수학ETF	2024_고2_9월	기출문제
	1~30

[eqn: 2^{-1} times 8^{5 over 3}]의 값은?

⑤

[eqn: 8 = 2^{3}]이므로 [eqn: 8^{5 over 3} = (2^{3})^{5 over 3} = 2^{3 times {5 over 3}} = 2^{5}]

주어진 식에 대입하면 [eqn: 2^{-1} times 8^{5 over 3} = 2^{-1} times 2^{5}]

지수법칙에 의해 [eqn: 2^{-1} times 2^{5} = 2^{-1+5} = 2^{4} = 16]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

[eqn: lim_{x rightarrow infty} {(2x+1)^{2}} over {x^{2}+4x+5}] 의 값은?

④

[eqn: x -> inf]일 때, 분모와 분자가 모두 무한대로 가는 [eqn: inf over inf] 꼴의 극한이다.

분자의 식을 전개하면 [eqn: (2x+1)^{2} = 4x^{2} + 4x + 1]

주어진 극한식의 분모와 분자를 [eqn: x^{2}]으로 나누면

[eqn: lim from {x -> inf} {(2x+1)^{2}} over {x^{2}+4x+5}][eqn: = lim from {x -> inf} {4x^{2}+4x+1} over {x^{2}+4x+5}][eqn: = lim from {x -> inf} {4 + {4} over {x} + {1} over {x^{2}}} over {1 + {4} over {x} + {5} over {x^{2}}}]

[eqn: x -> inf]일 때, [eqn: {4} over {x} -> 0], [eqn: {1} over {x^{2}} -> 0], [eqn: {5} over {x^{2}} -> 0]이므로

[eqn: = {4 + 0 + 0} over {1 + 0 + 0}][eqn: = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: a_{4} = 10], [eqn: a_{7} - a_{5} = 6]
일 때, [eqn: a_{1}]의 값은?

①

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a_{1}], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_{4} = a_{1} + 3d = 10] ……①

[eqn: a_{7} - a_{5} = (a_{1} + 6d) - (a_{1} + 4d) = 2d]

[eqn: 2d = 6]이므로 [eqn: d = 3]

[eqn: d = 3]을 ①에 대입하면 [eqn: a_{1} + 3 times 3 = 10], [eqn: a_{1} + 9 = 10]

∴ [eqn: a_{1} = 1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: {pi} over {2} < theta < pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: sin theta = -3 cos theta]일 때, [eqn: cos theta]의 값은?

③

주어진 식 [eqn: sin theta = -3 cos theta]의 양변을 제곱하면 [eqn: sin^{2} theta = 9 cos^{2} theta]

[eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]이므로 [eqn: 9 cos^{2} theta + cos^{2} theta = 1], [eqn: cos^{2} theta = {1} over {10}]

[eqn: {pi} over {2} < theta < pi]에서 [eqn: cos theta < 0]이므로

[eqn: cos theta = - {1} over {sqrt{10}} = - {sqrt{10}} over {10}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: - {3 sqrt{10}} over {10}]	② [eqn: - {sqrt{10}} over {5}]	③ [eqn: - {sqrt{10}} over {10}]

④ [eqn: {sqrt{10}} over {10}]	⑤ [eqn: {sqrt{10}} over {5}]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim_{x rightarrow -1} f(x) + lim_{x rightarrow 1-} f(x)]의 값은?

④

[eqn: lim from {x -> -1} f(x) = -1], [eqn: lim from {x -> 1-} f(x) = 2]

∴ [eqn: lim from {x -> -1} f(x) + lim from {x -> 1-} f(x) = -1 + 2 = 1]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: log_{2}5 times log_{5}3+log_{2} {16} over {3}] 의 값은?

④

로그의 밑의 변환 공식에 의해 [eqn: log_{2}5 times log_{5}3 = log_{2}3]

이므로 주어진 식은 [eqn: log_{2}3 + log_{2} {16} over {3}]

로그의 성질에 의해

[eqn: log_{2}3 + log_{2} {16} over {3} = log_{2} left ( 3 times {16} over {3} right )][eqn: = log_{2}16][eqn: = log_{2}2^{4}][eqn: = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]이고 넓이가 [eqn: 18pi]인 부채꼴의 호의 길이는?

②

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r], 호의 길이를 [eqn: l]이라 하면

부채꼴의 넓이가 [eqn: 18pi]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]이므로

[eqn: 18pi = {1} over {2} times r^{2} times {pi} over {4}], [eqn: 18pi = {pi} over {8} r^{2}] ∴ [eqn: r^{2} = 144]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: r = 12]

호의 길이 [eqn: l]은 [eqn: l = r theta]이므로 [eqn: l = 12 times {pi} over {4} = 3pi]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 2pi]	② [eqn: 3pi]	③ [eqn: 4pi]

④ [eqn: 5pi]	⑤ [eqn: 6pi]

[eqn: 0 < x leq 2pi]일 때, 방정식
[eqn: cos^{2}x - 1 = 2sin x]
의 모든 해의 합은?

④

삼각함수의 성질 [eqn: sin^{2} x + cos^{2} x = 1]에서 [eqn: cos^{2} x - 1 = -sin^{2} x]이므로

방정식 [eqn: cos^{2} x - 1 = 2 sin x]는 [eqn: -sin^{2} x = 2 sin x]

[eqn: sin^{2} x + 2 sin x = 0], [eqn: sin x ( sin x + 2 ) = 0]

이때 [eqn: -1 leq sin x leq 1]이므로 [eqn: sin x + 2 neq 0]에서

∴ [eqn: sin x = 0]

[eqn: 0 < x leq 2 pi]에서 [eqn: sin x = 0]을 만족하는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x = pi] 또는 [eqn: x = 2 pi]

모든 해의 합은 [eqn: pi + 2 pi = 3 pi]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {3} over {2}pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: {5} over {2}pi]

④ [eqn: 3pi]	⑤ [eqn: {7} over {2}pi]

집합 [eqn: LEFT { x`|`-3 LEQ x LEQ 3 RIGHT }]에서 정의된 함수
[eqn: y = log_{1 over 3} (x+m)]
이 최댓값 [eqn: -2]를 가질 때, 상수 [eqn: m]의 값은?

②

함수 [eqn: y = log_{{1} over {3}} (x+m)]의 밑이 [eqn: {1} over {3}]이고 [eqn: 0 < {1} over {3} < 1]이므로 이 함수는 [eqn: x]의 값이 증가할 때 [eqn: y]의 값은 감소한다.

주어진 정의역이 [eqn: -3 leq x leq 3]이므로 함수 [eqn: y]는 [eqn: x = -3]일 때 최댓값을 가진다.

[eqn: x = -3]일 때의 함숫값이 [eqn: -2]이므로 [eqn: log_{{1} over {3}} (-3+m) = -2]

로그의 정의에 의해 [eqn: -3+m = left ( {1} over {3} right )^{-2}], [eqn: -3+m = 3^{2}]

[eqn: -3+m = 9] ∴ [eqn: m = 12]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

공비가 양수인 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자.
[eqn: a_{2} = 2], [eqn: S_{6} = 9S_{3}]
일 때, [eqn: a_{4}]의 값은?

②

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r] ([eqn: r > 0])이라 하면

[eqn: a_{2} = ar = 2] ……①

[eqn: r = 1]이면 [eqn: S_{6} = 6a], [eqn: S_{3} = 3a]이므로 [eqn: 6a = 27a]에서 [eqn: a = 0]이 되어 ①에 모순이다.

따라서 [eqn: r neq 1]이다.

[eqn: S_{6} = 9S_{3}]에서 [eqn: {a(r^{6} - 1)} over {r - 1} = 9 times {a(r^{3} - 1)} over {r - 1}]

[eqn: r^{6} - 1 = 9(r^{3} - 1)], [eqn: (r^{3} - 1)(r^{3} + 1) = 9(r^{3} - 1)]

[eqn: r neq 1]이므로 양변을 [eqn: r^{3} - 1]로 나누면

[eqn: r^{3} + 1 = 9], [eqn: r^{3} = 8]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: r = 2]

①에 의해 [eqn: a times 2 = 2]에서 [eqn: a = 1]

∴ [eqn: a_{4} = ar^{3} = 1 times 2^{3} = 8]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

[eqn: x]에 대한 연립부등식
[eqn: left { matrix { 4^{x}-2^{x}-2 < 0 ## log_{a}x+1 > 0 } right .]
을 만족시키는 모든 [eqn: x]의 값의 범위가 [eqn: {1} over {5} < x < b]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a > 1])

①

첫 번째 부등식 [eqn: 4^{x}-2^{x}-2 < 0]에서 [eqn: 2^{x} = t] ([eqn: t > 0])라 하면

[eqn: t^{2} - t - 2 < 0], [eqn: (t-2)(t+1) < 0], [eqn: -1 < t < 2]

[eqn: t > 0]이므로 [eqn: 0 < t < 2]

[eqn: 0 < 2^{x} < 2^{1}]

밑이 [eqn: 1]보다 크므로 [eqn: x < 1] ……①

두 번째 부등식 [eqn: log_{a}x+1 > 0]에서 진수 조건에 의해 [eqn: x > 0]

[eqn: log_{a}x > -1]

[eqn: a > 1]이므로 부등호 방향이 유지되어 [eqn: x > a^{-1}]

즉, [eqn: x > {1} over {a}] ……②

①, ②에서 연립부등식의 해는 [eqn: {1} over {a} < x < 1]

이 해가 [eqn: {1} over {5} < x < b]와 같으므로 [eqn: {1} over {a} = {1} over {5}], [eqn: b = 1]

∴ [eqn: a = 5], [eqn: b = 1]

따라서 [eqn: a+b = 5+1 = 6]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f(x)=a tan {pi} over {4} x]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 점 [eqn: rmA(3,`-2)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 6]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 점을 [eqn: rmA']이라 하자. 점 [eqn: rmA']이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 점일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.

②

점 [eqn: rm A(3,`-2)]가 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: -2 = a tan left ( {pi} over {4} times 3 right )]

[eqn: tan {3pi} over {4} = -1]이므로 [eqn: -2 = -a] ∴ [eqn: a = 2]

따라서 [eqn: f(x) = 2 tan {pi} over {4} x]이다.

점 [eqn: rmA LEFT ( it3,`-2 RIGHT )]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 6]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 점 [eqn: rmA']의 좌표는 [eqn: rmA' LEFT ( it9,`b-2 RIGHT )]이다.

점 [eqn: rmA']이 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: b-2 = 2 tan left ( {pi} over {4} times 9 right )]

[eqn: tan {9pi} over {4} = tan left ( 2pi + {pi} over {4} right ) = tan {pi} over {4} = 1]이므로

[eqn: b-2 = 2 times 1 = 2] ∴ [eqn: b = 4]

따라서 [eqn: a+b = 2+4 = 6]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

첫째항이 음수인 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: a_{3}a_{5} = 8a_{8}], [eqn: a_{1} + left | a_{2} right | + left | 2a_{3} right | = 0]
일 때, [eqn: a_{2}]의 값은?

⑤

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a] ([eqn: a < 0]), 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: a_{n} = a r^{n-1}]이므로 [eqn: a_{3}a_{5} = 8a_{8}]에서

[eqn: a r^{2} times a r^{4} = 8 a r^{7}], [eqn: a^{2} r^{6} = 8 a r^{7}]

[eqn: a < 0]이므로 [eqn: a neq 0]이고, 만약 [eqn: r = 0]이면 [eqn: a_{1} + left | a_{2} right | + left | 2a_{3} right | = a = 0]이 되어 모순이므로 [eqn: r neq 0]이다.

양변을 [eqn: a r^{6}]으로 나누면 [eqn: a = 8r] ……①

[eqn: a < 0]이므로 ①에서 [eqn: r < 0]이다.

[eqn: a_{1} + left | a_{2} right | + left | 2a_{3} right | = 0]에서

[eqn: a + left | a r right | + left | 2 a r^{2} right | = 0]

①을 대입하면 [eqn: 8r + left | 8 r^{2} right | + left | 16 r^{3} right | = 0]

[eqn: r < 0]이므로 [eqn: 8 r^{2} > 0], [eqn: 16 r^{3} < 0]에서 [eqn: 8r + 8 r^{2} - 16 r^{3} = 0]

[eqn: -8r]로 양변을 나누면 [eqn: 2 r^{2} - r - 1 = 0], [eqn: (2r + 1)(r - 1) = 0]

[eqn: r < 0]이므로 [eqn: r = -{1} over {2}]

∴ [eqn: a_{2} = a r = 8 r^{2} = 8 times left ( -{1} over {2} right )^{2} = 2]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: -1]	② [eqn: -{1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: 2 leq n leq 10]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n^{2}+1]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: f(n)], [eqn: n^{2}-8n+12]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: g(n)]이라 하자. [eqn: f(n)=2g(n)]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은?

③

어떤 실수 [eqn: a]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수는 [eqn: n]이 홀수일 때 항상 [eqn: 1]이고, [eqn: n]이 짝수일 때 [eqn: a > 0]이면 [eqn: 2], [eqn: a = 0]이면 [eqn: 1], [eqn: a < 0]이면 [eqn: 0]이다.

모든 실수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n^{2}+1 > 0]이므로 [eqn: f(n)]은 [eqn: n]이 홀수일 때 [eqn: 1], [eqn: n]이 짝수일 때 [eqn: 2]이다.

조건 [eqn: f(n) = 2g(n)]을 만족시키는 [eqn: n]의 값을 구하기 위해 [eqn: n]이 홀수일 때와 짝수일 때로 나누어 생각한다.

(ⅰ) [eqn: n]이 홀수일 때

[eqn: f(n) = 1]이고, [eqn: g(n)]은 [eqn: n^{2}-8n+12]의 값에 관계없이 항상 [eqn: 1]이므로 [eqn: g(n) = 1]이다.

[eqn: f(n) = 2g(n)]에 대입하면 [eqn: 1 = 2]가 되어 모순이다.

따라서 조건을 만족시키는 홀수 [eqn: n]은 없다.

(ⅱ) [eqn: n]이 짝수일 때

[eqn: f(n) = 2]이므로 [eqn: f(n) = 2g(n)]에서 [eqn: 2 = 2g(n)]

∴ [eqn: g(n) = 1]

[eqn: n]이 짝수일 때 [eqn: g(n) = 1]이 되려면 [eqn: n^{2}-8n+12 = 0]이어야 한다.

[eqn: n^{2}-8n+12 = (n-2)(n-6) = 0]에서 [eqn: n = 2] 또는 [eqn: n = 6]이다.

[eqn: n = 2], [eqn: n = 6]은 모두 짝수이므로 조건을 만족시킨다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 2], [eqn: 6]이므로 그 합은 [eqn: 2 + 6 = 8]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f(x)=4^{x-a}-8 times 2^{x-a}]가 [eqn: x=5]에서 최솟값 [eqn: b]를 가질 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

①

[eqn: f(x) = (2^{x-a})^{2} - 8 times 2^{x-a}]이므로

[eqn: 2^{x-a} = t] ([eqn: t > 0])라 하면

[eqn: f(x) = t^{2} - 8t = (t-4)^{2} - 16]

[eqn: t > 0]이므로 [eqn: t = 4]일 때 최솟값 [eqn: -16]을 가진다.

[eqn: t = 4]에서 [eqn: 2^{x-a} = 4 = 2^{2}]이므로

[eqn: x - a = 2] ∴ [eqn: x = a + 2]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x = 5]에서 최솟값 [eqn: b]를 가지므로

[eqn: a + 2 = 5]에서 [eqn: a = 3]이고 [eqn: b = -16]이다.

∴ [eqn: a + b = 3 + (-16) = -13]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: -13]	② [eqn: -11]	③ [eqn: -9]

④ [eqn: -7]	⑤ [eqn: -5]

다음 조건을 만족시키는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는?

(가) [eqn: 0 < log b - log a < 1]

(나) [eqn: 2a + log b < 9]

①

조건 (가)에서 [eqn: 0 < log b - log a < 1]

[eqn: log 1 < log {b} over {a} < log 10], [eqn: 1 < {b} over {a} < 10]

[eqn: a], [eqn: b]는 자연수이므로 [eqn: a < b < 10a] ……①

조건 (나)에서 [eqn: 2a + log b < 9], [eqn: log b < 9 - 2a]

[eqn: b < 10^{9-2a}] ……②

[eqn: a]는 자연수이므로 [eqn: a]의 값에 따라 경우를 나눈다.

(ⅰ) [eqn: a = 1]일 때

①에서 [eqn: 1 < b < 10], ②에서 [eqn: b < 10^{7}]

두 조건을 동시에 만족시키는 자연수 [eqn: b]의 범위는 [eqn: 1 < b < 10]이므로 [eqn: b]는 [eqn: 2, 3, cdots, 9]의 [eqn: 8]개이다.

(ⅱ) [eqn: a = 2]일 때

①에서 [eqn: 2 < b < 20], ②에서 [eqn: b < 10^{5}]

두 조건을 동시에 만족시키는 자연수 [eqn: b]의 범위는 [eqn: 2 < b < 20]이므로 [eqn: b]는 [eqn: 3, 4, cdots, 19]의 [eqn: 17]개이다.

(ⅲ) [eqn: a = 3]일 때

①에서 [eqn: 3 < b < 30], ②에서 [eqn: b < 10^{3} = 1000]

두 조건을 동시에 만족시키는 자연수 [eqn: b]의 범위는 [eqn: 3 < b < 30]이므로 [eqn: b]는 [eqn: 4, 5, cdots, 29]의 [eqn: 26]개이다.

(ⅳ) [eqn: a = 4]일 때

①에서 [eqn: 4 < b < 40], ②에서 [eqn: b < 10^{1} = 10]

두 조건을 동시에 만족시키는 자연수 [eqn: b]의 범위는 [eqn: 4 < b < 10]이므로 [eqn: b]는 [eqn: 5, 6, 7, 8, 9]의 [eqn: 5]개이다.

(ⅴ) [eqn: a geq 5]일 때

②에서 [eqn: b < 10^{9-2a} leq 10^{-1} = {1} over {10}]이므로 이를 만족시키는 자연수 [eqn: b]는 존재하지 않는다.

따라서 (ⅰ) ~ (ⅴ)에서 구하는 모든 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는 [eqn: 8 + 17 + 26 + 5 = 56]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 56]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 62]	⑤ [eqn: 64]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a_{12}-a_{10}=5]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum_{k=1}^{n} a_{2k} = sum_{k=1}^{n} a_{2k-1} + n^{2}]이다.

[eqn: a_{9}=16]일 때, [eqn: a_{11}]의 값은?

③

조건 (나)에서 [eqn: sum from {k=1} to {n} a_{2k} - sum from {k=1} to {n} a_{2k-1} = n^{2}]이므로

[eqn: sum from {k=1} to {n} (a_{2k} - a_{2k-1}) = n^{2}]

[eqn: n geq 2]일 때, [eqn: a_{2n} - a_{2n-1} = n^{2} - (n-1)^{2} = 2n - 1]

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a_{2} - a_{1} = 1^{2} = 1]이므로

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{2n} - a_{2n-1} = 2n - 1]이다.

[eqn: n=5]일 때, [eqn: a_{10} - a_{9} = 9]

[eqn: a_{9} = 16]이므로 [eqn: a_{10} = 16 + 9 = 25]

조건 (가)에서 [eqn: a_{12} - a_{10} = 5]이므로

[eqn: a_{12} = a_{10} + 5 = 25 + 5 = 30]

[eqn: n=6]일 때, [eqn: a_{12} - a_{11} = 11]이므로

[eqn: a_{11} = a_{12} - 11 = 30 - 11 = 19]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-2 ^{x} +2&``` LEFT ( x<1 RIGHT )#log` _{2} `x&``` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]
에 대하여 [eqn: a-1 leq x leq a+1]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값과 최솟값의 차가 [eqn: 1]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은?

②

[eqn: x < 1]에서 [eqn: f(x) = -2^{x} + 2]는 밑이 [eqn: 2]인 지수함수를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하고 [eqn: y]축 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 것이므로 감소한다.

[eqn: x geq 1]에서 [eqn: f(x) = log_{2} x]는 밑이 [eqn: 2]인 로그함수이므로 증가한다.

[eqn: f(1) = 0]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = 1]에서 최솟값 [eqn: 0]을 갖는다.

구간 [eqn: a-1 leq x leq a+1]에서 최댓값과 최솟값의 차가 [eqn: 1]이 되는 [eqn: a]의 값을 구하기 위해 경우를 나눈다.

(ⅰ) [eqn: a+1 leq 1], 즉 [eqn: a leq 0]일 때

구간 [eqn: a-1 leq x leq a+1]에서 함수 [eqn: f(x)]는 감소하므로

최댓값은 [eqn: f(a-1)], 최솟값은 [eqn: f(a+1)]이다.

[eqn: f(a-1) - f(a+1) = 1]에서

[eqn: (-2^{a-1} + 2) - (-2^{a+1} + 2) = 1], [eqn: -2^{a-1} + 2^{a+1} = 1]

[eqn: 2^{a-1} (2^{2} - 1) = 1], [eqn: 3 times 2^{a-1} = 1], [eqn: 2^{a-1} = {1} over {3}]

[eqn: a-1 = log_{2} {1} over {3} = -log_{2} 3], [eqn: a = 1 - log_{2} 3 = log_{2} {2} over {3}]

이때 [eqn: a leq 0]을 만족한다.

(ⅱ) [eqn: a-1 geq 1], 즉 [eqn: a geq 2]일 때

구간 [eqn: a-1 leq x leq a+1]에서 함수 [eqn: f(x)]는 증가하므로

최댓값은 [eqn: f(a+1)], 최솟값은 [eqn: f(a-1)]이다.

[eqn: f(a+1) - f(a-1) = 1]에서 [eqn: log_{2} (a+1) - log_{2} (a-1) = 1]

[eqn: log_{2} {a+1} over {a-1} = 1], [eqn: {a+1} over {a-1} = 2], [eqn: a+1 = 2a - 2] ∴ [eqn: a = 3]

이때 [eqn: a geq 2]를 만족한다.

(ⅲ) [eqn: a-1 < 1 < a+1], 즉 [eqn: 0 < a < 2]일 때

구간 [eqn: a-1 leq x leq a+1]은 [eqn: x = 1]을 포함하므로 최솟값은 [eqn: f(1) = 0]이다.

최댓값은 [eqn: f(a-1)] 또는 [eqn: f(a+1)]이므로

[eqn: f(a-1) = 1] 또는 [eqn: f(a+1) = 1]이다.

[eqn: f(a-1) = 1]이면 [eqn: -2^{a-1} + 2 = 1]에서 [eqn: 2^{a-1} = 1]

[eqn: a-1 = 0] ∴ [eqn: a = 1]

[eqn: f(a+1) = 1]이면 [eqn: log_{2} (a+1) = 1]에서 [eqn: a+1 = 2]

∴ [eqn: a = 1]

이때 [eqn: a = 1]은 [eqn: 0 < a < 2]를 만족한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 모든 실수 [eqn: a]의 값은 [eqn: log_{2} {2} over {3}], [eqn: 3], [eqn: 1]이므로 그 합은

[eqn: log_{2} {2} over {3} + 3 + 1 = log_{2} {2} over {3} + 4 = log_{2} {2} over {3} + log_{2} 16 = log_{2} {32} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: log_{2} {32} over {3}]	③ [eqn: log_{2} {40} over {3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: log_{2} {56} over {3}]

함수 [eqn: f(x)=3sin{{pi} over {2}}x] ([eqn: 0 leq x leq 7])과 실수 [eqn: t] ([eqn: 0 < t < 3])에 대하여 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형 [eqn: rmABC]의 세 꼭짓점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: t]의 값은?

(가) 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=-t]가 만나는 점이다.

(나) 점 [eqn: rmC]는 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이다.

③

함수 [eqn: f(x) = 3sin{{pi} over {2}}x]의 주기는 [eqn: {2pi} over {{pi} over {2}} = 4]이다.

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 곡선 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: y = -t]가 만나는 점이고, 정삼각형 [eqn: rmABC]의 한 변의 길이가 [eqn: 4]이므로 선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: 4]이다.

한 주기 내에서 직선 [eqn: y = -t]와 만나는 두 점 사이의 거리는 [eqn: 2]보다 작으므로, 선분 [eqn: rmAB]의 길이가 [eqn: 4]가 되려면 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표의 차는 주기인 [eqn: 4]와 같아야 한다.

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha]라 하면 점 [eqn: B]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: alpha + 4]이고, 선분 [eqn: rmAB]의 중점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: alpha + 2]이다.

정삼각형 [eqn: rmABC]의 한 변의 길이가 [eqn: 4]이므로 높이는 [eqn: {sqrt{3}} over {2} times 4 = 2sqrt{3}]이다.

점 [eqn: rmC]는 선분 [eqn: rmAB]의 수직이등분선 위에 있으므로 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: alpha + 2]이고, [eqn: y]좌표는 [eqn: -t + 2sqrt{3}] 또는 [eqn: -t - 2sqrt{3}]이다.

점 [eqn: rmC]는 곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 점이므로

[eqn: f(alpha + 2) = 3sin{{pi} over {2}}(alpha + 2) = 3sin left ( {pi} over {2}alpha + pi right ) = -3sin{{pi} over {2}}alpha]

점 [eqn: rmA LEFT ( italpha,`-t RIGHT )]가 곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 점이므로 [eqn: 3sin{{pi} over {2}}alpha = -t]이다.

∴ [eqn: f(alpha + 2) = -(-t) = t]

즉, 점 [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: t]이므로

[eqn: t = -t + 2sqrt{3}] 또는 [eqn: t = -t - 2sqrt{3}]

[eqn: 2t = 2sqrt{3}] 또는 [eqn: 2t = -2sqrt{3}]

[eqn: t > 0]이므로 [eqn: t = sqrt{3}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {sqrt{3}} over {2}]	② [eqn: {3sqrt{3}} over {4}]	③ [eqn: sqrt{3}]

④ [eqn: {5sqrt{3}} over {4}]	⑤ [eqn: {3sqrt{3}} over {2}]

상수 [eqn: k] ([eqn: k > 3])에 대하여 직선 [eqn: y = -x + 2k]가 두 함수
[eqn: f(x) = log_{2}(x - k)], [eqn: g(x) = 2^{x+1} + k + 1]
의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. [eqn: rmoverline{AB} = 7sqrt{2}] 일 때, [eqn: k]의 값은?

④

함수 [eqn: f(x) = log_{2}(x - k)]의 역함수를 [eqn: y = h(x)]라 하면

[eqn: x = log_{2}(y - k)]에서 [eqn: y - k = 2^{x}]이므로 [eqn: h(x) = 2^{x} + k]이다.

함수 [eqn: g(x) = 2^{x+1} + k + 1]은 [eqn: g(x) = h(x + 1) + 1]이므로, [eqn: g(x)]의 그래프는 [eqn: h(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이다.

직선 [eqn: y = -x + 2k]는 기울기가 [eqn: -1]이므로 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동해도 자기 자신과 일치한다.

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: rmA LEFT ( ita,`b RIGHT )]라 하면, 점 [eqn: rmA]는 [eqn: y = f(x)]와 [eqn: y = -x + 2k]의 교점이므로 [eqn: b = -a + 2k]에서 [eqn: a + b = 2k]이다. ……①

점 [eqn: rmA]를 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmA']이라 하면 [eqn: rmA' LEFT ( itb,`a RIGHT )]이고, 이 점은 역함수 [eqn: y = h(x)]와 직선 [eqn: y = -x + 2k]의 교점이다.

점 [eqn: rmA']을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 점은 [eqn: g(x)]와 [eqn: y = -x + 2k]의 교점인 [eqn: rmB]와 일치하므로 [eqn: rmB LEFT ( itb-1,`a+1 RIGHT )]이다.

선분 [eqn: rmAB]의 길이가 [eqn: 7sqrt{2}]이므로

[eqn: {bar{rmAB}} = sqrt {(b-1-a) ^{2} +(a+1-b) ^{2}} = sqrt {2(a-b+1) ^{2}} =7 sqrt {2}]

즉, [eqn: left | a - b + 1 right | = 7]이다.

그래프에서 점 [eqn: rmA]는 점 [eqn: rmB]보다 오른쪽에 위치하므로 [eqn: a > b - 1]에서 [eqn: a - b + 1 > 0]이다.

따라서 [eqn: a - b + 1 = 7]에서 [eqn: a - b = 6]이다. ……②

①, ②를 연립하여 풀면

[eqn: 2a = 2k + 6]에서 [eqn: a = k + 3]이고, [eqn: b = k - 3]이다.

∴ [eqn: rmA(itk+3,`k-3)]

점 [eqn: rmA]는 [eqn: y = f(x)] 위의 점이므로

[eqn: k - 3 = log_{2}(k + 3 - k)], [eqn: k - 3 = log_{2}3]

[eqn: k = 3 + log_{2}3 = log_{2}2^{3} + log_{2}3 = log_{2}24]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: log_{2}21]	② [eqn: log_{2}22]	③ [eqn: log_{2}23]

④ [eqn: log_{2}24]	⑤ [eqn: log_{2}25]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{2 ^{x+a}&``` LEFT ( x LEQ 0 RIGHT )#LEFT ( x+b RIGHT ) ^{2}&``` LEFT ( x>0 RIGHT )}}]
이다. 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x)=t]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g(t)]라 할 때, 함수 [eqn: g(t)]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: lim_{t rightarrow k-} g(t) neq lim_{t rightarrow k+} g(t)]와 [eqn: lim_{t rightarrow 2k-} g(t) neq lim_{t rightarrow 2k+} g(t)]를 모두 만족시키는 양수 [eqn: k]가 존재한다.

[eqn: lim_{t rightarrow 16-} g(t) times lim_{t rightarrow 16+} g(t) = 2] 가 되도록 하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a, b)]에 대하여 [eqn: a+b]의 최댓값과 최솟값의 곱은?

③

함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 [eqn: x leq 0]에서 점근선이 [eqn: y=0]이고 증가하는 지수함수 [eqn: y=2^{x+a}]의 일부이고, [eqn: x>0]에서 꼭짓점이 [eqn: (-b,`0)]인 이차함수 [eqn: y=(x+b)^{2}]의 일부이다.

방정식 [eqn: f(x)=t]의 서로 다른 실근의 개수 [eqn: g(t)]가 불연속이 되는 양수 [eqn: t]의 값은 [eqn: t=2^{a}]와 [eqn: t=b^{2}]이다.

조건에서 [eqn: g(t)]의 좌우 극한이 다른 양수 [eqn: t]가 [eqn: k], [eqn: 2k]이므로 [eqn: LEFT { k,`2k RIGHT } = LEFT { 2 ^{a} ,`b ^{2} RIGHT }]이다.

[eqn: b]의 부호에 따라 경우를 나누면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: b geq 0]인 경우

[eqn: x>0]에서 [eqn: f(x)]는 증가하고 [eqn: f(x)>b^{2}]이다.

만약 [eqn: 2^{a} < b^{2}]이면 [eqn: t=2^{a}]에서 좌극한 [eqn: 1], 우극한 [eqn: 0]이고 [eqn: t=b^{2}]에서 좌극한 [eqn: 0], 우극한 [eqn: 1]이므로 극한값의 곱이 [eqn: 2]가 될 수 없으므로 모순이다.

따라서 [eqn: 2^{a} > b^{2}]이고 [eqn: k=b^{2}], [eqn: 2k=2^{a}]이다.

이때 [eqn: t=b^{2}]에서 좌극한 [eqn: 1], 우극한 [eqn: 2]이고, [eqn: t=2^{a}]에서 좌극한 [eqn: 2], 우극한 [eqn: 1]이다.

[eqn: lim from {t -> 16-} g(t) times lim from {t -> 16+} g(t) = 2]를 만족하려면 [eqn: t=16]이 불연속점이어야 하므로 다음 두 가지 경우이다.

[eqn: b^{2}=16]인 경우 [eqn: b=4]이고 [eqn: k=16], [eqn: 2^{a}=32]이므로 [eqn: a=5]이다. ∴ [eqn: a+b=9]

[eqn: 2^{a}=16]인 경우 [eqn: a=4]이고 [eqn: 2k=16]에서 [eqn: k=8]이므로 [eqn: b^{2}=8]에서 [eqn: b=2 sqrt{2}]이다. ∴ [eqn: a+b=4+2 sqrt{2}]

(ⅱ) [eqn: b < 0]인 경우

[eqn: x>0]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: x=-b]에서 [eqn: 0]이다.

만약 [eqn: 2^{a} < b^{2}]이면 [eqn: k=2^{a}], [eqn: 2k=b^{2}]이다.

이때 [eqn: t=2^{a}]에서 좌극한 [eqn: 3], 우극한 [eqn: 2]이고, [eqn: t=b^{2}]에서 좌극한 [eqn: 2], 우극한 [eqn: 1]이다.

극한값의 곱이 [eqn: 2]가 되려면 [eqn: b^{2}=16]이어야 하므로 [eqn: b=-4]이다.

[eqn: 2k=16]에서 [eqn: k=8]이므로 [eqn: 2^{a}=8]에서 [eqn: a=3]이다. ∴ [eqn: a+b=-1]

만약 [eqn: 2^{a} > b^{2}]이면 [eqn: k=b^{2}], [eqn: 2k=2^{a}]이다.

이때 [eqn: t=b^{2}]에서 좌극한 [eqn: 3], 우극한 [eqn: 2]이고, [eqn: t=2^{a}]에서 좌극한 [eqn: 2], 우극한 [eqn: 1]이다.

극한값의 곱이 [eqn: 2]가 되려면 [eqn: 2^{a}=16]이어야 하므로 [eqn: a=4]이다.

[eqn: 2k=16]에서 [eqn: k=8]이므로 [eqn: b^{2}=8]에서 [eqn: b=-2 sqrt{2}]이다. ∴ [eqn: a+b=4-2 sqrt{2}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a+b]의 최댓값은 [eqn: 9]이고 최솟값은 [eqn: -1]이다.

따라서 최댓값과 최솟값의 곱은 [eqn: -9]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -11]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -9]

④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -7]

방정식 [eqn: 3^{2x-1}=27]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

주어진 방정식에서 [eqn: 27 = 3^{3}]이므로 [eqn: 3^{2x-1} = 3^{3}]

밑이 [eqn: 3]으로 같으므로 지수끼리 비교하면

[eqn: 2x - 1 = 3], [eqn: 2x = 4] ∴ [eqn: x = 2]

따라서 정답은 [eqn: 2]이다.

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{3}+a_{5}+a_{7}=18]일 때, [eqn: a_{4}+a_{6}]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_{3} + a_{5} + a_{7} = (a+2d) + (a+4d) + (a+6d) = 3a + 12d = 18]

[eqn: 3(a+4d) = 18]에서 [eqn: a+4d = 6]

구하는 값은 [eqn: a_{4} + a_{6} = (a+3d) + (a+5d) = 2a + 8d = 2(a+4d)]

[eqn: a+4d = 6]이므로 [eqn: 2(a+4d) = 2 times 6 = 12]

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n} = {cases{n ^{2} -1&``` LEFT ( n이``홀수인``경우 RIGHT )#n ^{2} +1&``` LEFT ( n이``짝수인``경우 RIGHT )}}]
를 만족시킬 때, [eqn: sum_{k=1}^{10} a_{k}]의 값을 구하시오.

[eqn: 385]

주어진 수열 [eqn: a_{n}]의 일반항은 [eqn: n]이 홀수일 때 [eqn: a_{n} = n^{2}-1], [eqn: n]이 짝수일 때 [eqn: a_{n} = n^{2}+1]에서

[eqn: a_{n} = n^{2} + (-1)^{n}]이므로

[eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k} = sum from {k=1} to {10} left ( k^{2} + (-1)^{k} right )][eqn: = sum from {k=1} to {10} k^{2} + sum from {k=1} to {10} (-1)^{k}]

이때 [eqn: sum from {k=1} to {10} k^{2} = {10 times 11 times 21} over {6} = 385]이고,

[eqn: sum from {k=1} to {10} (-1)^{k} = -1 + 1 - 1 + 1 - cdots - 1 + 1 = 0]이므로

[eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k} = 385 + 0 = 385]

따라서 정답은 [eqn: 385]이다.

[eqn: 0 < x leq 10]일 때, 부등식
[eqn: cos {pi} over {5} x < sin {pi} over {5} x]
를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 20]

[eqn: {pi} over {5} x = theta]라 하면 [eqn: 0 < x leq 10]이므로 [eqn: 0 < theta leq 2 pi]이다.

주어진 부등식은 [eqn: cos theta < sin theta]이다.

[eqn: 0 < theta leq 2 pi]에서 [eqn: y = sin theta]와 [eqn: y = cos theta]의 그래프를 그려 비교하면

[eqn: cos theta < sin theta]를 만족시키는 [eqn: theta]의 범위는

[eqn: {pi} over {4} < theta < {5 pi} over {4}]이다.

즉, [eqn: {pi} over {4} < {pi} over {5} x < {5 pi} over {4}]이므로

양변에 [eqn: {5} over {pi}]를 곱하면

[eqn: {5} over {4} < x < {25} over {4}]이다.

이를 만족시키는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이다.

모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20]이다.

따라서 정답은 [eqn: 20]이다.

[eqn: 10 < a < 100]인 실수 [eqn: a]에 대하여 수직선 위의 서로 다른 네 점 [eqn: rmP LEFT ( itp RIGHT )], [eqn: rmQ LEFT ( itq RIGHT )], [eqn: rmR LEFT ( itr RIGHT )], [eqn: rmS LEFT ( its RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: p < q < r < s]

(나) 두 집합
[eqn: A= LEFT { p,`q,`r,`s RIGHT }],
[eqn: B= LEFT { log10a,`log {10} over {a} ,`log _{a} 10a,`log _{a} {a} over {10} RIGHT }]
에 대하여 [eqn: A = B]이다.

[eqn: rmoverline{PS} = {10} over {3}]일 때, [eqn: rm30 times overline{QR}]의 값을 구하시오.

[eqn: 36]

[eqn: 10 < a < 100]이므로 [eqn: log a = x]라 하면 [eqn: 1 < x < 2]이다.

집합 [eqn: B]의 원소를 [eqn: x]에 대한 식으로 나타내면

[eqn: log 10a = log 10 + log a = 1 + x]

[eqn: log {10} over {a} = log 10 - log a = 1 - x]

[eqn: log_{a} 10a = log_{a} 10 + log_{a} a = {1} over {log a} + 1 = {1} over {x} + 1]

[eqn: log_{a} {a} over {10} = log_{a} a - log_{a} 10 = 1 - {1} over {log a} = 1 - {1} over {x}]

[eqn: 1 < x < 2]이므로 각 원소의 값의 범위를 구하면

[eqn: 2 < 1 + x < 3], [eqn: -1 < 1 - x < 0], [eqn: {3} over {2} < {1} over {x} + 1 < 2]

[eqn: 0 < 1 - {1} over {x} < {1} over {2}]

따라서 네 원소의 대소 관계는

[eqn: 1 - x < 1 - {1} over {x} < {1} over {x} + 1 < 1 + x]

조건 (가)에서 [eqn: p < q < r < s]이고 [eqn: A = B]이므로

[eqn: p = 1 - x], [eqn: q = 1 - {1} over {x}], [eqn: r = {1} over {x} + 1], [eqn: s = 1 + x]

[eqn: {bar{rmPS}} =s-p=(1+x)-(1-x)=2x]

[eqn: {bar{rmPS}} = {10} over {3}]이므로 [eqn: 2x = {10} over {3}] ∴ [eqn: x = {5} over {3}]

[eqn: {bar{rmQR}} =r-q= LEFT ( {1} over {x} +1 RIGHT ) - LEFT ( 1- {1} over {x} RIGHT ) = {2} over {x}]

[eqn: x = {5} over {3}]이므로 [eqn: {bar{rmQR}} =2 TIMES {3} over {5} = {6} over {5}]

∴ [eqn: 30 TIMES {bar{rmQR}} =30 TIMES {6} over {5} =36]

따라서 정답은 [eqn: 36]이다.

그림과 같이 둘레의 길이가 [eqn: 20]이고 [eqn: rmcos(angle ABC)={1} over {4}]인 평행사변형 [eqn: rmABCD]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이가 [eqn: {32} over {3} pi]일 때, 삼각형 [eqn: rmABD]의 외접원의 넓이는 [eqn: {q} over {p} pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmoverline {AB} < overline {AD}]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 271]

[eqn: {bar{rmAB}} =a], [eqn: {bar{rmAD}} =b]라 하면 평행사변형의 둘레의 길이가 [eqn: 20]이므로

[eqn: 2(a+b) = 20]에서 [eqn: a+b = 10] ……①

[eqn: rmcos(angle ABC) = {1} over {4}]이므로

[eqn: rm sin( ANGLE ABC)= sqrt {1-cos ^{2} ( ANGLE rmABC)} = sqrt {1- LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {15}} over {4}]

삼각형 [eqn: ABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R_{1}]이라 하면 외접원의 넓이가 [eqn: {32} over {3} pi]이므로 [eqn: R_{1} = {4sqrt{2}} over {sqrt{3}}]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {{bar{rmAC}}} over {sin( ANGLE rmABC)} =2R _{1}]이므로

[eqn: {bar{rmAC}} =2 TIMES {4 sqrt {2}} over {sqrt {3}} TIMES {sqrt {15}} over {4} =2 sqrt {10}]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: {bar{rmAC}} ^{2} =a ^{2} +b ^{2} -2ab`cos( ANGLE rmABC)]이므로

[eqn: 40 = a^{2} + b^{2} - 2ab times {1} over {4}], [eqn: 40 = (a+b)^{2} - 2ab - {1} over {2} ab]

①을 대입하면 [eqn: 40 = 100 - {5} over {2} ab]

[eqn: {5} over {2} ab = 60] ∴ [eqn: ab = 24] ……②

①, ②에서 [eqn: a], [eqn: b]는 이차방정식 [eqn: t^{2} - 10t + 24 = 0]의 두 근이므로

[eqn: (t-4)(t-6) = 0]에서 [eqn: t=4] 또는 [eqn: t=6]

[eqn: a < b]이므로 [eqn: a = 4], [eqn: b = 6]

평행사변형의 성질에 의 해 [eqn: rmangle DAB = 180^{circ} - angle ABC]이므로

[eqn: rm cos( ANGLE DAB)=cos(180 ^{CIRC } - ANGLE rmABC)=-cos( ANGLE rmABC)=- {1} over {4}]

[eqn: sin( ANGLE rmDAB)=sin(180 ^{CIRC } - ANGLE rmABC)=sin( ANGLE rmABC)= {sqrt {15}} over {4}]

삼각형 [eqn: rmABD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: {bar{rmBD}} ^{2} =a ^{2} +b ^{2} -2ab`cos( ANGLE rmDAB)]이므로

[eqn: {bar{rmBD}} ^{2} =4 ^{2} +6 ^{2} -2 TIMES 4 TIMES 6 TIMES LEFT ( - {1} over {4} RIGHT ) =16+36+12=64]

∴ [eqn: {bar{rmBD}} =8]

삼각형 [eqn: rmABD]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R_{2}]라 하면 사인법칙에 의해

[eqn: 2R _{2} = {{bar{rmBD}}} over {sin( ANGLE rmDAB)} = {8} over {{sqrt {15}} over {4}} = {32} over {sqrt {15}}]

∴ [eqn: R_{2} = {16} over {sqrt{15}}]

삼각형 [eqn: rmABD]의 외접원의 넓이는 [eqn: {256} over {12} pi]

따라서 [eqn: p = 15], [eqn: q = 256]이므로 [eqn: p+q = 271]

따라서 정답은 [eqn: 271]이다.

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim_{x rightarrow 0-} {sqrt{x^{2}} - f(x)} over {x + f(x)} times lim_{x rightarrow 0+} {sqrt{x^{2}} - f(x)} over {x + f(x)} = -2]

(나) [eqn: lim_{x rightarrow a} {f(x-4)f(x+1)} over {sqrt{x^{2}} - 3}]의 값이 존재하지 않는 실수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 1]이다.

[eqn: f(24)]의 값을 구하시오.

[eqn: 40]

조건 (가)에서 [eqn: sqrt{x^{2}} = left | x right |]이다.

[eqn: x -> 0-]일 때 [eqn: left | x right | = -x]이고, [eqn: x -> 0+]일 때 [eqn: left | x right | = x]이다.

만약 [eqn: f(0) neq 0]이라 하면

[eqn: lim from {x -> 0-} {-x - f(x)} over {x + f(x)} = {-f(0)} over {f(0)} = -1]

[eqn: lim from {x -> 0+} {x - f(x)} over {x + f(x)} = {-f(0)} over {f(0)} = -1]

이때 극한값의 곱은 [eqn: (-1) times (-1) = 1 neq -2]이므로 모순이다.

따라서 [eqn: f(0) = 0]이다.

[eqn: f(x) = px^{2} + qx] ([eqn: p > 0])라 하면

[eqn: x -> 0-]일 때,

[eqn: lim from {x -> 0-} {-x - (px^{2} + qx)} over {x + px^{2} + qx} = lim from {x -> 0-} {-1 - px - q} over {1 + px + q} = {-1 - q} over {1 + q}]

[eqn: x -> 0+]일 때,

[eqn: lim from {x -> 0+} {x - (px^{2} + qx)} over {x + px^{2} + qx} = lim from {x -> 0+} {1 - px - q} over {1 + px + q} = {1 - q} over {1 + q}]

조건 (가)에서

[eqn: {-1 - q} over {1 + q} times {1 - q} over {1 + q} = -2], [eqn: {q^{2} - 1} over {(q+1)^{2}} = -2], [eqn: q^{2} - 1 = -2(q^{2} + 2q + 1)]

[eqn: 3q^{2} + 4q + 1 = 0], [eqn: (3q + 1)(q + 1) = 0]

[eqn: q = -1] 또는 [eqn: q = - {1} over {3}]

[eqn: q = -1]이면 분모 [eqn: 1+q = 0]이 되어 극한값이 존재하지 않으므로 [eqn: q = - {1} over {3}]이다.

∴ [eqn: f(x) = px^{2} - {1} over {3} x] ([eqn: p > 0])

조건 (나)에서 분모가 [eqn: 0]이 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: sqrt{x^{2}} - 3 = 0]에서 [eqn: left | x right | = 3]이므로 [eqn: x = 3] 또는 [eqn: x = -3]이다.

극한값이 존재하지 않는 실수 [eqn: a]의 개수가 [eqn: 1]이려면 [eqn: x = 3] 또는 [eqn: x = -3] 중 한 곳에서만 극한값이 존재해야 한다.

[eqn: g(x) = f(x-4)f(x+1)]이라 하면, 극한값이 존재하기 위해서는 분자도 [eqn: 0]이 되어야 하므로 [eqn: g(3) = 0] 또는 [eqn: g(-3) = 0]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: g(3) = 0]인 경우

[eqn: g(3) = f(-1)f(4) = 0]이므로 [eqn: f(-1) = 0] 또는 [eqn: f(4) = 0]이다.

[eqn: f(-1) = p + {1} over {3} = 0]에서 [eqn: p = - {1} over {3}]인데 [eqn: p > 0]이므로 모순이다.

[eqn: f(4) = 16p - {4} over {3} = 0]에서 [eqn: p = {1} over {12}]이다.

이때 [eqn: f(x) = {1} over {12} x^{2} - {1} over {3} x]이고, [eqn: g(-3) = f(-7)f(-2) neq 0]이므로 [eqn: x = -3]에서 극한값이 존재하지 않아 조건을 만족한다.

(ⅱ) [eqn: g(-3) = 0]인 경우

[eqn: g(-3) = f(-7)f(-2) = 0]이므로 [eqn: f(-7) = 0] 또는 [eqn: f(-2) = 0]이다.

[eqn: f(-7) = 49p + {7} over {3} = 0]에서 [eqn: p = - {1} over {21}]이므로 모순이다.

[eqn: f(-2) = 4p + {2} over {3} = 0]에서 [eqn: p = - {1} over {6}]이므로 모순이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: f(x) = {1} over {12} x^{2} - {1} over {3} x]이다.

[eqn: f(24) = {1} over {12} times 24^{2} - {1} over {3} times 24 = 48 - 8 = 40]

따라서 정답은 [eqn: 40]이다.

자연수 [eqn: p]와 실수 [eqn: q] ([eqn: q geq 0])에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는
[eqn: f(x) = left | p sin x - q right |]
이다. [eqn: f(a) = q]인 서로 다른 모든 양수 [eqn: a]를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: a_{n}]이라 하자. 수열 [eqn: left { a_{n} right }]과 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 세 항 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{4}], [eqn: a_{7}]은 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

(나) 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 15]이다.

두 수 [eqn: p], [eqn: q]의 모든 순서쌍 [eqn: (p, q)]의 개수를 구하시오.

[eqn: 11]

함수 [eqn: f(x) = left | p sin x - q right |]에서 [eqn: sin x]의 최솟값은 [eqn: -1]이고 최댓값은 [eqn: 1]이다.

[eqn: p]는 자연수, [eqn: q geq 0]이므로 [eqn: p sin x - q]의 범위는 [eqn: -p - q leq p sin x - q leq p - q]이다.

따라서 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: left | -p - q right | = p + q]이다.

조건 (나)에서 최댓값이 [eqn: 15]이므로 [eqn: p + q = 15]이다.

[eqn: f(a) = q]에서 [eqn: left | p sin a - q right | = q]이므로

[eqn: p sin a - q = q] 또는 [eqn: p sin a - q = -q]

즉, [eqn: sin a = {2q} over {p}] 또는 [eqn: sin a = 0]이다.

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: sin a = 0]의 해는 [eqn: a = pi, 2pi, 3pi, 4pi, cdots]이다.

[eqn: {2q} over {p}]의 값의 범위에 따라 경우를 나누어 수열 [eqn: left { a_{n} right }]을 구해보자.

(ⅰ) [eqn: {2q} over {p} > 1]인 경우

[eqn: 2q > p]이고 [eqn: q = 15 - p]이므로 [eqn: 2(15 - p) > p]에서 [eqn: p < 10]이다.

[eqn: p]는 자연수이므로 [eqn: p = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]이다.

이때 [eqn: sin a = {2q} over {p}]를 만족하는 실수 [eqn: a]는 존재하지 않으므로 [eqn: f(a) = q]의 해는 [eqn: sin a = 0]의 해와 같다.

따라서 [eqn: a_{n} = n pi]이고 [eqn: a_{1} = pi], [eqn: a_{4} = 4pi], [eqn: a_{7} = 7pi]이다.

[eqn: 2a_{4} = a_{1} + a_{7}]이 성립하므로 조건 (가)를 만족한다.

이 경우 순서쌍 [eqn: (p, q)]의 개수는 [eqn: 9]이다.

(ⅱ) [eqn: {2q} over {p} = 1]인 경우

[eqn: 2q = p]이고 [eqn: q = 15 - p]이므로 [eqn: p = 10], [eqn: q = 5]이다.

[eqn: sin a = 1]의 해는 [eqn: a = {pi} over {2}, {5pi} over {2}, {9pi} over {2}, cdots]이다.

[eqn: sin a = 0]의 해와 합쳐서 크기순으로 나열하면

[eqn: a_{1} = {pi} over {2}], [eqn: a_{2} = pi], [eqn: a_{3} = 2pi], [eqn: a_{4} = {5pi} over {2}], [eqn: a_{5} = 3pi], [eqn: a_{6} = 4pi], [eqn: a_{7} = {9pi} over {2}]이다.

[eqn: a_{1} = {pi} over {2}], [eqn: a_{4} = {5pi} over {2}], [eqn: a_{7} = {9pi} over {2}]이므로 [eqn: 2a_{4} = a_{1} + a_{7}]이 성립하여 조건 (가)를 만족한다.

이 경우 순서쌍 [eqn: (p, q)]의 개수는 [eqn: 1]이다.

(ⅲ) [eqn: 0 < {2q} over {p} < 1]인 경우

[eqn: 0 < 2q < p]이고 [eqn: q = 15 - p]이므로 [eqn: 10 < p < 15]이다.

[eqn: p]는 자연수이므로 [eqn: p = 11, 12, 13, 14]이다.

[eqn: sin a = {2q} over {p}]를 만족하는 가장 작은 양수를 [eqn: alpha] ([eqn: 0 < alpha < {pi} over {2}])라 하면 해는 [eqn: a = alpha, pi - alpha, 2pi + alpha, 3pi - alpha, cdots]이다.

[eqn: sin a = 0]의 해와 합쳐서 크기순으로 나열하면

[eqn: a_{1} = alpha], [eqn: a_{2} = pi - alpha], [eqn: a_{3} = pi], [eqn: a_{4} = 2pi], [eqn: a_{5} = 2pi + alpha], [eqn: a_{6} = 3pi - alpha], [eqn: a_{7} = 3pi]이다.

조건 (가)를 만족하려면 [eqn: 2a_{4} = a_{1} + a_{7}]이어야 하므로 [eqn: 4pi = alpha + 3pi]에서 [eqn: alpha = pi]이다.

이는 [eqn: 0 < alpha < {pi} over {2}]에 모순이므로 조건 (가)를 만족하지 않는다.

(ⅳ) [eqn: {2q} over {p} = 0]인 경우

[eqn: q = 0]이므로 [eqn: p = 15]이다.

[eqn: sin a = 0]의 해만 존재하므로 (ⅰ)과 같이 [eqn: a_{n} = n pi]이다.

따라서 조건 (가)를 만족하며, 순서쌍 [eqn: (p, q)]의 개수는 [eqn: 1]이다.

(ⅰ) ~ (ⅳ)에서 조건을 만족하는 순서쌍 [eqn: (p, q)]의 개수는 [eqn: 9 + 1 + 1 = 11]이다.

따라서 정답은 [eqn: 11]이다.

첫째항이 정수인 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 두 정수 [eqn: d], [eqn: r]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{a _{n} +d&``` LEFT ( a _{n} GEQ 0 RIGHT )#ra _{n}&``` LEFT ( a _{n} <0 RIGHT )}}]
이다.

(나) [eqn: a_{k} = a_{k+12} = 0]인 자연수 [eqn: k]가 존재한다.

[eqn: a_{2} + a_{3} = 0], [eqn: a_{5} = 16]이 되도록 하는 모든 [eqn: a_{1}]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 28]

조건 (가)에서 [eqn: a_{2}]의 부호에 따라 경우를 나눈다.

(ⅰ) [eqn: a_{2} geq 0]일 때

[eqn: a_{3} = a_{2} + d]이고 [eqn: a_{2} + a_{3} = 2a_{2} + d = 0]에서 [eqn: d = -2a_{2}]이다.

만약 [eqn: a_{2} = 0]이면 [eqn: d = 0]이 되어 모든 항이 [eqn: 0]이 되므로 [eqn: a_{5} = 16]을 만족하지 않는다.

따라서 [eqn: a_{2} > 0]이고 [eqn: d < 0]이다.

[eqn: a_{2} = p] ([eqn: p > 0])라 하면 [eqn: d = -2p]이다.

[eqn: a_{3} = p - 2p = -p < 0]이므로 [eqn: a_{4} = -pr]이다.

만약 [eqn: a_{4} < 0]이면 [eqn: r > 0]이고 [eqn: a_{5} = -pr^{2} = 16]이 되는데, [eqn: p > 0], [eqn: r^{2} > 0]이므로 모순이다.

따라서 [eqn: a_{4} geq 0]이고 [eqn: r leq 0]이다.

[eqn: a_{5} = a_{4} + d = -pr - 2p = -p(r+2) = 16] ……①

조건 (나)에서 [eqn: a_{m} = 0]일 때 이후 항들은 [eqn: 0, d, rd, rd+d, cdots, 0]으로 반복되며, 주기는 [eqn: 2-r]이다.

[eqn: a_{k} = a_{k+12} = 0]을 만족하려면 [eqn: 12]가 주기 [eqn: 2-r]의 배수이어야 하므로 [eqn: 2-r in left { 1, 2, 3, 4, 6, 12 right }]이다.

[eqn: r leq 0]이므로 [eqn: r in left { 0, -1, -2, -4, -10 right }]이다.

①에 각 [eqn: r]의 값을 대입하여 자연수 [eqn: p]를 구하면 다음과 같다.

[eqn: r = -4]일 때 [eqn: 2p = 16]에서 [eqn: p = 8]이고 [eqn: d = -16]이다.

이때 [eqn: a_{2} = 8]이므로 [eqn: a_{1} geq 0]이면 [eqn: a_{1} - 16 = 8]에서 [eqn: a_{1} = 24]이고, [eqn: a_{1} < 0]이면 [eqn: -4a_{1} = 8]에서 [eqn: a_{1} = -2]이다.

[eqn: r = -10]일 때 [eqn: 8p = 16]에서 [eqn: p = 2]이고 [eqn: d = -4]이다.

이때 [eqn: a_{2} = 2]이므로 [eqn: a_{1} geq 0]이면 [eqn: a_{1} - 4 = 2]에서 [eqn: a_{1} = 6]이고, [eqn: a_{1} < 0]이면 [eqn: -10a_{1} = 2]에서 [eqn: a_{1} = - {1} over {5}]이므로 정수가 아니다.

(ⅱ) [eqn: a_{2} < 0]일 때

[eqn: a_{3} = r a_{2}]이고 [eqn: a_{2} + a_{3} = a_{2}(1+r) = 0]에서 [eqn: r = -1]이다.

[eqn: a_{3} = -a_{2} > 0]이므로 [eqn: a_{4} = -a_{2} + d]이다.

만약 [eqn: a_{4} geq 0]이면 [eqn: a_{5} = -a_{2} + 2d = 16]에서 [eqn: a_{2} = 2d - 16]이다.

[eqn: a_{5} = 16]에서 시작하여 [eqn: d]씩 더해져 [eqn: 0]이 되려면 [eqn: 16]이 [eqn: -d]의 배수이어야 하므로 [eqn: d in left { -1, -2, -4, -8, -16 right }]이다.

각 [eqn: d]에 대해 [eqn: a_{2}]를 구하고 [eqn: a_{1}]을 계산하면 모두 정수 조건이나 부호 조건에 모순이 되어 해가 존재하지 않는다. (예를 들어 [eqn: d = -16]이면 [eqn: a_{2} = -48]이고, [eqn: a_{1} geq 0]일 때 [eqn: a_{1} = -32], [eqn: a_{1} < 0]일 때 [eqn: a_{1} = 48]이 되어 모두 모순이다.)

만약 [eqn: a_{4} < 0]이면 [eqn: a_{5} = -(-a_{2} + d) = a_{2} - d = 16]에서 [eqn: a_{2} = d + 16]이다.

이때 수열은 [eqn: 16, 16+d, -16-d, -16]이 반복되어 결코 [eqn: 0]이 될 수 없으므로 조건 (나)에 모순이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 가능한 [eqn: a_{1}]의 값은 [eqn: 24, -2, 6]이다.

모든 [eqn: a_{1}]의 값의 합은 [eqn: 24 + (-2) + 6 = 28]이다.

따라서 정답은 [eqn: 28]이다.