: h'(x) = 3x^{2} - 3 = 3(x-1)(x+1)]

[eqn: h'(x)=0]에서 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: h(-1) = 10], [eqn: h(1) = 6]이고 [eqn: x geq -2]에서 [eqn: h(x) geq 0]이므로 이 구간에서 [eqn: f(x) = h(x)]

구간 [eqn: [t, t+2]]의 길이는 [eqn: 2]이므로 [eqn: t]의 값에 따라 [eqn: g(t)]를 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: t leq -3]일 때

[eqn: t+2 leq -1]이고 이 구간에서 [eqn: f(x)]는 감소하므로 [eqn: g(t) = f(t)]

(ⅱ) [eqn: -3 < t leq -1]일 때

구간 내에 [eqn: x=-1]이 포함되므로 [eqn: g(t) = f(-1) = 10]

(ⅲ) [eqn: t > -1]일 때

[eqn: x=-1]은 구간의 왼쪽에 위치하고 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극소이므로 [eqn: g(t)]는 [eqn: f(t)]와 [eqn: f(t+2)] 중 크거나 같은 값이다.

[eqn: t=-3]에서의 미분가능성을 조사하면

[eqn: t leq -3]에서 [eqn: g(t) = -t^{3} + 3t - 8]이므로 [eqn: g'(t) = -3t^{2} + 3]에서 좌미분계수는 [eqn: -24]

[eqn: -3 < t leq -1]에서 [eqn: g(t) = 10]이므로 우미분계수는 [eqn: 0]

좌미분계수와 우미분계수가 다르므로 [eqn: t=-3]에서 미분가능하지 않다.

∴ [eqn: alpha = -3]

[eqn: t=-1]에서의 미분가능성을 조사하면

[eqn: -3 < t leq -1]에서 [eqn: g(t) = 10]이므로 좌미분계수는 [eqn: 0]

[eqn: t > -1]에서 [eqn: t]가 [eqn: -1]에 충분히 가까울 때 [eqn: f(t) > f(t+2)]이므로 [eqn: g(t) = f(t) = t^{3} - 3t + 8]

[eqn: g'(t) = 3t^{2} - 3]에서 우미분계수는 [eqn: 0]

좌미분계수와 우미분계수가 같으므로 [eqn: t=-1]에서 미분가능하다.

[eqn: t > -1] 구간에서 [eqn: f(t) = f(t+2)]가 되는 교점 [eqn: t]를 찾으면

[eqn: t^{3} - 3t + 8 = (t+2)^{3} - 3(t+2) + 8]에서 [eqn: 3t^{2} + 6t + 1 = 0]

[eqn: t > -1]이므로 [eqn: t = {-3 + sqrt{6}} over {3}]

이 점에서 [eqn: f'(t) neq f'(t+2)]이므로 미분가능하지 않다.

∴ [eqn: beta = {-3 + sqrt{6}} over {3}]

[eqn: alpha beta = -3 times {-3 + sqrt{6}} over {3} = 3 - sqrt{6}]

[eqn: m = 3], [eqn: n = -1]이므로 [eqn: m+n = 2]

따라서 정답은 [eqn: 2]이다.

타원 [eqn: {x^{2}} over {17} + {y^{2}} over {8} = 1]의 두 초점 사이의 거리는?

③

타원 [eqn: {x^{2}} over {17} + {y^{2}} over {8} = 1]에서 [eqn: a^{2} = 17], [eqn: b^{2} = 8]이다.

타원의 두 초점의 좌표를 [eqn: (c, 0)], [eqn: (-c, 0)] ([eqn: c > 0])이라 하면

[eqn: c^{2} = 17 - 8 = 9]에서 [eqn: c = 3]

따라서 두 초점 사이의 거리는 [eqn: 2c = 6]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

초점이 [eqn: rmF]인 포물선 [eqn: y^{2} = 20x] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmoverline{PF} = 15]일 때, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는?

②

포물선의 방정식 [eqn: y^{2} = 20x]에서 [eqn: 4p = 20]이므로 [eqn: p = 5]

따라서 포물선의 초점은 [eqn: rmF(5, 0)]이고, 준선의 방정식은 [eqn: x = -5]이다.

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x_{1}, y_{1})]이라 하면 포물선의 정의에 의해 점 [eqn: rmP]에서 초점 [eqn: rmF]까지의 거리는 점 [eqn: rmP]에서 준선 [eqn: x = -5]까지의 거리와 같으므로

[eqn: {bar{rmPF}} =itx _{1} -(-5)=x _{1} +5]

주어진 조건에서 [eqn: rmoverline{PF} = 15]이므로

[eqn: x_{1} + 5 = 15] ∴ [eqn: x_{1} = 10]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

두 초점이 [eqn: x]축 위에 있고, 두 초점 사이의 거리가 [eqn: 30]인 쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 [eqn: y={3} over {4}x]일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는?

⑤

쌍곡선의 두 초점이 [eqn: x]축 위에 있으므로 쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} - {y^{2}} over {b^{2}} = 1] ([eqn: a>0], [eqn: b>0])이라 하고, 두 초점의 좌표를 [eqn: (c, 0)], [eqn: (-c, 0)] ([eqn: c>0])이라 하자.

두 초점 사이의 거리가 [eqn: 30]이므로

[eqn: 2c = 30]에서 [eqn: c = 15]

쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 [eqn: y = {3} over {4}x]이므로

[eqn: {b} over {a} = {3} over {4}]에서 [eqn: b = {3} over {4}a]

쌍곡선의 성질에 의해 [eqn: c^{2} = a^{2} + b^{2}]이므로

[eqn: 15^{2} = a^{2} + left ( {3} over {4}a right )^{2}]

[eqn: 225 = {25} over {16}a^{2}]에서 [eqn: a^{2} = 144]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a = 12]

구하는 쌍곡선의 주축의 길이는 [eqn: 2a = 24]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 포물선
[eqn: C : (y-a+1)^{2} = (a+b)x+1] (단, [eqn: a+b != 0])
이 있다. 포물선 [eqn: C] 가 원점을 지나고 초점과 준선 사이의 거리가 [eqn: 2]일 때, [eqn: a-b]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: M-m]의 값은?

④

포물선 [eqn: C : (y-a+1)^{2} = (a+b)x+1]이 원점 [eqn: (0, 0)]을 지나므로

[eqn: (-a+1)^{2} = 1]에서 [eqn: a^{2}-2a = 0]

[eqn: a(a-2) = 0] ∴ [eqn: a = 0] 또는 [eqn: a = 2]

포물선 [eqn: C]의 방정식을 변형하면

[eqn: (y-a+1)^{2} = (a+b) left ( x + {1} over {a+b} right )]

이 포물선은 [eqn: y^{2} = (a+b)x]의 그래프를 평행이동한 것이므로 [eqn: 4p = a+b]라 하면 [eqn: p = {a+b} over {4}]이다.

포물선의 초점과 준선 사이의 거리는 [eqn: left | 2p right |]이므로

[eqn: left | 2p right | = left | {a+b} over {2} right | = 2]

즉, [eqn: left | a+b right | = 4]에서 [eqn: a+b = 4] 또는 [eqn: a+b = -4]이다.

(ⅰ) [eqn: a = 0]일 때

[eqn: a+b = 4]이면 [eqn: b = 4]이므로 [eqn: a-b = -4]

[eqn: a+b = -4]이면 [eqn: b = -4]이므로 [eqn: a-b = 4]

(ⅱ) [eqn: a = 2]일 때

[eqn: a+b = 4]이면 [eqn: b = 2]이므로 [eqn: a-b = 0]

[eqn: a+b = -4]이면 [eqn: b = -6]이므로 [eqn: a-b = 8]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a-b]의 최댓값 [eqn: M = 8], 최솟값 [eqn: m = -4]이므로

[eqn: M-m = 8 - (-4) = 12]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {7} - {y^{2}} over {9} = -1] 위의 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]에 대하여 각 [eqn: rmFPF']의 이등분선이 점 [eqn: LEFT ( 0,`1 RIGHT )]을 지날 때, [eqn: rmoverline{FP} + overline{F'P}]의 값은?

①

쌍곡선의 방정식 [eqn: {x^{2}} over {7} - {y^{2}} over {9} = -1]에서

[eqn: a^{2}=7], [eqn: b^{2}=9]이므로 초점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: c] ([eqn: c>0])라 하면

[eqn: c^{2} = 7 + 9 = 16]에서 [eqn: c=4]

두 초점의 좌표는 [eqn: rmF(0, 4)], [eqn: rmF'(0, -4)]이고 주축의 길이는 [eqn: 2b = 6]이다.

각 [eqn: rmFPF']의 이등분선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmA(0, 1)]이라 하면

삼각형 [eqn: rmFPF']에서 내각의 이등분선 정리에 의해

[eqn: rmoverline{FP} : overline{F'P} = overline{FA} : overline{F'A}]

[eqn: rmoverline{FA} = 4 - 1 = 3], [eqn: rmoverline{F'A} = 1 - (-4) = 5]이므로

[eqn: rmoverline{FP} : overline{F'P} = 3 : 5]

[eqn: {bar{rmFP}} =it3k], [eqn: {bar{rmF prime P}} =it5k] ([eqn: k>0])라 하면

점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 1]사분면에 있으므로 [eqn: rmoverline{F'P} > overline{FP}]이고, 쌍곡선의 정의에 의해

[eqn: rmoverline{F'P} - overline{FP} = 6]

[eqn: 5k - 3k = 6]에서 [eqn: 2k = 6] ∴ [eqn: k=3]

따라서 [eqn: rm {bar{FP}} + {bar{F prime P}} =it8k=24]이므로 정답은 ①이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

두 초점이 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( it-c,`0 RIGHT )] [eqn: (c>0)]이고 장축의 길이가 [eqn: 18]인 타원을 [eqn: C_{1}]이라 하자. 점 [eqn: rmF]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 타원 [eqn: C_{1}]과 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하고, 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmA]이고 점 [eqn: rmP(9,`0)]을 지나는 타원을 [eqn: C_{2}]라 하자. 두 타원 [eqn: C_{1}]과 [eqn: C_{2}]가 만나는 점 중 점 [eqn: rmP]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmcos(angle FF'A) = {12} over {13}]일 때, [eqn: rmoverline{F'Q} - overline{AQ}]의 값은?

③

직각삼각형 [eqn: rmFF'A]에서 [eqn: rmcos(angle FF'A) = {12} over {13}]이므로

[eqn: rmoverline{F'F} : overline{F'A} : overline{FA} = 12 : 13 : 5]

[eqn: {bar{rmF prime F}} =it2c]이므로 [eqn: {bar{rmF prime A}} =it {13} over {6} c], [eqn: {bar{rmFA}} =it {5} over {6} c]

점 [eqn: rmA]는 타원 [eqn: C_{1}] 위의 점이므로 타원의 정의에 의해

[eqn: rmoverline{F'A} + overline{FA} = 18]

[eqn: {13} over {6} c + {5} over {6} c = 3c = 18] ∴ [eqn: c = 6]

따라서 [eqn: rmF(6, 0)]이고 [eqn: rmoverline{FA} = 5]이므로 [eqn: rmA(6, 5)]

타원 [eqn: C_{2}]는 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmA]이고 점 [eqn: rmP(9, 0)]을 지나므로 타원의 정의에 의해 [eqn: C_{2}]의 장축의 길이는

[eqn: rmoverline{FP} + overline{AP} = 3 + sqrt{(9-6)^{2} + (0-5)^{2}} = 3 + sqrt{34}]

점 [eqn: rmQ]는 타원 [eqn: C_{1}] 위의 점이므로

[eqn: rmoverline{F'Q} + overline{FQ} = 18] ……①

점 [eqn: rmQ]는 타원 [eqn: C_{2}] 위의 점이므로

[eqn: rmoverline{FQ} + overline{AQ} = 3 + sqrt{34}] ……②

①, ②에서

[eqn: rm {bar{F prime Q}} - {bar{AQ}} =( {bar{F prime Q}} + {bar{FQ}} )-( {bar{FQ}} + {bar{AQ}} )=15- sqrt {34}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 14 - sqrt{34}]	② [eqn: 20 - 2 sqrt{34}]	③ [eqn: 15 - sqrt{34}]

④ [eqn: 21 - 2 sqrt{34}]	⑤ [eqn: 16 - sqrt{34}]

포물선 [eqn: x^{2} = ay] ([eqn: a > 0])이 두 포물선
[eqn: C_{1} : y^{2} = 8x], [eqn: C_{2} : y^{2} = -x]
와 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하고, 두 포물선 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}]의 초점을 각각 [eqn: rmF_{1}], [eqn: rmF_{2}]라 하자. 직선 [eqn: rmPQ]의 기울기가 [eqn: 2 sqrt{2}]일 때, [eqn: {bar{rmF _{1} P}} + {bar{rmF _{2} Q}} =it {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 29]

포물선 [eqn: x^{2} = ay]와 [eqn: C_{1} : y^{2} = 8x]를 연립하면

[eqn: left ( {x^{2}} over {a} right )^{2} = 8x]에서 [eqn: x^{4} = 8a^{2}x]

점 [eqn: rmP]는 원점이 아니므로 [eqn: x neq 0]에서 [eqn: x^{3} = 8a^{2}]

[eqn: x = 2a^{ {2} over {3} }]을 [eqn: y = {x^{2}} over {a}]에 대입하면 [eqn: y = 4a^{ {1} over {3} }]

∴ [eqn: rmP LEFT ( it2a ^{{2} over {3}} ,4a ^{{1} over {3}} RIGHT )]

포물선 [eqn: x^{2} = ay]와 [eqn: C_{2} : y^{2} = -x]를 연립하면

[eqn: left ( {x^{2}} over {a} right )^{2} = -x]에서 [eqn: x^{4} = -a^{2}x]

점 [eqn: rmQ]는 원점이 아니므로 [eqn: x neq 0]에서 [eqn: x^{3} = -a^{2}]

[eqn: x = -a^{ {2} over {3} }]을 [eqn: y = {x^{2}} over {a}]에 대입하면 [eqn: y = a^{ {1} over {3} }]

∴ [eqn: rmQ LEFT ( it-a ^{{2} over {3}} ,a ^{{1} over {3}} RIGHT )]

직선 [eqn: rmPQ]의 기울기가 [eqn: 2 sqrt{2}]이므로

[eqn: {4a^{ {1} over {3} } - a^{ {1} over {3} }} over {2a^{ {2} over {3} } - left ( -a^{ {2} over {3} } right )} = {3a^{ {1} over {3} }} over {3a^{ {2} over {3} }} = {1} over {a^{ {1} over {3} }} = 2 sqrt{2}]

[eqn: a^{ {1} over {3} } = {sqrt{2}} over {4}]이고 [eqn: a^{ {2} over {3} } = {1} over {8}]이므로

[eqn: rmP left ( {1} over {4}, sqrt{2} right )], [eqn: rmQ left ( - {1} over {8}, {sqrt{2}} over {4} right )]

포물선 [eqn: C_{1}]의 방정식은 [eqn: y^{2} = 4 times 2 times x]이므로 준선의 방정식은 [eqn: x = -2]

포물선 [eqn: C_{2}]의 방정식은 [eqn: y^{2} = 4 times left ( - {1} over {4} right ) times x]이므로 준선의 방정식은 [eqn: x = {1} over {4}]

포물선의 정의에 의해 초점에서 포물선 위의 점까지의 거리는 준선에서 그 점까지의 거리와 같으므로

[eqn: rmoverline{F_{1}P} = {1} over {4} - (-2) = {9} over {4}]

[eqn: rmoverline{F_{2}Q} = {1} over {4} - left ( - {1} over {8} right ) = {3} over {8}]

[eqn: rmoverline{F_{1}P} + overline{F_{2}Q} = {9} over {4} + {3} over {8} = {21} over {8}]

[eqn: p=8], [eqn: q=21]이므로 [eqn: p+q = 29]

따라서 정답은 [eqn: 29]이다.

그림과 같이 두 점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: F' LEFT ( it-c,`0 RIGHT )] [eqn: (c>0)]을 초점으로 하고 주축의 길이가 [eqn: 6]인 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선이 선분 [eqn: rmFF']을 지름으로 하는 원과 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 선분 [eqn: rmF'P]가 쌍곡선과 만나는 점 중 점 [eqn: rmP]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하고, 선분 [eqn: rmrmFQ]가 쌍곡선과 만나는 점 중 점 [eqn: rmQ]가 아닌 점을 [eqn: rmR]이라 하자. 점 [eqn: rmQ]가 선분 [eqn: rmF'P]를 [eqn: 1:2]로 내분할 때, 삼각형 [eqn: rmQF'R]의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: 20S]의 값을 구하시오.

[eqn: 150]

[eqn: rm {bar{F'Q}} `= it k] ([eqn: k>0])라 하면 점 [eqn: rmQ]가 선분 [eqn: rm {bar{F prime P}}]를 [eqn: 1:2]로 내분하므로

[eqn: rmbarQP`=it2k], [eqn: rmbarF'P`=it3k]

점 [eqn: rmQ]는 쌍곡선의 왼쪽 가지에, 점 [eqn: rmP]는 오른쪽 가지에 있으므로 쌍곡선의 정의에 의해

[eqn: rmbarQF`-rmbarF'Q`=6]에서 [eqn: rmbarQF`=itk+6]

[eqn: rmbarF'P`-rmbarPF`=6]에서 [eqn: rmbarPF`=it3k-6]

선분 [eqn: rmFF']이 원의 지름이므로 원주각의 성질에 의해 [eqn: rmangle F'PF = 90^{circ}]이다.

직각삼각형 [eqn: rmQPF]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rmbarQF` ^{2} =rmbarQP` ^{2} +rmbarPF` ^{2}]

[eqn: (k+6)^{2} = (2k)^{2} + (3k-6)^{2}]에서 [eqn: 12k^{2} - 48k = 0]

[eqn: k>0]이므로 [eqn: k = 4]

따라서 [eqn: rmbarF'Q`=4], [eqn: rmbarQP`=8], [eqn: rmbarF'P`=12], [eqn: rmbarQF`=10], [eqn: rmbarPF`=6]이다.

세 점 [eqn: rmF'], [eqn: rmQ], [eqn: rmP]가 일직선 상에 있고 [eqn: rmangle F'PF = 90^{circ}]이므로 삼각형 [eqn: rmQF'F]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES rm {bar{F'Q}} ` TIMES rm {bar{PF}} `= {1} over {2} TIMES 4 TIMES 6=12]

직각삼각형 [eqn: rmQPF]에서 [eqn: rm cos( ANGLE PQF)= {rmbarQP} over {rmbarQF} = {8} over {10} = {4} over {5}]이고, [eqn: rmangle F'QF]와 [eqn: rmangle PQF]는 보각 관계이므로

[eqn: rmcos( angle F'QF) = - {4} over {5}]

점 [eqn: rmR]이 선분 [eqn: rmFQ] 위에 있으므로 [eqn: rmbarFR`=10-rmbarQR]이고, 점 [eqn: rmR]이 쌍곡선의 오른쪽 가지에 있으므로

[eqn: rm {bar{F'R}} `- rm {bar{FR}} `=6]에서 [eqn: rm {bar{F'R}} `=16- rm {bar{QR}}]

삼각형 [eqn: rmQF'R]에서 코사인 법칙에 의해

[eqn: rmbarF'R` ^{2} =rmbarF'Q` ^{2} +rmbarQR` ^{2} -2 TIMES rmbarF'Q` TIMES rmbarQR` TIMES cos LEFT ( anglermF'QR RIGHT )]

[eqn: (16-rmbarQR`) ^{2} =4 ^{2} +rmbarQR` ^{2} -2 TIMES 4 TIMES rmbarQR` TIMES LEFT ( - {4} over {5} RIGHT )]에서 [eqn: rmbarQR`= {25} over {4}]

삼각형 [eqn: rmQF'R]과 삼각형 [eqn: rmQF'F]는 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다.

[eqn: S=12 TIMES {rmbarQR} over {rmbarQF} =12 TIMES {{25} over {4}} over {10} = {15} over {2}]

따라서 [eqn: 20S = 20 times {15} over {2} = 150]

따라서 정답은 [eqn: 150]이다.