수학ETF	25_고1_6월	기출문제
	1 ~ 30

[eqn: (1-3i)+2i]의 값은? (단, [eqn: i=sqrt{-1}])

③

복소수의 덧셈은 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 계산하므로

[eqn: (1-3i)+2i = 1 + (-3+2)i][eqn: = 1-i]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -1-2i]	② [eqn: -1-i]	③ [eqn: 1-i]

④ [eqn: 1+i]	⑤ [eqn: 1+2i]

두 다항식 [eqn: A=3x^{2}-5x+1], [eqn: B=2x^{2}+x+3]에 대하여 [eqn: A-B]를 간단히 하면?

④

두 다항식 [eqn: A], [eqn: B]를 대입하여 [eqn: A-B]를 계산하면

[eqn: A-B = (3x^{2}-5x+1) - (2x^{2}+x+3)]

[eqn: = 3x^{2}-5x+1 - 2x^{2}-x-3][eqn: = x^{2}-6x-2]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: x^{2}-4x-2]	② [eqn: x^{2}-4x+2]	③ [eqn: x^{2}-4x+4]

④ [eqn: x^{2}-6x-2]	⑤ [eqn: x^{2}-6x+2]

다항식 [eqn: 2x^{3}-x^{2}-x+4]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는?

④

다항식 [eqn: P(x) = 2x^{3}-x^{2}-x+4]라 하면

나머지정리에 의해 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는 [eqn: P(1)]이다.

[eqn: P(1) = 2 times 1^{3} - 1^{2} - 1 + 4][eqn: = 2 - 1 - 1 + 4][eqn: = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x]에 대한 이차부등식 [eqn: x^{2}+ax+6<0]의 해가 [eqn: 2<x<3]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

①

이차부등식 [eqn: x^{2}+ax+6<0]의 해가 [eqn: 2<x<3]이므로 이차방정식 [eqn: x^{2}+ax+6=0]의 두 근은 [eqn: 2], [eqn: 3]이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서 두 근의 합은

[eqn: 2+3 = -a], [eqn: 5 = -a] ∴ [eqn: a = -5]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

등식
[eqn: 2x^{2}+ax+b=x(x-3)+(x+1)(x+3)]
이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

③

주어진 등식의 우변을 전개하여 정리하면

[eqn: x(x-3)+(x+1)(x+3) = x^{2}-3x+x^{2}+4x+3 = 2x^{2}+x+3]

이므로 주어진 등식은 [eqn: 2x^{2}+ax+b = 2x^{2}+x+3]

이 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면

[eqn: a = 1], [eqn: b = 3]

∴ [eqn: ab = 1 times 3 = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x+y-z=5], [eqn: xy-yz-zx=4]일 때, [eqn: x^{2}+y^{2}+z^{2}]의 값은?

②

곱셈공식의 변형을 이용한다.

[eqn: (x+y-z)^{2} = x^{2}+y^{2}+(-z)^{2} + 2 left ( xy + y(-z) + (-z)x right )]

즉, [eqn: (x+y-z)^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2} + 2(xy-yz-zx)]이므로

주어진 식 [eqn: x+y-z=5], [eqn: xy-yz-zx=4]를 대입하면

[eqn: 5^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2} + 2 times 4]

[eqn: 25 = x^{2}+y^{2}+z^{2} + 8]

∴ [eqn: x^{2}+y^{2}+z^{2} = 17]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 15]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 23]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^{2}-2kx+k^{2}+3k-22=0]이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: k]의 최솟값은?

④

이차방정식 [eqn: x^{2}-2kx+k^{2}+3k-22=0]이 서로 다른 두 허근을 가지려면 판별식을 [eqn: D]라 할 때 [eqn: D < 0]이어야 하므로

[eqn: {D} over {4} = (-k)^{2} - (k^{2}+3k-22) < 0], [eqn: k^{2} - k^{2} - 3k + 22 < 0]

[eqn: -3k + 22 < 0], [eqn: 3k > 22] ∴ [eqn: k > {22} over {3}]

이를 만족하는 자연수 [eqn: k]는 [eqn: 8, 9, 10, cdots] 이다.

따라서 자연수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 8]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: 2024^{4} + 2024^{2} + 1]을 [eqn: 2022]로 나눈 나머지는?

⑤

이 문제의 핵심은 다항식의 나머지정리를 활용하는 것이다.

[eqn: 2024 = x]라 하면 주어진 식은 [eqn: x^{4} + x^{2} + 1]이다.

다항식 [eqn: P(x) = x^{4} + x^{2} + 1]이라 할 때, [eqn: 2022 = x - 2]이므로

[eqn: 2024^{4} + 2024^{2} + 1]을 [eqn: 2022]로 나눈 나머지는 [eqn: P(x)]를 [eqn: x - 2]로 나눈 나머지와 같다.

나머지정리에 의해 [eqn: P(x)]를 [eqn: x - 2]로 나눈 나머지는 [eqn: P(2)]이므로 [eqn: P(2) = 2^{4} + 2^{2} + 1][eqn: = 16 + 4 + 1 = 21]

이때 [eqn: 21]은 나누는 수 [eqn: 2022]보다 작으므로 구하는 나머지는 [eqn: 21]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

[eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: left | x-1 right | < n]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 9]가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 값은?

③

부등식 [eqn: left | x-1 right | < n]에서 [eqn: n]이 자연수이므로

[eqn: -n < x-1 < n]

각 변에 [eqn: 1]을 더하면 [eqn: 1-n < x < 1+n]

[eqn: n]이 자연수이므로 [eqn: 1-n]과 [eqn: 1+n]은 모두 정수이다.

부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는

[eqn: (1+n) - (1-n) - 1 = 2n - 1]

정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 9]이므로

[eqn: 2n - 1 = 9], [eqn: 2n = 10] ∴ [eqn: n = 5]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

사차방정식 [eqn: (x^{2}-3x)(x^{2}-3x+6)+5=0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha beta]의 값은?

①

[eqn: x^{2}-3x = t]라 하면 주어진 방정식은

[eqn: t(t+6)+5=0], [eqn: t^{2}+6t+5=0], [eqn: (t+5)(t+1)=0]

∴ [eqn: t=-5] 또는 [eqn: t=-1]

(ⅰ) [eqn: t=-5]일 때

[eqn: x^{2}-3x=-5]에서 [eqn: x^{2}-3x+5=0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D_{1}]이라 하면

[eqn: D_{1} = (-3)^{2}-4 times 1 times 5 = -11 < 0]이므로 실근은 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: t=-1]일 때

[eqn: x^{2}-3x=-1]에서 [eqn: x^{2}-3x+1=0]

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D_{2}]라 하면

[eqn: D_{2} = (-3)^{2}-4 times 1 times 1 = 5 > 0]이므로 서로 다른 두 실근이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 사차방정식의 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]는 이차방정식 [eqn: x^{2}-3x+1=0]의 두 근이므로 근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha beta = 1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x]에 대한 두 다항식 [eqn: x^{3}+2x^{2}+3x+6]과 [eqn: x^{3}+x+a]가 모두 [eqn: x+b]로 나누어떨어질 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

②

두 다항식을 각각 [eqn: P(x) = x^{3}+2x^{2}+3x+6], [eqn: Q(x) = x^{3}+x+a]라 하면

다항식 [eqn: P(x)]가 [eqn: x+b]로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해

[eqn: P(-b) = -b^{3}+2b^{2}-3b+6 = 0]

[eqn: -b^{2}(b-2)-3(b-2) = 0], [eqn: -(b^{2}+3)(b-2) = 0]

[eqn: b]는 실수이므로 [eqn: b^{2}+3 > 0]에서

[eqn: b-2 = 0] ∴ [eqn: b = 2]

다항식 [eqn: Q(x)]도 [eqn: x+b], 즉 [eqn: x+2]로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해

[eqn: Q(-2) = (-2)^{3}+(-2)+a = 0], [eqn: -8-2+a = 0] ∴ [eqn: a = 10]

∴ [eqn: a+b = 10+2 = 12]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

삼차방정식 [eqn: x^{3}+x^{2}+x-3=0]의 서로 다른 두 허근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: (alpha^{2}+2alpha+6)(beta^{2}+2beta+8)]의 값은?

⑤

삼차방정식 [eqn: x^{3}+x^{2}+x-3=0]의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x-1)(x^{2}+2x+3)=0]

이때 [eqn: x=1]은 실근이므로 서로 다른 두 허근 [eqn: alpha], [eqn: beta]는 이차방정식 [eqn: x^{2}+2x+3=0]의 근이다.

따라서 [eqn: alpha^{2}+2alpha+3=0], [eqn: beta^{2}+2beta+3=0]이므로

[eqn: alpha^{2}+2alpha=-3], [eqn: beta^{2}+2beta=-3]

구하는 식에 대입하면

[eqn: (alpha^{2}+2alpha+6)(beta^{2}+2beta+8) = (-3+6) times (-3+8) = 3 times 5 = 15]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립방정식
[eqn: {cases{x-y=3&#x ^{2} -xy-y ^{2} =k&}}]
의 해를 [eqn: left { matrix { x=alpha # y=alpha-3 } right .] 또는 [eqn: left { matrix { x=beta # y=beta-3 } right .] 이라 하자. [eqn: alpha], [eqn: beta]가 서로 다른 두 실수가 되도록 하는 자연수 [eqn: k]의 최댓값은?

②

[eqn: x-y=3]에서 [eqn: y=x-3] ……①

①을 [eqn: x^{2}-xy-y^{2}=k]에 대입하면

[eqn: x^{2}-x(x-3)-(x-3)^{2}=k], [eqn: x^{2}-x^{2}+3x-(x^{2}-6x+9)=k]

[eqn: -x^{2}+9x-9-k=0]

즉, [eqn: x^{2}-9x+k+9=0] ……②

연립방정식의 해가 [eqn: x=alpha], [eqn: x=beta]이고 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 서로 다른 두 실수이므로 이차방정식 ②는 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

이차방정식 ②의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D = (-9)^{2}-4(k+9) > 0], [eqn: 81-4k-36 > 0]

[eqn: 45-4k > 0], [eqn: 4k < 45], [eqn: k < {45} over {4}]

따라서 이를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 11]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

그림과 같이 이차함수 [eqn: y=-x^{2}+4x+5]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+a]가 한 점 [eqn: rmA]에서만 만난다. 이차함수 [eqn: y=-x^{2}+4x+5]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 대하여 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

④

이차함수 [eqn: y=-x^{2}+4x+5]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 이차방정식 [eqn: -x^{2}+4x+5=0]의 해이다.

[eqn: -x^{2}+4x+5=0]에서 [eqn: x^{2}-4x-5=0]

[eqn: (x+1)(x-5)=0]

∴ [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=5]

그래프에서 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 음수이고 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 양수이므로 [eqn: rmB(-1, 0)], [eqn: rmC(5, 0)]이다.

따라서 선분 [eqn: rmBC]의 길이는 [eqn: 5 - (-1) = 6]이다.

이차함수 [eqn: y=-x^{2}+4x+5]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+a]가 한 점 [eqn: rmA]에서 만나므로 이차방정식 [eqn: -x^{2}+4x+5=2x+a], 즉 [eqn: x^{2}-2x+a-5=0]은 중근을 가진다.

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} = (-1)^{2} - (a-5) = 0], [eqn: 1 - a + 5 = 0] ∴ [eqn: a=6]

[eqn: a=6]을 [eqn: x^{2}-2x+a-5=0]에 대입하면

[eqn: x^{2}-2x+1=0], [eqn: (x-1)^{2}=0] ∴ [eqn: x=1]

[eqn: x=1]을 [eqn: y=2x+6]에 대입하면 [eqn: y=8]이므로 점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: (1, 8)]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]의 밑변을 선분 [eqn: rmBC]라 하면 높이는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표인 [eqn: 8]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 6 times 8 = 24]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+k]가 [eqn: (x^{2}+ax+b)^{2}]으로 인수분해되도록 하는 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: k]에 대하여 [eqn: a+b+k]의 값은?

⑤

주어진 다항식에서 상수항의 합이 같아지도록 두 일차식씩 짝을 지어 전개하면

[eqn: (x+2)(x+5)(x+3)(x+4)+k = (x^{2}+7x+10)(x^{2}+7x+12)+k]

[eqn: x^{2}+7x = X]라 하면

[eqn: (X+10)(X+12)+k = X^{2}+22X+120+k]

이 식이 [eqn: X]에 대한 완전제곱식이 되어야 하므로

[eqn: 120+k = left ( {22} over {2} right )^{2}], [eqn: 120+k = 121] ∴ [eqn: k = 1]

[eqn: k=1]을 대입하여 식을 인수분해하면

[eqn: X^{2}+22X+121 = (X+11)^{2}]

[eqn: X = x^{2}+7x]를 다시 대입하면 [eqn: (x^{2}+7x+11)^{2}]

이 식이 [eqn: (x^{2}+ax+b)^{2}]과 같으므로 [eqn: a = 7], [eqn: b = 11]

따라서 [eqn: a+b+k = 7+11+1 = 19]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^{3}+ax^{2}+bx-4]를 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: Q(x)]이고 나머지는 [eqn: 3]이다. [eqn: (x^{2}+a)Q(x-2)]가 [eqn: x-2]로 나누어떨어질 때, [eqn: Q(1)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

③

다항식 [eqn: P(x) = x^{3}+ax^{2}+bx-4]라 하면

[eqn: P(x) = (x+1)Q(x) + 3] ……①

나머지정리에 의해 [eqn: P(-1) = 3]이므로

[eqn: -1 + a - b - 4 = 3]

[eqn: a - b = 8] ……②

다항식 [eqn: (x^{2}+a)Q(x-2)]가 [eqn: x-2]로 나누어떨어지므로 나머지정리에 의해 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: (2^{2}+a)Q(2-2) = 0]

[eqn: (4+a)Q(0) = 0] ……③

①에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: P(0) = (0+1)Q(0) + 3]

[eqn: -4 = Q(0) + 3]

∴ [eqn: Q(0) = -7]

③에서 [eqn: (4+a) times (-7) = 0]이므로 [eqn: a = -4]

②에 대입하면 [eqn: -4 - b = 8]에서 [eqn: b = -12]

따라서 [eqn: P(x) = x^{3}-4x^{2}-12x-4]이다.

①에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: P(1) = (1+1)Q(1) + 3], [eqn: 1 - 4 - 12 - 4 = 2Q(1) + 3]

[eqn: -19 = 2Q(1) + 3], [eqn: 2Q(1) = -22] ∴ [eqn: Q(1) = -11]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -15]	② [eqn: -13]	③ [eqn: -11]

④ [eqn: -9]	⑤ [eqn: -7]

실수 [eqn: a]에 대하여 복소수 [eqn: z]를 [eqn: z=a^{2}-1+(a-1)i]라 하자. [eqn: z^{2}]이 음의 실수일 때,
[eqn: left ( {1-i} over {sqrt{2}} right )^{n} = {(z-bar{z})i} over {4}]
가 되도록 하는 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: n]의 개수는? (단, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이고, [eqn: i=sqrt{-1}] 이다.)

⑤

복소수 [eqn: z = a^{2}-1 + (a-1)i]에 대하여 [eqn: z^{2}]이 음의 실수이려면 [eqn: z]는 순허수이어야 한다.

즉, 실수부분은 [eqn: 0]이고 허수부분은 [eqn: 0]이 아니어야 하므로 [eqn: a^{2}-1 = 0]이고 [eqn: a-1 neq 0]이어야 한다.

[eqn: a^{2}-1 = 0]에서 [eqn: a = 1] 또는 [eqn: a = -1]

[eqn: a-1 neq 0]에서 [eqn: a neq 1]

따라서 [eqn: a = -1]이다.

[eqn: a = -1]을 대입하면 [eqn: z = -2i]이고 [eqn: bar{z} = 2i]이다.

주어진 식의 우변을 계산하면

[eqn: {(z-bar{z})i} over {4} = {(-2i-2i)i} over {4} = {-4i^{2}} over {4} = 1]

주어진 식의 좌변에서 [eqn: left ( {1-i} over {sqrt{2}} right )^{2}]을 계산하면

[eqn: left ( {1-i} over {sqrt{2}} right )^{2} = {1-2i+i^{2}} over {2} = {-2i} over {2} = -i]

양변을 제곱하면

[eqn: left ( {1-i} over {sqrt{2}} right )^{4} = (-i)^{2} = -1]

다시 양변을 제곱하면

[eqn: left ( {1-i} over {sqrt{2}} right )^{8} = (-1)^{2} = 1]

따라서 [eqn: left ( {1-i} over {sqrt{2}} right )^{n} = 1]을 만족하는 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 8]의 배수이다.

[eqn: 100] 이하의 자연수 중 [eqn: 8]의 배수는 [eqn: 8 TIMES 1,8 TIMES 2, CDOTS ,8 TIMES 12]이므로 그 개수는 [eqn: 12]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: -2 leq x leq 2]에서 이차함수
[eqn: f(x) = x^{2} - (2a-b)x + a^{2} - 4b]
가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 최솟값을 가진다.

(나) 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 0]이다.

[eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

①

이차함수 [eqn: f(x) = x^{2} - (2a-b)x + a^{2} - 4b]의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이다.

조건 (가)에서 [eqn: -2 leq x leq 2]일 때 [eqn: x=1]에서 최솟값을 가지므로, 이 이차함수의 대칭축은 [eqn: x=1]이다.

[eqn: f(x) = left ( x - {2a-b} over {2} right )^{2} - left ( {2a-b} over {2} right )^{2} + a^{2} - 4b]이므로

대칭축은 [eqn: x = {2a-b} over {2}]이다.

따라서 [eqn: {2a-b} over {2} = 1]에서 [eqn: 2a-b = 2]이다.

즉, [eqn: b = 2a - 2] ……①

이때 [eqn: f(x) = x^{2} - 2x + a^{2} - 4b = (x-1)^{2} - 1 + a^{2} - 4b]이다.

조건 (나)에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 0]이다.

[eqn: -2 leq x leq 2]에서 대칭축 [eqn: x=1]로부터 가장 멀리 떨어진 [eqn: x=-2]일 때 최댓값을 가지므로

[eqn: f(-2) = (-2-1)^{2} - 1 + a^{2} - 4b = a^{2} - 4b + 8 = 0] ……②

①을 ②에 대입하면

[eqn: a^{2} - 4(2a-2) + 8 = 0], [eqn: a^{2} - 8a + 16 = 0], [eqn: (a-4)^{2} = 0]

∴ [eqn: a = 4]

[eqn: a = 4]를 ①에 대입하면 [eqn: b = 2 times 4 - 2 = 6]이다.

∴ [eqn: a+b = 4 + 6 = 10]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2a]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]가
[eqn: rm {bar{AC}} = {bar{CD}} =ita-1], [eqn: rmoverline {BD} = 8]
을 만족시킬 때, [eqn: a^{3} - {1} over {a^{3}}]의 값은? (단, [eqn: a]는 [eqn: a > 4]인 상수이다.)

④

선분 [eqn: rmAB]가 반원의 지름이므로 원주각의 성질에 의해

[eqn: rmangle ACB = 90^{circ}], [eqn: rmangle ADB = 90^{circ}]이고

[eqn: rmoverline{AC} = overline{CD}]이므로 호 [eqn: rmAC]와 호 [eqn: CD]의 길이가 같아 원주각의 크기가 같으므로

[eqn: rmangle ABC = angle CBD]이다.

점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: rmangle DHB = 90^{circ}]이고

두 직각삼각형 [eqn: rmABC]와 [eqn: rmDBH]에서

[eqn: rmangle ABC = angle DBH], [eqn: rmangle ACB = angle DHB = 90^{circ}]이므로

[eqn: rmtriangle ABC sim triangle DBH] (AA 닮음)이다.

닮음비에 의해 [eqn: rmoverline{AB} : overline{DB} = overline{AC} : overline{DH} = overline{BC} : overline{BH}]가 성립하므로

[eqn: 2a:8=(a-1): {bar{rmDH}}]에서 [eqn: {bar{rmDH}} = {4(a-1)} over {a}]이고

[eqn: 2a:8= {bar{rm BC it}} : {bar{rmBH}}]에서 [eqn: {bar{rmBH}} = {4} over {a} {bar{rmBC}}]이다.

직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} = {bar{AB}} ^{2} - {bar{AC}} ^{2} =it4a ^{2} -(a-1) ^{2} =3a ^{2} +2a-1] ……①

선분 [eqn: rmCH]의 길이는

[eqn: rm {bar{CH}} = {bar{BC}} - {bar{BH}} = {bar{BC}} -it {4} over {a} {bar{rmBC}} =it {a-4} over {a} {bar{rmBC}}]이다.

직각삼각형 [eqn: rmDHC]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{CD}} ^{2} = {bar{DH}} ^{2} + {bar{CH}} ^{2}]이므로

[eqn: (a-1) ^{2} = LEFT ( {4(a-1)} over {a} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {a-4} over {a} {bar{rmBC}} RIGHT ) ^{2}]이다.

①을 대입하여 양변에 [eqn: a^{2}]을 곱하면

[eqn: a^{2}(a-1)^{2} = 16(a-1)^{2} + (a-4)^{2} (3a^{2} + 2a - 1)]

[eqn: a^{2}(a-1)^{2} - 16(a-1)^{2} = (a-4)^{2} (3a^{2} + 2a - 1)]

[eqn: (a^{2} - 16)(a-1)^{2} = (a-4)^{2} (3a^{2} + 2a - 1)]

[eqn: (a-4)(a+4)(a-1)^{2} = (a-4)^{2} (3a^{2} + 2a - 1)]

[eqn: a > 4]이므로 양변을 [eqn: a-4]로 나누면

[eqn: (a+4)(a-1)^{2} = (a-4)(3a^{2} + 2a - 1)]

[eqn: (a+4)(a^{2} - 2a + 1) = 3a^{3} + 2a^{2} - a - 12a^{2} - 8a + 4]

[eqn: a^{3} + 2a^{2} - 7a + 4 = 3a^{3} - 10a^{2} - 9a + 4]

[eqn: 2a^{3} - 12a^{2} - 2a = 0]

[eqn: 2a(a^{2} - 6a - 1) = 0]

[eqn: a > 4]이므로 [eqn: a neq 0]에서

[eqn: a^{2} - 6a - 1 = 0]이다.

양변을 [eqn: a]로 나누면

[eqn: a - 6 - {1} over {a} = 0] ∴ [eqn: a - {1} over {a} = 6]

곱셈공식의 변형에 의해

[eqn: a^{3} - {1} over {a^{3}} = left ( a - {1} over {a} right )^{3} + 3 left ( a - {1} over {a} right )][eqn: = 6^{3} + 3 times 6][eqn: = 216 + 18 = 234]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 231]	② [eqn: 232]	③ [eqn: 233]

④ [eqn: 234]	⑤ [eqn: 235]

[eqn: x]에 대한 삼차방정식
[eqn: x^{3}-(a^{2}+a-1)x^{2}-a(a-3)x+4a=0]
이 서로 다른 세 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma] [eqn: LEFT ( alpha<beta<gamma RIGHT )]를 가질 때, [eqn: alpha times gamma=-4]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은?

①

주어진 삼차방정식에 [eqn: x = -1]을 대입하면

[eqn: -1 - (a^{2}+a-1) + a(a-3) + 4a = -1 - a^{2} - a + 1 + a^{2} - 3a + 4a = 0]이므로 [eqn: x = -1]은 이 방정식의 근이다.

조립제법을 이용하여 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x+1)(x^{2} - (a^{2}+a)x + 4a) = 0]

이 방정식이 서로 다른 세 실근을 가지려면 이차방정식 [eqn: x^{2} - (a^{2}+a)x + 4a = 0]이 [eqn: x neq -1]인 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

이차방정식의 두 근을 [eqn: p], [eqn: q]라 하면 삼차방정식의 세 근은 [eqn: -1], [eqn: p], [eqn: q]이다.

세 근 중 가장 작은 근이 [eqn: alpha], 가장 큰 근이 [eqn: gamma]이므로 다음 세 가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: alpha = -1]인 경우

[eqn: alpha gamma = -4]에서 [eqn: gamma = 4]이다.

즉, 이차방정식 [eqn: x^{2} - (a^{2}+a)x + 4a = 0]의 한 근이 [eqn: 4]이므로 [eqn: x = 4]를 대입하면

[eqn: 16 - 4(a^{2}+a) + 4a = 0]

[eqn: 16 - 4a^{2} = 0]에서 [eqn: a^{2} = 4]

∴ [eqn: a = 2] 또는 [eqn: a = -2]

[eqn: a = 2]일 때, 이차방정식은 [eqn: x^{2} - 6x + 8 = 0]이므로 두 근은 [eqn: 2], [eqn: 4]이다.

세 근이 [eqn: -1], [eqn: 2], [eqn: 4]이므로 [eqn: alpha = -1], [eqn: beta = 2], [eqn: gamma = 4]가 되어 조건을 만족한다.

[eqn: a = -2]일 때, 이차방정식은 [eqn: x^{2} - 2x - 8 = 0]이므로 두 근은 [eqn: -2], [eqn: 4]이다.

세 근이 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 4]이므로 [eqn: alpha = -2], [eqn: beta = -1], [eqn: gamma = 4]가 되어 [eqn: alpha = -1]이라는 가정에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: gamma = -1]인 경우

[eqn: alpha gamma = -4]에서 [eqn: alpha = 4]이다.

그러나 [eqn: alpha < gamma]이므로 [eqn: 4 < -1]이 되어 모순이다.

(ⅲ) [eqn: beta = -1]인 경우

이차방정식 [eqn: x^{2} - (a^{2}+a)x + 4a = 0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: gamma]이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha gamma = 4a]이다.

[eqn: alpha gamma = -4]이므로 [eqn: 4a = -4]

∴ [eqn: a = -1]

[eqn: a = -1]일 때, 이차방정식은 [eqn: x^{2} - 4 = 0]이므로 두 근은 [eqn: -2], [eqn: 2]이다.

세 근이 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 2]이므로 [eqn: alpha = -2], [eqn: beta = -1], [eqn: gamma = 2]가 되어 조건을 만족한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족하는 모든 실수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 2], [eqn: -1]이므로 그 합은 [eqn: 1]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 이차함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: -1]인 이차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=x]와 원점이 아닌 서로 다른 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에서 만난다.

(나) 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=x]와 한 점 [eqn: rmP]에서만 만난다.

(다) 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표보다 작고, [eqn: rmoverline{OP}=overline{PQ}]이다.

부등식 [eqn: f(x)+g(x) geq 0]의 해가 모든 실수일 때, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표의 최댓값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

②

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: p]라 하면 점 [eqn: P]는 직선 [eqn: y=x] 위의 점이므로 [eqn: rmP LEFT ( itp,`p RIGHT )]이다.

조건 (가)에서 점 [eqn: rmP]는 원점이 아니므로 [eqn: p neq 0]이다.

점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: q]라 하면 점 [eqn: rmQ]는 직선 [eqn: y=x] 위의 점이므로 [eqn: rmQ LEFT ( itq,`q RIGHT )]이다.

조건 (다)에서 [eqn: p < q]이고 [eqn: rmoverline{OP} = overline{PQ}]이므로

[eqn: sqrt{p^{2}+p^{2}} = sqrt{(q-p)^{2}+(q-p)^{2}}]

[eqn: sqrt{2} left | p right | = sqrt{2} (q-p)]

[eqn: left | p right | = q-p]

(ⅰ) [eqn: p > 0]일 때, [eqn: p = q-p]에서 [eqn: q = 2p]

(ⅱ) [eqn: p < 0]일 때, [eqn: -p = q-p]에서 [eqn: q = 0]

조건 (가)에서 점 [eqn: rmQ]는 원점이 아니므로 [eqn: q neq 0]이다.

따라서 [eqn: p > 0]이고 [eqn: q = 2p]이다.

이차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 2]이고, 방정식 [eqn: f(x) = x]의 두 근이 [eqn: p], [eqn: 2p]이므로

[eqn: f(x) - x = 2(x-p)(x-2p)]

∴ [eqn: f(x) = 2x^{2} - 6px + 4p^{2} + x] ……①

이차함수 [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: -1]이고, 조건 (나)에서 방정식 [eqn: g(x) = x]가 중근 [eqn: p]를 가지므로

[eqn: g(x) - x = -(x-p)^{2}]

∴ [eqn: g(x) = -x^{2} + 2px - p^{2} + x] ……②

①, ②에서

[eqn: f(x) + g(x) = (2x^{2} - 6px + 4p^{2} + x) + (-x^{2} + 2px - p^{2} + x)]

[eqn: = x^{2} + 2(1-2p)x + 3p^{2}]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) + g(x) geq 0]이 성립해야 하므로, 이차방정식 [eqn: x^{2} + 2(1-2p)x + 3p^{2} = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} = (1-2p)^{2} - 3p^{2} leq 0]

[eqn: 4p^{2} - 4p + 1 - 3p^{2} leq 0]

[eqn: p^{2} - 4p + 1 leq 0]

방정식 [eqn: p^{2} - 4p + 1 = 0]의 근은 근의 공식에 의해 [eqn: p = 2 +- sqrt{3}]이므로

[eqn: 2 - sqrt{3} leq p leq 2 + sqrt{3}]

따라서 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표 [eqn: p]의 최댓값은 [eqn: 2 + sqrt{3}]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1+sqrt{3}]	② [eqn: 2+sqrt{3}]	③ [eqn: 3+sqrt{3}]

④ [eqn: 4+sqrt{3}]	⑤ [eqn: 5+sqrt{3}]

다항식 [eqn: (2x+y)^{3}]의 전개식에서 [eqn: xy^{2}]의 계수를 구하시오.

[eqn: 6]

다항식의 곱셈 공식 [eqn: (a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}]을 이용하여 전개하면

[eqn: (2x+y)^{3} = (2x)^{3} + 3(2x)^{2}(y) + 3(2x)(y)^{2} + y^{3}]

[eqn: = 8x^{3} + 12x^{2}y + 6xy^{2} + y^{3}]

이므로 [eqn: xy^{2}]의 계수는 [eqn: 6]이다.

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^{2}-3x+a=0]의 두 근이 [eqn: 1], [eqn: b]일 때, [eqn: ab]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[eqn: 4]

이차방정식 [eqn: x^{2}-3x+a=0]의 두 근이 [eqn: 1], [eqn: b]이므로 근과 계수의 관계에서

[eqn: 1+b=3], [eqn: 1 times b=a]

[eqn: 1+b=3]에서 [eqn: b=2]

[eqn: 1 times b=a]에서 [eqn: a=2]

∴ [eqn: ab = 2 times 2 = 4]

따라서 정답은 [eqn: 4]이다.

복소수 [eqn: z]에 대하여 등식 [eqn: 3z-2 bar{z}=5+10i]가 성립할 때, [eqn: z bar{z}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이고, [eqn: i= sqrt{-1}] 이다.)

[eqn: 29]

복소수 [eqn: z = a+bi] ([eqn: a], [eqn: b]는 실수)라 하면

[eqn: bar{z} = a-bi]이므로 주어진 등식에 대입하면

[eqn: 3(a+bi) - 2(a-bi) = 5+10i]

[eqn: 3a + 3bi - 2a + 2bi = 5+10i]

[eqn: a + 5bi = 5+10i]

복소수가 서로 같을 조건에 의해

[eqn: a = 5], [eqn: 5b = 10]

∴ [eqn: a = 5], [eqn: b = 2]

따라서 [eqn: z = 5+2i], [eqn: bar{z} = 5-2i]이므로

[eqn: z bar{z} = (5+2i)(5-2i) = 5^{2} - (2i)^{2} = 25 - (-4) = 29]

따라서 정답은 [eqn: 29]이다.

다항식 [eqn: x^{4}+2x^{3}+11x-4]를 [eqn: x^{2}+2x+3]으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 각각 [eqn: Q(x)], [eqn: R(x)]라 하자. [eqn: Q(2)+R(1)]의 값을 구하시오.

[eqn: 23]

다항식 [eqn: x^{4}+2x^{3}+11x-4]를 [eqn: x^{2}+2x+3]으로 직접 나누면

[eqn: x^{4}+2x^{3}+11x-4 = (x^{2}+2x+3)(x^{2}-3) + 17x+5]

이므로 몫 [eqn: Q(x)]와 나머지 [eqn: R(x)]는 각각

[eqn: Q(x) = x^{2}-3], [eqn: R(x) = 17x+5]

따라서 [eqn: Q(2) = 2^{2}-3 = 1]이고, [eqn: R(1) = 17 times 1 + 5 = 22]이므로

[eqn: Q(2)+R(1) = 1+22 = 23]

따라서 정답은 [eqn: 23]이다.

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: 3x^{2}-5x+k=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: (3alpha-k)(alpha-1)+(3beta-k)(beta-1)=-10]을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 8]

이차방정식 [eqn: 3x^{2}-5x+k=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

[eqn: 3alpha^{2}-5alpha+k=0], [eqn: 3beta^{2}-5beta+k=0]

즉, [eqn: 3alpha^{2}+k=5alpha], [eqn: 3beta^{2}+k=5beta] ……①

또한, 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha+beta={5} over {3}] ……②

주어진 식의 좌변을 전개하면

[eqn: (3alpha-k)(alpha-1)+(3beta-k)(beta-1)]

[eqn: = 3alpha^{2}-3alpha-k alpha+k+3beta^{2}-3beta-k beta+k]

[eqn: = (3alpha^{2}+k)-3alpha-k alpha+(3beta^{2}+k)-3beta-k beta]

①에 의해

[eqn: = 5alpha-3alpha-k alpha+5beta-3beta-k beta]

[eqn: = 2alpha-k alpha+2beta-k beta][eqn: = (2-k)alpha+(2-k)beta][eqn: = (2-k)(alpha+beta)]

②에 의해

[eqn: = (2-k) times {5} over {3}]

이 값이 [eqn: -10]이므로

[eqn: (2-k) times {5} over {3} = -10], [eqn: 2-k = -6] ∴ [eqn: k = 8]

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

[eqn: x]에 대한 연립부등식
[eqn: {cases{x ^{2} -11x+24<0&#x ^{2} -2kx+k ^{2} -9>0&}}]
의 해가 [eqn: alpha < x < beta]일 때, [eqn: beta - alpha = 2]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 11]

연립부등식의 첫 번째 부등식 [eqn: x^{2} - 11x + 24 < 0]을 풀면

[eqn: (x-3)(x-8) < 0]에서 [eqn: 3 < x < 8] ……①

두 번째 부등식 [eqn: x^{2} - 2kx + k^{2} - 9 > 0]을 풀면

[eqn: x^{2} - 2kx + (k-3)(k+3) > 0]

[eqn: (x - (k-3))(x - (k+3)) > 0]

[eqn: x < k-3] 또는 [eqn: x > k+3] ……②

①, ②의 공통부분이 [eqn: alpha < x < beta] 꼴의 단일 구간이고 [eqn: beta - alpha = 2]가 되려면, ①의 구간이 ②의 두 구간 중 어느 한 구간과만 겹쳐야 한다.

(ⅰ) ①과 [eqn: x < k-3]이 겹치는 경우

공통부분은 [eqn: 3 < x < k-3]이 되어야 하므로

[eqn: beta - alpha = (k-3) - 3 = 2]

[eqn: k - 6 = 2] ∴ [eqn: k = 8]

이때 ②의 해는 [eqn: x < 5] 또는 [eqn: x > 11]이므로 ①과의 공통부분은 [eqn: 3 < x < 5]가 되어 조건을 만족한다.

(ⅱ) ①과 [eqn: x > k+3]이 겹치는 경우

공통부분은 [eqn: k+3 < x < 8]이 되어야 하므로

[eqn: beta - alpha = 8 - (k+3) = 2]

[eqn: 5 - k = 2] ∴ [eqn: k = 3]

이때 ②의 해는 [eqn: x < 0] 또는 [eqn: x > 6]이므로 ①과의 공통부분은 [eqn: 6 < x < 8]이 되어 조건을 만족한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 8]이므로 그 합은 [eqn: 11]이다.

따라서 정답은 [eqn: 11]이다.

이차다항식 [eqn: f(x)]와 일차다항식 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f(x)g(x)]를 [eqn: f(x)-2x^{2}]으로 나누었을 때의 몫은 [eqn: x^{2}-3x+3]이고 나머지는 [eqn: f(x)+xg(x)]이다. [eqn: f(-2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 20]

다항식의 나눗셈에 대한 항등식을 세우면

[eqn: f(x)g(x) = left ( f(x)-2x^{2} right ) left ( x^{2}-3x+3 right ) + f(x) + xg(x)] ……①

[eqn: f(x)]는 이차다항식, [eqn: g(x)]는 일차다항식이므로 좌변 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: 3]차 다항식이다.

우변에서 [eqn: x^{2}-3x+3]이 [eqn: 2]차식이므로 [eqn: f(x)-2x^{2}]는 [eqn: 1]차 이하의 다항식이어야 한다.

[eqn: f(x)]가 이차다항식이므로 [eqn: f(x)]의 이차항은 [eqn: 2x^{2}]이다.

[eqn: f(x) = 2x^{2} + bx + c] ([eqn: b], [eqn: c]는 상수)라 하면

[eqn: f(x) - 2x^{2} = bx + c]

나누는 식 [eqn: f(x) - 2x^{2}]가 [eqn: 1]차식이므로 나머지 [eqn: f(x) + xg(x)]는 상수이어야 한다.

[eqn: g(x) = px + q] ([eqn: p], [eqn: q]는 상수)라 하면

[eqn: f(x) + xg(x) = 2x^{2} + bx + c + x(px + q) = (p+2)x^{2} + (b+q)x + c]

이 식이 상수이어야 하므로

[eqn: p+2 = 0], [eqn: b+q = 0]

∴ [eqn: p = -2], [eqn: q = -b]

따라서 [eqn: g(x) = -2x - b]이다.

①의 좌변과 우변을 각각 전개하면

좌변: [eqn: f(x)g(x) = left ( 2x^{2} + bx + c right ) left ( -2x - b right ) = -4x^{3} - 4bx^{2} - left ( b^{2}+2c right ) x - bc]

우변: [eqn: left ( bx+c right ) left ( x^{2}-3x+3 right ) + c = bx^{3} + (c-3b)x^{2} + 3(b-c)x + 4c]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: x^{3}]의 계수: [eqn: -4 = b]

[eqn: x^{2}]의 계수: [eqn: -4b = c - 3b]에서 [eqn: -b = c]이므로 [eqn: c = 4]

따라서 [eqn: f(x) = 2x^{2} - 4x + 4]이다.

[eqn: f(-2) = 2(-2)^{2} - 4(-2) + 4 = 8 + 8 + 4 = 20]

따라서 정답은 [eqn: 20]이다.

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90^{circ}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmC]에 대하여 선분 [eqn: rmBC]를 지름으로 하는 원을 그린다. 선분 [eqn: rmBC]의 중점을 지나고 직선 [eqn: rmOB]에 평행한 직선이 원과 만나는 점 중 점 [eqn: rmB]에 가까운 점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: {bar{rmBC}} =itx]일 때, 삼각형 [eqn: rmOAP]의 넓이를 [eqn: S(x)]라 하자. [eqn: S(x)]의 최댓값이 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0 < x < sqrt{2}] 이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 13]

점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmrmOB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면, 직각삼각형 [eqn: BHC]에서

[eqn: rmbarBC` ^{2} =rmbarBH` ^{2} +rmbarHC` ^{2}] ……①

직각삼각형 [eqn: rmOHC]에서 [eqn: rmbarOC`=1]이므로

[eqn: rmbarOC` ^{2} =rmbarOH` ^{2} +rmbarHC` ^{2`} =1] ……②

[eqn: rmbarOH`=rmbarOB`-rmbarBH``=1-rmbarBH]이므로 ②에 대입하면

[eqn: LEFT ( 1-rmbarBH RIGHT ) ^{2} +rmbarHC` ^{2} =1]

[eqn: 1-2rmbarBH`+rmbarBH` ^{2} +rmbarHC` ^{2} =1]

①에서 [eqn: rmbarBH` ^{2} +rmbarHC` ^{2} =itx ^{2}]이므로

[eqn: 1-2rmbarBH`+itx ^{2} =1]

[eqn: 2rmbarBH`=itx ^{2}] ∴ [eqn: rmbarBH`=it {x ^{2}} over {2}]

따라서 점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmOA]까지의 거리인 [eqn: rmbarOH]는 [eqn: 1 - {x^{2}} over {2}]이다.

선분 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면, 점 [eqn: rmM]에서 선분 [eqn: rmOA]까지의 거리는 점 [eqn: B]와 점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmOA]까지의 거리의 평균이므로

[eqn: {1 + left ( 1 - {x^{2}} over {2} right )} over {2} = 1 - {x^{2}} over {4}]이다.

점 [eqn: rmM]을 지나고 선분 [eqn: rmOB]에 평행한 직선은 선분 [eqn: rmOA]에 수직이다.

이 직선이 선분 [eqn: rmBC]를 지름으로 하는 원과 만나는 두 점은 점 [eqn: rmM]으로부터의 거리가 원의 반지름인 [eqn: {x} over {2}]인 점들이다.

이 두 점 중 위쪽에 있는 점을 [eqn: rmP_{1}], 아래쪽에 있는 점을 [eqn: rmP_{2}]라 하자.

점 [eqn: rmB]에서 직선 [eqn: rmP{}_{{1}} P _{{2}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmK]라 하면 [eqn: rm MK= {BH} over {2} =it {x ^{2}} over {4}]이다.

직각삼각형 [eqn: rmBKP_{1}]과 [eqn: rmBKP_{2}]에서

[eqn: rmbarBP _{1} ` ^{2} =rmbarBK` ^{2} +rmbarKP _{1} ` ^{2} + LEFT ( it {x} over {2} - {x ^{2}} over {4} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: rmbarBP` _{2} ` ^{2} =rmbarBK` ^{2} +rmbarKP _{2} ` ^{2} =rmbarBK` ^{2} + LEFT ( it {x} over {2} + {x ^{2}} over {4} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: rmbarBP _{1} ` ^{2} <rmbarBP _{2} ` ^{2}]이므로 점 [eqn: rmB]에 가까운 점 [eqn: rmP]는 위쪽 점인 [eqn: rmP_{1}]이다. (이는 그래프에서 점 [eqn: rmP]가 위쪽 점으로 그려진 것과 일치한다.)

따라서 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmOA]까지의 거리는 점 [eqn: rmM]에서 선분 [eqn: rmOA]까지의 거리에 [eqn: {x} over {2}]를 더한 값이므로

[eqn: 1 - {x^{2}} over {4} + {x} over {2}]이다.

삼각형 [eqn: rmOAP]의 넓이 [eqn: S(x)]는 밑변이 [eqn: rmbarOA`=1]이고 높이가 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmOA]까지의 거리이므로

[eqn: S(x) = {1} over {2} times 1 times left ( 1 + {x} over {2} - {x^{2}} over {4} right ) = -{1} over {8} x^{2} + {1} over {4} x + {1} over {2}]

이차함수의 최댓값을 구하기 위해 완전제곱식으로 변형하면

[eqn: S(x) = -{1} over {8} (x^{2} - 2x) + {1} over {2} = -{1} over {8} (x - 1)^{2} + {5} over {8}]

[eqn: 0 < x < sqrt{2}]이므로 [eqn: S(x)]는 [eqn: x = 1]일 때 최댓값 [eqn: {5} over {8}]을 갖는다.

따라서 [eqn: p = 8], [eqn: q = 5]이고 [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.

∴ [eqn: p + q = 13]

따라서 정답은 [eqn: 13]이다.

두 이차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) leq 0 leq g(x)] 이다.

(나) [eqn: k-2 leq x leq k+2]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값과 [eqn: k-2 leq x leq k+2]에서 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값이 같게 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 0], 최댓값은 [eqn: 1]이다.

(다) 방정식 [eqn: f(x)=f(0)]의 모든 실근의 합은 음수이다.

[eqn: f(1)=-2], [eqn: g(1)=2]일 때, [eqn: f(3)+g(11)]의 값을 구하시오.

[eqn: 154]

조건 (가)에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) leq 0 leq g(x)]이므로 [eqn: f(x)]는 위로 볼록하고 최댓값이 [eqn: 0] 이하이며, [eqn: g(x)]는 아래로 볼록하고 최솟값이 [eqn: 0] 이상이다.

[eqn: f(x) = a(x-p)^{2} + q] ([eqn: a < 0], [eqn: q leq 0]), [eqn: g(x) = b(x-r)^{2} + s] ([eqn: b > 0], [eqn: s geq 0])라 하자.

조건 (나)에서 [eqn: k-2 leq x leq k+2]일 때 [eqn: f(x)]의 최댓값과 [eqn: g(x)]의 최솟값이 같아야 한다.

[eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: q] 이하이고 [eqn: g(x)]의 최솟값은 [eqn: s] 이상이므로, 두 값이 같으려면 [eqn: q = s = 0]이어야 한다.

따라서 [eqn: f(x) = a(x-p)^{2}], [eqn: g(x) = b(x-r)^{2}]이다.

구간 [eqn: k-2 leq x leq k+2]에서 [eqn: f(x)]의 최댓값이 [eqn: 0]이 되려면 꼭짓점 [eqn: x=p]가 이 구간에 포함되어야 하므로

[eqn: k-2 leq p leq k+2]에서 [eqn: p-2 leq k leq p+2]이다.

같은 구간에서 [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: 0]이 되려면 꼭짓점 [eqn: x=r]이 이 구간에 포함되어야 하므로

[eqn: k-2 leq r leq k+2]에서 [eqn: r-2 leq k leq r+2]이다.

두 조건을 동시에 만족하는 [eqn: k]의 범위는 [eqn: 0 leq k leq 1]이므로

[eqn: p-2]와 [eqn: r-2] 중 큰 값이 [eqn: 0]이고, [eqn: p+2]와 [eqn: r+2] 중 작은 값이 [eqn: 1]이다.

즉, [eqn: p=2], [eqn: r=-1] 또는 [eqn: p=-1], [eqn: r=2]이다.

조건 (다)에서 방정식 [eqn: f(x) = f(0)]은 [eqn: a(x-p)^{2} = ap^{2}]에서 [eqn: x^{2} - 2px = 0]이므로 두 근은 [eqn: 0], [eqn: 2p]이다.

모든 실근의 합이 [eqn: 2p]이고 이 값이 음수이므로 [eqn: p < 0]이다.

따라서 [eqn: p = -1], [eqn: r = 2]이다.

[eqn: f(x) = a(x+1)^{2}], [eqn: g(x) = b(x-2)^{2}]이고, [eqn: f(1) = -2], [eqn: g(1) = 2]이므로

[eqn: f(1) = 4a = -2]에서 [eqn: a = -{1 over 2}]

[eqn: g(1) = b = 2]에서 [eqn: b = 2]이다.

따라서 [eqn: f(x) = -{1 over 2}(x+1)^{2}], [eqn: g(x) = 2(x-2)^{2}]이다.

[eqn: f(3) = -{1 over 2} times 16 = -8]

[eqn: g(11) = 2 times 81 = 162]

∴ [eqn: f(3) + g(11) = -8 + 162 = 154]

따라서 정답은 [eqn: 154]이다.